Vibraciones de La Red

5/21/2018 Vibraciones de La Red

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VIBRACIONES DE LA RED Y PROPIEDADES TRMICAS

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BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMADE PUEBLA

INSTITUTO DE CIENCIASCENTRO DE INVESTIGACIONES EN

DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES

Posgrado en Dispositivos Semiconductores

Curso de:

Fsica de Semiconductores

Dr. A. David Hernndez de la Luz


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1 VIBRACIONES DE LA RED Y PROPIEDADES TRMICAS

1.1Introduccin

1.1.1

Ondas elsticas en una res unidimensional de masas puntuales

El primer trabajo reportado sobre una red unidimensional fue el de Newton en su intento porderivar una frmula para la velocidad del sonido. Newton supuso que el sonido se propagaba en elaire de la misma forma que una onda elstica se propagaba a lo largo de una red masas puntuales, verfigura 1.

Figura 1. Masas puntuales ligadas por un resorte

l consider masas idnticas separadas igualmente por una distancia d atrayndose una aotra con una fuerza elstica de constante k(del resorte). Newton obtuvo la velocidad v de propaga-cin de la onda elstica:

,k kd

v d densidadm

(1)

Para comparar este resultado con los valores experimentales, Newton (1686) tom a como

la densidad del aire y a kdcomo el mdulo del volumen isotrmico del aire. En 1822, Laplace enfati-z que las propagaciones asociadas con las ondas de sonido se realizan bajo una proceso adiabtico, ypor tanto se debera usar la la constante elstica adiabtica en lugar de la isotrmica. Con esta

correccin, la frmula de Newton dio una excelente concordancia con los experimentos. La frmula deNewton se considera vlida slo para longitudes de onda grandes comparadas con d . La razn por laque Newton consider una red unidimensional se debi a que en su poca, un problema continuorepresentaba un problema sin solucin, pues nada se conoca de las ecuaciones diferenciales. Poste-riormente, John Bernoulli (1727) junto con su hijo Daniel, demostraron que un sistema con n masaspuntuales tiene nmodos independientes de vibracin, esto es, n frecuencias propias. En 1753, DanielBernoulli, formul el principio de superposicin, el cual establece que el movimiento general de unsistema vibrante est dado por una superposicin de sus propias vibraciones.

Las leyes de las oscilaciones en la cuerda fueron descubiertas empricamente y en 1713,Taylor inici una investigacin terica. Posteriormente, Euler, realiz un tratamiento de la cuerdacontinua por medio de las ecuaciones diferenciales (1748) el cual fue muy completo. EL consider lacuerda a lo largo de la direccin X , vibrando en un plano perpendicular al eje, obteniendo comoresultado que el desplazamiento de la cuerda estaba dado por una funcin arbitraria de ( )x vt , con v la velocidad de propagacin de la onda y tel tiempo, a condicin de que la funcin cumpliera ciertascondiciones de continuidad. Con el resultado de Euler y el principio de superposicin, se concluye quecualquier funcin arbitraria de ( )x vt puede describirse por una superposicin de senos y cosenos, ya


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2

que es bien conocido que las vibraciones propias de una cuerda estn dadas en trminos de las funcio-nes seno y coseno. Esto en realidad es una declaracin del teorema de Fourier, el cual fue probadohasta 1807. La solucin completa para el problema de la cuerda vibrante fue resuelta por Lagrange(1759). l al igual que Euler, se negaba a aceptar el principio de superposicin. Aunque en esta pocaexista ya un amplio nmero de ejemplos de series trigonomtricas, an no se crea que cualquierfuncin arbitraria se poda expander en series de funciones trigonomtricas. En 1754, Clairaut en unreporte de mecnica celeste, tena ya una prueba sobre el teorema de Fourier, pero no fue sino el mis-mo Fourier quien dio a conocer la demostracin general del teorema y su uso prctico. Para finales delsiglo XVIII, todo este trabajo realizado sobre sistemas oscilantes y peridicos haban establecido basessobre temas tales como:a)

Funciones propias, valores propios, expansiones de Fourier, expansiones en series de funcionespropias.

b) Ecuaciones diferenciales parciales.c) Propagacin de ondas.d)

Teora atmica de lo slidos y estructuras cristalinas.

En 1830, Cauchy us el modelo de Newton en un intento por cuantificar la dispersin de on-das de luz en un medio (ondas pticas). Cauchy consider las ondas de luz como ondas elsticas demuy alta frecuencia (longitud de onda muy corta). L obtuvo como resultado que para las ondas conlongitud de onda larga comparada con la distancia de separacin entre las masas puntuales en la redunidimensional, la velocidad de propagacin era independiente de la longitud de onda ( ). Para lon-gitudes de onda ms cortas, altas frecuencias, Cauchy demostr que la velocidad de propagacindependa de la longitud de onda. Sus resultados fueron correctos para ondas elsticas (longitudes deondas grandes), no as para las ondas de luz.En 1841, Baden-Powell calcul la velocidad de una onda propagndose a lo largo de un eje de unaestructura cbica, como una funcin de la longitud de onda. Esto es equivalente, a considerar unaonda propagndose a lo largo de una red unidimensional de masas puntuales, ver figura 2. En estesistema, se supone que cada masa elsticamente ligada a cada uno de sus vecinos siente una fuerzarestauradora que es la misma para todas las masas.

Figura 2. Red unidimensional de masas puntuales.

Encontr que la velocidad de propagacin de la onda es,

( / )

/

send v v

d (2)

donde es la longitud de onda y v es la velocidad para longitud de onda infinita (muy grande).


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3

Figura 3. Velocidad de onda V como una funcin de a lo largo de la filade las masas como se muestra en la Figura 1.

En este modelo, Baden-Powell despreci la dependencia de la frecuencia con la longitud deonda lo cual provoc que la curva .V vs a no tuviera el comportamiento adecuado. Este aspecto fue

retomado por Lord Kelvin en 1881. Kelvin consider el modelo de red Baden-Powell siguiendo elmodelo de la figura 4,

Figura 4. Modelo unidimensional de masas con separaciones en mltiplos de d .

La coordenada de la n-ensima masa en su posicin de equilibrio es, nx nd . En una onda senosoi-

dal, el desplazamiento para ny es de la forma,

cos 2 ( ) cos 2 ( ), 1/n

y A t ax A t ax a (3)

cos( ) cos( )A t kx A t knd .

Aqu, A es una constante arbitraria y tel tiempo. Si reemplazamos en la ecuacin (3)2

, ,m

k k k m enterod

(4)

el valor del desplazamiento no cambia. Esto significa que es una funcin peridica de kcon perio-

do 2d

. La velocidad de fase con la cual se propaga la onda est dada por la ecuacin

v

k . (5)

Por tanto, si se dibuja una curva de ( ) k como una funcin de k, la velocidad de fase para una

longitud de onda dada, estar dada por la pendiente de la lnea dibujada del origen al punto de la cur-


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4

va correspondiente a la longitud de onda dada. La forma de la curva ( ) k est dada por la ecua-

cin,

( ) ( / 2) k B sen kd (6)

Con B un parmetro que es una funcin de las constantes de la red. As,

( / 2) ( / 2)

/ 2

sen kd sen kd v B v

k k kd (7)

Donde 2 /k . Esta ecuacin se reduce a la de Baden-Powell, ecuacin (2), con

2

dBv . (8)

Figura 5. Frecuencia como una funcin de 1/a . Estas grficas son

Equivalentes al graficar .vs k, o 2 . 2 / vs k ya

que solo difieren de la constante 2. (a) La pendiente de la lnea

determina la velocidad 1/ /V k . (b) en las proximidades del ori-

gen, , .V cte

Se observa que en (b), 1/ /V k es una lnea recta para el lmite , esto signifi-ca que la velocidad de propagacin es una constante para longitudes de onda grandes. La periodici-dad de .1 / vs , significa que para una frecuencia dada, la longitud de onda no est completamentedeterminada. La ambigedad en la longitud de onda resulta en una ambigedad en la direccin depropagacin (una incertidumbre tanto en magnitud como en direccin). El significado fsico de laambigedad en la longitud de onda se puede ver en la figura 6.

La velocidad V es la pen-

diente de la lnea

La velocidad V constante


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Figura 6. Diferentes curvas senoidales pasando a travs de la posicin de las partculas.

Los crculos slidos a lo largo de la lnea horizontal dan las posiciones de equilibrio de lasmasas puntuales y los crculos sobre la curva senosoidal determinan las posiciones desplazadas enalgn instante de tiempo t. A travs de las posiciones desplazadas se dibujan 3 posibles ondas senoi-dales (curvas discontinua, punteada y slida). Las 3 ondas dan igualmente una buena descripcin delmovimiento.La lnea slida da la forma de onda para el nico valor de 1/ o 2 /k tal que,

k

d d . (8)

Cambiando kpor2

d llevaremos kfuera de este intervalo. En la figura 6, la curva segmentada

corresponde a2

kd

y la punteada a2

kd

. Toda ambigedad en la longitud de onda y propaga-

cin se remueve si restringimos a kal intervalo de la ecuacin (8), excepto en los extremos:

k

d , (9)

en cuyos valores se generan ondas estacionarias, como se ver ms adelante.En 1912, Born investig la propagacin de ondas en los cristales usando un modelo como se ve en la

figura 7,

Figura 7. Modelo de Born de masas grandes y pequeas alternadasen una red unidimensional infinita.

alternando masas grandesMy pequeas m, en posiciones a lo largo del eje X definidas por nd , condla distancia entre vecinos ms prximos, l dedujo las curvas para las frecuencias como se muestra

en la figura 8. Observamos que hay dos ramas, debido a que se ha duplicado el nmero de grados delibertad del sistema por haber agregado otra constante, que es la segunda masa. En general, se en-cuentra que el nmero de ramas iguala al nmero de masas diferentes que estn presentes en el mode-lo, esto es, el nmero de frecuencias correspondientes a un valor de kes igual al nmero de gradosde libertad asociados con cada elemento o celda de la red.


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6

Figura 8. Dos bandas de frecuencias de vibracin libre limitadas entre

10 v y

2 3 v .

En general, a la rama inferior se le conoce como rama acstica. Esta rama corresponde al mo-

vimiento de las partculas tal que en cada seccin de la lnea, todas las partculas se mueven en lamisma direccin en un instante dado. La rama superior se llama ptica y corresponde a uno o mstipos de partculas movindose en la direccin opuesta a las restantes en un instante dado.

1.2 Red unidimensional

Consideremos las vibraciones de un cristal con un tomo en la celda unitaria primitiva comoel de la figura 1. Cuando una onda se propaga con el movimiento colectivo de los tomos, en el cris-tal, se presenta una situacin como se muestra en la figura 9.

Figura 9. Movimiento longitudinal (cadena de tomos superior) y movimiento transversal (cadena detomos inferior) de los tomos en una red monoatmica. Los puntos obscuros denotan las posiciones deequilibrio. En la realidad, la oscilacin es pequea en comparacin con el espaciamiento inter-atmico.

Cuando una onda se propaga en el cristal, significa realmente un movimiento de los planoscristalinos de los tomos, en alguna direccin especfica, e.g. [100], en fase con los desplazamientos,ya sean paralelos o perpendiculares a la direccin de propagacin, figuras 10 y 11.


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7

Figura 10. Movimiento de los planos cristalinos en la propagacin de ondas transversales (a) ylongitudinales (b).

Figura 11. Arreglo senosoidal del desplazamiento transversal el cual se puede representar en dos tiposde ondas armnicas con diferentes longitudinales de onda, de acuerdo a la relacin 2 /k k n a , cona la separacin interatmica.

Usando una sola coordenada su , describiremos el desplazamiento del plano o tomo s-simo

de su posicin de equilibrio. Consideraremos el caso de desplazamientos longitudinales de una redinfinita de tomos de masa M separadas una distancia a , ver figuras 12 y 13.

(a)


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8

(b)

Figura 12. (a) La lnea punteada muestra planos de tomos en la posicin de equilibrio. La lnea slidamuestra los planos de los tomos cuando son desplazados por una onda longitudinal. La distancia inter-planar (para una cierta direccin cristalogrfica) es a ; su mide el desplazamiento del plano. (b) Planos

cristalinos que se desplazan durante la generacin de una onda transversal.

(a)

(b)

Figura 13. (a) Posiciones en equilibrio y fuera de l de los tomos. (b) Modelo equivalente de la red uni-dimensional donde los tomos estn ligados por resortes que obedecen la ley de Hooke.


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9

Consideremos el tomo s-simo y determinemos la fuerza instantnea ejercida sobre l por suentorno. La energa total de interaccin SU entre el tomo s y los vecinos se puede aproximar me-

diante la relacin,

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )SU U r U r U r U r

. (10)El primer trmino da la energa potencial de interaccin entre el tomo s y sus dos vecinos

ms prximos, el segundo trmino determina la interaccin en el tomo s y sus segundos vecinosprximos inmediatos, ver figura 13 (a). La forma funcional de U es la misma difiriendo nicamenteen el argumento de la distancia (r) de tomo en tomo. Considerando la aproximacin de primerosvecinos ms prximos, la fuerza SF actuando sobre el s-tomo es,

1 1 1 1

1 1

( ) ( )SS

s s s

U U r r U r r F

u r u r u

(11)

donde 1 1( )s sr a u u , 1 1( )s sr a u u . As, tenemos que

1 11, 1s s

r r

u u

(12 a)

1 1

1 1

( ) ( ).S

U r U r F

r r

(12 b)

Observamos que si su es el desplazamiento del tomo s-simo, su coordenada es:

s s

x sa u . (13)

En equilibrio, todos los tomos estn en sitios de red, tal que 1 1r r a . Expandiendo U en torno al

punto de equilibrio en serie de Taylor,

1 1

1

2

1 1 112

1 1 1

2

1 1 112

1 1 1

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

r a r a

r a r a

U r U r U r r a

r r r

U r U r U r r a

r r r

(14)

Si las amplitudes vibracionales su son pequeas comparadas con a , se desprecian contribuciones

de mayor orden en (14). As,

1 1 1 1

2 21 1 1 1

1 12 21 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )S s s s s

r a r a r a r a

U r U r U r U r F u u u u

r r r r

.

(15)


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10

Como U tiene la misma primera y segunda derivada en a ,identificamos:

1 1

2

2

,

( )

r a r a

U r

r

, por

tanto,

1 1( ) ( )S s s s sF u u u u (16)

2

1 12 ( ) ( )s s s s s

d uM u u u u

dt (16)a

En la aproximacin de primeros vecinos , identificamos la ecuacin (16)a como la ecuacinde movimiento equivalente al tomo ligado a su vecino por una fuerza proporcional al desplazamien-to relativo (Ley de Hooke). La constante es la constante de fuerza entre planos vecinos ms pr-ximos y, en general, ser diferente para propagaciones longitudinales y transversales (en general, hay3 modos de oscilacin, uno longitudinal y dos transversales).

Respecto a la forma especfica de la funcin de energa ( )U r , sta depende del tipo de inter-accin que se considere en el cristal y el tipo de arreglo cristalino del mismo. Por ejemplo, considere

( )U r , la energa potencial para un tomo debido a la interaccin con sus vecinos ms prximos eintroduciendo la interaccin de carga electrnica (-) y del ncleo (+), figura 14, para el caso de uncristal inico. Observemos que en equilibrio, r a , aqu, en el potencial repulsivo, b es un parme-tro de ajuste terico-experimental para determinar la forma del potencial de repulsin a cortas distan-cias que evita el colapso de la red. Observamos de la figura 14 que el potencial de cualquier ion,

( )iU r , es la suma de un potencial repulsivo ( ) 1/ b

RU r r que se origina debido a la repulsin de

corto alcance (repulsin Coulmbica) shielded-ion-ion (contribucin de la carga electrnicaen lascapas exteriores) y de un potencial atractivo ( ) 1/AU r r Coulmbico de simetra esfrica. As, el

potencial efectivo es de la forma general,

( ) ( ) ( )i R A bA B

U r U r U r rr

. (17)

Ambas cantidades introducen una fuerza de repulsin a corto alcance RF (lnea de pendiente negati-

va en el punto r a ) y una atractiva AF (lnea de pendiente positiva en r a ), de modo que

A RT R A

U UF F F

r r

, (17)a

y, T R AU U U .


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11

(a)

(b)

Figura 14. (a) Ejemplo de un cristal inico con cargas de signo alternado entre tomos vecinos. (b)Energa potencial de un ion bajo la influenciad de la fuerza electrosttica de los iones vecinos, con unespaciamiento interatmico en equilibrio r a . La energa potencial electrosttica de cada ion es lasuma del potencial repulsivo y atractivo.

En la separacin en equilibrio r a , tenemos que la fuerza es, 00TTr a r a

UUF

r r

.

Para vibraciones del tomo, roscila entorno de r a . Para vibraciones armnicas, TU es simtrica

entorno a r a y para vibraciones anarmnicas, TU es asimtrica. A pequeas oscilaciones,

r a r , con r a y TF proporcional al desplazamiento (ley de Hooke). Adems,2

2

r a

U

r

mide la curvatura de TU entorno a r a .


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12

Volviendo a la red monoatmica unidimensional, tenemos que:

a) EL objetivo es encontrar una funcin de la frecuencia de vibracin , en trminos de la lon-gitud de onda de la onda propagndose en el cristal al vibrar libremente los tomos, y de lasconstantes caractersticas del cristal que reflejen la simetra traslacional del mismo.

b)

En la aproximacin de interaccin de vecinos ms prximos, la respuesta elstica del cristales una funcin lineal de las fuerzas que actan en los tomos, esto es equivalente ha estable-cer que la energa elstica es una funcin cuadrtica del desplazamiento relativo de cuales-quiera 2 tomos de la red.

c) Entendemos por modo normal de oscilacin cuando todos los tomos oscilan con la mismafrecuencia . Concepto vlido para slidos cristalinos y amorfos.

d) En el movimiento colectivo de los tomos, la idea es buscar soluciones para cuando todos losdesplazamientos atmicos tienen la misma frecuencia en cualquier instante.

e) En el tratamiento formal de la dinmica de la red cristalina se debe usar la mecnica cunticapara la descripcin de las oscilaciones atmicas, sin embargo, la descripcin tanto clsica co-mo cuntica dan la misma relacin funcional de ( ) (espectro de frecuencias) del modo

normal de oscilacin.

Buscando soluciones tal que todos los tomos tengan la misma dependencia temporal ite ,entonces las soluciones a la ecuacin (16 a) son de la forma,

it ikas it s s u e ue e

(18)

con u la constante de amplitud, la frecuencia angular de oscilacin. Aqu, el trmino ka representael cambio de fase al pasar de una posicin s a la posicin vecina 1s de la derecha, esto es,

1ikas

s su u e . (19)

Tomando las soluciones de la ecuacin (16)a, observamos que2

2

2sd

dt por tanto,

21 1( 2 )s s s sM u u u u . (20)

Las soluciones son ondas viajeras de la forma,

( 1)1

isak ika iak ssu ue e ue

. (21)

De la ecuacin (19) y (20), 2

2

isak iak iak

M ue u e e

de donde obtenemos

2 2iak iak M e e . (22)

Si 2cos ika ikaka e e , entonces

2 2

1 cos

kaM

. (23)


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13

Por otro lado, si 21 cos 2 ( / 2)ka sen ka , por tanto

2 24 ( / 2)

sen kaM

. (24)

Las ecuaciones (22) y (23) proporcionan la relacin de frecuencias ( ) k . Observamos de laecuacin (22) que,

2 2( ) ( 2 / ) k k a . (25)

Esto significa que es una funcin peridica de k, con periodo mnimo 2 / a y adems, espositiva. En general, tenemos la misma solucin en frecuencias para

2 / ;k o k k m a m entero . (26)

Esta es una consecuencia directa y general de la estructura discontinua y peridica de nuestro mode-

lo. As, en general, para considerar la propiedad peridica de la red lineal es suficiente discutir laspropiedades de dentro de un periodo de k, la eleccin ms conveniente es,

/ / ka o a k a , (27)

ya que una onda tiene la libertad de propagarse de igual forma a la derecha que a la izquierda. Estosignifica que la funcin tiene la propiedad adicional de ser una funcin par. Valores positivos deksignifican que una onda se propaga a la derecha, valores negativos del mismo significa una onda

propagndose a la izquierda. Observemos, si 0k es un valor positivo en el intervalo fundamental de-

terminado por la ecuacin (26), este representa a una onda viajando a la derecha, de igual forma

0 2k ; y 0 2k siendo negativo representa una onda viajando a la izquierda. Por tanto, una fre-

cuencia de oscilacin representa distintos modos de oscilacin de longitudes de onda diferentes endirecciones de propagacin diferentes, ver figura 6. En los lmites del intervalo fundamental de k,

/ a , tenemos que,

2

/

( )2 ( ) 0 a

d a sen ka

dk M (28)

Esto es, la pendiente en los puntos extremos es cero. Esto tiene significado importante en trminos dela condicin de difraccin dada por,

2

2 2G Gk

(29)

donde para valores de / 2k G esta ecuacin se satisface y estos valores de k definen, en general,las fronteras de las zonas de Brillouin (zonas generadas por la periodicidad de ( ) k ). Para este

caso particular de red unidimensional, en el espacio recproco, seleccionamos el vector G desde el

origen al punto / 2G , ver figura 15.


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14

Figura 15. Espacio recproco unidimensional donde se tiene la 1 Zona de Brillouin.

Por lo que en los lmites de la 1 zona de Brillouin tenemos que /k a . En general, los intervalosde las siguientes zonas de Brillouin se construyen para / 2k G con:

2 / , 1, 2,k G x n a n ver figura 16.

Figura 16. ( ) k en las diferentes Zonas de Brillouin.

En dos dimensiones, las zonas de Brillouin son reas limitadas por lneas bisectoras / 2k G

figura 17, y en tres dimensiones son volmenes limitados por planos bisectores / 2k G , figura 18.


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15

Figura 17. Primera zona de Brillouin en el espacio recproco de un red bidimensional.

Figura 18. Primera zona de Brillouin y puntos especiales k para (a) una celda cbica simple, (b) unafcc, (c) bcc y (d) red hcp.

En trminos de las zonas de Brillouin, ( ) k es una funcin peridica cuyo comporta-miento lo obtenemos de,

1/24

( ) ( / 2)

k sen kaM

(30)


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16

Ver figura (19) b. En (b) vemos que el intervalo fundamental de la 1 zona de Brillouin en[ / , / ] a a se repite peridicamente en traslaciones de 2 / , 1, 2,k n a n . En el lmite para

un medio continuo cuando 0a , el valor lmite de kes, max min( )

k a

.

(a)

(b)

Figura 19. (a) Comportamiento de las frecuencias en la 1 zona de Brillouin. (b) Comportamiento peri dico de la funcin de frecuencias en las diferentes zonas de Brillouin.


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17

Figura 20. Relaciones de dispersin para ondas longitudinales (L) y transversales (T) en una red unidi-mensional. En el caso general, la constante no es la misma para los modos longitudinales y transversa-les.

Para 0a , max

ka

, por tanto min 2 a , por lo que nicamente longitudes de onda mayores que

2a son necesarias para representar los modos de oscilacin, figuras (19) y (21a).

Figura 21. Desplazamientos atmicos en la red monoatmica lineal para los casos, (a) una longitud deonda mucho mayor que el espaciamiento interatmico. (b) oscilaciones con longitud de onda en el lmitedonde 2 a . Ambas oscilaciones son para modos transversales.


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18

Figura 22. Desplazamientos atmicos del modo longitudinal para el caso lmite de 2 a .

Los valores de kfuera de la primera zona de Brillouin reproducen nicamente movimientos

descritos por valores dentro de los lmites

a . Debido a la periodicidad de ( ) k con k, observa-

mos que oscilaciones con ky 2 /k k m a describen un mismo desplazamiento, ver figura 6.

Sea ( 2 / ) ( 2 / ) ( ) 2i ks m a t i ks m a t i ks t m is su ue ue ue e u ,donde:

2 / 2 / 2 ,ms a mna a m m mn ; 2 1m ie . Observamos que 2 /G m a por lo que ( ) k esperidica con periodo de vectores de la red recproca, esto es:

( ) ( ) k k G . (31)

En las fronteras de la primera zona de Brillouin, max

k

a

, por tanto,

max ( 1)isk a is s

su ue ue u . (32)

Para los valores de 2 a , obtenemos una condicin de onda estacionaria (no viajera) dondeel desplazamiento de los tomos es opuesto en forma subsecuente, ver figuras 21b y 22. En este casoparticular los tomos vecinos oscilan en fases opuestas. Esta situacin corresponde a una reflexin deBragg de las ondas elsticas que se propagan y se reflejan en forma perpendicular sobre los planos delos tomos. Esto se puede ver si recordamos que, 2dsen n , si / 2 y d a , 1n , 2 /k y por tanto, 2 a . Con esta longitud de onda se satisface la condicin de reflexin de Bragg.

En general, para el caso 2 a

, figura 21 (b), no hay forma de distinguir entre dos posiblespropagaciones ( ) de igual longitud de onda. Este hecho permite interpretar que la onda podra con-siderarse como una onda estacionaria, esto es, superposicin de dos ondas propagndose en direccio-nes opuestas. Volviendo a la ecuacin (30), calculemos la velocidad de propagacin (velocidad defase pv ),

1/2( / 2)4

2 / 2p

sen ka a v

k M ka

(33)


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19

1/2

0

( / 2) ( / 2)

/ 2 / 2

sen ka sen kaa v

M ka ka

.

La grfica 23 muestra el comportamiento de pv .

Figura 23. Velocidad de fase de las ondas en la cadena monoatmica lineal como funcin de k .

En el lmite, cuando (longitudes de onda grandes en comparacin a la separacin interatmi-

ca a ),0

( / 2)0, lim 1

/ 2k

sen kak

ka por tanto,

1/2

/v a M . (34)

As, para longitudes de onda grandes, esto es, para el caso lmite en que la red se puede consi-

derar como un continuo, la velocidad de propagacin de las ondas se hace independiente de . Alcontrario, en el lmite de longitudes de onda pequeas, 2 a se tiene /k a , por lo que,

1/22

/Sa

v M

. (35)

En este caso, como ya se hizo mencin, se da una ambigedad en la velocidad de propagacin puestoque la onda puede estar viajando a la derecha o a la izquierda con igual velocidad sv o puede consi-

derarse una onda estacionaria. Observamos de la ecuacin (29) y figura (19 b), que la frecuencia de

corte es en /k a donde, 1/2

m 4 / M . (36)

Para frecuencias menores a m , tenemos valores reales de k; para frecuencias m , kes un n-

mero complejo, puesto que ( / 2) 1sen ka , entonces1/2 1/2

4 4( ) ( / 2)

k sen ka

M M

por tanto,

si ( / 2) 1sen ka , / 2ka es complejo, de donde 1/2

4 / M . Para este caso consideremos,


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20

2

k i a

(37)

Por tanto,

( / 2) ( ) ( )cos( ) cos( )

2 2

sen ka sen ia sen ia ia (38)

cosh( )a

donde hemos usado la identidad, cos( ) ( ) / 2 coshx xix e e x . As, obtenemos que,1/2

2 24 cosh ( )

a M

o,

1/2 1/24 4

cosh( ) cosh( ) cosh( )m

a a a M M

, (39)

donde en (39) hemos elegido la parte positiva de cosh( )a ya que 0 . es el factor de ate-

nuacin, el cual de (39) se obtiene que es igual a 1cosh ( / )m a . Entre los valores

0 m , k es real, y para m , la parte real de k se mantiene como una constante / a ,

mientras que crece rpidamente con , ver figura 24.

Figura 24. Comportamiento del factor de atenuacin en la regin de frecuencias prohibidas

2 , donde m C donde C es la frecuencia de corte (o m ). En el eje vertical tenemos

1/a (o 2 /k ).

Esto significa que para frecuencias por arriba de m ( C ), las vibraciones decaen exponen-

cialmente a lo largo de la cadena de tomos (por el factor ), mientras los tomos sucesivos oscilanen direcciones opuestas. Esto lo podemos ver de la relacin,

( / 2 )ikas ias a i su ue ue

(40)2is as

ue e .

donde el factor de decrecimiento de la amplitud su es2as

e y puesto que 0 , la amplitud se va

atenuando de la forma 2is as su ue e .


22/52


21

Por otro lado, en el caso de las propagaciones libres sin efecto de atenuacin, tenemos que lavelocidad de grupo al superponerse dos o ms modos de vibracin, figura 25, generan un paquete que

Figura 25. Paquete de ondas formado por la superposicin de dos ondas senosoidales de frecuencias ylongitudes de onda ligeramente diferentes.

se propaga a la velocidad gv ,

g

dv

dk . (41)

En el caso general,( )g kv k . (42)

En ambos casos, la velocidad de grupo es la velocidad con la que se propaga la energa en el medio.Para nuestro caso unidimensional, la velocidad de grupo es,

0cos( / 2)gv v ka (43)

con

1/22

0 a vM

. La figura 26 muestra el comportamiento de gv .

Figura 26. Velocidad de grupo de las ondas en una red monoatmica lineal como una funcin de la cons-tante de propagacin k. La parte central en [ / , / ] a a est en la primera zona de Brillouin la cualse repite peridicamente.

Observamos que la velocidad de grupo en las fronteras /n a cae a cero debido a la formacin dela onda estacionaria que sufre la reflexin de Bragg la cual ya no se propaga libremente. En estosvalores de frontera de k, cuando la longitud de onda se vuelve comparable a 2 a , la estructura dela red anuncia su presencia (discreta) a travs del fenmeno de dispersin (longitudes de onda gran-


23/52


22

des o bajas frecuencias no se afectan por la dispersin). Para el anlisis de las propiedades trmicas ypticas del cristal, las longitudes de onda cortas o altas frecuencias son muy significativas. Cada fasede oscilacin difiere de aqulla de su vecino prximo inmediato por la fase o ngulo ka . A lo largode la red de tomos la fase de oscilacin cambia de un tomo a otro prximo por la cantidad ka ycuando el cambio de fase acumulativa alcanza el valor 2, entonces un periodo de tiempo se hacompletado o una longitud de onda se ha recorrido. Cuando la frecuencia se aproxima a la frecuenciade corte m ( Cv ) en la cual la reflexin de Bragg sucede, la velocidad de grupo se reduce drsti-

camente a valores muy pequeos, para m , y las ondas libres ya no se pueden propagar teniendo

ahora un fuerte efecto de atenuacin. En este punto el cristal se vuelve totalmente reflejante para laenerga acstica incidente y se convierte el cristal en un medio ptico totalmente reflejante.

Finalmente, para el caso de los modos de oscilacin transversales de la red monoatmica li-neal, con una configuracin de oscilacin para el n-simo tomo con la aproximacin de interaccinde primeros vecinos como se muestra en la figura 27,

Figura 27. Red peridica con masas oscilando transversalmente acopladas con fuerzas de interaccin deprimeros vecinos que obedecen la ley de Hooke. Los crculos blancos representan las posiciones en equi-librio y lo negros las posiciones de las masas oscilando transversalmente en un instante dado t. Los des-plazamientos transversales son de magnitud menor que la separacin interatmica a .

Se puede demostrar que la ecuacin de movimiento del n-simo tomo en la aproximacin deprimeros vecinos con una fuerza de interaccin que obedece a la ley de Hooke, es de la forma,

2

1 12 ( 2 )nn T n n n

d uF M u u u

dt ,

con2

2

( )TT

r na

U r

r

correspondiente al potencial de interaccin en la direccin transversal, el

cual en general es diferente para las interacciones longitudinales. De esta ecuacin de obtiene al igualque el caso de oscilaciones longitudinales, que la relacin de frecuencias con k, es de la forma,

1/24

( ) ( / 2)T

k sen kaM

.

En general, el comportamiento de ( ) k para los modos longitudinales y transversales de oscilacin

es diferente debido al factor L y T para cada tipo de interaccin en ambos modos de oscilacin.

La figura 20 muestra las relaciones de frecuencias para los modos longitudinales y transversales deoscilacin de la red monoatmica unidimensional, se observa su diferencia entre ellos.


24/52


23

1.3 Efectos de interaccin

Para la red unidimensional, encontramos que la coordenada de la s-sima partcula es:

S Sx sa u . Si consideramos la interaccin con todas las partculas, expresamos la distancia entre

dos partculas s y s r :

,s s r s r s s r sr x x rd u u (44)

con r, s enteros. Esta expresin puede ser positiva o negativa dependiendo de si res positivo onegativo. La energa potencial de interaccin entre las partculas s y s r es,

( ) ( )s r sU r U x x . (45)

La energa potencial total de la red estar dada por

0

( )s r ss r

U U x x

(46)

donde restringimos los valores de rcomo positivos, de modo que la interaccin entre un par de par-tculas se contabilizar un sola vez. Si consideramos los desplazamientos su a , y expandemos el

potencial U en una serie de Taylor entorno a ra ,

21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

s r s s r s s r sU x x U ra u u U ra u u U ra , (47)

donde hemos quitado el valor absoluto en U toda vez que al restringir ra valores positivos, as lo

permite. U y U son las derivadas parcialesU

r

y

2

2

U

r

evaluadas en ra . Sustituyendo en la ecua-

cin (46), despreciando potencias de ( )s r sx x mayores que 2, obtenemos

2

0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2s r s s r s

s r

U U ra u u U ra u u U ra

. (48)

En forma equivalente,

2

0

1. ( ) ( ) ( ) ( )

2s r s s r s

s r

U Cons u u U ra u u U ra

, (48 a)

donde la constante es:

0 0

. ( ) ( )s r r

Cons U ra s U ra

. (49)

La fuerza pF que acta sobre la p-sima partcula se obtiene de,

pp

UF

u

. (50)


25/52


24

En la sumatoria de la ecuacin (48 a) slo sobreviven los trminos para s p , s r p . Observeque para rpositivo, los trminos para los cuales s p darn la fuerza sobre la partcula p debido alas partculas a la derecha, mientras que los trminos para los que s r p darn la fuerza sobre la

partcula p debido a las partculas a la izquierda. As,

2

0

1( ) ( ) ( ) ( )

2p s r s s r s

p p s r

UF u u U ra u u U ra

u u

2

0

1( ) ( ) ( ) ( )

2s r s s r s

p pr s

u u U ra u u U rau u

22

,

0

1( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( )

2

s r p s s r s s r s

pr s

g g U ra U ra u u U ra g u u

g u

, , , ,

0

( ) ( ) ( )( ) ( )s p r s p r

s r p s p s r s s r p s p

r s

U ra u u U ra

, ,

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s r s s r p s r s s pr s s

U ra U ra u u U ra u u U ra

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p r p r pr

U ra U ra u u U ra u u U ra

. (51)

Simplificando ( )U ra en notacin como rU ,

0

( 2 )p r p r p r pr

F U u u u

. (52)

En particular, cuando se toman vecinos ms prximos, 1r , la ecuacin (52) se reduce a la

ecuacin (16), con2

1 2 r a

UU

r

. Observemos que en la ecuacin (51), el trmino ( )U ra repre-

senta la fuerza del tomo p r sobre el tomo p . En una red infinita, este trmino es compensadopor una fuerza opuesta ( )U ra representando la fuerza del tomo p r sobre el tomo p .

Para el caso de una red finita, la situacin es diferente, ver figura 28. Supongamos que la fila de to-mos se extiende de s hasta 0s con los restantes tomos 1,2,3,s ausentes, en este casodebemos agregar fuerzas a fin de mantener la estructura sin perturbacin cerca del extremo que com-pensen exactamente la fuerza que los tomos ausentes produciran. Por ejemplo, debemos agregar lasfuerzas, 3 4 5, , ,U U U sobre el tomo 2s .


26/52


25

Figura 28. Red finita unidimensional cuyo tomo final est en 0s .

Estas fuerzas que deben agregarse resultan en un conjunto complicado de fuerzas que actansobre los ltimos tomos de la fila, si es que la fila debe mantenerse sin perturbacin manteniendo ladistancia constante a hasta el ltimo tomo. La fuerza total requerida sobre los ltimos tomos es,

1 2 3

1

2 3t rr

F U U U rU

. (53)

Ya que existen rpares de tomos interactuando a distancias ra a travs del borde extremo de la fila.En la figura 28 esquematizamos el caso para 5s . De la ecuacin (52) con ( )r r U ra ,

2

20

( 2 )sp r p r p r pr

d uF M u u u

dt

. (54)

con soluciones de la forma de la ecuacin (19) obtenemos,

2

0

2(1 cos( ))r

r

kra

M (55)

o equivalentemente,

2 2

0

4( / 2)r

r

sen kra

M . (56)

Las ecuaciones (55) y (56) determinan la relacin de dispersin general que considera la interaccin

entre todos los tomos de la red unidimensional. Esta ecuacin ya se analiz para el caso de vecinosms prximos ( 1r ). Veamos ahora el caso para la interaccin extendida al L-simo vecino, esto es,a la distancia La , entonces,

2 2

0 0

2 4(1 cos( )) ( / 2)r r

r L r L

kra sen kra

M M . (57)

Para el caso lmite cuando , la velocidad de fase lmite es: 2 2 2/v k , por tanto,


27/52


26

2 222

20

0

4 ( / 2)( lim 1)

/ 2

r

r L

k

r a sen kra

M M krak

, de donde2 2

2

20

r

r L

a r

Mk , as

2 2

2 2

0

r

r L

a k r

M , (58)

22 2

0

r

r L

av r

M

. (59)

La velocidad de fase en este lmite es independiente de y slo depende de los parmetros de la red.

En el otro caso, cuando min 2 a , tenemos2 2

0

4( / 2)r

rL

sen r M

pero,

0,( / 2)

1,

r parsen r

r impar

, por tanto,

2 1 3 5 70

4 4r

r Limpar

M M

. (60)

Entonces, la velocidad de fase es,

2 2 2 2 2

2 2 21 3 5 72 2 2 2 2

4 4

(2 / ) 4 4s

a av

k M . (61)

Observamos que a diferencia del caso de vecinos ms prximos, aqu el mximo de la frecuencia nocae en los extremos / a , sin embargo, la curva debe terminar con una tangente horizontal en

dichos puntos, como se puede ver de la ecuacin (57):2 2

/ 0k ad

dk .

1.3

Velocidad de grupo

La velocidad de fase es obtenida de una comparacin de la fase relativa de las oscilaciones de 2tomos vecinos. sta est definida por,

1 2, ; , ,

v v donde k

k v (62)

donde es el periodo de oscilacin, v la frecuencia, la frecuencia angular, kel vector de onda.En un medio dispersivo la velocidad de fase v depende de la frecuencia de oscilacin. Cuando setiene la propagacin de impulsos cortos de seales, estos son distorsionados mientras se propagan atravs del medio, y esta distorsin hace difcil definir una velocidad promedio. Aqu es donde apareceel concepto de velocidad de grupo. Un grupo de ondas o un paquete de ondas es una seal de longi-tud de onda finita, comprendiendo nicamente un nmero limitado de longitudes de onda. El mtodocomn para representar oscilaciones u ondas es con exponenciales complejos. Se usan, por ejemplo,desplazamientos de la forma,


28/52


27

( ) ,i t kxsu Ae x sa (63)

( )i t kxss

duu iAe

dt

. (64)

En el caso de que slo interese la parte real (P.R.) tenemos, cos( )su A t kx ,

( )su Asen t kx . En el anlisis de transmisin de energa en un medio, es necesario promediar

en el tiempo productos de las partes reales de funciones complejas,

1. .( ) . .( ) ( . .( ))

2P R f P R F P R fF (65)

donde F el conjugado complejo de la funcin F . Las funciones ,f Fson funciones complejas deltiempo,

1( )0

i t f f e , 2( )0i tF F e . (66)

La identidad (65) se puede deducir partiendo de la definicin,0 0

1 2

0

. .( ) . .( ) cos( ) cos( )

f F

P R f P R F t t dt

, (67)

donde es el periodo de fy F dado por 2 / . Observemos que,

0 0. .( ) / 2 [ cos ] / 2P R fF f F , con 1 2 la diferencia de fases. Consideremos como calcular

la densidad de energa para el caso de la red monoatmica con interaccin entre vecinos ms prxi-mos. Encontramos que,

( ) 2 24, ( / 2)

i t kass

u ue sen ka

M

, (68)

con velocidad de fase, ( / 2)/ 2

sen kav vka

. La densidad de energa promedio de la red ser la suma de

la densidad de energa promedio potencial y cintica. Calculamos la densidad de energa promediocintica y potencial. La densidad de energa potencial promedio es la energa potencial promedio porcelda dividida por a , la longitud de la celda. As,

2 21 1

1 1. . ( ) . . ( )

2 2pot s s s s

E P R u u P R u u

a a

. (69)

Puesto que, ( )1( ) . . (1 )i t kas ika

s su u P R ue e

, entonces,

1 14

. . ( )( )pot s s s s

E P R u u u u

a

2 2

(1 )(1 ) (2 )4 4

ika ika ika ikau u e e e ea a

2 22

2(1 cos ) ( / 2)4

u u ka sen ka

a a . (70)

La energa cintica promedio es,


29/52


28

21 1. .2

k sE P R M ua

. (71)

Puesto que,( )

. .[ ] . .[ ] . .[ ]i t kas

ss s

du deu P R P R u P R iu

dt dt

, tenemos que

2 22 2. . ( ) . .[( )( ) ]

2 4 4k s s s

M M M E P R iu P R iu iu u

a a a

. (72)

Sustituyendo 2 de (68),2 2

2 24 ( / 2) ( / 2)4

k pot

u M uE sen ka sen ka E

a M a . (73)

La densidad total promedio es,2

22 ( / 2)k pot u

E E E sen kaa

. (74)

Esta expresin es de utilidad para calcular la energa en la red cristalina. Para calcular la velocidadcon la cual fluye la energa en la red, calculemos el flujo de energa de una celda a la prxima, staestar dada por la potencia absorbida promedio por la segunda celda de la primera. La potencia pro-medio (promedio temporal) absorbida por la celda 1s es,

, 1 , 1

1. .( ) . .( ) . .( )

2s s s s s s P R f P R u P R f u

(75)

, 1 1

( )

( )

( ),

,

s s s s

i t kass

i t kas

s s

f u u

u ue

u iue iu

(75)a

El significado de la ecuacin (75)a es el siguiente. Con la celda s como la primera celda,elproducto negativo de la fuerza, parte real, , 1s sf sobre la celda s debido a la celda 1s y la parte

real de la velocidad de la partcula en la celda s (red monoatmica), significa la potencia absorbidapor la partcula 1s , el producto positivo significara la potencia suministrada por la celda s . Portanto, de la ecuacin (75) tenemos,

2

. .[( 1)( )]2

ikau P R e i ,

2 2

. .[ (1 cos )]2 2

u u P R senka i ka senka . (76)

Sustituyendo el valor de 2 , ecuacin (68),2

( / 2)

u sen ka senkaM

. (77)

EL flujo de energa determina la energa que pasa de la celda s a la celda 1s por unidad de tiempo.La velocidad de energa, se define como el flujo de energa dividido por la densidad de energa y dala razn a la cual la energa fluye a lo largo de la red. Denotaremos la velocidad de la energa como,


30/52


29

2

2 2

/ ( / 2)

[2 / ] ( / 2)e

u M sen ka senkav

E u a sen ka

cos( / 2)

a ka

M

. (78)

La razn / E da una velocidad con la cual la energa est fluyendo a travs del sistema.

Veamos ahora la velocidad de grupo. Consideremos el caso de la superposicin de 2 ondassenoidales de frecuencias 0 e iguales amplitudes A. La onda con 0 tiene el vector de

onda 0k k , mientras que la onda con 0 tiene 0k k .Para la onda con 0 , tenemos:

0 0cos[( ) ( ) ]y A t k k x , y para 0 , 0 0cos[( ) ( ) ]y A t k k x . La onda

resultante se obtiene de la suma algebraica de ambas ondas,

0 0 0 0cos[( ) ( ) ] cos[( ) ( ) ]y y y A t k k x t k k x

0 02 cos( ) cos( )A t k x t kx . (79)

Esta expresin representa una onda modulada con una frecuencia promedio 0 en la onda portadora,0 0cos( ) t k x y una amplitud de variacin lenta considerada como modulacin,

cos 2 ( ) cos( )x

A vt A t kx

. (80)

La velocidad de fase de la onda portadora es,

0

0

v

k . (81)

En forma similar, la modulacin se ve como desplazndose a una velocidad dada por: g v k

,

que en lmite cuando las dos frecuencias se aproximan, tenemos la velocidad de grupo,

gdvdk

. (82)

Mientras ksea real y exista la relacin ( ) k no habr dificultad en definir gv , sin embargo,

cuando kes complejo el significado de sta velocidad ya no es tan obvio. Para la red monoatmica,tenemos

2 ( / 2)gd d

v sen kadk M dk

,

cos( / 2) cos( / 2) a ka a kaM M , (83)

donde cos( / 2) 0ka para / 2 / 2 / 2 ka . Observamos el hecho interesante que: g ev v (ve-

locidad de la energa). Por tanto, sino no hay absorcin del medio, la velocidad de grupo es la veloci-dad con que se propaga la energa de la red. La ecuacin (79) se puede interpretar como sigue: estaecuacin representa una sucesin de ondas con velocidad de fase /v k , con frecuencia 0 y vec-


31/52


30

tor de onda 0k . En un cierto instante de tiempo, la amplitud promedio de estas ondas est dada por la

modulacin de la ecuacin (80). La figura 29 muestra el paquete de onda con la envolvente modulan-do la amplitud de una onda componente.

Figura 29. Superposicin de dos ondas de longitud de onda ligeramentedistintas que resulta en grupo de ondas primitivas; se ha hecho

0t .

Si no se pone atencin en el movimiento detallado de las ondas portadoras y se observa ni-camente la distribucin de amplitud promedio, se observa la curva de amplitud, ecuacin (80), mo-vindose hacia adelante con velocidad de grupo gv . Las ondas portadoras se mueven dentro la en-

volvente con su velocidad de fase 0 0/v k . En un medio absorbente la curva de modulacin se

propaga sin distorsin y presenta una velocidad bien definida, la velocidad de grupo gv . La ausencia

de distorsin implica la ausencia de atenuacin. En un medio absorbente, la velocidad de grupo pier-de su significado exacto. La ausencia de distorsin en el paquete de ondas resulta de la superposicinde ondas elementales cuyas frecuencias caen dentro de un intervalo pequeo. Podemos visualizar ladiferencia de la velocidad de fase v y grupo gv en la curva ( ) k de la red en la aproximacin de

vecinos ms prximos, figura 30. Si tomamos un punto M sobre la curva, el valor absoluto de la pen-

diente de una lnea trazada desde el origen a M, ( OM ) da la velocidad de fase /v k , mientras

que la tangente en M da la velocidad de grupo g dv dk La curva en la parte inferior de la figura

30 muestra el comportamiento de la velocidad de grupo y fase. Se observa que gv cae a cero en

/ a como se puede comprobar de la ecuacin (83), no as para v que cae a cero slo hasta 2 / a.

Velocidad de grupo

velocidad de fase


32/52


31

Figura 30. Velocidad de grupo gv y de fase v .

En /k a , 0gv y como ya se discuti, se tiene ah una onda estacionaria con velocidad

de propagacin cero. En el lmite de longitudes de onda grandes, consideremos la aproximacin:

1ka (cerca del centro de la 1 zona de Brillouin), entonces 2cos( ) 1 ( ) / 2ka ka por lo que2 2 2 2

2 / [1 1 ( ) / 2 ] / M ka a k M , de donde: / a Mk . As,

/ ( / ) / /gv d dk a k k Mk k v (velocidad de fase). En este lmite, la propagacin de on-

das se comporta como en un medio continuo (ondas acsticas) y el cristal transmite las seales (con ) comportndose como tal.

1.4 Red unidimensional con celda unitaria de 2 tipos de tomos

La red del NaCl unidimensional (a lo largo de una direccin cristalogrfica [hkl]) es un ejemplotpico de red diatmica unidimensional. La forma general de esta red consiste en 2 tipos de tomos demasas 1M y 2M a distancias 1d y 2d , ver figura 31.

Figura 31. Red unidimensional con dos tipos de tomos 1M y 2M por celda uni-

taria de longitud 1 2 d d d .


33/52


32

La masa 1M tendr su vecino a la derecha a la distancia 2d y a la izquierda a. El periodo de

la red es: 1 2d d d que es la longitud o tamao de la celda unitaria. En el tratamiento de esta celda

consideraremos las interacciones entre vecinos ms prximos sin hacer referencia al tamao de lasmasas, esto significa que estamos tratando con partculas que son comparables. Si se considera el

problema de la red diatmica en el cual las distancias son iguales y adems, las interacciones de unapartcula con sus dos vecinos ms prximos son iguales, se pueden utilizar los mismos argumentospara plantear las ecuaciones de movimiento de las masas 1M y 2M , ver figura 32.

Figura 32. Celda unitaria diatmica de longitud 2a d.

En este caso el periodo de la red es, , 2a d , aqu consideramos que 1 2M M . En general,

para el caso de cristales con dos tomos en la celda unitaria, por cada modo de propagacin (polari-zacin) en una direccin dada de movimiento, la relacin de dispersin ( ) k desarrolla dos ramas: laacstica y la ptica. En el caso de que existan p tomos por celda unitaria habr 3p ramas para larelacin de dispersin, de las cuales hay 3 ramas acsticas y 3p-3 ramas pticas. Otra posibilidad dered diatmica es que se tengan masas iguales a diferentes distancias, figura 33.

Figura 33. Celda unitaria diatmica con tomos de igual masa.

Estudiaremos el caso de masas diferentes espaciadas igualmente una distancia a con longi-

tud de celda unitaria 2a a , ver figura 34.


34/52


33

Figura 34. Celda unitaria diatmica con tomos de masas diferentes peroespaciados igualmente.

Las ecuaciones de movimiento se deducen , en la aproximacin de vecinos ms prximos, de igualforma que en el caso de red monoatmica. stas son,

Figura 35. Desplazamiento de los tomos de la celda unitaria diatmica. La fuerza deinteraccin en la aproximacin de vecinos prximos obedece la ley de Hook.

Aqu, 1 2M M y la longitud de la celda es 2 a a .

2

1 12 2s s s s

d uM v v u

dt , (84)

2

2 12 2s s s s

d uM u u v

dt .

En este caso, 2a a , representa la distancia entre planos idnticos ms prximos y no entre planosms prximos. Buscando soluciones en la forma de ondas viajeras, tenemos

iska itsu ue e

, iska itsv ve e , (85)

Por tanto, sustituyendo en (84),

21 1 2

ika M u v e u , (86)a


35/52


34

22 1 2

ika M v u e v ,

de donde,2

1(2 ) 1 0ika M u v e , (86)b

2 2( 1) [2 ] 0ika e u v M .Se tendrn soluciones para (86)b en u y v distintas de la trivial si el determinante de los coeficienteses cero, esto es

21

22

2 (1 )0

(1 ) 2

ika

ika

M e

e M

. (87)

Desarrollando, tenemos2 2 2

1 2(2 )(2 ) (1 )(1 ) 0ika ika M M e e ,

2 2 2 4 22 1 1 24 2 2 (1 1 ) 0

ika ika M M M M e e ,

2 2 4 22 1 1 24 2 ( ) (2 2 cos ) 0 M M M M ka ,

4 2 21 2 2 12 ( ) 2 (1 cos ) 0M M M M ka ,

4 2 2 21 2 2 12 ( ) 4 ( / 2) 0M M M M sen ka ,

De donde obtenemos,2 2 2

4 1 2

1 2 1 2

2 ( ) 4 ( / 2)0

M M sen ka

M M M M

. (88)

La solucin para es,2

2 1 2 1 22

1 2 1 2

( ) 4 ( / 2)1 1( )

M M M M sen kaM M M M

, (89)

o en forma equivalente,

2 2 21 2 1 2 1 2

1 2

2 cos( )

M M M M M M kaM M

. (90)

Analicemos los siguientes casos:

a)Consideremos el caso cuando 1ka ( ), aqu podemos aproximar:( / 2) / 2sen ka ka de donde,

22 1 2 1 2

21 2 1 2

( ) 4 ( / 2)1 1

( )

M M M M ka

M M M M

.

Pero si,1/2

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

4 ( / 2) 2 ( / 2)1 1

( ) ( )

M M ka M M ka

M M M M

entonces obtenemos que,


36/52


35

22 1 2 1 2

21 2 1 2

( ) 2 ( / 2)1 1

( )

M M M M ka

M M M M

, de donde finalmente obtenemos,

22 1 2 1 2

21 2 1 2

2 ( ) ( / 4)( / 2)1

( )

M M M M ka

M M M M

. (rama ptica) (91)

En 0ka ,2

1 22 [1/ 1/ ] M M . (rama ptica) (92)

Adems,2

2 1 2 1 22

1 2 1 2

( ) 2 ( )[1 1 ]

4( )

M M M M ka

M M M M

,as

2 2 2

1 22( )

k a

M M

. (rama acstica) (93)

Donde, ahora, los lmites de la 1 zona de Brillouin son, / / a k a

/ 2 / 2 a k a

.b) Analicemos ahora los casos extremos de los lmites de la zona de Brillouin, / a , ah tenemosque [ ( / )( / 2)] 1sen a a , por tanto,

2 1 2 1 22

1 2 1 2

( ) 41 1

( )

M M M M

M M M M

,

2 21 2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 2

( ) 2 41

( )

M M M M M M M M

M M M M

21 2 1 22

1 2 1 2

( ) ( )1( )

M M M MM M M M

, si 1 2M M . Por tanto,

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )1

( )

M M M M

M M M M

,por lo que,

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )1

( )

M M M M

M M M M

2

2

M . (rama ptica) (94)a

y tambin,

2 1 2 1 21 2 1

2 M M M M

M M M , (rama acstica) (94)b

La figura 36 muestra la relacin de dispersin ( ) k para la red diatmica en la aproximacin deprimeros vecinos con una fuerza de interaccin que obedece la ley de Hook. Se observan las dos

ramas, la acstica en la regin de frecuencias 10 2 / M y la rama ptica en la regin


37/52


36

2 1 2 1 22 / 2 ( ) / M M M M M . Para las regiones de frecuencias ,

1 22 / 2 / M M y 1 2 1 22 ( ) / M M M M llamadas regiones de frecuencias prohi-

bidas, los modos libres de oscilacin son atenuados por efectos de absorcin de energa provocan-do que stos se extingan al propagarse en el cristal.

Figura 36. Relacin de dispersin ( ) k para la red diatmica lineal con interaccin nicamente de

primeros vecinos. El tamao de la celda unitaria es 2 a a con a la separacin interatmica. Se tienela regin de bajas frecuencias que define la rama acstica y la regin de altas frecuencias que determinala rama ptica. Ambas curvas corresponden a los modos de oscilacin longitudinales.

Veamos la razn de amplitudes para la rama ptica para el caso de que 0k . Sustituyendo la ecua-cin (92) en la primera ecuacin de (86)a y considerando 0k , obtenemos

1 2 12 1/ 1/ 2 ( ) M M M u v u , de donde obtenemos

1 1 21/ 1/ ( )M M M u v u (A)

Usando la segunda ecuacin de (86)a y haciendo la misma sustitucin, obtenemos

1 2 22 1/ 1/ 2 ( ) M M M v u v por tanto,

2 1 21/ 1/ ( )M M M v v u . (B)

As, de (A) y (B) se deduce la razn de amplitudes,

2

1

Mu

v M . (95)


38/52


37

La razn de amplitudes depende de las masas, si 1 2M M tendremos que u v , ver figura 37 para

el modo transversal (a) y longitudinal (b) ptico.

(a)

(b)

Figura 37. (a) Modo transversal ptico (TO) para el caso de 0k ( ) donde 2 1/ /u v M M .

u v , y 1 2M M . (b) Modo longitudinal ptico (LO) para el caso 0k ( )

donde 2 1/ /u v M M y 1 2M M .

Ahora, poniendo la ecuacin (93) en cualquiera de las ecuaciones (86)a, rama acstica, en las proxi-midades de 0k , obtenemos que, 2 ( ) 0 v u as, v u / 1v u , ver figura 38.


39/52


38

(a)

(b)

Figura 38. (a) Modo acstico transversal (TA), en las proximidades de 0 ( )k donde v u ,

1 2M M y donde a es la separacin interatmica. (b)Modo longitudinal acstico

(LA).

Por otro lado, consideremos el caso cuando /k a , donde en estos valores extremos la longitud

de onda de los modos vibracionales es min 2 4 a a . Por tanto, para a) la rama ptica tenemos que

sustituyendo (94)a en la primera ecuacin de (86)a considerando que 1ie obtenemos,

1 22 / (1 1) 2 2M u M v u u , de donde 1 2(1 / ) 0u M M 0u , adems, sustituyendo

igualmente (94)a en la segunda ecuacin de (86)a, obtenemos, 2 22 / (1 1) 2M v M u v de don-

de, v v (valor arbitrario sin restriccin). Esto significa que la masa ms pequea 2M se desplaza

contrariamente respecto a la masa ms grande en reposos, ver figura 39.

B) Para la rama acstica, tenemos que sustituyendo (94)b en la primera ecuacin de (86)a, se obtieneque: 1 12 / 2M u M u por lo que, u u ; de igual forma, sustituyendo en la segunda ecuacin de

(86)b, se obtiene que, 2 12 / 2M v M v de lo cual se deprende que 2 1(1 / ) 0v M M 0v .

Esto corresponde al desplazamiento en sentido contrario de los tomos vecinos de masa ms grande

1M con los tomos de masa ms pequea 2M en reposo, ver figura 40.


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39

(a)

(b)

Figura 39. (a) Modo transversal ptico para el caso de 0u , y v arbitrario con el valor lmite de/ 2k a y 1 2M M . (b) Modo longitudinal ptico donde min 4 a . Observamos que en ambos

modos de vibracin, el tomo de masa mayor permanece en reposo y el de masa menor se desplaza endirecciones opuestas.

(a)


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40

(b)

Figura 40. (a) Modo transversal acstico para el caso 0v y u arbitrario cuando consideramos losmodos vibracionales en los lmites / 2k a y 1 2M M (b) Modo longitudinal acstico donde

min 4 a . Observamos que en ambos modos de vibracin, el tomo de masa menor permanece en re-

poso y el de masa mayor se desplaza en direcciones opuestas.

Para el caso de frecuencias en el rango 1/2 1/2

1 22 / 2 / M M , las soluciones depropagaciones libres o de onda viajera no existen, sino que las oscilaciones son amortiguadas y kesun nmero complejo, con su parte imaginaria determinando el factor de absorcin.

Cabe sealar que tanto para los modos vibracionales longitudinales y transversales, tanto pti-cos como acsticos, la constante debe ser especificada como L (longitudinales) y t ya que en

general las interacciones entre tomos prximos difieren en cada modo de oscilacin. Por lo tanto, larelacin de dispersin para el caso general tridimensional de la red monoatmica lineal presentar 3ramas, 2 para los modos transversales y una para los modos longitudinales, como se muestra en lafigura 41.

Figura 41.Curvas de dispersin para un cristal tridimensional con un tomo en la celda unitaria. Lostres modos estn asociados con cada valor de 2 /q k . En general, se tienen 3 curvas distintas

(de los 3 tipos de modos vibracionales) para q medido a lo largo de una direccin cristalogrfica [hkl] de

baja simetra. Para valores de q en direcciones de alta simetra, generalmente, las dos curvas ms bajasson degeneradas (ambas forman una sola curva) y corresponden a los modos transversales mientras quela curva ms alta corresponde al modo longitudinal.


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41

Se observa de esta figura que slo se presenta la regin del lado derecho la cual es suficiente ya quela relacin de dispersin en el sistema peridico es simtrica, esto es, ( ) ( ) q q .

Para el caso de la red diatmica en un cristal tridimensional, la relacin de dispersin presen-tar 3 ramas para los modos vibracionales acsticos y 3 para los modos pticos, como lo muestra la

figura 42.

Figura 42. Representacin esquemtica de las frecuencias de vibracin para un cristal tridimensionalcon dos tomos en su celda unitaria. 3 modos acsticos y 3 pticos estn asociados con cada vector pro-

pagacin 2 /q k . Si q se mide a lo largo de una direccin cristalogrfica de alta simetra, las 2

curvas ms bajas en cada conjunto son degeneradas (se hacen una sola curva).

Como un ejemplo de un cristal real con celda unitaria diatmica, tomemos el caso del Ge. Lafigura 43 muestra la relacin de dispersin medida experimentalmente donde se observa la degenera-cin de las curvas de los modos transversales en cada una de las ramas pticas y acsticas.

En general, las excitaciones acsticas se clasifican como excitaciones a longitudes de onda grandes (bajas energas) y las excitaciones pticas a longitudes de onda cortas (altas energas), donde estaltimas se hacen con ondas electromagnticas. La figura 44 muestra el esquema tpico de las regiones dfrecuencias de excitacin en la red diatmica. Finalmente, la figura 45 muestra la relacin de dispersin

( ) k para el GaN y Si para valores de k(o q ) en diferentes direcciones cristalogrficas, se observa lpresencia slo de dos ramas en la regin acstica y ptica. La energa que definen las frecuencias de oscilacin est en el rango de meV.


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42

Figura 43. Relacin de dispersin de los modos vibracionales (modos fonnicos) en la direccin crista-logrfica [111] en el Ge a 80K . Se observa la degeneracin de los modos transversales por lo que slo setienes dos ramas tanto para los modos acsticos como pticos. Las ramas de frecuencias de los modostransversales tienden a hacerse horizontales en las proximidades de la frontera de la zona de Brillouin (

maxk ), donde max (2 / )(1/ 2,1/ 2,1/ 2)k a . Las ramas LO y TO coinciden en 0k , esto es tambin

una consecuencia de la simetra del cristal del Ge. Los resultados fueron calculados usando dispersininelstica con neutrones.

Figura 44. Relacin de dispersin ( ) k tpica de una red unidimensional con celda unitaria diatmica.


44/52


43

Figura 45. Relaciones de dispersin fonnica para (a) GaN y (b) Si. TA, LA, LO y TO se refieren a losmodos de oscilacin transversal acstico, longitudinal acstico, longitudinal ptico y transversal ptico.

1.5 Determinacin experimental de las dispersiones fonnicas.

Cuando la radiacin, por ejemplo luz o neutrones, se dispersa por un cristal, ste puede emitiro absorber fonones de modo que el anlisis de la frecuencia y el momento de la radiacin dispersadaproporciona informacin sobre las curvas de dispersin de los fonones. La dispersin de la radiacinelectromagntica por los cristales toma diferentes nombres de acuerdo a los diferentes procesos invo-lucrados, a saber, si la luz es dispersada por los fonones acsticos tenemos entonces dispersin Bri-llouin. El espectro de la luz detectada despus de la colisin con el cristal muestra un pico central

con la misma frecuencia del haz incidente original y dos picos laterales correspondientes con unaemisin o absorcin de un fonn. Si la luz es dispersada por fonones pticos tenemos dispersinRamany las dos lneas laterales son llamadas Stokes para la absorcin de un fonn y anti-Stokes parala emisin de un fonn. Hoy da la dispersin con neutrones es una tcnica estndar para determinarlas propiedades vibracionales de los materiales cristalinos.

Las figuras 46 y 47 muestran los espectros fonnicos de los materiales semiconductores Si yGaAs. La figura 48 muestra la zona de Brillouin para la estructura cristalina de ambos materiales lacual es tipo diamante y zincblenda.


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44

Figura 46. Relacin de dispersin terica (lneas) y experimental (crculos) y la densidad de estados(DOS) en el Si. Las letras , , , , K X L Windican los puntos de alta simetra en la zona de

Brillouin.

Figura 47. Relacin de dispersin terica (lneas) y experimental (crculos) y la densidad de estados(DOS) en el GaAs. Las letras , , , , K X L Windican los puntos de alta simetra en la zona de

Brillouin.


46/52


45

Figura 48. Estructura tipo diamante (a) y zincblenda (b). No todos los tomos y enlaces de la estructurase muestran para hacer ms evidente la estructura tetradrica de los enlaces. En (c) se muestra la pri-mera zona de Brillouin de la red fcc indicando los puntos y lneas de alta simetra. El borde irreduciblees el poliedro con vrtices , , , , , K W X U L .

En particular la espectroscopa Raman se ha convertido en un mtodo importante para inves-tigar excitaciones elementales en slidos, por ejemplo, fonones y plasmones. En este tipo de espec-troscopa se estudia la dispersin inelstica de la luz con las excitaciones elementales de inters (fo-nones o vibraciones de red o plasmones que son excitaciones de cuantos de carga electrnica). Encuanto a la dispersin procedente de estructuras variando con el tiempo (como es el caso de vibracio-nes de los tomos en el cristal), la energa y el momento se deben de conservar, por lo que tenemoslas ecuaciones fundamentales,

0 ( ) 0 q , (96)a

0 0k k q G . (96)b

Donde 0 , 0k y , k caracterizan las ondas de luz incidente y dispersada respectivamente; ( ) q y

q son la frecuencia angular y vector de onda de la excitacin elemental, i.e., el fonn. Para luz en la

regin del espectro visible, 0| |k y | |k son del orden de 1/1000 del valor de un vector de red rec-

proca, lo cual significa que nicamente excitaciones en el centro de la zona de Brillouin ( | | 0q )pueden tomar parte en la dispersin Raman.


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46

La interaccin de luz visible con el slido ocurre va la polarizabilidad de los electrones de

valencia. El campo elctrico 0E de la onda de luz incidente induce a travs del tensor de susceptibi-

lidad una polarizacin P, esto es,

0P X E o, 0 0i ij jj

P E . (97)

La modulacin peridica de Pconduce, a su vez, a la emisin de una onda, la onda dispersada. En laaproximacin clsica, la onda dispersada puede ser considerada como una radiacin de dipolo de un

dipolo oscilante P. De las leyes de la electrodinmica, se obtiene que la densidad del flujo de ener-

ga radiada en la direccin s , esto es, en la direccin del vector de Poynting S a una distancia rdeldipolo es,

4 2 2

2 2 3

0

16

P sen S s

r c

, (98)

donde es el ngulo entre la direccin de observacin s y la direccin de vibracin de P. La sus-

ceptibilidad electrnica es ahora una funcin de las coordenadas nucleares y por tanto, de los des-plazamientos asociados con las vibracin [ ( ), ] q q . Similarmente, esta misma susceptibilidad elec-

trnica puede ser una funcin de alguna otra excitacin colectiva [ ( ), ]x q q , por ejemplo, las varia-ciones de la densidad asociada con una onda de plasma electrnica longitudinal. Se puede demostrar

que la polarizacin Pcuando la susceptibilidad se considera 0 ( / ) X x x , para excitaciones

donde 0q , podemos simplificar el anlisis escribiendo 0cos[ ( ) ]x x q t y si el campo incidente

de la onda es de la forma0 0

cosE E t , entonces,

0 0 0 0 0 0 0 0 01

cos cos( ( )) cos( ( ))2

P E t E x q t q t

x

. (99)

La radiacin de dispersin expresada por (98) contiene va P, junto con la contribucin de frecuencia

0 (la dispersin Rayleigh) trminos adicionales conocidos como bandas laterales Raman con fre-

cuencias 0 ( ) q , como se muestra en la figura (49). El signo ms corresponde al cuanto de luz

dispersado que ha absorbido energa de, y el signo menos cuando ha perdido energa a, la excitacinelemental relevante [ ( ), ] q q . Las lneas con frecuencia ms pequea que 0 son llamadas las lneas

Stokes, aqullas con ms alta frecuencia son las lneas anti-Stokes. Para que estas ltimas estn pre-sentes, es necesario que la excitacin elemental, e.g., el fonn, ya exista en el slido. As, a bajastemperaturas la intensidad de las lneas anti-Stokes es muy reducida ya que la excitacin elementalrelevante est en gran medida en su estado fundamental. La intensidad de la radiacin dispersada

inelsticamente es tpicamente un factor de 610 ms dbil que aqulla de la radiacin primaria.


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47

Figura 49. Representacin esquemtica de los mecanismos de dispersin de luz (dispersin Raman) parael caso de (a) dispersin elstica, (b) inelstica. (a) si la susceptibilidad electrnica se supone constanteen el tiempo, la polarizacin P oscila con la frecuencia 0 de la luz incidente y, a su vez, radia nica-

mente a esta frecuencia (proceso elstico).; (b) si la susceptibilidad por s misma oscila con frecuencia( ) q de una excitacin elemental (por ejemplo, de un fonn), entonces la oscilacin de la polarizacin

inducida por la radiacin primaria (frecuencia 0 ) es modulada con frecuencia ( ) q . Esta oscilacin

modulada de la polarizacin conduce a contribuciones en la luz dispersada de las bien conocidas bandaslaterales Raman de frecuencias 0 ( ) q .

Un ejemplo ms de un espectro experimental Raman se muestra en la figura (50). Este espec-

tro fue medido de una muestra de GaAs tipo-n con una densidad electrnica 16 310n cm . Adems,las lneas agudas entre los nmeros de onda 250 y 300 1cm (nmero de onda es 1 1( ) cm , don-

de la energa asociada es 11 1 / 8.701cm meV ) son atribuibles a la excitacin de los fonones TO y

LO, tambin se observa una estructura en 140 cm muy cercano al pico elstico ( 0 ). Esta estruc-tura es esencialmente el resultado de las vibraciones colectivas del gas de electrones libres, conoci-das como plasmones. Un dbil acoplamiento entre los plasmones y los fonones LO conducen a uncorrimiento de frecuencia pequeo en ambos picos.


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48

Figura 50. Espectro Raman de una muestra de GaAs tipo-n a una temperatura de 5K. La concentracinde electrones libres es 16 310n cm . TO y LO denotan los fonones transversal y longitudi-

nal pticos. La banda a 140 cm se origina esencialmente de las excitaciones de plasmones.

Tambin resulta de inters la dependencia del espectro Raman con la energa primaria 0 .

Si la energa del fotn incidente 0 es exactamente igual a la energa de una transicin electrnica,

esto es, si esta corresponde a una resonancia en la susceptibilidad elctrica o la funcin dielctrica( ) , entonces se observa un enorme realce de la seccin transversal de dispersin Raman conocida

como dispersin Raman resonante. A travs de variar la energa primaria con el fin de encontrar di-

chas resonancias en la seccin transversal Raman, es posible estudiar las transiciones electrnicas.

La tabla 1 muestra el valor de las frecuencias caractersticas del fonn ptico transversal TO

y longitudinal LO medidos en diferentes materiales semiconductores. En ella tambin se muestras

otros parmetros pticos como el gap del semiconductor, gE , la longitud de onda asociada al fotn

con esta energa, gap ; as como el tipo de estructura de banda, directa (d) e indirecta (i). Todos estos

parmetros son medidos para cuando los materiales son todos del tipo n a temperatura ambiente.


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49

Tabla1. Parmetros pticos de diversos semiconductores.

Notacin (d) significa semiconductor de gap directo e (i) de gap indirecto. gE gap del semiconductor,

gap longitud de onda del fotn asociado a gE , TO frecuencia del fonn ptico transversal, LO del

fonn ptico longitudinal. Estos parmetros corresponden cuando todos los materiales son tipo n a tem-peratura ambiente.

1.6 Expansin trmica

Podemos considerar la expansin trmica a travs de considerar en un oscilador clsico el

efecto de los trminos anarmnicos en la energa potencial en la separacin media de un para de to-mos a una temperatura T . Las oscilaciones que el tomo hace respecto se su posicin de equilibrio

0R se miden por los desplazamiento relativos 0x R R donde R es la posicin arbitraria respecto

al equilibrio. En la aproximacin armnica, cada tomo tiene una energa potencial 2( )U x x acualquier temperatura como lo muestra la figura (51)a, sin embargo, en el caso real, al aumentar la

temperatura se rompe la simetra del potencial y aparecen trminos en ( )U x del orden de, 3x , 4x yde mayor orden de tal forma que la energa potencial de cada tomo se puede aproximar a la forma,

2 3 4( )U x cx gx fx . (100)

La figura (51)b muestra la energa potencial real junto con la aproximacin armnica (lnea disconti-nua) del tipo 2( )U x x , se observa que a medida que aumenta la temperatura mayor es la asimetra

del potencial respecto a la posicin de equilibrio 0R .


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50

Figura 51. Oscilaciones atmicas en pozos de energa potencial (a) armnicos y (b) anarmnicosa diferentes temperaturas T.

En la ecuacin (100), , ,c g f son positivas. El trmino en 3x representa la asimetra de la

repulsin mutua entre pares de tomos y el trmino 4x representa la debilitacin de la vibracin aamplitudes grandes. Podemos calcular el desplazamiento promedio usando la funcin de distribucinde Boltzmann, la cual sopesa los valores posibles de x de acuerdo a su probabilidad termodinmica,

( )

( )

U x

U x

xe dx

x

e dx

, (101)

donde 1/ kT . Al realizar las integrales en (101) se puede demostrar que finalmente el desplaza-miento es aproximadamente,

2

3

4

gx kT

c . (102)

Con este valor podemos calcular el coeficiente de expansin lineal del cristal definido comouna extensin por unidad de longitud debido a un incremento unitario de la temperatura T, esto es,

0/ ( ) x R T con 0R la posicin de equilibrio del tomo que es 0R a la constante de red del cris-

tal. As, entonces estimamos el valor de este coeficiente,

2

3

4

gk

c a . (103)Observamos que g, el trmino anarmnico, por lo que 0 en el caso aproximado de un po-tencial atmico armnico (pequeas oscilaciones) donde ,g fson cero.


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