Quaderno Tecnicodelle Strutture Reticolari Spaziali

Quando nel 1880 August Foppl pubblicò la sua Teoria dei sistemireticolari spaziali in cui - come anche in successive pubblicazioniapparse nel 1881 sulle riviste “Eisenbahn” e “SchweizerischeBauzeitung” - delineva i fondamenti teorici e pratici delle strutture,spaziali, certo non prevedeva che, solo molti decenni dopo, e pra-ticamente solo ai nostri giorni, quelle intuizioni teorico-praticheavrebbero avuto il giusto riconoscimento da parte degli operatoridel settore delle costruzioni. Solo oggi, infatti, si è riusciti a coniu-gare insieme la tecnologia e la scienza, da un lato, con l’econo-mia di mercato e il profitto dall’altro. Ciò si è verificato per l’avven-to di nuovi procedimenti nella produzione di sistemi spaziali, perle nuove tecniche nella produzione dei collegamenti nodali, per lasistemazione scientifica di nuovi codici di calcolo e di verifica con-nessi all’ evoluzione delle capacità degli elaboratori elettronici. E’del 1891 l’opera del Foppl “Das Fachwerk in Raume” che, scrittadopo il crollo del ponte di Birs, presso Monchestein, getta le basiscientifiche e tecnologiche delle strutture spaziali in acciaio. Nel1892 Foppl un testo dettagliato del suo tipo di volta a botte irrigi-dita, influenzando il successivo sviluppo dei sistemi tridimensiona-li. La struttura originale, rifiutata dall’Ufficio Brevetti tedesco nel1890, consiste in una serie di travi reticolari disposte nel sensodella lunghezza della volta a botte, e poggiate agli estremi su travio pareti. Pochi anni più tardi Robert Le Ricolais, noto ingegnerefrancese, fu il primo ad intuire le possibilità potenziali dei reticolia doppio strato, dimostrando che simili forme possono essereriscontrate in alcune strutture che la natura costruisce in manieratale che le forze interne agiscano sempre nella direzione del mini-

mo sforzo. A tal propositorimangono tutt’oggi affascinantii disegni degli sceletri di alcunianimali marini osservati almiscroscopio che il darwinianoErnst Heinrich Haeckel ci ha tra-mandato da oltre cento anni.Anche in campo biologico visono moltissimi esempi di strut-ture molecolari basate su geo-metrie spaziali elementari .Può apparire sorprendente chel’acqua possiede una strutturache regola nello spazio le com-binazioni degli atomi di ossige-no e di idrogeno: “ciò è moltoimportante, perchè è proprioda questa che derivano moltedelle sue proprietà fondamenta-li per la vita” (Giovanni Parisi -Propedeutica Biologica).La stes-sa struttura molecolare dell’ac-ciaio presenta una disposizionedegli atomi di ferro e carbonio

secondo un ordine tridimensionale. Gli anni a cavallo dei duesecoli sono un fermento di invenzioni ed innovazioni tecnologiche:l’Esposizione Universale di Parigi ha innescato il grande cambia-mento. In questa atmosfera di modernità e di ricerca AlexanderGraham Bell si fa ritrarre con i suoi pioneristici prototipi di model-li di intelaiature per aerei, basati sul tetraedro, introducendo i primicollegamenti asta -nodo, lontano dall’immaginare che al giornod’oggi sono stati depositati brevetti per oltre cento sistemi per strut-ture reticolari spaziali. Un grande contributo alla prefabbricazioneindustriale ed in particolare alle strutture tridimensionali è statodato, a partire dagli anni ‘50, da Richard Buckmister Fuller, uomodi grande ingegno, in quanto, alla ricerca semplifcativa delle cupo-le geodetiche di sua invenzione, si associano universali concettiscientifici, filosofici, pratici e teorici, scaturiti dalla sua immensasensibilità. In questi ultimi decenni moltissmo interesse è stato rivol-to alle strutture spaziali da parte dei più famosi architetti e studio-si: sono della metà degli anni ‘60 gli studi condotti da KonradWachsmann presso l’Università del Sud California su nuovi sistemidi giuntaggio e la loro applicazione alle geometrie fondamentali.Max Mengeringhausen è l’ideatore del nodo Mero-Trigonal, anco-ra oggi tra i sistemi più commercializzati al mondo.Svariate struttu-re sono state realizzate con il sistema Spherobat, inventato dalfrancese Stephane Du Chateau.Un valido e fondamentale contributo viene da molti anni dato dalDipartimento di Ingegneria Civile dell’Università di Surrey, direttoda Z.S. Makowsky: dal 1966 sono state organizzate dal Centro diRicerca sulle Strutture Spaziali di Guildford (UK) ben quattroConferenze Internazionali.E’ del recente Settembre 1995 l’ultimo Simposio organizzatodall’IASS, l’Associazione Internazionale Strutture Spaziali.

II vantaggi di una struttura reticolare spaziale costituitadall’assembleggio di elementi tetraedici,si possono riassumere nei seguenti punti:

• la definizione, attraverso un modello semplice (tetraedo di aste),dell’elemento finito fondamentale;•la leggerezza strutturale, che si accompagna ad una quanto maiopportuna distribuzione uniforme di tensione (trazione e compres-sione) negli elementi che la compongono;• la possibilità, attesa la grande versatilità compositiva e di assem-blaggio, di realizzare accoppiamenti strutturali e geometrie cheescludano, in presenza di sisma e/o di vibrazioni, il verificarsi difenomeni di risonanza;• l’agevole e rapido montaggio con l’impiego di manodopera nonparticolarmente specializzata;• la possibilità di procedere rapidamente alla trasformazione, alrinforzo, allo smontaggio della struttura con conseguente recuperodel materiale.

Quanto innanzi esposto è anche perfettamente congruente conquanto è richiesto a strutture da realizzarsi in zona sismica. Per

INTRODUZIONE

•Coordinazione tetraedrica delle molecoledell’acqua nel ghiaccio.

•Soluzione solida interstiziale del carbonio nelferro gamma.

questo basti una semplice oservazione di fondo legata alla intrin-seca geometria della struttura reticolare spaziale. L’elemento tetrae-drico, variamente assemblato fino a formare strutture più comples-se a sviluppo verticale e orizzontale, ridisegna nello spazio l’ele-mento finito fondamentale del continuo deformabile; la semplicitàstrutturale accoppiata alla tecnologia del nodo spaziale, permettea tale tipo di strutture, di ottenere una risposta tensionale uniformerispetto a situazioni di carico costituite da forze verticali e orizzon-tali di direzione variabile. Ciò che, invece, è reso problematicocon elementi strutturali costituiti da ossature di travi e pilastri e oriz-zontamenti a solaio intrinsecamente ortotropi. Nasce da ciò anchela possibilità di una isotropia di risposta all’azione delle sollecita-zioni esterne che, unitamente alla leggerezza, pone l’orizzonta-mento costituito dal sistema tridimensionale in una ripartizionedelle forze comunque agenti sui pilastri di piano, attraverso la sem-

plice distribuzione spaziale di sforzi normali nodali. A questi aspet-ti positivi, collegati alla geometria e alla concezione strutturale delsistema, si aggiungono, poi, gli aspetti più meramente economicie pratici. Purtroppo, il sempre più crescente prevalere del profittoa svantaggio della ricerca e della qualità, ha determinato, specie,in questi ultimi anni, un sempre più crescente disinteresse da partedelle Aziende produttrici, ad eccezione di casi particolari, ad inve-stire risorse atte, mediante la sperimentazione, all’accrescimentodelle conoscenze, con il conseguente sviluppo di nuove tecnologie.L’attuale mercato richiede prodotti sempre più concorrenziali, conil risultato di opere sempre meno creative e sempre più commercia-li. Ciò dipende anche dal fatto della mancanza di strumenti idoneie di più specifici orientamenti ed informazioni che siano di aiutoai progettisti nella scelta della geometria o della tecnologia piùappropriata e conveniente, senza penalizzare forma e creatività.E’, ad esempio, paradossale che nei vari capitolati e prezzariregionali, non esistono attualmente voci di elenco e prezzi riferitea strutture reticolari spaziali che ne individuino le caratteristichestrutturali e tecnologiche.

In 1880 August Foppl published his Theory of space grid systemswhere – as well as in his following articles published in 1881 inEisenbahn and Schweizerische Bauzeitung journals – he definedthe theoretical and practical foundations of space structures.Certainly, at the time he could not imagine that many decadeslater, nowadays, his theoretical and practical intuitions would havebeen appropriately acknowledged by those working in the buil-ding trade. As a matter of fact, only today have technology andscience come together with market economy and profit. This hashappened thanks to the introduction of new processes in the pro-duction of space systems, to the new techniques employed in theproduction of truss joints, to the scientific systematization of newcalculus and test codes connected to the newly developed poten-tials of computers. Fopples’ Das Fachwerk in Raume dates back to1891. It was written after a bridge in Birs, near Monchestein, col-lapsed because of the instability of its space structure in space. Thistext laid the scientific and technological foundations of steel spacestructures. In 1892 Foppl worked out a detailed description of arigid barrel vault that influenced the subsequent development ofthree-dimensional systems. The original structure, rejected by theGerman Patent Office in 1890, consisted of beam grids arrangedalong the length of the barrel vault with the beams resting at theirextremes on pillars or walls. A few years later, Robert Le Ricolais,a well-known French engineer, was the first to perceive the poten-tial of double-layer grids, proving that such shapes can be alsofound in structures created by nature in such a way that the inter-nal forces always act in the direction of minimum stress. In thisregard, it is still captivating to observe the drawings of some mari-ne animal skeletons viewed through a microscope and drawn byErnest Heinrich Haeckel more than a-hundred years ago. Also thefield of biology offers very many examples of molecular structures

•Coordinazione tetraedrica delle molecoledell’acqua nel ghiaccio.

based on elementary space geometries.It may be surprising to know that the water structure organizes thecombinations of oxygen and hydrogen atoms in space, but “this isvery important, because it is from it [the combination] that many ofits fundamental properties allowing life derive.” (Giovanni Parisi,Biological Propaedeutics). The molecular structure of steel itselfshows a three-dimensional arrangement of iron and carbon atoms.The years straddling the two centuries were an exciting time interms of inventions and technological innovations: the UniversalExhibition in Paris had triggered a deep change. In this climate ofmodernity and research Alexander Graham Bell was portrayedwith his pioneering prototypes of plane frames based on tetrahe-dron. He introduced the first rod-node connection, even if he wasfar from imagining that about a century later more than one-hun-dred patents concerning space grids would have been issued.Starting from the 50’s, an important contribution to industrial pre-fabricated constructions and in particular to three-dimensionalstructures was given by Richard Buckmister Fuller, a man of greatintelligence, who was able to combine his simplifying research onthe geodesic domes he invented with universal scientific and philo-sophical practical and theoretical concepts derived from his immen-se sensitivity.In the last decades many of the most famous architects and scho-lars have turned their attention to space structures. In the mid-sixtiesKonrad Wachsmann carried out his studies at the University ofSouth California on new joint systems and their application in thefield of fundamental geometries. Max Mengeringhausen is thecreator of the Mero-Trigonal node, which is still one of the mostmerchandised systems in the world. The realization of several struc-

tures has been based on the Spherobat system, invented byStephane Du Chateau, a French scholar. For many years theDepartment of Civil Engineering of the University of Surrey, direc-ted by Z.S. Makowsky, has been providing a valid and fundamen-tal contribution: since 1966 the Space Structure Research Center(UK) has organized four International Conferences. The latest sym-posium organized by IASS (International Association for Shell andSpacial Structures) has taken place quite recently, in September 1995.

The advantages of a space grid system based on the assembly oftetrahedral elements can be summed up as follows:

•defining a basic finished element through a simple model (rodtetrahedron) to achieve an effective and essential representation ofmaterial continuity in space;•its structural lightness, together with an extremely appropriateuniform distribution of stress (tension and compression) in the com-posing elements;•considering the great constituent and assembly versatility, the pos-sibility to realize structural couplings and geometries that mayexclude resonance phenomena in case of earthquakes and/orvibrations;•the convenient and quick assembly using not particularly skilledlabour;•the possibility to easily transform, reinforce and disassemble thestructure, and consequently recover the material employed.

What has been said before is also perfectly coherent with the pro-perties structures intended for seismic areas are required to have.As far as this is concerned, it is enough to make an observationabout the intrinsic geometry of space grid structures. The tetrahe-dral element, variously assembled in order to form more complexvertical and horizontal structures, redesigns in space the basic fini-te element of deformable continuity; structural simplicity as well asthe technology of space truss enable this kind of structures to provi-de a uniform tensional response when loaded with variable hori-zontal and vertical forces. Instead, this uniformity cannot be achie-ved when using structural elements made of intrinsically orthotro-pous beam- and pillar-based frames and of horizontal slab floors.The above listed properties also allow an isotropic response toexternal stress; together with lightness, this puts the plane represen-ted by the three-dimensional system in a distribution of forcesanyway acting on the plane pillars through the simple space distri-bution of nodal normal stress. These positive aspects related to thegeometry and structural conception of the system are reinforced bymerely economic and practical aspects. Unfortunately, especially inrecent years, profit has more and more prevailed over researchand quality and producers have been less and less interested ininvesting in the experimentation necessary to increase knowledgeand develop new technologies. Nowadays, the market demandsmore and more competitive products and this results in less creati-ve and more commercial products. This is also due to the lack ofproper tools and specific guidance and information that may helpdesigners choose the most appropriate and convenient geometryor technology without hindering form and creativity. For example,it is paradoxical that the different regional specification and pricelists do not include items or prices related to space grid systemsdefining their structural and technological characteristics.

Le strutture reticolari spaziali sono basate su due caratteristiche fon-damentali, tra loro sinergicamente interconnesse: la geometria e laripetitività. La geometria, intesa come forma, è l’unione delle leggiche regolano le aggregazioni nello spazio di solidi elementari,combinandoli tra loro. Essa definisce i rapporti tra i vari elementi(angoli e spigoli) occorrenti per la costruzione di poliedri più omeno complessi, regolari e non, inscrivibili in altri solidi più ele-mentari, o generati da intersezioni con altri. Stabilisce, altresì, iparametri che intervengono nella individuazione del solido dibase, essendo anch’esso un poliedro: il modulo.Allo stesso tempo è, quindi, generatrice sia del modulo di base, siadella forma più complessa che da esso deriva. La ripetitività, inve-ce, oltre a regolare l’intensità del moltiplicarsi del modulo nellospazio, ne determina il ritmo, la frequenza, in una infinita ed armo-nica composizione di forme, allo stesso tempo rispettose di rigoro-si canoni geometrici.

Space grid systems are based on two fundamental characteristicssynergetically interconnected: geometry and repetitiveness.Geometry – we mean form by it – is the set of laws regulating theaggregations of elementary solids in space and their combinations.It defines the relations among the different elements (angles andedges) necessary to build more or less complex regular and irregu-lar polyhedrons that can be inscribed in more elementary solids orare generated by the intersection with other polyhedrons. It alsosets the parameters to identify the basic solid, which is in turn apolyhedron: the module. At the same time, therefore, it generatesboth the basic module and the more complex form deriving from it.Instead, repetitiveness governs the intensity of the module multipli-cation in space as well as its rhythm and frequency allowing aninfinite and harmonious composition of forms, all respectful of rigo-rous geometric canons.

1.1 I Poliedri fondamentaliNelle strutture reticolari spaziali, i poliedri non sono rappresentaticome solidi in quanto “porzioni” di spazio, ma sono schematizza-ti in elementi “asta” ed elementi “nodo”: le aste sono i loro spigo-li, mentre i nodi sono vertici. Di conseguenza, in un reticolo spa-ziale, ad ogni intersezione di aste corrisponde un nodo, e vicever-sa. Le faccie del poliedro possono anch’esse essere suddivise inelementi triangolari, formati da aste e nodi. Molti poliedri sonoinscrivibili in altri, o derivano da loro intersezioni. Poliedri fonda-mentali sono: tetraedro; esaedro; ottaedro; dodecaedro; icosae-dro.I poliedri fondamentali, anche detti Platonici, oltre ad averetutti gli spigoli uguali tra loro sono inscrivibili e circoscrivibili in unasfera. L’applicazione dei poliedri Platonici viene impiegata, nellestrutture reticolari spaziali, per la creazione delle varie geometrie:oltre a quelle classiche derivanti dal tetraedro regolare, sono utiliz-zate per forme più complesse, ad esempio nella generazione dellestrutture geodetiche, che derivano dalla proiezione dei vertici deisottomoduli triangolari delle facce di un icosaedro sulla sfera chelo contiene.

In space grid structures polyhedrons are not represented as solids,i.e. as “portions” of space; rather, they are schematized as “struts”and “nodes”: struts are the solid edges, while nodes are its angles.Consequently, in a space grid each strut intersection correspondsto a node. The sides of the polyhedron can also be divided intotriangular elements, made of struts and nodes. Many polyhedronscan be inscribed in others or derive from their intersection.Tetrahedrons, hexahedrons, octahedrons, dodecahedrons and ico-sahedrons are fundamental polyhedrons. These polyhedrons arealso called Platonic; all their edges have the same length and theycan be inscribed in, and circumscribed to, a sphere. In the field ofspace grids Platonic polyhedrons are applied to the creation ofseveral geometries. Apart from the typical ones, resulting fromregular tetrahedrons, geometries are employed for more complexforms, for example to generate geodesic structures deriving fromthe projection of the angles of the triangular sub-modules of the ico-sahedron sides on the sphere containing it.

>1.1.1 Il tetraedro regolareRappresenta il solido ideale per eccellenza: è isostatico in quantole sue quattro facce sono triangolari;le aste che lo compongonosono tutte uguali tra loro; i nodi sono regolari in quanto in essi con-vergono aste inclinate di 60° rispetto a quelle adiacenti. Nel tetrae-dro regolare ABCD (fig. 2), l’altezza relativa ad ogni faccia è ¢/3x √6, mentre la distanza tra due spigoli non convergenti è ¢x√2/2.L’altezza è pertanto funzione del lato del modulo. Tale corre-lazione, come di seguito esposto, è un vincolo che caratterizzatutte le strutture spaziali a doppio strato con modulo di base rego-lare, essendo l’altezza elemento fondamentale nella determinazio-ne delle caratteristiche di sollecitazione cui sono sottoposti i vari

ASPETTI GEOMETRICI E TIPOLOGIE

Tetraedro regolarefig.2

componenti. L’angolo formato tra due facce è di 70°31’44”, men-tre l’angolo formato tra uno spigolo e la faccia su cui si proietta èdi 54°44’8”.

They represent the ideal solid par excellence: they are isostaticsince their four sides are triangular; the struts composing them areall the same length; nodes are regular since struts form 60o anglesat the node. In the regular tetrahedron ABCD (fig. 2) the heightrelative to each side is ¢/3 x √6, while the distance between twonon-convergent edges is ¢x √2/2. The height is therefore a func-tion of the side of the module. As we will see, this correlation is aconstraint characterizing all space double-layer structures withregular basic module: height is the fundamental element to determi-ne the stress characteristics undergone by the different elements.The angle formed by two sides is 70°31’44”, while the angle for-

med by an edge and the face on which it is projected is70°31’44”.

>1.1.2 - Il semi ottaedro regolareL’unione di quattro tetraedri regolari disposti ortogonalmente e conuno spigolo comune, determina un semiottaedro (fig. 3), la cuialtezza è ¢ x √2/2, pari alla distanza tra due lati non convergen-ti del tetraedro, ed alla metà della diagonale del quadrato di base.L’angolo formato tra la faccia triangolare e la base quadrata è di54°44’, mentre quello che lo spigolo forma con la sua proiezionesu di essa, è di 45°. Ilsemiottaedro viene consi-derato, dal punto di vistastatico, una struttura labi-le, in quanto una dellesue facce non è triangola-re. A tal proposito unastruttura composta da unaserie di semiottaedri coninterposti tetraedri, dispo-sti nello spazio in manie-ra allineata (fig. 3a), evincolata esternamente ainodi di estremità, è labileper vincoli interni, man-cando un’asta diagonale in ogni quadrato di base dall’elementosemiottaedrico. Essa è isostatica nella particolare condizione disoli carichi verticali (fig. 3b). Contrariamente, la struttura diventaisostatica per qualsiasi condizione di carico (fig. 3c), quando ècomposta da almeno due strutture unimodulari affiancate.

Semi-octahedrons result from the union of four regular tetrahedronsarranged orthogonally and with a common edge (fig. 3), the hei-ght of which is Lx √2/2, equal to the distance between two non-convergent sides of the tetrahedron and to half of the diagonal ofthe basic square. The angle formed by the triangular side and thesquare base is 54°44’, while the one formed by the edge and itsprojection on the base is 45°. From the point of view of statics,octahedrons are considered labile structures, insofar as one of theirsides is not triangular. In this respect, a structure composed by aseries of octahedrons interposed with tetrahedrons, arranged inspace along a line (fig. 3a) and constrained externally by the endnodes is labile because of its internal constraints: the semi-octahe-dron element lacks a diagonal strut in each base square. It is iso-static only in the peculiar condition of vertical loads (fig.3b).Instead, the structure becomes isostatic in any load condition whenit is composed of at least two joined unimodular structures (fig. 3c).

>1.2 - DefinizioniLe strutture reticolari spaziali sono classificate in: due o più strati emonostrato. Si definiscono strutture reticolari spaziali a due o piùstrati i grigliati composti da aste e nodi generati dall’aggregazio-

Semiottaedrofig.3

fig.3

A

B

C

ne di moduli di base di forma tetraedrica.Il moltiplicarsi dei vari tetraedri nello spazio, sia essi regolari cheirregolari, determina pertanto una serie infinita di geometrie. Nellapresente monografia verranno esposte quelle più in uso, anche inriferimento ai vari sistemi di giuntaggio attualmente utilizzati, ailoro costi di produzione, ai tempi di progettazione e montaggio.Non verranno analizzate nel presente studio tutte quelle geometrieche, per loro conformazione, risultino staticamente labili. Si defini-scono strutture reticolari spaziali monostrato i grigliati composti daaste e nodi generati dall’aggregazione di moduli triangolari,disposti in modo da formare superfici quadriche, i cui nodi perime-trali sono tutti vincolati esternamente. Sono pertanto esclusi da talecategoria i reticoli a guscio monostrato “aperti”, i cui nodi perime-trali non sono tutti esternamente “incernierati”, in quanto definisco-no strutture labili dal punto di vista statico (es. volte a vela, a bottee a crociera monostrato non chiuse alle estremità, gusci a membra-ne molto ribassati e con apppoggi puntuali limitati ai soli nodid’angolo, strutture piane o non discretizzate in triangoli).

Space grid systems are grouped i n two categories: double- ormulti-layer structures and monolayer structures. Double- or multi-layer structures are the grids made of struts and nodes generatedby the aggregation of tetrahedral-based modules.Several tetrahe-drons multiplied in space – whether regular or irregular – result inan endless series of geometries. This essay will discuss the most fre-quently used ones, also referring to the different joint systems pre-sently used, to their production costs, to design and monitoringtimes. This study will not analyze any labile geometrical forms.Space monolayer grid structures are those composed of struts andnodes generated by the aggregation of triangular modules arran-ged in such a way as to form quadric surfaces, the perimetricnodes of which are all externally constrained. As a consequence,this category does not include “open” monolayer shell grids, theperimetric nodes of which are not all “hinged” externally, becausethey represent labile structures from the static point of view (forexample, ribbed, barrel and cross vaults, open-ended monolayerstructures, extremely lowered shells and correct supports only at theangle nodes, flat structures or not divided into triangles).

>1.3 - Strutture spaziali a doppio stratoLa caratteristica tipologica di ogni struttura reticolare spaziale, siaa doppio che a singolo strato, dipende dalla suddivisione in modu-li elementari della superficie che si vuole ottenere, sia curva chepiana; per cui è di estrema importanza, ai fini della sua configura-zione finale, l’individuazione geometrica e dimensionale dell’ele-mento base, del numero di moduli, la loro ripartizione e le varia-zioni angolari tra i vari elementi. L’individuazione dimensionale delmodulo di base riveste un’importanza fondamentale anche ai finidei costi della struttura che si intende realizzare. Infatti la lunghez-za delle aste e la loro angolazione determina sia il numero di ele-menti da utilizzare (asti e nodi), sia i processi di lavorazione e suc-cessivo montaggio dei singoli nodi. A vantaggio dell’economicità,è pertanto indispensabile, in una singola struttura, l’utilizzo di unnumero limitato di diversi tipi di nodi e lunghezze di aste, al finedi ridurre al minimo i costi di produzione e tempi di montaggio. Ilnumero di variabili e le loro infinite combinazioni rendono, d’altraparte, estremamente ardua una seppur limitata codificazione dellepossibili geometrie. Nella presente monografia verranno pertantoanalizzate le strutture spaziali realizzate o individuate da moduliregolari di possibile realizzazione in riferimento ai sistemi e ai pro-dotti esistenti in commercio. Le strutture reticolari spaziali regolaria doppio strato, dette anche piastre, più in uso, sono di due tipi:quelle generate dall’aggregazione di tetraedri regolari (fig. 4), equelle formate da tetraedri con interposti semiottaedri regolari (fig. 5).

The typological characteristic of each space grid structure – bothdouble-layer and monolayer structures – depends on the subdivi-sion into elementary modules of the surface one wants to obtain,

Aggregazionetetraedri regolari.fig.4

be it curved or flat. Consequently it is extremely important to iden-tify the geometry and the size of the basic element, the number ofmodules, their distribution and the angular variations among thedifferent layers in order to achieve the correct final configuration.Identifying the size of the basic module is fundamental also in rela-tion to the cost of the structure to be realized. The length of the strutsand their angulations determine both the number of elements to beused (struts and nodes) and the working processes and the fol-lowing assembly of the single nodes. To achieve an economicadvantage, then, it is essential to use a limited range of nodes andstrut lengths for a single structure in order to minimize productioncosts and assembly times. However, the number of variables andtheir endless combinations make it extremely difficult to classify,even if only limitedly, the possible geometries. As a consequence,this essay will examine the space structures that have been realizedor that can be formed by regular modules that can be realized con-sidering the merchandized systems and products. The most com-mon double-layer regular space grid structures, also called plates,are of two types: those generated by the aggregation of regulartetrahedrons (fig. 4), and those formed by tetrahedrons interposedwith regular semi-octahedrons (fig. 5).

>1.3.1 - Piastre piane a modulo tetraedicore-

golareQueste strutture sono caratterizazte da reticoli spaziali di formaesagonale, le cui aste, tutte uguali tra loro, individuano triangoliequilateri su due piani paralleli: quelle che formano i correnti supe-riori sono collegate ai correnti inferiori mediante aste di paretedella stessa lunghezza, in modo che i vertici dei triangoli del reti-

colo superiore corrispondano, in pinata, ai baricentri dei triangolidel reticolo inferiore, formando due reticoli piani sfalsati tra loro.Ivari tetraedri sono disposti in modo da avere uno spigolo in comu-ne. L’altezza della piastra è determinata dalla lunghezza L dell’a-sta x √6/3, mentre l’angolo formato dal piano individuato dalleaste di parete rispetto ai piani corrente è 70°31’44”. L’asta obli-qua di parete è inclinata di 54°44’88” rispetto ai piani individua-ti dalle aste di corrente.

These structures are characterized by hexagonal space grids thestruts of which, all being the same length, form equilateral triangleson two parallel planes: those forming the upper stringers are con-nected to the lower stringers by equal length wall struts so that, ina pine-shaped structure, the triangle vertices of the upper gridmatch the barycentre of the lower grid triangles, thus forming twoshifted flat grids. The different tetrahedrons are arranged in such away as to have a common edge. The height of the plate is determi-ned by the length L of the strut x √6/3, while the angle formed bythe plane identified by the wall struts and the stringer planes is70°31’44”. The slanting wall strut form a 54°44’88” angle withthe planes identified by the stringers.

>1.3.2 - Piastre piane a modulo tetraedico

regolare con interposti semiottaedri.La caratteristica di queste strutture spaziali a doppio strato è quel-la di definire reticoli a piastra i cui due piani individuati dai cor-renti sia superiori che inferiori sono quadrati sfalsati tra loro, inmodo che i nodi dei quadrati del reticolo superiore corrispondono,

Tetraedri con interpostisemiottaedri regolarifig.5

Reticolo spaziale generatoda ottaedri regolarifig.6

in pianta, ai centri delle diagonali dei quadrati del reticolo inferio-re. Esse sono pertanto generate da una serie di semiottaedri chehanno in comune uno spigolo del quadrato di base, in modo daformare tra loro altrettanti tetraedri. L’altezza della piastra è deter-minata dalla lunghezza L dell’asta x √2/2, mentre l’angolo forma-to dal piano formato dal piano individuato dallea ste di pareterispetto ai piani di corrente è di 54°44’88”. L’asta di parete è incli-nata di 45° rispetto ai piani individuati dalle aste di corrente.Il conteggio delle aste che compongono pastre del tipo descritto sipuò determinare dal prodotto:

8 x m x ndove m ed n sono il numero di moduli sui due lati di L1 e L2 dellapiastra, mentre il numero dei nodi è dato da:

(n + 1) x (m + 1) + n x mNota. La fig. 6 rappresenta un reticolo spaziale generato da ottae-dri regolari, disposti in modo da formare un semiottaedro regola-re. In tale disposizione sono contenuti ambedue i reticoli analizza-ti nei precedenti paragrafi. Difatti, gli strati orizzontali sono piastrea modulo semiottaedrico con interposti tetraedri, mentre le facceoblique individuano con il piano ad esse parallelo piastre a modu-lo tetraedrico con interposti semiottaedri.Le due tipologie spazialianalizzate nei paragrafi 1.3.1 e 1.3.2 appartengono in effetti allamedesima struttura in fig. 5, a seconda del suo diverso orientamen-to nello spazio.

The characteristic of these double-layer space structures is to defineplate grids in which the two planes identified both by the upperand the lower stringers are shift squares in such a way that theupper grid nodes match the midpoints of the diagonals of the lowergrid squares. Therefore, these structures are generated by a seriesof octahedrons having in common an edge of the base square, sothat they form an equal number of tetrahedrons.The height of the plate is determined by the length ¢ of the strut x√2/2, while the angle formed by the planes identified by the wallstruts and by the grinders is 54°44’88”. The wall strut is 45°angled to the planes identified by the grinder planes. The numberof struts composing such plates is given by the product:

8 x m x n,where m and n are the number of modules on the two sides L1 andL2 of the plate, while the number of nodes is given by:

(n + 1) x (m + 1) + n x m.Note: Fig. 6 shows a space grid generated by regular octahedronsarranged in such a way as to form a regular semi-octahedron. Thisarrangement includes both the grids analyzed in the previous para-graphs. As a matter of fact, the horizontal layers are octahedralmodule plates interposed with tetrahedrons, while the two slantingsides and the parallel plane identify tetrahedral module plates inter-posed with semi-octahedrons. The two space typologies analyzedin paragraphs 1.3.1 and 1.3.2. actually belong to the same struc-ture shown in fig. 5, depending on its orientation in space.

>1.3.3 - Piastre piane a modulo tetraedico iso-

sceleUn particolare contributo alle strutture reticolari spaziali per laricerca di nuove geometrie, è stato dato dagli studi, compiutirecentemente, che individuan come modulo-base elementi tetraedi-ci composti da triangoli isosceli. L’aggregazione di tali elementi,caratterizzati da opportune lunghezze ed angolazioni in ogni sin-golo modulo, consente la generazione di tutte le piastre poligona-li a doppio strato mediante l’uso, per ogni geometria, di due solitipi di nodi e due sole lunghezze di aste, ad eccezione del nodocentrale, dove convergono un numero di aste di corrente pari alnumero dei lati.

A particular contribution to space grid structures for the research ofnew geometries has been recently provided by the studies iden-tifying tetrahedral elements made of isosceles triangles as basicmodules. The aggregation of such elements, characterized by thenecessary lengths and angulations in each module, allows thegeneration of all the double-layer polygonal plates through the use,for each geometry, of only two kinds of nodes and two strut lengthsexcept for the central node, where as many stringers as the sidesof the polygon converge.

Ottagono regolareSuddividendo un ottagono regolare in otto settori triangolari, eripartendolo ulteriormente in una serie di triangoli simili, si ottieneuna griglia (fig. 7) il cui elemento base è un triangolo isoscele, di

Ottagono regolarefig.7

lati ¢1 ed ¢2, con ¢1 < ¢2. Di conseguenza, l’angolo compresotra i due lati maggiori ¢2 è di 45°. Costruendo un secondo retico-lo, uguale al primo, ed appartenente ad un piano ad esso paralle-lo, ad una distanza pari a ¢1 x √2/2, e traslandolo in modo chei nodi del primo reticolo corrispondano, in pianta, al centro dellecirconferenze circoscritte ai triangoli isosceli del secondo reticolo,si ottengono i correnti superiori ed inferiori di una struttura ottago-nale reticolare spaziale a doppio strato, le cui diagonali, di lun-ghezza pari a ¢1, sono le congiungenti dei nodi del reticolo supe-riore con quelli della griglia inferiore.La dimensione dell’asta ¢2 è uguale a ¢1 x√ √2/2 + 1Il modulo tetraedico di tale struttura è composto da una base atriangolo isoscele di lati ¢1 ed ¢2, con l’angolo compreso tra ¢2di 45°, una faccia a triangolo equilatero di lati ¢1, e due facce atriangolo isoscele di lati ¢1 ed ¢2. Il tetraedro formato dalla facciaequilatera con la sua proiezione sul triangolo di base e 1/4 disemiottaedro regolare; l’angolo compreso tra questi due triangoli èdi 54°45’8”. I nodi principali sono di due tipi: A e B.I nodi di tipo A sono disposti lungo i raggi del cerchio circoscrit-to all’ottagono individuati dai vertici, mentre quelli di tipo B sonointerni ai settori triangolari del poligono (fig. 8). Un terzo nodo, ditipo C, caratterizza i quattro giunti nella parte centrale.Per sempli-ficazioni di tipo tecnologico, il nodo centrale di convergenza di 12aste è stato eliminato, essendo ininfluente dal punto di vista stati-co. La disposizione innanzi descritta rappresenta l’unico sistema diripartizione di una struttura spaziale piana a doppio strato ottago-nale formata da elementi tetraedrici isosceli tutti uguali tra loro edè applicabile indipendentemente dal numero di aste con le quali si

suddivide il lato dell’ottagono. La copertura dell’Auditorium dellaCittadella Postale nel Centro Direzionale di Napoli, oggi sededella Telecom, rappresenta un primo esempio di applicazione ditale geometria. Una sintesi di tale opera è riportata nella memoriapresentata al XV Congresso CTA. La metodologia esposta puòessere altresì applicata nella ripartizione di tutti i poligoni regola-re, allo scopo di ottenere strutture spaziali con un numero limitatodi tipi di aste e nodi. A titolo esemplificativo si illustrano di segui-to due tipi di strutture spaziali poligonali piane a doppio strato,decagono e dodecagono, utilizzando il procedimento di ripartizio-ne innanzi descritto.

Dividing a regular octahedron into eight triangular sectors andfurther dividing it into a series of similar triangles we obtain a gridin which the basic element is an isosceles triangle bound by thesides ¢1 and ¢2 where ¢1 < ¢2. Consequently, the angle by thetwo major sides ¢2 is 45°.Building another grid, equal to the former and belonging to aplane parallel to it at a distance equal to ¢1 x √2/2, and movingit so that the nodes of the former grid match the centre of the cir-

Tipologie dei nodi.Ottagono regolare.fig.8

cumcircles in the isosceles triangles of the latter grid, we obtain theupper and lower stringers of an octagonal double-layer grid struc-ture where the diagonals, as long as ¢1, join the upper grid nodesand the lower grid nodes.The size of ¢2 strut is equal to ¢1 x √ √2/2 + 1#The tetrahedral module of this structure is made of an isoscelestriangle base having ¢1 and ¢2 as sides and a 45° angle to ¢2’s,an equilateral triangle side having ¢1 as sides, and two isoscelestriangles having ¢1 and ¢2 sides and an 81°34’44” angle to ¢1’s.The tetrahedron formed by the equilateral side and its projection onthe base triangle is ? of regular semi-octahedron; the angle to thesetwo triangles is 54°45’8”.The main nodes are of two types: A and B.A type nodes are arranged along the radius of the circumcircle tothe octagon identified by the vertices, while B type nodes are inter-nal to the triangular sectors of the polygon. (fig. 8).There is a C type node, characterizing the four joints in the centralpart. Because of technological simplification, the central nodewhere 12 struts converged has been eliminated, being it irrelevantfrom the point of view of statics. The arrangement above describedrepresents the only division system of a flat double-layer octagonalspace structure formed by equal isosceles tetrahedral elements. Itcan be applied independently of the number of struts used to divi-de the octagon sides. The roofing of the Auditorium of the PostOffice Area in the Management Centre of Naples, where theTelecom office is located now, represents an early instance wherethis geometry was applied. An outline of this work is included inthe records presented at the XV CTA Conference and is attachedhere. The related methodology can be also applied to the divisionof all regular polygons in order to achieve space structures requi-ring a limited number of struts and nodes.As an example we are going to describe two types of polygonaldouble-layer flat space structure, a decagon and a dodecagon,using the division method described above.

Decagono regolareLa ripartizione di un poligono di dieci lati in altrettanti settori, deter-mina triangoli elemetari isosceli (fig. 9), con sottomoduli simili dilati ¢1 ed ¢2, con ¢1 < ¢2. L’angolo tra i lati ¢2 è 36°. Il modulodi base (fig. 10) è costruito in modo che il reticolo parallelo è postoad una distanza h pari a:

¢1 x √ 1- 1/ (16 sen2 18° cos2 18°)per cui:

h = ¢1 x 0,5257311121La dimensione dell’asta ¢2 è uguale a:

¢1/2 x 1/ sen 18°per cui

¢2 = ¢1 x 1,6180339887

L’angolo compreso tra i triangoli equilateri di lato ¢1 ed i triango-li isosceli di lati ¢1 ed ¢2, è di 37°22’39”.La faccia triangolare isoscele di base ¢2 e lati ¢1 è la porzione di

Decagono regolare.fig.9

un pentagono delimitato da una sua diagonale, per cui il rappor-to tra L1 ed L2 è pari al rapporto tra il lato di un pentagono rego-lare e la sua diagonale. Analogamente all’ottagono, i nodi di tipoA sono disposti lungo i raggi del cerchio circoscritto al decagonoed individuati dai suoi vertici, mentre quelli di tipo B sono interniai settori di ripartizione del poligono: ciò avviene, quindi, per tuttele strutture spaziali a doppio strato di più lati. In ognuno dei noditipo A e B convergono al massimo 9 aste, di cui 6 di corrente e 3oblique. I nodi di tipo C, disposti nella parte centrale, sono innumero di 5. Il numero dei lati della figura centrale corrispondealla metà di quelli perimetrali: all’ottagono corrisponde al centroun quadrato, al decagono un pentagono, al dodecagono un esa-gono, e così via. In ognuno dei vertici della figura centrale conver-gono 8 aste di cui 2 oblique: tale distribuzione avviene qualunque sia ilp o l i g o n o .

The division of a ten-side polygon into the same number of sectorsresults in elementary isosceles triangles (fig. 9), with similar submo-dules having sides ¢1 and ¢2 (¢1<¢2). The angle to the ¢2 sidesis 36°. The basic module (fig. 10) is built in such a way that theparallel grid is located at a distance h equal to:

¢1 x V 1- 1/ (16 sin2 18° cos2 18°);consequently:

h = ¢1 x 0.5257311121.The size of ¢2 strut is:

¢1/2 x 1/ sin 18°;consequently:

¢2 = ¢1 x 1.6180339887

The angle to the equilateral triangles with side ¢1 and the isosce-les triangles with sides ¢1 and ¢2 is 37°22’39”. The isosceles trian-gle face with base ¢2 and sides L1 is the portion of a pentagonbounded by one of its diagonals; so, the ratio between ¢1 and L2is equal to the ratio between the side of a regular pentagon and itsdiagonal. Similarly to the octagon, A type nodes are arrangedalong the radiuses of the circumcircle to the decagon and identifiedby its vertices, while B type ones are internal to the division sectorsof the polygon: therefore, this happens in all multi-sided double-layer space structures. No more than 9 struts, 6 of which are strin-gers and 3 slanting, converge in each of A- and B-type nodes. Ctype nodes, located in the central part, are 5. The side number ofthe central figure is equal to half the number of the perimetricalsides: a square in the centre corresponds to an octagon, a penta-gon to a decagon, and hexagon to a dodecagon, and so on.8 struts, two of which are slanting, converge in the vertices of thecentral figure: this distribution takes place whatever polygon it is.

Dodecagono regolareIl dodecagono viene suddiviso in triangoli isosceli (fig. 11), consottomoduli simili ai lati ¢1 ed ¢2, con ¢1 <¢2. L’angolo tra i lati¢2 è di 30°. Il modulo tetraedico isoscele di base (fig. 12) è costrui-

to in modo che le aste diagonali sono di lunghezza ¢2, non essen-do possibile dimensionarle di lunghezza ¢1 in quanto le loro proie-zioni sul triangolo isoscele di base formano un triangolo equilate-ro di lato ¢1. Tale coincidenza è dovuta al fatto che l’angolo alcentro che sottende la la corda ¢1 è di 60°, essendo il doppio del-l’angolo alla circonferenza corrispondente, che è 15°.Il reticolo parallelo è disposto ad una distanza h pari a:

¢1 x V V3 + 1per cui:

h = ¢1 x 1,6528916502La dimensione dell’asta ¢2 è uguale a:

¢1/2 x 1/sen 15°ovvero:

¢1 x V V 3 +2per cui:

¢2 = ¢1 x 1,9318516525

Il modulo di base tetraedico della piastra a doppio strato dodeca-gonale ha due facce equilatere di lato ¢2 e le altre due isosceli dibase ¢1 e lati ¢2. L’angolo compreso tra le facce isosceli di base¢1 è di 62°20’52”. Tali rapporti scaturiscono dal fatto di utilizza-re due sole lunghezze di aste per la costruzione del poligono; èevidente che è possibile inserire, per le aste oblique, una dimensio-ne più corta, al fine di ridurre la distanza tra i due reticoli. In talcaso variano sia le proporzioni tra le tre aste, che le angolazionidelle aste di parete rispetto ai piani individuati da quelle di corrente.

A dodecagon is divided into isosceles triangles (fig. 11), with sub-

Dodecagono regolarefig.11

modules similar to ¢1 and ¢2 sides, with ¢1 <¢2. The angle to the¢2 sides is 30°. The basic isosceles tetrahedral module (fig. 12) isbuilt in such a way that the slanting struts have an ¢2 length: it isnot possible to make them equal to ¢1 length since their projectionson the basic isosceles triangle form an equilateral triangle with ¢1side. This coincidence is due to the fact that the central angle sub-tending the ¢1 chord is 60° since it is twice as wide as the angleto the corresponding circle, which is 15°.The parallel grid is located at a distance h equal to:

¢1 x √ √3 + 1consequently:

h = ¢1 x 1.6528916502The size of the ¢2 strut is equal to:

¢1/2 x 1/sin 15°,i.e.:

¢1 x √ √ 3 +2consequently:

¢2 = ¢1 x 1.9318516525.

The tetrahedral basic module of the dodecagonal double-layerplate has two equilateral faces with side ¢2 while the other twofaces are isosceles with base ¢1 and sides ¢2. The angle to the iso-sceles faces with base ¢1 is 62°20’52”. These ratios result fromusing only two strut lengths to build the polygon; it is clear that it ispossible to introduce a shorter size for the slanting struts to reducethe distance between the two grids. In this case, both the propor-tions between the three struts and the angulations of the wall strutsvary in relation to the planes identified by the grinders.

Ottagono irregolare inscritto nel quadratoUn’altra significativa e particolare geometria è rappresentata dalgrigliato a doppio strato che individua in pianta un ottagonoinscritto in un quadrato (fig. 13). Il rapporto tra i lati dell’ottagonoè √2. L’importanza di tale struttura consiste nell’utilizzo sia delmodulo semiottaedrico che di quello tetraedrico isoscele, in basealla proprietà indicata al paragrafo 1.3.3, per la quale, nel modu-lo elementare della piastra ottagonale, il tetraedro formato dallafaccia equilatera con la sua proiezione sul triangolo di base, è1/4 di semiottaedro regolare. Sia lo strato superiore di aste, chequello inferiore, sono suddivisi in due tipi di triangoli isosceli e inquadrati di lato ¢. La suddivisione del lato ¢ del quadrato circoscrit-to all’ottagono deve essere fatta in modo che si ottengano tre sud-divisioni n x ¢ uguali tra loro.I tipi di moduli sono tre: il semiottae-dro di spigolo ¢; il tetraedro isoscele la cui base ha lo spigolominore ¢/2 x √10 ed è alto L x V2/2; un altro tetraedro isoscelela cui base ha lo spigolo minore ¢, maggiore ¢ x √10, ed è dieguale altezza ¢ x √2/2. Vi sono sei tipi di nodi e quattro lunghez-ze diverse di aste: le aste diagonali ¢ del semiottaedro sono didimensione uguale alle diagonali corte dei tetraedri isosceli la cuialtra diagonale misura ¢/2 x √6. I correnti maggiori individuatidai triangoli di base dei tetraedri isosceli misurano entrambi ¢/2 x√10.

Another meaningful and particular geometry is represented by thedouble-layer grid identifying, in the plan, an octagon inscribed in

Tipologie dei nodi.Dodecagono regolare.fig.12

Ottagono irregolareinscritto in un quadrato

fig.13

a square (fig.13). The ratio among the octagon sides is √2. Theimportance of such a structure consists in its use both in the semi-octahedral and in the isosceles tetrahedral modules according tothe property pointed out in paragraph 1.3.3. According to it, in theelementary module of the octagonal plate, the tetrahedron formedby the equilateral face and its projection on the base triangle is ?of regular semi-octahedron. Both the upper and the lower strutlayers are divided into two types of isosceles triangles and intosquares with side ¢. The division of side ¢ of the square inscribedin the octagon must be carried out in such a way that three equalsubdivisions n x ¢ are obtained. There are three types of modules:the semi-octahedron with edge ¢; the isosceles tetrahedron thebase of which has the shorter edge ¢ x √2, the longer ¢/2 x V10and is ¢ x √2/2 high; another isosceles tetrahedron the base ofwhich has the shorter edge ¢, the longer ¢ x √10 and has the same¢ x √2/2 height. There are six node types and four different strutlengths: the slanting struts ¢ of the semi-octahedron are the samelength as the short diagonals of the isosceles triangles, the otherdiagonal of which is ¢/2 x √6. The major stringers identified bythe base triangles of the isosceles tetrahedrons are both √/2 x√10.

>1.3.3 - Piastre piane a tre o più stratiLa fig. 5 mostra una struttura spaziale a più strati composta dasemiottaedri regolari. Le piastre a tre o più strati sono generate dal-l’aggregazione ad una struttura spaziale a doppio strato, di unulteriore numero di elementi tetraedrici tali da consentire la forma-zione di più piani paralleli tra loro.Tale disposizione si ottiene mol-tiplicando nello spazio le aste diagonali. Se la piastra di partenzaè del tipo a doppio strato ed è composta da soli tetraedri regola-ri, prolungando la struttura nella direzione delle aste diagonali uti-lizzando lo stesso modulo, si ottengono piani paralleli ai primi duee composti da triangoli equilateri sfalsati; se invece la piastrageneratrice a doppio strato è formata da tetraedri con interpostisemiottaedri, si ottengono piani, paralleli ai primi due, caratteriz-zati da quadrati sfalsati, in modo che, in pianta, i quadrati delprimo livello coincidono con quelli del terzo, quelli del secondo sisovrappongono a quelli del quarto, e così via. Le strutture spazia-li a più livelli non sono utilizzate di frequente, a causa dei costimaggiori dovuti all’utilizzo di un numero considerevole di aste enodi; esse sono utilizzate in prevalenza quando, per motivi archi-tettonici o funzionali, occorre che una piastra a doppio stratoabbia un’altezza maggiore in determinati punti dello spazio che sista coprendo. Le variazioni di altezza in una piastra piana a dop-pio strato conferiscono un gradevole aspetto alla struttura spazia-le, in quanto rendono più movimentato il suo andamento. Nellepiastre a modulo tetraedico regolare, variazioni tra uno strato el’altro creano incrementi o riduzioni dell’altezza utile pari a ¢ x√3/3, mentre per le piastre a modulo semiottaedrico regolare, lavariazione di altezza è ¢ x √2/2, dove L è il lato del modulo. N e l l osvolgimento della progettazione di tali strutture, bisogna prestare par-ticolare attenzione all’andamento della piastra, in quanto le variazio-

ni di altezza avvengono nella direzione delle aste diagonali.Fig. 5 shows a multi-layer space structure composed of regularsemi-octahedrons. The three- or more-layer plates are generated bythe aggregation to a double-layer structure of a further number oftetrahedral elements so that the formation of more parallel planesis made possible. Such an arrangement can be obtained by multi-plying the slanting struts in space. If the starting plate is double-layer and is made only of regular tetrahedrons, parallel planes tothe previous two and made of shift equilateral triangles are obtai-ned extending the structure in the direction of the slanting strutsusing the same modules. If, instead, the generating double-layerplate is formed by tetrahedrons interposed with semi-octahedrons,we obtain parallel planes to the previous two characterized by shiftsquares so that, in the plan, the squares of the first layer matchthose of the third, those of the second match the squares of thefourth and so on.They are used especially when, for architectural or functional rea-

sons, a double-layer plate has to have a greater height in someparts of the space that is being roofed. The height variations in aflat double-layer plate give the space structure a pleasant aspect,since they make its development livelier. In the regular tetrahedralmodule plates variations between one layer and the other increaseor reduce the useful height equal to ¢ x √3/3, while in the regularsemi-octahedral module plates the height variation is ¢ x √2/2,where ¢ is the side of the module. In carrying out the design ofthese structures it is important to pay particular attention to thedevelopment of the plate, since the height variations take place inthe direction of the slanting struts.

ESEMPI DI DIMENSIONAMENTO

Dal punto di vista statico le travature reticolari spaziali devonoessere considerate come una discretizzazione dell’elemento conti-nuo. Una configurazione strutturale che affida prevalentemente lasua resistenza agli sforzi di flessione è sicuramente più sollecitatadi un’altra configurazione che lavora prevalentemente per sforziassiali. La scomposizione del continuo in nodi cerniera ed elemen-ti asta consente di trasformare tutti gli sforzi flessionali in sforzi ditrazione o compressione. In particolare la tecnologia del sistemaVestrut, a differenza di tutti gli altri sistemi reperibili in commercio,realizza una cerniera perfetta e fa sì che siano rispettate tutte leipotesi di calcolo:

i nodi si assimilano a cerniere perfettele aste sono soggette a soli sforzi assiali.

Condizione necessaria per la verifica di tali condizioni è che i cari-chi agiscano correttamente sui nodi; è sempre necessaria quindiuna struttura secondaria per il sostegno del manto di copertura. Ingenere la struttura secondaria si realizza con profilati ad “omega”oppure con un tubo rettangolo poggiato sui nodi del reticolo supe-riore con elementi regolabili atti anche a dare la pendenza volutaal manto di copertura. Particolare importanza rivestono gli appa-recchi di appoggio, rappresentando il punto di contatto tra la strut-tura orizzontale e verticale. A seconda della disposizione e dellatipologia di vincolo il comportamento della struttura reticolare puòessere a piastra oppure a trave.Indipendentemente dalla scelta che viene operata si distinguonotre tipologie di vincolo:•appoggio fisso;•il nodo di appoggio realizza lo schema di una cerniera fissa e la rea-zione risultante ha tre componenti (X,Y e Z).•appoggio unidirezionale;•il nodo di appoggio realizza lo schema di un carrello e la rea-zione risultante ha due componenti (X o Y e Z).•appoggio multidirezionale;•il comportamento è analogo al precedente, il nodo di appoggioè libero di scorrere nel piano di appoggio e la reazione risultanteha una sola componente (Z).La disposizione dei vincoli al contorno consente anche di annulla-re gli effetti dovuti alle dilatazioni termiche. La perfetta compatibi-lità tra le reazioni della travatura reticolare e le conseguenti azio-ni sulla sottostante struttura di sostegno può essere raggiunta curan-do proprio la particolare distribuzione dei vincoli al contorno.Vari procedimenti di calcolo approssimato sono stati proposti perricondurre lo studio di tali reticoli da quello di sistemi continui aquello, in genere più semplice, di sistemi discreti equivalenti, ma lavia più agevole e spontanea consiste nell’affidare le calcolazioniad un elaboratore elettronico. A titolo di esempio riportiamo diseguito le fasi di dimensionamento di una piastra rettangolare didimensioni mt 10,00 x 12,00. Essa è composta da moduli semiot-taedrici a base quadrata di lato mt 2,00, con un’altezza di mt1,40 (fig.1). La normativa individua le azioni del vento, della neve

e del sisma nelle varie regioni d’Italia e gli eventuali sovraccarichicui devono rispondere le strutture oggetto di calcolazioni. È pertan-to indispensabile, per procedere alla progettazione, individuare ivalori di tali azioni.Si considera:•Peso proprio e carichi permanenti•Carico accidentale•Carico da Neve•Carico da Vento•Carico Sismico•Carico TermicoLe azioni dovute a questi carichi vengono trasferite tramite il mantodi copertura ai nodi del grigliato superiore, computandole perarea d’influenza del singolo nodo.Per un carico verticale q=100kg/m avremo quindi:

P=q.l=100kg/m.2,00=400kgQuesta analisi viene effettuata per tutte le tipologie di carico impu-tandole per singole condizioni di carico. I risultati delle singolecondizioni vengono combinati secondo i dettami della normativa.Infine si procede alle verifiche di resistenza e di stabilità per le sin-gole membrature per tutte le combinazioni di carico.

From the static point of view the reticular spatial trusses must beconsidered as a moderation of the continuous element. A structuralconfiguration that primarily entrusts its resistance to the efforts ofbending is surely more urgent than another configuration thatworks primarily for axial stress. The resolution of the continuousone in hinged nodes and pole elements allows the transformationof all the flexion stresses into stresses of traction or compression. Inparticular, the technology of the Vestrut system, unlike all the otheravailable systems in commerce, creates a perfect hinge and it ensu-res that all the hypotheses of calculation are respected:

the nodes are assimilated to perfect hingesthe poles are subject only to axial stress.

A necessary condition for the verification of such conditions is thatthe loads act correctly on the nodes; it is always necessary, therefo-re, to have a secondary structure for the support of the mantle ofcoverage. In general, the secondary structure is constructed with“omega” section bars or with a right-angled tube resting on thenodes of the upper grid with adjustable elements made also to givethe required inclination to the mantle of coverage. Particular impor-tance is given to the support apparatus representing the point ofcontact between the horizontal and vertical structure. According tothe disposition and the type of tie the behaviour of the grid structu-re can be either plate or beam.Independently from the choice that is operated, three types of tiecan be distinguished:fixed support;the support node realizes the scheme of a fixed hinge and the resul-tant reaction has three components (X,Y and Z).

unidirectional support;the support node realizes the scheme of a carriage and the resul-tant reaction it has two components (X or Y and Z).multi-directional support;the behaviour is analogous to the above, the support node is freeto flow on the support plane and the resultant reaction it has onecomponent only (Z).The disposition of the surrounding ties also allows the annulling ofthe effects due to thermal expansions. Perfect compatibilitybetween the reactions of the grid truss and the consequent actionson the underlying support structure can be reached, taking care ofthe particular distribution of the ties to the surround.Varied procedures of approximate calculation have been proposedin order to renew the study of such grids from those of continuoussystems to that, generally more simple, of equivalent discreetsystems, but the easiest and spontaneous way is to entrust the cal-culations to an electronic computer. By way of example, we showbelow the phases of sizing of a rectangular plate of dimensions10.00 x 12.00 m. It is made up of semi-octahedral shapes withsquare base of 2.00 m per side, with a height of 1.40 m (fig.1).The normative individualizes the actions of the wind, of snow andof earthquakes in the various regions of Italy and the possible over-loads which the structures subject of calculations must answer. It istherefore essential to proceed with the planning to individualize thevalues of such actions.To be considered:its weight and permanent loadsincidental load

Snow loadWind loadSeismic loadThermal loadThe actions due to these loads are transferred through the mantleof coverage to the nodes of the upper grid, calculating them forarea of influence of the individual node.For a vertical load q=100kg/m we will have therefore:P=q.l=100kg/m.2.00=400kgThis analysis is carried out for all the types of load ascribing themfor single conditions of load. The results of the individual conditionsare combined according to the dictates of the law. Finally you goon to the verification of resistance and stability for the individualstructures for all the possible combinations of load.

Indipendentemente da tutte le qualità spaziali ed i principi formaliispiratori di questa tipologia di coperture, ci interessa innanzituttoanalizzare la loro genesi spaziale e geometrica; essa è basatasulla scomposizione di solidi tridimensionali regolari che, attraver-so le geniali intuizioni dell’arch. americano Richard BuckminsterFuller, si trasformano nel solido conosciuto più prossimo alla sfera.Le cupole tradizionalmente nascono come superficie di rivoluzionedi una sezione intorno ad un’asse, mentre le cupole geodetichenascono come scomposizione di un oggetto tridimensionale nellasua interezza che, proiettato sulla superficie di una sfera, dà vitaad un organismo complesso ed indipendente.La sinergia che ogni piccolo componente sviluppa e costruisceall’interno delle complessità geometriche di questa tipologia dicupole rappresenta pienamente il pensiero filosofico che Fuller hasviluppato nel corso degli anni di studio e di sperimentazioni.

Independently of all the space qualities and the formal principleslying behind this type of roofing, we aim above all at analysing itsspatial and geometric genesis. It is based on the decomposition ofthree-dimensional regular solids that, thanks to the genial intuitionsof the American architect Richard Buckminster Fuller, change intothe known solid closest to the sphere.Domes traditionally develop as revolution surfaces of a sectionaround its axis, while geodesic domes derive from the decomposi-tion of a whole three-dimensional object that, projected on a sphe-re surface, originates a complex and independent organism.Within the geometric complexities of these domes each small com-ponent develops and builds a synergy that fully reflects the philo-sophy Fuller developed after years of study and experimentation

I POLIEDRIPer lo studio delle cupole geodetiche bisogna ricordare alcune pro-prietà fondamentali dei poliedri, in quanto esse derivano propriodalla loro scomposizione. I poliedri fondamentali, detti poliedriplatonici, sono cinque: il tetraedro, il cubo o esaedro, l’ottaedro, ildodecaedro ed infine l’icosaedro (fig.1). Essi hanno una caratteri-stica peculiare: tutte le facce e gli spigoli sono uguali tra loro esono inscrivibili in una sfera e circoscrivibili ad una sfera.Nella figura 1 si evidenzia che il numero delle facce dell’esaedroè pari al numero dei vertici dell’ottaedro e viceversa; tale corri-spondenza si verifica anche tra il dodecaedro e l’icosaedro, men-tre il tetraedro ha lo stesso numero di vertici e di facce.Questa proprietà ci permette di comporre nello spazio le coppie disolidi e realizzare così degli altri poliedri, ottenuti posizionando ilvertice del primo in corrispondenza dell’asse del baricentro dellafaccia del secondo (fig. 2). Questi sono detti poliedri archimedei(fig. 3), i quali conservano la proprietà di avere tutti gli spigoliuguali tra loro ma non le facce, inoltre sono inscrivibili in una sfera,ma non ne sono più circoscrivibili. Altri due poliedri fondamentaliper lo studio delle cupole geodetiche sono i poliedri semiregolari(fig. 4), caratterizzati dall’avere facce rombiche. Di notevole inte-resse è il triancotaedro essendo il poliedro inscrivibile in una sferacon il maggior numero di facce uguali tra loro. I poliedri, inoltre,possono essere considerati come schematizzazione della sfera. Inquest’ottica è di fondamentale importanza analizzare il rapportotra il volume che ogni poliedro riesce a contenere e lo sviluppodella superficie delle sue facce (fig. 5). Questo rapporto rappresen-ta l’attitudine di ogni solido a contenere il massimo volume con una

LE CUPOLE GEODETICHE

minima superficie. La dualità evidenziata in precedenza tra esae-dro ed ottaedro e tra dodecaedro ed icosaedro si conserva anchein questa schematizzazione; infatti il rapporto tra volume e super-ficie di queste coppie di solidi è identico e la sfera, naturalmente,è il solido che più di ogni altro meglio si presta a contenere ungrosso volume con una minima superficie. La cupola geodetica, inquanto “discretizzazione” ottimale della sfera e derivante dallascomposizione diretta di un poliedro, è il solido che più si appros-sima alla caratteristica intrinseca della sfera appena accennata.

To study geodesic domes it is essential to remember some of thefundamental properties concerning polyhedrons, because theyderive exactly from their decomposition. There are five fundamen-tal polyhedrons, known also as Platonic polyhedrons,: tetrahe-drons, cubes or hexahedrons, octahedrons, dodecahedrons and,finally, icosahedrons (fig. 1). They have a peculiar characteristic:all their faces and edges are equal and can be inscribed in, andcircumscribed to, a sphere. Fig.1 shows that the hexahedron face

number is equal to the octahedron vertex number and vice versa;this correspondence occurs also between dodecahedrons and ico-sahedrons, while tetrahedrons have the same number of faces andvertices. This property enables us to compose pairs of solids inspace to create in this way other polyhedrons obtained by the mat-ching of the vertices of the first polyhedron with the barycentre axisof the face of the second (fig. 2). These are called Archimedeanpolyhedrons (fig. 3), which keep the property of having equaledges, whereas they have different faces; moreover, they can beinscribed in a sphere but they cannot be circumscribed. Two morefundamental polyhedrons for the study of geodesic domes are semi-regular polyhedrons (fig. 4). They are characterized by rhombicfaces. Triancotahedrons are especially interesting since they arethe inscribable polyhedrons with the higher number of equalfaces.Furthermore, polyhedrons can be seen as a schematizationof the sphere. In this respect, it is fundamental to analyse the ratiobetween the volume each polyhedron can contain and the develop-ment of its face surface (fig. 5). This ratio represents the attitude of

each solid to contain the largest volume with the smallest surface.The duality previously stressed between hexahedrons and octahe-drons and dodecahedrons and icosahedrons is kept also in thisschematization: the volume-surface ratio in these pairs of solids is

identical and the sphere, obviously, is the solid that is best apt tocontain a large volume in a very small surface. Insofar as theyrepresent the optimal “approximation” to the sphere and derivefrom the direct decomposition of a polyhedron, geodesic domesare the solids coming closest to the intrinsic characteristic of thesphere we have just referred to.

La suddivisione geodeticaSecondo Fuller, la trasformazione, il passaggio, dei poliedri allecupole geodetiche poteva avvenire attreverso tre metodi. Primometodo opera direttamente sulla faccia piena del poliedro d’origi-ne. Esso consiste nel suddividere ogni faccia del poliedro genera-tore in tanti triangoli e poi proiettare i vertici così ottenuti sullasuperficie della sfera circoscritta (fig. 6). Il numero di parti in cuiviene diviso lo spigolo del poliedro è detta “frequenza”. La lun-ghezza finale dell’asta è funzione del tipo di poliedro prescelto,della frequenza e del raggio della sfera circoscritta, questa funzio-ne si chiama “fattore di corda”. Il secondo metodo opera sulla fac-cia del poliedro sferico, ossia gli spigoli del poliedro di originevengono proiettati sulla sfera e poi suddivisi in parti uguali, perquesti punti si fanno passare le geodetiche ottenendo così il retico-lo per realizzare la cupola (fig. 7). Il terzo metodo consiste nel sud-dividere in parti uguali l’angolo al centro sotteso allo spigolo delpoliedro generatore. Questo terzo metodo coincide nei risultaticon il secondo, differenziandosene solo nella procedura di calco-

lo della lunghezza delle aste. Evidentemente il criterio di maggioreconomia e praticità è quello di limitare il più possibile l’eteroge-neità delle varie aste. Operando su poliedri aventi facce triangola-ri con il primo metodo di suddivisione geodetica il calcolo dellalunghezza delle aste viene ridotto dalla presenza di tre assi di sim-metria, mentre con il secondo metodo la simmetria si conservarispetto ad un solo asse, complicando così sia le fasi di progetta-zione che di esecuzione e montaggio. Operando invece su polie-dri aventi facce quadrangolari gli assi di simmetria che vengonoconservati nella proiezione sono due in ogni caso, quindi è conve-niente utilizzare il secondo metodo di suddivisione geodetica poi-ché il reticolo presenta al bordo aste tutte della stessa lunghezza.Negli schemi seguenti si riportano varie tipologie con le lunghez-ze delle aste riferite ad una cupola di raggio unitario.

According to Fuller, three are the methods to transform polyhedronsinto geodesic domes. The first works directly on the original polyhe-dron plane face. It consists in subdividing each face of the genera-ting polyhedron into many triangles and then project the verticesthus obtained onto the surface of the circumscribed sphere (fig. 6).The number of parts into which the polyhedron edge is divided iscalled “frequency”. The final strut length is a function of the chosentype of polyhedron, of the frequency and of the radius of the cir-cumscribed sphere. This function is called “chord factor”.The second method works on the spherical polyhedron faces, i.e.,the originating polyhedron edges are projected on the sphere andthen subdivided into equal parts. Geodesic lines are traced amongthese points and this creates the grid on which the dome will bebased (fig. 7). The third method consists in subdividing into equal

parts the central angle subtended to the edge of the generatingpolyhedron. The results obtained by this method match those of theprevious; the only difference lies in the procedure to calculate thestrut length. It is clear that the most economical and practical crite-rion is to limit the strut heterogeneity as much as possible. Adoptingthe first subdivision method to work on triangular face polyhedron,the strut length calculation is reduced by the presence of three axesof symmetry, while using the second method the symmetry is keptonly in relation to one axis and this complicates both designing andproduction, and assembly.Instead, two axis of symmetry are anyway kept in the projectionwhen working on quadrangular face polyhedrons; consequently, itis better to use the second subdivision method because the gridedge line is formed by struts all having the same length.The following tables show several typologies where the strut lengthsare referred to a unitary radius dome.

LA GENESI DEL SISTEMA VESTRUT

DefinizioneIl giunto Vestrut risponde ad una rigorosa legge geometrica:dodici sfere di ugual diametro raggruppate su se stesse sono tuttetra loro tangenti e tutte tangenti ad una tredicesima sfera contenu-ta al loro interno. Inoltre tutte queste sfere sono tangenti ad un’al-tra sfera che le contiene di diametro triplo alle precedenti. Le dodi-ci sfere diventano i terminali delle dodici aste di una travatura reti-colare, la tredicesima sfera è rappresentata dal perno che bloccainsieme le due calotte del giunto. I terminali a testa sferica, unavolta bloccati all’interno del nodo, hanno la possibilità di ruotareintorno al nodo stesso; questa caratteristica fa sì che non si creinosforzi di taglio e momento all’interno delle aste per effetto degliabbassamenti della struttura dovuti ai carichi accidentali.Nel corso delle sperimentazioni, attraverso una severa qualifica-zione del sistema, la geometria del giunto Vestrut si è modificata,in funzione delle esigenze tecnologiche è strutturali. Il terminale a“testa sferica” è stato è trasformato in un terminale dalla caratteri-stica forma a “martello”; questo ne ha notevolmente aumentato lasezione resistente, conservando altresì la possibilità di rotazioneintorno al nodo.

DefinitionThe Vestrut joint conforms to a rigorous geometric law:twelve spheres of equal diameter grouped on each other are alltangent and all tangent to a thirteenth sphere contained insidethem. Further, all these spheres are tangent to another sphere thatcontains them of triple diameter to the preceding ones. The twelvespheres become the terminals of the twelve poles of a reticulartruss, the thirteenth sphere is represented by the pivot that blockstogether the two caps of the joint. The terminals with a sphericalhead, once blocked inside the node, can rotate around the samenode; this characteristic ensures that they don't create shearingstress inside the poles because of the lowering of the structureowed to the incidental loads.During the experiments, through a severe qualification of thesystem, the geometry of the Vestrut joint is modified, in operationof the technological and structural demands. The terminal with thespherical head has been transformed in a terminal with the typical

hammer shape; this has notably increased the resistant section,also preserving the possibility of rotation around the node.

La tecnologia.Il sistema è composto da due calotte identiche ed una piastra cen-trale all’interno delle quali vengono inseriti i terminali a testa cilin-drica avvitati tramite un raccordo filettato all’estremità delle aste.Le calotte, la piastra ed i terminali sono ottenuti mediante stampag-gio a caldo e successivamente sottoposti ad un trattamento termi-co che ne aumenta le caratteristiche meccaniche. Alla fine del pro-cesso di stampaggio tutti gli elementi vengono coniati al fine diconsentirne il perfetto l’accoppiamento. I vari componenti comple-tano il loro ciclo produttivo attraverso una serie di lavorazioni mec-caniche eseguite su macchine a controllo numerico: le calotte e lepiastre vengono forate per consentire l’inserimento del bullonecentrale, i terminali vengono filettati e successivamente zincati elet-troliticamente e deidrogenati secondo la norma UNI EN ISO2081.I raccordi filettati che consentono l’avvitaggio dei terminalia martello sulle aste sono anch’essi ottenuti da barre trafilate asezione circolare mediante lavorazione meccanica su macchineCNC. La filettatura all’interno del tubo viene ottenuta attraversoun’operazione di “maschiatura” realizzata su macchine automati-che. Dopo un severo ciclo di controlli dei materiali, sia in accetta-zione che durante il ciclo produttivo tutti i componenti vengono traloro assemblati ed approntati per le successive fasi di lavorazione:verniciatura e montaggio.

Technology.The system is made up of two identical caps and a central plateinside which the terminals with cylindrical heads, screwed by wayof a fitting bolted at the ends of the pole, are inserted. The caps,the plate and the terminals are made through hot-pressing and sub-sequently submitted to a thermal treatment that increases themechanical characteristics of it. At the end of the hot-pressing pro-cess all the elements are minted with the purpose of allowing per-fect joining. The various components complete their productioncycle through a series of mechanical processes carried out onmachines with numerical control: the caps and the plates are perfo-

rated to allow the insertion of the central bolt, the terminals are fil-leted and subsequently electrolitically galvanized and dehydroni-zed according to the AN ENs ISO 2081 norm. The filleted boltsthat allow the screwing of the hammer terminals to the poles arealso obtained by circular section drawn bars through mechanicalworking on CNC machines. The edging inside the pipe is donethrough an operation of tapping carried out on automatic machi-nes. After a severe cycle of controls of the materials, both in accep-tance and during the production cycle all the components areassembled and made ready for the following phases of workman-ship: painting and assembly.

Il montaggioIl montaggio degli elementi che compongono la travatura reticola-re deve avvenire su di un piano di posa livellato precostituito. Leaste del reticolo inferiore, complete di terminali a martello, vengo-no adagiate nell’incavo delle calotte e successivamente bloccate

dalla piastra centrale serrando un dado basso sullo stesso pernoche successivamente chiuderà tutto il giunto. Una volta realizzatoil reticolo delle aste inferiori, si procede posizionando sui vari nodile piramidi precedentemente assemblate a parte; inserendo lacalotta superiore del nodo vengono bloccate anche queste pirami-di. Si procede poi al collegamento dei vertici delle piramidi inse-rendo le aste di corrente superiore ed infine tutti i nodi vengonochiusi controllando la coppia di serraggio del bullone centrale.In funzione delle dimensioni finali della struttura, della disponibilitàdi aree o dell’accessibilità del cantiere, si può decidere di monta-re la spaziale in un solo elemento oppure separarlo in vari conci.In questa seconda ipotesi, una volta posizionati i vari conci sugliappoggi definitivi, sfruttando le caratteristiche di versatilità delsistema VESTRUT, si procede al collegamento in quota dei nodi dicollegamento ricostituendo l’unità dell’intero organismo statico.

The assemblyThe assembly of the elements that form the reticular truss must bedone on a pre-established levelled work surface. The poles of thelower grid, complete with hammer terminals, are placed in the hol-low of the caps and subsequently blocked from the central plate

tightening a nut low on the same pivot that will, later, close thewhole joint. Once the network of the lower poles is assembled, youcontinue, positioning the pyramids assembled previously on thevarious nodes; inserting the upper cap of the node these pyramidsare also blocked. You then go on to the connection of the tops ofthe pyramids inserting the upper electricity poles and finally all thenodes are closed checking the torque wrench setting of the centralbolt.With regard to the final size of the structure, the availability ofareas or accessibility of the yard, it can be decided to mount thespatial in only one element or separating it in various ashlars. Forthe latter, once positioned the various ashlars on the final supports,exploiting the characteristics of versatility of the VESTRUT system,you go no to the connection on high of the connection nodesmaking up the unit of the whole static structure.

INDICE

INTRODUZIONE

> ASPETTI E TIPOLOGIE GEOMETRICHE1-1 I poliedri fondamentali1-1-1 Il tetraedro regolare1-1-2 Il semiottaedro regolare

1-2 Definizioni1-3 Strutture spaziali a doppio strato1-3-1 Piastre piane a modulo tetraedrico regolare1-3-2 Piastre piane amodulo tetraedrico regolare

con interposti semiottaedri1-3-3 Piastre piane a modulo tetraedrico isoscele1-3-4 Piastre piane a tre o più strati

> ESEMPI DI DIMENSIONAMENTO

> LE CUPOLE GEODETICHE3-1 I poliedri3-2 La suddivisione geodetica

> LA GENESI DEL SISTEMA VESTRUT4-1 Definizione4-2 Caratteristiche4-3 Montaggio

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