Uvod Veličina Odnos Proporcija Zlatni presek Zlatni presek linija Zlatni presek površina Zlatni pravougaonik Zlatna spirala Zlatni presek u umetnosti Zlatni presek u arhitekturi Zlatni presek u prirodi Proporcije ljudskog tela i Zlatni presek

Do sada smo naučili: Prostor je sve ono što nas okružuje. Likovni prostor ili prostor umetničkog

dela može biti dvodimenzionalan (papir, platno) i trodimenzionalan (skulptura, arhitektura...).

Prostor slike je dvodimenzionalna površina na kojoj se može stvoriti iluzija trodimenzionalnosti (perspektiva).

Linija je likovni element, odnosno element kompozicije koji ima samo jednu dimenziju – dužinu.

Konturna linija gradi površinu i oblik. Površine su dvodimenzionalne jer imaju samo

dužinu i širinu Oblici mogu biti dvodimenzionalni i

trodimenzionalni. Tela su trodimenzionalni oblici jer pored

dužine i širine imaju i visinu. I linije i površine i oblici zauzimaju neki

prostor. Mera koju linije, površine i oblici zauzimaju u

prostoru naziva se veličina.

Veličina je prostorni element koji se određuje merenjem.

Veličina određuje prostorni intenzitet linije, površine ili oblika u odnosu na druge linije, površine ili oblike i apsolutni prostor.

Veličina neke linije, površine ili oblika je relativna u odnosu na drugu liniju, površinu ili oblik.

Odnos je poređenje dve nejednake mere, veličine, količine ili dva svojstva.

Odnos predstavlja meru različitosti - nejednakosti.

Izražava se sa: a:b i čita se a prema b, ili a u odnosu na b. To

mogu biti odnosi jednog dela prema celini, ili odnos dva dela jedan prema drugom.

Proporcija je poređenje jednakosti dva odnosa i izražava se:

a:b=c:d

što znači da se a:b (a prema b) odnosi jednako kao i c:d (c prema d).

Proporcionalan znači biti jednakog odnosa. U umetnosti proporcije su odnosi veličina (linija,

površina, oblika) unutar jedne forme, tj. kompozicije. Proporcije razvijaju i afirmišu jedinstvo celine. Dobra proporcija znači da se svaki element kompozicije nalazi u harmoničnom odnosu.

Posmatrajući oblike u prirodi, čovek je od davnina shvatio da, kako u biljnom tako i u životinjskom svetu, postoje određeni pravilni odnosi delova i sklad oblika i da se oni nalaze, kako se smatralo, u prirodom, odnosno Bogom danom savršenom – idealnom odnosu i proporcijama, koji su zbog toga nazvani Božanski. Leonardo da Vinči je nazvao Zlatni odnos i proporcija, a presek koji odvaja celinu na idealne delove Zlatni presek.

Zlatni (božanski) presek je odnos veličina gde se manji deo odnosi prema većem, kao veći prema celini, ili obrnuto gde se veći deo odnosi prema manjem kao i celina prema većem delu.

Zlatni presek se može matematički izraziti kao:

Ako je  a= 1.0 onda je b=0.618  tj.  a+b= 1.618

Manji deo naziva se minor (m), a veći Major (M).

Rezultat ove proporcije je zlatni broj fi - phi (zlatna sredina ili zlatni presek) tako nazvan po grčkom vajaru i arhitekti Fidiji (Phidia). Njegova numerička vrednost približno iznosi ϕ=1.6180339887499…ili zaokruženo 1,618.

To znači da je odnos majora (većeg dela) prema minoru (manjem delu) približno 1,618 i obrnuto odnos minora prema majoru 0,618.

2/1 = 23/2 = 1.55/3 = 1.666…8/5 = 1.613/8 = 1.62521/13 = 1.6153846…34/21 = 1.61904...Može se uočiti da je, sem za nekoliko prvih brojeva, količnik konstantan i da oscilira oko 1,6.... Za odnos brojeva 89:55

Italijanski matematičar Fibonači je još u XIII veku utvrdio da je u nizu brojeva (koji je po njemu i dobio ime) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…. - svaki broj iz niza jednak zbiru dva prethodna broja: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5. 3+5=8... , kao i - da, ako svaki broj iz niza podelimo sa svojim prethodnikom dobićemo sledeće količnike:

= 1.6180339887498948482045 ili zaokruženo = 1,618

Zlatni presek linije možemo dobiti računski tako što ćemo vrednost dužine linije podeliti sa 1,618. Dobijena vrednost predstavlja veći deo – major.

Kako neku liniju kao celinu podelili na dva idealna dela koji se nalaze u zlatnom preseku geometrijski pokazuje sledeći primer.

Najpre liniju AB podeliti na dva jednaka dela koristeći se šestarom, a zatim:

1. Iz tačke B povući vertikalu BC polovine dužine AB, pa tačku C spojiti sa tačkom A.

2. Iz tačke C povući luk poluprečnika CB iz tačke B do preseka sa AC u tački D.

3. Iz tačke A povući luk poluprečnika AD sa početkom u tački D do preseka sa AB u tački S.

Tačka S deli zadatu duž AB na dva dela AS (major – M) i SB (minor – m), čije dužine se nalaze u Zlatnom preseku.

Idealna pravougaona površina je ona kod koje je odnos dužine prema širini jednak = 1,618. To je najskladniji oblik pravougaonika koji se najčešće koristi i sreće i naziva se Zlatni pravougaonik ili Auron.

Zlatni pravougaonik se konstruiše iz kvadrata na sledeći način prikazan na primeru:1. Konstruisati jedinični kvadrat (crveno).2. Povući liniju – dijagonalu od sredine jedne stranice u suprotan ugao.3. Iskoristite tu liniju kao radijus i nacrtati luk koji definiše dužu dimenziju pravougaonika.

4. Konstruisati pravougaonik.

Konstrukcija Zlatnog pravougaonika iz kvadrata.

Ako se odstrani kvadrat iz kojeg je nastao Zlatni pravougaonik, pravougaonik koji ostane takođe će biti Zlatni pravougaonik.

Zasnovana je na Fibonačijevom nizu brojeva i čest je oblik u prirodi (puževi, raspored semenki kod biljaka...).

Konstrukcija Zlatne spirale

Odnos Zlatne spirale i Zlatnog pravougaonika: Zlatna spirala je upisana u Zlatnom pravougaoniku.

Proporcionalnost je od izuzetne važnosti pri konstruisanju kompozicija u slikarstvu.

Slikari koriste formate - površine čije dimenzije ne moraju biti u odnosu zlatnog preseka, već mogu imati različite širine i dužine.

Svaka površina kao celina se može podeliti na dve manje površine koje se nalaze u zlatnom preseku.

Teorija, praksa i eksperimenti su dokazali, ako se slikarsko platno kao celina vizuelno podeli na manje površine koje se nalaze u zlatnom preseku, da je položaj gde se seku dva zlatna preseka idealan i estetski najbolji položaj objekta na slici, nezavisno od oblika - formata slike i broja objekata na njoj.

Svaki format ima 4 tačke zlatnog preseka (desno gore, desno dole, levo gore i levo dole) koje se jednostavno konstruišu povlačenjem dijagonala i normala na njih.

Kada je na slici samo jedan objekat kao glavni fokus onda on treba da bude smešten u gornji desni položaj zlatnog preseka.

Ako su na slici dva objekta onda se drugi nalazi na levoj strani i simetrično sa prvim, zbog postizanja ravnoteže.

Od Renesanse i povratka prirodi brojni umetnici su u svojim delima koristili Zlatni presek: Mikelanđelo, Rafael, Rembrant, Sera, Dali, Mondrian...

Leonardo da Vinči, Mona Liza

Leonardo da Vinči, Tajna večera

Pietro Vannuci: Predaja ključeva

Žorž Sera, Kupanje u Anijeru

Pit Mondrian, Crveno, žuto, plavo

Salvador Dali, Sveta tajna poslednje večere

Nema pisanih tragova da su stari Egipćani znali za Zlatni presek, ali je činjenica da se u izgrađenim piramidama jasno prepoznaju elementi Zlatnog preseka.

Zlatni presek su stari Grci masovno koristili u arhitekturi i pri izgradnji najlepših grčkih hramova, posebno dorskih, kao što to pokazuje Partenon na Akropolju.

 

Partenon

Srednjovekovne građevine poštovale su Zlatni presek - Katedrala Notr Dam u Parizu.

Savremena arhitektura takođe je u znakuZlatnog preseka - Zgrada UN u Njujorku

Ljudi su od uvek pokušavali da utvrde odnose delova tela.

Stari Egipćani su koristili širinu dlana kao mernu jedinicu za prikazivanje proporcija ljudskog tela

Telo sadrži ukupno 24 dlana. Glava sadrži 3 dlana. Do polovine tela je ukupno 12 dlanova itd.

Traganje za savršenim proporcijama dovelo je umetnike stare Grčke do uspostavljanja kanona, odnosno modula osnovnih mera proporcionalnih pravila za prikaz idealnih mera ljudskog tela.

Antički Grci su koristili odnos veličine glave i tela. Polikletov kopljonoša imao je 7 glava.

Posejdon ili Zevs

Najpoznatije proporcionalno obeležavanje čoveka izvedeno je na crtežu italijanskog slikara, skulptora i istraživača Leonarda da Vinčija (1452 – 1519.). Na tom crtežu ljudsko telo je ucrtano u kružnicu i kvadrat. Visina čoveka jednaka je šrini rastvorenih ruku. Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu čovek postaje centar kružnice. Međutim, do tih zaključaka Leonardo nije sam došao.

Crtež je zapravo interpretacija dotadašnjih antičkih saznanja o proporcijama ljudskog tela, a koje je rimski arhitekta Vitruvije (I vek p.n.e.) objedinio. Vitruvije je bio prvi koji je ucrtao ljudsko telo u kružnicu čiji se centar nalazi u pupku, dok su ruke i noge raširene. Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj način što je ruke raširio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala nešto iznad pubisa, odnosno nešto niže od pupka.

 

Leonardo da Vinči

U Renesansi je, pored Leonarda, proporciju ljudskog tela razrađivao je i nemački slikar Albrecht Durer (1471 – 1528.).

U 20. veku francuski arhitekta Le

Corbusier, 1945. godine uvodi u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na čoveku, kao i modularni sistem – modulor.

Muška figura 8 glava

Proporcije ženskog tela visine 8 glava

   Ako visinu ljudskog tela (M) uporedimo sa udaljenošću između pupka i stopala

(m) dobićemo odnos 1,618. Istu proporciju u prosečnom ljudskom telu ima i: Udaljenost između vrha prsta i lakta / udaljenost izmeđe ručnog zgloba i lakta, Udaljenost između linije ramena i vrha glave / dužina glave, Udaljenost između pupka i vrha glave / udaljenost između linije ramena i vrha

glave, Udaljenost između pupka i kolena / udaljenost između kolena i kraja stopala.

Na licu: Udaljenost između usana i mesta gde se obrve sastaju / dužina nosa, Dužina lica / udaljenost između vrha vilice i mesta gde se obrve sastaju, Dužina usta / širina nosa, Širina nosa / udaljenost između nozdrva, Udaljenost između zenica / udaljenost između obrva.  Na ruci: Odnos šake / prsti Srednji prst / mali prst, Puna dužina prsta / dva dela prsta (osim palca koji ima samo dva dela).  Na nozi: Odnos butine / potkolenice i dr.

Zlatni presek ne treba shvatiti kao kanon, ali će njegovo poznavanje uvek moći najširem krugu korisnika da olakša nedoumice u zasnivanju i rešavanju proporcijskih problema, a moguća lutanja svesti na minimum.