VOLUME4 Asservissements digitaux

7/27/2019 VOLUME4 Asservissements digitaux

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asservisSystmes

Volume 4

Asservissements digitaux

J.-M. Allenbach

Ecole dIngnieurs de Genve

Laboratoire dAutomati ueN 8

Edition 2006


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Jean-Marc Allenbach i 15-08-2003

TABLE DES MATIRES

11 RGLAGE DIGITAL

11.1 PRINCIPE11.1.1 Conduite de processus discontinue 111.1.2 Echantillonnage et quantification 211.1.3 Boucle de rglage 411.1.4 Cycles limites 6

11.2 RGLAGE PSEUDO-CONTINU11.2.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques 911.2.2 Rglage de processus rel: dimensionnements exprimentaux 1311.2.3 Rgulateurs programms 1411.2.4 Rglage en simulation 16

11.3 SYSTMES CHANTILLONNS11.3.1 Fonction de transfert et ples 1911.3.2 Rponse harmonique 2311.3.3 Rponse indicielle 24

11.4 STABILIT11.4.1 Dfinition 2511.4.2 Critres 26

11.5 RGULATEURS DISCRETS11.5.1 Rgulateurs classiques 3011.5.2 Autres rgulateurs 30

11.6 DIMENSIONNEMENT11.6.1 Choix d'un rgulateur classique 3111.6.2 Critre de Nyquist 3311.6.3 Critre de Bode 3411.6.4 Critre d'Evans 3511.6.5 Calcul des coefficients 3611.6.6 Rglage en simulation 3611.6.7 Autre imposition des zros 3611.6.8 Imposition des ples en boucle ferme 3711.6.9 Filtre de consigne et RST 38


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Jean-Marc Allenbach ii 15-08-2003

11.7 EXEMPLES 39

Annexes

11.A TRANSFORME EN Z11.A.1 Motivation 4911.A.2 Dfinition 4911.A.3 Transformation en z inverse 5311.A.4 Rgles de calcul en z 5511.A.5 Passage direct de s z 5511.A.6 Ples dans s et z 57

11.B CHOIX DE LA MTHODE11.B.1 Procdure 59

11.C RATIONALISATION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE11.C.1 But 6111.C.2 Taylor 6111.C.3 Pad 62

11.D EFFET FRQUENTIEL DE L'CHANTILONNAGE

11.D.1 Expos du problme 6311.D.2 Mesure corrective 65

11.E RAPPEL DE LA RGLAGE ANALOGIQUE11.E.1 Expos du principe 6711.E.2 Stabilit 6811.E.3 Dimensionnement de rgulateur 7011.E.4 Exemples 76


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Jean-Marc Allenbach iii 15-08-2003

BIBLIOGRAPHIE

[1] H.BHLER: Conception de systmes automatiques, PPUR, Lausanne.[2] H.BHLER:Electronique de rglage et commande, PPUR, Lausanne.[3] L.MARET:Rgulation automatique, PPUR, Lausanne.[4] H.BHLER: Systmes chantillonns I, PPUR, Lausanne.[5] H.BHLER: Systmes chantillonns II, PPUR, Lausanne.[6] J.NEYRINCK: Thorie des circuits et systmes, PPUR, Lausanne.[7] GILLE,DECAULNE ET PELEGRIN: Thorie et calcul des asservissements linaires,

Dunod, Paris.[8] M.ROSSI: Simulation d'un essieu moteur, EPFL/LEI, Lausanne.[9] O.FLLINGER:Regelungstechnik, Hthig.

[10] B.C.KUO:Automatic Control Systems , Prentice-Hall.[11] E.JUCKER:Equations fondamentales des micromoteurs courant continu avec rotor

sans fer, Portescap, La Chaux-de-Fonds.

[12] L.POVY:Identification de processus, Dunod, Paris.[13] L.MARET:Rgulation automatique 2, Eivd, Yverdon.[14] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme retard pur, EIG/LAE, Genve.[15] J.-M.ALLENBACH:Rglage de systme instable, EIG/LAE, Genve.[16] C.T.CHEN:Analog & Digital Control System Design, Saunders HBJ.[17] W.A.WOLOWICH:Automatic Control Systems, Saunders HBJ.[18] B.C.KUO:Digital Control Systems, Saunders HBJ.[19] M.RIVOIRE,J.-L.FERRIER: Cours d'automatique, Eyrolles, Paris.[20] R.LONGCHAMP: Commande numrique de systmes dynamiques , PPUR, Lausanne.[21] F. DE CARFORT,C.FOULARD:Asservissements linaires continus, Dunod, Paris.[22] P.NASLIN:Les rgimes variables dans les systmes linaires et non linaires, Dunod,

Paris.[23] W.OPPELT:Kleines Handbuch technischer Regelvorgnge, Verlag Chemie GMBH.[24] E.GROSCHEL:Regelungstechnik, R. Oldenburg, Mnchen et Wien.[25] F.MILSANT:Asservissements linaires analyse et synthse, Dunod, Paris.[26] H.GASSMANN:Einfhrung in die Regelungstechnik, Harri Deutsch, Thun[27] M.KUNT: Traitement numrique des signaux, PPUR, Lausanne.[28] DIVERS PROFESSEURS: Cours de mathmatique, EIG, Genve.[29] DIVERS PROFESSEURS:Electronique, EIG, Genve.

GLOSSAIRE

Symbole Description Page

ai Coefficient dezi du polynme dnominateur 21

bj Coefficient dezj du polynme numrateur 21

ci Rsidu ni 20e Ecart de rglage 8

e* Ecart de rglage discret (chantillonn et quantifi) 5D1max Dpassement maximal accept sur la rponse indicielle 29


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Jean-Marc Allenbach iv 15-08-2003

G0(z) Fonction de transfert chantillonne en boucle ouverte 31Geb(s) Fonction de transfert approxime continue du convertisseur D/A 10GR(s) Fonction de transfert continue du rgulateur analogique 11GR*(s) Fonction de transfert approxime continue du rgulateur

numrique11

GR*(z) Fonction de transfert chantillonne du rgulateur numrique 4Gs(s) Fonction de transfert continue du systme rgler 4Gs'(z) Fonction de transfert chantillonne du systme rgler travers

le convertisseur D/A

Kd Facteur de drivation discrte 10kd Facteur de drivation continue 10

Ki Facteur d'intgration discrte 10ki Facteur d'intgration continue 10

Kp Facteur de proportionnalit 10trmax Temps de rponse maximal accept 55T Priode d'chantillonnage 9Tc Temps de calcul du rgulateur 11TD Constante de temps de drivation (formesomme-produit) 13TDAC Petite constante de temps due la conversion D/A 10Ti Constante de temps d'intgration (formesomme ou quotient) 11TJ Constante de temps d'intgration (formesomme-produit) 13Tn Temps de corrlation d'intgrale 11TpR Petite constante de temps due l'algorithme de calcul du

rgulateur numrique11

Tv Temps de corrlation de drive 11

ucm Signal de commande 5ucm' Signal de commande en peigne de Dirac 5ucm* Valeur numrique du signal de commande 5uid Signal de commande idal (non limit) 15v Grandeur de perturbation 9w Grandeur de consigne 5

xR Intgrale discrte de l'cart de rglage 10y Grandeur de sortie (rgle) 5y* Grandeur de sortie quantifie et chantillonne 5z Variable discrte 5zpi ple chantillonn ni 19

zzj zro chantillonn nj 19M Marge de phase 27 Marge de stabilit relative 28 Marge de stabilit absolue 27 Partie relle d'un ple 25 Pulsation (partie imaginaire d'un ple) 231=1/T Pulsation pour laquelle la rponse harmonique a un module unit 34c=c/T Pulsation qui limite la pente de 1 et celle de 2 sur la rponse

harmonique en boucle ouverte34

Pulsation rduite 23


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Asservissement digitaux

Jean-Marc Allenbach EIG 111 31-10-2003

CHAPITRE 11: RGLAGE DIGITAL

11.1 PRINCIPE

11.2.1 Conduite discontinue de processus

On a trait jusqu'ici des systmes conduite continue, particulirement des systmes

dont on ne rgle qu'une seule grandeur physique avec une seule commande. Dans le cas de

systmes multiples, la structure se complexifie.

Fig. 11.1 Reprsentation schmatique d'une conduite continue de processus.

On reconnat dans le schma le processus, ses organes de commande analogiques

(OCM) ou binaires (AB) et ses organes de mesure analogiques (OM) ou binaires (CB). La

conduite est opre depuis les rgulateurs (R) et la logique de commande squentielle (LCS).

Le mme systme peut faire l'objet d'une conduite discontinue de processus (fig. 11.2).

Les fonctions de commande squentielle et de rglage sont assures par un calculateur de

processus qui accde aux organes de commande et de mesure via des interfaces d'entre et de

sortie et des convertisseurs digitalanalogique ou analogiquedigital. Que le calculateur soit

implant su un microcontrleur, un ordinateur personnel, un gros ordinateur ou processeur de

signal, les oprations de conduite sont ralises par traitement numrique. Pour des raisons de

prix, on n'implante parfois qu'un seul convertisseur analogiquedigital, accdant aux

grandeurs mesures par multiplexage. Le pupitre de commande (PC) permet l'oprateur de

modifier les valeurs de consigne, voire les paramtres des rgulateurs.

Les fonctions de commande et de rglage sont labores par des algorithmes

programms. L'excution du calcul a lieu des instants fixs: les instants d'chantillonnage.

On doit tenir compte des temps de slection de mesure, de conversion analogiquedigital,

d'excution de l'algorithme et de conversion digitalanalogique. Pareillement, un changementde variable logique ne sera pris en compte qu'au prochain instant d'chantillonnage.

OC1

M

OCM1 OM1

OB1

M MM

OCk

OBm

Signaux

analogiques

Signaux

logiquesM

OCMk

LCS

AB1

ABn

Rk

R1

CB1

OMk

CBj

M

M M

+

+

PROCESSUS


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Le temps qui spare deux instants d'chantillonnage successifs est appel priode

d'chantillonnage. Les diffrentes boucles de rglage peuvent avoir des priodes

d'chantillonnage diffrentes.

Fig. 11.2 Reprsentation schmatique d'une conduite discontinue de processus.

11.1.2 Echantillonnage et quantification

On peut reprsenter un chantillonneur par un contact qui s'ouvre et se ferme. Le

signal chantillonn est gal au signal continu pendant que le contact est ferm et nul le reste

du temps. Pour ne pas alourdir exagrment le traitement mathmatique, on s'arrangera pour

maintenir constante la priode d'chantillonnage.

Fig. 11.3 Echantillonnage.

M

OCM1OM1

OB1

M

OBm

Signaux

analogiques

Signaux

logiques

OCMk

AB1

ABn

CB1

OMk

CBj

M

M M

ADC

MUX

DAC1 DACk

unit d'entressorties

Calculateur de

processus

MMIProgramme

PROCESSUS

xe

t

xs

t

xe xs


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Dans un calculateur de processus, un signal ne varie pas de manire continue, il est

reprsent par un nombre fini de chiffres (p. ex. 16 bit, 3 digit, ...). La quantification peut tre

reprsente par un dispositif non linaire gradins.

Fig. 11.4 Quantification

Une conversion analogiquedigital combine les deux oprations.

Fig. 11.5 Conversion analogiquedigital: chantillonnage et quantification.

La quantification, par la non-linarit qu'elle introduit, rend difficile le traitement

mathmatique. Cependant, avec un choix de quantification suffisamment fine (< 5), on

pourra ngliger son effet dans les calculs. On pourra toutefois observer des oscillations entre

deux niveaux conscutifs: les cycles limites ( 11.1.4).

L'chantillonneur de la figure 11.3 ne peut pas tre trait simplement sur le plan

mathmatique: le temps de fermeture est non nul et le signal a le temps de varier. Pour pallier

cet inconvnient, on dfinit deux chantillonneurs qui reprsentent assez bien la ralit et

dont le traitement mathmatique ne rencontre pas d'obstacle majeur.

L'chantillonneur idal se ferme pendant un temps infiniment court. Le signal de sortie

est discret, sans nergie, et ne peut pas agir sur un systme concret. Ce modle convient bienpour dcrire l'acquisition d'une mesure par le calculateur de processus.

Fig. 11.6 Echantillonneur idal.

xe

t

xs

t

xe xs

xe

t

xs

t

xe xs

xe

t

xs

t

xe xs


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L'chantillonneur pulsations s'obtient partir de l'chantillonneur rel en faisant

tendre la largeur des impulsions vers zro en maintenant leur surface. On obtient en sortie une

suite d'impulsions de Dirac, dont la surface est gale la valeur du signal d'entre divise par

la priode d'chantillonnage.

Fig. 11.7 Echantillonneur pulsations.

Ce modle convient pour un signal d'entre continu ou discret, il convient bien pour

exprimer la sortie du calculateur de processus.

Entre deux rafrachissements du contenu du registre d'un convertisseur digital

analogique, la sortie analogique reste constante. Pour exprimer cette proprit, on dfinit

l'lment de maintien, dont la valeur pendant une priode d'chantillonnage est gale la

surface de l'impulsion de Dirac reue en dbut de priode.

Fig. 11.8 Elment de maintien.

La mise en cascade d'un chantillonneur pulsations et d'un lment de maintien estun bon modle d'un convertisseur digitalanalogique, appel aussi chantillonneur-bloqueur.

11.1.3 Boucle de rglage

Les modles dvelopps au paragraphe prcdent permettent d'expliciter tous les

lments d'une boucle de rglage assure par calculateur de processus (fig. 11.9). Le systme

rgler, dont les signaux sont des fonctions continues du temps, est modlis par une fonction

de transfert continue Gs(s) (bloc 5). L'algorithme de calcul du rgulateur, est modlis par une

fonction de transfert discrte G*R(z) (bloc 2). Le convertisseur analogiquedigital (bloc 1) est

modlis par un chantillonneur idal et le convertisseur digitalanalogique (blocs 3 & 4) est

modlis par un chantillonneur-bloqueur.

xe xs

xe

t

xs

t

xe

t

xe xs

xs

t


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Fig.

11.9

Bouclederglagechant

illonn

w

y

ucm

u*cm

u'cm

e*

#

GR*(z)

Gs(s)

w*

y*

1

2

3

4

5

w

t

w

*

t

y

*

t

u*cm

tucm

t

ucm

t

y

t


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Dans la boucle de rglage apparaissent deux variables abstraites: s pour l'expression de la

fonction de transfert du systme rgler et zpour celle du rgulateur digital. Pour dimen-

sionner le rgulateur ou analyser le comportement dynamique du systme, il faut choisir

(annexe 11B) une des variables abstraites pour effectuer les calculs, puis revenir le cas

chant dans la variable concrte temps.

Ou bien on calcule tout dans l'espace s, considrant que les instants d'chantillonnage sontsuffisamment rapproch pour qu'on puisse assimiler les signaux chantillonns des

signaux continus (section 11.2). Dans ce cas, il faudra tablir des fonctions de transfert

approches pour les blocs 2 4. On pourra alors largement appliquer les mthodes de

dimensionnement et de calculs vues au chapitres 6 8.

Ou bien on calcule tout dans l'espace z, aprs avoir traduit dans l'espace zla fonction detransfert du bloc 5. Il faudra transporter dans l'espace zles critres de dimensionnement

tablis dans l'espace s (sections 11.3 11.6).

11.1.4 Cycles limites

La dimension finie des grandeurs digitales provoque une quantification ( 11.1.2) qui

intervient chaque point d'un circuit de rglage o se produit une conversion. Dans un

schma de rglage, on peut reprsenter la quantification par un bloc "fonction non linaire

gradins"(fig. 11.4).

Fig. 11.10 Circuit de rglage avec quantifications explicites.

Souvent, c'est la quantification est la plus grossire dans la conversion analogique-

digital, ce qui permet de ngliger l'effet de la quantification dans la conversion digital-

analogique. On se propose sans dmonstration mathmatique rigoureuse de mettre en

vidence les effets de la quantification et de l'chantillonnage sur le comportement dynamique

d'un systme rgl comme celui reprsent la figure 11.11. Pour faciliter le raisonnement,

on a choisi un simple rgulateurRproportionnel ainsi qu'un organe de commande OCM idalqui n'introduit pas de constante de temps, mais se content d'amplifier le signal reu. Le

systme rgler S est d'ordre 3 ou 4 sans qu'on le prcise explicitement. On tudiera lecomportement dynamique de ce systme pour une consigne constante avec comme condition

initiale une cart de rglage non nul. Pour une description plus approfondie de ces phno-

mnes, on se reportera des ouvrages spcialiss [1].

w

v

R OCM S

D/A

A/D

#

+u#cm ucm u


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Fig. 11.11 Circuit de rglage avec la quantification la plus critique.

Fig. 11.12 Comportement dynamique et formation des cycles limites. (Pourassister au dveloppement de ce dia-

gramme temporel, une animation pas--pas PowerPointest accessible depuis la page htmlprcdente)

w

v

R OCM S

A/D

#

+ ucm u

y

y#

w

u

yq

TTc

t


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Le quadrillage de la figure 11.12 exprime horizontalement les intervalles TE entre ins-

tants d'chantillonnage et verticalement les pas de quantification yq correspondant la varia-tion du bit le moins significatif de la conversion. A l'instant zro, la valeur initiale de la sortie

y est arrondie au niveau de quantification le plus proche donne la grandeur de sortie chantil-

lonney#[0]. On constate que l'cart de rglage initial vaut un pas de quantification. Le coef-

ficient de proportionnalit du rgulateur et celui de l'organe de commande dfinissent la va-leur de commande u[0+Tc] dont le changement intervient un temps de calcul plus tard. Le

systme ragit cette nouvelle valeur de commande selon son comportement dynamique

propre qu'on observe par la grandeury(t). A l'instant d'chantillonnage, cette grandeur est de

nouveau mesure et quantifie:y#[1]. On constate que l'cart de rglage nul. Le systme ragit

la va-leur de commande nulle selon son comportement dynamique. Et ainsi de suite pour

les ins-tants d'chantillonnage suivants. On observe des oscillations autour de la valeur de

consigne qu'on appelle cycles limites ou encore bruit de quantification. On peut citer deux

causes:

Des variations de la grandeur de sortiey(t) plus faibles qu'un pas de quantification ne sontpas rpercutes sur la valeur chantillonne y#[k]. Pour des variations de l'ordre de

grandeur du pas de quantification, le systme rgl se comporte comme un rglage tout-ou-

rien au niveau microscopique du bit.

Entre deux instants d'chantillonnage, les variations de la grandeur de sortie y(t) ne sontpas prises en compte et la grandeur de commande reste constante. Le systme rgl se

comporte comme un systme en boucle ouverte.

Souvent, le calcul se fait sur un nombre de bits plus importants que la conversion. La

valeur de consigne peut se superposer exactement un niveau de quantification comme dans

l'exemple tudi (fig. 11.13b). Elle peut aussi se trouver mi-distance entre deux niveaux

(fig. 11.13c) ou en un point quelconque (fig. 11.13a). Selon le cas de figure, les oscillations

pourront porter sur deux voire trois niveaux de quantification, et leur priodicit sur unnombre diffrent de priodes d'chantillonnage.

a b c

Fig. 11.13 Ecart de rglage et cart de rglage quantifi.

e# e# e#

e e e

yq

e#0


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Jean-Marc Allenbach EIG 119 15082003

11.2 RGLAGE PSEUDO-CONTINU

11.2.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques

Le dimensionnement pseudo-continu d'un rgulateur discret a ceci d'intressant qu'on

peut lui appliquer moyennant certaines adaptations les rgles de dimensionnement tabliespour les rgulateurs continus (chap. 8). On se doute bien qu'un tel calcul ne peut tre valable

que si l'chantillonnage est suffisamment rapide par rapport au systme pour qu'on puisse

ngliger ses effets. On a vu au chapitre 8 qu'il est judicieux de classer les constantes de temps

du systme rgler en constantes de temps dominantes qu'on cherche compenser par le

numrateur du rgulateur et petites constantes de temps qui sont de faible influence sur le

comportement dynamique du systme. On peut dfinir la priode d'chantillonnage T

maximale en fonction de TDoMin la plus petite des constantes de temps dominantes.

TT

DoMin

2

(11.01)

Par cette approche, on obtient partir du circuit de rglage de la figure 11.9 un circuit

approxim par un modle purement continu dont tous les blocs sont exprims en fonction de

la variable s.

Fig. 11.14 Systme chantillonn boucl dans un modle pseudo-continu.

Si le systme rgler est connu par sa fonction de transfert continue Gs(s), il faut

tablir une fonction de transfert continue pour chacun des autres blocs de manire

reprsenter au mieux la ralit. L'chantillonneur bloqueur est un bon modle de la

conversion digitale-analogique. On procdera par tape en calculant d'abord la fonction de

transfert de l'lment de maintien recevant une impulsion de Dirac de surface u0.

ucm'(t) = u0(t) (11.02)

Selon la dfinition ( 11.1.3), le signal de sortie est une fonction crneau.

ucm(t) = u0(t) u0(t T) (11.03)

6 74444 84444

1 24444444444 34444444444

G so ( )

G zR ( )

G ssv( )

G ss ( )

w

yyu

yv

ucmu*cm u'cme+

v

+

+

#


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Le quotient de la sortie sur l'entre, exprim dans l'espace s, dfinit la fonction de transfert.

( )G se

s

sT

m = 1

(11.04)

On obtient une fonction non rationnelle, ce qui nous empche d'appliquer un certain nombre

de mthodes de calcul bien pratiques tel le dimensionnement de Bode. On va doncl'approximer par une fonction rationnelle. Au dveloppement limit d'ordre 1 de la fonction

exponentielle, on lui prfrera l'approximation de Pad dont la validit s'tend sur une plus

large plage de pulsation (Annexe 11.C).

ex

xx

+

1 05

1 05

.

.(11.05)

On peut injecter cette approximation dans (11.04).

( )G s

sT

sT

sm

+1

1 0 5

1 0 5

.

.(11.06)

( )G sT

sTm

+1 0 5.(11.07)

On ne dmontrera pas ici la fonction de transfert qu'il faut attribuer l'chantillonneur

pour qu'il sorte le signal ucm' de la relation (11.02) lorsqu'il est excit par un nombre u0 [4].

( )G sTe

1

(11.08)

On en dduit que l'chantillonneur-bloqueur, ou si on prfre le convertisseur D/A,

introduit simplement une petite constante de temps supplmentaire dans le circuit de rglage.

( )G s G s G ssT

T T

eb e mDAC

DACavec

( ) ( )

.

= +

=

1

1

0 5

(11.09)

Pour que le circuit de rglage soit entirement dtermin, il faut encore calculer la

fonction de transfert du rgulateur. On va le faire pour un PID sur la base de son quation

temporelle (7.32) dans laquelle les constantes sont dsignes de faon lgrement diffrente.

( )u t k e t k e d k de t

dt

t

cm p i d= + +( ) ( )( )

0

(11.10)

Traduite dans le temps discret, l'intgration temporelle devient somme et la drive

diffrence. Pour allger l'criture, on omet l'exposant *.

u k K e k K e j K e k e k

j

k

cm p i d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + =

1

1 (11.11)

Pour viter de calculer chaque instant d'chantillonnage une somme de ktermes, avec pour

corollaire la rservation de kplaces mmoire, on prfre avoir recours au calcul rcursif en

dfinissant une variable auxiliaire xR, qui est la composante intgrale du rgulateur. Cela

permet d'crire diffremment (11.11).

x k K e j x k K e kj

k

R i R i[ ] [ ] [ ] [ ]= = +=1 1 (11.12)


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u k K e k x k K e k e k cm p R d[ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ])= + + 1 (11.13)

Si on traduit dans l'espace de Laplace les relations (11.12) et (11.13), on peut calculer la

fonction de transfert.

R s e R s K E ssT( ) ( ) ( )= + i (11.14)

U s K E s R s K E s e E ssT( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))= + + p d (11.15)

R sK

eE s

sT( ) ( )=

i

1(11.16)

U s K E sK

eE s K e E s

sTsT( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

+

pi

d1

1 (11.17)

Le quotient de la sortie sur l'entre donne la fonction de transfert.

G s KK

eK e

sTsT

R pi

d* ( ) ( )= +

+

11 (11.18)

La fonction n'est pas rationnelle, on a ici encore recours l'approximation de Pad.

G s K s T Ks T

K s Ts TR p

id* ( )

( . ).

+ + ++

1 0 51 0 5

(11.19)

Plutt que qu'une somme de terme, on prfre la fonction de transfert en quotient de

polynmes.

G s

s TK K

Ks T

K K K

K

sT

Ks T

R

p i

i

d p i

i

i

* ( )

. .

( . )

=

++

++ +

+

10 5 0 25

1 0 5

2 2

(11.20)

En ralit, le calcul de ucm[k] par un processeur ncessite un temps de calcul Tc, qu'on peut

traduire par un retard pur.

G s

s TK K

Ks T

K K K

K

sT

Ks T

e sTR

p i

i

d p i

i

i

c* ( )

. .

( . )

=

++

++ +

+

1

0 5 0 25

1 0 5

2 2

(11.21)

On approxime par une fonction rationnelle; Tc tant trs petit, on se contente du dvelop-

pement limit d'ordre 1.

G s

s TK K

Ks T

K K K

K

sT

Ks T s T

R

p i

i

d p i

i

ic

* ( )

. .

( . )( )

++

++ +

+ +

10 5 0 25

1 0 5 1

2 2

(11.22)

On a tabli au chapitre 7 la fonction de transfert d'un rgulateur analogique.

G ss T s T

s T

s T T s T T

s TRn v

i

n v n v

i( )

( )( ) ( )=

+ +=

+ + +1 1 1 2(11.23)

Si les numrateurs des deux rgulateurs de construction diffrente sont du mme ordre, le

numrateur du systme discret est plus lev: il y a bien intgration pure, mais multiplie par

deux cellules du premier ordre petites constantes de temps: celle introduite par l'algorithme

de calcul TpR (qui vaut 0.5 Tpour le PID) et le temps de calcul Tc proprement dit. On peut

construire GR*(s) la fonction de transfert du rgulateur discret partir de GR(s) celle durgulateur analogique.


18/84



G s G ss T s TR R pR c

* ( ) ( )=+ +

1

1

1

1(11.24)

En comparant (11.22) et (11.23) la lumire de (11.24), on peut identifier les termes.

TT

K

T T TK K

K

T T TK K K

K

i

i

n vp i

i

n vd p i

i

=

+ =+

=+ +

20 5 0 25. .

} (11.25)

On peut tablir la fonction de transfert en boucle ouverte.

G s G s G s G s G ss T s T s T

G s01

1 1

1

1( ) * ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )= =

+ + +R eb s R pR c DACs (11.26)

La relation (11.26) montre que pour un rglage pseudo-continu tout se passe

comme si on avait un rgulateur continu GR(s) qui agisse sur un systme rgler qui est le

processus proprement dit Gs(s) multipli par trois cellules du premier ordre. Si on

dimensionne un rgulateur continu l'aide d'une petite constante de temps quivalente Tpe, on

utilise une autre petite constante de temps quivalente TpE pour dimensionner un rgulateur

discret par mthode pseudo-continue.

T T T T T pE pe pR DAC c= + + + (11.27)

On peut donc dimensionnerTn et Tv en compensant les constantes de temps dominantes et Ti

d'aprs TpE et le critre de la marge de phase (Nyquist) du rapport de pulsation (Bode) ou de la

marge de stabilit relative (Evans) (sect. 8.3). On peut aussi dimensionnerTn , Tv et Ti par lamthode d'Evans (sect. 8.4). On calcule alors Kp, Kd et Ki de la relation (11.28), tablie

partir de (11.25).

KT

T

KT T T

T

T T

TK

KT T

T T

T T T

T

T T

T T

T T

T

T

T

T TT T

K K

ii

pn v

i

n v

ii

dn v

i

n v

i

n v

i

n v

i i

n v

i

p i

=

=+

=+

= +

= +

+

=

2

4 2 4

2 4

( ) } (11.28)

La constante de temps TpRdpend du type de rgulateur utilis.

Rgulateur P PI PD PID

TpR 0 0 0.5 T 0.5 T

Fig. 11.15 Petite constante de temps due l'algorithme de calcul du rgulateur.


19/84



Pour les autres types de rgulateurs, on peut faire le mme calcul qu'avec les quations

(11.11) (11.22). Le rsultat de ces calculs est rsum au tableau 11.16.

Rgulateur GR*(s) Ki Kp Kd

P kp kp

I1 0 5+ s T

sT

.

i

T

Ti

PI1 + s T

sT

n

i

T

Ti

T T

T

n

i

05.

PD k

s T

s Tpv1

1 0 5

+

+ . kp k

T T

Tpv

i

05.

PID( )( )

( . )

1 1

1 0 5

+ +

+

s T s T

sT s T

n v

i

T

Ti

T T T

T

n v

i

+

T T

T T

T T T

T

n v

i

n v

i

+ 2

4

( )

Fig. 11.16 Principaux rgulateurs discrets et leur approximation pseudo-continue.

11.2.2 Rglage de processus rel: dimensionnements exprimentaux

Lorsqu'on ne connat pas la fonction de transfert du systme rgler, on dimensionne

le rgulateur sur la base d'une mesure typique (section 8.2).

Pour les critres de Ziegler-Nichols ou Chien-Hroner-Reswick, on corrige le tableau

de dimensionnement sans changer le type de mesure sur l'installation relle.

G s Ks T

s TR PJ

D( ) ( )= + +11

(11.29)

Rgulateur KP TJ TD

A B A B A&B

PT

T T

g

u +

TT

T

+u

g3,0 0

PITT

T

+u

g9,0

TT

T

+u

g35,0 33 05. ( . )T Tu + g2,1 T 0

PIDTT

T

+u

g2,1

TT

T

+u

g6,0 2 05( . )T Tu + gT 05 05. ( . )T Tu +

Fig. 11.17 Dimensionnement pseudo-continu, A : Ziegler-Nichols, B : Chien-Hroner-Reswick.


20/84



De la relation (11.29), on tire la valeur du signal de commande l'instant t= kT.

( )u kT K e kT K

Te d K T

de kT

dt

kT

cm PP

JP D= + +( ) ( )

( )

0

(11.30)

On dduit le signal discret en approximant explicitement l'intgrale par une somme de

rectangle de largeurTet la drive par la diffrence entre deux points successifs divise parT.

u k K e k K

TT e j K T

e k e k

Tj

k

cm PP

JP D[ ] [ ] [ ]

( [ ] [ ])= + +

=

1

1(11.31)

Fig. 11.18 Signal avec approximation de son intgrale et de sa drive en k.

En identifiant avec (11.11), on dduit comment calculerKp, Kd et Ki d'aprs lesrsultats du tableau 11.17.

K K

K KT

T

K KT

T

p P

i PJ

d PD

=

=

=

(11.32)

11.2.3 Rgulateurs programms

Sur la base de (11.12) et (11.13), on peut crire une forme qui se programme mieux.

u k K K K e k x k K e k cm p i d R d[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]= + + + 1 1 (11.33)

On en tire un algorithme de programmation en notation simplifie.

1 lire y2 e = w y calcul de l'cart de rglage3 ucm =xR + (Kp + Ki + Kd)e Kd e1 calcul du signal de commande4 sortirucm5 xR =xR + Kie mise jour de la composante intgrale prcdente

6 e1 = e mise jour de l'cart de rglage prcdent7 fin

e(t)

d

d

e kT

t

( )

t

ekT

( )d 0


21/84



Cet algorithme sera parcouru chaque instant d'chantillonnage. Les constantes Kp,Kd et Ki

devront tre stockes en mmoire non volatile et les variables e1 etxRdevront tre initialises

zro l'enclenchement de l'installation.

On peut traduire cet algorithme sous forme de schma-bloc, dans lequel le retard d'une

priode d'chantillonnage est reprsente par l'oprateur z1

(Voir Annexe 11.A); on adsign parKpid la somme de coefficientsKp +Ki +Kd.

{ }x k z x k[ ] [ ] = 1 1 (11.34)

Comme un rgulateur continu, un rgulateur discret peut tre muni d'une limitation du signal

de commande. Comme en continu, on prendra garde viter que la composant intgrale ne

sature pendant le temps de limitation, ce qui provoquerait un retard d'action au moment du

changement de signe de l'cart de rglage: blocage la composante intgrale pendant ce temps

par dispositifantiwindup.

S6

S5S4

S3S2

S1

Limitation

1/Kpid

G4

KdG3

KpidG2

Ki

G1z

1

D2

z

1

D1

Fig. 11.19 Diagramme structurel d'un rgulateur PID discret avec limitation et correction dela composante intgrale.

On doit encore complter l'algorithme par la limitation du signal de commande idal.

1 lire y2 e = w y calcul de l'cart de rglage3 uid =xR + (Kp + Ki + Kd)e Kd e1 calcul du signal de commande idal4 si uid > umax calcul de la limitation5 alors ucm = umax6 sinon si uid < umin7 alors ucm = umin8 sinon ucm =uid9 sortirucm10 elim = e (uid ucm )/(Kp + Ki + Kd) dispositifantiwindup11 xR =xR + Kielim mise jour de la composante intgrale prcdente

12 e1 = e mise jour de l'cart de rglage prcdent13 fin

elim[k]

e[k]

e[k-1]

w[k]

y[k]

uid[k] ucm[k]

xR[k]

xR[k+1]


22/84



On peut se demander s'il est vraiment lgitime de calculer de manire continue un

systme chantillonn. Pour vrifier la validit de la mthode, on a compar sur la figure

11.20 les valeurs des coefficients d'un rgulateur PI discret obtenues par dimensionnement

chantillonn trait continu (voir section 11.6) et par dimensionnement pseudo-continu

trait interrompu avec un systme rgler du second ordre.

Fig. 11.20 Coefficients d'un rgulateur PI discret en fonction de T la prioded'chantillonnage rapporte T1 la constante de temps dominante du systme rgler. [4]

Mthode: pseudo-continue chantillonne.

11.2.4 Rgulateurs en simulation numrique

Avant d'appliquer un rglage sur une installation, il est bon de vrifier le

dimensionnement en simulation. Le langage MATLAB, et son diteur de schma-blocs

SIMULINK se prtent trs bien cet usage. Sous SIMULINK, on peut crer un rgulateur en

copiant simplement le schma de la figure 11.19. On peut aussi utiliser des blocs tout faits eny injectant les coefficients du rgulateurs. Ces blocs sont de deux types, qui correspondent

aux deux formes d'criture des fonctions de transfert sous MATLAB: Zero-Pole et TransferFcn.

Du schma de la figure 11.19, on peut exprimer la fonction de transfert en zd'unrgulateur PID discret.

G z KK

z

K

zPID pidi d

* ( ) = +

1

(11.35)

On peut aussi l'crire comme quotient de polynmes (voir aussi 11.5.1).

G z K z K K z Kz zPID

pid p d d* ( ) ( )

( )= + + +

2

21

(11.36)


23/84



Il s'agit donc d'un quotient de deux polynmes, chacun de degr deux.

Etudions les deux manires d'crire un quotient de polynmes de degr deux. Sous

SIMULINK le bloc Transfer Fcn correspond des polynmes dvelopps.

G zb z b z b

z z

PID2 1 0

* ( ) =+ +

2

2(11.37)

En MATLAB, on peut dfinir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des

polynmes.

num=[b2 b1 b0];den=[1 -1 0]; (11.38)Gpid=(num,den) (11.39)

Sous SIMULINK le bloc Zero-Pole correspond des polynmes factoriss.

G z Kz z z z

z zPID R 2

* ( )( )( )

( )=

+

1

1(11.40)

En MATLAB, on peut dfinir cette fonction de transfert par deux vecteurs des coefficients des

polynmes.

zro=[z1 z2];ple=[0 1];gain=Kr; (11.41)Gpid=(zro,ple,gain] (11.42)

Si on a calcul le rgulateur de manire analytique (11.23), on peut directement

calculer la forme Transfer Fcn (11.43) ou la forme Zero-Pole (11.44).

num

den

n v n v

i

n v

i

n v n v

i=

+ + + + +

=

[( ) ( )

]

[ ]

T T T T T T

T T

T T T

T T

T T T T T T

T T

2 2 22 4

4

4

2

2 4

4

1 1 0

(11.43)

zros

poles

gain

n v n v

i

n v n v

i

n v n v

i

=+

=

=+ + +

[( ) ( )

]

[ ]

( )

4 4

4

4 4

4

1 0

4 2

4

2 2

2

T T T T T T

T T

T T T T T T

T T

T T T T T T

T T

(11.44)

Si on a calcul le rgulateur de manire exprimentale (11.29), on peut directement

calculer la forme Transfer Fcn (11.45) ou la forme Zero-Pole (11.46).

num

den

PJ

DP

DP

D= + + +

=

[ ( ) ( ) ]

[ ]

KT

T

T

TK

T

TK

T

T1 1 2

1 1 0

(11.45)


24/84



zros

poles

gain

D D

J

D

D D

J

D

PJ

D

=+

+ +

+ +

+ +

=

= + +

[

( ) ( )

]

[ ]

( )

1 4 1 4

2 1

1 4 1 4

2 1

1 0

1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

KT

T

T

T

(11.46)

Enfin, si on a dj calcul les coefficientsKp,Kd etKi , les expressions sont beaucoup

plus immdiates, en particulier pour la forme Transfer Fcn. Pour la forme Zero-Pole, lesexpressions sont peine moins simples. On lit en (11.47) les valeurs insrer dans (11.38).

b K

b K K

b K K K K

0

1

2

2

=

= +

= + + =

d

p d

p d i pid

( ) (11.47)

On lit en (11.48) les valeurs insrer dans (11.41).

z

gain

1

p d p i d

pid

p d p i d

pid

pid

=+

=+ +

=

K K K K K

K

zK K K K K

K

K

2 4

2

2 4

2

2

2

2

(11.48)

On prendra garde bien respecter la syntaxe MATLAB, en particulier utiliser le point

dcimal et non la virgule qui sert de signe de sparation pour des variables diffrentes. Par

ailleurs, la forme requiert un nombre de chiffres significatifs assez lev (4) sous peine decomportement surprenant du l'apparition de zros conjugus complexes l o on attendait

des zros rels.

1.573(z-0.741)(z-0.472)

z(z-1)

Discrete

Zero-Pole

1.573z -1.908z+0.552

z -z2

Discrete

Transfer Fcn

Fig 11.21 Blocs SIMULINKpour rgulateur PID:Kp = 0.81 Ki = 0.55 Kd = 0.22 T= 0.15 [s].


25/84



11.3 SYSTMES CHANTILLONNS

11.3.1 Rglage de processus rel: dimensionnements analytiques

Lorsqu'on est en prsence d'un systme continu rgl par un rgulateur digital, on peut

dcrire l'ensemble du problme par l'outil mathmatique spcifique au temps discret: la trans-forme

en z(annexe 11.A). Comme on avait pour des systmes continus tabli des rela-tions en s sur la

base des quations diffrentielles, on tablira pour des systmes chan-tillonns des relations en

zsur la base des quations aux diffrences. Comme en continu, on tablira des fonctions de transfert

exprimant la relation entre signal de sortie et signal d'entre d'un bloc fonctionnel.

On se limite ici tudier deux cas:

La fonction de transfert chantillonne Gs'(z) pour un systme Gs(s) excit travers un

chantillonneur - bloqueur.

La fonction de transfert discrte Gs*(z) pour un rgulateur numrique excit travers un

chantillonneur idal.

Pour tous les autres cas dont le besoin ne se fait pas ressentir pour la suite de l'expos, on se

reportera des ouvrages plus fouills [4]. La fonction de transfert chantillonne se dfinit par

analogie avec la fonction de transfert continue.

S z G z E z ( ) ( ) ( )= (11.49)

Fig. 11.22 Systme continu avec chantillonneur pulsation.

Dans le cas d'un systme physique, sa fonction de transfert continue Gs(s) est souvent

connue. Pour calculer la fonction de transfert chantillonne, on veut viter de rechercher la fonction

du temps correspondante, de la discrtiser, puis d'en chercher la transforme en z. On lui prfre le

passage direct de s ztabli au 11.A.6. Les ples et zros continus tant des valeurs particulires

de s , on peut leur appliquer la dfinition (11.A09) pour dfinir les ples chantillonns zpi et les

zros chantillonnszzj .

z ep Tpi i= (11.50)

z ezTzjj= (11.51)

On se propose d'illustrer notre propos par l'exemple d'un filtre du deuxime ordre qu'on veut

chantillonner.

G ss T s T

( )( )( )

=+ +

1

1 11 2(11.52)

Pour pouvoir appliquer la rgle de calcul (11.A30), il faut d'abord crire la fonction de

transfert continue dans sa forme somme, aprs avoir mis en vidence les plespi = Ti-1.

G sT T s p s p

( )( )( )

=

1 1

1 2 1 2(11.53)

G ss ( )yu* u'


26/84



G sT T p p s p p p s p

( ) ( )=

1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 1 2 2(11.54)

On peut maintenant passer en z.

G z

T T p p

z

z z p p

z

z z

( ) ( )=

1 1 1

1 2 1 2 1 1 2p p2

(11.55)

avec z e z ep T p Tp p211 2= = (11.56)

On en tire la forme quotient.

))(()(

p21p21

p21p

zzzz

z

TT

zzzG

= (11.57)

Dans la pratique, on n'excite pas un systme concret par une suite d'impulsions de Dirac,

mais par une fonction escalier (11.1.2).

Fig. 11.23 Systme continu chantillonn travers un chantillonneur bloqueur (DAC).

La fonction du systme qui tient compte de l'lment de maintien peut tre calcule partir

de (11.04).

G s G s G se

sG s

sT

s m s s'( ) ( ) ( ) ( )= =

1

(11.58)

Le calcul n'est pas trivial, le produit n'tant pas conserv dans le passage de s z.

G z G z G z ( ) ( ) ( ) m s (11.59)

Pour faciliter le calcul, on dfinit Gi(s) l'intgrale de la fonction de transfert du systme, qu'on peut

aussi crire sous forme de somme.

G ss

G si s( ) ( )=1

G zi ( ) (11.60)

G sc

s pi

n

si

i( ) =

=

1

(11.61)

G ss

c

s p

c

p s s pi

n

i

ni

i

i

i

i i

( ) ( )=

=

= = 1 1 1

1 1

(11.62)

On applique le tableau des transformes (fig. 11.A03) pour calculer la fonction de transfert

chantillonne.

G zc

p

z

z

z

z z

c

p

z z

z z zi

n

i

n

ii

i pi

i

i

pi

pi( ) ( )

( )

( )( )=

=

= =

1 11

1

1(11.63)

On applique le thorme du retard cette fonction pour en tirerGs'(z).

( ) ( ) '( )1 =e G s G ssT i s G z zz

G zs i'( ) ( )= 1 (11.64)

G s' ( )s

1 24444 34444

G ss ( )yuu* u'


27/84



On peut tirer la rgle de calcul pour un systme command travers un convertisseur DAC modlis

par un chantillonneur bloqueur en injectant (11.63) dans (11.64).

G zz

z

c

p

z

z

z

z z

c

p

z

z zi

n

i

n

si

i pi

i

i pi

'( ) ( ) ( )=

=

= =

1

1

11

1 1

(11.65)

G zc

p

z

z zi

n

si

i

pi

pi'( )

( )

( )=

=

1

1(11.66)

Il faut relever que, pour une constante de temps Tk de Gs(s) infrieure T/5, le ple

chantillonn correspondant zpk est infrieur 10-2. On peut dans ce cas se simplifier le calcul de

Gs'(z) en ngligeant le terme "(1 + s Tk)" dans l'expression de Gs(s); cela est particuli-rement utile

lors d'un dimensionnement sans assistance d'ordinateur.

Fig. 11.24 Systme discret

Pour un systme purement numrique, on part de l'quation caractristique aux diffrences.

][*...]1[*

][*...]1[*][*][*

01n

01nn

nkyakya

nkubkubkubky

+++=

(11.67)

Ici encore le thorme du retard permet le passage dans l'espace z.

)(*...)(*

)(*...)(*)(*)(*

n0

11n

n0

11nn

zYzazYza

zUzbzUzbzUbzY

+++=(11.68)

On exprime la fonction de transfert discrte en appliquant (11.49).

)(*

)(*)(*

zU

zYzG = (11.69)

G zb b z b z

a z a z

* ( )...

...

=+ + +

+ + +

n n 11 n

n 1 n

0

1 01

(11.70)

Plutt que la forme dveloppe avec exposants ngatifs de z, on lui prfre souvent la forme

dveloppe avec exposants positifs.

G zb z b z b

z a z a* ( )

...

...=

+ + +

+ + +

nn

n 1n 1

nn

n 10

1 0

(11.71)

On ne signalera que les principales combinaisons de fonctions de transfert chantillonnes,

sans les dmontrer.

La fonction de transfert de deux systmes en srie, chantillonns par deux chantillonneurs

synchroniss, est le produit des fonctions de transfert de chaque systme.

G z( ) y*u*


28/84



Fig. 11.25 Systme continu chantillonn en srie avec un systme discret.

G z G z G z ( ) * ( ) ( )= a b (11.72)

La fonction de transfert d'un systme boucl se calcule comme en continu.

Fig. 11.26 Circuit de rglage chantillonn.

G zG z G z

G z G z cfR s

R s( )

* ( ) ' ( )

* ( ) '( )=

+1(11.73)

Pour calculer l'effet d'une perturbation, on calcule d'abord la sortie dans l'espace continu. La

fonction de transfert de perturbation a t obtenue par manipulation de blocs selon le chapitre 3.

Y s G s W s Y s G s V s( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )= +0 sv (11.74)

Fig. 11.27 Circuit de rglage chantillonn avec perturbation.

On note Yv(z) la traduction en z du signal de sortie de Gsv(s).

Yv(z) Gsv(s)V(s) (11.75)

Y zG z G z W z Y z

G z G z ( )

* ( ) '( ) ( ) ( )

* ( ) '( )=

+

+R s v

R s

1(11.76)

G s' ( )

s

1 24444 34444

G zR ( )

G ssv( )

G ss ( )

w

y

w*

y*

yuyv

ucmu*cm u'cme*+

v

+

+

y* G s' ( )s

1 24444 34444

G zR ( ) G ss ( )

w

y

w*

ucmu*cm u'cme*+

G za( ) G sb( )

u yy*a y'au*


29/84



11.3.2 Rponse harmonique chantillonne

La rponse harmonique continue a t dfinie comme la fonction de transfert continue dans

laquelle la variable s est purement imaginaire:j. On remplace donc s parj dans la dfinition de z

(11.A09).

z = ejT= ej (11.77)

z j= +cos sin (11.78)

Fig. 11.28 Variable ej dans le plan z.

On a introduit lapulsation rduite qui inclut la priode d'chantillonnage. Si, dans le plan

s, j dcrit l'axe imaginaire, on s'est content des valeurs positives pour le calcul de la rponse

harmonique en raison de la symtrie par rapport l'axe rel. Dans le plan zl'axe imaginaire est

envoy sur le cercle unit selon par la fonction complexe (11.77). En raison de la priodicit de cette

fonction, on a pas besoin de calculer jusqu' , mais on peut se limiter . Pour la mme raison

de symtrie des fonctions rationnelles en z, on se contente de calculer la rponse harmonique

chantillonne pour 0 .

G j G z z e

j( ) lim ( )

=

(11.79)

A titre d'exemple, on peut calculer la rponse harmonique chantillonne Tpour un filtre

RC continu actif du premier ordre.

G zz

z e T RC( )

/=

(11.80)

On obtient, en appliquant la dfinition, l'expression analytique de la rponse harmonique

chantillonne de ce filtre.

+

+=

sincos

sincos)(

/ je

jjG

RCT(11.81)

Il s'agit d'un demi-cercle suspendu l'axe rel. On relvera contrairement au cas continu que la

rponse harmonique chantillonne ne se termine pas l'origine, mais une valeur finie non nulle.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Plan z


30/84



Fig. 11.29 Rponse harmonique chantillonne d'un filtre pour T/RC = 0,3.

On peut aussi prendre comme exemple un filtre numrique du deuxime ordre.

G zb z b z

z a z a* ( ) =

+

+ +

2 2 12

1 0

(11.82)

G jb b j b b

a a j a* ( )

cos cos ( sin sin )

cos cos (sin sin )

=

+ + +

+ + + +2 1 2 1

1 0 1

2 2

2 2(11.83)

Fig. 11.30 Rponse harmonique discrte de (11.83): a0 = 0,75 a1 = 1 b1 = 1 et b2 = 0,25.

11.3.3 Rponse indicielle chantillonne

La rponse indicielle chantillonne H(z) est le produit de la fonction de transfert avec un

saut unit chantillonn.

H z E z G z( ) ( ) ( )= (11.84)

[k] H zz

zG z( ) ( )=

1(11.85)

-3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

0.5

0.8

=0

0.90.95

1

1.1

1.5

G*(j)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

G (j) =0

0.1

0.40.2

0.6

1

1.6

2


31/84


Jean-Marc Allenbach 1125 22-03-2005

11.4 STABILIT

11.4.1 Dfinition

Lorsqu'on a un systme chantillonn boucl, il est ncessaire de pouvoir valuer sa stabilit,

comme on sait le faire pour un systme continu. On va donc partir de ce qu'on connat en continu

pour le traduire en chantillonn.

Fig. 11.31 Circuit de rglage chantillonn.

On peut dterminer la stabilit d'un systme continu en boucle ferme par l'tude de sa

fonction de transfert Gf(s). On a vu au chapitre 6 qu'il est ncessaire que tous les ples pi de Gf(s)

soient partie relle ngative.

p ji i i iavec=


32/84



Fig. 11.33 Domaine de stabilit pour les ples continus et chantillonns.

11.4.2 Critres

On peut aussi, comme en continu, tablir des critres portant sur la rponse harmonique en

boucle ouverte G0(j) pour dterminer le comportement du systme asservi.

Fig. 11.34 Systme chantillonn en boucle ferme.

Critre de Nyquist: On trace dans le plan complexe la rponse harmonique chantillonneen boucle ouverte et on applique comme en continu le critre du revers par rapport au point

1 pour dterminer le comportement en boucle ferme.

Fig. 11.35 Diagramme de Nyquist chantillonn.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Go(j)

= 0 =

1

abc

Im Im

Re Re

stable instable

instable

stable

plans planz

1

G0(z)w k y[k]e* k

+


33/84



Dans la figure 11.35, le trac a correspond un systme stable en boucle ferme, le trac b

un systme en limite de stabilit et le trac c un systme instable. Un systme est stable si, en

parcourant la rponse harmonique pour des pulsations de 0 , le point 1 est laiss sur la

gauche.

Comme en continu, la marge de phase permettra de dterminer le dpassement D1 sur la

rponse indicielle.

M

M

M

=

=

45 16%

63 5%

76 0%

1

1

1

D

D

D

(11.90)

On prendra encore garde respecter une marge de gain AM assez confortable. (on rappelle

qu'il s'agit du nombre par lequel il faut multiplierG0 pour amener le systme en limite de stabilit).

AM > 2 5... (11.91)

Critre de Bode: par extension, on peut aussi appliquer ce critre en jouant sur le rapportde pulsations entre celle dfinie par un module unit de la rponse harmonique en boucle ouverte et

celle dfinie par la cassure entre la pente de 1 et celle de 2.

On dsire par rapport la stabilit dfinie ( 11.4.1) pouvoir tre plus prcis sur le

comportement dynamique.

Critre d'Evans: Dans le plan s, on a dfini des marges de stabilit absolue et relative. Ils'agit de les traduire dans le plan z.

Le temps de rponse maximal accept impose que tous les ples du systme asservi se

trouvent gauche d'une verticale dfinie par i.

p j yiy = (11.92)

Dans le plan z, cela correspond un cercle de rayon e Ti centr l'origine.

z e eT jyT yi= (11.93)

Ces deux limites sont dessines en traitill sur les figures 11.36 et 11.37. Les tronons

renforcs en trait gras (bleu) sont correspondantes dans les plan s et z.

Un dpassement de 5 % sur la rponse indicielle correspond une marge de stabilit relative

de = 45 dfinissant deux droites affines dans le plan s.

p jx = (11.94)


34/84



Dans le plan z, cela correspond une cardiode, ou plutt deux spirales symtriques par

rapport laxe rel (Figure 11.A.9).

z e xT jx = ( )1 (11.95)

Ces deux limites sont dessines en trait mixte sur la figure 11.36. Les parties renforces en trait gras

(rouge) sont correspondantes dans les plan s et z.

Fig. 11.36 Critre d'Evans dans les plans s et zpour un comportement optimal.

Un dpassement de 16 % sur la rponse indicielle correspond une marge de stabilit

relative de = 30 dfinissant deux droites affines dans le plan s.

zx

j xx = 3

(11.96)

Dans le plan z, cela correspond une cardiode.

z exT j

x = ( )

1

3 (11.97)

Ces deux limites sont dessines en trait gras sur la figure 11.37.

Tous les ples du systme devront donc se trouver dans la zone trame (jaune) limite parzx

et zy pour respecter les exigences de temps de rponse et de dpassement prescrites par le cahier

des charges.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z

ecliT

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

j/T

S

cli

cli


35/84



Fig. 11.37 Critre d'Evans dans les plans s et zpour un comportement unipriodique.

Pour viter tout dpassement, les ples continus doivent tre rels.

px = (11.98)

Dans le plan, cela correspond des nombres rels positifs infrieurs 1.

z e xTx = (11.99)

Plus gnralement, pour un dpassement maximal 0 % < D1max < 100 %, on a aussi des

droites affines.

pD

j xx = (ln[ max]

)1

(11.100)

z exT

Dj

x = (

ln)

max1

(11.101)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Z

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

j/T

S

cli

cli


36/84

Jean-Marc Allenbach 30 14/12/01

11. 5 REGULATEURS DISCRETS

11.5.1 Rgulateurs classiques

Les rgulateurs peuvent tre reprsents par une fonction de transfert chantillonne:

quotient de polynmes en z de degr 0 2. Leur expression dans le temps discret avait dj

t exprime au paragraphe 11.2.1, de mme que leurs algorithmes de calcul.

G zS z

R z

K z z

z z

zkk

p

phh

qR

R

* ( )( )

( )

( )

( )

= =

=

=

1

1

(11.102)

Pour les rgulateurs classiques, tantp que q ne peuvent prendre que les valeurs 0, 1 ou

2. Les valeurs dezph ne peuvent tre que 0 ou 1. On a rsum les rgulateurs classiques dans

un tableau, dans lequel on constate queR(z) est entirement dfini ds qu'on a choisi le type

de rgulateur.

Rgulateur R(z) S(z) b2 b1 b0

P 1 b0 KpI z1 b1z Ki PI z1 b1z+b0 Ki+Kp KpPID z(z1) b2z

2+b1z+b0 Ki+Kp+Kd (Kp+2Kd) Kd

PD z b1z+b0 Kp+Kd KdPD

2z b2z

2+b1z+b0 Kp+Kd+Kd2 (Kp+2Kd2) Kd2

Fig. 11.38 Rgulateurs classiques.

11.5.2 Autres rgulateurs

D'autres rgulateurs auront galement une fonction de transfert sous forme de quotient

de polynmes de degr non limit 2. Les rgulateurs RST sont de plus quips d'un filtre de

consigne Gfl.

G z

T z

S zfl *( )

( )

( )= (11.103)


37/84



11. 6 DIMENSIONNEMENT

11.6.1 Choix d'un rgulateur classique

Comme pour les rgulateurs continus, on choisit un rgulateur chantillonn d'aprs la

fonction de transfert du systme rgler, qui sera ici chantillonne avec lment de

maintien.

G zN z

D z

K z z

z zs

s

s

zjj

m

pii

n' ( )

( )

( )

( )

( )

= =

=

=

s1

1

(11.104)

L'ide matresse comme en continu est de compenser certains ples du systme

rglerzpi par les zroszzk du rgulateur classique. On observera un certain nombre de rgles:

on ne compense pas un ple dcrivant une intgration pure (1), on ne compense que les

ples dominants, et pas ceux de faible influence. Qu'entend-on parples dominants? On les

mettra en relation avec les ples continus. On peut ajouter encore le cas les trs petits ples,

qu'on peut simplifier dans le calcul manuel: on diviseNs(z) etDs(z) par (z zpi), en ngligeantle reste du numrateur.

Ples dominants compenser: 1 >zpi > 0,82 < = > 1/pi > 5T

Ples ne pas compenser: zpi < 0,82 < = > 1/pi < 5T

Ples simplifier: zpi < 6,7 10-3 < = > 1/pi < T/5

Ayant choisi les ples compenser, on a entirement dtermin le rgulateur,

l'exception deKR. D'aprs les relations (11.102) et (11.104), on peut exprimer la fonction detransfert en boucle ouverte et y appliquer les critres de stabilit vus la section 11.4. Les

tableaux 11.39 et 11.40 guident le bon choix du rgulateur.

G z G z G z K N z

D zR s00

0

( ) * ( ) ' ( )( )

( )= = R (11.105)

Systme rgler

sanscomportement intgral

aveccomportement intgral

plus petite constante detemps non compense

S(z) K D zR s ( ) KD z

zRs ( )

1 K

D z

z zR

s

pn

( )

ns = 1 PI P I

ns = 2 PID PD PI

ns = 3 PD2 PID

Fig. 11.39 Guide de choix de rgulateurs classiques.


38/84



G zN z

D zss

s

' ( )( )

( )=

deg[Ds(z)] = n

zpi>0,82 i = 0...k< n

k = 0 k =1 k= 2 k 3

zp1 1 zp1 1 zp2

zp1 = 1 zp2 = 1 zp3 = 1

P PD PD2

S(z) =KR S(z) = KR(zzp1) S(z) =KR(zzp1)(zzp2)

I PI PID

S(z) =KR S(z) = KR(zzp1) S(z) =KR(zzp1)(zzp2)

G0(z) = GR*(z) Gs(z)

choix de la

mthode

Rponse harmonique chantillonne Lieu des ples chantillonn

calcul deKR

Fig. 11.40 Dimensionnement dun rgulateur chantillonn.

Aprs avoir dtermin, G0(j), il ne reste donc qu' dterminerKR.


39/84



11.6.2 Critre de Nyquist

Comme dans le cas continu, le critre porte sur la rponse harmonique en boucle

ouverte pour dterminer la stabilit du systme rgl Gcf(z). Pour appliquer ce critre on

dfinit une fonctionF(j):

RKjGjF )()( 0 = (11.106)

On traceF() et on cherche son intersection la pulsationx avec la demi-droite

dfinie par la marge de phase M =x + 180, d'o on dtermineKR.

[ ] [ ]=

=

xjF

jFKR

)(argavec

)(1

x

x } (11.107)

On vrifie encore que, pour cette valeur de KR, on observe une marge de gain AM

suprieure 6 [dB] (facteur 2).

[ ] =

180)(argavec

5,0)(

1800

1800

jG

jG} (11.108)

On rappelle les valeurs de phase:

x 104 pour une rponse indicielle sans dpassement (D1 = 0 %)

x = 116,5 (~120) pour une rponse indicielle optimale (D1 = 5 %)

x = 135 pour une rponse indicielle unipriodique (D1 = 17 %)

Fig. 11.41 Exemple du critre de Nyquist pour comportement optimal (x = 120).

-1 -0.5 0 0.5-1

-0.5

0

0.5

arg(F(jx))

M

F(j)

G0(j)

|F(jx)|

AM


40/84



11.6.3 Critre de Bode

Comme dans le cas continu, il existe une relation entre le rapport c/1 et ledpassementD1 sur la rponse indicielle de Gcf(z).

Fig. 11.42 Rponse harmonique continue (module).

Dans le cas prsent, la forme de la rponse harmonique chantillonne compose de

nombres complexes de la forme coszpi + j sin ne permet pas un trac manuel simplepar segments de droites. On aura recours une aide informatique. La difficult est de

dterminerc. On sait que la phase peut tre approxime 90 lorsque la pente du module

vaut 1 et 180 lorsqu'elle vaut 2; c, on peut l'admettre 135 (voir vol. 1, chap. 3 et

4). On lirac sur le graphe de phase lorsque celle-ci vaut 135. On dtermine1 alorsd'aprs le comportement dynamique recherch:

c/1 =c/1 4 pour une rponse indicielle sans dpassement (D1 = 0%)

c/1 =c/1 = 2 pour une rponse indicielle optimale (D1 = 5%)

c/1 =c/1 = 1 pour une rponse indicielle unipriodique (D1 = 17%).

Il reste lire la valeur du module pour 1, ce qui permet de calculerKR.

KFR

= 1( )1

(11.109)

100

101

102

103

104

-300

-200

-100

0

Fr uence rad/s

Phase[]

( 73.7846 , -135 )Wc

100

101

102

103

10410

-10

100

Fr quence [rad/s]

Amplitude

Diagramme de Bode : Go(z)= ----------------------------------------------------------------------2*5.0337e-005*(z+0.98842)(z-0.96923)*(z-0.9963)

( 36.8924 , 0.29678 )W1

Fig. 11.43 Exemple du critre de Bode pour comportement optimal.

log|G(j)|

1 =1

Tc

c

T=

log

|Go(j)|


41/84



11.6.4 Critre d'Evans

Comme dans le cas continu, on peut exprimer l'quation (11.110) des ples en boucle

ferme partir de la fonction de transfert en boucle ouverte (11.105).

0 0 0= +K N z D zR ( ) ( ) (11.110)

On doit tracer le lieu des ples et le superposer la zone du plan complexe limite

par le contour d'Evans dans laquelle tous les ples doivent se trouver pour que le cahier des

charges soit respect (fig.11.36 et 11.37). Les intersections du lieu des ples avec le contour

d'Evans donnent les valeurs extrmes de KR permettant le respect du cahier des charges. Le

trac du lieu et la recherche des intersections sont toutefois plus ardus que dans le plan

continu, ce qui impose l'aide de mthodes numriques programmes. On choisira ensuite

librement une valeur deKRcomprise entre les extrmas calculs.

Fig. 11.44 Critre d'Evans.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

KRmax

KRmin

KR


42/84



11.6.5 Calcul des coefficients du rgulateur

Le dimensionnement des paragraphes prcdents donne le rgulateur sous forme de

zros de ples et de gain. L'algorithme programm l'exprime par des coef-ficients (sect.

11.2), mis en vidence au tableau 11.38. L'exemple pour un PID est prsent ci-dessous, pour

les autres rgulateurs, on procdera de la mme manire:

S z K K K z K K z K K z z z z p p( ) ( ) ( ) ( )( )= + + + + = i p d p d d R 2

1 22 (11.111)

K K z z

K K z z K K z z z z

K K K K K z z z z

p p

p p p p p p

p p p p

d R

p R d R

i R p d R

=

= + = +

= = +

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

1

( ) ( )

( )

} (11.112)

11.6.6 Rgulateurs en simulation

On peut introduire les rgulateurs dans une simulation MATLAB. Pour la forme Zero-Pole, c'est immdiat.

zros

poles

gain

p1 p2

R

=

=

=

[ ]

[ ]

z z

K

0 1 (11.113)

Pour la forme Transfer Fcn , le calcul reste simple.

num

den

R R p1 p2 R p1 p2= +

=

[ * ( ) * * )]

[ ]

K K z z K z z

1 1 0(11.114)

11.6.7 Autre imposition des zros

Plutt que de compenser les ples dominants diffrents de 1 du systme rgler,

on peut aussi imposer selon d'autre critres les zros du rgulateur, par exemple en

privilgiant le comportement dynamique face en une perturbation en s'inspirant des rflexions

des paragraphes 8.3.4 et 8.4.5 . On se base sur le petit ple quivalent zppE.

4ppEzR1 zz = (11.115)

Il faut toutefois rappeler que, dans ce cas, ce zro se retrouve parmi les zros du

systme global, provoquant un dpassement accru sur la rponse indicielle par rapport celui

qu'on obtiendrait avec les ples seuls ( 6.6.5 et 8.3.4).Il faut donc ajouter un filtre de

consigne qui admet un ple gal au zro subsistant dans le systme en boucle ferme. Cette

structure de rgulateur avec filtre de consigne peut tre considr comme un rgulateur RST

minimal.

Il se peut qu'on ne trouve pas de valeur de gain KR qui permette le respect simultan

des conditions du cahier des charges: certains ples demeurent hors du contour d'Evans. On


43/84



peut alors ajouter au rgulateur une paire zrople (diple) de manire rapprocher du

centre du disque de rayon eT le lieu des ples en boucle ferme. L'effet de contraction du

lieu des ples est obtenu si le zro occupe l'extrmit droite du diple [20].

11.6.8 Imposition des ples en boucle ferme

On peut aussi s'inspirer des mthodes dveloppes la section 8.4 en choisissant unepaire de ples dominants en boucle ferme l'intersection du cercle et de la cardiode dfinis

par le cahier des charges. Le rgulateur peut ensuite tre construit l'aide des conditions des

angles et des modules. On se souvient qu'un rgulateur PI admet un ple 1 et un PID deux

ples 1 et 0. Les zros du rgulateur se construisent alors par la condition des angles et son

gain se calcule par la condition des modules. Seul un zro du rgulateur est effectivement

calcul, le deuxime d'un PID doit tre choisi par l'utilisateur, par exemple pour compenser

celui des ple qui est le plus proche de 1.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.40.45

zpf1

Fig. 11.45 Ples (x) et zros (o) en boucle ouverte et ple impos (+) en boucle ferme.

Lorsque le cahier des charges ne peut pas tre atteint avec seulement deux zros du

rgulateur situs entre 0 et 1, il faut faire appel un rgulateur polynomial pour lequel il faut

choisir un troisime ple, l'origine ou en tout cas tout proche de zro, comme dj

mentionn au paragraphe prcdent. Le choix d'un deuxime zro permet de contracter le lieudes ples en boucle ferme et ainsi d'obtenir par calcul un troisime zro infrieur 1.

L'exprience professionnelle peut conduire d'autres choix que la compensation du

ple dominant, en particulier lorsqu'on veut la fois obtenir de bonnes performances face aux

variations de consigne et face aux variations de perturbation.


44/84



11.6.9 Filtre de consigne et RST

Si on dimensionne le rgulateur polynmes R(z) et S(z) pour privilgier le

comportement dynamique lors de l'intervention d'une perturbation, comme cela est voqu

aux deux paragraphes prcdents, on peut tre conduit adjoindre un filtre de consigne pour

que le comportement face une variation de consigne soit convenable. En effet, un

dimensionnement privilgiant un bon rattrapage de consigne aboutit souvent une rponse

indicielle de consigne apriodique fort dpassement, d la subsistance d'un zro en boucleferme par le rgulateur. L'ide est de compenser ce zro de transmission par un ple au filtre

de consigne qui admet un zro l'origine, en veillant prserver un gain unit. Pour un

rgulateur RST, les ples du filtre sont identiques aux zros du rgulateur, dont certains ne

sont peut-tre pas gnants en boucle ferme, les ples du filtre qui ne compensent pas des

zros en boucle ouverte ont pour effet un ralentissement malvenu du rglage. L'astuce

consiste placer des zros dans T(z) pour annuler les ples qu'on ne veut pas introduire dans

le filtre de consigne. La rgle du gain unit du filtre doit en tout cas tre observe. Les

ouvrages de rgulation proposent d'autres stratgies plus sophistiques de

dimensionnement de rgulateur RST, mais qui ne donnent pas un rsultat unique et requirent

aussi des choix arbitraires du concepteur [20].

Cette stratgie du filtre de consigne peut aussi tre applique lorsque le systme

rgler n'est pas connu de manire analytique et qu'on a dimensionn le rgulateur par Chien-

Hroner-Reswick ou Ziegler-Nichols (sect. 8.2) puis converti dans le plan chantillonn (

11.2.2). Le choix du filtre peut tre ici un peu plus laborieux, par notre mconnaissance du

processus, mais l'ide reste de compenser le zro du rgulateur qui subsiste en boucle

ferme, en particulier avec Chien-Hroner-Reswick par un ple du filtre de consigne.


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11. 7 EXEMPLES DE DIMENSIONNEMENT DE RGULATEURS DISCRETS

11.7.1 Systme rgler et spcifications pour le systme rgl.On prend un exemple de systme rgler.

Fig. 11.701 Systme rgler.

On exprime les exigences du cahier des charges pour:

La consigne: temps de rponse infrieur tr= 40 [ms] et dpassement

infrieur D1 = 5 %.

Une perturbation de 0,1: cart de rglage infrieur e = 0,25 et temps de correction

infrieur tcp = 100 [ms].

On veut assurer le rglage avec un microcontrleur dont la priode d'chantillonnage

est fixe 2 [ms] et qui excute un calcul signal de sortie en 50 [s]On tablit la fonction de transfert du systme rgler travers le convertisseur DA.

G zz z

z z zs' ( )

, ( . )( , )

( , )( , )( , )=

+ +

2 1712 10 3104 0 2190

0 5134 0 9048 0 9941

3

(11.701)

11.7.2 Compensation des ples dominants du systme rgler.On applique la compensation dcrite au paragraphe 11.6.1.

G z Kz z

z zR R*( )

( , )( , )

( )

=

0 9048 0 9941

1

(11.702)

On fait calculer le lieu des ples en boucle ferme, en partant de la fonction de

transfert en boucle ouverte G0(z) =GR*(z)Gs'(z), selon la mthode dcrite au paragraphe

11.6.4 pourKR [4,5 ; 9].

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134))

Fig. 11.702 Lieu des ples avec rgulateur (11.702).

5

1 0 02+ s , 8

1 0 34+ s ,1

1 0 003+ s ,

v

u y

++


46/84



Tout choix l'intrieur de l'intervalle permet de respecter le cahier des charges. On

choisit la valeur suprieure.

G zz z

z zR* ( )

( , )( , )

( )=

90 9048 0 9941

1(11.703)

On vrifie le comportement dynamique, avec une perturbation qui intervient 100 [ms]aprs la variation de consigne.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2( 0.12332 , 1.2346 )

( 0.026108 , 1.0452 )

( 0.017592 , 0.95 )

Fig. 11.703 Comportement dynamique avec rgulateur (11.703).

Si le comportement dynamique face une perturbation donne satisfaction (D1 = 4,5 %

et tr = 17,6 [ms]), le comportement dynamique face une perturbation est insuffisant. Certes

l'erreur maximale n'est pas dpasse, mais sa correction met beaucoup trop de temps.

A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la rponse harmonique selon la mthode

dcrite au paragraphe 11.6.3 pour KR = 1. On applique ensuite le critre du rapport de

pulsation.

100

101

102

103

104

-400

-300

-200

-100

0

Phase []

( 164.6203 , -135 )

100

101

102

103

104

10-10

100

Frquence [rad/s]

Amplitude

Diagramme de Bode : Go(z)= -----------------------------------------------------------------------2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)(z*(z-1)*(z-0.5134))

( 82.3102 , 0.1313 )

Fig. 11.704 Rponse harmonique avec rgulateur (11.702).


47/84



Pour la moiti de la pulsation de cassure c = 164 [s1], on observe un module de

0,1313. On adopte donc KR = 1/0,1313 = 7,6.

G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )

( )=

7 60 9048 0 9941

1 (11.704)

A partir de (11.702), on peut aussi faire tracer la rponse harmonique selon la mthodedcrite au paragraphe 11.6.2 pourKR = 1. On applique ensuite le critre de la marge de phase.

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Diagramme de Nyquist chantillonn: Go = -----------------------------------------------. e- z+ . z+ .

(z*(z-1)*(z-0.5134))

( 0.11358 , -116.5 )

Fig. 11.705 Rponse harmonique avec rgulateur (11.702).

Pour une marge de phase M = 63,5 [], on observe un module de 0,1136. On adoptedonc KR = 1/0,1136 = 8,8.

G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )

( )=

8 80 9048 0 9941

1(11.705)

Avec ces rgulateurs, on obtient quasiment le mme comportement qu' la figure

11.703, avec un dpassement un tout petit peu plus faible par le dimensionnement de Bode.

11.7.3 Calcul pseudocontinuOn part de la fonction de transfert de la figure 11.701. On compense les deuxconstantes de temps dominantes du systme rgler par celles du rgulateur.

G ss s

s TR i( )

( , )( , )=

+ +1 0 02 1 0 34(11.706)

On calcule la constante de temps d'intgration selon le critre de Bode optimal.

T K Ti s pE s= = + + =2 2 40 0 003 0 001 0 001 0 4( , , , ) , [ ] (11.707)

De l on peut calculer la fonction de transfert chantillonne.


48/84



K K

K

i

d

p= = =+

=

= =

0 002

0 40 005

0 34 0 02

0 40 025 0 895

0 34 0 02

0 002 0 4

0 895

2

0 005

48 05

,

,,

, ,

,, ,

, * ,

, * ,

, ,,

(11.708)

G z z zz zR

* ( ) , ( , )( , )( )=

8 95 0 9941 0 90471

(11.709)

Le rgulateur obtenu est extrmement proche de ceux obtenus par les

dimensionnement d'Evans et de Nyquist. Le comportement dynamique ne prsente pas de

diffrence perceptible par rapport celui obtenu par Evans (fig. 11.703).

11.7.4 Imposition de zro diffrent d'un ple du systme rglerOn essaye un choix de zro selon 11.6.7.

zzR1 = =0 5134 0 84354 , , (11.710)

On compense le deuxime ple par l'autre zro du rgulateur.

G z Kz z

z zR R*( )

( , )( , )

( )=

0 9048 0 8435

1(11.711)

On fait tracer les lieu des ples pourKR [4,5; 20].

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagramme de Evans de2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.8465)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))


On choisit KR= 9 qui correspond la valeur la plus proche du cahier des charges, mais

on s'attend des valeurs plus leves que requises, tant pour le dpassement que pour le

temps de rponse.

G zz z

z zR*( )

( , )( , )

( )=

9

0 9048 0 8435

1(11.712)


49/84



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 ( 0.025775 , 1.5721 )

( 0.071672 , 0.95 )

Fig. 11.707 Comportement dynamique avec rgulateur (11.712).

Comme prvu, on observe un trs fort dpassement (57 %) et un long temps de

rponse (72 [ms]): aux ples complexes forte composante imaginaire s'ajoute l'effet du zro

voisin. On ajoute donc un filtre de consigne pour compenser ce zro.

G zz

zlc*( )

,

,=

0135

0 8435(11.713)

0 0 .0 5 0 .1 0 .15 0 .2 0 .2 5 0 .3

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4

( 0 . 037903 , 1 . 2321 )

Fig. 11.708 Comportement dynamique avec rgulateur (11.712) et filtre de consigne (11.713).

Le filtre de consigne a certes contribu rduire le dpassement, mais la forte

partie imaginaire des ples reste prpondrante. On essaye un nouveau choix de zro, plus

droite, donc plus actif.

)1(

)9048,0)(8920,0()(* RR

=

zz

zzKzG (11.714)

On fait tracer le lieu des ples en boucle ferme pourKR [4,5 ;12].


50/84



-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diagramme de Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.892)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9941))


On exprime les ples en boucle ferme pour la valeurKR=12.

polebf = 0.8460+0.2244i 0.84600.2244i 0.8147 0.0253(11.715)

Le zro 0,8435 subsiste en boucle ferme. On prvoit d'emble un filtre de consigne.

G zz

zlc*( )

,

,=

0135

0 8435(11.716)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

( 0.036192 , 1.0461 )

( 0.026958 , 0.95 )

( 0.11531 , 1.1739 )

( 0.15017 , 0.99 )

Fig. 11.710 Comportement dynamique avec rgulateur (11.714) pourKR= 12, avec filtre (11.716).

On a obtenu cette fois le comportement dsir: l'effet du zro est compens par le ple

du filtre de consigne et celui des ples complexes forte partie imaginaire est contrecarr parle ple rel voisin 0,8147.


51/84



11.7.5 Imposition des ples en boucle fermeOn dfinit les ples et zros du systme rgler selon (11.701) On fixe le ple

dominant en boucle ferme selon le cahier des charges pour la rponse indicielle de consigne.

D

t p

1

r f1ms

=

= = =

5% 45

402 1

0 04 52 5

[ ] PE( ),

, , = p jf1 52 5 52 5, , (11.717)

On en dduit le ple dominant dans le plan z.

z e jp Tpf1 = = +1 0 8954 0 0944, , (11.718)

A priori, on choisit un rgulateur PID, ce qui impose deux ples 0 et 1 en boucle

ouverte.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Diagramme d'Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))

0,8954+0,0944j

Fig. 11.711 Ples (x) et zros (o) en boucle ouverte et ple impos (+) en boucle ferme.

On calcule l'angle total d aux zros du rgulateur par la condition des angles.

tot R1= + + + + + = 180 203 61 2 3 2 1 2R , (11.719)

On choisit de compenser le ple dominant parzn, ce qui dtermine zv.

zn = 0 9941, (11.720)zv = 0 8560, (11.721)

On calcule le gain par la condition des modules. Le rgulateur est alors entirement

dfini.

G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )

( )=

4 7560 9941 0 8560

1(11.722)

On vrifie si le comportement dynamique est conforme aux attentes.


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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.044797 , 1.0937 )

( 0.13196 , 1.3328 )

Fig. 11.712 Comportement dynamique avec rgulateur (11.722) sans filtre de consigne.

Le cahier des charges n'est respect ni pour le dpassement face la variation de

consigne ni pour le comportement face une variation de perturbation. Pour expliquer, on fait

tracer le lieu des ples en boucle ferme.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Evans de 2.1712e-3*(z+3.104)*(z+0.219)*(z-0.856)*(z-0.9941)/(z*(z-1)*(z-0.5134)*(z-0.9048)*(z-0.9941))

Fig. 11.713 Ples (+) et zros (o) en boucle ferme avec rgulateur (11.722).

Outre la paire de ples qu'on a impose, on observe le zro non ngligeable en 0,856

d au rgulateur qui est responsable du dpassement et un ple issu de 0,5134 en 0,63

dont l'effet est insuffisant pour limiter le dpassement. On pourrait placer un filtre de

consigne, mais cela ne rglerait pas le problme de la lenteur de correction de l'cart d la

perturbation. On prfre donc choisir un zro de manire obtenir en boucle ferme un diple

dont le ple est gauche. On place le zro entre 0,9941 et 0,9048, d'o on calcule l'autre.

zn = 0 92, (11.723)zv = 0 9103, (11.724)

KR = 7 1409, (11.725)

On en tire le rgulateur.


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G zz z

z zR* ( ) ,

( , )( , )

( )=

7 1410 92 0 9103

1(11.726)

On place encore un filtre de consigne estim sans trop d'investigation pour compenser

l'effet des zros en garantissant un gain unit.

G zzlc

* ( ),

,=

0 075

0 925(11.727)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

( 0.12144 , 1.2417 )

( 0.046164 , 0.95 )

Fig. 11.714 Comportement dynamique avec rgulateur (11.726) avec filtre de consigne (11.727).

Cette fois, le cahier des charges est respect pour la consigne et pour une perturbation.

Par cet exemple trait par diffrentes mthodes, on a pu dmontrer que chacune d'entre

elles peut tre applique, sous rserve d'une approche soigneusement rflchie si on veut

obtenir de bonnes performances tant pour le comportement dynamique en prsence de

perturbation que pour le comportement face un changement de consigne.

On peut, pour le filtre de consigne, entrer compltement dans la conception de

rgulateur RST en choisissant S(z) pour le dnominateur du filtre. On a choisi ensuite un zrovoisin pour garantir un dpassement de consigne infrieur 5 % et un gain unit du filtre.

Ce choix s'est fait de manire pragmatique.

G zz

z zlc* ( )

, ( , )

, ( , )( , )=

0 51 0 9

7 141 0 92 0 9103(11.728)


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VOLUME4 Asservissements digitaux

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