VECTORES EN EL ESPACIO (I) CONCEPTO Desarrollo · - Tres vectores coplanarios (están en el mismo...

INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Geometría MATEMÁTICAS II (2º Bachillerato) HOJA-1

VECTORES EN EL ESPACIO (I)

VEC

TOR

CONCEPTO Desarrollo

Definición

Es un segmento orientado cuyo punto de partida se llama origen del vector y cuyo punto final de llama extremo del vector.

Se simboliza BA

, donde A es el origen y B el extremo del vector.

Elementos de un

vector

Un vector tiene tres

elementos:

Mó

du

lo Es la distancia que separa el origen y el extremo del

vector.

Se simboliza BA

Dir

ecc

ión

Es la recta sobre la que están el extremo y el origen, así como todas las rectas paralelas a ella.

Sen

tid

o

Cada dirección tiene dos sentidos opuestos, de A a B y de B a A.

OP

ERA

CIO

NES

CO

N

VEC

TOR

ES

Producto de un número

por un vector

Dado un número K y un vector v

, se define el producto de dicho número

por el vector como otro nuevo vector que tiene:

Módulo vK

Dirección, la misma que el vector v

Sentido, el mismo que v

o su opuesto, según sea el signo de K

Suma y resta

de vectores

Para sumar dos vectores, se sigue la regla del paralelogramo.

Para restar dos vectores, sumamos al primero el opuesto del segundo.

VEC

TOR

UN

ITA

RIO

Definición Llamamos vector unitario a aquel vector que tiene de módulo 1.

Como hacer que un vector sea unitario

Dado un vector v

, para calcular otro vector unitario que vaya en la dirección de v

basta con dividir

dicho vector por su módulo v

vu

EXP

RES

IÓN

AN

ALÍ

TIC

A

DE

UN

VEC

TOR

Combinación lineal

de vectores

Dados varios vectores cyb,a

y varios números y, , llamamos combinación lineal de ellos a la

expresión cba

Dependencia e

independencia lineal

Se dice que varios vectores son: Linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como

combinación lineal de los demás. Linealmente independientes si no ocurre lo anterior.

Ejemplos: - Dos vectores alineados son l.d. - Dos vectores no alineados son l.i. - Tres vectores coplanarios (están en el

mismo plano) son l.d.

- Tres vectores no coplanarios son l.i.

Base En el espacio de tres dimensiones, una base c,b,a

es un conjunto de

tres vectores linealmente independientes con los que se puede expresar cualquier otro vector como combinación lineal de ellos.

Principales tipos

de bases

Dos tipos:

Ortogonal Los vectores de la base son perpendiculares. )vu(

Ortonormal Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios. )1vu,vu(

Coordenadas de un vector en

una base

Dada una base k,j,i

, cualquier vector v

se puede expresar de la

forma kzjyixv

, donde )z,y,x( son las coordenadas del

vector en dicha base (esto es en R3).

En R2

(a)




VECTORES EN EL ESPACIO (II)

PR

OD

UC

TO E

SCA

LAR

CONCEPTO En general En una base ORTONORMAL

Producto escalar de dos vectores

)u,u,u(u 321

y )v,v,v(v 321

)v,u(cosvuvu

332211 vuvuvuvu

Módulo de un vector uuu

2

3

2

2

2

1 uuuu

Ángulo entre dos vectores vu

vu)v,u(cos

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

vvvuuu

vuvuvu)v,u(cos

Segmento proyección u

vuvproyu

Vector proyección uu

vuvypro

2u

Criterio de perpendicularidad

vu

0vu

0vuvuvu 332211

Dado un vector ),,(v

, otro vector perpendicular a él es )0,,(v

.

PR

OD

UC

TO V

ECTO

RIA

L

Producto vectorial de dos vectores

)u,u,u(u 321

y )v,v,v(v 321

)v,u(senvuvu

Dirección y sentido:

dado por la regla de la mano derecha

321

321

vvv

uuu

kji

vu

Propiedades importantes:

1) uvvu

2) 0uu

Área del paralelogramo

vuA ramologparale

Área de un triángulo

vu2

1Atriángulo

PR

OD

UC

TO M

IXTO

Producto mixto de tres vectores

)u,u,u(u 321

, )v,v,v(v 321

y

)w,w,w(w 321

)wv(uw,v,u

321

321

321

www

vvv

uuu

w,v,u

Volumen del paralelepípedo

w,v,uV pedoparalelepí

Volumen del tetraedro

w,v,u6

1Vtetraedro

(b)

(c)

(d)

(e, f, g, h)




PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO (I)

VA

RIO

S C

ON

CEP

TOS

CONCEPTO

Vector conocidos su origen A y su extremo B

)a,a,a(A 321 y )b,b,b(B 321 )ab,ab,ab(OrigenExtremoBA 332211

Punto medio de un segmento AB )a,a,a(A 321 y )b,b,b(B 321

2

ba,

2

ba,

2

baM 332211

Punto simétrico A´ de un punto A, respecto a otro punto B

)a,a,a(A 321 , ),,(A y )b,b,b(B 321 3

32

21

1 b2

ayb

2

a,b

2

a

ECU

AC

ION

ES D

E LA

REC

TA

Sea )p,p,p(P 321 un punto de la

recta y )v,v,v(v 321

el vector en la

dirección de dicha recta.

Sea )z,y,x(X un punto genérico de

la recta. Las ecuaciones de la recta son:

Ecuación vectorial vPOXO

Ecuaciones paramétricas

(Desarrollando la expresión vectorial)

33

22

11

vpz

vpy

vpx

Ecuación continua

(Eliminando el parámetro) 3

3

2

2

1

1

v

pz

v

py

v

px

Ecuación implícita

(Desarrollando dos de las igualdades anteriores queda la ecuación de la recta dada por la intersección de dos planos)

0DzCyBxA

0DzCyBxA

ECU

AC

ION

ES D

EL P

LAN

O

Sea )p,p,p(P 321 un punto del

plano.

Sean )u,u,u(u 321

y )v,v,v(v 321

dos vectores del plano.

Sea )z,y,x(X un punto genérico

del plano. Las ecuaciones del plano son:

Ecuación vectorial vuPOXO

Ecuaciones paramétricas

(Desarrollando la expresión vectorial)

333

222

111

vupz

vupy

vupx

Ecuación implícita o

Ecuación general

(Para que la ecuación paramétrica tenga solución, el determinante de la matriz ampliada debe ser cero. Al desarrollar el determinante queda la segunda expresión)

0DzCyBxA0

vupz

vupy

vupx

333

222

111

Un vector perpendicular o vector normal al plano anterior tiene por coordenadas:

)C,B,A(nv

(i, j)

(k, l) (i, j)

(m)




PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO (II)

PO

SIC

IÓN

REL

ATI

VA

DE

DO

S R

ECTA

S

Elementos que tenemos Casos que se dan

Sean dos rectas r y r´ de las que conocemos un punto y un vector director de cada una de ellas:

33

22

11

vpz

vpy

vpx

r

33

22

11

vpz

vpy

vpx

r

Estudiemos que ocurre con los vectores

PPyv,v

Pueden darse los siguientes casos:

1

v//v

Calculo un punto P de r y dicho punto también pertenece a r´, entonces las rectas son coincidentes.

2 Calculo un punto P de r y dicho punto no pertenece a r´, entonces las rectas son paralelas.

3

v//esnov

Calculo PPyv,v , si los tres vectores

están en el mismo plano –son linealmente dependientes- (coplanarios), las rectas se cortan.

4

Calculo PPyv,v , si los tres vectores

no están en el mismo plano –son linealmente independientes- (no coplanarios), las rectas se cruzan.

NOTA.- El mismo estudio lo podemos hacer expresando cada recta como dos planos. En este caso tendremos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

PO

SIC

IÓN

REL

ATI

VA

DE

REC

TA Y

PLA

NO

Sean yr

una recta y un plano de

ecuaciones:

33

22

11

vpz

vpy

vpx

r

0DCzByAx:

Vamos a estudiar qué casos se pueden

plantear entre el vector v

en la dirección

de la recta, el vector n

perpendicular al

plano y el punto P de la recta :

1

0nv

Si el punto P de la recta pertenece también al plano, la recta está contenida en el plano.

2 Si el punto P de la recta no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.

3 0nv

En este caso la recta es secante al plano.

PO

SIC

IÓN

REL

ATI

VA

DE

DO

S P

LAN

OS

Sean dos planos y de ecuaciones:

0DzCyBxA:

0DCzByAx:

Estudiamos el sistema formados por las dos ecuaciones, siendo las matrices asociadas:

CBA

CBAC

DCBA

DCBAA

Pueden darse los siguientes casos:

1 r(C)=r(A)=2

n=3

Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 1 grado de libertad, los planos se cortan en una recta, son secantes.

2 r(C)=1 r(A)=2

Sistema incompatible, no tiene solución, los planos son paralelos.

3 r(C)=r(A)=1

n=3

Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 2 grado de libertad, los planos son coincidentes.

(n)

(ñ)

(o, p, q)




PROBLEMAS MÉTRICOS

MED

IDA

S D

E Á

NG

ULO

S

Ángulo entre dos rectas r y s, es el ángulo menor que forman dichas rectas. Coincide con el formado por sus vectores directores.

sr

sr

dd

ddcos

Ángulo entre dos planos π1 y π2, coincide con que el ángulo que forman los vectores normales de dichos planos.

21

21

nn

nncos

Ángulos entre una recta r y un plano π, coincide con el complementario, (90-α), del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, es decir (α).

nd

nd)90(cos

r

r

MED

IDA

S D

E D

ISTA

NC

IAS

Distancia entre dos puntos P y Q, coincide con el módulo del vector que une dichos puntos.

212

212

212 )zz()yy()xx(PQ)Q,P(d

Distancia entre punto P y recta r, es la distancia más corta que separa el punto de la recta (la perpendicular).

rR,d

dRP

)Q,P(d)r,P(d

r

r

(R es cualquier punto de la recta, no tiene que ser el Q, que es el perpendicular)

Distancia entre un punto P y un plano π, es la distancia más corta que separa el punto del plano (la perpendicular). Sea el plano Ax+By+Cz+D=0 y el punto P(xo,yo,zo).

222

ooo

CBA

DzCyBxA),P(d

Distancia entre una recta r y un plano π. Tres casos: • 1) Si las rectas se cortan o 2) la recta está

contenida en el plano, la distancia es cero. • 3) En caso contrario deben ser paralelos, en

este caso la distancia es la misma que la de un punto cualquiera de la recta al plano.

rP),,P(d),r(d

Distancia entre dos planos π1 y π2. Tres casos: • 1) Si se cortan o 2) coinciden, la distancia es

cero. • 3) En caso contrario deben ser paralelos, en

este caso la distancia es la misma que la de un punto de uno de los planos al otro plano.

1221 P),,P(d),(d

Distancia entre dos rectas r y s. Tres casos: • 1) Si son paralelas. Es la distancia de un punto

cualquiera de la primera recta a la segunda. • 2) Si se cruzan. (aplicar fórmula). • 3) Si se cortan. La distancia es cero.

sQ

rP,

dd

PQ,d,d

)s,r(d:cruzanSe

rP),s,P(d)s,r(d:Paralelas

sr

sr

ÁR

EA Y

VO

LÚM

ENES

Área del paralelogramo determinado por los

vectores BA

y CA

.

ACABA ramologparale

Área de un triángulo de vértices A, B y C.

ACAB2

1Atriángulo

Volumen del paralelepípedo determinado por

los vectores BA

, CA

y

DA

.

AD,AC,ABV pedoparalelepí

Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.

AD,AC,AB6

1Vtetraedro

(r)

(s, t)

(u)

(v, x)

(y, z)




EJERCICIOS propuestos para clase

VECTORES EN EL ESPACIO (I)

(a) Pág. 128 el 1 y 2.

VECTORES EN EL ESPACIO (II)

(b) Pág. 131 el 1. (c) Pág. 132 y 133 el 1, 2 y 3 (resueltos). (d) Pág. 136 el 1, 2 y 3. (e) Pág. 137 el 1 y 2. (f) Pág. 138 y 139 el 1, 2, 4. (g) Pág. 141 el 15, 16 y 18. (h) Pág. 142 el 21, 32, 33, 36 y 37.

PUNTOS, RECTAS, PLANOS EN EL ESPACIO (I)

(i) Pág. 146 el 1 (resuelto). (j) Pág. 148 el 2 y 3 (resueltos) y el 3. (k) Pág. 150 el 1 (resuelto). (l) Pág. 151 el 2, 3, 4 (resueltos). (m) Pág. 155 el 1, 2 (resueltos), 1 y 2.

PUNTOS, RECTAS, PLANOS EN EL ESPACIO (II)

(n) Pág. 153 el 1, 2 y 3 (resueltos). (ñ) Pág. 157 el 2 y 3 (resueltos) y 1. (o) Pág. 157 el 1 (resuelto). (p) Pág. 160 a 164 el 1, 2, 3, 5, 6 y 9 (resueltos). (p) Pág. 165 el 1 (resuelto) / Pág. 168 el 47.

PROBLEMAS MÉTRICOS

(r) Pág. 177 el 3 (resuelto), 1 y 2. (s) Pág. 179 el 1 (resuelto) y 1. (t) Pág. 180 el 1 (resuelto). (u) Pág. 181 el 4 y 5. (v) Pág. 182 el 1 (resuelto). (x) Pág. 183 el 6-a. (y) Pág. 184 el 1 (resuelto) y 1. (z) Pág. 188 a 192 el 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 9 (resueltos).

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