SEMINARSKI RAD IZMATEMATIKE 3

VEKTORI

Predmetni nastavnik: Student:Prof. dr Predrag Kovačević Radislav Čupić Br. indeksa: INF 46/2014

Banja Luka, decembar 2015.god.

1

Sadržaj:

1 Uvod 32 Vektor i skalar 33 Podjela vektora prema prirodi fizičke veličine 54 Proizvod i količnik vektora i skalara 55 Jedinični vektor ili ort vektora 66 Vektor položaja ili radijus vektor 67 Sabiranje i oduzimanje vektora 68 Razlaganje vektora na komponente 79 Kolinearni i komplanarni vektori 710 Projekcija vektora 811 Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora 812 Linearna zavisnost 913 Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora 1214 Vektorski ili spoljašnji proizvod dva vektora 1415 Orjentacija površine i predstavljanje površine vektorom 1516 Proizvod tri vektora 2017 Literatura 20

2

1. Uvod

Mehanika, tj. njen dio statika je prva nauka u kojoj je nastao vektor, a sila je predstavljala konkretni obrazac vektorske veličine. Razvojem mehanike fizičari su dolazili do novih otkrića i zaključaka, koji su sadržali odnose vektorskih veličina, odnosno svi zakoni mehanike su se odnosili na usmjerene fizičke veličine (i u statici, kinetici i dinamici). Holanđanin Simon Stevin, prvi pominje vektore u svojim djelima 1585. godine. On je preko usmjerenih duži dao princip paralelograma sila. Sto godina nakon Stevinovog djela, Njutn izlaže svoj drugi zakon gdje dokazuje da su ubrzanje i sila uvjek jednako usmjereni. Prve operacije sa vektorima predstavljale su elementarni geometrijski metod, pomoću kojeg je vektor uziman kao cjelina i predstava jedne fizičke veličine. Ali to nije zadovoljavalo komplikovane zadatke mehanike i to naročito u prostornom prikazivanju.1637. Dekart uvodi koordinatni sistem. Nešto kasnije kad je uveden koordinatni sistem sa tri koordinate mnogo je bilo lakše računanje u prostoru pomoću istog. Time dobijamo novi metod računanja sa vektorskim veličinama, analitički metod. Ovaj metod je počeo uvoditi Parent 1700-te godine ali ga je u stvari razvio Klero tek 1731. godine. Analitički metod vektorske veličine nije predstavljao niti nazivao vektorima, nego je vektor razlagao na tri komponente po koordinatnim osama u prostoru i smatrao ih skalarima, te je s njima računao kao sa običnim matematičkim funkcijama, primjenjujući na njih obične zakone algebre i analize.U XVII i XVIII vijeku Dekartov sistem je postao univerzalan pa su ga koristili i veliki matematičari tog doba. Analitički metod u tom dobu dostiže kulminaciju baš u djelu Lagranžea “Analitička mehanika”, koja je objavljena 1788. godine u Parizu. U ovom djelu nema crteža, nego je sve svedeno na matematičke algebarske operacije, pa su geometrijske kao i mehaničke veličine podvrgnute algebarskom računu analitičkim metodom (za svaku geometrijsku veličinu koja je postavljala neku fizičku veličinu, uzima se po tri broja koji predstavljaju komponente na koordinatnim osama). Mnogi naučnici su te geometrijske veličine, dakle i vektorske veličine, posmatrali u cjelini. Posmatrali su ih izolovano, pa i pored svojih vanrednih genijalnosti nisu uspjeli dati prost, jasan i pristupačan metod operisanja sa tim veličinama.Razvojem fizike i mehanike u drugoj polovini 19-tog veka ponovo se prišlo posmatranju vektora. To je opet upotreba ranijeg geometrijskog metoda ali ipak na višem stepenu. Uzimajući vektor kao cjelinu stvori se novi aparat kako za obilježavanje, tako i za proučavanje i prikazivanje. Pronađeni su i novi metodi vektorske algebre, analize i uopšte teorija vektora.Prvi radovi iz teorije vektora:“Učenje o linijskom istezanju” Herman Grasman (1844)“Lekcije o kvaternionima” Vilia Roman Hamilton (1853)Ova djela nisu bila odmah širom prihvaćena jer su bila matematički vrlo komplikovana i teško dostupna. Ali i pored toga dati su izvjesni pojmovi i operacije iz vektorskog načina. Hamilton je dao pojam polja i nekih diferencijalnih operacija u polju. Tek u drugoj polovini 19-tog veka je razgrađena teorija vektora. Tada se pojavljuje plejada fizičara koji razvijaju vektorski račun, kao što su: James Maxwell (“Traktat o elektricitetu i magnetizmu”), John Willard Gibbs, Heaveside, Abraham i u XX veku Max Plank. Fizičar Gibbs je uglavnom dao i formu vektorskog računa još 1881. godine.Savremena fizika je usvojila vektorski račun u svim važnim oblastima. Ali, ipak postoje još neka pitanja iz oblasti matematičke fizike i sl. GdJe se vektori tek počinju primenjivati. Danas, elektrodinamika, hidromehanika itd. se jednostavno ne mogu zamisliti bez vektora. Teorija vektora predstavlja najelegantniji metod u fizici.

2. Vektor i skalar

Poznato je da se neke fizičke veličine mogu prikazivati jednim brojem. Ogovarajući brojevi određenih jedinica ne zahtjevaju nove dopunske komponente za karakterisanje veličine koju prikazuju. Te veličine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivaju se skalarne veličine ili skalari. Broj koji tu veličinu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrijednost skalarne veličine. Brojevi moraju biti realni, a mogu biti pozitivni i negativni. Zato se obična algebra može smatrati kao skalarna algebra.

3

Prirodno, skalari potiču iz fizike, ali oni su i fizičke i matematičke veličine. Priroda skalarnih fizičkih veličina ne iscrpljuje se jednim brojem koji predstavlja njenu vrijednost, tj. njena brojna vrednost nije njena jedina karakteristika. Na primjer masa; jedna njena karakteristika je odgovarajući broj jedinica ali ona je i mjera za inerciju tijela. Skalarne veličine se označavaju običnim slovima kao t (vrijeme), m (masa), V (zapremina) itd.Vrlo su važne veličine koje se ne mogu baš najbolje prikazati jednim brojem. Ako uzmemo, na primer silu. Na neko telo može djelovati manja ili veća sila pa to predstavlja intezitet. Odmah se postavlja pitanje u kom pravcu djeluje ta sila, ali i pravac ima dva smijera. Ovakve veličine su orjentisane i nazivaju se vektorske velićine ili vektori.

Karakteristike vektora su;1. intezitet (jačina)2. pravac3. smjer.

Intezitet vektora se može nazvati i dužinom vektora, veličinom vektora, mjernim brojem vektora itd. Ali intezitet nije ništa drugo nego apsolutna vrijednost vektora.Vektor se predstavlja usmjerenom duži, a dužina duži predstavlja veličinu vektora. Vektor ima početnu tačku ili početak i naravno krajnju tačku ili kraj. Smjer vektora označava se strelicom na kraju duži.

A-početak vektora; B-krajnja tačka vektora. Vektori se obilježavaju malim slovima latinice sa strelicom iznad ( a⃗ ) ili velikim slovima latinice sa

strelicama ( A⃗B ).Brojna vrijednost vektora ili modul vektora označavamo istim slovom kao i vektor, ali bez strelice. Modul vektora a⃗ označavamo sa |a|. Apsolutna vrijednost (intezitet) vektora je skalarna veličina koja ne može biti negativna.Dva vektora su međusobno jednaka ako su jednaki njihovi inteziteti (apsolutne vrijednosti), ako su istog pravca i istog smijera.

a⃗=b⃗ako su sve tri karakteristike vektora jednake. Dva jednaka vektora ne moraju biti prestavljeni jednom istom usmerenom duži već to mogu biti i paralelne duži.

Ako je vektor a⃗ nepokretan, onda se vektor b⃗, koji mu je jednak, može paralelnim pomjeranjem poklopiti sa vektorom a⃗ tj. tačke A i C će se pokolopiti, kao početne i tačke B i D kao završne.

a⃗= A⃗B=b⃗=C⃗D|a⃗|=a=AB=|b⃗|=b=CDAB||CD

Nulti vektor je onaj vektor čija je dužina jednaka nuli.a⃗0= 0⃗

Početak i kraj nulti vektora se nalaze u jednoj tački. Svi nulti vektori su međusobno jednaki. Oni mogu biti bez pravca pa se predstavljaju kao geometrijska tačka. Ali, ako nulti vektor predstavlja limes

4

vektora konačne dužine koja opada prema nuli onda se smatra da nulti vektor uzima pravac tog vektora. Nulti vektor se smatra bez orjentacije i to tako da se obični vektor ne mijenja sabiranjem sa nultim vektorom, a proizvod običnog i nultog vektora je jednak nuli.

3. Podjela vektora prema prirodi fizičke veličine

Početak vektora posmatran kao „napadna“ tačka vektora može biti proizvoljno uzet, a može biti određen u izvjesnom domenu ili potpino u čitavom prostoru pa prema tome vektori se dijele na:I SLOBODNI VEKTORI – kod ovog vektora napadna tačka se može proizvoljno izabrati u prostoru pri čemu modul, pravac i smjer vektora ostaju nepromenjeni. Slobodni vektor se može paralelno pomjerati, a da ne dođe do ikakve promjene. Kao primjer slobodnog vektora uzimamo brzinu translatornog kretanja tijela. Svaka tačka tijela ima istu brzinu pri translatornom kretanju pa zato možemo odabrati bilo koju za napadnu tačku našeg slobodnog vektora.II LINIJSKI VEKTORI – kod ovog vektora se početna tačka može pomjerati po liniji koja se poklapa sa pravcem vektora. Primjer klizećeg vektora je vektor sile koja djeluje na čvrsto tijelo. Pomjeranje napadne tačke sile duž prave koja se poklapa sa pravcem sile ne remeti prvobitno kretanje.III VEZANI VEKTORI – ovom vektoru određena je početna tačka pa se on ne može pomjerati, jer će u različitim tačkama biti drugačiji. Primjer vezanog vektora je vektor polja gdje je u svakoj tački polja različiti vektor kao predstavnik fizičke veličine u dotičnom polju.

4. Proizvod i količnik vektora i skalara

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta veće apsolutne vrijednosti koliko taj skalar ima jedinica. Istog smera ako je skalar pozitivan, a suprotnog ako je negativan. To znači da je proizvod vektora a⃗ i skalara k novi vektor b⃗, koji ima isti pravac kao i vektor a⃗ i isti smjer ako je k>0, a suprotan smer ako je k<0.

5

Apsolutna vrijednost vektora b⃗ je: b⃗=|a⃗|k

Ako je k=1, onda je b⃗=a⃗ , a to znači da su vektori jednaki, paralelni i istog smjera. Ako je k=-1, onda

je b⃗=−a⃗ pa se za takva dva vektora kaže da su međusobno suprotni, a samim tim znači da su paralelni (da imaju iste brojne vrednosti) ali su suprotnog smjera.Iz ovoga slijedi:

k⋅⃗a=a⃗⋅k k,m – skalarne veličine

k (m⋅a⃗ )=(k⋅m)a⃗=m(k⋅a⃗ )(k+m)a⃗=k a⃗+ma⃗

Vektor a⃗ se može dobiti ako se vektor b⃗ podijeli skalarom k a⃗= b⃗

k .Kao količnik dobija se vektor istog pravca kao i prvobitni vektor, a apsolutne veličine onoliko puta manje koliko jedinica ima ta skalarna veličina. Novi vektor ima isti smjer kao i prvobitni ako je skalar pozitivan, a suprotan smjer ako je negativan. Uopšte, ako se neki vektor a⃗ podijeli skalarnom

veličinom dobija se vektor, a ako se taj vektor označi sa c⃗ njegova apsolutna vrijednost biće:

|c⃗|=c=|a⃗||m|

5. Jedinični vektor ili ort vektora

Vektor čija je apsolutna vreijdnost jednaka jedinici naziva se jedinični vektor. Svaki vektor se može prikazati kao proizvod svog inteziteta i jediničnog vektora koji je orijentisan kao taj dati vektor. Jedinični vektor koji ima isti pravac i smjer kao dati vektor naziva se jedinični vektor ili ort datog vektora. Jedinični vektor se obično označava isto kao i njegov vektor ali sa indeksom nula.

a⃗=a⋅⃗a0

a⃗0=a⃗a

|a⃗0|=1

Svaki vektor je jednak proizvodu svoje apsolutne vrijednosti i svoga orta, a ort jednog vektora jednak je količniku tog vektora i apsolutne vrijednosti istog vektora.

6. Vektor položaja ili radijus vektor

Položaj neke tačke se određuje vektorom, a usvojeno je da to bude vektor položaja ili radijus vektor. Usvojeno je i to da se vektor položaja neke tačke završava u toj tački, odnosno da je orjentisan ka toj

tački. Ort vektora položaja se označava kao r⃗0 .r⃗=r⋅⃗r0=|r⃗|⋅⃗r0

r⃗0=r⃗r=r⃗|r⃗|

6

7. Sabiranje i oduzimanje vektora

Imamo vektor a⃗ i vektor b⃗ . Zbir ta dva vektora se dobija kada na vrh vektora a⃗ stavi početak

vektora b⃗ koji se paralelno samom sebi prenese. Zbir a⃗+ b⃗= c⃗ je takođe vektor koji počinje u

početku vektora a⃗ , a završava se na završetku tako prenesenog vektora b⃗ . Pravilo sabiranja vektora poznato je u fizici kod paralelograma sila.

Zbir tri vektora ( a⃗ , b⃗ , c⃗ ) nalazi se kada se sa vektorom a⃗ sabere vektor b⃗ , pa sa tim zbirom sabere

vektor c⃗ ili kada se na taj a⃗ nanese b⃗ , a na kraj b⃗ nanese c⃗ , a zbir ova tri vektora je vektor koji

polazi iz početka vektora a⃗ , a završava se u završetku vektora c⃗ . To znači da za sabiranje vektora važi pravilo poligona koje važi i za proizvoljan broj vektora. Za zbir vektora važe sledeća svojstva :

1. komutativnost a⃗+ b⃗= b⃗+a⃗

2. asocijativnost ( a⃗+ b⃗)+c⃗=a⃗+( b⃗+c⃗ )

3. distributivnost k⋅( a⃗+ b⃗+c⃗ )=k⋅a⃗+k⋅b⃗+k⋅⃗cOduzimanje vektora vrši se na taj način što se razlika dva vektora dobija kao zbir prvog vektora i

vektora koji je suprotan drugom vektoru, odnosno a⃗−b⃗=a⃗+(− b⃗) .

8. Razlaganje vektora na komponente

Iz pravila o sabiranju vektora proizilazi da se jedan vektor prema potrebi može razložiti na dva ili više vektora tako da dati vektor bude njihov vektorski zbir. Vektori na koje se dati vektor razlaže nazivaju se komponente vektora.Pravci komponenata mahom zavise od prirode i zahtjeva problema koji se tretira. U fizici se vektori (sile, brzine...) razlažu uglavnom na dvije ili tri komponente. Ali, ogromna većina problema zahtjeva razlaganje na dvije komponente u ravni, i to skoro redovno na dvije komponente koje su međusobno normalne.Uzmimo, npr. kosi hitac. Za nalaženje potrebnih veličina odmah se na početku razlaže brzina, kojom se tijelo baci, na dve komponente i to na jednu horizontalnu i drugu vertikalnu.

7

Ako se neki vektor c⃗ može razložiti na dve komponente, onda važi relacija : c⃗=k a⃗+l b⃗

Na isti način se može izraziti i veći broj komponenata vektora c⃗ ,c⃗1=k1 a⃗+ l1 b⃗c⃗2=k2 a⃗+l2 b⃗____________c⃗= c⃗+ c⃗2+.. .+c⃗n=(k1+k 2+. ..+k n )⋅⃗a+( l1+l2+. ..+ln )⋅b⃗

ako je c⃗=0 , onda i k1+k2+ .. .+kn=0 i l1+l2+. . .+ ln=0 .

9. Kolinearni i komplanarni vektori

Dva vektora su kolinearna kada su paralelna jednoj pravoj ili se nalaze na jednoj pravoj. Znači, kolinearni vektori mogu biti vektori različite brojne vrijednosti i smjera, a glavno je samo da budu paralelni.

Pošto je proizvod vektora i skalara takođe vektor onda kažemo da je vektor b⃗=k a⃗ kolinearan vektorom a⃗ .Uslov kolinearnosti dva vektora može se prikazivati i ovako:

−k a⃗+ b⃗=0−kλ=ηη a⃗+ λ b⃗=0

Tri ili više vektora su komplanarni kada su paralelni jednoj ravni ili se nalaze u jednoj ravni. Neka su

data tri vektora a⃗ ,b⃗ i c⃗ u jednoj ravni. Onda je moguće vektor razložiti na dvije komponente c⃗1 i c⃗2 koje su paralelne vektorima a⃗ i b⃗ .

c⃗=k a⃗+l b⃗−k a⃗−l b⃗+c⃗=0η a⃗+ λ b⃗+μ c⃗=0−kμ=η−lμ=λ

10. Projekcija vektora

Poznato je da se projekcija neke tačke na datoj osi dobija kada se iz te tačke povuče normala na tu osu. Presječna tačka normale iz te tačke i ose biće projekcija tačke na osi. Kao projekcija vektora na nekoj osi uzima se rastojanje među pravama provučenim kroz krajnje tačke vektora normalno na datu osu.

8

Projekcija vektora a⃗= A⃗B na osi xx predstavljena je sa A1 B1 . Veličina te projekcije je rastojanje među dvema navedenim pravama. Projekcija vektora na osi se smatra skalarnom veličinom, a projekcija vektora na pravoj vektorskom veličinom.Ako sa α označimo ugao između vektora a⃗ i ose x onda

će projekcija iznositi ax=acos α .

11. Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora

Neka su OX, OY i OZ tri uzajamno normalne orijentisane prave koje se seku u tački O. Orijentisane prave OX, OY i OZ se nazivaju koordinatne ose i to x-oca, y-osa, z-osa, a tačka O je koordinantni početak. Ovim elementima je određen Dekartov pravougli koordinantni sistem u prostoru.

Dat je vektor O⃗P= a⃗ u koordinantnom sistemu. Dati vektor možemo razložiti na tri vektora duž koordinantnih osa. O⃗P= a⃗=O⃗A+ O⃗B+O⃗CVektori, O⃗A , O⃗B ,O⃗C predstavljaju komponente vektora a⃗ . Projekcije vektora a⃗ na ose su

algebarske veličine: OA=ax ,OB=a y ,OC=az

To su koordinate vektora O⃗P= a⃗ . Koordinantni ortovi i⃗ , j⃗ i k⃗ isto tako su ortovi ( jedinični

vektori ) komponenata vektora a⃗ , pa prema tome : O⃗A=ax i⃗ ,O⃗B=ay j⃗ , O⃗C=az k⃗ .Tako se vektor a⃗ može napisati u obliku zbira njegovih komponenata koje su paralelne sa koordinantnim osama tj.

a⃗=ax i⃗+a j⃗+az k⃗

ax=acos α1 , a y=a cosα 2 , az=acosα 3

Po Pitagori a2=ax

2+a y2 +az

2, pa slijedi |a|=√ax

2+a y2+az

2.

Neka su dati a⃗=( x1 , y1 , z1 ) i b⃗=( x2 , y2 , z2) proizvoljni vektori. Tada je a⃗=x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗ i b⃗=x2 i⃗+ y2 j⃗+z2 k⃗ .

Sabiranjem ova dva vektora dobijamo :

1. a⃗+ b⃗=( x1i⃗+ y1 j⃗+z k⃗ )+( x i⃗+ y2 j⃗+z2 k⃗ )=( x1+x2) i⃗+( y1+ y2) j⃗+( z1+z2) k⃗ tj.

9

a⃗+ b⃗=( x1+x2 , y1+ y2 , z1+z2) .2.

a⃗=x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗λa=λ( x1 i⃗+ y1 j⃗+z1 k⃗ )=( λx1 )i⃗+( λy1) j⃗+( λz1 ) k⃗λ a⃗=( λx1 , λy1 , λz1)

3. - a⃗ je suprotan vektoru a⃗=( x1 , y1 , z1 ) pa sledi −a⃗=(−x1 ,− y1 ,−z1 )

4. a⃗−b⃗=a⃗+(− b⃗)=( x1 , y1 , z1 )+(−x2 ,− y2 ,−z2 ) tj. a⃗−b⃗=( x1−x2 , y1− y2 , z1−z2 )

12. Linearna zavisnost

Ako su ν⃗1 , ν⃗2 , .. . , ν⃗n vektori , a realni brojevi tada se izraz α 1 ν⃗1+α2 ν⃗+.. .+α n ν⃗ n

naziva linearna kombinacija.

a) ako je α 1=α2=. ..=α n onda su vektori linearno nezavisni

b) ako postoje realni brojevi α 1 , α 2 ,. .. , α n koji nisu svi jednaki nuli, onda kažemo da su vektori

linearno zavisni tj. α 12+α2

2+. . .+α n2>0

1. Ne-nula vektori a⃗ i b⃗ su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.

2. Ne-nula vektori a⃗ ,b⃗ i c⃗ su linearno zavisni ako i samo ako su međusobno komplanarni.

Zadatak 1. Dati su vektori a⃗=(2,3 ) ,b⃗=(1,−3) , c⃗=(−1,3 ) . Odrediti realan broj α tako da vektori

p⃗= a⃗+α b⃗ i q⃗=a⃗+2 c⃗ budu kolinearni.

Rješenje:

uslov kolinearnosti :

p⃗=k⋅q⃗

a⃗+α b⃗=(ax+αb x) i⃗+(a y+αb y ) j⃗=(2+α ) i⃗+(3−3 α ) j⃗a⃗+2 c⃗=(ax+2 cx )i⃗+(ay +2c y ) j⃗=(2−2) i⃗+(3+6 ) j⃗=0⋅i⃗+9⋅j⃗⇒a⃗+α b⃗=k⋅( a⃗+2 c⃗ )(2+α ) i⃗+(3−3 α) j⃗=k⋅(0 i⃗+9 j⃗)2+α=0⇒α=−23−3α=k⋅93+6=9⇒ k=1

10

Zadatak 2. Neka su vektori p⃗1 i p⃗2 proizvoljni. Dokazati da su vektori

a⃗= p⃗1+ p⃗2∧b⃗= p⃗1−2 p⃗2∧c⃗=− p⃗1+4 p⃗2 linearno zavisni. Naći koeficijente te linearne zavisnosti.

Rješenje:

k a⃗+n b⃗+m c⃗=0k ( p⃗1+ p⃗2)+n( p⃗1−2 p⃗2 )+m(− p⃗1+4 p⃗2)=0k p⃗1+k p⃗2+n p⃗1−2 p⃗2−m p⃗1+4 m p⃗2=0p⃗1( k+n−m)+ p⃗2(k−2 n+4 m)=0k+n−m=0k−2 n+4 m=0

k+n=m−k+2n=4 m

3 n=5m ⇒n=53

m

k=m−53

m=−23

m

−23

m⋅a⃗+53

m⋅⃗b+m c⃗=0 /¿3m

−2 a⃗+5 b⃗+3 c⃗=0k=−2∧n=5∧m=3

Zadatak 3. Ako su četri tačke A,B,C i D komplanarne, pri čemu su tačke A,B,C nekolinearne, tada

postoje takvi realni brojevi a,b,c da je O⃗D=α O⃗A+β O⃗B+ γ⃗ OC gde je O proizvoljna tačka.

Rešenje:

11

BS :SD=q : p

BS=qp

SD

OS−OB=qp

(OD−OS)

OS−OB=qp

OD−qp

OS

OS(1+qp

)=qp

OD+OB

OS(q+ pp

)=qp

OD+OB

OS=qp⋅pq+ p

OD+ pq+ p

OB

qp

=π

OS=pπp+ pπ

OD+pp+pπ

OB

OS=π1+π

OD+11+π

OB

AS :SB=m :n

AS=mn

SC

OS−OA=mn

(OC−OS )

OS=mn

OC−mn

OS+OA

OS (1+mn

)=mn

OC+OA

OS (n+mm

)=mn

OC+OA

OS=mn

⋅nn+m

OC+nn+m

OA

OS=mn+m

OC+nn+m

OA

m : n=λ

OS= λnλn+m

OC+nn+λn

OA

OS= λλ+1

OC+1λ+1

OA

λλ+1

OC+1λ+1

OA=ππ+1

OD+1π+1

OB

ππ+1

OD=λλ+1

OC+1λ+1

OA−1π+1

OB

OD=λλ+1

⋅1+ππ

OC+1λ+1

⋅π+1π

OA−1π+1

⋅π+1π

OB

λ (1+π )π ( λ+1 )

=α

β=π+1 ¿π⋅( λ+1) ¿

−1π

=γ ¿

λ (π+1)π ( λ+1)

+π+1π ( λ+1 )

−1π

=1 ¿

λ+λπ+1+π−λ−1π ( λ+1)

=π ( λ+1)π ( λ+1)

=1 ¿¿¿¿ ¿¿

13. Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora

12

Dato je tijelo koje se može kretati po horizontalnoj podlozi. Ako na njega djeluje drugo tijelo silom F⃗, onda je iz elementarne fizike poznato da se rad vrši samo ako se tijelo pomjerilo za izvjesno

rastojanje. Uzmimo prvo slučaj da sila F⃗ djeluje paralelno podlozi i neka je taj određeni put s. Znamo da je pri tom izvjesni rad A=Fs. Rad je prema svojoj prirodi tipično skalarna veličina. Odmah se vidi da je ta skalarna veličina u ovom slučaju jadnaka proizvodu intenziteta vektora sile i vektora puta.

U opštem slučaju sila ne djeluje baš u pravcu kretanja tijela, nego sa tim pravcem zahvata neki ugao θ.

Prema tome rad vrši samo ona komponenta tih sila koja je u pravcu kretanja tijela. Zato se sila F⃗

razlaže na komponente F⃗1 i F⃗2 . Prva je definisana kao pomjeraj tijela, a druga je normalna na nju.

Sila F⃗2ne izaziva nikakvo pomjeranje tijela, pa ne vrši ni rad, tako da aktivna sila koja vrši rad nije

cjelokupna sila F⃗ , nego samo njena komponenta F⃗1 .A=F1⋅sF1=F cosθ=F cos( F⃗ , s⃗ )⇒ A=F⋅s⋅cosθ=F⋅s⋅cos( F⃗ , s⃗ )

Ovo je skalarani proizvod dva vektora.Skalarni ili unutrašnji proizvod dva vektora je proizvod apsolutne vrijednosti (intenziteta) jednog vektora i projekcije drugog vektora.Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih apsolutnih vrijednosti (intenziteta) i kosinusa ugla između tih vektora. Taj proizvod je skalarna veličina pa se zato naziva skalarnim.

a⃗⋅⃗b=|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos ( a⃗ , b⃗ )Iz ovoga se može vidjeti da je skalarni proizvod dva međusobno normalna vektora je jednak nuli.komutativni zakon

cos ( a⃗ , b⃗ )=cos ( b⃗ , a⃗)⇒ a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗distributivni zakon

a⃗⋅( b⃗+ c⃗ )= a⃗⋅b⃗+ a⃗⋅c⃗a⃗ ( b⃗+c⃗+d⃗+. .. )=a⃗⋅⃗b+ a⃗⋅c⃗+a⃗⋅⃗d+.. . .

Ovo se može proširiti i na proizvod vektorskih polinoma.

( a⃗+ b⃗)⋅( c⃗+d⃗ )=a⃗⋅c⃗+ b⃗⋅c⃗+a⃗⋅⃗d+b⃗⋅d⃗a⃗⋅a⃗=a⋅a cos0=a2

( a⃗±b⃗ )=a⃗⋅⃗a±2 a⃗⋅b⃗+ b⃗⋅b⃗( a⃗+ b⃗)( a⃗−b⃗ )= a⃗⋅a⃗−b⃗⋅⃗b=a2−b2

13

asocijativni zakon

(k⋅a⃗ )b⃗=k ( a⃗⋅b⃗ )=k⋅⃗a⋅b⃗=(k b⃗ ) a⃗

Skalarni proizvod dva vektora u analitičkom obliku :

a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗a⃗⋅⃗b=(ax i⃗+a y j⃗+az k⃗ )⋅(bx i⃗+by j⃗+bz k⃗ )a⃗⋅⃗b=ax bx+a y b y+az bz

i⃗⋅j⃗= j⃗⋅i⃗= j⃗⋅k⃗=k⃗⋅j⃗= k⃗⋅i⃗=i⃗⋅k⃗=0i⃗⋅i⃗= j⃗⋅⃗j= k⃗⋅k⃗=i⃗2= j⃗2=k⃗2

Zadatak 4. Naći ugao između vektora a⃗=n⃗+m⃗∧ b⃗=m⃗−n⃗ ako je |m⃗|=|n⃗|≠0 .Rješenje:

a⃗⋅a⃗=|a⃗|2 cos0=|a⃗|2

(m⃗+n⃗ )(m⃗+n⃗ )=m⃗⋅m⃗+2 m⃗⋅n⃗+ n⃗⋅⃗n=|m⃗|+|n⃗|+2|m⃗||n⃗|cosθθ=∠ (m⃗ , n⃗ )b⋅b=|m⃗|2+|n⃗|2−2|m⃗||n⃗|cosθ

cosθ= a⃗⋅b⃗|a⃗||b⃗|

=|m⃗|2−|n⃗|2

√(mx+nx)2+(m y+ny )

2+(mz+nz )2⋅√( mx−nx)

2+(m y−n y)2+(m z−nz )

2=0

Zadatak 5. Vektori a⃗ i b⃗ su uzajamno ortogonalni , a vektor c⃗ gradi sa njima uglove od

π3 . Ako je

|a⃗|=3 ,|b⃗|=5 ,|c⃗|=8 , naći:a)

(3 a⃗−2b⃗ )( b⃗+3 c⃗ )=3 a⃗ b⃗+9 a⃗ c⃗−2 b⃗2−6 b⃗ c⃗=

9|a⃗||c⃗|cosπ3

−2|b⃗|2 cos 0−6|b⃗||c⃗|cos π3

=9⋅3⋅8⋅12

−2⋅5⋅5−6⋅5⋅8⋅12=−62

b)

( a⃗+b⃗+ c⃗ )2= a⃗2+ b⃗2+ c⃗2+2 a⃗ b⃗+2 a⃗ c⃗+2b⃗ c⃗=

|a⃗|2+|b⃗|2+|c⃗|2+2|a⃗||b⃗|cos π2

+2|a⃗||c⃗|cos π3

+2|b⃗||c⃗|cos π3

=

9+25+64+24+40=162c)

( a⃗+2 b⃗−3 c⃗ )2= a⃗2+4 b⃗2+9 c⃗2+4 a⃗ b⃗+−6 a⃗ c⃗−12 b⃗ c⃗=

|a⃗|2+4|b⃗|2+9|c⃗|2−6|a⃗||c⃗|cos π3

−12|b⃗||c⃗|cos π3

=

9+100+576−72−240=373

14. Vektorski ili spoljasnji proizvod dva vektora

14

Vektorski proizvod dva vektora a⃗ i b⃗ je vektor c⃗ čiji je intezitet jednak površini paralelograma, čije su stranice dati vektori i koji je normalan na tu površinu, a takvog je smera da za posmatrača, koji

stoji uz vektor c⃗ rotacija najkraćim putem od a⃗ vektora do b⃗ vektora bude pozitivna (suprotno

smjeru kazaljke na satu). Vektori a⃗ ,b⃗ i c⃗ čine desni koordinatni sistem. Kao znak vektorskog množenja usvojeno je x.

Ako je θ ugao između a⃗ i b⃗ , a c⃗0 ort vektora c⃗ biće:

c⃗= a⃗ x b⃗=c⃗0⋅c

Apsolutna vrijednost vektorskog proizvoda :

c=|c⃗|=|a⃗ x b⃗|=ab sinθ

Promjenom reda faktora (a⃗ , b⃗ ) mjenja se znak proizvoda tj.

dobija se −c⃗ pa zbog toga se uzima: a⃗ x b⃗=− b⃗ x a⃗ . To znači da za vektorski proizvod ne važi komutativni zakon nego

umjesto njega važi antikomutativni ili alterativni zakon. Posmatranjem paralelograma stranice a⃗ i b⃗ zaključujemo da se vektorski proizvod ne mjenja kada se jednom faktoru doda vektor paralelan sa drugim faktorom.

a⃗ x b⃗1=a⃗ x b⃗2= a⃗ x b⃗3

Vrhovi b⃗1 ,b⃗2 , b⃗3 su na pravoj koja je paralelna sa a⃗

Za vektorski proizvod vazi distributivni zakon:

a⃗×( b⃗+c⃗ )= a⃗× b⃗+a⃗×c⃗

Pri množenju vektorskog proizvoda skalarom važi asocijativni zakon:m⋅( a⃗× b⃗)=(m a⃗)×b⃗=ma⃗×b⃗

Uslov paralelnosti vektora je:a⃗×b⃗=0 tj. ugao između njih je nula stepeni, što znači da su paralelni.

Vektorski proizvod nekog vektora samim sobom je jednak nuli: a⃗×a⃗=0 . Uslov kolinearnosti

vektora: k a⃗×a⃗+ λ a⃗× b⃗=0⇒ a⃗×b⃗=0 .Kod vektorskog proizvoda ne postoji djeljenje kao obrnuta operacija množenju. To znači da, ako se zna vektorski proizvod i jedan faktor, ne može se tek tako odrediti drugi faktor.

Vektorski proizvod koordinatnih ortova: i⃗× j⃗=k⃗ , j⃗×k⃗=i⃗ , k⃗× i⃗= j⃗ .

Vektorski proizvod dva vektora u analitičkom obliku

Data su dva vektora: a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗ i b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗ , onda je:a⃗×b⃗=(a y bz−az by ) i⃗+(az bx−ax bz ) j⃗+( ax b y−a y bx ) k⃗ .

Ako označimo a⃗×b⃗=c⃗ vidi se da su projekcije vektora c⃗ na koordinatnim osama vezane sa projekcijama vektora – faktora sledećim relacijama:

c x=ay bz−az b y ;c y=az bx−ax bz ;c z=ax b y−ay bxVektorski proizvod se može prikazati i determinantom:

15

a⃗×b⃗=|i⃗ j⃗ k⃗

ax ay az

bx by bz

|

a možemo koristiti i šemu:

Zadatak 6. Koji uslov treba da ispunjavaju vektori a⃗ i b⃗ da bi vektori 2 a⃗+b⃗∧2 a⃗−b⃗ bili kolinearni.Rješenje:

(2 a⃗+b⃗ )×(2 a⃗−b⃗ )=2 a⃗×(2 a⃗−b⃗ )+b⃗×(2 a⃗− b⃗)=2 a⃗×2 a⃗−2 a⃗× b⃗+b⃗×2 a⃗−b⃗×b⃗==b⃗×2 a⃗+b⃗×2 a⃗=2 ( b⃗×2 a⃗ )=4 b⃗×a⃗=0slijedi, pošto su ova dva vektora kolinearna onda su a⃗ i b⃗ kolinearni.

15. Orijentacija površine i predstavljanje površine vektorom

U raznim oblastima fizike i matematike obe strane jedne površi ne igraju istu ulogu. Poznato je da između struje i magnetnog polja jednog provodnika nije isti na obe strane površine strujnog kola. Pojavila se potreba za orijentaciju površine a to znači da se jedna strana površine usvoji kao pozitivna,

druga kao negativna. Kada je površini dat smjer cirkulacije onda je pozitivni

smjer normale, odnosno normalni ort n⃗ te površine takav da posmatraču koji stoji uz normalni ort, cirkulacija teče u pozitivnom smjeru ( pravilo desnog

zavrtnja ). Strana površine prema normali n⃗ naziva se pozitivnom stranom, a suprotna strana je negativna strana.Konvencijalno je uzeto da se orijentisana površina predstavlja vektorom, koji ima brojnu vrijednost jednaku brojnoj vrednosti te površine a smjer vektora

je smjer pozitivne normale na površini (pravilo desne šake). Napadna (početna) tačka M tog vektora je bilo koja tačka te površine. Brojna vrijednost te površine neka je S, onda je vektor koji predstavlja tu

orijentisanu površinu :S⃗=S⋅⃗n gdje je n⃗ jedinični vektor vektora S⃗ .Kada se usvoji desni koordinatni sistem onda je pozitivna strana površine orijentisana tako da osobi koja bi išla po konturi u ravni u smjeru orijentacije pozitivna strana površine u ravni ostaje stalno na lijevoj strani. Tu se radi o zatvorenoj ravnoj orijentisanoj površini.Kada bi se usvojio lijevi koordinantni sistem onda bi pozitivna strana površine bila ona strana koja je negativna. Kada se radi o orijentaciji površina nekog tela, onda treba da se zna da su površinski vektori orijentisani u smjeru izvan tijela. Tako su spoljašnje strane ravnih površina poliedara pozitivne.

Na primjer, trostrana piramida :

iz jednog tjemena idu 3 vektora a⃗ , b⃗ , c⃗ i to su ivice piramide, a ostale ivice predstavljaju razlike odgovarajućih vektora. glavno je da vektorski zbir stranica trougla bude jednak nuli

16

dvostruka površina DAB je predstavljena kao 2 S⃗3=a⃗×b⃗ , DBC kao 2 S⃗2=b⃗× c⃗ , DCA kao 2 S⃗4= c⃗×a⃗ i ABC kao 2 S⃗1=( c⃗− a⃗)×( b⃗−a⃗ )∨2 S⃗1=( a⃗−b⃗ )×( c⃗−b⃗ ).

16. Proizvod tri vektora

Tri vektora se međusobno mogu množiti na osnovu skalarnog i vektorskog proizvoda tako da se dobija jedna od tri kombinacije proizvoda.

1. Skalarni proizvod dva vektora se pomnoži trećim vektorom2. Vektorski proizvod dva vektora se skalarno pomnoži trećim (mešoviti proizvod)3. Vektorski proizvod dva vektora se vektorski pomnoži trećim (dvostruki vektorski proizvod)

1. Skalarni proizvod dva vektora je skalar. Proizvod tog skalara sa trećim vektorom je vektor

kolinearan sa trećim vektorom. Ako imamo tri vektora a⃗ , b⃗ , c⃗ onda je njihov proizvod :

( a⃗⋅b⃗ )⋅⃗c=c⃗⋅( a⃗⋅b⃗)=( b⃗⋅⃗a )⋅⃗c=a⋅b⋅c⃗⋅cos ( a⃗ , b⃗)

Ovakvi proizvodi su različitog pravca i smjera, pa je ( a⃗⋅b⃗ )⋅⃗c≠a⃗⋅( b⃗⋅⃗c )≠b⃗⋅( a⃗⋅c⃗ )

2. Prema definiciji ovaj proizvod je ( a⃗×b⃗ )⋅⃗c . Vektorsko - skalarni proizvod je skalar ako se služimo

desnim koordinatnim sistemom i ako uzmemo da vektori a⃗ , b⃗ , c⃗ polaze iz iste tačke ali da nisu komplanarni onda:

- Vektorski proizvod a⃗×b⃗ brojno je jednak površini

paralelograma (stranica a i b) i predstavljen je

vektorom S⃗= a⃗× b⃗ (koji je normalan na ravan

vektora a⃗ i b⃗ ).

- S⃗⋅c⃗=S⋅c⋅cos θ=S⋅h=V gde je V zapremina

paralelopipeda.

-pošto ugao θ može biti i tup:( a⃗×b⃗ )⋅⃗c=±V

Mješoviti proizvod tri vektora brojno je jednak zapremini paralelopipeda, čije su ivice dati vektori, sa pozitivnim znakom ispred ako je redoslijed vektora isti kao kod osa usvojenog sistema, a sa negativnim ako je redoslijed obrnut.

17

Cikličnom permutacijom tri vektora se ne menja njihov mješoviti proizvod:

(⃗a×b⃗ )⋅⃗c=( b⃗× c⃗ )⋅a⃗=( c⃗×a⃗ )⋅⃗b , a svakom drugom permutacijom se mjenja znak proizvoda kao na

primjer ( a⃗×b⃗ )⋅⃗c=−( b⃗×a⃗ )⋅⃗c .

Mješoviti proizvod vektora se ne mjenja kada se međusobno zamjene znaci vektorskog i skalarnog

množenja ali samo ako se ne menja redoslijed faktora:( a⃗×b⃗ )⋅⃗c= a⃗⋅( b⃗× c⃗ ).

Ako su u mješovitom proizvodu tri vektora dva vektora međusobno identična ili ako su data tri vektora komplanarna onda je taj proizvod jednak nuli.

a⃗⋅( a⃗×c⃗ )=0∧a⃗⋅( b⃗× c⃗ )=0⇔ a⃗ ,b⃗ , c⃗ su komplanarni

Mješoviti proizvod koordinatnih ortova je jednak jedinici:i⃗⋅( j⃗×k⃗ )=1=i⃗⋅i⃗ , a u obrnutom

redoslijedu je:i⃗⋅( k⃗× j⃗)=i⃗⋅(−i⃗ )=−1

Analitički oblik mješovitog proizvoda:

a⃗=ax i⃗+a y j⃗+az k⃗b⃗=bx i⃗+b y j⃗+bz k⃗c⃗=cx i⃗+c y j⃗+cz k⃗

a⃗ ( b⃗× c⃗ )=(ax i⃗+ay j⃗+az k⃗ )⋅[(by cz−bz c y)⋅i⃗+(bz c x−bx c z )⋅j⃗+(bx c y−b y cx )⋅k⃗ ]=|ax a y az

bx b y bz

cx c y c z

|

3. Prema definiciji ovaj proizvod je a⃗×( b⃗×c⃗ ). Vektorsko - vektorski proizvod je vektor. On je

normalan i na vektor proizvoda b⃗×c⃗ i na vektor a⃗ . To znači da se konačni vektor nalazi u ravni

b⃗∧c⃗ tj. on je komplanaran sa njima.

Iz uslova komplanarnosti se dobija: a⃗×( b⃗×c⃗ )=k b⃗+mc⃗ gde su k i m skalarni faktori. Ove skalarne

faktore nije lako odrediti pa se uvodi pomoćni vektor d⃗ koji je u ravni sa b⃗∧c⃗ i normalan je na

vektor c⃗ .

Smjer vektora d⃗ tako da vektori d⃗ , c⃗ , b⃗ budu redoslijeda desnog sistema. Množenjem se dobija:

18

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]⋅⃗d=k⋅( b⃗⋅d⃗ )

[( b⃗× c⃗ )×d⃗ ]⋅a⃗=k⋅( b⃗⋅d⃗ )

Sa slike vidimo da je vektor ( b⃗×c⃗ )×d⃗ usmjeren po vektoru c⃗ i :

( b⃗×c⃗ )×d⃗=bcd sin( b⃗ , c⃗ )sin π2=cbd cos( b⃗ , d⃗ )=c⃗ ( b⃗⋅d⃗ )⇒( b⃗×c⃗ )×d⃗= c⃗( b⃗⋅⃗d )

zamjenom se dobija

[( b⃗× c⃗ )×d⃗ ]⋅a⃗=( a⃗⋅c⃗ )( b⃗⋅d⃗ )=k⋅( b⃗⋅d⃗ )k=a⃗⋅c⃗

Da bi dobili m; relaciju a⃗×( b⃗×c⃗ )=k⋅b⃗+m⋅c⃗ ćemo da napišemo u obliku

a⃗×( b⃗×c⃗ )=−( a⃗⋅c⃗ )⋅⃗b−mc⃗ odakle je m=−( a⃗⋅b⃗) . Napokon se dobija:

a⃗×( b⃗×c⃗ )=b⃗( a⃗⋅c⃗ )−c⃗ ( a⃗⋅b⃗ )

Vektorsko - vektorski proizvod tri vektora transformiše se u razliku dva vektora, od kojih je prvi proizvod srednjih vektora i skalarnog proizvoda krajnjih vektora, a drugi proizvod drugog vektora iz zagrade i skalarnog proizvoda ostala dva vektora.

Ciklična permutacija dovodi do tri potpuno različita vektora.

a⃗×( b⃗×c⃗ )=b⃗⋅( a⃗⋅⃗c )− c⃗ ( a⃗⋅b⃗ )

b⃗×( c⃗×a⃗ )=⃗c⋅¿ ( b⃗⋅a⃗ )− a⃗⋅( b⃗⋅c⃗ ) ¿ c⃗×( a⃗× b⃗)=a⃗⋅( c⃗⋅b⃗ )−b⃗⋅( c⃗⋅a⃗)Promjena mjesta zagrade izaziva promjenu:

a⃗×( b⃗×c⃗ )≠( a⃗×b⃗ )× c⃗

Analitičko izvođenje

-ako je p⃗=( b⃗×c⃗ )onda je koordinata na x-osi

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]x=a y pz−az py=a y(bx c y−by c x )−az (bz c x−bx c z )

-ako dodamo identitet ax bx c x−ax bx cx=0 matematički slijedi

[ a⃗×( b⃗× c⃗ )]=bx (ax cx+ay c y+az cz )−cx( ax bx+a y by+az bz )=bx( a⃗×c⃗ )−cx( a⃗×b⃗ )

- ako je a⃗=c⃗ matematički slijedi a⃗×( b⃗×a⃗ )= a⃗2⋅b⃗− a⃗⋅( a⃗⋅b⃗ )

19

Zadatak 7. Vektori a⃗ , b⃗ , c⃗ obrazuju desni triedar. Izračunati mješoviti proizvod ovih vektora ako je:

a) |a⃗|=4 ,|b⃗|=2 ,|c⃗|=3 i vektori a⃗ , b⃗ , c⃗ su međusobno ortogonalni.

a⃗=4 i⃗b⃗=2 j⃗c⃗=3 k⃗

|4 0 00 2 00 0 3

|=8⋅3=24

b) |a⃗|=6 ,|b⃗|=3 ,|c⃗|=3 . Vektor c⃗ je ortogonalan na a⃗ i b⃗ i ugao između a⃗ i b⃗ je 30 stepeni.

c⃗⋅( a⃗× b⃗)=|c⃗|⋅|a⃗|⋅|b⃗|⋅sin π6⋅cos0=3⋅6⋅3⋅1

2⋅1=27

Zadatak 8. Izračunati zapreminu paralelopipeda koga određuju vektori:

a) c)

a⃗=(1,0,3 ) ,b⃗=(0,1,2) , c⃗=(3,4,0 )

V=|a⃗⋅( b⃗× c⃗ )|=|1 0 30 1 23 4 0

|=|−17|=17

a⃗=(1 ,−3,1) ,b⃗=(2,1,−3) , c⃗=(1,2,1)

V=|a⃗⋅( b⃗× c⃗ )|=|1 −3 12 1 −31 2 1

|=25

b) d)

a⃗=( 4,5 ,−3 ) ,b⃗=(1 ,−2,1) , c⃗=(1,1,1 )

V=|a⃗⋅( b⃗× c⃗ )|=|4 5 −31 −2 11 1 1

|=|−21|=21

a⃗=(0,1,1 ) ,b⃗=(1,0,1 ), c⃗=(1,1,0)

V=|a⃗⋅( b⃗× c⃗ )|=|0 1 11 0 11 1 0

|=2

Literatura:

1. Dr inž. Dragiša M. IvanovićVektorska analiza

2. Jovan D. KečkićMatematika za III razred srednje škole

20

3. Srđan Ognjanović, Živorad IvanovićZbirka rešenih zadataka za treći razred gimnazija i tehničkih škola

21