Ushtrime Matematike

10
1. BASHKESIA . LOGJIKA. A={l,2,3} lEA; 2EA; 1 ,2,3 jane elementet e bashkesise A. 5 nuk eshte element i bashkesise A Bashkesi te barabarta: [( 'tfxEA=:>xEB} /\( 'tfxEB=:>xEA)} <::::/A=B Bashkesia boshe eshte bashkesia qe nuk ka asnje element. Shenohet <I>. Nenbashkesia e nje bashkesie ( \Ix EB=:> x EA)} =:>B cA.. Bashkesia me n elemente ka 2" nenbashkesi. 1) <l>cA; 2) AcA; 3) (AcB) 4) (AcB) Bashkimi i bashkesive: AuB={ xi xEAv xEB}. (Fig.1.1) Prerja e bashkesive: AnB={ xix EAA x EB}. (Fig.1.2) Fig. 1.1 A B A B Fig. 1.2 AUB Vetite: l)AuA=A; 2)AuB =BuA; 3)AnA=A; 4)AnB = BnA;5) Au<;ll=A; 6)An@=<P 7)An(BuC) = (AnB) u (AnC); 8)Au (BnC) = (AuB) n (AuC) 9)n(AuB)=n(A) +n(B) - n (AnB) 10) n(A \B)=n(A) - n(AnB) Plotesi i nje bashkesie. = {x Ix EE J\ x ( Fig.1.3) Ndryshesa e bashkesive A\B = {x Ix (Fig.1.4) Fig. 1.3 Fig. 1.4 www.mesoj.net

Transcript of Ushtrime Matematike

1. BASHKESIA . LOGJIKA.

A={l,2,3} lEA; 2EA; 5~A 1,2,3 jane elementet e bashkesise A. 5 nuk eshte element i bashkesise A Bashkesi te barabarta: [( 'tfxEA=:>xEB} /\( 'tfxEB=:>xEA)} <::::/A=B Bashkesia boshe eshte bashkesia qe nuk ka asnje element. Shenohet <I>. Nenbashkesia e nje bashkesie ( \Ix EB=:> x EA)} =:>B cA.. Bashkesia me n elemente ka 2" nenbashkesi.

1) <l>cA; 2) AcA; 3) (AcB) A(BcA)~A=B; 4) (AcB) A(BcC)~AcC Bashkimi i bashkesive: AuB={ xi xEAv xEB}. (Fig.1.1) Prerja e bashkesive: AnB={ xix EAA x EB}. (Fig.1.2)

Fig. 1.1 A B A B Fig. 1.2

AUB

Vetite: l)AuA=A; 2)AuB =BuA; 3)AnA=A; 4)AnB= BnA;5) Au<;ll=A; 6)An@=<P 7)An(BuC)= (AnB) u (AnC); 8)Au (BnC)= (AuB) n (AuC) 9)n(AuB)=n(A) +n(B) - n (AnB) 10) n(A \B)=n(A) - n(AnB) Plotesi i nje bashkesie. c~ = {x Ix EE J\ x ~A} ( Fig.1.3)

Ndryshesa e bashkesive A\B={x Ix EAAx~B} (Fig.1.4)

Fig. 1.3 Fig. 1.4

5

www.mes

oj.ne

t

Prodhimi kartezian i bashkesive: AxB = {(x,y) Ix EAAyE B} A= {1 ,2,3} ; B= {a,b}; AxB={(l ,a) ;(l ,b) ;(2,a) ;(2,b);(3,a);(3 ,b)} AxB -:t- BxA n( AXxB )=n( A)· n(B )= n(B) · n( A )=n(B xA)

Logjika

Pohimi (p) ; mohimi (p)

Disiunksioni, koniunksioni, implikimi. Vlerat e vertetesise.

p q pA q pvq p~q

v v v v v v R R v R R v R v v R R R R v

Ligjet logjike:

-l)(p ~ q) <=> (q ~ p) . Ligji i kundervendosjes.

- -2) [p ~ (q /\ q) ] 2> p. Ligji i absurditetit

3) (p v q) <::> p /\ q. Ligji i pare i Morganit.

4)p /\ q <::> p v q. Ligji i dyte i Morganit.

5)[(p ~ q) /\ p] ~ q. Modus ponens. - -

6)[(p ~ q) /\ q] ~ p. Modus tollens.

6

-p R R v v

-pv q v R v v

www.mes

oj.ne

t

TESTI 1. BASHKESIA. LOGJIKA

1.Jepet AnB= {a,b,c} dhe AnC= { a,b,c,d,e}. Sa elemente ka bashkesia An(BuC)? Zgjidhje: An(BuC)= (AnB) u(AnC)= = { a,b,c,d,e} .Rijedhimisht n { An(BuC)} =5

2.Jepet AuB=={a,b,c,d,} dhe AuC== {b,c,e,f}. Gjej bashkesine Au(BnC). Zgj idhj e: A u (BnC)= (A uB) n(A uC)= {b,c}

3.Jepet A={xl-3<x<3;xEZ

dhe B={xlx 2 ~ 9;xEZ }. Gjej

AnB. Zgjidhje: Meqe AcB => AnB=A 4.Jepet n(AnB)=6; n(A)=n(B) dhe n(AuB)= l4.Gjej numrin e nenbashkesive te bashkesise B. Zgjidhje: Kemi:n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) => 14=2n(B)-6=>n(B)= l 0. Rtjedhimisht numri i nenbashkesive te B eshte 210=1024

5.Jepet n(A)=12; n(B)= LO . dhe n(AuB)= l 8. Gjej n(A\B).

Fig. 1.5

A B

7

Zgjidhje: Kemi: n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) => n(AnB)=12+ 10-18=4. Nga figura 1 kemi: n(A\B)=n(A)- n(AnB)= l 2-4=8

6. Jepet n(A)=5n(B); n(A \B)=2 1 dhe n(AnB)=4.Gjej n(B\A). Zgjidhje: Nga figural .5 kemi : n(A)=n(A \B)+n(AnB)= =2 1+4=25=5n(B) =>n(B)=5nga ku n(B\A)=n(B)-n(BnA)= 5-4=1

7 .Sa elemente ka bashkesia A={ (x,y)/ x2+y2=5; x,yEZ}? Zgjidhje: Elemente te bashkesise se kerkuar jane c;:iftet (1 ,2); (-1,2); (1 ,-2);(-1,-2) (2,1);(-2, 1);(2,-1);(-2,-1) . Gjithsej 8.

8. AuB ka 128 nenbashkesi, ndersa AnB ka 2 nenbashkesi. Jepet n(B\A)=3. Gjej n(A\B). Zgjidhje: . Numri i nenbashkesive te nje bashkesie te dhene eshte i11

• Kemi : 211=128 => n=7 dhe 211=2=> n= l. Kemi : n(AuB)= n(A\B)+ n(B\A)+n(AnB) => n(n(A\B)=7-3-1=3 elemente.

9. Ne nje grup nxenesish 35% mesojne matematike dhe 75% mesojne kimi. 4 nxenes mesoJne edhe matematike edhe kimi. <;::do

www.mes

oj.ne

t

nxenes meson te pakten nje lende. Sa nxenes mesojne vetem matematike? Zgjidhje : Kemi: n(MuK)=n(M)+n(K)-n(MnK) 100 = 35 + 75 - n(MnK) => => n(MnK)=10% qe jane 4 nxenes. Rijedhimisht klasa ka 40 nxenes nga te cilet 40·35%=14 nxenes mesojne matematike. Meqe 4 prej tyre mesojne edhe kimi, del qe 10 nxenes mesojne vetem matematike.

10. Ne nje grup prej 39 nxenesish, nmmi i nxenesve qe luajne futboll eshte 2 here me i madh se nmmi i nxenesve qe luajne volejboll. 9 nxenes i luajne te dy spo1tet. Sa nxenes luajne vetem futboll? Zgjidhje: Kemi: n(FuV)=n(F)+n(V)-n(F n V) => =>39=3n(V)-9=>n(V)= 16=>n(F)=32 Nga keta 9 i luajne te dy sportet eshtu qe 32-9=23 nxenes luajne vetem futboll.

11.Jepet n(A)=8 n(B)= 10 n(AuB)= 16. Gjej n(A\B). Zgjidhje: u(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) => n(AnB)=8+ 10-16=2 n(A \B)=n(A)- n(AnB)=8-2=6

12. Jepet BcAcM; n(A\B)=3n(B); n(M\A)= 2n(A) + 1. Cili eshte nunu·i minimal i elementeve te bashkesise M? Zgjidhje:

8

Fig. 1.6

Shenojme n(B)=x. Kemi: n(A \B)=3x dhe n(M\A)=8x+ 1. n(M)=n(B)+n(A \B)+n(M\A)= =x+ 3x+8x+ 1=12x+ 1. Viera me e vogel e x eshte 1, rrjedhimisht nurnri minimal i elementeve te bashkesise M eshte 12.

13.Jepet n(AnB)=x-2; n(A)=2x+ 1; n(B)=x+ 1. Nmmi i nenbashkesive te AuB eshte 1024. Gjej n(A \B). Zgjidhje: Kemi 211=1 024=> n= lO. n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) => => 10=2x+l+x+l-x+2 =>x=3. n(A)=7 dhe n(AnB)= l. n(A\B)=n(A)- n(AnB)=7-1=6

14. AxB= { ( 1,2);(2,2) ;(3 ,3 );(3 ,2);(2,3 ); (1,3)}. Gjej AnB. Zgjidhje: Nga kushti gjejme: A={l,2,3} dhe B= {2,3}, nga ku AnB.={2,3}

15.Shkruaj te gjitha nenbashkesite e bashkesise { 1,2,3}. Zgjidhje: { 1}; {2}; {3}; { 1,2}; { 1,3 }; {2,3}; {l ,2,3 }; <D. Gjithsej 23=8.

www.mes

oj.ne

t

16. Jepet ActB; n(AnB)=4 dhe n(AuB)= 10. Sa eshte vlera me e vogel per nurmin e nenbashkesive te A? Zgjidhje: Meqe n(AnB)=4 dhe ActB, A ka te pakten 5 elemente. Rrjedhimisht numri i nenbashkesive te saj eshte 25=32.

17. A = {x E Z ljx - 3j ~ 2} dhe

B={xEZ/jxj~l}

Gjej B\A. Zgjidhje: Ix - 31 ~ 2 ~ - 2 ~ x - 3 ~ 2 ~ 1 ~ x ~ s jxj s; 1 ~ -1 ~ x ~ 1

B\A={-1,0}

18. Jepet An B = ~,n(A u B) = 15

dhe n(B)=9. Sa elemente qe nuk bejne pjese ne bashkesine B, bejne pjese ne bashkesine A? Zgjidhje: Meqe AnB=cD kemi: n(AuB)=n(A)+n(B) nga ku n(A)=n(AuB)-n(B)=15-9=6

19.Jepet n(A)=7; n(B)= lO dhe p ~ n(A u B ~ q. Gjej q-p.

Zgjidhje: Nga harazimi n(AuB)=n(A)+n(B)-n(AnB) kemi 10 ~ n( A u B) ~ 17 nga ku

q-p= l 7-10=7

20. A dhe B jane dy bashkesi. AnB ka 16 nenhashkesi; n(A\B)= l

9

dhe n(B\A)= l. Gjej numnn e nenhashkesive te AuB. Zgjidhje: Nga kushti kemi n(AnB)=4. n(Au B )=n(A \B )+n(B\A)+n(AnB) =1+1+4=6. Rrjedhimisht AuB ka 26=64 nenhashkesi.

21. Cilin prodhim kartezian paraqet pjesa e vijezuar ne fig. 1. 7?

Fig. 1.7 y ~'

2 -3

, x 0

Pergjigje: Prodhimi kartezian i kerkuar eshte

]1,3]x [l,2]

22. Jepet pohimi: " Neqoftese hen ?.iimnastike, atehere je shendetshem". Shkruaj: I

a) Mohimin e tij. h) Te kundertin e tij. c) Te anasjellin e tij: Zgjidhje: a) Ben gjimnastike, dhe nuk je i shendetshem. h) Neqoftese nuk hen gjimnastike, atehere nuk je i shendetshem. c) Ne qoftese je i shendetshem, atehere hen gjimnastike.

23. J epen pohimet: p: "8 plotepjestohet me 2" dhe q: "2+3=7". Gjyko per vertetesine e pohimeve:

www.mes

oj.ne

t

p~q;;q~ p;p ~ q;q~ p

Zgjidhje: . a) p~q eshte i neme sepse p eshte 1

vertete dhe q i neme. b) q~p eshte i vertete sepse q eshte i rreme dhe p i vertete;

c)p ~ q eshte i vertete sepse p eshte

i rreme dhe q eshte i vertete.

d)q ~ p eshte i rreme sepse q eshte -

i vfatete dhe p i rreme.

24. Pohimi" Nese numri natyror mbaron me zero, ai plotepjestohet me 5" eshte i vertete. A njedh qe ketej se numrat qe plotpjestohen me 5 mbarojne me zero? · Zgjidhje: Jo, sepse nga pohimi p~q nuk njedh pohimi q~p. ( Psh nmmi 15 plotpjestohet me 5, por nuk mbaron me zero)

25. Jepen predikatet: p(x): x=5 dhe q(x): x2=25. Gjej bashkesine e vertetesise se predikateve E1: p(x)~q(x) dhe E2: q(x)~p(x) .

Zgjidhje: Ndertojme tabelat e vlerave te vertetesise se predikateve p(x); q(x); p(x)~q(x) dhe q(x)~p(x). Kemi :

10

Fig. 1.8

x -5 5

p(x) R R.. R I R

q(x) R , ,,

R 1 I R

p(x)=>q(x) v ·v v ' v q(x)=>p(x) v R.. v , , v

Kemi: E1=R; E2=R-{-5}

26. Pohimi " Nese sot eshte <lite e diele, atehere neser eshte e premte" eshte i veitete. (:' <lite e javes eshte sot? Zgjidhje: Shenojme p:" Sot eshte e diele" dhe q: "Neser eshte e premte". Pohimi p~q eshte i vertete. Po te ishte i vertete pohimi p, qe implikimi p~q te ishte i vertete duhet te ishte i vertete pohimi q. Rrj edhimisht pohimi p eshte i rreme. Ne kete menyre nuk mund te gjendet se r;:'dite eshte sot.

27. Pohimi :" Nese sot eshte <lite e marte atehere neser eshte e hene"

' eshte i neme". (:' <lite e javes eshte sot? Zgjidhje: Meqe implikimi p~q eshte i rreme, ,kjo ndodh vetem ne rastin kur p eshte i veitete dhe q i neme. Rrjedhimisht sot eshte e maite. www.mes

oj.ne

t

TESTI 1.1 BASHKESIA. LOGJIKA. VARIANT! A

1.Jepet M={0,1} dhe N={x/2<x-:;,7;xEZ} .Gjej

MuN. A) {0,1,3,4,5,6,7};B){O,l};C)N D) {0,1,2,3,4,5,6,7}

2. JepetM={-3,0,2,4,6}; N= {2,4}; P={~3,2,6}; Q={-3,0,3} . Sa nga relacionet e meposhteme jane te verteta: I)McN; IJ)NcM; III)PcM;IV)PcQ V) QcM; VI) NuPuQ=M A)l; B)2; C)3; D)4

3. Jepet

M= { 0, 1, {2}, {2,b,c}, { m,n,p },5}. Sa nga relacionet e meposhteme jane te verteta: A) 2~M; B){2}c M ;C){2,b} EM

D){0,5} c M ;E) {J.2,b,c},1 }c M F) <DEM; G) n(M)=6; H) {0,1,2,5}c M A)4; B)5; C)6;D)7

4. Jepet AnB= {l,2,3} dhe BnC=f2,4,5}. Gjej Bn(AuC). A) {2} ;B) { 1,2,3,4,5} ;C) {2,3} ;D) { 1}

5.JepetA={ 1,3, {1,2} ,{2,3},{4}}. Cili relacion eshte i vertete? A){l,3} EA; B){l ,2}cA;C)3 ~A D){4}EA

11

6. Cili eshte numri me i vogel i bashkesise [- 4,3[ n [-3,4[ ?

A)-3; B)-4; C)3; D)4

7. Jepet AuB={l,2,3,4,5} dhe AuC={ 1,3,4,5,7,9} .Gjej Au(B nC). A){ 1,3,4,5} ;B) { 1,2,3,5 } ;C)cD; D){,9}

8. Jepet A= {l ,2,3} dhe B= {l,3,4}. Sa nenbashkesi ka bashkesia AnB? A)9; B)4; C)6; D)2

9. Jepet Mf'N=N. Cili nga relacionet e meposhtme nuk mund te ndodhe ne asnje rast? AJM=N; B)NcM;C)N=cD; D) M=cD · dhe N;t:cD ·

' '

10. Jepet A={l,2,3,4} dhe B= {2,4,5,6}. Gjej A\B. A) { 1,2,3,4} ;B) {cD} ;C) {2,4} D){l,3 }. 11. Cili nga relacionet e meposhtem eshte i gabuar? A) NcZ; B)A=B=>n(A)=n(B); C) n(A)=n(B) :=>A=B; D) (xEBABc M) => xE M.

12. Jepet AxB= {(l,1);(1 ,3);(2,1); (2,4);(3,4);(1,4);(2,3);(3 , I ),(3,3)} dhe BxC={ (1, 1);(3,2);(4, 1);(4,2); (3,1);(1,2)}. Gjej Cn (Au B). A) { 1,2,3 } B) { 1,2} ;C) { 1} ;D){l,3}.

www.mes

oj.ne

t

13.Ne nje grnp prej 20 vajzash, 8 pine 9aj, por jo kafe, ndersa 15 pijne 9aj. Sa vajza pijne kafe por jo 9aj? A)l2; B)8; C)5; D)4

A = { x E Z !Jx - 3J ::; 6} dhe 14.

B = {x E R!Jx - 2J 2 5}

Gjej n(AnB). A)6;B)5; C)4;D)3

15 .Ne nje grnp nxenesish 20 mesojne matematike, 12 mesojne kimi dhe 5 nxenes i mesojne te dyja lendet. <;do nxenes · eshte i angazhuar te pakten ne nje lende. Sa nxenes ka grupi? A)32;B)25;C)27;37

16. Cila nga fjalite e meposhtme nuk eshte pohim? A) x=5:::?-x=10 B) Sot eshte <lite e maite. C) Tirana eshte qytet i madh. D) Beni luan futboll

17 . J epen pohimet: p: Tirana eshte kryeqytet Shqiperise. q: Kori;:a eshte kryeqytet Shqiperise. Cili nga pohimet e meposhtme eshte i vfatete?

- -A)p A q;B)p A q; C)p A q;D)p v q

18. Pohimi: " Nese lulja eshte me gjemba, ajo eshte trendafil" eshte i

· vertete. Cili nga pohimet e

12

meposhtem eshte gjithashtu vfatete? I) Nese luij a nuk eshte me gjemba, ajo eshte trendafil. II) Nese lulj a eshte trendafil, ajo eshte me gjemba. III) Nese lulj a nuk eshte trendafil, ajo nuk eshte me gjemba A) Vetem I; B) Vetem II; C)Vetem III; D) Vetem I dhe III;E) Te trija.

19. Cili pohim eshte gjithmone gabuar?

A)pAp;B)pv p;C)p:::? p;D)pAp

20. Cili nga pohimet e meposhtem eshte gj ithmone i vfatete?

A)a2 = 9 => a = 3;

B)a + b = 3 => a = 2 dhe b= 1

a C) - = 0 => a = 0 ose b :;t 0

b

D)a-b=O => a · b=a 2

21. Cili eshte mohimi i pohimit: =ix, x2+ 3x-1 <O. A) =ix, x2+3x- l >O. B) Vx, x2+3x-120 C) =ix, x2+3x- l ;::::O .D) B) ·\:Ix, x2+3x-1>0

22. Cili predikat eshte i vertete ne R? A)\:/x, (x2 +1) < O; B)3x, (x2 + 1) ::; 0

C)Vx,JxJ = x;D)3x, (x 2 - 1) < 0 www.m

esoj.

net

TESTI 1. 2. BASHKESIA. LOGJIKA. V ARIANTI B

1. Cili nga pohimet e meposhtem eshte i gabuar? A) <:;do numer natyror eshte i plote. B)Disa numra periodike jane irracionale. C) <:;do numer i plote eshte numer real. D) Ka nmma racionale te cilet jane numra te plote.

2.Jepet AuB={l,2,3,4,5,6} dhe A= {l ,3,4,5} .Gjej numrin minimal n dhe numrin maksimal N te elementeve te bashkesise B. A) 11=2, N=6; B)n=6,N=10 C) n=4,N=4 ; D)n=4,N=6

3.Jepet

A= )-2,3) ;B = {x E N/x = 2k-1,k EN}

dhe C = Z. Gjej (An B) n C

A)[l ,3]; B){l,3};C){- l ,1,3 };D)Z

4. Jepet A={l,2,3,4,5} dhe B={2,3,6,7}. Gjej (AvB)\ (AnB). A){l,4,5,6,7}; B){l,2,3,4,5,6,7}; C)A; D)B

5.Jepet Au B={l,2,3,4,5,6} ~ A={l,2,3} dhe A\B={l,2,3}. Gjej B\A. A){3,4,5}; B){3,4} ~) {4,5,6} ;D {5,6}

6. J epet ( AnB )= { 1,2,3} dhe

13

(AnC)= {l ,3,4,5}. Sa elemente ka bashkesia An( BuC)? A)3; B)4i C)5; D)6

7. Cili nga relacionet e meposhtem eshte i gabuar? A) (An B) nC =An (B nC) B) (Au B) u C =Au (B u C) C) Au( BnC) =(Au B) n (Au C) D) An (Bu C)= (An B) u C

8 A= {x I x 2 > 25 /\ x E Z}

.Jepet · B = { x !lxl s 6 /\ x E N}

Sa eshte numri i nenbashkesive te AnB? A) 1 ;B)2;C)6;D)256

9.n(A)=3n(B);n(A\B)=12; n(B\A)=2. Gjej n(AnB).

A)2;B)3;C)4; D)5

10.n(B)=14;n(A\B)=l 1 ;n(AnB)=6. Gjej n(Au B).

A)25; B)28;C)32;D)34

11. Ne nje g~p prej 25 nxenesish, secili eshte i anazhuar ne loj e. 15 luajne shah dhe 8 luajne shah e pingpong. Sa prej tyre luajne vetem pingpong? A)lO; B)7;C)l 7;D)15

www.mes

oj.ne

t

N.q.s deshironi qe te aksesoni materialin e plote, se bashku me shume materiale te tjera, klikoni ne

linkun e meposhtem

www.mesoj.net