UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

LARA PIRJEVEC

OSNOVE MODALNE LOGIKE

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2015

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UCITELJ

LARA PIRJEVEC

Mentor: prof. dr. ANDREJ BAUER

Somentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

OSNOVE MODALNE LOGIKE

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2015

ZAHVALA

Zahvalila bi se rada mentorju prof. dr. Andreju Bauerju in somentorju izr.prof. dr. Marku Slaparju za strokovno pomoc in usmerjanje pri izdelavi di-plomskega dela.

Zahvaljujem se tudi svoji druzini za moralno in financno podporo v casustudija, ter vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli, da sem uspesno inpolno izkoristila studentska leta.

POVZETEK

Diplomsko delo preko ponovitve izjavnega racuna preide na locevanje razlicnihnacinov resnic ter na matematicno podlago, v kateri se najprej seznanimo ssintakso in semantiko modalne logike. Sledi opredelitev modelov, veljavnihformul, shem formul in predstavitev ekvivalenc modalne logike. V drugemdelu diplomskega dela pa se osredotocimo predvsem na logicno nacrtovanje,preko katerega modeliramo razlicne koncepte resnice, katere dosezemo tako,da v model sprejemamo razlicne sheme formul. Predstavljene so tudi lastno-sti relacije dostopnosti in njihova povezava s formulami.

KLJUCNE BESEDEModalna logika, nacini resnice, nujnost, moznost, mozni svet, model, relacijadostopnosti, sheme formul.

ABSTRACT

In thesis we first recall basics of propositional logic. Then we distinguishbetween various modes of truth and give matematical fundation in which webecome familiar with syntax and semantics of modal logic. Then we intro-duce and define models, valid formulas, formula schemes and equivalencesbetween modal formulas. Later on we focus on a logic engineering in whichwe model various modes of truth. To achieve that we have to decide whichformula schemes should be valid in models. At the end we also look at theproperties of the accessibility relation and its conection with formulas.

KEY WORDSModal logic, modes of truth, necessity, possibility, possible world, model,accessibility relation, formula scheme.

Kazalo

1 Uvod 11.1 Opredelitev problema in namen diplomskega dela . . . . . . . 11.2 Cilji diplomskega dela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Metoda raziskovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Osnovna modalna logika 32.1 Izjavni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Jezik modalne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Nacini resnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Kripkejevi modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Veljavnost formul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Sheme formul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Veljavne formule in sheme formul . . . . . . . . . . . . 13

3 Logicno nacrtovanje 163.1 Formule in njihova veljavnost v razlicnih konceptih . . . . . . 173.2 Relacija dostopnosti in njene lastnosti . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Teorija ujemanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Zakljucek 30

1 Uvod

Modalna logika spada pod moderno matematicno logiko, ki predstavlja osnovomoderne matematike. Vzrok za razvoj moderne oblike logike je ta, da je vdrugi polovici 19. stoletja matematika pri hitrem razvoju naletela na izrazitologicne probleme, ki jih tedanja Aristotelova logika s svojimi sredstvi ni znalauspesno resiti. Potrebno je bilo torej ustvariti taksno obliko logike, ki se jebila zmozna spoprijeti z novimi tezavami in problemi [2].

Modalno logiko je sistematicno prvi obravnaval Aristotel v De Interpreta-tione. Po Aristotelu so k njenemu razvoju prispevali se nekateri drugi filozofi,kot na primer Megariani, Stoiki, Ockham in Pseudo-Scotus ter drugi. Ti sov zbirko implikacij (tj. logicnih posledic) dodali se nekaj zanimivih ugoto-vitev. Napredek v modalni logiki pa je po Sholastikih vecinoma stagniral.Aktivnejsi na tem podrocju je bil takrat le Leibniz, ki je poleg dejanskegapredlagal obstoj se drugih moznih svetov. Zanimanje za modalno logiko seje ponovno zacelo v 20. stoletju, ko je C. I. Lewis zacel z iskanjem sistemaaksiomov za karakteriziranje natancne implikacije. Definiral je pet sistemov:S1–S5. Sistema S4 in S5 uporabljamo se danes. Na njegovo delo gledamo kotna aksiomatizacijo dvojiske modalne operacije implikacije. Pri razvoju (de-onticnih) sistemov modalne logike, katere vkljucujejo modalne izjave ‘moraveljati, da p’, sta kot dodatek Lewisu kljucna Ernst Mally in G. Henrik vonWright. Z R. Carnapom pa se je zacela teoreticna studija modela relacijelogicne posledice [5].

Po 50. in 60. letih 20. stoletja so modalni logiki vecinoma sledili okvirju,ki ga je razvil Saul Kripke, ki se je obsirno ukvarjal z modalno logiko. Izre-dno sposobnost za logiko in zanimanje za filozofska vprasanja je pokazal zezelo zgodaj, pri petnajstih letih je namrec razvil semantiko za kvantificiranomodalno logiko, s katero je predstavil domeno moznih svetov in relacijo do-stopnosti na moznih svetovih [5]. Kripke ni objavil veliko, a je kljub temutisto, kar je objavil, imelo zelo velik odmev. Njegovo najpomembnejse deloje knjiga Imenovanje in nujnost, v kateri so zbrana tri predavanja, ki jih jeimel januarja leta 1970 na univerzi v Princetonu, na kateri je tudi predaval[3].

1.1 Opredelitev problema in namen diplomskega dela

S svojim diplomskim delom zelim predstaviti modalno logiko in jo preko kon-kretnih primerov in interpretacij priblizati posamezniku. V casu studija semnamrec ugotovila, da je matematika prisotna na veliko podrocjih v zivljenju.V izobrazevalnem procesu je tako v osnovnosolskem, srednjesolskem kot tudiuniverzitetnem izobrazevanju vedno ena izmed temeljnih predmetov. Se pa

1

veliko ucencem, dijakom, studentom ter drugim pogosto postavlja vprasanje,ce in kje je matematika sploh uporabna. Ce uspemo matematiko priblizatiucencem, dijakom in studentom oziroma jih zanjo navdusiti jim s tem lahkoprecej olajsamo ucenje. Je pa to mozno le na nacin, da jim pravila, zakonito-sti in lastnosti podamo preko konkretnih in njim razumljivih primerih. Takolahko teorijo povezejo s prakso in vidijo splosno uporabnost matematike.

1.2 Cilji diplomskega dela

V diplomskem delu sem si postavila naslednje tri cilje:

C1: Predstaviti pravila, zakonitosti in lastnosti modalne logike.

C2: Interpretirati pravila in zakonitosti modalne logike na konkretnih pri-merih.

C3: Predstaviti vsaj en primer uporabe modalne logike v praksi.

1.3 Metoda raziskovanja

Diplomsko delo je teoreticno, zasnovano na deskriptivni metodi, torej soustrezno opredeljena teoreticna izhodisca, ki so predstavljena v literaturi.Predstavljeni podatki so bili najprej pregledani, nato je sledila opredelitevdejstev. V diplomskem delu so preko konkretnih primerov podane se in-terpretacije zakonitosti in pravil, najdemo pa tudi primer uporabe teorije vpraksi.

2

2 Osnovna modalna logika

Modalna logika je veda o modalnih izjavah in logicnih povezavah med njimi.Je nadgradnja izjavne logike in formalizira pojma nujnosti in moznosti. Dalahko z izjavami izrazamo, kaj je nujno in kaj je mozno, jim pripisujemomodalna operatorja “mozno” in “nujno”.

Za ustrezno sporazumevanje je seveda potrebna primerna simbolizacija, skatero zagotovimo jasnost, preciznost in nedvoumnost. Tako kot pri vsakemjeziku tudi pri modalni logiki razlocujemo med sintakso in semantiko. V sin-taksi se ukvarjamo zgolj z gradivom iz katerega je jezik narejen – izhaja torejiz abecede jezika in ugotavlja ali doloca pravila, po katerih delamo iz znakovabecede dolocene sintakticne konstrukcije. S pomenom teh konstrukcij pa seukvarjamo v semantiki [2].

Ker je modalna logika nadgradnja izjavne logike, najprej na hitro pono-vimo, kaj je izjavni racun.

2.1 Izjavni racun

Izjavna logika obravnava izjave, ki nam podajo informacije o okolici, stanjuitd. Naloga te logike je, da analizira dane izjave in poisce njihove logicneposledice ali celo njim enakovredne izjave. Izjave, ki jih obravnavamo sobodisi resnicne bodisi neresnicne. Niso pa vse izjave, ki jih obravnavamoenakovredne, razlikujemo namrec med enostavnimi in sestavljenimi izjavami.Enostavne izjave so tiste, ki se jih ne da razbiti na vec smiselnih delov,pri sestavljenih izjavah pa to lahko naredimo. Enostavne izjave obicajnooznacujemo s crkami p, q, r.

Enostavne izjave povezujemo v sestavljene izjave s pomocjo logicnih ve-znikov. Poznamo pet osnovnih:

• negacija (simbol: ¬)

• konjunkcija, kateri pravimo tudi ‘logicni in’ (simbol: ∧)

• disjunkcija, kateri pravimo tudi ‘logicni ali ’ (simbol: ∨)

• implikacija (simbol: →) in

• ekvivalenca (simbol: ↔).

Vrednosti sestavljenih izjav ugotavljamo s pomocjo resnicnostnih tabel. Zaizjavo p, ki je sestavljena iz enostavnih izjav p1, p2, . . . , pk je resnicnostnatabela tedaj tabela, v kateri je za vsak mozen nabor vrednosti enostavnihizjav p1, p2, . . . , pk zapisana vrednost izjave p.

3

Primer 2.1. Podajmo primer resnicnostne tabele za sestavljeno izjavo p1 ∧(p2 ∨ ¬p1):

p1 p2 p1 ∧ (p2 ∨ ¬p1)0 0 00 1 01 0 01 1 1

Izjava p1 ∧ (p2 ∨ ¬p1) je torej resnicna le v primeru, ko sta resnicni tudi p1in p2, v vseh ostalih primerih pa je neresnicna.

Ponovimo se, kdaj je sestavljena izjava pri uporabi posameznega logicnegaveznika resnicna in kdaj neresnicna. Naj bosta p in q osnovni izjavi.

NEGACIJA. Izjava ‘ne p’ (oznaka ¬p) je resnicna, ko je p neresnicna inje neresnicna, ko je p resnicna.

KONJUNKCIJA. Izjava ‘p in q’ (oznaka p ∧ q) je resnicna, ce sta p in qobe resnicni in je neresnicna v vseh drugih primerih.

DISJUNKCIJA. Izjava ‘p ali q’ (oznaka p ∨ q) je neresnicna, ce sta p inq obe neresnicni, v vseh ostalih primerih je resnicna.

IMPLIKACIJA. Izjava ‘ce p potem q’ oziroma ‘iz p sledi q’ (oznaka p→ q)je izjava, ki je neresnicna, ce je p resnicna, q pa neresnicna, v ostalih primerihje resnicna.

EKVIVALENCA. Izjava ‘p je natanko tedaj, ko q’, oziroma ‘p ce in samo ceq’ (oznaka p ↔ q) je izjava, ki je resnicna, ce sta p in q obe resnicni ali obeneresnicni, v ostalih primerih je neresnicna.

Sestavljena izjava, ki je resnicna ne glede na vrednosti enostavnih izjav,ki jo sestavljajo (resnicnostni stolpec ima samo vrednost 1) je tavtologijaoziroma resnica. Sestavljena izjava, ki je neresnicna, ne glede na vrednostinjenih enostavnih izjav (resnicnostni stolpec ima samo vrednosti 0) pa jeprotislovje oziroma neresnica.

Ker zelimo prepreciti dvoumnost pri razumevanju lahko pride v sesta-vljenih izjavah do uporabe prevelikega stevila oklepajev, zato logicne veznikerazvrscamo po moci. Od najmocnejsega do najsibkejsega si od leve proti

4

desni sledijo tako:¬ ∧ ∨ → ↔

Ko pa imamo same enake veznike ‘racunamo’ z leve proti desni. Resnicnostnatabela, v kateri nastopa n enostavnih izjav ima 2n vrstic. V vsaki vrstici jelahko v resnicnostnem stolpcu 0 ali 1, torej je vseh moznih resnicnostnihtabel 2(2n).

Ena glavnih nalog matematicne logike je dani izjavi poiskati cimvec njejenakovrednih izjav. Tako dano izjavo bolje razumemo in se zato o njeniresnicnosti lazje odlocamo.

2.2 Jezik modalne logike

V modalni logiki uporabljamo umetni logicni jezik, ki je v jedru sistem znakovin pravil, ki dolocajo uporabo teh znakov. Ce jeziku izjavne logike dodamose kvantifikatorja ∀ in ∃, lahko z njim izrazimo vse, kar je potrebno povedativ okviru dane matematicne teorije. Tako lahko enostavno in nedvoumnoformuliramo aksiome, definicije in izreke izbrane matematicne teorije. Boljkot uporabljamo tako simbolicno logicno govorico ali pisavo, bolj je ustreznaobravnava simbolizirana [4].

Jezik osnovne modalne logike je kar jezik izjavne logike, kateremu dodamodva nova veznika, to sta:

• skatla (simbol: �)

• diamant (simbol: ♦)

Enako kot negacija (¬) sta veznika predznacena in vplivata le na eno formulooziroma izjavo. Za zapisovanje atomarnih formul oziroma enostavnih izjavuporabljamo, tako kot v izjavni logiki, znake p, q, r, p3 [1].

Zapisa �(p ∨ �(p → ♦¬q)) in ((¬r ∧ ♦p) ↔ �q) sta primera formulosnovne modalne logike, zapisa (r♦↔ q) in (p→ ¬(q � r)) pa nista modalniformuli, saj ju ne moremo skonstruirati z uporabo zgoraj omenjenih pravil.

Tako kot v izjavni logiki razvrscamo tudi modalne logicne veznike pomoci. Predznaceni vezniki ¬,� in ♦ vezejo najmocneje, moc ostalih veznikovpa si sledi po vrsti enako kot v izjavni logiki, torej od najmocnejsega donajsibkejsega: ∧, ∨, → in ↔ [1].

2.3 Nacini resnice

V izjavni in predikatni logiki so formule lahko bodisi resnicne bodisi nere-snicne, kar pa s stevilnih zornih kotov ni dovoj natancno, saj v naravnem

5

jeziku obicajno razlikujemo med razlicnimi nacini resnice. Na primer, nekajje lahko nujno res, nekaj je znano, da je res, za nekatere stvari verjamemo,da so resnicne, spet druge so lahko resnicne v prihodnosti ali preteklosti [1].Takim nacinom resnicnosti pravimo modalnosti.

Podajmo nekaj primerov izjav, ki izrazajo razlicne nacine resnic in pri-mere pojasnimo. Izjava

Borut Pahor je predsednik Republike Slovenije.

je resnicna v sedanjosti, vendar pa vemo, da ta zagotovo ne bo resnicna vnekem trenutku v prihodnosti. Izjava

Yard je razdalja med konico prsta iztegnjene roke angleskega kraljaHenrika I. in konico njegovega nosu.

je resnicna tako v sedanjosti kot tudi vedno v prihodnosti, vendar pa to ninujna resnica, saj bi kralj lahko imel nesreco, zaradi katere bi imel krajsoroko in tako razdalja med konico njegovega prsta in njegovega nosu ne bi bilajard [3]. Izjava

Stevilo 7 je prastevilo.

je poleg tega, da je resnicna v sedanjosti resnicna tudi v prihodnosti in nujnoresnicna, vendar pa kljub temu ni resnicna za npr. otroke ali pa ljudji, ki sov zmoti [1].

Ko zelimo z modalno logiko izrazati razlicne nacine resnice, moramo znaka� in ♦ brati ustrezno glede na kontekst. Kako znaka beremo v razlicnihkontekstih, bo pojasnjeno kasneje.

2.4 Kripkejevi modeli

Ker zelimo v modalni logiki razlocevati med razlicnimi nacini resnice, principdodeljevanja resnicnostne vrednosti atomarnim formulam v neki formuli neustreza [1]. Da lahko dolocimo resnicnost oziroma neresnicnost dane mo-dalne formule moramo uvesti nov parameter, tj. mozni svet. Sele na podlagimoznih svetov lahko govorimo o tem, kdaj je neka izjava “mozna” oziroma,kdaj je neka izjava “nujna”. Interpretacija modalne logike je torej zasnovanana semantiki moznih svetov [2]. Mnozica moznih svetov je prvi pogoj, dalahko govorimo o modelih, kateri so natancneje opredeljeni v Definiciji 2.2.

Definicija 2.2. Model M osnovne modalne logike je dolocen z:

(1) Mnozico svetov W ;

6

(2) Relacijo dostopnosti R ⊆ W ×W ;

(3) Oznacevalno funkcijo L : W → P(Atomi).

Ko zapisemo R(x, y) povemo, da je (x, y) iz R .

Take modele je izumil S. Kripke zato jih njemu v cast imenujemo Krip-kejevi modeli. Ce zapisemo x ∈ W predstavlja x mozni svet, R(x, y) papomeni, da je svet ‘y dostopen iz sveta x’. Dejanska “narava” relacije dosto-pnosti pa je odvisna od tega, kaj nameravamo modelirati [1]. V primeru, koje W koncna mnozica pravimo, da je model koncen, v nasprotnem primerupa pravimo, da je model neskoncen [2].

Da bo lazje razumljivo, kaj sploh so ‘mozni svetovi’ si poglejmo analo-gijo iz sole. Imamo dve obicajni kocki, ki ju poimenujemo kocka A in kockaB. Kocki nato vrzemo in opazujemo, kateri dve stevili se pokazeta na nju-nih zgornjih ploskvah. Za vsako kocko imamo sest moznih rezultatov, zatoobstaja skupaj sestintrideset moznih stanj para kock. Vendar pa samo enaizmed teh moznosti ustreza dejanskemu stanju, torej temu, kako sta kockidejansko padli. Ko je skupni sestevek kock na primer devet, obstajajo stirimozna stanja: (kocka A pokaze stevilo 6, kocka B stevilo 3), (kocka A stevilo5, kocka B stevilo 4), (kocka A stevilo 4, kocka B stevilo 5) in (kocka A stevilo3, kocka B stevilo 6). Sestintrideset moznih stanj predstavlja sestintridesetmoznih svetov, le eden od teh svetov, tj. tisti, ki ustreza nacinu, kako stakocki padli pa je ‘dejanski svet’ [3]. Ce bi pa vrgli kocki in bi bil njun sku-pni sestevek dva, bi obstajalo le eno mozno stanje, tj. obe kocki bi pokazalistevilo 1, torej bi bilo to stanje nujni svet, saj ne obstaja nobena drugakombinacija stevil, ki bi ustrezala skupnemu sestevku dva.

Mozni svetovi torej niso neke oddaljene dezele, ki jih opazujemo skoziteleskop, niti niso oddaljeni planeti, podobni nasemu, le da obstajajo v drugidimenziji. Mozne svetove si lahko predstavljamo kot celoto ‘nacinov, kako bisvet lahko bil’ ali ‘moznih stanj’ ali ‘zgodovin celotnega sveta’ [3].

Za opisovanje koncnih modelov lahko za lazjo predstavo uporabimo eno-stavno graficno oznacevanje.

Primer 2.3. Podajmo primer graficnega oznacevanja. Najprej dolocimomnozico svetov W = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} in relacijo dostopnosti R, ki jepodana na sledec nacin:

R = {(x1, x2), (x1, x4), (x2, x3), (x3, x2), (x3, x4), (x3, x5), (x5, x5), (x6, x6)}.

Predpostavimo se oznacevalno funkcijo, ki deluje na sledec nacin:

7

x x1 x2 x3 x4 x5 x6L(x) {p} {q} {q} ∅ {q} {p, q}

Naveden Kripkejev model prikazuje slika 1. Mnozica svetov W je narisanakot mnozica krogcev, puscice med njimi prikazujejo relacijo dostopnosti R,vrednost oznacevalne funkcije L v posameznih svetovih pa je zapisana vkrogcih.

Slika 1: Kripkejev model.

Pri podajanju Kripkejevih modelov obicajno navedemo le atomarne for-mule, ki v posameznih svetovih veljajo, pri proucevanju modelov pa nesmemo pozabiti upostevati tudi atomarne formule, ki v posameznih svetovihne veljajo. Popoln zapis oznacevalne funkcije bi torej za dani primer izgledaltakole:

x x1 x2 x3 x4 x5 x6L(x) {p,¬q} {q,¬p} {q,¬p} {¬p,¬q} {q,¬p} {p, q}

Graficni prikaz modela pa je prikazan na sliki 2.

2.5 Veljavnost formul

Najprej se dogovorimo, da simbol x φ oznacuje resnicnost formule φ vmoznem svetu x ∈ W modela M.

8

Slika 2: Kripkejev model – v svetovih veljavne in neveljavne formule.

Definicija 2.4. Naj boM = (W,R,L) model osnovne modalne logike. Pred-postavimo x ∈ W in naj bo φ modalna formula. Definirajmo, kdaj je formulaφ v svetu x resnicna. To storimo tako, da zadostimo relaciji x φ s struk-turno indukcijo na φ:

(1) x >

(2) x 1 ⊥

(3) x p, ce in samo ce p ∈ L(x)

(4) x ¬φ, ce in samo ce x 1 φ

(5) x φ ∧ ψ, ce in samo ce x φ in x ψ

(6) x φ ∨ ψ, ce in samo ce x φ ali x ψ

(7) x φ→ ψ, ce in samo ce x ψ, kadar velja x φ

(8) x φ↔ ψ, ce in samo ce (x φ natanko tedaj, ko x ψ)

(9) x �ψ, ce in samo ce za vsak y ∈ W in R(x, y) velja y ψ

9

(10) x ♦ψ, ce in samo ce obstaja nek y ∈ W , tako da R(x, y) in y ψ.

Obrazlozimo zgornje klavzule se z besedami:

(1) Konstanta logicne resnicnosti > je vedno resnicna, torej je resnicna vvsakem moznem svetu.

(2) Konstanta protislovnosti ⊥ je vedno neresnicna, torej ni resnicna vnobenem moznem svetu.

(3) L(x) je mnozica vseh atomarnih formul resnicnih v svetu x.

(4–8) Klavzule za dvojiske veznike (¬,∧,∨,→ in ↔) pomenijo, da v trenu-tnem svetu x uporabimo kar semantiko obicajnih resnicnostnih tabelteh veznikov iz izjavne logike.

(9) Da v svetu x velja �φ mora biti φ resnicna v vseh svetovih, ki so prekorelacije R dostopni iz sveta x.

(10) Da v svetu x velja ♦φ pa mora obstajati vsaj en mozen svet, prekorelacije R dostopen iz sveta x, v katerem velja φ.

Opazimo lahko, da sta veznika � in ♦ nekoliko podobna kvantifikatorjemapredikatne logike, ∀ in ∃, vendar pa sta od njiju konceptualno enostavnejsa.

Ko x φ pravimo, da ‘formula φ velja v svetu x’ oziroma, da je v njemresnicna ali se drugace, da ‘svet x zadosti formulo φ’. Ko pa zelimo povdariti,da x φ velja v modelu M, zapisemo M, x φ. Formula φ, ki je resnicnav vsakem moznem svetu x ∈ W modela M, je resnicna v modelu M.

Definicija 2.5. Modalna formula φ velja v modelu M = (W,R,L), ce veljav vsakem svetu tega modela. Zapisemo M |= φ, ce in samo ce za vsakx ∈ W, x φ. Ce formula φ velja v vsakem modelu, pravimo da je veljavnain zapisemo |= φ.

Primer 2.6. Poglejmo in premislimo Kripkejev model na sliki 1. Imamo:

• x1 p, saj p ∈ L(x1).

• x1 ♦q, saj obstaja svet x2, dostopen iz sveta x1, torej R(x1, x2), zakaterega velja x2 q.

• x1 1 �q, saj �q pomeni, da q velja v vseh svetovih, ki so dostopni izsveta x1, taka svetova sta x2, x4, vendar x4 1 q.

10

• x2 �q, saj q velja v vseh svetovih, dostopnih iz sveta x2, tak svet jeedino x3 in x3 q.

• x3 1 q → �q; velja x3 q, vendar pa x3 1 �q, saj R(x3, x4) in x4 1 q,zato x3 1 q → �q.

• x3 1 �q in x3 1 �¬q, saj imamo iz sveta x3 dostopne tri svetove – ti sox2, x4 in x5 – za katere velja x2, x5 q in x4 1 q. Torej x3 1 �q∨�¬q,lahko pa recemo, da velja x3 �(q ∨ ¬q).

• x4 �p, saj p velja v vseh svetovih, dostopnih iz sveta x4 – ker takihsvetov ni, p velja v vseh.

• x5, x6 ♦>, saj imata oba svetova svet v prihodnosti, ki je hkrati karisti svet.

• Zaradi R(x5, x5) in R(x6, x6) velja tudi x5, x6 �q → q in x6 �p→p.

Posebno pozornost moramo v modalni logiki posvetiti svetovom, kot jex4, tj. svetovom, ki nimajo dostopnega sveta. Zanj velja x4 1 ♦φ ne glede nato, kaj je φ – ♦φ namrec pravi, da ‘obstaja dostopen svet, v katerem φ velja’,svet x4 pa nima dostopnega sveta. To velja tudi v primeru, ko φ predstavlja> – torej kljub temu, da > velja v vsakem svetu, se vedno velja x4 1 ♦>.Tako ugotovimo, da x ♦> velja le v primeru, ko obstaja vsaj en dostopensvet, v katerega lahko pridemo iz sveta x.

Opazimo lahko tudi, da za svetove, ki nimajo dostopnih svetov vednovelja x �φ, ne glede na to, kaj je φ. To smo potrdili ze na primeru svetax4 za katerega velja x4 �φ, ki pravi, da ‘φ velja v vseh dostopnih sveto-vih’. Svet x4 takih svetov nima, zato φ drzi v vseh, ne glede na to kaj siza φ izberemo – tako nam enostavno ni potrebno preveriti nobenega svetain pravimo, da φ trivialno drzi v vseh. V svetu x4 velja celo �⊥, saj bi, cebi zeleli nekoga prepricati v nasprotno, morali pokazati, da ⊥ ne velja vsajv enem svetu, ki je dostopen iz sveta x4 – tega pa ne moremo narediti, sajtakega sveta ni. Prav tako lahko v svetu velja �⊥; ugotovimo, da x �⊥velja natanko tedaj, ko x nima dostopnih svetov [1].

V tem poglavju smo se seznanili s pravili, kdaj formule v modalni logikiveljajo, sedaj pa je cas, da podamo konkretne primere takih formul. Dabomo o njih lazje govorili moramo najprej razloziti pojem shema formul [1].

11

2.5.1 Sheme formul

Povedali smo ze, da so modalne formule zgrajene iz atomarnih formul inveznikov. Ker pa imajo nekatere formule enako strukturo atomarnih formulin logicnih veznikov med njimi, je vcasih uporabno, ce govorimo kar o celidruzini formul. Formule, ki spadajo v isto druzino imajo isto obliko, ki jipravimo shema formul. Vsaka druzina formul ima drugacno shemo, vsakiformuli iz neke druzine pa pravimo primer oziroma predstavnik sheme [1].

Primer 2.7. Primer sheme formul je formula �φ → ♦φ, trije predstavnikite sheme pa so formule:

• �p→ ♦p

• �q → ♦q

• �(p ∨�♦q)→ ♦(p ∨�♦q).

Sheme formul si lahko predstavljamo tudi graficno, tj. kot razvejanadrevesa. Ker ima vsaka shema razlicno obliko atomarnih formul in logicnihveznikov med njimi, so tudi graficne upodobitve razlicnih shem sestavljeneiz razlicnih delov. Slika 3 prikazuje razvejani drevesi za dve razlicni shemi.

Slika 3: Razvejani drevesi za shemi formul �φ→ ♦φ in ♦(φ ∧ (¬φ→ �ψ)).

Semanticno je shema formul povezovalec vseh formul, ki spadajo v istodruzino, torej vseh njenih predstavnikov, ker pa je teh predstavnikov na

12

splosno neskoncno mnogo, tega ne moremo zapisati v sintaksi. Shema formulje v nekem modelu veljavna, ce so v tem modelu veljavni vsi njeni predstav-niki, ce pa je v modelu veljaven le en ali nekaj prdstavnikov sheme, se nepomeni, da je v modelu veljavna tudi cela shema [1].

2.5.2 Veljavne formule in sheme formul

V modalni logiki imamo stiri veljavne sheme formul. To so:

¬�φ↔ ♦¬φ (1)

�(φ ∧ ψ)↔ �φ ∧�ψ (2)

♦(φ ∨ ψ)↔ ♦φ ∨ ♦ψ. (3)

�(φ→ ψ) ∧�φ→ �ψ (4)

Prepricajmo se o njihovi veljavnosti.

Shema (1): Predpostavimo, da je x svet v nekem modelu M = (W,R,L).Pokazati zelimo x ¬�φ ↔ ♦¬φ, tj. da x ¬�φ ce in samo cex ♦¬φ. Uporabimo Definicijo 2.4, torej

x ¬�φ, ce in samo ce, ne velja x �φ

ce in samo ce, ne velja, da za vse y, tako da R(x, y), y φ

ce in samo ce, obstaja tak y, da R(x, y) in ne y φ

ce in samo ce, obstaja tak y, da R(x, y) in y ¬φce in samo ce, x ♦¬φ.

Shemi (2), (3): Dokaza veljavnosti sta podobna kot pri shemi (1), zato juprepuscamo bralcu.

Shema (4): Shemo “K”, poimenovano v spomin logiku S. Kripke, najdemovcasih zapisano v ekvivalentni, vendar nekoliko manj intuitivni obliki– �(φ→ ψ)→ (�φ→ �ψ). Preverimo njeno veljavnost.

Kot pri (1) predpostavimo najprej, da je x svet v nekem modeluM =(W,R,L). Pokazati moramo, da x �(φ→ ψ)∧�φ→ �ψ. Navezimose ponovno na Definicijo 2.4, predpostavimo x �(φ → ψ) ∧ �φ indokazimo x �ψ:

x �(φ→ ψ) ∧�φ, ce in samo ce, x �(φ→ ψ) in x �φ

ce in samo ce, imamo y φ→ ψ in y φ,

ter velja R(x, y), za vsak y

sledi, da velja y ψ za vsak y in R(x, y)

ce in samo ce, x �ψ.

13

Poleg omenjenih shem formul so v modalni logiki veljavne se vse tavto-logije izjavne logike in vsi njihovi substitucijski primeri – to so formule, koatomarne formule v neki formuli nadomestimo z drugimi formulami. Ko ato-marne formule tavtologij izjavne logike nadomestimo z veljavnimi formulamimodalne logike, postanejo to veljavne formule v modalni logiki [1].

Primer 2.8. Vzemimo neko tavtologijo izjavne logike, na primer p ∨ ¬p inizvedimo zamenjavo njenih atomarnih formul s formulo modalne logike p 7→�p∧(q → p). Rezultat zamenjave je formula (�p∧(q → p))∨¬(�p∧(q → p)),ki je veljavna v modalni logiki [1].

Ekvivalence modalnih formul

Enako kot so tavtologije izjavne logike in njihovi substitucijski primeri ve-ljavne formule v modalni logiki, so tudi ekvivalence izjavne logike in njihovisubstitucijski primeri ekvivalence v modalni logiki. Spomnimo se najprej,kaj je ekvivalenca.

Definicija 2.9.

(1) Pravimo, da iz mnozice formul Γ osnovne modalne logike semanticnodobimo formulo ψ osnovne modalne logike, ce v vsakem svetu x vsakegamodelaM = (W,R,L), velja x ψ kadarkoli velja x φ, za vse φ ∈ Γ.V tem primeru pravimo, da Γ |= ψ velja.

(2) Pravimo, da sta φ in ψ semanticno ekvivalentna, ce φ |= ψ in ψ |= φvelja. To oznacimo z φ ≡ ψ.

Ekvivalenca φ ≡ ψ velja ce in samo ce, v nekem svetu nekega modelavelja φ natanko tedaj, ko velja tudi ψ oziroma ravno obratno.

Primer 2.10. Vzemimo ekvivalentni formuli izjavne logike p→ ¬q in ¬(p∧q)in naredimo zamenjavo njenih enostavnih izjav s formulama modalne logikena sledec nacin:

p 7→ �p ∧ (q → p) in q 7→ r → ♦(q ∨ p)

Rezultat zamenjave sta formuli, ekvivalentni v modalni logiki:

�p ∧ (q → p)→ ¬(r → ♦(q ∨ p))¬((�p ∧ (q → p)) ∧ (r → ♦(q ∨ p)).

Za veznika � in ♦ lahko uporabimo tudi de Morganove zakone:

14

¬�φ ≡ ♦¬φ in ¬♦φ ≡ �¬φ.

Univerzalni kvantifikator dostopnih svetov � deluje le preko veznika ∧, eksi-stencialni kvantifikator ♦ pa le preko veznika ∨, torej veljata tudi ekvivalenci

�(φ ∧ ψ) ≡ �φ ∧�ψ in ♦(φ ∨ ψ) ≡ ♦φ ∨ ♦ψ,

ne pa tudi

�(φ ∨ ψ) 6≡ �φ ∨�ψ in ♦(φ ∧ ψ) 6≡ ♦φ ∧ ♦ψ.

Pomnimo, da velja se

�> ≡ > in �> 6≡ ♦>,

ter podobno

♦⊥ ≡ ⊥ in ♦⊥ 6≡ �⊥.

Se ena veljavna ekvivalenca v modalni logiki je ♦> ≡ �p → ♦p. Ce zelimopokazati njeno veljavnost, moramo to storiti v dveh korakih: (a) predposta-vimo x ♦> in pokazemo �p→ ♦p; ter (b) iz �p→ ♦p pokazemo, da velja♦>.

(a) Predpostavimo torej x ♦> ter x �p. Iz prve predpostavke vemo,da iz sveta x obstaja dostopen svet, recimo mu y, iz druge pa, da p veljav vseh iz x dostopnih svetovih; torej velja y p in zato tudi x ♦p.

(b) Sedaj pa predpostavimo nasprotno, torej x �p → ♦p, pokazati pazelimo, da to zadosti ♦>. Tu moramo razlikovati med dvema prime-roma: ko velja x �p in ko velja x 1 �p. V prvem primeru izx �p → ♦p dobimo x ♦p, torej ima x dostopen svet. Iz drugegaprimera pa moramo, da ne zadostimo pogoju �p, ponovno imeti do-stopen svet. Torej ima x v obeh primerih dostopen svet in tako zadosti♦>.

Seveda lahko ta argument uporabimo za vsako formulo φ, ne le za atom p[1].

15

3 Logicno nacrtovanje

V drugem poglavju smo si pogledali okvir osnovne modalne logike, ki je pre-cej splosen, zato ga lahko izpopolnimo na razlicne nacine in tako formuliramorazlicne nacine resnic, ki smo jih razlikovali na samem zacetku. Z uporabopravil lahko oblikujemo razlicne modele s katerimi modeliramo razlicne la-stnosti – temu pravimo logicno nacrtovanje [1].

Podrocje logicnega nacrtovanja je zelo siroko, saj se v njem uporablja vsevrste logike, matematike in racunalniske znanosti. V slednji je razmisljanje orazlicnih nacinih resnice zelo uporabno. Imamo na primer logiko, imenovanoCTL (Computation tree logic), v kateri razlikujemo tako med resnicnostjov razlicnih trenutkih v prihodnosti, kot tudi med razlicnimi prihodnostmi.Preko modalnosti te logike lahko izrazimo stevilna delovanja racunalniskihsistemov, poleg tega pa so te modalnosti zelo uporabne tudi pri modeliranjudrugih domen racunalniske znanosti. V umetni inteligenci so na primer zuporabo logicnega nacrtovanja razvili scenarije z vec interaktivnimi agenti,kateri imajo lahko vsak svoje znanje o okolici ter o znanju drugih agentov[1].

Pri nacrtovanju logike bomo pozornost posecali vprasanju: “Kako najrazvijemo logiko, zmozno izrazanja in formuliranja izbranega koncepta?”. Dalahko odgovorimo na to vprasanje se moramo predhodno odlociti, katerelastnosti zelimo v logiki imeti in katere primere sklepanja mora biti logikazmozna izrazati. Osnovno modalno logiko bomo poskusali preoblikovati tako,da se bo ujemala z razlicnimi koncepti, ki jih izrazamo z veznikoma � in ♦.Najenostavnejsa modalna logika se ukvarja zgolj z enim konceptom resnice– npr. znanje, nujnost ali cas – bolj sofisticirane modalne logike pa lahkoizrazajo vec razlicnih nacinov resnice hkrati [1].

Pojma “nujno je” in “mozno je” lahko torej interpretiramo na razlicnenacine. Tabela (1) prikazuje razlage �φ in ♦φ glede na razlicne koncepte.

Veznik ♦ lahko nadomestimo z ekvivalenco ¬�¬ – to pomeni, da je‘mozno res, da φ’ ekvivalentno z ‘ni nujno res, da ne φ’. Poglejmo si pokorakih, zakaj je tako:

CeNi nujno res, da φ = mozno je, da ne φ

potemNi nujno res, da ne φ

= mozno je, da ne ne φ= mozno je, da φ.

16

Koncept �φ ♦φNujnost Nujno res, da φ Mozno res, da φCasovna veljavnost Vedno bo res, da φ Nekoc v prihodnosti φMoralne vrednote Mora veljati, da φ Dovoljeno je, da φMisljenje Agent Q misli, da φ φ je skladen s prepricanji

agenta QZnanje Agent Q ve, da φ Za vse kar agent Q ve, φIzvedba programov Po katerikoli izvedbi Po neki izvedbi

programa P, φ drzi programa P, φ drzi

Tabela 1: Razlage �φ in ♦φ v posameznih konceptih.

Pojasnimo se interpretacijo ♦φ, ki ustreza razlagi �φ v primeru znanja;torej v primeru, ko �φ razumemo kot ‘agent Q ve φ’ in skusamo �φ nado-mestiti z ♦φ. Z uporabo zgornje ekvivalence dobimo [1]:

agent Q ne ve ne φ= glede na znanje agenta Q, bi φ lahko veljal= φ je skladno z znanjem agenta Q.

3.1 Formule in njihova veljavnost v razlicnih konceptih

V drugem poglavju smo spoznali nekaj veljavnih modalnih formul. Polegveljavnih pa obstaja tudi veliko formul, ki ne veljajo. Ene izmed teh so:

• ♦>

• �q → q

• �q → ��q

• ¬�q → �¬�q.

O njihovi veljavnosti se prepricajmo kar na primeru Kripkejevega modelana sliki 1. Za vsako izmed zgornji formul lahko najdemo svet v modelu, vkaterem formula ne velja.

(1) ♦> ne velja:

Da formula ♦> velja mora vsak svet v modelu imeti vsaj en dostopensvet v katerem velja >. V nasem primeru imamo svet x4, ki nimadostopnih svetov, zato ♦> v njem ne velja.

17

(2) �q → q ne velja:

Ce v modelu izbrisemo svet x4 in povezavi R(x1, x4) ter R(x3, x4), for-mula �q → q ne velja v svetu x1. Poglejmo zakaj: v x1 velja �q, sajx2 q, vendar pa x1 1 q in zato tudi x1 1 �q → q.

(3) �q → ��q ne velja:

Spremenimo Kripkejev model, ki nam sluzi za zgled, tako kot prikazujeslika 4. V svetu x3, spremenjenega modela, zgornja formula ne velja,saj: v svetu x3 velja �q (x2, x5 q), ne pa tudi ��q, saj x1 1 q.

(4) ¬�q → �¬�q ne velja:

Ce v modelu na sliki 4 izbrisemo povezavo R(x2, x1) in spremenimoL(x2) v {p,¬q}, zgornja formula ne velja v svetu x1. Velja x1 ¬�q,ne pa tudi �¬�q. Poglejmo podrobneje zakaj ne �¬�q:

x1 �(¬�q) (5)

x2 ¬�q (6)

x2 �q (7)

x3 q (8)

Ker R(x1, x2) pridemo iz enacbe (5) v enacbo (6); v x2 velja �q, sajx3 q, zato enacba (6) ne velja in zato posledicno ne velja niti enacba(5).

Slika 4: Spremenjen Kripkejev model.

18

Kot smo ze omenili na zacetku poglavja, je naloga logicnega nacrtovanjaoblikovanje logike na tak nacin, da v njej veljajo izbrane sheme formul, zakatere smo predhodno dolocili, da morajo veljati. Odlocitev, katere naj bi tesheme formul bile, pa temelji na podlagi tega, kateri nacin oziroma nacineresnic zelimo modelirati. Ko zelimo, da v logiki velja na primer konceptnujnosti, mora v modelu veljati formula �p → p, saj ta pravi, da je tistokar ‘nujno velja’ tudi preprosto res. Ta formula velja tudi v primeru, komodeliramo znanje agenta Q, saj nam pove, da ce agent Q nekaj ve, potemje to tudi res – agent torej ne more imeti napacnega znanja. V primeru, koima agent Q lahko napacno znanje to spada v koncept misljenja in formula�p→ p ne velja vec [1].

Tabela (2) prikazuje razlage �φ v sestih konceptih, ki jih lahko mode-liramo in osem shem formul. Ce shema formul v konceptu velja smo tooznacili s kljukico, ce pa shema v konceptu ne velja to oznacuje krizec. Kerse zelimo izogniti dvoumnosti, ki lahko nastane pri razumevanju koncepta, kiga skusamo modelirati, je odlocitev ali naj shema v dolocenem konceptu veljaali ne, v nekaterih primerih se posebej tezka. Ker moramo biti pri formalizi-ranju logike precej natancni, smo morali za vsako shemo posebej predhodnopremisliti o njeni veljavnosti. Utemeljimo sedaj nekaj odlocitev pri vsakemkoncepu [1].

�φ 1 2 3 4 5 6 7 8Nujno res, da φ

√ √ √ √ √×√×

Vedno bo res, da φ ×√× × × ×

√×

Mora veljati/biti, da φ × × ×√ √

×√×

Agent Q misli, da φ ×√ √ √ √

×√×

Agent Q ve, da φ√ √ √ √ √

×√×

Po katerikoli izvedbi programa P, φ drzi × × × × × ×√×

1 �φ→ φ2 �φ→ ��φ3 ♦φ→ �♦φ4 ♦>5 �φ→ ♦φ6 �φ ∨�¬φ7 �(φ→ ψ) ∧�φ→ �ψ8 ♦φ ∧ ♦ψ → ♦(φ ∧ ψ)

Tabela 2: Sheme formul, ki v posameznih konceptih veljajo oziroma ne ve-ljajo.

19

NUJNOST. Formuli �φ → ��φ in ♦φ → �♦φ v modelu veljata, ceje to, kar je potrebno tudi nujno potrebno. V mislih imamo lahko razlicneideje nujnosti – pri izpolnjevanju tabele smo imeli v mislih logicno nujnost.Formuli sta v omenjenem konceptu veljavni, saj so zakoni logike tiste trditve,katerih resnice ne moremo zavreci. Ce pa bi imeli v mislih dejansko nujnost,formuli ne bi veljali, saj bi se potem to nanasalo na vprasanje: ali so zakoniuniverzuma sami sebi dejansko potrebni, tj. ali sami sebi narekujejo, da to(zakoni univerzuma) morajo biti [1]. Formula �φ→ ♦φ pravi, da ce je nekajnujno res, potem je to tudi mozno, zato velja. Formula �φ ∨ �¬φ pa nevelja, saj bi drugace pomenilo, da nekaj nujno velja ali nujno ne velja, karpa seveda ne drzi v vseh modelih.

CASOVNA VELJAVNOST. Formula �φ → φ pravi, da prihodnostvsebuje tudi sedanjost. Ali naj to v modelu drzi ali ne je stvar nase odlocitve,v splosnem pa ne velja, zato je oznacena s krizcem. Formula ♦> pravi, daobstaja svet v prihodnosti, v katerem velja >, to pomeni, da cas nima konca,kar je spet odvisno od tega, katero idejo ‘prihodnosti’ zelimo modelirati [1].Zakaj �φ ∨ �¬φ ne velja? Poglejmo na konkretnem primeru, torej ce biformula veljala bi to pomenilo, da v nekem trenutku v prihodnosti povsoddezuje ali povsod ne dezuje, kar pa seveda ni res, saj lahko v Mariboru dezuje,v Kopru pa ob istem casu sije sonce.

MORALNE VREDNOTE. Ce bi veljala formula �φ → φ bi pome-nilo, da so moralne vrednote edino “pravilno in sprejemljivo”, kar pa ni res,saj lahko vidimo, da se prepricanja o tem, kaj je prav in kaj ne, pri razlicnihkulturah precej razlikujejo. Formuli �φ→ ��φ in ♦φ→ �♦φ izrazata, daprivzeta moralna pravila pridobimo preko moralnosti, kar seveda ne drzi, sajlahko mislimo, da ‘Moramo zapeti varnostni pas’, vendar zaradi tega se nemislimo, da ‘Mora biti, da moramo zapeti varnostni pas’. Je pa res, da vsekar mora biti, mora biti dovoljeno biti tako – torej velja formula �φ→ ♦φ [1].

MISLJENJE. Da bomo lazje razumeli zakaj velja ♦>, jo izrazimo zekvivalenco ¬�⊥, katera nam pove, da agent Q ne misli protislovij. Pritem se moramo seveda zavedati, da ne modeliramo cloveskih bitij, z vseminjihovimi strahovi in pogosto, ocitno protislovnimi prepricanji, temvec ideali-zirane agente, ki so logicno vsevedni – tj. zmozni razvozlati logicne posledicesvojih prepricanj. Podobno preoblikujmo se formulo ♦φ → �♦φ – dobimo¬�ψ → �¬�ψ, ki pravi, da, ce agent Q necesa ne misli, potem misli, datega ne misli. Ce bi v konceptu veljala formula �φ ∨ �¬φ, bi to pomenilo,da ima agent Q mnenje o vsaki stvari, kar pa ni zelo verjetno [1].

20

ZNANJE. V tabeli (2) lahko vidimo, da imata koncepta znanje inmisljenje enak vzorec kljukic in krizcev, razlikujeta se le pri formuli �φ→ φ– agent Q ima lahko torej napacna prepricanja, ne more pa imeti napacnegaznanja. V konceptu znanja formula �φ → ��φ predtsvlja pozitivno intro-spekcijo, formula ¬�ψ → �¬�ψ pa negativno introspekcijo. Prva tako pravi,da se agent zaveda svojega znanja – torej, ce agent nekaj ve, potem ve, da tove – druga pa, da se agent zaveda svojega neznanja – ce agent necesa ne vepotem ve, da tega ne ve; agent se je torej sposoben zazreti v svojo notranjostna svoje znanje. Seveda govorimo zopet o idealiziranem znanju, saj vecinaljudi ne zadosti tem lastnostim. Shema K se v logiki znanja vcasih nanasa nalogicno vsevednost, saj pravi, da je znanje agenta zaprto za logicno posledico,torej, da je agent zmozen razvozlati vse posledice, ki sledijo iz njegovega zna-nja, kar spet velja le v primeru idealiziranih agentov [1].

IZVEDBA PROGRAMOV. V tem konceptu velja le ena izmed shemformul. Pojasnimo neveljavnost nekaterih: shema �φ → ��φ pravi, daje po dvokratni izvedbi programa rezultat enak, kot po enkratni izvedbi.To ocitno ne drzi; kot protiprimer lahko navedemo program, ki z bancnegaracuna odsteva denar. Se ena formula, ki ne velja je formula ♦>, ki pravi,da se vsak program zakljuci, kar seveda ne drzi vedno [1].

Ce pogledamo tabelo (2) vidimo, da imata shemi formul ♦> in �φ→ ♦φenak vzorec kljukic in krizcev, torej sta ekvivalentni. Pokazemo lahko tudi,da velja formula (�φ → φ) → ♦>, torej kadarkoli velja �φ → φ, velja tudi♦>.

3.2 Relacija dostopnosti in njene lastnosti

Do sedaj smo se pri nacrtovanju logike osredotocali le na to, katere sheme for-mul morajo veljati v modelu za razlicne razlage �, logiko pa lahko nacrtujemotudi na nivoju Kripkejevih modelov. Za vsako od sestih razlag � moramoustrezno prilagoditi tudi razlago relacije dostopnosti, kateri potem pripisu-jemo dolocene lastnosti, kot na primer refleksivnost, tranzitivnost, itn.

Tako v primeru nujnosti x �φ pomeni, da v svetu x velja nujno φ, ceφ velja v vseh svetovih y, dostopnih iz sveta x. Dostopne svetove moramoseveda razumeti kot mozne svetove, relacijo R(x, y) pa moramo interpreti-rati kot ‘po informacijah v svetu x je y mozen svet’. Ce pa zelimo namestonujnosti modelirati znanje, potem R(x, y) pomeni, da bi, ‘glede na znanjeagenta Q v svetu x, y lahko bil dejanski svet’. Torej, ce je x dejanski svet,potem agent Q, ki ni vseveden, ne more izkljucevati moznosti, da je x dejan-sko y. Ce vkljucimo to definicijo v klavzulo za x �φ, dobimo, da agent Q

21

ve φ natanko tedaj, ko φ velja v vseh svetovih, ki bi, po njegovem znanju,lahko bili dejanski svet. Ustrezen pomen relacije R je za vsako od razlag �predstavljen v tabeli 3 [1].

�φ R(x, y)Nujno res, da φ glede na informacije v x je y

mozen svetVedno bo res, da φ y je prihodnji svet sveta xMora biti/veljati, da φ glede na informacije v x je y

sprejemljiv svetAgent Q misli, da φ glede na prepricanja agenta Q

v x je y lahko dejanski svetAgent Q ve, da φ glede na znanje agenta Q v x

je y lahko dejanski svetPo katerikoli izvedbi programa P, φ drzi y je mozen rezultat po izvedbi

programa P v x

Tabela 3: Pomen relacije R za razlicne razlage �.

Dana relacija R je lahko:

• refleksivna: ce za vsak x ∈ W velja R(x, x);

• simetricna: ce za vsak x, y ∈ W , R(x, y) implicira R(y, x);

• zaporedna: ce za vsak x obstaja y tako, da R(x, y);

• tranzitivna: ce za vsak x, y, z ∈ W , R(x, y) in R(y, z) implicirataR(x, z);

• Evklidska: ce imamo za vsak x, y, z ∈ W zaradi R(x, y) in R(x, z) tudiR(y, z);

• funkcijska: ce za vsak x obstaja enolicen y tako, da R(x, y);

• linearna: ce za vsak x, y, z ∈ W velja, da R(x, y) in R(x, z) skupajimplicirata R(y, z) ali y enako z ali R(z, y);

• sovisna: ce za vsak x, y ∈ W velja R(x, y) ali R(y, x); in

• ekvivalencna relacija: ce je refleksivna, simetricna in tranzitivna.

22

Ker si relacijo R razlagamo na razlicne nacine, moramo premisliti, katereizmed zgornjih lastnosti naj bi relacija R imela. Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 3.1. V konceptu znanja, ko �φ pomeni ‘agent Q ve φ’, R(x, y)pomeni, da je, glede na znanje agenta Q v x, y lahko dejanski svet.

• Premislimo ali mora biti v tem primeru relacija R refleksivna. To bipomenilo, da ‘glede na znanje agenta Q v x, je x lahko dejanski svet’,oziroma, da agent Q ne more imeti napacnega znanja, torej lahko vele resnicne stvari. Seveda je zazeleno, da relacija to lastnost ima. Vnadaljevanju si bomo pogledali se, da je nezmoznost napacnega vedenjatesno povezana s formulo �φ→ φ.

• Ali mora biti relacija R tranzitivna? To bi pomenilo sledece: ce jey mogoc, glede na znanje agenta Q v x in z mogoc, glede na znanjeagenta Q v y, potem je z mogoc glede na znanje agenta Q v x. Izgleda,da to drzi, saj bi drugace agent Q v x imel dolocene informacije, zaradikaterih bi vedel, da z ne more biti dejanski svet, prav tako pa bi te isteinformacije vedel tudi v y. Tukaj smo se zanasali na pozitivno intro-spekcijo, tj. formulo �φ→ ��φ, ki je, kot bomo videli v nadaljevanju,tesno povezana s tranzitivnostjo relacije [1].

3.3 Teorija ujemanja

Med lastnostmi relacije dostopnosti in nekaterimi formulami obstajajo torejdolocene povezave. V primeru 3.1 smo omenili ze povezavo med refleksiv-nostjo in formulo �φ → φ, ter povezavo med tranzitivnostjo in formulo�φ→ ��φ. Prvi dve slonita na “vedenju resnicnih stvari”, drugi dve pa napozitivni introspekciji, tj. na “zavedanju o lastnem znanju” [1].

Med shemami formul in lastnostmi relacije dostopnosti obstaja torej pra-vilna matematicna povezava, ki nam pomaga razumeti logiko, ki jo pri logicnemnacrtovanju proucujemo. Ce to povezavo vidimo, si s proucevanjem uje-majoce lastnosti relacije R lahko precej olajsamo razumevanje pomena nekeformule. Ko nacrtujemo logiko in se sprasujemo, ce bi morala biti dolocenashema formul sprejeta v sistem modalne logike, lahko to preverimo tako, danajdemo shemi ustrezno lastnost relacije R in premislimo, ali je za modelsmiselna [1].

Da lahko govorimo o povezavi med shemo formul in ujemajoco lastnostjorelacije dostopnosti, potrebujemo pojem (modalnega) okvirja.

Definicija 3.2. Okvir F = (W,R) je mnozica svetov W in dvojiska relacijaR na W .

23

Okvir je torej Kripkejev model brez oznacevalne funkcije in ga zato lahkoizvlecemo iz vsakega modela – to storimo tako, da pri modelu enostavno po-zabimo na oznacevalno funkcijo. Slika 5 prikazuje primer okvirja, izvlecenegaiz Kripkejevega modela na sliki 1. Okvir zajema le mnozico svetov in relacijodostopnosti med njimi, nima pa podatkov o resnicnosti atomarnih formul vposameznih svetovih. Definirajmo, kdaj formula v okvirju velja [1].

Slika 5: Okvir izvlecen iz Kripkejevega modela na sliki 1.

Definicija 3.3. Okvir F = (W,R) zadosti modalno formulo φ, ce za vsakooznacevalno funkcijo L : W → P(Atomi) in vsak w ∈ W velja M, w φ,kjer M = (W,R,L). V tem primeru pravimo, da F |= φ velja.

Ce okvir zadosti formulo, potem zadosti tudi vsak njen substitucijskiprimer in podobno, ce okvir zadosti predstavnika sheme, zadosti tudi celotnoshemo, saj okvirji ne vsebujejo podatkov o veljavnosti atomarnih formul, zatomed njimi tudi ne morejo razlikovati. Ce okvir zadosti formulo, zadosti tudinjeno shemo, saj to pridobimo tako, da atomarne formule p, q zamenjamo sformulami φ, ψ. Spomnimo se, da za modele ne velja isto [1].

Primer 3.4. Premislimo okvir F , prikazan na sliki 6.

24

Slika 6: Se en okvir.

(1) Poglejmo, ali okvir F zadosti formulo �p → p. Formula v okvirju ve-lja takrat, ko velja v vsakem svetu za vsako oznacevalno funkcijo. Vokvirju na sliki 6 je moznih osem oznacevalnih funkcij, saj je p lahkoresnicna ali neresnicna v vsakem od treh svetov, da pa ne bomo pre-verjali vsake moznosti posebej podajmo raje splosen argument. Naj box poljuben svet iz okvirja, predpostavimo x �p in poglejmo ali veljax p. Iz slike vidimo, da je vsak svet dostopen iz samega sebe, torejvelja R(x, x), zato iz klavzule za � po Definiciji 2.4 sledi tudi x p,torej formula �p→ p v okvirju F velja.

(2) V danem okvirju F velja vsaka formula oblike �p → p, torej v njemvelja shema �φ→ φ.

(3) V okvirju F pa ne velja formula �p→ ��p, saj pri oznacevalni funkcijina sliki 7 velja x1 �p in x1 1 ��p [1].

Po razmisleku iz Primera 3.4 ugotovitimo naslednje:

Izrek 3.5. Naj bo F = (W,R) okvir.

(1) Sledece izjave so ekvivalentne:– R je refleksivna;– F zadosti �φ→ φ;– F zadosti �p→ p;

(2) Sledece izjave so ekvivalentne:– R je tranzitivna;

25

Slika 7: Model.

– F zadosti �φ→ ��φ;– F zadosti �p→ ��p.

ime shema formule lastnost R

T �φ→ φ refleksivnaB φ→ �♦φ simetricnaD �φ→ ♦φ zaporedna4 �φ→ ��φ tranzitivna5 ♦φ→ �♦φ Evklidska

�φ↔ ♦φ funkcijska�(φ ∧�φ→ ψ) ∨�(ψ ∧�ψ → φ) linearna

Tabela 4: Ujemajoce lastnosti relacije R za izbrane formule.

Ustrezne lastnosti relacije dostopnosti so za izbrane formule prikazanev tabeli 4. V skrajno levem stolpcu so navedena tudi zgodovinska imenaformul, ki so se ohranila do danes in jih se vedno uporabljamo v knjigah.Matematicen pomen tabele pa je sledec:

Izrek 3.6. Okvir F = (W,R) zadosti shemo formule v tabeli 4 ce in samoce ima R ujemajoco lastnost iz tabele.

Utemeljimo nekatere povezave med omenjenimi formulami in lastnostmirelacije dostopnosti. Povezave moramo pokazati v dveh korakih: (a) pokazati

26

moramo, da ce ima relacija R lastnost, velja formula, in (b) ce relacija Rnima lastnosti lahko najdemo protiprimer za formulo. Zacnimo na primer ssimetricnostjo.

1. Simetricnost, φ→ �♦φ.

(a) Ce je relacija R simetricna, velja φ→ �♦φ.

Denimo, da je R simetricna in da v svetu x velja φ. Pokazati moramo,da v svetu x velja �♦φ, kar pomeni: za vsak y, ki je dostopen iz x velja♦φ.

Naj bo torej y dostopen iz x. Zaradi simetricnosti R je x dostopen izy. Ker vemo, da v x velja φ, v y velja ♦φ.

Slika 8: Primer modela, v katerem je R simetricna.

(b) Ce R ni simetricna lahko najdemo protiprimer za formulo φ→ �♦φ.

Denimo, da R ni simetricna. Potem lahko najdemo x, y, da R(x, y)velja in R(y, x) ne velja. Izberemo L tako, da p ∈ L(x) in povsoddrugje p /∈ L(z) za z 6= x.

Trdimo x 1 p→ �♦p. Preverimo:

V svetu x velja p → �♦p natanko tedaj, ko iz x p sledi x �♦p.Ker smo predpostavili p ∈ L(x), velja x p, torej sledi tudi x �♦p– vendar x 1 �♦p, saj nimamo povezave R(y, x) in zato y 1 ♦p.

2. Tranzitivnost, �φ→ ��φ.

(a) Ce je relacija R tranzitivna, velja �φ→ ��φ.

27

Slika 9: Primer modela v katerem R ni simetricna.

Ce je relacija tranzitivna, v modelu velja, da za vsak x, y, z ∈ W ,R(x, y) in R(y, z) implicirata R(x, z). Denimo, da imamo v modelusvet x, v katerem velja �φ. Ker R(x, y) in R(y, z) implicirata R(x, z)to pomeni, da se iz sveta x lahko pride tudi v svet z, torej je svet zdostopen iz sveta x. Ker pa smo rekli, da v x velja �φ, φ velja tudi vz in torej velja x ��φ.

(b) Ce R ni tranzitivna najdemo protiprimer za formulo �φ→ ��φ.

Denimo, da R ni tranzitivna. Potem lahko najdemo take svetove x, y, z,da veljata R(x, y) in R(y, z), ne pa tudi R(x, z). Izberemo L tako, dap ∈ L(y) in p /∈ L(z) za z 6= x 6= y.

Trdimo x 1 �φ→ ��φ. Preverimo:

V svetu x velja �φ→ ��φ natanko tedaj, ko iz x �φ sledi x ��φ.Ce torej y p za R(x, y), potem x ��φ. Ker p ∈ L(y), sledix ��φ – vendar to ne velja, saj R(x, y), R(y, z) in z 1 p.

28

Slika 10: Primer modela v katerem je R tranzitivna.

Slika 11: Primer modela v katerem R ni tranzitivna.

29

4 Zakljucek

Matematika je prisotna na stevilnih podrocjih v zivljenju, najdemo jo lahkokjerkoli. V diplomskem delu smo zeleli prikazati njeno povezavo z razlicniminacini resnic, ki jih izrazamo v vsakdanjem jeziku. Z ustrezno matematicnoformalizacijo lahko tako oblikujemo razlicne okoliscine – modele – v katerihveljajo dolocene resnice in tako proucujemo razlicne koncepte oziroma situa-cije. Da smo lahko predstavili osnove modalne logike, smo morali najprej nahitro ponoviti izjavni racun, saj ta predstavlja osnove razumevanja modalnelogike. Po uvodni ponovitvi pa smo presli na locevanje razlicnih nacinovresnice ter opredelili, kako te izrazimo v matematicnem jeziku. Sledila je for-malizacija modelov, veljavnih formul, shem formul in ekvivalenc, ki veljajov modalni logiki. Da ni matematika sama sebi namen smo po opredelitvi inutemeljitvi omenjenih pojmov predstavili kako teorijo uporabimo v praksi.Z uporabo pravil in zakonitosti smo sposobni modelirati razlicne koncepte, vkaterih veljajo razlicne formule. Ker je vcasih to delo precej zahtevno, se neosredotocamo samo na formule, ki naj bi veljale v razlicnih konceptih, ven-dar si delo lahko olajsamo, ce poleg tega preucujemo se relacijo dostopnostiin njene lastnosti. Snov smo seveda poskusili cimbolj nazorno predstaviti inutemeljiti na konkretnih primerih, saj je tako bolj in hitreje razumljiva.

30

Literatura

[1] M. Huth, M. Ryan, Logic in computer science – Modelling and reasoningabout systems (Cambridge, Cambridge University Press, 2004).

[2] N. Klun, Pogled na modalno logiko, diplomsko delo (Ljubljana, Univerzav Ljubljani: Pedagoska fakulteta, 1998).

[3] S. A. Kripke, Imenovanje in nujnost (Ljubljana, Krtina, 2000).

[4] N. Prijatelj, Matematicne strukture 1 (Ljubljana, Partizanska knjiga,1980).

[5] E. N. Zalta, Basic concepts in modal logic (Center for the study of lan-guage and information, Stanford University, 1995).

31