06 Solidos de Revolucion
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06 – Sólidos de revolución
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
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Sólidos de revolución
Son sólidos con simetría axial, en los que su geometría, propiedades mecánicas y cargas son independientes de θ.
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Ejemplos●Torres de depósito de agua
●Torres de enfriamiento●Muros cilíndricos●Pilotes cargados axialmente
●Silos●Cúpulas●Vasijas a presión●Fundaciones circulares●Problema de Boussinesq●Distribución de esfuerzos bajo una llanta en un pavimento
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Campo de deformaciones en coordenadas cilíndricas
0
0
Deformaciónradial
Deformacióncircunferencial
Deformaciónaxial
Deformacióntangencial
0
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Ley de Hooke
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Ley de Hooke en el caso axisimétrico
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Componentes de esfuerzos en coordenadas cilíndricas
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Fuerzas actuantes
Vector de fuerzas másicas [N/(m³ rad)]
Vector de fuerzas de superficie (debe tener simetría de revolución) [N/(m² rad)]Vector de fuerzas puntuales (debe tener simetría de revolución) [N/(m rad)]
El rad en el denominador solo es por consistencia dimensional (ver siguiente diapositiva)
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Principio de los trabajos virtuales
t
Haciendo uso de la simetría axial se integra sobre θ, para dar:
El 2π se podría eliminar pero se deja para recordar queq
i = N/(m rad) (es decir newtons por unidad de longitud
circunferencial)
r
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Elemento finito triangular de tres nodos
El elemento es un anillo de sección triangular, cuyas funciones de forma son las mismas del elemento bidimensional haciendoel cambio (x,y) por (r,z)
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Discretización del campo de desplazamientos (elem 3 nodos)
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Discretización del campo de deformaciones (elem 3 nodos)
La matriz de deformación del elemento ya no esconstante ya quedepende de r y z.
De hecho observe queexiste una singularidaden r=0
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Campo de esfuerzos
Observe que en el cálculo de los esfuerzos y las deformaciones en r=0 existe una indeterminación,
por lo tanto se debe calcular εθ en los puntos de
Gauss y luego se debe interpolar
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Matriz de rigidez del elemento triangular de 3 nodos
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K(e) analítica
Tarea: hacer un programa en MATLAB para calcular la matriz K(e) analíticamente, incluyendo la solución de la integral.
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Vector de fuerzas nodales equivalentes
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Vector de fuerzas nodales de equilibrio
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Elementos finitos isoparamétricos
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El cálculo con elementos isoparamétricos se realiza de forma similar a como se hizo en el caso de tensión y deformación plana.
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Resolver el problema de Boussinesq utilizando elementos finitos serendípitos rectangulares de 8 nodos. Comparar con la solución analítica.
TAREA
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