viseznacna

7/24/2019 viseznacna

1/78

Dragana Kneevi

Teoreme o nepokretnoj taki za vieznana preslikavanja u

metrikim prostorima

-Master rad-

Mentor: Prof. dr Ljiljana Gaji

Novi Sad, 2015.

UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO-MATEMATIKI

FAKULTETDEPARTMAN ZA

MATEMATIKU I INFORMATIKU


2/78

Teoreme o nepokretnoj taki za vieznana preslikavanja u metrikim prostorima

2

oznake:

Neka je (,)metriki prostor, tada je2= {C|Cjeneprazan podskupodX},()= {A|Ajeneprazanogranien podskupodX},()= {A|Ajeneprazan, zatvoreni ogranien podskupodX},()= {A|Aje neprazankompaktanpodskupodX},()={A|Aje neprazanzatvorenpodskupodX},()= { |Aje neprazan, kompaktan i konveksanpodskupodX},()= {A|Aje podskupodX},

= {

}

(skup

svih

nepokretnih

taakapreslikavanja

T),

()={(,) , }(graf vieznanog operatora T).


3/78


3

Sadraj:

Predgovor ...................................................................................................................................4

1. Uvod ....................................................................................................................................5

1.1 Osnovni pojmovi i definicije .........................................................................................5

1.2 Metrika teorija nepokretne take za jednoznana preslikavanja................................. 14

2. Vieznana preslikavanja................................................................................................... 17

2.1 Definicija i osnovne osobine ....................................................................................... 17

3. Metrika teorija nepokretne take za vieznana................................................................ 24

3.1 Nadlerova Teorema ..................................................................................................... 24

3.2 Uoptenje irieve generalizovane kontrakcije........................................................... 27

3.3 Preslikavanje Zamfirescua .......................................................................................... 34

3.4 Reichov problem ......................................................................................................... 42

3.5 Lokalne kontrakcije..................................................................................................... 48

3.6 Kontrakcije sa uslovom na rubu .................................................................................. 513.7 Weakly inward preslikavanje ................................................................................... 55

3.8 Neekspanzivna preslikavanja ...................................................................................... 61

Literatura .................................................................................................................................. 72

Biografija .................................................................................................................................. 74


4/78


4

Predgovor

Teorija nepokretne (fiksne) take je jedna od vanijih grana nelinearne analize. Ovateorija povezana je sa mnogim oblastima matematike kao to su klasina analiza, funkcionalnaanaliza, numerika analiza... Bavi se problemima egzistencije, jedinstvenosti i konstrukcijenepokretne take preslikavanja.Osim to se primenjuje u matematici, primenjuje se i u mnogimdrugim naukama: fizika, hemija, biologija, kao i u statistici i ekonomiji. Polazni rezultat,metrike teorije nepokretne take, slavni Banachov princip kontrakcije iz 1922. godine, dodanas je uopten u raznim pravcima meu kojima je pitanje nepokretne take za vieznana

preslikavanja u metrikim prostorima. Znaajne rezultate u ovoj oblasti dali su S.B Nadler,S.Reich, Lj.iri, O.Hadi...

U ovom radu su dati dokazi egzistencije nepokretne take, prikazane su osnovne inajjednostavnije metode za pronalaenje nepokretne take za vieznana preslikavanja. Rad sesatoji iz tri poglavlja.

U uvodnom delu rada su obuhvaene osnovne osobine topolokih i metrikihprostora,kao i neki rezultati metrike teorije nepokretne take za jednoznana preslikavanja.

U drugom poglavlju su dati osnovni pojmovi: definicije vieznanog preslikavanja,Lipicovog vieznanog preslikavanja i kontraktivnog vieznanog preslikavanja kao i njihoveosobine.

U treem poglavlju su predstavljeni rezultati S. B. Nadlera, koji je prvi dokazaoegzistenciju nepokretne take za klasu kontrakcija, vieznanih preslikavanja u kompletnimmetrikim prostorima. Razmatrano je uoptenje irieve generalizovane kontrakcije, kao ivieznano Zamfirescu preslikavanje u kome je prezentovan i rezultat o nizu Pikardovihprojekcionih iteracija (Pickard projection iteration). Prikazani su rezultati o egzistencijinepokretne take za vrlo vanu klasu preslikavanja non-self mappings tj. funkcija koje nepreslikavaju ceo skup u samog sebe, nego samo rub. Dati su delimini odgovori na Reichovproblem koji je ostao otvoren. Za weakly inward preslikavanja prikazani su rezultati uBanachovim prostorima. Uveden je pojam -lanastog metrikog prostora i posmatrana jelokalna kontrakcija na takvim prostorima. U poslednjem delu ovog poglavlja dati su i neki

rezultati iz teorije nepokretne take neekspanzivnih vieznanih preslikavanja.


5/78


5

1.Uvod

1.1

Osnovni pojmovi i definicije

Metriki prostor predstavlja neprazan skup na kome je definisano rastojanje izmeusvaka dva elemenata tog skupa. Osobine rastojanja izmeu dve take, date su u sledeojdefiniciji. U ovom poglavlju koriena je literatura ([17],[11]).Definicija 1.1.1: Neka je i [0,)tako da vae sledei uslovi:

(

,

)

0 (nenegativnost)

(,) = 0 = , , (,) = (,) (simetrinost),

,, , (,) (,) + (,) (nejednakost trougla)Tada kaemo da je preslikavanje metrika na skupu , broj (,) je rastojanje taaka

i

, a ureeni par (

,

)

jemetriki prostor.

Navedeni uslovi govore da je rastojanje izmeu dve take uvek nenegativno, rastojanjeizmeu taakaxiyje isto kao i rastojanje izmeu taakayix, rastojanje izmeu taakaxi ynije veeod zbira rastojanja taakaxi i rastojanja i .Primeri: [17]

1. Na skupu R: (,)= | |2. Na skupu

:

(

,

)=

(

)

;

(,)= ( ) , 1 (,)= ,.., | |.


6/78


6

Sledee tvrenjepredstavlja jo jednu vanu osobinu rastojanja, koja sledi iz navedena etiriuslova.

Tvrenje1.1.1: |

(

,

)

(

,

)|

(

,

),

,

,

.

Definicija 1.1.2: Neka je (,) metriki prostor. Otvorena lopta sa centrom ipoluprenikom > 0se definie :

(,) ={ , (,) < }.Definicija 1.1.3: Neka je (,) metriki prostor. Zatvorena lopta sa centrom ipoluprenikom > 0se definie :

(

0,

)

=

{ ,

(

,

)

}.

Definicija 1.1.4: U metrikom prostoruotvoreni skupOje unija lopti, tj.

= (,)je otvoren skup.U su otvoreni skupovi unije intervali.Teorema 1.1.1: Neka jefamilija svih otvorenih skupova u metrikom prostoru (,). Tadavai:

1. , (prazan skup i skupsu otvoreni)2. Ako , (presek svaka dva otvorena skupa je otvoren

skup)

3. Ako je , (unija proizvoljno mnogo otvorenih skupovaje otvoren skup).

Lako se matematikom indukcijom pokazuje da osobina 2. vai i za svaki konaanpresek otvorenih skupova.

Definicija 1.1.5: Neka je i neka familija podskupova skupa sa sledeimosobinama:

[] , ,


7/78


7

[] ( )

.

[] ,,, ( ) .

Tada je ureeni par (,)topoloki prostor, a elementi familije su otvoreni skupovi, sezovetopologijana prostoru X.

Definicija 1.1.6: Neka je (,) metriki prostor. Familiju = podskupova od definiemo na sledei nain ako i samo ako vai sledei uslov:( )(> 0)((,) ).

Prepoznajemo da je = , pa na osnovu Teoreme 1.1.1, dobija se sledei rezultat.Teorema 1.1.2: [17] Familija

definie topologiju u metrikom prostoru (

,

).

Definicija 1.1.7: Neka je (,)metriki proctor. Skup je okolina take akoje za neko > 0 (,) .Definicija 1.1.8: U topolokom prostoru (,)familija ()nekih okolina take jebaza okolina take ako za svaku okolinu take postoji () takvo da je .Teorema 1.1.3: [17] U (

,

)skup

je otvoren ako i samo akoje okolina svake svoje take.

Definicija 1.1.9: Neka je (,) topoloki prostor. Ako je komplement otvorenogskupa kaemo da je skup zatvoren.Teorema 1.1.4: [17] Za zatvorene skupove vai:

, su zatvoreni i otvoreni (jer su jedan drugom komplementi)


8/78


8

ako su izatvoreni tada je zatvoren Ako su , zatvoreni, onda je

zatvoren.

Definicija 1.1.10: Neka je (,)metriki proctor i . Tada:1.

Taka jeunutranja takaza(. )ako postoji > 0tako da je(,) ;

2. Taka je adherentna takaza (. )ako je za svako > 0

(

,

)

;

3. Taka x je taka nagomilavanjazaako je za svako > 0(,) {} .Definicija 1.1.11:Neka je (,)metriki prostor. Skup jegustu, ako je svaka takaizadherentna za , tj.=.Definicija 1.1.12:Metriki prostor (,) jeseparabilanako postoji prebrojiv gust skup u

.

Neka je (,) metriki prostor i i . Rastojanje take od skupa jedefiniano sa (,)= inf{(,); }.Definicija 1.1.13: Neka je (,) metriki prostor i neka je neprazan i zatvoren. Zadato , rastojanje od podskupa C je dato sa:

(,)= ()= inf(,).Ako postoji , gde je ()= (,)

kaemo da ima najbliu takukoja pripada C.Teorema 1.1.5: [17]Neka je(,)metriki prostor i . Tada je


9/78


9

={; , (,)= 0}.Definicija 1.1.14: U metrikomprostoru (,)kaemo da niz {} iz konvergiraka

, to oznaavamo sa lim

=

, ako je lim

(

,

) = 0odnosno

lim = (> 0)(() )( )(> () (,)< )Definicija 1.1.15:Niz {} izjeKoijevako vai:

(> 0)(() )(, )(,> () (,)< )Teorema 1.1.6:[17] Ako je niz {} izkonvergentan onda je Koijev.Teorema 1.1.7:[17] Neka je (,)metriki prostor, i taka nagomilavanja skupa. Tada postoji niz {} utakav da je

lim = .Definicija 1.1.16:Topoloki prostor je Hauzdorfovako za svake dve razliite take , postoje disjunktni otvoreni skupovi iutakvi da je .Teorema 1.1.8: [17] Metrikiprostor je Hauzdorfov.

Definicija 1.1.17:Neka je(,)metrikiprostor i . Skup A jekompaktanako iz svakefamilije otvorenih skupova {} , za koju vai ,

moe da se izdvoji konana familija skupova , ,, tako da je

.

Ako je=kaemo da je (,)kompaktan metriki prostor.Teorema 1.1.9:[17] Sledei uslovi su ekvivalentni:

a) (,)je kompaktan metriki prostor.


10/78


10

b) Svaki niz izima konvergentan podniz.c) Svaki beskonaan podskup odima taku nagomilavanja.

Teorema 1.1.10: [17] Neka je(,)metrikiprostor ikompaktan podskup od. Tada jezatvoren i ogranien.Definicija 1.1.18: Ako u metrikom prostoru (,) za svaki Koijev niz {} postojilim = kaemo da je (,)kompletan metriki prostor.Teorema 1.1.11:[17] Zatvoren podskup kompletnog metrikog prostora jekompletan.

Teorema 1.1.12:[17] Potreban i dovoljan uslov da je metriki prostor (

,

)kompletan je da

proizvoljan niz zatvorenih lopti {( ,)} utakvih da je(,) (,),za sve ,i

lim = 0ima neprazan presek.

Definicija 1.1.19: Neka su (,) i(,)metriki prostori, : , i ()=

.Funkcija

jeneprekidnau taki

ako za svako

> 0postoji

(

)>0tako da je

,() (,).Tvrenje 1.1.2:[17] Neka je (,)metriki prostor. Tada je preslikavanje neprekidno.

Definicija 1.1.20:Neka je (,)metriki prostor, : i neka .Tada kaemo daje:

odole poluneprekidna u taki ako za svako > 0postoji okolina U take takoda je () 0postoji okolina U take

tako da je ()>() , .


11/78


11

Pretpostaviemo sada da posmatrani skup ima algebarsku strukturu.

Definicija 1.1.21: Neka je vektorski prostor nad poljem = {,}. Preslikavanje

[0,

)za koje vae sledei uslovi:

1. = 0 = 0;2. = || zasve isve ;3. + + zasve , ;

nazivamonormanad, a ureeni par (,)normiran prostor.Svaki normiran prostor (,)je i metriki prostor (,) sa metrikom koja jedefinisana na sledei nain:(,)= , zasve, .Ako je normiran prostor (,) kompletan metriki prostor kaemo da je Banahov

prostor.

Definicija 1.1.22: Neka je (,) metriki prostor. Kaemo da niz {x} iz X jakokonvergiraka

,

(

) ako

0

kada

.

Definicija 1.1.23: Neka su (,) i (,) normirani prostori nad istim poljem ={,}. Preslikavanje je linearnoako je za sve , i sve ,

( +)= () + ().Skup svih neprekidnih linearnih preslikavanja izu oznaava se (,).Definicija 1.1.24: Neka je

vektorski prostor nad

. Linearno preslikavanje

se

naziva linearna funkcionelanad.Definicija 1.1.25: Neka su (,)i (,)normirani prostori. Linearno preslikavanje jeogranienoako postoji > 0tako da je

() , zasve .


12/78


12

Teorema 1.1.13:[17] Neka su (,) i (,)normirani prostori i linearnopreslikavanje. Tada su sledei uslovi ekvivalentni:

1.

je neprekidno,

2. je neprekidno u taki 0 ,3. je ogranieno.

Teorema 1.1.14:[17] Neka je (,) normiran prostor, a (,)Banahov prostor. Tadaje(,)Banahov prostor.Ako je

= {

,

}tada je prostor

(

,

) Banahov prostor i on se naziva dualprostora

i

obeleava se sa .Definicija 1.1.26: Neka je (,) normirani prostor. Topologija indukovana normom na zove sejaka topologijana.Za svako funkcionela

()= |(,)|, jeseminormana.Topologija indukovana familijom seminormi jeslaba topologijana i oznaavamoje sa (,).Definicija 1.1.27: Neka je Banahov prostor. Niz {} slabo konvergira ka ,zapisujemo ,ako ako niz {

}konvergira ka

u slaboj topologiji, tj.

(

)

(

)za svako

;

Definicija 1.1.28: Skup koji je kompaktan u slaboj topologiji naziva se slabo kompaktanskup.

Definicija 1.1.29:Neka je , gde je vektorski prostor. Skupjekonveksanako za sve, i za sve (0,1)vai:


13/78


13

+(1 ) .Definicija 1.1.30:Neka je dato taaka ,,,vektorskog prostora. Taka

= jekonveksna kombinacijataaka ,,,, ako je 0za sve = 1,,,i

= 1. Skup svih konveksnih kombinacija skupa

naziva se konveksna obvojnica skupa S i

oznaava se sa .


14/78


14

1.2 Metrika teorija nepokretne take za jednoznanapreslikavanja

Definicija 1.2.1:Neka je : . Elemenat je nepokretna takapreslikavanjaakovai: ()= .Definicija 1.2.2: Neka je (,)metriki prostor, neprazan podskup od i : .Ako je 0,1)takvo da je

((),()) (,), , ,tada je

kontrakcija nad M.

Preslikavanjeje kontrakcija ako je kontrakcija za neko [0,1).Stefan Banach (1892-1945) je poljski matematiar koji se generalno smatra jednim od

najznaajnih i najuticajnijih matematiara 20. veka. On je bio jedan od osnivaa modernefunkcionalne analize. 1922. godine objavio je teoremu koja je poznata kao Banachov principkontrakcije, koji je jedna od najvanijih rezultata analize i smatra se glavnim izvorommetrike teorije nepokretne take.

Teorema 1.2.1: (Banahov princip kontrakcije) [14] Neka je (

,

) kompletan metriki

prostor, neprazan i zatvoren podskup od i : kontrakcija nad . Tada postojijedinstvena nepokretna taka preslikavanjai vai relacija= lim()gde je proizvoljan elemanat iz . ta vie, pri tome je

(,) 1

,(), .Kao posledica ovog tvrenja lako se dobija sledei rezultat, lokalna verzija Banahovog

principa kontrakcije.

Teorema 1.2.2: [3] Neka je (,) kompletan metriki prostor i :(0,) je kontrakcija u lopti (0,)tako da je


15/78


15

((0),0)(1 ).Tada postoji jedinstvena nepokretna taka (0,) preslikavanja.T. Zamfirescu je 1972. godine objedinio Banachovu, Kannanovu i Chatterjeovu teoremu.

Definicija 1.2.3: [1] Neka je (,) metriki prostor. Funkcija : je Zamfirescupreslikavanje ako postoje realni brojevi , i , za koje vai 0


16/78


16

ii. za svako iiii. (,) (,).

Definicija 1.2.6 :Neka je dato > 0. Metriki prostor (,)je lanast, ako za svaki par, postoji konano mnogo taaka = ,,,= tako da je (,)< = 1,2,,.Teorema 1.2.5: [6] Neka je (,) kompletan lanast metriki prostor i zadovoljava sledei uslov: , 0 < < postoji > 0takvo da

, , (,)< + (,)< .Tada ima nepokretnu taku.U daljem radu koristiemo i sledei vaan rezultat.Teorema 1.2.6: (Caristi) [9] Neka je (,)kompletan metriki prostor i neka : .Ako postoji odole poluneprekidna funkcija : [0,)tako da je

,() () (), ,tada f ima nepokretnu taku.


17/78


17

2.Vieznana preslikavanja

2.1

Definicija i osnovne osobine

Definicija 2.1.1: Neka su , proizvoljni neprazni skupovi. Funkcija : 2 naziva sevieznano preslikavanje skupau skup .Definicija 2.1.2: Neka je (,) metriki prostor.Na skupu () Hauzdorfova metrika Hdefinie se na sledei nain:

(

,

)=

{

(

,

),sup

(

,

)}

,

(

)

gde je (,)= {(,) }, .Funkcija (,)=(), ima sledee osobine:

a) preslikavanje (,)[0,)je neprekidno,b) ={ ; (,)=0}.

Napomena: Neka , () i neka .Za proizvoljno > 0, po definiciji rastojanja(,), postoji takvo da je(,) (,) +.

Ako je skup kompaktan onda postoji takvo da je(,) (,).

U optem sluaju to ne vai, to ilustruje sledei primer.

Primer: [19]

Neka je = (Hilbertov prostor svih kvadratno sumabilnih nizova realnih brojeva),= 1, ,, , i neka je {} niz sa nulama na svim koordinatama sem n-te,koja je jednaka 1.


18/78


18

Neka je={,,,,,}i = {,,,,}. Poto je

=

+1+

,

;

(

,

)=

(

+1)

ali ne postoji u takvo da je (,)..Lema 2.1.1: [8] Neka je (,)metriki prostor,, () , > 1 dato. Tada zasvako postoji tako da je (,) (,).Definicija 2.1.3: Neka je dat metriki prostor (,) i skup .Dijametar skupa ()definiemo:

(

)= sup{

(

,

):

,

}

0,

)

Neka je, . Funkcija () () 0,)je definisana na sledei nain:(,)= {(,)| , }.

Ako je= {}jednolan skup, piemo da je(,)= (,),

ako je i = {}, tada je (,)= (,).Za svako ,, ()vai:

(,)= (,)0, (,) (,) + (,),(,)= , (,)= 0 = = {}.

Za

,

(

)neka je

(,)= sup{(,), }.Treba primetiti da je (,) (,)


19/78


19

Lema 2.1.2: [4]Neka je (,)metriki prostor, , i, i su podskupovi skupa .Tada vai:

1. Ako je

, tada je

(

,

)

(

,

)

i

(

,

)

(

,

).

2. (,) (,) +(,).3. (,) (,) +(,) + (,).4. (,) (,) +(,).

Napomena: Ako je , tada se (,) (,)ne mogu porediti.Definicija 2.1.4: Neka je : 2 , taka zove se nepokretna (fiksna) takavieznanog preslikavanja ako .Definicija 2.1.5: Vieznano preslikavanje : ()je

kontrakcija ako postoji konstanta [0,1)tako da vai:(,) (,), , .

Lipicovo ako postoji

> 0ako je

(,) (,), , . neekspanzivno ako je

(,) (,), , . kontaktivno ako je

(

,

) 1. Izaberemo neko i rekurzivno definiemo , 2tako da vai:

(,) (,) (,).To nam osigurava i Lema 2.1.1.Kako je (,) (,), dobijamo da vai:

(,) (,) (,), 0.


26/78


26

Odatle dobijamo da je :

(

,

)

(

,

)

1

(

,

),

,

0.

(2)

Zbog toga {}je Koijev i konvergentan jer jekompletan metriki prostor. Neka je limesniza {}. Kao i u prethodnoj teoremi dobija se da . Kada iz (2) dobijamo (1).


27/78


27

3.2 Uoptenje irieve generalizovane kontrakcije

Definicija 3.2.1: [16]Preslikavanje

(

)je uoptena vieznanakontrakcija, gde

je (,)metriki prostor, ako postoji q, 0 < < 1, tako da je:(,) (,),(,),(,),(,) +(,)2

, , .Teorema 3.2.1: [16] Neka je (,)metriki prostor, ()uoptena kontrakcija,a prostor -orbitalno kompletan prostor. Tada:

i. Za svako

postoji orbita {

}

preslikavanja

u taki

i

tako da je :

lim = ;ii. Elemenat je nepokretna taka preslikavanja ;

iii. Za svako zadovoljena je jednakost:(,) ()1

(,)

gde je (0,1)proizvoljan fiksiran broj.Dokaz:Neka jeproizvoljan elemenat iz i . Za (,)=0, pase moe pretpostaviti da je (,)> 0.Neka je (0,1)proizvoljno dato. Tada zbog> 1, na osnovu Leme 2.1.1 postoji tako da je :

(,) (,)Nastavljajui dalje na isti nain dolazimo do niza {

}

elemenata iz

tako da je za svako

: i (,) (,).Sada treba pokazati da je niz {} Koijev. Kako je preslikavanje uoptena kontrakcijasledi da je za sve :(,) (,)


28/78


28

(,),(,),(,),12 (,)

(

,

),

(

,

),

(

,

)

jer je (,) (,) i(,) (,).

Ako bi za neko bilo (,) (,) to bi znailo da je (,) =0 itada bi elemenat bio nepokretna taka preslikavanja . Zato moemo pretpostaviti daje

.

Dakle, vai da je (,) (,), (,) (3)Iz (,), (,)= (,)iz (3) sledi da je

(

,

)

(

,

)

Ako bi bilo da je

(,),12 (,)=12(,)tada bi vailo:

(,) 12 (,) 12((,) + (,))a odavde da je

(,) (,) (,) (4)Prema tome u oba sluajasledi da je za svako


29/78


29

(,) (,)Koristei ovu nejednakost puta dobija se da je

(,) (,) () (,).Dakle za svako vai nejednakost:

(,) (,) ()

1 (,) (5)Time je dokazano da je niz {} Koijev. Koristei orbitalnu kompletnost prostora

moe se zakljuitida postoji elemenat

takav da je

lim = .Time je dokazano da vai (i). Iz (5) za sledi (iii).Treba jo pokazati da . Polazimo od nejednakosti:(,)

(

,

) +

(

,

)

(

,

) +

(

,

)

(,) + (,),(,),(,),(,) + (,)2 (,) + (,),(,),(,),(,) + (,) + (,)2 Odavde zakljuujemo da je zadovoljena jedna od sledeih nejednakosti:

a)

(

,

)

(

,

) +

(

,

)

b) (,) (,) + (,)c) (,) (,) + (,)


30/78


30

) (,) (,) + (,) + (,) + (,)2 .Iz (c) sledi da je

(,) 11 (,)Iz (d) sledi da je (,) 11 (2+)(,) + (,)

Kada u svakom od tih sluajevasledi da je (,)= 0. Koristeipretpostavku da jeskup zatvoren skup, dobija se da je . Posledica 3.2.1: [16] Neka je (,)kompletan metriki prostor i ()tako daje za sve , zadovoljena nejednakost:(,) (,) +(,) +(,)gde su ,, 0 i + +< 1. Tada preslikavanje ima nepokretnu taku.Dokaz:Primetimo da je tada za sve ,

(

,

)

(

+

+

) max{

(

,

),

(

,

),

(

,

)}.

Primenom prethodne teoreme dobijamo da ima nepokretnu taku. Teorema 3.2.2: [16]Neka je preslikavanje () definisano nad orbitalnokompletnim metrikim prostorom (,). Ako preslikavanje zadovoljava uslov:

(,) (,),(,),(,),(,) + (,)2

(6)za sve , gde je (0,1)tada:i. Preslikavanje ima jedinstvenu nepokretnu taku u i ={}

ii. Za svako postoji orbita {} preslikavanja u taki tako da jelim = .


31/78


31

iii. Za svako zadovoljena je nejednakost:

(

,

)

()1

(

,

),

gde je (0,1)proizvoljan fiksiran broj.Dokaz:Neka je proizvoljan element iz i (0,1). Za (,)=0,{}= pamoemo pretpostaviti da je (,) >0. Neka je pri emu je:

(,) (,)Nastavljajui dalje tako moe se konstruisati orbita {

} preslikavanja

u taki

sa

osobinom:

(,) (,), za sve {0}Tada je za proizvoljno

(,) (,) (,),(,),(,),12(,)

(,),(,),(,),1

2(,) (,),(,), 12(,) (,),12(,).

Za

(,),12(,)=12(,)dobija se da je (,) 2 (,)


32/78


32

Te je u svakom sluaju

(,) (,).Lako se sada dobija da je

(,) ()1 (,). (7)Dakle niz {} je Koijev. Neka je lim = .Nejednakost (iii) sledi iz (7) kada . Zbog , , je .Treba jo pokazati da je

= {

}.

Ako bi vailo da je

{

}to bi znailo da je

(,) >0.Tada iz (6) sledi:

(,) max{(,),(,)}= (,)a to je nije mogue zbog naina na koji je definisano (,).Pretpostavimo da postoji takvo da je {}= .Tada vai da je

(,)= (,)= (,)

max

(

,

),

(

,

),

(

,

) ,

(

,

)+

(

,

)

2 =

(

,

).

Poto je < 1sledi da je (,)= 0,tj. = . Taka je i jedinstvena nepokretna taka.

Ako uoimo da je (,) (,) ( )dobijaju se sledea dva tvrenja kaoposledice ove teoreme.

Posledica 3.2.2: [16]Neka je

(

) preslikavanje definisano nad

orbitalno

kompletnim metrikim prostorom (

,

).Ako preslikavanje

zadovoljava nejednakost:

( ) (,),(,),(,),12

(,) +12

(,)za sve , gde je (0,1)tada:

1) Postoji jedinstvena nepokretna taka preslikavanja i = {};


33/78


33

2) Za svako postoji orbita {} preslikavanja T u taki tako da jelim = ;

3) Za svako

je zadovoljena nejednakost:

(,) ()1 (,),gde je (0,1)proizvoljan fiksiran broj.Posledica 3.2.3: [21] Neka je () preslikavanje definisano nad kompletnimmetrikim prostorom (,)i za sve , je:

(

,)

(

,)+

(

,)

+(,)

gde je ,, 0 i + +< 1. Tada postoji jedna i samo jedna nepokretna taka upreslikavanja T i = {}.Dokaz:Primetimo da je tada zadovoljen uslov

(,)( + +) max{(,),(,),(,)}.Primenom Posledice 3.2.2 dobijamo da preslikavanje

ima jedinstvenu nepokretnu taku.


34/78


34

3.3

Preslikavanje Zamfirescua

U [1] autori su koncept Zamfirescuove jednoznane funkcije proirili na vieznana

preslikavanja i dobili neka interesantna uoptenja.

Definicija 3.3.1: [1] Neka je (,)metriki prostor i neka je (). se nazivavieznano preslikavanje Zamfirescu-a ako postoje realni brojevi , i za koje vai0


35/78


35

Definicija 3.3.4: [1] Neka je (,) metriki prostor i () MWP operator i> 0. Tada se T naziva c-MWP operator ako za svako (,) () postoji (,) u(,)tako da je ,(,) (,).Da je ova klasa operatora interesantna za ispitivanje pokazuju sledei primeri[1]:

1. Neka je (,)metriki prostor i ()vieznana -kontrakcija (0 < 0. Biramo , 1 < < min , , .Na osnovu Leme 2.1.1 postoji tako da je (,) (,).Ako ,zadovoljavaju (), tada imamo da je

(,) (,)Ako ,zadovoljavaju (), tada imamo

(,) [(,) +(,)] [(,) + (,)]odakle dobijamo da je

(,) 1 (,).Ako

,

zadovoljavaju (

), tada imamo

(,) [(,) + (,)]= (,) (,) [(,) +(,)]


37/78


37

a, odatle je (,) 1 (,).Za = max, 1 , 1 , imamo 0 < 1, i

(,) (,).Ako je (,)= 0 tada je = ,(npr. , toznaidaje .) Neka je (,)> 0. Opet, na osnovu Lema 2.1.2, postoji tako da je

(

,

)

(

,

).

Na ovaj nain dobijamo orbitu {} preslikavanja u taki koja zadovoljava(,) (,), = 1,2,3, (8)

i na osnovu (8) induktivno dobijamo

(,) (,), (9)i, respektivno, (,) (,), {0}. (10)Tako, za svako , ,na osnovu (9) sledi da je

(,) (, )

(,)(11) (1 )1 (,) 1 (,)

na osnovu (10) dolazimo do


38/78


38

(,)(++ +)(,) 1 (,). (12)Kako je 0

< 1,

0, kada

. Zajedno sa (11), ovo pokazuje da je {

}

Koijev niz, pa {} konvergira ka nekom jer je (,)kompletan metriki prostor.Iz Leme 2.1.2 (2.) dobijamo da je(, ) (,) +(, ) (,) +(, ).

Ako , zadovoljavaju (), tada je(, ) (,) +(,). (13)

Ako ,zadovoljavaju (), tada je(, ) (,) +[(,) + (, )] (14) (,) + [(,) +(, )].

Ako ,zadovoljavaju (), tada je

(

,

)

(

,

) +

[

(

,

) +

(

,

)]

(15) (,) +[(, ) +(,)].Dakle, kada u (13), (14) i (15), dobijamo da je (, )=0.Kako je zatvoren, sledi da .Da bismo dokazali tvrenje pod (b), koristimo (11) i (12) i neprekidnost metrike, pa uzimajuida , dokaz je kompletiran.

Za datu taku i kompaktan skupa , znamo da uvek postoji tako da je(

,

)=

(

,

).Tada

zovemo projekcija take

na skupu

i oznaavamo

=

.

Takane mora biti jedinstvena, ali biramo jednu.Definicija 3.3.5: Neka je () ( je kompaktan skup za svako ).Definiemo projekciju povezanu sa vieznanim preslikavanjem pomou = (). Za definiemo = , = 0,1,2, Niz {} konstruisan na ovaj nainnazivamoPikardova projekciona iteracija (Picard projection iteration) preslikavanja .


39/78


39

Teorema 3.3.2: [1] Neka je (,)kompletan metriki prostor i ()vieznanoZamfiresku preslikavanje takvo da je kompaktan skup za svako .Tada je:

1.

;

2. za proizvoljno , Pikardova projekciona iteracija {} konvergira ka nekom ;3.

vae sledee procene

(,) 1 (,), =0,1,2,

(

,

)

1

(

,

),

= 1,2,3,

za neku konstantu < 1.

Dokaz:Neka je vieznano Zamfiresku preslikavanje (to jest, za svako , zadovoljenje bar jedan od uslova (),()ili(),i je kompaktan za svako .)Neka je proizvoljno i neka je {} Pikardova projekciona iteracija.Za , vidimo da je

(

,

)=

(

,

)=

(

,

)

(

,

)

(

,

).

Ako ,zadovoljavaju (), tada je(,) (,).Ako ,zadovoljavaju (), tada je

(,) [(,) +(,)]=

[

(

,

) +

(

,

)]

odatle dobijamo (,) 1 (,).Ako ,zadovoljavaju (), tada imamo


40/78


40

(,) [(,) +(,)]= (,) [(,) +(,)]= [(,) + (,)]

a, odatle je (,) 1 (,).Za

=

,

1

,

1

,

imamo

0

< 1,

i

pri

tome

je

(,) (,).tavie, za svako imamo da je(,) (,). (16)

Dalje dokazujemo koristei iste argumente kao u prethodnoj teoremi. Posledica 3.3.1: [1] Neka je (,) kompletan metriki prostor. Ako je vieznanoZamfiresku preslikavanje,

je tada

operator, gde je

=

za neku konstantu

< 1.Dokaz: Sledi direktno iz teoreme 3.3.1 (b). Teorema 3.3.3: [1] Neka je (,) kompletan metriki prostor. Ako je vieznanoZamfiresku preslikavanje, tada je kompletan skup.Dokaz: Neka je {} Koijev niz u . Kako je kompletan, postoji tako da(

,

)

0kada

.

Na osnovu leme 2.1.2 (3) imamo

(,) (,) +(,) + (,) (,) +(,) +(,)= (,) +(,).


41/78


41

Ako , zadovoljavaju (), tada je(,) (,) +(,). (17)

Ako , zadovoljavaju (), tada je(,) (,) + [(,) + (,)] (18)Ako , zadovoljavaju (), tada je

(,) (,) +[(,) + (,)]

(

,

) +

[

(

,

) +

(

,

)]

(19)

Otuda, kada u (17), (18) i (19), dobijamo da je (,)= 0.Kako je zatvorenskup, .Time je dokaz zavren. Sledei primerpokazuje da se za dato preslikavanje ne moe primeniti Nadlerova teoremao nepokretnoj taki, dok moemo koristiti Teoremu 3.3.2. to znai da se radi o pravomuoptenju.

Primer: [1]

Neka je= [0,1] i preslikavanje : ()definisano= 0,14 [0,1) 0,1

2 = 1.

Ako izaberemo = , tada zadovoljava (). Dakle, na osnovu Teoreme 3.3.2,preslikavanje

ima nepokretnu taku. Za

= 1,

[

,1) je |

|

=

(

,

).

Ovo znai da nije vieznana kontrakcija, pa ne moemo primeniti Nadlerovu teoremu uovom primeru.


42/78


42

3.4

Reichov problem

Jedan od pravaca generalizacije Banahovog principa, odnosno Nadlerovog rezultata, jeste

da se konstanta zameni funkcijom koja zavisi od rastojanja taaka i.Neka je :(0,)[0,1)funkcija sa osobinom

limsup()< 1, > 0. ()Teorema 3.4.1: [20,21]Neka je (,)kompletam metriki prostor i neka ()zadovoljava uslov:

(,) (,)(,), , , , (20)gde:(0,)[0,1)ima osobinu (*). Tada Tima nepokretnu taku.Reich je postavio sledeiproblem:

Da li Tima nepokretnu taku ako : ()zadovoljava uslov (20) i kima osobinu (*)?Iako Rajhov problem ostaje nereen, dati su neki delimini odgovori.

Teorema 3.4.2: [5,15] Neka je (

,

) kompletan metriki prostor i

:

(

)

zadovoljava uslov:

(,) (,)(,), , , , (21)gde je :(0,)[0,1)funkcija. Ako k ima svojstvo

sup()< 1 0. () tada Tima nepokretnu taku.

U dokazu ove teoreme, koristimo lemu:


43/78


43

Lema 3.4.1: [6] Pretpostavimo da () zadovoljava uslov (21) gde k imasvojstvo (). Tada za svako postoji orbita {} preslikavanja u taki tako daniz {(,)}opadajui tei ka 0.Dokaz: Biramo proizvoljno i , a zatim izaberemo za = 1,2tako da vai

(,)[ ((,))]/ (,). (22)(Pretpostavljamo bez umanjenja optosti, jer u suprotnom je nepokretnataka preslikavanja T.) Kako je

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

),

sledi iz (22)da je(,) (,)(,)< (,). (23)Tako je niz {(,)}opadajui. Neka je b limes od{(,)}. Za iz (23)dobijamo da je , gde je = lim sup() 0 i (0,1)tako da ()< za (0,).Neka je takvo da je (,)< , za . Iz prve nejednakosti u (23)za sledi

(

,

)

(

,

)

(

,

).

Ovo implicira da je {} Koijev niz, a otuda i konvergentan. Neka je = lim.Kako ,za svako , kada granica i je nepokretna taka od T. Drugi delimian odgovor na Rajhov problem, dao je Y.Q. Chen [27].


44/78


44

Teorema 3.4.3: [27] Neka je (,) kompletan metriki proctor i ()zadovoljava uslov:

(

,

)

(

,

)

(

,

),

,

,

gde je :(0,)[0,1) ima svojstvo ().Pretpostavimo da ima osobinu ():Za svaki zatvoren podskup od takav da je , ,vai da je(, )= (,), . ()

Tada Tima ima nepokretnu taku.Za dokaz ove teoreme u dva koraka koristimo sledee dve leme.

Pre svega uoimo sledee:Neka je dato > 0. Neka je(), takvo da je () < () 0. Iz svojstva (*) sledi da postoji = ()(0,1)tako da je () < ()za < + .Lema 3.4.2: [6] Pretpostavimo da jezatvoren podskup od tako da vai

, .Tada je inf{(,) }= 0.Dokaz: Biramo neko i . Zatim rekurzivno definiemo za 1(moemo pretpostaviti da je zasve )na sledei nain : jeizabran tako da vai (,)< (,) +, gde je

0 0, zakljuujemo na osnovu svojstva (*) da je () < , to je kontradikcija. Dakle = 0, odakle sledi da je inf{(,) }=0. Lema 3.4.3:[6] Pretpostavimo da jezatvoren podskup odtako da je , .Tada za > 0postoji tako da vai , ,gde je

{ (,) },za

=+4.Dokaz: Pretpostavimo da ne postoji . Tada za svako postoji neko ,(,) , tako da je (,)> ,za svako i specijalno (,) .Razlikujemodva sluaja:

1. sluaj: (,)< 4/ ;

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

4

;

2. sluaj: (,) 4/ ;Tada je (,) < te je(,) (,) (,) (,)(,) () = 1 ().

Odavde zakljuujemo da je inf{(,) }> 0. Ovo je kontradikcija sa Lemom 3.4.2.

Sada se vraamo na dokaz Teoreme 3.4.3.

Dokaz: Biramo niz{}koji je strogo opadajui ka 0. Neka je = (), = ()i nekaje definisano na isti nain kao iranije. Tada na osnovu Leme 3.4.3 moemo definisati nizlopti {}tako da je:


46/78


46

1. , = 1,2,3;2. je podskup od i poluprenik od je .

Kako je ()=20, (prenik) zbog kompletnosti prostora imamo da je = {} za neko .Na osnovu osobine 1. ovo je nepokretna taka odT. Napomena:Chenov uslov ()je veoma restriktivan. Zaista, ak i konstantno preslikavanje nezadovoljava uvek uslov(), a to je pokazano u sledeem primeru:Primer:[6]

Neka je= [0,5]sa uobiajenom metrikom u . Definiemo konstantno preslikavanje F: [0,1] [4,5], .Neka je = [1,3].tada imamo , .Ali za = 3 imamo (,) = 1dok je (, )= 2.Te je (,) (, ).Evo jo jednog parcijalnog odgovora na Reichovo pitanje.

Teorema 3.4.4: [18]

Neka je (

,

) kompletan, metriki prostor i

(

)

zadovoljava uslov

(,) (,) (,) , , , (24)gde:(0,)[0,1) ima osobinu (*). Ako je ()1 za neku konstantu >0 i (0,1) i svako > 0 dovoljno malo: 0 < za neko 0 < < / , tada imanepokretnu taku.

Dokaz: Moemo da pretpostavimo da je nejednakost (24) stroga. (u suprotnom, moemo

zameniti sa drugom funkcijom > koja i dalje zadovoljava svojstvo (*) i koja nejednakost(24)pravi strogom. Na primer, birajui neko takvo da je 0 < < , imamo da je1 < 1 za > 0.) Zatim za proizvoljno i definiemo orbitu {} od Tu taki tako da je

(,) < (,), 1, (25)


47/78


47

gde je () (),> 0.Ovo je mogue jerje (,) (,)< (,). (Kada smo definisali{} pretpostavli smo da je , zasvako 1.Zaista, ako je = za neko

1, tada je

nepokretna taka od T i to bi bio kraj dokaza.) Kako je

(

) 0, niz {(,)} je opadajui. (U dokazu Leme 3.5.1 pokazali smo da jelim(,)=0.) Ali to jo nije dovoljno da pokaemo konvergenciju reda (,+1) . Neka je ()= (1 ).Tada je () ()za (0,].Za svakofiksno (0,], koristei Lemu 4[18],

()< .(Ovde je

ta iteracija od

.) Neka je

dovoljno veliko tako da vai

(

,

)

(

(

)

)

(

)

( ) () = (,).

Tako s obzirom na izbor broja qimamo


58/78


58

() = < 1+ (,) i neka je() 1 1+ (,), .

Pretpostavimo da Tnema nepokretnu taku uE. Tada je (,) > 0za svako .Iz pretpostavke (30) sledi da postoji = ()(0,)tako da je

(1

)

+

,

0 (0,2]gde je

zatvorena jedinina lopta u X.

Tvrenje 3.8.1: [6] Neka je (, ) Banahov prostor i > 0 je dat broj. Tada je ravnomerno konveksan ako i samo ako je norma od ravnomerno konveksna nazatvorenoj lopti = { }. To znai da postoj neprekidno, strogo rastuafunkcija :[0,)[0,), koja zavisi od , gde je () = 0 ako i samo ako je = 0, takoda vai :

+(1 ) +(1 ) (1 )( ), , , [0,1].Lako se zakljuuje da za konveksan skup

vai:

()={ + ( ) 0, }.Tvrenje 3.8.2 :[6] Neka jeravnomerno konveksan Banahov prostor i neka je zatvorenkonveksan podskup od . Pretpostavimo da je {}ogranien niz u i da je =({}).Tada je()({})= ({})= ()({}).Dokaz: Neka je

(

)= lim sup

,

= inf{(): }= ({}),= inf(): ()= ()({}).Dovoljno je pokazati da je = . Oigledno je da je . Ostaje da se pokae da je . Primenom Tvrrnja 3.8.1 dobijamo, za neko > 0 i neprekidnu strogo rastuufunkciju (koja zavisi od ) tako da je:

(

+(1

)

)

(

)+(1

)

(

)

(1

)

(

),

,

,

[0,1].

(35)

Jasno je da je = inf{(): ()}; Dakle, imamo niz = + ( ), gde je 0i ,tako da() .Ako je 1,za beskonano mnogo n, tada ,atako je() za to n. Kada dobijamo da je ,a to je trebalo da pokaemo.Prepostavimo da je > 1,. Ako {} ima ogranien podniz, isto oznaen sa{},moemo pretpostaviti da 1.Kako je {}ogranien, moemo takoe pretpostaviti


63/78


63

da . (Ovde znak " " oznaava slabu konvergenciju.) Kada dobijamo = +( ).Drugim reima, moemo zapisati

=

1

+

1

1

.

Kako jeslabo sa donje strane poluneprekidno, dobijamo()liminf()=.

Sa druge strane, na osnovu konveksnosti funkcije dobijamo

(

)

1

(

) +

1

1

(

).

Kako je() , ()= i () , iz poslednje nejednakosti sledi da je1 +1 1

i tako je .Konano, pretpostavimo da .U ovom sluaju moemo pisati

=1 +11 .Neka je sada dovoljno veliko tako da je {} {}. Koristei nejednakost (35)dobijamo da je

() 1() + 11 () 1 1 1 ( ).Kako je

(

)

i

(

)=

,iz poslednje nejednkaosti sledi da je

1 1 ( ) () .Neka sada . Dobijamo

limsup( ) 0.


64/78


64

Otuda, i = lim () =() = . Ako je

(

), tada ne moemo da pretpostavimo da je

separabilan, time Lema

3.8.1 (2) nije primenljiva. Zbog toga je potrebno da definiemo univerzalnu mreu.

Definicija 3.8.3: Ako jeneprazan skup, onda svako preslikavanje proizvoljno usmerenogskupau skupzovemomreau skupu . Piemo da je()= , za svako . Mreuoznaavamo sa {}.Definicija 3.8.4: Mrea {} u prostoru S zove se univerzalna mrea ako je za svakipotprostor prostora S , {}u ili je {}u .Sledee injenice su znaajne: [10]

a) Svaka mrea u prostoru ima univerzalnu podmreu.

b) Ako je : preslikavanje i ako je {}univerzalna mrea u , tada je {()}univerzalna mrea u .

c) Ako je S kompaktan i ako je {}univerzalna mrea u S, tada postoji .Neka je konveksan i slabo kompaktan podskup Banahovog prostora (, ) i : ()neekspanzivno preslikavanja. Za fiksiran elemenat i proizvoljan ceo broj 1,

kontrakcija () definisana sa:()= 1 + 11 , ,

ima nepokretnu taku .Lako se uoava da (,) ()0, .Neka su

i

asimptotski poliprenik i centar od

{

}respektivno, koji se odnose na

. Poto

ima kompaktne slike, moemo izabrati

tako da

= (,), 1.Kako je preslikavanje skupa u samog sebe, moemo pretpostaviti da je separabilan (akonije, moemo konstruisati zatvoren, konveksan podskup od koji je invarijantan u odnosu na


65/78


65

,vidi[25]). Na osnovu Leme 3.8.1 moemo pretpostaviti da je {}asimptotski ravnomeran.Biramo proizvoljno . Kako je kompaktan, postoji

=

(

,

)

(

,

)

.

Zbog kompaktnosti skupa , moemo takoe pretpostaviti da {} (jako) kovergira kanekom .Odatle sledi da je:

limsup = limsup limsup .Ovo pokazuje da .Dakle, moemo definisati preslikavanje : ()

=

,

Ovo generalno, nije ni neekspanzivno ni sa donje strane poluneprekidno preslikavanje,meutim, jeste sa gornje strane poluneprekidno, a to su primetili Kirk i Massa [26]. Oni sudokazali sledeu teoremu, koristei Bohenblust-Karlin teoremu o nepokretnoj taki, koja jevie topoloke nego metrike prirode. U ovom radu bie naveden dokazkoji koristi principvieznane kontrakcijeNadlera.

Lema 3.8.2: [6] Ako je kompaktan i konveksan podskup Banahovog prostora i: ()je neekspanzvno preslikavanje koje zadovoljava (granini) uslov () , .

Tada T ima nepokretnu taku.

Dokaz: Fiksiramo neko i definiemo za svaki ceo broj 1 kontrakciju ()na sledeu nain:() = 1

+11

, .

Tada je kontrakcija koja zadovoljava isti (granini) uslov koji zadovoljava T, tj:() () , .Tada, na osnovu teoreme Deimlinga (Teorema 11.5 [12]), ima nepokretnu taku .Kako je C kompaktan skup, moemo pretpostaviti .Takoe, lako se uoava da je


66/78


66

(,)1 0, kada .Dobijamo

(

,

)= 0,dakle

.

Teorema 3.8.1: (Kirk-Massa) [27] Neka je neprazan, zatvoren, ogranien i konveksanpodskup Banahovog prostora i () neekspanzivno preslikavanje.Pretpostavimo da je asimptotski centar u svakog ogranienog niza u neprazan ikompaktan. Tada ima nepokretnu taku.Dokaz: Kako je preslikavanje u samog sebe, moemo pretpostaviti da je separabilan.Dakle, imamo asimptotski ravnomeran niz {}u tako da je lim(,)=0.Takoeimamo i niz {

}za koji vai da

i = (,), .Neka je =({}) i = ({}).Ve smo pokazali da je

, . (36)Ideja je da ne posmatramo preslikavanje u samog sebe = , , kako gubine-ekspanzivnost. Umesto toga, posmatramo preslikavanje (). Prednost oveideje je u tome da je neekspanzivnost preslikavanja sauvana,ta vie, (rubni) uslov, (36) jezadovoljen, iako vie nije self-mapping.Sada, za svaki ceo broj 1,definiemo kontrakciju ()pomou:

(

)

1

+

1

1

,

,

(37)

gde je fiksirano. Tada svako je kontrakcija koja zadovoljava uslov() , .


67/78


67

Kako ima kompaktne i konveksne vrednosti, na osnovu Leme 3.8.2, ima nepokretnutaku .Niz {}zadovoljava

lim

(

,

)= 0

.

(38)

Kako je kompaktan, {} ,{} ima konvergentan podniz . Za podniz vai lim= . Na osnovu (38)

lim ,=0odakle dobijamo da .

Neka je

Banahov prostor i

neprazan, zatvoren i konveksan podskup prostora

.

Podsetimo se da je tada unutranjost prostora

u taki

data sa:

()={ + ( ): 0, },a vieznano preslikavanje : () je unutranje (slabo unutranje) ako je (), ()za .Teorema 3.8.2: [6] Neka je neprazan, zatvoren, ogranien i konvekan podskup Banahovogprostora i : () je neekspanzivno preslikavanje, koje zadovoljava uslovunutranjosti:

(

), za

. Pretpostavimo da je asimptotski centar u

, svakog

ogranienog niza u, neprazan i kompaktan. Tada ima nepokretnu taku.Dokaz: Fiksiramo neko i definiemo za svaki ceo broj 1 kontrakciju: ()na sledei nain:() = 1 +1 1 , .

Tada zadovoljava uslov unutranjosti tj. (), za svako .Tako, na osnovuTeoreme 3.7.2,

ima nepokretnu taku

. Na osnovu Leme 3.8.1, moemo

pretpostaviti je da je niz {} regularan. Neka je definisano kao i ranije tj.: = (,).Neka je univerzalna podmrea od {} i funkcija definisana:

()= lim , .Neka je


68/78


68

= { ()= },gde je = ().Tada (propozicija 6, [26]), C je neprazan i kompaktan. Klju ovogdokaza lei u tome da uslov unutranjost preslikavanja

na

implicira da je

() , . (39)Zaista, ako , iz kompaktnosti, imamo da za svako 1, postoji neko takoda je

= (,) (,) .Neka je

= lim

.Odatle sledi da je

()= lim =lim .Dakle, () ()= . (40)Ostaje jo da se pokae ().Kako je (), imamo neko 0i tako da je

= +( ).Ako je 1,tada na osnovu konveksnosti , stoga, na osnovu (40), (), ato je trebalo pokazati.Pretpostavimo da je > 1.Tada je

= +(1 ), gdeje= 1(0,1).Na osnovu konveksnosti funkcije i (45), imamo

(

)

(

) +(1

)

(

)

.

Kako , odatle sledi da i vai = +( )pripada (). Sada imamo ne-ekspanzivno preslikavanje () koje zadovoljava (granini) uslov (39). Naosnovu Leme 3.8.2 ima nepokretnu taku.


69/78


69

Teorema 3.8.3: [6] Pretpostavimo da je ravnomerno konveksan Banahov prostor, jezatvoren, ogranien i konveksan podskup od , i : () neekspanzivno preslikavanjekoje zadovoljava uslov slabe unutrapnjosti:

(), za .Tada ima nepokretnu taku.Dokaz: Fiksiramo , zatim definiemo, za svaki ceo broj 1, kontrakciju: ()na sledei nain:

() = 1

+1 1

, .

Lako se uoava da zadovoljava uslov slabe unutranjosti, () za svako ,zakljuujemo, na osnovu Teoreme 3.6.2 da ima nepokretnu taku, oznaenu sa . Takoe,lako se uoava da je

(,)1 0, kada .Moemo da pretpostavimo da je {}regularan i odatle asimptotski ravnomeran jer prostor je ravnomerno konveksan. Neka je

jedini element asimptotskog centra od {

}

;Tada je

jedini minimizer u

funkcije:

()= limsup .Neka je =()= inf(). Biramo koje zadovoljava = (,).Iz neekspanzivnosti preslikavanja sledi da je

(,) .Kako je kompaktan, moemo pretpostaviti da {}jako konvergira ka taki .Sledida je

()= limsup = limsup limsup ;


70/78


70

te je

() (). (41)Sada emo pokazati da je = , ime zavravamo dokaz. Prvo emo primetiti da je (). Tada, na osnovu Tvrenja 3.8.2i (41) dobijamo da je ()=().To znai da sui minimizeri funkcijena (), odakle je = i je nepokretna taka od .H.K.Xu daje dokaz, da se i poklapaju, koji koristi nejednakost ravnomerne konveksnosti,tj. Tvrenje 3.8.1.

Kako (), postoji niz {}nenegativnih brojeva i niz {}elemanata potprostora Etako da je:

=

+

(

)

.

(42)

Ako je 1za beskonano mnogo , tada za te -ove i odatle .Za ovo, (41)pokazuje da je takoe minimizer odu odakle je = na osnovu jdinstvenosti.Neka je sada > 1, zasvako. Ako {} ima ogranien podniz, tada je {}ogranien,imamo, za neki podniz {}pozitivnih celih brojeva da i .Odatle sledida je = + ( )smanjujui sluaj na sluaj unutranjosti koji je objanjen u [2,12,22,].Pretpostavimo da

.Tada (42) piemo

= +(1 ), gdeje =1 0.Sada, neka je dovoljno velik broj tako da zatvorena lopta sadri nizove { }i{ }. Primenjujemo Tvrenje 3.8.1i dobijamo da dok :

() ()=(+(1 ))= limsup

(

) +(1

)(

)

() +(1 )() (1 )( ).Dakle,

(1 )( ) () ().


71/78


72/78


72

Literatura

[1] A.Kaewkhao, K.Neammanee, Fixed point theorem of multi-valued Zamfirescu

Mapping. J. Math. Res., Vol.2, No.2, 2010.

[2] D.Downing ,W. A. Kirk, Fixed point theorems for set-valued mappings in metricBanach space, Math. Japon. 22 (1977)

[3] D.Ili, V.Rakoevi, Kontraktivna preslikavanja na metrikim prostorima i uoptenja,

Univerzitet u Niu, Ni 2014

[4] H.E. Kunze, D. La Torre, E.R. Vrscay,Contractive multifunctions, fixed pointinclusions and iterated multifunction systems, J.Math. Appl. ,330, 2007

[5] H.K.Xu, Fixed point theorems for single-valued and set-valued mappings, thesis,Zhejiang Univ.,1985.

[6] H.K.Xu, Metric fixed point theory for multivalued mappings, Disert. Math., 2000.

[7] H.K.Xu, chainability and fixed points of set-valued mappings, Math. Japon. 39(1994)[8] I.A. Rus, Generalized contractions, Cluj University Press: Cluj-Napoca, 2001

[9] J. Caristi, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions, Trns.Amer. Math. Soc. Vol. 215, 1976

[10] J.L. Kelley, General Topology, Van Nostrand, Princeton, NJ, 1955

[11] J. M. Borwein, O. Giladi, Nearest points and delta convex functions inBanach space

[12] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin and NewYork, 1992


73/78


73

[13] K. Goebel, On a fixed point theorem for multivalued nonexpansive mappings, Ann.Univ. Mariae Curie-Sklodowska 1975

[14] Lj.Gaji, M.Kurili, S.Pilipovi, B.Stankovi, Zbirka zadataka iz funkcionalne analize,

Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 2000

[15] N.Mizoguchi , W. Takahashi, fixed point theorems for multivalued mappings oncomplete metric space, J.Math. Anal. Appl. 141 (1989)

[16] O. Hadi, Osnovi teorije nepokretne take, Institut za matematiku, Novi Sad, 1978

[17] O. Hadi, S.Pilipovi, Uvod u funkcionalnu analizu, Novi Sad, 1996.

[18] P. D. Daffer, H. Kaneko, W. Li, On a conjecture of S.Reich, Proc.Amer. Math. Soc.Vol. 124, 1996.

[19] S.B. Nadler, JR., Multi-valued contraction mappings, Pacific J. Math. 30, 1969[20] S.Reich, A fixed point theorem for locally contractive multivalued functions,

Rev.Roumaine Math. Pures Appl. Vol. 17, 1992

[21] S.Reich, Fixed points of contractive functions, Boll. Un. Math. Ital., 1972

[22] S. Reich, Some fixed point theorems, Atti. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat.Natur. (8) 57 (1974)

[23] T. C. Lim, A fixed point theorem for weakly inward multivalued contractions, J. Math.Anal. Appl., to appear

[24] T. C. Lim, Remarks on some fixed point theorems, Proc. Amer. Math. Soc. Vol.60,1976

[25] T. Kuczumow, S. Prus, Compact asymptotic centers and fixed points of multivaluednonexpansive mappings, ibid., 465468

[26] W. A. Kirk, S.Massa, Remarks on asymptotic centers and Chebyshev centers,Houston J. Math. Vol. 16, 1990

[27] Y. Q. Chen, On a fixed point problem of Reich, Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 124, 1996


74/78


74

Biografija

Dragana Kneevi je roena 05.03.1990. u Bihau,

Bosna i Hercegovina. Zavrila je 2005. godine osnovnu

kolu 20. oktobar u Vrbasu. Potom je upisala Gimnaziju

arko Zrenjanin, u Vrbasu, prirodno matematiki smer,

koju je zavrila 2009. godine. Iste godine je upisala

osnovne akademske studije Primenjene matematike naPrirodno-matematikom fakultetu u Novom Sadu, modul

Matematika finansija. U oktobru 2013. godine Dragana

upisuje master studije na istom usmerenju. Poloila je sve

ispite predviene nastavnim planom i programom i stekla

uslov za odbranu master rada.


75/78


75

UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO MATEMATIKI FAKULTET

KLJUNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA

Redni broj:RBR

Identifikacioni broj:

IBR

Tip dokumentacije: Monografska dokumentacija

TD

Tip zapisa: Tekstualni tampani materijal

TZ

Vrsta rada: Master rad

VR

Autor: Dragana KneeviAU

Mentor: dr Ljiljana Gaji

MN

Naslov rada: Teoreme o nepokretnoj taki za vieznana preslikavanja u metrikim

prostorima

NR

Jezik publikacije: srpski (latinica)

JP

Jezik izvoda: s/en

JI

Zemlja publikovanja: Republika Srbija

ZP

Ue geografsko podruje: Vojvodina

UGP

Godina: 2015.

GO

Izdava:Autorski reprint

IZ

Mesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, Prirodno-matematiki

fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovia 4

MA

Fiziki opis rada: (3/74/0/0/0/0/0)

(broj poglavlja/strana/literalnih citata/tabela/grafika/priloga)

FO

Nauna oblast: Matematika

NO


76/78


76

Nauna disciplina: Nelinearna analiza

ND

Predmetna odrednica/kljune rei: vieznanopreslikavanje, kontrakcija, nepokretna taka,

metriki prostor

PO

UDK:

uva se: Biblioteka Departmana za matematiku i informatiku, Prirodno-matematiki fakultet,

Univerzitet u Novom Sadu

U

Vana napomena:

VN

Izvod:

IZ

Datum prihvatanja teme od strane NN vea: Jun 2015.

DP

Datum odbrane: Oktobar 2015.

DO

lanovi komisije:

KO

Predsednik: dr Zagorka Lozanov-Crvenkovi, redovni profesor, Prirodno-matematiki fakultet,

Univerzitet u Novom Sadu

lan: dr Ivana tajner-Papuga, vanredni profesor, Prirodno-matematiki fakultet, Univerzitet

u Novom Sadu

Mentor: dr Ljiljana Gaji, redovni profesor, Prirodno-matematiki fakultet, Univerzitet u

Novom Sadu


77/78


77

UNIVERSITY OF NOVI SADFACULTY OF SCIENCE

KEY WORDS DOCUMENTATION

ANO

Identification number:

INO

Document type: Monograph type

DT

Type of record: Printed text

TR

Contents code: Masters thesis

CC

Author: Dragana Kneevi

AU

Mentor: Ljiljana Gaji, PhD

MN

Title: Fixed point theorems for multi-valued mappings in metric spaces

TI

Language of text: Serbian (Latin)

LT

Language of abstract: s/en

LA

Country of publication: Serbia

CP

Locality of publication: Vojvodina

LP

Publication year: 2015

PY

Publisher:Authors reprint

PU

Publ.Place: Novi Sad, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,

University of Novi Sad, Trg Dositeja Obradovia 4

PP

Physical description: (3/74/0/0/0/0/0)

PD

Scientific field: Mathematics

SF

Scientific discipline: Nonlinear Analysis

SD

Subject/Key words:multivalued mappings, contraction, fixed point, metric space


78/78


SKW

UC:

Holding data: The library of the Department of Mathematics and Informatics, Faculty of

Science, University of Novi Sad

HD

Note:

N

Abstract:

AB

Accepted by the Scientific Board on: June 2015

ASB

Defended: October 2015

DE

Thesis defend board:

DB

President:Zagorka Lozanov-Crvenkovi, PhD, full professor, Faculty of Sciences, University of

Novi Sad

Member: Ivana tajner-Papuga, PhD, associate professor, Faculty of Sciences, University of

Novi Sad

Mentor: Ljiljana Gaji, PhD, full professor, Faculty of Sciences, University of Novi Sad

viseznacna

Documents

Transcript of viseznacna