VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODOS DE REBANADAS

O DISCOS

VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODO DE ANILLOS O

ARANDELAS

VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION CON METODO DE CASQUETES

CILINDRICOS.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades

cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir

unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como

podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo

medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando

dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar

medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de

calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia

entre dos puntos usando la fórmula que deriva del teorema de Pitágoras:

Esta fórmula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero

antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que

la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su

derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas

tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos

de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su

gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud.

Tenemos i, donde es la partición correspondiente de [a,b]

tal que

a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

Con esto, siendo, estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s,

así: para:

Y

Podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:

Tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común

( x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:

Ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo

que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:

O equivalente:

Así, podemos decir que:

Que realmente es equivalente a:

Que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

Ejemplo:

Hallar la longitud del arco de curva función en el intervalo [0, 1].

UNIVERSIDAD DE CORDOBA

CALCULO II

PRESENTADO POR:

YULYANA TERESA LOPEZ CASTRO

RAFAEL RODRIGUEZ

FARID CARDENAS BLANCO

PRESENTADO A:

JUAN DAVID DAVID ORTEGA SANCHEZ

UNIVERSIDAD DE CORDOBA

LORICA-CORDOBA

2015