1

1

I. VEKTORI

dr. sc. Mirna Rodić Lipanović – 2009./2010.

2

Pojam vektora

dužina

usmjerena (orijentirana) dužina

vektor - klasa (”skup”) usmjerenih dužina

A B

A B

E F

C D

A B

(zna se koja je točka početna, a koja krajnja)

a

AB je reprezentant vektora a

Vektor ima: duljinu, smjer i orijentaciju

Dva su vektora jednaka ako imaju jednaku duljinu, smjer i orijentaciju.

2

3

Vektor u pravokutnom koordinatnom sustavu

x

y

z

T

O

a

axay

az

a = OT = { ax, ay, az }

ax = projx aay = projy aaz = projz a

Modul (duljina, apsolutna vrijednost) vektora : a

a = | | = aaa zyx222 ++a

= OT radij-vektor točke Ta

Skalarne komponente vektora

T ( ax, ay, az )

4

Vektor u pravokutnom koordinatnom sustavu (nastavak)

x

y

z

T1

O

aT2

T1 ( x1, y1, z1 )

T2 ( x2, y2, z2 )

T1T2 = { x2 – x1 , y2 – y1 , z2 – z1 }

d ( T1 , T2 ) = | | = 2

12

2

12

2

12 )()()( zzyyxx −−− ++T1T2

3

5

• Jedinični vektor (ort) - vektor čiji je modul jednak 1

jedinični vektor u smjeru vektora :a a0 =

a

ar

r

jedinični vektor u smjeru osi x : i

jedinični vektor u smjeru osi y : j

jedinični vektor u smjeru osi z : k

a = { ax, ay, az } a = ax i ++++ ay j ++++ az k

• Nul-vektor - vektor čiji je modul jednak 0

- oznaka: 0

6

• Kosinusi smjera vektora

Smjer vektora u prostoru može se zadati i kutevimakoje taj vektor zatvara s koordinatnim osima x,y,z

x

y

z

O

a

γ

β

α

Vrijedi: 1coscoscos222 =++ γβα

a

ax=αcos

a

a y

=βcos

a

a z=γcos

4

7

Operacije s vektorima

Zbrajanje vektora

Oduzimanje vektora

Množenje vektora skalarom

- Pravilo paralelograma

- Pravilo trokuta

(za vektore s istom početnom točkom)

(za vektore koji se “nastavljaju”)

d = a – b = a + ( – b )

n·a = a + a + . . . + an pribrojnika b = 3a

a

a

a

a

b

b

b

– b

c = a + b

d

c

c

za n œ N

8

Linearna kombinacija vektora

λ a + μ b + . . . + ξ f a, b, . . ., f - vektori

λ, μ, . . ., ξ - skalari

Skup od n vektora je LINEARNO ZAVISAN ako se neki od njih može prikazati kao linearna kombinacija preostalih

npr. c = λ a + μ b + . . . + ξ f

odnosno, ako postoje skalari α, β ,γ ,…, ζ, od kojih je bar jedan različit od 0, takvi da vrijedi:

α a + β b + γ c +. . . + ζ f = 0

Skup od n vektora je LINEARNO NEZAVISAN, ako nije linearno zavisan.

Ako je relacija α a + β b + γ c +. . . + ζ f = 0 moguća samo kada je α=β= γ =…= ζ =0, onda je taj skup linearno nezavisan.

5

9

Kolinearni i komplanarni vektori

• Dva vektora su kolinearna ako leže na istom pravcu (ili na paralelnim pravcima).

• Tri vektora su komplanarna ako leže u istoj ravnini (ili u paralelnim ravninama).

a i b su kolinearni ⇔ a i b su linearno zavisni

tj. jedan se može iskazati pomoću drugog

(npr. a = λ b )

Odn. postoje α, β (bar jedan je različit od 0) tako da je αa + βb=0

a, b, c su komplanarni ⇔ a, b, c su linearno zavisni

tj. jedan se može iskazati pomoću preostala dva

( npr. c = λ a + μ b )

Odn. postoje α, β, γ (bar jedan je različit od 0) tako da je αa + βb + γ c = 0

NAPOMENA: 4 vektora u (3D) prostoru su uvijek linearno zavisni!

10

Skalarni produkt vektora

a · b = |a|·|b|· cos ϕ , ϕ = ® ( a, b )

Skalarni produkt vektora je skalar!!!

Svojstva:

• a · b = b · a

• ( λ a ) b = a ( λ b ) = λ ( a · b ) , za svaki λœ R

• a · b = 0 , ako je cos ϕ = 0 tj. ako su a i b okomiti

• a · a = |a|2

• ( a + b ) · c = a · c + b · c

Za jedinične vektore i , j , k vrijedi:

i · j = i · k = j · k = 0

i · i = j · j = k · k = 1

( = j · i = k · i = k · j zbog komutativnosti)

(komutativnost)(distributivnost)

6

11

Skalarni produkt vektora - nastavak

Koordinatni zapis:

a = ax i + ay j + az k ( = {ax , ay , az } )

b = bx i + by j + bz k ( = {bx , by , bz } )

a · b = ax bx + ay by + az bz

a · a = |a|2 = ax2 + ay

2 + az2

Kut između dva vektora

ba

barr

rr

⋅

⋅=ϕcos =

bbbaaa

bababa

zyxzyx

zzyyxx

222222 ++⋅++

++

Uvjet okomitosti dva vektora:

a ^ b ⇔ a · b = 0 , tj. 0=++ bababa zzyyxx

a · b = |a|·|b|· cos ϕ , ϕ = ® ( a, b )

ï

(uz pretpostavku da je a , b ≠ 0 ) ( cos ϕ = 0 )

12

Projekcija vektora na vektor

j

a

b

b

bproja

r

rr

=ϕcos

ϕcos⋅= bbproja

rrr

7

13

Vektorski produkt vektora Vektorski produkt vektora je vektor!!!

Vektorski produkt dva vektora a i b u prostoru je novi vektor c = a ä bsa sljedećim svojstvima:

• Duljina vektora c iznosi:

je jednaka iznosu površine paralelograma razapetog vektorima a i b

• Smjer:

tj. c ^ a , b

• Orijentacija:

ϕsin⋅⋅=×= babacrrrrr

, ϕ = ® ( a, b )a

bϕ

cr

a

bϕ

Vektori a, b, c su “desno orijentirani”

Pravac nosioc od c je okomit na ravninu u kojoj leže vektori a i b

c = a ä b

14

Vektorski produkt vektora - nastavak

Svojstva:

• a ä b = – ( b ä a )

• ( λ a ) ä b = a ä ( λ b ) = λ ( a ä b ) , za svaki λœ R

• a ä b = 0 , ako je sin ϕ = 0 tj. ako su a i b paralelni

Specijalno: a ä a = 0 , za svaki a

• ( a + b ) ä c = a ä c + b ä c

( antikomutativnost !!! )

(distributivnost)c ä ( a + b ) = c ä a + c ä b

Za jedinične vektore i , j , k vrijedi:

i ä j = k

i ä i = j ä j = k ä k = 0

j ä k = i k ä i = j

j ä i = – k k ä j = – i i ä k = – j

8

15

i j k

Vektorski produkt vektora - nastavak

Koordinatni zapis:

a = ax i + ay j + az k ( = {ax , ay , az } )

b = bx i + by j + bz k ( = {bx , by , bz } )

a ä b =

ï

ax ay az

bx by bz

a ä b = (ax i + ay j + az k) ä (bx i + by j + bz k)

= (aybz – azby ) i – (axbz – azbx ) j + (axby – aybx ) k

Uvjet kolinearnosti (odn. paralelnosti) dva vektora:

a || b ⇔ a ä b = 0 , tj.

(uz pretpostavku da je a , b ≠ 0 )( sin ϕ = 0 )

aybz – azby = 0axbz – azbx = 0axby – aybx = 0

tj.b

a

b

a

b

a

z

z

y

y

x

x==

16

Vektorski produkt vektora - primjene

ϕsin⋅⋅=×= babarrrr

P

P barr

×=2

1

9

17

ϕ

Međusobni produkt tri vektora

Mješoviti vektorski produkt

a · b · c , a ä b ä c

a · b â c ili a â b · c

- nisu određeni; možemo ih ostvariti na više načina

- točno znamo kojim redoslijedom ćemo množiti

( a ä b ) · c = | a ä b | · | c | · cos ϕ , ϕ = ® ( a ä b , c )

P cprojba

rrr

×

≤ Volumen paralelepipeda

(baza)

b

a ä b

a

c

(visina)

Primjene:

Vparalelepipeda = | ( a ä b ) · c |

Vpiramide =

Vtetraedra = | ( a ä b ) · c |3

1 Baza · visina

( = Baza · visina )

6

1 (Baza je trokut!)

18

odn. ( a ä b ) · c = 0

cx cy cz

Mješoviti vektorski produkt - nastavak

Koordinatni zapis:

( a ä b ) · c =

( a ä b ) · c =

(aybz – azby ) · cx + (azbx – axbz) · cy + (axby – aybx ) · cz

ax ay az

bx by bz

Uvjet komplanarnosti vektora a , b , c :

Vparalelepipeda = 0 , tj. cx cy cz

ax ay az

bx by bz = 0