,tWIC{1 77 t,-- '\\ " '-' v ' - ,,-- r",1

Adem Huskic

i ;

')

C /; ", ('(,' ',I (," /(

MATEMATIKA za (irugi razred gimnazije i drugih srednjih skala

!

r\ \J\

i

IP "SVJETLOSl1", d.d. ZAVOD ZA UDZBENIKE I NASTAVNA SREDSTVA

SARAJEVO, 2003.

, tfIIii'-

\ I 1 It g , ,

/1 ! ! i I I Vi

/

o L'I I

! I

J

Izdavac:

Direktor:

Za izdava6a:

IP "SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Sarajevo

Sefik ZUPCEVIC

Abduselam RUSTEMPMac

Ured.nik: j\nte Barrie

Recenzenti: Prof. Dr. Scfket ARSLANAGIC; Sarajevo Nura HLJSKIC, Sarajevo Vesna PAVlC'::, Tuzla

L~ictor: Zulejha TERZIC

Korektm: Autar

Tehnicki urednik: Vanda BABOVIC

Naslovna strana: Mira GOCHC

DTP; Autor

Stampa: C.P.A. Tojsici

Tiraz: 1.000 primjeraka

elP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Basne i Hercegovine, Sarajevo

51(075.3)

Huskic, Adem Matematika za 2. razred gimnazije 1 drugih srednjih skala! Adem Huski6. - Sarajevo: Svjetlost, 2003-. - 356 str. : graf. prikazi ; 24. em

ISBN 9958'10-5.82-9

COBISS.BH-lD.12079878

ISBN 9958-10-582-9

Federalno Ministarstvo obrazovanja, nauke, kulture i -sport~,'-ti,tosnovu- odobrenja Vijeca za odabir udzbenika od 12.03 .200 1. godine, RjdenJem broj'UP..:1-01c38-9-2517 III Qdbbrilo je ovaj udzbenik za upotrebu. .

Strogo je zabranjeno svako kopiranje,._ u~n'~zav[mj~e i p-reStampav~nje.ovog-prirucnika u cjelini ili pojedinih njegovih diJelova, bez odobrenJa"lzgilvaca. . .

. "'ifiP ...

I

PREDGOVOR

Udzbcnik je pisan prema Nasta\'IlOm planu i programu za drugi razred gimnazije i tehnickih skola. Njime su obuhvaccne sve oblasti prcdvidcne Nastavnim programom U obimu koji je odreden nastavnim planol11. Nije ispustena nijedna ob!ast, nijedna tema, a u cilju potpunijeg uvida u tematsku gradu u pojedinom icmama uvedena su neznatna prosirenja koja nisu eksplicitno navedena u Programu predmeta.

Sire oblasti navedene u Programu, u udzbcniku su podijeUene na manje tematskc cjeIine koje se mogu obraditi na jednom iIi dva nastavna sata.

Svaka takva cjelina je obradena tako da se mogu uociti cetiri odvojena dijela ito:

1. Teorijska obrada materije uz odgovarajuce ilustracijc i komentare, 2. Pailjivo odabrani i rijeseni prakticni primjcri (zadaci). 3. Na poseban nacln formulirana pitanja za ponavljanje i 4. Zadaci za vjezbu i utvrdivanje (sa ljesenjima, uputama iii rezultatima na

kraju knjige). DijeJovi se prekIapaju i dopllnjuju s teznjom da ponavljanje i utvrdivanje dopuni i osvjezi u teoretskom dijelu datu materiju. Cesto se informacija koja nijc ekspIicitno data u teorijskom dijelu, prezentira nenametljivo kroz primjcr(e), iIi podesno f'ormulirano pitanje iii kroz zadat?-k za vjezbu. Svi navcdcni dijelovi posmatrani zajcdno zaokruzuju tcmu j obuh-vatajll je u potpunosti.

Sve cksplicitno navedene definicije i teoreme su napisane na poseban nacin (podebljano, ukoseno i 81.). To je uradeno i sa terminima koji su vczani za istaknute pojmove prilikom prvog pojavljivartia. NajvaZnije forrnule, definicije, teoreme su pored navedenog stavljene i II posebne okvire kako bi i vizuelno privukle painju ucenika.

U dijelovima tematskih cjclina koji su ovdje nazvani "'odabrani zadaci i praktiCni primjeri" u Udzbeniku jc navcdcno oko 240 detaljno uradcnih zadataka koji ilusiriraju pray i!a, teoreme, osobine pojedinih pojmova i s1..

U Udzbenikuje preko 120 gratickih iIustracija (crteza, skica, slika) kojima se zorno prcdocavaju pojcdini pojmovi i njihovi uzajamni odnosi. To se posebno odnosi na poglavlje u kome se obraduje homotetija i slicnost. Graficke ilustracije su ubacivane tamo gdje je njihova didrikticka vrijednost nezamjenljiva i u tome se nije pre1jcrivalo. Slike u knjizi su posebno oznaccnc. Njihova.oznaka ukazuje na poglavlje i redni brqj slike u -njemu. Potpisi ispod stika (clteia), skoro uvijck, daju posebnu poruku kojom sc dopunjuje tekst koji prcthodi cliezu (iii se naIazi iza njega).

3

Na mjestima u Udzbeniku gdje su informacije, podaci, veze izmedu podataka i slieno, mogle da se predstave u tabelarnolll obliku, to je i uradeno tako da je 8 tabela sastavni dio Udzbenika.

U dijelovima koji slijede iza svake tematske oblasti pod nazlvom "Zadaci za vjezbu (i utvrdivanje)", u Udzbeniku je navedeno preko 1300 zadataka s ciljem da se ucenicima omoguei utvrdivanje gradiva izradom zadataka i bez posebnih zbirki zadataka, a profesorima matematike omoguci izbor dodatnih zadataka za vjezbu u skoli, kao j odabir 7...adataka koje ueenici mogu j trebaju rjesavati,u dlju uvjezbavanja i provjeravanja stepena usvojenosti grad iva, samostalno kod kuee (domaea zadaea).

Na kraju Udzbenika naveden je spisak literature koja je,uz visegodlsnje iskustvo autora, kOrlstena prilikom izrade mkopisa 1 koja se preporucuje profesorima matematike i predavaeima, za daUu analizu i pripreme za nastavu za pojedine-teme, kao i za izbor tema za izradu maturskih radova ucenika.

Uz obradu iogaritama i trigonometrijskih funkcija uobicajeno je da se koriste posebne tablice ("logaritamske tab lice"). U udzbeniku je djelimicno ukazano kako se koriste te tab lice, ali je poseban naglasak dat na upotrebu malih dzepnih kalkulatora (cija je nabavka dostupna i llcenicima, a ne bi bila veHki izdatak l1i skolama) koji efikasno zamjenjuju navedene tab lice i sto je jos vainije, osavremenjuju i dizu na vist 111VO nastavni proces U odgovarajueim oblastima matematike.

Namjena Udzbenika je prvenstveno da bude sredstvo za realizaciju programa matematike za dr1.1gi razred gimnazije i tehniekih skola koje imaju i5ti program matematike kao i u gimnaziji. Udzbcnik je namijenjen ucenicima navedenih skola, a za profesore matematike i predavace je okvir u kome i oko koga ee se kretatl realizirajuCl program matematike u drugOtTl razredu.

Za realizaciju pojedillih oblasti, Udzbenik mogu koristiti profesori i napredniji ucenici drugih srednjih skola (preostale tehnicke skole, tehnicke i srodne skole, sirucna skola).

Na kraju izrazavarn veliku zahvalnost recenzentima koji su savjesno preglcd2.li rukopis i svojim sugestijama i konkretnim prijedlozima znatno doprinijeli podizanJu kvaliteta rukopisa.

Autor

4

1. S T E PEN I (POTENCIJE) I K 0 R I J E N I

1.1. Stcpcni (potencije) s prirodnim izlozioccm (cksponcntom)

Proizyodjedna\dh faktora 5·5·5, a·a·a·a, x·x·x·x·x, b·b·b·b, c·c materno krace pisati ovako:

Uopste,za rna koji rcalan bmj a j rna koji prirodan braj n (11)1), po dcfi11iciji,je

a·a· ... ·a '-----~j

iJ !ilklom

Ozna1

Primjer 1. Izracunati: 23.24 , x 3x 6x 3m 2n 4 a·a ·a , x 'x ·x

Rjesenjc:

Proizvod realnih brojcva stepc11ujemo sa n tako sto svaki faktor stepenujemo sa n.

Zaista je

(ab)"~ (ab)·(ab) ... (ab) ~a·a· ... ·a·b·b· ... ·b ~a"·b". n .fah-"c-a-'--~ ~'-J j~ ~

Dokazali smo da vrijcdi: (ab)"= anbn

Primjer 2: lzracunati (100·5)', 1252 82

Rjescnjc: (JOO·5!,~ 100353~ 1000000·125= 1250000.00,

1252 82 ~ (125·8)' = 10002 = lOOOO.oO.

(2 )

Kolicnik realnih brojeva stepcllujemo sa 11 taka stO steperiujemo sa n i brojnik i nazivnik. Zaista,

Dakle,

( 4 \3 rrimjer 3: lzracunati: ls j ., . (4" 4 3 64 (_·1\'

RJesenJe: i-I = ~ = -_._, l- I =-'-+c";;t-; \5) 5' 125 8)

Primjer 4: lzracunati , 4 )

145 '.1' . (=45

,),3 = (145 Rj~senjc: ~

6

a" bee

(3 )

I

f 1 I I 1

j t I

I 1

1 I w

j

1 II

I

Stepene jednakih baza dijelimo ovako:

afu: a11'= am 11 ( 4 )

l s. ~Cp'Cl1:~ jC.d .. naki.,·hbaz.a .. se ~ij.~le ta~u sto se baza :Stepcnui;~ razli~oDJ, ~iG'p._ OnC?,.!."', dJelJcnlka I ek'Sp()ne~ta dJelu~ca. - : '" ': , U relaciji (4) mora se voditi racuna 0 tome da baza ne bude nula i da prvi eksponent budc veCi od drugog. To je potrebno da hi se eliminisala pojava nule u djeliocu i pojava stepena koji jos nisu definisani.

Primjer 5: Izracunati: 2J 14 a :a ,

Stepen moi,cmo stepenovati. To radimo na slijedeCi nacin:

Zaista, vrijedi: (am)'l ~":o: ani . am ' ... am = alll+lII+ .. +111 = alllon '------,,-----'

n jok/ara

Primjcr 6. lzracunati: (43)" (a4 )' , (x')".

1.2. Stcpcni sa cijclim izloziocem (eksponcntom)

( 5 )

RacllnajuCi sa stepenima uocavamo da smo u relaciji (4) imali uslov daje m>n. Sta bi se dcsilo ako taj uslov nije ispunjen? Ako je m=n, tada bi se na desnoj strani jednakosti (4) pojavilo aD. Ova oznaka po obliku podsjeca na stepen, medutim, mi smo upoznali samo stepene sa prirodnim eksponentom. Ako hocemo da i aD zovemo stepen, moramo

o. odrediti znacenje tog stcpena. Morama ovaj stepen definisati.

7

i,

Kako je all: all =1, kao kolicnik dvajednaka broja, to uzimamo, po definiciji, daje

( 6)

Tako je, na primjer ,

4°= 1,2°= 1,7340 = 1, (-4997)°= 1, (234+11)"= 1, (78-345)°= 1,."

3ao=3, (5a)"=I, 7ao+2·30= 7+2 = 9, (_11)°+ 25·(-33)°= 1+25 = 26.

Sada relacija (4) vrijedi i u slucaju kadaje m = n. Nekaje mra

Primijenimo Ii reJacijll (4) dobijemo alll:all=a--k. Izraz a-k ima ob!ik stepena i rukovodeCi se zahtjevom'da pravila za stepene sa prirodnim izloziocem vrijede j za

stepene sa cijelim izloziocem, definisacemo vrijednost stepena a-k oa slijedeCi naCin:

-'k de! 1 .a =" "",d)

a

Primjer 1: 5-' = 1 3" 5' 3' 9 ' (+f =+=4'

(4Y'= (5)' ls') "4 = 25 16

Dakle, vrijedi ~ =~,te ( )"

,b a

8

b" an

4

( 7 )

125 8a'

I I

1 j

l

I I I I !

1.3. Opcracije sa stepenima jednakih osnova, odnosno jcdnakih izloziiaca.

Za operacije sa stepenima ciji su izlozioci cijeli brojcvi vrijede ista pravila kao za stepene sa prirodnim eksponentom:

Cab)" =a" ·b"

(~r -:: am'::an'.-::::;'a m- n , {aiOi.

{am)'l :::::: a m -n

Primjcr 1: Napisati U obliku stepcna sa izioziocC111 x izraz

Rjesenjc:

Primjer 3: Uprostiti izraz:

3 \ ,-I

2)

I (2a'b "c -6)' l-3 . (2ab')' I--~-~I ---L 5b 4c-3 I' ab-4 •

125b"c 27

1 ( 8 )

9

r Zadaci za vjczbu i utvrdivanje

1.1. Izracunati vrijednost stepena: (_2)3,

! .2. Reduciraj izraz: a) 3a3 - 4a2 + 5a3 +7a2

1.3 .. Pomnoziti stepene: a) 43-42 4 '

1.4. Odredi kolicnike stepena: a) 4":45 b)

Izracunati vrijcdnost izraza:

(-3)' ,

12 9 a :a

c)

c)

!2 2 3 4 X ·X·X·X .

X23: X !2

0, I' ,

d) b1' : b8

1.5,a) (2')' b) (43)' (a')' b)

c) (_3 2)' d) [(-5)']' , 1,6,a) (x') , c) (b2)7 d) [(-a) 31 , ,

1.7. lzracunati vrijednost izraza x4·--2x2 + 17 za x = 1, x = -1, x = O. I .8. lzracunati vrijcdnost izraza 3y - 2y2z - 5yz~ + Z3 za y = -2, z = -]. 1 .9. lzvrsi naznacene operacije:

a) (a")3(a")2 b) (x")':(x')" c) (b3m)2(bS)'n, LI 0, Izracun~:

a) (a+2) b) (x-1)' c) (x + 2y)' d) (I-5x)' ,

11. Napisati U obliku stcpena sa izloziocem x : 12-' 4.(

a) 3'

Uprostiti date izraze:

( ')"' ')' \2~2: l :~l :~:

10

2"

7'6" c)

21 '

r--I,'

I '1" ,~

1 1 ~ I l I !

1 I I l I I J 1

1.4. Korijeni

1.4.1. Po jam korijena. Aritmeticki korijen

Opcracija korjcnovanje poznata namje jz osnovnc skoJc. Da vidimo staje to korijen7 Kako bi odgovorili na pita!}.ie koliki je korijen iz 97 To je broj ciji je kvadrat jednak broju 9. Dakle, toje broj 3. Staje sa brojcm -3. Da lije i to korijen broja 97 Odgovor ostavimo za ncke ad naredni,h redova. Svaki puta kada se koristila rijec korijen u prethodnim redovima podrazulllijcvalo se da se radi 0 drugom iIi kvadratnom korijcnu. Medutim, korijen ne mora biti kvadratni.

Korijen se oznacava na slijcdcci nacin: Va , gdje se n zove eksponent iii izlozilac korijena, realan broj a se zove potkorjena velicina iii radikand, a cijeli izrazje korijell (i to n-ti korijen broja a). U slucaju kadaje eksponent korijena 2, tada se oznaka eksponcnta ne pise.

Primjeri: J36 = 6, jcr je 62 = 36 , V64 =4, jerje 4 3 = 64, v=27 = -3, jcr jc (,3)3 = ,27, V32 = 2 , jcr je 2' = 32 .

_Mi cemo se ograniciti na korijenc kod k(?/ih su potkOljena veliCina i vrijednost korijena nenegativni brojevi. OvaA"vi korijeni se zovu aritmeticki.

Dcfinicija korijcna:

I N-ti aritmcticki korijen iz ne~~-g~tivnog broja a je nenegativan broj b ciji je I n-ti stepcn jcdnak broju a, tj.:

L-.,, __ ~r~_~_1 a~=~b -"--.9-,' _l~)n_=~~~'_~_O,_b_'~_O)_j_. __ _ Sada mozemo reCi daje drugi (kvadratni) korijen iz broja 9 samo 3 Gcr druga vrijcdnost ne zadovoljaya uslovc navedene za aritmcticki koi-ijen).

Neposredno iz navedcne definicije korijena slijedc relacij~:

Cl;;)" =a, (;;;>0) 'U =a, (0;>0). (*) 11

,

r··

c:'

I kao i "JO = 0, "J! = 1, v-;; = a .

. ..." I I {a, a 2: 0 DalJc, vnJcdl -va- = QI = i opcenito "I; r a, a::::O -Va =Ial=j ,akoje n --a,a ("JA~r =(~AB r => "JA:B ='VA.~. Posmatramo Ii gornju jednakost sa desna u lijevo uOClcemo pravilo mnozcnja korijena jednakih izlozilaca:

Proizvod korijcna jcpnalri"tt 'izlozilaca je korijen istng iziozioca c-jj~ je potlwrjena velicina jednaka proizvodu potkor.ienih velicina: faktora.

Kada treba pomnoziti korijene koji nemajujcdnake eksponente, tada se prosirivanjem korijena oni dovode na zajednicki eksponent i onda mnoze. Kako se to radi pokazimo na primjerima:

Primjer 1: Pomnoziti korijene

a) .fi. J8 b) vg.'j3 3/: f3 c) -va'va

13

Rjesenje: a) J2·Js ~ 128 ~ JiG ~4 b) V9 . Vi = Z!9-~'3 = 2./27 = 3 c) ~r;;·H =V-:Z2.~Q =~laZ·a9 =V;;~ =

Posmalrajmo slijedeCi postupak racunanja sa korijenima: =r.-~~ c:

a) ,,12='v'4·3 =·,j4·-.j3 =2,;3

b) '[;7 =~rxr, ·X ='Jx(, ·~r;=x2 ~r; ,,) '~lal!)Jb2".j --"!~b:'i )b-"~b2U ul};b_ b 2 'Vc,>b ..... \I _··va a -va ·....;a'b-a

()!5 =0 -va .

U svakom od navedenih primjera korijen nije potpuno izracunat ali se moze reci da je izraCLlnat njegov dio. U rezu!tatLl svakog navedcnog primjera izracunati dio nalazi se ispred novog korijena lao faktor. Novi korijcn .Ie jednostavnij i od polaznog. Na ovaj nacin se vrsi pojednostav!jivanje izraza, a ova transforll1acija korijena se cesto koristi kao priprcma za neku drugu (na primjer, skracivanje izraza). Navedenu transforma;.;iju nrtzivamo djelimicno (pal'cijalno) korjenovanje.

Obrnuta transfOrm[lcija ad navedenc jeste ta kada se faktor ispred korijena unosi pod korijcn. Kako se to radi uocilllo analizirajuc':i slijedece primjere:

a) 5.J3 = .JS2.J3 = ,,)5' 3 = ...}75 b) 2V5 = V2ivs = ~ = V40 c) 2a" Va~~' = t/(2a 3 )4~2 x = ~116(~··7~':i; = ;/1-6-a-;-;l2-ac;,~x = V16a l4 x .

104.2.3. Korijcn kolicnika. Dijeljenje korijena

Dokaz:

14

Za aritmcticki korijen vrijedi:

~('VA r ('VBr =A:B \ ) \ I

( V' ,'VA:B)' =A:B \ .

=>

Otuda zakljucujcmo da je korijen kolicnika jednak kolicniku korijena brojnika i nazivnika tog razlo111ka. i obrnuto, kolicnik dva korijena jednakih eksponenata je korijcn istog eksponcnta eija je potkorjena vc!icina jednaka kolicniku potkOljenih ve!icina datih korijena.

r-:-:: r~·

~~155 ~ \/iI55

-.13 Primjcr 2: a) J " - ,

3 ~ sr;;- 31g :?4~( 5· 3 24~!5 24rs=:5 24("-=7 c) .. .,/a:....;a- ="';a~: -.,jl.,a)· = va:a = -vau.~ = lia

1.4.2.4. Slepenovallje i korjenovanje korijena

Korijen se moze i stepenovati. Korijcll se stepenujc tako sto sc stepenujc samo potkorjena veliCina. Dakle, vrijedi

r-(ifi·)·.· 1:-~-~ A m-l L_~____ _ __ J

Dokaz k~r,;)"'l' [(:j;.),,]m ~am} => [('1;;)"']" ~(:j;)" ("r;-) n __ n! \a ·--0

~> ("r::)n! _ fir;;; 'Va -va"'.

Primjer 3: a) (f5)3 ~ Is] ~.J525 ~ 5 f5 3 r:z:. ') 3 ~ 3 1'42 3 ,.-:;

b) (va xt ~v(a x) =va'x ~avax-

c) (-2aifa'b-2)' ~(-2a)'V(~2b-2/ 4a2'Ja4b-4 =

4 2 b-13~b'l 4 3b- 1 3~b-1 = a a ....;ab· = a . ;Jab' .

Ako su min prirodni brojevi i a~O, tada vrijedi:

15

r Gornjajednakost pokazuje da se korijen korjenuje tako 5tO se pomnoze eskponenti korijcna, a potkorjena velicina prepise. Dokaz ove relacije je anaJogan dokazu pravila za stcpenovanje korijena. Uvjczbajrno ovu operaciju na slijedccim primjerima:

a) [J2 ~1j2 b) VJ5 ='15 c) ~~m =% Kako postupiti kada korijen nije "jedan do drugog"? U tom slucaju koristimo so ranije poznatom operacijom "uvlacenje" faktora ispred korijena pod korijen i nastavljamo kako je naprijed navedeno. Ovo je pokazano oa slijedecim primjerima:

d) ]aJ;; = 17;; a = Va' 5 t;r:f-"-i,- 5 r~~F(':"'3)6 5 30 f!85 30 rn

e) va~ ·va =Ij\j a -a = va -a = va"'" .

1.4.3. Racionalisanje nazivllika (imenioca)

Posmatrajmo slijedece razlornke:

4 ../3 4 11 3' 2 ' ../3' ../3-1'

Prva tri razlomka lmaju u nazivniku raclonalne brojeve, a svi ostali navedeni razlomci imaju iracionalne nazivnike. PriJikom racunanja sa razlomcima, razlomke testo treba dovesti na zajedni;3ki nazivnik, a to je mnogo jednostavnije kada su im nazivnici racionalni. Zato se namece potrcba transformacije razlomka sa iracionalnim nazivnikom u jednak razlomak kod koga je nazlvnik racionaJan. Ova operacija se naziva racionalisanje naz1vnika. Slljedeci primjerl pokazuju kako se prakticno vrsi racionalisanje ne1dh nazlvnika:

fl5 3

r 5(-,/3-1)

(../3 + J)(J3-1) d)

fi fi J7 +2 fiU] +2) fi(J7 +2) fi(J7 +2) fi(J7 +2) J7 -2 ~77 -2 J7 +2 ~ (J7 -2)(J7 +2) (J71' _22 7-4 3

3 3 (l+-fi)+J3 3(l+fi+J3) _3(1+-fi+J3L e) 1-,/3 +fi (1+12)-;;' (l +fi)+J3 ~ (J+-fi)' _(J3)2 -1+1fi +2-3

16

3(1 + fi + J3) fi lJ2 . fi

3(1 + fi + J3)J'2 2fi.fi

3fi (1 + fi + J3) 4

'-fi - 1 '-fi - 1 h) '.i4 + '-fi + 2 'J4 + '-fi + 2 . '-fi -I - ('J4 + '-fi ~:-1-+-1-)(,"';=2 ---I)

fl-1 fl-J fl-1 fl-1 V4 2-V4 (V4+'J2+1)(fl-1)+(V2-1) ~ (fl)'-::"ii'+'J"i-i 2-1+V2-1 flV4~~

Vidimo da se racionalisanje nazivnika postize prosmvanjem razlomka podesno odabranim izrazom s ciJjem da se u nazivniku pojavi kvadratni korijen iz kvadrata, tree] korijen 1z treceg stepena i slicno. U navedenim primjerima predstavljeni su samo neki tipicni slucajevi racionalisanja nazivnika. Kao 5tO se vrsi racionalisanje nazivnika, na anaJogan naCin, se moze racionalisatl brojnik razlomka.

1.4.4. Dva posebna zadalka

Primjer 1: Dokazatijednakost:

~8+2Fo+l.Js +~8-2~lO+2.Js ~fi(J5+1).

= x. 'facia vrijedi

( ~8 + 2Ji 0 + 2J5 + ~ 0;-2JS)' ~ x', odak!e se, da1je, dobijc:

8+2JlIJ+2.Js +2~8+2J10+2J5.)8-zJlo+2is +8-1JIO+Z.Js ~ x2

17

f(:-- r;: 1 2 "" 16+2y(8+2Jl0+2"5 }(S-2Jl0+2J5) =X

"" 16+2~82_(2JIO+2J5r =X' ""

16+2-!64-40--SJ5 = "" 16 + 2.[24--8J5 =x 2 ""

16+4~6-2J5 -X' => 16+4kJ5 -I)' =x' => 16+4(,/5 -1)=x2

12+4J5=x' "" 2(,/5+1)2=X' => x=12(,/5+1). Qvim jc jednakost dokazana.

Rjcscnje: Prvi raz!omak maze se transformirati na sIiede6i naCin: ,.--

(/'--.Ja .Ja(a'/-;;-I) .Ja(a.Ja-I) a+l-,/a .Ja(a/i-I)(a+I-,Ja)_ a -1- -,./a '1~'1 ~'" --;;',:;-'j;; +-1- a + 1 + ~/;; ... ~ + 1- --..;r; (a + 1 + Ja )(a + 1 - \lr;;-)

.Ja .Ja + a:1:+~'_-: -I +/;; = FaJ~2 (.Ja -I~;:~: -1)+(.Ja ~

.Ja(.Ja-I)(a' +a+l) _ '( ~_I)-__ Ina = -.. ------ - -,Ja -va a \I . a 2 +a+1 .. I

I

j 1

Koriste6i rezuitate gornjih transformacija, sada se maze pisati:

2 r 2,--1 I r: I a --..;a -~--=--~+a+l=a-;/a-(a+"Va)+a+ =

a+Fa+1 a-.Ja+l

1

= a ,"-Fa -a, Fa +a+ 1=a-2Fa +1=(-'/;; _1)2.

Ovimje jednakost dokazana.

18

Pitanja za pouavljanje:

l. Kako se definile n-·ti korijen nenegatil'J'log braja a? 2. Sta je aritmcticki korijen nenegativnog broja a? 3. Kako se korijen pro.firuje? 4. ~~ta :::naci skratiti korijen? 5. Kako se korijeni mnoze? 6. Objasni postupak dijeljenja korijena. 7. IHogu Ii se korijeni stepenovati? 8. Kako se racuna korijen korijena? 9. Sta znaCi racionalisati nQzivnik? 10. Objasni poslupak racionalisanja nekih nazivnika.

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

1.15. Izracunaj:

a) J16 b),jj2J c) 164 d) 'm c) ''11024 , aritmcticki korijen? .16. Za koju vrijcdnost od aje izraz .... fa ~ 3

17. Iznijcti faktor ispred korijena:

a) 175 b) M8 c) 180 d) M 18. Unijeti faktor pod korijcn:

a) 2JJb) 2'15 c) aV:;;; d) a 2 Fa e) (a+b).Ja-b Izracunaj vrijednost datog izraza:

1.19.a) 3,/5 + sIS

c) 11.[i - 3 'fi + 4'fi - 817 1.20_a) J% + J150 - -1294

c) Jx 3yz - Jxyl; - Jxyzl

1.21.a) ,/5. /3 b) .ra;; . .r;; 1.22. Pomnoziti korijene

) C::2 'h2 b) "r:; 50 a .y"/·v vA- ·V);. 1.23. Koliko je:

a) (IS + 1)(4-IS) b)

1.24. Odrediti kvadrat datog izraza:

a) 2-/3 b) 4-312 1.25. Podije!i korijene:

c:: r: ~ 1-b) 4,;3-"2+,J3-5,;2

b) -1320 - 2'/40S + 3J125

d) ra+b+~

"r b) va ova ~R" c) ,JO,48:~3 Eo e) --12

19

Izracunati vrijednost izraza:

1.26.a) 'J4:..fi b) ~2a3

c) 'H',{xYr d) ,la17b3c5.,!a8c5x ;/3a-;- x . xy:l/X 1J x'y' . V b'y'

1.27.a) ('./3)' b) ('Ja'b·3 )2 C) [~b)2r d) (x..Jx)' . (3..Jx)2 1.28. Karjenuj korijen:

~~

a) VVax 2 b) JX2 'ix3 c) [V;:-J: 1.29. Racionalisi nazivnik razlomka:

a) E. b) 3..fi c)..fi + 3 ..fi 13 .J5

5 2 d) -- e) ._-

.J5-4 1-13

1.30. * Racionalisati nazivnik: 5

V4 3

c) V2 -I 1

b) r::~ 1 + -r2 +.J3

a)

1 J 1.* Izracunati vrijednost izraza x+l x-I _. +. aka je

X+~X2+X X-..JX1_X' 1.32. Uprostiti izraz:

. a) ~5 + 2;6 .~2;6 c) ~2+J'J .2.}2-J'J

1.33. Transformisati izraz: ~ .J~2-

) x+vx'-I x- x -I (' I I) a +----', Ix> . x-~x2-1 x+)x2 -1

x-I x..Jx-1 r b)---+2vx, (x>O).

x+..Jx+l ..Jx+1

1.34. Odrediti brojnu vrijednast izraza (a+ I r' + (b+ 1 r' aka je a=(2+13r' b=(2-.J3r'.

1.35. Uprostiti izraz:

(_xE + ~l_X.3. )-' l r- 'r ..Jl-x3 X-vX

20

7 d) 1_ if2 + .J2

1.36. Uprostiti izraze:

(a+rabJ '+(~Fb'I" ~ 2ab 2ab /

b)

Dokazati date jednakosti:

1.37.*a)

1.45, * U prostiti izraz:

1.46, * Dati izraz dovesti na sto jednostavuiji obJik:

2af:1 (J~ -~~ J ----~",~. r' r ,2

H If, -ff)+~1 +±( ~.~. -~~)

1 - Stcpeni sa racionalnim i realnim eksponentom (izloZiocem) "~"

Izraz 24 svojim izgledom podsjc6a na stepen u kome bi baza bi!a 2, a eksponent

3 ,Mi, do sada, nismo poznavali ovakve stepene, ali pokusajmo da sa ovim izrazom

4 racun,arno kao sa stepenom i(S2t:,p)e4nUjll1~4ga sa 4:

=24 =23 =8.

b"l· 03 To z,·,"lcvi daJ'e 24 bro]' ciJ·iJ'c cctvrtl stepenjcdnak 23. Raniie smo Do 1 I smo L. ,~ • , " • •. -. nalleili da se broj fiji je cetvrti stepen jednak broju a naZlva cetvrtl kOriJen broJa a.

3

Sada mozemo nas posmatrani izraz 24 definisati kao korijen ovako: 3 _

2' = 1../23 U opcem slucaju, po definiciji, je:

, specijalno je a; = '1;; .

22

:!Ldd --n .:..: Il I III a _"\ja, a " 0

;"! -'-'I

Dakle, -stepeni sa racionalnim eksp()nento'm su-'korijeni. To zn.a~1 da s'e:'Sva'lQ:, , l H:.()rije-n maze napisa:ti :u obliku stepena sa 'racionaJnirn, el{SllQ'nentom i obrIiut0.::.:.....j I

Primjeri: a) 4' =.J4 =, 2 b) 8 3 = Vs' = V64 = 4 c) 32 5 =

2

32 5 2' 4

Koristeci definiciju stepena s racionalnim eksponcntom, dokazane opcracije s korijenima, kao i osobine stepena s cijelim eksponcntom, jednostavno se dokazuju slijede6a pravila:

m E !2+E.. ' a -II>' a n,';:::;:' Ll',n", n

I I

-, iii m

(ab)~ = a';; ·b" (TV) m m

(fY a I~,

m

"

(V)

Dokazimo relacije (I) (IV). Krenirno od lijeve strane relacije (I) i provedimo slijedeci racun:

m p _ _ __ m ... p m p - - n~ fir-;, nr-;;-- til m+ --~- ~+-

a".a'J"",.vani.\/aP=-valll.aP=;.Ja P=a n =an n.

Ovim jc relacija (I) dokazana.

Pokalimo sada vazenje jednakosti (TV). Krenimo od lijeve strane relacije (rV) i stepenujmo je sa n:

m III

(ab) " JlI( .b)"" ~ llib lil nG n~bm --;; b~l-l) a = a = va . V = a· .

Dobili smo daje lijeva strana relacije (IV)jednaka desnoj strani sto znaci da relacija (lV) vrijedi.

23

Na analogan nacin utvrduje se tacnost preostalib relacija 0 operacijarna sa stepenima koji imaju racionalan eksponent.

Primjeri: 3 i 3 4 -+- 7

~ i 10 ~ 10-9 ~ d) X 6 :X 4 =XI2:X!2 =x 11 =x12,

3 ~ ~ i+~+~ 18+10+3 41

g) a 4 'a 6 ,as =a 4 fi 8 =a 24 =a 24 , a>O.

Pored svih navedenih stepena definisu se i stepeni sa realnim eksponentom i sa njima se racuna po istim pravilima kao i za stepenima sa racionalnim eksponentom.

Pitanja za pOl1al'fjanje: m

1. Ohjasni smisao izraza an, 2. Koje operacije se mogu vdili sa sfepenima ajjje eksponent racionalan bra}? 3. iVavedi OSI101'l1a svojstva stepena sa raeiona/l1im ekspOl1entom,

Zadaci za vjezbu i utvrdivanje

1.47. Napisati U obliku korijena slijedece stepene: 3 2 ~

a) 54 b)7 5 c) x' 1.48. Navedene korijene napisati LJ obliku stepena:

3CC 4'5 13 a) "4 b) "3' c) ,a'

Izracunati vrijednost datog izraza: ~ 5

4

d) a 3

d) 7[;l

2

1.49.a) 64 3 b) 81 4 c) 27 3 d) 0,008 3 , 3 2 , 5

1.50.a) 52 .25 4 b) 49 3 ·7 ] c) 64 2 2 5 5 2

e) x 8

9

·16 2

1.51.a) }"2·814 b) 3 3 ·9] ·27,,·3 c) 55 .125.25-0 •2 .5-'

24

] 5 , 5 3 - - -

1.52.a) a 4 ,a 6 ,a S b) a6 :a'

1.53. Uprostiti izraz: a) (a~ a~ a)i 1.54. Broj 0,00000023 napisi U ob!iku proizvoda cijeJog broja i stcpena baze 10. 1,55. Dokazati da vrijedi jednakost:

(3.'I[~~J( 'y ~)" la 2 +a 2 -I) a 2 _a 2 +1 - a-a 2 +IJa+a 2 -1 =a"(a-l). a>O. liprostiti date izraze:

, x 2 + 1

~ . XU ~ 1 x + x 2 + 1 1.56. a)

1.57.a)

, a' _ -=a_--=a_ , , 1 - a-' 2 +-,-_._] +J

a 2 -a 2 a 2 +a 2 a 2

V;;;2-J::-=i 1- T· I b)

(/;=1+1)·' (.ja-I-l)-' 1,58. Izracunati vrijedllost izraza

1

(a + hx)' + (a-bx)' I ' ako je x = 1

(a+bx)2 -(a-bx)'

1.60. * lIprostiti izraz:

b)

~

~(a-1)2

a-2

2am

b(l+m')

r 1 1 I 1 l-' I· (a+x)-'(x+b)·' +(a-x)-'(x-b)-' . - c·.··

i ..... ~.. 1 i 1 J ,za x - "\; ab , a>o., b>O. L~+~'(x+02_~_~2(X-0'

25

2. HOM 0 T E T I J A I SLICNOST

2.1. Kruznica i krug

Definicija 1: Skup tacaka u rm-ni kaje Sll jednako udaUene od jedne ta(ke (0) Ie ravni nazil'a se kruZnica. Tacka () naziva se srediste (centar) kruinice, a dui cUije jedan kraj sredi/;te kruinice, a drugi pripada kruinici naziva se poluprecllik iii radijus kruznicc. Duz ciJi krajevi pripadaju kruinici nQzivQ se fetiva, l'/ajveca {etiva kruinice nQzivQ se precnik (promjer) kruinicc.

Ravan U kojoj se nalazi jedna kruznica podijeljena je na tri oblasti ito: jcdnu oblast cine tacke ravni koje se na!aze ullutar kruznice , drugu obIast cine tacke kruznice i treca oblast je sastavljena od tacaka ravni izvan kruznicc. Dakte, svaka kruznica ima svoju unutrasnju i vanjsku oblast.

Definicija 2: [Jnija unulrasnje oblasti kruznice i ta[~aka kruinice naziva se krug.

SI.2_1. Vat_no je razlikovati pojll1ovc kruY.nice i kruga!

2.1.1. P%iaj tacke prema kruZllici

c

k A

51.2.2. Tacka A je na kruznici, B je unutaL a C je izvan kruznice

o

Ako jc data kruznica k(O, r) i tacka A koja pripada ravni krllznice, tada su rnoguca dya sJuc.ja: AEk(O, f) iii Agk(O, f). U pfYOm silicajuje raslojanje taeke A ad sredista kruznicejcdnako dllzini radijusa kruznice. U drugorn slucajuje rastojar~je tacke A od sredista kruznice manjc i!i veee od duzine radijusa, Ako jc rastojanje.

26

tacke A od sredista kruznice rnanje od njcnog radijusa, tada se tacka A nalazi unutar kruznicc (S1.2.2).

2.1.2. Poloiaj prave prema J,;ruinici

Posmatrajmo kru;l,nicu k(O, r) i ma koju pravu a u ravni ove kruznice. Neka normala na pravu a koja prolazi sredistcm 0 date kruznice sijece pravu a u tacki A. Tada duzina duzl OA moze biti manja, jednaka iIi veca od duzinc radijusa date kruznice (SI.2.3.).

B

M

p

S1.2.4. Ccnlralno rastojanjc tangente Sl.2,3. Pm\-a s jc sjecica. a prava t tangcnta kruznicc jcdnako je radij1l5u!

Teorema 1: Za svaku kruznicu k(O, r) i svaku pravu t vrijedi: aim jc ccntralno rastojanjc pl'ave t jcdnako radijusu r kruzllice k(O, r), ouda prava t ima samo jednu zajednicku tacku T sa kruznicom k(O, r).

Dokaz: Neka je OT = r central no rastojanjc prave t od date kruznice k(O, r). Ovo znaci da ta6ka T pripada kruznici. Uzmimo rna koju ta6ku M (MtT) na pravoj t

(SI.2.4.). Kaka je OT.1 t • to je trougao Ll.OTM pravougli, pa je 01\11 > 01', sto znaci da tacka M ne pripada kruznici.

Definicija 3: Prava koja sa kruznicom ima samo jednu zajednicku taL~ku naziva se tangeflta kruinice. Zajednicka tacka tallgente i kruZllice naziva se dodirna lacka langente. Radijus kruinice koji odg01.-'ara dodirnoj laCld naziva se dodirni radiju.\'. Prava koja sa kruznicom ima dvije zajedni(~ke lacke naziva se 5jecica kruZnice.

Primjer 1: Data je kruznica k(O, r) koja sadrii tacku P.

tatka P. Konstruisati tangentu date kruznicc

Analiza: Prctpostavimo daje prava PI trazena tangenta kruznice pri cemuje T njena dodirna ta6ka (SL2.5). Posmatrajmo pravougli trougao POT. Na duzi PO

27

odredimo tacku S tako da bude

2) Pretpostavimo sada da za stranice cetverougla ABeD vrijedi AB+CD = BC+AD i dokaiimo daje u~ cetverougao tangcntni.

Odredimo presjek simetrala Ax i By uglova

SL2.8.c) Centm\ni llgaojed"Ya puta "Yeel od periferijskog ngla nad istim Illkom

SI.2.9. Ugao izmedu tan Ie i tetive jednakje pcrifcrijsk uglu nad tom te\ivom

Posljcdicc tcorcme 4: 1. Svi pcriferijski uglovi nad istim lulmrn (iii istom tctivom) su jednaki. 2. Svaki perifcrijski ugao nad precnikom je pra"\;.

Tcorema 5: Ako krajnjom tackom tetivc jednc kruznice povuc.cmo tangcntu tada je ugao izrncdu tangcnte i tetivc (cp) jcdnak pcrifcrijskorn ngiu nad tom tetivorn (~) pri cernu vrh ugla f3 ne pripada oblasti ugia 1.1 stranice teffve iste kJ'lIinice naziva se tetivni cetverollgao.

Drugim rljecima, cctverougao oko koga se moZe opisati kruznica na7jvamo tetivni

cetverougao.

32

Teorema 6: Cetverougao ABeD jc tctivni ako i sarno ako su mu suprotni uglovi supJerncntni, tj. ako i sarno ako vrijedi

2.1. 7. Meausobni polozaj dvije kruznice

Definicija 8: RaSf(~janje izmeilu sredisla dvUu kruinica nQzivQ se centralno rllstojanje kruinica.

Neka Sll date dvije kruznice k(O, R) i k'(O', r). U zavisnosti od centralnog rastojanja (d) i radijusa (R i r, R ~ r) kruznice 1110gU biti ujednom od pet uzajamnih poloZaja 0 kojima govori slijedeca teorcma (navodimo je bez dokaza).

Teorcma 7: 1. Ako je d > R+r jedna kruznica se nalazi u vanjskoj oblasti druge i one nemaju zajednickih tacaka (SI.2.12.) 2. Aka je d = R+r jedna kruznica se nabzl u vanjskoj oblasti druge i one imaju jednu zajcdnicku lacku (SL2.13.). U OV0111 slucaju kaicmo da se kruznice dodiruju lzvana.

R o o

su.! 2. Jedna kruznicajc iz\'un drugc. SL2.i3. Ovdjcje OO'=d=R+r.

3. Aka je R-r < d < R+r kruznice se sijcku (i imaju dvije zajednicke tackc). (51.2.14.).

4. Ako je d = R-r jedna kruznic.a se nalazi u unutrasnjoj oblasti druge i one imaju jednu zajednicku tacku (SL2.15.). U OV0111 slucaju ka7£mo da se kruznice dodiruju iznutra.

k k'

Sl.2.l4. K..rllZnice se sijekll. Sl.2.15. Krllzniec sc dodiruju iznutra. SLL16Xruznicajc u kruZ.lllCi

34

5. Ako je d < R-r jedna krllzoica se nalazi u uOlltrasnjoj oblasti druge i one nemaju zajedoickih tacaka (SI.2.16.).

2.1.8. Zajednicke tangente dviju kruznica

Dcfinicija 9: Prava koja je langenta dviju kruinica nLlziva se zajednicka tangenta tiJi kruinica.

Ako se sredisla kruzoica nalaze sa iste strane ojihove zajednickc tangente, tangentu nazivano va.njska zajednicka tallgcnta , a aka se sredista kruzoica nalaze sa raznih strana tangenlc, tangentu zovemo ullutrasnja zajednicka tangcnta kruznica.

Primjer: Konstruisati zajednicke vanjskc tangcnte dviju daUh kruznica k(O, R) i k(O'. f).

Analiza: Neka je prava t zajednicka spoljasnja tangenta datih kruznica k(O, R) i k(O', r), (R > r) i neka su dodirne tacke Dve tangente sa kruznicama MiN (SI.2.17.)

M

SI.2.17. Pravc 1 j t' SU vUlljske zajcdnickc tangclltc kruznica k 1 k'.

Ako srcdistem kruinice 0' pOVllcemo paralelu t" sa tangentom t, ona ce presjeCi poluprayu OM u tacki A. Neka je k'(O, OA) pomocna kruznica. Kako jc ugao

36

Prava t" se moze konstruisati kao tangen1a na pomocnu kruznicu koja prolazi tackoll1 0'. Njenom konstrukcijom dobije se tacka A' (kao dodhna tatka tangente i kruznice). Poluprava OA sijece datu kruznicu k(O, R) u tacki M. Prava koja prolazi tackom M paralelno sa t" je traicna zajednicka (vanjska) tangenta dviju datih kruznic3.

Konstrukcija: I) Odrediti razliku R-r ~ R', 2) Konstruisati pomocnu kruznicu t'(O, R'), 3) Konstruisati tangentu t" na kruznicu k' koja sadrzi tacku 0' (Vidi SI.2.S.). 4) A E k' n t n

5) M E OA n k(O, R) 6) Prava t; MEt, t -LOM .

Dokaz: Dokazill1o da je prava t zajcdnicka tangenta datih kruznica. Neposrcdno iz konstrukcije se vidi da je t tangenta kruznice k(O, R) jer jc t norma Ina na radijus OM tc kruznice. Prave t" i t su paralelne Oer Sll obje normalne na prayu OA) paje udaljcnost sredista 0' druge date kruznice od pravc t jednako 1\1\1, odnosno 1". Ova znaci dajc prava t tangenta j kruznice k(O', r).

Diskusija: Kako se tackom 0' mogu konstrulsati dvije tangente na pomocnu kruznicu k t, to pos1oje dvije 7.3jednicke vanjske tangcnte datih J..:.ruznica. Ako se kruznice dodiruju iznutl~a, tada one imaju samo jednu zajcdnicku tangentu. U slucaju da je jedna kruznica uoutar druge, tada one nemaju zajcdnickih tangenti.

Kako se konstruisll zajednicke ul1utrasnje tangcnte dyjju kruznica? ,

t'

SU. 18. Prayc tit' su z

2.9. Tctivi AB date kruinice odgovaraju elva periferijska ugla eiii se vrhovi nalaze na razlicitim lukovima odrcdcnim datom tetivom. -Dokazati cia su ovi ugJovi suplementni.

2.l O. Tctiva je kruznicu podijelila na dva luka koji se odnose kao 4:5. Odrediti perifcrijske uglove nad ovim lukovima.

2.11. Ugao na osnovicijednakokrakog trouglaje 64°. Pod kojim uglom se vidi osnovica trougla iz centra opisane kruznice?

2.12. Jedan ugao pravougJog trougJajc 22{). Pod kojim uglom se vide stranice ovog trougla iz srcdista opisanc kruznice?

2.! 3. Ugao izmeau tangcnte i tetive jcdne kruznice je ZOo. Odrediti centralne uglove nad ovom tetivom?

2.14. Dui AB je precnik date kruznice. Na tangenti t date kruznice u tacki B odabranaje tacka C tako da duz AC sijece kruznicu u tacki D tako daj; AD~DC. Odrcditi velicinu ugla ACE.

2.15. Ako je tacka H ortocentar troug!a ABC, dokazati da su kruinice opisane oko trouglova "ABH, "BCH i "ACH podudarne.

2.2. Mjercnje auzi. Mjera duzi. Zajcdnii'ka mjcra (ZM) i uajveca zajednicl,a mjcra (NZM) dvijc duii. Samjcrljivc i ncsamjcrl.iivc dnii

Posmatrajmo dvijc duzi: AB j M1\". Ncka se duz MN moze k puta nanUeti na dui AB. Tada vrijcdi: AB~kMN .

a 'r----------~----~----~--__ ~ _____ 6 A e B

M C oN SI.2.19. Broj ;1=6 jc Juzina Juz.i AB.

Na ovaj nacin smo duz AB uporedili sa duzi l\fIN. Kazemo da smo duz AB izmjerili. Ako se sve duzi uporeduju sa datom duzi !v1N, tada ovu duz uzimarno kao jedinicnu duz. Duz,inajedinicnc duzi jc 1. Ma koja dui se moze uzeti kao jedinicna. Da ne bi bilo zabune u !1lcdusobn0l11 kOllluniciranju raznih ljudi i raznih naroda, u cije!om svijetu u internacionalnom sistemu jedinica (SI) za OS110YOU jedinicnu duz uzeta je dUL od I 111.

Pozitivan broj k je duiina duzi AS u odnosu na duz MN 1

a) U ovom s!ucaju je receno da se duz b nalazi u duzi a prirodan broj puta, pa je b zajcdnicka mjcra duzi a i h. Kako mjcra duzi ne moze biti veta od nje same, a zajednicka mjera ne moZe biti veta od najmanje duzi, to jc NZM(a, b) = h.' b) Nekaje a = kb+r i nekaje NZM(a, b) = e. Tada postoje dva prirodna broja m i n (m>n) za koje vrijedi:

b~ o·e. Dalje je:

a~ k·b + f => m·e = k·(o·e) + r ~> f = (m-ok)·e .

Kako je m>nk to .Ie m~nk prirodan hroj. pa sc jz posljednje .iednakosti zakljuclue da je e mjcra i ostatk3 r. Znaci vrijedi ZM(b, r) = e . .los treba dokazati da je NZM(b. 1') = c. Pretpostavlmo suprotno, da NZ\1(b, r}t-e.Tada bi postojala duz e'>e za koju bi vrijedi!o NZM(b, r) = e'_ To znaci da hi postqjala dva prirodna hroja m' i n' za koja \'fijedi -

pa se, dalje, dobije: a. = k·b+r => a = k·(m'·e')+n'·e' => a = (km'+n'}e'.

DobiH srno daje e' I11jera i duzi a. Ova] zak!jucak nas navodi nn to da duzi a i b imajl1 zajecinicku mjem c' koja je veea od njihoH': naj'vece zajednickc mjere e! Kako je ovo pos!jednjc ncmoguce, to duz e! ne postoji 51'0 dalje znaci daje 1'\Z1\1(b, r) = e, odnosno,

NZM(a, b) ~ NZ'v!(b, r) sto smo i trcbali dokazati.

Kako se prakticno odreouje :-\Ztv1(a, b) duzi a j b, (a>b) pokazacemo II narcdnim redovima. Po stupak odreaivanja N7;V1 dYiju duzi f.asniYa sc l1a /"rhimcclovoi aksiomi (za rna kakve d\"ijc duzi a i b , a>b posloji prirod::10 hroj n takav da jc nh>a, drugim rijecima nanoscCl duz b na duz a ros1ije konacno koraka uvijek t.emo prcmasi1i duz a). Poslupak odredi\"3nja NZM dviju duzi pozna! jc pod n32:1

Pitanja za pOnaFfjanje:

1. Sta :maCi izmjeriti duz? 2. Koja dui se maze uzeti zajedinicnu? 3. Kojaje osnovnajedinicna dui? 4. /"lavedi neke manje i neke veee jedinic..~ne duii U odnosu na osnovnu. 5. ~~ta ie duzina duif? 6. Sta je mjcra duzi? 7 Staie zajednieka mjera dv[je duB? 8. Da Ii svake dl1ije duif imaju zajednicku mjeru? 9. Kako se odredI(fe NZ\1 dvije duii? 10. Kakve dufi se zovu samjerUh!c du.zi? ! 1. ;.Vavedi prirnjer nesamjerljivih dufi. 12. Kada je duiina duii raejonalan broil ! 3.· U kojem slucajuje duiina duti iracionalan broj?

Zadaci za vjezbu:

2.l6. Odrediti NZM duzi cije su duzinc a=35 cm i b=21 em. 2.17. Odrediti NZM duii cije su dULine a~16 cm i b~48 cm. 2.18. Odrediti NZM duzi cije su duzine a=57 em i b=24 em. 2.19. Dokazati da su krak i osnovieajednakokrakog trougla sa uglom pri

vrhu od 36°, nesamjerljivc duzi.

2.3. Proporcionalnost duzi, geomctrijska proporcija, geometrijsi{a sredina dvijn duZi, produzena proporcija

Gcomctrijska proporcija Ncka su a i b dvijc cluz! i e jedinicna dul:. Ncka su p i q rcalni brojevi za koje vrijedi a=p·e i b=q·c. 'fada se broj k=p:q naziva razmjera duzi a i b, a to se moz.e pisati a:b=k. Znaci, razm,jera dviju duzi je odnos njihovih duzina.

Svake dv~je duzi imaju svoju razmjeru. Taka j za duzi e i d vrijedi da je c:d = kl, gdje je k\ razmjera ovih duzi

Maze se desiti daje razmjcra dviju duzi jednaka razllljeri nekih drugih dviju duzi: a:b = k, c:d = k .

U OV0111 sJucaj-u moze se pisati a:b ~ c:d (P)

Gornju relaciju nazivama geometrijska proporciju duzi a, b, c i d. Vidi se da jc proparcija sastavljena od cetl!"i duzi. Dvije od ovih duz.i (b i c) zovu se unutrasnji c!anm·j proporcije, a druge dvije duz! (a i d) nazivaju se spoljasnji (vanjski)

42

clanov! proporcijc. Jedna, l11a koja, dui naziva se cetvrta proporeionala preostale tri duzi. Posmatrajuci rcJaciju (P) mozcmo kazati da su duzi a i b proporcionaine duzima c i d sto znaci cia su cetiri duzi proporcionalne ako cine jednu geometrijsku proporciju.

Geomctrijska sredina dviju duzi

Ako se duz b nalazi dva puta kao unutrasnji iIi vanjski clan proporcije:

a:b = b:c iii b:a ~ c:b

tada za tu dul. kazemo clajc geomctrijska sredina duzi a i c.

Produzcna proporcija

Ako z.a sest duzi a, b, c, d, e i fvrijedi a:b = k, c:d = k, e:f= k, tacla mozemo pisati

a:b ~ c:d = c:f iii a:c:c = b:d:f (PP)

Rclacija CPP) naziva se produzcna proporcija.

Pitanja za pOlltlvljanje:

1. Sla naZil'Ql}1{) odnas (razmjeraj d'-'iju duii? 2. J;akl'c duif se na::ivaiu proporcionalnim? 3. Slaje geometrijskaproporcija? 4. K(~iu dui nazivamo geometrijska sredina dviju datil! duii? 5. Kako se deJinise prodl.licna proporcija?

2.4. Il-roporcionalnost duZi na pravama (Talcsova4 tcorema)

Za pral'u koja sijece (dl'ije) druge pra)'c,kaiemo daje J?jihova Iransvcrzala.

Teorcma 10: Neka SU 3, b i c tri paralelnc pravc, a p i q njihovc transvcrzale. Xcka. su presjecne tacke prave [J sa pravima a~ b i c, rcdom, A, B j C, a presjccne tacke prave q sa istim pl'avima ncka su A', H' i C' . (SL2.22). Tada vrijcdi

=> A'B'"" Bre.

43

" L ..

D,okaz: ,Nckaje raspored pravih i tacaka kao na SI.2.22. Tackom B' povucil11o pI ~Vl.l P tal~o da bud~ para!clna sa pravom p. Ncka prava p' sijece prave a i c, re~Om.2...!Ltac!~l11~ Q_.!....E, Kako su cetverollgkwl ABB'D i._BCEB' paraJelograllli, to ~~ .DB' 0;: AB. 1 BrE = Be. KoristeCi pre.!1?2stavku daje AB = Be i posUcdnje dVIJc Jcdnakosll, zakUucujemo da vrijedi DB' -=:- Ii' E. .

Za ug!ove Yrljcdi: OA A'A

=== -==-= , JCfJe B'C~A'A, OB B'B Oil B'B

OVim.ie i drugi dio tcoremc dokazan.

Prilikom formu!acije Talcsove teoreme nije naglaseno cia se objc transycrzalc a i b moraju nalaziti sa iste strane prcsjecne rackc 0 prayih p i q. Teorema vrijcdi i u stucaju kada se a i b. nalazc sa raznih strana U odnosu na tacl\u 0 (SL2.25.).

45

p

y a

a" B"

B' A' b SL2.25. Talcsova leorema vrijedi i II slLlcaju kada se 0 na!azi izmcdu a i b.

2.4.1. Postjedice Talesove teoreme

Dejinicija 13: Skup svih pravih ravni kojc se sijeku u jcdn?j ta.c~ki nazi"va se pramcn pravih. Simp svih polupravih ravni kojc imaju zaJcdlllcku pocctou tacku oaziva sc pramen polupravih.

n' C' ~.~~".""",.,

~~ ,/ s'

/? / ;

n A / B/ -- -?---~.pC --,---~c-

m At,// B/ ___ . _____ . ___ ~~ c, -.7' /-~ a b , ,

SI.2.26. Pranlcn pravih a. b i c prcsjcccflje trima parakinim trans\"crzalama rn, n 1 n

c

Aka pravc (polupravc) pramena presjecemo dvjcma paraiclnim iransverzalama min adnosna mIn', onda vrijedi: . v' a) Duzi fla jednoj pravoj (polupravoj) proporciona!ne su korespondentmm duzlma na

s\"akoj d"rugoj pravoj (po!upravoj) pramena.

SA, SB, SC, ._= ~~=--

SA' SB' SC' --=- ,

SA SB SC SA SB SC

b) Korespondentne duzi na transvcrzalarna propo.~cionalne su korespondentnirn duzinia na svakoj pravoJ (polupravoj) pramena.

46

51

A,B, SA, SB, SC, B,C, SA, SB, SC, --=-~=-.-=-- --=--=--=--AB SA SB SC Be SA SB SC

AIBI SA' SB' SC' BIC' SA' SB' SC' --=-- -- --=--=-~=--AB SA SB SC BC SA S13 SC

c) Duii najednoj transvcrzali proporcionalne su odgovarajucim duzima na drugoj transverzali prarnena.

A,B, AB A' B' AB

B,C, BC B'C' BC

2.4.2. Prilnjene Talesove teoreme

1) Ako su a i b date duzi odrediti duz x za koju vrijedi x = a2:b .

RjeScnjc: Dati uslav x = a2:b se maze napisati u abliku proporcije x:a=a:b (iii a:x=b:a) u kojoj je nepoznata samo duz x. Nepoznatu duz mOLemo odrediti prirnjcnom Talesove tcorerne. Posmatrajrno clvije, ma kojc, polupravc Op i Oq. Na polupravoj Oq odredinlO tacku A tako daje OA=a i tacku 13 tako da vrijedi OB=b (SL2.27). Na drugoj po!upravoj Op odrcdimo tacku C taka da \Tijedi OC=a. Aka na poJupravoj Op odrcdimo tacku D taka cia budc AD II Be, tada primjenolTl Talesove tcoremc vrijcdi:

odnosno, OD: OC = OA : OB ,

OD: a=a: b,

Kako je x:a = a:b, to zaldjucujemo da za traZ,enu dut x vrijcdi x = 00.

iX

M! />

/ y

~'-a' , .• -'-' '-~(C-« ~ +-

SJ.2.27. Tralcna uuL.je OD.

m/ N'! o / ,'Ii/ ..

--o'j, A0;..------r2~B , I

'tl S1.2.28. Tack:.! C dijcli duz AB U odnosu m:n.

47

2) Datu duz AB rodijeliti u odnosu Ill:n.

Rjesen.ie: U zadatku se trazi tacka C za koju vr]jedi AC:BC = m:n. Pretpostavimo prvo da se tacka C nalazi na dU73 AB (Sl.2.28.).Tackom A puyucimo ma koju po!upravu Ax, a tacko1l1 B polupravu By koja je para!elna po!upravoj Ax. Aka na prvoj polupra\'oj odredimo tacku M taka da je AM = m, a na drugoj po!upravoj tacku N taka da bude BN = n, presjek pravc MN i date duzi AB jc traicna tacka C.

Dokaz: Kako su pravc AB i 1\1N koje se sijeku II tacki C prcsjecene sa dvjema para!elninl trans'verzalama (AM iBN), to prema Talesovoj teorcmi \'rijcdi:

CA:CB ~ AM:BN . Kako je, prema konstrukciji, AM=rn i BN:=.n, dobije se AC:BC=m:n, pa tacka C zaista dijeli duz AB u traienom odnosu. U OV0111 primjeru data duz AB podijeljena je tackom C ul1utrasnjom podjelom II odnosu m:n. Duz. se moze podijeliti i vanjskom podjelom. Data duz AB tackom C je vanjskom podje!om podijeljena U omjelll m:n. Dokaz slijedi neposredno iz konstrukcije i Talesove teoreme (SI.2.28.).

3) Odrediti tacke C i D kojc datu duz AB dijelc na tri jcdnaka dijcia.

RJdcnje: Tackom A povucimo polupravu Ax. Na ovoj polupravoj odredimo tacke A!, A2 i A3·tako da vrijedi AA1 = A1A1 = A2A}, Spojimo tacke B i A}.

A,

//'\ /"

A3/

y~\

A.,;;;---.... t----"lifl)----' .... S S1.2.29. DllZ AB jc podijeljcna na tri jednaka dijcia.

Tackama Ai i A:; povucimo paralele s pravom A3B, Presjecne tacke ovih para lela sa duzi AB su traiene tacke C i D (SI.2.29.). Nairne, neposredno, na osnovu Ta!esove teoreme, vrUedi,

AA,: A,A2~ AC: CD i AtA,: A,A3~ CD: DB

pa kako su duzi AA" A,A, i A,A,jednake, to sujednake i duzi AC, CD i DB. Navedenim postupkom se data duz maze podijeliti na proizsoljan broj jednakih duzi.

48

W'

Pilanja za ponavljanje:

1. Koju pravu nazivamo transverzala dviju pravih? 2, Aka su dvije neparalelne prave ravni pre,~jeceJ1e so dvjema paralelnim

t;:ansl'erzalama, pronatli sve cetvorke proporcionalnih duii. 3. Sla tvrdi Talesova feorema? 4. l'./avedi neke posljedice Talesove teoreme. 5. Kako se dut dije/i na njednakih dije/ova?

Zadaci za vjezbu:

2.20. Duz AB iSija je duzina 28 em podijeljenaje tackom C na dva dijela tako daje AC=8 em. Odrediti razmjere:

a) AC:CB b) AC:AB c) CB:AB 2.21. Kolikije odnos teziSnice trougla i njenog manjeg dijela odredenog tezistem. 2.22. Dokazi ekvivalentnost proporcija:

a) a:b ~ m:n ¢:> (a-b ):b = (m-n):n b) a:b ~ m:n ¢:> (a-b):a = (m-n):m

2.23. Izracinati cetvrtu proporcionalu za duz.i a=4, b=3, c=8. 2.24. Izracunati geometrijsku sredinu G za duzi a=9 i b=l. 2.25. Odrediti geometrijsku sredinu G duzi a=3 i h=12. 2.26. Podijeliti datu dui AB=20 em na tri dijela koji su U odnosu 2:3:5. 2.27. Datu duz AB podijeli!i na 5 jcdnakih dijelova. 1,28. U trouglu ABC dataje tezisnica AA'. Odrediti teziste T trougta oe ertajuci

nove tezisnice. 2.29. Odrediti teziste trougla Cijijejedan vrh nepris~pacan. 2.30. Zadane su dvije duzi Cijc su duzine a j b. Konstruisi duz x cija je duzina abo 1,31. Date su duzi a i b. Konstruisati duz x tako daje x=a:h. 2.32. Ako je a data duz, konstruisati dui x ~ a2 . 2.33. Date su duzi a, b, c i d. Konstruisati duzi x i y aim vrijedi a:b:c = d:x:y.

2,5. Osobinc simetrala unutrasnjeg i uporcdnog vanjskog ugla trougla

Poznat nam je pojam simetrale ugJa 1 simetrala unutrasnjih i vanjskih uglova trougla. Ovdje se navodc teoreme 0 simetralama.

Tcorema 12: Simetrala unutraJnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu na dva dijela koji su proporcioflalni drugim dvjema stranicama trougla. Iobrnuto, ako neka prava koja prolazi kroz vrh fro ugh" dijeli suprotnu stranielt na dijelove koji sa proporcionalni drugim dvjema stranicama traugla, tada je fa pral'a simetrala ugla,

49

Dokaz: a) Pretpostavimo daje je prava BM simetrala ugla kod vrha B troug!a ABC (SI.2.30). Tada je

(a)~a~20, b~15, c~7 b) a~14, b~15, c~20. 2.36'.'Stranice trougla su 2, 3 i 4. Na koje dijelova sirnetraie njegovih ugJova dijeJe

njegove stranice? 2.37. Nekaje M tacka u kojoj simetrala ugla C troug!a ABC sijece stranicu AB.

Izracunati AM i MB kao funkciju od stranica BC~a, AC~b i AB~c trougla. 2.38. Nekaje N tacka u kojoj simetrala vanjskog ugla kod vrha C trougla ABC

sijece polupravu AB. Izracunati AN i NB kao funkciju od stranica BC=a, ._~ AC~b i AB~c trougla. (,~._~ Simetrala ugla A na osnovici jednakokrakog trougla ABC na kraku Be gradi

odsjecke min. Izraziti osnovicu a trougla kao funkciju od min.

2.6. Homotetija geometrijskih figura

2.6.1. Pojam 0 homotetiji. Homotetija kao preslikavanje

Nekaje 0 stalna tacka ravni, X rna koja tacka te ravni i k feaian broj, Svakoj tacki X ravni moze se pridruziti tacno jedna tacka X' te ravni,tako da vrijedi

(SI.2.32.).

B '. c . .E' •

A f!{ .. •

", S' , S1.2.32. Svakoj tncki X ravni pridruzena je tacka X' tc rami.

Definicija 14: Presli~~,?je koje svakoj tacki X pridruiuje lacku X' tako da vrijedi

vektorska jednakast OX~ = k· OX ,gdje je 0 rna koja stalna lacka ravni i k rna ko}i realan bra), naziva se homotetija. Tacka 0 se love centar homotetije,a realan bro) k koejicijent nomotetije, a lacke Xi ,X1 korespondentne locke homotetije.

Za korespondentne tacke homotetije ka7-erno i cia Sli hcimoteticne tacke .. Homotetija s centrom 0 i koeficijentom k oznacava se H(O, k).

52

Ako se figura F homotetijom preslikava u figuru F', tada kazemo da su F F' homotcticne figure,

Homotetijaje odredena svojim centrom i koeficijentom,

Ako je koeficijent k homotetije pozitivan (k>O), za homotctlju kazemo da ie direktna. U s[ucaju kada je kocficijent homotetijc negativan braj (k

PosJjedice teoreme 14: I) Aka je k>O homotetijom H(O, k) se vcktor preslikava 1I vektor istog pravea i

smjera. 2) Ako jc kO i sllprotnog smjera ako je kR', predstavljene na SI.2.34. Neka su paraJelni radijusi u istom smijcru R=SM i R'=S'M'. Ozna6imo ta6ku presjeka pravih MM' iSS' sa O. Tada prema Talesovoj teoremi vrijedi:

OS : OS' ~ SM : S'M' (=R:R').

Vidirno daje tacka 0 podijelila duz SS' vanjskom podjelom U omjeru R:R'. Kako su dliZine radijusa kruznica, kao i njihova sredista, fiksnc, to je i tacka 0 fiksna sto znaci da ojen polofuj ne zavisi od toga koji polozaj radijusa R i R' je Hzet. Dakle, prave koje sadrze krajnje ta6ke paralc[nih radijusa dviju kruznica istog smijera, sijeku se u istoj tacki O.

M

.~.34. Dvije kruznice II istoj rami uvijck Sll homoteticne

2) Posmatrajmo sada paralelne radijuse R=SM i R'=S'M 1 koji imaju sup rotan smijer (S1.2.34.). Neka se pravc SS' i MM I sijcku u tacki 0'. Prema Talesovoj teoremi vrijedi:

O'S : O'S' = SM : S'M I (= R:R').

Iz posijednje proporcijc se vidi da je duz SS' podijc!jena tackom 0' u razmjeri R:R'. Kako samo jedna tacka dijeli duz u datoj razmjcri to polozaj tacke 0' ne zavisi od izbora suprotnih radijusa SM i S'M! sto znaci da je za svaki njihov izbor presjecna tacka prave odreaene njihovim krajnjim tackama s osom kruznlca ista tacka 0'.

Teorema 18: Dvije kruznicc razlicitih radijusa kojc pripadaju istoj ravni homoteticne su direktno i inverzno.

Dol",,,: Dokaiimo, prvo, da su kruznice Ic(S, R) j k(S', R') direktno bomoteticne. Prema SI.2.34. vrijedi:

as OM R ~ odnosno,

R' OS' OM' as ~ _1

Posljednje dvije jednakosti kazuju da su sredista kruznica homoteticne tacke U odnosu

na homotetiju H( 0, :,), i isto tako da su u istoj homotetiji homoteti"ne tacke M i M'. Kako su radijusi SM i S'M' uzeti proizvoljno, koristcCi prethodnu teoremu, mozemo tvrditi da svakom paru paralelnih radijusa istog smijcra odgovaraju krajnje tacke koje su homoteticne u odnosu na lsti centar 0 i sa istim koeficijcntom (R : R'). Na osnovu recenog zakljucujemo da su date kruz,nice direktno homoteticne.

Na analogan naein se dokazuje da su posmatrane kruznice inverzno homoteticne u

odnosu na homotetiju H( 0' _ _ l!:...) , \. ' R'

Centar homotetije oekih kruznica moze se odrediti pomocu njihovih zajednickih tangenata. Tako, ako kruznice imaju dvije vanjske zajednicke tangente, njihov centar homotetije je presjck 1'ih tangenata. Centar invcrzne homotctije dviju kruznica je prcsjek njlhoyih z

Definicija 15: Aka ZG dv?je jigure F i F' pastoji preslikavary'e kaje svakom paru fa(aka AI iN prvefigure pridruiuje par tacaka M' i N' druge taka daje odnos duif M'N':1'vIN stalan broj i ohrnuto,svakom paru taeaka M' i AT' drugejigure pridruiuje par tac~aka MiN prve tako daje odnos M'N':MN i>lalan broj, naziva se sliCnOSl. Za figure F i F' kaiemo da su slicne.

:ridimo .. da slicno.st ne cuva rastojanje medu tackama. To znaci da sJicnost nije IzometnJa. Meauhm, ovim preslikavanjem se zadrzava odnos korespondentnih duzi sto rezultira time da se njime ne mijenja oblik figure. Preslikavanjem slienoseu, figura se preslikava u manju i!i veeu (specijaJno, i u podudarnu).

Vee smo dciillisali kada za dvije figure kaiemo da su slicne. Slicnost dviju figura se maze definisati i POJ1l0CU homotetijc i podudarnosti na sljcdecj nacio:

Dcfinicija 16: Za dvUefigure F iF' kaiemo da su sliene aka pastaje Irecafigura Ffl kojaje sajednom od jigura F iii F' podudarna a sa drugam hamateliena.

Ako su figure F iF! slicnc to pisemo i ovako F - F'.

s

o SL2.35. Figme F j F" su homotcticnc, F" i F' podudamc, a r i F' Sll slicne. c

Sliene figure imaju ccntar i kocficijent siicnosti. Centar sJicnostije centar hOll1otetije jcdne od figura i trcce figure koja je sa ojom homoteticna a s drugom figurom podudarna. Na S1.2.35. ccntar sliCllosti figura F i F' je tacka O. Koeficijent slicnosti figura Fir' jc kocficijent homotetijc figura f iF". U z3visnosti da Ji su figure F i F" direktno iIi invcrzno hOll1oteticne i figure F i P' mogu bit! direktno ,iIi inverzno slicne.

Kako je svaka figura podudarna sa samom sobom,to su dvijc hOll1oteticne figure u\'ijek slicne.

58

,ji

Vidjeli smo da su dvije kruznice uvijek homoteticne,a sada mozemo kazati da su sve kruznice slicne. Za ostale figure ne vrijedi gornja tvrdnja. Posebno cemo se zabaviti proucavanjem slicnosti mnogouglova.

2.7.2. Slicl10st mnogouglova

Kako je svaki mnogougao geometrijska figura, koristeci definiciju 16 mozemo kazati:

Dcfinicija 17: Za dva mnagougla kazema da su slicni aka postaji treti mnagaugaa kajije sajednim padudaran, a sa drugim hamate/iean.

Odredivanjem mnogougla koji je s jednim od dva l11nogougla podudaran, a s drugim homotetican, siieoi moogouglovi se dovode u polozaj kada se mogu odrediti korespondentni vrhovi, korespondentni ugJovi i korespondcntne stranice.

Teorcma 19: Dva mnogougla ARenE i A'B'C'D'E' slicni su ako i sarno ako su im korcspondcntni uglovi jednaki i Imrespondcntnc stranice proporcionalne.

Dokaz: a) Neka su mnogouglovi ABCDE i A'8'C'D'E' s!icni. Dokaiimo da su korespondentni uglovi jednaki i korespondentne stranicc proporcionaJne. Kako su mnogouglovi ABCDE i A'B'C'D'£' po pretpostavci s1i6ni, to postoji mnogougao A"B"C"D"E" koji je s prvim mnogouglom homotetican, a s drugim podudaran, pa za uglove vrijcdi:

b) Pretpostavimo da mnogollglovi ABCDE j A'B'C'D'E' imajujednake odgovaraju6e llglove i propoicionalne odgovaraju6e stranicc. Dokaiimo da su o"i mnogouglovi slicni.

Prema pretpostavci teoremc je

k('\'B'+B'C'+C'D'+D'E'+E'F'+F'A') _ _ AB _ BC _ CD _ DE EF AF A'B'+B'C'+C' D'+D' E'+E'F'+F' A' - k (" A'B' -fi:C- C'D' - D'E' ~ E'F' ~ AT)'

2.7.3. Slicnosf trouglova. Sfaw)vi 0 slicnim trouglovima

Kako je trougao jedan od mnogouglova, to sve sto je receno 0 slicnosti mnogouglova vrijedi i za trouglovc vodeci raeuna 0 broju stranica,odnosno uglova. Ipak, kako se trougao veoma testo susrece u raznim zadacima i primjenama, posebno ccmo obraditi siicnost trouglova.

Dcfinicija 19: Za dva trougla kaiemo da su sfiena aka je jedan od I1jih podudaran, a drugi homotetican sa nekim treCim trouglom.

Iz teoreme 19 neposredno slijedi slijedeca:

TCOI'cma 22: Dva trougla ~ABC i i1A'B'C' su sliena ako i sarno ako su im odgovarajuci ugiovi jednaki i odgovarajuce stranice proporcionalne.

Da bi se utvrdilo da Ii Sli dva trougla stiena iii nisu, nije potrebno prona!aziti tred trougao koji je sa jednim ad datih podudaran, a sa drugim slican, niti je potrebf)o provjeravati da Ii je ispunjeno svih sest uslova: jednakost tri para uglova i proporcionalnost tri para stranica. Za ispitivanje da Ii ,Sll trouglovi slient iii ne koristiCemo jednu od slijedecih teorema koje 5e nazivaju i stavovi slicnosti:

Teorcma 23 (Prvi stay 0 slicnosti trouglova): Dva trougla su slieua aim su dva ugia jedoog trougla jednaka odgovarajucim uglovima drugog trougla.

C'

A' B'

~ __ -L ______________ L---1B SI.2.37. Dva trollgla sa po dvajednaka ugla Sll sl!cni.

62

I

Dokaz: Neka za dva trougla !lABC i !lA'B'C' vrijedi:

Teorema 25 (Treei stay 0 slicnosti trouglova): Ako su sve hi stranice jednog trougla proporcionainc sa odgovarajucim stranicama drugog onda su ova dva trougla sliena.

Dokaz: Neka trouglovj ABC i A 'we' (SL2.39.) imaju proporcionalnc odgovarajuee stranice tj. neka vrijcdi:

AB _ BC _ AC _ k A'B--;- B'C'- A'C'- .

Dokazimo da su ovi trouglovi sllcni.

C'

SJ.2.39. Tronglovi 6ABC i flA'B'C' SH sliCni.

Konstruisimo ,1AB"Cn tako da tacka en pripada polupravoj AC i da vrijedi AC"~A'C', a tacka B" da pripada polupravoj AB ida bude AB"~B'C', Tada vrijedi:

Trouglovi ,1ABC i AA nB"e Sll h01110teticni sa cent rom homotetijc A kocficijentom k. Za duzi BC i BnC" vrijedi

BC

B"C" ,1_~ ~ k, a na osnovu pretpostavke {eoreme ie_BC = AC = k ACt! . B'C' A'e' '

pa, kako je, AC"=A'C' , to vrijedi B"C"=B'C'. Sada vidimo da trouglovi AA'R'C' AAB"C" imaju jednake sve tr1 odgovarajuce stranice, pa su, prema stavu SSS 0 podudarnosti trouglova, podudarni. Ovo znaci da AABC 1 L\A'B'C' j l11aju po jedan jednak ugao «A=

abc ----~-~-~k a' b' c'

< A ~< A',< B~< B', < C~< C' (*)

Ncka su CD=n i C'D'=h' dvije odgovarajuce visine datih troug!ova. Tada pravoug!i trouglovi ~BDC i 6.B'D'C' imaju jcdnake ostre uglove , 2 2

Pee => =>

P' c ' c'

p c' P' =;12

P c h

P' c' h'

Primjcr 1: Visinc ujcdnom trouglu obrnuto su proporcionalne odgovarajucim stranicama. Dokazati.

RjcSenje: Neb su AA' i CC' ,isine lrnugla ABC (SI.2.41.).

SL2.41. Visine trougla su ObllLlLO pmporcionalnc stranicama

66

C

S1.2.42. Tciislc lrollgla dijdi sYaku te2iSnicu U omjc.m 2:1

Pravougli trollgiovi j,BCC i j,AA'B imaju zajednicki jedan osiar ugao (SI.2.41.), pa Sll slicni. Kako su odgovarajuce stranice sli6nih trougtova proporcionalne, to vrijcdi:

AA' : CC' ~ AB:BC

Analogno se dobiju proporcije:

Prill1jer 2: Prtmjcnol11 slicnosti dokazati da leziste lrougJa d~jdi svaku tczisnicu u omjeru 2: 1.

RjcScnjc: Posl1latrajmo ,:\ABC (S!.2.42). Neka su tacke A' i B' redoll1 sredista siranica Be i AC. Oznacilllo leziste /~ABC, tj. tacku pre~leka tezisnica AA' i BB' sa T:Duz B'A' jc srednja dui .6.ABC paje AB=2·A'B' i AB it A'81• Trouglovi .6.ABT i b.NB'T su slicni jer imaju po dva jGdnaka ugla «ATB=

dva pu1a veee stranice. Prema tacki 2) konstrukcije, vidi se da je ABt:AB=2: 1 , a prema tackama 3) i 4) duzi BtC' i BC su paralelne. Kako je, prema Talesovoj teoremi, B'C':BC~AC':AC~AB':AB, to je B'C'~2-BC, AB'~2-AC i AB'~2-AB, pa su stranice dobijenog trougla proporcionalne sa stranicama datog i dva puta vece od nj111. Ovim je dokazano da je dobijeni trougao sliCaIl datom i da ima dva puta vece stranicc.

Diskusija: Zadatak uyijek imajedinstveno ljeScnjc bez obzira na to kakav je dati trougao.

Primjer 4: Dat je i\ABC i ohim 2s' trougla A'B'C'. Konstruisati /\A'B'C' ako je poznato daje s1iC~an s datim AABC.

Analiza: Neka je L~ABC dati trougao sa stranicama a, b i c (S1.2A4). Obim datog tfOugla je 2s=a+b+c. Kako su obimi slicnih trougJova proporcionalni odgovarajucim stranicarna to je

25':25 = a':a

odakle se maze odrediti stranica a' trazenog trougla 1

2.58. Dokazati da su dva trougla slicna ako su stranice jednog paralelne sa stranicama drugog.

2.59. Srcdine stranica trougla ABC su vrhovi trougla A'B'C'. Dokazati da su ovi trouglovi slicni i odrediti kocficijent slicnosti.

2.60. Ako dvajednakokraka trougla imajujcdnake uglove pri vrhu tada su slicni. Dokazati.

2.61. Dvije visine u troug[u sUeku se tako daje proizvod odsjccaka na jednoj jednak proizvodu odsjecaka na drugoj. Dokazati.

2.62. DUl, DE koja odgovara straniei AB, jc srcdnja duz troug!a ABC. Dokazati daje trougao ABC sliean troUghl CDE.

2.63. Ostar ugao jcdnog prawHlglog trouglaje 50°, a drugog 400 • Da Ii su ova dva pravougla trougla slicna? Zasto?

2.64. Jedan jcdna~okraki trougao ima pri vrhu ugan 72°, a drugi ima ugaa na osnovici 36'). Ispitati da Ii su oVI trouglovi slienT.

2.65. Stranica trougJa je 10 i vis ina koja odgO\'ara ovoj stranici 15. Pamielno sa datom stranicom poyucenaje pai'aJela ciji odsjecak koji pripada trouglu ima dllzinu 4. Ko!iko je vrh trollgla udaljen od paraJcle?

2.66. DYije yisine u trouglu razlikuju se za 8, a njihovc pripadne stranice iznose 15 i 20 jedinica. Odrediti visine.

2.67. Visina trougla duzine 6 dijcli pripadnu stranicu na odsjecke 3 i 4. Koliko je rastojaqje ortocentra troug!a ad date stranice?

2.68. Jedan trougao irna stranice a=25, b=30 i c=45, a obim drugog slicnog trougla jc 60. Ko!ikc su stranice drugog trougla?

2.69. Osno\'ice trapeza su 45 i 20. Jedna dijagona!a trapcza dijeli trapcz na dva slicna trougla. Odrediti duz.lnu oYe dijagonaJe.

2.70. Stranice parale!ograma s1l20 i 8. Manja \·jsina paraJclog,ramajednakaje 6. Odrcditi vceu visillu.

2.7!. Ova slicnajednakokraka trougla imaju zajcdnicku stranicu duz.ine 12. Osnoyica manjcg trougla jednakajc 9. Odrediti obime ovih troug!ova.

2.72. Srednja duz trapczajcdnaka je 9. Tacka prcsjcka dijagonala trapcza udaljcnaje od njego\'ih osnovica 7 i 5. Odrediti osnoyice trapeza.

2.73. Povrsine d\'aju s!icnih mnog,ouglova su 75 i 48, a obim drugog iznosi 20. Odrediti obim prvog mnogougla.

2.74. Stub da!ekoyoda baea sjcnku duzine 1001, a stap duzinc I m baca sjcnku dugu 50 ern. Izracunati visinu stuba.

2.75. Tacke Ai B nalaze sc na dostupnirn mjestirna a njihovo meausobno rastojanje se nc moze Jirektno izmjcriti. Pokazati kako se maze izracunati rastojanjc izmccIu tih tacaka.

2.76. M07,e Ii se odrediti sirina nekc rijckc bez prclaska na drugu obalu? 2.77. Konstruisati trougao s!iean datom ako muje datajedna stranica. 2.78. Konstruisati troLlgao sliean dalOm ako muje datajcdna yisina. 2.79. Konstruisati trougao slican datorn ako muje datajcdna tczisniea 2.80. Konstruisati trokut s!iean datorn koji im

b h a

q • I P A D B

SI.2.45, h2=pq; a1 =cp; b" = cq

b) Uglovi

Rje.scnjc (analiza): Ako u prethodnom zadatku llzmemo da je m=a, n= I, Lada se trazena duz x moze odrediti na svaki ad navcdena dva nacina.

Zadatak 3: Date su dvije dllZi a i b. Konstruisati duz x =.J a2 + b2

Rje.scnje (analiza): Konstrukcijolll pravouglog trougla u kome su katctc jednake datim duzima a i b dobije se hipotenuza c kojajejednaka traienoj dllZi x.

Pitlll1ja ZlI pOllal'ljllllje:

}, Koje leoreme su dokazane primjenom slicnosti? 2. lma Ii sl·'akf trokll! 11lj)otenuzu? 3. Sia tl'rdi Pilagorina feoremu? 4. }/avedi teoremu obrnu/u Pilagorinoj.

Zadaci za "jczhu i utvnlivanje:

2.94. Katcte pravoug!og troug!a Sll a=3 i b=4. Izracunati hipotcnuzinu visinll i "",_" odsjecke koje gradi na hipotcnuzi.

'2.95·~'rlipotcnuza pravouglog trouglajc c=12, a odsjecak p=6, Odrcditi katctc i hipotenuzinu visinu.

2.96. Dljagonalc romba su 12 i 16. Odrediti radijus u romb upisane kmznice. 2.97. Ako Sll a i b katete, a h hipotcnuzina visina, dokazatijcdnakost

I 1 I ~+--=->

r':'''"_', a 7 be h]

2,9~: Ako za stranice troug!a a, b i C \Tijedi a = 2m11, b = m2_n 2, c = m2+n 2 ,gdje ,- su In i n ma koji renlni brojevi i l11>n. dokazati dajc trougao pnwoug!i.

2.99. Suma ksadrata stranica pravOLlgaonikajednakaje sumi kvadrata njegovih dijagonaJa. Dokazati.

2, I 00. Kolikaje \'isinajednakostranicnog troug!a cijaje stranica l? :2 10 l. Osnovice jednakokrakog trapeza su a=44 i c=4, a krakje b=29.

Odrediti visinu trapeza.

77 2. j 02. Osnovicajednakokrakog trollglajc a=18, a visina l1a krakjc hcc::; ~.~ .

lzracunati drugu visinu trougla,

"10" 'I d dO. ·b I ··d 0 ""~b2 .... .). j-\ \.0 su ate UZl a 1 ,wnstrUlsatI uz x = --.,; a~ + 2.104'. Za date trl duzi a, b i c konstruisati duz x ako je x2 -:= i+bc. 2.1 OS. Ako su poznatc duzi a, b i c kOllstruisati dul. x ako je x2 = b2 + ac. 2.1.06. Ako su date dul.i a, i b i a

Dokaz: Neka se tacka P nalazi van kruz!1ice (SL2.49,a)). Tada su uglo\'i

lz dvije posljednjc jednakosti zak!jucujemo da vrijedi: p ~_Cpl,

pa kako je CP polovina tetive nor-maIne na radijus koji prolazi tackom P ovimje lvrdnja teorcmc dokazana.

Aka sa d oznacilllo uda!jenost tacke P od sredista kruznice k(O, R), tada se iz pravougtog trollgia COP, primjeno!1l Pitllgorine teorcme dobije

CP2 "'" R1~d2.

Kako je Cp2;o.;o -p, koristenjcm ove jednakosti, dobije se p~d'_Ro ,

odakle zakUllclljemo da isti obrazac za potenciju tacke u odnosu n3 kruznicu \T~jcdi i kada se tacka nalazi \'an kruznicc i kada .Ie lI!1utar kruznicc, Narm'oo, obrazac vrijed; i za tacke na kruznici (d=R, p=O).

Kako .Ie za tacke LlDUlar kruzilice dr, tacka P van k . .ruznice, ondaje p>O, 1. Ako .Ie d=r, tacka P na kruznici, tada .Ie p=O i 2. /\ko je d

2.10. Nckc primjenc potcncijc tacke U odnosu na kruznicu

2.10.1. [(arnoovl' obl'asci. Pitagorina teorema

Posmatrajmo trougao ABC sa stranicama AB=c, BC=a i AC=b. Neka je M normalna projekcija vrha A na pravu Be. Nckaje x=CM (SI.2.54.). Tada vrijedi:

Tcorema 36: a) Ako je ugao kod vrha Costar, tada jc c2 = a2 -I- b2 _ 2ax b) Ak" je ugao kod vrho C lupi, tada ic c2 = a 2 + h2 + 2ax c) Ako jc ugan kod vrha C pravi, tada jc c2 = 3 2 + b2

(Pitagorina teorema) .

SJ.2.54 Koristcci osohinc potencijc lackc B, dokaZl~icmo KflrnOOVe obrascc.

Dokaz: a) Kruznica k(A, b)"sijcce duz CB u tacki D, a stranicu AB u tacki E. Neka je F tacka ove kruznice kojaje suprotna tacki E (S!.2.S4.a). Tada vrijedi:

BD·BC=BE·BF,odnosno • (a-2x)a=(r~b)(c+b), a7._2ax=c2_b2 => c2~-=a2+b2_2ax.

b) Ako je ugaa kod vrha C tupi, tada kruznica k(A, b) sijece duz AB u tacki E,a po!upravu Be u tacki D (SI.2.54.b). Prema uvedcnim oznakama vrijedi:

(a+2x)a ~ (e-b)( c+b) ,

c) Ako je nABC pravougli sa pravirn ugiom kod vrha C, tada konstrukcijom kru:lJ1ice k(A, b) dobivamo da je Be tangcntna duz tacke B i vrijedi

(c-b)(c+b) ~ a'

Doka1.an1 obrasci pod a) i b) nazivajll se Karnooyi obrasci.

(, Lazare Carnot. (]753-! 823) - l'rancmki n"llcnlk i po!iliC x2 +ax=a2

=> a:x = x:(a-x). =>

Posljednja jednakosl, shodno definieiji 20, pokazl1je da je dUl: a podijeljena po zlatnom presjek.'U ako je veei dio pri toj podjeli jednak duzi x=AD. To znaci da sada trebamo iz tacke A nanijeti dliZ AD na duz AB i lako dobivena tacka M datu dul' dijeli po zlalnom presjeku.

81

A

c

M a-x B

a

2

.. ' .. '

SU.S5. Tacku \1 uuz An dijcli po 'zlatnom prcsjcku

Prema St.2.55. je AC 2 = ABl-+- Be::', odnosno, ,-

+a- a a(-)5 -I) x=AC -DC= - ~.-----=

o 2 2

2.11. Polara tacke U odnosu na kruznicu

lz lacke P \an kruznice mogu se povuci d\"ije tangcnte oa datu kruznicu. Ncka su dodirnc Lackc oyih tangenata redom, A i B.

Dcfiuidja 22: Pruyn koja proiiui dodirnim tackama A i B tangcnata povucenih iz tacke P na datu kruznicu, nazi\'a se po[ara tacke P U otinmm na posmatranll kruZnicu. 'facta P nazi\'a se pol polare p.

I'

k B

. k

S

SL2.56 Prina k.jc polar'a lackc (rob) P.

nO:OS=OP:ilO

82

p

Tcorcma 37:Ako je k polara kruznice k(O, R) i tacka P pol, tadaje proizvod rastojanja po!a P i polare k od centra kruinice konstantan i jednak kvadratu radijusa kruznicc. Dokaz: Neka su A i B dodirne tacke tangcnata povucenih 1Z pola PiS tacka presjeka polare k sa pravol11 PO .

Trougloyi 6-BOP i il-BOS su pravougli i vrijedi

2.127. Kvadrat stranice pravilnog petougla upisanog u kruznicu radijusa Rjednak je zbiru kvadrata stranice pravilnog sestougla i stranice pravilnog desetougla koji su upisani u istu kruznicu. Dokazati!

2.128. Konstruisati pravilni petougao aka fiuje poznat radijus R opisane kruznice. 2.129. Presjecna tacka dviju dijagonala pravilnog petougla dijeli svaku od

dijagonala po zlatnom presjeku. Dokazati! 2.130. Konstruisati pravilni petougao ako muje poznata dijagonala. 2.131. Konstruisati pravi!ni petougao ako su poznata sredista njegovih stranica. 2. I 32. Konstruisati kruznicu ako je dat pol P, polara p koja odgovara polu P i

jedna od tangenata kruznice koja sadrzi pol P.

84 j

3. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEV A

3.1. Fonniranje skupa kompleksnih brojeva

U osno'vnoj skali sma upozna!i Sh.tlPOVC brojcya 0 kojima sma nesto vise govorili i u prvom razredll srednje skole. Taka smo govorili: 0 prirodnim brojevlma ciji skup oznacavamo sa N, 0 cijelim brojevima (ciji skup oznacavamo sa Z), raciooalnim brojevima (ciji simp oznacavama sa 0), iracionalnim brojcvima (eiji skup oznacavamo sa I) i rcalnim brojcvima (ciji skup oznacavamo sa R). U svakom od navedenih skupova definisane su operacije sabirarUc, oduzimanje, 111110l:Cnje, ... Osnovne algebarske operacijc (sabiranje, oduzimanje, mnozenje i dijeJjenjc) u skupu realnih brojeva mogu se izvoditi bez ogranicenja (uz jedini uslo\" da se nc dijeli sa nuJom). Posmatramo Ii, medutim, jednacine i ll1ogucnost njihovog rjesavanja II skupu realnih brojeva, nailazimo na niz potcSkoca. Uzmimo, oa primjer, slijedccu jecinacinu

i pokusajmo pronaci ojeno ~jcsenjc u skupu R. lcdnacina se moze napisati II ob!iku x = --4 , odakle vidimo da treba pronaCi takav broj x Ciji jc kvadrat jednak -4. Prouc3\'ajuC1 rcalne hrojcyc uocili smo da je k\"adrat ma ko.1eg realnog hroja neoegativan. To znaci da ne postoji reaian broj ciji jc k"adrat negath·an, pa nCl11a nijednog reatnog broja koji ima kyadrat jednak ---4. lato sc moze kazati da navedena .ie-dnacina u skupu realnih brojeva R nCl~a !jescnja. Pored navcdene jednostavne kyadratnc jcdnaCinc i Citay niz drugih ].;:yadratnih jednacina ncma rjcscnja u Skllpll rcainih brojenl. Zbog svcga navcdenog namctnula se potrcba za prosirivanjem skupa realnih brojcva. Uvcdenje, prvo, pojam irnaginarnc jcdninicc i to oa sJ1jedeci nacin:

Deflnicija:

~.---..

·~··~~l

·2 1 ' I =-

"8mj" ko.1i ima osabinu da je njegov kl"adrat jednak - J oznac3vamo sa i j nazi·yama imaginarna jedinicn. Sa imaginarnom jedinicom sc moze facunati. Koristeci navedenu dcfiniciju i osobine kaje vrijcde za stepcnc, a kaje sc shodno principu permanencije, prenose iz jednog skupa brojc\'a II drugi I\oji jc dobijcn njegovim prosirivanjem, dalazi se~do slijedecih jednakosti:

i·'=ti=-l·i= -i , ·4.. ·2·2 (1) ( ) 1 I ~ 1 ·1 ~ - . -1 ~ ·5 .·4· l' . 1=-1 '1= ~'1=1, i6~ i4-i'~ 1-(-1) ~ -1,

85

·7 ·4·7. I ( ].. . 1 = 1 'C -I =-...:: .. ~- Y.l = -1,

i8 ~ (i4)2 ~ I' = 1 , ...... .

iz koji se maze zak!juciti da za $\'aki prirodan broj n vrijedi:

i411 ~ 1 , j411+ 1 ~ 1', 1-4n'2 = ~1 . 1-4n+ 3 ~ ~I' EN' ; 11 ,0.

Navedcno znaci Ja postojc sarno cetiri razlicite vrijednosti stepcna ($ prirodIlim cksponentom) imaginarne jedinice.

Primjer 1: Odrediti vrijcdnost stepcna: a) ;25

Rj·es'e111·c'.a) I·2L. ,·24 l' ~ ·46· (.4)6. 16. . - . - 1 -I = 1 -1:= -I = 1 ,

Imaginarne jcdinice se mogu i sabirati. Taka je

i'-j-·j = 2i , i+i+i'~ 3i , i+1..1·'i+i+i = 5i, 1+i+i+i+i+i+i+i = 81,

Braj oblika b·i, koji se sastoji odjednog rea!nog broja i imaginarnejedinice izmedu kojih jc znak mnoz:cnja (koji se abieno ne pise) naziva se imaginarni broj. Sa imaginarnim brojevima racuna se na Isti !lacin kao sa monomima uz uslov cia se vrijednosti stepcna ill1aginarne jedinice racllnaju po ovuje naycdcnim pravilima.

Primjer 2:

2i+4i ~ 6i, 17i+lli ~ 28i, 23i~l3i~ lOi, 5i+J4i~7i = 12i,.

Primjcr 3: lzracunati

a) ,r::'4 b) "C:Sl

Rjdcn,ic: a) ,'4" .... ':;-4 -(-1-' ~ '-;-:4 . i' ~ Ie 0 . )2 o· )j- --..j ·~)-\j4·1·-\j,-1 = ... 1.

b) ~"81 = ~{JiJ .. 9i c) ..j:::J'44 ~ .J(i2i)' ~ 12i. d)J=16 +,/ ~ 2 5 ~-..r::l6-" 4i + 5i ~ 6i = 3i.

Sada mozemo kazati aa ranije spol1lcnuta kvadratna jcdnacina x/.+4=O ima dva Ijc.scnja i to jedno x. =- 2i i drugo x = -2i, jeT je

(2i)' + 4 ~ -4 + 4 ~ 0

Formirajmo sada izraze

86

(~2i)'-j- 4 .. -4 + 4 ~ O.

2 + 3i, 4 ~ 7i, 11 + 5i , 345 + 2i , ~ ~ 89i, 4 + ~ i, 7 5

Svaki od navedenih izraza predstavlja zbir jednog realnog broja i jednog imaginarnog broja i ima oblik

I a+bi! Izraz z=a+~i , g?)~ sU,a i b mno].! rea.lrii 6rojc\;j, 1 i ima~inarnajcdinica naziva se kompleksm broJ . fo JC algeharskl obilk komp{eksnog broJa.

Svaki komplcksan broj sasloji se od dva rea!na broja,pri cemu sc uzjedan broj, kao faktor, nalazi imaginarna jedinica. Onaj realni broj uz ko]i se nalazi imaginarna jedinica naziva se imaginarni dio kompleksnog broja, Drugi realni broj koji se pojavljuje u sastavu kompleksnog broja,naziva se realni dio kompleksJ1og broja. Tako za kompleksan broj z = 3+4i, reaini dio je 3, a imaginarni dio je 4.

Realni dio kompieksnog broja z oznacava se Re(z), a irnaginarni dio sa Im(z). Takoje

Re(3+4i) .. 3 ,

Re( ..J3 ~2i) ~..J3 , Im(3+4i) ~ 4 ,

Im(..f3 ~2i) ~ ~2.

Re(~2~i) ~ ~2, Im(~2~i) ~~I,

Realni dio kompleksnog broja~2-17i je Re(~2-J7i)=~2, a imaginami dioje realni broj Im(~2~17i)=~]7.

Posmatramo 1i kompIeksnc brojevc koji imaju realni diD jednak nuli, uocicemo da su to imaginarni brujevi. Isto tako, kompleksni brojcvi kod kojih je imaginarni dio Hula SLl, ustvari, realni brojevi. Tako je skup realnih brojeva R jedan podskup skupa kompleksnih. brojcva. Podskup skupa kompleksnih brojeva je i skup imaginamib brojeva,

Skup kompleksnih brojcva oznacava se sa C. Vri]edi: .. -... ~-.--.• ,

(:> { ~f bita ER,bE R, i' C' ~j} . .. '. '.' .

Sada se maze pisati

N c No c Z c Q eRe C.

gdjc je :-J oznaka za simp prirodnih, Z za sImp cijetih, Q za skup racionalnih, R za skup rcalnih i C za skup komp!eksnib brojeva.

7 S\uki komp!cksan bmj z=a+·bi moze se prcdslayiti U oblikllllfcdcnog para rcalnih brojc\'a z·"(a,b). Sa 0\ ako u\ cdenim kompkksnim bmjc\-ima qefiuisll se opcl"acijc i t-clacij..:, ali La pott·cbe programa 'drugog l"azrcda pmklicnijc jc odmah u\,csti algebarski oblik. .

87

Pitanja za ponavljanje:

1. Kaji razlazi su doveli do uvadenja kompleksnih brojeva? 2. Kako se dejinise imaginarnajedinica? 3. Kaje vrijednosti moze imati stepen imaginarne jedinice? 4. imaginaran braj.Staje to? 5. Kako se racuna s imaginarnim brojevima? 6. Sia je kampleksni bra}? 7. Od kojih dUelova se sastoji svaki kompleksan bra}? 8. Da lije realan broi 3 komplekwn? 9. Sta je imaginarni dio kompleksnog braja? 10. Staje skup kompleksnih brojeva?

Zadaci za vjezbu:

3. J .Sabrati imaginarne brojeve: a)7i+ 1 I i b) 34i-20i c) 2i+9i-3i d) 76i-54i+32i

Odrediti vrijednost izraza: 3.2.a) 2i2 b) (2i)2 c) (-2i)' d) (_i)' e) ._p

3.3.a) i} b) i7 d) -35 eJ ·1977 1 1

3.4.a) (_i)5 b) H)l c) (_i)4 d) (-i/ e) (-i) iO

3.5.0drediti realni dio kompleksnog broja: a) ·-11 b) 4i c) 24+5; d) -2-8i eJ 465+5i

3.6.0drediti imaginarni clio datog kompleksnog broja: a) 16 b) 23; cJ -II-i d) 27+4i e) -2-91

3.7.0drcditi realni i imaginarni dio datog komp!eksnog broja z:

a)z~3-4i b)z~·-5+14i c)z~~+ .. ~i dJz~3~ 9 5

Izracunati Yrijcdnost datog izraza:

3.8.a) j200+ j201 + j202+ j203 b) ,100+ ilOI + jlO2+ jiO} c) i300 + j301 ..;.. j302 + j303 d) ?OO I + j200~ + i2(1)~ _ ji004

3.9.a) .J=-i6 +.J~ +.J=I b) 121 +;:::-49 +.J=-625 cJ 5-.r:49 -2./-25

3. 1 O.a) .J=l8 +.) - 5 0 - ·I~32 b) ;:::-u +.f=T68 + ;:::-48 c) S.J=-8 +3.)- 27 ..

3.1 ia) 2.J~20 +4.)- 8~5.)- 45 +2.J:' 72 88

Vi

I j

i1

b) .J- 24 +4.J=20- - 3.J= 150 +2.J- 125

3.12. Dokazati da je za s\'ak1 prirodan broj n vrijedi: j4])+2 = -1.

3.2. .Tcdnakost dva komplcksna broja

Za dva kompleksna broja zi=a+bi i zz=c+di kazerno da Sll jcdnaki ako i sarno ako su il11 jednaki realni dijelovi i imaginarni dijclovi, odnosno vrijedi ckvlvaJencija:

a+bi = c+di (a=c, b=d).

Kompteksan broj 2+5ijednakje kompleksnom broju 2~-xi sarno onda ako je x=-5.

Primjer 1: Odrcditi vrijednost \'arijabJe x tako cia \Tijcdi slijedc6a jcdnakost:

x-3+2i = 5+21.

RjeSen.ie: Na lijevoj stralli gornje jednakosti je komp!cksan broj ciji je realni diD x-3 , a imaginarni dio.ie 2. Komplcksan broj na desnoj strani jcclnakosti ima realni dio jednak 5 i imaginarni dio 2. Vidi se da su imaginarni dijelov! oyih broje\'a jednaki. Da hi i komp!cksni brojcvi bili jcdnaki, moraju itllati jcdnake i realm: dijciovc. To waci cia mora biti: x~3 = 5, odakle se dobija lra7£na vrijcdnost \'arijable x=8.

Primjcr 2: Odrediti \Tljcdnosti yarijabli xi)' izjednaCine: 4x+xi-3y = y;,,,,i-2.

Rjdcnje: Na"\.'cdenu jcdnacinu mozemo pisati II obliku:

4x+xi--3y = yi-i-2 ~ (4x-3y)+xi=·-2+(y-l)i ~ 4x-3y=-2,x=y-·1

~ 4x-3y=-1, x-y=-I ¢:> x=1,y=2.

Primjer 3: Odrcditi vrijcdnost reajllih varijabli x i y tako da dati kompleksan broj z bude re~t!an ako je:

z= 5m-l + (2m-4)i.

Rje.scnjc: Komplcksan broj jc rcalan ako mu je imaginarni dio jednak nu!i. Dn bi dati kompleksan brQj bio re~·tlan mora hiti:

2m-4 = 0 ,odnosno, 111=2.

Za dobijenll nijcdnost yarijab!e nijedi z = 9.

89

Zadaci za vjezbu:

Odrediti vrUednost varijabJe x tako da vrijcdi data jednakost: 3.13.a) x+2i~3+2i b) x+I+5i~ 1+5i

c) x-3+i = 2x+i d) 3x + 45i = 45i 3,!4.a) 5+4i= 5+xi b) 3 +xi=3+5i

c) 788-8i ~ 788-2xi d) 2x; ~-46i 2[i2. Datajejcdnacina x""'-yi = 8-22i. Odrediti vrijcdnosti varijab!i xi y. W!. Odrediti vrijednosti varijabli xi y tako da vrijedi: 2+5xi-3yi=14i+3x-5y. Q....17)Odrediti vrijednosti varijab!i x j y tako da vrijedi:

2i+ 3x+2xi+y = x--4y+23--5xi-yi.

3.3. Operacijc u slmpu kompicksnih hrojeva (sabiranje, oduzimanjc i mnozcnjc)

Vidje1i smo da sc svaki kompleksan broj moze shvatiti kao jedan binol11. Operacije sa binomil11a su l1am poznate iz prvog razreda, a sada cel110 kazati da se sa kompleksnim brojevima raclina na isti !latin kao s binomima.

Pokaiimo prvo, 11a nekoliko primjera, kako se kompleksni broje\!j sabiraju oduzimaju:

Primjer 1: Dati su komp!cksni brojevi zl=2+5i Z2 = 4·-31. Odrediti: c) ZI- (zr,zl) a) ZI+Z2 b) Zr-Z2

Rjdenje: a)" ZI+Z2 = (2+5i) + (4-31) = 2 + 5i "i- 4 - 3i = 6+2i.

b) ZI--22 = (2'+5i) - (4-3i) = 2 + 5i -:. 4 +- 3i = -2-r8i.

c) ZdZ2-Z1) ~ (275i) -l(4-Ji)-(2+5i)J~ 2+5i-[2-8i] ~ 2+5i-2+8i ~13;.

Prim.ier 2: Odrediti zbir kompleksnih brojeva z]=a+bi i z2=c+di.

RjeScnjc: ZI+Z, ~ (a~bi)+(c-'di) ~ (a+c)+(b+d)i.

I'v1oicmo kazati:Zbir dnl komplcksna broja, zl=a+bi i z2=c+di, jc kompleksall broj z Ciji je reallli dio jcdnak zhiru reaInih dijelova~ a imaginarni dio je jcdnak zbiru imagillanIih di,iClov:l datih komplel{Snih bl'Ojcva.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

1z navcdene dcfinicije sabiranja kompleksnih brojeva moze se zakljuCiti da za sabirarlje II skupu C \Tijedc isti ont zakoni koji vrijede u skupu R. Tako je

(a+hi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i ~ (c+a) + (d+h)i = (c+di)+(a+bi) 90

fi

sto znaci da je sabiranje komplcksnih brojeva kOlTlutativno. Na analogan nacin se dokazuje asocijativnost sabiraqja komp!eksnih brojcva. Osobine sabira!~a kompleksnih brojeva iskazimo sJUedecomteoremom:

Tcorella (0 sabiranju kompleksnih brojeva):

U skupu kompleks nih brojeva vrijedi:

(zakon komutati\"!10sti za sabiranje)

(zakon asocijativlJosti za sabiranje)

(Broj 0 je neutralni clement sabiranja)

4) Postoj i jcdan i samo jedan kompleksan broj z za koji vrijedi Z+Z2=ZI. (gdje su z), Z2 ,1.3 ma koji, dati, kompleksni brojevi).

Oduzimanje dva komplcksna broja, kao sto smo vidjeli, svodi se na sabiranje prvog sa sllprotnim brojcm od drugog. Nckaje zl=a+bi, z2=c+di. 'fada vrijedi:

Zl - z, = (a+hi) - (c+di) ~ (a+bi) + (-c-di) ~ (a-c) + (b-d)i.

Pl'imjcr 3: Akoje z)=13-5i, 22=-7+2i. Odrediti Z)-Z2·

RjeScnjc: Zl - Z2 ~ (13-5i)-(-7+2i) ~ Ih5i+7-2; ~ 20-7;.

Kompleksni brojcvi se mnozc kao binomi s tom razJikom sto se obavczno stepcn imaginarne jedinice i zamjenjujc S odgovarajucol11 vrijednoscu (i2 se zall1jenjujc s 1, j"' s -I, j4 s 1, itd.).

Analizirajmo sljedcce primjere:

Primjer 4: Pomnoziti date kompleksne brojeve zl=6-2i i z2=-2+4i.

RjcScnjc: Zi·Z2~(6-2i}( -2+4i)~- J 2+24i+4i-8i' ~ -12+28i+8 ~ -4+28i.

Primjer 5: TZ\Tsiti navcdenc opcracije 5 komp!cksnim broje\ .. ima: a) (2i)" b) (2-3i)' c) (4+;)'

Rjeselljc: a) (2i)'·" 22i2"" 4{-·1) ~ -4.

b) (2-3i/ ~ 22-12i+9i' ~ 4--12i-9~-5-12i.

91

Primjer 6: Odrediti reaJni i imaginarni dio kompleksnog broja z = (1 +3i)(2-i) + (1-2i)(3+5i).

Rjesenjc: Izvrsimo operacije mnozenja i sabiranja i dovedimo broj z na algebarski oblik Fa+bi:

z = (1+3i)(2··i)+(1-2i)(3+5i) = 2-i+61-312 + 3+5i···6i··1 012 = = 2+5i+3+3-i+10 = 18+41.

Iz dobijenog rezultata neposredno odrcdujemo realni i imaginarni diD broja:

Re(z) = Re(18+4i) = 18; Im(7.)=Im(J8+4i)=4.

Sada mozemo navcdeni nacin mnozenja uobliciti s!ijcdecom definicUom:

Proizvod kompleksnih brojcva zj=a+bi i z2=c+di je komp!eksan broj z za koji vrijedi

,~ .. ~---.~---.

Z =;(a+bi)(c+di) =; (ac -bd) + (ad + bc)i

Za mnozenje kompleksnih brojcva vrijedi slijedeca tcorema:

Tcorema (0 mnoicn,ju komplcksnih bj"ojeva):

Za svaka tri komp!eksna broja ZI, Z2 i 23 vrijedi:

1) ZjZ2= 22Z1 (zakon komlltativnosti za mnozenje) 2) (ZIZ:::JZ3 = Zj(Z2Z3) (zakon asocijativnosti za mnoicnje) 3) ZI(Z2+Z3) = ZIZ::,+ZI23 (zZlkon distribllc~jc mn9z.enja U odnosu na sahlranjc) 4} 1·z) = z) (Broj 1 je neutralni clement mnozenja) 5) Ako je 7.;;::;i:O, tada postojijedan i S3mo jcdnn kompleksan brr;i z za koji

vrijedi zz::.= z).

Dokaz: 2) Neka je z) = a + bi, Z2 = c + di, Z3 = e +- fi , Tada vrijcdi:

(~iZ:)Z3 ~ [(a+bi)(e+di)l(e+fJ) = [(ae·bd)+(ad+be)iJ-\e+fi) =

= [(ae·· bd)e - (ad + be)fJ + [Cae - bd)f + (ad+be)e]i = (*).

K.ako za mnozenje rcalnih brojcya ·vrijede zakon kOlllut(lcijc i 3socijacijc, kao i zakon distribllcijc mnozenja U odnosu na sahiral~je, moze sc pisati:

[Cae - bd)e - (ad + bc)f] = ace - hde - adf·· bcf'~ a(cc-dl) ... beef + de) ;

[Cae - bd)f + (ad + bejel = acf- bdf + ade + bee = a(er + de) + b(ee- dl) .

Sana 1ll0ZCli10 nastayiti (*):

92

(*) = [a(ce - dl) - beef +de») + [a(cf+de) + b(ee - dl))i =

= (a+bl)f( ee - dl) + (cf+de );] = (a+bi)[( e+dl)( e+fJ)) = Z,(l22).

OVlm je asocijativnost mnozenja kompleksnih brojeva dokazana.

5) Dokazimo osobinu 5. Neka je je zj=a+bi, z2=c+di i c;t:O, d:;t:O. Dokazimo da postojijedan I sarno jedan kompleksan broj z = x+yi tako da vrijedi ZZ2 = z,. Prema definiciji mnozcnja komplcksnih brojcva i jednakosti dva komplcksna broja moze se pisatl:

(x+yi)(c+di) = a+bi ¢:> eX - dy + (dx+cy)i = a+bi

¢:> {ex - dy = a dx + cy = b

x=.".c + bt!_ y=bc - ad., (c;"O, MO). c 2 +d 2 ' c 2 +d 2

1z gornjih ekvivalencija vidi se da, prcma uslovima zadatka, uvijek postoji jedinstveni par realnih brojeva x i y koji zadovoljava uslov ZZ2=ZI cime je tvrdnja dokazana.

Dokazana tvrdnja pokazuje da se komplcksni brojevi mogu i dijeliti. Kako je ZZ2=Zj to se moze pisatl Z=ZJ:Z2, pa se broj z naziva kolicnik brojcva Zj i Z2·

Ovdje je pokazano kako se moze odrediti kolicnik dva kompleksna broja, ali mi cemo koristitijedan drug; postupak dljeUenja kompleks nih brojeva. Na anaiogan natin se dokazuju i prcostaie tvrdnje teoremc.

Pitanja Zll.ponal'ljanje:

1. Kako se sabiraju dva komplehna broja? 2. Koje osobine ima sabiranje u skupu C? 3, lskaii rijeCima leoremu 0 sabiranju kompleksnih brojeva! 4, Kako mnoiimo kompleksne brojeve? 5, Navedi osobine proizvoda kompleksnih brojev!

Zadaci za vjezbu:

Ako su dati kompJeksni brojevi Z1 i Z2 odrediti broj z = 21+Z2: 3.18.a) z,=3+5i, z,~2-8i b) z,=20+ l2.i, z2~8+4i 3.19.a) z,=13-5i,z,=32+i b) z,=11+2i,z2~18-J4i

=

3.22.Tzracunati proizvod z datih kompleksnih brojeva z! I Z'): a) z!"'''2-~-i. z2c~3i b) zi=:-A+8i, z}"""-!-i c) ·~zi=5-8i, ZJ=--2-3i

lzracunati vrijeunost dutog izraza: 3.23.a) (2-3;)(4+i) b) (!+i)(3-2i) c) (-li)(5+4i) 3.24.,,) (I "2i)(2-i)+(! -2i)(2+i) b) (3 4i)(hi)··(S-2i)(8-4i)

~Odrcditj k\'adrat, i, datog komp!cksnog broja z: ,.~"'--~-,-__ a) z=2~i b) z=-!-i c) 7=4+3i

~O~:-e~it! kub, Z3 ,datog komp!cksnog .broja z: ,..,',. ,,'~ . .1) 7.-·41 ~ b) z= )+1 c) z=.;;-t-·.J! ~! Ako je z = I-J-i izraCllnati \Tijednost izraza ~2 - 2z -1 ') (3.28; Ako:ic fez) ~ -z"3i+z·'2, odredili [(3+2;). "-../

3.29. Odrediti realni i imaginarni dio kompJeksnog broja z·~ (2c3i)'- (2-3;)'.

3.30. RijcSitijednacillLl Z2+ i = O.

3.4, Konjugovano·-komplcksni bro.icvi

d) z~-2-;

Kompleksni brojeyj 4----7i i 4,\ Ii imajujednakc realne dijeloyc,dok im se imaginarni dijcic)\'i razlikuju samo po znaku. La ovakv'-\ dva kOlllpleksna broja kazemo da su konjtIgovano~komplcksni brojevi

La dya kompleksna broja kazemo da su konjugo\'ano kompieksni ako imajujcdnake reainc dijclo\'c j suprotne irnagillarne dijclo\'c.

Brojeyi 3+23i i 3-23i; ---45-1 i ~-45-+i; -9-t-8i j -9-8i su tri para konjugovano·_· komp!eksnih broje\'a.

,~ko je z=a+bi, 1ada se konjugoyano-kompkksan broj br(~ia z oznacaya sa z ~yrijedi z = a- bi.

Primjc: ___ l: Ako su dati komplcksni brojevi zj=7---5i i zz=3+4i, odrcditi:

a) Z, b) Z, +Z2 c) Zi ·z, d)

Rjescnje: a) Z, = 7 - 5; ~ 7+5i b) z, T Z2 ~ (7+5i)+(3 'Ai) ~ 10+9i.

94

cJ Ii· ~~; = (7-5i)- :3 + 4 i = 7-5i-{3~-4i) ~ 7-5i~3+4i = 4 - i . d) ;;-.~ •. ~ = (7- S i),' U+41) ~ l():-; ~ 10'i. e)_ ~.=~~ = (7 - S'!) - (3 .~ 4 i) = ~-9T = 4+9i.

PI-imjcr 2: Ako su dati kompJcksni brojevi ~~=3+4i i 22=2-1, odrcditi:

a)z]+2z2 b)Z]-Z2 c)3zl

-Z2

•

Rjesenjc:a) Z, +2z, = 3-4; + 2(2+;) = 3-4;+4+2; ~ 7-2;.

b) z, ·z, = (3+ 4i)(2-i) ~1O+5i ~ 10-Si.

c) 3z,· z: = (9 + 12;)(2 - i) = 30~+ lSi = 30-15i. Teorema (0 konjugovano-kompleksllim hrojc"ima):

Za syaka dva kompleksna broja z] i Z2 vrijedi:

1) ZI + z;: = Z:+Z2 ( .., Z .....

4) I -"'- I = ~.!., (Z, ,cO). 3) z, . z, ~ z, . z, \z,) ..

Dokaz: 1) Neka Sll d:1ti kom~leksni brojcvi z!=a 'bi i Zi:"c+di, (a,b,c,dER). Tada nijcdi:

Zi +Z2~ (a+ bi)+(c+di) ~ (a+c)+(b+d)i = (a+c)-(b+d)i =

~ (a-b;)+(c·~d;) ~ z, + z,

3) z,· z, ~(a·+ bi)~(c' di)~(ac- bd)+ (ad':bc)Hac-bd)-(ad+bcJ;c ~ (a-bi)-( c-di) ~ z, . z,

Dyije preostalc tvrdqjc dokaZL~iu se na analogan naGin.

Pital1ja Zll fJonarljanje:

1. [.-' (emu se ra:::likLy'u dl'a kOl?jugovallo--komp!cksIlJ broja? 2. Kakil\'je :::.bir dra kO!1jllgol'ano kompleksna broja? 3. Kako rijeL~ima moiemo iskazati /eorell1u 0 korifugol'al1o~-komplek5nim

brojevima?

Zadaci za vjezhu:

3.31.0drediti konjugovano -kompleksan broj datog broja z: a) z=15 b) z=!2i c) z~2-S; d) z~12-7i e) z~34-4i

/""