về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...
Transcript of về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...
![Page 1: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/1.jpg)
I HC QUC GIA HÀ NI
TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN ----------------------------
ng c Cng
V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH
LU(N V)N THC S* KHOA HC
Hà Ni-2011
![Page 2: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/2.jpg)
2
I HC QUC GIA HÀ NI TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN
----------------------------
ng c Cng
V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N
'NH
Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch
Mã s1: 60.46.01
LU(N V)N THC S* KHOA HC
Ngi h2ng d3n khoa h4c: PGS. TS. NG QUC N
Hà Ni-2011
![Page 3: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/3.jpg)
3
5C C
56c 76c 1
Li m8 9:u 2
Li ;.m <n 4
=0hi>u
5
CH"NG 1. KI&N TH?C CHU@N ..................................................................
1.1. Mt snh a chung vphng nh o m riêng
1.2. Hi yu ......................................................................................................
1.3. Không gian Sobolev.......................................................................................
1.4. n ta i n Dirichlet.......................................................................
1.5. nh !Lax-Milgram.....................................................................................
CH"NG 2. MT SNH V IM BT NG....................................
2.1. "c nh !i#m b$t ng a nh %co.....................................................
2.2. "c nh !i#m b$t ng a nh %không &'n........................................
2.3. "c nh !i#m b$t ng a nh %liên c.............................................
CH"NG 3. I N DIRICHLET I V I H! PH"NG #$NH
ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG CHAN....................
3.1. (t bài toán....................................................................................................
3.2. S)t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet..........................................
Li kBt
i li>u tham CD.o
6
6
7
8
10
14
18
18
26
33
40
40
43
50
52
![Page 4: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/4.jpg)
4
LI MEFU
Phng nh vi phân o m riêng bmôn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhiu i n /ng &ng 0 c nhau nh: ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, !thuyt n h*i.... Phng nh vi phân o m riêng 1n 2mi quan h+quan ,ng v3i !thuyt %c su$t . Hi+n nay phng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c yu nghiên c/u mt v$n quan ,ng trong nh v)c kinh ti 5nh nh -c6phiu. Mt s nh v)c n ,c hi+n i 0 c nh: 7! thuyt bi#u di8n 2m, 7! thuyt tr9ng l:ng t, 7! thuyt c không gian thu;n nh$t < V=t ! n trong 2phng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1quan ,ng. Mt nh v)c quan ,ng nh$t trên phng di+n /ng &ng, 2 5nh n khoa ,c >mt trong nh?ng ni dung yu a 2 -@i c phng nh vi phân o m riêng. Tuy nhiên nhiu i n phng nh vi phân o m riêng >vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A20 n -@n vm(t c$u .c. B2i chung không 2phng C p chung #-@i c phng nh vi phân o m riêng. iu ng9i ta quan tâm khi nghiên c/u c phng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i <t*n i duy nh$t nghi+m a 2. V3i i "VGmHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L9iMm bNt 9Hng Oo Pi /+n Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa tuyBn /0nh" .ng tôi nghiên c/u /ng &ng a nh !i#m b$t ng a nh %co m iu kiên t*n i nghi+m a i n Dirichlet i v3i h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên min không ch(n.
Ni dung a lu=n vDn :c nh y d)a trên i o "On a System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain" a PGS. TS. ng Qu1c n. Ei o :c Dng bFi p 5n ,c Vi+t Nam (Viet Nam journal of Mathematics).
Bc a lu=n vDn g*m 2ba chng.
Ch<ng 1. KiBn thc chuTn PK Trong chng y .ng tôi nh y mt s kin th/c chuGn
g*m mt snh a chung vphng nh vi phân o m riêng, 0 i ni+m hi yu, không gian Sobolev, n ta i n Dirichlet, nh !Lax-Milgram. Ch<ng 2. MHt s19Knh 7L9iMm bNt 9Hng.
Trong chng y .ng tôi nh y mt skt HI@quan ,ng <c ch/ng minh chi tit Jng nh mt s<5&minh ,a /ng &ng a mt
![Page 5: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/5.jpg)
5
snh ! trong ! thuyt vi#m b$t ng. "2 Kkt HI@n6i ting nh$t trong !thuyt vi#m b$t ng nguyên !nh %co Banach. 2 !do .ng tôi bLt ;u chng y bMng vi+c nh y vnh %co <mt ch/ng minh a nguyên !y. 2Jng c sF yu #m iu ki+n t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh. Trong chng hai .ng tôi 1n nh y thêm mt skt HI@0 c a !thuyt i#m b$t ng <mt sv5&/ng &ng ':c nghiên c/u. Ni dung chng hai :c tham 0 @o yu tNi li+u [6].
Ch<ng 3. Bài toán Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa
tuyBn /0nh trên miGn U+c 9Knh không PKchVn. Trong chng y .ng tôi nh y c kt HI@nghiên c/u vs)
t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên mt min không ch(n trong n
. "c ch/ng minh yu d)a trên nh ! i#m b$t ng trong không gian Banach. Ni dung chng 3 :c trình bày d)a trên tài li+u [5].
![Page 6: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/6.jpg)
6
LI WM "N
B@n lu=n vDn này :c hoàn thành d3i s) h3ng d4n t=n tình ca
PGS. TS. HOÀNG QUC TOÀN, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên –
i h,c Quc gia O Ni. Th;y là ng9i xu$t, dành nhiu th9i gian
h3ng d4n, sa các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc ca tôi trong sut
quá trình làm lu=n vDn. Tôi mun bày tQ lòng bit n sâu sLc nh$t n
ng9i th;y ca mình.
Tôi xin c@m n Tr9ng THPT Chu VDn An, 7ng Sn ã giúp R,
to iu ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này. Và tôi cJng xin
cám n Xeminar ca b môn Gi@i tích, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên
ã giúp tôi b6 sung, cng c các kin th/c v Lý thuyt phng trình o
hàm riêng.
Qua ây, tôi xin gi t3i các th;y cô Khoa Toán- C- Tin h,c, Tr9ng
i h,c Khoa h,c T) nhiên, i h,c Quc gia Hà ni, cJng nh các th;y
cô ã tham gia gi@ng dy khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n i v3i công
lao dy dP trong sut quá trình ,c t=p i nhà tr9ng.
Tôi xin c@m n gia ình, bn bè và t$t c@ m,i ng9i ã quan tâm, to
iu ki+n, ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v ca mình.
Hà ni, tháng 12 nDm 2010
ng c Cng
![Page 7: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/7.jpg)
7
='HI!U
MHt s1C0hi>u thng IXng trong luYn vZn
1. N : không gian Euclide th)c N chiu
2. ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω .
3. ( ) ( ) ( )0
lim i
hi
u x u x he u x
x h→
∂ + −=
∂ nu gi3i n y t*n i. S!hi+u
ixu ,
( )0,0, ,0, ,0, ,0ie i= : Vect n <th/i.
4. ( )1 2, , , Nα α α α= : a Ts. iα +∈
1 2 Nα α α α= + + + : b=c a a Ts.
5. ( )21 2, 1, , , ,j N
j
D i i D D D Dx
∂= − = − =
∂ : Vect gradient
( ) ( )1 2
1 2
1 , 1j
jj
j Nj
Nj
D Dx x xx
α αα αα α
α αα α
∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂∂
6. ( )2
1i i
N
x x
i
u u tr D u=
∆ = = : n tLaplace a u.
7. ( )C Ω : không gian c m :u Ω → liên c.
( )C Ω : không gian c m ( )u C∈ Ω , u liên c u.
( )kC Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vi n c$p k
( )C∞ Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vô n
( ) ( )0
k
k
C C∞
∞
=
Ω = Ω v3i ( )kC Ω : không gian c m ( )k
u C∈ Ω , D uα
liên c u v3i >,i , kα α ≤ .
( )0k
C Ω : không gian c m ( )ku C∈ Ω , u 2-compact
8. ( )pL Ω : không gian c m :u Ω → , u o :c Lebesgue
( )pLu
Ω< ∞
Trong 2
( )
1
, 1
sup ,
p
pp
L
u dx pu
ess u p
ΩΩ
Ω
≤ < ∞
=
= ∞
v3i sup inf , 0ess f fµ µ= ∈ > = , f m th)c o :c.
( )p
locL Ω không gian c m :u Ω → , ( )pu L U∈ v3i >,i U t=p
con compact trong Ω . 9. ( ) ( ), ,,k k
C Cα αΩ Ω , 1,2, ; 0 1k α= ≤ ≤ : c không gian Hölder.
10. ( ) ( ) ( ), , , 0,1, ; 1o
k k k
pW H H k pΩ Ω Ω = ≤ ≤ ∞ : c không gian Sobolev.
![Page 8: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/8.jpg)
8
CHNG 1
KIN THC CHUN
1.1. MHt s19Knh [,D\a chung vGph<ng /QRnh 9]o Dm riêng. Mt phng nh o m riêng mt phng nh 2ch/a nhiu bin cha bit <mt so m riêng a 2. Cho *
k ∈ <U t=p mFtrong n .
Knh [,D\a 1.1. Mt bi#u th/c 2&ng
(1.1) ( ) ( ) ( )( ), , , , 0kF x u x Du x D u x = v3i x U∈
:c ,i mt phng nh o m riêng bc k. Trong 2
:kn n
F U × × × × → m cho tr3c
<
:u U → m c;n m
Ta 2i phng nh (1.1) :c ,i gii c nu m :c t$t @c m su Qa >'n (1.1). Knh [,D\a 1.2. Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i tuy n nh nu 2 2&ng
( ) ( )k
a x D u f xαα
α ≤
=
Trong 2 ( )a xα < ( )f x c m 'cho.
Phng nh :c ,i tuy n nh thun nht nu 0f ≡ Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i na tuy n nh nu 22&ng
( ) ( )10 , , , , 0k
k
a x D u a x u Du D uαα
α
−
=
+ =
![Page 9: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i ta tuy n nh nu 22&ng
( ) ( )1 10, , , , , , , , 0k k
k
a x u Du D u D u a x u Du D uαα
α
− −
=
+ =
Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i phi tuy n nu 2C thuc không tuyn 5nh <o o m riêng b=c cao nh$t.
1.2. HHi /6yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3. U'y nu ch/a trong X :c ,i hi y un u X∈ nu
* *, ,n
u u u u→ v3i >,i * *u X∈
NhYn U^t 1.1.
1. Nu &'y nu hi n u &'y nu hi yu n u.
2. Mt &'y hi yu &'y ch(n 3. Nu nu hi yu n u lim inf
nn
u u→∞
≤
Knh 7L1.1. Cho Xkhông gian Banach n ( )( )* *X X= y nu chn.
Khi t n i mt y con kn nu u⊂ u X∈ sao cho
knu hi y u n u.
NhYn U^t 1.2. 1. Mt &'y ch(n trong không gian Hilbert ch/a mt &'y con hi yu.
2. VWt ( )pX L= Ω ( )* qX L= Ω , 1 1
1p q
+ = , 1 q< ≤ ∞ . Mt phim m tuyn
5nh ch(n f trên ( )pL Ω 2th#:c bi#u di8n d3i &ng
f fgdxΩ , ( )qg L∈ Ω
TN2
nf hi yu n f thuc ( )pL Ω a :
(1.2) ngf dx fgdxΩ Ω
→ , khi n → ∞ v3i >,i ( )qg L∈ Ω
X ( )pL Ω không gian i ng4u a ( )qL Ω , do 2 ( )pL Ω C @n % nu
1 q< < ∞ . V=y tNmPi &'y ch(n trong ( )pL Ω v3i 1 p< < ∞ 2 th# 5ch ra
mt &'y con hi yu Qa >'n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact.
Knh 7L1.2. !"sy nf y #$c m trong ( )pL Ω sao cho
![Page 10: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/10.jpg)
10
( )0pn L
f fΩ
− →
Khi t n i mt y con kn nf f⊂ sao cho:
1. knf f→ h.k.n trên Ω .
2. ( ) ( )kn
f x h x≤ v%i &'i k h.k.n trên Ω v%i ( )ph L∈ Ω .
1.3. Không gian Sobolev. Knh [,D\a 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev
( ) ( ) : : ,k p
pW u D u L k
α αΩ = Ω → ∈ Ω ∀ ≤
NhYn U^t 1.3.
1. V3i 2p = , không gian ( ) ( )2 , 0,1,k kH W kΩ = Ω = không gian Hilbert.
2. ( ) ( )0 2H LΩ ≡ Ω
Knh [,D\a 1.5. 1. Nu ( )k
pu W∈ Ω chuGn a u :c %c nh nh sau:
( )
1
, 1:
sup ,
kp
pp
kW
k
D u dx pu
ess D u p
α
α
α
α
≤ ΩΩ
Ω≤
≤ < ∞ = = ∞
2. Cho &'y nu , ( )k
pu W∈ Ω . Khi 2 nu :c ,i hi n u trong ( )k
pW Ω nu
( )lim 0k
pn Wn
u uΩ→∞
− =
S5hi+u nu u→ trong ( )k
pW Ω .
Knh 7L1.3. 1. V%i m(i 1,2,k = 1 p≤ ≤ ∞ không gian Sobolev ( )k
pW Ω không gian
Banach.
2. Không gian Sobolev ( )k
pW Ω không gian n n u #)n u 1 p< < ∞ . Hn
n*a ( )2k
W Ω không gian Hilbert v%i ch vô h%ng
![Page 11: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/11.jpg)
11
( )2, k
a
Wk
u v D uD vdxα
αΩ
≤ Ω
=
NhYn U^t 1.4.
1. Z,i bao 2ng a ( )0C∞ Ω trong ( )k
pW Ω ( )o
k
pW Ω . Khi 2
( ) ( )0
ok
pW C
∞Ω = Ω trong ( )k
pW Ω
( ) : 0, 1k
pu W D u kα α
∂Ω= ∈ Ω = ∀ ≤ −
2. ( ) ( )0 2
ok k
H WΩ = Ω
Knh [,D\a 1.6. Không gian +i ng,u a không gian ( )0k
H Ω :c 05 hi+u
( )kH
− Ω . Mt m ( )kf H
−∈ Ω nu f phim m tuyn 5nh ch(n trên ( )0k
H Ω .
Trong ph;n y ta xWt c nh ! .ng >trong 2nh ! .ng Sobolev 2ng mt vai 1quan ,ng. Knh [,D\a 1.7. Z-@sX<Y c không gian Banach. 1. X :c ,i -.ng liên c trong Y nu t*n i nh %tuyn 5nh
:i X Y→
sao cho
( )XY
i x c x≤ , v3i x X∀ ∈ .
v3i 0c > hMng s. Khi 2ta *ng nh$t X v3i không gian con ( )i X Y⊂ .
2. X :c ,i -.ng compact<o Y nu nh %i bin t=p con ch(n trong X nh
t=p compact tng i trong Y. Knh 7L1.4. Cho NΩ ⊂ #o Lebesgue
N ( )Ω < ∞ , 1 p q≤ ≤ < ∞
( ) ( )q pL LΩ ⊂ Ω
N u
N ( )Ω = +∞ -i chung nh /không .ng.
Knh 7L1.5. !"s Ω mi0n compact tng +i trong N k ∈ , 0 1α β≤ < ≤ .
Khi ( ),kC
β Ω -.ng liên c trong ( ),kC
α Ω compact.
Knh 7L 1.6. (Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s NΩ ⊂ mi0n chn v%i biên
Lipschitz, k ∈ , 1 p≤ ≤ ∞ . Khi
![Page 12: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/12.jpg)
12
1. N u kp N< , 1Np
qN kp
≤ ≤−
ta # ( )k
pW Ω -.ng liên c trong ( )qL Ω
1p -.ng compact n u Np
qN kp
<−
.
2. N u 0 1N
m k mp
≤ < − < + , 0N
k mp
α≤ ≤ − − ta # ( )k
pW Ω -.ng liên c
trong ( ),mC
α Ω 1p -.ng compact n u N
k mp
α < − − .
NhYn U^t 1.5. nh ! .ng Sobolev v4n .ng trong c không gian ( )o
k
pW Ω trên >,i
min Ω ch(n. Knh 7L1.7. (BNt 9`ng thc a-;bQ^) !"sΩ mi0n chn trong N
, d 2ng
3nh #4a Ω , ( )10u H∈ Ω . Khi
2 22
u dx d Du dxΩ Ω
≤
Knh 7L1.8. !"s NΩ ⊂ mi0n chn thuc l%p 1C , t n i h5ng s+ ( )c c= Ω
sao cho v%i &'i ( )10u H∈ Ω ta #
2 2 22u dx c Du dx u dσ
Ω Ω ∂Ω
≤ +
1.4. +n tS;JaPi /+n Dirichlet.
S5 hi+u ( ) ( )( )*1 10H H− Ω = Ω không gian c phim m tuyn 5nh liên c trên
( )10H Ω , ( ) ( )2 1L H −Ω ⊂ Ω .
Ta 0!hi+u −∆ n t (1.3) ( ) ( )1 1
0: H H −−∆ Ω → Ω
%c nh theo công th/c (1.4) ( ) ( ), ,u v Du Dv−∆ = , v3i >,i ( )1
0,u v H∈ Ω
Khi 2v3i ( )0,u v C∞∈ Ω ta 2
( ),u v DuDvdxΩ
−∆ =
![Page 13: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/13.jpg)
13
( )
( )
1
2
21
2
21 1
2
021
.
cos ,
,
N
i i i
N
i i i i
N N
i
i ii i
N
i i
u vdx
x x
u uv v dx
x x x
u uvdx x v dS
x x
uvdx v C
x
= Ω
= Ω
= =Ω ∂Ω
∞
=Ω
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂
∂ ∂= − +
∂ ∂
∂= − ∀ ∈ Ω ∂
TN2suy ra
2
21
n
i i
uu
x=
∂∆ =
∂ n tLaplace.
n t −∆ :c %c nh bFi (1.3) < (1.4) :c ,i n ta i n Dirichlet v3i iu ki+n biên thu;n nh$t i v3i phng nh Laplace. (1.5) ( )u f x−∆ = trong Ω
0u = trên ∂Ω
Knh [,D\a 1.8. Z-@ s ( ) ( )2f x L∈ Ω , m ( ) ( )10u x H∈ Ω ,i nghi6m suy rng
(nghi6m y u) a i n Dirichlet (1.5) nu
( ) ( ), ,Du Dv f v= v3i ( )0v C∞∀ ∈ Ω
D_L:
N u nghi6m suy rng c4a bài toán (1.5) th7a mãn i0u ki6n
( ) ( )1 20u H C∈ Ω ∩ Ω u nghi6m c8i9n #4a i :$n (1.5).Tht vy:
( )10u H∈ Ω nghi6m suy rng #4a i :$n (1.5) thì ( ) ( ), ,Du Dv f v= v%i m'i
( )0v C∞∈ Ω .
( )2u C∈ Ω thì ( ) ( ), ,Du Dv u v= −∆ , trong 2
21
n
i i
uu
x=
∂∆ =
∂ , v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω .
Suy ra ( ) ( ), ,u v f v−∆ = v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω . Hay u f−∆ = trong Ω . Hay u nghi6m
c8i9n #4a i :$n (1.5).
Tip theo ta %Wt ph6a n t −∆ . Theo inh a ta 2v3i ( )1
0u H∀ ∈ Ω
( ) ( ) ( ) ( )2 10
2 2, ,
L Hu u Du Du Du uγ
Ω Ω−∆ = = ≥ , 0γ ≥
![Page 14: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/14.jpg)
14
suy ra
( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 0
2, .
H H Hu u u u uγ −Ω Ω Ω
≤ −∆ ≤ ∆
do 2
( ) ( )1 10
.H H
u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1
0u H∈ Ω .
Sau ây nh !quan ,ng v5nh ch$t a n t −∆ . Knh 7L1.9. ;:$n t ( ) ( )1 1
0: H H −−∆ Ω → Ω $nh 1-1 lên.
Ch<ng minh:
Có −∆ là ánh x tuyn tính<liên c. Vì
( ) ( )1 10
.H H
u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1
0u H∈ Ω
suy ra −∆ là n ánh. Gi@ s min giá tr ca −∆ là ( )R −∆ . Ta l$y dãy ( ) nu−∆
trong ( )R −∆ hi t n 0v . Vì ( ) nu−∆ là dãy Cauchy trong ( )R −∆ nên:
( ) ( )( )1,
lim 0j kj k H
u u−→∞ Ω
−∆ − −∆ =
suy ra ( )
( ) ( )( )1 1
0j k j kH H
u u u uγ−Ω Ω
− ≤ −∆ − −∆ . V=y nu là dãy Cauchy trong ( )10H Ω
nên nó hi t n ( )10 0u H∈ Ω .
Do ánh x −∆ là liên tc nên ( )0 0u v−∆ = . V=y min giá tr ( )R −∆ là óng trong
( )1H − Ω , hay −∆ là n ánh có min giá tr óng.
Gi@ s t*n ti ph;n t ( )10 0u H∈ Ω tr)c giao v3i min giá tr ( ) ( )1R H −−∆ ⊂ Ω , t/c là
( )0, 0u u−∆ = v3i m,i ( )10u H∈ Ω . Ta (t 0u u= thì ( )0 0, 0u u−∆ = , suy ra 0 0u = . V=y
−∆ là ánh x lên, t/c là ( ) ( )1R H −−∆ = Ω .
H>cd.1.1. V%i &'i ( ) ( )2f x L∈ Ω i :$n Dirichlet (1.5) t n i duy nht nghi6m
suy rng (nghi6m y u) ( )10u H∈ Ω .
Ch<ng minh:
Gi@ s ( ) ( )2 1f L H −∈ Ω ⊂ Ω . Theo nh lí 1.9, t*n ti duy nh$t ( )10 0u H∈ Ω sao cho
( ) ( ) ( )0 0, , ,u v Du Dv f v−∆ = = , v3i m,i ( )0v C∞∈ Ω . iu ó có ngha là 0u là nghi+m
suy rng ca bài toán Dirichlet. S5 hi+u ( ) ( )1 1
0:T H H− Ω → Ω n t ch @o a n t −∆ . Z-@ s
( )10,u v H∈ Ω . (t ,u vϕ ψ= −∆ = −∆ khi 2
![Page 15: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/15.jpg)
15
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,T T u v u v Du Dv u v Tϕ ψ ϕ ψ= − ∆ −∆ = −∆ = = −∆ = .
V=y ta 2 ( ) ( ), ,T Tϕ ψ ϕ ψ= , v3i >,i ( )2, Lϕ ψ ∈ Ω
Do 2 n cha n tT trên ( )2L Ω n tt)liên h:p *T T= . M(t 0 c C Wp
.ng ( )10H Ω <o ( )2L Ω compact cho nên n chtrên ( )2L Ω a n t
( ) ( ) ( )2 1 20:T L H LΩ → Ω ⊂ Ω compact, t)liên h:p.
Hn n?a v3i >,i ( )2Lϕ ∈ Ω , t*n i duy nh$t ( )1
0u H∈ Ω sao cho: u ϕ−∆ = . Ta 2:
( ) ( ) ( )10
2, , , 0
HT u u uϕ ψ γ γ
Ω= −∆ ≥ ≥ .
Ta 25nh ch$t sau vn t ch @o a n t −∆ . Knh 7L1.10. ;:$n t-=ch o T #4a :$n t−∆ :$n tcompact, $c nh dng
tliên hp trong ( )2L Ω .
NhYn U^t 1.6. nh !y cho ta s)t*n i mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω g*m c
m riêng 1j j
u∞
=a n tT /ng v3i c - riêng
1j jµ
∞
=, 0jµ > , 0jµ ↓ khi
j → +∞ , t/c (1.6) j j jTu uµ= , 0jµ ↓ khi j → +∞
X ( ) ( )1 1
0:T H H− Ω → Ω nên tN(1.6) suy ra ( )10ju H∈ Ω v3i 1, 2,j∀ = .
"Jng tN(1.6) ta 2
1, ,
j j j j j
j
u uλ λ λµ
−∆ = = → +∞
Xv=y n t −∆ Jng 2&'y c m riêng 1j j
u∞
= trong ( )1
0H Ω /ng v3i &'y c
giáriêng 1j j
λ∞
= n i+u tDng khi j → +∞ ,
1 2 30 ,j jλ λ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ ≤ → +∞ khi j → +∞
<c m riêng l=p nh mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω .
1.5. Knh 7LLax-Milgram
![Page 16: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Knh lý 1.11. Gi s X là không gian Hilbert thc, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính
thc trên X. Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n.
i. T n ti 0c > sao cho ( ), . , ,a u v c u v u v X≤ ∀ ∈
ii. T n ti 0γ > sao cho ( ) 2, ,a u u u u Xγ≥ ∀ ∈
Khi ó m'i phi m hàm tuy n tính liên tc ( )F u trên X 0u t n ti f X∈ sao cho
( ) ( ), ,F u a u f u X= ∈
Ch<ng minh:
L$y u X∈ c nh. Khi ó ( ) ( ),u v a u v= là phim hàm tuyn tính trên X.
Theo i. ta có:
( ) ( ), . ,u v a u v c u v v X= ≤ ∀ ∈
V=y ( )u v là phim hàm tuyn tính liên tc trên X. Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n ti
mt ph;n t kí hi+u là Au X∈ sao cho:
( ) ( ),u v Au v= , v3i v X∀ ∈
V=y
( ) ( ), , ,a u v Au v= v3i v X∀ ∈
và ta có mt toán t :A X X
u Au
→
A là toán t tuyn tính. Theo i. ta có:
( ) ( )2, , .Au Au Au a u Au c u Au= = ≤ , v3i u X∀ ∈
Vy
,Au c u u X≤ ∀ ∈
suy ra :A X X→ là toán t liên tc. Hn n?a v3i 1 2,u u X∈ mà
(1.7) 1 2 1 2Au Au u u≠ ≠
M(t khác v3i m,i u X∈ , ( ) ( )2 1 1, , .
cu a u u Au u Au u
γ γ γ≤ = ≤
TN ó:
![Page 17: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/17.jpg)
17
(1.8) ,c
u Au u Xγ
≤ ∀ ∈
Do ó v3i 1 2,u u X∈ mà
(1.9) 1 2 1 2u u Au Au≠ ≠
TN (1.7) và (1.9) suy ra :A X X→ là ánh x 1 – 1. Kí hi+u ( ) ,A X Au u X= ∈ , ta ch/ng minh ( )A X óng trong X.
Th=t v=y; gi@ s jAu là dãy hi t n v X∈ . Vì j
Au là dãy Cauchy trong X , ta
có:
,lim 0j kj k
Au Au→∞
− =
TN (1.8) ta có: j k j k
cu u Au Au
γ− ≤ − . V=y j
u là dãy Cauchy trong X, nên t*n ti
u X∈ sao cho:
lim jj
u u→∞
=
Do A là ánh x liên tc nên ( )Au v A X= ∈ , hay ( )A X là óng trong X.
Ta ch/ng minh ( )A X X= .
Gi@ s ( )A X X⊂ , A óng. L$y u X∈ , ( )u A X∉ , tr)c giao v3i ( )A X , t/c là
( ) ( ), , 0u Au a u u= =
Vì ( )2 1, 0u a u u
γ≤ = nên 0u = , t/c là ( )A X X= .
V=y :A X X→ là song ánh. Gi@ s ( )F u là phim hàm tuyn tính liên tc trên X . Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n
ti duy nh$t g X∈ sao cho
( ) ( ),F u g u=
Khi ó t*n ti f X∈ sao cho g Af= . Do ó
( ) ( ) ( ) ( ), , ,F u g u Af u a f u= = = , v3i u X∀ ∈
V=y ta có iu ph@i ch/ng minh. Chú ý:
![Page 18: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/18.jpg)
18
- Yng c$u :A X X→ :c xây d)ng trong nh lý Lax-Milgram sao cho ( ) ( ), , , ,Au v a u v u v X= ∀ ∈
:c g,i là toán t liên k t v3i dng song tuyn tính ( ),a u v trên không
gian Hilbert X. Hay ( ),a u v :c g,i là dng song tuy n tính liên k t v3i
toán t A. - Dng song tuyn tính liên tc ( ),a u v :c g,i là Qa >'n i0u ki6n
b<c nu t*n ti hMng s 0c > sao cho
( ) 2, ,a u u c u≥ v3i u X∀ ∈
Knh 7L1.12. N u ( ).,.a là dng song tuy n tính liên tc 7a &n i0u ki6n b<c thì
toán t A liên k t v%i dng song tuy n tính ( ),a u v là mt >ng cu t? V lên V’.
Trong ó V là không gian Hilbert ph<c và tích vô h%ng ( ), , ,u v u v V∈ th7a mãn i0u
ki6n: ( ) ( ), , ,u v v u= v%i ,u v V∀ ∈ . V’ là không gian +i ng,u c4a V
. Ch<ng minh.
A là toán t liên tc. Th=t v=y:
( ) ( )2, , . ,Au Au Au a u Au u Au u V= = ≤ ∀ ∈
hay Au u≤ .
A là n ánh: Nu 0Au = thì ( ) ( ), , 0Au u a u u= = . V=y 0u = .
[nh ca A là trù m=t. Ta c;n ch/ng minh rMng nu u V∈ , tr)c giao v3i Im A thì 0u = . Khi ó u tr)c giao v3i Au , hay
( ), 0Au u = ( ), 0 0a u u u = = .
[nh ca A là óng. Chú ý rMng v3i v V∀ ∈ ta có:
( ) ( ) ( )'
w 0
, w , ,sup
wV V
V V V
Av Av v a v uAv c v
v v≠= ≥ = ≥
suy ra (1.10)
':
V Vv V Av c v∀ ∈ ≥
Nu dãy jAv hi t n 'f V∈ thì jv hi t n v V∈ . Do tính liên tc ca A ta
có Av f=
![Page 19: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Suy ra @nh ca A là óng trong V’. V=y A là song ánh tN V lên V’. TN b$t Yng th/c (1.14) và nh lý Banach v ánh x ng:c suy ra 1A− liên tc. V=y A là Yng c$u tN V lên V’.
![Page 20: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/20.jpg)
20
CHNG 2
MT S NH LÝ V IM B T NG Trong chng này, chúng tôi trình bày mt s nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co, ánh x không dãn, ánh x liên tc và mt s /ng dng ca nó. Trong s ó, nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co trong không gian Banach sK :c áp dng # gi@i quyt bài toán F chng sau.
2.1. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co.
Cho ( ),X d là mt không gian metric. Mt ánh x :F X X→ :c g,i là mt
ánh x Lipschitz (Lipschitzian) nu t*n ti mt hMng s α không âm sao cho:
(2.1) ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x yα≤ v3i m,i ,x y X∈ .
Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên tc trên X. HMng s α nhQ nh$t thQa mãn (2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L. Nu 1L < thì ta nói F là ánh x co, 1L = thì ta nói F là ánh x không dãn.
Cho :F X X→ , x X∈ , ta xác dnh bMng qui np dãy ( ) nF x nh sau:
( ) ( ) ( )( )0 1, , .n nF x x F x F F x n
+= = ∀ ∈
Knh lý 2.1. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho :F X X→ là ánh x co v%i
h5ng s+ Lipschitz L. Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈ . Ngoài ra v%i m'i
x X∈ ta có:
( )lim n
nF x u
→∞=
và
( )( ) ( )( ), ,1
nn L
d F x u d x F xL
≤−
Ch<ng minh:
Tr3c ht ta ch/ng minh tính duy nh$t. Gi@ s t*n ti ,x y X∈ sao cho ( )F x x= và ( )F y y= . Khi ó:
![Page 21: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/21.jpg)
21
( ) ( ) ( )( ) ( ), , . ,d x y d F x F y L d x y= ≤
( ) ( )( )
1 , 0
, 0
L d x y
d x y
x y
− ≤
=
=
Tính t*n ti.
L$y x X∈ . Ta sK ch/ng minh ( ) nF x là mt dãy Cauchy.
Ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1, . , . ,n n n n nd F x F x L d F x F x L d x F x
+ −≤ ≤ ≤
V3i m n> , n ∈ :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
1 1
1
1
2
, , ,
,
. , . ,
. , 1
,1
n m n n n n
m m
n m
n
n
d F x F x d F x F x d F x F x
d F x F x
L d x F x L d x F x
L d x F x L L
Ld x F x
L
+ +
−
−
≤ + +
+ +
≤ + +
≤ + + +
=−
V=y v3i ,m n n> ∈
(2.2) ( ) ( )( ) ( )( ), ,1
nn m L
d F x F x d x F xL
≤−
Khi n → +∞ , do 0 1L≤ < , v ph@i ca (2.2) tin d;n t3i 0, kéo theo v trái ca (2.2)
tin d;n t3i 0. Hay ( ) nF x là dãy Cauchy trong X.
Vì X là không gian nên t*n ti u X∈ sao cho:
( )lim n
nF x u
→∞=
Ta ch/ng minh u là i#m b$t ng ca F. Do F liên tc ta có:
( ) ( )( ) ( )1lim limn n
n nu F x F F x F u+
→∞ →∞= = =
V=y u là i#m b$t ng ca F. Trong (2.2), c nh n, cho m → +∞ ta :c
( )( ) ( )( ), ,1
nn L
d F x u d x F xL
≤−
NhYn xét 2.1. Trong nh lý 1 òi hQi iu ki+n 1L < . Nu 1L = thì F không nh$t thit có i#m b$t ng. Ví d:
![Page 22: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Cho :F → xác nh bFi ( ) 1F x x= + , khi ó:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 ,d F x F y x y x y d x y= + − + = − =
Nhng 1x x≠ + v3i m,i x ∈ và do ó F không có i#m b$t ng nào. Knh lý 2.2. Cho ( ),X d là mt không gian metric compact v%i :F X X→ th7a mãn
( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y< v%i m'i ,x y X∈ và x y≠ .
Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong X.
Ch<ng minh:
Tính duy nh$t là hi#n nhiên. Ta ch/ng minh tính t*n ti. Xét ánh x :G X → xác nh bFi ( ) ( )( ),G x d x F x= , G liên tc trên X. Vì X là
compact nên G t giá tr nhQ nh$t trên X, hay t*n ti 0x X∈ sao cho
( ) ( )0 minx X
G x G x∈
= . Ta có ( )0 0x F x= vì nu ( )0 0x F x≠ , theo gi@ thit
( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0, ,d F F x F x d F x x<
hay
( )( ) ( )0 0G F x G x<
ó là iu mâu thu4n.
Knh lý 2.3. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và cho
( ) ( ) 0 0, : ,B x r x X d x x r= ∈ < , v%i 0x X∈ và 0r >
Gi s r5ng ( )0: ,F B x r X→ là ánh x co (có ngh@a là ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y Ld x y≤ v%i
m'i ( )0, ,x y B x r∈ v%i 0 1L≤ < ) v%i
( )( ) ( )0 0, 1 .d F x x L r< −
Khi ó F có i9m bt ng duy nht trong ( )0 ,B x r .
Ch<ng minh:
T*n ti 0r sao cho 00 r r≤ < và ( )( ) ( )0 0 0, 1d F x x L r≤ − . Ta sK ch/ng minh rMng
( ) ( )0 0 0 0: , ,F B x r B x r→ . Th=t v=y, v3i ( )0 0,x B x r∈ thì
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0
, , ,
, 1 .
d F x x d F x F x d F x x
Ld x x L r r
≤ +
≤ + − ≤
![Page 23: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Theo nh lý 2.1, F có mt i#m b$t ng duy nh$t trong ( ) ( )0 0 0 0, ,B x r B x r⊂ . Vi+c
ch/ng minh tính duy nh$t ca i#m b$t ng là d8 dàng.
Knh lý 2.4. Cho [ ]0,rB B r= trong không gia Banach X. : rF B X→ là mt ánh x co
và ( )r rF B B∂ ⊂ . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong rB .
Ch<ng minh:
Xét
( ) ( )2
x F xG x
+=
Tr3c ht ta ch/ng minh : r rG B B→ .
(t * xx r
x= v3i rx B∈ và 0x ≠ . D8 th$y *
x r= nên *rx B∈∂ .
V3i , 0rx B x∈ ≠ ,
( ) ( ) ( )* *F x F x L x x L r x− ≤ − = −
vì ( )* xx x x r
x− = − . Và do ó
( ) ( ) ( ) ( )( )
* *
2
F x F x F x F x
r L r x r x
≤ + −
≤ + − ≤ −
V=y v3i rx B∈ và 0x ≠
( ) ( ) ( )2 2
x F xx F xG x r
++= ≤ ≤
Do tính liên tc ta cJng có
( )0G r≤
V=y : r rG B B→ , hn n?a G là ánh x co vì
( ) ( ) 1
2 2
x y L x y LG x G y x y
− + − +− = −
![Page 24: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Theo nh lý 2.1, G có i#m b$t ng duy nh$t ru B∈ . Hi#n nhiên nu ( )G u u= thì
( )F u u= .
Knh lý 2.5. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và :F X X→ là mt ánh x
(không nht thi t là liên tc). Gi s r5ng các i0u ki6n sau ây là úng.
(2.3) V%i m(i 0ε > t n ti mt ( ) 0εδ > sao cho
n u ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì ( )( ) ( ), ,F B x B xε ε⊂
v%i ( ) ( ) , : ,B x y X d x yε ε= ∈ <
N u v%i mt u nào ó thuc X ta có ( ) ( )( )1lim , 0n n
nd F u F u+
→∞= thì dãy ( ) n
F u hi t
n i9m bt ng c4a F.
Ch<ng minh:
Gi@ s u thQa mãn iu ki+n ca nh lý. (t ( )n
nu F u= . Ta ch/ng minh nu là dãy
Cauchy. Cho 0ε > , ch,n ( )εδ thQa mãn (2.3) . Ta ch,n N l3n sao cho ( )1,n nd u u ε+ < v3i m,i
n N≥ . Vì ( )( ) ( ),N Nd u F u εδ< nên tN (2.3) ta suy ra ( )( ) ( ), ,N NF B u B uε ε⊂ . Do ó
( ) ( )1 ,N N NF u u B u ε+= ∈ . BMng quy np ta có
( ) ( ),k
N N k NF u u B u ε+= ∈ v3i m,i 0,1, 2,k ∈
V=y
( ) ( ) ( ), , , 2k l k N l Nd u u d u u d u u ε≤ + < v3i m,i ,k l N≥
Và do ó nu là dãy Cauchy trong không gian X nên t*n ti lim n
nu y X
→∞= ∈ .
Ta ch/ng minh rMng y là i#m b$t ng ca F. Gi@ s ng:c li
( )( ), 0d y F y γ= >
ch,n và c nh ,3nu B yγ ∈
v3i
( )1
3
,n nd u u γδ+
<
TN (2.3) ta suy ra
, ,3 3n nF B u B uγ γ ⊂
![Page 25: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/25.jpg)
25
và do ó ( ) ,3nF y B uγ ∈
. iu ó là mâu thu4n vì
( )( ) ( )( ) ( ) 2, , ,
3 3 3n nd F y u d F y y d u y
γ γ γγ> ≥ − > − =
V=y ( )( ), 0d y F y = hay ( )F y y= .
Knh lý 2.6. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho
( ) ( )( ) ( )( ), ,d F x F y d x yφ≤ v%i m'i ,x y X∈
Trong ó :[0, ) [0, )φ ∞ → ∞ là hàm không gim nào ó (không nht thi t là liên tc)
th7a mãn ( )lim 0n
ntφ
→∞= v%i m'i 0t > . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈
v%i
( )lim n
nF x u
→∞= v%i m'i x X∈ .
Ch<ng minh:
Gi@ s ( )t tφ≤ v3i 0t > nào ó. Khi ó ( ) ( )( )t tφ φ φ≤ (do φ là hàm không gi@m) vì
v=y ( )2t tφ≤ . BMng quy np suy ra ( )nt tφ≤ v3i m,i 1n ≥ . iu này mâu thu4n v3i
gi@ thit ( )lim 0n
ntφ
→∞= . V=y ( )t tφ < v3i m,i 0t > .
Ta có
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )
1 1 1, , ,
, , .
n n n n n n
n
d F x F x d F F x F F x d F x F x
d x F x x X
φ
φ
+ − −= ≤ ≤
≤ ≤ ∀ ∈
Nu ( )F x x= thì x là i#m b$t ng.
Gi@ s ( )F x x≠ , ( )( ), 0d x F x > . Theo gi@ thit ( )( )( )lim , 0n
nd x F xφ
→∞= suy ra
( ) ( )( )1lim , 0n n
nd F x F x+
→∞= .
Cho 0ε > và ch,n ( ) ( ) 0εδ ε φ ε= − > . Nu ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì v3i m,i ( ),z B x ε∈
ta có
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
, , , , ,
,
d F z x d F z F x d F x x d z x d F x x
d z x ε
φ
φ δ φ ε ε φ ε ε
≤ + ≤ +
≤ + ≤ + − =
Và do ó ( ) ( ),F z B x ε∈ . Theo nh lý 2.5 suy ra F có i#m b$t ng duy nh$t u v3i
( )lim n
nF x u
→∞= v3i m,i x X∈ .
D8 dàng ch/ng minh :c i#m b$t ng là duy nh$t.
![Page 26: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/26.jpg)
26
NhYn xét 2.2. Chú ý rMng nh lý 2.1 là tr9ng h:p riêng ca nh lý 2.6 nu ta ch,n
( )t Ltφ = v3i 0 1L≤ < .
Ang dng:
Ta sK áp dng phng pháp i#m b$t ng trong vi+c chT ra s) t*n ti và duy nh$t nghi+m ca bài toán giá tr ban ;u. Tìm nghi+m ca toán.
(2.4) ( ) ( )( )
( ) 0
' ,
0
y t f t y t
y y
=
=
Trong ó : n n
f I × → và [ ]0,I b= , f liên tc.
Chú ý rMng h+ (2.4) là h+ phng trình vi phân c$p mt vì f l$y giá tr trong n
.
( )1y C I∈ (Không gian Banach các hàm kh@ vi c$p mt liên tc trên I và :c trang b
chuGn ( ) ( ) 1max , '
n nt I
u u t u t∈
=
).
( )1y C I∈ là nghi+m ca (2.4) ( )y C I∈ (Không gian Banach các hàm liên tc trên I
:c trang b chuGn ( )0max
nt I
u u t∈
=
) là nghi+m ca phng trình
(2.5) ( ) ( )( )0 0,
t
y t y f s y s ds= +
Xác nh mt toán t tích phân ( ) ( ):T C I C I→ bFi
( ) ( )( )0 0,
t
Ty t y f s y s ds= + .
Suy ra y là nghi+m ca (2.4) khi và chT khi ( )y T y= hay y là i#m b$t ng ca T.
Knh lý 2.7. Cho : n nf I × → là liên tc và th7a mãn i0u ki6n Lipschitz theo y,
ngh@a là t n ti 0α ≥ sao cho
( ) ( ), ,f t y f t z y zα− ≤ − v%i m'i , ny z ∈ .
Khi ó t n ti duy nht ( )1y C I∈ là nghi6m c4a (2.4).
Ch<ng minh:
Ta sK áp dng nh lý 2.1 # ch/ng minh T có i#m b$t ng duy nh$t. Nu dùng chuGn maximum trong ( )C I chT cho nghi+m a phng xác nh trong mt
kho@ng con ca I. Ta sK dùng chuGn maximum v3i tr,ng s
( )0
: ty e y t
αα
−=
![Page 27: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/27.jpg)
27
trên ( )C I . ( )C I là không gian Banach v3i chuGn này vì .α
và 0
. là hai chuGn
tng ng. Do
0 0
te y y y
αα
− ≤ ≤
Ta ch/ng minh T là ánh x co trên ( )( ), .C Iα
. Th=t v=y, cho ( ),y z C I∈ suy ra
( ) ( ) ( )( ) ( )( )0
, ,t
Ty t Tz t f s y s f s z s ds − = − v3i m,i t I∈ .
Do ó v3i m,i t I∈ ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
0 00
0
1
1
tt t s s
tt s
t t
t
e Ty Tz e e e y s z s ds
e e ds y z
e e y z
e y z
α α α α
α α
α
α αα
αα
α
α
− − −
−
−
− ≤ −
≤ −
≤ − −
= − −
V=y
( )1 tTy Tz e y z
αα α
− ≤ − −
Vì 1 1te
α−− < nên T là ánh x co trong ( )( ), .C Iα
. Theo nh lý 2.1 suy ra t*n ti
duy nh$t ( )y C I∈ sao cho ( )T y y= . V=y (2.4) có nghi+m duy nh$t ( )y C I∈ .
2.2. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] không dãn.
Cho ( ),X d là mt không gian metric v3i C X⊆ . NhLc li rMng mt ánh x
:F C X→ :c g,i là ánh x không dãn nu 1L = , hay F thQa mãn
( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y≤ v3i m,i ,x y X∈ .
Chúng ta ã bit có nhiu ánh x không dãn mà không h có i#m b$t ng. Chúng ta sK bLt ;u ph;n này v3i mt kt qu@ là nh lý Schauder v ánh x không dãn. Nó là tr9ng h:p (c bi+t ca nh lý Schauder v i#m b$t ng sK :c gi3i thi+u trong ph;n sau. Knh lý 2.8. Cho C là mt tp con l i, óng và không r(ng c4a mt không gian tuy n
tính nh chuBn X v%i :F C C→ là ánh x không dãn và ( )F C là mt tp con c4a mt
tp con compact c4a C. Khi ó F có i9m bt ng.
Chúng minh:
Cho 0x C∈ . V3i 2,3,n = , nh ngha
![Page 28: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/28.jpg)
28
0
1 1: 1nF F x
n n
= − +
Vì C là mt t=p l*i và 0x C∈ , ta suy ra :nF C C→ và nF là ánh x co. Theo nh lý 2.1
mPi nF có mt i#m b$t ng duy nh$t nx C∈ và
( ) ( ) 0
1 11n n n nx F x F x x
n n
= = − +
Hn n?a vì ( )F C nMm trong mt t=p con compact ca C nên t*n ti mt dãy con S các
s nguyên và u C∈ v3i
( )nF x u→ khi n → ∞ trong S.
V=y
( ) 0
1 11n nx F x x u
n n
= − + →
khi n → ∞ trong S.
Do tính liên tc
( ) ( )nF x F u→ khi n → ∞ trong S.
và do ó ( )u F u= .
Knh lý 2.9. Cho tp C l i, óng, b chn và khác r(ng trong không gian Hilbert H. Khi
ó m(i ánh x không dãn :F C C→ có ít nht mt i9m bt ng.
NhYn xét 2.3. Chú ý rMng tính duy nh$t là không nh$t thit. Ví d
( ) [ ], 0,1F x x x C= ∈ = là ánh x không dãn có vô s i#m b$t ng.
NhYn xét 2.4. Th)c t trong nh lý 2.9 chT c;n gi@ thit H là mt không gian Banach l*i u. Không gian Banach X :c g,i là không gian l*i u nu v3i m,i 0ε > , t*n ti ( ) 0εδ >
sao cho v3i m,i ,x y X∈ : 1, 1x y≤ ≤ và x y ε− ≥ ta luôn có ( )12
x yεδ
+≤ − . Hay
v3i hai i#m b$t k\ x, y thuc hình c;u n v, i#m 2
x y+ có kho@ng cách là dng t3i
biên ca hình c;u ó. # ch/ng minh nh lý 2.9 ta c;n t3i hai b6 sau. Be 9G 2.1. Cho H là mt không gian Hilbert v%i ,u v H∈ và cho r, R là các h5ng s+ v%i
0 r R≤ ≤ . N u t n ti mt x H∈ sao cho
,u x R v x R− ≤ − ≤ và 2
u vx r
+− ≥
![Page 29: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/29.jpg)
29
thì
2 22u v R r− ≤ −
Ch<ng minh:
TN b$t Yng th/c hình bình hành ta có
( ) ( )
( )
22 2 2
22 2 2 2
2 2
2 2 4 42
u v u x v x u x v x
u vR R x R r
− = − + − − − − −
+≤ + − − ≤ −
Be 9G 2.2. Cho H là mt không gian Hilbert, C H⊆ và là tp b chn, :F C C→ là
mt ánh x không dãn. Gi s r5ng ,x C y C∈ ∈ và 2
x ya C
+= ∈ . G'i ( )Cδ là 2ng
kinh c4a C và cho ( )0 Cε δ< ≤ v%i ( )x F x ε− ≤ và ( )y F y ε− ≤ . Khi ó
( ) ( )2 2a F a Cε δ− ≤ .
Ch<ng minh:
Vì
( ) ( )2 2
a F a a F ax y x y
+ +− ≤ − + −
không m$t tính t6ng quát ta có th# gi@ thit
( ) 1
2 2
a F ax x y
+− ≥ − .
Vì
1
2a x x y− = −
ta có
( ) ( ) ( ) ( )1
2
F a x F a F x F x x
a x x yε ε
− ≤ − + −
≤ − + = − +
Áp dng b6 2.1 v3i 1 1
, ,2 2
r x y R x y u aε= − = − + = và ( )v F a= ta :c
![Page 30: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/30.jpg)
30
( )
( )
2 2
2
1 12
2 2
2 2
2 2
a F a x y x y
x y x y
C
ε
ε ε ε ε
ε δ
− ≤ − + − −
= − + = − +
≤
Ch<ng minh nh lý 2.9:
Gi@ s 0x C∈ và ( )0 0f x x≠ (nu ( )0 0f x x= thì 0x là i#m b$t ng). V3i mPi
2,3,n = (t
( ) ( ) 0
1 1: 1nF x F x x
n n
= − +
v3i m,i x C∈
Ta có :nF C C→ và nF là ánh x co do F là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.1 suy
ra t*n ti duy nh$t nx C∈ sao cho
( ) ( ) 0
1 11n n n nx F x F x x
n n
= = − +
suy ra
(2.6) ( ) ( ) ( )0
1 1n n nx F x F x x C
n nδ− = − ≤
v3i ( )Cδ là 9ng kính ca C. V3i 2,3,n = , (t
( ) ( )1:nQ x C x F x C
nδ = ∈ − ≤
ta :c
2 3 nQ Q Q⊆ ⊆ ⊆ ⊆ và nQ ≠ ∅ v3i m,i 2,3,n =
Dãy nQ là dãy gi@m các t=p óng, khác rPng. (t
(2.7) inf :n n
d x x Q= ∈
Do nQ là dãy gi@m suy ra 2 3 nd d d≤ ≤ ≤ ≤ , v3i ( )id Cδ≤ v3i mPi 2,3,i ∈ .
Suy ra t*n ti
( )limn
nd d Cδ
→∞= ≤
(t
[ ]2 08, 1n n
A Q B x d n= ∩ +
v3i
[ ] 0 0, 1 : 1B x d n x H x x d n+ = ∈ − ≤ +
![Page 31: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Ta có nA là dãy gi@m các t=p óng khác rPng. Ch/ng minh nA ≠ ∅ , th=t v=y, tN (2.7)
suy ra t*n ti 28n nx Q∈ sao cho 20 8
1 1n n n
d x x d dn n
≤ − ≤ + < + suy ra nA ≠ ∅ .
Ta sK ch/ng minh ( )lim 0nn
Aδ→∞
= .
Gi@ s , nu v A∈ ta có
(2.8) 0
1u x d
n− ≤ + và 0
1v x d
n− ≤ +
Vì 28
,n
u v Q∈ ta có
( ) ( )2
1
8u F u C
nδ− ≤ và ( ) ( )2
1
8v F v C
nδ− ≤
Theo b6 2.2 suy ra
(2.9) ( ) ( ) ( )2
1 12 2 .
2 2 8
u v u vF C C C
n nδ δ δ
+ + − ≤ =
Suy ra 2 n
u vQ
+∈ và
02 n
u vx d
+− ≥ .
TN (2.8) và (2.9), theo b6 2.1 suy ra
221
2 nu v d dn
− ≤ + −
Vì v=y
( ) ( )2 22
2 12 0n n
dA d d
n nδ ≤ + + − → khi n → ∞
hay
( )lim 0nn
Aδ→∞
=
Theo nguyên lý Cantor áp dng cho dãy n
A suy ra t*n ti mt
*
2n
n
x A∞
=
∈
Vì
2
*
82
nn
x Q∞
=
∈
Ta có
![Page 32: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/32.jpg)
32
( ) ( )* *28
Cx F x
n
δ− ≤ v3i m,i 2,3,n ∈
Mà ( )
20
8
C
n
δ→ khi n → ∞ nên suy ra ( )* *
F x x= .
Knh lý 2.10. Cho C là tp l i, óng, b chn trong không gian Hilbert, :F C C→ là
ánh x không dãn. Khi ó tp A các i9m bt ng c4a F là mt tp l i, óng, khác
r(ng.
Ch<ng minh:
Theo nh lý 2.9 suy ra A khác rPng. Vì F liên tc nên A là t=p óng. Thât v=y, gi@ s
nx A⊂ , nx x→ và ( )n nF x x=
suy ra ( )F x x= và x A∈ .
Ta sK ch/ng minh A là t=p l*i. Gi@ s
( ) ( ),u F u v F v= =
và
( )1m u vλ λ= + − v3i ( )0,1λ ∈
Ta ch/ng minh m A∈ Ta có
( )( )1u m u vλ− = − −
( )v m v uλ− = −
Do F không dãn ta có
( ) ( )( )1
u F m F m v u m v m
u v u v u vλ λ
− + − ≤ − + −
= − − + − = −
M(t khác
( ) ( )( ) ( )
u v u F m F m v
u v u F m F m v u v
− = − + −
− ≤ − + − ≤ −
Suy ra
( ) ( )u v u F m F m v− = − + −
(t ( ) ( ),x u F m y F m v= − = − ta :c
x y x y+ = +
Vì H là không gian l*i ch(t nên t*n ti 0α > sao cho
![Page 33: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/33.jpg)
33
( ) ( )( )u F m F m vα− = −
suy ra
( ) ( )11
u vF m v v
αβ β
α+
= = + −+
v3i ( )10,1
1β
α= ∈
+
Ta ch/ng minh β λ= Gi@ s ng:c li, chYng hn β λ> , khi ó ta có
( ) ( ) ( )F v F m v F m u v u v v mβ λ− = − = − > − = −
mâu thu4n v3i F là ánh x không dãn. V=y β λ≤ . Tng t) ta cJng có β λ≥ . V=y β λ=
Suy ra ( ) ( )1F m u v mλ λ= + − = , hay t=p A các i#m b$t ng ca F là t=p l*i.
NhYn xét 2.5. Kt qu@ trên ây còn úng cho không gian Banach l*i u.
Knh lý 2.11. Cho H là không gian Hilbert thc và [ ] 0, :r
B B r x H x r= = ∈ ≤ v%i
0r > . Khi ó m(i ánh x không dãn : rF B H→ có ít nht mt trong hai tính cht sau:
(A1) F có i9m bt ng trong rB .
(A2) T n ti rx B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v%i ( )x F xλ=
Ch<ng minh:
Ta xác nh phép co rút theo tia nh sau: : rr H B→ xác nh bFi
( ),
,
x x r
r x xr x r
x
≤
= >
r là ánh x không dãn.
Suy ra : r rr F B B→ là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.9 suy ra t*n ti rx B∈ sao
cho ( )( )r F x x= . Nu ( ) rF x B∈ thì
( )( ) ( )x r F x F x= =
và F có mt i#m b$t ng, ngha là tính ch$t (A1) úng. Nu ( ) rF x B∉ thì
![Page 34: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/34.jpg)
34
( )( ) ( )( )
( )F x
x r F x r F xF x
λ= = = v3i ( )
1r
F xλ = <
ngha là tính chât (A2) úng vì x r= hay rx B∈∂ .
Knh lý 2.12. Cho H là không gian Hilbert thc, :r
B x H x r= ∈ ≤ v%i 0r > , và cho
: rF B H→ là ánh x không dãn. Gi s r5ng v%i m'i rx B∈∂ mt trong các i0u ki6n
sau ây là úng:
(i) ( )F x x≤ ,
(ii) ( ) ( )F x x F x≤ − .
(iii) ( ) ( )2 22
F x x x F x≤ + − ,
(iv) ( ) 2,x F x x≤ .
Thì F có mt i9m bt ng trong rB .
Ch<ng minh:
Ta ch/ng minh nh lý khi (ii) úng. Gi@ s ng:c li, F không có i#m b$t ng. Theo
nh lý 2.11 suy ra t*n ti rz B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v3i ( )z F zλ= , suy ra ( ) 0F z ≠ và
( ) ( )( ) ( ) ( )( )F z F F z F z F F zλ λ λ= ≤ −
suy ra
( ) ( ) ( )1F z F zλ≤ −
hay 1 1 λ≤ − v3i 0λ > , iu này là mâu thu4n. V=y F có i#m b$t ng.
2.3. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] liên t6c. Knh ngh\a 2.1. Hai không gian topo X và Y :c g,i là ng phôi nu t*n ti mt ánh x kh@ nghch :f X Y→ sao cho f và 1
f− là liên tc. Ánh x f :c g,i là phép ng
phôi. Knh ngh\a 2.2. Mt không gian topo X d:c g,i là có tính cht i9m bt ng nu m,i ánh x liên c :f X X→ u có i#m b$t ng. Knh lý 2.13. N u X có tính cht i9m bt ng và X ng phôi v%i Y thì Y cCng có tính
cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
cho :h X Y→ là phép *ng phôi và gi@ s rMng :g Y Y→ là ánh x liên tc. Chúng ta ph@i ch/ng minh rMng g có i#m b$t ng trong Y. Chú ý rMng
![Page 35: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/35.jpg)
35
1 :h g h X X− →
là liên tc. Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x X∈ sao cho
( )10 0h g h x x
− =
Do ó ( )0 0g y y= v3i ( )0 0y h x= .
Knh ngh\a 2.3. Mt t=p con A ca mt không gian topo X là mt co rút ca X nu t*n ti mt ánh x liên tc :r X A→ sao cho ( )r a a= v3i m,i a A∈ . Ánh x r :c g,i
là phép co rút. Knh lý 2.14. N u X có tính cht i9m bt ng và A là mt co rút c4a X thì A có tính
cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Cho :f A A→ là liên tc và :r X A→ là phép co rút. Ta sK ch/ng minh rMng f có i#m b$t ng trong A. Chú ý rMng
:f r X A X→ ⊆ là liên tc
Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x A∈ sao cho
( )0 0f r x x=
Vì ( )( )0f r x A∈ nên 0x A∈ . Nhng tN 0x A∈ và :r X A→ là phép co rút nên ta có
( )0 0r x x= . V=y ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0f r x f r x f x x= = = , 0x A∈ .
Trong , hình c;u óng n v là [ ]1,1− . Nu [ ] [ ]: 1,1 1,1f − → − là ánh x liên tc thì
f có i#m b$t ng trong [ ]1,1− . Th=t v=y, xét ánh x ( ) ( )g x x f x= − liên tc do f liên
tc và ( ) ( )1 0 1g g− ≤ ≤ và do ó ph@i t*n ti [ ]0 1,1x ∈ − sao cho
( ) ( )0 0 0 0g x x f x= − = hay ( )0 0f x x= . V=y [ ]-1,1 có tính ch$t i#m b$t ng.
Knh lý 2.15. Hình cu óng n v [ ]0,1B B= trong
n có tính cht i9m bt ng.
Vi+c ch/ng minh nh lý này c;n s dng nhiu kt qu@ và khá dài nên không :c trình bày trong lu=n vDn này. Ch/ng minh chi tit nh lý có th# tham kh@o trong [6] Knh lý 2.16. M'i tp con l i, óng, b chn và khác r(ng trong n
0u có tính cht
i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Gi@ s C là t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng trong n và :f C C→ là ánh x
liên tc. Ta sK ch/ng minh f có i#m b$t ng trong C.
![Page 36: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Vì C là t=p b ch(n do ó C ch/a trong mt hình c;u óng *B trong n
. Mà *B *ng
phôi v3i B, theo nh lý 2.13 và 2.15 suy ra *B có tính ch$t i#m b$t ng.
Do C là t=p l*i, óng, b ch(n nên v3i x b$t k\ thuc n
thì x C− là l*i, óng, b ch(n trong n
. Do n là không gian Hilbert nên t*n ti duy nh$t y C∈ sao cho
inf :x y x u u C− = − ∈
(t Px y= , ta ch/ng minh P là ánh x không dãn. Th=t v=y, c nh z C∈ , ta xác nh
[ ]: 0,1ψ +→
bFi
( ) ( )2
1t x t y tzψ = − − −
# ý rMng ( )1 t y tz C− + ∈ do C là t=p l*i. Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
2 2 22
2
,
2 ,
0 , 0,1
t x y t y z x y t y z
x y t y z x y t y z x y
x y t t
ψ
ψ ψ
= − + − − + −
= − + − − + − ≥ −
= − ≤ ∀ ∈
V=y
( ) ( ) ( )0
0' 0 lim 0
t
t
t
ψ ψψ
+→
−= ≥
suy ra
( ) ( )2 , ' 0 ' 0 0ty z x y ψ ψ− − = = ≥
Thay y Px= ta :c
( )' 0 2 , 0Px x z Pxψ = − − ≥
Do n
x ∈ , z C∈ , thay z Py= v3i y nào ó thuc n ta :c
, 0 , 0Px x Py Px Px x Px Py− − ≥ ⇔ − − ≤
Tng t) , 0 , 0Py y z Py Py y Px Py− − ≥ ⇔ − − ≥
TN ó suy ra
![Page 37: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/37.jpg)
37
( )2
2
, 0
, 0
,
x y Px Py Px Py
x y Px Py Px Py
Px Py x y Px Py x y Px Py
Px Py x y
− − − − ≥
⇔ − − − − ≥
⇔ − ≤ − − ≤ − −
⇔ − ≤ −
V=y P là ánh x không dãn, nên là ánh x liên tc. V3i m,i x C∈ ta có ( )P x x= dó ó
: n
f P C→ là liên tc
Vì *B có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti *
0x B∈ sao cho
( )0 0f P x x=
hay
( )( )0 0f P x x C= ∈
suy ra ( )0 0P x x= suy ra ( )( ) ( )0 0 0f P x f x x= =
V=y 0x là i#m b$t ng ca f.
NhYn xét 2.6. Vì m,i không gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u *ng phôi v3i n v3i d imn X= nên m,i t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng ca mt không
gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u có tính ch$t i#m b$t ng. Knh lý 2.17.(Nguyên 7LSchauder) M'i tp con l i, khác r(ng, compact K c4a không
gian nh chuBn X có tính cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Cho :T K K→ là ánh x liên tc, 0ε > c nh tùy ý. Do K là t=p compact suy ra t*n ti ε l3i h?u hn 1 2, , , na a a K⊂ sao cho
( )1
,n
i
i
K B a ε=
⊂
Ta xác nh im ( )1,2, ,i n= trên K bFi
( )0,
,
i
i
i i
x am x
x a x a
ε
ε ε
− ≥=
− − − <
im liên tc trên K. Ta xác nh 0 1:
n
i iK K K span aϕ
=→ = ∩ bFi
![Page 38: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/38.jpg)
38
( )( )
( )1
1
n
i i
i
n
i
i
m x a
x
m x
ϕ =
=
=
ϕ hoàn toàn xác nh vì nu x K∈ thì ( ),i ix B a ε∈ , suy ra ( ) 0im x > suy ra
( )1
0n
i
i
m x=
≠
ϕ liên tc và v3i m,i x K∈ ta có ( )x xϕ ε− ≤ . Th=t v=y, (t
( ) ( )1
n
i
i
m x m x=
= v3i x K∈
V=y ( ) 0m x ≠ và
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
1
1
1
1
1
1
n
i i
i
n
i i
i
n
i
i
x x m x x m x am x
m x x am x
m xm x
ϕ
ε ε
=
=
=
− = −
≤ −
< =
vì nu ix a ε− ≥ thì ( ) 0im x = .
Xét ánh x T xác nh bFi
T Tϕ=
Xét 0 0:T K K→ . Do 0K là t=p l*i, óng, b ch(n trong không gian h?u hn chiu nên
T có i#m b$t ng 0x K∈ . V=y
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x Tx x T x T x T x
T x T xϕ ε
− ≤ − + −
= − <
suy ra
inf : 0z Tz z K− ∈ =
V=y t*n i nx K⊂ sao cho
0n nx Tx− → khi n → ∞
Do K t=p compact < nx K⊂ nên t*n i &'y con
kn nx x⊂ < *
knx x K→ ∈ khi k → ∞
![Page 39: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Cho qua gi3i n suy ra
* * 0x Tx− = hay * *Tx x=
V=y *
x i#m b$t ng a T.
Knh ngh\a 2.4. Z-@ s t=p M X⊂ v3i X mt không gian Banach. T=p c i#m
1 2, , , nx x x M⊂ :c ,i mt ε _l3i cho M nu v3i >,i x M∈ luôn m :c
ix sao cho ix x ε− < , hay <2i >,i x M∈ min : 1,2, ,i
x x i n ε− = < .
T=p M :c ,i compact tng i nu < Tnu v3i >,i 0ε > t*n i mt ε _l3i a M.
Knh ngh\a 2.5. Cho X, Y hai không gian nh chuGn < M X⊂ , nh % :f M Y→
:c ,i n tcompact trên M nu f liên c trên M< ( )f M K∩ t=p compact
tng i v3i >,i t=p Kch(n trong X. H>cd.2.1.(H>cd.;Ja nguyên 7LSchauder) Cho K tp l i, ng, chn, 3$c
r(ng #4a không gian nh chuBn X, :f K K→ :$n tcompact. Khi f #i9m
bt ng trong K.
Ch<ng minh:
Ta 2 ( )f K K⊂ , (t
( )0K conv f K K= ⊂
XK l*i, 2ng, 0 0:f K K→ , 0K compact. Theo nh !2.17 suy ra f 2i#m b$t
ng trong K.
Bây gi9ta ]Kxem %Wt mt /ng &ng a nguyên !Schauder vi#m b$t ng trong vi+c ch/ng minh t*n i nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.
Z-@ thit G t=p mF trong 1n+
, nh % : nf G → liên c trên G. V3i b$t 0\
( )0 0,t x G∈ , v3i 0 0, nt x∈ ∈ , t*n i 0δ > sao cho phng nh
( )( ),dx
f t x tdt
=
2nghi+m trong 0 @ng ( )0 0,t tδ δ− + Qa >'n iu ki+n ( )0 0x t x= .
Ei n tng ng v3i phng nh 5ch phân
( )( ) ( )( ) ( )0
0: ,t
tF x t x f s x s ds x t= + =
trong không gian [ ]0 0,C t tδ δ− + . " ,n 0, 0rδ > > sao cho
![Page 40: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/40.jpg)
40
[ ] [ ]0 0 0, ,M t t B x r Gδ δ= − + × ⊂
vi+c l)a ,n th)c hi+n :c <G t=p mF. M t=p compact trong 1n+
, f m liên c trên M, do f liên c trên G, suy ra fch(n trên M, suy ra
( ),n
f t x c≤
v3i >,i ( ),t x M∈
(t
[ ] [ ] 0 0
0 0 0 ,, :
C t tK y C t t y x r
δ δδ δ
− += ∈ − + − ≤
V3i >,i [ ]0 0, , ,t s t t t sδ δ∈ − + < , v3i >,i x K∈ ta 2
( )( ) ( )( ) ( )( ),n
s
tF x t F x s f u x u du c s t ε− ≤ ≤ − <
nu s tc
εδ− < = , v3i >,i x K∈ . Suy ra ( )F x liên c *ng b=c, ( )F K ch(n
u trên K
( ) ( )( )0
0 ,t
tF x x f s x s ds≤ +
Theo nh !^_` - Ascoli suy ra ( )F K compact tng i. V3i >,i x K∈ ta 2:
( ) [ ]0 00 ,C t t
F x x c rδ δ
δ− +
− ≤ <
nu δ Q. Khi 2 ( )F K K⊂ . Xf liên c u trên M, do f liên c trên t=p M
t=p compact, suy ra F n tliên c trên K, suy ra F n tcompact. Theo h+HI@nguyên !Schauder ([email protected]) suy ra F2i#m b$t ng trong K, <2 5nh nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.
![Page 41: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/41.jpg)
41
CHNG 3
I N DIRICHLET I VI H PHNG TRÌNH ELLIPTIC NA TUYN TÍNH TRÊN
MIN KHÔNG B CHN
Trong chng này chúng ta xen %Wt s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán Dirichlet i v3i mt h+ các phng trình Elliptic na tuyn tính trên min không b ch(n trong không gian n
. Các ch/ng minh d)a trên nh lý i#m b$t ng trong không gian Banach.
3.1. Vt Pi /+n. Trong chng này chúng ta xét bài toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω
( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +
0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =
(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞
Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n
, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho,
0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v là các hàm không
tuyn tính v3i ,u v sao cho:
(3.3) ( ) ( )0 nq x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω
( )q x → +∞ khi x → +∞
( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n v3i hMng s ( )1,2ik i = .
(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,i i i
f u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈
![Page 42: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Mc ích ca chng y là nghiên c/u s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán (3.1) – (3.2) v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s , , ,α β δ γ . Tr3c ht chúng ta lu ý rMng bài toán Dirichlet cho h+ (3.1) trong mt min b ch(n trn ã :c nghiên c/u bFi Zuluaga trong [8]. Xuyên sut chng y, ( ).,. và . là ký hi+u ca tích vô h3ng và chuGn thông
th9ng trong ( ) ( )2 1;L HΩ Ω là không gian Sobolev thông th9ng.
Chúng ta nh ngha trong ( )0C
∞ Ω chuGn (nh trong [7]).
(3.5) ( )
1
22 2
0,,
qu Du qu dx u C
∞
ΩΩ
= + ∀ ∈ Ω
Và tích vô h3ng
(3.6) ( ) ( ) ( ), , .q qa u v u v DuDv qu v dx
Ω
= = +
V3i
( )01 2
, ,..., , ,n
u u uDu u v C
x x x
∞ ∂ ∂ ∂= ∀ ∈ Ω
∂ ∂ ∂
Sau ó ta g,i không gian ( )0
qV Ω là không gian ( )0C∞ Ω :c b6 sung theo chuGn
,.
q Ω. Hn th n?a, không gian ( )0
qV Ω có th# :c xem nh là mt không gian
Sobolev - Slobodeski v3i tr,ng.
M>nh 9G 3.1. (Xem [7]) ( )0qV Ω là mt không gian Hilbert trù mt trong ( )2
L Ω , và
phép nhúng c4a ( )0qV Ω vào ( )2
L Ω là liên tc và compact.
Vì
( ) ( ) ( )0
2 22 20 0,
qq V
a u u D u qu dx Du dx q u dx uγΩ
Ω Ω Ω
= + ≥ + ≥
v3i 0 0γ > . V=y ( ),qa u v Qa >'n iu ki+n b/c.
Theo b6 Lax-Milgram ta xác nh mt toán t duy nh$t qH trong ( )2L Ω sao cho
( ) ( ) ( ) ( )0, , , D ,q q q q
H u v a u v u H v V= ∀ ∈ ∀ ∈ Ω
V3i
( ) ( ) ( ) ( ) 0 2:q q q
D H u V H u q u L= ∈ Ω = −∆ + ∈ Ω .
![Page 43: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Hi#n nhiên là toán t
( ) ( ) ( )2 2:q q
H D H L L⊂ Ω → Ω
Là mt toán t tuyn tính v3i min giá tr ( ) ( )2q
R H L⊂ Ω .
Vì ( )q x là dng, toán t
qH là dng theo ngha là;
( )( )
( )2, 0, Dq qL
H u u u HΩ
≥ ∀ ∈ .
và t) liên h:p
( )( )
( )( )
( )2 2, , , ,q q qL L
H u v u H v u v D HΩ Ω
= ∀ ∈ .
Toán t nghch @o ca nó 1qH− xác nh trên ( ) ( )2
qR H L∩ Ω v3i min giá tr ( )q
D H ,
:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1 1
qH− là toán t compact
trong ( )2L Ω . Do ó ph6 ca qH bao g*m mt dãy m :c các giá tr riêng 1k k
λ∞
=.
1 20 ,k kλ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ → +∞ khi k → +∞
M,i hàm riêng ( )k xϕ tng /ng v3i kλ ( )1,2,k = là liên tc và b ch(n trên Ω và
t*n ti các hMng s dng ,α β sao cho
( ) e x
kx
βϕ α −≤ vi x l3n.
Hn n?a hàm riêng ( )1 0xϕ > trong Ω (xem [7]).
M>nh 9G 3.2. (Nguyên lý cfc 9]i, xem [7]) . Gi s r5ng ( )q x th7a mãn gi thi t
(3.3), và 1λ λ< , thì v%i m(i ( )g x trong ( )2L Ω , t n ti nghi6m duy nht ( )u x c4a bài
toán sau:
( )qH u u g xλ− = trong Ω
0u ∂Ω = , ( ) 0u x → khi x → +∞ .
Hn n*a, n u ( ) 0g x ≥ , ( ) 0g x ≡/ trong Ω thì ( ) 0u x > trong Ω .
Theo m+nh 3.2 suy ra rMng v3i 1λ λ< , toán t qH λ− là kh@ nghch
( ) ( ) ( )0q q q
D H D H Vλ− = ⊂ Ω
và nghch @o ca nó
![Page 44: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/44.jpg)
44
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:
q qH L D H Lλ
−− Ω → ⊂ Ω
:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1, ( ) 1
qH λ
−− là toán t
compact. Nh=n xét thêm rMng:
(3.7) ( ) ( ) ( )1 1
, 1,2,q k k
k
H x x kλ ϕ ϕλ λ
−− = =
−
Knh ngh\a 3.1. Mt c(p ( ) ( ) ( )0 0,
q qu v V V∈ Ω × Ω :c g,i là nghi+m yu ca bài toán
(3.1), (3.2) nu: (3.8) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, , , , ,qa u u v f u vϕ α ϕ β ϕ ϕ= + +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .
Nu ( )2,u v C∈ Ω thì nghi+m yu ( ),u v là nghi+m c6 i#n ca bài toán.
3.2. Sf tgn /]i cJa nghi>m yBu cJa bài toán Dirichlet. 3.2.1. Gi@ s rMng
( )0 1min ,qγ λ<
V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH .
Cho 0u c nh trong ( )0qV Ω . Chúng ta xét bài toán Dirichlet
(3.9) ( ) ( )0 2 0 ,q
H v u f u vγ δ− = + trong Ω
0v ∂Ω = , ( ) 0v x → khi x → +∞
Tr3c ht lu ý rMng, tN chP
( )0 1min ,qγ λ<
<
( ) 0q x γ− > trong Ω
suy ra qH γ− là toán t dng, t) liên h:p trong ( )2L Ω . Hn n?a, toán t ( )q
H γ− là
kh@ nghch và
![Page 45: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/45.jpg)
45
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:
q qH L D H Lγ
−− Ω → ⊂ Ω
là liên tc compact trong ( )2
L Ω . Do ó ph6 ca qH γ− bao g*m mt dãy m :c
các giá tr riêng
1
kk
λ∞
=, v3i k kλ λ γ= − .
1 2ˆ ˆ ˆ0 kλ λ λ< < ≤ ≤ ≤
Bên cnh ó, ta có:
( )( )2
1
1
1q
L
H γλ γ
−
Ω− ≤
−
V3i gi@ thit (3.4), cho v c nh trong ( )0
qV Ω , ( ) ( )22 0 ,f u v L∈ Ω , thì bài toán
(3.10) ( ) ( )0 2 0 ,q
H w u f u vγ δ− = + trong Ω
0w ∂Ω = , ( ) 0w x → khi x → +∞
Có mt nghi+m duy nh$t ( )0 ,w w u v= trong ( )qD H xác nh bFi
( ) ( )1
0 2 0 ,q
w H u f u vγ δ−
= − + .
Do ó, v3i mPi 0u c nh trong ( )0
qV Ω , t*n ti mt toán t ( )0A A u= ánh x ( )0qV Ω
vào ( ) ( )0q q
D H V⊂ Ω sao cho:
(3.11) ( ) ( ) ( )1
0 0 2 0 ,q
Av A u v w H u f u vγ δ−
= = = − +
M>nh 9G 3.3. V%i m'i ( )0, qv v V∈ Ω chúng ta có %c lng sau
(3.12) 2
1
kAv Av v v
λ γ− ≤ −
−
V%i . là chuBn trong ( )2L Ω .
Ch<ng minh: Cho ( )0, qv v V∈ Ω ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 0 2 0
2 0 2 01
, ,
1, ,
qAv Av H f u v f u v
f u v f u v
γ
λ γ
−− = − −
≤ −−
Theo gi@ thit (3.4) ta suy ra:
![Page 46: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/46.jpg)
46
( ) ( )2 0 2 0 2, ,f u v f u v k v v− ≤ −
TN ó ta có 3c l:ng (3.12). Knh lý 3.1. Gi s r5ng:
(3.13) ( ) 20 1
1
min , , 1k
qγ λλ γ
< <−
Khi ó v%i m'i 0u c+ nh trong ( )0qV Ω , t n ti mt nghi6m y u ( )0v v u= c4a bài toán
Dirichlet (3.9).
Ch<ng minh: TN (3.11), (3.12) và (3.13) ta suy ra n t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 20 :
q qA A u L V D H L= Ω ⊃ Ω → ⊂ Ω
Sao cho mPi ( )0 ,qv V∈ Ω
( ) ( )1
0 2 0 ,q
Av H u f u vγ δ−
= − +
là mt ánh x co trong ( )2
L Ω .
Cho ( )00 qv V∈ Ω . Ta ký hi+u
1 0 1, , 1,2k kv Av v Av k−= = =
Ta nh=n :c mt dãy 1k kv
∞
=trong ( )q
D H . Do 0A Au= là ánh x co trong ( )2L Ω ,
1k kv
∞
= là mt dãy c b@n trong ( )2
L Ω .
Vì v=y t*n ti mt gi3i hn lim k
kv v
→+∞= trong ( )2
L Ω , hay:
(3.14) lim 0k
kv v
→+∞− = .
Hn n?a v là i#m b$t ng ca toán t :A v Av= trong ( )2
L Ω .
M(t khác v3i m,i *,k l ∈ ta có
( ) ( )( ) ( )( ) ( )0, , , ,q k l q k l k l q
a v v H v v v v H Cϕ ϕ ϕ ϕ ∞− = − = − ∀ ∈ Ω
Áp dng 3c l:ng Schwarz chúng ta có
( ) ( )0, . ,q k l k l q
a v v v v H Cϕ ϕ ϕ ∞− ≤ − ∀ ∈ Ω .
Vì th 1k kv
∞
=là mt dãy hi t yu trong không gian Hilbert ( )0
qV Ω
![Page 47: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/47.jpg)
47
V=y t*n ti ( )0qv V∈ Ω sao cho
(3.15) ( ) ( ) ( )0lim , , ,
q k qk
a v a v Cϕ ϕ ϕ ∞
→+∞= ∈ Ω
Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2
L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k kv
∞
= hi t
yu n v trong ( )2L Ω . TN ó suy ra v v= .
Bên cnh ó, theo gi@ thit (3.4) ta có 3c l:ng:
( ) ( )2 0 2 0 2, ,k k
f u v f u v k v v− ≤ − .
S dng (3.14), cho k → +∞ ta nh=n :c (3.16) ( ) ( )2 0 2 0lim , ,k
kf u v f u v
→+∞= trong ( )2
L Ω
Trong ph;n tip theo ta sK ch/ng minh v xác nh bFi (3.14) là nghi+m yu ca bài toán (3.9). V3i mPi ( )0Cϕ ∞∈ Ω ,
( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,q k q k q k ka v H v H v vϕ ϕ γ ϕ γ ϕ= = − +
( )( ) ( ), ,k q kv H vγ ϕ γ ϕ= − +
( )( ) ( )1, ,k q kAv H vγ ϕ γ ϕ−= − +
( ) ( ) ( )( ) ( )1
0 2 0 1, , ,q k q kH u f u v H vγ δ γ ϕ γ ϕ−
−= − + − +
( )( ) ( )0 2 0 1, , ,k ku f u v vδ ϕ γ ϕ−= + +
( ) ( )( ) ( )0 2 0 1, , , ,k ku f u v vδ ϕ ϕ γ ϕ−= + +
Cho k → +∞ , theo (3.14), (3.15) và (3.16) ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 2 0 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω
V=y v là nghi+m yu ca bài n Dirichlet (3.9). Ch/ng minh hoàn t$t.
3.2.2. V3i gi@ thit (3.13) theo nh lý 3.1 v3i mPi ( )0qu V∈ Ω t*n ti mt nghi+m yu
( )v v u= ca bài toán Dirichlet (3.9).
![Page 48: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Ta ký hi+u B là mt toán t ánh x tN ( )0qV Ω vào ( ) ( )0
q qD H V⊂ Ω sao cho v3i m,i
( )0qu V∈ Ω
(3.17) ( ) ( )1
2 ,q
Bu v H u f u Buγ δ−
= = − +
M>nh 9G 3.4. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng sau:
(3.18) 2
1 2
kBu Bu u u
k
δλ γ
+− ≤ −
− −
Ch<ng minh: Cho ( )0, qu u V∈ Ω ta có
( ) ( ) ( ) ( )1
2 2, ,qBu Bu H u u f u Bu f u Buγ δ−
− = − − + −
( )2 21
2 2
1 1
1
.
u u k u u k Bu Bu
k ku u Bu Bu
δλ γ
δλ γ λ γ
≤ − + − + −−
+≤ − + −
− −
Theo (3.13), 1 2 0kλ γ− − > , ta suy ra
2 2
1 1
1k k
Bu Bu u uδ
λ γ λ γ
+− − ≤ −
− −
TN ó ta nh=n :c 3c l:ng (3.18) 3.2.3. Gi@ s rMng
( )0 1min ,qα λ<
V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH
V3i m,i ( )0qu V∈ Ω , ( ) ( )0
q qBu D H V∈ ⊂ Ω , v3i B là toán t xác nh bFi (3.17). V3i
gi@ thit (3.4), ( ) ( )21 ,f u Bu L∈ Ω nên ( ) ( )2
1 ,Bu f u Bu Lβ + ∈ Ω .
Vì v=y v3i m,i ( )0
qu V∈ Ω bài n bin phân:
(3.20) ( ) ( )1 ,q
H U Bu f u Buα β− = + trong Ω
( )0, 0U U x∂Ω = → khi x → +∞
có mt nghi+m duy nh$t
![Page 49: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/49.jpg)
49
( ) ( )1
1 ,q
U H Bu f u Buα β−
= − + trong ( )qD H .
Vì v=y t*n ti mt toán t
( ) ( ) ( )0 0:q q q
T V D H VΩ → ⊂ Ω
sao cho v3i m,i ( )0
qu V∈ Ω
(3.21) ( ) ( )1
1 ,q
U Tu H Bu f u Buα β−
= = − +
là nghi+m ca bài toán (3.20). V3i cách làm tng t) F m+nh 3.4 ta có m+nh sau. M>nh 9G 3.5. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng
(3.22) Tu Tu h u u− ≤ −
V%i
( )( ) ( )( )( )1 2 1 1 2
1 1 2
k k k kh
k
β δ λ γ
λ α λ γ
+ + + − −=
− − −
Chú ý rMng T :c coi nh là mt toán t vào ( )2L Ω , là mt ánh x co nu:
( )( ) ( )
( )( )1 2 1 1 2
1 1 2
1k k k k
hk
β δ λ γ
λ α λ γ
+ + + − −= <
− − −
Hi#n nhiên rMng b$t Yng th/c này thQa mãn nu và chT nu:
(3.23) 1 1 0kλ α− − > và ( )( )
( )( )1 2
1 1 1 2
1k k
k k
β δ
λ α λ γ
+ +<
− − − −
Knh lý 3.2. Gi s i0u ki6n (3.13) và (3.23) là th7a mãn thì t n ti mt nghi6m y u u
trong ( )0qV Ω c4a bài toán bi n phân sau:
(3.24) ( ) ( )1 ,q
H u Bu f u Buα β− = +
( )0, 0u u x∂Ω = → khi x → +∞ .
Ch<ng minh: V3i iu ki+n (3.23), toán t T xác nh bFi (3.21) là mt ánh x co trong
( )2L Ω .
Cho ( )0
0 qu V∈ Ω , ta kí hi+u
1 0 1, , 1,2,k ku Tu u Tu k−= = =
![Page 50: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Ta nh=n :c mt dãy 1k ku
∞
= trong ( )qD H . Vì T là ánh x co trong ( )2L Ω , 1k k
u∞
= là
dãy c b@n trong ( )2L Ω . Vì v=y t*n ti mt gi3i hn:
lim k
ku u
→+∞= trong ( )2L Ω hay
(3.25) lim 0k
ku u
→+∞− =
Hn n?a u là i#m b$t ng ca toán t :T u Tu= trong ( )2L Ω .
Tng t) v3i ch/ng minh nh lý 3.1 ta có dãy 1k ku
∞
= là hi t yu trong ( )0
qV Ω và
t*n ti ( )0qu V∈ Ω sao cho
(3.26) ( ) ( ) ( )0lim , , ,q k q
ka u a u Cϕ ϕ ϕ ∞
→+∞= ∀ ∈ Ω
Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k k
u∞
= hi t
yu n v trong ( )2L Ω vì v=y .v v= Bên cnh ó v3i gi@ thit (3.4) và b$t Yng th/c
(3.18) ta có:
( ) ( ) ( )1 1 1, ,k k k k
f u Bu f u Bu k u u Bu Bu− ≤ − + −
Và
2
1 2k k
kBu Bu u u
k
δλ γ
+− ≤ −
− −
Cho k → +∞ tN (3.25) ta suy ra: (3.27) lim k
kBu Bu
→+∞= trong ( )2L Ω
( ) ( )1 1lim , ,k kk
f u Bu f u Bu→+∞
= trong ( )2L Ω
Hn n?a v3i m,i ( ) ( )0x Cϕ ∞∈ Ω
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , ,q k q k k q k q ka u H u u H u H uϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ= = = − +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
, , ,
, , ,
, , , ,
q k k k q k
k k k k
k k k k
H Bu f u Bu H u
Bu f u Bu u
Bu f u Bu u
α β α ϕ α ϕ
β ϕ α ϕ
β ϕ ϕ α ϕ
−
− − −
− − −
− − −
= − + − +
= + +
= + +
Cho k → +∞ , theo (3.26), (3.27) ta có
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0, , , , , ,qa u Bu f u Bu u Cϕ β ϕ ϕ α ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .
![Page 51: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/51.jpg)
51
V=y, u là nghi+m yu ca bài toán (3.24). Kt thúc ch/ng minh dinh lý.
Knh lý 3.3. Gi s r5ng i0u ki6n (3.13), (3.23) th7a mãn. T n ti mt nghi6m y u
( ) ( ) ( )0 00 0, q qu v V V∈ Ω × Ω c4a bài toán Dirichlet (3.1), (3.2).
Ch<ng minh: V3i gi@ thit (3.13), tN nh lý 3.1 t*n ti mt toán t
( ) ( ) ( )0 0:q q q
B V D H VΩ → ⊂ Ω
Sao cho v3i m,i ( )0qu V∈ Ω
( ) ( )1
2 ,q
Bu H u f u Buγ δ−
= − +
M(t khác theo nh lý 3.2 v3i gi@ thit (3.23) bài toán bin phân (3.24) có nghi+m yu
( )00 qu V∈ Ω .
Ta ký hi+u 0 0v Bu= . Khi ó ( )0 0,u v là nghi+m yu ca bài toán (3.1), (3.2).
![Page 52: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/52.jpg)
52
LI K&T
ac 5ch a lu=n vDn, nh ' c=p trong ph;n mF ;u p &ng nguyên !i#m b$t ng a nh %co trong không gian Banach #nghiên c/u s)t*n i a nghi+m yu a i n toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω
( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +
0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =
(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞
Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n
, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho, 0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v
là các hàm không tuyn tính v3i ,u v sao cho: (3.3) ( ) ( )0 n
q x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω
( )q x → +∞ khi x → +∞
( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n
v3i hMng s ( )1,2ik i = .
(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,
i i if u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈
v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s bMng ch quy vi+c m nghi+m yu a i n vvi+c m c i#m b$t ng a mt nh xco 5ch h:p.
![Page 53: về một áp dụng của ðịnh lý ðiểm bất ðộng vào bài toán dirichlet ðối ...](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022051405/588c533d1a28ab82218b4c99/html5/thumbnails/53.jpg)
53
I LI!U THAM =WO
[1] Tr;n /c Vân, D/ thuy t phng nh vi phân o m riêng, B
xu$t @n i ,c Quc gia ONi.
[2] Ong y, Em thc ="i ch m, B xu$t @n i ,c Quc
gia ONi.
[3] PH*ng Tân, Nguy8n Thanh O, F$c nh /i9m bt ng, B
xu$t @n i ,c S C m ONi.
[4] Seminar Phng nh vi phân o m riêng. Bmôn -@i 5ch, Khoa
n - c - tin, i ,c khoa ,c t)nhiên, i ,c Quc gia ONi.
[5]Ong Quc n, On a system of Semilinear Elliptic Equation on an
Unbounded Domain, Vietnam Journal of Mathematics 33:4 (2005)
381-398
[6] Ravi P.Agarwal, Maria Meehan and Donal O' Regan, Fixed point
theory and applications, Cambridge University Press.
[7] A. Abakhti-Mchachti and J. Fleckinger-Pelle, Existence of Positive
Solutions for Non Cooperatives Semilinear Elliptic System Defined on
an Unbounded Domain, Partial Differential Equations, Pitman
Research Notes in Math, Series 273, 1992.
[8] M. Zuluaga, On a nonlinear elliptic system: resonance and bifurcation
cases, Comment. Math. Univ. Caroliae 40 (1999) 701-711