I.1

Introdução aos Sistemas Lineares Motivação: O problema da dieta

Uma pessoa em dieta necessita digerir diariamente as seguintes quantidades de vitaminas:

1200 mg de vitamina A 600 mg de vitamina B 400 mg de vitamina C Ela deve suprir suas necessidades a partir do consumo de três alimentos diferentes que

contém respectivamente em miligramas:

Vitamina A Vitamina B Vitamina C Alimento 1 50 30 20 Alimento 2 100 40 10 Alimento 3 40 20 30

Problema: Qual a quantidade de alimentos, em mg, a ser ingerida pela pessoa de tal forma a

atender a sua necessidade diária de vitaminas? Para modelar o problema, sejam: x: quantidade do alimento 1 a ser digerida; y: quantidade do alimento 2 a ser digerida; z: quantidade do alimento 3 a ser digerida;

O modelo matemático a ser resolvido é: 50x + 100y + 40z = 1200 (para vitamina A) 30x + 40y + 20z = 600 (para vitamina B)

20x + 10y + 30z = 400 (para vitamina C)

I.2

1. Sistemas Lineares - Definição

Definição: Sistema m×n – forma geral. É definido a partir de m equações lineares a n incógnitas dispostas da seguinte forma:

S:

����

�

����

�

�

=+++++==+++++==+++++=+++++

mnmnjmjmm

ininjijii

nnjj

nnjj

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

��

�������

��

�������

��

��

2211

2211

222222121

111212111

Forma matricial:

Ax = b, A∈��������x∈�n , b∈�m Onde:

A=

��������

�

�

��������

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

��

����

��

����

��

��

21

21

222221

111211

:Matriz dos coeficientes.

X =

��������

�

�

��������

n

j

x

x

x

x

�

�

2

1

: Vetor das incógnitas. b =

��������

�

�

��������

m

i

b

b

b

b

�

�

2

1

: Vetor dos termos independentes.

Forma indicial: A= ( )ija ,

b = ( )ib , i = 1,...,m. i: índice de linha. x =( jx ). j = 1,...,n. j: índice de coluna.

Quando i≠j, ou seja, m≠n, então, o sistema é retangular: .

m m m m

n n n

I.3

m>n m<n O sistema tem forma “quadrada” quando i = j, ou seja, m = n. Os métodos de resolução de sistema, os quais serão estudados, serão desenvolvidos para sistemas com mesmo número de linhas e colunas (m = n) – sistema “quadrado” .

• Soluções de Sistemas Lineares:

O vetor x*∈�n, x* =

�����

�

�

�����

nx

x

x

*

**

2

1

� é uma solução do sistema Ax=b, se e somente se, x* satisfaz

todas as equações lineares que compõem o sistema, ou seja, x* satisfaz simultaneamente as equações do sistema Ax=b. Se considerarmos a transformação linear T, tal que T(x) = Ax, então, dizemos que o sistema Ax=b tem solução, se e somente se, b∈Im(T). b∈Im(T).pode ocorrer de duas formas: de forma única, quando o sistema tem solução única, ou de forma indeterminada quando o sistema tem infinitas soluções. Quando b∉Im(T),

então, o sistema Ax=b não tem solução em �n . A solução analisada a partir do determinante de A:

Definição: Dizemos que a matriz A (A∈�nxn) é não singular se detA≠0. Se detA=0, então, a matriz A é dita singular.

Se a matriz A é não singular, então, A é inversível, pois detA≠0. Para , A∈�nxn,

denominando de A-1∈�nxn a sua inversa, então podemos caracterizar a solução do sistema da seguinte maneira: Ax=b ⇔ A-1Ax = A-1b ⇔ Inx = A-1b ⇔ x = A-1b.

A solução procurada do sistema é : x*∈�n / x* = A-1b. Desde que, A-1 é obtida de A de maneira biunívoca (de forma única), então, se A não é singular, a única solução procurada do sistema é: x* = A-1b. Apesar desta solução ser simples, não é usual calcularmos a solução do sistema Ax=b explorando-se a matriz inversa de A, pois, na prática ou computacionalmente é inviável determinar A-1 devido ao número de operações aritméticas envolvidas quando n é uma dimensão grande. Se a matriz A for singular, então o detA=0 e não é possível calcular a inversa dessa matriz.

Nesse caso existem duas possibilidades:

1) b∉Im(T), ou seja, o sistema não tem solução em �n →sistema incompatível ou inconsistente.

2) b∈Im(T) mas não pode ser representado de forma única, ou seja, o sistema tem infinitas soluções → sistema compatível indeterminado.

Análise geométrica de soluções de sistema em �2 e �3 .

• Em �2 :

I.4

a) S:���

=−=+

02

21

21

xx

xx A= ��

�

���

−1111

; detA= -2≠0.

Logo, S tem solução única. Geometricamente:

x*∈�2 /x*= ���

���

11

= ���

���

**

2

1

x

x.Neste caso, as equações de retas x 1 +x 2 =2 e x 1 -x 2 =0 são

concorrentes em �2 e por isso o sistema tem solução única. b)

S:���

=+=+

4222

21

21

xx

xx A= ��

�

���

2211

, detA=2-2=0 → S é compatível

indeterminado ou incompatível. Geometricamente:

I.5

Em �2 ,se as retas forem paralelas coincidentes, então o sistema possui infinitas soluções.

S:���

=+=+

4222

21

21

xx

xx ≈ S’:{ 1221 22 xxxx −=�=+ .

∴S= ( ){ }ℜ∈− 111 ,2; xxx

Fazendo-se x 1 = α∈ ��, então x 2 = −2 α, α∈��� O conjunto solução : D= ( ){ }ℜ∈−=ℜ∈ αα ,2/, 2

221 xxx .

c) S:���

=+=+

6222

21

21

xx

xx A= ��

�

���

2211

, detA=0, é singular

Geometricamente:

I.6

Em �2 , o sistema não tem solução quando as equações de retas que o definem são paralelas não coincidentes.

S:���

=+=+

6222

21

21

xx

xx ~

���

−==+

20221 xx

(Falso em �2)∴� solução.

�� ( ) 200/, 21

221 =+ℜ∈ xxxx , então, o sistema não tem solução em �2 , ou seja, é

incompatível ou inconsistente. Para A ,, 3333 ℜ∈ℜ∈ℜ∈ × ebx consideremos o seguinte sistema:

S:��

��

�

=++=++=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

1 ����

�

�

���

=�++

13

12

11

1313212111

a

a

a

nxaxaxa �vetor normal ao plano 1 �

2 � 323222121 xaxaxa ++���

�

�

���

=�

23

22

21

2

a

a

a

n �vetor normal ao plano 2 ��

�

3 � 131xa 333232 xaxa ++ 3n� ����

�

�

���

33

32

31

a

a

a

�vetor normal ao plano 3 ��

� Sistema Compatível Determinado: Se 21 ,nn e 3n forem L.I. em � 3��então, A=(

1n T, 2n T, 3n T), é uma matriz não singular

pois, detA≠0.Neste caso, o sistema S tem solução única. Geometricamente:

• Em� 3

I.7

Os três planos 1 �z-x-y-1=0�� 2 �z-x+y-1=0�e� 3 � z+x-y-1=0 são concorrentes entre si. b)Sistema Compatível Indeterminado Para que o sistema seja compatível indeterminado, a matriz A 33×ℜ∈ deve ser singular, ou seja, detA=0. Para isto basta que dois vetores normais aos planos sejam L.D.. São três situações:

1n e 2n : L.D. e L.I. com 3n .(*1)

1n e 3n : L.D. e L.I. com 2n .(*2)

2n e 3n :L.D. e L.I. com 1n .(*3) Condição forte: detA=0 se 1n , 2n e 3n são L.D..(*4) Geometricamente: Um dos casos:

I.8

Neste caso : 1 �z-x-y-1=0�, 2 �z-x-y-1=0�e� 3 � z-x+y-1=0 .Os planos 1 �e 2 �são paralelos coincidentes.(*1). Caso mais forte:

I.9

Neste caso, os planos 1 �z-x-y-1=0�, 2 �z-x-y-1=0�e� 3 � z-x-y-1=0 são paralelos coincidentes.(*4) c) Sistema Incompatível: A deve ser singular. As condições são as mesmas de (*1),(*2),(*3) e (*4). Geometricamente: Um dos casos:

Os planos 1 �z-2=0�e 2 �z-5=0�são paralelos não coincidentes.(*1) Caso mais forte:

I.10

Os planos 1 �z+3=0�, 2 �z-1=0�e� 3 � z-5=0 são paralelos não coincidentes. Exemplos:

Caso b),(*4) S:��

��

�

=++=++=++

93336222

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Caso c),(*4) S:��

��

�

=++=++=++

103336222

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Esse caso c) é outro caso de incompatibilidade.

I.11

Matriz Transposta

Seja A∈�nxn A=(a ij ), i = 1, ..., n. j= 1, ..., n. A matriz transposta de A, denotada por AT é definida a partir da matriz A por: AT = (b ij ), i = 1,…,n. j= 1,…,n. Tal que: jiij ab = .

A=

�����

�

�

�����

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

�

���

�

�

21

22221

11211

; AT =

�����

�

�

�����

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

�

���

�

�

21

22212

12111

Matriz simétrica:

Uma matriz A∈�nxn , A=(a ij ), i , j = 1, ..., n; é simétrica se a seguinte igualdade

ocorrer: jiij aa = , i , j = 1, ..., n (i � j). Exemplos:

A=

�����

�

�

�����

1000

00100001

�

����

�

�

� Identidade B=

�����

�

�

�����

0124154124324121

Matriz triangular inferior é definida por: A=( ija ) tal que ija =0 se i < j ; i, j = 1,...,n.

A=

������

�

�

������

nnnnn aaaa

aaa

aa

a

�

����

321

333231

2221

11

0000000000

Matriz triangular superior é definida por: A=( ija ) tal que ija =0 se i > j ; i, j = 1,...,n.

I.12

A=

������

�

�

������

nn

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

�

�����

�

�

�

000

000

333

22322

1131211

Sistemas equivalentes:

Sejam S e S’ dois sistemas lineares (quadrados ou retangulares). Dizemos que o sistema S’ é equivalente a S se S’ é obtido de S a partir das seguintes operações elementares:

i)Efetuando-se a troca de linha ou de colunas se S; ii)Multiplicar uma linha de S por um escalar α �0; iii) Multiplicar uma linha de S por um escalar α �0 e adicioná-la a uma outra linha de S.

obs.: S’ é equivalente a S se S’ é obtida de S através de, pelo menos uma, das operações elementares i), ii), iii). Exemplo:

S:���

=−=+

02

21

21

xx

xx → multiplicando a 1o. linha de S por α =-1 e adicionando à

2o. linha de S : obtemos o sistema equivalente S’ dado por:

S’:���

−=−=+

2202

21

21

xx

xx

Em S’, a matriz A de S é transformada pela operação elementar feita na matriz triangular superior:

A’= ���

���

− 2011

→matriz triangular superior.

A solução de S’ é obtida por substituição retroativa tal que na linha 2 de S’ temos: 12 =x , substituindo na linha 1 de S’ temos que 11 =x . Notação: S ~ S’.

Definição: Sistemas Triangulares

Sistema triangular inferior: é aquele cuja matriz triangular do sistema é uma matriz triangular inferior. Sistema triangular superior: é aquele cuja matriz do sistema é uma matriz triangular superior.