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Vibraciones Mecnicas en una Sarta de

Perforacin: Problemas de Control

ARTICLE JANUARY 2005

Source: OAI

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2 AUTHORS, INCLUDING:

Eva M. Navarro-LpezThe University of Manchester

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Available from: Eva M. Navarro-LpezRetrieved on: 06 October 2015

VIBRACIONES MECNICAS EN UNA SARTA DE PERFORACIN: PROBLEMAS DE CONTROL

E.M. Navarro-Lpez y R. Surez

Programa de Investigacin en Matemticas Aplicadas yComputacinInstituto Mexicano del PetrleoEje Central Lzaro Crdenas, 152, ed. 2, planta baja, cub.1, A.P. 14-805, 07730 Mxico, D.F., Mxico

Resumen: Este trabajo estudia desde el punto de vista dinmico las vibraciones mecnicas que aparecen en una sarta de perforacin convencional. En particular, se analizan las oscilaciones autoexcitadas de atascamiento-deslizamiento provocadas por la friccin existente entre la barrena y el pozo. Se tratan dos problemas. Por una parte, el modelado del comportamiento torsional de la sarta, junto al modelado de la interaccin roca/barrena, esta ltima es aproximada mediante una friccin seca. Por otra parte, se interpretan algunos objetivos de perforacin como problemas de control, bsicamente: obtener una velocidad constante en la superficie y reducir el fenmeno de atascamiento-deslizamiento de la barrena. Copyright 2004 CEA-IFAC

Palabras clave: aplicaciones del control, friccin seca, oscilaciones autoexcitadas, ciclos lmite.

1. INTRODUCCIN

Las vibraciones son inevitables en una perforacin. Sin embargo, el grado de severidad de las mismas y sus consecuencias sobre el proceso de perforacin dependen del diseo de la parte inferior de la sarta (aparejo de fondo), de la formacin perforada, y, en gran medida, de la eleccin de los parmetros de perforacin, sobre todo, el peso en la barrena (WOB) y la velocidad rotacional de la sarta y de la barrena. La aplicacin de tcnicas de anlisis dinmico y de control en un sistema de perforacin puede llevar a conclusiones que permitan la propuesta de estrategias y recomendaciones de operacin para el perforador,

Autor de contacto: Eva Mara Navarro-Lpez. Tel. +5255 9175 6770. Fax +52 55 9175 6277. Direccin e-mail:enavarro@imp.mx.

Revista Iberoamericana de Automtica e Informtica Industrial

as como recomendaciones de diseo de la sarta y del aparejo de fondo con el fin de reducir los efectos de las vibraciones.

Las vibraciones mecnicas que aparecen en una sarta de perforacin se clasifican en: vibraciones axiales o longitudinales, torsionales y laterales, dependiendo de la direccin en que se presentan (ver Fig. 1). Aso- ciado a cada tipo de vibracin se tiene una serie de fenmenos: (i) rebote (bit bouncing, en ingls), la barrena de forma peridica da saltos en el fondo del pozo, incluso puede llegar a soltarse; (ii) fenmeno de atascamiento-deslizamiento (stick-slip), mien- tras que la sarta gira a una velocidad constante, la ve- locidad de la barrena vara de cero hasta seis veces la velocidad medida en la superficie, normalmente, este fenmeno lleva consigo importantes variaciones de pares de torsin (ver Fig. 2); (iii) fenmeno de remoli- no (whirl), causado porque el centro de gravedad de la sarta no coincide con su eje geomtrico de rotacin, esto tiene como consecuencia que la trayectoria del

Dinmica de la barrena

Existe un nmero importante de estudios dedica-

Vibracin

Lateral

Torsional

Axial

' b

0

Movimiento

Remolino

' b

t Atascamiento- deslizamientobarrena

dos a las oscilaciones autoexcitadas de atascamiento- deslizamiento en sistemas mecnicos que abordan el modelado de la misma y la influencia de la friccin en la respuesta de estos sistemas, consultar (Armstrong- Hlouvry et al., 1994; Hensen, 2002) y referencias.

Una de las caractersticas principales de la friccin, es que no es cero cuando la velocidad es cero, en general, es una funcin multivaluada en cero. Este fenmeno se modela a travs del modelo de friccin esttica (stiction, en ingls), es decir, las fuerzas externas aplicadas a un objeto deben sobrepasar un umbral (fuerza de ruptura) para que el objeto comience a moverse sobre una superficie. Esta fuerza es mayor que aqulla que se necesita para mantener el objetoen movimiento. El modelo, normalmente usado enSaltos peridicos

Figura 1. Vibraciones mecnicas en una sarta de per- foracin. Consecuencias de las mismas.

centro geomtrico de la parte inferior de la sarta no sea circular y se produzcan choques de la sarta con las paredes del pozo.

Este artculo se centra en las vibraciones torsionales causa del fenmeno de atascamiento-deslizamiento. Estas vibraciones estn originadas, principalmente, por el contacto barrena/roca. La frecuencia de apari- cin de estas vibraciones se puede reducir mediante tcnicas de control. Las vibraciones laterales y axiales, por su parte, requieren otro tipo de soluciones, ms orientadas a nuevos diseos mecnicos de la sarta y de sus componentes.

Las oscilaciones de atascamiento-deslizamiento son dainas, ms por su carcter cclico que por su am- plitud. Experimentos en campo sealan que dichas oscilaciones aparecen en un 50 % del tiempo de per- foracin (Brett, 1992; Henneuse, 1998; Kriesels et al., 1999). Adems, las altas velocidades de la barrena en la fase de deslizamiento, normalmente generan vi- braciones laterales y axiales importantes en el aparejo de fondo.

Este tipo de vibraciones origina cuatro problemas, principalmente: (i) fatiga de la tubera (Kriesels et al., 1999); (ii) fallos en las componentes de la sarta (Kriesels et al., 1999); (iii) inestabilidad del pozo (Kriesels et al., 1999) y deformaciones en las paredes del pozo; (iv) daos en la barrena (Henneuse, 1998; Macpherson et al., 2001).

Una de las causas principales de la aparicin de las vi- braciones de atascamiento-deslizamiento es la friccin existente entre las diferentes componentes de la sarta y la friccin originada por la interaccin del aparejo de fondo con la formacin (Kyllingstad y Halsey, 1988). Por ello, la friccin es un fenmeno importante a modelar y a tener en cuenta a la hora de analizar el comportamiento dinmico de la sarta.

trminos prcticos es el modelo clsico discontinuo de friccin esttica ms friccin de Coulomb, que es conocido como friccin seca (Armstrong-Hlouvry et al., 1994). En este artculo se presenta una variacin del modelo clsico de friccin seca. El hecho de tener una discontinuidad a velocidades iguales a cero derivada de los modelos de friccin considerados, complica el anlisis y la aplicacin de metodologas de control para la mejora del comportamiento de sistemas sujetos a friccin.

Para la seleccin de algunos parmetros importantes en la perforacin es necesario un mtodo de predic- cin de la dinmica del aparejo de fondo sujeta a condiciones especficas. Por esta razn, es impor- tante modelar adecuadamente el comportamiento de la sarta. El modelado del comportamiento torsional de la sarta orientado a la descripcin del fenmeno de atascamiento-deslizamiento se ha planteado desde distintos puntos de vista. En la mayora de los trabajos se considera a la sarta como un pndulo torsional con distintos grados de libertad. Por ejemplo: (Kyllingstad y Halsey, 1988; Richard, 2001; van de Vrande et al.,1999) proponen modelos de un grado de libertad; en cambio, (Abassian y Dunayevsky, 1998; Brett, 1992) presentan modelos de dos grados de libertad y (Jansen y van den Steen, 1995; Mihajlovic et al., 2003; Se- rrarens et al., 1998) modelos de dos grados de libertad para la parte mecnica del sistema junto con el modelo del motor elctrico del mecanismo rotatorio superior de la sarta. En este trabajo la sarta se modela como un pndulo torsional simple de dos grados de libertad que incluye pares de friccin seca y viscosa asociados al mecanismo rotatorio superior de la sarta y a la barrena. Dicho modelo es similar a los dados en (Jansen y van den Steen, 1995; Mihajlovic et al., 2003; Serrarens et al., 1998) con las siguientes diferencias: la dinmica del motor elctrico no se considera, se vara el mo- delado de la interaccin roca/barrena. En el modelo de la interaccin roca/barrena se incluye el peso en la barrena (Wob ) que se corresponde con la fuerza de reaccin normal y la geometra de la barrena a travs del radio de la barrena (Rb). Adems, se considera que

Esfuerzo de torsin VelocidadesAtascamiento- deslizamiento

Vel. barrena

1. Modificacin del diseo de la estructura de corte y de las barrenas. Se destacan los estudios rea- lizados sobre barrenas compactas de cortadores de diamante policristalino (barrenas PDC). Se

Atascamiento- deslizamientot (s)

Vel. superficie

tienen, entonces, las barrenas de amortiguamien- to positivo o de baja friccin (Fear, 2000; Mur- dock y Jelley, 2000) o la reciente barrena flexible antivibracin (Defourny y Abbassian, 1998). La introduccin de motores en la barrena se plantea tambin como una medida para la eliminacin de las oscilaciones de atascamiento-deslizamiento. Los primeros motores incorporados a la barrenaFigura 2. Fenmenos asociados al movimiento de atascamiento-deslizamiento de la barrena: ve- locidades en la parte superior de la sarta y en la barrena, junto con el esfuerzo de torsin (Besson et al., 2001).

el coeficiente de friccin en la barrena es decreciente para velocidades de rotacin crecientes.

Este trabajo se presenta como un texto resumen de la problemtica de modelado, anlisis y control de vibra- ciones mecnicas torsionales en sartas de perforacin. La solucin de algunos de los problemas mencionados no ha sido planteada en la literatura y se presentan como temas nuevos de investigacin.

La vala de este trabajo radica en interpretar algunos de los objetivos de perforacin como problemas de anlisis dinmico y control automtico. Se distinguen dos partes principales del artculo. En primer lugar, el planteamiento del modelo simplificado del compor- tamiento torsional de una sarta de perforacin conven- cional orientado a la descripcin de las oscilaciones de atascamiento-deslizamiento. En segundo lugar, la presentacin de algunas recomendaciones de opera- cin con el fin de mantener condiciones ptimas de perforacin, es decir, minimizar el tiempo en que la barrena est atascada con una velocidad constante en la superficie. Para ello, se propone que la velocidad superior de la sarta y la velocidad de la barrena sean controladas de forma separada. La tarea de super- visin se dara al perforador (supervisin y monitoreo de parmetros de perforacin). Muchos de los traba- jos que actualmente han aparecido en la literatura, por ejemplo, (Jansen y van den Steen, 1995; Halsey et al., 1988; Pavone y Desplans, 1994; Serrarens et al., 1998), no consideran el problema de manipulacin de parmetros de perforacin para la reduccin de vibraciones de atascamiento-deslizamiento desde este punto de vista. Algunos de ellos slo consideran el sistema de perforacin como una plataforma de prue- ba de determinadas tcnicas de control, sin verificar la factibilidad de aplicacin de las mismas al sistema.

Las vibraciones mecnicas y los fenmenos asocia- dos a stas en una sarta nunca se van a suprimir por completo, slo podremos reducir la frecuencia de aparicin de los mismos. Teniendo esto en cuenta, las soluciones al problema de atascamiento de la barrena son de tres tipos:

se denominaron turbodrill (Dufeyte et al., 1991). Una mejora de estos motores se consigue con los motores de PDMs (positive displacement mud motors) de par elevado (Gallagher et al., 1994).2. Introduccin de dispositivos adicionales a lo largo de la sarta. Se destaca el uso de estabi- lizadores (Challamel et al., 2000) y absorbedores de vibraciones (shock subs) que se colocan inmediatamente encima de la barrena (Warren y Oster, 1999).3. Manipulacin de parmetros de perforacin. Sehan propuesto algunas metodologas de control que, bsicamente, manipulan el par aplicado en la parte superior de la sarta (Halsey et al., 1988; Jansen y van den Steen, 1995; Pavone y Des- plans, 1994; Sananikone et al., 1992; Serrarens et al., 1998). Esto se comentar en la Seccin 4.

Para ms informacin acerca de las consecuencias de las vibraciones en sartas de perforacin y mtodos para su reduccin, consultar (Navarro-Lpez, 2003).

El artculo est organizado de la siguiente manera. La Seccin 2 plantea un modelo de la sarta de perforacin orientado a la descripcin del comportamiento torsio- nal de la misma. La interaccin roca/barrena se con- sidera como una friccin seca que da lugar a un par en la barrena con la forma de la curva de Stribeck (fric- cin decreciente con la velocidad para velocidades cercanas a cero, ver Fig. 5). Al final de la Seccin 2 se dan algunas notas acerca de la estimacin y medida de parmetros en el fondo del pozo, hechos ntimamente relacionados con la validacin de los modelos. La in- terpretacin de los objetivos de perforacin como pro- blemas de anlisis dinmico y de control se dan en las Secciones 3 y 4, respectivamente. En la Seccin 3 se analizan de forma sucinta los puntos de equilibrio del sistema y su estabilidad se relaciona con algunos de los parmetros del sistema. En la Seccin 4 se plantean dos problemas bsicos de control: (i) mantenimiento de una velocidad constante en la superficie, (ii) que la barrena siga la velocidad del mecanismo rotatorio de la superficie, reduciendo en lo posible el fenmeno de atascamiento-deslizamiento. En la ltima seccin se presentan las conclusiones.Lodos

Tubera deperforacin

Lp (m)

' r (rpm)

El mecanismo rotatorio puede ser de dos clases: una mesa rotatoria o el denominado top drive. El motor elctrico puede ser de corriente continua o alterna (CD o CA).

El comportamiento torsional de una sarta de per- foracin convencional se puede modelar de forma simplificada a travs de un pndulo torsional simple que es movido por un motor elctrico y que est su- jeto a una friccin seca. Distintos modelos de este tipo han sido propuestos en la literatura (Abbassian y Dunayevsky, 1998; Brett, 1992; Jansen y van denAparejo de fondo

Barrena

Lb(m)

Tb (Nm)

Wob

' b (rpm)

(N)

Steen, 1995; Kyllingstad y Halsey, 1988; Mihajlovicet al., 2003; Serrarens et al., 1998; van de Vrande et al., 1999).

El modelo que en esta seccin se presenta se corres- ponde con el modelo mecnico presentado en la Fig.4. En el mismo, se consideran las siguientes suposi-ciones: (i) tanto el pozo como la sarta son verticales; (ii) no existe movimiento lateral de la barrena; (iii)Figura 3. Elementos ms importantes de una sarta deperforacin vertical convencional.

2. MODELADO DEL COMPORTAMIENTO DE UNA SARTA DE PERFORACIN

En esta seccin se tratan dos problemas: (i) modela- do de una sarta de perforacin orientado al estudio del comportamiento torsional; el modelo integrar los elementos bsicos de la perforacin mostrados en la Fig. 3; (ii) modelado de la interaccin barrena/roca, normalmente descrito a travs de fuerzas de friccin, en nuestro caso, mediante un modelo de friccin seca.

la velocidad angular del mecanismo rotatorio de la superficie es no negativa, es decir, no puede girar hacia atrs; (iv) la friccin entre las tuberas y el pozo y entre las tuberas es despreciada; (v) la accin de los lodos de perforacin se simplifica a travs de una fric- cin viscosa en la barrena; (vi) el movimiento de los fludos de perforacin se considera laminar (es decir, sin turbulencias); (vii) no se considera la dinmica del motor; (viii) el WOB es constante.

Teniendo en cuenta el esquema de la Fig. 4, a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema, se derivan las ecuaciones del movimiento torsional de una sarta simplificada:

2.1 Modelo para el comportamiento torsional

Una sarta de perforacin est formada por el llamado

Jr r + ct ( r b) + kt ( r b) = Tm Tr ( r )Jb b ct ( r b) kt ( r b) = Tb(x)

(1)aparejo de fondo y una serie de tuberas de perforacin enroscadas unas a otras para formar una tubera de mayor longitud (ver Fig. 3). El aparejo de fondo (bottom-hole assembly, BHA, en ingls) contiene la herramienta de corte o barrena, los estabilizadores (al menos dos), cuya funcin es compensar el desbalance de la sarta, y una serie de elementos relativamente pesados denominados lastrabarrenas. Normalmente, las sartas tienen justo encima del aparejo de fondo una tubera extra pesada (con el fin de mantener la estabilidad de la herramienta en el fondo del pozo). La longitud del aparejo de fondo es fija (Lb ), en cambio la longitud de las tuberas se incrementa a medida que

donde: x = ( r , r , b , b )T es el vector de estados del sistema con r y b los desplazamientos angularesdel mecanismo rotatorio de la superficie y del aparejo de fondo, respectivamente. Se considera r 0. kt yct son los coeficientes de rigidez y amortiguamiento torsionales asociados a las tuberas que componen la

Tar + Tfrla perforacin avanza y puede alcanzar varios kil- metros (Lp ). Un elemento esencial en la perforacin son los lodos o fludos de perforacin, los cuales se introducen en el pozo a travs de las tuberas y se recirculan a la superficie por el espacio anular (espacio entre las tuberas y las paredes del pozo). Los lodos de perforacin proporcionan presin hidrosttica para estabilizar el pozo, adems, limpian, enfran y lubri-

kt c t

Tab + Tf bcan la barrena. La sarta gira gracias a la accin de un motor elctrico situado en la superficie del pozo.

Figura 4. Modelo mecnico que describe el compor-tamiento torsional de una sarta genrica.sarta, Jr es el momento de inercia torsional equiva-

b(1) (2)lente del mecanismo rotatorio de la superficie, Jb esel momento de inercia torsional de las tuberas deperforacin y del aparejo de fondo. Normalmente, Jb

TfTsb

TsbT

Tf

bTransicinde atascamiento a deslizamientose considera como la suma de la inercia del aparejo de fondo ms un tercio de la inercia de las tuberas de perforacin (Brett, 1992). Tm es el par dado por elmotor elctrico situado en la superficie, se considerar

Tc b

b Tcb

' b

cb2D v

bb Tc

' b

Tm = kmu; u ser una de las entradas de control del sis- tema y km > 0 es la constante del motor. Tr , Tb son los

Ts

Transicinde atascamiento a deslizamiento

Tspares asociadas a las inercias Jr y Jb , respectivamente, y toman la siguiente forma:Tr ( r ) = Tar ( r ) + Tfr ( r ) (2a)Tb (x) = Tab ( b ) + Tfb (x) (2b)Tfr es el par de friccin seca asociado a la inercia Jr . Se considera como una funcin exponencial dependiente de la velocidad angular:

r r

Figura 5. Friccin en la barrena: (1) modelo clsico de friccin seca; (2) modelo conmutado de friccin con una variacin del modelo de friccin de Karnopp.

2.2 Modelado de la interaccin roca/barrena

La interaccin roca/barrena se modela mediante Tfb y se simplifica a travs de considerar Tfb como una friccin seca. Tfb se propone como una variacin deTfr ( r ) = Tcr + (Tsr Tcr )e

(3)

la friccin de Stribeck ms el modelo de friccin es-con Tsr > 0, 0 < Tcr < Tsr los pares de friccin es- ttica y de Coulomb, respectivamente, asociados a la inercia Jr . 0 < r < 1 es una constante que define la velocidad de decrecimiento de Tfr . Tar es el par de amortiguamiento viscoso asociado a la inercia Jr y se corresponde con la lubricacin de los elementos mecnicos del sistema rotatorio superior y tiene la

ttica (Armstrong-Hlouvry et al., 1994). El modelo de friccin seca, o sea, el carcter multivaluado de Tfb cuando b = 0, se aproxima mediante una com- binacin del modelo conmutado propuesto en (Leineet al., 1998) y el modelo de friccin seca en el que se introduce una banda de velocidad cero (modelo de Karnopp (Karnopp, 1985)), es decir:forma:

T (x) si | | < D , |T

| T

ebTar = car r (4)

con car el coeficiente de amortiguamiento torsional.

b v eb sb(atascamiento)Ts sgn(Te (x)) si | b | < Dv , |Te | > TsPor otra parte, Tab es el par de amortiguamiento vis-

Tf (x) = b b b bcoso asociado al contacto de la barrena (Jb) con la formacin rocosa. Este par aproxima la influencia del movimiento de los fludos de perforacin en el comportamiento de la barrena. Se supone que dicho movimiento es laminar, por tanto, se tiene para Tab unarelacin lineal con la velocidad:

b

donde:

fb (

(transicin atasc. a desl.)b )sgn( b ) si | b | Dv(deslizamiento)(8)Tab = cab b (5)

El par de friccin seca asociado a la inercia Jb queda denotado por Tfb (x) y se define en la siguiente seccin.

El sistema (1) se puede reescribir como:

x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) + Tf (x) (6)donde, A y B son matrices constantes dependientes de los parmetros fsicos del sistema:

Dv > 0: define un entorno de b = 0 lo suficiente-mente pequeo.Teb (x): par de reaccin, es el par que debe superar el par de friccin esttica Tsb para que la barrena se mueva. Tiene la siguiente forma:Teb (x) = ct ( r b) + kt ( r b) Tab ( b ) (9)Wob > 0: peso en la barrena. Es la segunda entrada de control, que de momento, se considera constante.Tsb : par de friccin esttica asociado a la inercia Jb 0 1 0 0

cuya expresin es,kt

A = Jr

ct + car ktJr Jr

ctJr

Tsb = sbWobRb (10) 0 0 0 1

con Rb > 0 el radio de la barrena.

ktJb

ct kt

Jb Jb

ct + cab Jb

(7)

fb ( b ) = Rb b ( b )Wob .

hb ( b ): coeficiente de friccin seca en la barrena de- 0 km

0 Tfr ( r )

pendiente de la velocidad de rotacin, considerado como,B = Jr

, Tf (x) =

Jr

b | b |

0

0

b ( b ) =

cb + (

sb

cb )e

i (11)0 Tfb (x) Jb

con

sb ,

cb los coeficientes de friccin esttica yde Coulomb asociados a la inercia Jb y 0 < b < 1una constante. Ntese que b( b ), sb , cb (0, 1) y sb > cb . La Fig. 5.2 muestra la forma de Tfb que se puede comparar con el modelo de friccin secaclsico dado en la Fig. 5.1. Se concluye, por tanto, que el par de friccin seca Tfb para b > 0 vara entre Tsb = sbWobRb y Tcb = cbWob Rb. De aqu en adelante, se considerar r = b = .

La forma exponencial de la friccin para la fase de deslizamiento coincide con valores de pares de friccin recogidos en experimentos de campo y es- t inspirada en los modelos dados en (Abbassian y Dunayevsky, 1998; Brett, 1992; Pavone y Desplans,1994; Richard, 2001).

3. ANLISIS DEL MODELO TORSIONAL

El anlisis de los conjuntos de puntos de equilibrio del sistema y las condiciones de estabilidad de los mismos ayuda a identificar los parmetros determinantes en el comportamiento dinmico de la sarta. En nuestro caso, se identifican la velocidad en estado estacionario del mecanismo superior, el Wob y el par u.

Con el fin de reducir la dimensin del sistema, se define = r b, con lo cual, se tiene como nuevo vector de estados x = ( r , , b )T y el sistema quedacomo:x (t ) = Ax(t ) + Bu(t ) + T

Aunque el modelo resultante es una simplificacin del comportamiento de la sarta de perforacin, captura los fenmenos ms importantes, de forma cualitativa,que estn asociados al fenmeno de atascamiento-

con:

ct + carJr

kt Jr

f (x ) (12)

ct

Jr

deslizamiento. El modelo puede ser un buen punto de

A =

1 0 1

partida para el anlisis de los fenmenos aparecidos.

ct

Jb

kt ct + cab

Jb Jb

(13)

2.3 Problemas asociados a la validacin del modelo

km

Tfr ( r ) JrB = Jr

, T (x ) = 0

El siguiente paso una vez que se ha obtenido un mode- lo de la sarta que describa los fenmenos vibratorios es el de la validacin del modelo a travs de datos de

0 f0

f T b (x ) Jbcampo. Para ello, se deben resolver los problemas de la medicin de las variables del aparejo de fondo y la deteccin del atascamiento de la barrena.

Existen distintos mtodos para estimar los parmetros

Considrese el sistema (12)-(13) con Tfr y Tfb definidaspor (3) y (8), respectivamente. En el equilibrio, se tiene que r = b = , con 0, por lo tanto, se

obtienen dos conjuntos de puntos de equilibrio:del aparejo de fondo (como b y Wob), por ejemplo,

(i) r = b = = 0: x = (0, , 0)

E0, con u = u =Ts Ts

TTs +Tslos usados junto con el sistema TRAFOR diseado enel Institut Franais du Ptrole (Perreau et al., 1998).

ct e. satisfaciendo

r b b

ukm km

r , y:Adems, se tienen diversos mtodos para predecir el

E0 = x 3 :

Tsb Tsb ,

, r

= b

= 0 atascamiento de la sarta, ver, por ejemplo, la patente k k(Whitten, 1993).

En la medicin y estimacin de parmetros de per- foracin, el principal problema es elegir si el sistema

(ii) r = b = , > 0: con x = ( , , )T un nicopunto de equilibrio solucin del siguiente conjuntode ecuaciones:de medida estar en la superficie o en el aparejo defondo. Los sistemas que proporcionan mayores venta-

1

k= (cabt

+ T fb ( )

(14)jas son los que combinan las medidas en la superficie y en el fondo del pozo (Macpherson et al., 2001). La principal ventaja de usar un sistema de medida de parmetros del aparejo de fondo en la superficie es la alta velocidad de transmisin de datos. Su mayor

kmu (car + cab ) T fb ( ) T fr ( ) = 0satisfaciendo:Tsb + Tsr

ku >m

(15)desventaja es que debido a que el sistema de medida est lejos del punto donde se producen las vibraciones y otras variables, stas pueden ser atenuadas. Es por

con:

T fr ( ) > 0, T fb ( ) > 0, > 0 (16)

hello que los sistemas de medida en el aparejo de fondo

T fr ( ) = Tcr + (Tsr Tcr )e

(17)son preferidos a los de la superficie, y se denominansistemas MWD (Measure While Drilling) (Close et

T fb ( ) = Wob

Rb cb + (

sb

icb )eal., 1988).

Con el uso comercial de avanzadas herramientas MWD, se introduce en la perforacin el concepto de control de vibraciones en lazo cerrado, refirindose con este trmino al sistema de monitoreo que da in- formacin al perforador y le permite modificar los parmetros de perforacin en tiempo real.

La siguiente proposicin da una serie de condiciones para la estabilidad local de los puntos de equilibrio del sistema en el caso de tener > 0, que es la situacin deseada.

Proposicin 1. Sea el sistema (12)-(13) con Tfr y Tfbdefinidas por (3) y (8), respectivamente. Considrese> 0 y u = u con u una constante que satisface (15).' r = t K

+8

u + SARTA

' r 'r2

00

25 2050 15

; Ki ++- Kd

8+ x = Ax + Bu ;Wob (N)

75100

10 Zona estable5

Figura 7. Esquema de una sarta de perforacin con una0 (rad=s)

Figura 6. Coeficientes a2, a0, b1 derivados del crite- rio de Routh-Hurwitz al ser aplicado al sistemalinealizado en torno al punto de equilibrio x =( , , )T , con > 0.Entonces, para cualquier Wob > 0 existe una tal que

accin de control PID en la parte superior.lacin), (ii) reducir las oscilaciones de atascamiento- deslizamiento (anlisis de la discontinuidad a veloci- dad cero en la friccin de la barrena). En esta seccin se analizan dichos problemas. El problema del control de las velocidades superior y de la barrena se plantea de forma independiente.> y el punto de equilibrio que satisface (14) eslocalmente asintticamente estable.

Demostracin La estabilidad del punto de equilibrio que satisface (14)-(17) se puede analizar de forma local a travs de los autovalores del jacobiano del sis-tema en x = ( , , )T . Dichos autovalores quedandefinidos por:

3 + a2 2 + a1 + a0 = 0 con:1

4.1 Mantenimiento de una velocidad constante en la superficie y en la barrena

En esta seccin, al modelo de la sarta presentado en la Seccin 2 se le integra en la parte superior una accin de control lineal del tipo proporcional- derivativa-integral (PID) o proporcional-integral (PI) con el fin de mantener la velocidad en la superficie constante. El objetivo de esta accin de control no es la de suprimir las oscilaciones de atascamiento- deslizamiento.a2 =

J Jb r1a1 =

J Jb r

(car + ct )Jb + (cab + ct + db)Jr

cab (car + ct ) + car (ct + db)+

La velocidad del mecanismo rotatorio superior se puede regular a travs del par suministrado por el mo- tor. Esto se puede introducir en el modelo (1) a travs+ct (dr + db) + (Jb + Jr )kt ]a = kt (c + c + d + d )0 Jb Jr ab ar r bdr = (Tsr Tcr )e

db = WobRb ( sb cb )e

Mediante el criterio de Routh-Hurwitz podemos ase- gurar que el punto de equilibrio es asintticamente estable de forma local si las races de la ecuacin ca- racterstica tienen parte real negativa, es decir, cuando:

aa2 > 0, a0 > 0 y b1 = a1 a0 > 0. Si se considera que2los parmetros del sistema son fijos excepto la veloci-

de Tm . En dicho modelo no se considera la dinmica del motor. Un punto de partida en el diseo es asumirque pares arbitrarios Tm se pueden aplicar sin tener en cuenta la dinmica que los generan.

Considrese como salida del sistema el desplazamien- to angular del mecanismo rotatorio superior, es decir,y = r y como seal de error e = t r . El controlu sobre el sistema (6)-(7) se puede proponer como uncontrolador PID de la siguiente manera:u(t ) = Kp ( t r (t )) + Kd ( r (t )) + Ki r(t ) (18)con > 0 la velocidad de referencia,tdad y el Wob, se llega a la conclusin de que los co- eficientes a2, a0, b1 son positivos para Wob reducidos

r(t ) = Zt0

( r ( ))d ,o para cualquier Wob > 0 y velocidades > . Enla Fig. 6 queda reflejado este hecho. En dicha figurase representan los coeficientes a2, a0, b1 obtenidos al variar el Wob y .

4. PROBLEMAS DE CONTROL ASOCIADOS Los problemas de control asociados a la dinmicapresentada de la sarta de perforacin son los siguien- tes: (i) mantener la velocidad del mecanismo rota- torio de la superficie constante (problema de regu-

y Kp > 0, Kd > 0, Ki > 0, t0 > 0. Este control hace elpapel de un absorbedor de vibraciones amortiguado,es decir, como si un sistema virtual de masa-resorte- amortiguador se hubiera incorporado al extremo supe- rior de la sarta. Adems, se supone que el control u es acotado, por lo tanto, se satura a un valor umax > 0, o sea,|u| umax (19)

A continuacin, se analiza la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado.

Considrese el sistema (6)-(7) con u definido por (18)y el nuevo vector de estados x = ( r , r , b , b , r)T =(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )T . Dicho sistema tiene como puntos de equilibrio:

x1 = t

y> 0, se puede analizar a partir de los autovalores del jacobiano de (22) particularizado para dicho punto de equilibrio, que tiene la forma:

b (x ) x2 = x4 = 0

0 1 0 0 0

4 =x3 = t

Tf x 0

(20)

ktJ21 J22 Jr

ct kmKi

Jr Jr

kt J = 0 0 0 1 0

(24)

Tf 1

ix4 =0mx5 = K k

h b (x )

+ Tsr Kd km i

kt

J Jb

ct ktb Jb

J44 0

f ( )con T x b x4 =0

[Tsb , Tsb ]. Si se define un nuevo

1 0 0 0 0vector de estados como z = (z1 , z2 , z3 , z4 , z5 )T con:zi = xi xi , i {1, 2, . . . , 5} (21)se obtiene el sistema:z1 = z2

donde:

J21 =

J22 =

kt + kmKpJrct + car + kmKdJr

+ drkt ct + car kt ct

ct + cab + dbz2 = J (z1 + x1 )

J z2 + J (z3 + x3) + J z4 +

J44 = r r r r Jbkm K ( t z

x ) + K ( z )+

con:+ Jr p

1 1 d 2

dr = (Tsr Tcr )e +Ki (z5 + x5 )

Tfr (z2 )Jr

db = WobRb ( sb

cb )ez3 = z4 kt ct kt

ct + cab

Considerando Tf

= T ben (23), para cada T bbff0 0 0z4 =

Jb

(z1 + x1 ) +

JbTfb (z)Jb

z2

Jb

(z3 + x3 ) z4

Jb

[Tsb , Tsb ] se puede asegurar que los autovalores de(24) tienen parte real negativa, a partir del criterio deRouth-Hurwitz y siguiendo este procedimiento:

(i) Fijar los valores del peso en la barrena y de talesz5 = t (z1 + x1)

Los puntos de equilibrio de (22) son:

z1 = 0z2 = z4 =

(22)

que > con y Wob que aseguren la estabili-dad de los puntos de equilibrio del sistema (12)-(13)considerando una u = u fija. Ver Proposicin 1.(ii) Fijar el valor de Kd a travs del primer coefi- ciente a evaluar involucrado en el criterio de Routh- Hurwitz (a4) que aparece en la ecuacin caracters-1 h i

tica que define los autovalores asociados a J (24):z3 =

kt1

Tfb T fb cab

0

(23)

5 + a4 4 + a3 3 + a2 2 + a1 + a0 = 0

imz5 = K k

(cab + car + Kd km) + T fb + T fr

da4 es positivo si Kd

> K, con:

0(Tsr + Tfb )

K = 1

( ct + ca

d)Jb

+ (ct + ca

b)Jr +

con:

d Jbkm r b

bTf0

= fb ( )T z z4=0

+ e Jb (Tcr Tsr ) + JrWobRb ( c

sb )

z2 =T fr = Tfr (z)

, T fb = Tfb (z)

(iii) Con , Wob, Kd > K, la estabilidad local de los

bTf0

[Tsb , Tsb ]

puntos de equilibrio (23) se asegura si Kp > 0 y

z4 =Ki > 0.Si se considera > 0, se tiene que T fr y T fb tienen laforma dada en (17).

Proposicin 2. Sea el sistema (22) con > 0. Con-

En cuanto a la consideracin de un control saturado, consultar (Surez y lvarez, 1995) para un estudiosidrese una constante T

[Ts , Ts ]. El punto defb0 b b

detallado de sistemas realimentados que incluyen una

bequilibrio dado por (23) y Tf0

= Tfb , Tfb

es lo-

saturacin en el control.

00calmente asintticamente estable para un y un Wobsi Kp > 0, Kd > K, Ki > 0, con K una constante

Ntese que al regular la velocidad de la superficie ald d valor deseado , se consigue de forma indirecta, quedependiente de los parmetros fsicos del sistema.

Demostracin La estabilidad de forma local de los

la velocidad de la barrena tambin sea , por la forma de los puntos de equilibrio.

Una variacin del controlador PID propuesto arriba

bpuntos de equilibrio del sistema (22) con Tf0

= Tf

b0

es la introduccin de un controlador PI considerando

Velocidades (rad/s)Velocidades (rad/s)(1) (2)

Par barrena (Nm)

Velocidad barrena (rad/s)

Tiempo (s) Tiempo (s)(3) (4)

Par Barrena (Nm)Velocidades (rad/s)Tiempo (s) Tiempo (s)

Figura 8. Simulaciones del modelo (6)-(7) con (8)y (18) sujeto a (19): (1) r , b con Tbversus b en el grfico ms pequeo, usando= 17 rad/s, Wob = 100 N; (2) r , b con= 16 rad/s, Wob = 100 N; (3) Tb versus tiempo para la situacin dada en (2); (4) r , bcon = 16 rad/s, Wob = 14.72 N.como salida la velocidad angular del mecanismo rota- torio superior, o sea, y = r . En este caso la seal deerror a considerar es e = r . El control u tiene,entonces, la siguiente forma:u(t ) = Kp ( r (t )) + Ki s(t ) (25)con,t

Ntese que cuando aparecen las oscilaciones de atascamiento-deslizamiento, se tienen importantes fluc- tuaciones de par, un fenmeno que es sealado en pozos reales (Brett, 1992; Chen et al., 2002; Hen- neuse, 1998; Kriesels et al., 1999; Perreau et al.,1998), ver Fig. 8.3. El control u tambin presenta un comportamiento oscilatorio cuando el fenmeno de atascamiento-deslizamiento aparece.

Para obtener las grficas de la Fig. 8 se han usado los siguientes valores de los parmetros del modelo: Jr =0.518 kg m2, Jb = 0.0318kg m2, car = 0.18 N m s/rad,ct = 0.0001 N m s/rad, cab = 0.03 N m s/rad, kt =0.073 N m/rad, Rb =0.1 m, cb = 0.5, sb = 0.8, Tsr =1 N m, Tcr = 0.5 N m, km = 1, Dv = 106, r = b = 0.9,umax = 20 N m, Kp = 3, Kd = 10, Ki = 4. Las iner-cias y los coeficientes de rigidez y amortiguamientotorsionales corresponden a un modelo de una sarta a escala presentado en (Mihajlovic et al., 2003). Aunque dichos valores no se correspondan con valores de pa- rmetros reales, pueden usarse para describir el com- portamiento de la sarta en trminos generales.

Por ltimo, cabe destacar que debido a que el sistema es subactuado, la velocidad de la barrena se debe controlar de forma indirecta a travs de los parmetros de la superficie o a travs de la manipulacin de otros parmetros de perforacin, principalmente el Wob .

Al problema de las oscilaciones de atascamiento- deslizamiento viene asociado el anlisis de la discon- tinuidad dada por la friccin en la barrena y el estudiode la aparicin de dichos ciclos lmite dependiendo des(t ) = Zt0

( r ( ))d ,

las condiciones de operacin, como: la longitud de la sarta (que aumenta a medida que aumenta la profun-Los resultados son anlogos a los dados para el controlPID con una adecuada eleccin de los parmetros del controlador.

4.2 Reduccin de las oscilaciones de atascamiento--deslizamiento

didad del pozo), caractersticas de la barrena, WOB, velocidad de rotacin, par aplicado, coeficientes de friccin, y propiedades de los lodos de perforacin (en nuestro modelo, simplificadas en el coeficiente de amortiguamiento cab ).

El modelo resultante de la sarta considerando el con- trol u definido por la accin de control PID (18) se representa en la Fig. 7. Este modelo, aunque es sim- plificado, captura los fenmenos ms relevantes del comportamiento torsional de la sarta, principalmente, la aparicin de las oscilaciones de atascamiento-

odeslizamiento dependiendo de determinadas condi- o12ciones de operacin, dadas por los valores de la ve-locidad en la parte superior de la sarta ( ) y el WOB. El incremento de y el descenso del WOB hace que dichas oscilaciones desaparezcan, esto queda reflejado en la Fig. 8. Se puede asegurar un rango de valoresde y de Wob para los que aseguremos que el estado

' r (rad=s)

i2i3 i40

i1

o3 o40

'r 'b (rad)estacionario del sistema es un punto de equilibrio lo- calmente asintticamente estable (ver Proposicin 1). Tambin se pueden proponer unos valores adecuados de los parmetros del controlador para asegurar que los puntos de equilibrio del sistema controlado sean asintticamente estables (ver Proposicin 2).

Figura 9. Trayectorias del sistema (1)-(8) en el es- pacio de estados ( r , r b , b ). Se muestranlos puntos de retorno por donde las trayectorias del sistema entran (i) y salen (o) de la regin de atascamiento donde b = 0. Se consideran los primeros 40 puntos de entrada y de salida.Bajo ciertas condiciones de operacin, en el sistema aparece una rbita peridica para cada Wob y u cons- tantes, ver Fig. 9. Existe una superficie de atascamien- to (regin donde b = 0) que se puede considerarcomo un hiperplano de conmutacin del sistema S 2 que tiene la siguiente forma:

nipulacin de algunos parmetros relacionados con el comportamiento de la parte inferior de la sarta (el WOB) o la inclusin de dispositivos adicionales en el aparejo de fondo. Estas dos soluciones han sido evaluadas en (Navarro-Lpez y Surez, 2004) sobre un modelo dinmico de la sarta, y se ha comprobadosu efectividad en la reduccin de la aparicin de las

bbS = ( r , , ) 3 :

con Tsb = Wob Rb sb .

= 0, |ct

r + kt

| Tsb

vibraciones de atascamiento-deslizamiento. A conti- nuacin, se exponen las ideas bsicas de estos dos en- foques propuestos en (Navarro-Lpez y Surez, 2004).Las soluciones ms comnmente usadas en campo para la reduccin del fenmeno de atascamiento-

La manipulacin del peso en la barrena se puede modelar de la siguiente manera:deslizamiento son: el aumento de la velocidad de

Wo b

w b obrotacin, el descenso del WOB (como se comprob

b ( ) = K

| | + W

0 (26)en la seccin anterior a travs de simulaciones del modelo) o la modificacin de las caractersticas de los lodos de perforacin (Sananikone et al., 1992). Algu- nas metodologas de control ms efectivas se han pro- puesto para la solucin de este problema, las cuales, bsicamente, manipulan el par aplicado en la parte superior de la sarta. Se destacan las siguientes:

1. Introduccin de una retroalimentacin del par en la parte superior de la sarta, el denomi- nado soft torque rotary system, (Halsey et al., 1988; Sananikone et al., 1992), que tiene como objetivo de control la reduccin de las fluctuaciones de par. Este sistema ha sido in- corporado por Shell en distintos pozos, consi- guiendo una reduccin considerable de las fluc- tuaciones del par de torsin en la superficie y la aparicin del fenmeno de atascamiento- deslizamiento (Javanmardi y Gaspard, 1992).2. Introduccin de un absorbedor de vibraciones en la parte superior de la mesa rotatoria (Jansen y van den Steen, 1995), enfoque similar al pro- puesto en (Halsey et al., 1988; Sananikone et al., 1992).3. Introduccin de un controlador PID en la superfi- cie para regular la velocidad de la parte superior de la sarta (Pavone y Desplans, 1994).

Una metodologa de control ms sofisticada se plantea en (Serrarens et al., 1998), donde un control lineal H se usa para eliminar las oscilaciones de atascamiento- deslizamiento en la barrena. En este trabajo no se plantea la factibilidad de aplicacin real del contro- lador. Ejemplos de trabajos relacionados con la elimi- nacin del fenmeno de atascamiento-deslizamiento en sistemas mecnicos, cuyas metodologas podran ser aplicables al sistema de la sarta son (Armstrong- Hlouvry et al., 1994; Dupont, 1994; Southward et al., 1991; Yang y Tomizuka, 1988)

Bajo ciertas condiciones de operacin, el hecho de manipular las propiedades elctricas del motor de la parte superior de la sarta, y en consecuencia, el par aplicado por dicho motor puede que no reduzca el fenmeno de atascamiento-deslizamiento en la barre- na. Es por ello que otro tipo de soluciones a dicho problema deben ser planteadas, por ejemplo, la ma-

con Wob0 > 0 and Wob Wob0 . La expresin (26)captura dos caractersticas importantes del WOB: (i)si b decrece, Wob debe decrecer; (ii) el WOB debe mantenerse mayor que un valor mnimo Wob0 con el fin de garantizar que se est avanzando en la perforacin.

Otra estrategia para reducir la aparicin de oscila- ciones de atascamiento-deslizamiento en el aparejo de fondo es el incremento del amortiguamiento en el extremo inferior de la sarta. Esto se puede hacer, prin- cipalmente, de dos maneras: (i) modificando las carac- tersticas de los fludos de perforacin (que puede ser aproximado mediante el incremento del coeficiente de amortiguamiento cab ); esta solucin no es factible enalgunos casos y supone un coste elevado; (ii) intro-ducir algn dispositivo mecnico en el aparejo de fon- do. Esta segunda opcin se puede llevar a la prctica mediante la introduccin de los llamados shock subs, o absorbedores de vibraciones incorporados encima de la barrena. Este dispositivo se puede aproximar mediante un resorte y un amortiguador conectados al aparejo de fondo, el cual tiene el efecto de un ab- sorbedor amortiguado de vibraciones. La inercia del absobedor de vibraciones se incorpora a la inercia Jb . El par suministrado por el absorbedor es el siguiente: Tsub(x) = ka ( r b) + ca( r b) (27)con ka y ca los coeficientes de rigidez y amor- tiguamiento torsionales asociados al absorbedor y que dependen de las caractersticas del material. El com- portamientode la barrena depender en gran medida de los parmetros ka y ca . Si ka y ca son pequeos, las oscilaciones de atascamiento-deslizamiento no se reducirn. Cuanto mayores sean ka y ca , menor ser el tiempo en que la barrena permanece atascada, de hecho, si ka y ca fueran lo suficientemente grandes, la barrena nunca se atascara. Sin embargo, existen limi- taciones para los valores de los parmetros sealados. stos dependen de las caractersticas del material y tienen un rango de valores vlidos.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se han planteado desde el punto de vista dinmico y de control automtico algunos de losobjetivos del proceso de perforacin. Esto se ha hecho a travs del modelado del comportamiento torsional de una sarta de perforacin y de sus interacciones con el pozo de forma simplificada. Sobre dicho modelo se han planteado problemas de anlisis y de control a resolver, siempre intentando interpretar los resultados desde el punto de vista prctico y teniendo en cuenta las experiencias del perforador.

6. AGRADECIMIENTOS Agradecemos a Julien Cabillic (Institut Franais deMcanique Avance) por sus correcciones y mejo- ras hechas en el modelo mecnico de la sarta. Este trabajo ha sido apoyado parcialmente por el proyec- to CONACYT, ref. 35989-A y el proyecto del IMP D.00222.02.002.

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Apndice A. DESCRIPCIN DE VARIABLES Y PARMETROS

r : desplazamiento angular del mecanismo rotatorio de la superficie (rad).

b : delplazamiento angular del aparejo de fondo(rad).

Tm: par dado por el motor elctrico situado en la superficie (N m).

km: constante del motor DC de la superficie.

u: entrada de control (N m).

Jr : momento de inercia torsional equivalente del me- canismo rotatorio de la superficie (kg m2 ).

Jb : momento de inercia torsional de las tuberas de perforacin y del aparejo de fondo (kg m2 ).

Tr : par asociado a la inercia Jr (N m).

Tb : par asociado a la inercia Jb (N m).

kt : coeficiente de rigidez torsional asociado a las tu- beras que componen la sarta (N m/rad).

ct : coeficiente de amortiguamiento torsional asociado a las tuberas que componen la sarta (N m s/rad).

Tfr : par de friccin seca asociado a la inercia Jr (N m).Tsr , Tcr : pares de friccin esttica y de Coulomb aso- ciados a la inercia Jr (N m).

Tar : par de amortiguamiento viscoso asociado a la inercia Jr (N m).

Tab : par de amortiguamiento viscoso asociado al con- tacto de la barrena con la formacin rocosa (N m).

car , cab : coeficientes de amortiguamiento torsional asociados a Jr y Jb (N m s/rad).

Tfb : par de friccin seca asociado a la inercia Jb (N m).Teb : par externo aplicado que debe superar el par de friccin esttica para que la barrena se mueva (N m).

Tsb , Tcb : pares de friccin esttica y de Coulomb aso- ciados a la inercia Jb (N m).

Wob: peso en la barrena (N).

Rb : radio de la barrena (m).

b : coeficiente de friccin seca en la barrena depen- diente de la velocidad de rotacin.

sb , cb : coeficientes de friccin esttica y de Coulomb asociados a la inercia Jb .

Lp , Lb : longitud de las tuberas y del aparejo de fondo(m).

r , b : constantes positivas que aparecen en Tfr y b , respectivamente.

: velocidad de referencia del mecanismo rotatorio superior (rad/s).