Analytische en andere soorten meetkunde

van Mavo tot Maple

Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG

Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl

Puzzel mavo 3

Puzzel mavo 3

Puzzel mavo 3

• Veronderstel: – zijde 1 – rechte hoeken – enzovoorts

• Relaties tussen x en y • Geven x = 2/3. • Analytische meetkunde

zonder coördinaten!

Dudeney

• Puzzel van 4 stukjes, • waarmee je een

vierkant kunt leggen • en een gelijkzijdige

driehoek. • Construeer!

Synthetisch versus Analytisch

• Synthetisch: – samenvoegen – opbouw van start (gegevens) tot finish (conclusie) – axiomatisch

• Analytisch: – uit elkaar halen – van finish (conclusie) naar start (gegevens) – coördinaten, vectoren – algebraïsche (!) & analytische methoden (= limieten) – R2, R3 en deelverzamelingen (bollen, torus, wilder)

Samenvatting

• Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn

• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen

Samenvatting

• Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn

• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen geldt hetzelfde. • Wees dus niet dogmatisch en geniet van alle

soorten mooie wiskunde!

Maar ik moet wel toegeven dat

• coördinatenmeetkunde flexibeler en daarom belangrijker is dan axiomatische meetkunde.

• coördinatenmeetkunde heeft geleid tot: – differentiaalmeetkunde & relativiteitstheorie – algebraïsche meetkunde (verband met algebra) – analytische meetkunde (verbanden met analyse) – arithmetische meetkunde (verband met

getaltheorie)

Rode Draad: Stelling van Pythagoras

• Gegeven: Rechthoekige driehoek in R2 • Lengtes zijden a, b, c ; c tegenover rechte hoek • Dan: a2 + b2 = c2

Euclides

Pythagoras volgens Euclides

• Vierkanten op zijden • Oppervlakten A, B, C • C tegenover rechte hoek • Dan: A + B = C.

Bewijs volgens Euclides

• Hoogtelijn op zijde c deelt vierkant op c in twee rechthoeken.

• Deze rechthoeken hebben oppervlakte A en B.

• Gevolg: A + B = C.

Bewijs volgens Euclides

• Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.

Bewijs volgens Euclides

• Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.

• Beide rechthoeken halveren door diagonaal

• Voldoende te bewijzen: Rode driehoeken hebben gelijke oppervlakte.

Tussenstap 1

• Rode driehoek ACP heeft dezelfde oppervlakte als

• blauwe driehoek ABP, • want BC // AP.

Tussenstap 2

• Rode driehoek ABP congruent met

• blauwe driehoek AQC • wegens ZHZ. • Dus hebben ABP en AQC

dezelfde oppervlakte.

Bewijs volgens Euclides

• Rode driehoek ACQ heeft dezelfde oppervlakte als

• blauwe driehoek ARQ, • want CR // AQ.

Bewijs volgens Euclides

• Dus hebben de rode driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte

Bewijs volgens Euclides

• Dus hebben de rode rechthoeken inderdaad dezelfde oppervlakte.

• Q.E.D.

Terugblik

Waar werd in dit bewijs gebruikt: 1) vierkant op b? 2) vierkant op c? 3) hoogtelijn op zijde c? 4) rechte hoek in C?

Legpuzzelbewijs van Pythagoras

Legpuzzelbewijs van Pythagoras

• Waarom deed Euclides het niet zo?

• Gemakkelijk te begrijpen zonder algebra!

• Hoe kunnen leerlingen Pythagoras zelf ontdekken?

Brugklassers ontdekken Pythagoras

• Scheef vierkant op ruitjespapier

• Hoekpunten op rooster • Bereken de oppervlakte • Ze konden het allemaal! • Pythagoras = methode

voor oppervlaktebepaling • Generaliseerbaar! • Rekenen → algebra

Stellingen

1) Analytische meetkunde kan mooie, betekenisvolle problemen opleveren in algebra, analyse & goniometrie.

2) Probleemoplossen overstijgt meetkunde:

– strategie (keuze, vergelijk & mix van methoden) – controle, verificatie & interpretatie (goede spoor?

speciale gevallen, symmetrie, dimensieanalyse, …)

Pythagoras in coördinaten

• Afstand tussen (x1, y1) en (x2, y2) is per definitie gelijk aan (∆𝑥𝑥)2+(∆𝑦𝑦)2

• Dus Pythagoras (over lengtes van zijden van rechthoekige driehoek) geldt vrijwel per definitie in R2.

• Verdacht eenvoudig…

Verdienste synthetisch bewijs

• Pythagoras volgt uit verzameling ‘redelijke’ meetkundige axioma’s

• ‘Redelijk’: ze lijken “vlakke werkelijkheid” te modelleren.

• Standaardmodel waarin al deze axioma’s gelden is R2 met standaarddefinities van ‘punt’, ‘lijn’, ‘ordening van 3 punten op een lijn’, ‘congruentie van lijnstukken’ en ‘congruentie van hoeken’.

Welke axioma’s voor Pythagoras?

• Bron: Euclid and Beyond, Robin Hartshorne • Axioma’s voor Pythagoras:

– 4 axioma’s over lijnen en punten (inclusief P.P.) – 4 axioma’s over ordening van punten op lijnen – 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken – 3 axioma’s over congruentie van hoeken

(waaronder het ZHZ-criterium!)

• Veel axioma’s: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 stuks!

Welke axioma’s voor R2?

• 14 axioma’s + volledigheidsaxioma van Dedekind karakteriseren R2 :

• R2 met standaarddefinities is het enige vlak dat aan al die 15 axioma’s voldoet.

• Dan geen wiskundig verschil tussen axiomatische meetkunde en meetkunde in R2,

• maar wel een psychologisch verschil!

Welke structuur heeft R2?

Alleen begrip ‘afstand’ is nodig. Opgave: Alle andere begrippen (lijn, ordening, hoek) zijn daarvan afgeleid.

Vectormeetkunde in R2 en R3

• Lengte gedefinieerd via Pythagoras: • |(a1, a2, a3)|2 := a2 := a2 := a1

2 + a22 + a3

2 • Handig: dit uitbreiden naar inproduct • (a1, a2, a3) ⋅ (b1, b2, b3) := a1b1

+ a2b2 + a3b3

want dan heb je meteen ook hoeken: cos(∠(a, b)) := a ⋅ b / (a⋅b)

• Opgave: Deze definitie compatibel met onderbouwdefinitie van cosinus (SOLCALTOA)

Toepassing: Cosinusregel

• cos(γ) = a⋅ b / (a⋅ b) • a = b + c • c2 = (a – b) ⋅ (a – b) • c2 = a2 – 2 a ⋅ b + b2 • c2 = a2 – 2ab cos(γ) + b2 • Speciaal geval: γ = 90° • Pythagoras!

Vectormeetkunde zonder inproduct

• Affiene meetkunde = vectoren zonder inproduct • Dus geen begrip ‘lengte’ en geen ‘hoek’ • Dus ook niet: ‘rechthoek’, ‘ruit’, ‘cirkel’ • Maar wel:

– ‘parallel’, ‘parallellogram’, ‘trapezium’ – ‘midden van lijnstuk’ – ‘verhouding van lengtes van parallelle lijnstukken’ – ‘verhouding van oppervlakten’

Toepassing: Zwaartepunt

• Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c

• Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)

Toepassing: Zwaartepunt

• Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c

• Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)

• Neem Z op CM zodat CZ : ZM = 2 : 1.

• Positievector van Z is z = (2/3)m + (1/3)c

• z = (a + b + c) / 3.

Toepassing: Zwaartepunt

• z = (a + b + c) / 3 • is symmetrisch in a, b, c • Dus Z ligt ook op zwaarte-

lijnen door A en B • en verhoudingen 2 : 1. • Q.E.D.

2 affiene Sangaku’s

Meetkunde op boloppervlak

Pythagoras op de bol?

• Pythagoras geldt niet op de bol! • Opgaven:

– Geef een tegenvoorbeeld – Wat gaat fout in Euclides’ bewijs? – Wat gaat fout in legpuzzelbewijs? – Wat gaat fout in volgende bewijs?

Schalingsbewijs Pythagoras

• A + B = C en • A : B : C = a2 : b2 : c2, • dus a2 + b2 = c2. • Waar gaat dit bewijs

fout op de bol?

Toegift: Sangaku

• a2 + b2 = c2.

Oplossing met Pythagoras?

Gegeven: • a2

2 + b22 = 1

• a2 + b12 = 1

• a12 + b2 = 1

Te bewijzen: • ab1

+ a1b = a2b2 . Kunt u dat zonder Maple? Mijn bewijs in Appendix 1

Veel plezier!

Appendix 1

Bewijs: (1 – a2

2 – b22) ⋅ (a1b1 + ab)

+ (a2 + b12 – 1) ⋅ (a2b – a1b2)

+ (a12 + b2 – 1) ⋅ (ab2 – a2b1)

= ab1 + a1b – a2b2.

Dus: Als 1 = a2

2 + b22 = a2 + b1

2 = a12 + b2,

dan ab1 + a1b = a2b2. Q.E.D.

Appendix 2

• Gedachtenexperiment over constructie in Geogebra geeft:

• Alles is uit te drukken in ϕ! • Bij zijde 1 heeft onderste

driehoek oppervlakte ½ sin(ϕ)cos(ϕ) = ¼ sin(2ϕ)

• Andere blauwe driehoek heeft opp. ¼ sin(2ϕ + 120°)

• Rode driehoek heeft opp. ¼ sin(120° – 2ϕ)

Appendix 2

• Dus te bewijzen: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) = sin(120° – 2ϕ) • Symmetrischer: • sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) + sin(2ϕ – 120°) = 0 • Symmetrie vectorsom in Q.E.D.

• Bonus: Analoge formules voor 360°/n ; ook voor cos.