Istorija matematike

8/16/2019 Istorija matematike

http://slidepdf.com/reader/full/istorija-matematike 1/101

1

ИСТОРИЈА МАТЕМАТИКЕ

1. Настанак и периодизација математике

2. Математика у Старом Египту

3. Математика у Месопотамији

4. Математика у Старој Грчкој до Еуклида

5. Еуклид и Аполоније

6. Архимед

7. Хеленизам

8. Кина

9. Индија

10. Арапска математика

11. Математика у западној Европи од пропасти Римског царства до проналаска штампе

12. Успон трговачке рачунице и стандардизација математичке нотације

13. Успон алгебре и проналазак логаритма 14. Математика у Француској

15. Инфинитезималне методе и откриће диференцијалног и интегралног рачуна

16. Анализа у XVIII вијеку

17. Развој геометрије у XIX вијеку

18. Развој теорије бројева у XIX вијеку

19. Развој анализе и теорије скупова у XIX вијеку

20. Развој алгебре у XIX вијеку



2

1. НАСТАНАК И ПЕРИОДИЗАЦИЈА МАТЕМАТИКЕ

Математика је скуп рационалних знања и вјештина рјешавања апстрактних проблема сбројевима и геометријским фигурама. 1. Математика је наука – има скуп рјешења и вјештина који је систематизован и цјелови2. Математика је рационална вјештина; математичка знања су рационално објашњива могу се повезати у низ логичних цјелина. 3. Садржаји математике: - конкретни – бројеви и геометријске фигуре,

- апстрактни – проблеми са бројевима и геометријским фигурама.

4. Ријешити проблем. Раније су се проблеми рјешавали по аналогији на сличне проблема касније не само да треба ријешити проблем, већ и доказати да је то тачно рјешење.

Ниво строгости односно очигледности се временом мијењао. Доказ се појављује каснии то је једини начин рјешавања проблема који је општеприхваћен од странматематичара. Развој математике

- Прве заједнице – номадско племе; нема математике, нема потребе за бројањем јер сзаједнице мале и појединац може све да држи у глави, сва култура се своди на усменНема бројања: пастир познаје сваку животињу у стаду, командант познаје сваког војник- Настанак земљорадње – принцип повратне спреге (мало заливања даје много већ

принос). Појављује се у Египту, Месопотамији, Индији и Кини. - Систем за наводњавање → удруживање људи и настанак централизоване државе →

јављају се два проблема: - апстакција – јавља се потреба за бројањем (више се не познају сви међусобно, јер их много),- писменост – произашла из потребе за централизованим управљањем.

Ту се појављује математика (апстрактан појам броја + писменост). Empirijska matematika

1. ЕМПИРИЈСКА МАТЕМАТИКА – први период у настанку математике Jавља се са појавом првих држава (у долини ријеке: Нил – Египат, Тигар и Еуфрат Месопотамија (Ирак), Жута ријека – Кина, Инд и Ганг - Индија) у 5., 4. и 3. вијеку п.н.е.Скупило се извјесно знање о рачунању, има исту структуру као занатско знање. Учило скако се проблеми рјешавају по тзв. емпиријским правилима, а остали проблеми с

рјешавани по аналогији, свођењем на те проблеме. Постиже се рутина у рјешавањ



3

одређене класе проблема, али нема усавршавања, поједностављивања и образлагањметода. Starogrcka helenisticka

2. СТАРОГРЧКА И ХЕЛЕНИСТИЧКА МАТЕМАТИКА (Античка математика) Математика се јавља као друштвена наука, као филозофија, појављују се филозофи кознање интересује ради знања. Међу филозофима се појављују математичари. Долази дсљедећих математичких открића: појава доказа, аксиоматски метод заснивања геометри(сва математичка тврђења треба склопити у теорију у којој једна тврђења слиједе идругих), открили су постојање ирационалних бројева, прости и савршени бројевпроучавају се криве вишег реда (круг, конусни пресјеци, Хипијина квадратисАрхимедова спирала, ...), појављује се гранични поступак (израчунавање зпреминпирамиде, површине круга, површине и запремине лопте), правилни полиедри и њиховособине. Грци геометрију примјењују у астрономији, за примјену у астрономији развија

рачун са тетивама (израчунавају дужине тетива за углове од 0 до 90 степени, са поделона пола степена и прецизности од 4 децимале), што је претеча данашње тригонометрије.Сматра се да овај период почиње са Талесом око 6. вијека п.н.е., а завршава се 529. годкада је цар Јустинијан затворио све нехришћанске школе: Александријску школПлатонову академију,... Римљани нису имали интерес за геометрију и у антици грчкдела из математике никад нису била превођена на латински. (313. – Хришћанство постаје дозвољена религија, 476. и 1453. – пад Западног и ИсточноРимског царства)

srednjovjekovna3. СРЕДЊОВЈЕКОВНА МАТЕМАТИКА (529. – 1500.)

Тешко је утврдити кад се завршава средњовјековна математика а почиње хуманизам ренесанса (препород – буђење интереса за математику и друге науке). Узима се 1453.пад Византије или 1492. – откриће Америке, а ми за математику узимамо 1500. годину. средњем вијеку има врло мало великих држава – у Европи једино Византија која нимного марила за математику. Појавом ислама јавља се велика заинтересованост математику. Арапи успјевају да развију математику ослањајући се на грчку математик

из Багдадског калифата, преводећи грчке књиге. Ово траје од 9. до 13. вијека. Развија сматематика и у Кини и Индији. Источњачка математика је настала као примјењенматематика чији је циљ био да поједностави календарска израчунавања, расподјелљетине, организацију друштвених радова и убирање пореза. У почетку су главнподручја била рачун и мјерење. Из аритметике се развила алгебра, а мјерење се развилопочетке теоријске геометрије. На истоку је тешко утврдити вријеме првих открића; збо



4

статичне природе друштвеног поретка знања су се чувала без промјена током временОткрића која су настала у оквиру једног насеља могла су остати непозната у другиподручјима . Друга тешкоћа је материјал који је кориштен за писање: Месопотамија глинене таблице, Египат – Папирус, Индија и Кина – бамбус и кора дрвета.Открића:

- Индија – десетични (декади) систем записивања бројева с нулом, кружни метод рјешавање Пелове једначине , полутетиве умјесто тетива;- Кина – рјешавање система линеарних једначина методом елиминације (до 5x5нумеричко рјешавање једначина вишег реда (до 5. степена), Кинеска теорема о остацим( рјешавање система линеарних конгруенција);- Арапи – развијају алгебру као математичку дисциплину, употпуњавају тригонометриувођењем тангенса и котангенса, геометријски метод за рјешавање кубних једначинпомоћу конусних пресјека:

- пресјек параболе и хиперболе

У западној Европи се ништа занимљиво није догађало. renesansa

4. МАТЕМАТИЧКА РЕНЕСАНСА (1500. – 1700.) – дешава се углавном у Европи

Овај период карактерише стабилизација математичке нотације. Почиње развој и увођењматематичке симболике (+,−,√,...), систематизација знања о бројевима. Почетком 1вијека, од 1505. до 1515. алгебарски се рјешава кубна једначина и око 1543 једначина

степена. Открића:

Непер

и Бригс

откривају логаритме. Почетком 17. вијека открива спројективна геометрија, а око 1635. аналитичка геометрија (Декарт), Фермаова теорибројева, појављују се редови, развој у ред, разне примјене инфинитезималних поступаки формализација инфинитезималних поступака у диференцијалном и интегрално

рачуну, откриће математичке физике (Галилеј, Хајгенс, Њутн).

Klasicna matematika

5. КЛАСИЧНА МАТЕМАТИКА (1700. – 1900.) – од прихватања диференцијалног интегралног рачуна до заснивања математике на теорији скупова.

Дијели се на 2 фазе: 18. и 19. вијек.

У 18. вијеку математичари су били чланови краљевских академија, први пут се јављмогућност да се неко бави математиком и да буде плаћен за то. Математика и њенпримјене биле су цјелина, математика се не раздваја од примјене.У 19. вијеку се појављује реформисани универзитет на коме математика почиње да имзначајну улогу. Број математичара се повећава, јер универзитетски професори постаглавни носиоци математичких истраживања. Долази до одвајања математике од примјен



5

и поделе математике се дијели на низ математичких дисциплина, па се током 19. вијек раздвајају комплексна анализа, реална анализа, алгебра, пројективна геометријнееуклидска геометрија, теорија бројева (алгебарска и аналитичка), диференцијалн

једначине (обичне и парцијалне). apstraktna

6. АПСТРАКТНА МАТЕМАТИКА

Све математичке дисциплине односно математика се заснива на теорији скупова. Најпрсе аксиоматски заснива скуп , затим настаје теорија скупова. Сама апстракција доводдо низа нових проблема. Теорија скупова се прво примјењује у анализи (Лебегоинтеграл, метрички простори, Хилбертов простор, топологија, нормирани простофункционална анализа), па у алгебри (групе, прстени, поља). Другу половину 20. вијеккарактерише примјена рачунара у математици што подстиче развој дискретне математик(комбинаторика и теорија графова) и развитак нумеричке математике.

2. МАТЕМАТИКА У СТАРОМ ЕГИПТУ

egipat

Египат је грчка ријеч и значи плодна земља, на арапском Мисир, а Египћани су га звалКемет. Египат је плодна земља у долини Нила. Картум је мјесто гдје се спајају ПлавиБијели Нил. У 8. и почетком 9. мјесеца Нил достиже максималну висину и средино

новембра почиње нагло да опада и оставља муљ (кемет) те зато нема потребе зђубрењем. Ниво воде се подигне за преко 14 метара. Ово је утицало на то да су Египћан

рано почели да уочавају астрономске појаве. Нил почиње да надолази када први пуСиријус изађе иза Сунца. Египат је врло изолован, са запада је Сахара, са југа Нубијскпустиња, са истока Црвено море, а са сјевера Средоземно море. Египат је био стабилнземља; у периоду од неких 300 година у Египат су само једном дошли освајачи – упаХиксоса (на египатском значи странци) око 2000. год. п.н.е. Египат врло рано постацентрализована земља са административним апаратом. Настао је уједињењем Доњег

Горњег Египта око 3200. год. п.н.е. На челу државе био је фараон (Бог на земљи). Било мало робова и сви су припадали фараону, а држава је морала да се стара о њима. Звријеме плављења Нила цијело становништво је градило пирамиде. Имали су 3 врстписма: 1. Хијероглифско тј. украсно или сликовно писмо (свештеничко писмо) које скористили само за битне натписе и два писма која су се користила у свакодневноживоту: 2. Хијератичко (обична писана слова), 3. Демотичко (скраћено хијератичко). З



6

писање су користили папирус, трску и мастило (црвено и црно). Сачувана су само рукописа са математичким садржајем :1. Рајндов папирус или Ахмесов папирус – Рајнд (Henry Rhind) је био шкотскколекционар који је 1858. године дошао у Египат и купио папирус од египатских сељакслучајних налазача. Величина папируса је 6m x 32cm, а то је збирка од 84 проблема. Ов

је преписка писара Ахмеса, са једног старијег папируса из 1850. год. п.н.е. Рајндопапирус потиче из 1650. гог. п.н.е., а 1863. год. н.е. предат је Британском музеју.

2. Московски папирус – нађен је крајем 19. вијека и величина је 5,5m x 8cm. Садржи 2проблема и сматра се да је 2 вијека старији у односу на Рајндов папирус, тј. да потиче ипериода 1850. – 1900. год. п.н.е. Московски папирус је био већ кориштен и то су билприватне забиљешке неког писара. Зове се још и Голенишчев папирус по грофГоленишчеву, који га је открио и донио у Москву. Чува се у Московском музеју. Математика изложена на овим папирусима заснива се на десетичном бројном систему с

специјалним знацима за сваку десетичну јединицу вишег реда (као римски начизаписивања бројева). Нису имали негативне бројеве. Ознаке: │-1 , ∩ - 10, - 100, лотосов цвијет – 1000, изданак бамбуса – 10 000. Имали сознаке и за десетичне јединице вишег реда, али се оне нису много употребљавале: жаба100 000, Бог ваздуха Шу (клечи и држи руке подигнуте) – 1 000 000. Множење се сводилна понављано сабирање. Ознака за резултат је био запечаћен свитак папируса.

У 32. проблему Рајндовог папируса тражи се да се израчуна 12·12

│ ∩││

││ ∩ ∩││││

││││ ∩ ∩ ∩ ∩││││││││

││││││││ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩││││││

______________________________________∩ ∩ ∩ ∩││││

У 69. проблему Рајндовог папируса јавља се проблем 1120:80 , односно почни дсабираш од 80 док не стигнеш до 1120.



7

1 80

10 8002 160

4 320

14 1120

Најзначајнију особину египатске аритметике представљају операције са разломцимКориштени су само разломци чији је бројилац јединица, тзв. јединични или основн

разломци. Они су означавани тако што је записиван само именилац изнад којег стављан неки знак или се може ставити црта.

Нпр. ∩ ∩││││ или ; │││ или

Имали су два изузетка: и ││

24. проблем Рајндовог папируса је 19:8 25. проблем Рајндовог папируса је 16:3

21. проблем Рајндовог папируса је 4:15

1 15

1+

1

+ 4

Постојала су и посебна правила за сабирање разломака:

1 32 6

4 122

11+4+ 16

1 8

4

2 16

2

1

2+ + 19



8

, , ,

, , ,

Велико откриће је било . Постојале су и таблице за .

Свођење разломка облика на збирове основних разломака изводило се помоћу таблицУ Рајндовом папирусу постоје таблице које садрже разлагање на основне разломке знепарне n, од 5 до 101. Принцип по коме се вршило свођење на основне разломке нијпознат. Задаци са једначинама су доста једноставни и углавном су то једначине са једнонепознатом. Те једначине су рјешавали методом лажног положаја. За обиљежавањнепознате у једначини употребљавао се хијероглиф који значи гомила, нпр. хан или ахзбог чега се египатска математика понекад назива „аха – рачун“.

се рјешава методом лажног положаја. Изабере се , да се добије , цеброј, а тада је , јер је лакше делити целим бројем.

24. проблем Рајндовог папируса се своди на то да треба ријешити . Прв

ставимо и добијамо , а затим рачунамо 19:8 и множимо са 7, и то ћ

бити рјешење: ,

У 30. проблему се јавља . Нису рјешавали квадратне једначинЈедини проблем са квадратима: „Квадрат и други квадрат чија је страница остранице првог квадрата, имају заједно површину 100. Покажи ми како то да израчунам

Рјешавамо методом лажном положаја и ставимо и добијемо , па

Геометријски проблеми Површине троугла и трапеза су рачунали правилно, али су површину произвољно

четвороугла рачунали са , што је нетачно, осим за правоугаоник.

36. проблем Рајндовог папируса је: „ 360 лаката је страница основе, а 250 лаката висина пирамиде. Колики је пад? “ За пирамиду се претпоставља да је тространа:



9

50. проблем је израчунати површину округле њиве пречника 9. У резултату се каже да јта површина једнака површини квадрата чија је страница 8. Тиме је:

,

што је доста добра апроксимација за . Није јасно како су дошли до овог резултата. У 14. проблему Московског папируса јавља се цртеж:

2 Ту се рачуна запремина , што је запремина зарубљен

6 пирамиде . Ово је једини такав задатак па је упитно

да ли су знали ту формулу

4У 10. проблему Московског папируса има доста нејасан цртеж. Рачуна се површина нек

фигуре која личи на корпу и добија се сљедећи образац

Будући да је египатска вриједност за то има неке везе са површином лопте.

3. МАТЕМАТИКА У МЕСОПОТАМИЈИ

mesopotamija

Месопотамија (грч. међурјечје) је равница у данашњем Ираку између ријека Тигра Еуфрата. Ова равница је отворена са свих страна тако да су Месопотамију врло честпокоравали освајачи који су надирали са истока, запада или сјевера. Дуготрајннаводњавање доводи до салинизације (засољавања) тла и настанка слатине, па спојављује неплодно земљиште и често је потребно селити се.Настанак неплодног земљишта доводи до тога да се центар цивилизације врло чест

помјера. Пише се на глиненим плочицама, што је омогућило да се низ докумената сачув јер саме плочице немају посебну вриједност, а не могу се уништити ватром и ако испеку, врло су трајне. Сачувана је врло велика количина плочица тако да се математику Месопотамији много боље познаје него египатска. Култура у Месопотамији настајнајприје код Сумера у близини ушћа Тигра и Еуфрата. Клинасто писмо су измислилСумери око 3000. године п.н.е.



10

Већина сачуваних таблица потиче из двије велике библиотеке: из библиотеке цара ТиглПилесара I у граду Асуру из 11. вијека п.н.е. и Асурбанипалове библиотеке у Ниниви и7. вијека п.н.е. У Месопотамији се највише користи позициони систем записивања бројева са осново60, али без нуле. Међутим, стављало се празно мјесто када је требало писати нулу. Ззаписивање бројева користе се два знака: знак за 1 – вертикални клин и знак за 10угласти клин , тако да се свака шездесетична цифра писала одговарајућим бројезнакова за десетице и јединице. Шездесетичне бројеве ћемо писати као десетичншездесетичне цифре раздвајамо зарезима, а цијеле бројеве од разломака раздвајамо с„ ; “. Сабирање и одузимање је аналогно данашњем сабирању и одузимању бројевзаписаних у основи 10. 60 као основа бројног система је врло велика да би се таблицмножења могла лако научити напамет, па су се за множење користиле писане таблицмножења. Дјељење се изводило тако што је број множен са реципрочном вриједношћдјелитеља. Пошто се при дијељењу добија коначан шездесетичан разломак само збројеве који садрже чиниоце 2, 3 и 5, то постоје таблице реципрочних вриједности самза те бројеве, а за 7, 11, 13 и сл. се каже да „не дијеле“ и са њима се избјегавао рачуПостојале су још и таблице квадрата, кубова и збира квадрата и кубова.

Јављају се проблеми са низовима:1. „Треба подијелити 59 гина сребра међу петорицом браће тако да разлика најстаријегдругог буде три пута већа од разлике између другог и трећег, а да су разлике измеђдругог и трећег, трећег и четвртог, четвртог и петог међусобно једнаке.“

2. „Треба подијелити 26; 15, 45 гина сребра међу петоро браће тако да сваки старијдобије 1/5 више од непосредно млађег.“ Објашњења нема, даје се резултат:

3. „10 браће, 1 мине сребра. Брат над братом, а колико више, ја не знам. Дио осмо

брата је 6 сикела. Брат над братом: колико има више?“

1 мина = 60 сикела, а траже се чланови опадајуће аритметичке прогресије од 10 члановкада је збир 100, а осми члан је 6. Дато је детаљно рјешење овог задатка.

- Израчунава се збир и .



11

- Појављују се и проблеми са сложеним процентним рачуном: „За које вријеме ће сдобити 2 гура жита ако је дат 1 гур, а проценат је 0,12 гура годишње“. Резултат је године без 2; 3, 20 мјесеци. - Врло интересантна је плочица УБС 7289 на којој се израчунава дужина дијагоналквадрата. Добија се да је што за страну квадрата дужине 0;30 да

дужину дијагонале 42,25,35. Ова вријeдност за се добија итеративно из обрасц

, за , даје наведену вриједност.

На плочици из времена Хамурабијеве владавине рјешава се сљедећи проблем: „ Дужин(уш), ширина (саг). Помножио сам дужину и ширину и тако направио површину (а-шаЗатим сам на површину додао вишак дужине над ширином и добио 3,3 [183]. Сабрао садужину и ширину, 27. Колика је дужина, ширина и површина? “ Овај проблем се сводна рјешавање система једначина: . Овај систем је рјешетако да се уведенова ширина што одговара смијени . Послије овсмјене, прва једначина постаје тако дсе систем трансформише у , . Сада је полазни систем једначинсведен на „канонски“ облик , . За његово рјешавање користи

идентитет .

Појављују се сљедећа 3 „канонска“ облика система једначина:

1. тип : (користи се идентитет )



Интересантно је напоменути да су рјешавали и специјалне кубне једначине облик. Нпр. / 12, смјена . Општу једначин

треба помножити са и увести смјену да се добије једначин

облика .Pitagorina teorema

Питагорина теорема

Један од првих проблема у чијем се рјешењу користи Питагорина теорема је проблемгреди која стоји усправно уз зид. „ Греда од 0,30 . Од горе се спустила за 6. Колико судаљила од доље? “



12

Други проблем је: „ Наћи дужину ( ) и ширину ( ) ако је дата површина ( ) 0;45

дијагонала правоугаоника ( ) 1;45. “ Овај проблем је рјешен тако да се најпри

рачуна квадрат разлике који се добије када се од квадрата дијагонале одузме двострук

површина , а затим се извади квадратни корјен

добијени резултат преполови .

ово се корјенује и добије се . Када се полузбир и полуразлик

дужине и ширине саберу, добије се дужина, а када се одузму добије се ширина. Врло је интересантна плочица која се сада налази на Колумбија Универзитету и познат

је под именом Плимптон 322. На њој се налазе 4 колоне бројева са називима колона, албез икаквих додатних појашњења.

Geometrijska izracunavanjaГеометријска израчунавања

Круг се посматра тако што му се задаје обим. Површина круга чији је обим задат, добиј

се тако што се квадрат обима помножи са . Овај број се назива константа круг

Претпостављало се да је константа за круг 5 ( ) јер се за скоро увијек корист

вриједност 3. Рачунају се константе и за остале геометријске фигуре. Проблемгеометрије се своде на рачунске проблеме. Израчунавала се запремина пирамиде зарубљене пирамиде, али само у једном специјалном случају. Једина пирамида која спојављује у проблемима је четворострана пирамида, која се добије када се коцкподијели тјелесним дијагоналама на 6 пирамида, тј. пирамида у којој је нагиб бочнистрана 45о.

4. МАТЕМАТИКА У СТАРОЈ ГРЧКОЈ ДО ЕУКЛИДА

Stara grcka do euklida

Грчка никад није била централизована држава већ су постојали полиси (држава-град

Пољопривреда се никад није нарочито развила, сточарство је увијек постојало па сполиси углавном увозили жито из Египта и Месопотамије, а извозили су вино, маслине грнчарију. Ове државе су биле мале па је најчешће државно уређење било демократијшто је захтјевало да становници буду образованији како би учествовали у власти. Нисимали племство нити свештенство. Образовање је било равноправније распоређено међстановништвом и више цјењено.



13

Први пут се јавља и индивидуализација, знање је било индивидуална ствар човјека а нствар припадања одређеном сталежу, из тог разлога знање напредује и развија сРелативно како се јављају јавне школе и учитељи долази до диференцирања знањслободан човјек – теоријска знања (етика, математика и слично), робови – практичнзнања. БРОЈЕВИ – Херодијанско писање бројева

Овај начин писања бројева је убрзо напуштен. Бројеви се записују преко слова:

Да би се разликовао од ријечи број је био надвучен: или се стављао поапострофе: ‘ ’. Грци бројеве нису користили за рачунање већ само за запис. Рачунањсе изводило помоћу рачунаљке: скупе се каменчићи, повуче се неколико црта на земљ

за јединице, десетице, стотине, ... и каменчићи се премјештају и представљају бројеве. Грци су увијек разликовали аритметику (теорију бројева) и логистику (рачун). У грчкиколонијама на Блиском истоку појављује се један од првих филозофа Талес (око 624.

око 547. г.п.н.е.) из Милета – први филозоф заинтересован за геометрију. Био је у Египти измјерио висину пирамиде на основу дужине сјенке. Сматра се да је математичкформулисао сличност фигура. Предвидио је помрачење Сунца 585. Био је један од



14

мудраца Старог свијета. Теореме које се приписују Талесу: Унакрсни углови су једнакиПречник дијели круг на два једнака дијела; Угао над пречником је прав; Два троугла сподударна ако имају страницу и два налегла угла једнака. pitagora

Питагора са Самоса (око 582. г.п.н.е. – око 496. г.п.н.е.) – „Све је број.“ Основао братство Питагорејаца које је трајало око 200 година; распало се око 400. г.п.н.е., а онд

је основано братство Неопитагорејаца. Питагора ништа није писао и све што сПитагорејци касније открили, приписивали су њему. Приписује му се открићирационалних бројева (што је мало вјероватно) и Питагорина теорема што је лакмогуће. Код њих се појављује бројевни мистицизам: 1 – број разума, 2 – женски број, 3мушки број, 4 – број природе, 5 – број брака, 6 – број стварања, 10 – број свемира, 17несрећан број (налази се између 16 – квадрата и 18 – двоструког квадрата). Класификубројеве на парне (артиос) и непарне (перисос), затим парно-парне (2n), парно-непарн

(2(2n+1)), непарно-парне (2k (2n+1), k>1). Имали су подјелу на просте и сложене (подјелпо чиниоцима).Подјела по дјелитељима:

1.савршени (телеос) – знали су само четири: 6, 28, 496, 8128. Касније су доказали тврђењкоје се налази у Еуклидовим „Елементима“ – да је број савршен ако је облик

Проблем – да ли постоји бесконачно много прости

бројева облика (Мерсенови прости бројеви) је нерешен. Први контрапримјер Дакле, услов је потребан, али није довољан.

2. обилни (збир дјелитеља је већи од броја, нпр. 2+3+4+6=15>12)

3. дефицитарни (збир дјелитеља је мањи од броја, нпр. 3+5=8<15)

Јављају се и пријатељски бројеви (збир дељитеља једног једнак је другом и обрнутознали су само један примјер: 220 и 284. Испитивали су и полигоналне бројеве. Бројеви спредстављани помоћу каменчића од којих се слажу геометријске фигуре:

1. троугаони бројеви: 1, 3, 6, 10, итд.

2. квадратни бројеви: 1, 4, 9, итд. 3. петоугаони бројеви: 5, 12, 22 итд. Код квадратних бројева имамо разностране бројеве – облика n(n+1) и издужене – обликn(n+k). Сваки квадратни број је збир два троугаона броја. Квадрат непарног броја је :

једнаких троугаоних бројева + 1. Нпр. гранични (4 једнака разнострана + 1



15

Имали су неку врсту индукције: ,

Појављују се полиедарски бројеви (кубни и пирамидални). Открили су постојање ирационалних бројева (из Питагорине теореме): . Аксу непарни, имамо k Дакле, н

могу оба бити непарни, а не могу оба бити ни парни, па је један од њих паран, а другнепаран. Тада је у половини квадрата једна катета парна, а друга непарне, али су исте! Једини систем једначина је Тимаридин цвијет (најчешће за ) :

+

Појављују се разне врсте средина (односа међу бројевима):

1. аритметичка ( ) :

2. геометријска :

3. хармонијска :

Ове средине су специјалан случај од .

Јавља се и низ других средина:

– субконтрарна хармонијска

– субконтрарне геометријској

(немају неки математички значај)

Доказали су да је збир углова у троуглу једнак два права угла. Доказ је имао 3 случаја: з једнакостранични, за једнакокраки (Талес) и за разнострани (подјелом на два правоуглаДоказали су Питагорину теорему. Имали су посебан дио геометрије – алгебарскгеометрију, гдје су низ алгебарских тврђења представили геометријски. a

b c d e

a b

b b



16

a a

а b

a – b b

a – b a

b a

Открили су правилан петоугао. Пентаграм (звездасти петоугао) је био њихов знаСматра се да су открили 5 правилних тијела и доказали да их више нема. Бавили су састрономијом. Ту им се приписују 3 тврђења: Земља је округла, Вечерњача Зорњача

Венера, планете круже по посебним орбитама, од запада према истоку. Један Питагореја је убијен зато што је открио конструкцију додекаедра. Хипасус је истјеран из друштва је је открио ирационалност и издао неке тајне Питагорејаца. У Грчкој се рано јављају 3 проблема које никако нису могли да ријеше користећи шестаи лењир: - трисекција угла, - дупликација коцке – конструкција ивице коцке која има 2 пута већу запремину од

полазне коцке,

- квадратура круга – конструкција квадрата чија је површина једнака површиниполазног круга.

hipokratХипократ са Хиоса (око 470 г.п.н.е. – око 410. г.п.н.е.) – бавио се проблемом квадратуркруга. Идеја – подијелимо круг на дијелове, месечиће, израчунамо њихове површине пих касније саставимо. Проблем дупликације коцке је свео на проблем: између двије задате величине убацитдвије геометријске средине:

Ако узмемо имам.

hipija

Хипија из Елиде (око 460. г.п.н.е.) – извршио је трисекцију угла користећи кривквадратрису. arhita

Архита из Тараса (Тарент – данашња јужна Италија, 430. – 350. г.п.н.е.) је биПитагорејац, али су они тада били распуштени. Сматра се да је направио дрвеног голуб



17

који је могао да лети и да је смислио звечку. Спасио је живот Платону који је покренуград (у Италији) са својим уређењем, што и није било успјешно, па су грађани покушалда га убију. Изложио је Платону велики дио питагорејског учења, које је овај користиосвојој филозофији. Утицао је на Платона да прихвати Питагорејски принцип образовању: 1. фаза – тривијум (лат. = троструки пут: граматика, реторика, дијалектика2. фаза – квадривијум (лат. = четвороструки пут: аритметика, геометрија, музика

примењена аритметика, астрономија – примењена геометрија).

platon

Платон (428. – 348. г.п.н.е.) је био филозоф. Филозофија му је била идеалистичка, реаласвијет је слика идеалног. Однос између тих свијетова је најизраженији у геометријОсновао је школу у врту посвећеном хероју Академису, па је школа добила имАкадемија. На улазу у школу писало је : „Нека не улази ко не зна геометрију!“. Правилнтијела се зову и Платонова тијела, јер их спомиње у свом дјел

„Република“. Херон му приписује и два полуправилна тијела, зарубљену коцку тетраедар. Дупликацију коцке је извео користећи посебно урађен лењир. Није се бавигеометријом у истраживачком смислу, волио је да цитира тврђења и да прави аналогијусвојим дјелима, зато се у средњем вијеку геометрија учи да би се разумјела Платоновдјела, јер се углавном користила за објашњавање појмова из филозофије. Формулишанализу као поступак за доказивање математичких тврдњи. Eudoks knidski

Еудокс Книдски (408. – 355. г.п.н.е.) је усавршио теорију пропорција (одно

рационалних бројева), уврстивши и односе величина (скоро да је увео скуп помоћДедекиндових пресека). Формулисао је метод ексхаустије и извео запремину купе пирамиде (12. књига Е. Е.), што је први урадио Демокрит, али се сматра да није имаправи доказ, што је дао Еудокс. Бавио се астрономијом, концентричне сфере ротирају ок

различитих оса – тако је објаснио кретање планета. Открио је метод ексхаусти(исцрпљивања). Формулисао је Архимедову аксиому. demokrit

Демокрит је био Платонов савременик. Први је открио формуле:

. Био је заговорник атомске теорије – вакуум постоји и кретање с

објашњава кретањем атома кроз вакуум. teetet

Теетет (умро 368. г.п.н.е. са 40-так година) се бавио теоријом ирационалности правилним полиедрима. Теодорис из Кирене је написао Тетету: 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14



18

15 – њихови коријени су ирационални. Код је запео. Тетет је извео тај доказ усавршио га тако да је то важило за сваки прост број. Развио је цијелу теорију

бројевима „различитог“ облика: , √а + √b, √( ), – доказао је да сирационални. Прецизно је усавршио конструкцију правилних полиедара (13. књиг

Еуклидових „Елемената“) aristotel

Аристотел из Стагире (384. – 322. г.п.н.е.) је био филозоф који је често цитираматематичка тврђења. Од тих тврђења најзанимљивија су сљедећа (којих нема Еуклидовим „Елементима“): - збир спољашњих углова сваког полигона је 360°; - геометријско мјесто тачака за које је сталан однос растојања од 2 фиксне тачке је кру(касније Аполонијев);

- од свих затворених линија истог обима, круг затвара највећу површину; - једина два тијела којима можемо попунити простор су коцка и тетраедар (што нитачно). Доста се бавио проблемима непрекиднсоти и бесконачности. Дошао је до закључка дпостоји потенцијална бесконачност али нема стварне бесконачности (завршена цјелинаПрви је описао формалну логичку теорију. Био је учитељ Александра Македонског.

5. ЕУКЛИД И АПОЛОНИЈЕ

euklid

Еуклид (око 330. – 275. г.п.н.е) је аутор дјела „Στοιχεια (Стоихеја, лат. Elementa, српскЕлементи)“ што значи азбука. Елементи су постојали у неколико верзија и прије ЕуклидЊегови су садржали основе елементарне геометрије, теорије бројева, теорије поређењвеличина, методе за одређивање површине и запремине геометријских тијела као елементе теорије граничних процеса. Најстарији сачуван рукопис Еуклидови„Елемената“ је из 888. године н.е. Састоји се из 13 књига (1., 2., 3., 4., 6., 11., 12., 13.геометријске, остале су алгебарске). 1. књига: 23 дефиниције, 9 аксиома, 5 постулата, 48 теорема

Теореме 1-26: основне особине троуглова (не користи се 5. постулат). Теорема 5. је магарећи мост (бијег очајника). 27-32: особине паралелних линија, једнакост трансверзалних углова. Теорема 32: збир углова у троуглу је два права угла.



19

Остале теореме се односе на површине. Основно је наћи квадрат чија је површин једнака збиру површина датих полигона. 47. – Питагорина теорема, а 48. – обрнута Питагорина теорема

2. књига: 2 дефиниције и 14 теорема – у геометријском облику се налази низ алгебарски једнакости; 1. дистрибутивност множења, 4. квадрат збира, 12. – одговара косинусној теореми тупоугли троугао, 13. за оштроугли, а 14. је конструкција геометријске средине. 3. књига: 11 дефиниција и 37 теорема

1-15: особине центра круга, тетива и сјечица

Теорема 14.: Једнаке тетиве су на једнаком растојању од центра. 17-19: особине тангенти (права нормална на полупречник у крајњој тачки) 20-34: особине централног и периферијског угла.

35-37: потенција тачке (35 у кругу, 36 ван круга – двије сјечице, и 37 ван круга – сјечиц

и тангента) 4. књига: 7 дефиниција и 16 теорема – уписивање и описивање круга у дати полигонуписивање и описивање полигона око датог круга, за произвољан троугао, квадрапетоугао, шестоугао и петнаестоугао.5. књига: 18 дефиниција и 25 теорема – општа теорија пропорција Еудикса Книдског

Дефиниција пропорција: Каже се да су двије величине у истом односу, прва према другкао трећа према четвртој ако су било који једнаки умношци прве и треће у исто вријемвећи или једнаки или мањи од било којих једнаких умножака друге и четврте, свак

према сваком узети у одговарајућем поретку. Теорема 16.: (комутативност) 6. књига: 5 дефиниција и 33 теореме – примјена пропорција на изучавање сличности

7. књига: 23 дефиниције и 39 теорема – прве 3 теореме односе се на проналажењнајвеће заједничке мјере. Теорема 2. је Еуклидов алгоритам. 14-19: описују особине пропорција. 20-39: о простим и сложеним бројевима

8. књига: 27 теорема – посвећена је непрекидној пропорцији

Изучавају се особине пропорција облика Одавде се добијаособине квадрата и кубова, нпр. ако имамо и ставимо , имам.

9. књига: 36 теорема – користи резултате претходне књиге и испитује квадрате и кубову геометријској прогресији. 14.: одговара једнозначној факторизацији сложеног броја



20

20.: простих бројева има бесконачно много

35.: збир геометријске прогресије

36.: Ако је прост број, тада је савршен број

10.књига: 16 дефиниција и 115 теорема – теорија ирационалних бројева који се добијајгеометријским конструкцијама (потиће од Тетета). Изучавају се бројеви облика

, , , .

11. књига: 28 дефиниција и 39 теорема – основне особине правих и равни у простору

12. књига: 18 теорема – израчунавање површине и запремине пирамиде, купе цилиндра. Користи се метод ексхаустије (Еудокс). 13. књига: 18 теорема – конструкција правилних тијела. Ефективно се израчунава ивицправилног тијела уписаног у лопту.

Елементима се приписују још 2 књиге: 14. књига: Хипискл, 2 вијек н.е. – однос површине и запремине правилних тијелуписаних у исту сферу

15. књига: Исидор, 5 вијек н.е. – испитују се диедарски углови у правилним тијелимаправилна тијела се уписују једно у друго. Еуклид је написао и : О дјељењу фигура, Конусни пресјеци, Поризми, Површи, Књиподатака, О подјели, Оптика, Феномена, Дата, О лажним доказима. Сви докази теорема у Еуклидовим „Елементима“ завршавају се реченицо

, што преведено са латинског значи: Што је и требалдоказати. Из почасти према Еуклиду било је уобичајено да се крај доказа означи словим

и ова традиција је дуго поштована, посебно у уџбеницима из геометрије. apolonije

Аполоније из Пергe (Турска) (260. – 190. г.п.н.е.) – његово најважније дјело је „Коникили „О конусним пресјецима“. Састоји се од 8 књига, од којих је првих 4 сачувано нгрчком, 5., 6. и 7. постоје на арапском, а 8. је изгубљена. Прве 4 садрже оно што је

раније било познато. Хипократ је дупликацију коцке свео н

.Аполоније умјесто правог конуса користи произвољан кружни конус. Има 3 врстпресјека: раван сијече све изводнице, паралелна је једној, паралелна је двијема.



21

Користећу геометријску алгебру из Еуклидових елемената доказује да парабола имособине , елипса хипербола , одакле им извод

имена: налијегање (параболис), недостатак (елипсис), вишак (хиперболис). У 1. књизи још доказује да ова особина не зависи од правца у коме се бира оса дате крив

и да се једначина хиперболе увијек може писати као2. књига је посвећана особинама конусних пресјека и конструкцији тангенти. 3. књига се бави проблемима 3 и 4 праве. У оба случаја рјешења су конусни пресјеци. Опрви посматра обе гране хиперболе као једну криву. У 4. књизи се испитује број пресјека два конусна пресјека и услови под којима се сијеку5. књига – конструкција нормала на конусне пресјеке (нормала се дефинише прекнајкраћег растојања) 6. књига – испитује сличност конусних пресјека

7. књига – особине коњугованих пречника конусних пресјека 8. књига је изгубљена (примјена конусних пресјека) Још је написао: „Одсјецање у датом односу“; „Одсјецање дате површине“; „Одређенпресјек“; „О додирима“ – конструкција круга који додирује 3 круга (сваки од њих можимати пречник једнак нули или бесконачно, тј. може бити тачка или права). Састоји се и2 књиге.; „О уметањима“; „О равним мјестима“ – наводи низ геометријских мјеста тачаккоја се своде на праву или кружницу (јавља се Аполонијева кружница).; „О рачунању с

великим бројевима“; „О израчунавању броја “. ( )

Писао је и књиге из примјењене математике, углавном из оптике и астронимије. Имао јидеју за кретање епицикла (кружница по којој се креће неко тијело). Центар епицикла сналази на диференту (диферент је путања око Земље).

6. АРХИМЕД

arhimed

О њему се зна релативно мало. Потиче из Сиракузе на Сицилији. У младости с

школовао у Александрији, а након тога се опет вратио у Сиракузу. Ту је убијен 212. п.н.е. када су Сиракузу освојили Римљани. Сматра се да је тада имао око 75 година. Александрији је упознао неке математичаре којима је касније слао своје резултате, такође их је слао и Доситеју и Ератостену. Његова дјела нису одмах сакупљена у једнкњигу па су многа изгубљена. Већина сачуваних дјела потиче из преписа који потичу иВизантије. Постојала је и његова биографија, али је изгубљена. Коментатор Еутокије ј



22

читао ту биографију што је омогућило да се нешто сазна о Архимеду. О Архимедовиделима се зна из две књиге Прва је донесена у Италију и у 16. вијеку изгубљена, али од ње направљено неколико преписа. Друга је палимпсест пронађен у манастиру светиапостола у Цариграду 1906. г. Његова књига је искоришћена да се напише молитвениКњига у којој се користи пергамент из неке друге књиге чији се тект изгребе или оперзове се палимпсест. Обично се првобитни текст може тешко читати. Направљени спреписи који су објављени 1910. и 1912. године. Долази до 1. свјетског рата па т

рукопис више није био доступан. 1924. након револуције у Турској, књиге из томанастира су пренесене у Атину. У том периоду нестало је Архимедово дјелАнтикварница Кристи из Њујорка је 1998., понудила ту књигу на продају. Продата је замилиона долара, и сада је у Америци. За разлику од Еуклида, који је уџбеник, Архимедсвојим књигама излаже своја открића, тј. те књиге су научна дјела. Архимед се порематематике бавио још и астрономијом, механиком, хидростатиком итд. Сачувано је 1

так његових књига. 1. „О равнотежи у равни“ – има 15 теорема. Ту ригорозно геометријски заснива закополуге. Званично се сматра да овим почиње математичка физика. 2. „Квадратура параболе“ (преименовано у каснијим преводима, назив за параболу дао јАполоније). Књига има 24 теореме. Ту израчунава површину одсјечка параболе. У први17 тео рема то изводи користећи закон полуге, а касније даје геометријски доказ.

Тачка C је она у којој је тангента паралелна са AB.

3. „О равнотежи у равни“, друга књига – 10 теорема. Ту користи резултате 1. књиге израчунава тежиште одсјечка параболе.



23

4. „Метод“ – 14 теорема. Дуго је била изгубљена, али је пронађена. То је писмЕратостену у коме је користећи закон полуге израчунао запремину лопте.

K x и K y оптерећују на удаљености од ослонца, а круг К на удаљености . Пошто важгорња једнакост према закону полуге они ће бити у равнотежи. А ако пустимо да овпресјеци настају редом од тачке О до тачке А (у свакој тачки), на лијевој страни полугћемо добити купу у чијој је основи круг полупречника и висине и лоптполупречника . Оне оптерећују на удаљености од тачке ослонца. На десној стран

полуге добијамо ваљак висине и полупречника основе . Он оптерећује у тачки Кад то запишемо формулом имамо:

, тј.

5. „О сфери и цилиндру“ – двије књиге

Прва књига има 44 теореме.

33. теорема је

34. теорема је

Друга књига има 9 теорема. Израчунава однос површина и запремина сферних одсјечака6.“О спиралама“ – има 28 теорема. Првих 11 је уводног карактера, а послије дефинишспиралу. Њу описује тачка која се равномјерно креће по полуправој која равномјерн

ротира око исходишта, од исходишта



24

У теоремама од 12. до 20. бави сконструкцијом тангенте на спиралу. Тангентутачки Т конструише тако што Т споји са Озатим на ТО конструише нормалу у тачки О, онда на ту нормалу нанесе дужину спирале од до Т. Тако добије тачку Т’, а Т’Т је тражен

тангента.

Преостале теоремове књиге односе на рачунањповршине првозавоја спирал

Добија се да је он једнака трећинповршине круг

7. „О коноидима и сфероидама“ – има 32 теореме. Овдје израчунава запреминсфероидама – настаје ротацијом елипсе око велике осе, и коноида – настаје ротацијопараболе око своје осе.

Сфероид Коноид

Овдје је битно да се појављује , али не

таквом запису.



25

8. „О тијелима која пливају“ – има око 10 теорема. Ту се бави хидростатиком. Испитујстабилност брода. Брод представља као одсјечак параболе потопљен у воду. Ту је теорема о губљењу тежине тијела које се потопи у течност. 9. „Мјерење круга“ – има 3 теореме. То је вјероватно одломак неког опширнијег дјела. 1. теорема: Површина круга је једнака површини правоуглог троугла чија је једна катетполупречник, а друга обим круга. 3. теорема: Обим круга је више од 3 пута већи од пречника, при чему је тај вишак мањ

од , а већи од , тј. . До овога долази рачунајући обим описаних

уписаних многоуглова. Он користи оцјену за , . Није јасно како

дошао до овога. 10. „Рачунање пијеска“ – ту објашњава рачунање са великим бројевима. Неко је рекао д

на плажама око Сиракузе има бесконачно много зрнаца пјеска. Он ту доказује да васиони не може постојати више од зрнаца пијеска. Поред ових књига сачувани су и неки одломци. У арапском преводу је сачуван„Конструкција правилног седмоугла“ (18 теорема). - Посматра однос у коме двије дуже дијагонале дијеле трећу дужу дијагоналу.



26

Архимед је извршио и трисекцију угла (уметањем).

Ова конструкција није само помоћу шестара и лењира,већ се користи још неко помагало (нпр. трака папира накојој је DE једнако полупречнику).

- Написао је и „О полуправилним тијелима“. То су тијела која су ограничена правилниполигонима, али они не морају бити једнаки. Једна фамилија тих тијела су призме, другантипризме. Има их 13 фамилија. Сачувано је нешто и из „Књиге лема“:

r 2

r 1

Површина круга једнака је површини арбело



27

Површина круга једнака је површини салинона.

Код Архимеда се јавља и проблем говеда. На Сицилији постоји стадо говеда Бога СунцИма их 4 врсте (бијели, црни, жути и шарени), а од сваке врсте бикови и краве. .. Задатасе своди на неодређен систем једначина:

Има још додатни услов да је квадратни број, а троугаони број. Архимед направио и неки модел небеских тијела од месинга, што је однијето у Рим као ратнплијен. Написао је „Књигу о прављењу сфера“ која је вјероватно била о том моделу, ал

је изгубљена. Изгубљене су и књиге „О полугама“, „О тежиштима“ , „О паралелнилинијама“ (можда је доказао 5. постулат). Арапи Архимеду приписују и Херонов образаТакође је изгубљена и књига из оптике. Постоји легенда да је Архимед помоћу огледалуспио да запали римски брод. Такође постоји легенда да је једном руком, повлачећи нек

конопац, извукао на обалу брод са војском и теретом. Најпознатија легенда о Архимед је да је успио одредити однос злата и сребра у завјетном вијенцу. Идеја му је синула кад је ушао да се купа и видио да се ниво воде подигао (вода се просула). Тада је узвикнуХеурека! (Открио сам!)



28

7. ХЕЛЕНИЗАМ

helenizam

334. год.п.н.е. почела су освајања Александра Великог (356. – 323. г.п.н.е.) освајањеПерсије. 323. год. п.н.е. Александар Македонски је умро у Вавилону, а цијели Блиск

Исток је био у грчким рукама. Александрове војсковође су, послије Александрове смртподијелили освојена подручја, тако да су настале 3 империје: 1. Египат, под влашћПтоломеја, 2. Месопотамија и Сирија, под влашћу Селенкида, 3. Македонија, под влашћАнтегине. Брз продор грчке цивилизације у широке области истока (хеленизам) Египат, Месопотамија, Македонија и дио Индије. Александрија у Египту је посталинтелектуални и привредни центар хеленистичког свијета. eratosten

Ератостен из Кирене (276. – 194. г.п.н.е.) је живио и радио у Александрији, био је трећ

библиотекар Александријске библиотеке и нека врста универзалног научника. Звали су Други или Бета, желећи тиме да нагласе, да се Ератостен није истицао прворазредни резултатима иако се бавио многим областима науке. Смислио је механичку справу дупликацију коцке односно за одређивање средњих пропорционалаСправа се састоји из два паралелна лењира и 3 троугла између њих. Први је фиксира



29

Пустимо да троуглови клизе кроз оквир и ротирајмо тако да прођкроз тачку D, а приликом ротирања пазимо да B и C леже на и редом.

Овдје су AE=a и DH=b двије дужи за које тражимо средње пропорционале. Добијамо дсу двије средње пропорционале дужи BF=x и CG=y. Из сличности одговарајућитроуглова добијамо . Смислио

Ератостеново сито за налажење простих бројева. Испишемо све непарне бројев3,5,7,9,11,13,15,... Уочимо први број - 3 и прецртамо сваки трећи, затим уочимо другброј - 5 (први непрецртани) и прецртамо сваки пети у низу. Све до квадрата највећеброја, и сви непрецртани су прости. Ератостеново сито је добило значај проналаско

рачунара. Бавио се географијом и картографијом и израчунао обим Земље користећ разлику у угловима под којима Сунце пада тачно у подне у Александрији и СијенЕратостен је знао тачно растојање између Александрије и Сијене захваљујући мјерењимкоролара Александра Македонског, примјеном троугла и уочивши да у истом тренутк

нпр. у подне, сијенка пада вертикално у Александрији, а под другим углом у Сијени, кадсе измјери тај угао и знајући тачно растојање, није тешко израчунати обим Земље, јер растојање између та два града дио медитерана. hiparh

Хипарх из Никеје – живио је од 180. до 125 г.п.н.е. Вавилонци су прецизно пратилнебеске појаве, али се нису бавили структуром. Освајањима Александра Македонскоови подаци постају доступни Грцима. Хипарх објашњава кретања небеских тијелкористећи вавилонске податке. Живио је и радио на Родосу. Његова дјела су изгубљен

али су се други позивали на њих, па се оријентационо зна садржај тих дјела. Њему сприписују многи резултати: примјена ексцентричних кругова и епицикла у објашњавањкретања Сунца, Мјесеца и планета; откриће предсказања равнодневнице; одређивањдужине и ширине земљишта астрономском методом; објаснио је појаве помрачења Сунци Мјесеца. Хипарх је написао прву књигу за израчунавање тетива „О тетивама“ (дана



30

таблица синуса) али ништа није сачувано. Најстарије познато грчко достигнуће иобласти теоријске астрономије је Еудоксов планетарни систем (4. вијек п.н.е.).nikomah

Никомах из Геросе (данас Сирија) (60. – 120.) је један од најстаријих александријскиматематичара из римског периода. Написао је дјело „Аритметички увод“ – најпотпунисачувано дјело у којем је изложена питагорејска аритметика. menelaj

Менелај из Александрије (70. – 135.) је написао бар двије књиге „О тетивама(изгубљена) и „Сферика“ која је сачувана у 3 књиге (садржи геометријске сфере и у њсе разматрају сферни троуглови, којих нема код Еуклида). 1. књига – основни појмови из сферне геометрије, основне особине сферних троуглов(странице су ликови великих кругова). Збир углова у сферном троуглу је већи од 180

. Нема сличности труглова.

2. књига – примјене резултата у астрономији

3. књига – Менелајева теорема за троугао у равној и сферној геометрији

Могу се посматрати оријентисане илинеоријентисане странице.

Данас је то: . У своје вријеме ова теорема је била позната као теорема

величина. Ptolomej klaudije

Птоломеј Клаудије – 2. вијек н.е. Његово најпознатије дјело је „Велика синтеза“ ил„Велики зборник“ који је познатији под арапским називом „Алмагест“ („Највећи“). То веома оригиналан астрономски рад, иако много идеја у њему потиче од Хипарха других, па је то уствари синтеза дјела из астрономије. Подјељено је на 13 књига: 1. књига – уводног је карактера, описује се структура неба, опис небеских сферобјашњава и елементе сферне геометрије, рачуна таблицу тетива. Ту је и Птоломејев

теорема за четвороуглове. Ако имамо тетиван четвороугао, повучемо дијагонале e и Тада је . Наводи и формуле за синус и косинус збира и разлике два угла.

Према Птоломејевој теореми је:, па је:



31

2. књига – рјешавање проблема сферне геометрије и тригонометрије

3. књига – опис кретања Сунца

4., 5. књига – опис кретања Мјесеца

6. књига – помрачење Сунца и Мјесеца

7., 8. књига – посвећене кретању звијезда

9., 10., 11. књига – опис кретања планета

12. књига – слагање теорија и посматрања

13. књига – опис кретања планета по ширини

Друга Птоломејева дјела су „Планисферијум“ и „Географија“.

heron

Херон Александријски (10. – 75.) је написао дјело „Метрика“. То је књига примјењенматематике, састоји се од 3 књиге. 1896. године је нађен рукопис те књиге. 1. књига – израчунавање површине равних фигура, Херонов образац за површинтроугла: . Могуће је да Херонов образац потиче о

Архимеда. Даје и поступак за израчунавање квадратног корјена методом сукцесивни



32

апроксимација: (сматра се да је то узео од Вавилонаца). Израчунав

површину четвороугла и тврди да је поред 4 стране потребно још нешто, дијагонала илугао, да би четвороугао био одређен. Израчунава површине правилних полигона са 3-

страна. Добија . Наводи апроксимацију броја и израчунав

површину кружног одсјечка, елипсе, цилиндра, сферног одсјечка,... 2. књига – запремине разних тијела

3. књига – дијељење фигура у датом односу

papos

Папос Александријски (290. – 350.) је написао дјело „Зборник“ („Збирка“). Састоји сод 8 књига. 1. књига – описује низ античких дјела; изгубљена

2. књига – рачунање са великим бројевима (основа 104), 26 теорема; првих 13 изгубљено3. књига – 4 дијела: 1. дио - уметање геометријских средина између двије задане дуждаје рјешење дупликације коцке, објашњава разлику између раванских (користи се лењии шестар), просторних (конусни пресјеци) и линеарних проблема (помоћу специјалникривих); 2. дио – проблем средина (11 врста); 3. дио – парадокси, један од њих Ерицинусов парадокс: Нека је дат правоугли За сваку тачку посто

; 4. дио – конструкције: уписивање правилнитијела у сферу.

4. књига – 5 дијелова: 1. дио – уопштење Питагорине теореме – ако је дат настраницама конструишемо паралелограме, повучемо праву , затим њпаралелне праве кроз А и B и тако добијемо велики паралелограм. Тврди да је површинтог паралелограма једнака збиру површина два мала паралелограма; 2. дио – анализир



34

„Одсјецање“ 2 књиге, „О додирима“ 2 књиге, „Уметање“ 2 књиге, „Геометријска мјеста равни“ 2 књиге, „Конусни пресјеци“ 8 књига; од Ератостена „О срединама“ 2 књиге. 8. књига – посвећена је механици, али се даје и низ геометријских тврђења: конструкцијосе елипсе, проблем уписивања правилних шестоуглова у круг. diofant

Диофант из Александрије (200. – 284.) – Сачувана су два његова дјела: „Аритметика“13 књига (6 сачувано на грчком језику) и „О полигоналним бројевима“ (сачуван почетакИмао је неку општу теорију, али је лоше излагао, користи нотацију у геометријскосмислу, а мање у алгебарском. „Аритметика“ садржи 189 проблема. 1. књига – 39 задатака; задаци се своде на линеарну једначину, систем линеарни

једначина или квадратну једначину. 27. задатак : 28. задатак : 29. задатак :

2. књига – 35 задатака; неодређене једначине облика или системи од двитакве једначине. 20. задатак: 31. задатак: систем од 3 једначине

3. књига – 21 задатак – рјешавају се системи од 3, 4 или више квадратних једначина

4. књига

–

40 задатака –

рјешавање једначина 3. и 4. степена нумеричким методама

5. књига – 30 задатака – то су најтежи проблеми; представљање броја као збира два, тричетири квадрата. Нпр.6. књига – 24 задатка који се односе на Питагорине тројке. Рјешавају се систем

једначина .

prokl

Прокл (410. – 485.) је био један од главних извора за историју математике. Био је на челнеоплатонистичке школе у Атини. Написао је дјело „Коментар прве књиге Еуклидови

елемената“. hipatija

Хипатија (370. – 415.) – Теонова кћи, представница неоплатонистичке школе Александрији. 415. године су је убиле присталице св. Ћирила.



35

8. КИНА

kina

Периодизација кинеског друштва се углавном дијели на династије које су имале дужпериоде стабилне владавине: 1. стара антика (1500. – 100. г.п.н.е.) – династије Инг (XVIII – XII в.п.н.е.) и Чау периода: XII – VIII в.п.н.е. и VIII – II в.п.н.е.) 2. антика (II в.п.н.е. – VI в.н.е.) – династије Хан (206. г.п.н.е. – 220. г.н.е.) и Суи (589.619.)

3. касна антика (VI в.н.е. – 1367. год.) – династије Танг (618. – 907.), Сунг (960. – 1279.)

Јуан (1280. – 1367.);

4. ново доба (1367. – 1750.) – династије Минг (1367. – 1644.) и први дио династије Ћин(до 1750.);5. најновије доба (од 1750. до данас) – други дио династије Цин (1750. – 1912

Република Кина (1912. – 1949.), Народна Република Кина (1949. – до данас).Географска изолованост Кине условила је самосталан развој науке и културе, без утицајдругих култура и цивилизација. Скоро све вријеме је постојала институција државнслужбе, а за рад у државној служби полагао се испит из 10 предмета, од којих повремено један био математика. Тада је дошло до интересовања за математику, појавилсу се учитељи математике. Развој математике је условљен потребом мјерења земљархитектуром, обрачунима пореза итд. По предању, Жути цар Хуангди (2698. – 259

г.п.н.е.) је наредио свом поданику Ли Чоу, да направи рачун (напише књигу о рачуну).

Кина је доста сиромашна металима, па су све правили од дрвета, платна и камена. Зботога су првобитно писали на трошном материјалу, углавном кори дрвета. Око 137. го развила се технологија израде папира. Главни разлог због којег од најстаријих кинескикњига готово ништа није сачувано је спаљивање свих старих књига 213. год. п.н.е. Што се тиче записивања бројева у периоду до IV в.п.н.е. користи се један бројни систекориштен за записивање броја људи убијених у сукобу као и број животиња убијених лову и слично. Имали су ознаке за 1, 2, ..., 9 па за 10, 100, 1000 и сл. Тако су 20записивали преко симбола за 2 и 100, а 3400 преко 3 и 1000, 4 и 100. Ознаке су биле: за

удица, за 1000 човјек итд. што су можда били фонетски знаци. Сматра се да су некзнаци узимани због вјерских ритуала. Од IV в.п.н.е. бројеви се записују линијама рачуна се са штапићима. Постојале су 2 врсте штапића: црни (фу) и црвени (ченштапићи. Врло рано се јављају негативни бројеви, при чему су за позитивне користилцрвене, а за негативне црне штапиће. Симболика је била сљедећа:



36

Већ у другом миленијуму п.н.е. наилазимо на бројеве који су записани у позиционобројном систему помоћу 9 знакова. Тих 9 знакова представљани су помоћу бамбусовиштапића који су распоређивани на разне начине. Одувјек су користили десетични бројнсистем. То је био један вид позиционог система, али не позициони. У календарскиизрачунавањима су примјењивали неки систем сличан шездесетичном, тако да је број 6постао јединица вишег реда. Касније су рачунали на рачунаљци званој Суан -ПаРачунаљка је била оквир са обично имала 11 жица. На свакој су биле 7 куглиц

подељених на 5 и две попречном. Групом од 5 куглица су представљане јединице, групом од 2 петице. Значајно је да су за нулу остављали празно мјесто. Рачунаљку сприхватили и Јапанци, али су је поједноставили. Њихова рачунаљка се звала Соробан умјесто куглица користили су 4 и 1 плочицу са оштрим ивицама, од дрвета или костПрви уџбеник из математике потиче из периода династије Хан (206 г.п.н.е. – 220. г.н.е„Чју Чанг Суан Шу“ – „Вјештина рачунања у 9 књига“. То је чисто математичко дјелкоје је карактеристично за старокинеску математику следећег миленијума, па чак и каснији период. То је традиционална књига која се полагала на државном испит

Састоји се од 246 задатака и општих упутстава за њихово рјешавање. Ту се израчунавајквадратни и кубни корјени, рјешавају се системи линеарних једначина, а појављују се негативни бројеви (први пут у историји математике). Најстарија сачувана верзија овкњиге потиче из 263. године са коментаром Лиу Хуиа.

1. књига: „Мјерење поља“, 38 задатака. Ту је изложено сабирање и множење разломакте рачунање површина низа геометријских фигура. У разломку бројилац означавају сЦИ (син), а именилац са МУ (мајка). Јављају се и проблеми налажења најједноставниј

облика разломка, нпр. и даје се одговор . Ово су урадили тзв. Еуклидови

алгоритмом. У почетку се рачунају површине квадратног поља, а након 24. задатка с рачунају површине троуглог и трапезног поља. У 32. задатку се јавља кружно поље, гдсе користи .

2. књига: „Просо и пиринач“ или „Житарице“, 46 задатака. Рачуна се са пропорцијам.



37

3. књига: „Пропорционална расподјела“, 20 задатака. Обрађен је рачун диобе тј. дјељењте директна и обрнута пропорција и сложене пропорције.

4. књига: „Која ширина“ или „Кратка ширина“, 24 задатка. Израчунава се страницправоугаоника и квадрата, када је дата површина. Првих 11 задатака је одредити дужин

поља површине 1, чија је ширина . Од 12. до 16. задатка извлачење квадратног коријена, а након 16. задатка се јављају и кубни коријени. Давалсу велике бројеве за коријеновање, да се не би погађало ријешење. 5. књига: „Расправа о послу“, 28 задатака. Израчунава се запремина призми, пирамида других тијела. 6. књига: „Поштени порези“, 28 задатака. Рјешавају се задаци који се своде на једнлинеарну једначину са једном непознатом. 7. књига: „Вишак и недостатак“, 20 задатака. Рјешавају се проблеми који се своде н

двије линеарне једначине са двије непознате, а јављају се и проблеми са аритметичкопрогресијом. 8. књига: „Квадратни поступак“, 18 задатака. Ту се рјешавају системи линеарни

једначина са 3 или више непознатих и то у основи методом елиминације. Разлика оГаусовог метода је: коефицијенти су у колонама, а не у редовима. Рјешавају се и системдо 6 једначина са 6 непознатих. Ту се и јављају негативни коефицијенти што је први пуу историји математике, да се јављају негативни бројеви. Системи се записују у обликматрице коефицијената. Један од проблема је проблем 3 џака пиринча:

1 3 3 3

2 5 2 4 5 2 5 2

3 1 1 8 1 1 36 1 126 24 39 39 24 39 99 24 39

слабог квалитета ( )

средњег квалитета

најквалитетнијег

Кинези су пронашли метод елиминације. 9. књига: „Кратак и дуг“, 24 задатка. То су задаци које се рјешавају Питагоринотеоремом; „кратак“ – краћа катета која обично стоји хоризонтално, „дуг“ – дужа катетвертикално. Неки од проблема су:

1 2 3 најквалитетнији2 3 1 средњег квалитета3 1 1 слабог квалитета26 34 39



38

1. У средини квадратног рибњака чија је страна 10 стопа, расте трска која вири 1 стопизнад воде. Ако се привуче обали тада је таман додирне. Колика је дужина трске дубина рибњака?

2. Са врха дрвета виси уже и део који лежи на земљи је једна стопа. Ако се уже затегн

крај ужета се одмакне 8 стопа од подножја дрвета. Колико је високо дрво?

x x+1

8

3. Бамбус од 10 стопа се сломио и врх је на 3 стопе од подножја. На којој висини се дрвсломило?

y

y

x

3

4. Квадратни град непознате величине има капију на средини сваке стране. 20 бу оњегове сјеверне капије расте дрво. Оно може да се угледа ако се удаљи 14 бу од јужн

капије, окрене на запaд и оде 1775 бу. Нађи страну квадратног града!



39

- Из периода династије Хан потиче и књига Чжоу-Би која је само дјелимично посвећенматематици, али се у њој посматра Питагорина теорема, као и књига промјене И- Чингкојој се разматрају магични квадрати (10-Шу) - Најзначајнији кинески математичари:

Liu huiЛиу Хуи (220. – 280.) – дјело „Класичан рачун о морском острву“ – садржи 9 задатака. њој се више израчунавају удаљености, висине предмета итд. које не могу директно да содреде (као на морском острву). Sun ci

Сун Ци (3. вијек) – дјело „Класичан рачун учитеља Суна“ у 3 књиге. 1. књига – рачунање штапићима; 2. књига – разломци и поступак налажења квадратникоријена; 3. књига (најзанимљивија) – ту се први пут јавља Кинеска теорема о остацима26. задатак: Ако из корпе са јајима узимамо по 3 јаја, у корпи остају 2, ако узимамо поостају 3, а ако узимамо по 7 остану 2. Колико има јаја у корпи?

Ако имамо:

…

Број је такав да вриједи за . Тада је:

У нашем случају је:



40

Cang hen

Чанг Хен (78. – 139.) је био писац, а математиком се почео бавити са 30 година. Пр

промјени владара била је обавезна реформа календара, а како је он био добар астрономучествовао је у једној таквој реформи 123. године. 132. г. је смислио први сеизмографоткрио је неки земљотрес па се тиме прославио. Његова апроксимација бро

(значај није у тачности, већ у томе што су сви раније одређивалиекспериментално, а Чанг Хеу изводи теоријски ову апроксимацију). Полази од:

Cang cju cjen

Чанг Чју Чјен (6. вијек) – дјело „Класични рачун“ у 3 књиге. Ту се бави разломцимаритметичким и геометријским прогресијама, вађењем квадратног и кубног коријена. Тсе појављује задатак са птицама. „Пијетао стаје 5 новчића, кокошка 3, а три пилета новчић. За 100 новчића смо купили 100 птица. Колико којих?“ Он даје рјешење: пијетлова, 11 кокошки и 81 пиле, и даје објашњење – повећај сваки пут број пијетлова 4, смањи број кокошки за 7 и повећај број пилића за 3. То је рјешење система:

- Интересантно је да се Кинези доста успјешно баве мјерењем круга. У најстаријиподацима се појављује да је , но крајем 1. и почетком 2. вијека Чанг Хеу да

, а у првој половини 2. вијека Ван Фан је добио вриједност

Лиу Хуи је у 3. вијеку добио 314 , што је боље од Архимедо

апроксимације. Cu cng

Цу Чнг Џ (429. – 501.) даје рационалну апроксимацију, (тачно на 3 децимале) ка

и . Он тврди да је тачна апроксимација , а нетачнаОво је изложио у свом раду „Интерполациони метод“, једном од 10 класика. Потиче ипородице са бројним астрономима, математичарима и слично. Његов син Цу Хенг такође математичар. Vang hjao tung



41

Ванг Хјао Тунг (580. – 640.) – дјело „Настанак класичног рачуна“ – један од 10 класикИма 20 проблема, а од тога је 18 проблема посвећено рјешавању кубне једначине, а

рјешавању једначине 4. степена. Први задатак је потјера пса и зеца, 2.-14. – волумени,15.-20. – правоугли троуглови. Zu cung fen

Зи Чунг Фен (602. – 670.) је био вођа тима који је саставио 10 математичких класика (овиме је дато 1084. г.). Радио је на поправци календара, исправио је неке грешке Лиу Хуии поправио неке апроксимације броја .

Математика се полагала на државном испиту, једном годишње. Учила су се два разреднапредни (учи се 10 математичких класика, посебно мјесто заузима „Вјештин

рачунања“, задаци и усмени одговор) и обични разред (само задаци). За вријемдинастије Танг укида се математика са државних испита и то траје до 13. вијека, када сопет јавља интерес за математику. Сљедећи плодан период за кинеску математику је 11

13. вијек. Cje cjan

Чје Сјан (почетак 13. вијека) – показао је да се извлачење коријена може уопштити н рјешавање једначина произвољног степена. Најзначајнији резултат – налажење небескоелемента – нумеричко рјешавање једначина вишег реда помоћу налажења појединицифара. Метод је објављен 1819. у Европи – Хорнеров поступак. Cin cju sao

Чин Чју Шао (1202. – 1261.) је био велики математички таленат, али не баш добра особ

1247. год,. је објавио дјело „Математика у 9 дијелова“ која садржи 81 проблем (92), а 9 фантастичан број за Кинезе. 1. дио – Кинеска теорема о остацима; 2. дио – о календару и времену; 3. дио – површине (рјешавање једначина до 4. степена, Херонов образац); 4. дио – удаљеност немјерљивих тачака (рјешавање једначина 10. степена); 5.-9. дијела – таксе, расподјеле и слично. Његов најпознатији задатак је уопштење проблема града (20. задатак из 9. књиге). Град ј

округао. На 3m од сјеверних врата налази се дрво. Ако се од јужних врата крене на исто9m, онда дрво може да се види. Колики је полупречник града? (Користи ).

Li je, li ci

Ли Је, или Ли Џи (1192. – 1279.) – право име му је Ли Џи, али га је промјенио у Ли Ј јер се тако звао тадашњи владар. То је било вријеме монголских освајања. 1248. објавио дјело „Морско огледало мјерења круга“ којим се прославио. Састоји се од 1



42

поглавља и 170 проблема, а задаци су у вези са кругом и троуглом. Јавља се сљедећпроблем : Имамо округли град. Особа А изађе кроз јужну капију и пријеђе 135 бу, а особB кроз источну капију и пријеђе 16 бу. Тада се угледају. Колико је полупречник града?

1259. објављује дјело „Нови кораци у рачунању“ гдје се рјешавају геометријскпроблеми алгоритамским поступком, разни проблеми са кругом и троуглом. Наредио јсину да спали све књиге осим „Морско огледало мјерења круга“ јер је једино сматравриједним, али син га није послушао. Jang hui

Јанг Хуи (1238. – 1298.) – 1261. је објавио дјело „Анализа аритметичких правила у књига“, 12 поглавља. Израчунава збирове коначних редова и детаљно разрађује поступавађења коријена вишег реда користећи Паскалов троугао. Cu si cje

Чу Ши Чје (1270. – 1330.) – 1299. је објавио „Увод у математичке студије“, 20 поглављ

259 задатака. 1303. год. је објавио „Драгоцјена огледала у 4 елемента“, 24 поглавља, 28проблема. Рјешава низ проблема методом небеског елемента. Јавља се сљедећи проблемДат је производ дужине пречника круга уписаног у правоугли троугао и дужина катеттог троугла, који је једнак 24. Збир вертикалне катете и хипотенузе је 9. Наћи дужинхоризонталне катете. Kova seki

Кова Секи (1642. – 1708.) – јапански математичар, развио је теорију детерминанти

рјешавање система линеарних једначина.



43

9. ИНДИЈА

indija

Индија је врло специфична земља, изолована је, са сјевера ту су Хималаји преко којих сне може, а са осталих страна је Индијски океан, тако да се до ње могло доћи само моремКада су почела велика освајања, до Индије су први дошли Португалци тек у 16. вијекКрајем 16. вијека, освојили су је Енглези и постала је енглеска колонија. Индија је веомвелика земља па је у њој било разних народа. Уведен је кастински систем тако да

различите врсте људи нису могле мијешати. Индуси су писали на врло трошно

материјалу и нису имали неки осјећај за историју, тако да је мало података сачувано. Оно што је занимљиво код индијске математике је њихова љубав према великибројевима. У индијском епу „Рамајана“ једна од дисциплина на такмичењу је била ко ћда каже већи број. Имали су називе за бројеве до 1048 (према некима и до 1057). Првматематичка знања се појављују у тзв. Ведском периоду. Веде су биле народ који је Индију долазио од 1500. до 500. г.п.н.е. са запада, из данашњег Ирана. О њима се малзна. Постојале су Веде као књиге религијског садржаја. Од интереса за историјматематике су тзв. Сулвасутре књиге. Као елемент своје религије имали су жртвен

обичаје гдје су Боговима приносили храну и пиће на дар. Да би Богови то прихватилолтари су морали да буду одређеног облика и величине. Било је 10 -так врста олтарпосебан за сваку церемонију. Занимљив је опис тих олтара. Најинтересантнисулвасутре су Бадхајана сулвасутра, написана око 800. г.п.н.е. и Апастмба сулвасутрнаписана око 600. г.п.н.е. Ту се појављују правила облика: ако се уже затегне дудијагонале правоугаоника, онда је квадрат над тим ужетом једнак збиру квадрата настранама правоугаоника. У њему се појављују и неке Питагорине тројке: 5,12,112,16,20; 8,15,17; 15,20,25; ... Јавља се и проблем како заокружити квадрат , тј. направит

од њега круг. Каже се да се од квадрата може направити круг ако се узме да је странквадрата пречника круга, што одговара не баш доброј апроксимацији

Јављају се и друге вриједности за (тачно на 5 децимала):



44

Након Ведског периода, расте интерес за астрономију. Почетком нове ере појављују спрве веће државе. Једна од првих је била Гупта, која је ујединила сјеверни дио Индије. Утом периоду се јављају и дјела из астрономије тзв. сидханте. У њима се појављује некврста тригонометрије. У првој сидханти су дате таблице тетива са кораком 3о45’. Каснију 5.-6. вијеку се умјесто тетива почињу користити полутетиве, што је заправо данашњсинус. Код њих се полутетива називала џива арда, а често само џива. Када су то Арапкрајем 8. и у 9. вијеку преводили, ријеч џива нису превели већ су, пошто не пишсамогласнике, написали само џв. У 12. и 13. вијеку арапска дјела се преводе на латински џв је прочитано као џаив (залив) те је отуда настао синус, што на латинском значзалив. Допринос Индуса у математици је писање бројева, смислили су савремендесетични начин писања бројева. У 5.-6. вијеку први пут се појављује нула приликозаписивања бројева. Приликом превођења је наглашавано да је нула број.Први математичар у Индији је био Аријабата (476. – 550.). Он је 499. написао књигу и

астрономије „Аријабатија“ (у стиховима). књига има 2 дијела. У другом дијелу су 3строфе посвећене математици. Ту објашњава извлачење кубног коријена, наводи да

, појављује се збир аритметичке прогресије, израчунава збир квадрата кубова. Рјешава линеарну Диофантову једначину са двије непознате, то је објашњенопосљедње двије строфе и објашњење није довољно јасно. Од тригонометријскифункција се јављају синус, косинус и синусверзус. bramagupta

Брамагупта (598. – 670.) – код њега је низ занимљивих резултата. Рјешава линеарн

Диофантову једначину користећи Еуклидов алгоритам под називом кунтак(размрвљивач). Затим, рјешава системе линеарних конгруенција, без Кинеске теоремсводећи их на Диофантове једначине. Појављују се и неки геометријски резултати, за косе вјерује да су грчки, а који су код њега доста непрецизни. Наводи формулу за површинчетвороугла: , али не наглашава да

четвороугао тетиван па се мисли да је то преписано. Кад је , добијамо Хероно

образац, а општа формула је: . Ту је

формула за дужину дијагонале тетивног четвороугла: . Наводи

тврђење еквивалентно синусној теореми: .



45

mahavira

Сљедећи математичар чије је дјело сачувано је Махавира (живио у 9. вијеку). Код његсе појављује проблем са птицама. „Неки човјек је послан да купи 100 птица за 10новчића, за забаву царевог сина. Голубови се продају 5 за 3 новчића, ждралови 7 за новчића, лабудови 9 за 7 новчића, паунови 3 за 9 новчића. Колико којих да купи?“ Одаје одговор: 5 голубова, 56 ждралова, 27 лабудова и 12 паунова, при чему има јако пун

рјешења. Индуси су први успјешно рјешавали квадратну Диофантову једначину. КоМахавире се спомиње једначина . Он каже да је математичар онко то може рјешити за годину дана. У 9. вијеку у Индији је ријешен општи случ

(варга пракати – квадратна природа), али се не зна ко је то први ријешиПоступак за рјешавање је познат као кружни метод (чакра вала, чакра значи точак). Тметод је први описао akarija Акарија Џајадева (живио око 1000. године), а потом baskara Баскара (1114. – 1185.). Они не тврде да су они смислили тај метод. Баскара кажда је за своју књигу из алгебре „Биџа ганита“ (ганита значи рачун) користио књигБрамагупте, Сридхаре и Падманабхе. Сридхара и Падманабха су живјели у периоду о7. до 10. вијека, али њихова дјела су изгубљена. У Брамагуптиној књизи се не спомињкружни метод, али се спомињу правила слагања – бавана. Постоје три правила:1. саваса бавана: ако је тада је:

2. висеша бавана: ако је тада је:

3. тулија бавана: добија се када се једнакост слаже сама са собом:

Комбиновањем кутаке и баване, добија се кружни метод. Код Баскаре се наводи рјешењ једначине Ако ставимо имамо

Примјењујемо саваса бавану:

Сада бирамо тако да је дијели . Касније је доказано да тада дијели

остале. Приликом бирања , пазимо да буде релативно мало. Ставимо

Ако ставимо, - саваса бавана



46

То овдје даје

Није било јасно како су дошли до овога, нису успјели да докажу да ће овај поступаувијек довести до рјешења. То је први доказао Лагранж 1769. године. Код Баскаре спојављује и доказ Питагоре теореме. nilakanta

Нилаканта (1445. – 1545.) је успио да направи ред за аркустангенс:

.

Oн каже: узми кружни лук чији је синус мањи од косинуса. Помножи синус лукполупречником и подјели косинусом. То је прва количина. Помножи ту количинквадратом синуса и подијели квадратом косинуса, добијеш другу количину. Понављај тмножи квадратом синуса и дијели квадратом косинуса. Добијене количине подијел

редом непарним бројем 1,3,5,... Ако добијене количине наизмјенично одузимаш од прведодајеш првој, добићеш дужину лука. То би данас записали као:

, тј.

Ако ставимо добијамо

Он наводи још неке редове добијене из овог. У Европи је овај ред откривен након 10година (половином 17. вијека). Srinavasa ramanudzan



47

Сриниваса Рамануџан (1887. – 1920.) је посљедњи велики индијски математичар. Био самоук, научио је математику читајући Карову збирку задатака. Све је формуле изводинапамет, није их доказивао. Није познавао комплексне бројеве, али се неки његов

резултати данас изводе коришћењем комплексне анализе. Дошао је у Енглеску гдје оболио од туберколозе. Био је вегетaријанац. Када му је Харди дошао у посјету болницу, рекао је да је дошао таксијем број 1729, а то је сигурно неки досадан (глуброј. Рамануџан је одговорио: „То је најмањи природан број који се на два различитначина може записати као збир два потпуна куба“. .

Највећи допринос индијске математике је увођење полутетива и нуле, а њиховнајоригиналније откриће, успјешно рјешавање квадратне Диофантове једначине, остало непознато.

10. АРАПСКА МАТЕМАТИКА

Arapska matematika

То је математика која је трајала од 8. до 14. вијека. Била је у великом успону све до 125године. Те године долазе Монголи, који нису били нарочито заинтересовани зматематику. Послије Монголских освајања, арапска математика се никада нијопоравила. Ислам је успио да уједини Блиски исток и да се рашири до Индије и Шпаниј762. год. Арапи оснивају нову престоницу Багдад (прије тога је центар Блиског истокбио Вавилон). Средином 8. вијека почињу да прихватају западну културу. Калиф АлМамун оснива „Кућу мудрости“ са библиотеком и опсерваторијумом. Калиф Ал-Мансу

је 773. год. наредио ал-Фазарију да преведе Сидханте на арапски језик. Тај превод је бимеђу првим исламским радовима у области математике. Постојала су 3 просвећенкалифа: Калиф Ал-Мамун, Калиф Ал-Мансур, Калиф Ал-Рашид.

Јусуф Ибн Матар је два пута превео Еуклидове „Елементе“. Превео је и Птоломејевкњигу „Велика синтеза“ и дао јој име „Алмагест“ („Највећи“). Ишак Ибн Хунаин је по наруџби ал-Мамуна превео „Елементе“. Табит Ибн Кора је у другој половини 9. вијека, са својим сарадницима, превеАполонијеве „Конусне пресјеке“, Птоломејеву „Географију“ и урадио прву редакци

„Елемената“ које је превео Ибн Ишак. Куста Ибн Лука (крај 9. вијека) је превео Диофанта и Херона. Појављују се и прва оригинална дјела арапских математичара: Horezmi abu muhamed ibn musa

Абу Мухамед Ибн Муса Ал-Хорезми (око 780. – око 850.) је живио у Багдаду и стварау Кући мудрости. Написао је неколико књига из области математике и астрономије, двиј



48

су сачуване. „Кратка књига о индијском рачуну“ је само дјелимично сачувана и познат јсамо латински превод из 12. вијека, који се чува у библиотеци Универзитета у КембриџУ њој објашњава ријечима, нема симболизма. Објашњава се рачунање са арапскибројевима и индијски систем записивања бројева. Аутор превода овог дјела није знакако да напише арапске бројеве па није написао ништа, а оригинал овог рада је изгубљеТа књига је била један од извора преко кога се западна Европа упознала са десетичнипозиционим системом. Назив књиге „Algorithmi de numero Indorum“ – „О индијскоброју – дјело Алгоритма“ увео је у наш математички језик израз „алгоритам“ што уствари латинизирано име аутора. Ријеч алгоритам означава било какав механичкпоступак који не мора да има везе са рачунањем; у средњем вијеку је означавао рачунањса децималним бројевима. Друга књига му је значајнија - „Хисаб ал-џабр вал мукабала“„Књига о рачуну алгебре и алмукабале“ односно „Учење о успостављању и двострукоодузимању“. Из конструкта „ал-џабр“ (свођење) настао је назив за алгебру. Ова књи

има 3 дијела: 1. дио – рјешавање алгебарских једначина свођењем на канонску форму. Нису ималнегативне бројеве у једначинама, ако имају одузимање тада пребацивањем на другстрану постаје сабирање (правило ал-џабр). Ако су са различитих страна знака једнакостчланови истог степена, онда се од већег одузима мањи (правило вал -мукабалуравнотежење). Једначина се дијели коефицијентом уз највећи стерен (правило ал- радДирхем је слободан члан, џизр или шај је коријен или ствар, мал је квадратни члан. Овиправилима Ал-Хорезми једначине (линеарне и квадратне) своди на неки од 6 канонски

облика гдје су коефицијенти једначине само позитивни бројеви: 1. квадрати су једнаки коријенима,2. квадрати су једнаки броју,3. коријени су једнаки броју,4. квадрати и коријени су једнаки броју,5. квадрати и бројеви су једнаку коријенима,6. коријени и бројеви су једнаки квадратима,Најпознатија квадратна једначина је . Конструишемо квадрат и н

свакој његовој страни правоугаоник висине , допунимо до квадрата и добијам

2. дио – кратко поглавље о геометријским израчунавањима

3. дио – примјена алгебре на рјешавање проблема са насљеђем



49

Ал-Хорезмијеве астрономске и тригонометријске (синус и косинус) таблице се такођналазе у арапским књигама које су касније преведене на латински језик. Његови радовсу одиграли значајну улогу у историји математике јер се преко њих западна Европупознала са индијским цифрама и арапском алгебром. Ahmed al hasan abu dzafar

Абу-Џафар, Ахмед и Ал-Хасан (синови Мусе Ибн Шакира) написали су књигу „Трбрата о геометрији“, гдје дају нови доказ Хероновог обрасца и ту се јавља тзбаштованска конструкција елипсе: забију се 2 кочића, узме се омча, затеже се описујући добијамо елипсу (збир растојања од двије фиксне тачке је константан). АбЏафар се занимао за астрономију, Ахмед за практичност и корисност механике, а АлХасан за геометрију. Tabit ibn kora

Табит Ибн Кора (835. – 901.) није примио ислам него је припадао арапском племен

Сабејаца (обожаваоци звијезда). Стварао је у Кући мудрости у Багдаду и организовао нипревода грчких књига. На нов начин израчунава површину одјечка параболе

ротационог параболоида (што је први урадио Архимед). Покушава да докаже 5. постулпри чему претпоставља да вриједи: линија чија је свака тачка на једнакој удаљености одате праве, је опет права (тј. еквидистанта дате праве је права), а ово је еквивалент постулата. Покушава да усаврши теорију пропорција и указује на пропусте дефинисањсложених пропорција у 5. књизи Еуклидових „Елемената“. Даје интересантно правило итеорије бројева, за пријатељске бројеве (збир дјелитеља једног једнак је другом, а зби

дјелитеља другог једнак је првом). Ако имамо просте бројеве такве да

пријатељски. За добијају се бројеви 220 и 284, и то једини пар за који су Грци знали. За , није прост. За и добијају парови пријатељских бројева, и за нема других пријатељских бројева. Ibn turk

Ибн Турк – сачуван је одломак његовог дјела. Анализира услове рјешивости квадратн једначине 4., 5. и 6. степена у геометријском облику којег није било код Ал-Хорезмија. Al nairizi

Ал-Наиризи – дао је опсежан коментар „Елемената“ и излаже доказ 5. постулата

Abu kamil

Абу Камил (850. – 930.) – живио је у Египту, био је алгебриста и наставио да ради н радовима Ал-Хорезмија. Алгебру од Ал-Хорезмија је усавршио у књизи „Књига алгебри и вал-мукабали“. У њој се појављују имена за више степене: каб – куб, мал мал



50

4. степен, мал мал шај – 5. степен, каб каб – 6. степен, 7. степен није знао како да назовмал мал мал мал – 8. степен. Рјешава само квадратне једначине, докази су конкретнијДаје низ правила за трансформацију једначина и њихово свођење на квадратне. Написа

је и „Књигу ријеткости у рачуну“. У њој рјешава системе неодређених линеарни једначина. Најинтересантнији је задатак о птицам

и наводи сва позитивна рјешењ

укупно 2676 рјешења. Арапе је интересовала астрономија. Преузимају полутетиве од Индуса. Ријеч „синус“ латински превод санскритске ријечи „џија“ написане на арапски начин. Користлинеарни календар. Арапска година има 354. дана, а године броје од хиџре, односно опреласка Мухамеда из Меке у Медину, 622. године. Al batani

Ал Батани (858.

–

929.) је један од

највећих арапских астронома. У његовим радовима садржан значајан дио тригонометрије. Дјело „Побољшање алмагеста“. Уводи

тригонометријских функција: . Појављује се

сферно косинусна теорема односно косинусна теорема за сферни троугао. Њемприпадају таблице котагенса за сваки степен. Abu l vafa

Абу-Л-Вафа (940. – 997.) – коментарисао је дјела Еуклида, Диофанта и ПтоломејНаписао је књигу „Шта је потребно занатлији из геометрије“. Рјешава низ геометријски

проблема. Извео је много конструкција помоћу шестара са константним отворомНаписао је и „Књига о томе шта треба да знају записивачи, писари и остали из рачуна“ 4 дијела: 1., 2. дио – рачун са цијелим бројевима и разломцима; 3. дио – мјерење фигур4. дио – разне примјене. Написао је још једну књигу која је изгубљена (извлачење 3., 4.5. степена). Извео је синусну теорему сферне тригонометрије, направио таблицу синуспрецизнију од Птоломејеве, увео дужи које одговарају секансу и косекансу, рјешава

једначине 3. и 4. степена. Ibn junis

Ибн Јунис (умро 1009.) – био је математичар и астроном. Предложио је формулу претварање производа косинуса у збир:

Al karadzi

Ал Караџи (умро 1019.) – написао је „Довољна књига о рачунању“, што је увод у његовглавну књигу „Ал Фахри“ која има 15 поглавља и има теоријски дио и задатке. Ту јизложио алгебру за оне који желе да је изучавају на вишем нивоу.



51

1. дио – изводи разне идентитете:

2. дио – има 250 задатака од који је најинтересантнији: , .

Абу Џафар Мухамед Ибн Хусеин – рјешава сличне проблеме:Ал-Самавал – ученик Ал-Караџија, рачуна са полиномима. Ал-Кархи је слиједио Диофанта и дошао до интересантних ствари у областирационалних бројева и до формула:

Проблем кубне једначине

У 10. вијеку Арапи доста систематски почињу да рјешавају кубне једначине, јављају секонтексту конструкције правилног седмоугла. Ал Кухи (умро око 995.) је конструисао правилан седмоугао.

Ал Бируни (973. – 1048.) је један од најпознатијих арапских математичара. Његовнајпознатије дјело је „Канон масуда о астрономији и звијездама“ у 11 књига које јнаписао 1030. године.; 1. и 2. књига су посвећене календару; 3. књига је посвећентригонометрији и има 10 поглавља: 1. глава: израчунава дужине страница правилног полигона (3,4,5,8,10-угла) уписаног круг (на основу геометријске конструкције) 2. глава: изводи тврђења евивалентна тврђењу за , и сл.

3. глава: конструкција правилног деветоугла



52

Рјешавањем једначине добијамо страницу правилног деветоугла. Првидеја је била нумеричко рјешавање ове једначине медотом сукцесивни

апроксимација, . Друга идеја је била преко конусних пресјек

. Даје

приближну конструкцију правилног деветоугла тиме што конструише угао од 40о што централни угао деветоугла. Конструише угао

( је централни угао правилног петоугла); подјели угао на 4 дијела и добија уга, који додаје на па добија ; дијели на 4 дијела и добија уга

па додаје на чиме добија сљедећу апроксимацију ; настављдање и добија низ апроксимација који конвергирају ка , што је централни угаправилног деветоугла.

4. глава: рјешава општи проблем трисекције угла, наводи 12 метода. 5. глава: израчунава однос пречника и обима круга

6.глава: израчунава таблицу синуса у којој је полупречник круга 1, користи шездесетичн разломке и иде до прецизности .

7. глава: објашњава кориштење таблица, уводи квадратну поред линеарне интерполације8. глава: рачуна , и даје таблицу тангенса са кораком9. и 10. глава: посвећене сферној тригонометрији;

4. књига је о астрономији; 5 књига о геодезији; 6. – 11. књиге су о кретању небески

тијела

Al mutaman

Ал-Мутаман (умро 1058.) – око 1040. је написао „Књигу савршенства“. Арапски рукопиове књиге је пронађен 1990. Садржи неке резултате за које се вјерује да су грчкопоријекла. Ту су Чевина теорема и резултат: дворазмјера се очува при централнпројекцији. Ibn al hajsam

Ибн Ал-Хајсам (латински Алхазен) (965. – 1041.) је велики муслимански физича

водећа личност у Египту. Најпознатије дјело је „Изооптика“. Пише о конструкцијправилног седмоугла, израчунава . Израчунао је и запремин

ротационог параболоида (парабола ротира око тетиве). Углавном се бавио оптиком. Прв је посматрао Сакеријев четвороугао. Доказао је данашњу Вилсонову теорем

. Ријешио је Алхозенов проблем: Из двије тачке које се налазе н



53

кругу треба повући праве тако да се оне сијеку на кружници и да у тачки пресјекобразују једнаке углове са нормалом. Тај задатак се своди на једначину 4. степена, Алхазен га је ријешио помоћу пресјека хиперболе и кружнице. Абу-л-Џуд је написао књигу „Општа теорија о кубним једначинама“ која је изгубљенПрви је ријешио конструкцију правилног седмоугла (није скроз тачна).Омар Хајам (1048. – 1124.) је био пјесник, математичар, астроном и филозоф. Постао познат по свом дјелу „Рубајат“. Његово најзначајније дјело је „Алгебра“ или „О доказимзадатака алгебре и валмукабале“. У њој су изложена систематска испитивања једначин1. и 2. степена (које рјешава алгебарски) и 3. степена (које рјешава помоћу конуснипресјека). Његова анализа није потпуна, не проналази сва рјешења. У другој књизи којој разматра тешкоће код Еуклида, Омар је аксиом паралелности замијенио низодругих претпоставки. Доказује 5. постулат сводећи га на сљедеће тврђење: ако имамдвије праве чије се растојање смањује, онда ће се те двије праве сијећи. Замјенио ј

Еуклидову теорију пропорција са метричком теоријом и том приликом је дошао днумеричких апроксимација ирационалности и до општег појма реалног броја. Његове скњиге и „Коментар о тешкоћама у уводима књига“ и „Тешкоће рачуна“. Шараф Ал-Дин Ат-Туси (1155. – 1213.) је написао дјело „О рјешавању кубни

једначина“. 1258. Монголи су опустошили Багдад, разорен је Багдадски калифат. 1492. арапске земље дефинитивно пропадају

Послије 1258. недалеко од Багдада је израстао нови научни центар близ

опсерваторијума у Мараги, који је изградио монголски владар Хулагу Насир Ад-Дин АТуси.

Насир Ад-Дин Ат-Туси (1201. – 1274.) је написао више дјела. Једно од њих је „Трактатпотпуном четвороуглу“. Написана је 1260. године, а оригинални превод је „Књига фигури и сјечицама“ и то је прва књига која је у потпуности посвећена тригонометријиСастоји се из 5 поглавља: 1. поглавље – рачунање са пропорцијама; 2. поглавље доказује неке теореме из претходне књиге потребне за рачунање. Сви докази с

једноставни и јасни. Даје више доказа Менелајеве теореме; 3. поглавље – посвећен

синусу и косинусу, доказује њихове особине; 4. поглавље – посвећено сфернтригонометрији, доказује Менелајеву теорему на сфери; 5. поглавље – рјешавањсферних троглова. Повушао је да докаже Еуклидов аксиом паралелности слиједећи томисли Омара Хајама. Ал Каласади (1412. – 1486.) се бавио алгебром. Први који је покушао да уведсимболизам у алгебру: ма +, илла -, м(мае) , сх(шај) , .



54

Ал Каши (1365. – 1429.) је персијски математичар. Рјешавао је једначине 3. степенпомоћу итерације и тригонометријских метода. Познавао је метод за рјешавање општиалгебарских једначина, која је данас позната под називом „Херонова шема“. Написао језначајна дјела: „Трактат о кругу“ 1424. гдје израчунава број на 17 децимала и „Кљуаритметике“ 1427. гдје објашњава општи преглед рачуна у 5 књига: 1. књига – рачунањса цијелим бројевима, јавља се биномни образац; 2. књига – разломци и рачунање

разломцима; 3. књига – рачун астронома, шездесетични разломци, десетични разломцпретварање 60-ичних у 10-ичне разломке и обрнуто; 4. књига – мјерење геометријскифигура, израчунавање површине и запремине; 5. књига – посвећена налажењнепознатих величина помоћу алгебре и валмукабале. „Трактат о тетиви и синусу“ изгубљено дјело. Ибн Ал-Бана (1256. – 1321.) се бавио аритметиком. Учио је из Еуклидових „ЕлеменатаИзводи формуле:

,

Изводи формулу за биномне коефицијенте:

Допринос арапске математике:

- преводе низ античких дијела, - измислили алгебру, проширили је на рјешавање кубних једначина помоћу конуснипресјека, - примјена тригонометрије и астрономије, увели и .

11. МАТЕМАТИКА У ЗАПАДНОЈ ЕВРОПИ

ОД ПРОПАСТИ РИМСКОГ ЦАРСТВА ДО ПРОНАЛАСКА ШТАМПЕ

MATEMATIKA U ZAPADNOJ EVROPI

OD PROPASTI RIMSKOG CARSTVA DO PRONALASKA ŠTAMPE

Под утицајем Светог Августина (345. – 430.) ублажава се одбојни став хришћана премнехришћанској науци. Северин Боеције (475. – 524.) је био из римске племићке породице. Желио је да преведсва Аристотелова и Платонова дјела на латински (није успио), да напише коментар



55

докаже да су им учења сагласна. Превео је нека Аристотелова дјела посвећена логици Порфиријев коментар Аристотела. Сачувана су његова дјела: „О математичкообразовању“ у 2 дијела, „Књига о музичком образовању“ у 5 дијелова, „Геометрија 1“ „Геометрија 2“. Док је у затвору написао је књигу „О утјехи филозофије“ гдје размишљо људској судбини, Богу, улози религије у животу. Бенедикт из Нурсије (480. – 547.) – 529. године је основао манастир Монте Казинсјеверно од Напуља. Основао је Бенедиктански ред и написао правило за живот калуђеру манастиру: „да буде више од 8 сати непрекидног одмора, 3-4 сата молитве, 4 сата учењи читања духовних књига и 6-8 сати физичког рада“. Сваки бенедиктански калуђер морао да направи препис неке књиге једном годишње и то је допринијело очувањписмености. Касиодор (480. – 575.) је у Калабрији основао манастир Вивариум. Дефинисао

рационалне и ирационалне величине: - чију мјеру можемо сазнати; I – нема

схватљиву величину мјере. Исидор из Севиље је написао „О поријеклу“ у 20 књига – објашњава природу стварпомоћу њених имена; 3. књига је посвећена математици. Велечасни Беда (672. – 735.) – позната су његова педагошка дјела: „О правопису“, „природи ствари“, „О временима“ и „О израчунавању времена“. У посљедње двије јобјаснио рачун на прсте, рачун са грчким и римским бројевима, рачун са разломцимнешто о астрономији. Карло Велики (око 800.г.) је подстицао трансформацију образовања. Иако је би

неписмен, подстицао је ученост. Тако долази до покрета Каролиншка ренесанса вријеме које је направљена реформа правописа; уведена су мала слова, размак измеђ

ријечи, појављује се читање у себи. Алкуин из Јорка (735. – 804.) је био Карлов дворски учитељ. Написао је књиг„Проблеми за изоштравање ума младежи“ – збирка од 53. задатка. 13. задатак је скупљање војске из 30 села; 18. задатак је о вуку, кози и купусу; 42. задатак је о голубовима на љествици са 100 пречага;

47. задатак је варијанта проблема о птицама (бискуп и хљебови) Герберт из Оријака (945. – 1003.) – посљедње 4 годије је био папа Силвестер II. Написа је „Књижица о дијељењу бројева“, „Правила рачунања на рачунаљци“ – сачувани су сампреводи. Увео је жетоне за рачунање на рачунаљци. Прављени су од кости или метала.



56

Крајем 11. вијека почиње освајање Блиског истока. Први који је преводио математичкдјела са арапског на латински је био Аделар из Бата (1075. – 1146.) и он је превео АХорезмија и Еуклида. Герардо из Тиволија је преводио у Барселони; 1146. је превео „Књигу о мјерењу

јевреја Абрахама бар Хије (1070. – 1136.). Књига се састоји из 4 поглавља: 1. поглављеосновни појмови из геометрије, површина фигура и сличност; 2. поглавље – рјешавају 3 типа квадратне једначине, са доказима из 2. књиге Еуклидових „Елемената“, рачуна с

површина троугла, круга ( ), елипсе (погрешно) и дата је кратка таблица тетива;

поглавље – подјела фигура; 4. поглавље – израчунавање запремина. Роберт из Честера је 1145. превео „Алгебру“ од Ал-Хорезмија.Јован из Севиље преводи 20-так књига од којих је најпознатија „Књига алгоризама практици аритметике“.

На Сицилији је преводио Холанђанин Вилијам из Мурбека (1215. – 1286.). Преводио Архимеда и Херона, а његови преводи су били буквални.Посљедица дизања нивоа учености су први универзитети. Први је био у Болоњи, био јпознат по праву. Париз је био познат по теологији, Падова по медицини. Средњовјековнуниверзитети су се састојали од 4 факултета: артистички (слободне вјештине, тривијум квадривијум), право (цивилно и духовно), медицина и теологија. На универзитетима сзнање образлаже, а требало се позивати на ауторитете, Свето Писмо итд. При доказивањсе гледало шта о томе пише у литератури (испити се појављују тек у 16. вијеку). Један опрвих који се бавио изучавањем логике био је Пјер Аделар (1079. – 1142.) који је биучитељ у Паризу. Он је у свом дјелу „Да и не“ детаљно образложио сколастичкпоступак логичког образлагања за и против. У дјелу „Дијалектика“ заснива формалнлогику. Због појаве разних јереси, прије свега богумила, оснивају се два нова калуђерск

реда: просјачки редови и бенедиктинци. Бенедиктинци су живјели у манастиримПрипадници просјачких редова су били у двије групе: Фрањевци (основани 1209.) Доминиканци (основани 1215.) и они су живјели међу народом. Већина професора нуниверзитетима су били или Фрањевци или Доминикаци. Они су били најученији дпојаве језуита. Најпознатији Фрањевци су Роџер Бекон и Томас Брадвардин,

Доминикаци Алберт Велики, Тома Аквински и Ђордано Бруно. Током средњег вијека спојављује један математичар који је био веома напредан за своје вријеме, а о њему се јакмало зна. То је Јорданус Неморариус који је живио у првој половини 13. вијека, негдјезападној Европи. Нагађа се да је можда и нека жена радила под тим именом (јер њимније било дозвољено бавити се науком). Добро је познавао Еуклидове „Елементе“ писао је књиге у том стилу. Сваку теорију је покушао да заснује аксиоматски. Написао ј



57

дјела „О рачунању тежина“ (13 теорема) и „Аритметика“ у 10 књига. Ту користсимболичке ознаке за бројеве али у геометријском смислу. Ту је извео низ особинбројева, са доказима. Затим, ту је дјело „Доказ о алгоритмима“, гдје објашњава рачунањса цијелим бројевима, извлачење квадратног и кубног коријена. Било је популарнњегово дјело „О задатим бројевима“ у 4 књиге. Писао је и о геометрији. Позната његова „Књига о троугловима“, такође у 4 дијела. Приписује му се и „Књига љубитељвјештина“ што су биљешке неког његовог ученика. Једну од најпознатијих средњовјековних књига написао је:

fibonaci

Леонардо из Пизе (Фибоначи) (1170. – 1250.) – то је „Књига о рачунаљци“. Написао ј је 1202., а 1228. је издао допуњено издање. Књига носи потпуно погрешан назив, јер сењој нигдје не спомиње рачунаљка. Има 15 дијелова, а штампана верзија књиге је прек450 страна. Најзанимљивији је 12 дио, дје рјешава одређене и неодређене једначин

сабира квадратне бројеве, а ту се појављује и задатак о кунићима (ту се јављајФибоначијеви бројеви). У 14. дијелу извлачи квадратни и кубни коријен, а 15. дио јпосвећен геометријским израчунавањима и рачуну алгебре и вал-мукабале. Написао је

„Пракса геометрије“ гдје користи . Затим, написао је и „Књигу квадрат

гдје рјешава проблем . Написао је и „Флос“, гдје рјешав једначину трећег степенаНајпознатији свештеник који се бавио анализом кретања био је:

Никола Орем (1323. -1382.) – он у књизи „Трактат о ширини форми“ наводи графиправе као приказ равномјерно убрзаног кретања. У дјелу „О пропорцији пропорција“ формулисао закон који одговара слагању изложилаца код бројева (правило множењстепена), а у књизи „Питања о Еуклидовој геометрији“ доказује да хармонијски редивергира:

У дјелу „Расправа о конфигурацијама квалитета и кретања“ сабира .



58

1348. у Европи долази до велике епидемије куге, гдје је умрло између

становништва. Долази до потпуног прекида свих развоја. Европи је требало 100 годинда постигне ранији ниво развоја.

ВИЗАНТИЈА

vizantija

У Византији је било боље опште образовање него у западној Европи. Постојао је Царскуниверзитет (право и медицина). Постојале су црквене и свјетовне школе. У 7. вијеку нуниверзитет долази (учитељ) Стефан из Александрије који је предавао о квадривијум

У његово вријеме био је познат математичар Тухик. Најпознатији математичар из топериода је био Лав Математичар (790. – 869.) – радио је у Цариграду. Као млад је достпутовао, ишао је по манастирима и тако се образовао. Од његових дјела ништа нијсачувано, али се зна да је хтио да направи библиотеку античких дијела. Сматра се да свсачуване књиге, тј. преписи, потичу из његове библиотеке. 1045. је обновљен Царски универзитет и на њему почиње да ради Михаил Псел (1018.

1078.) – управник на филозофији, бавио се математиком, али неуспјешно. Овуниверзите је радио до 1203. године, када је био пад Цариграда. Послије, када с

Византијци поново освојили Цариград, обновили су универзитет, а за управникуниверзитета долази Теодор Метохит (1260. – 1332.) – није био математичар. Максим Плануд (1260. – 1310.) – пише коментар (доста површан) прве двије књигДиофанта, „Рачун на индијски начин“. Његов ученик Мануел Мохопулос даје правило

конструкцију магичних квадрата.



59

Нићифор Григора (1305. – 1360.) – ученик Теодора. Написао је коментар „Алмагестапрецизно одређује помрачење Сунца, Мјесеца и дужину године. Никола Рабдас (14. вијек) – издао је Планудова дјела, са својим допунама. Сачувана сдва његова писма: 1. рачунање на прсте; 2. рачунање са разломцима. Посљедњу реформу универзитета спровео је почетком 15. вијека цар МанојлоПалеолог. Он је скупио раштркане школе по Цариграду и смјестио их у зграду болницкоју је подигао цар Урош II Милутин. Ту долази низ западних хуманиста да уче грчкиупознају се са Византијском културом. 1453. – Турци освајају Цариград.

12. УСПОН ТРГОВАЧКЕ РАЧУНИЦЕ И

СТАНДАРДИЗАЦИЈА МАТЕМАТИЧКЕ НОТАЦИЈЕ

USPON TRGOVACKE RACUNICE I

STANDARDIZACIJA MATEMATICKE NOTACIJE

Након проналаска штампе (1445. – 1446.) омогућено је распрострањивање књига, измеђосталог, и математичих. У самој математици у другој половини 15. вијека почињтрансформација алгебре, учи се тригонометрија, а математика постаје занимљива



60

трговце, што доводи до писања разних аритметика за трговце. Прва математичка књига одштампана 1478. године. То је „Бамбершка трговачка рачуница“ чији је аутор непознаОдмах потом се штампају и Еуклидови „Елементи“. Никола Шике (Chuquet, 1445. – 1488.) је 1484. написао књигу „Наука о бројевима“ у дијела, штампана тек 1880. У 1. дијелу је описао рачун са рационалним бројецима, у дијелу са ирационалним, а 3. дио је био посвећен теорији једначина. Он је први на западпочео да уводи симболизам у алгебру. Увео ознаке:

, aeg једнакост. Естијен де Ла Рош (1470. – 1530.) је 1520. одштампао књигу „Аритметика“ која је билхваљена као напредна, а касније, након поменуте Шикеове „Науке о бројевима“ 1880. утврђено да је већина садржаја преписана од Шикеа. Један од првих трговаца који се бавио математиком је био Јохан Видман (1462. – посли1498.). Он је 1489. написао књигу „Практична и згодна рачуница за све трговце“. Ту појављују савремени знакови + и – .Адам Риз (1492. – 1559.) је 1524. написао књигу „Кос“. Ту је описао рачун сапстрактним бројевима, а та књига је била значајна у ширењу рачунице у Немачкој.Криштоф Рудолф (1500. – 1545.) је био Чех који је живио у Њемачкој. Он је 152објавио своје најпознатије дјело „Практична и згодна рачуница помоћу вјештих правилалгебре која се обично називају кос“. Ту је уведен савремени знак за коријен (развио постепено од малог слова , од ) Ту се појављују и децималнни бројеви у облик

5.25 (5,25). Такође је увео ознаке за непознате.

Михаел Штифел (1487. – 1567.) је 1539. написао „Цјелокупна аритметика“, али штампана тек 1544. Он први почиње слободно да користи негативне бројеве. У књизи „алгоритму косистичких бројева“ је предложио да се непозната означава једним словом,да се за степен пише одговарајући број пута (нпр. ) ,

Петар Апијан (1495. – 1552.) је 1527. објавио „Ново и темељито подучавање свитрговачких рачунања“ у 3 књиге. Најинтересантнија је насловна страна гдје се појављујПаскалов троугао реда 9. Роберт Рекорд (1510. – 1558.) је био Енглез и 1541. године је објавио књигу „Основвјештина“, гдје објашњава рачунање на рачунаљци. 1557. је објавио и „Брус разума“, гдсе први пут појављује савремени знак , са образложењем: „А да избјегнем досаднпонављања „је једнако са“ ставићу , што често радим, јер нема двије ствари које вишличе.“ У 13. и 14. вијеку, па и у 15. вијеку се забрањивало кориштење арапских цифар

јер су могле и испред и иза да се дописују цифре. Римске бројеве су „завршавали“ како



61

не би могло дописивати. Арапски бројеви се почињу више користити у 16. вијеку, накошто је штампа распрострањена. Томас Хериот (1560. – 1621.) је био веома талентован, један од првих математичара кој

је научио да пуши лулу.Чак је и написао неко дјело у којем свима препоручује да пушУмро је од рака на језику, због пушења. Открио је пјеге на Сунцу прије Галилеја, али оније објављивао своја дјела. Тек 1631. је штампана његова књига „Примјена аналитичкивјештина на рјешавање алгебарских једначина“. Међутим, штампу су водили лошматематичари, па је све остало нејасно и неодређено. Једино су остали у употреб

за множење. Израчунао је дужину логаритамске спирале: .

Симон Стевин (1548. – 1620.) је био Холанђанин, инжењер и требало је да организујшколу за инжењере. За те потребе је 1585. написао двије књиге: „Десетина“ је директнпосвећена објашњењу кориштења децималних бројева, а у књизи „Аритметика“, која објављена 1585. године, детаљно објашњава рачун са полиномима.

Ту уводи ознаку за степен: 5 2 . Ту се јавља и степеновање рационални

бројем: . Увео је дјељење полинома и открио паралелограм сила.

Албер Жирар (1595. –1632.) је био француски протестант који је избјегао у ХоландијНајзначајније дјели му је „Ново откриће у алгебри“, гдје уводи ознаку за коријене виш

реда. Залагао се за признавање негативних и комплексних рјешења једначине. Први тврдио да алгебарска једначина n-тог степена има n рјешења.

13. УСПОН АЛГЕБРЕ И ПРОНАЛАЗАК ЛОГАРИТМА

Uspon algebre i pronalazak logaritama

Професор универзитета у Болоњи, Сципион дел Феро (1465. – 1526.), који је 149постао професор и остао до смрти, је негдје између 1505. и 1515. успио алгебарски д ријеши једначину трећег степена, „случај куб и ствар једнака је броју“, тј. облик

. Међутим, он ништа о томе није објавио. Његов ученик Антонио Мари

Фиоре је знао за његово откриће, те је почетком 1535. на математички двобој изазваНиколу Тартаљу, гдје му је дао задатке тог типа.



62

Никола Тартаља (1499. – 1557.) је био јако талентован. Говорио је да је око 153 ријешио случај . Те Фиорове задатке Тартаља је ријешио 12.02.1535. побједио, а сматра се да је ускоро ријешио и општи случај. Општи случ

рјешава се на сљедећи начин:

смјена :

узмемо и добијамо једначину облика Уведемо смјену

Изаберемо тако да је , а остаје , , тј.

Одавде се израчунава , па , па .

kardano

Ђироламо Кардано (1501. – 1576.) је био љекар, али је био ванбрачно дијете па нисхтјели да га приме за љекара. Студирао је медицину иако је отац хтио право. Као студен

је знао вријеђати професоре и друге људе. Јако пуно је коцкао. Одсјекао је сину увБавио се и астрологијом, написао је Исусов хороскоп, што му никако није добро дошлНаписао је и свој хороскоп гдје је предвидио кад ће умријети, али није погодио (преста

је и да једе да би умро по хороскопу). Прославио се лијечећи бискупа у Шкотској који боловао од астме. Кардано је схватио да бискуп спава у прашини и прописао му свиленпостељину, што се испоставило као успјешно. Волио је математику и интересовао се зкубну једначину па је питао Тартаљу за њено рјешење. Након што се заклео на Јеванђељда ће то тајити, Тартаља му је објаснио како се то ради. Али када Кардано 1542. сазна д

је то знао дел Феро, он и његов ученик Лодовико Ферари (1522. – 1565.) оду код деНаре који им покаже свеске свог таста. Након тога Кардано је написао „Велика вјештина1545., гдје је дао рјешење кубне једначине и рекао је, да је формулу изумио ЛудовикФерари. Међутим, код једначине 3. степена је био несводљив случај, када једначина имсва реална рјешења, не могу се избјећи комплексни бројеви. Код једначине



63

се према Кардановој формули добије: , а рјешење. То је био једини разлог што Тартаља није ништа објавио о томе. Излагање рјешавању једначине 4. степена се даје у 26 глави „Велике вјештине“. Фераријепоступак је отприлике:

. Сада бирамо тако да израз у загради буд

потпун квадрат, тј. да је , а ово је кубна једначина по . Накотога једначина је облика , т

. Ферари је умро тако што га је сестричинотровала због насљедства. Рафаеле Бомбели (1526. – 1572.) је био инжењер, бавио се исушивањем мочвара. Главнматематичко дјело му је „Алгебра“ штампано у Венецији 1572. Желио је 5 дијелова, ал

је написао само 3. У 1. дијелу извлачи 2. и 3.. коријен, најзанимљивије је вађење коријена из бинома. У другом дијелу објашњава рјешавање једначине прва 4 степенпосебно 3. и 4. степена. Једноставније је објашњавао рјешавање једначина него ФерарДруги дио почиње рјечима којима уводи комплексне бројеве. Он означава bi са pio

meno за b>0 (више од мање), а са meno di meno за b<0 (мање од мање). Међутим, то једаље остало прилично нејасно. Онда доказује да Кардано-Тартаљова формула важи када се јаве комплексни бројеви. У 3. дијелу „Алгебре“ је збирка од око 300 задатака прчему је јако пуно Диофантових. Fransoa vijetФрансоа Вијет (1540. – 1603.) је био правник. Прославио се 1590. у францускшпанском рату, када је успио разбити компликовану шпанску шифру. Од 1573. је био дворској служби. Поред математике, интересовала га је и грчка филозофија. Његова иде

је била да се све величине означавају словима, познате сугласницима, а непознатсамогласницима. 1591. је објавио књигу „Увод у аналитичку вјештину“. Та вјештина састоји од зететике – постављање једначина; егзегетике – рјешавање једначина пористике – провјера рјешења. Написао је и „О препознавању и поправљању једначин

1591., а штампана је тек 1615. Ту разликује двије врсте израчунавања: нумерички рачун рачун са врстама (алгебарски рачун). На крају књиге се појављују и Вијетове формуле з једначине од 2. до 5. реда. Он користи велика слова и кубна једначина, која је данашњем облику се пише као (сви чланови морају бит

запремине). За једначину он предлаже смјену Тиме се једначин



64

своди на , а онда се стави . Сљедеће чиме се прославио

рјешавање једначине 45. степена коју му је поставио холандски математичар Адрија

фан Ромен. За 45 минута Вијет је навео 23 рјешења. Вијет је њему дао да конструишкруг који додирује 3 задата круга. Ван Ромен је то ријешио помоћу конусних пресјека,

Вијет је то ријешио шестаром и лењиром. Вијет је извео и први развој броја бесконачан производ. Површина n-тоугла уписаног у круг полупречника 1

. Ако се искористи: добије

. Кренуо је од квадрат

. Ако пустимо имамо . Сада искористим

и и имамо

У свом дјелу „Објашњење рјешавања чистих и проширених степена“, које је штампан1600. године у Паризу, објашњава систем еквивалентан кинеском небеском елементодносно Хорнеровој шеми. Овај рад је за штампу припремио Марин Геталдић (1568.

1626.) из Дубровника. Превео је и Архимеда на наш језик.

Албер Жирар (1595. – 1632.) је написао „Ново откриће у алгебри“, објављено 162године у Амстердаму, гдје наводи ознаку за коријен вишег реда и разломљенизложиоце. Објашњава признавање негативних и комплексних бројева као рјешењ

једначина. Објавио је и формулу за површину сферног троугла. Први је тврдио д једначина n-тог степена има n рјешења.

Крајем 16. вијека долази до великог математичког открића.neper

Џон Непер (1550. – 1617.), шкотски барон, је открио логаритме. Своје резултате

објавио 1614. године у књизи „Опис канона чудесних логаритама“, гдје је описао својствлогаритама и дао таблице за логаритам синуса са прагом 1’. Поступак израчунавања објављен тек 1619. Раније је било познато да се приликом множења степена изложиоцсабирају, међутим, то није била идеја за настанак логаритама. Идеја је била геометријскПосматрао је полуправу и дуж. Нека се тачка C креће од A до B, а C’ од A’ по полуправА’x тако да су им почетне брзине једнаке и C’ се креће константном брзином, а



65

успорава тако да је успоравање пропорционално остатку дужи који треба да пређе. Аких заустави у тренутку to, он дефинише дужину А’C’ као логаритам дужине BC. Узима д

је јер су тада таблице синуса биле са тачношћу .

се увећава константном брзином , па је утренутку ,

За (прије кретања) имамо да је ,

што даје . Дакле,

Тако да је Неперов логаритам . Непер је систематизовао и формул

за површине сферних троуглова. У контраверзном дјелу „Тумачење откровења пЈовану“ је „доказао“ да је папа антихрист. Занимљива је анегдота како је открио лоповпомоћу пијетла. Наиме, посуо је пијетла лугом и држао га у замраченој просторији, гд

је уводио осумљичене за крађу, говорећи да ће пијетао када га додирну открити ко

крадљивац. Прави лопов није смио да дотакне пијетла, па је једини изашао чистих руку.Henri brigs

Хенри Бригс (1561. – 1630.) са Оксфорда, заинтересовао се за Неперове логаритме отишао у Единбург да упозна Непера. Прво га је пола сата само гледао са дивљењемЗаједно су дошли на идеју да буде а Тако се дошло длогаритма са основом 10. Бригс је поправио грешке које је направио Непер и објавитаблицу вриједности логаритмама (Бригсови логаритми) 1624. године у књиз„Логаритамска аритметика“ (ту су логаритми израчунати на 14 децимала). Он је уве

појмове мантисе и карактеристике. Jost birgi

Јост Бирги (Bürgi, 1552. – 1632.) је негдје између 1603. и 1611. рачунао своје логаритмдругачије од Непера, али им није придавао велики значај. Тек 1620. је објавио својтаблице логаритам у књизи „Аритметичке и геометријске прогресијске таблице “. Ту с



66

логаритми били црвени, а антилогаритми црни. Ове је таблице користио Јохан Кеплер зсвоја астрономска истраживања.

Вилијам Утред (Oughtred, 1575. – 1660.) је допринио популаризацији математике Енглеској. Био је свештеник и давао је бесплатне инструкције из математике свакозаинтересованом. Најпознатији његов ученик је Џон Валис. Објавио је „Кљуматематике“ 1631., гдје је предложио око 150 разних симбола, од чега је у пракси остасамо знак за множење. Пронашао справу (кружно логаритамско рачунало) израчунавање, објављено у књизи „Пропорционални кругови“ 1632. 1633. је објављенобично логаритамско рачунало.



67

14. МАТЕМАТИКА У ФРАНЦУСКОЈ

Matematika u francuskoj

mersen

Марин Мерсен (1588. – 1648.) се дописивао са већином математичара свог времен(Декарт, Паскал, Галилеј, Ферма). У математици је познат по Мерсеновим бројевим

. Ако је сложен број, тада је и сложен, међутим, ако је прост број,не мора да буде прост. Мерсен је говорио да је прост

Ту је направио двије грешке и три пропустНаиме, су сложени, а прости су . Неки мисле да је 6штампарска грешка, да то требао бити 61, јер је Мерсенов рукопис био доста нечитак.Rene dekart

Рене Декарт (Descartes, lat. Cartesius, 1596. – 1650.) је као дијете био доста болешљив, пму је дозвољавано да дуже спава. Повремено је устајао да запише неколико редова, потом се враћао у кревет. Након школовања је отишао да студира право. Од 1618. д1626. се пријављивао у разне војске јер је желио да види свијет. Догурао је до чинофицира. Од 1629. до 1649. је радио као приватни научник по Холандији и често мијењао мјесто боравка (које је увијек знао Мерсен јер су се дописивали). 1649. пристао да оде код шведске краљице Кристине да је подучава филозофију. Она јтражила да јој држи часове ујутру између 5 и 9. Те часове је држао у библиотеци гдје нибило гријања, а морао је да долази и прије 5 да краљица не би чекала. Ту се прехладидобио грип и умро 11.02.1650. године. Бавио се филозофијом, а повремено математикомУ ноћи са 19. на 20. септембар 1619. уснио је три сна, што је у њему пробудило жељу знауком. Питао се како доћи до стварног знања у нама. Он каже: „Ја у све могу дсумњам.“, те тако долази до „Мислим, дакле постојим.“ Интересовала га је природнфилозофија, желио је да схвати природу ствари. Имао је идеју да напише представу цијелом свијету и почео да пише књигу „Свијет“. Међутим, након осуде Галилеја 163напустио је ту књигу и објавио је само уводни дио 1637. године „Расправа о методи какдобро управљати својим разумом и тражити истину у науци“. Написао је и три додатк

„Метеори“, „Примјена у оптици“ и „Геометрија“, гдје је примјенио своје методе настрономију, оптику и математику. „Геометрија“ има 116 страна, подијељена је у дијела. Први дио је уводног карактера, гдје објашњава провођење проблема (Папусопроблем 3 и 4 праве) на алгебарски начин. Други дио је принципијелно – филозофсккарактера. Ту објашњава које геометријске криве се могу разматрати алгебарски. Туводи конструкцију нормале на криву (своди се на тангенту). Узме двије тачке на крив



68

и тражи једначину круга са центром на x-оси, који садржи те двије тачке. Затим пусти ддруга тачка тежи ка првој, потом споји центар круга са том тачком и то је нормала. Уве

је метод неодређених коефицијената. Трећи дио је посвећен теорији једначина. Тсистематски објашњава правила записивања, с тим што умјесто и умјестзнака . За означавање познатих, уводи мала слова са почетка абецеде, а означавање непознатих, мала слова са краја абецеде. Декарт је први од алгебре направиматематичку дисциплину која не захтјева геометријске доказе. То доводи до тога, далгебра временом постане важнија од геометрије у развоју математике. Он увијек полазод геометрије па прелази на алгебру. Касније је дошло до потпуне трансформације, те сполази од алгебре, што доводи до појма функције. Декарт је био прилично умишљенсви су знали мање од њега. Његова „Геометрија“ је прилично нејасна, а он каже да је тнамјерно оставио тако, да други у Паризу не би могли рећи да су то већ знали. ЗначДекартових дјела је двојак: 1. од Декарта алгебра се користи као валидан доказ геометријских теорема,

2. алгебра има своју симболику и нема везе са геометријом.

Рачун и симболизам које је Декарт увео допринио је даљем развоју математике. 164године се издају Вијетова сабрана дјела у којима се за једначине користе Декартовознаке. Математичари су брзо прихватили ту Декартову нотацију. То доводи до даље

развоја алгебре, развоја функције и инфинитезималног рачуна (инт. и диф. рачунаДекарт је доста добро познавао и инфинитезималне методе свог времена и имао је идејза рачунање површине испод циклоида.

Pjer fermaПјер Ферма (1601. – 1665.) је био судски чиновник, а математиком се бавио из хобијали се бавио суштинским проблемима. 1636. године је Мерсен послао рад „Увод у равни просторна мјеста“, гдје скицира доказ да квадрати полином од двије промјенљивпредставља конусни пресјек и обратно. Тешко је рећи да ли је аналитичка геометрипостојала прије Декарта и Фермаа. Полазећи од криве, помоћу координата сизрачунаване једначине кривих. То је још радио и Аполоније. Међутим, фалило је да сполазећи од једначине дође до криве. То су први урадили Ферма и Декарт па се он

сматрају творцима аналитичке геометрије. Поред тога, Ферма је био заинтересован и зтеорију бројева. Једно од његових првих открића је била Мала Фермаова теорема: Ако прост број који не дијели , тада је . (Ово је доказао Лајбниц, прек

биномног обрасца индукцијом.) 1624. је изашао превод Диофанта на латински, а Ферма је своја запажања записао нмаргинама те књиге. Једно од тих запажања је: Ако је прост број, тада се н



69

јединствен начин може представити као збир два квадрата, . Отакође тврди да се сваки природан број може записати као збир највише 4 квадрат

. Од свих тврђења на маргинама, најзанимљивија Велика Фермаова теорема: Једначина за нема рјешењ

Он каже: „Имам диван доказ за то, али је маргина сувише уска да га запишем.“ (доказ зОјлер, Ферма, Дирихле, Лежандр, Кумер, Ендрју Вајл

1995. године).

Ферма је ријешио проблем израчунавања лимеса

тако што је рачунао површину испод криве .

Ферма је међу првима израчунао . Његова идеја је била да н

користи равномјерну подјелу сегмента , већ подјелу po геометријској прогресиј

за .



70

Ферма је имао идеју и за тражење екстремне вриједности. Он каже: Нека је нек

израз. Формирамо , затим у ставимо и то изједначам

са нулом. Blez paskal

Блез Паскал (1623. – 1662.) – са њим је Ферма започео теорију вјероватноће. Разматралсу проблем: Ако два човјека коцкају тако да онај ко први оствари три побједе, носи саулог, а затим буду принуђени да прекину при резултату 2:1, у којем односу је праведнда подијеле улог? Овај проблем су ријешили одвојено, што су установили препискомОба су добили да је праведно да улог подијеле у односу 3:1. Паскал је био јакталентован, а поред математике бавио се и филозофијим. Са 15-16 година је написаобимно дјело о конусним пресјецима, али то никада није одштампано. 1640. год. објавио „Есеј о конусним пресјецима“ гдје је дао Паскалову теорему: Ако продужим

стране шестоугла уписаног у конусни пресјек, тада пресјечне тачке наспрамних странлеже на једној правој. Поред конусних пресјека, бавио се и инфинитезималним методамНаписао је рад о израчунавању површине лопте. Уочимо једну тачку на кружници посматрамо мало парче тангенте на круг у тој тачки (дужине ). Из сличности троуглоимамо . Ако ово заротирамо ће описат

омотач зарубљене купе. Површина тог омотача ће бити управо . Ако сада замислимда узимамо неограничено мале (а тиме и ) па их саберемо за сваку тачку, од ћда се накупи таман , а збир површина омотача купа ће бити једнак половини површин

лопте, тј. .



71

Касније је израчунао (у данашњим ознакама) за

Написао је и нешто о Паскаловом троуглу, гдје је описивао особине биномникоефицијената, а доказивао их је математичком индукцијом. Његов трактат о Паскалово

троуглу појавио се тек послије његове смрти. П аскал је први дао одговарајући облипринципу математичке индукције. И Ферма је користио принцип математичке индукцијсамо у другом облику. Zirar dezrg

Жирар Дезарг (1591. – 1661.) је био грађевински инжењер и архитекта. Покушавао направити јединствену теорију конусних пресјека помоћу пројекције. Анализира онособине геометријских фигура које се очувају при пројектовању, што се данас користи пројективној геометрији. Творац је пројективне модерне геометрије. Уводи ни

пројективних појмова као бесконачно далеке елементе. 1639. издаје књижицу „Скицпројекта покушаја објашњења догађаја при сусрету конуса и равни“, који је у 50-апримјерава штампао о свом трошку. Ту систематски излаже теорију конусних пресјека спројективног становишта. Један од првих који је схватио његове методе био је Абраха

Бос, који је у једној својој књизи објавио задатак „Универзални поступак господинДезарга за кориштење перспективе“. Дезаргове идеје је прихватио и Паскал. Дезарг познат и по теореми: Нека су дати троглови . Тада су

конкурентне ако и само ако из ,

слиједи да су колинеарне. Филип де ла Ир (de la Hire, 1640. – 1718.) – присталица Дезаргових пројекција геометрији

1679. – објавио је дјело „Нови елементи конусних пресјека“ на француском

1685. – објавио дјело „Конусни пресјеци“ на латинском – испитује конусне пресјекпомоћу пројективних метода.



72

15 . ИНФИНИТЕЗИМАЛНЕ МЕТОДЕ И ОТКРИЋЕ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОГ И

ИНТЕГРАЛНОГ РАЧУНА

INFINITEZIMALNE METODE I OTKRICE DIFERENCIJALNOG I INTEGRALNO

RACUNA

KEPLERЈохан Кеплер (1571. – 1630.) је рођен у Штутгарту и радио је као професор у ГрацБавио се астромијом и математиком. 1596. је написао дјело „Космичка мистерија“ у којеописује Сунчев систем помоћу правилних тијела: Сатурнова сфера – коцка, Јупитеровсфера – тетраедар, Марсова сфера – лопта, Земљина сфера – додекаедар, Венерина сфер

– икосаедар, Меркурова сфера – октаедар, у чијем саставу је Сунце. Покушавао математички да објасни космос. 1609. је написао дјело „Нова астрономија“ у којемизноси прва два Кеплерова закона:

1. Тијела се око Сунца крећу по елипсама, 2. Брзина тијела које се креће око Сунца пропорционална је површини. 1611. је написао дјело „Диоптика“ гдје објашњава конструкцију Кеплеровог телескопмада га никад није направио. Тај телескоп се касније доста користио (више негГалилејев). 1615. пише дјело „Стереометрија винских буради“ гдје је израчуназапремине тијела која настају ротацијом конусних пресјека око осе која са тим конуснипресјеком лежи у истој равни. 1619. је написао „Хармонију свијета“ гдје излаже трећКеплеров закон: Квадрат периода обиласка планета око Сунца пропорционалан кубовим

њихових средњих удаљености од Сунца. Написао је још 3 књиге о кометама. Био краљевски астроном у Прагу, гдје је наслиједио Тиха Брахеа, послије његове смрти. galilej

Галилео Галилеј (1564. – 1642.) није био математичар, али ипак заузима истакнутмјесто у историји математике. 1606. је написао дјело „Операције са геометријским војничким шестаром“. Његова главна дјела су дјела о кретању, чиме се замјерио нарочит



73

професорима филозофије који су изучавали Аристотелову филозофију. Галилеј јпропагирао примјену математичких метода у изучавању природних наука. Написао књигу „Расправа о два система свијета“, Тиме је проглашен за јеретике и 1633. је признада је кривовјерје Коперникова доктрина да се Земља окреће око Сунца. На излазу из собу којој је био присиљен да то призна, промрмљао је: „Ипак се окреће“. Своје идеје анализи, односно инфинитезималним методама ни на једном мјесту није систематскизложио, него је настојао да заинтересује и друге научнике, нарочито своје ученикТоричелија и Кавалијерија, за рјешавање таквих проблема. Галилеј је указао нпарадоксалан однос између скупа квадрата и скупа свих бројева и дошао до значајнозакључка, да не треба без резерве преносити на бесконачности оне односе који су тачнза коначне величине. kavalijeri

Бонавентура Кавалијери (1598. – 1647.) је био Галилејев ученик који је 1619. поста

професор математике у Болоњи. Заинтересовао се за инфинитезималне методе. 163објављује дјело „Геометрија изведена на нов начин, помоћу недјељивих континуума“ ил„Геометрија недјељивих“. То је обимна књига са око 700 страна, има 7 дијелова. 1. дио – особине равних и просторних линија

2. дио – метод недјељивих, особине троугла и паралелограма

3., 4. и 5. дио – површине и запремине фигура које се добијају помоћу конусних пресјека6. дио – површина Архимедове спирале, особине параболоида, цилиндра... 7. дио – рјешава разне проблеме.

Кавалијери је у примјену увео Кавалијеријев принцип гдје посматра двије фигуре F и F’и узима један правац у равни. Фигуре сијече линијама паралелним са тим правцем. Аксу одговарајуће дужи, добијене у пресјеку са фигурама, у односу за билкоје тачке , тада је , што је претеча интеграла. У 7. дијелу даје други метод за израчунавање површине и запремине тијела, за шта користи лим

. За рачуна збир:

__________________________________



74

Добија

Писао је о конусним пресјецима, тригонометрији, оптици, астрономији,... Дописивао сса Мерсеном, Галилејем, Торичелијем. 1647. пише „Шест геометријских вјежби“.

четвртој вјежби повећава ,

GULDIN

Паул Гулдин (1577. – 1643.) је радио као професор на језуитским колеџима. Главно дјел је „Центробарика“ у којем изводи правило за површину и запремину обртних тијела (т је било познато још од Папоса). Гулдиново правило: 1. Величина површи која настаје обртањем лука криве око осе која га не сијече, једнака производу дужине лука криве и дужине круга чији је полупречник растојање тежиштлука криве од осе. 2. Запремина тијела које настаје ротацијом криве око осе која не сијече криву, једнака јпроизводу површине фигуре и дужине круга чији је полупречник растојање тежишт

фигуре од центра ротације. Напао је Кавалијерија да је покрао неке његове принципе, а Кавалијери 1647., да би соправдао, објављује „Шест геометријских вјежби“. greguar

Грегyaр од Сен-Венсана (Gregoire de Saint-Vincent, 1584. – 1667.) се школовао н језуитском колеџу у Риму, живио је и радио у Холандији. Тамо је написао обимну књигизмеђу 1622. – 1626. „Геометријско дјело квадратуре круга и пресјек конуса“. Рукопиове књиге штампан је тек 1647. године. Квадратура круга коју је ту објавио била јпогрешна. Најинтересантније је извођење особина површи испод хиперболе.

је произвољно

Доказ је извео геометријски, а данас се то лако докажепомоћу интеграла:



75

Његов ученик, Антонио Де Сараса, је примјетио да површина има логаритамскособину: .

Жил Персон де Робервал (1602. – 1675.) је био члан групе математичара окупљене окМерсена. Био је професор Краљевског колеџа. Тек послије његове смрти, јавност супознала са његовим открићима, када су 1693. скупљени његови рукописи и штампанпод називом „ Расправа о недјељивим“. 1634. Робервал открива површину испод једнолука циклоиде, . Робервал открива синусоиду као криву и испитује њен

особине. Конструише тангенту на циклоиду. toriceli

Еванђелиста Торичели (Torricelli, 1608. – 1647.) је један од посљедњих Галилејевиасистената, Кавалијеријев ђак. Испитивао је Кавилијеријев начин израчунавањповршине и запремине тијела и извео низ његових резултата на једноставан начин. Успи

је да израчуна запремину бесконачног тијела насталог ротацијом хиперболе око у-ос

Посматрајмо хиперболу . која се окреће око у-осе. Подијелимо ово тијело н

цилиндре. Сваки од тих цилиндара има исту површину: једнаки су површини круга полупречника . Тако је запремина једнака збиру површинових кругова, односно запремини цилиндра чија је основа овај круг: . З

случај добијамо .

Торичели је објаснио збир геометријске прогресије:

НАПОМЕНА: У ово 15. испитно питање улази и Ферма и Паскал (стране 66. и 67.) Џон Валис (1616. – 1703.) је проучавао радове Кеплера, Кавалијерија, РобервалТоричелија,... Био је професор геометрије на Оксфорду. 1655. је објавио књиг„Аритметика бесконачности“. Није се трудио да да тачне доказе већ да објасни како с

резултати могу изводити. Користи непотпуну индукцију:



76

Покушао је да израчуна , што је површина четвртине круга полупречник1. Покушао је интерполацијом да добије формулу за то израчунавање, али није успи

Добио је да је . Валесове методе за проучавање бесконачних процеса с

често биле примитиве, али је Валис значајан јер је смјело баратао са бесконачни редовима, бесконачним производима, оперисао са имагинарним изразима, негативним

разломљеним изложиоцима. Он је писао умјесто . Увео је хипергеометријски ред

хипергеометријску функцију коју касније изучава Ојлер:

Nikola merkator

Никола Меркатор (1620. – 1687.) је 1667. објавио књигу „Вјештина логаритама али нолак и тачан метод за конструкцију логаритама“ у којој даје ред за логаритам. Књига ссастоји из 3 дијела: 1. и 2. дио – таблице логаритама; 3. дио –извођење реда за логаритам

односно површина испод хиперболе

Он посматра површину испод хиперболе. У општем случају своди на:

. Користи Кавалијеријев резултат:

Рене Франсоа де Слиз (Sluse, 1622. – 1685.) је био калуђер, живио је и радио Француској. 1652. је открио оно што бисмо данас назвали извод имплицитне функциј(само за полином). То је проблем конструкције тангенте на функцију облика

1673. је штампао Слизово правило.



77

Јохан Худе (Hudde, 1628. – 1704.), градоначелник Амстердама; 1657. је изда„Математичке вјежбе“. Направио је правило за вишеструке корјене.

гдје је аритметичка прогресија

Добијамо да је:

Худеово правило: Ако функција има двоструку нулу, тада је она и нула првог изводЗнао је да ако функција има екстрем у тачки , тада је .

Јан де Вит (Witt, 1625. – 1672.) је објавио Декартово дјело, директно извео конуснпресјеке и увео појам директрисе, однос директрисе и конусних пресјека.

Вилијам Нил (Neil, 1637. – 1670.) је 1657. успио да израчуна дужину лука полукубнпараболе, односно криве . Касније се та парабола назива Најлова парабола. Кристофер Рен (Wren, 1632. – 1723.) је 1658/59. узрачунао дужину лука циклоиде. 166долази до великог пожара у Лондону. Рен се тада почиње бавити архитектуром. Његовнајпознатије дјело је катедрала Светог Петра. Хенрик фaн Херат (Heurat, 1633. – 1660.), Холанђанин, бавио се ректификацијокривих. Дјело „Трансформација кривих линија у праве“, објављена 1659. године.

Нека је дата крива. је права тако да вриједи.

Кристијан Хајгенс (Huygens, 1629. – 1696.) је 1654. написао дјело „О проналасквеличине круга“. Израчунао је дужину лука .



78

Доказао је да се 9 децимала броја може пронаћи уписивањем и описивањем правилно60-угла. Дјело „О рачунању у игри коцке“ је прва публикација на тему вјероватноће ко

је била математички тачна. Главно дјело „Осцилујући часовник“; 1657. је написао идеј1667. је завршен рукопис, 1673. је штампан, 5 поглавља. Направио је часовник са клатнои анализирао клаћење клатна. Прецизно је установио закон клаћења, по којој кривтреба да се креће клатно, а да интервал клаћења не зависи од амплитуде. Показао је дако се клатно не креће по кругу, већ по луку циклоиде, да тада интервал неће зависити оамплитуде.Прославио се и математичким открићима. Био је Декартовац, позван да будпредсједник Француске академије наука, открио је Сатурнов прстен, испитивао таласнтеорију свјетлости. Послије његове смрти, 1703. је објављено његово дјело „Опипланетарног аутомата“. gregori

Џејмс Грегори (1638. – 1675.), Шкот, од 1663. до 1668. борави у Италији, гдје се упозна

са методама недјељивих. 1667. у Падови штампа „Права квадратура круга и хиперболеПрви пут користи термин „конвергира“. Развија биномни образац за рационалн

експонент, развија , … у редове. Сва извођења су геометријска. 1668.

написао „Универзални дио геометрије“ гдје је покушао да докаже да није рационаланда је трансцендентан, али му доказ није убједљив. Исак Бероу (Barrow, 1630. – 1677.) је био професор на Кембриџу, пред крај живота јпостао краљев исповједник. Професуру је напустио и предложио да га наслије њего

ученик Исак Њутн. 1670. је објавио књигу „Предавања о геометрији“ у којој је покушада да општу формулу инфинитезималним разматрањима. Isak njutn

Исак Њутн (1642. – 1727.) је студирао на Кембриџу, а издржавао се тако што је бислуга богатијих студената. Чувао је све папире па је његова биографија добро познатНије га претјерано интересовала математика. Бавио се оптиком, интересовала га јприрода свијетлости, али нарочито алхемија. Једном се чак отровао живом јер је сталннешто експериментисао, једва је остао жив. 1664. у Кембриџу се појавила кугУниверзитет се затвара, а Њутн одлази мајци на имање. Те двије године на имању су мбиле научно најплодније (1665., 1666.). Тада открива биномни образац, природу бој(односно Њутнову теорију свијетлости), закон гравитације, диференцијални и интегралн

рачун. 1666. пише „Расправу о флуксијама“ – то је био први рад којим се Њутн хтипоказати као добар математичар. 1669. пише рад „О анализи помоћу једначина сбесконачно много чланова“, штампан 1711. године и подстакнут Меркаторовом књигом

развоју логаритма у ред. Ту развија низ функција у редове. 1671. пише обиман рад од 30



79

страна „О методама редова и флуксија“ који је покушао штампати, али није успиШтампана је тек 1736. године. Садржи елементе диференцијалног и интегралног рачунПромјенљиве назива флуентама, а први извод тих промјенљивих флуксијама. Ту изложена примјена диф. и инт. рачуна на 12 примјера, на налажењу минимума максимума, интеграција методом смјене, дужина лука криве. Његово најпознатије дјел

је „Математички принципи природне филозофије“, објављено 1689. које садржаксиоматску изградњу механике и закон гравитације. Писао је о кривима трећег реда и конусним пресјецима. У дјелу „Пребројавање кривих 3. реда“ (објављено 1704. а настал1669.) је начинио класификацију ових кривих која је садржавала 72 облика. Њутнов ра„О квадратури кривих“ (1671.) штампан је тек 1704. гдје се први пут његова теорифлуксија. Његова „Универзална аритметика“, која је штампана 1707. садржавала предавања из алгебре и настала је у периоду од 1673. до 1683. године. 1696. постауправник Краљевске ковнице новца, напушта Кембриџ тек 1701. Његова научна каријер

се прекида објављивањем „Принципа“ 1687. Остатак живота је провео у слави богатству. И данас на улазу у Тринити Колеџ на Кемриџу стоји натпис: „Тишина, овдјспава сер Исак Њутн.“

lajbnic

Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646. – 1716.), Њемац, био je самоук. Велики дио живота провео на Хановерском двору као библиотекар. Завршио је право, био је велики католиБавио се математиком, историјом, теологијом, дипломатијом. Његова основна идеја имладости је налажење универзалног математичког језика. Направио је и рачунск

машину, те био примљен у Енглеско краљевско друштво. У периоду од 1673. до 168долази до основних принципа диференцијалног и интегралног рачуна. Дописивао се Њутном. Њутнов прилаз је у основи био кинематички, а Лајбницов геометријскАнализа, на начин како ју је поставио Лајбниц, први пут се појавила 1684. у чланку кој

је имао 6 страна у математичком часопису Acta Eruditorum. Тај часопис је основаЛајбниц 1682. године. У чланку се појављују основна правила диференцирања, ознаке d

и dy, затим , диференцирање разломака, као и услови екстремне вриједности и за превојне тачке.

Први штампан његов рад је из 1682. гдје се појављује доказ Лајбницове формуле и развои за

1686. године се појављује други чланак који је садржавао правила интегралног рачунасимбол ∫ . 1694/95. објављује рад о диференцирању експоненцијалне функције, а 170објављује рад о интеграцији рационалних функција. Увео је и симбол , потиче од слов



80

s које је положено, као иницијал латинске ријечи similis – сличан; такође је увео терминкоординате, апсциса и ордината 1692. године. Послије 1687. године Лајбницу су придружила браћа Бернули, који су одушевљено прихватали његове идеје. Jakob bernuli

Јакоб Бернули (Bernoulli, 1654. – 1705.), швајцарски математичар, у раду из 1694. објавио Бернулијеву диференцијалну једначину . Доста интензивн

је изучавао лемнискату (производ растојања од 2 фиксне тачке је константан и једнаквадрату полурастојања те 2 тачке) и логаритамску спиралу . Његовнајзначајније дјело је „Вјештина предвиђања“ из 1713. године. То је први рад из теоривјероватноће. Рад има 4 дијела: 1. дио – садржај Хајгенсове књиге о игри коцака, скоментарима; 2. дио – генерисање комбинаторних објеката; дефинише број

; уводи Бернулијеве бројеве као збирове степен

природних бројева; 3. и 4. дио – разне примјене у теорији вјероватноће и Бернулијзакон великих бројева. Jakob bernuli

Јохан Бернули (1667. – 1748.) је завршио медицину и отишао у Париз. 1692. даје часовмаркизу Де Лопиталу, из диф. и инт. рачуна. Лопиталово правило је de facto БернулијевЈохан 1697. постаје професор у Громингену (Холандија), а послије смрти брата Јаковпрешао је у Базел гдје преузима катедру и предаје 43 године. 1696. он и његов браоткривају варијациони рачун (уопштење диференцијалног рачуна).Увео је координатн

систем у простору ( ), какав данас користимо. lopital

Де Лопитал (l’Hospital, 1661. – 1704.) – маркиз, богат и кратковид. Диференцијалноминтегралном рачуну га је подучавао Јохан Бернули. На основу његових предавања јнаписао књигу о диференцијалном рачуну 1696. „Анализа бесконачно малих“ у којој спојављује Лопиталово правило, и из 1707. „Аналитичка расправа о конуснипресјецима“. Danijel bernuli

Данијел Бернули (1700. – 1782.) је син Јохана Бернулија. До 1777. је био професоБазелског универзитета. Интересовала га је астрономија, физика, хидродинамика. 173објављује дјело „Хидродинамика“. Утемељитељ је математичке физике. Muavr

Абрахам де Муавр (Moivre, 1667. – 1754.), Француз. Бавио се теоријом вјероватноће. О1707. -1730. у више наврата објављује Муавров образа



81

. 1718. објављује „Доктрина случаја“ у којој испитувјероватноћу сложених догађаја. 1730. објављује дјело „Разни аналитички радови“ гдј

доказује Стирлингов образац и 1733. доказује да вриједи

stirling

Џејмс Стирлинг (1692. – 1770.) – 1717. је написао књигу „О Њутновим линијама треће реда“ гдје је 72 Њутнова случаја допунио са 4 случаја која је Њутн изоставио. 1730. написао „Диференцијални метод“ гдје уводи Стирлингове бројеве. Bruk tejlor

Брук Тејлор (1685. – 1731.) је 1715. објавио „Директан и обрнут метод прираштаја“ гдјсе јавља Тејлоров образац. makloren

Колин Маклорен (Maclaurin, 1685. – 1731.), Шкот, 1742. је објавио „Расправу

флуксијама“ гдје се јавља Маклоренов ред. 1729. је открио Крамерово правило. Dzordz berkli

Џорџ Беркли (1685. – 1753.), енглески бискуп. 1734. је написао књигу „Аналитичарили „Расправа упућена једном невјерном математичару“. То је критика диференцијалнои интегралног рачуна. Јаков Херман (1678. – 1733.), ђак Јакова Бернулија. Радио је на више факултета Европи (Падови, Франкфурту, Базелу,...) Пуно је допринио ширењу диф. и инт. рачунпримјени поларних координата и 3-димензионалне аналитичке геометрије.

Мишел Рол (Rolle, 1652. – 1719.) – 1691. објављује Ролову теорему, при чему је првформулише за полиноме. Пјер Варињон (Varignon, 1654. – 1722.) нема значајнијих резултата, али је пуно урадина популаризацији диф. и инт. рачуна у Француској. Јакопо Рикати (1676. – 1754.) – уводи Рикатијеву диференцијалну једначину:

. Имао је 18 дјеце са једном женом. Марија Ањези (Agnesi, 1718. – 1799.) је 1748. написала уџбеник из анализе ниталијанском језику.

16. АНАЛИЗА У XVI I I ВИЈЕКУ

Leonard ojler

Леонард Ојлер (1707. – 1783.), из Базела, ученик Јохана Бернулија. 1725. одлази Петроград са Јохановим сином Николасом. Постаје асистент на Академији наука 172



82

године, а 1733. професор математике. У периоду 1741. – 1766. Ојлер се налази нБерлинској академији под посебним покровитељством Фридриха Великог. 1766. стање Русији се поправља и Ојлер се враћа у Петроград, али сада под заштитом царицКатарине. 1735. је ослијепио на једно око, а 1769. и на друго, због катаракте. 1771. су гоперисали, али операција није успијела. 1783. је умро од можданог удара. Слијепоћа нијумањила његову огромну продуктивност. Слијепи Ојлер, користећи фундаменталнпамћење, наставио је да диктира своја открића. Током његовог живота објављено је 53његових књига и чланака. Послије смрти пронађено је доста његових рукописа, које јПетроградска академија објавила током наредних 47 година. Број његових радова попео на 771, а касније и на 886. Његова сабрана дјела се и данас издају. До данас сиздате 4 серије: 1. серија је посвећена математичким дјелима, 30 томова; 2. серидјелима из механике и астрономије, 32 тома; 3. серија дјелима из физике и разна другдјела, 12 томова; 4. серија у 2 дијела, писма и рукописи, 8 томова (још увијек излази

Ојлер се два пута женио и имао је 13 дјеце. Прво значајно Ојлерово дјело је „Механикаиз 1736., гдје помоћу диф. и инт. рачуна изводи законе из механике. 1748. објављуј„Увод у анализу бесконачности“ што је једна од најзначајнијих књига из анализе, гдје јдоказао чувену Ојлерову формулу .

Први објављен Ојлеров резултат је сума реда .

Како је за , то ј

Одавде је

Ојлер каже да за полином важи

и ,

Тако је .када n → ∞

(1978. Роже Апери је дао доказ да је1+1/23+1/33

+… ирационалан број)

1755. године је написао „Уџбеник диференцијалног рачуна“ у 2 тома, а од 1768. – 177

„Уџбеник интегралног рачуна“ у 3 тома. 1772. је написао „Теорију кретања мјесецаУвео је гама функцију као уопштење факторијела за непрекидне аргументе:

.



83

Ојлер даје нов доказ да је скуп простих бројева бесконачан. 1735. уводи Ојлеров

константу ,

Бавио се зета функцијом: . 173

године је ријешио проблем Кенигсбершких мостова. Проблем: Да ли је могућпрошетати се свим мостовима али само по једанпут? Ојлер је установио теорију графови топологију. Био је фасциниран теоријом бројева. Доказао је све Фермаове теореме осиВелике Фермаове теореме (коју је 1995. доказао Ендрју Вајлс). Показао је да је Фермпогријешио у тврђењу да су сви бројеви облика прости. Има само 5 простиФермаових бројева: је сложен дјељив са 641. dalamber

Жан Лерон Даламбер (d’Alembert, 1717. – 1783.) је био напуштен као дијете и стављепоред цркве Лерон. Сам је себи дао име. Бавио се филозофијом, а од 1743. до 1754. бависе математиком као природном филозофијом. Изучавао је диференцијалне једначине сконстантним коефицијентима, испитивао функције комплексне промјенљиве, открио Коши-Риманове једначине. Покушао је да докаже основну теорему алгебре, али је докаимао извјесних пропуста. Највеће Даламберово откриће је откриће парцијалнидиференцијалних једначина, односно њихове примјене у физици. 1747. године испиту

осциловање стране која се натегне и пусти да вибрира. Добије се једначина

добије се рјешење , при чему су произвољне функције. Ојлер је дошао до истог резултата, али се нису слагали око дефинисања произвољнфункције. Даламбер је радио на састављању Енциклопедије 1751. године. klero

Алексис Клод Клеро (Clairaut, 1713. – 1765.) је био вундеркинд из математике. Са 1година је читао Лопиталову књигу, а са 13 година је написао први научни рад који јприхваћен од стране француске Академије наука. Са 16 година је предложен за чланпаришке Академије наука што је 1731. краљ и одобрио. Тиме је Клеро постао најмлађ

члан Академије. 1731. је објавио „Истраживања о кривима са двоструком кривином(први системски испитује просторне криве). 1743. објављује „Теорију у облику земљегдје користи једнакост мјешовитих парцијалних извода, коју је доказао Николас Бернул1726. године, и уводи једначину тоталног диференцијала. Ту се појављује и Клеровдиференцијална једначина. 1752. објављује „Теорију Мјесеца“ која садржи допунОјлерове теорије кретања Мјесеца.



84

lambert

Јохан Хајнрих Ламберт (1728. – 1777.) – 1761. доказује да је ирационалан број, уводхиперболичке функције, бави се картографијом, пројекцијом сфере на раван... Испитива

је Еуклидов 5. постулат и написао „Теорију паралелних линија“. 1786. године, послиЛамбертове смрти, штампан је тај рад, у којем систематски изучава проблем паралелнилинија помоћу Ламбертовог четвороугла (три права угла). kramer

Габријел Крамер (1704. – 1752.) је испитао алгебарске криве и познато је његовтврђење: Ако имамо криву реда и алгебарску криву реда , тада ће се оне сијећи утачака. Познато је и Крамерово правило за рјешавање система линеарних једначина. vandermond

Александар Теофил Вандермонд (1735. – 1796.) је најбољи математичар међмузичарима и најбољи музичар међу математичарима. Испитивао је рјешивосалгебарских једначина, открио да постоји веза између пермутација рјешења и могућност

рјешавања. Вандермондова детерминанта ваљда није његова, него је неко погријешио приписао му је. Lagranz

Жозеф Луј Лагранж (1736. – 1813.) – 1754., са 18 година, сам је открио Лајницовформулу за n-ти извод функције. 1755. постаје професор математике у Артиљеријскшколи у Торину. Мајка му је била Италијанка, а отац Француз. Открио је многефикасних метода за рјешавање варијационих проблема (откривени још у 17. вијек

рјешавали су се помоћу диф. и инт. рачуна). Када је 1766. Ојлер отишао у ПетрограФридрих Велики је позвао Лагранжа у Берлин. Лагранж је остао у Берлину дФридрихове смрти 1786. године када је прешао у Париз. У вријеме револуцијучествовао је у реформи мјера, а касније је постао професор Више нормалне школ1795., а затим Политехничке школе 1797. 1768. је показао да Пелова једначин

( није потпун квадрат) увијек има рјешење. Бавио се квадратним формами теоријом бројева. 1770. доказује да се сваки природан број може написати у обликзбира 4 или мање квадрата. 1771. објављује велику расправу „Размишљања о алгебарко

рјешењу јеначина“ гдје се разматра основно питање: Због чега оне методе, помоћу којисе могу рјешити једначине нижег степена од 4, не доводе до резултата за степене веће о4. Уводи појам пермутације и формулише Лагранжову теорему за групе (ред подгрупдијели ред групе), али није уочио нормалне подгрупе (Галоа). 1787. постаје члаКраљевске академије наука. 1788. објављује „Аналитичку механику“ која је вјероватнњегов најзначајнији рад. У тој књизи је сва снага анализе искориштена у механици тачк



85

и чврстих тијела. Обрађени су и обједињени резултати Ојлера, Даламбера и другиматематичара, уз кориштење Лагранжовог варијационог рачуна. Ова књига представљтријумф анализе, и у њој нема ниједног цртежа, нема алгебарске операције (што је аутоу предговору и нагласио). То карактерише Лагранжа као првог аналитичара. Објавио је„Теорију аналитичких функција“ из 1797. године, као и наставак овог дјела, „Предавањиз рачуна функција“ из 1801. године. laplas

Пјер Симон Лаплас (Laplace, 1749. – 1827.) је био син скромног земљопосједника Нормандији, студирао у Бомону и Кену. Уз Даламберову помоћ, постао је професоматематике у војној школи у Паризу. Кажу да је био Наполеонов учитељ. Био политички нестабилан. Два велика Лапласова рада су „Аналитичка теорија вјероватноћиз 1812. и „Небеска механика“ у 5 дебелих томова, настала у периоду од 1789. до 180Ова два дјела су била пропраћена опширним популарним радовима, из 181

„Филозофски есеј о вјероватноћи“ и из 1796. „Објашњење свијетског система“. „Небескмеханика“ представља завршетак радова из теорије Земљиног облика, теорије Мјесеца, ипроблема 3 тијела и пертурбација планета, као и основног проблема о стабилност

Сунчевог система. Појављује се и Лапласова једначина . Математичк

каријера Хамилтона је почела тиме што је нашао грешку у Лапласовој „Небескмеханици“. Трактат „Аналитичка теорија вјероватноће“ је толико богат садржајем да смнога каснија открића у области теорије вјероватноће могу пронаћи код Лапласа. У т

књизи размотрене су геометријске вјероватноће, Бернулијева теорема као и теоријнајмањих квадрата коју је пронашао Лагранж. Основна идеја му је била примјен„функције генератрисе“. Лаплас је показао значај те методе за рјешавање разни

једначина. Ту се уводи и Лапласова трансформација која је касније постала основХевисајдовог оперативног рачуна. lezandr

Адријен Мари Лежандр (Legendre, 1752. – 1833.) од 1798. до 1808. пише „Есеј о теоријбројева“ што је прва озбиљнија књига из теорије бројева, а 1774. дјело „Елементгеометрије“ гдје је доказивао 5. постулат (претпоставља да постоји троугао произвољнвелике површине). Од 1827. до 1832. пише „Расправа о елиптичким функцијама

разматра интеграл , гдје је R рационална функција,

.

monz



86

Гаспар Монж (Monge, 1746. – 1818.) је био професор математике на војној школПронашао је нацртну геометрију. Користио је елементе диференцијалне геометрије. Жан Батист Жозеф Фурије (Fourier, 1768. – 1830.) је схватио како се функција мож

развити у тригонометријски ред. Открио је врло једноставну формул

; 1822.

рад „Аналитичка теоритоплоте“ у коме објашњава своју теорију развоја је послао Академији наука, алЛагранж није дао да се штампа.

17. РАЗВОЈ ГЕОМЕТРИЈЕ УXIX ВИЈЕКУ

Razvoj geometrije u xix vijeku

Развој геометрије је текао у два основна правца: 1. развој нееуклидне геометрије

2. развој пројективне геометрије

- До развоја нееуклидске геометрије је довео проблем 5. постулата. Још од антике сбројни математичари покушали доказати да је 5. постулат теорема апсолутне геометријали у свим тим доказима је била скривена претпоставка еквивалентна 5. постулату. Једаод типичних заговорника који је мислио да је то доказао био је Дероламо Сакери. sakeri

Ђероламо Сакери (Saccheri, 1667. – 1733.) је 1703. објавио књигу „Еуклид очишћен осваке мрље“, гдје је покушао да докаже 5. постулат, а добио неке резултате нееуклидскгеометрије. Извео је 30-40 теорема. Он је ту користио четвороугао са три права угла, тзСакеријев четвороугао. Ако је четврти угао прав, онда важи 5. постулат. Свчетвороугао је такође имао и: lambert

Јохан Хајнрих Ламберт (1728. – 1777.) који је такође доказивао 5. постулат. Његочетвороугао је имао два права угла, а друга два једнака међусобно. 1766. године је данеке резултате везане за 5. постулат, претпоставио је да не вриједи и добио велики бр

резултата и уочио да у тој новој геометрији, сума углова у троуглу расте, како његовповршина опада. Adrijen mari lezandr

Адријен Мари Лежандр (1752. – 1833.) је мислио да је доказао 5. постулат, али јкористио еквивалентну претпоставку да постоје троуглови са произвољно великоповршином.



87

Karl fridrih gaus

Јохан Карл Фридрих Гаус (1777. – 1855.) се такође бавио 5. постулатом. Он је закључида се аксиом о паралелности (5. постулат) не може доказати, али није ништа објавиВодио је дневник о својим математичким открићима, па се зна да је дошао до тозакључка. Са Гаусом је заједно студирао: boljaj

Фаркаш Бољај (Bolyai, 1775. – 1856.) мађарски математичар. Њих двојица су се највишдружили током студија. Занимљиво је да су само шетали, а готово ништа причалиФаркаш је сматрао да математику чине аритметика (математика времена) и геометри(математика простора). Радио је на доказивању независности аксиоматских системаритметике и геометрије. Покушао је да одврати сина да се не бави 5. постулатом. Јанош Бољај (1802. – 1860.) је син Фаркаша Бољаја, успио је ријешити проблепаралелности. Доказао је да могу важити сви аксиоми апсолутне геометрије, а да притом

не важи 5. постулат. Тај резултат је објављен 1832. као додатак Фаркашовој књизи о раније. Изашао је под насловом „Прилог који садржи науку о простору апсолутнистиниту, која не зависи од истинитости или лажности Еуклидовог 11 -тог аксиома (штсе априори не може установити) са додатком у случају лажности, геометријскквадратуре круга“. Фаркаш је те резултате слао Гаусу на шта му је овај одговорио да нможе хвалити резултате његовог сина, јер би тада сам себе хвалио, пошто је и он садошао до истих резултата. За Јаноша је занимљиво да је јако добро свирао виолинТакође је занимљиво да је имао 11 двобоја, а свој портрет је исјекао мачем, д

„незахвално племство“ не зна како он изгледа. lobacevski

Николај Иванович Лобачевски (1793. – 1856.) је дошао до истог закључка као и ГаусЈанош Бољај, али је то још детаљније разрадио. 1827. је постао ректор универитета Казању, отворио је нове лабораторије, опсерваторијум и библиотеку. Са универзитета јизбачен када је јавно почео заговарати идеју да кроз тачку ван дате праве може пролазитвише од једне праве која се не сијече са датом правом. Прво је покушавао да докаже да ј5. постулат теорема апсолутне геометрије, а између 1824. и 1826. је дошао до открића д

може постојати нееуклидска геометрија. 23.02.1826. се сматра датумом открићнееуклидске геометрије. Тада је Лобачевски на засиједању одјељења физичкоматематичких наука, при Казањском универзитету, поднио саопштење о свом раду. 182

је одштампао „О принципима геометрије“ , што је 1840. штампано и на њемачком.



88

Feliks klajn

Феликс Клајн (Klein, 1849. – 1925.) је 1871. доказао да је геометрија Лобачевскологички непротиврјечна ако је таква Еуклидска геометрија. 1872. је постао професоматематике у Ерлагену. „Ерлагенски програм“ показује да се преко теорије груптрансформација многе важне геометрије (Еуклидска, афина, хиперболичка, сферна, итдмогу видјети као специјалан случај пројективне геометрије. Те године је објавио рад томе шта је геометрија. Каже да је то изучавање особина фигура које се не мијењакориштењем неке групе трансформација. - Други правац у којем се геометрија развијала, била је пројективна геометрија. И код топроблема коријени су још у антици, проблеми бесконачно далеких тачака. У Француск

је, након револуције, основана Политехничка школа, тј.. војна академија, гдје математика била доста јака. Значајну улогу у развоју геометрије је одиграо: Gaspar monz

Гаспар Монж (1746. – 1818.) је био професор на војним школама, али је био из нижислојева па није могао значајно да напредује. Био је Наполеонов републиканац и накопада Наполеона, 1814. је прогнан. Он је 1768. развио нацртну геометрију. Интересовалга је и диференцијална геометрија, примјењивао је анализу у геометрији и испитива

развојне површи. Жан Виктор Понсле (Poncelet, 1788. – 1867.) је био официр у Наполеоновој војсци. заробљеништву се из досаде бавио геометријом, а када се вратио уредио је те своје списи 1822. објавио књигу „Расправа и пројективним особинама фигура“. Тиме се бавио и:

Жозеф Жергон (Gergonne, 1771. – 1859.) је 1810. основао часопис „Математички аналикоји је изложио 20-так радова. Мишел Шал (Chasles, 1793. – 1880.) се такође бавио пројективном геометријом. Збоњега је уведена професура из геометрије. Кристијан фон Штаудт (Staudt, 1798. – 1867.) је конструисао правилан 17-угао сампомоћу шестара. Изложио је пројективну геометрију 1847. у књизи „Геометриположаја“, гдје је све особине пројективне геометрије успио да изведе синтетички. Јаков Штајнер (Steiner, 1796. – 1863.) је изучавао низ геометријских проблема. 1824.

изучавао инверзију као пресликавање. 1833. је доказао да свака конструкција која сизводи помоћу шестара и лењира може да се изведе само помоћу лењира ако је дат кручији је центар познат.



89

18. РАЗВОЈ ТЕОРИЈЕ БРОЈЕВА У XIX ВИЈЕКУ

Razvoj teorije brojeva u xix vijeku

Савремена теорија бројева потиче од Фермаа. Након њега дуже вријеме се нико ниј

посебно интересовао за теорију бројева. Први послије Фермаа који су се заинтересовалсу били Леонард Ојлер и Жозеф Луј Лагранж. Ојлер је доказао скоро све Фермаов

резултате осим Велике Фермаове теореме. Доказао је, између осталог, малу Фермаовтеорему: Ако је прост број који не дијели , тада је . Он даје

уопштење уводећи Ојлерову функцију … за

… . Он каже: Нека је НЗД . Тада је . Доказа

је и да је Ферма погријешио тврдећи да су бројеви прост

није прост. Лагранж се такође, између осталобавио теоријом бројева. 1768. се бавио Пеловом једначином и доказао да свака једначиноблика ( није потпун квадрат) увијек има рјешење. 1770. је доказао да јсваки природан број збир највише 4 потпуна квадрата. Након Ојлера и Лагранжтеоријом бројева се бавио и Лежандр. Он је 1798. написао прву књигу из теорије бројевТу се појављује закон квадратне реципрочности (о томе је први говорио Ојлер). 1808. јдефинисао функцију за број простих бројева не већих од .

доказивању закона квадратне реципрочности, користио је једну чињеницу која није билдоказана, а то је да за НЗД аритметичка прогресија садржбесконачно много простих бројева. То је касније доказао Дирихле. Данас се закоквадратне реципрочности приписује Гаусу, а теорема о броју простих бројева аритметичкој прогресији Дирихлеу. Сљедећи који се бавио теоријом бројева био је Гау



90

Био је јако талентован, а таленат је наслиједио од мајке. Са 3,5 године је пронашагрешку у очевом рачуну. Са 7 година је за веома кратко вријеме сабрао 1+2+...+100. Поступио је овако:

1801. године је обавио „Аритметичке расправе“ у 7 дијелова. Ту приказује теорибројева у савременој нотацији. Испитује линеарне и квадратне конгруенције. Испитива

је и општу теорију квадратних форми: . Гаус имао мото „мало, али зрело“. Његова сабрана дјела имају 10-так томова. На његовтеорију бројева се накачио: dirihle

Јохан Петер Густав Лежен Дирихле (Lejeune Dirichlet, 1805. – 1859.) који је студираоПаризу. Након Гаусове смрти постао је професор у Гетингену. Позната је његовфункција:

Он је међу првима схватио Гаусове „Аритметичке расправе“ и свуда их је носио ссобом. Са Дедекиндом је написао јако популарну књигу из теорије бројева. Његов прв

рад, који га је одмах прославио као математичара,био је о Великој Фермаовој теореми. Т је доказао да је она тачна за . 1837. је доказао тврђење да у низу:

има бесконачно много простих бројева, што је првформулисао Лежандр. kumer

Ернест Едуард Кумер (Kummer, 1810. – 1893.) се дописивао са Дирихлеом и Јакобијекоји су му дали велику подршку приликом примања на Берлинску академију наука, јер он тада био школски професор, а не универзитетски, али су видјели да има потенцијалОн је увео тзв. идеалне бројеве. Посматрао је поље рационалних бројева у којем адјунговао n-те корјене из 1. Ако се посматра прстен бројева облик

, тада за у том прстену не важзакон једнозначне факторизације. Покушавао је да докаже закон реципрочности за вишстепене (за 4. доказао Гаус, а за 3. Ајзенштајн). Идеални бројеви су кориштени здоказивање Велике Фермаове теореме. Кумер је доказао да теорема важи за . С



91

Кумером су тада у Берлину радили Кронекер и Вајерштрас. Берлин је био великматематички центар. kroneker

Леополд Кронекер (Kronecker, 1823. – 1891.) је био Кумеров и Дирихлеов ученик. Он даље развијао Кумерову теорију идеалних бројева и примјењивао теорију Галоа нтеорију бројева. Био је против ирационалних бројева, појмова доње и горње границБолцано-Вајерштрасове теореме и гворио је да трансцендентни бројеви не постоје. dedekind

Рихард Дедекинд (1832. – 1916.) је био Кумеров ученик. Усавршио је идеалне бројеве увео појмове поља и идеала. David hilbert

Давид Хилберт (1862. – 1943.) је 1894. написао „Извјештај теорије бројева“. Жозеф Лиувил (Liouville, 1809. – 1882.) је 1844. доказао да постоји број који ј

трансцендентан. Шарл Ермит (Hermit, 1822. – 1901.) је 1873. доказао да је трансцендентан. Фердинанд Линдеман (1852. – 1939.) је 1882. доказао, користећи Ермитов резултат Ојлеров идентитет , да је трансцендентан. Шарл Саломон Адамар (Charles Salomon Hadamard, 1865 – 1963) доказ теореме

расподели природних бројева. Теорему је независно доказао Шарл де ла Вале-Пусе(Charles Jean da la Vallee-Poussin, 1866 – 1962).

19. РАЗВОЈ АНАЛИЗЕ И ТЕОРИЈЕ СКУПОВА УXIX ВИЈЕКУ

Razvoj analize i teorije skupova u xix vijeku

Карактеристика анализе у 19. вијеку је да се развијала у 2 правца: реална анализа комплексна анализа. Једно од важнијих питања у анализи почетком 19. вијека било јпитање развоја функције у тригонометријски ред. Тим проблемом се међу првим

озбиљно бавио Жан Батист Жозеф Фурије. Он је 1807. испитујући диференцијалн једначину провођења топлоте открио да се коефицијенти у тригонометријском развојфункције могу једноставн

изразити преко интеграла

Предсједник комисије за оцјену тог Фуријеовог рада је био Жозеф Луј Лагранж који ниј



92

хтио да пусти овај рад. Касније, након што је Лагранж умро, а Фурије постао секретар1822. Фурије је то објавио у дјелу „Аналитичка теорија топлоте“. Међу најзначајнијимза развој анализе у 19. вијеку био је:Ogisten luj kosi

Огистен Луј Коши (Cauchy, 1789. – 1857.) тврдоглав, али добар математичар. Са 2година је већ био добар математичар, а 1816. је постао професор на Политехничкшколи. Ту бива оптужен да предаје сувише апстрактне ствари из анализе које је мало к

разумио. 1821. почиње да користи савремену дефиницију лимеса помоћу . Уводи

савремену дефиницију извода , као и савремену дефинициј

непрекидности. Изучавао је и пермутације, које је примјењивао у теорији детерминант1825. је почео са испитивањем функција комплексне промјенљиве, а 1827. је откри

Кошијеву интегралну формулу: . Дефинисао је и Кошијев интеграл:

. Ту је користио услов непрекидности. Уве

је појам аналитичке функције. 1830. је отишао у прогонство са краљем због заклетвкраљу. Био је и члан Паришке академије наука, која је издавала часопис „Извјештај“, алКоши их је „затрпавао“ радовима те су донијели одлуку да чланови академије не могиздавати више од једног рада седмично и да рад не смије бити већи од 4 стране. Кошијевдефиниције и тврђења углавном нису схватани. 1840. долази до разграничавања обичне униформне конвергенције што су одрадили његови ученици. Један од првих који ј

прихватио Кошијеве идеје био је Норвежанин: Nils henrih abel

Нилс Хенрих Абел (1802. – 1829.) – 1826. је обавио рад о испитивању конвергентностбиномног реда. 1827. је објавио истраживања о елиптичким функцијама. Његова идеја ј

била аналогија са тригонометријским функцијама: ,

Он посматра или згодније Елиптички

функцијама се бавио и Лежандр. Он је између 1827. и 1832. издао три књиге о анализ

функција облика Елиптичкифункцијама се бавио и: Karl gustav jakob jakobi

Карл Густав Јакоб Јакоби (Jacobi, 1804. – 1851.) – поред тога он је изучавао и својствдетерминанти и доказао општу смјену у интегралу више промјенљивих (Јакобијан). УАбела, први који је прихватио Кошијеве резултате, био је Дирихле (1805. – 1859.)



93

студирао је у Паризу, а послије се вратио у Њемачку. Био је професор у Берлину, касније је наслиједио Гауса у Гетингену. Доказао је услове под којима ћтригонометријски ред конвергирати. Те услове је касније уопштио и формулисао: Bernard riman

Бернард Риман (Riemann, 1826. – 1866.) – поправио је Кошијев интеграл и формулиса

Риманов интеграл . Бавио се и геометријом

n-димензионалном простору. Познат је и по Римановој зета ф- ј

. Још је отворена Риманова хипотеза да за све нуле ф- је ко

имају важи . Увео је и Риманове површи за испитивање комплексни

функција. На развој комплексне анализе велики утицај је имао и: vajerstras

Карл Вајерштрас (Weierstrass, 1815. – 1897.) је био професор у Берлину. Прво је радиотехничкој школи, а касније, 1856. је почео предавати анализу у Берлину. Био је јакпопуларан професор. Његова предавања је слушало 200-300 слушалаца. Примјењивао аналитичка продужења и редове у комплексној анализи. 1863. је доказао да скомплексни бројеви комутативно, алгебарско проширење поља , што Гаус није успидоказати 1831. године. Проучавао је и обичну и равномјерну конвергенцију и функцијдефинисане бесконачним производом. - Половином 19. вијека долази до егзактног заснивања реалног броја. Ту је значајну улог

одиграо Дирихлеов ученикРихард Дедекинд

. Он је докторирао код Гауса на Ојлеровиинтегралима. Увео је теорију Дедекиндових пресјека и помоћу тога изврши редефиницију ирационалних бројева, Значајан математичар за анализу 19. и 20. вијека био је Француз: Anri lebeg

Анри Лебег (Lebesgue, 1875. – 1941.) је 1901. генерализовао дефиницију интеграла, тдефинисао Лебегов интеграл који има одређене предности у односу на Риманомогућност интеграљења шире класе функција, област интеграције не мора бити интервавећ било који мјерљив скуп, лимес под много слабијим условима може ићи под знаинтеграла. Овдје вриједи поменути и чешког математичара: bolcano

Бернард Болцано (Bolzano, 1781. – 1848.) – његови резултати су остали доста непознатБио је филозоф, теолог и математичар. Дао је примјер функције која је свуда непрекидна нигдје диференцијабилна. 1851. године је објавио рад о парадоксима гдје се ријеч ску



94

први пут јавља. Ту се јавља и „1-1“ функција између елемената бесконачног скупа његовог правог подскупа. Његова теорија бесконачности претходила је Канторовтеорији бесконачности скупа.

Теорија скупова

Teorija skupova

kantor

Георг Кантор (Cantor, 1845. – 1918.) – 70-тих година 18. вијека заинтересовао се проблем конвергенције Фуријеових редова, испитује структуру скупа реалних бројеваправи аксиоматику реалних бројева помоћу низова, а хтио је и да цијелу математикзасније на скуповима. 1879. је открио бијекцију између (0,1) и скупа јединичног квадратДоказао је да је скуп реалних бројева из (0,1) непребројив (Канторов дијагоналнпоступак). 1878. Кантор је рекао да је сваки бесконачни подскуп континуума ил

пребројив или има кардинални број континуума (хипотеза континуума). Увео је најмањкардинални број (алеф-нула). 1990. Хилберт ово представља као један од проблема 2вијека и каже да се прво мора доказати добро уређење скупа. 1904. године Ернес

Цермело (Zermelo, 1871. – 1953.) је доказао да се сваки скуп може добро уредиткористећи аксиому избора.Ђузепе Пеано (1858. – 1932.) је 90-тих година 19. вијека формулисао Пеанове аксиоме скуп .

Bertrand rasel

Бертранд Расел (Russel, 1872. – 1970.) и Курт Гедел су два највећа логичара 20. вијекРаселов парадокс: је направио пометњу међу математичарима. Раселопарадокс доводи до тога да се направи аксиоматика теорије скупова што доводи до појмконтинуума. Кантор је доказао да је . Раселова дјел„Математички принципи“ (1903., 1910.,1912., 1913.) и „Математичка логика базирана нтеорији скупова“ 1908. Kurt gedel

Курт Гедел (1907. – 1978.) је 1940. доказао да аксиома избора не противрјечи теориј

скупова. Расел није доказао независност аксиома избора од осталих аксиома реалнибројева. То је 1963. доказао Пол Коен (Cohen, 1934. – 2007.). Расел је на крају животимао нервни слом, мислио је да га желе отровати и умро је изгладњујући се. Анри Леб

је 1902. открио Лебегов интеграл који омогућава прављење Хилбертовог просторМорис Фреше (Frechet, 1878. – 1973.) је 1908. увео метричке просторе, а нешто каснијетополошке.



95

20. РАЗВОЈ АЛГЕБРЕ УXIX ВИЈЕКУ

Razvoj algebre u xix vijeku

Развој алгебре у 19. вијеку почиње резултатом да једначина 5. степена не може да с ријеши у општем случају. До тог резултата је дошао Нилс Хенрих Абел 1824. годинAbel Нилс Хенрих Абел (1802. – 1829.) је био јако талентован, а његов први учитељ смијењен јер је једног дјечака престрого казнио и дјечак је умро. У раној младости јчитао дјела Ојлера, Њутна, Даламбера и других. 1817. му долази нови учитељ којпознаје његов таленат и препоручује му да чита још и Лагранжа и Лапласа. Отац му

рано умро и Абел није имао новца за даље школовање. 1825. је добио стипендиНорвешке владе да студира у Европи. Отишао је у Берлин гдје је упознао инжењер

Леополда Крелеа који је 1826. покренуо часопис „Журнал за чисту и примјењенматематику“. Абел је тада већ био дошао до резултата о једначини 5. степена, након шт

је прво мислио да је ријешио ту једначину, па увидио да има грешку. У 1. бројпоменутог часописа је изашао Абелов доказ да једначина 5. степена нема рјешења општем случају. Даље почиње да се бави анализом, радио је на елиптичким функцијамтражећи аналогију са тригонометријским. Потом одлази у Париз гдје је слушао Кошијевпредавања. У писму једном пријатељу, за Кошија каже: „Коши јесте луд, али једини Паризу зна како се ради математика“. 1828. долази до резултата да се несводљив

једначина простог степена може ријешити помоћу радикала ако за свака три њенкоријена важи да је један једнак рационалној комбинацији друга два. Покушао ријешити општи проблем рјешивости алгебарских једначина, али је умро млад, отуберколозе, 1829. године у Норвешкој. Многи математичари, прије Абела, су се бавилпроблемом рјешивости алгебарски једначина:

Aleksandar teofil vandermond

Александар Теофил Вандермонд (1735. – 1796.) – Француз, био је најбољи музичамеђу математичарима и најбољи математичар међу музичарима. Свирао је виолину,

отац је подстицао његову музичку каријеру. 1772. проучава детерминанте. 1774. објавио рад о рјешивости алгебарских једначина, гдје уочава везу између пермутациј рјешења и рјешивости једначине. Тиме се у то вријеме бавио и: Zozef luj lagranz

Жозеф Луј Лагранж (1736. – 1813.) – он је 1771. објавио „Размишљања о рјешивосталгебарских једначина“, гдје детаљно испитује везу између рјешења и структуре рјешењ



96

једначина прва 4. степена. То је повезао са групама пермутација, те дошао до Лагранжовтеореме да ред подгрупе дијели ред групе. Са 18 година је открио Лајбницову формулу n-ти извод, а са 19 постао професор математике на артиљеријској школи. На почетккаријере је открио ефикасан метод за рјешавање варијационих проблема. За разлику отачкастих својстава екстрема, варијациони проблеми траже криву са екстремнисвојствима. Успјешно се бавио механиком и теоријом бројева. Паоло Руфини (Ruffini, 1765. – 1822.) – око 1800. је објавио више доказа да једначина степена не може да се ријеши алгебарски, али сви су имали неке недостатке. Он је доказима користио теорију група. Увео је ред елемента групе и цикличну декомпозицијелемената групе пермутација. За разрјешење проблема о рјешивости алгебарски

једначина најзаслужнији је француски математичар: Evarist galoa

Еварист Галоа (Galois, 1811. – 1832.) – талентован и својеглав. Полагао је 2 пута испи

за пријемни у Политехничку школу, али није био примљен. Чак је једном гађаиспитивача сунђером, сматрао је да су испитна питања глупа. Био је Фуријеов ученик тешко му је пала Фуријеова смрт 1830. Годину дана раније је Галоин отац извршисамоубиство. Француска је у то вријеме била револуционарна земља и Галоа је бихапшен. Неко вријеме је провео у затвору. Када се посветио математици, занемарио је свостало, тако да је понављао разред због граматике. Али, у математици је остварио велик

резултате. Разматрао је проблем рјешивости алгебарских једначина и теорију група. Ту уочио да за рјешивост алгебарских једначина није довољно посматрати подгрупе, већ с

битне нормалне подгрупе. 30. маја 1832. је изашао на двобој због Стефани. Ноћ уочдвобоја је писао о теорији група. Тада је написао сажетак свог цјелокупног рада. У тодвобоју је рањен и сутрадан је умро. Сахрањен је 02.06.1832. Његов брат и пријатељ сњегове папире послали Гаусу и Јакобију. Zozef luivil

Жозеф Лиувил (1809. – 1882.) је 1843. обавјестио академију да има рјешење проблема дли је несводљива једначина простог степена рјешива помоћу радикала. 1846. је часопису „Анали за чисту и примјењену математику“ објавио свој рад, који је дана

теорија Галоа. Он није дао свој коментар на Галоин рад, али се сматра да је допуњавадоказе гдје је то требало. Допуне и објашњења Галоине теорије први даје: Enriko beti

Енрико Бети (Betti, 1823. – 1892.) је први доказао да је Галоина група затворена множење. Познат је по свом раду из алгебре и топологије. Дао је велики допринопреласку из класичне у модерну алгебру. 1854. је доказао да се једначина 5. степена мож



97

ријешити помоћу елиптичких функција, а 1856. Шарл Ермит (1822. – 1901.) је то истдоказао. 1846. Лиувил објављује Галоаова дјела. У то вријеме за теорију група интересовало много математичара. Један од њих је био и Коши, који је објавио нитеорема о групама пермутација. Теоријом група се бавио и: Kamij zordan

Камиј Жордан (Jordan, 1838. – 1922.) – за њега је група била оно што је данас группермутација, а појам апстрактне групе је касније уведен. Он је 1869. објавио књигу теорији група пермутација гдје је испитивао матричне групе. Ту се јавља и теорема

Жордановој нормалној форми матрице. Један од математичара на које је Жордан утицабио је Норвежанин: Софус Ли (Lie, 1842. – 1899.) – Жордан је на њега утицао да схвати колико је теоригрупа важна за проучавање геометрије. Ли се бавио непрекидним групама, тј. групамматрица чији су елементи непрекидне функције. Са Лијем је на примјени теорије група

геометрији, радио и Феликс Клајн (1849. – 1925.). Прва аксиоматска теорија група јављсе 1856. од стране Артура Кејлија. Artur kejli

Артур Кејли (Cayley, 1821. – 1895.) се посебно интересовао за особине матрица детерминанти. Иначе, Кејли је био адвокат, тиме се желио новчано обезбједити како бмогао да се бави математиком. Још као адвокат, ишао је на Хамилтоново предавање кватернионима. За 14 година адвокатског рада је објавио 250 математичких радова. СКејлијем је на суду заједно радио и јевреј Џејмс Џозеф Силвестер (1814. – 1897.) који

такође био адвокат. И на суду су налазили времена да мало дискутују о математицСилвестер је 1851. пронашао дискриминанту за једначине 3. степена и први употријебио ријеч „дискриминанта“ и увео је термин „матрица“ 1850. године. Заједно ссе највише бавили теоријом матрица, ради примјене у вишедимензионалној геометриј1854. Кејли уводи појам апстрактне групе и схвата да су матрице и кватерниони групНа подручју данашње Пољске живио је Херман Гинтер Грасман (1809. – 1877

Допринио је развоју векторског рачуна. 1844. је објавио „О линеарним протезањима“, алњегово излагање није било јавно. Поред сабирања увео је и множење вектора.

Vilijam hamiltonВилијам Хамилтон (1805. – 1865.) је ирски математичар. Наводно, са 5 година училатински, грчки и јеврејски. Са 13 година се почео бавити математиком, са 15 је читаЊутна и Лапласа, са 17 је нашао грешку у једном Лапласовом дјелу, гдје је уочен његоталенат. 1843. је открио кватернионе (алгебарско проширење комплексних бројевкватерниони имају три имагинарне јединице i, j и k). Успио је формулисати њихов



98

множење. Више се бавио механиком. Први је употријебио ријеч „вектор“ у данашњеопштијем смислу. Vilard gibs

Џошуа Вилард Гибс (1839. – 1903.) се бавио векторском анализом. У посљедњчетвртини 19. вијека је увео савремене појмове вектора и векторског рачуна. То је првнаписао на папирима студентима 1881. и 1884., а рад је објавио 1901. године. Сва ова велика открића у алгебри доводе до њеног грањања. Извршена је реорганизациалгебре. У 20. вијеку је живио велики алгебриста Фан дер Варден (1903. – 1996.) који бавио низом математичких проблема, а најпознатији је по свом дјелу „Модерна Алгебраиз 1930. у два дијела. Имао је много открића у алгебри: алгебра Галоа, синтетичке груптеорија инваријаната, линеарне групе, Лијеве групе итд.

ИСТОРИЈА РАЧУНАРСТВА

Istorija racunarstva

Рачунарство у ужем смислу: Коришћење електронских рачунара. Рачунарство у ширесмислу: Коришћење било каквих рачунских помагала.

Рачунаљка

Прсти Математичке таблице (таблице множења, квадрата и кубова) Адаптирање математичких поступака за рачунање

Тригонометрија (таблице, трансформисање множења у сабирање) Проналазак логаритама

Прве машине за рачунање (Паскал, Лајбниц, Утред – шибер) Астрономска израчунавања у XVIII и XIX веку

Жакар (Jacquard, Joseph-Marie, 1752 – 1834) и бушене картице око 1805.

Бебиџ (Babbage, Charles, 1791 – 1871) je око 1812 дошао на идеју да направмеханичку машину која би аутоматски израчунавала астрономске таблице, а ок1820 је добио државну помоћ да направи машину, која би израчунавала разнматематичке таблице на 20 децимала. Око 1833 је дошао на идеју да направмашину која би имала 4 дела: део за рачунање, део за меморисање, део за унобројева и део за штампу. Ову машину никада није завршио. Аугуста Ада Кин



99

грофица од Лавлејса (Ada Augusta King, countess of Lovelace, 1815 – 1852) је 184написала програм за израчунавање Бернулијевих бројева на аналитичкој машини.

Холерит (Herman Hollerith, 1860 – 1929) od 1880 конструише машине статистичку анализу података на бушеним картицама и за сортирање картица. Овмашине се користе за обраду пописа становништва САД 1890. Он 1896 оснивфирму Tabulating Machines Corporation.

Шира примена стоних машина за рачунање у ХХ веку

Појава дигиталних електричних машина

Pojava digitalnih elektricnih masina

Електричне машине посебне намене. Џон Атанасов (John Vincent Atanasoff, 1903

1995) је са својим пост дипломцем Клифордом Беријем од 1937 до 1942 развија рачунар за нумеричко решавање диференцијалних једначина. Рачунар је користи

бинарну аритметику и кондензаторе као меморију. Eлектричне машине опште намене ENIAC, Цузе (Conrad Zuse) Z4

Теоријске основе Алан Тјуринг (Alan Turing, 1912 – 1954), “On Computab

Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem” (О израчунљивибројевима са применом на проблем одлучивости) 1936. Тјуринг 1945 описуАутоматску рачунску машину (Automatic Computing Engine, ACE). Џон фон Нојма(Janos Neuman, 1903 – 1957), архитектура „Preliminary Discussion of the Logic

Design of an Electronic Computing Instrument“ 1946.

Покушји комерцијализације Преспер Екерт (John Prespert Eckert, 1919 – 1997), ЏоМокли (John William Mauchly, 1907 – 1980) (UNIVAC), IBM

Комерцијални рачунари 1950 – 55. Цена око $1000000.

1953 IBM 701

Успех комерцијализације појава тржишта, велики рачунари

Први компајлери, Грејс Хопер (1906 – 1992), комбиновање подпрограма (рутина

израчунавање) из библиотека у програм. Коришћење меморије од магнетних језгара, појава хардверске реализације реални

бројева, Бекус (John Warner Backus, 1924 – 2007) развија програмски језиFORTRAN, 1956, (IBM 704), развој програмских језика (COBOL 1959)

Почетак примене транзистора уместо електронских цеви - око 1956. ИБМ 709

велики успех транзисторизованог рачунара (неколико стотина по $2000000 комад)



100

Магнетни дискови 1957

Крајем 1960 је било коришћено око 6000 рачунра у САД,

Програмски језик Algol 60. Структурно програмирање, Функционални програмск језици, Логичко програмирање. Симболичко рачунање.

Тајм шеринг 1961, Кемењ (John George Kemeny, 1926

– 1992)

и Курц(Thom

Kurtz) Бејзик 1964. Систем/360, омогућује да све машине имају исту архитектуру, интегрална кола

6600 први супер рачунар

Минирачуннари

CDC (Control Data Corporation) 1960 уводи 160, рачунар величине стола, $6000конструктор Сејмур Креј, реч од 12 бита

DEC (Digital Equipment Corporation) PDP-8, испоручује се 1965, са ценом $18000,за пар година мање од $10000. Примена телепринтера, бушене траке и ASCII кодИме по мини сукњи.

Друга генерација мини рачунара 1970, PDP-11, систематска примена магистрале, 1битна реч

Флопи диск од 8 инча 1971, IBM.

Најпопуларнији мини је био VAX 11/780 који се почео продавати 1978 за $120000више. VMS оператвни систем, 32 битни.

Лични рачунари

Проналазак микро процесора 4004, 1971, 8008 април 1972, 8080 у 1974, Z80

Калкулатори HP-35, 1972, HP-65, 1974

CP/M,

А pple 1976, Steve Jobs (1954 – 2012), Tandy TRS-80, 1977, Apple II 1977, флопдрајв од 5¼ инча и 113 kB. 1979 визикалк (Daniel Bricklin, Robert Frankston)

IBM PC 1980, Lotus 1-2-3, 1982, IBM PCAT

Xerox PARC, основан 1970, Тамо су усавршили миша, пронађеног 1967, применили иконе. Пронашли су и ласерски штампач који је пласирао ННаправили су Аlto компјутер који се није продавао. Посета Џобса 1979, Мекинто1984, програм за цртањее, 1985 јефтин ласерски штампач и програм Pagemaker.



Windows 95, 98, 2000, XP(2001), Vista, 7, 8, 8.1 ...

Дигитална штампа

Дигитална фотографија

Дигитални звук

Дигиталне комуникације Дигитални филм и телевизија

Istorija matematike

Documents

Transcript of Istorija matematike