Vitesse Liberation

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  • 7/24/2019 Vitesse Liberation

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    Vitesse de libration

    par Jean-Pierre MARTIN

    http://www.planetastronomy.com 1

    1 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    LA VITESSE DELA VITESSE DELIBRATIONLIBRATION

    Par JeanPar Jean--Pierre MARTINPierre MARTINjpmgaugejpmgauge@@wanadoowanadoo..frfr

    ASSOCIATIONASSOCIATION DASTRONOMIEDASTRONOMIEVGA PLAISIR 78370VGA PLAISIR 78370

    LASTROLASTROMAISMAIS CESTCESTTRS SIMPLETRS SIMPLE

    2 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLELE CONCEPT DELE CONCEPT DE VITESSEVITESSEDEDE LIBLIBRATIONRATION ENEN

    ASTRONOMIEASTRONOMIELe concept de vitesse de libLe concept de vitesse de libration d'un corpsration d'un corps

    soumissoumis l'attraction gravitationnelle d'un autrel'attraction gravitationnelle d'un autre

    corps est fondamental en astronomie, car il estcorps est fondamental en astronomie, car il estlili au phau phnomnomne des orbites spatiales, au faitne des orbites spatiales, au faitque certaines planque certaines plantes ont perdu leurtes ont perdu leuratmosphatmosphre, et mre, et mme au concept (trme au concept (trs anciens anciend'ailleurs) de trou noir.d'ailleurs) de trou noir.

    Il faut tout d'abord nous rafraIl faut tout d'abord nous rafrachir la mchir la mmoiremoiremathmathmatique avec certains rappels de physiquematique avec certains rappels de physiquede Terminale.de Terminale.

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    3 Jean-Pierre MARTIN

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    SIMPLESIMPLE

    Un corps (Terre, lune etc..) de masse m tourneUn corps (Terre, lune etc..) de masse m tourneautour dautour dun autre corps de rayon R de masse Mun autre corps de rayon R de masse M

    (Soleil, Terre,(Soleil, Terre,

    etcetc

    ))

    la distance d sur unela distance d sur une

    trajectoire suppostrajectoire suppose circulaire ene circulaire en quilibre sousquilibre sousl'action de deux forces :l'action de deux forces :

    F1 : Force de gravitation universelle (attraction)F1 : Force de gravitation universelle (attraction) F2 : Force centrifuge dueF2 : Force centrifuge due la rotationla rotation (rpulsion)(rpulsion)

    d

    F1

    F2

    RRmm

    MM

    4 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    ( )21

    dRGmMF

    += =CES 2 FORCES SQUILIBRENT

    d

    F1

    F2

    RRmm

    MM

    )(2

    2dR

    mF V+

    =

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    5 Jean-Pierre MARTIN

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    SIMPLESIMPLE

    EnEn galisant les deux termes, on peut engalisant les deux termes, on peut enddduire la vitesse du corps en orbite :duire la vitesse du corps en orbite :

    On peut dOn peut dfinir Vfinir V00 la vitesse au ras desla vitesse au ras desppquerettes soit pour r=0, on a doncquerettes soit pour r=0, on a donc

    dRGMV

    +=

    2

    VG M

    R0 =

    6 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE La vitesse orbitale peut s'La vitesse orbitale peut s'crire maintenant :crire maintenant :

    Que remarqueQue remarque--tt--on de cette formule :on de cette formule : la vitessela vitesse

    orbitale ne dorbitale ne dpend pas de la masse du corps enpend pas de la masse du corps enorbiteorbite, c'est fondamental., c'est fondamental. On remarquera que la vitesse minimale pour resterOn remarquera que la vitesse minimale pour rester

    en orbite autour de M est la vitesseen orbite autour de M est la vitesse l'altitudel'altitudezzro (r=0) soit Vro (r=0) soit V00. C'est ce qu'on appelle la. C'est ce qu'on appelle lavitesse de satellisationvitesse de satellisation, c'est la vitesse minimale, c'est la vitesse minimaleque doit atteindre la navette spatiale pour seque doit atteindre la navette spatiale pour semettre en orbite par exemple.mettre en orbite par exemple.

    V VR

    R r=

    +0

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    SIMPLESIMPLE

    ET LA TERRE !ET LA TERRE !On sait queOn sait queG= 6,67 10G= 6,67 10--1111 N mN m22 kgkg--22 M= 6 10M= 6 102424kg (voirkg (voir

    note prnote prccdente) et R= 6400km d'odente) et R= 6400km d'o

    Cette vitesse dCette vitesse dcrocrot bien st bien sr avecr avecl'altitude, elle est par exemple de 3 km/sl'altitude, elle est par exemple de 3 km/spour une orbite gpour une orbite gostationnaireostationnaire(36.000km).(36.000km).

    VV00 = 7,9 km/s (Mach 26 approx)= 7,9 km/s (Mach 26 approx)

    8 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLEPEUTPEUT--ON SCHAPPERON SCHAPPERDE LA TERRE?DE LA TERRE?

    par exemple quelle vitesse fautpar exemple quelle vitesse faut--ililcommuniquercommuniquer un satellite comme Voyager,un satellite comme Voyager,pour qu'il quitte l'attraction terrestre pourpour qu'il quitte l'attraction terrestre pour

    toujours?.toujours?.

    Il faut pour rIl faut pour rsoudre ce problsoudre ce problme faireme faireintervenir la notion de conservationintervenir la notion de conservationd'd'nergie.nergie.

    ReconsidReconsidrons notre figure drons notre figure dune des pagesune des pagesprprccdentes.dentes.

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    SIMPLESIMPLE

    Un corps en orbiteUn corps en orbite la surface de M (r=0)la surface de M (r=0)doit avoir unedoit avoir une nergie cinnergie cintique :tique :

    mVmV22

    Elle doitElle doit tre au moinstre au moins galegale l'l'nergienergieproduite par le travail de la Force deproduite par le travail de la Force degravitation passant de Rgravitation passant de R l'infini, que l'onl'infini, que l'oncrit mathcrit mathmatiquement sous la formematiquement sous la formesuivante :suivante :

    ( )F d r

    G M m

    R rG

    M m

    R rR R

    1 2. =+

    =+

    10 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLECette derniCette dernire expression doitre expression doit tretregalegale l'l'nergie cinnergie cintique pour la vitessetique pour la vitesseminimale Vminimale Vll qui permet d'qui permet d'chapperchapper l'attraction de M (s'appelle vitesse del'attraction de M (s'appelle vitesse deliblibration de l'astre M, "escaperation de l'astre M, "escape velocityvelocity""en anglais) On en den anglais) On en dduit :duit :

    soitsoit

    ( )RdRGMRdRGMVl +=+= 22

    dRRVVl+

    = 20

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    SIMPLESIMPLEREMARQUESREMARQUESQue remarqueQue remarque--tt--on lon l encore : bien entendu,encore : bien entendu,

    cette vitesse ne dcette vitesse ne dpend pas de la masse dupend pas de la masse ducorpscorps envoyer dans l'espaceenvoyer dans l'espace, mais aussi,, mais aussi, neneddpend QUE de la distance au centre de lapend QUE de la distance au centre de laplanplantete autour de laquelle il orbite (R+d) et nonautour de laquelle il orbite (R+d) et nonpas de la distance au Soleil par exemple,pas de la distance au Soleil par exemple,intintressant n'est ce pas!ressant n'est ce pas!

    La vitesse de libLa vitesse de librationration partir du sol departir du sol del'astre M pour r=0 donne la vitesse del'astre M pour r=0 donne la vitesse de

    liblibration minimale nration minimale ncessaire qui est toujourscessaire qui est toujourspour tous les astrespour tous les astres 2 fois plus grande que la2 fois plus grande que lavitesse orbitale.vitesse orbitale.

    V VGM

    Rl = =0 2

    2

    12 Jean-Pierre MARTIN

    LASTROLASTROMAISMAISCESTCEST TRSTRS

    SIMPLESIMPLE

    Pour la Terre cela donne le chiffre bienPour la Terre cela donne le chiffre bienconnu de :connu de :

    VVll ((TerreTerre) = 11,2km/s) = 11,2km/s

    Il est intIl est intressantressant partir de maintenantpartir de maintenantde voir comment varie cette vitesse dede voir comment varie cette vitesse deliblibration pour diffration pour diffrents corps durents corps dusystsystme solaire : ci joint Tableau I :me solaire : ci joint Tableau I :

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    SIMPLESIMPLE

    Approx 300km/sApprox 300km/s25.000 AL25.000 AL10101616 (10(103030 kgkgapprox)approx)

    Soleil pour quitter laSoleil pour quitter laGalaxieGalaxie

    300.000!!!!!=c!!!!300.000!!!!!=c!!!!332 102 1066Corps de mCorps de mmememasse que Soleilmasse que Soleil

    6176177 107 10552 102 1066SoleilSoleil0,005 (18km/h!)0,005 (18km/h!)ApproxApprox 303050 1050 10--1010ErosEros0,50,5ApproxApprox 4904900,0010,001CeresCeres

    1,2?1,2?1.1501.1500,0120,012PlutonPluton23,823,824.80024.800105105NeptuneNeptune21,321,325.56025.5608787UranusUranus2,42,4240024000,140,14TitanTitan35,535,560.00060.000570570SaturneSaturne59,659,671.40071.40019001900JupiterJupiter0,007 (25km/h!)0,007 (25km/h!)ApproxApprox 25251010--88PhobosPhobos5,055,05340034000,650,65MarsMars2,42,4174017400,0740,074LuneLune11,211,26400640066TerreTerre10,4010,40605060504,94,9VenusVenus

    4,24,2244024400,