VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO ITVE

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGO�KA FAKULTETA

Pou£evanje, predmetno pou£evanje

Terezija Ceferin

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVEPOSPLO�ITVE

Magistrsko delo

Ljubljana, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGO�KA FAKULTETA

Pou£evanje, predmetno pou£evanje

Terezija Ceferin

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVEPOSPLO�ITVE

Magistrsko delo

Mentor: dr. Du²an Repov², red. prof.

Somentor: dr. Matija Cencelj, red. prof.

Ljubljana, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se obema mentorjema za usmerjanje pri nastajanju magistrskegadela. Najlep²a hvala za vso strokovno pomo£, predloge, pripombe in razlage.

Zahvalo izrekam tudi svojim najbliºjim, ki so me spodbujali tekom ²tudija inpri pisanju magistrskega dela.

Povzetek

V magistrskem delu predstavljamo Vivianijev izrek, ki velja v enakostrani£nemtrikotniku in pravi, da je vsota razdalj med poljubno to£ko in stranicami enakavi²ini trikotnika oziroma vsota razdalj je konstantna. V delu ugotavljamo, alije vsota razdalj od to£ke do stranic neenakostrani£nega trikotnika tudi enakakateri izmed vi²in trikotnika oziroma raziskujemo, ali obstaja kak²no drugo raz-merje med vsoto razdalj in vi²inami. Nadalje preu£ujemo posplo²itve izrekana mnogokotnike in poliedre. Koncept posplo²itve na izbranih primerih prika-ºemo z uporabo razli£nih metod. V ta namen lo£eno preu£ujemo konveksnein konkavne mnogokotnike (oziroma poliedre). V zaklju£nem delu navedemokonkretne primere obravnave izreka pri matematiki v ²oli in primer njegoveuporabe pri risanju diagramov, ki imajo obliko enakostrani£nega trikotnika.

Klju£ne besede: Vivianijev izrek, enakostrani£ni trikotnik, lastnost konstan-tne Vivianijeve vsote (CVS lastnost), segment izosumarnih to£k, izosumarniprerez, konveksni mnogokotnik, konveksni polieder.

Abstract

The present master's thesis deals with Viviani's theorem valid in an equilateraltriangle and stating that the sum of the distances between any interior pointand the sides equals the triangle's altitude i.e. that the sum of the distances isconstant. In the paper it is investigated whether the sum of the distances froman interior point to the sides of a nonequilateral triangle also equals any of thetriangle's altitudes or whether there exists any other relation between the sumof the distances and the altitudes. A further investigation refers to a genera-lisation of the theorem to other polygons and polyhedra. The generalisationconcept on chosen examples is shown by the use of various methods. To thisend, convex and concave polygons (or polyhedra) are investigated separately.The conclusion gives concrete examples of dealing with the theorem in classand an example of its use in the drawing of diagrams having the form of anequilateral triangle.

Key words: Viviani's theorem, equilateral triangle, constant Viviani sum pro-perty (CVS property), isosum segment, isosum cross section, convex polygon,convex polyhedron.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Vivianijev izrek 32.1 Vincenzo Viviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Vivianijev izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 �e nekaj dokazov Vivianijevega izreka . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Geometrijski dokaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Vektorski dokaz - po Samelsonu . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Prvi dokaz brez besed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.4 Drugi dokaz brez besed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.5 Dokaz z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov in pa-

ralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Obrat Vivianijevega izreka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 To£ka izven enakostrani£nega trikotnika . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Ugotovitvi izhajajo£i iz Vivianijevega izreka 193.1 �Po²evni� Vivianijev izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 �Bratranec� Vivianijevega izreka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Vivianijev izrek v neenakostrani£nih trikotnikih 234.1 Vivianijev izrek v raznostrani£nih trikotnikih . . . . . . . . . . . 234.2 Vivianijev izrek v enakokrakih trikotnikih . . . . . . . . . . . . 26

5 Posplo²itve Vivianijevega izreka 315.1 Lastnost konstantne Vivianijeve vsote . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Posplo²itev na poljubne trikotnike . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Posplo²itev na konveksne mnogokotnike . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Posplo²itev na konveksne poliedre . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Posplo²itev na konkavne mnogokotnike in poliedre . . . . . . . . 405.6 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Vivianijev izrek in ²olska matematika 556.1 Primer 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2 Primer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3 Primer 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Pomen obravnave razli£nih dokazov . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Uporaba Vivianijevega izreka 69

8 Zaklju£ek 71

Ilustracije

2.1 Vincenzo Viviani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Enakostrani£ni trikotnik s pravokotnimi projekcijami to£ke P . . 62.3 Razdelitev enakostrani£nega trikotnika na manj²e trikotnike. . . 72.4 Geometrijski dokaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Koncikli£ne to£ke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Vektorski dokaz po Samelsonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Dokaz brez besed - z rotacijo in s translacijo. . . . . . . . . . . 112.8 Dokaz brez besed - s translacijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.9 Vzporednice stranic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10 Obrat Vivianijevega izreka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.11 Nosilke stranic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.12 Izbira to£ke P izven 4ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Ali velja PM + PN + PO = AD? . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Konstantna vsota dolºin daljic BD,CE in AF . . . . . . . . . . 21

4.1 Velikosti vi²in v raznostrani£nem trikotniku. . . . . . . . . . . . 234.2 Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z naj-

kraj²o vi²ino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z naj-

dalj²o vi²ino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Minimalna in maksimalna vsota razdalj v raznostrani£nem tri-

kotniku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer je kraj²a vi²ina

tudi simetri£na os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, ko je to£ka P na osnov-

nici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer dalj²a vi²ina pred-

stavlja simetri£no os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.8 Vsota razdalj, ko je to£ka P izven enakokrakega trikotnika. . . . 28

4.9 Segmenti v raznostrani£nem trikotniku. . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1 Konveksna mnoºica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Konkavna mnoºica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Konveksni mnogokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Konkavni mnogokotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5 Segmenti izosumarnih to£k v konkavnem mnogokotniku . . . . . 415.6 Razdelitev konkavnega mnogokotnika ABCDEFGH na konve-

ksne mnogokotnike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.7 Deltoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.8 Segmenti izosumarnih to£k vzporedni premici y = (1 +

√2)x. . . 47

5.9 To£ka P v �enakostrani£nem trikotniku� petkotnika. . . . . . . . 475.10 To£ka P v �pravokotniku� petkotnika. . . . . . . . . . . . . . . . 485.11 Konstantna vsota razdalj v asimetri£nem petkotniku. . . . . . . 495.12 Postavitev pravilnega petkotnika v enakokotni petkotnik. . . . . 505.13 To£ko P na robu tetraedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.14 To£ka P na ploskvi tetraedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.15 To£ka P znotraj tetraedra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1 Problem minimizacije vsote a+ b+ c. . . . . . . . . . . . . . . . 566.2 �Dokaz� v programu Geometer's Sketchpad. . . . . . . . . . . . 586.3 Koordinatni geometrijski �dokaz�. . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Transformacijski �dokaz�: prvi korak. . . . . . . . . . . . . . . . 606.5 Transformacijski �dokaz�: drugi korak. . . . . . . . . . . . . . . 606.6 Transformacijski �dokaz�: tretji korak. . . . . . . . . . . . . . . . 616.7 Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika vzdolº vi²ine. . . 626.8 Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika horizontalno. . . 626.9 Raziskovanje Vivianijevega izreka v programu Geometer's Sket-

chpad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.10 Potek �dokaza� v 6 korakih. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.11 Prikaz re²evanje problema v enakokotnem petkotniku v Geome-

ter's Sketchpad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.1 Trikomponentni fazni diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Diagram vnetljivosti metana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Poglavje 1

Uvod

Vivianijev izrek sodi med izreke elementarne geometrije. Ime nosi po VincenzuVivianiju, ki je izrek prvi dokazal, in sicer na podlagi vsote plo²£in. Dokazi soena najpomembnej²ih prvin matematike. Najbolj²i dokazi nam poleg potrditveresni£nosti dolo£ene trditve uspejo predstaviti tudi razlog, zakaj je resni£na.V ta namen se v prvem delu magistrskega dela osredoto£imo na razli£ne pri-mere dokazovanja Vivianijevega izreka. Samelson1 je izrek dokazal z uporabovektorjev, Chen in Liang pa sta izrek prav tako z vektorsko metodo uteme-ljila v obratni smeri. Kawasaki je za dokazovanje izreka uporabil rotacije, karje prikazal s tako imenovanim dokazom brez besed. Tretje poglavje je name-njeno predstavitvi dveh izrekov, ki sta se oblikovala na podlagi Vivianijevegaizreka:�po²evni� Vivianijev izrek in �bratranec� Vivianijevega izreka.

Vivianijev izrek je bil prvotno dokazan za enakostrani£ne trikotnike. Kasnejese je izkazalo, da ga lahko posplo²imo tudi na mnogokotnike oziroma poliedre.V ta namen smo si postavili problemsko vpra²anje, kako analiti£no oz. ge-ometrijsko dokazati veljavnost Vivianijevega izreka za mnogokotnike oziromapoliedre. Odgovori na ta vpra²anja so predstavljeni v £etrtem in petem po-glavju. Posplo²itev izreka na konveksne mnogokotnike pravi, da lahko vsakkonveksni mnogokotnik razdelimo na vzporedne segmente, na katerih je vsotarazdalj konstantna. Druga£e re£eno: to£ke na dolo£enem segmentu imajoenako vsoto razdalj do stranic. Pri tem vpeljemo pojem lastnosti konstantneVivianijeve vsote. Podobno kot pri mnogokotnikih dokaºemo posplo²itev Vivi-anijevega izreka na konveksne poliedre. Izkaºe se, da vsak konveksni poliederlahko razdelimo na vzporedne preseke tako, da je vsota razdalj konstantna navsakem pre£nem preseku. Nadalje ugotovimo, da pri konkavnih mnogokotnikih

1Hans Samelson (1916�2005): nem²ko-ameri²ki matematik

1

2 POGLAVJE 1. UVOD

in konkavnih poliedrih posplo²itve izreka, ki velja za konveksne mnogokotnikein poliedre, ne moremo dokazati.

Vivianijev izrek spada med preprostej²e geometrijske izreke in je primeren zaobravnavo v osnovni ²oli. V ²estem poglavju podamo primere u£nih ur. Vzaklju£nem poglavju si ogledamo ²e primer uporabnosti Vivianijevega izreka vkemijski stroki. Koncept izreka se nana²a na oblikovanje diagramov, ki imajoobliko enakostrani£nega trikotnika.

Pri raziskovanju tematike se v magistrskem delu posluºujemo teoreti£nega pri-stopa na osnovi ²tudija tuje literature. Delo doprina²a k bolj²emu poznavanjuVivianijevega izreka v slovenskem prostoru, saj je malo slovenske literature nato temo.

Poglavje 2

Vivianijev izrek

Odkritje Vivianijevega izreka izhaja iz re²itve problema, s katerim je Pierre deFermat1 izzval Galilejevega2 u£enca E. Torricellija3 : v trikotniku 4ABC poi-²£i tako to£ko F , da bo vsota razdalj |AF |+|BF |+|CF |minimalna. Toricelli jena²el ve£ re²itev tega problema. Iskano to£ko so poimenovali Fermatova to£ka.Geometrijsko Fermatovo to£ko F dobimo tako, da nad vsako stranico 4ABCnari²emo enakostrani£ne trikotnike. �e poveºemo na novo nastala ogli²£a zogli²£i prvotnega 4ABC, se bodo vse tri premice sekale v Fermatovi to£ki.Poleg tega je Toricelli tudi pokazal, da re²itev problema obstaja le, £e so vsikoti 4ABC manj²i od 120◦. Torricellijevo re²itev problema je objavil njegov²tudent Viviani leta 1659 v delu De maximis et minimis geometrica Divinatio,v katerem je tudi zapisal izrek, ki se imenuje po njem � Vivianijev izrek [26].

2.1 Vincenzo Viviani

Vincenzo Viviani (1622�1703)(slika 2.1) je bil italijanski matematik in �zik.Rodil se je 5. 4. 1622 v Firencah. Sprva je ²tudiral humanistiko na jezuitski²oli. S svojo inteligenco in matemati£nim talentom je navdu²il G. Galilea in prisedemnajstih letih je postal njegov ²tudent ter sodelavec. Pri njem se je usmerilv ²tudij �zike in geometrije. Po Galilejevi smrti je sodeloval z E. Torricellijem,s katerim je z eksperimenti pripomogel k razvoju barometra. Leta 1647 je bilViviani imenovan za predavatelja na Akademiji za oblikovanje (Accademia delDisegno) v Firencah, postal je tudi u£itelj matematike v druºini Medici ter bil

1Pierre S. de Fermat (1601-1665): francoski pravnik, matematik in �zik.2Galileo Galilei (1564-1642): italijanski �zik, matematik, astronom in �lozof.3Evangelista Torricelli (1608-1647): italijanski �zik in matematik.

3

4 POGLAVJE 2. VIVIANIJEV IZREK

imenovan za inºenirja na U�ziali dei Fiumi, kjer je delal do svoje smrti.

Leta 1657 je Viviani postal eden prvih £lanov Eksperimentalne akademije(Accademia del Cimento), kjer je izvajal znanstvene poskuse. Leta 1696 jepostal £lan Kraljeve druºbe v Londonu. �ez tri leta je bil izvoljen za enega odosmih tujih £lanov Academie Royale des Sciences v Parizu [26]. V sodelova-nju z Giovannijem Borellijem4 je raziskoval podro£je hitrosti in ²irjenja zraka.Leta 1656 sta z uporabo nihala kot napravo za merjenje £asa dokazala, da zrakprepotuje dvakrat ve£jo razdaljo pri podvojitvi £asa, z drugimi besedami: hi-trost zraka je konstantna. Dva dni po tej ugotovitvi sta naredila eksperimentza dolo£itev hitrosti zraka. S pomo£jo nihala sta izmerila £as med bliskom obizstrelitvi topovske krogle in sli²anim pokom. S tem sta dobila izra£un, da jehitrost zraka 350 m/s in za 128 m/s izbolj²ala vrednost dotedanje izmerjenevrednosti. Dana²nji natan£ni rezultati kaºejo, da zrak potuje s hitrostjo 331,29m/s pri temperaturi 0 ◦C. Na akademiji je izumil ²tevilne instrumente za pre-u£evanje kompresije zraka, speci�£ne teºe teko£in, kapilarnih pojavov. Izdelalje zra£ni termometer, vlagomer in teleskop.

V svoji dolgoletni karieri je Viviani objavljal knjige z matemati£nimi in �zi-kalnimi temami. Po Galilejevi smrti je uredil prvo izdajo Galilejevih zbranihdel (1655�1656). Svoje raziskovanje je usmeril predvsem v ²tudij geometrije.Velik projekt, ki je potekal skoraj celo njegovo ºivljenje, je bila obnova delaAristeja Starej²ega (De locis solidis secunda divinatio geometrica in quinquelibros iniuria temporum amissos tristaei senioris geometrae). To je bil priro£-nik o stoºnicah, £igar prva izdaja je iz leta 1673, dopolnjeno delo pa je iz²lodve leti pred njegovo smrtjo, leta 1701. Obnavil je peto Apolonijevo knjigo ostoºnicah (Apollonius' Conics), ki je bila izdana leta 1695. V delu Quinto librodegli Elementi d'Euclide: ovvero Scienza universale delle proporzioni spiegatacolla dottrina del Galileo, con nuov'ordine distesa (1674) se je posvetil dopolni-tvi nekaterih geometrijskih problemov. Med njimi je re²il problem delitve kotana tri dele - re²il ga je z uporabo cilindri£ne spirale ali cikloide ter problempodvajanje kocke (kako konstruirati kocko, ki ima dvakrat ve£jo prostorninood prvotne kocke) - re²il ga je s sredinami stoºnic oziroma s kubom xy2 = k.Pomembno Vivianijevo delo je bilo tudi dokon£anje obnovitve pete knjige Ev-klidovih Elementov, ki sta jo za£ela Torriceli in Galileo. Prva izdaja te knjigeje bila leta 1674, £ez dve leti je sledila druga dopolnjena razli£ica.

4Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679): italijanski �ziolog, �zik, astronom in matematik.

2.1. VINCENZO VIVIANI 5

Viviani je objavil knjigi Diporto Geometrico (1676) in Enodatio problematumuniversis geometris propositorum (1677). Prvo delo je vsebovalo re²itve dva-najstih geometrijskih problemov, ki jih je kot izziv postavil Cristoforo Sadler.Kot inºenir je objavil delo Discorso intorno al difendersi da' riempimenti edalle corrosione de' �umi (1687) ter zapustil ²tevilne rokopise o hidravliki. Ponjegovi smrti je iz²lo njegovo delo o odpornosti trdnih snovi, ki ga je dokon£alin izdal Guido Grandi [27].

Slika 2.1: Vincenzo Viviani.


2.2 Vivianijev izrek

Izrek 2.2.1 (Vivianijev izrek) V enakostrani£nem trikotniku je vsota raz-dalj med poljubno notranjo to£ko P in stranicami enaka vi²ini trikotnika.

Dokaz: Naj bo dan enakostrani£ni trikotnik 4ABC z dolºino stranice a,vi²ino ha in ogli²£i A,B in C. V notranjosti trikotnika izberimo poljubnoto£ko P . S to£kami PAB, PBC in PCA ozna£imo pravokotne projekcije to£ke Pna stranice AB,BC in CA trikotnika 4ABC (slika 2.2).

Slika 2.2: Enakostrani£ni trikotnik s pravokotnimi projekcijami to£ke P .

To£ko P poveºemo z ogli²£i 4ABC in ga s tem razdelimo na tri manj²e triko-tnike 4ABP , 4BCP in 4CAP (slika 2.3). Vsota plo²£in manj²ih trikotnikovje tedaj enaka plo²£ini prvotnega trikotnika:

S = SABP + SBCP + SCAP . (2.1)

2.3. �E NEKAJ DOKAZOV VIVIANIJEVEGA IZREKA 7

Slika 2.3: Razdelitev enakostrani£nega trikotnika na manj²e trikotnike.

Ker se plo²£ina poljubnega trikotnika izra£una kot polovi£ni produkt osnovnicein pripadajo£e vi²ine, dobimo izra£un (2.3), da je vi²ina prvotnega trikotnikaenaka vsoti vi²in manj²ih trikotnikov. Vi²ine manj²ih trikotnikov ozna£imoPPAB = h1, PPBC = h2, PPCA = h3 in preoblikujemo ena£bo (2.1):

(a·ha)2

=(a·h1)

2+

(a·h2)2

+(a·h3)

2, (2.2)

in z mnoºenjem ena£be (2.2) z 2adobimo

ha = h1 + h2 + h3. (2.3)

�

2.3 �e nekaj dokazov Vivianijevega izreka

Osnovni dokaz Vivianijevega izreka temelji na izra£unu povr²ine in ga imenu-jemo algebrski dokaz. V nadaljevanju so predstavljeni ²e nekateri drugi na£inidokazovanja tega izreka.

2.3.1 Geometrijski dokaz

Dokaz: (Geometrijski dokaz) V enakostrani£nem trikotniku 4ABC skozito£ko P nari²emo daljico A1B1, ki je vzporedna stranici AB (slika 2.4). Pri


tem je jasno, da ne glede na to, kje se to£ka P nahaja na daljici A1B1, ostajarazdalja med P in AB enaka. Nadalje pokaºemo, da je vsota razdalj od P dostranic BC in CA enaka ne glede na to, kje na daljici A1B1 je to£ka P (vsota|PE| + |PF | je konstantna). Za ta namen dolo£imo novo to£ko P1 na daljiciA1B1 in nari²emo pravokotnici P1E1 in P1F1 od to£ke P1 na stranici BC oz.CA. Dokazati moramo, da |PE|+ |PF | = |P1E1|+ |P1F1|. Nari²emo pravoko-tnici PQ⊥P1F1 in P1R⊥PE. Pri premiku to£ke P v to£ko P1 se razdalja dostranice BC zmanj²a za |PR|, medtem ko se razdalja do stranice CA pove£aza |P1Q|. Torej moramo pokazati, da |P1Q| = |PR|.

Slika 2.4: Geometrijski dokaz.

Ker PQ⊥P1Q in P1R⊥PR, so to£ke P,Q,R, P1 koncikli£ne � to pomeni, dato£ke leºijo na isti kroºnici (po Talesovem izreku, ki pravi, da je obodni kotnad premerom kroºnice pravi kot, je v na²em primeru PP1 premer kroºnice)(slika 2.5). Nadalje, obodna kota nad lokoma PR in P1Q sta enaka in merita60◦. Po izreku o sredi²£nem in obodnem kotu v ravninski geometriji, ki pravi,da so vsi obodni koti nad istim lokom med seboj skladni, sledi zaklju£ek, daimata PR in P1Q enako dolºino. Pri tem ne smemo pozabiti, da je PQRP1

enakokraki trapez. Iz tega sledi, da £e to£ko P premikamo vzdolº daljice, ki jevzporedna katerikoli stranici trikotnika, potem vsota razdalj do stranic ostajakonstantna [17].


Slika 2.5: Koncikli£ne to£ke.

�

2.3.2 Vektorski dokaz - po Samelsonu

Pri re²evanju problemov v ravnini in v prostoru si velikokrat pomagamo zuporabo vektorjev. Tako re²evanje ponavadi zahteva ra£unanje dolºin, kotov,preverjanje pravokotnosti ali vzporednosti in podobno. V primeru dokazovanjaVivianijevega izreka, je moºno oblikovati dokaz z vektorji na razli£ne na£ine.Hans Samelson je bil prvi, ki je Vivianijev izrek dokazal z uporabo vektorjevpo slede£em principu:

Dokaz: (Vektorski dokaz po Samelsonu [15])

|−→u1| = |−→u2| = |−→u3|

−→u1 +−→u2 +−→u3 = 0

−→u1 · −→w +−→u2 · −→w +−→u3 · −→w = 0

(d1 − d′1) + (d2 − d′2) + (d3 − d′3) = 0

d1 + d2 + d3 = d′1 + d′2 + d′3


Slika 2.6: Vektorski dokaz po Samelsonu.

Skica dokaza: naj bo P poljubna notranja to£ka v 4ABC. Z −→u1,−→u2 in −→u3ozna£imo enotske vektorje, ki imajo izhodi²£e v to£ki P in so pravokotni nastranice trikotnika. Z d1, d2, d3 oz. d′1, d

′2 in d

′3 ozna£imo razdalje od to£ke P

oz. P ′ do stranic trikotnika (slika 2.6). Enotski vektorji imajo dolºino 1, zatovelja: |−→u1| = |−→u2| = |−→u3|. Vsak kot enakostrani£nega trikotnika meri 60◦, kotmed dvema enotskima vektorjema pa 120◦ (po izreku o vsoti notranjih kotovv ²tirikotniku). Iz tega sledi, da je vsota enotskih vektorjev enaka 0:

−→u1 +−→u2 +−→u3 = 0.

�e to£ko P prestavimo za vektor −→w v to£ko P ′, se vsota vektorjev ne spremeni:

−→u1 · −→w +−→u2 · −→w +−→u3 · −→w = 0.

Nadalje velja: cosσ =d1−d′1|−→w | (kjer je σ kot med −→w in −→u1). Podobno zapi²emo

cosα =d2−d′2|−→w | in cos β =

d3−d′3|−→w | (kjer je α kot med −→w in −→u2, in je β kot med −→w

in −→u3). Iz tega sledi:

|−→w |·(d1 − d′1)

|−→w |+ |−→w |·(d2 − d

′2)

|−→w |+|−→w |·(d3 − d

′3)

|−→w |= 0

in dobimo:(d1 − d′1) + (d2 − d′2) + (d3 − d′3) = 0.

�


2.3.3 Prvi dokaz brez besed

Pri dokazovanju imajo slike pomembno vlogo pri pojasnjevanju danih spremen-ljivk. Toda brez ena£b slike malo povedo o veljavnosti obravnavanega izreka.Vendar to vedno ne drºi. V nasprotju s takim dokazom obstaja t.i. dokazbrez besed - DBB (ang. proof without words - PWW), kjer ima glavno vlogoslika. Namen takega dokaza je, da slika predstavlja jasen dokaz in (skoraj) nipotrebe po dodatni besedni razlagi ali zapisovanju ena£b.

Dokaz:

Slika 2.7: Dokaz brez besed - z rotacijo in s translacijo.

Na sliki 2.7 opazimo, da lahko razumemo dokaz Vivianijevega izreka zgolj zvrtenjem in s translacijo notranjih enakostrani£nih trikotnikov ter z upo²teva-njem odnosov med pravokotnicami in vi²ino trikotnika.

Pojasnilo dokaza: izberimo poljubno to£ko P znotraj enakostrani£nega tri-kotnika in nari²imo pravokotnice od to£ke P na vse tri stranice. Nato na-redimo tri nove enakostrani£ne trikotnike tako, da skozi to£ko P nari²imodaljice, ki so vzporedne s stranicami prvotnega enakostrani£nega trikotnika.Pravokotne daljice, ki smo jih predhodno narisali, so vi²ine novonastalih ena-kostrani£nih trikotnikov (slika 2.7a). Naslednji korak je rotacija trikotnikovtako, da so narisane vi²ine v navpi£ni legi (slika 2.7b). Sledi translacija levegatrikotnika (slika 2.7c) in translacija ostalih dveh trikotnikov tako, da vi²inemanj²ih enakostrani£nih trikotnikov predstavljajo vi²ino prvotnega trikotnika(slika 2.7d)[4]. �


2.3.4 Drugi dokaz brez besed

Dokaz:

Slika 2.8: Dokaz brez besed - s translacijo.

Slika 2.8 dokazuje izrek na podoben na£in kot prvi dokaz brez besed. Razlikaje v tem, da se v tem dokazu uporabi le translacija trikotnikov. Pri temmanj²e enakostrani£ne trikotnike premaknemo k eni izmed stranic prvotnegatrikotnika. Ker so vse vi²ine na stranice v enakostrani£nem trikotniku enakovelike, lahko zaklju£imo, da je vsota razdalj poljubne notranje to£ke do stranicenakostrani£nega trikotnika enaka njegovi vi²ini [20].

�

2.3.5 Dokaz z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov in

paralelograma

Dokaz: Pri tem dokazu bomo uporabili naslednja dva glavna koncepta: po-dobni trikotniki in njihove lastntosti ter lastnosti paralelogramov. Najprejnari²emo daljice skozi poljubno to£ko P : daljico IL, ki je vzporedna stra-nici AC, daljico MJ vzporedno stranici AB in daljico KN vzporedno straniciBC (slika 2.9). Trikotniki 4LKP , 4MPN in 4PJI so podobni trikotniku4ABC in so torej enakostrani£ni. Daljice PD, PE, PF in CS ozna£ujejovi²ine v posameznem trikotniku. Izhajajo£ iz podobnosti trikotnikov zapi²emorazmerja:


|PD||CS|

=|LK||AB|

|PE||CS|

=|JI||BC|

|PF ||CS|

=|NM ||CA|

Slika 2.9: Vzporednice stranic.

Nadalje zapi²emo enakost:

|PD||CS|

+|PE||CS|

+|PF ||CS|

=|LK||AB|

+|JI||BC|

+|NM ||CA|

.

Ker velja |AB| = |BC| = |CA|, sledi:

|PD||CS|

+|PE||CS|

+|PF ||CS|

=|LK||AB|

+|JI||AB|

+|NM ||AB|

.

Ker velja |NM | = |MP | = |AL| (ALPM je paralelogram) in|JI| = |PJ | = |KB| (KBJP je paralelogram), sledi:

|PD||CS|

+|PE||CS|

+|PF ||CS|

=|LK||AB|

+|KB||AB|

+|AL||AB|


in dobimo|AL|+ |LK|+ |KB| = |AB|.

Iz tega sledi [21]:

|PD||CS|

+|PE||CS|

+|PF ||CS|

= 1

in dobimo, da|PD|+ |PE|+ |PF | = |CS|.

�

2.4 Obrat Vivianijevega izreka

V nadaljevanju je podan obrat Vivianijevega izreka: £e je vsota razdalj odpoljubne to£ke znotraj trikotnika do stranic konstantna, potem je trikotnikenakostrani£ni.

Izrek 2.4.1 Naj bo 4ABC trikotnik, v katerem obstaja podmnoºica R z ne-prazno notranjostjo, da je vsota razdalj poljubne to£ke P ∈ R do vseh trehstranic neodvisna od P . Tedaj je 4ABC enakostrani£ni trikotnik.

Dokaz: Naj bo P to£ka v podmnoºici R in naj bodo −→u1, −→u2 in −→u3 enotskivektorji, ki imajo izhodi²£e v to£ki P in so usmerjeni pravokotno na stranicetrikotnika (slika 2.10). Pokazati ºelimo, da vsak kot med dvema enotskimavektorjema meri 120◦, iz £esar bo sledilo, da vsak kot trikotnika meri 60◦.

Najprej dokaºemo, da je vsota treh enotskih vektorjev −→u = −→u1 +−→u2 +−→u3 enaka0. Recimo, da to ne drºi. Iz na²e hipoteze sledi, da obstaja neka to£ka P ′ 6= Pv podmnoºici R. �e trdimo, da je −→u = −→u1 +−→u2 +−→u3 neni£elni vektor, potempredpostavimo, da je P ′ taka to£ka, da ima vektor

−−→PP ′ isto smer kot vektor

−→u , kar pomeni, da sta−−→PP ′ in −→u vzporedna.

Naj −→w ozna£uje vektor−−→PP ′ in naj bo θ kot med −→u1 in −→w . Z d1, d2 in d3

ozna£imo razdalje od to£ke P do stranic 4ABC, z d′1, d′2 in d′3 pa zapi²imorazdalje od to£ke P ′ do stranic. Po predpostavki velja enakost d1 + d2 + d3 =d′1 + d′2 + d′3 oziroma

(d1 − d′1) + (d2 − d′2) + (d3 − d′3) = 0 (2.4)

2.4. OBRAT VIVIANIJEVEGA IZREKA 15

Slika 2.10: Obrat Vivianijevega izreka.

Z uporabo kotnih funkcij ter skalarnega produkta zapi²emo: cos θ =d1−d′1|−→w | ,

oziroma cos θ =−→u1 ·−→w|−→w | (kjer je −→u1 enotski vektor).

Ena£bi zdruºimo in dobimo −→u1 ·−→w = d1−d′1. Podobno zapi²emo −→u2 ·−→w = d2−d′2in −→u3 · −→w = d3 − d′3, ter vstavimo v ena£bo 2.4: −→u1 · −→w +−→u2 · −→w +−→u3 · −→w = 0,kar druga£e zapi²emo: −→u · −→w = 0. Ker gre za vzporedna vektorja, sledi da jevelikost vektorja |−→u | = 0 in pridemo do protislovja.

Sedaj moramo ²e dokazati, da −→u1 · −→u2 = −→u2 · −→u3 = −→u3 · −→u1 = −12. Za i = 1, 2 in 3

velja, da je −→ui ·(−→u1 +−→u2 +−→u3) = 0. Ker velja −→u1 ·−→u1 = 1 in −→ui (−→u1 +−→u2 +−→u3) = 0,sledi 1 +−→u1 · −→u2 +−→u1 · −→u3 = 0 in −→u1 · −→u2 +−→u1 · −→u3 = −1., Iz £esar sledi, da

−→u1(−→u2 +−→u3) = −→u2(−→u1 +−→u3) = −→u3(−→u1 +−→u2) = −1.

�e z λ ozna£imo −→u1 · −→u2 = λ, potem velja −→u1 · −→u3 = −→u2 · −→u3 = −1− λ.Z izra£unom −→u1 · −→u3 +−→u2 · −→u3 = −1 dobimo

−1− λ− 1− λ = −1

λ = −1

2.


Tako dobimo, da je−→u1·−→u2 = −12, kar pomeni, da vsak kot med dvema enotskima

vektorjema meri 2π3. To pomeni, da je 4ABC enakostrani£ni trikotnik [5]. �

2.5 To£ka izven enakostrani£nega trikotnika

�e povzamemo, Vivianijev izrek pravi, da za vsako to£ko znotraj enakostra-ni£nega trikotnika velja, da je vsota razdalj od to£ke do stranic konstantna.Ta enakost velja tudi, £e izbrana to£ka leºi na eni izmed stranic enakostra-ni£nega trikotnika. Kaj pa v primeru, £e to£ka P leºi izven enakostrani£negatrikotnika? Videli bomo, da v tem primeru obstaja neko razmerje med tremipravokotnicami iz to£ke P na stranice in vi²ino prvotnega trikotnika, vendarse to razmerje spreminja glede na poloºaj to£ke P .

S podalj²anjem stranic prvotnega trikotnika (nari²emo nosilke stranic triko-tnika) se ravnina zunaj trikotnika razdeli na 6 obmo£ij (slika 2.11).

Slika 2.11: Nosilke stranic.

Izberemo si poljubno to£ko P v obmo£ju V in konstruiramo pravokotnice(d, e, f) iz to£ke P na vse tri stranice oz. nosilke trikotnika (slika 2.12a). Natopoveºemo to£ko P z ogli²£i trikotnika, da dobimo daljice PA, PB in PC. Takoskonstruiramo nove trikotnike: 4APB,4BPC in 4APC (slika 2.12b).

2.5. TO�KA IZVEN ENAKOSTRANI�NEGA TRIKOTNIKA 17

Slika 2.12: Izbira to£ke P izven 4ABC.

V 4APB s f ozna£imo vi²ino trikotnika na stranico AB. Plo²£ina 4APB jepotem |AB|·f

2. Podobno velja za plo²£ini trikotnikov 4BPC in 4APC, ki sta

|BC|·d2

in |CA|·e2

. S primerjavo teh plo²£in s plo²£ino prvotnega enakostrani£nega4ABC, dobimo slede£o povezavo: p4APB+p4APC−p4BPC = p4ABC,kar zapi²emo:

|AB| · f2

+|CA| · e

2− |BC| · d

2=|AB| · h

2,

kjer je h vi²ina prvotnega trikotnika.Ker je 4ABC enakostrani£ni trikotnik, torej velja|AB| = |BC| = |CA|, sledi

f + e− d = h.

Poglejmo si, kaj se zgodi v primeru, ko si izberemo to£ko P v obmo£ju I.Podobno kot prej konstruiramo pravokotnice iz to£ke P na vse tri stranicetrikotnika ter poveºemo to£ko P z ogli²£i trikotnika, da dobimo nove triko-tnike: 4APB,4BPC in 4APC. S primerjavo teh plo²£in s plo²£ino prvo-tnega enakostrani£nega4ABC, dobimo slede£o enakost: p4APB+p4BPC−p4APC = p4ABC, kar zapi²emo:

|AB| · f2

+|BC| · d

2− |CA| · e

2=|AB| · h

2.


Ker je 4ABC enakostrani£ni, sledi:

f + d− e = h.

Podobno zapi²emo za ostala ²tiri obmo£ja [16].

Poglavje 3

Ugotovitvi izhajajo£i iz

Vivianijevega izreka

Na osnovi Vivianijevega izreka sta bila v enakostrani£nem trikotniku dokazanatudi izreka, ki sta predstavljena v nadaljevanju.

3.1 �Po²evni� Vivianijev izrek

Miguel Ochoa Sanchez je raziskoval vsoto dolºin daljic od poljubne notranjeto£ke P , ki niso pravokotne na stranice enakostrani£nega trikotnika. Dokazalje slede£e:

Izrek 3.1.1 Naj bo 4ABC enakostrani£ni trikotnik. Nadalje naj bo to£kaD na stranici BC, to£ka E na AC in to£ka F na AB tako, da bodo daljice("ne-pravokotnice"na stranice trikotnika) AD,BE,CF enako dolge. To£keM,N,O naj leºijo na stranicah BC,CA,AB tako, da velja PM‖AD,PN‖BEin PO‖CF . Potem velja |PM |+ |PN |+ |PO| = |AD| (slika 3.1).

Pri dokazovanju upo²tevamo slede£e:

Lema 3.1.1 Naj bo P notranja to£ka enakostrani£nega trikotnika 4ABC inU prese£i²£e nosilke daljice AP s stranico BC. Potem velja: pl(4BCP )

pl(4ABC)= |PU ||AU | .

Dokaz: Dejansko se plo²£ini trikotnikov nana²ata na njihovi vi²ini na stranicoBC, ki sta sorazmerni z AU in PU . Sorazmernost velja (Talesov izrek), kersta vi²ini na BC vzporedni si stranici dveh podobnih trikotnikov, katera imatatudi stranici AU in PU . �

19

20POGLAVJE 3. UGOTOVITVI IZHAJAJO�I IZ VIVIANIJEVEGA IZREKA

Slika 3.1: Ali velja PM + PN + PO = AD?

Dokaz izreka 3.1.1:

Dokaz: Stranice AD,BE in CF ozna£imo s s, plo²£ine trikotnikov pl4BCPz x, pl4APC z y in pl4ABP z z. Prese£i²£e nosilke daljice AP s stranicoBC je to£ka U . Glede na zgornjo lemo lahko zapi²emo: |PU ||AU | = x

x+y+z.

V 4ADU , kjer PM ‖ AD, uporabimo Talesov izrek: |PU ||AU | = |PM ||AD| .

Odtod dobimo: |PM | = sxx+y+z

. Analogno zapi²emo za ostali daljici PN inPO: |PN | = sy

x+y+z, |PO| = sz

x+y+z.

Sledi le ²e izra£un vsote [25]:

sx

x+ y + z+

sy

x+ y + z+

sz

x+ y + z=s(x+ y + z)

x+ y + z= s.

�

3.2. �BRATRANEC� VIVIANIJEVEGA IZREKA 21

3.2 �Bratranec� Vivianijevega izreka

V prej²nem poglavju (v razdelku Obrat Vivianijevega izreka) smo ºe dokazali,da je vsota projekcij v enakostrani£nem trikotniku

−−→PB ·−→u 1+

−→PC ·−→u 2+

−→PA·−→u 3

konstantna ne glede na poloºaj to£ke P . Pri tem smo izhajali iz dejstva, daje vsota enotskih vektorjev −→u1 + −→u2 + −→u3 = 0. To dejstvo uporabimo tudi zaizhodi²£e podobnega izreka, ki ga imenujemo �bratranec� Vivianijevega izreka.

Izrek 3.2.1 Naj bo trikotnik 4ABC enakostrani£ni in naj bo P njegova no-tranja to£ka. Naj bodo PD,PE in PF pravokotnice na stranice BC,CA,AB.Potem velja, da ima vsota |BD| + |CE| + |AF | konstantno vrednost ne gledena poloºaj to£ke P (slika 3.2).

Slika 3.2: Konstantna vsota dolºin daljic BD,CE in AF .

Dokaz: Dokaz tega izreka temelji na Pitagorovem izreku. Ker velja |PB|2 =|PD|2 + |BD|2 (podobno velja za |PC|2 in |PA|2), dobimo: |PB|2 − |PC|2 =|BD|2 − |DC|2 = (|BD| − |DC|) · (|BD| + |DC|) = a(|BD| − |DC|), kjerje a stranica trikotnika Podobno velja za |PC|2 − |PA|2 in |PA|2 − |PB|2.Zapi²emo:

|PB|2 − |PC|2 = a(|BD| − |DC|),|PC|2 − |PA|2 = a(|CE| − |EA|),|PA|2 − |PB|2 = a(|AF | − |FB|).

Vsota vseh treh zgornjih koli£in na levi strani je enaka 0, zato je vsota na desnitudi enake 0. Iz tega sledi, da je (|BD| − |DC|) + (|CE| − |EA|) + (|AF | −

22POGLAVJE 3. UGOTOVITVI IZHAJAJO�I IZ VIVIANIJEVEGA IZREKA

|FB|) = 0. Zato je |BD| + |CE| + |AF | = |DC| + |EA| + |FB|. Kar pomeni|BD|+ |CE|+ |AF | = 3a

2= |DC|+ |FB|+ |EA| [17]. �

Poglavje 4

Vivianijev izrek v

neenakostrani£nih trikotnikih

V nadaljevanju bomo pogledali, kako je z veljavnostjo Vivianijevega izreka vpoljubnih trikotnikih. Raziskali bomo, ali je vsota razdalj od to£ke do stranicneenakostrani£nega trikotnikov enaka kateri izmed vi²in trikotnika. V pri-meru, da razdalje niso enake vi²ini, bomo raziskali, £e obstajajo kak²na drugarazmerja med vsoto razdalj in vi²ino.

4.1 Vivianijev izrek v raznostrani£nih trikotni-kih

Raznostrani£ni trikotnik ima vse tri stranice razli£no dolge in vsi notranjikoti so razli£no veliki. Pred obravnavo veljavnosti izreka v raznostrani£nemtrikotniku si oglejmo, kak²ne ima le-ta vi²ine (slika 4.1).

Slika 4.1: Velikosti vi²in v raznostrani£nem trikotniku.

23

24POGLAVJE 4. VIVIANIJEV IZREK VNEENAKOSTRANI�NIH TRIKOTNIKIH

Za vse raznostrani£ne trikotnike velja naslednja trditev:

Trditev 4.1.1 Naj bo V vsota razdalj od notranje to£ke P trikotnika do vsehtreh stranic. Potem je vsota razdalj ve£ja ali enaka najkraj²i vi²ini oziroma jemanj²a ali enaka najdalj²i vi²ini trikotnika (najkraj²a vi²ina trikotnika ≤ V ≤najdalj²a vi²ina trikotnika).

To velja tudi za vse topokotne trikotnike (pri tem se razdalja do stranice tri-kotnika interpretira kot razdalja do nosilke stranice).

Dokaz: (Dokaz brez besed)

Slika 4.2: Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z najkraj²ovi²ino.

Slika 4.3: Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z najdalj²ovi²ino.

Pojasnilo k sliki 4.2: v raznostrani£nem trikotniku nari²emo pravokotnice odto£ke P na stranice. Te pravokotnice so hkrati tudi vi²ine manj²ih raznostra-ni£nih trikotnikov, katere stranice so vzporedne stranicam prvotnega trikotnikain vsak od teh trikotnikov ima eno ogli²£e v to£ki P (slika 4.2). �e pogledamo

4.1. VIVIANIJEV IZREK V RAZNOSTRANI�NIH TRIKOTNIKIH 25

posamezni manj²i trikotnik in v njem za£rtano vi²ino, vidimo, da je v enemtrikotniku narisana najdalj²a vi²ina, v drugem srednje dolga, v tretjem pa jenajkraj²a glede na ostali dve vi²ini v posameznem trikotniku (slika 4.2 - prvitrikotnik na sliki). Nato v trikotnikih, ki nimata narisanih najkraj²ih vi²in,nari²emo njuni najkraj²i vi²ini (slika 4.2 - drugi trikotnik na sliki). S transla-cijo (slika 4.2 - tretji trikotnik na sliki) dobimo dokaz, da je vsota najkraj²ihvi²in enaka najkraj²i vi²ini prvotnega trikotnika (slika 4.2 - £etrti trikotnik nasliki). S tem dokaºemo, da je vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku ve£jaali enaka njegovi najkraj²i vi²ini. Podobno pojasnimo sliko 4.3 (V ≤ najdalj²avi²ina trikotnika). �

Iz dokaza je razvidno, da neenakost najkraj²a vi²ina trikotnika < V velja vprimeru, £e poljubna to£ka P ni v ogli²£u, do katerega sega najkraj²a vi²ina(slika 4.2). Prav tako velja druga neenakost V < najdalj²a vi²ina trikotnika, £eto£ka P ni v ogli²£u najdalj²e vi²ine (slika 4.3). To pomeni da je vsota razdaljmaksimalna oz. minimalna v dveh ogli²£ih. Vsota razdalj V zavzame mini-malno vrednost v ogli²£u, skozi katerega poteka najkraj²a vi²ina. V primeru,da poljubno to£ko izberemo v ogli²£u, skozi katerega poteka najdalj²a vi²ina,je vsota razdalj maksimalna (slika 4.4).

Slika 4.4: Minimalna in maksimalna vsota razdalj v raznostrani£nem triko-tniku.


4.2 Vivianijev izrek v enakokrakih trikotnikih

Enakokraki trikotnik je trikotnik, pri katerem sta dve stranici enako dolgi (skla-dni). Enako dolgi stranici se imenujeta kraka, tretja stranica je osnovnica. Vprimeru enakokrakega trikotnika bomo obravnavali vsoto razdalj glede na po-loºaj dolo£ene vi²ine. V primeru enakokrakega trikotnika imamo dve razli£nodolgi vi²ini (poimenovali ju bomo kraj²a oz. dalj²a vi²ina).

Primer 1: Enakokraki trikotnik, v katerem je kraj²a vi²ina sime-tri£na os.V tem primeru imamo eno kraj²o vi²ino in dve enako dolgi dalj²i vi²ini. Po-dobno kot pri raznostrani£nih trikotnikih v takem enakokrakem trikotniku ugo-tovimo, da dobimo najmanj²o vsoto razdalj, ko je poljubna to£ka kar ogli²£e,do katerega poteka kraj²a vi²ina. Najve£jo vsoto razdalj pa dobimo, £e po-ljubno to£ko izberemo kjerkoli na osnovnici (slika 4.5). Torej neenakost V <najve£ja vi²ina trikotnika velja, ko to£ka P ne leºi na osnovnici trikotnika.

Slika 4.5: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer je kraj²a vi²ina tudisimetri£na os.

4.2. VIVIANIJEV IZREK V ENAKOKRAKIH TRIKOTNIKIH 27

Nadalje ugotovimo, da je v primeru, ko to£ka leºi na osnovnici, vsota razdaljkar enaka dalj²i vi²ini enakokrakega trikotnika (slika 4.6).

Slika 4.6: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, ko je to£ka P na osnovnici.

Pojasnilo slike 4.6: poljubna to£ka P leºi na osnovnici enakokrakega trikotnika.Nari²emo pravokotni projekciji to£ke P na ostali dve stranici. Ti dve projekcijista hkrati tudi vi²ini manj²ih dveh enakokrakih trikotnikov, katere stranice sovzporedne stranicam prvotnega trikotnika. V obeh manj²ih trikotnikih je na-risana dalj²a vi²ina. Za bolj²o predstavo dokaza v enem manj²em trikotnikunari²emo drugo, a enako dolgo vi²ino, ter s translacijo dokaºemo, da je raz-dalja od to£ke do stranic enaka dalj²i vi²ini prvotnega enakokrakega trikotnika.

Primer 2: Enakokraki trikotnik, v katerem je dalj²a vi²ina simetri£naos.V tem primeru imamo eno dalj²o vi²ino in dve enako dolgi kraj²i vi²ini. Po-dobno kot pri predhodnih primerih ugotovimo, kje je maksimalna oziromaminimalna vsota razdalj v takem enakokrakem trikotniku (slika 4.7) [4].

Slika 4.7: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer dalj²a vi²ina predstavljasimetri£no os.


Primer 3: To£ka izven enakokrakega trikotnika (na nosilki osnov-nice).V primeru, da poljubna to£ka P leºi zunaj enakokrakega trikotnika na nosilkiosnovnice AB (slika 4.8), je razlika razdalj od to£ke do obeh krakov enakavi²ini na kraka trikotnika:

e− f = h.

Slika 4.8: Vsota razdalj, ko je to£ka P izven enakokrakega trikotnika.

Vsoto razdalj v neenakostrani£nem trikotniku je moºno argumentirati tudi spomo£jo segmentov, imenovanih segmenti isosumarnih to£k (gre za �druºino�vzporednih premic). V tem primeru trikotnik razdelimo na vzporedne se-gmente izosumarnih to£k, na katerih je vsota razdalj do stranic od katerekolito£ke na dolo£enem segmentu konstantna. Nadalje velja, da je vsota razdaljod to£k, ki leºijo na razli£nih segmentih, razli£na.

Predhodno smo ºe pokazali, da imajo vse to£ke na osnovnici v enakokrakemtrikotniku enako vsoto razdalj. Glede na zgornji odstavek velja, da so segmentiv enakokrakem trikotniku vzporedni osnovnici [4].

Ve£ o segmentih sledi v naslednjem poglavju, kjer je opisano, kako dolo£imonjihov poloºaj. Za primer je na sliki 4.9 prikazan raznostrani£ni trikotnik s

4.2. VIVIANIJEV IZREK V ENAKOKRAKIH TRIKOTNIKIH 29

segmenti, iz £esar lahko sklepamo, da se segment, ki izhaja iz �tretjega ogli²£a�(ogli²£a, kjer ni minimalne oz. maksimalne vsote), dotika robu, ki povezujeogli²£a z maksimalno oz minimalno vsoto.

Slika 4.9: Segmenti v raznostrani£nem trikotniku.

Poglavje 5

Posplo²itve Vivianijevega izreka

V prej²njem poglavju smo raziskovali veljavnost Vivianijevega izreka v neena-kostrani£nih trikotnikih. V tem razdelku se bomo osredoto£ili na mnogokotnikein poliedre. Zanimalo nas bo, kako lahko Vivianijev izrek posplo²imo na mno-gokotnike oz. poliedre. Pogledali si bomo, ali v mnogokotnikih in poliedrihtudi obstaja vsota razdalj, ki je konstantna ne glede na poloºaj notranje to£ke.Pred tem najprej de�nirajmo nekaj pojmov.

De�nicija. Mnoºica L ⊂ Rn je konveksna, £e za vsak par to£k A, B ∈L velja,da je vsa daljica AB podmnoºica mnoºice L (slika 5.1).

Slika 5.1: Konveksna mnoºica.

31

32 POGLAVJE 5. POSPLO�ITVE VIVIANIJEVEGA IZREKA

Pozitivna in negativna stran: vzemimo trikotnik 4ABC. Stran oz. bregpoljubne nosilke stranice trikotnika, ki vsebuje tretje ogli²£e, imenujemo po-zitivna stran (oz. pozitivni breg). Ogli²£e, ki ni na stranici, je nasproti testranice in ta stranica je nasproti ogli²£u. Mnoºico vseh to£k, ki so hkratina pozitivnih bregovih vseh treh nosilk stranic trikotnika, je notranjost triko-tnika; druge to£ke, ki niso na meji (meja je mnoºica vseh to£k na stranicahtrikotnika), so zunaj (v zunanjosti) trikotnika. Notranji kot trikotnika ima vrhv ogli²£u, kraka pa dolo£ata drugi ogli²£i. Notranjost notranjega kota tvorijovse to£ke, ki so hkrati na pozitivnih bregovih nosilk krakov. Torej je notranjikot trikotnika vedno izbo£en kot.

Na podlagi predhodne de�nicije velja slede£i izrek:

Izrek 5.0.1 �e sta to£ki M in N znotraj trikotnika 4ABC, je tudi daljicaMN znotraj trikotnika.

Dokaz: DaljiceMN ne seka nobena nosilka stranice trikotnika, sicer ne bi bilito£ki M in N na pozitivnem bregu vsake nosilke. �

Zaradi lastnosti trikotnika, ki jo izraºa izrek 5.0.1 pravimo, da je notranjosttrikotnika konveksna (izbo£ena) mnoºica. �e kak²na mnoºica to£k nima telastnosti, je konkavna (vdrta) mnoºica (slika 5.2).

Slika 5.2: Konkavna mnoºica.

Mnogokotnik (ve£kotnik ali poligon) je ravninski geometrijski lik, ki ga oklepaenostavna sklenjena lomljenka. Daljice, ki sestavljajo mnogokotnik, imenujemostranice mnogokotnika, to£ke, v katerih se stranici stikata, pa ogli²£a. Ogli²£ain stranice enostavnega mnogokotnika tvorijo mejo. Meja razdeli vse drugeto£ke ravnine na dva dela: v notranjost in zunanjost. To nam pove Jordanovizrek, ki pravi, da £e je C sklenjena lomljena £rta v ravnini, potem je R2\Csestavljen iz natanko dveh odprtih, nepraznih, disjunktnih, povezanih mnoºic

33

ext(C) in int(C), ki sta omejeni s C. Za konveksne mnogokotnike je zna£ilno,da leºijo vsa ogli²£a, razen dveh, na istem bregu poljubne nosilke stranice, kigre skozi izvzeti ogli²£i (slika 5.4). �e imenujemo ta breg pozitivni breg, je po-tem notranjost hkrati na pozitivnih bregovih vseh nosilk; mnoºica vseh to£k,ki niso na meji, tvori zunanjost konveksnega mnogokotnika. Mnogokotnik jekonveksen, £e je vsak notranji kot manj²i od 180 ◦C ali £e je vsaka daljica meddvema nesosednjima ogli²£ema znotraj mnogokotnika. Konkavni mnogokotnikima vedno notranji kot, ki je ve£ji od 180 ◦C. Vsak konkavni mnogokotnik lahkorazdelimo na mnoºico konveksnih mnogokotnikov. Te trditve smo povzeli po[14].

Slika 5.3: Konveksni mnogokotnik.

Slika 5.4 prikazuje konkavni mnogokotnik. Vsa ogli²£a so sicer na istem bregunosilke A4A5, niso pa na istem bregu nosilke A1A2.

Slika 5.4: Konkavni mnogokotnik.


Enakostrani£ni mnogokotnik je mnogokotnik, pri katerem imajo vse straniceenako dolºino - so skladne. Enakokotni mnogokotnik je mnogokotnik, pri kate-rem so vsi notranji koti enaki oziroma skladni. Mnogokotnik je pravilen, ko jehkrati enakostrani£ni in enakokotni. Po tej de�niciji je med trikotniki pravilensamo enakostrani£ni trikotnik, med £etverokotniki pa samo kvadrat [23].

Polieder je trirazseºno geometrijsko telo, ki je omejeno s kon£nim ²tevilomravnih ploskev, ploskve se stikajo v ravnih robovih, robovi pa se stikajo vogli²£ih. Primeri poliedrov so kocka, piramida in prizma. Polieder je lahko:konveksen (£e je vsaka daljica med katerimakoli to£kama poliedra v celoti vse-bovana v poliedru) ali nekonveksen (daljica med poljubnima to£kama poliedrane leºi vsa v notranjosti ali na povr²ini telesa). Polieder je pravilen, £e jeomejen s skladnimi pravilnimi mnogokotniki tako, da se v vsakem ogli²£u stikaenako ²tevilo ploskev). �e so vsi robovi enake dolºine, pravimo, da je enakorob[24].

5.1 Lastnost konstantne Vivianijeve vsote

Predhodno smo ºe zapisali, da ima po Vivianijevem izreku enakostrani£ni tri-kotnik konstantno vsoto razdalj. V nadaljevanju bomo videli, da imajo tudinekateri mnogokotniki (oz. poliedri) konstantno vsoto razdalj. Za take mnogo-kotnike (in poliedre) pravimo, da imajo lastnost konstantne Vivianijeve vsote� CVS lastnost (ang. constant Viviani sum property - CVS property).

De�nicija. Naj bo T mnogokotnik ali polieder, ki je sestavljen iz robnih innotranjih to£k. De�niramo funkcijo vsote razdalj V : T → R, kjer je za vsakoto£ko P ∈ T vrednost V(P ) de�nirana kot vsota razdalj od to£ke P do stanic(oz. robov) T -ja.

Torej, £e je funkcija V konstantna, re£emo, da ima T CVS lastnost. Izkaºese, da to velja za vse pravilne, enakostrani£ne in enakokotne konveksne mno-gokotnike ter za 2n-kotnike, v katerih so si nasproti leºe£e stranice vzporedne.Podobno velja za konveksne poliedre.

V primeru, da T nima CVS lastnosti, velja, da lahko vsak konveksni mnogoko-tnik razdelimo na vzporedne £rtne segmente tako, da je vrednost V na vsakemod teh segmentov konstantna. V primeru poliedrov pa velja, da jih razdelimona vzporedne prese£ne ravnine tako, da je na vsaki od teh vrednost V konstan-

5.2. POSPLO�ITEV NA POLJUBNE TRIKOTNIKE 35

tna. Te segmente oz. ravnine, na katerih je V konstantna, imenujemo segmentiizosumarnih to£k (omenjeni ºe v predhodnjem poglavju) oz. izosumarni prerezi(pri poliedrih). To pomeni, da poljubna to£ka P pripada tistemu izosumarnemsegmentu ali prerezu, v katerem imajo vse to£ke isto vsoto razdalj do meja kotP . Vrednost V se pove£uje v dolo£eni smeri od enega segmenta izosumarnihto£k do drugega [1].

Sedaj sledi vpra²anje, kako karakteristi£no oz. geometrijsko dokaºemo, damnogokotniki in poliedri izpolnjujejo pogoje za CVS lastnost. Pri iskanju od-govora na to vpra²anje bomo videli, da obstaja korelacija med Vivianijevemizrekom, njegovim obratom in linearnim programiranjem. V nadaljevanju boprikazan izra£un funkcije V(P ) v mnogokotnikih in poliedrih, tako v konkve-ksnih kot v konkavnih. Najprej bomo predstavili linearno programiran problemza splo²ni trikotnik. Glavna izjava bo: trikotnik ima CVS lastnost, £e je ena-kostrani£ni oz. £e ima tri nekolinearne to£ke, ki imajo enako vsoto razdalj dostranic. Potem bomo dokazali izreka za konveksne mnogokotnike in poliedre.Nadalje bomo pogledali, kaj se zgodi s konkavnimi mnogokotniki in poliedri.

5.2 Posplo²itev na poljubne trikotnike

Naj bo 4ABC in naj bodo a1, a2, a3 dolºine stranic BC, AC in AB. Izberimopoljubno notranjo to£ko trikotnika in jo imenujmo P ter s h1, h2, h3 ozna£imorazdalje od to£ke P do stranic.

Za 1 ≤ i ≤ 3 naj bo xi = hi∑3i=1 hi

, kjer je V(P ) =∑3

i=1 hi. Tedaj za vsak

1 ≤ i ≤ 3 velja 0 ≤ xi ≤ 1 in∑3

i=1 xi = 1. Naj bo x = (x1, x2, x3) in zapi²imolinearno funkcijo treh spremenljivk F (x) =

∑3i=1 aixi. Ta funkcija je povezana

z V , bolj natan£no:

F (x) =n∑i=1

aixi =

∑3i=1 aihi∑3i=1 hi

=2S

V(P ),

kjer je S plo²£ina trikotnika.

To lahko izrazimo kot naslednji problem linearnega programiranja. Objektivnafunkcija je

F (x) =3∑i=1

aixi,


in ima omejitveno obmo£je: { ∑3i=1 xi ≤ 1,

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 3.

Pri tem velja, da F (x) =∑3

i=1 aixi zavzame enake vrednosti v podskupinito£k v omejitvenem obmo£ju, £e ima funkcija V enake vrednosti pri vseh tehto£kah v podskupini.

Vsak trikotnik lahko razdelimo na vzporedne segmente izosumarnih to£k, nakaterih je V konstantna. Za enakostrani£ni trikotnik velja, da ima CVS la-stnost in da znotraj trikotnika obstajajo tri nekolinearne to£ke, pri katerihima V enake vrednosti.

Podobno velja za ostale konveksne mnogokotnike: objektivna funkcija razdeliomejitveno obmo£je na segmetne izosumarnih to£k in ti segmenti so si medseboj vzporedni in vsebujejo mnoºico to£k, na katerih ima objektivna funk-cija konstantno vrednost. Nadalje se s pravokotnim premikom na vzporednesegmente v dolo£eno smer pove£uje vrednost objektivne funkcije. V primerupoliedrov objektivna funkcija razdeli omejitveno obmo£je na izosumarne pre-reze [1].

Nekaj besed o linearnem programiranju: je matemati£na metoda, ki nam omo-go£a poiskati optimalno (maksimalno in minimalno) vrednost izbranih odvi-snih spremenljivk, ki zado²£ajo dolo£enim omejitvam. Re²evanje linearnegaproblema pomeni pove£evanje ali zmanj²evanje objektivne funkcije v omejitve-nem obmo£ju in ta optimalna vrednost se mora pojaviti na neki kotni to£ki.Pri linearnem programiranju je pomembno, da je objektiva funkcija linearnain tudi vse omejitve morajo imeti obliko linearne ena£be ali neena£be. Na£inovre²evanja problemov linearnega programiranja je ve£. Najpogostej²a je simple-ksna metoda. Toda v na²em primeru ni pomembna optimalna vrednost (ker mii²£emo segmente, na katerih je V konstantna). Da bi bolje razumeli povezavolinearnega programiranja z Vivianijevim izrekom, bomo namesto simpleksnealgebrske metode uporabili geometrijsko metodo [22].

5.3. POSPLO�ITEV NA KONVEKSNE MNOGOKOTNIKE 37

5.3 Posplo²itev na konveksne mnogokotnike

Za konveksne mnogokotnike velja:

Izrek 5.3.1 a) Vsak konveksni mnogokotnik lahko razdelimo na vzporedne se-gmente izosumarnih to£k tako, da je vrednost V na vsakem od teh segmentovkonstantna.b) �e je vrednost V enaka na treh nekolinearnih to£kah v konveksnem mnogok-tniku, potem ima mnogokotnik CVS lastnost.

Dokaz: Vzemimo mnogokotnik z n stranicami in ga poloºimo v kartezi£noravnino. Denimo, da njegove stranice leºijo na premicah z ena£bami:

αiX + βiY + γi = 0. (5.1)

Ker celotni mnogokotnik leºi na pozitivni strani vseh nosilk, se izrazu αix +βiy + γi predznak ne spremeni pri nobeni to£ki P = (x, y) znotraj mnogoko-tnika. Zato je razdalja hi od to£ke P do vseh stranic mnogokotnika podana zena£bo:

hi = (−1)εiαix+ βiy + γi√

αi2 + βi2,

kjer je εi ∈ {0, 1} in funkcija V je podana z linearnim izrazom

V(x, y) =n∑i=1

(−1)εiαix+ βiy + γi√

αi2 + βi2. (5.2)

Vsoto izena£imo z dolo£eno konstanto c in dobimo ena£bo premice, kateri sovzporedni segmenti izosumarnih to£k:

n∑i=1

(−1)εiαix+ βiy + γi√

αi2 + βi2

= c. (5.3)

�e je P = (x, y) notranja to£ka mnogokotnika, potem z razli£nimi vrednostmikonstante c dobimo vzporedne segmente. Segment je de�niran kot daljica oz.kot maksimalna podmnoºica premice, na kateri ima vsota razdalj konstantnovrednost c. To je dokaz izreka 5.3.1(a).

Ena£ba 5.2 je neodvisna od (x, y) v primeru, ko variabilen del funkcije V vresnici konstanta. To pomeni, da ima V konstantno vrednost na vseh to£kahmnogokotnika. �e obstajajo tri nekolinearne to£ke znotraj mnogokotnika, pri


katerih ima V enako vrednost, potem obstajata dva razli£na segmenta izosu-marnih to£k, pri katerih funkcija V zavzame isto vrednost. To se zgodi le, koje V konstanta in mnogokotnik ima CVS lastnost. To je dokaz za izrek 5.3.1(b). �

Izhajajo£ iz predhodnega izreka 5.3.1 sledi posledica:

Posledica 5.3.1 a) �e obstaja izometrija ravnine, ki preslika mnogokotniksamega vase, segmenti izosumarnih to£k pa se ne preslikajo sami vase, potemima mnogokotnik CVS lastnost.b) �e konveksni mnogokotnik vsebuje rotacijsko simetrijo okoli sredi²£ne to£ke,potem ima mnogokotnik CVS lastnost.c) �e konveksni mnogokotnik vsebuje zrcalno simetrijo okoli osi l, potem imamnogokotnik CVS lastnost ali pa so segmenti izosumarnih to£k pravokotni naos l.

Dokaz: a) �e obstaja izometrija, ki preslika mnogokotnik samega vase, nepa segmente, to pomeni, da obstajajo tri nekolinearne to£ke v mnogokotniku,pri katerih ima V enake vrednosti. To je zato, ker izometrija ohranja razdalje,ohranja rob in unijo notranjih to£k mnogokotnika. Tako iz izreka 5.3.1 (a)dobimo, da ima mnogokotnik CVS lastnost.b) Sledi iz dela a).c) �e se pri zrcaljenju segmenti izosumarnih to£k ne preslikajo sami vase,potem ima mnogokotnik glede na posledico 5.3.1 (a) CVS lastnost. V naspro-tnem primeru (£e se segmenti preslikajo sami vase) so segmenti izosumarnihto£k pravokotni na zrcalno os. �

Iz posledice 5.3.1 sklepamo, da imajo vsi pravilni mnogokotniki CVS lastnost.Prav tako ima vsak paralelogram to lastnost, £e vsebuje rotacijsko simetrijookoli ogli²£a za kot 180◦. O£itno je, da vsebnost dveh zrcalnih simetrij okolidveh razli£nih osi mnogokotnika kaºe na rotacijsko simetrijo, kar pomeni, daima mnogokotnik CVS lastnost. Nadalje velja, da obstoj rotacijske simetrije vtrikotnikih in ²tirikotnikih pomeni, da imajo ti mnogokotniki CVS lastnost. Iztega sledi, da imajo to lastnost le enokostrani£ni trikotniki in paralelogrami.Zato n-kotnik (n ≥ 5 ), ki nima CVS lastnosti, ima pa eno simetrijo, vsebujele eno zrcalno simetrijo [1].

Po drugi strani obstajajo tudi izjeme, saj pogoj, da le mnogokotniki, ki imajosimetrijo, imajo CVS lastnost, ne velja v vseh primerih. To bomo dokazali na

5.4. POSPLO�ITEV NA KONVEKSNE POLIEDRE 39

primeru asimetri£nega mnogokotnika in mnogokotnika, ki ima le eno zrcalnosimetrijo.

5.4 Posplo²itev na konveksne poliedre

Za poliedre velja slede£i izrek:

Izrek 5.4.1 a) Vsak konveksni polieder lahko razdelimo na vzporedne prerezetako, da je na vsakem od teh vrednost V konstantna.b) �e je vrednost V enaka na ²tirih nekomplanarnih to£kah v konveksnem po-liedru, potem ima polieder CVS lastnost.

Dokaz: Dokaz za poliedre je podoben kot pri mnogokotnikih. Ploskve leºijona ravnini z ena£bo:

αix+ βiy + γiz + δi = 0,

in linearna funkcija V je:

V(x, y, z) =n∑i=1

(−1)εiαix+ βiy + γiz + δi√

αi2 + βi2 + γi2

,

kjer εi ∈ {0, 1}.Vsoto izena£imo s konstanto c in dobimo ena£bo ravnine, kateri so vzporedniizosumarni prerezi:

n∑i=1

(−1)εiαix+ βiy + γiz + δi√

αi2 + βi2 + γi2

= c. (5.4)

�e je P = (x, y, z) notranja to£ka poliedra, potem pri razli£nih vrednostihkonstante c dobimo izosumarne prereze. In na vsakem takem prerezu funkcijaV zavzama konstantno vrednost c. To je dokaz izreka 5.4.1 (a).

�e obstajajo ²tiri nekomplanarne to£ke znotraj poliedra, pri katerih ima Venako vrednost, potem obstajata dva razli£na izosumarna prereza, pri katerihzavzame funkcija V enako vrednost. To se zgodi v primeru, ko je V konstantain polieder ima CVS lastnost. To je dokaz za drugi del izreka 5.4.1(b). �

Iz tega sledi posledica:


Posledica 5.4.1 a) �e obstaja izometrija prostora, ki preslika polieder samegavase ne pa izosumarne prereze, potem ima polieder CVS lastnost.b) �e konveksni polieder vsebuje dve rotacijski simetriji okoli dveh razli£nihosi, potem ima polieder CVS lastnost.

Dokaz: a) Dokaz sledi iz dokaza izreka 5.4.1(b).b) Dve rotacijski simetriji poliedra okoli dveh razli£nih osi zagotavljata ob-stoj ²tirih nekomplanarnih to£k v poliedru, na katerih ima V enake vrednosti.Glede na izrek 5.4.1(b) je dokaz kon£an. �

Na podlagi posledice 5.4.1 sklepamo, da imajo vsi pravilni poliedri CVS la-stnost, prav tako tudi vsak paralepiped, ker ima tri rotacijske simetrije za kot180◦ okoli treh razli£nih osi, ki potekajo skozi centroide paroma vzporednihploskev [1].

5.5 Posplo²itev na konkavne mnogokotnike inpoliedre

Posplo²itev Vivianijevega izreka na konkavne mnogokotnike in poliedre je pre-cej druga£na kot pri konveksnih. Izreka 5.3.1 in 5.4.1 ne veljata ve£. V splo-²nem konkavni mnogokotniki in poliedri nimajo CVS lastnosti. Pri mnogoko-tnikih je klju£no dejstvo, ki razlikuje konveksne mnogokotnike od konkavnih,da vse to£ke znotraj konkavnega mnogokotnika ne leºijo na istem bregu oz.isti strani posamezne nosilke. Ta lastnost ima klju£ni pomen pri de�niranjufunkcije vsote razdalj V .

Za bolj²o ilustracijo je podan primer konkavnega mnogokotnika. Naj boABCDkonkavni mnogokotnik z ogli²£i (0, 8), (−6, 0), (0, 2.5) in (6, 0). Naj bodol1, l2, l3, l4 nosilke stranic AB,BC,CD,DA ter E in F prese£i²£i nosilk l1 inl3 ter l2 in l4 (slika 5.5). Mnogokotnik ABCD razdelimo na tri razli£na kon-veksna obmo£ja: AECF,EBC and FCD. Za vsakega od teh treh obmo£ijzapi²emo izraz za vsoto razdalj V ter razloºimo uporabo dokaza izreka 5.3.1.Vsako obmo£je ima vzporedne segmente izosumarnih to£k. Vse to£ke v posa-meznem obmo£ju leºijo na isti strani nosilk li, 1 ≤ i ≤ 4. Pri tem upo²tevamo,da vsaka nosilka l razdeli ravnino na dve polravnini (v nadaljevanju ju bomoimenovali pozitivna (Ol) in negativna polravnina (OC

l ).

5.5. POSPLO�ITEV NAKONKAVNEMNOGOKOTNIKE IN POLIEDRE41

Slika 5.5: Segmenti izosumarnih to£k v konkavnem mnogokotniku

Spodnja tabela prikazuje lokacijo to£k znotraj posameznega obmo£ja glede nanosilke li, 1 ≤ i ≤ 4.

Tabela 5.1: Lokacija to£k glede na nosilke stranic mnogokotnika.

obmo£je l1 l2 l3 l4AECF Ol1 Oc

l2Ocl3

Ol4

EBC Ol1 Ocl2

Ol3 Ol4

FCD Ol1 Ol2 Ocl3

Ol4

Iz zgornje tabele je razvidno, da imata vsaki dve sosednji obmo£ji skupni rob,razlikujeta se le po eni navedbi. Na primer, to£ke iz obmo£ij AECF in EBCleºijo na isti strani nosilk l1, l2 in l4 in na nasprotni strani nosilke l3. Zato jefunkcija vsote razdalj V sestavljena iz treh komponent:

VABCD(P ) =

VAECF (P ), P v AECF,VEBC(P ), P v EBC,VFCD(P ), P v FCD.

kjer je vsaka komponenta podana z linearnim izrazom:

VAECF (P ) =4x− 3y + 24

5−5x− 12y + 30

13−−5x− 12y + 30

13+−4x− 3y + 24

5


VEBC(P ) =4x− 3y + 24

5− 5x− 12y + 30

13+−5x− 12y + 30

13+−4x− 3y + 24

5

VDCF (P ) =4x− 3y + 24

5+

5x− 12y + 30

13−−5x− 12y + 30

13+−4x− 3y + 24

5,

kjer je 4x − 3y + 24 = 0 ena£ba nosilke l1, 5x − 12y + 30 = 0 je ena£ba zal2, −5x−12y+30 = 0 je ena£ba za l3 in −4x−3y+24 = 0 je ena£ba nosilke l4.

Z izra£unom zgornjih izrazov dobimo:

VAECF (P ) =42y

65+

324

65

VEBC(P ) =−156y − 100x

130+

624

65

VDCF (P ) =−156y + 100x

130+

624

65

To nam pove, da vsako obmo£je lahko razdelimo na vzporedne segmente izo-sumarnih to£k, ki imajo razli£ne smeri. V navedenem primeru so segmenti vobmo£ju AECF vzporedni premici y = c, segmenti v obmo£ju EBC so vzpo-redni premici 100x + 156y = 0, segmenti v DCF pa so vzporedni premici zizrazom 100x−156y = 0. Poleg tega imata dva segmenta iz dveh razli£nih ob-mo£ij skupno to£ko na skupnem robu in tako de�nirata tri nekolinearne to£ke(to£ke Z, X, Y ) z enako vsoto razdalj.

Za poljubni konkavni mnogokotnik ali polieder velja slede£i izrek:

Izrek 5.5.1 a) Vsak konkavni mnogokotnik lahko razdelimo na konveksna mno-gokotna obmo£ja tako, da je vsako obmo£je razdeljeno na vzporedne segmenteizosumarnih to£k. Pri tem velja, da imajo segmenti izosumarnih to£k sosednjihobmo£ij razli£ne smeri.b) Obstajajo tri ne-kolinearne to£ke znotraj konkavnega mnogokotnika, ki imajoenako vsoto razdalj do stranic.c) Vsak konkavni polieder lahko razdelimo v konveksna poliedri£na obmo£jatako, da je vsako obmo£je razdeljeno na vzporedne izosumarne prereze. Pritem imajo ti prerezi sosednjih obmo£ij razli£ne smeri.d) Obstajajo ²tiri nekomplanarne to£ke znotraj konkavnega poliedra, ki imajoenako vsoto razdalj do ploskev poliedra.e) Konkavni mnogokotniki in poliedri nimajo CVS lastnosti.

5.5. POSPLO�ITEV NAKONKAVNEMNOGOKOTNIKE IN POLIEDRE43

Dokaz: Podan je dokaz za mnogokotnike (podobno se dokaºe za poliedre).a)Naj bo T konkavni mnogokotnik. Nari²emo nosilke stranic in ozna£imo vsamoºna prese£i²£a, ki pri tem nastanejo (slika 5.6). Na ta na£in razdelimo Tna m konveksne mnogokotnike T1,T2,... Tm. Upo²tevamo, da vsaka stranicamnogokotnika Tj leºi na nosilki mnogokotnika T . Za primer vzemimo to£keznotraj katerikoli dveh sosednjih mnogokotnikov Ti,Tj s skupnim robom LM .Te to£ke leºijo na isti strani (istem bregu) vsake nosilke T , izjema je le stranicaLM , ki leºi na nosilki lLM (slika 5.6). Trdimo, da je unija dveh sosednjih ob-mo£ij Ti ∪ Tj konveksni mnogokotnik. To velja, ko dve stranici mnogokotnikovTi in Tj, ki imata skupno ogli²£e L (ali M), leºita na isti nosilki mnogokotnikaT , (na sliki 5.6 so to£ke K,L,D ter I,M,D kolinearne). Tako vse to£ke Ti∪Tjleºijo na isti strani nosilk T (izjema je le nosilka lLM).

Slika 5.6: Razdelitev konkavnega mnogokotnika ABCDEFGH na konveksnemnogokotnike.

Tedaj je vsota razdalj V mnogokotnika T de�nirana kot sestavljena funkcija:

VT (P ) =

VT1(P ), P v T1VT2(P ), P v T2. . . . . .VTm(P ), P v Tm

Vsak konveksni mnogokotnik ima vzporedne segmente izosumarnih to£k, kiso podane z linearnim izrazom, ki de�nira Ti, 1 ≤ i ≤ m. Segmenti izosu-marnih to£k dveh sosednjih obmo£ij Ti,Tj imajo razli£ne smeri, linearna izazaVTi , VTj pa se razlikujeta le v enem predznaku, kot smo ºe predhodno pojasnili.

b) Vzemimo poljubno to£ko P , ki leºi na skupnem robu dveh sosednjih mno-gokotnikov Ti, Tj. Vzemimo dva segmenta izosumarnih to£k (s1, s2), ki leºita


v razli£nih Ti, Tj in izhajata iz to£ke P . Naj bosta Q1, Q2 to£ki na s1 oz s2.Ker imata s1, s2 razli£ni smeri, so to£ke P , Q1, Q2 nekolinearne in imajo enakovsoto razdalj do stranic mnogokotnika.

e) Vsoti razdalj VTi in VTj dveh sosednjih mnogokotnikov Ti in Tj imata enakalinearna izraza, ki se razlikujeta le v enem predznaku:VTi =

∑ni=1 (akx+ bky + ck) + (a0x+ b0y + c0) in

VTj =∑n

i=1 (akx+ bky + ck)− (a0x+ b0y + c0).Zato vsota VT ni konstanta na vseh to£kah mnogokotnika T . �

5.6 Primeri

V predhodnih razdelkih smo teoreti£no prikazali, kako z linearnim programi-ranjem posplo²imo Vivianijev izrek na konveksne in konkavne mnogokotnikeoz. poliedre. V nadaljevanju sledijo konkretni primeri izra£unov, s katerimiugotovimo, ali ima dolo£en mnogokotnik (polieder) CVS lastnost. Rezultateje mogo£e poleg izra£una tudi na preprost na£in preveriti s konstrukcijo slikez uporabo ra£unalni²kega programa kot je Geometer's Sketchpad.

Primer 1: DeltoidKonstruirajmo mnogokotnik v obliki deltoida v kartezi£ni ravnini z ogli²£i A =(0, β), B = (−α, 0), C = (0, γ), D = (α, 0), kjer α, β > 0 in γ < 0 (slika 5.7).

Slika 5.7: Deltoid.

5.6. PRIMERI 45

Ena£be nosilk stranic AB,BC,CD in DA so:

−αy + βx+ αβ = 0αy − γx− αγ = 0αy + γx− αγ = 0−αy − βx+ αβ = 0.

Tako dobimo slede£o funkcijo za V :

VABCD =−αy + βx+ αβ√

α2 + β2+αy − γx− αγ√

α2 + γ2+αy + γx− αγ√

α2 + γ2+−αy − βx+ αβ√

α2 + β2.

Nadalje izra£unamo:

VABCD = −2αy√α2+β2

+ 2αβ√α2+β2

+ 2αy√α2+γ2

− 2αγ√α2+γ2

= y( −2α√α2+β2

+ 2α√α2+γ2

) + ( 2αβ√α2+β2

− 2αγ√α2+γ2

).

Iz rezultata vidimo, da imajo segmenti izosumarnih to£k enostavno ena£bo, insicer y = c. Nadalje je razvidno, da je VABCD neodvisna od spremenljivk le,£e β = γ (to dobimo z izra£unom ( −2α√

α2+β2+ 2α√

α2+γ2) = 0). V tem primeru

je ta mnogokotnik paralelogram in zato ima CVS lastnost. Po drugi strani,£e β 6= γ, potem mnogokotnik nima CVS lastnost, ima pa segmente, ki sovzporedni z diagonalo BD (y = 0), kar je skladno s posledico 5.3.1(c).

Primer 2: Enakokraki trikotnikIzhajajo£ iz prej²njega primera (deltoid) ob predpostavki, da je to£ka P znotrajenakokrakega trikotnika 4ABD, velja:

VABD =−αy + βx+ αβ√

α2 + β2+−αy − βx+ αβ√

α2 + β2+ y,

kjer so ena£be nosilk stranic AB,AD in DB:

−αy + βx+ αβ = 0−αy − βx+ αβ = 0

y = 0.

Z izra£unom VABD dobimo:

VABD = y(

√α2 + β2 − 2α√α2 + β2

) +2αβ√α2 + β2

.


Funkcija VABD je neodvisna od spremenljivk le, £e β =√

3α. V tem primeru jetrikotnik enakostrani£ni in zato ima CVS lastnost. �e β 6=

√3α, se trikotnik

razdeli na segmente izosumarnih to£k, ki so vzporedni osnovnici (y = 0), karje v skladu s posledico 5.3.1(c).

Primer 3: ²tirikotnikDan je ²tirikotnik z ogli²£i A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 2) in D = (3, 0)(slika 5.8). Ena£be nosilk stranic AB,BC,CD in AD so:

x = 0x− y + 1 = 0−x− y + 3 = 0

y = 0.

Neposredni izra£un pokaºe, da so segmenti izosumarnih to£k vzporedni s pre-mico y = (1 +

√2)x (slika 5.8).

Izra£un vsote razdalj:

VABCD = x+ x−y+1√2

+ −x−y+3√2

+ y

= x+ −2y+4√2

+ y

= x+ y(1−√

2) + 2√

2

Izra£un ena£be premice, kateri so vzporedni segmenti izosumarnih to£k:

0 = x+ y(1−√

2)

x = y(1−√

2)

y = x(√2+1)

(√2−1)(

√2+1)

y = x(√

2 + 1)

Ta ²tirikotnik nima CVS lastnosti.

5.6. PRIMERI 47

Slika 5.8: Segmenti izosumarnih to£k vzporedni premici y = (1 +√

2)x.

Primer 4: Petkotnik z zrcalno simetrijoPetkotnik ABCDE z ogli²£i A = (0, 3 +

√3) , B = (−1, 3), C = (−1, 0),

D = (1, 0), E = (1, 3) in stranicami dolºine 2, 3, 2, 3, 2 ima CVS lastnost, £e-prav nima rotacijske simetrije in ima le eno zrcalno simetrijo. To je enostavnodokazati, saj je petkotnik sestavljen iz pravokotnika in enakostrani£nega triko-tnika.

V ta namen predpostavimo, da je ABCDE petkotnik, kjer je BCDE pravo-kotnik s stranicami a, b in 4ABE je enakostrani£ni trikotnik z dolºino stranica in vi²ino h. Vsota razdalj od notranje to£ke do stranic je enaka a + b + h.To je o£itno, £e je to£ka znotraj trikotnika 4ABE (slika 5.9).

Slika 5.9: To£ka P v �enakostrani£nem trikotniku� petkotnika.


�e je to£ka znotraj pravokotnika, potem ugotovimo, da se nahaja na stranicienakostrani£nega trikotnika z vi²ino h + x (slika 5.10), £igar stranici leºitana nosilkah stranic AB in AE. Po Vivianijevem izreku je to£ka P od stra-nic AB in AE oddaljena za h + x, od stanic BC in DE je skupaj oddaljenaza a, do stranice CD pa za b − x. Torej je vsota razdalj od to£ke P do vsehstranic petkotnika enaka a+b+h. V na²em primeru je vsota razdalj (5+

√3).

Slika 5.10: To£ka P v �pravokotniku� petkotnika.

Sedaj ²e z izra£unom funkcije vsote razdalj dokaºemo, da je vsota konstantna.Ena£be nosilk stranic AB,BC,CD, DE in EA so:

√3x− y + 3 +

√3 = 0

x = −1y = 0x = 1

−√

3x− y + 3 +√

3 = 0

Izra£un funkcije vsote razdalj:

VABCDE =

√3x− y + 3 +

√3

2+(x+1)+y+(−x+1)+(

−√

3x− y + 3 +√

3

2)

VABCDE = 5 +√

3

Iz izra£una vidimo, da je vrednost VABCDE konstantna. Torej je vsota razdaljod poljubne to£ke petkotnika do njegovih stranic (oz. nosilk stranic) enaka5 +√

3.

5.6. PRIMERI 49

Primer 5: Asimetri£ni petkotnikDenimo, da imamo asimetri£ni petkotnik ABCDE s koti 70◦, 170◦, 60◦, 130◦ in110◦. Tudi za ta petkotnik podobno kot za petkotnik v primeru 4 neposrednopokaºemo, da ima CVS lastnost, saj je sestavljen iz paralelograma (ABDE)in enakostrani£nega trikotnika (4BCD). Ta petkotnik nima simetrije. V temprimeru je vsota razdalj notranje to£ke do stranic enaka a+ b+h, kjer sta a, brazdalji med nasprotnima stranicama paralelograma in h je vi²ina enakostra-ni£nega trikotnika (slika 5.11).

Slika 5.11: Konstantna vsota razdalj v asimetri£nem petkotniku.

Primer 6: Enakokotni mnogokotnikVsak enakokotni mnogokotnik T z n-stranicami ima CVS lastnost. To prika-ºemo s slede£im postopkom: v notranjost enakokotnega mnogokotnika vsta-vimo pravilni n-kotnik, Tr. Tr vrtimo okoli teºi²£a, dokler ena od njegovihstranic ni vzporedna stranici od T -ja. Posledi£no bodo tudi vse ostale straniceobeh mnogokotnikov medseboj vzporedne.

Naj bosta VT in VTr funkciji vsote razdalj de�nirani na T in Tr. Potem zavsako to£ko P v notranjosti T zapi²emo:

VT (P ) = VTr(P ) + c,

kjer c predstavlja vsoto razdalj med vzporednimi stranicami od T in Tr.Ker je VTr konstantna znotraj Tr in tudi c je konstanta, potem je tudi VT


konstanta. Po izreku 5.3.1 (b), je VT konstnta v T -ju.

Za primer si vzemimo enakokotni petkotnik ABCDE. Pri tem se posluºujemolastnosti danega enakokotnega petkotnika, da so vsi njegovi koti enaki in da jevsak kot enak kotu pravilnega petkotnika, ki meri 108o.

Slika 5.12: Postavitev pravilnega petkotnika v enakokotni petkotnik.

Iz postavitve pravilnega petkotnika v enakokotni petkotnik (slika 5.12) je raz-vidno, da ker je ∠ABC = ∠A′B′C, potem velja AB||A′B′. Na podobenna£in velja DE||D′E ′ in ∠DEX = ∠D′E ′X (kjer X leºi na nosilki EE ′).Ker ∠AEX = ∠A′E ′X, pomeni, da AE||A′E ′. Iz tega sledi, da v notranjostenakokotnega petkotnika ABCDE lahko vedno postavimo pravilni petkotnikA′B′C ′D′E ′ tako, da so njune stranice vzporedne.

Primer 7: 2n-kotnik z vzporednimi nasprotnimi stranicamiKer je vsota razdalj med to£ko in vsakim parom nasprotni si vzporednih stra-nic konstantna, potem je jasno, da je tudi vsota teh vsot konstantna [1].

Primer 8: Polieder z zrcalno simetrijoZa prizme velja slede£i izrek:

Izrek 5.6.1 �e je prizma skonstruirana s pravokotno translacijo enakostra-ni£nega mnogokotnika, enakokotnega mnogokotnika ali 2n-kotnika, ki ima na-sprotne stranice vzporedne, potem je vsota razdalj od to£ke P do ploskev prizme

5.6. PRIMERI 51

konstantna. Razdalja je konstantna tudi v primeru, £e je prizma narejena spravokotno translacijo asimetri£nega mnogokotnika, ki ima CVS lastnost [7].

Za primer vzemimo pokon£no prizmo, ki ima za osnovno ploskev asimetri£nipetkotnik ABCDE iz primera 5. Ta prizma ima le eno simetrijo in sicer zr-calno simetrijo z ravnino, ki je vzporedno osnovnima ploskvma in poteka posredini prizme. Ta polieder ima CVS lastnost: vsota razdalj do osnovnih dvehploskev je vedno konstantna in je enaka dolºini vi²ine prizme, medtem ko jerazdalja do stranskih ploskev tudi konstantna, kar smo dokazali ºe v predho-dnem omenjenem primeru.

Primer 9: Piramida z rotacijsko simetrijoSkonstruirajmo piramido, ki ima za osnovno ploskev pravokotnik, vrh v to£kiA = (0, 0, α), ostala ogli²£a pa imajo koordinate: B = (β, 0, 0), C = (0, γ, 0),D = (−β, 0, 0) in E = (0,−γ, 0), kjer so α, β, γ > 0. Ploskve ABC, ACD,ADE in AEB leºijo na slede£ih ravninah:

αγx+ αβy + βγz = αβγ−αγx+ αβy + βγz = αβγ−αγx− αβy + βγz = αβγαγx− αβy + βγz = αβγ.

Za preglednej²i izra£un ozna£imo ∆ =√α2γ2 + α2β2 + β2γ2. Razdalje od

to£ke P = (x, y, z) do ploskve so podane kot:

hBCDE = z

hABC =−1

∆(αγx+ αβy + βγz − αβγ)

hACD =−1

∆(−αγx+ αβy + βγz − αβγ)

hADE =−1

∆(−αγx− αβy + βγz − αβγ)

hAEB =−1

∆(αγx− αβy + βγz − αβγ)

Tako izra£unamo vsoto razdalj:

VABCDE = (1− 4βγ

∆)z +

4αβγ

∆.

O£itno je, da so izosumarni prerezi vzporendni z osnovno ploskvijo piramide(z = c). Piramida ima CVS lastnost v primeru, ko α =

√15βγ√β2+γ2

[1].


Primer 10: pravilni tetraederPravilni tetraeder je omejen z enakostrani£nimi trikotniki in ima tri zrcalne ter²tiri rotacijske simetrije. Na tetraedru si bomo ogledali 4 razli£ne primere, kise med seboj razlikujejo glede na poloºaj to£ke P v poliedru. Podani so dokazina podlagi slede£ega izreka:

Izrek 5.6.2 Naj bo P to£ka znotraj oz. na robu pravilnega tetraedra ABCD innaj bodo to£ke E, F , G in H pravokotne projekcije to£ke P na ravnine BCD,ACD,ABD in ABC. Tedaj velja, da je vsota razdalj daljic PE, PF, PG inPH enaka vi²ini h tetraedra ABCD: h = |PE|+ |PF |+ |PG|+ |PH|.

Pri dokazu uporabimo dejstvo, da je vi²ina pravilnega tetraedra pravokotnana ploskev, ki je nasproti leºe£a se ogli²£u, iz katerega izhaja vi²ina. Vi²inopravilnega tetraedra PQRS ozna£imo s h(PQRS). Pri dokazu nam bo v po-mo£ slede£a lema.

Lema: Naj bo B′C ′D′ ploskev, ki je vzporedna s ploskvijo BCD pravilnegatetraedra ABCD. Ploskev ima ogli²£a B′, C ′ in D′ na stranicah AB,AC inAD. Tako je AB′C ′D′ tudi pravilni tetraeder (z vi²ino ozna£eno s h1). Naj bok razdalja med vzporednimi ploskvami BCD in B′C ′D′. Potem velja:

h1(AB′C ′D′) + k = h(ABCD)

.Dokaz: Ker poljubna to£ka P lahko leºi na razli£nih lokacijah tetraedra, bomodokaz razdelili na primere, glede na poloºaj to£ke.

1. To£ka P sovpada z enim od ogli²£.To£ka P sovpada z enim od ogli²£, npr. P = A. Razdalja to£ke do ploskevABC,ACD in ADB je enaka 0, do ploskve BCD pa je natanko vi²ina h - torejje vsota razdalj to£ke P do ploskev enaka dolºini vi²ine h.

2. To£ka P leºi na robu AB (slika 5.13)Naj bo P = B′. Nari²emo ploskev B′C ′D′, ki je vzporedna na BCD in imaogli²£a B′, C ′ in D′ na robovih AB,AC in AD. Z E ozna£imo pravokotnoprojekcijo to£ke P na ploskev BCD, z F pa na ploskev ACD. Nato glede nazapisano lemo de�niramo: |PE| = k, |PF | = h1(AB

′C ′D′), |PG| = |PH| = 0(G in H sta pravokotni projekciji to£ke P na ploskev ABC oz. ABD). Zatovelja

|PE|+ |PF |+ |PG|+ |PH| = h(ABCD)

5.6. PRIMERI 53

Slika 5.13: To£ko P na robu tetraedra.

3. To£ka P leºi na eni izmed ploskev tetraedra (slika 5.14).Denimo, da P = H in leºi na ploskvi ABC. Skozi H naj gre ploskev, ki imaogli²£a B′, C ′ inD′ na robovih AB,AC in AC in je vzporedna s ploskvijo BCD.Denimo, da H leºi na robu B′C ′ tetraedra AB′C ′D′. Po zgledu prej²njegaprimera (to£ka P leºi na robu) in upo²tevajo£ lemo zapi²emo: |PF |+ |PG|+|PH| = |HF |+ |HG|+ 0 = h1(AB

′C ′D′) in |PE| = k.Posledi£no sledi:

|PE|+ |PF |+ |PG|+ |PH| = h(ABCD).


Slika 5.14: To£ka P na ploskvi tetraedra.

4. To£ka P leºi znotraj tetraedra (slika 5.15).Naj P leºi na ploskvi B′C ′D′, ki ima ogli²£a B′, C ′ in D′ na robovih AB,ACin AD ter je vzporedna s ploskvijo BCD.

Slika 5.15: To£ka P znotraj tetraedra.

Torej to£ka P leºi na ploskvi pravilnega tetraedra AB′C ′D in zato lahko po-dobno kot v predhodnem primeru zapi²emo: |PF |+|PG|+|PH| = h1(AB

′C ′D′)in |PE| = k. Zato velja

|PE|+ |PF |+ |PG|+ |PH| = h(ABCD).

�

Poglavje 6

Vivianijev izrek in ²olska

matematika

Vivianijev izrek sodi med preprostej²e izreke elementarne geometrij in ga lahkona enostaven na£in podamo tudi osnovno²olskim u£encem. Iz pedago²kega vi-dika je primeren, ker nam omogo£a, da s ponazarjanjem prikaºemo, kako se�ustvarja� matematiko. S tem u£ence motiviramo, da oblikujejo �dokaz� in stem dobijo priloºnost, da izkusijo, kako pri matematiki poteka posplo²evanje.

V slovenskem u£nem na£rtu za matematiko za osnovno in srednjo ²olo Vivia-nijev izrek ni omenjen, kar posledi£no pomeni, da se ga na na²ih ²olah v okvirurednega pouka ne obravnava. Prav tako ni zaslediti omembe, da bi ga razi-skovali pri dodatnem pouku ali pri matemati£nih delavnicah, saj gre za dokajnepoznan izrek. O izvajanju u£ne ure, pri kateri so obravnavali Vivianijev iz-reku, je zaslediti iz £lankov tujih avtorjev. Avtorji omenjajo, kako so pripraviliuro obravnave in pri tem opisujejo metode, na£ine u£enja ter rezultate opa-ºanj, ki so jih dobili ob koncu izvedbe.

Stalni izziv, s katerimi se u£itelji matematike sre£ujejo tekom pou£evanja, jevpra²anje, kako u£encem predstaviti nek matemati£ni problem, da bi spod-budili njihovo zanimanje oz. kako jih stimulirati, da bi si sami ºeleli re²itiproblem. Izziv naj bi pri u£encih vbudil potrebo po razlagi in zagon po nadalj-njem raziskovanju. Tako bi u£ence spodbudili k samostojnemu razmi²ljanju inre²evanju problemov. Najbolj²i stimulanti so problemi iz resni£nega ºivljenja.Tudi Vivianijev izrek se lahko predstavi na tak na£in. Primer takega doka-zovanja izreka poda avtor Michael de Villiers v knjigi Rethinking Proof withSketchpad book. Pri postavitvi problema je izhajal iz konkretnega ºivljenj-

55

56 POGLAVJE 6. VIVIANIJEV IZREK IN �OLSKA MATEMATIKA

skega primera: deskar na vodi je doºivel brodolom in pristal je na otoku, kiima obliko enakostrani£nega trikotnika. Zgraditi ºeli ko£o na tem otoku insicer tako, da bo vsota razdalj poti od ko£e in do vseh treh plaº minimalna.Kje naj ko£a stoji [8]?

6.1 Primer 1

V £lanku [6] je predstavljena izku²nja u£itelja, ki je pou£eval 14-letne u£ence.Opazovani razred u£encev je bil vajen problemskega pouka. Tako so ºe biliustrezno pripravljeni na delo, ko jim je u£itelj postavil prej omenjeno problem-sko nalogo o deskarju, ki na otoku v obliki enakostrani£nega trikotnika ºelizgraditi ko£o. Pri tem so u£enci dobili spodnjo sliko (slika 6.1).

Slika 6.1: Problem minimizacije vsote a+ b+ c.

6.1. PRIMER 1 57

Po u£iteljevem posredovanju problema so u£enci dobili material, s katerim so sipri dani nalogi pomagali: vrvico, ²karje, merilni trak, kotomer in samolepilnelisti£e. Nekateri u£enci so ºeleli delati s programom Geometer's Sketchpad,vendar jim u£itelj tega ni dovolil.

U£enci so sprva domnevali, da je najprimernej²a lokacija ko£e v �teºi²£u� otoka.To domnevo so preverili v skupinah, ki so ²tele 4 do 5 £lanov. Za£eli so mode-lirati problem s konstrukcijo enakostrani£nega trikotnika. Trikotnik so narediliiz treh enako dolgih vrvic, kote so dolo£ili s pomo£jo kotomera. S postavlja-njem ko£e na razli£ne lokacije trikotnika so opravljali meritve in opazovali,kaj se dogaja z dobljenimi rezultati. S£asoma so oblikovali domnevo: vsotarazdalj je enaka ne glede na to, kje je lokacija ko£e. Toda kljub vsem me-ritvam niso povsem verjeli v svojo domnevo, ker so se njihove (nenatan£ne)meritve med seboj razlikovale. Nadalje je bila njihova naloga, da dokaºejo aliovrºejo postavljeno domnevo. Pri tem so lahko uporabili ra£unalni²ki program.

Pri raziskovanju problema so u£enci potrebovali veliko £asa. Ob tem se jeu£itelj spra²eval o ustreznosti uporabljene metode. Postavljal si je vpra²anjav smislu, zakaj problem u£encem ne predstavi na manj zamuden na£in. Pre-dlog poenostavitve problema bi se lahko glasil: dokaºi, da je vsota razdalj odvsake to£ke v notranjosti enakostrani£nega trikotnika do vseh treh robov ve-dno enaka.

Uporaba prakti£nega problema je bila izbrana iz ve£ razlogov. Eden izmendnjih je ta, da se z zgradbo in kinesteti£no komponento pritegne k sodelovanjuveliko u£encev. Poleg tega velja, da u£enci najbolj u£inkovito razumejo daniizrek takrat, ko ga morajo sami raziskati in morajo postavljati domneve o tem,kar je treba dokazati. Iskanje dokaza je za u£ence intelektualni izziv. Ugoto-vitve, ki presene£ajo u£ence pri njihovem delu, so njihov mo£an stimulant, dase soo£ijo z izzivom, da dokaºejo oz. re²ijo problem.

Drugo vpra²anje glede u£iteljevega pristopa se nana²a na to, zakaj u£encemºe na za£etku ni bilo dovoljeno uporabljati ra£unalni²ke programske opreme.Eden od argumentov je, da so u£enci bolj u£inkoviti, £e delajo brez ra£unalni-²kega programa. Poleg tega je bil cilj tudi, da so u£enci �zi£no aktivni (nisole v sede£em poloºaju) in s tem so prisiljeni na pozitivno soodvisnost med£lani skupine, saj je bilo potrebno medsebojno sodelovanje kot npr. razenjemerilnega traku, merjenje in sledenje to£kam. Pomembno je bilo tudi to, daje ro£no merjenje spodbudilo vpra²anje o verodostojnosti meritev: �Bi bile


vsote bolj natan£ne, £e bi merili bolj natan£no?� Pri re²evanju takih vpra²anjse je pri u£encih pokazal interes po utemeljitvi in dokazu. V nadaljevanju jepredstavljen izbor razli£nih dokazov u£encev.

a) Utemeljitev (�dokaz�) s programom dinami£ne geometrijeKljub temu, da uporaba geometrijskega ra£unalni²kega programa Geometer'sSketchpad v za£etku ure ni bila dovoljena, so nekateri u£enci predstavili svojoutemeljitev problema narejeno v omenjenem programu (slika 6.2).

Slika 6.2: �Dokaz� v programu Geometer's Sketchpad.

Med predstavitvijo ostalim so²olcem so u£enci s premikanjem to£ke E (to£kapredstavlja ko£o) pokazali, da vsota razdalj ostaja nespremenjena. Prav takoso v tem programu pokazali, da mora biti trikotnik enakostrani£ni, da je vsotarazdalj konstantna ter da mora biti premikajo£a to£ka v ali na robu trikotnika.

Po tem prikazu je potekala diskusija o tem, ali je taka utemeljitev tudi dokaz.Pri²li so do kon£ne ugotovitve, da to ni prava logi£na veri�kacija dokaza. DeVilliers [8] je trdil, da dokazi niso le za veri�kacijo, ampak lahko sluºijo kotsredstvo za prepri£evanje. Pri tem se postavlja vpra²anje, ali je vsak prepri£ljivargument veljaven dokaz. �e je tako, ali potem merjenje z vrvico in merilnimtrakom tudi predstavlja dokaz?

6.1. PRIMER 1 59

b) Koordinatni geometrijski �dokaz�V tem primeru so u£enci skicirali in naredili izra£un. V izogib ulomkov so do-lo£ili dolºino enakostrani£nega trikotnika 2s (kjer je s>0) in ogli²£a trikotnikaso locirali na koordinate (0, 0), (2s, 0) in (s,

√3), koordinati poljubne to£ke pa

so ozna£ili (h, k) (slika 6.3).

Slika 6.3: Koordinatni geometrijski �dokaz�.

Ena£be stranic danega trikotnika so: y = 0, y =√

3x in y = −√

3x+2√

3s. Prira£unanju vsote razdalj so se posluºevali dejstva, da se razdaljo od poljubneto£ke (h, k) do dolo£ene stranice, ki jo zapi²emo v implicitni obliki Ax+By+C = 0, izra£una kot ∣∣∣Ah+Bk + C√

A2 +B2

∣∣∣V tem primeru so dobili vsoto razdalj od to£ke s koordinatami (h, k) do stranic:∣∣∣√3h− k√

4

∣∣∣+∣∣∣−√3h− k + 2

√3s√

4

∣∣∣+ k

Pri tem so si u£enci postavljali vpra²anje, ali je dobljena vsota√

3s vednoenaka vi²ini trikotnika z dolºino stranic 2s.

c) Plo²£inski �dokaz�Nekateri so naredili t.i. plo²£inski dokaz, ki je ºe predstavljen v 2. poglavju.


d) Transformacijski �dokaz�Eden izmed u£encev je prikazal transformacijski dokaz. Najprej je naredilrazrez, ki je potekal vzporedno z eno od stranic trikotnika in skozi poljubnonotranjo to£ko P . Odrezani del je z rotacijo in translacijo premaknil na drugostran manj²ega novonastalega enakostrani£nega trikotnika (slika 6.4).

Slika 6.4: Transformacijski �dokaz�: prvi korak.

Nato je skozi to£ko P vzporedno s tretjo stranico zopet naredil razrez triko-tnika, pri £emer je to£ka P postala ogli²£e manj²ega enakostrani£nega triko-tnika (slika 6.5).

Slika 6.5: Transformacijski �dokaz�: drugi korak.

6.1. PRIMER 1 61

Z rotacijo in translacijo izrezanega kosa je zopet dobil trikotnik, ki se je ujemals prvotnim trikotnikom (slika 6.6).

Slika 6.6: Transformacijski �dokaz�: tretji korak.

S to utemeljitvijo se je potrdila domneva, da je vsota razdalj konstantna inenaka vi²ini trikotnika.

e) �Kinesteti£ni dokaz�Pri tem dokazu so prikazani razli£ni primeri, ki se razlikujejo glede na poloºajpoljubne to£ke P .

�e to£ka P sovpada z ogli²£em, potem je jasno, da je vsota razdalj enaka raz-dalji od to£ke do nasproti leºe£e stranice in to pomeni, da je ta razdalja enakadolºini vi²ine trikotnika.

�e se to£ko P premakne vzdolº vi²ine, je razdalja do stranice kraj²a, hkratipa razdalji do drugih dveh stranic nista ve£ enaki ni£ (slika 6.7). Dobimo dvatrikotnika s koti 30o, 60o, 90o in s stranicama a in b. Vsaka od teh dveh stranicpredstavlja polovico razdalje, s katero je to£ka oddaljena od ogli²£a.V primeru, ko se to£ka ne premika vzdolº vi²ine (slika 6.8), s pomoºno premico,ki je vzporedna z osnovnim robom, naredimo nov enakostrani£ni trikotnik.


Slika 6.7: Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika vzdolº vi²ine.

Slika 6.8: Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika horizontalno.

Sedaj sta a in b kraka dveh pravokotnih trikotnikov (30o, 60o, 90o) in merita√32

ustrezne hipotenuze. Tako je vsota a + b enaka√32

osnovnice manj²egaenakostrani£nega trikotnika - kar je enako njegovi vi²ini. Zopet ugotovimo, daje vsota razdalj invariantna ne glede na spreminjajo£o lego to£ke.

6.2. PRIMER 2 63

6.2 Primer 2

Dokazovanja v osnovni ²oli se ²e vedno v veliki meri izogibamo. Tako so dokazi�potisnjeni v manj vidno vlogo�. Hanna v svojem delu [10] poudarja, da biu£enci morali sami preu£evati dokaze. Opis primera u£ne ure, pri kateri sou£enci sami s pomo£jo dinami£ne geometrije utemeljevali Vivianijev izrek, jepodan v £lanku [9].

V raziskavo je bilo vklju£enih 17 u£encev 9. razreda, starih 14 let. V izboru sobili u£enci, ki predhodno pri pouku matematike nikoli ²e niso dokazovali. Poopravljeni nalogi so z u£enci izvedli intervju, na podlagi katerega so prou£e-vali njihov odnos do dinami£ne geometrije, njihove ºelje po razlagi in njihovesposobnosti za oblikovanje dokaza (s pomo£jo mentorjev). Namen raziskave jebilo ugotoviti u£en£eve ºelje po prepri£anosti o veljavnosti dokaza in potrebepo razlagi s pomo£jo dinami£ne geometrije ter ugotoviti, ali je dokazovanjesmiselno uvesti kot sredstvo za podajanje razlage. Za namen raziskave so obli-kovali slede£a raziskovalna vpra²anja:

• Ali so u£enci prepri£ani o pravilnosti njihovih ugotovitev in kak²na jestopnja tega prepri£anja?

• Ali izkazujejo ºeljo po razlagi, zakaj je rezultat pravilen?

• Ali znajo oblikovati logi£no razlago s strokovno pomo£jo in ali vidijosmiselnost le tega?

Delo u£encev je potekalo z ra£unalni²kim programom Geometer's Sketchpad,pri £emer so sledili navodilom na delovnem listu, ki so bila zasnovana za raz-iskovanje razli£nih funkcij dokazovanja. Dani material je u£encem dovoljeval,da je njihovo raziskovanje in re²evanje problema potekalo vodeno, po stopnjah,ki so bila enostavna in prakti£na. Vpra²anja so bila prilagojena ravni njiho-vega znanja. Naloga u£encev je bila razre²iti slede£i problem: Sara je preºivelabrodolom in uspelo se ji je re²iti na samotni otok. Otok ima obliko enakostra-ni£nega trikotnika. Kmalu ugotovi, da je deskanje na morju zabavno na vsehtreh obalah otoka. Kje naj Sara zgradi ko£o, tako da bo vsota razdalj poti odko£e in do vseh treh plaº najmanj²a?

V programu Geometer's Sketchpad so u£enci ºe imeli podano sliko enakostra-ni£nega trikotnika, ki je predstavljal otok (slika 6.9) (konstrukcija trikotnikani bila pomembna pri tej nalogi). U£enci so lahko premikali to£ko P po no-tranjosti trikotnika, pri tem so se razdalje stalno posodabljale in hkrati so


opazovali, kaj se dogaja z vsoto razdalj. Glavni namen tega dela je bilo ugo-toviti, kako so u£enci prepri£ani o resni£nosti dobljenih rezultatov ter njihovostopnjo prepri£anja. V nekaj minutah so u£enci ugotovili, da Sara lahko zgradiko£o kjerkoli na otoku. Raziskovalci so bili presene£eni nad ugotovitvijo, daje ve£ina u£encev (14) z raziskovanjem kon£ala v nekaj minutah, ker se jim nizdelo potrebno, da bi ²e nadalje raziskovali, testirali.

Slika 6.9: Raziskovanje Vivianijevega izreka v programu Geometer's Sket-chpad.

Po za£etnem eksperimentalnem raziskovanju so bile slede£e stopnje prepri£a-nja o pravilnosti ugotovitev: 12 u£encev je bilo 100% prepri£anih o pravilnosti,preostalih 5 pa je bilo skoraj skoraj povsem prepri£anih.

V nadaljevanju so raziskovalci ºeleli ugotoviti, ali u£enci kaºejo potrebo po do-datni u£iteljevi razlagi o domnevi, ki so jo oblikovali. Ali ho£ejo vedeti, zakajje domneva resni£na? Ali izkazujejo ºeljo po globljem razumevanju neodvisnood njihovega prepri£anja? Izkazalo se je, da je ve£ina u£encev izrazila ºeljo popojasnitvi, kljub prepri£anju.

U£ence so nato spodbudili, da oblikujejo svoje razlage za dobljen rezultat,vendar se nih£e na to ni odzval. Zato so dobili ºe napisano utemeljitev v 6korakih (slika 6.10). Temeljno vpra²anje, ki so ga pri tem raziskovali je bilo, £eso u£enci sposobni zgraditi njihovo lastno logi£no pojasnilo s pomo£jo dobljenihsmernic. Pri tem je ponovno potrebno poudariti, da u£enci ²e nikoli prej nisosami utemeljevali geometrijske ali druge matemati£ne izreke. Izkazalo se je,da £eprav so nekateri u£enci potrebovali ve£ £asa od drugih, so s£asoma vsizgradili logi£no razlago rezultata.

6.3. PRIMER 3 65

Slika 6.10: Potek �dokaza� v 6 korakih.

Ob zaklju£ku ure so u£encem postavili vpra²anje, ali se jim je zdela vodena,logi£na razlaga smiselna. Natan£neje, ali je vodena razlaga ustrezno zadovo-ljila njihove potrebe za razumevanje? Vsi u£enci so na to vpra²anje odgovorilipritrdilno.

Ta raziskava je pokazala, da namesto osredoto£enja na dokaz kot sredstvo zapreverjanje v geometriji, razlago dokaza uporabimo kot dejavnost za osmi²lje-nje. To zahteva stimulativno predstavitev rezultatov, ki spodbudi zanimanjeu£encev. Tak pristop spodbuja zgodnje uvajanje u£encev k problemskemurazmi²ljanju in omogo£a moºnosti za raziskovanje, domnevanje, izpodbijanje,preoblikovanje in pojasnjevanje. Poleg tega ima dokaz ²e druge pomembnefunkcije, npr. preverjanje, odkrivanje, sistematiziranje [9].

6.3 Primer 3

V £lanku [8] je opisan primer ure, kjer so 14-letni u£enci s pomo£jo dinami£negeometrije raziskovali isti problem deskarja kot je naveden v predhodnih dvehprimerih (primer 1, primer 2). U£enci so nad pridobljenim rezultatom izra-zili presene£enje, saj niso pri£akovali, da se vsota razdalj pri premikanju to£kene spreminja ampak je konstantna. Tako so pri²li do ugotovitve, da ni po-membno, kje deskar postavi ko£o. Kot navajata Mudaly in De Villiers [9] je s


tem njihova radovednost dovolj vzbujena, da izrazijo ºeljo po nadaljnjem raz-iskovanju, preverjanju in sodelovanju pri oblikovanju smiselne logi£ne razlage.

�eprav pri zastavljenem problemu ni smiselno upo²tevati to£ke izven enako-strani£nega trikotnika, saj v tem kontekstu gradnja izven otoka ni mogo£a, sou£enci vseeno izrazili zanimanje, kaj se zgodi, £e je to£ka izven trikotnika. Priraziskovanju s pomo£jo ra£unalni²kega programa so ugotovili, da pri premika-nju to£ke izven trikotnika vsota razdalj ni konstantna.

Po razre²itvi prvotno postavljenega vpra²anja, so nadalje u£enci prou£evaliproblem, s katerim so raziskovali in oblikovali razlago za vpra²anje, kaj sezgodi, £e trikotnik ni enakostrani£ni, kako je z vsoto razdalj v pravilnem inenakokotnem mnogokotniku in zakaj Vivianijev izrek velja za paralelogram, kini enakostrani£ni mnogokotnik (nekateri so preu£evali ²e posplo²itev Vivianije-vega izreka za neenakostrani£ne mnogokotnike, ki imajo vzporedne si nasprotileºe£e stranice).

Primer naloge, ki so jo u£enci raziskovali v dinami£ni geometriji: matemati£nikrokodil ºivi v delti Okavanga v mo£virnati regiji v obliki enakokotnega petko-tnika. Ker na vseh petih bregovih krokodil ujame enako ²tevilo plena, ºeli taplen skriti tam, kjer je vsota razdalj do bregov minimalna. Kje je ta optimalnato£ka?

Ker stranice petkotnika niso enake niti ne obstajajo nasproti si vzporedne stra-nice, u£enci niso pri£akovali, da je vsota razdalj ²e vedno konstantna. Bili sopresene£eni, ko so ugotovili, da je vsota kljub vsemu konstantna. Pri tem sosi postavljali vpra²anje: zakaj to ²e vedno drºi? S kak²no logi£no razlago bito razloºili? Pisna razlaga dokaza o veljavnosti Vivianijevega izreka v enako-kotnem mnogokotniku je podana ºe v poglavju 5, zato je spodaj prikazana leslika 6.11, ki prikazuje potek utemeljevanja.

6.3. PRIMER 3 67

Slika 6.11: Prikaz re²evanje problema v enakokotnem petkotniku v Geometer'sSketchpad.

Nadalje so v £lanku podane nekatere dodatne moºnosti za raziskavo Vivia-nijevega izreka. Za izziv so u£encem postavili vpra²anje, ali Vivianijev izrekvelja tudi v trodimenzionalnem prostoru. Z razmislekom in s pomo£jo dina-mi£ne geometrije se izrek posplo²i npr. na tetraeder - konveksni polieder, kije tvorjen s ²tirimi enakimi trikotniki. V nadaljevanju se lahko poglobijo viskanju odgovora na vpra²anje: za katere vrste poliedre velja Vivianijev izrek.Veljavnost izreka je moºno raziskati tudi v hiperboli£ni in elipti£ni geometriji.Za raziskovanje tega izziva z dinami£no geometrijo je primeren ra£unalni²kiprogram Cinderella [8].


6.4 Pomen obravnave razli£nih dokazov

Problem deskarja na vodi so pri u£ni uri v primeru 1 re²ili s prikazom ve£ raz-li£nih dokazov. Pri tem se postavlja vpra²anje, zakaj je za u£ence pomembno,da spoznajo ve£ kot le en dokaz izreka.

Enega od razlogov zakaj je to pomembno, je podal Winicki-Landman [19], kipravi, da se u£enci nau£ijo ceniti lepoto dokaza le, £e vidijo dokaz, ki ni tako"eleganten". V opisanem primeru je plo²£inski dokaz enostavnej²i, razumlji-vej²i in bolj �eleganten� od koordinatnega dokaza. Drugi razlog, da u£encempokaºemo ve£ kot en dokaz je, da jim s tem omogo£imo, da vidijo razli£nena£ine razmi²ljanja in jih k takemu razmi²ljanju tudi spodbujamo.

Bell [2] je dokazovanje izreka na razli£ne na£ine poimenoval osvetlitev dokaza(ang. illumination function of proof). Pri opisanem primeru 1 so po izvedeni²olski uri pri²li do spoznanja, da nobena razlaga za vse u£ence ne odgovarja navpra²anje Zakaj domneva velja? �eprav je ve£ina u£encev priznala resni£nostdomneve s plo²£inskim ali koordinatnim dokazom, se postavlja drugo vpra²a-nje in sicer, ali so se pri tem po£utili modrej²i. Nekateri u£enci so bili zadovoljis koordinatnim dokazom, drugi s ploskovnim, spet tretji se niso strinjali, da jekateri od dokazov odgovoril na vpra²anje zakaj.

Pri iskanju, sestavljanju oziroma oblikovanju dokazov se u£enci preizku²ajov pomembni problemski strategiji: re�eksiji. Dejansko ºe sami dokazi prika-zujejo kar nekaj delov te ve²£ine: iskanje invariance, razmi²ljanje o posebnihprimerih, kontinuirno sklepanje, prepletanje indukcije in dedukcije. Nadalje jepomembno, da u£itelj u£ence opozori, da so predstavljeni dokazi le eni izmedvelikega nabora drugih dokazov tega izreka. Z oblikovanjem in demonstracijodokaza naj bi u£enci tudi spoznali, da je matematika kot neka stalna £love²kaaktivnost.

Poglavje 7

Uporaba Vivianijevega izreka

V tem razdelku si bomo ogledala primer uporabe Vivianijevega izreka. Pri-mer se nana²a na oblikovanje diagramov, ki imajo obliko enakostrani£negatrikotnika. Z daljicami, vzporedne stranicami enakostrani£nega trikotnika, seponazorijo koordinate t.i. trikomponentnega diagrama, ki vsebuje tri koli£ineA, B in C, katerih vsota je konstantna. Na primeru slike 7.1 je razloºenainterpretacija trikomponentnega faznega diagrama.

Slika 7.1: Trikomponentni fazni diagram.

Vsako ogli²£e predstavlja 100 % (mase) ene izmed komponent (A, B ali C).Zmes dveh komponent predstavljajo stranice trikotnika. Tako npr. stranicaAB predstavlja dvokomponentno zmes A in B, stranica BC predstavlja zmeskomponent B in C, stranica CA pa zmes komponent C in A. S premikanjempo stranici AB proti ogli²£u B se pove£uje deleº komponente B in hkrati se

69

70 POGLAVJE 7. UPORABA VIVIANIJEVEGA IZREKA

zmanj²uje deleº komponente A. Enak princip velja za ostali dve stranici. Ob-mo£je znotraj trikotnika predstavlja vse moºne kombinacije komponent A, Bin C.

Na primeru to£ke X razloºimo interpretacijo diagrama. Stranica AC leºi na-sproti ogli²£a B in predstavlja zmesi komponent A in C. Vrednost komponenteB na tej stranici je 0. Stranici AC vzporedne daljice predstavljajo nara²£a-jo£o vrednost komponente B od 0 do 100 %. Daljica skozi to£ko X, predsta-vlja sistem s 15 % komponente B. Na enak na£in dolo£imo deleº ostalih dvehkomponent. Vrednost ostalih dveh komponent lahko dolo£imo tudi ra£unsko.Primer: £e je deleº komponente C 30 %, se deleº komponente A izra£una100%− (B + C) = 100%− (15% + 30%) = 55%.

To£ke na daljici, ki povezuje ogli²£e z nasprotno stranico (daljica DC), imajoenako razmerje dveh komponent, v tem primeru komponent A in B. Vzpore-dnice stranicam predstavljajo sistem, v katerem je deleº ene komponente natej vzporednici vselej enak, deleº ostalih dveh komponent pa se spreminja.

Diagram vnetljivosti (slika 7.2) prikazuje obmo£ja vnetljivosti zmesi goriva(metana), kisika in du²ika. Sti£i²£i ozna£eni z UEL oz. LEL predstavljatazgornjo oz. spodnjo mejo vnetljivosti metana v zraku [18].

Slika 7.2: Diagram vnetljivosti metana.

Poglavje 8

Zaklju£ek

Vivianijev izrek ima kjub preprosti trditvi velik potencial za nadaljne razi-skovanje in dokazovanje. V tem magistrskem delu smo se osredoto£ili le nanekatere primere, pri katerih smo ugotavljali veljavnost izreka. Dokazali smoprimere mnogokotnikov in poliedrov, ki imajo konstatno Vivianijevo vsoto.Nadalje bi se lahko usmerili v raziskovanje dobljene vsote: kak²na je ta vsotaoziroma ali obstajajo kak²no razmerje med vsoto razdalj in dolºino stranic, vi-²in, ipd. Za pravilni n-kotnik namre£ velja, da je vsota enaka n-krat pravokotnarazdalja od sredi²£ne to£ke in do sredi²£ne to£ke na stranici mnogokotnika. Vzaklju£nem delu smo prikazali uporabnost Vivianijevega izreka v ²oli, saj gazaradi enostavnosti ni teºko posredovoti u£encem. Opisani primeri obravnavekaºejo, kako u£enci spoznajo matematiko kot �£love²ko� dejavnost in kako si stem izbolj²ujejo razumevanje matemati£nih zakonitosti.

71

72 POGLAVJE 8. ZAKLJU�EK

Literatura

[1] ABBOUD, Elias. On Viviani's theorem and its extensions. The CollegeMathematics Journal, 2010, vol. 41, no. 3, str. 203�211.

[2] BELL, Alan. Study of Pupils' Proof-explanations in Mathematical Situa-tions. Educational Studies in Mathematics, 1976, vol. 7, str. 23-40.

[3] BROWN, Stephen I. Reconstructing School Mathematics: Problems withProblems and the Real World. New York: Peter Lang, 2001.

[4] BURKARD, Polster. Viviani a la Kawasaki: Take Two.Mathematics Ma-gazine, 2014, vol. 87, no. 4, str. 200.

[5] CHEN, Zhibo, LIANG, Tian. The converse of Viviani's theorem. TheCollege Mathematics Journal, 2006, vol. 37, no. 5, str. 390�391.

[6] COPES, Larry, KAHAM, Jeremy. The surfer problem: A �whys� appro-ach. Mathematics Teacher, 2006, vol. 100, no. 1, str. 14-19.

[7] DE VILLIERS, Michael. 3D Generalisations of Viviani's theorem. TheMathematical Gazette, 2013, vol. 97, no. 549, str. 443.

[8] DE VILLIERS, Michael. Crocodiles and polygons.Mathematics in School,2005, vol. 34, no. 2, str. 2-4.

[9] DE VILLIERS, Michael, MUDALY, Vimolan. Pupils' needs for convictionand explanation within the context of dynamic geometry. Pythagoras,1991, no. 26, ²t. 17-28.

[10] HANNA, Gila. Challenges to the Importance of Proof. For the Learningof Mathematics, 1985, vol. 15, no. 3, str. 42-49.

[11] KAWASAKI, Ken-Ichiroh. Proof without words: Viviani's theorem. Ma-thematics Magazine, 2005, vol. 78, no. 3, str. 213.

73

74 LITERATURA

[12] KAWASAKI, Ken-Ichiroh, YAGI, Yoshihiro, YANAGAWA, Katsuya. OnViviani's Theorem in Three Dimensions. The Mathematical Gazette,2005, vol. 89, no. 5, str. 283-287.

[13] NELSEN, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking.Washington: Mathematical Association of America, 1993.

[14] PUCELJ, Ivan, �TALEC, Ivan. Geometrija za 1. razred gimnazije. Mari-bor: Zaloºba Obzorja, 1966, str. 35.

[15] SAMELSON, Hans. Proof without words: Viviani's theorem with vectors.Mathematics Magazine, 2003, vol. 76, no. 3, str. 225.

[16] SAMSON, Duncan. Viviani's theorem - a geometrical diversion. Learningand Teaching Mathematics, 2012, vol. 13, no. 19, str. 28-32.

[17] SHIRALI, Shailesh. Vivian's theorem. . . And a cousin. Right Angles, 2012,vol. 1, no. 2, str. 24-26.

[18] STARIN, Mirjam. Izdelava samo-mikro-emulgirajo£ih sistemov s talinoizbrane modelne u£inkovine. Diplomsko delo. Univerza v Ljubljani, Fa-kulteta za farmacijo, Ljubljana, 2011, str. 9.

[19] WINICKI-LANDMAN, Greisy. On Proofs and their Performance asWorks of Art. Mathematics Teacher, 1998 vol. 91, str. 722-725.

Spletni viri:

[20] Dokaz brez besed [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/VivianiPWW.shtml]. Citirano20/11/2015.

[21] Dokazi izreka. [http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su07/Gilbert/EMAT206690/Viviani's20Theorem/VivianiEssay.html]. Citirano 30/11/2015.

[22] Linearno programiranje. [http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html]. Citirano 5/2/2016.

[23] Mnogokotniki.[https://sl.wikipedia.org/wiki/Mnogokotnik]. Citirano5/2/2016.

[24] Poliedri. [https://sl.wikipedia.org/wiki/Polieder]. Citirano 5/2/2016.

LITERATURA 75

[25] �Po²evni� Vivianijev izrek [http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/SlantedViviani.shtml]. Citirano 10/1/2016.

[26] V. Viviani. [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ hi-story/Biographies/Viviani.html]. Citirano 12/11/2015.

[27] V. Viviani. [http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/viviani.html]. Citi-rano 12/11/2015.

[28] V. Viviani. [http://philosophyofscienceportal.blogspot.si/2010/04/vincenzo-vivianisecretary-to-galileo.html]. Citirano 13/11/2015.

Izjava o avtorstvu

Spodaj podpisana Terezija Ceferin, z vpisno ²tevilko 01014701, izjavljam, daje magistrsko delo z naslovom

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO�ITVE,

ki sem ga napisala pod mentorstvom dr. Du²ana Repov²a in somentorstvomdr. Matija Cenclja, avtorsko delo in da je literatura korektno navedena.

Podpis ²tudentke:

Ljubljana, avgust 2016

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO ITVE

Documents

Transcript of VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO ITVE