Votazioni e Sistemi di preferenze

Votazione:Candidati: a, b, c

Immaginiamo che ciascun votante fornisca le sue preferenze attraverso un ordinamento completo dei candidati, ad esempio

a ! b ! c

a

b

c

3 2 2 2 1

a 1 3 2 3 2

b 2 1 1 2 3

c 3 2 3 1 1

10 votanti e 3 candidati:Numero votanti

CandidatiProfilo di voto

Problema della scelta collettiva:

dato un profilo di voto, come passare dagli ordinamenti individuali forniti dai singoli votanti ad un unico ordinamento aggregato che esprima le preferenze della collettività?

Il Metodo di Condorcet3 2 2 2 1

a 1 3 2 3 2

b 2 1 1 2 3

c 3 2 3 1 1

• b vince a per 6 a 4

• a e c sono alla pari, 5 a 5

• b vince c per 7 a 3

a b c

a - 0.4 0.5

b 0.6 - 0.7

c 0.5 0.3 -a

b

c

b è il vincitore secondo Condorcet,cioè il candidato che, nei confronti a due a due, vince tutti gli altri.

4 3 3

a 1 3 2

b 2 1 3

c 3 2 1

a b c

a

b

c

a

b

c

Non esiste un vincitore secondo Condorcet!

- 0.7 0.4

0.3 - 0.7

0.6 0.3 -

Il metodo di Condorcet non gode della proprietà di universalità

Sembrerebbe comunque che il vincitore secondo Condorcet, quando esiste, sia la migliore scelta.Ma è davvero così?

19 21 10 10 10 31a 2 6 4 4 4 2b 3 7 5 5 5 3c 4 8 6 6 6 4d 5 9 7 7 7 5e 6 1 1 8 8 7f 7 2 8 1 9 8g 8 3 9 9 1 9x 9 4 2 2 2 6y 1 5 3 3 3 1

x è il vincitore secondo Condorcet: vince tutti gli altri candidati con 51 voti contro 50

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 0 30 0 21 0 31 0 0 19y 50 0 30 0 21 0 0 0 0

Numero di votanti che, nel loro ordinamento di preferenze, pongono x ed y in posizione k

Il metodo di Borda

19 21 10 10 10 31a 2 6 4 4 4 2b 3 7 5 5 5 3c 4 8 6 6 6 4d 5 9 7 7 7 5e 6 1 1 8 8 7f 7 2 8 1 9 8g 8 3 9 9 1 9x 9 4 2 2 2 6y 1 5 3 3 3 1

Ciascun candidato riceve un punteggio pari alla somma dei suoi ranghi nei diversi ordinamenti. Vince il candidato che ha punteggio minimo.

346

447

548

649

522

603

684

501

245

Punteggi secondo Borda

Vince il candidato y, mentre x, il vincitore secondo Condorcet, risulta solamente quarto.

Mentre con Condorcet il vincitore è unico, ma potrebbe non esserci,con Borda il vincitore c’è sempre, ma potrebbe non essere unico.

4 2 2

a 1 2 2

b 2 1 1

c 3 3 4

d 4 4 3

12

12

26

30

a b

dc

a e b vincono a parimerito

C1 C2 C3

a 1 1 2

b 2 2 1

Una commissione formata da tre persone deve scegliere il responsabile di un progetto. Il candidato a è quello con più titoli ed esperienza. Un commissario, C3, preferisce però b, considerato solamente discreto dagli altri due.

C1 C2 C3

a 1 1 4

b 2 2 1

c 3 3 2

d 4 4 3

Il commissario C3 invita allora due nuovi candidati, c e d, del tutto privi di titoli ed esperienza, a presentare la propria candidatura, e, scorrettamente, mette nel suo ordinamento a al quarto posto.

4

5

65

8

11

1. La presenza di alternative irrilevanti può influenzare l’esito della votazione.2. Il metodo di Borda si presta a manipolazioni.

Il metodo delle eliminazioni successive

Si effettuano votazioni successive, ed a ciascuna iterazione viene eliminato il candidato che ha riportato il minore numero di voti

Votazioni: 1ª 2ª

a 2 2b 1 1

c 0 -

d 0 -

C1 C2 C3

a 1 1 4

b 2 2 1

c 3 3 2

d 4 4 3

a 1 1 5 5 4 4 3 5 2 5 4

b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2

c 3 4 1 1 5 5 4 3 5 1 5

d 4 5 4 4 1 1 5 4 4 2 1

e 5 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3

1ª 2ª 3ª 4ªa 2 3 4 7b 1 - - -c 3 3 4 4d 3 3 3 -e 2 2 - -

Votazioni:

Vince il candidato a, che però solo 2 votanti hanno come prima scelta, e solamente 4 sono quelli che lo mettono in una delle 3 prime posizioni.Viene invece eliminato b che appare gradito (in prima o seconda posizione) a quasi tutti i votanti.

Metodo delle eliminazioni successive:un paradosso

6 5 4 2

a 1 2 3 2

b 2 3 1 1

c 3 1 2 3

Siano questi i profili di voto risultanti da una indagine demoscopica ad una settimana dal votoIl vincitore risulterebbe essere a. Infatti al primo turno verrebbe eliminato c, che ha solamente 5 voti, mentre a e b ne hanno 6 ciascuno. Al secondo turno i 5 voti di c andrebbero ad a, che vincerebbe per 11 a 6.

In questa nuova situazione, al primo turno viene eliminato b, che ora prende 4 voti contro i 5 di c. Al secondo turno vince c con 9 voti contro 8.

Il metodo delle eliminazioni successive non è monotono!

6 5 4 2

a 1 2 3 1

b 2 3 1 2

c 3 1 2 3

Supponiamo ora che, nell’ultima settimana, l’efficace campagna elettorale di a faccia cambiare opinione ai 2 elettori che avevano espresso le preferenze . b ! a ! c

Consideriamo il seguente profilo di voto Votazioni:

1ª 2ª

a 6 11

b 6 6

c 5 -

6 5 4 2

a 1 2 3 2

b 2 3 1 1

c 3 1 2 3

6 5 4 2

a 1 2 3 1

b 2 3 1 2

c 3 1 2 3

1ª 2ª

a 8 8

b 4 -

c 5 9

Vince a

Vince c

Non vale la non manipolabilità

Consideriamo il seguente profilo di voto Votazioni: 1ª

a 8

b 9

8 5 4

a 1 2 2

b 2 1 1

8 5 4

a 1 3 3

b 3 2 2

c 2 1 1

1ª 2ª

a 8 8

b 0 -

c 9 9

L’introduzione di un terzo candidato cambia l’ordine relativo di a e b: non vale la proprietà di indipendenza

b ! a

c ! a ! b

Metodo delle eliminazioni successive: varianti

Metodo di Combs: si elimina ad ogni passo il candidato che ha ottenuto il massimo numero di ultime posizioni

a 1 1 5 5 4 4 3 5 2 5 4

b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2

c 3 4 1 1 5 5 4 3 5 1 5

d 4 5 4 4 1 1 5 4 4 2 1

e 5 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3

1ª 2ª 3ªa 4 - -b 0 1 3c 4 - -d 2 6 -e 1 4 8

Votazioni:

Metodo di Combs: un esempio

18 12 10 9 9 2

a 1 5 5 5 5 5

b 5 1 2 4 2 4

c 4 4 1 2 4 2

d 2 3 4 1 3 3

e 3 2 3 3 1 1

e è il vincitore

Le elezioni francesi del 2002Area politica Candidato % votiEstrema destra Le Pen 16.86

Mégret 2.34Centro destra Chirac 19.88

Bayrou 6.84Madelin 3.91Boutin 1.19

Socialisti Jospin 16.18Chevenement 5.33Taubira 2.32

Verdi Mamère 5.25Comunisti Hue 3.37Estrema sinistra Laguiller 5.72

Besancenot 4.25Gluckstein 0.47

Altri Saint-Josse 4.23Lepage 1.88

32.00%

32.44%

Voto di approvazioneOgni elettore vota per tutti quei candidati che ritiene degni di approvazione indipendentemente dal loro numero.

a 1 1 5 5 4 4 3 5 2 5 4

b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2

c 3 4 1 1 5 5 4 3 5 1 5

d 4 5 4 4 1 1 5 4 4 2 1

e 5 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3

Supponiamo che ciascun elettore decida di votare per le sue prime due scelte.

a b c d e

3 10 3 4 2Voti

Candidati

Se però gli elettori votassero anche per le loro terze scelte, allora b e e risulterebbero a pari merito con 10 voti ciascuno.

19 12 10 9 4 1

a 1 5 5 5 5 4

b 5 1 2 4 2 3

c 4 4 1 2 3 2

d 2 3 4 1 4 5

e 3 2 3 3 1 1

Condorcet d

Borda e

Eliminazioni successive c

maggioritario secco a

Un caso curioso:

• Universalità

• Transitività

• Unanimità

• Indipendenza

• Non dittatura

• Non manipolabilità

• Monotonicità

Proprietà desiderabili

Quando il numero di candidati è maggiore di 2, allora non esiste nessun metodo di aggregazione che soddisfi contemporaneamente le proprietà di universalità, unanimità, indipendenza e non dittatura.

Teorema di Arrow

Quando il numero di candidati è maggiore di 2, allora non esiste nessun metodo di aggregazione che soddisfi contemporaneamente le proprietà di universalità, non manipolabilità e non dittatura.

Teorema di Gibbard-Satterthwaite

Alternative al votoIl votare implica una attenzione soprattutto all’esito, cioè alla decisione finale che verrà presa. Si prescinde completamente dal processo che ha portato alla decisione, concentrandosi solamente sulle modalità tecniche per tradurre le opinioni che le parti si sono formate (non importa come) in una unica decisione finale.

Un approccio alternativo alle decisioni collettive è il cosiddetto metodo del consenso, in cui invece viene posta una notevole attenzione al processo che porta alla decisione, non inferiore a quella che viene posta sulla decisione stessa.

Il metodo del consensoNel metodo del consenso non può essere raggiunta alcuna decisione a meno che tutti i presenti non abbiano la deliberata volontà di accettarla. La decisione finale è il prodotto di uno sforzo di creatività compiuto da tutti, in cui la priorità è posta piuttosto sulla coesione e la stabilità del gruppo che sull’ansia di arrivare a delle veloci soluzioni e risposte.Si parte dall’idea che il problema del singolo membro del gruppo è un problema di tutto il gruppo, e che tutti vadano ascoltati prima di arrivare alla decisione.

Va osservato che, se le minoranze vengono ascoltate, non solo la decisione finale è spesso migliore di quella che la maggioranza potrebbe velocemente imporre, ma tale decisione ha più probabilità di ricevere un ampio supporto nel momento della sua attuazione.

Condizione essenziale affinché il consenso sia attuabile è che ogni singolo membro del gruppo si senta impegnato a farlo funzionare. È molto utile la presenza di un facilitatore del processo che sia deciso e imparziale.

Le fasi del metodo del consenso1. Definire e formulare in gruppo il problema da affrontare, cercando di

mantenere separati problemi e persone che li sollevano.

2. Generare in gruppo possibili decisioni, scrivendole su un cartellone, dando spazio a domande di chiarimento.

3. Discutere le proposte cercando di arrivare ad una lista contenente solamente quelle che si ritengono più significative.

4. Discutere i pro ed i contro di ciascuna proposta, garantendo a tutti la possibilità di contribuire alla discussione.

5. Se ci sono significativi disaccordi tornare al punto 3 oppure al 4. Altrimenti arrivare ad una decisione, eventualmente incorporando emendamenti minori.

6. Verificare il consenso.

Perché si arrivi alla decisione è necessario il consenso di tutti, anche se non deve necessariamente essere pieno. Sono accettabili atteggiamenti del tipo:

• “non vedo la necessità di tale soluzione, ma acconsento” (non supporto)

• “Penso sia un errore, ma posso acconsentire” (riserve personali)

• “Personalmente non posso fare questo, ma non impedirò ad altri di farlo per il gruppo” (stare a parte)

È esplicitamente previsto il diritto di veto, cioè chi non è d’accordo può bloccare la decisione. Naturalmente si tratta di un diritto che va esercitato con grande senso di responsabilità.