Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.

Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

4. září 2012 VY_32_INOVACE_110211_Vlastnosti _kombinacnich_cisel_DUM

Vlastnosti kombinačních čísel

Úvodem

Je třeba si na začátku uvědomit, co je to kombinační číslo.

Obr. 3

Definice kombinačního čísla

Obr.1

Kombinační číslo (binomický koeficient) je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.

Symbol čteme "n nad k".

Pro všechna celá nezáporná čísla n, k , k n je:

1 2 ... 1! = ( , ) =

!( )! !

n

k

n n n n kn nK k n

k k n k k

1. vlastnost kombinačních čísel

0Pro n, k N , k n:

= n n

k n k

Obr. 1

2. vlastnost kombinačních čísel

0Pro n, k N , k + 1 n:

1 + =

1 1

n n n

k k k

Obr. 1

Hodnoty některých kombinačních čísel

U kombinačních čísel platí:

= 10

= 1

0 = 1

0

= n1

n

n

n

n

Obr. 1

Praktická část – matematické úlohy

Abychom správně pochopili vlastnosti kombinačních čísel, tak je třeba vyřešit některé matematické úlohy, které se tohoto tématu týkají.

Úlohy zároveň slouží k prověření vašich znalostí o kombinačních číslech.

U každé úlohy vyberte pouze jednu správnou odpověď.

Obr. 3

Úloha 1

12Kterému kombinačnímu číslu odpovídá číslo ?

8

12 13 12 13 a) b) c) d) e) jiné řešení

3 4 4 3

Obr. 2

Řešení úlohy 1

Správná odpověď: c)

Podle vlastnosti kombinačních čísel:

12 1212! = =

8 4!.8! 4

Obr. 1

Úloha 2

Po zjednodušení kombinačního čísla dostaneme

výraz:

a) x – 12 b) x – 11 c) x – 2 d) x – 1 e) jiné řešení

11

12

x

x

Obr. 2

Řešení úlohy 2

Správná odpověď: b)

Pro zjednodušení využijeme vztah: = n n

k n k

-11-11 -11

- 11-11 - -12-12 1

xx xx

x xx

12, x Nx

Obr. 1

Úloha 3

Po vyjádření kombinačního čísla dostaneme:

a)

b)

c)

d) jiné řešení

1

1

n

n

2

2

n n

2

2

n n

2

2

n

Obr. 2

Řešení úlohy 3

Správná odpověď: a)

Postupujeme podle definice kombinačního čísla:

= n n

k n k

21 1 .1 1

1 11 2 2.1 2

n n nn n n nn nn

Obr. 1

Úloha 4

Výsledkem součtu kombinačních čísel

je číslo:

(využijte přitom vlastnost kombinačních čísel)

11 11 +

2 10

12 11 12 11a) b) c) d) e) jiné řešení

2 3 11 11

Obr. 2

Řešení úlohy 4

Správná odpověď: a)

K řešení využijeme 2. vlastnost kombinačních čísel:

V našem případě dostaneme:

1

1 1

n n n

k k k

11 11 11 11 12 + = + =

2 10 2 1 2

Obr. 1

Úloha 5

Po odečtení čísel dostaneme:12 16

- 11 15

a) 0 b) 4 c) - 3 d) - 1 e) jiné řešení

Obr. 2

Řešení úlohy 5

Správná odpověď: e) jiné řešení

Při řešení využijeme vlastnost:

= n n

k n k

12 16 12 16 - = - = 12 - 16 = - 4

11 15 1 1

Obr. 1

Úloha 6

Rozdílem kombinačních čísel

je číslo:

100 40 -

98 38

) 2170 b) 3170 c) 4170 d) 5170 e) jiné řešenía

Obr. 2

Řešení úlohy 6

Správná odpověď: c)

Při řešení využíváme opět vlastnosti kombinačních čísel jako v předchozí úloze:

100 40 100 40 100.99 40.39 - = - = - = 4950 - 780 = 4170

98 38 2 2 2 2

Obr. 1

Úloha 7

S využitím vlastností kombinačních čísel vypočtěte. Výsledek vyjádřete celým číslem:

8 7 8 7 + + +

6 2 7 3

Obr. 2

Řešení úlohy 7

Správný výsledek: 92

Při výpočtu využijeme obě základní vlastnosti kombinačních čísel:

8 7 8 7 8 8 7 7 9 8 + + + = + + + = +

6 2 7 3 6 7 2 3 7 3

9 8 9.8 8.7.6 + = + = 36 + 56 = 92

2 3 2.1 3.2.1

Obr. 1

Úloha 8

S využitím vlastností kombinačních čísel vypočtěte.Výsledek vyjádřete jedním kombinačním číslem:

6 7 8 9 + + +

6 6 6 6

Obr. 2

Řešení úlohy 8

Správný výsledek:

Na začátku zaměníme kombinační číslo za číslo

Platí:

Pro následný výpočet využijeme 2.vlastnost kombinačních čísel:

10

7

6

6

7

7

6 7 = 1 =

6 7

6 7 8 9 7 7 8 9 + + + = + + + =

6 6 6 6 7 6 6 6

8 8 9 = + + =

7 6 6

9 9 10 10 = + = neboli

7 6 7 3

Obr. 1

Závěrem

Kombinační čísla se nazývají binomické koeficienty a jsou uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách. Tvoří tzv. Pascalův trojúhelník:

Kombinační čísla v Pascalově trojúhelníku jsou seřazena podle pravidel, která odpovídají vlastnostem kombinačních čísel. Pascalův trojúhelník je významný při výpočtech souvisejících s tzv. binomickou větou.

n

k

00

0

1 11

0 1

2 2 22

0 1 2

3

n

n

n

n

3 3 3 3

0 1 2 3

...

CITACE ZDROJŮ

Použitá literatura a použitý web:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední

odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 202-203. ISBN 80-7196-165-5. 2) Kombinatorika - kombinační čísla. Http://carolina.mff.cuni.cz [online]. 2012-02-07 [cit. 2012-09-04]. Dostupné

z: http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/04vlastnosti.htm

Použité obrázky:1) People - Stick Figures - Stick blueman 103 02 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit.

2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=2

2) People - Stick Figures - Stick blueman 107 01 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=6

3) People - Stick Figures - Stick blueman 202 01 - Public Domain Clip Art. Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-04]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=11

Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

KONEC PREZENTACE

Děkuji za pozornost.