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Scientia

ForeStaliS

299Sci. For., Piracicaba, v. 37, n. 83, p. 299-311, set. 2009

Uso de sólidos geométricos para gerar equações de forma do tronco de árvores em pé

Use of geometric solids to generate equations of the bole form of standing trees

Valdir Carlos Lima de Andrade¹, Natalino Calegario², Agostinho Lopes de Souza³, José Luiz Pereira de Rezende², Paulo Fernando Trugilho²,

Sebastião Carlos da Silva Rosado² e José Reinaldo Moreira da Silva²

Resumo

O objetivo deste trabalho foi gerar equações de forma do tronco a partir do sólido geométrico que, em média, minimiza os desvios entre diâmetros deste e diâmetros do tronco das árvores. Para decidir por este sólido geométrico, empregando o Software R versão 2.5.0 ambiente Windows, analisou-se o ponto de mínimo dos desvios em relação aos índices que representam os diferentes sólidos geométricos e o posicionamento destes ao longo do tronco segmentado das árvores. Dados de cento e oitenta e oito ár-vores cubadas e dados obtidos pela simulação da cubagem empregando-se o método da altura relativa, supondo-se as 188 árvores-amostra em pé, foram utilizados concluindo-se que a forma dos sólidos geo-métricos que mais se assemelham à forma do tronco de árvores, é dependente do seu comprimento e do posicionamento considerado no tronco da árvore e que, para emprego do método da altura relativa em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h, o sólido geométrico adequado propicia pior nível de acurácia na quantificação dos multiprodutos da madeira que o uso da análise de regressão para estimar coeficientes angulares da reta.

Palavras-Chaves: Sólidos geométricos, Método da altura relativa, Cubagem rigorosa, Inventário florestal

Abstract

This work studied the different geometric solids that best represent the form of standing tree stems. The ob-jective was to generate stem form equations starting from the geometric solid that, on average, minimizes the deviations between these diameters and diameters of the log, being defined as dendrometric opti-mized prototype (pd optimized). To decide for pd optimized, the point of minimum deviations was analyzed in relation to the indexes that represent geometric solids positioned along the segmented trees stems. The data used were obtained in from volume determination of 188 tree samples and also from data obtained from the in the volume determination simulation, using relative height, as if the 188 sampled trees were standing. In general, it was concluded that pd optimized depends on the length and on the position in the trunk of the tree and that; for employment of the relative height method on trees where DBH and height only were measured, pd optimized propitiates a better accuracy level in the quantification of the multiproducts of the wood than that obtained when using the regression analysis to estimate angular coefficients of the straight line.

Keywords: Geometric solids, Relative height method, Rigorous volume determination, Forest inventory

¹Doutor em Floresta de Produção pelo Departamento de Ciências Florestais da Universidade Federal de Lavras – Caixa Postal 3037 - Lavras, MG – 37200-000 – E-mail: [email protected]

²Professor Doutor do Departamento de Ciências Florestais da Universidade Federal de Lavras - Caixa Postal 3037 - Lavras, MG – 37200-000 – E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]; [email protected]

³Professor Doutor do Departamento de Engenharia Florestal da Universidade Federal de Viçosa - Avenida PH Rolfs s/n – Campus Universitário – Viçosa, MG - 36570-000 – E-mail: [email protected]

INTRODUÇÃO

Equações de forma do tronco são geradas a partir de dados de cubagem obtidos à parte das árvores que são amostradas nas parcelas de inventário, geralmente, em uma área fixa e pequena em relação à área total inventariada.

Isto proporciona uma amostragem tendo baixa representatividade da forma real do tronco das árvores que constituem os diferentes cenários encontrados nas populações florestais.

Seria ideal gerar equações de forma do tronco utilizando dados obtidos simultaneamente com as medições realizadas nas parcelas de inventá-

Andrade et al. – Uso de sólidos geométricos para gerar equações de forma do tronco de árvores em pé


rio, tomando-se poucos diâmetros do tronco de árvores-amostra em pé. Isto vai permitir gerar equações tendo maior grau de representativida-de da forma real do tronco das árvores existentes na área, pois se aproveitará a representativida-de proporcionada pelas parcelas distribuídas na área inventariada, além de promover rapidez na coleta de dados de cubagem uma vez que esta será simulada e não mais realizada em árvores-amostra abatidas ou em pé.

Diante dessa situação exposta, Andrade e Leite (2001) desenvolveram o método da altura relativa que se adequou bem como um simula-dor da cubagem de árvores em pé e localizadas dentro das parcelas de inventário. Nesta meto-dologia, a partir da medição de apenas três di-âmetros do tronco de árvores em pé, são gera-das equações segmentadas de forma do tronco por meio de geometria analítica. A simulação de uma cubagem, empregando-se um dos mé-todos detalhados em Gomes (1957), Husch et al. (1972) e Machado e Figueiredo Filho (2006), gera diferentes sortimentos para se quantificar de forma confiável o volume comercial desejado da madeira, conforme Andrade (2001) e Thiers-ch et al. (2006).

No emprego do método da altura relativa, é aconselhável medir todas as árvores localizadas dentro das parcelas de inventário sem o abate. Como isto se torna oneroso, dado ao grande número de árvores amostradas pelo inventá-rio, Andrade (2001) e Andrade et al. (2006) recomendaram medir apenas parte das árvo-res considerando-as como amostra para gerar equações segmentadas de forma do tronco vi-sando o emprego destas equações no restante das árvores das parcelas, nas quais se mediram apenas o diâmetro situado a 1,3 m do solo (d1,3) e a altura total (h).

Nas árvores onde se mediram d1,3 e h, pode-se utilizar o coeficiente angular médio da reta, os parâmetros estimados, ou ainda, equações geradas para estimar os diâmetros em 0,3 m, e em hr = (h-2)/2, conforme pode-se ver mais detalhes em Andrade (2001). Outra alternativa é o uso da equação que representa um sólido geométrico, assumindo que esta representa também uma equação de forma do tronco, des-de que se refira ao sólido geométrico que, em média, melhor se assemelha à forma do tronco segmentado de árvores.

Tendo em vista o exposto, desenvolveu-se este estudo com o objetivo de gerar equações de forma do tronco a partir do sólido geométrico

que, em média, minimiza os desvios entre diâ-metros deste e diâmetros gerados por meio de geometria analítica como alternativa para em-prego do método da altura relativa em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h em parcelas de inventário florestal.

Diante disso, preliminarmente a este estudo, foram enunciadas as seguintes hipóteses teóricas: Hipótese 1- A equação que representa um sólido geométrico, o qual, em média, minimiza o des-vio entre diâmetro deste e diâmetro real ao lon-go do tronco de árvores, pode ser considerada como sendo uma equação de forma do tronco; Hipótese 2- A equação que representa um úni-co sólido geométrico, obtido para um deter-minado segmento do tronco, tem o mesmo nível de acurácia que a equação que represen-ta um sólido geométrico obtido para cada altura do segmento do tronco considerado; Hipótese 3- A divisão do tronco de árvores em maior número de segmentos, para se deci-dir por um sólido geométrico, melhora o nível de acurácia das equações de forma do tronco; Hipótese 4- Equações de forma do tronco, ge-radas a partir da simulação de sólidos geométri-cos com dados reais de cubagem, apresentam o mesmo nível de acurácia que equações de for-ma do tronco geradas com dados de cubagem simulados por meio de geometria analítica e; Hipótese 5- Com o emprego do método da altu-ra relativa, em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h, ao invés da análise de regressão no coefi-ciente angular da reta, pode-se gerar equações de forma do tronco a partir de um sólido geométri-co que melhor se assemelha aos dados de uma cubagem simulada com geometria analítica.

MATERIAL E MÉTODOS

A metodologia desenvolvida foi apresentada por meio de um estudo de caso feito com da-dos de 188 árvores-amostra abatidas de eucalip-to utilizadas por Andrade (2001). Estes dados de árvores-amostra abatidas foram utilizados como comparador com a cubagem destas árvo-res supondo-as em pé. Para isto foi empregada uma equação de forma do tronco gerada para diferentes sólidos geométricos e outra equação gerada por meio de geometria analítica.

Do total de árvores-amostra, 128 árvo-res tiveram dados reservados para um teste de aplicação das equações de forma do tronco geradas, as quais avaliaram a predição de di-âmetros do tronco, do volume total (vt) e do


volume comercial até o diâmetro de 4 cm com casca (v4). Neste teste de aplicação, realizou-se a análise de desvios por meio de gráficos e de um total percentual acumulado, obtido por: T%=|DPM|+|Bias|+[100-r(yi yi)]+s(yi yi)+P, cujas estatísticas foram obtidas por meio das se-guintes fórmulas:

DPM = 1 n

Σi=1 ( yi - yi )100;n yi

Bias = ( n

Σ yii=1-

n

Σ yii=1 )100;n

Σ yii=1

r(yi yi )=

n

Σyi yii=1- ( n

Σ yii=1 )( n

Σ yii=1 )n 100;

√n n

Σ (yi-y)² Σ (yi-y)²i=1 i=1

s(yi yi )= ± √n

/Σ (yi-yi )² (n-2)i=1 100;

y

P= ± √ (196)² n

Σi=1 ( yi-yi ) ²

χ²n yiem que:DPM = desvio percentual médio, yi e yi = valores estimados ou predito e real da variável avaliada (diâmetro, vt, ou, v4), n = número de pares de yi e yi;y = valor real médio; r(yi yi ) = correlação linear e entre yi e yi, s(yi yi ) = erro padrão residual entre yi e yi,P = exatidão obtida pela estatística Qui-quadra-do; eχ²n = valor tabelado do qui-quadrado para n graus de liberdade a 5% de probabilidade.

Utilizando os dados obtidos na cubagem de 60 árvores, separadamente, em cada segmento do tronco definido entre 0,0 m a 1,3 m (porção inferior ou basal), entre 1,3 m e hr1=(h-1,7)/1,7 (porção mediana), entre hr1 e hr3=(h-1,1)/1,1 (porção superior) e entre hr3 e h (porção api-cal), estudou-se a forma do tronco simulando diferentes sólidos geométricos (SG), aplicando-se a equação apresentada em Gomes (1957):

y = ± b xr (1).em que:y = raio da base de um determinado SG; x = comprimento total de um determinado SG;

r = índice que descreve um determinado SG; e b = constante.

Na equação (1), ao se variar o índice r, as-sumindo valores iguais a: 0, 1/3, 1/2, 2/3, 1 e 3/2, respectivamente, obtem-se um SG cilíndri-co, um SG cúbico, um SG quadrático, um SG semi-cúbico, um SG cônico e um SG neiloidal. Estes sólidos geométricos são os que melhor se adequam à forma de diferentes partes do tronco das árvores, os quais, conforme Gomes (1957) foram definidos como sendo Protótipos Den-drométricos.

O uso de diferentes protótipos dendrométri-cos (PD), para caracterizar a forma do tronco de árvores, exigiu algumas adaptações na equação (1) quanto aos limites inferior (hb) e superior (hv) que delimitam um determinado PD no tronco de árvores, cujo diâmetro é exatamente igual ao diâmetro do tronco em hb (Figura 1). Nesta situação, y da equação (1) passou a se re-ferir ao raio em hb (db/2) e x passou a ser o comprimento do PD (hv-hb), virtualmente, in-serido no tronco de árvores, resultando em: db/2 = ± b (hv-hb)r, onde b passou a ser obtido por:

b = (db/2)/(hv-hb)r (2).Ao aplicar a equação (2) em (1) para subs-

tituir b, variando x para representar diferentes raios yi em xi-ésimas partes ao longo do PD, obteve-se a seguinte equação:

yi =(db/2) xr

i (3).(hv - hb)r

Considerando que um determinado PD, em média, pode ser assumido como similar à forma do tronco de árvores, então, yi da equação (3) passou a ser o raio ao longo do PD (di/2) e xi passou a ser o comprimento em diferentes par-tes ao longo deste (hv-hi) que, após se realizar as devidas transformações algébricas, resultou na seguinte equação:

di = db( hv - hi ) r

(4).hv - hbem que:di = diâmetro de um determinado PD que, em mé-dia, pode ser assumido como o diâmetro do tron-co da árvore na i-ésima altura ao longo deste; db = diâmetro fixo no tronco de árvores referen-te a hb; hv = ponto no tronco referente ao vértice do PD; edemais já foram definidos.



É importante ressaltar que a equação (4) é si-milar a de Ormerod (1973), na qual o índice r é substituído por um parâmetro θ1 a ser estimado por análise de regressão, hv é substituído por h, db por d1,3 e hb por 1,3.

Ao considerar hv distante λ metros da altu-ra no tronco desejada para se saber o diâmetro, denominando-se λ de ponta do PD utilizado (Fi-gura 1), obteve-se uma outra equação para repre-sentar diferentes PD’s tendo a seguinte forma:

di = db( λ ) r

(5).hi + λ - hbAs equações (4) e (5) podem caracterizar a

forma do tronco de árvores considerando que, em média, os diâmetros do tronco sejam iguais aos diâmetros ao longo de um determinado PD. Para isto, deve-se assumir um nível de acurácia que resulte em desvios da forma real do tronco distribuídos confiavelmente, o que impõe a estas equações as seguintes formas, respectivamente:


+ desvio (6); ehv - hb

di = db( λ ) r

+ desvio (7)hi + λ - hbNas equações (6) e (7), cujas formas são

similares a um modelo estatístico, o desvio se refere ao quanto a forma prevista do tronco se distancia da sua forma real, assumindo a equa-ção que representa um determinado PD como sendo uma equação de forma do tronco. Neste caso, o desvio é expresso por meio de: desvio = di - di

, onde d é o diâmetro predito em diferentes partes do tronco de árvores.

Os desvios obtidos com o uso das equações (6) e (7) permitem definir o PD que, em média, pode ter seus diâmetros assumidos como diâ-metros ao longo do tronco de árvores desde que resulte no mínimo possível de desvio. Desta for-

ma, as equações (6) e (7), após serem definidas quanto ao PD mais adequado para representar a forma do tronco de árvores, assumem as seguin-tes formas:


(8); ehv - hb

di = db( λ ) r

(9).hi + λ - hbAplicando-se a equação (9), separadamente,

em cada segmento do tronco das 60 árvores, de-finidos como porção basal, mediana, superior e apical, e assumindo diferentes valores de λ para um mesmo r, obteve-se um valor que minimi-zou o total percentual entre o diâmetro de cada PD testado e o diâmetro do tronco, sendo deno-tado de λótimo. Este procedimento resultou em seis equações tendo a seguinte forma:

di = db( λótimo ) r

(10).hi + λótimo - hbEstas equações resultaram dos PD’s repre-

sentados pelos índices r iguais a: 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1 e 3/2. Assim, para decidir pelo PD que, em média, mais se assemelha à forma do tronco de árvores nas diferentes porções já definidas, empregou-se o mesmo procedimento anterior avaliando o total percentual de modo a obter um valor de r que representa o valor mínimo deste total percentual, representado por um rótimo com respectivo valor de λótimo, sendo de-notado de λótimoa. Obteve-se, então, uma única equação tendo a seguinte forma:

di = db( λótimoa ) rótimo

(11).hi + λótimoa - hbO procedimento adotado na equação (9), o

qual gerou a equação (11) para cada porção do tronco das 60 árvores-amostra, também foi ado-tado na equação (8), porém, tendo hv fixo em:

Figura 1. Tronco real de uma árvore tendo um protótipo dendrométrico, virtualmente, inserido entre os limites do tronco fixados em hv e hb.

Figure 1. Real trunk of a tree possessing a dendrometric prototype, virtually, inserted betwen hv and hb trunks fixed limits.


hr2=(h-1,4)/1,4, hr3=(h-1,1)/1,1 e em h, o que resultou em 6 equações tendo as seguintes for-mas, respectivamente, totalizando 18 equações:

di = db( hr2 - hi ) r

(12)hr2 - hb

di = db( hr3 - hi ) r

(13); ehr3 - hb

di = db( h - hi ) r

(14)h - hbAs 18 equações das formas (12), (13) e (14)

se referem aos seis índices r testados em cada uma destas equações iguais a: 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1 e 3/2. Assim, similar ao que foi feito para se gerar a equação (11), foi obtido um valor otimizado de r para cada equação das formas (12), (13) e (14), sendo denotados de rótimoa, rótimob e rótimoc, respectivamente. Os re-sultados permitiram gerar três equações tendo as seguintes formas:

di = db( hr2 - hi ) rótimoa

(15)hr2 - hb

di = db( hr3 - hi ) rótimob

(16); ehr3 - hb

di = db( h - hi ) rótimoc

(17)h - hbReconstituir a forma do tronco de árvores

em pé para quantificar multiprodutos da ma-deira onde se mediram apenas d1,3 e h, utili-zando equações geradas a partir de dados de cubagem de árvores abatidas ou em pé, pode não resultar em contribuição científica dada a grande quantidade já disponível de modelos estatísticos que expressam a forma do tron-co. Assim, para simular um cenário de uso do método da altura relativa em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h, obteve-se λótimoa e ró-

timo para a equação (11) e, respectivamente, róti-

moa, rótimob e rótimoc para as equações (15), (16) e (17). Neste caso, assumiu como reais uma cubagem feita pelas equações segmentadas de forma do tronco obtidas por Andrade et al. (2006), as quais são as seguintes:

d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = d1,3(1-1,3 - hi ) (18)CARIb

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = d1,3(1-1,3 - hi ) (19)CARIIb

d(hr1 ≤ hi ≤ hr3) =( hi - hr1 )hr1 - hr2

[(d1,3)(2hr1 - hr2 - 1,3+ h - hr2 +1)]+4 CARIIb CARIIIb

d1,3( hr1 + hi - 2,6 +1) (20) e2CARIIb

d(hr3 ≤ hi ≤ h) =( hi - h )hr3 - h

{(hr3 - hr1) [(d1,3)(2hr1 - hr2 - 1,3+ h - hr2 +1)]+hr1 - hr2 4 CARIIb CARIIIb

d1,3( hr3 + hi - 2,6 +1)} (21)2CARIIbem que:d(0,0 ≤ hi ≤ h) = diâmetro predito ao longo do tronco empregando-se geometria analítica; e CARkb = coeficiente angular real da reta, sendo k=I, II e III.

Os dados de cubagem, obtidos pela apli-cação das equações de (18) a (21) nas 60 árvores, foram considerados como valores reais para se decidir sobre o PD mais ade-quado às quatro porções do tronco, defini-das anteriormente como basal, mediana, su-perior e apical.

Ressalta-se que, nas análises das equações de forma do tronco geradas, o total percen-tual foi obtido empregando-se o desvio ob-tido entre a estimativa da forma do tronco e a forma real deste nas 60 árvores. Apenas para gerar as equações de forma do tronco é que foram empregados os dados obtidos por meio de geometria analítica, aqui represen-tados pelas equações de (18) a (21) com os valores reais de CARkb.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para inferir sobre as Hipóteses 1, 2, 3 e 4, inicialmente são analisados os resulta-dos obtidos com os dados de cubagem das 60 árvores e, posteriormente, apresentados os resultados obtidos para o tronco inteiro utilizando o teste de aplicação feito com as restantes 128 árvores.



Análise das Hipóteses 1 e 2 empregando dados reais de cubagem da porção mediana do tronco das 60 árvores

Visando dar melhor entendimento deste estu-do, empregou-se os dados reais da cubagem das 60 árvores para inferir sobre as Hipóteses 1 e 2, consi-derando somente a porção mediana do tronco.

Análise da equação (11)O λ que minimizou o total percentual en-

tre diâmetros dos diferentes PD’s testados e diâmetros reais ao longo da porção mediana do tronco de 60 árvores-amostra, foi obtido por meio da equação (9) aplicada em cada ín-dice r iguais à: 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 1 e 3/2. Os resultados obtidos, para uso na equação (10), são λótimo iguais à: 3 m, 4,8 m, 8 m, 12 m, 19,1 m e 30 m, respectivamente, sendo db = d1,3 e hb = 1,3 (Figura 2).

As equações geradas da forma da equação (10) representam PD’s, as quais podem também representar a forma do tronco em sua porção mediana (Hipótese 1). Por exemplo, ao subs-tituir os valores do índice r e λótimo na equação (10), com db=d1,3 e hb=1,3, gerou-se as seis se-guintes equações de forma do tronco:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 1,31607 d1,3 (hi + 1,7)-(1/4) (22)

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 1,68687 d1,3 (hi + 3,5)-(1/3) (23)

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 2,82843 d1,3 (hi + 6,7)-(1/2) (24)

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 5,24148 d1,3 (hi + 10,7)-(2/3) (25)

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 19,4 d1,3 (hi + 17,8)-(1) (26) e

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 164,31677 d1,3 (hi + 28,7)-(3/2) (27)

Figura 2. Total Percentual em relação à ponta do PD empregando a equação (9) nos dados reais da porção mediana do tronco das 60 árvores, para hb=1,3 e db=d1,3.

Figure 2. Total percentage related to the tip of the PD, using the equation (9) on real data of the middle portion of the trunk of 60 trees, for hb=1,3 and db=d1,3.


As seis equações de forma do tronco de (22) a (27) também foram aplicadas nos dados das 60 árvores para, novamente, se obter o total percen-tual e, em seguida, definir o valor de rótimo=0,53 (Figura 3a) e seu respectivo λótimoa=8,5 m (Figura 3b), cujos valores foram aplicados na equação (11) resultando na seguinte equação de forma do tronco:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 3,10879 d1,3 (hi + 7,2)-(0,53) (28) O PD representado pela equação (28) com

r = 0,53 é o que apresentou o melhor nível de acurácia possível e, portanto, em média, é o que mais se assemelha à forma do tronco em sua porção mediana. Assim, pôde-se decidir pela aceitação da Hipótese 1 e, consequentemente, deduzir que a equação (28), a qual representa um PD, representa também uma equação de forma do tronco.

Da Figura 3, ainda, pôde-se inferir que o total percentual relacionado com r (Figura 3a) tem o mesmo comportamento ao se relacionar com λótimo (Figura 3b). Então, há uma forte re-lação linear de λótimo com r (Figura 3c), pois o aumento de r implica no aumento linear e cres-cente de λótimo. Assim, quanto maior o índice r, maior será o comprimento de um determinado PD para que seus diâmetros, em média, sejam considerados como sendo diâmetros do tronco tendo o mínimo de desvio possível. Diante dis-so, utilizando os dados da Figura 3c no modelo linear clássico, foi estimada a seguinte equação da reta:

�ótimo = -2,51797 + 21,64890 (r) com R²=99,97% (29)

A equação (29) é adequada para obter λótimo usando db=d1,3 e qualquer índice r na equa-ção (10), principalmente, valores variando entre 1/3 e 3/2 que, conforme Gomes (1957), é neste intervalo que se encontra o valor ideal para representar a forma do tronco segmenta-do das árvores e, assim, gerar valores para uso na equação (11).

Todavia, supondo não ser adequado usar na equação (11) um valor constante de rótimo e de λótimoa para toda a extensão da porção mediana do tronco (Hipótese 2), obteve-se um rótimo para cada i-ésima altura adotando a estatística DPM = ± 1% proporcionados pelo uso das equações de (23) a (27). Em seguida, utilizando o modelo linear clássico, foi estimada a seguinte equação:

rótimo = 0,18632Ln(hi) + 0,73114 (1/hi) com R²=97,3% (30)

A equação (30) permitiu obter um PD para cada i-ésima altura da porção mediana do tron-co, sendo a equação (29) empregada para obter o respectivo λótimoa. Ao substituir (30) em (29), gerou-se a seguinte equação:

�ótimoa = -2,51797 + 4,03362Ln(hi) + 15,82838 (1/hi) (31)

A substituição das equações (30) e (31) na equação (11), respectivamente, para obter rótimo e λótimoa, gerou outra equação de forma do tronco representando um PD adequado a cada i-ésima altura do tronco em sua porção mediana, sendo a seguinte:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = d1,3 [ 4,03362 Ln(hi ) + 15,82838 (1/hi ) -

2,51797 ][0,18632 Ln(hi) +

0,73114 (1/hi)]

4,03362 Ln(hi ) + 15,82838 (1/hi ) +

hi - 3,81797

(32)Na Tabela 1 estão estatísticas que foram englo-

badas no total percentual, indicando a equação (32) como a melhor em comparação com a equa-ção (28 - menor T). Entretanto, considerando a exatidão (P) conforme Paula Neto et al. (1983), pode-se inferir que as equações (28) e (32) estão estimando a mesma forma do tronco com uma diferença de 10,49% e de 10,69% da forma real do tronco, respectivamente, ao nível de proba-bilidade de 0,05. Por outro lado, pela estatística

Figura 3. Resultados obtidos pelas equações de (22) a (27) para se determinar o PD representado pela equação (28). Figure 3. Results obtained by equations (22) to (27) to determine PD represented by equation (28).



s(yi yi ), em média, os diâmetros reais do tronco estão variando em torno dos diâmetros estima-dos com, aproximadamente, 4,97% para a equa-ção (28) e 4,88% para a equação (32). Assim, com base nas estatísticas apresentadas na Tabela 1, cujos valores evidenciam pequenas oscilações, pode-se inferir que as equações (28) e (32) têm o mesmo nível de acurácia na caracterização da forma do tronco em sua porção mediana.

Na análise gráfica dos desvios, de maneira geral, obteve-se o mesmo comportamento para as duas equações, porém, ambas as equações (28) e (32) apresentaram tendência à superestimativa para ár-vores com d1,3 menor que 11 cm e subestimativa de forma bem expressiva à medida que d1,3 aumenta a partir de 18 cm. Entre este intervalo, os desvios apresentaram uma distribuição de modo aceitável.

Diante das análises feitas, pôde-se ver que a equação (32) apresentou desvios tendo um comportamento bem próximo dos desvios ge-rados pela equação (28). Isto, aliado ao fato de ser um processo demorado obter um PD a cada i-ésima altura do tronco para se gerar a equação (32), levou à decisão pelo uso da equação (28) que define um PD constante para toda a exten-são da porção mediana.

A decisão pela equação (28) implicou em assumir que, aproximadamente, esta equação resulta na mesma forma do tronco que a equa-ção (32), implicando também, na aceitação da Hipótese 2 e, consequentemente, deduzir que

não há necessidade de se gerar uma equação de forma do tronco a cada altura ao longo deste.

Análise das equações (12), (13) e (14)Utilizando-se as equações (12), (13) e (14),

com diferentes índices r e tendo db=d1,3 e hb=1,3 m, obteve-se o PD representado por rótimoa, rótimob e rótimoc nas equações (15), (16) e (17), respectivamente, gerando as seguintes equações de forma do tronco (Figura 4):

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = d1,3( hr2 - hi )0,39

(33)hr2 - 1,3

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = d1,3( hr3 - hi )0,60

(34)hr3 - 1,3

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = d1,3( h - hi )0,69

(35)h - 1,3A aplicação das equações (33), (34) e (35) nos

dados reais da porção mediana das 60 árvores, re-sultou no comportamento dos desvios apresen-tados na Tabela 1, onde se nota que a pior equa-ção foi a (33) e a equação (34) foi a de melhor desempenho. Já, na análise gráfica, pôde-se ver que nenhuma das equações apresentou desvios distribuídos de forma aceitável, tendo tendência de subestimativa na medida em que se diminui o diâmetro e de superestimativa com aumento deste, sendo um comportamento contrário ao da equação (28) selecionada anteriormente.

Equação Bias DPM r(yi yi) s(yi yi) P T(28) -0,952 -0,174 97,903 4,973 10,489 18,684(32) -0,125 0,671 97,980 4,881 10,690 18,386(33) 2,147 1,072 98,163 4,655 12,570 22,281(34) 1,517 0,628 98,595 4,071 10,626 18,247(35) 2,829 2,205 98,738 3,858 10,291 20,445(36) 0,282 0,227 98,645 3,998 8,518 14,381(37) 0,984 0,953 98,588 4,081 8,858 16,289

(40) e (41) 0,666 0,389 98,785 3,785 8,424 14,479

Tabela 1. Estatísticas, em percentagem, adotadas para avaliar a acurácia das equações (28), (32), (33), (34), (35), (36), (37) e (40 e 41).

Table 1. Statistics, in percentage, adopted to evaluate the accuracy of the equations (28), (32), (33), (34), (35), (36), (37) and (40 and 41).

Figura 4. Total percentual obtido variando r nas equações (12) a (14) com db=d1,3, hb=1,3 m na porção mediana do tronco das 60 árvores, respectivamente, gerando-se as equações (33) a (35).

Figure 4. Total percentage obtained by varying r in the equations (12) to (14) with db=d1,3, hb=1,3 m in the medium portion of the trunk of the 60 trees, respectively, generating equations (33) to (35).


Considerando que as equações (28) e (34) apresentaram distribuição dos desvios com ten-dência inversa, isto é, enquanto uma subestimou outra superestimou, então, ao calcular a média aritmética destas, obteve-se expressiva redução no total percentual (Tabela 1) com expressiva melhora na distribuição dos desvios. O resulta-do foi a seguinte equação de forma do tronco:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 0,5 d1,3 [3,10879 (hi + 7,2)-(0,53) + (hr3 - hi)0,60 (hr3 - 1,3)(-0,60)] (36)

A equação (36), dentre as equações geradas para a porção mediana do tronco das 60 árvo-res, foi a que melhor minimizou os desvios po-dendo, então, ser considerada como sendo uma equação otimizada de forma do tronco. Por ou-tro lado, gerar esta equação empregando-se da-dos de uma cubagem simulada pelo método da altura relativa, pode facilitar o seu emprego nas árvores em pé onde foram medidos apenas d1,3 e h. Assim, procedeu-se à definição do PD para o tronco inteiro das 60 árvores, considerando como reais os dados obtidos em uma cubagem simulada por geometria analítica, cujos procedi-mentos são apresentados a seguir.

Análise das Hipóteses 3 e 4 empregando dados de cubagem simulados por meio de geometria analítica na porção mediana do tronco

A análise das Hipóteses 3 e 4 foram feitas em-pregando somente os dados da porção mediana para se fazer comparações com o item anterior e, as demais porções do tronco, tiveram equações de forma do tronco desenvolvidas para aplicar o método da altura relativa nas 128 árvores res-tantes simulando ter medido apenas d1,3 e h.

Diante disso, aplicando as equações de (18) a (21) com CARk reais, ao longo da porção me-diana do tronco das 60 árvores, obtiveram-se os diâmetros por meio de geometria analítica para serem considerados como diâmetros reais do tronco de árvores. Em seguida, empregando os mesmos procedimentos que resultaram na equação (36), obteve-se a seguinte equação oti-mizada de forma do tronco:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1) = 0,5 d1,3 [16,31694 (hi + 17,6)-(0,95) + (hr3 - hi)0,6025 (hr3 - 1,3)(-0,6025)] (37)As estatísticas obtidas pelo uso da equação (37)

nos dados reais das 60 árvores-amostra (Tabela 1) mostram inferioridade dos desvios comparados com a equação (36), o que induz a rejeição da Hi-pótese 4 e, com isto, inferir que se deve preferir usar

dados reais de cubagem para gerar equações de for-ma do tronco ao invés do uso de dados de cubagem simulados por meio da geometria analítica.

Conforme pressuposto na Hipótese 3, proce-deu-se à divisão da porção mediana do tronco em dois novos intervalos, definidos entre 1,3 m e hr1(a) = θ(hr1 - 1,3)+1,3 e entre hr1(a) e hr1 = (h - 1,7)/1,7. No intervalo entre 1,3 m e hr1(a), adotando diferentes valores de θ para cada índi-ce r testado, procedeu-se à análise das equações (8) e (9) para obter o PD de forma similar ao que foi feito para se achar λótimoa e rótimo na equa-ção (11), o que resultou em θ = 0,5. Obteve-se, também, rótimo = 0,4231 e λótimoa = 8,9233 m para a equação (11) e rótimo = 0,6185 para a equação (16), gerando com estes resultados as seguintes equações otimizadas de forma do tronco:

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1a) = d1,3( hr3 - hi )0,6185

(38); ehr3 - 1,3

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1a) = d1,3( 8,9233 )0,4231

(39)(hi + 7,6233)sendo:

hr1(a) = 0,5(hr1 - 1,3) + 1,3.Pelo motivo de se realizar a média entre as

equações (38) e (39), foi preciso calibrá-la varian-do-se, separadamente, rótimo e λótimoa. O resultado foi um novo valor de rótimo na equação (38) igual a 0,7285, gerando a seguinte equação otimizada de forma do tronco, similar a equação (37):

d(1,3 ≤ hi ≤ hr1a) = 0,5 d1,3 [2,52445 (hi + 7,6233)(-0,4321) + (hr3 - hi)0,7285 (hr3 - 1,3)(-0,7285)] (40)Dentre as várias equações geradas para se

caracterizar a forma do tronco entre hr1(a) = 0,5(hr1-1,3)+1,3 e hr1 = (h-1,7)/1,7, adotando os mesmos procedimentos relatados anterior-mente, obteve-se a seguinte equação otimizada de forma do tronco:

d(hr1a ≤ hi ≤ hr1) =(d1,3)( hr3 - hi )0,57

+2 hr3 - 1,3

(dhr1)( hr3 +0,3 - hi )0,4695

(41)2 hr3 +0,3 - hri

Diante destes resultados de equações, para se empregar o método da altura relativa na ca-racterização da forma do tronco em sua porção mediana, em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h, deve-se aplicar a equação (40) entre 1,3 m e hr1(a) = 0,5(hr1-1,3)+1,3 e a equação (41) a partir deste até hr1 = (h-1,7)/1,7.



As estatísticas obtidas pela aplicação das equações (40) e (41) aos dados reais da por-ção mediana das 60 árvores-amostra (Tabela 1), cujas equações foram geradas com os dados de cubagem simulada por meio de geometria analítica, mostram um melhor nível de acurácia quando comparada com a equação (37). Como resultado desta análise, se aceita a Hipótese 3, o que permite inferir que o aumento do número de segmentos no tronco para caracterizar por um determinado PD, melhora o nível de acurácia das equações otimizadas de forma do tronco.

A aceitação da Hipótese 3 induziu à aceitação da Hipótese 4 quando se comparam as equações (40;41) com a equação (36), permitindo inferir que se tem o mesmo nível de acurácia no uso de dados de cubagem gerados por meio de geome-tria analítica somente quando se divide o tronco em um número de dois segmentos em compara-ção com o uso de dados reais de cubagem, para um mesmo nível de acurácia desejado.

Ressalta-se que os desvios foram obtidos comparando-se as estimativas da forma do tron-co com os respectivos dados reais das 60 árvores. Apenas para gerar as equações (37) e (40;41), é que foram empregados os dados de cubagem obtidos por geometria analítica, aqui represen-tados pelas equações de (18) a (21) com os va-lores reais de CARkb.

Na Figura 5 é apresentado o esquema dos cin-co números obtidos com os desvios absolutos na porção mediana do tronco das 60 árvores, os quais representam os valores máximo, mínimo e primeiro, segundo e terceiro quantis. Nota-se que o uso da equação (36) apresentou a menor e melhor variação dos desvios em torno do eixo zero, junto com o uso das equações (40;41).

Análise do PDotimizado nas porções do tronco superior, apical e basal empregando dados de cubagem simulados por geometria analítica

Na análise da porção superior do tronco, intervalo delimitado entre hr1 e hr3, foram ado-tados os mesmos procedimentos empregados

para se desenvolver as equações (40) e (41). Os resultados foram as seguintes equações otimiza-das de forma do tronco:

d(hr1 ≤ hi ≤ hr2a) =(dhr1) [( h - hi )0,731

+2 h - hr1

( hr3 +2,28 - hi )(2/3) ] (42); ehr3 +2,28 - hri

d(hr2a ≤ hi ≤ hr3a) =(dhr2) [( h - hi )0,2825

+2 h - hr2

( hr2a +25,1 - hi )1,0 ] (43)hr2a +25,1 - hr2

onde:

hr2a = 0,6(hr3 - hr1)+hr1; e hr3a = hr2a + 0,8(hr3 - hr2a).

Diante desses resultados, visando caracteri-zar a forma do tronco empregando o método da altura relativa na porção superior de árvores onde se mediram apenas d1,3 e h, deve-se aplicar a equação (42) até hr2a e a equação (43) a partir deste até hr3a.

Na análise da porção apical do tronco, inter-valo delimitado entre hr3a e h, foram adotados os mesmos procedimentos relatados anterior-mente, obtendo-se a seguinte equação otimiza-da de forma do tronco para ser aplicada na ca-racterização da forma do tronco de árvores onde se mediram apenas d1,3 e h:

d(hr3a ≤ hi ≤ h) = 0,5dhr3a(-0,8) h(dhr2) [( h - hi )1,0

+2 h - hr3a

0,5dhr3a( h - hi )0,938

(44)h - hr3aAnalisando a porção basal do tronco, varian-

do λ maior que 2 m, com hb = 1,3 m e hb = 0,1 m, foram encontrados valores de λótimoa e rótimo para a equação (11) gerando as seguintes equa-ções otimizadas de forma do tronco, similar ao que foi feito para obter a equação (28):

d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = d1,3( 12,2 )1,8158

(45); ehi + 10,9

Figura 5. Esquema dos cinco números obtidos para as equações otimizadas de forma do tronco (28), (36), (37) e (40;41); n=569.

Figure 5. Layout of the five numbers obtained for the optimized equations of the trunk form (28), (36), (37) and (40;41); n=569.


d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = d0,1( 11 )1,82

(46)hi + 10,9A partir da equação (8), adotando os mes-

mos procedimentos que resultaram nas equa-ções (33), (34) e (35), porém, com diferentes valores de hv maior que 2 m em cada índice r, foram geradas as seguintes equações otimizadas de forma do tronco:

d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = d1,3( 6,5 - hi )0,89

(47)5,2

d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = d0,1( 8,9 - hi )1,359

(48)8,8em que:d0,1 = diâmetro medido a 0,1 m do solo.

As equações de (45) a (48) foram analisadas quanto às diferentes opções que se pode des-crever a forma do tronco em sua porção basal empregando PD’s. O resultado foi a decisão por uma equação média entre as equações (45), (46) e (48), gerando a seguinte equação otimizada de forma do tronco para emprego na caracterização da forma do tronco de árvores em sua porção basal, onde se mediram apenas d1,3 e h:

d(0,0 ≤ hi ≤ 1,3) = 31,29615 d1,3 (hi + 10,9)(-1,8158) + 26,19470 d0,1 (hi + 10,9)(-1,82) + 0,01735 d0,1 (8,9 - hi )1,359 (49)

Analisando a caracterização da forma do tronco inteiro, representada pelas equações 40 e 41 (porção mediana), 42 e 43 (porção superior), 44 (porção apical) e 49 (porção basal), pôde-se verificar que, em média, na porção basal é mais adequado utilizar um neilóide (r = 3/2). En-quanto na porção mediana oscila-se entre um PD semi-cúbico (r = 2/3) e quadrático (r = 1/2), a porção superior deve variar entre os PD’s semi-cúbico e cone (r = 1). Por último, na porção api-cal, deve ser utilizado o PD cone (Figura 6). No-

ta-se, também, que as referidas equações foram geradas por meio de uma cubagem simulada, empregando-se geometria analítica (equações de 18 a 21), cuja metodologia utiliza apenas os diâmetros situados a 0,3 m, 1,3 m e hr = (h-2)/2 possibilitando medí-los nas árvores em pé, sem a necessidade de cubar árvores-amostra. Isto viabiliza a amostragem de árvores localizadas dentro das parcelas de inventário.

De maneira geral, considerando os diferentes segmentos do tronco, observa-se que, no senti-do base-topo, há um aumento na dificuldade de se definir uma equação otimizada de forma do tronco, resultando em pior nível de acurá-cia. Segundo Bruce e Schumacher (1950), isto ocorre porque a conicidade próxima do ápice do tronco é muito variável.

Considerando que, para uso do método da altura relativa em árvores onde foram medidos apenas d1,3 e h, usa-se análise de regressão no CARkb (Andrade et al, 2006), então, é preciso comparar isto ao uso de equações de forma do tronco geradas por meio de diferentes PD.

Análise da Hipótese 5 aplicando as equações otimizadas de forma do tronco geradas com uma cubagem feita por geometria analítica

Visando fazer inferências a cerca da Hipótese 5, utilizaram-se os dados das 128 árvores res-tantes como um teste de aplicação, simulando o uso do método da altura relativa em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h. Assim, por meio da cubagem adotando o método de Sma-lian, aplicou-se as equações (40;41), (42;43), (44) e (49) ao longo do tronco das 128 árvores-amostra, as quais foram denominadas: Uso de PD. Para comparação, utilizaram-se as equa-ções de regressão apresentadas na Tabela 2 para estimar o coeficiente angular da reta CARkb nas equações de 18 a 21, as quais foram denomina-das: Análise de Regressão.

Figura 6. Protótipos Dendrométricos definidos em diferentes partes do tronco a partir das equações 40 e 41 (porção mediana), equações 42 e 43 (porção superior), equação 44 (porção apical) e equação 49 (porção basal), cujas equações foram geradas empregando-se dados de cubagem simulados por meio de geometria analítica.

Figure 6. Dendrometric prototypes defined at different parts of the trunk, starting from the equations 40 and 41 (medium portion), equations 42 and 43 (upper portion), equation 44 (apical portion) and equation 49 (basal portion), whose equations were generated using data from simulated volume determiantion through analytic geometry.



Ressalta-se que, para poder empregar as equações referentes ao Uso de PD, foi necessário utilizar as equações obtidas por Andrade (2001) para estimar a base do PD, sendo d0,1 na equação (49), dhr1 na equação (41) e dhr2 na equação (43), respectivamente, sendo: d0,1=2,17196d1,3

1,02831

h-0,21983, dhr1=0,90289d1,30,78630h0,07789 e dhr2=

0,72775d1,30,74989h0,08538.

No emprego do Uso de PD e Análise de Re-gressão, inicialmente, por meio de uma cuba-gem adotando o método de Smalian, foram realizadas predições de diâmetros ao longo do tronco das 128 árvores-amostra e dos volumes vt e v4 supondo toras com 2 m de comprimento. Em seguida, obtiveram-se os desvios e o total percentual, cujas estatísticas são apresentadas na Tabela 3, mostrando a superioridade da Análise de Regressão devido ao menor total percentual geral de 63,033%, pois apresentou as melhores estatísticas divididas em T = 24,438% (forma do tronco), T = 19,007% (vt) e T = 19,589% (v4). Assim, considerando a soma geral do total per-centual, verifica-se que a Análise de Regressão é a melhor opção para se quantificar multiprodu-tos da madeira, empregando o método da al-tura relativa nas árvores em pé das parcelas de inventário, nas quais se mediram apenas d1,3 e h.

Também, na análise gráfica, os desvios obtidos para Análise de Regressão apresentaram-se com um melhor comportamento, oscilando de for-ma bem mais equilibrada que o Uso de PD.

O resultado das análises feitas indicou que a Análise de Regressão tem melhor nível de acurá-cia que o Uso de PD levando à rejeição da Hi-pótese 5. Isto permitiu deduzir que o uso de sólidos geométricos em dados de cubagem si-mulados por geometria analítica, não deve ser preferido ao uso da análise de regressão no co-eficiente angular da reta CARkb, sendo este mé-todo uma importante opção de uso do método da altura relativa em árvores onde se mediram apenas d1,3 e h nas parcelas de inventário.

CONCLUSÕES

As análises feitas neste trabalho levaram à re-jeição apenas das hipóteses 4 e 5, o que, direta-mente, permitiu deduzir as seguintes conclusões:• A equação 36, a qual representa um determi-nado PD, pode ser considerada como sendo uma equação otimizada de forma do tronco;• Pode-se gerar uma única equação otimizada de forma do tronco, envolvendo todas as i-ésimas alturas de determinada porção do tronco;

Equações utilizadas(CARIB) = �0+�1(X)+�2(d1,3)

(CARIIB) = (-1)exp[�0+�1(X)+�2(1/d1,3)+ �3Ln(h)](CARIIIB) = (-1)exp[�0+�1(h)+�2(1/X)]

Estatísticas obtidas para as equações utilizadas�0 �1 �2 �3 R²

CARIb -7,96654 -0,07957 0,90010 62,76CARIIb -1,79737 -0,00057 4,46034 1,58547 81,24CARIIIb 2,16512 0,03594 -13,57630 97,63

Tabela 2. Resultados obtidos por Andrade et al. (2006); em que: x=d1,3(0,5h-1); � = parâmetros estimados; ε = erro aleatório; Ln = logarítmo neperiano; R² = coeficiente de determinação ajustado.

Table 2. Results obtained by Andrade et al. (2006); where � = estimated parameters; ε = random error; Ln = na-perian logarithm; R² = adjusted determination coefficient.

Observação: em Andrade et al. (2006) �1 e �

3 estavam trocados em CARIIb. Deve-se obter CARIb, CARIIb e CARIIIb sempre menores que zero.

Variável Bias MDP r(yi yi) s(yi yi) P TUso de PD:

di -1,342 -1,733 98,795 5,461 18,760 28,500vt -2,405 -2,422 99,132 6,661 10,868 23,224v4 -2,729 -2,987 99,113 6,817 11,910 25,329

77,054Análise de Regressão:

di -0,370 -0,858 98,783 5,487 16,505 24,438vt 0,533 0,337 99,062 6,923 10,276 19,007v4 0,430 0,158 99,054 7,041 11,014 19,589

63,033

Tabela 3. Estatísticas adotadas para avaliar a acurácia do Uso de PD e Análise de Regressão em um teste de aplica-ção com 128 árvores-amostra.

Table 3. Statistics adopted to evaluate the accuracy of the Use of PD and regression analysis in an applied test with 128 tree samples.


Recebido em 20/02/2009Aceito para publicação em 22/07/2009

• Quanto maior o número de segmentos do tronco das árvores caracterizados por um deter-minado PD, melhor a acurácia das equações de forma do tronco;• O uso de dados de cubagem obtidos por ge-ometria analítica para se definir um PD, exige um número maior de segmentos no tronco de árvores do que o uso de dados reais de cubagem, para se atender ao mesmo nível de acurácia;• As equações geradas a partir da Análise de Regressão resultam em melhor acurácia na predição da forma e do volume do tronco que o uso de PD;

Também, o desenvolvimento do trabalho para se avaliar as Hipóteses 1, 2, 3, 4 e 5, indire-tamente, permitiu concluir que:• Para se ter o mesmo nível de acurácia que usar dados reais, o emprego do método da altura re-lativa exigiu dividir o tronco de árvores em seis segmentos;• Caracterizar a forma do tronco de árvores, em-pregando um determinado sólido geométrico, depende do posicionamento deste no tronco quanto ao seu limite inferior hb e superior hv;• Quanto maior o índice r, que representa um determinado PD, maior será o valor de hv e λ;• Acima de hr1=(h-1,7)/1,7 há maior dificulda-de de se utilizar sólidos geométricos, tendo re-duções na porção do tronco de árvores em que se pôde otimizar o uso destes para descrever sua forma;• A equação otimizada de forma do tronco tem melhor nível de acurácia quando é resultado da média entre as equações geradas a partir das equações (8) e (9);• O posicionamento do segmento no tronco de árvores em direção ao topo piora o nível de acu-rácia das equações geradas de forma do tronco que representam um determinado PD.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à CAPES - Coorde-nação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior pela bolsa de Doutorado concedida ao primeiro autor.

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