VJEŽBE - 1

GRAFIČKO I ANALITIČKO SABIRANJE SILA

Sile su vektori pa za njih vrijede pravila sabiranja i množenja vektora.

Grafičko sabiranje

Vektori sila grafički se prikazuju strelicama čija dužina u nekom mjerilu odgovara njihovoj veličini (iznosu ili modulu). Uz grafički prikaz koji nazivamo planom sila, treba uvjek definirati mjerilo:

1 cm ..... N (čita se 1cm duljine vektora sile odgovara veličini od ... N)

Sile se grafički mogu sabirati pomoću pravila vektorskog paralelograma i s pomoću pravila vektorskog poligona.

Pravilo vektorskog paralelograma

Pravilo vektorskog poligona

Ako imamo skup sila, tada je:

Množenje vektora skalarom

Skalar je veličina čiju vrijednost određuje samo njezin iznos. Skalar može imati pozitivan ili negativan predznak (npr. temperatura).

Ako su a i b skalari, pri čemu je

a 0 , a 1 ;b 0 , b 1 ;

je vektor čiji je iznos a puta veći od iznosa , leži na istom pravcu i ima isti smjer kao , dok je vektor čiji je iznos b puta manji od iznosa , leži na istom pravcu kao , ali ima suprotan smjer

od .

Oduzimanje vektora

ANALITIČKO SABIRANJE VEKTORA SILA

Analitičko računanje sa vektorima zahtjeva takav oblik zapisa vektora, koji će sa jedne strane potpuno definirati sve tri karakteristike vektora (veličinu, pravac i smjer), a sa druge strane omogućiti analitičko izvođenje računskih operacija (sabiranje, oduzimanje, skalarno i vektorsko množenje).ANALITIČKI ZAPIS VEKTORA SILE KOJA LEŽI U RAVNI XY

Silu možemo prikazati kao zbir dvaju sila i koje su paralelne osama koordinatnog sistema x i y. Njih nazivamo komponentama sile .

Ako su iznosi komponenti i sile jednaki iznosima komponenti i sile , tada su

iznosi sila i jednaki, sile leže na istom pravcu, ali im je smjer suprotan. Ako su iznosi

komponenti sila i jednaki, ali i komponente paralelne osi x imale isti smjer, a komponente

paralelne osi y suprotan smjer, sile i bi imale isti iznos, ali bi ležale na različitim pravcima. Isto vrijedi i za slučaj da komponente paralelne osi y imaju isti smjer a kompnente paralelne osi x suprotan smjer. Iz ovoga se zaključuje da smjer komponenti određuje pravac i smjer vektora sile, pa se smjer komponenata mora jasno definirati. Na osama koordinatnog sistema uvedemo jedinične vektore ili ortove i

Komponente i možemo prikazati kao proizvod skalara Fx i Fy i odgovarajućih jediničnih vektora i . Fx i Fy mogu imati pozitivan ili negativan predznak, a iznos im se mjeri u N.

Fx 0, Fx N F1x 0, F1x N

Fy 0, Fx N F1y 0, F1y N

Analitički zapis vektora sile je prikaz vektora kao zbira komponenata i :

N

Veličina (intenzitet) sile :

Ovdje smo uvažili da je (Fx)2 = Fx2 i (Fy)2 = Fy

2

Također su jednoznačno određeni pravac i smjer vektora sile na tom pravcu. Kosinusi uglova i što ih vektor gradi sa osama x i y su određeni relacijama:

,

Fx 0, 0, 0 900

Fy 0, 0, 0 900

Fx 0, 0, 900 1800

Fy 0, 0, 0 900

Fx 0, 0, 900 1800

Fy 0, 0, 900 1800

Fx 0, 0, 0 90

Fy 0, 0, 900 1800

ODREĐIVANJE KOMPONENATA

Praktično određivanje komponenata sile koja djeluje u ravni xy pokazat ćemo na dva jednostavna primjera.

Primjer 1.Zadano: i ugao (slika a)

Sa slika a i b slijedi: Fx 0, Fy 0

,

,

Analitički zapis sile je:

N

Primjer 2.

Zadano: i ugao (slika a)

Fx 0, Fy 0, ,

Analitički zapis sile je:

ANALITIČKO SABIRANJE SILA KOJE LEŽE U RAVNI XY

Ako su poznati analitički zapisi sila i njihov zbir će biti

=

Za sabiranje vektora vrijedi zakon komutacije

pa možemo pisati

Primjenimo li zakon asocijacije s obzirom na skalare

Dobit ćemo

Ako definiramo komponente kako slijedi

Dobit ćemo konačno

,

Komonenta zbira i paralelna osi x jednaka je zbiru x kompnenata tih sila, a komponenta zbira

i paralelna osi y jednaka je zbiru y komponenata tih sila.Na ovaj način se može sabirati n sila, pa općenito vrijedi:

,

Grafički prikaz zbira i po pravilu vektorskog poligona

Iz njega se uočava da je

,

Odnosno da vrijedi

,

Na kraju valja upozoriti da komponente Fix i Fiy imaju odgovarajući predznak, što treba uvažiti pri sabiranju.

ZADATAK 1.Odrediti grafički i analitički rezultantu sila i koje leže u ravni xy, a smjerovi su zadani slikom.

Veličine (iznosi) sila su: = 4 N i = 5 N. Zadani uglovi su = 300, = 450

GRAFIČKI METOD

a) SABIRANJE SILA POMOĆU PRAVILA VEKTORSKOG PARALELOGRAMA

Vektore sile i predstavljamo grafički u mjerilu 1 cm 1N. Znak čita se „odgovara“. Dakle 1 cm dužine strelice kojom predstavljamo grafički vektor sile odgovara iznosu od 1 N.

Postupak:1) Nacrtamo ose x i y i povučemo prvce djelovanja sila i .

2) Iz zajedničkog početka nacrtamo u mjerilu vektore i koji obrazuju dvije stranice paralelograma.3) Nacrtamo ostale dvije stranice paralelograma.4) Zbir i , rezultanta , leži na dijagonali paralelograma. Vektor ima početak u zajedničkom

početku vektora i .

5) Izmjerimo dužinu u cm i pomnožimo sa mjerilom. Dobijamo iznos u N

= 7,2 1 = 7,2N cm 1cm 1N

b) SABIRANJE POMOĆU PRAVILA VEKTORSKOG POLIGONA

Postupak:

1) Nacrtamo ose x i y i povučemo pravce djelovanja sila i .

2) Nacrtamo u mjerilu vektor

3) Iz vrha vektora nacrtamo u mjerilu vektor

4) Zbir = + jest vektor čiji je početak u početku prvog vektora a vrh u vrhu drugog vektora .5) Izmjerimo dužinu u cm i pomnožimo sa mjerilom. Dobijamo iznos u N

= 7,2 1 = 7,2N

ANALITIČKI METOD

Postupak:

Određivanje komponenata zadanih sila u pravcima osi koordinatnog sistemaKompnente i su projekcije sile na ose koordinatnog sistema x i y.

Posmatrajmo prvougli trougao čije su katete i a hipotenuza

Iz trougla slijedi : ,

,

Komponenta usmjerena je suprotno od ose x pa je N, odnosno skalarna veličina F1x koja množi jedinični vektor na osi x ima negativan predznak: F1x = -3,464 N

Komponenta usmjerena je suprotno od ose y pa analogno gore važi

N ; F1y = -2 N

Zbir komponenata i po pravilu vektorskog paralelograma daje analitički zapis vektora zadane

sile :

N

Napomena: N - jedinica N u uglatoj zagradi piše se uz analitički zapis kao oznaka jedinice kojom se mjere komponente, 3,464 N – bez uglate zagrade – normalno zapisan iznos u Njutnima.Analogno se dobije analitički zapis

,

,

N F2x = -3,5355 N

N F2y = -3,5355 N

Analitičko sabiranje i

=

= (- 3,464) + (- 3,5355) = - 6,9995 N = (-2) + 3,5355 = 1,53355 N

N

Po Pitagorinu poučku

= 7,1659 N

2. ZADATAKOdrediti grafički i analitički rezltantu sila i kao i pravac rezultante FR u odnosu na osu x. Intenziteti sila su F1 = 100N i F2 = 150 N, a uglovi što ih grade sa osama x i y su 150 i 100.

Grafičko rješenje:

a) pomoću pravila vektorskog paralelograma b) pomoću pravila vektorskog poligona

Direktno izračunavanje iz skice grafičkog rješenja pravilom vektorskog poligona

a) Pomoću cosinusne teoreme

Svođem na oštre uglove cos1150 = cos(900 +250) = - sin 250 = 0,4226

b) pomoću Sinusne teoreme

Svođem na oštre uglove sin1150 = sin(900 +250) = cos 250 = 0,9063

= 39,80

Pravac FR sa horizontalom gradi ugao = 39,80 + 150 = 54,80

ZADATAK 3.

Za kuku vijka vezana su tri užeta sa zatežućim silama intenziteta F1 = 300 N, F2 = 400 N i F3 = 250 N, prema slici. Analitički i grafički odrediti veličinu, pravac i smjer rezultante.

Analitičko rješenje

Projekcije sila F1, F2 i F3 na ose x i y su:

F1X = F1 cos00 = F1 1 = 300 N F1Y = 0

F2X = F2 cos300 = 400 0,866 = 346,4 N F2Y = F2 sin30 = 400 0,5 = 200 N

Komponente rezultante su:

FRX = 300 + 346,6 – 200 = 446,6 N FRY = 0 + 200 + 150 = 350 N

Intenzitet (veličina) reultante je:

Pošto su komponente rezultante pozitivne, to će se rezultanta ležati u prvom kvadrantu. Pravac rezultante je:

ZADATAK 4.Silu rastaviti na komponente i čiji su pravci djelovanja paralelni sa zadanim pravcima p1 i p2. Zadano F = 6 N, = 300, = 450 i = 300.

Grafički pomoću pravila vektorskog paralelogramaKroz početak sile povuku se paralele sa pravcima p1 i p2 na kojima leže stranice paralelograma čija je dijagonala sila . Iz vrha sile povuku se preostale stranice paralegrama. Izmjere se stranice i tako dobiju iznosi komponenti i .

1cm 1N; ,

Grafički pomoću pravila vektorskog poligonaKroz početak sile povuče se paralela sa p1, a kroz vrh paralela sa p2 . Tako se definira trougao sila. Izmjere se stranice i dobiju se iznosi i .

1cm 1N; ,

U oba slučaja grafički je predstavljena jednačina . U ovoj jednačini je poznat zbir, tj i pravci na kojima leže sile koje se sabiraju.

Analitički

; , ,

Ako označimo , ,

(1)

; , ,

(2)

Sistem jednačina (1)

(2)Rješenje sistema jednačina daje:

;

Direktno izračunavanje iz skice grafičkog rješenja pravilom vektorskog poligona

Sinusni poučak

x = + sin (180 – x) = sin x

;

ZADATAK 5.Silu intenziteta 5 N treba rastaviti na dvije komponente. Pravac djelovanja komonente zadan je, a

pravac djelovanja komonente treba odrediti tako da joj iznos bude minimalan.

Jednačinu predočimo grafički primjenom vektorskog poligona. Iz početka vektora

povučemo pravac koji je zadan. Iz vrha vektora treba povući prvac komponente tako da treća

stranica trougla sila, tj komponenta , bude najmanje dužine. Očito je da će to biti najkraća udaljenost

od vrha vektora do pravca sile , a to je dužina okomita na pravac .

1cm 1N

Crtkane linije pokazuju da svi mogući ostali vektori imaju veću dužinu od onog okomitog na pravac

komponente .F2 = 2,5 1 = 2,5 NF1 = 4,3 1 = 4,3 N = 600

Analitički:

F2 = F sin300 = 5 0,5 = 2,5 NF1 = F cos300 = 5 0,866 = 4,33 N

ANALITIČKI ZAPIS VEKTORA SILE KOJA DJELUJE NA OPĆEM PRAVCU U PROSTORU

Silu možemo najprije prikazati kao zbir komponente koja leži u ravni xy i komponente paralelne osi z

Komponentu prikažimo kao zbir komponenti paralelne osi x i paralelne osi y

Pa je

Ako uvedemo jedinične vektore na osama x,y i z, slijedi analitički zapis sile na općem pravcu u prostoru

N

Pokazat ćemo da je iz ovog zapisa je moguće odrediti iznos sile te pr5avac i smjer njenog vektora. Iz slike je vidljivo da je vektor leži na dijagonali kvadra čiji su bridovi komponente i . Iznos

je dnak je dijagonali tog kvadra:

U ovo izrazu nismo pisali jer je

, ,

Pravac i smjer vektora određujemo uglovima , i koje vektor gradi sa osama koordinatnog sistema:

, ,

Ove uglove možemo odrediti iz pravouglih trokuta Δ OAD, Δ OBD i Δ OCD. Valja zapaziti da je plošna dijagonala kvadra AD okomita na osu x, plošna dijagonala BD okomita na osu y, a plošna dijagonala CD okomita na osu z.

Fx 0, 0 900 Fy 0, 0 900 Fx 0, 900 1800 Fy 0, 900 1800

Fz 0, 0 900 ; Fy 0, 900 1800

ODREĐIVANJE KOMPONENATA Fx , Fy i Fz

Neka su zadane tačke O i D kroz koje prolazi pravac sile . Komponente te sile mogu se odrediti ako se izračunaju kosinusi uglova , i što ih sila gradi sa osama x, y i z:

, ,

Za izračunavanje kosinusa uglova , i treba definirati kvadar kojem je prostorna dijagonala dužina OD, a bridovi su mu paralelni sa osama x, y i z. To ćemo učiniti tako da iz tačke O u dačku D „ idemo putevima O A paralelno osi x, A B1 paralelno osi y i B1 D paralelno osi z. Ovi putevi definiraju bridove kvadra paralelne osama x, y i z:

OA = a , AB1 = b , B1D = c

Prostorna dijagonala kvadra iznosi

Kosinusi uglova , i :

, ,

Ako prostorna dijagonala zatvara ugao manji od 900 s negativnim smerom koordinatne ose, označavamo taj ugao indeksom 1:

1 , 1 , 1

OA = a, AB1= b, B1D = c

, ,

Slijede komponente sile :

ili

ili

ili 1cosFFz

SABIRANJE SILA i KOJE LEŽE NA OPĆIM PRAVCIMA U PROSTORU

Analogno analitičkom sabiranju sila koje leže u ravni xy možemo pisati

=

=

, ,

Općenito vrijedi

, ,

ZADATAK 6.Odrediti veličinu sila F1 i F2 kao i uglove koje pravci sila grade sa osama Dekartovog koordinatnog sistema. Zadano i

Rješenje:

Projekcije sile F1

N, N, N

Veličina sile F1

Uglovi koje sila gradi sa osama koordinatnog sistema

Komponente sile F2

N, N, N

Uglovi koje sila gradi sa osama koordinatnog sistema

ZADATAK 7.Dati vekorski zapis sile F, veličine 200 N. Sila u prostoru gradi sa osama Dekartovog koordinatnog sistema uglove α, β = 600 i γ = 450

Rješenje:

Komponente sile F su:

Sila F u vektorskom obliku

ZADATAK 8.Napisati sile u vektorskom obliku, ako je zadano F1 = 5 kN, F2 = 2 kN, θ1 = 600, θ2 = 600 i θ3 = 450

Rješenje:Komponente sile F1

Vektorski zapis sile F1

Komponente sile F2

Vektorski zapis sile F2

ZADATAK 9.Odredit projekcije sile na ose Dekartovog koordinatnog sistema. Zadano F = 10 kN, β = 300, γ = 750

Rješenje:

Komponente sile

ZADATAK 10.Odrediti veličinu sile F ako su zadane njene komponente FX = 50 N i FZ = -90 N. Ugao koji gradi sila F sa pozitivnom osom y je β = 700.

Rješenje:

ZADACI ZA DOMAĆU ZADAĆU

ZADATAK 1.

Na ploču vezanu za podlogu vezana su tri ugaonika izložena djelovanju sila i . Iznosi sila su:

F1 = 15 kN, F2 = 20 kN i F3 = 15 kN. Grafički i analitički odrediti veličinu, pravac i smjer rezultante .

ZADATAK 2.Rezultanta sila i intenziteta 6 kN leži na pravcu pozitivne ose x. Sila gradi sa osom x ugao 300 . Odrediti ugao za koji će iznos sile FB biti minimalan.

ZADATAK 3.Ako komponenta sile u pravcu ose u ima intenzitet Fu = 6kN, odrediti veličinu sile F kao i njenu komponentu u prvcu ose v Fv.

ZADATAK 4.Odrediti veličinu rezultante sila i , ako je zadano F1 = 100 N, F2 = 150 N, θ = 300, φ = 600

ZADATAK 5.Napisati silu u vektorskom obliku, ako je zadano F = 100 N, α = 600, γ = 300.

ZADATAK 6.Odrediti projekcije, veličinu i pravac sile ako je zadano: F1 = 20 N, FR = 50 N, α = 1100 i β = 800.