VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 2

HUISWERKBespreken uit §3-1 opdracht 6a en 7 en uit §3.2 opdracht 11

Huiswerk 3-1 Opdracht 6aTwee evenwijdige lijnen snijden een cirkel. Er worden hierdoor twee bogen AB en CD afgesneden. Bewijs dat geldt bg AB = bg CD. ∠D2 = ∠B2 (Z-hoek) ∠D2 = ∠C1 (constante hoek) Analoog valt te bewijzen dat AS = DS [2] BS = CS ([1]) ∠S1 = ∠S2 (overstaande hoek) AS = DS ([2]) ⇒ ∆ASB ≅ ∆DSC (ZHZ) en dus AB = CD En dus bg AB = bg CD (stelling koordenbogen).

}⇒ ∠B2 = ∠C1 en dus geldt BS = CS [1]

}⇒

Huiswerk 3-1 Opdracht 7De hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde behorende omtrekshoek. Bewijs de bovenstaande “hoek tussen koorde en raaklijn” stelling. MB = MC (straal) dus ∠MBC = ∠MCB ∠BMC = 180 - ∠MBC - ∠MCB (hoekensom ∆) ∠MBA = 90∘ (raaklijn)

∠ABC = ∠MBA - ∠MBC Uit [1] en [2] volgt 2∠ABC = ∠BMCEn dus is de hoek tussen een koorde en raaklijn gelijkaan de bij de koorde behorende omtrekshoek.

}⇒ ∠BMC = 180 - 2∠MBC [1]

}⇒ ∠ABC = 90 - ∠MBC [2]

Huiswerk 3-2 Opdracht 11Bewijs in de figuur hieronder dat bg CP = bg BE. ∠APB = 90∘ (Thales)

∠ADE = 90∘ (gegeven)

Analoog aan vraag 6 valt nu met de stelling van de constante hoek en Z-hoeken te bewijzen dat bg CP = bg BE.

}⇒ CE//PB (F-hoek)

NU KOMT HET ECHTE WERKExtra opdracht naar examen vwo wiskunde B 2003

Voorbeeld 1Gegeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B. Op de ene cirkel liggen twee punten C en D. Vanuit C en D worden lijnen door getrokken naar de andere cirkel. Al deze lijnen gaan door het punt A of B. Zo ontstaan de punten K, L, M en N. Bewijs dat bg KM = bg LN. Bewijs: ∠DAC = ∠DBC (constante hoek) ∠DAC = ∠KAL (overstaande hoek) ∠DBC = ∠MBN (overstaande hoek) ⇒ ∠KAL = ∠MBN En dus geldt: bg MN = bg KL En dus: bg MN + bg ML = bg KL + bg ML En dus: bg KM = bg LN.

}⇒

HOEKEN IN EEN CIRKEL3-3 Koordenvierhoeken

KoordenvierhoekenStel je voor je krijgt de vraag: Bereken ∠PQR. Dan gaan we nu nog als volgt te werk:∠PSR = 50∘ (gegeven) en dus is ∠PMR (onder) = 100∘. (stelling van de omtrekshoek) [1]

Een volle hoek is 360∘. [2]

Uit [1] en [2] volgt: ∠PMR (boven) = 260∘.

En dus is ∠PQR = 130∘. (stelling van deomtrekshoek) Dus de overstaande hoeken in een koordenvier-hoek zijn samen 180∘.

KoordenvierhoekenDit geldt altijd zo en noemen we de koordenvierhoekstelling:

Als PQRS een koordenvierhoek is, dan is de som van elk paar overstaande hoeken 180∘.

De omgekeerde koordenvierhoekstelling luidt als volgt:

Als in een vierhoek de som van een paar overstaande hoeken 180∘, dan liggen de hoekpunten op een cirkel en is het dus een koordenvierhoek.

KoordenvierhoekenIn een koordenvierhoek zijn veel gelijke hoeken (vanwege de stelling van de constante hoek):

A

B

C

D

▲

▲●●

✤

✤

￭ ￭

❊

❊

✖

✖

Stellingen in de cirkelEr zijn dus een heleboel stellingen (en hun omgekeerde) die gelden in een cirkel: ✤Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijhorende middelpuntshoek. ✤Bij gelijke bogen behoren gelijke koorden. ✤De hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde

horende omtrekshoek. ✤Als punt C op de cirkel ligt met middellijn AB, dan is de driehoek ABC

rechthoekig. ✤Op een cirkel met punten A, B en C heeft ieder punt B tussen A en C dezelfde

hoek ABC. ✤Als vier punten op een cirkel liggen, dan vormen de vier hoekpunten een

koordenvierhoek waarin de som van de overstaande hoeken 180∘ is.

Voorbeeld 2

M

Gegeven is een vierhoek ABCD, waarvan A, B en C op een cirkel liggen. De raaklijn in B aan de cirkel maakt met de zijden van de vierhoek twee hoeken α en β,waarvoor geldt dat α + β = 80∘. Daarnaast geldt dat bg PQ een kwart cirkel is. Bereken ∠D. ∠APC = ∠AQC = bg AC = 80∘ (constante hoek). ∠PAQ = ∠PCQ = bg PQ = 45∘ (constante hoek). ∠PMQ = 125∘ (stelling van de buitenhoek). ∠MPD = ∠MQD = 100∘ (gestrekte hoeken). ∠D = ∠PDQ = 360∘ - 125∘ - 100∘ - 100∘ = 35∘.

80∘ 80∘

45∘

45∘

125∘

100∘ 100∘

35∘

Voorbeeld 3(De stelling van Miguel)

Op de zijden van ∆ABC liggen de punten P, Q en R. De punten A, P en R vormen cirkel c1. De punten B, P en Q vormen cirkel c2. Deze twee cirkels snijden elkaar in P en in S. De punten C, R en Q vormen cirkel c3. Bewijs dat ook c3 door punt S gaat. Gegeven: ∆ABC met de punten P, Q en R. Depunten A, P en R vormen cirkel c1. De punten B, P en Q vormen cirkel c2. Deze twee cirkels snijden elkaar in P en in S. De punten C, R en Q vormen cirkel c3. Te bewijzen: c3 gaat door punt S. Bewijs:

Voorbeeld 3(De stelling van Miguel)

Bewijs: ∠ARS + ∠APS = 180∘ (koordenvierhoek) ∠ARS + ∠CRS = 180∘(gestrekte hoek) Analoog valt te bewijzen dat:∠BPS = ∠CQS [2] Daarnaast geldt dat:∠APS + ∠BPS = 180∘(gestrekte hoek) [3] Uit [1], [2] en [3] volgt dat: ∠CRS + ∠CQS = 180∘ En dus gaat c3 door punt S (Omgekeerdekoordenvierhoek stelling). ☐

}⇒ ∠APS = ∠CRS [1]

Voorbeeld 4In een vierkant ABCD wordt een driehoek APQ getekend, zodat ∠PAQ = 45∘, P op BC en Q op CD. Diagonaal BD snijdt de zijden AP in M en AQ in N.Bewijs dat AMQD een koordenvierhoek is. Gegeven: vierkant ABCD met een driehoek APQ, zodat ∠PAQ = 45∘. Diagonaal BD snijdt de zijden AP in M en AQ in N. Te bewijzen: AMQD is een koordenvierhoek. Bewijs: ∠MAQ = 45∘ (gegeven) ∠MDQ = 45∘(eigenschap vierkant) ⇒ D ligt op de cirkelboog door A, M en Q (omgekeerdestelling van de constante hoek). Dus AMQD is een koordenvierhoek. ☐

}⇒

Huiswerk

Maken:

§3-3 opdrachten 17 t/m 23.