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Cours M2 - Equations Elliptiques lineaires du second ordre

Antoine Lemenant

28 janvier 2020

Table des matieres

1 Operateur Laplacien 3

1.1 Formule de la divergence et Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Energie de Dirichlet et introduction a la methode variationnelle . . . . . . . . . . . 8

2 Theorie des distributions et solution elementaire 10

2.1 Rappels succincts sur la theorie des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Derivee au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Convergence d’une suite de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Rappel : produit de convolution de L1loc(RN ) avec C∞c (RN ) . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Produit de convolution de D′(RN ) avec C∞c (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Distributions a support compact E ′(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Produit de convolution de D′(RN ) avec E ′(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Solution elementaire et application a l’equation de Poisson . . . . . . . . . . . . . 16

3 Distributions temperees et resolution en Fourier dans Hs(RN ) 18

3.1 Espace de Schwarz et transformation de Fourier sur S(RN ) . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Transformation de Fourier sur S ′(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Transformation de Fourier sur L2(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Espace Hs et resolution de l’equation de Poisson par Fourier . . . . . . . . . . . . 22

4 Espaces de Sobolev sur un domaine 25

4.1 Definition et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Espace dual de W 1,p, convergence faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Operateur de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Injection de W 1,p dans Lp∗

pour p ≤ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 Injection de W 1,p dans C0,α pour p > N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6 Compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7 Theoreme de Campanato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Equations lineaires sous forme de divergence 40

5.1 Existence de solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 A propos du probleme de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Regularite des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Regularite Holder (theoreme de Schauder) 51

1

Introduction

Ce document rassemble des elements correspondant au cours de M2 ”Introduction aux equations

lineaires elliptiques” donne a l’universite de Lorraine (Nancy) au cours de l’annee 2019-2020. Le

but principal de ce texte est de fournir aux etudiants qui suivent le cours, un support contenant

les demonstrations detailles ainsi que la plupart des enonces vu en cours (parfois trop rapidement,

Helas). Attention toutefois aux eventuelles erreurs que pourrait s’etre glissees dans ce poly.... je

n’ai pas tout relu a la lettre.

Pour toute remarque veuillez m’ecrire a [email protected]

References pour ce cours :

Zuily, ”Theorie des distributions” livre paru chez Dunod

Evans, ”Partial differential equations” livre edite par l’AMS

Brezis, ”Analyse Fonctionelle” livre paru chez Dunod

Babadjian ”EDP elliptiques lineaires et non lineaires” (poly de cours disponible a l’adresse :

https ://www.math.u-psud.fr/∼babadjian/files/Poly-EDP-elliptiques2019.pdf )

2

Chapitre 1

Operateur Laplacien

Dans ce chapitre nous voyons quelques proprietes de l’operateur tres important “Laplacien”, a sa-

voir :

∆ =

N∑i=1

∂2i = div∇.

En effet, il intervient dans de nombreuses EDP bien connues issues de la physique telles que les

equations de Maxwell, Stokes, Laplace, Schrodinger, des ondes, de la chaleur, etc. Il est donc

imperatif de bien connaıtre cet operateur ainsi que ses proprietes elementaires. Deux equations

elementaires qui sont a la base de toutes les EDP dites “elliptiques” sont, le probleme dit “de

Laplace”

(L)

−∆u = 0 dans Ω

u = g sur ∂Ω

et le probleme dit “de Poisson”

(P )

−∆u = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω

La fonction f dans ce cas est appelee “second membre”. Les solutions a (L) seront toujours tres

regulieres (C∞, et meme analytiques) tandis que la regularite d’une solution a (P ) dependra de

celle de f .

1.1 Formule de la divergence et Green-Riemann

Dans cette section nous souhaitons donner un sens et demontrer rigoureusement la formule majeure

et bien connue suivante, dite “de la divergence” ou encore “d’integration par parties” :

ˆΩ

divF (x) dx =

ˆ∂Ω

F · ν dσ,

pour un champ de vecteurs F : Ω → RN regulier sur un domaine Ω regulier. Pour cela, nous

avons besoin de definir l’integrale sur le bord d’un domaine, ainsi que la normale exterieure. Nous

le faisons ici de maniere elementaire et un peu penible, mais nous verrons plus tard un autre

point de vue pour demontrer cette formule, en utilisant la derivee au sens des distributions de la

fonction indicatrice du domaine Ω, faisant apparaıtre une mesure σ portee sur le bord, appelee

parfois “mesure superficielle” ou “mesure de surface”.

3

Definition 1 (Ouvert Ck). Soit Ω ⊂ RN un ouvert. On dit que Ω est de classe Ck (k ∈ N) si

pour tout x ∈ ∂Ω, il existe

— un r > 0

— un systeme d’axes de coordonnees e1, . . . , eN

— une fonction γ : RN−1 → R de classe Ck

tels que

Ω ∩Qr(x) = y ∈ Qr(x) : yN < γ(y1, . . . , yN−1),

∂Ω ∩Qr(x) = y ∈ Qr(x) : yN = γ(y1, . . . , yN−1),

Qr(x) = y ∈ RN : |yi − xi| < r pour tout 1 ≤ i ≤ N. Si k ≥ 1, la normale unitaire exterieure

a Ω en y = (y1, . . . , yN−1, γ(y1, . . . , yN−1)) = (y′, γ(y′)) ∈ ∂Ω ∩ Qr(x) est bien definie et est

donnee par

ν(y) =1√

1 + |∇γ(y′)|(−∇γ(y′), 1).

De plus si ϕ : RN → R est une fonction continue dans un voisinage de ∂Ω, l’integrale de bord de

ϕ sur ∂Ω ∩Qr(x) est definie par

ˆ∂Ω∩Qr(x)

ϕdσ :=

ˆx′+]−r,r[N−1

ϕ(y′, γ(y′)))√

1 + |∇γ(y′)|2dy′.

Si Ω est borne, alors ∂Ω est un compact de RN . On peut donc trouver un recouvrement fini de

∂Ω par des cubes Qi = Qri(xi). Si θ1, . . . , θm est une partition de l’unite associee a Q1, . . . , Qm,

c’est a dire :

— pour tout 1 ≤ i ≤ m, θi ∈ C∞c (Qi) et 0 ≤ θi ≤ 1 ;

—∑mi=1 θi = 1 sur ∂Ω

alors on definit ˆ∂Ω

ϕdσ :=

m∑i=1

ˆ∂Ω∩Qi

θiϕdσ.

On peut montrer que cette quantite est independante du choix de la parametrisation γ, du recou-

vrement (Qi) et de la partition de l’unite (θi). Ceci permet de definir une mesure “de surface”, ou

“mesure superficielle”, notee σ, portee par le bord de Ω. Par exemple, dans le cas des ouverts de

classe C1, cette mesure coıncide aussi avec la mesure de Hausdorff traditionnellement notee HN−1

que l’on peut rencontrer dans certains ouvrages.

Theoreme 1.1. Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne de classe C1 et F : RN → RN un champ de

vecteurs de classe C1 dans un voisinage de Ω. Alors

ˆΩ

divF dx =

ˆ∂Ω

F · ν dσ.

Si f : RN → R est une fonction scalaire de classe C1 dans un voisinage de Ω alors

ˆΩ

∇f dx =

ˆ∂Ω

fν dσ.

Demonstration. (voir cours)

Il existe d’autres versions bien utiles decoulant directement de cette formule.

4

Corollaire 1 (Formules de Green). Soit Ω ⊂ RN ouvert borne de classe C1 et u, v : RN → R des

fonctions de classe C2 dans un voisinage de Ω. Alors

ˆΩ

(v∆u+∇u · ∇v) dx =

ˆ∂Ω

v∂νu dσ

et ˆΩ

(v∆u− u∆v) dx =

ˆ∂Ω

(v∂νu− u∂νv) dσ

Demonstration. Pour la premiere formule de Green, on applique le theoreme de la divergence au

champ de vecteurs F = v∇u. Pour la deuxieme formule de Green, on applique, la premiere formule

de Green deux fois.

1.2 Fonctions harmoniques

Definition 2. Soit Ω ⊂ RN un ouvert. Une fonction u ∈ C2(Ω) est harmonique dans Ω si elle

est solution de l’equation de Laplace, c’est a dire

∆u(x) = 0 pour tout x ∈ Ω.

Nous verrons plus tard que l’hypothese u ∈ C2 est superflue. En effet, pour etre harmonique, il

suffit que l’equation ∆u = 0 soit satisfaite au sens des distribution.

Dans la suite, ωN designe le volume (la mesure de Lebesgue) de la boule unite. Le volume de la

sphere unite est σ(∂B1) = NωN . On utilisera la notationffl

pour designer la moyenne, c’est a dire

A

f dµ :=1

µ(A)

ˆA

f dµ.

Autrement dit,

B(x,r)

f dx =1

rNωN

ˆB(x,r)

f dx et

∂B(x,r)

f dσ =1

rN−1NωN

ˆ∂B(x,r)

f dσ.

Proposition 1 (Formule de la moyenne). Si u ∈ C2(Ω) est une fonction harmonique alors pour

tout x0 ∈ Ω et r > 0 tel que B(x0, r) ⊂ Ω on a

u(x0) =

B(x0,r)

u dx =

∂B(x0,r)

u dσ.

Demonstration. On peut supposer sans perte de generalite que x0 = 0. On pose alors

f(r) =

∂B(0,r)

u(x) dσ(x) =

∂B(0,1)

u(ry) dσ(y),

ou l’on a utilise un changement de variables pour la deuxieme inegalite. Ce qui permet de calculer

f ′(r) comme

f ′(r) =

∂B(0,1)

∇u(ry) · y dσ(y).

En revenant a ∂B(0, r) par le meme changement de variables on trouve

f ′(r) =

∂B(0,r)

∇u(x) · xrdσ(x) =

∂B(0,r)

∂u

∂νdσ = 0,

5

car d’apres la formule de Greenˆ∂Br

∂u

∂νdσ =

ˆBr

∆u dσ = 0.

On en deduit que f est constante, et comme u est C2 on peut facilement montrer que

limr→0

f(r) = u(0),

ce qui termine la preuve de la premiere formule de la moyenne.

La deuxieme formule de la moyenne decoule de la premiere en ecrivant que

ˆB(x0,r)

u(x) dx =

ˆ r

0

(ˆ∂B(x0,t)

u(x) dσ

)dt = u(x0)

ˆ r

0

tN−1NωNdσ = rNωNu(x0),

ce qui termine la preuve.

Proposition 2 (Reciproque a la formule de la moyenne). Si u ∈ C2(Ω) satisfait

u(x0) =

∂B(x0,r)

u dσ

pour toute boule B(x0, r) ⊂ Ω, alors u est harmonique.

Demonstration. Par l’absurde. Supposons qu’il existe x0 ∈ Ω tel que, disons, ∆u(x0) > 0. Alors

comme u est C2, par continuite, il existe une boule B(x0, r) et un ε > 0 telle que ∆u ≥ ε > 0 sur

B(x0, r). Mais alors en notant f la fonction comme dans la preuve de la proposition 1 on obtient

0 = f ′(r) =

∂B(0,r)

∂u

∂νdσ =

r

N

ˆB(0,r)

∆u(u) dy > 0,

ce qui est absurde.

Proposition 3 (Principe du maximum). Soit u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) une fonction harmonique.

i) Alors

maxΩ

u = max∂Ω

u.

ii) De plus, si Ω est connexe et s’il existe un point x0 ∈ Ω tel que u(x0) = maxΩ u(x), alors u

est constante.

Demonstration. Il suffit de montrer ii) car elle entraine i). Supposons que Ω soit connexe et qu’il

existe un x0 ∈ Ω qui atteigne M := maxΩ u. Alors pour 0 < r < dist(x0, ∂Ω), la propriete de la

moyenne entraine

M = u(x0) =

B(x0,r)

u dx ≤M.

Pour avoir egalite, il faut et il suffit que u(x) = M pour tout x ∈ B(x0, r). Donc l’ensemble

E := x ∈ Ω : u(x) = M est a la fois ouvert et ferme dans Ω, on a donc E = Ω (car Ω est

connexe), et u est constante.

Corollaire 2 (Unicite pour Poisson). Soit g ∈ C0(∂Ω), f ∈ C0(Ω). Alors il existe au plus une

solution u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) pour le probleme de Poisson suivant−∆u = f dans Ω

u = g sur ∂Ω

6

Demonstration. Si u et v sont deux solutions dans C2(Ω) ∩ C0(Ω), alors u − v est harmonique

et vaut 0 sur le bord. En appliquant le principe du maximum on obtient u − v ≤ 0 dans Ω. En

raisonnant de meme avec v − u on a egalement v − u ≤ 0 donc finalement u− v = 0 dans Ω.

Theoreme 1.2 (Regularite des fonctions harmoniques). Si u ∈ C2(Ω) est harmonique alors

u ∈ C∞(Ω).

Demonstration. On utilise une regularisation par convolution. Soit ρε une approximation de l’unite

qui est radiale (c’est a dire ρε = ε−Nρ(|x|/ε) avec ρ une fonction reelle supportee dans [−1, 1]

et telle que´B(0,1)

ρ(|x|)dx = 1). Alors uε = u ∗ ρε est une fonction C∞ dans l’ouvert Ω ∩ x :

dist(x, ∂Ω) > ε et on peut ecrire

uε(x) =

ˆΩ

ρε(x− y)u(y) dy

=1

εN

ˆB(x,ε)

ρ(|x− y|ε

)u(y) dy

=1

εN

ˆ ε

0

ρ(r

ε)

(ˆ∂B(x,r)

u dσ

)dr

= u(x)1

εN

ˆ ε

0

ρ(r

ε)NωNr

N−1dr

= u(x).

Donc uε(x) = u(x) et on en deduit que u est C∞ dans l’ouvert Ω.

Remarque 1. On verra plus tard un theoreme plus fort que, si ∆u = 0 au sens des distributions,

alors u ∈ C∞(Ω). Et en realite, les fonctions harmoniques sont plus regulieres que C∞, ce sont

des fonctions analytiques.

Theoreme 1.3 (Estimation des derivees). Si u ∈ C∞(Ω) est harmonique alors pour toute boule

B(x, r) ⊂ Ω on a

|∂xiu(x)| ≤ C

r‖u‖L∞(∂B(x0,

r2 )) ≤

C

rN+1‖u‖L1(B(x,r)).

Il en decoule que pour tout α ∈ NN ,

|∂αu| ≤ CkrN+k

ˆB(x,r)

|u| dy,

ou k = |α|.

Demonstration. Si u est harmonique alors ∂xiu(x) est aussi harmonique ! La formule de la moyenne

appliquee a ∂xiu, puis une integration par partie donne donc

|∂xiu(x0)| =

∣∣∣∣∣ B(x0,r/2)

∂xiu dx

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 2N

ωNrN

ˆ∂B(x0,r/2)

uνi dσ

∣∣∣∣∣ ≤ C

r‖u‖L∞(∂B(x0,

r2 )).

Enfin, par la formule de la moyenne sur u on a

|u(x)| ≤ C

rN

ˆB(x,r/2)

|u|dy ≤ C

rN‖u‖L1(B(x,r)),

ce qui montre ‖u‖L∞(∂B(x0,r2 )) ≤ C

rN‖u‖L1(B(x,r)) et termine la preuve.

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Theoreme 1.4 (Liouville). Si u ∈ C∞(RN ) est harmonique et bornee, alors u est constante.

Demonstration. On fixe x0 ∈ RN . Pour r > 0 on a

|∇u(x)| ≤ C

r‖u‖L∞(∂B(x0,

r2 )) ≤

C ′

r,

et on conclut que ∇u = 0 en faisant r → +∞.

Corollaire 3. Si u ∈ C∞(RN ) est harmonique et tend vers 0 a l’infini alors u est nulle.

1.3 Energie de Dirichlet et introduction a la methode va-

riationnelle

Pour Ω ⊂ RN un ouvert regulier et u ∈ C2(Ω). On appelle energie de Dirichlet la quantite :

E(u) :=

ˆΩ

|∇u|2 dx.

Soit g : RN → R une fonction C∞ et soit

A := u ∈ C2(Ω); telle que u = g sur ∂Ω.

Il existe un lien tres fort entre les minimiseurs de l’energie de Dirichlet, et l’equation suivante, dite

“de Laplace” :

(L)

−∆u = 0 dans Ω

u = g sur ∂Ω

Si bien qu’une methode possible pour resoudre cette equation et montrer qu’il existe une solu-

tion, est justement de minimiser l’energie de Dirichlet. C’est la methode dite “variationnelle” que

nous verrons plus tard, et qui utilise les Espaces de Sobolev. Avant cela, verifions simplement

l’equivalence en admettant l’existence.

Proposition 4. Soit u ∈ A une solution de l’equation (L). Alors u est solution du probleme de

minimisation

minu∈A

E(u). (1.1)

(on dit dans ce cas que c’est un minimiseur de Dirichlet). Reciproquement, si u ∈ A est une

solution pour le probleme de minimisation (1.1), alors c’est une solution pour le probleme de

Laplace (L).

Demonstration. Soit w ∈ A quelconque. Alors d’apres la formule de la divergence,

ˆΩ

∇u∇(u− w) dx = −ˆ

Ω

(u− w)∆u dx+

ˆ∂Ω

∂u

∂ν(u− w) dσ = 0.

Autrement dit, les fonctions ∇u et ∇(u−w) sont orthogonales dans L2. On en deduit donc d’apres

Pythagore

ˆΩ

|∇w|2 dx =

ˆΩ

|∇u|2 dx+

ˆΩ

|∇(u− w)|2 dx.

Il en resulte que E(u) ≤ E(w), donc u est un minimiseur de Dirichlet.

8

Reciproquement, supposons que u ∈ A soit un minimiseur de Dirichlet. Soit ϕ ∈ C∞c (Ω). Alors

pour tout t > 0 la fonction u + tϕ ∈ A. Donc la fonction E(u + tϕ) de la variable reelle t admet

un minimum en t = 0. Si cette fonction est derivable on doit avoir

d

dtE(u+ tϕ)|t=0 = 0.

On appelle cette equation “Equation d’Euler-Lagrange”. Dans le cas de l’energie de Dirichlet, on

peut simplement raisonner de la maniere suivante. Tout d’abord on developpe

E(u+ tϕ) =

ˆΩ

|∇u+ tϕ|2 dx =

ˆΩ

|∇u|2 + 2t

ˆΩ

∇u∇ϕ dx+ t2ˆ

Ω

|∇ϕ|2 dx.

Puis on dit que u est un minimiseur donc

E(u) ≤ E(u+ tϕ) = E(u) + 2t

ˆΩ

∇u · ∇ϕ dx+ t2E(ϕ) (1.2)

par suite on obtient

0 ≤ 2t

ˆΩ

∇u · ∇ϕ dx+ t2E(ϕ).

En divisant par t > 0 et en faisant t→ 0 on montre que

0 ≤ˆ

Ω

∇u · ∇ϕ dx.

Puis, en reprenant l’expression dans (1.2), en divisant cette fois par t < 0 et en faisant t → 0 on

obtient l’inegalite inverse ce qui montre au final que

ˆΩ

∇u · ∇ϕ dx = 0.

En integrant par parties, il vient ˆΩ

ϕ∆u dx = 0.

Comme ceci est vrai pour toute fonction ϕ et que ∆u est continue par hypothese, il en decoule

que ∆u = 0 et u est donc bien solution du probleme (L).

9

Chapitre 2

Theorie des distributions et

solution elementaire

Dans ce chapitre nous revoyons quelques elements sur la theorie des distributions. Notre principal

interet et de pouvoir etendre la notion de derivee au sens classique, a des fonctions non regulieres,

qui sont seulement L1loc. On parle alors de derivee “au sens faible”.

2.1 Rappels succincts sur la theorie des distributions

Notation : pour α ∈ NN qui designe un multi-indice, on note alors ∂α la derivee d’ordre |α| =∑Ni=1 αi definie par

∂α =∂α1

∂x1· · · ∂

αN

∂xN.

Pour un esemble A ⊂ RN on designe par C∞c (A) l’espace des fonctions C∞ a support compact

contenu dans A.

Un espace important est l’espace C∞c (RN ).

Definition 3. Soit Ω ⊂ RN un ouvert. Une distribution T sur Ω est une application lineaire de

C∞c (Ω) dans R ou C telle que :

pour tout compact K de Ω il existe CK > 0 et n ∈ N tels que

|〈T, ϕ〉| ≤ CK∑|α| ≤n

supx∈K|∂αϕ(x)|

pour toute ϕ ∈ C∞c (K). On note D′(Ω) l’espace vectoriel des distributions sur Ω.

Remarques :

1. Il existe une topologie (localement convexe) sur C∞c (RN ) pour laquelle la notion de distri-

bution coıncide avec les formes lineaires continues. Cette topologie ne provient pas d’une

norme, mais est engendree par la famille de semi-normes (pK,n) suivante

pK,n(ϕ) :=∑|α| ≤n

supx∈K|∂αϕ(x)|.

Il n’est pas utile de connaıtre les details de cette topologie au niveau de ce cours.

10

2. Remarque importante ! Toute fonction f ∈ L1loc(Ω) definit une distribution Tf au travers

de la formule

〈Tf , ϕ〉 =

ˆΩ

fϕ dx .

En effet, ϕ 7→´

Ωfϕ dx est bien lineaire, et si ϕ est a support dans le compact K on a

l’inegalite

|〈Tf , ϕ〉| ≤ˆ

Ω

|f ||ϕ |dx ≤ ‖f‖L1(K) supx∈K|ϕ(x)|,

On peut montrer que f 7→ Tf est injective. Dans la suite on prendra donc souvent l’habitude

d’identifier f et Tf en utilisant la meme notation f .

3. Un exemple de distribution T qui n’est pas une fonction L1loc est la distribution de Dirac,

definie par

〈T, ϕ〉 := ϕ(0).

Cette distribution est en realite une mesure, on la note traditionnellement δ0.

4. Plus generalement, toute mesure borellienne localement finie (mesure de Radon) definit une

distribution au travers de la formule

〈µ, ϕ〉 :=

ˆΩ

f dµ,

car pour ϕ supportee dans K on a∣∣ˆΩ

f dµ∣∣ ≤ µ(K) sup

x∈K|f(x)|. (2.1)

On remarque que c’est une distribution “d’ordre 0”, c’est a dire qui ne fait intervenir aucune

derivee de ϕ dans l’inegalite (2.1). On peut montrer qu’en realite, toutes les distributions

d’ordre 0 sont representables par des mesures de Radon.

5. L’espace des distributions ne forme pas une algebre, c’est a dire que l’on ne peut pas multiplier

deux distributions entre elles. En revanche, on peut multiplier une distribution T avec une

fonction f de classe C∞. En effet, pour toute ϕ ∈ C∞c (Ω) la fonction fϕ ∈ C∞c (Ω) et donc

la definition suivante a bien un sens : 〈T, fϕ〉. Ceci permet de definir la distribution fT par

la formule

〈fT, ϕ〉 := 〈T, fϕ〉.

On remarque que cette definition coıncide avec la multiplication au sens classique dans le

cas des fonctions L1loc.

2.2 Derivee au sens des distributions

Dans ce cours, nous utiliserons les distributions principalement pour definir la derivee au sens

faible. Ceci permet d’etendre la notion de derivee au sens classique, a des fonctions peu regulieres

telles que des fonctions f ∈ L1loc.

Definition 4. Soit T ∈ D′(Ω). La forme lineaire ∂T∂xj

sur C∞c (Ω) definie par

〈 ∂T∂xj

, ϕ〉 := −〈T, ∂ϕ∂xj〉, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω),

est une distribution appelee derivee partielle, au sens des distributions, de T .

11

Remarques :

1. Il decoule de la definition qu’une distribution admet des derivees de tout ordre. En effet,

pour α ∈ NN on a

〈∂αT, ϕ〉 := (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉, ∀ϕ ∈ C∞c (Ω) .

2. Un exemple important est le cas d’une fonction f ∈ L1loc(Ω), admettant une derivee aussi

dans L1loc(Ω). La fonction g ∈ L1

loc(Ω) est la derivee partielle de f au sens des distributions

(on dit aussi, “au sens faible”) si pour toute fonction ϕ ∈ C∞c (Ω) on a

ˆΩ

f∂ϕ

∂xidx = −

ˆΩ

gϕ dx.

Exercices (voir feuilles de TD) :

— Calculer la derivee de la mesure de Diract δ0 au sens des distributions.

— Calculer la derivee de la fonction de Heaviside 1R+ ∈ D′(R).

— Calculer la derivee de x 7→´ x

0f(t)dt pour f dans L1

loc.

— Montrer que si T ′ = 0 dans D′(RN ) alors T est constante.

— Retrouver la formule de la divergence en calculant la derivee normale de 1Ω.

2.3 Convergence d’une suite de distributions

Definition 5. On dit qu’une suite (Tk) dans D′(Ω) converge vers T ∈ D′(Ω) si

limk→+∞

〈Tk, ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ C∞c (Ω).

Proprietes :

1. Si Tj → T alors, pour tout α, ∂αTj → ∂αT

2. Exemple : fj :=√je−jx

2

converge vers√πδ0 dans D′(R) car pour ϕ ∈ C∞c (R) on a, d’apres

le theoreme de convergence dominee,

〈fj , ϕ〉 =√j

ˆRe−jx

2

ϕ(x) dx =

ˆRe−y

2

ϕ(y√j

)→√πϕ(0) =

√π〈δ0, ϕ〉.

3. Si fk → f dans Lploc(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ alors fk → f dans D′(Ω).

4. Si fk → f faiblement dans L2(Ω), alors fk → f dans D′(Ω).

2.4 Rappel : produit de convolution de L1loc(RN) avec C∞c (RN)

Nous souhaitons definir le produit de convolution d’une distribution avec une fonction L1loc(RN ).

Avant cela, nous voyons rapidement quelques proprietes du produit de convolution d’une fonctions

L1loc avec une fonction C∞.

Definition 6. Si f ∈ L1loc(RN ) et g ∈ C∞c (RN ) avec 1 ≤ p ≤ +∞, alors pour presque tout x ∈ RN

la fonction y 7→ f(x− y)g(y) est integrable sur RN et on pose

f ∗ g(x) =

ˆRN

f(x− y)g(y) dy.

12

Proposition 5. Si f ∈ L1loc(RN ) et g ∈ C∞c (RN ) avec 1 ≤ p ≤ +∞, alors f ∗ g ∈ C∞(RN ) et

pour tout α ∈ NN on a

∂α(f ∗ g) = f ∗ ∂αg.

De plus,

Supp(f ∗ g) ⊂ Supp(f) + Supp(g).

Definition 7 (suite regularisante). Une suite regularisante (ρn) est une suite de la forme ρn(x) =1nNρ(nx) ou ρ ∈ C∞c (B(0, 1)) verifie

´RN ρ(x) dx = 1 et ρ ≥ 0.

Theoreme 2.1. Si f ∈ Lp(RN ) (en particulier, f ∈ L1loc(RN ) d’apres l’inegalite de Holder),

1 ≤ p < +∞, et (ρn) est une suite regularisante, alors f ∗ ρn ∈ C∞(RN ) et

f ∗ ρn → f dans Lp(RN ) .

Remarque 2. Attention, la regularisation ne fonctionne pas pour p = +∞. Sauf si f est continue,

dans ce cas il est vrai que f ∗ ρn converge uniformement (sur tous compacts) vers f .

2.5 Produit de convolution de D′(RN) avec C∞c (RN)

Notation : pour ϕ ∈ C∞c (RN ) on note ϕ la fonction x 7→ ϕ(−x) et pour a ∈ RN fixe on note

aussi τaϕ la fonction x 7→ ϕ(x− a). Par exemple

τxϕ(y) = ϕ(y − x) = ϕ(x− y),

de sorte que si f ∈ L1loc(RN ) et ϕ ∈ C∞c (RN ) on a

f ∗ ϕ(x) =

ˆRN

f(y)ϕ(x− y) dy =

ˆRN

f(y)τxϕ(y) dy = 〈Tf , τxϕ〉.

En s’inspirant de cette expression, on peut definir la convolution de T ∈ D′(RN ) avec une fonction

C∞c de la maniere suivante.

Definition 8 (Convolution de D′ avec C∞c ). Si T ∈ D′(RN ) et ϕ ∈ C∞c on definit T ∗ ϕ(x) par

T ∗ ϕ(x) := 〈T, τxϕ〉.

Theoreme 2.2. Si T ∈ D′(RN ) et ϕ ∈ C∞c (RN ) alors T ∗ ϕ ∈ C∞(RN ) et

∂α(T ∗ ϕ) = T ∗ ∂αϕ = ∂αT ∗ ϕ pour tout α ∈ NN . (2.2)

Demonstration. Par recurrence sur |α|, il suffit de verifier que T ∗ ϕ ∈ C1(RN ) et (2.2) est vrai

pour |α| = 1.

Soit x0 ∈ RN . Rappel : la formule de Taylor a l’ordre 2 donne, pour f ∈ C2(RN ),

f(x0 + ah)− f(x0) = h

N∑j=1

aj∂jf(x0) + h2

ˆ 1

0

(1− t)∑i,j

aiaj∂2ijf(x0 + ath)dt.

Donc, pour a, y ∈ RN , h ∈ [0, 1], |a| ≤ 1 on a

ϕ(x0 + ah− y)− ϕ(x0 − y) = h

N∑j=1

aj∂jϕ(x0 − y) + h2R(y, h),

13

ou R(y, h) est C∞ en a, y et h. De plus R(y, h) est a support compact en y.

Donc

T ∗ ϕ(x0 + ah)− T ∗ ϕ(x0)− hN∑j=1

aj(T ∗ ∂jϕ)(x0) = h2〈T,R(·, h)〉.

Mais par la definition de distribution, pour tout K ⊂ RN compact il existe CK et k ∈ N tel que

pour toute ϕ ∈ C∞c (K) on a

|〈T, ϕ〉| ≤ CK supx∈K,|α|≤k

|∂αϕ(x)|.

Donc 〈T,R(·, h)〉 ∈ O(1) c’est a dire uniformement borne en h ∈ [0, 1] pour tout |a| ≤ 1. On en

deduit que T ∗ ϕ est differentiable en x0 et que ses derivees partielles valent

∂i(T ∗ ϕ)(x0) = T ∗ ∂iϕ(x0).

En appliquant l’argument ci-dessus pour ∂iϕ on sait que T ∗∂iϕ est continue en x0 (et differentiable

en x0). Pour montrer la deuxieme egalite on utilise l’identite,

∂jτxϕ =∂

∂yiϕ(x− y) = −τx ˇ∂iϕ

et on applique la definition de derivee au sens des distributions ce qui donne directement

∂αT ∗ ϕ(x) = 〈∂αT, τxϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂ατxϕ〉 = 〈T, τx ˇ(∂αϕ)〉 = T ∗ ∂αϕ(x), (2.3)

et termine la preuve de la proposition.

Exercice 1. Si T ∈ D′(RN ) et ρn est une approximation de l’unite, alors T ∗ ρn converge vers T

dans D′(RN ).

2.6 Distributions a support compact E ′(RN)

Definition 9 (Support d’une distribution). Si V ⊂ Ω est ouvert, on note T |V la restriction de

T a V , c’est a dire la distribution de D′(V ) induite par T de facon evidente. Si T ∈ D′(Ω) on

appelle support de T l’ensemble Ω \ V , ou V est le plus grand ouvert tel que T |V = 0. On note

E ′(RN ) les distributions dont le support est compact.

Remarque 3. Si T ∈ E(RN ) alors T se prolonge en une forme lineaire sur C∞(RN ) de la

maniere suivante : soit K le support de T et soit χ ∈ C∞c (RN ) une fonction plateau qui vaut 1 sur

un voisinage de K. Alors pour ϕ ∈ C∞ (pas forcement a support compact), on definit 〈T, ϕ〉 par

〈T, ϕ〉 := 〈T, χ ϕ〉.

On montre aisement que cette definition a bien un sens, c’est a dire que la valeur de 〈T, ϕ〉 ne

depend pas du choix de la fonction plateau χ choisie car, si χ′ est une autre fonction plateau,

χ− χ′ est supportee en dehors du support de T de sorte que 〈T, (χ− χ′)ϕ〉 = 0.

Proposition 6. Si S ∈ E ′(RN ) et ϕ ∈ C∞c (RN ) alors S ∗ ϕ ∈ C∞c (RN ).

Demonstration.

14

2.7 Produit de convolution de D′(RN) avec E ′(RN)

Si T ∈ D′(RN ) on definit T par

〈T , ϕ〉 := 〈T, ϕ〉.Si S ∈ E(RN ) et ϕ ∈ C∞c (RN ), la proposition 6 entraine que S ∗ ϕ ∈ C∞c (RN ), ce qui justifie la

definition suivante.

Definition-Proposition 1. Pour T ∈ D′(RN ) et S ∈ E ′(RN ) on definit le produit de convolution

T ∗ S ∈ D′(RN ) par

〈T ∗ S, ϕ〉 := 〈T, S ∗ ϕ〉, pour tout ϕ ∈ C∞c (RN ).

Demonstration. Le crochet 〈T, S ∗ ϕ〉 est bien definit pour tout ϕ en vertu de la proposition 6.

Montrons que cela definit bien une distribution. Soit K ⊂ RN un compact, ϕ ∈ C∞c (K), et soit

K0 le support de S. La fonction S ∗ ϕ est supportee dans K ′ := K + K0, et comme T est une

distribution il vient

|〈T ∗ S, ϕ〉| = |〈T, S ∗ ϕ〉| ≤ CK′∑|α|≤k

supx∈RN

|∂α(S ∗ ϕ)| = CK′∑|α|≤k

supx∈RN

|S ∗ (∂αϕ)|.

= CK′∑|α|≤k

supx∈RN

|〈S, τx ˇ(∂αϕ)〉|.

≤ C ′K′∑|α|≤k

supx∈RN

|∂αϕ(x)|,

car S est une distribution a support compact. Ceci montre bien que T ∗S est une distribution.

Proposition 7. Pour T ∈ D′(RN ), S ∈ E(RN ) et α ∈ NN on a

∂α(T ∗ S) = ∂αT ∗ S.

Demonstration. Soit ϕ une fonction test. On ecrit successivement,

〈∂α(T ∗ S), ϕ〉 = (−1)|α|〈T ∗ S, ∂αϕ〉 (par definition de la derivee dans D′)= (−1)|α|〈T, S ∗ ∂αϕ〉 (par definition de la convolution D′)= (−1)|α|〈T, ∂α(S ∗ ϕ)〉 (par le theoreme 2.2)

= 〈∂αT, S ∗ ϕ〉 (encore par definition de la derivee)

= 〈∂αT ∗ S, ϕ〉 (encore par definition de la convolution dans D′) ,

ce qui termine la preuve de la proposition.

Exemple 1 (Important). Soit δ0 ∈ E ′(RN ) la distribution de Dirac, et T ∈ D′(RN ). Alors

T ∗ δ0 = T . En effet, on remarque tout d’abord que δ0 = δ0 car

〈δ0, ϕ〉 := 〈δ0, ϕ〉 = ϕ(0) = ϕ(0).

Par suite, pour toute fonction ϕ ∈ C∞c (RN ) on a

δ0 ∗ ϕ(x) := 〈δ0, τxϕ〉 = ϕ(x− y)|y=0 = ϕ(x).

On en deduit donc que

〈T ∗ δ0, ϕ 〉 := 〈T, δ0 ∗ ϕ〉 = 〈T, ϕ〉,ce qui montre bien que T ∗ δ0 = T .

Remarque 4. Si S ∈ E(RN ) et ϕ ∈ C∞ (pas forcement a support compact), alors on a bien

S ∗ ϕ = 〈S, τxϕ〉 et une variante de la proposition 2.2 montre que S ∗ ϕ est de classe C∞.

15

2.8 Solution elementaire et application a l’equation de Pois-

son

Definition 10. Un operateur differentiel a coefficients constants est une somme finie de derivees

de le forme P =∑Di=0 ai∂

αi avec ai ∈ C \ 0. L’operateur P s’applique sur une distribution

T ∈ D′(RN ) par

P (T ) =

D∑i=0

ai∂αiT

Definition 11 (Solution elementaire). Soit P un operateur differentiel a coefficients constants.

On appelle solution elementaire (ou solution fondamentale) de P , une distribution E ∈ D′(RN )

qui verifie

P (E) = δ0

Theoreme 2.3 (Malgrange-Ehrenpreis (1955)). Tout operateur P a coefficients constants admet

une solution elementaire.

Proposition 8. Supposons que P admette une solution elementaire E. Alors pour toute distribu-

tion S ∈ E ′(RN ) a support compact, il existe une solution T ∈ D′(RN ) a l’equation

P (T ) = S.

Demonstration. Il suffit de prendre T = E ∗S. Dans ce cas, en utilisant la Proposition 7 on obtient

P (T ) = P (E ∗ S) = P (E) ∗ S = δ0 ∗ S = S.

Proposition 9 (Solution elementaire pour le Laplacien). L’operateur ∆ admet les solutions

elementaires suivantes :

— si N = 1 E(x) = max(x, 0).

— si N = 2 E(x) = 12π ln |x|

— si N ≥ 3 E(x) = − CN|x|N−2 avec CN = 1

(N−2)σ(SN−1).

Demonstration. (voir cours)

Theoreme 2.4. Pour toute distribution S ∈ E ′(RN ) a support compact, il existe une solution a

l’equation ∆T = S dans RN . Celle-ci est donnee par T = E ∗S. En dehors du support de S, c’est

une fonction C∞ qui tend vers 0 a l’infini.

Remarque 5. La solution a ∆T = S n’est en general pas unique (on peut ajouter par exemple

n’importe quelle fonction harmonique).

Demonstration du Theoreme 2.4. On a

∆(E ∗ S) = ∆(E) ∗ S = δ0 ∗ S = S

ce qui montre bien que ∆(T ) = S. Montrons que T est de classe C∞. Soit ϕ une fonction plateau

C∞ supportee sur |x| ≤ ε telle que ϕ = 1 sur |x| ≤ ε/2. On a

E ∗ S = [(1− ϕ)E] ∗ S + (ϕE) ∗ S.

16

De l’expression explicite de E on sait que (1 − ϕ)E ∈ C∞. Ceci implique donc d’apres la re-

marque 4,

[(1− ϕ)E] ∗ S ∈ C∞(RN ).

Maintenant, on a supp((ϕE) ∗ S) ⊂ B(0, ε) + supp(S) = Kε. Donc pour tout ψ ∈ C∞c (RN \Kε),

on a ψ(E ∗ S) = ψ([(1− ϕ)E] ∗ S) ∈ C∞(RN ). C’est a dire, puisque ε est arbitraire,

E ∗ S|RN\supp(S) ∈ C∞.

Montrons maintenant que E ∗ S tend vers 0 a l’infini. Pour cela on utilise l’expression explicite

de E ∗ S en dehors de Kε (car c’est une fonction C∞), precisement, pour x ∈ RN \Kε, en notant

F = (1− ϕ)E qui est C∞ on obtient

E ∗ S(x) = F ∗ S(x) = 〈S, τxF 〉

et (disons pour N ≥ 3, mais l’argument est analogue pour N = 1 et N = 2)

τxF (y) = (1− ϕ(x− y))CN

|x− y|N−2

Maintenant on utilise que S est une distribution ce qui donne

|E∗S(x)| = |〈S, τxF 〉| ≤ C∑|α|≤k

supy∈supp(S)

∣∣∣∣∂α∂y(

1− ϕ(x− y)

|x− y|N−2

)∣∣∣∣ = C∑|α|≤k

supy∈supp(S)

∣∣∣∣∂α∂y(

1

|x− y|N−2

)∣∣∣∣car ϕ(x− y) = 0 pour |x| grand. Ce qui montre que lim|x|→+∞ |E ∗ S(x)| = 0.

On en deduit maintenant le resultat fondamental suivant.

Theoreme 2.5 (Regularite du Laplacien). Soit Ω ⊂ RN ouvert, f ∈ C∞(Ω) et T ∈ D′(Ω) tel que

∆T = f . Alors T ∈ C∞(Ω).

Demonstration. Soit x0 ∈ Ω et r > 0 tel que B(x0, 2r) ⊂ Ω. Choisissons χ ∈ C∞c (B(x0, 2r)) une

fonction plateau telle que χ = 1 sur B(x0, 3r/2). Montrons que χT ∈ C∞.

On a χT ∈ E ′(RN ) donc

χT = δ0 ∗ (χT ) = ∆(E) ∗ (χT ) = E ∗ (∆(χT )) = E ∗ (χ∆T ) + E ∗ (∆(χT )− χ∆T ).

Comme χ∆T ∈ C∞c (RN ) on a E ∗ (χ∆T ) ∈ C∞. Par ailleurs,

∆(χT )− χ∆T = 2∇χ · ∇T + T∆χ

et ∆χ = 0 et ∇χ = 0 sur B(x0, 3r/2). Donc

supp(∆(χT )− χ∆T ) ⊂ RN \B(x0, 3r/2).

Par le theoreme precedent, E ∗ (∆(χT )− χ∆T ) est C∞ sur B(x0, r).

Corollaire 4. Si ∆T = 0 sur Ω, au sens des distributions, alors T ∈ C∞(Ω) est une fonction

harmonique.

Corollaire 5. Si S ∈ E ′(RN ), alors E ∗ S est l’unique solution de l’equation ∆T = S qui tend

vers 0 a l’infini.

Demonstration. On sait deja que E ∗ S est une fonction en dehors du support de S, qui tend vers

0 a l’infini. Soit T ′ une autre solution. Alors T − T ′ est une fonction harmonique, et tend vers 0 a

l’infini. D’apres le theoreme de Liouville (Corollaire 3), T − T ′ nulle.

17

Chapitre 3

Distributions temperees et

resolution en Fourier dans Hs(RN )

Les distributions etaient obtenues a partir de la dualite avec l’espace C∞c (Ω). Or cet espace n’est

pas invariant par transformation de Fourier. C’est pourquoi, afin de definir la transformee de

Fourier d’une distribution, il convient d’augmenter cet espace en un espace plus grand, l’espace

de Schwarz (fonctions C∞ a decroissance rapide), qui sera bien invariant par Fourier. La dualite

sur cet espace plus grand donne naissance aux distributions “temperees”.

3.1 Espace de Schwarz et transformation de Fourier sur

S(RN)

Definition 12. L’espace S(RN ) (ou simplement note S) est constitue des fonctions u ∈ C∞(RN )

telles que

∀α ∈ NN ,∀β ∈ NN , ∃Cα,β > 0, supx∈RN

|xβ∂αu(x)| ≤ Cα,β .

On dit que u est a ”decroissance rapide” ainsi que toutes ses derivees. Par exemple :

— C∞c (RN ) ⊂ S(RN ).

— e−|x|2 ∈ S(RN ).

Quelques proprietes (admises) :

1. S est un espace vectoriel metrisable complet muni des semi-normes

pα,β(u) := supx∈RN

|xβ∂αu(x)|.

(on dit que c’est un “espace de Frechet”). Une suite (un) converge vers v dans S si et

seulement si pα,β(un − v)→ 0 pour tout α, β.

2. C∞c (RN ) est dense dans S.

3. Le produit de deux elements de S appartient a S

4. Pour tout 1 ≤ p ≤ +∞, S ⊂ Lp(RN ).

18

Definition 13. Pour tout u ∈ S la transformee de Fourier de u, que l’on note u ou bien Fu est

la fonction sur RN definie par

u(ξ) = Fu(ξ) =

ˆRN

e−ix·ξ u(x)dx, ξ ∈ RN .

Exercice : Soit λ > 0. Montrer que u(x) = e−λ|x|2 ∈ S(RN ) et que u(ξ) =

(√π√λ

)Ne−|ξ|24λ .

Theoreme 3.1. La transformation de Fourier F est une application lineaire bijective de S vers

S. Son inverse est donne par

F−1(v)(x) = Fv(x) = (2π)−NˆRN

eix·ξ v(ξ) dξ.

Demonstration. Montrons que F(u) est C∞. Pour x fixe la fonction ξ 7→ e−ix·ξu(x) est C∞ et

|∂βξ (e−ix·ξu(x))| = |(−ix)βeix·ξu(x)| ∈ L1(RN ) car u ∈ S. Donc F(u) ∈ C∞ et

∂βF(u)(ξ) =

ˆRN

e−ix·ξ(−ix)βu(x) dx.

On montre ensuite par integration par parties successives que

(−i)αξα∂βξ F(u) =

ˆRN

[∂αx e−ix·ξ]((−ix)βu(x)) dx

=

ˆRN

e−ix·ξ[∂α((−ix)βu(x))] dx (3.1)

et donc pour tout β, α on a

|ξα∂βξ F(u)| ≤ˆRN| − ∂α((−ix)βu(x))| dx < +∞

ce qui montre bien que F(u) ∈ S(RN ).

Montrons que FF(u) = u, pour u ∈ S. Comme pour x fixe la fonction eix·ξe−iy·ξu(y) n’est pas

integrable dans le produit RN ×RN on va raisonner par approximation. En effet, par convergence

dominee on a bien

limε→0

ˆRN

eix·ξe−ε|ξ|2

u(ξ)dξ = limε→0

Iε =

ˆRN

eix·ξu(ξ) dξ

Comme la fonction (x, ξ) 7→ eix·ξe−ε|ξ|2

u(ξ) est bien dans L1(RN × RN ) on peut appliquer le

theoreme de Fubini et donc

Iε =

ˆRN

(ˆRN

ei(x−y)·ξe−ε|ξ|2

dξ

)u(y)dy.

D’apres l’exercice preliminaire au theoreme on a

Iε =

(√π

ε

)N ˆRN

e−|x−y|2

4ε u(y) dy = πN2 2N

ˆRN

e−|z|2

u(x− 2√εz)dz.

D’apres le theoreme de convergence dominee, limε→0 Iε = u(x)πN2 2N

´RN e

−|z|2dz = (2π)Nu(x) ce

qui demontre FF(u) = u. On peut demontrer FF(u) = u de la meme facon.

Remarque 6. On peut en fait montrer que F et F sont continues sur S pour la topologie induite

par les semi-normes pα,β.

19

Remarque 7. On notera parfois σ l’application lineaire “antipodale” σ(f)(x) = f(−x) = f(x)

de sorte que F−1 = (2π)Nσ F . L’application σ est clairement une isometrie sur L2(RN ).

Proposition 10. pour tout u, v ∈ S on a :

i)´RN u(ξ)v(ξ) dξ =

´RN u(x)v(x) dx

ii)´RN u(x)v(x) dx = (2π)−N

´RN u(x)v(x) dx. En particulier on a

´RN |u(x)|2 dx =

(2π)−N´RN |u(x)|2 dξ

iii) u ∗ v ∈ S et F(u ∗ v) = uv.

iv) uv = (2π)−N u ∗ v

v) ∂ju = iξj u

vi) xju = − 1i ∂j u

Demonstration. La preuve de (i) est une application directe du theoreme de Fubini. La preuve de

(ii) decoule de (i) en l’appliquant a u et w = (2π)−N v. La propriete (v) a deja ete utilisee dans

la preuve du theoreme precedent (integration par parties). La preuve des autres proprietes sont

laissees en exercice.

3.2 Transformation de Fourier sur S ′(RN)

Definition 14 (Distribution temperee). Une distribution temperee est une forme lineaire continue

sur S(RN ). C’est a dire une forme lineaire T : ϕ 7→ 〈T, ϕ〉 telle qu’il existe N ∈ N et C > 0

verifiant

|〈T, ϕ〉| ≤ C max|α|,|β|≤N

pα,β(ϕ).

On note S ′(RN ) l’ensemble des distribution temperees.

Si T ∈ S ′ alors l’application lineaire sur S definie par

ϕ 7→ 〈T, ϕ〉

definit une distribution temperee car

|〈T, ϕ〉| ≤ C sup|α|,|β|≤N

pα,β(ϕ)

et pα,β(ϕ) est majore par des semi-normes de ϕ par continuite de F sur l’espace S.

Definition 15 (Transformee de Fourier sur S ′). Pour T ∈ S ′ on definit T (ou FT ) par

〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ S.

Proposition 11 (Proprietes de la transformee de Fourier sur S ′). On peut facilement verifier les

assertions suivantes :

1. FT coıncide avec FT si T ∈ S.

2. F est inversible, plus precisement (σ F) F = (2π)NId (ou σ(T ) = T )

3. F(∂jT ) = iξjFT

4. F(δ0) = 1

20

Remarque 8. La derniere propriete est utile a la recherche de solution elementaire. En effet, si

P est un operateur differentiel et T une distribution temperee alors

P (E) = δ0

Equivaut a F(P (E)) = 1. On en deduit donc que

Q(ξ)E = 1,

ou Q(ξ) est un polynome. On l’appelle le ”symbole” de l’operateur P . Si ce polynome ne s’annule

pas on trouve par inversion,

E = F(

1

Q(ξ)

).

Ceci donne lieu dans bien des cas, a une expression explicite pour la solution elementaire d’un

operateur differentiel.

3.3 Transformation de Fourier sur L2(RN)

Avant-propos : Il existe plusieurs facons de definir la transformee de Fourier sur L2. La plus

elementaire, souvent enseignee en 3eme annee de Licence, consiste a definir tout d’abord la trans-

formee de Fourier sur L1 par la formule avec l’integrale, puis de la prolonger de facon abstraite

comme operateur sur L2. Ici nous voyons un point de vue different, en considerant l’espace L2

comme sous espace des distributions temperees. En effet, si f ∈ L2(RN ) alors f definit une distri-

bution temperee sur RN car ∣∣∣∣ˆRN

f(x)ϕ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ‖f‖2‖ϕ‖2et

‖ϕ‖22 =

ˆRN

ϕ2 dx ≤(

supx∈RN

(1 + |x|N+1)|ϕ(x)|)ˆ

RN

1

1 + |x|N+1dx.

On peut donc definir la transformee de Fourier d’une fonction L2 en tant de distribution temperee.

On montre alors le theoreme suivant.

Theoreme 3.2 (Plancherel). L’application (2π)−N2 F est une isometrie de L2(RN ) sur L2(RN ).

Demonstration. On sait deja d’apres la proposition 10 ii) que F est bijective sur S(RN ) et que

pour toute fonction ϕ dans S on a

‖(2π)−N2 ϕ‖2 = ‖(2π)

−N2 ϕ‖2.

Maintenant si f ∈ L2(RN ), alors f est limite dans L2 d’une suite de fonctions ϕn ∈ C∞c (RN )

(par troncature et regularisation). Or la convergence L2 entraine la convergence dans S ′ (par

Cauchy-Schwarz). Par suite on a

‖ϕk − ϕp‖2 = (2π)N2 ‖ϕk − ϕp‖2. (3.2)

Puisque ϕn converge dans L2, elle est de Cauchy, et d’apres (3.2) on en deduit que ϕn est aussi de

Cauchy dans L2, qui est complet, et donc converge aussi dans L2 vers une fonction g ∈ L2(RN ).

La convergence a lieu aussi au sens des distributions. Par continuite de F sur S ′ et par unicite de

la limite dans S ′ on en deduit que f ∈ L2. Et par passage a la limite dans l’identite

‖(2π)−N2 ϕn‖2 = ‖(2π)

−N2 ϕn‖2.

Du meme coup, on en deduit l’injectivite de F sur L2. Pour la surjectivite, considerons g ∈ L2(RN ).

Alors F−1(g) ∈ S ′ a priori. Cependant, F−1(g) = (2π)−NσF(g) est bien une fonction de L2(RN ).

Donc il existe f = (2π)−Nσ F(g) ∈ L2(RN ) tel que F(f) = g.

21

3.4 Espace Hs et resolution de l’equation de Poisson par

Fourier

Remarque : si ϕ ∈ S, alors pour tout s ∈ R le produit (1 + |ξ|2)s2ϕ(ξ) est encore une fonction

de S. La multiplication de (1 + |ξ|2)s2 avec une distribution temperee u ∈ S ′ a donc bien un sens,

donne par la formule

〈(1 + |ξ|2)s2u, ϕ〉 := 〈u, (1 + |ξ|2)

s2ϕ〉.

Ceci justifie la definition suivante.

Definition 16. Soit s ∈ R. On definit l’espace de Sobolev (fractionnaire) Hs(RN ) par

Hs(RN ) =u ∈ S ′ : (1 + |ξ|2)s/2u ∈ L2(RN )

.

On muni Hs du produit scalaire

〈u, v〉Hs =

ˆRN

(1 + |ξ|2)su(ξ)v(ξ) dξ

et on note

‖u‖Hs =

ˆRN

(1 + |ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ

Remarque :

— Une interpretation naıve de l’espace Hs est de dire que u possede “s-derivees” dans L2.

— L’espace H0 n’est autre que l’espace L2(RN ).

Proposition 12. L’espace Hs(RN ) est un espace de Hilbert.

Demonstration. Il est facile de verifier que 〈u, v〉Hs definit bien un produit scalaire. Montrons

que Hs muni de la norme associee, est complet. Soit (un) une suite de Cauchy dans Hs. Alors

((1 + |ξ|2)s2 un) est de Cauchy dans L2(RN ), qui est complet. On en deduit que (1 + |ξ|2)

s2 un → g,

avec g ∈ L2(RN ). Posons u = F−1(1 + |ξ|2)−s2 g ∈ S ′. Alors u ∈ Hs et

‖un − u‖Hs = ‖(1 + |ξ|2)s2 un − g‖2 → 0

ce qui montre que Hs est complet.

Proposition 13 (Densite des fonctions regulieres). L’espace S(RN ) est dense dans Hs(RN ), pour

tout s ∈ R.

Demonstration. Soit u ∈ Hs. On utilise le fait (connu) que C∞c (RN ) est dense dans L2(RN )

(troncature et regularisation). La fonction (1 + |ξ|2)s/2u ∈ L2(RN ) donc il existe une suite ϕn ∈C∞c (RN ) telle que ϕn → (1 + |ξ|2)s/2u. On pose alors un := F−1

((1 + |ξ|2)−s/2ϕn

)∈ S, et

‖un − u‖Hs = ‖ϕn − (1 + |ξ|2)s/2u‖2 → 0.

Proposition 14 (Dualite). L’espace H−s(RN ) s’identifie au dual de Hs(RN ) au travers de l’ap-

plication bilineaire

B(u, v) =

ˆRN

u(ξ)v(ξ) dξ.

22

Demonstration. Si v ∈ H−s et u ∈ Hs, alors l’inegalite de Holder donne

B(u, v) ≤ ‖v‖H−s‖u‖Hs .

Par consequent, pour v ∈ H−s fixe, l’application

Lv : u 7→ B(v, u)

est une application lineaire continue sur Hs, donc un element du dual (Hs)′. De plus,

‖Lv‖(Hs)′ ≤ ‖v‖H−s .

Par ailleurs, v 7→ Lv est injective, de H−s vers (H−s)′. En effet, si Lv = 0 alors´RN ϕv = 0 pour

tout ϕ ∈ S donc v = 0 dans S ′, d’ou v = 0 car F−1F = Id sur S ′.Montrons que v 7→ Lv est surjective. Soit T ∈ (Hs)′. On a

|〈T, ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖Hs

pour toute ϕ ∈ S et en particulier, T ∈ D′ car pour supp(ϕ) ⊂ K,

‖ϕ‖2Hs =

ˆK

(1 + |ξ|2)s|ϕ(ξ)|2 dξ ≤ CK‖ϕ‖2 = CK‖ϕ‖2.

On peut ecrire, pour ϕ ∈ S,

|〈T, ϕ〉| = |〈T ,F−1ϕ〉| = |〈(1 + |ξ|2)s2 T , (1 + |ξ|2)

s2F−1ϕ〉|

≤ C‖ϕ‖Hs ≤ C ′‖(1 + |ξ|2)s2F−1ϕ‖2.

En posant ψ(ξ) = (1 + |ξ|2)s2F−1ϕ ∈ S on obtient donc,

|〈(1 + |ξ|2)−s2 T , ψ〉| ≤ C ′‖ψ‖L2 , ∀ψ ∈ S.

En particulier, (1 + |ξ|2)−s2 T est une forme lineaire continue sur S muni de la norme L2. Comme

S est dense dans L2, elle se prolonge en une forme lineaire continue sur L2. Il existe donc une

fonction w ∈ L2(RN ) telle que

〈(1 + |ξ|2)−s2 T , ψ〉 = 〈w,ψ〉

pour tout ψ ∈ S, ce qui prouve que (1 + |ξ|2)−s2 T ∈ L2 et donc T ∈ H−s.

Enfin, l’inverse de v 7→ Lv est egalement continue par le theoreme de Banach.

Application : resolution de l’equation de Poisson dans RN avec terme source dans Hs.

Proposition 15. Pour toute donnee f ∈ Hs(RN ) il existe une unique solution temperee u ∈ Hs+2

a l’equation

u−∆u = f.

Demonstration. En passant par Fourier, l’equation est equivalente a (1 + |ξ|2)u = f , ou encore

u =f

1 + |ξ|2,

qui est bien une distribution temperee car 11+|ξ|2 est bornee sur RN , ainsi que toutes ses derivees.

Donc la distribution u = F−1( f1+|ξ|2 ) est l’unique solution dans S ′.

Montrons maintenant que u ∈ Hs+2. En effet,

(1 + |ξ|2)s+2|u|2 = (1 + |ξ|2)s+2 |f |2

(1 + |ξ|2)2= (1 + |ξ|2)s|f |

Or (1 + |ξ|2)s2 f est dans L2 par hypothese donc u est bien dans Hs+2.

23

Remarque 9. On peut interpreter ce resultat comme le fait que l’operateur Id−∆ fait “perdre”

deux derivees dans L2. Par exemple, si f est dans L2 et u est la solution de u − ∆u = f alors

u ∈ H2 ce qui veut dire que ∂αu ∈ L2 pour tout |α| ≤ 2. Ce resultat est propre a l’espace L2

et serait faux dans C0. Il existe par exemple des fonctions u telles que u −∆u soit une fonction

continue, mais u n’est pas C2. En revanche, le principe marche encore avec les espaces de type

Holder : si u−∆u est C0,α, alors u ∈ C2,α. Nous verrons plus tard une preuve de ce resultat, due

a Schauder.

24

Chapitre 4

Espaces de Sobolev sur un

domaine

Dans le chapitre precedent nous avons vu la definition de Hs(RN ) avec l’aide de Fourier, comme

etant les fonctions admettant “s-derivees dans L2”. Ici nous allons definir une notion analogue

mais pour un ouvert Ω ⊂ RN qui n’est pas necessairement l’espace entier, et base sur des espaces

Lp avec p pas necessairement egal a 2.

4.1 Definition et proprietes elementaires

Definition 17. Soit Ω ⊂ RN . Pour tout k ∈ N et p ≥ 1 on note W k,p(Ω) l’espace des fonctions

u ∈ Lp(Ω) telles que pour tout |α| ≤ k, la derivee ∂αu (au sens des distributions) est une fonction

de Lp(Ω). On muni W k,p(Ω) de la norme

‖u‖Wk,p(Ω) :=∑|α|≤k

‖∂αu‖p.

Remarque 10. Les fonctions de W 1,p ne sont en general pas des fonctions continues. Par exemple

(ln |x|) 12 ∈ H1(]− 1/2, 1/2[). En revanche ce sera toujours le cas si p > N (voir plus loin).

Remarque 11. Pour p = 2 et Ω = RN on retrouve l’espace Hs (avec s entier, s = k) que l’on

peut definir par transformee de Fourier :

Hs(RN ) := u ∈ L2(RN ) : (1 + |ξ|2)s/2u ∈ L2(RN )

On notera parfois Hk(Ω) = W k,2(Ω). La proposition suivante montre (en particulier) que Hk est

un espace de Hilbert.

Proposition 16. Pour tout k ∈ N et p ≥ 1, W k,p(Ω) est un espace de Banach.

Demonstration. Il est facile de voir que ‖ · ‖Wk,p est une norme. Montrons que c’est un espace

complet. Pour cela, on suppose que un est de Cauchy dans ‖ · ‖Wk,p . Ceci implique que pour

tout |α| ≤ k, la suite ∂αun est de Cauchy dans Lp(Ω), qui est complet. Il existe donc gα ∈ Lp

telle que ∂αun converge vers gα. Or, la converge Lp entraine la convergence dans D′ donc ∂αunconverge aussi vers ∂αg0 au sens des distributions. Par unicite de la limite dans D′, on doit avoir

gα = ∂αg0. On en deduit que g0 ∈ W k,p et un converge vers g0 dans W k,p, ce qui montre que

W k,p est complet.

25

Definition 18. Soit Ω ⊂ RN un ouvert. On note W k,p0 (Ω) l’adherence de C∞c (Ω) dans W k,p(Ω).

Commentaire : En general W k,p0 (Ω) est un sous espace vectoriel stricte de W k,p(Ω). On peut

penser que W k,p0 (Ω) contient les fonctions de W k,p(Ω) qui sont “nulles au bord”.

Proposition 17 (Approximation). Soit Ω un ouvert de RN . Si u ∈W 1,p(Ω) il existe un une suite

de fonction de C∞c (RN ) telles que un → u dans Lp et ∇un → ∇u dans Lp(Ω).

Demonstration. On note u le prolongement de u par 0 en dehors de Ω. C’est une fonction dans

Lp(RN ) et c’est egalement une distribution sur RN . On note vn = u ∗ ρn ou ρn est une suite

regularisante. On sait que vn ∈ C∞(RN ) et vn → u dans Lp(Ω). De plus au sens des distributions

on a

∂i(u ∗ ρn) = ρn ∗ ∂iu.

Or sur l’ouvert Ω, la derivee au sens des distributions ∂iu coincide avec la derivee de u au sens des

distributions, ∂iu. C’est donc une fonction de Lp(Ω) par hypothese et on en deduit que ρn ∗∂iu→∂iu dans Lp(Ω), autrement dit, ∂i(vn) converge dans Lp(Ω) vers ∂iu. Pour obtenir vn a support

compact dans RN is suffit de la multiplier par une suite de fonctions de troncature ξn ∈ C∞ du

type ξn = ξ(x/n) ou ξ vaut 1 au voisinage de la boule unite.

Proposition 18 (Produits de fonctions). Si u, v ∈W 1,p(Ω) ∩ L∞ alors uv ∈W 1,p(Ω) ∩ L∞.

Demonstration. Puisque v est une fonction bornee, il est clair que uv ∈ Lp. En particulier, c’est

une distribution. Le tout est de demontrer la formule ∂i(uv) = u∂iv+v∂iu au sens des distributions

car dans ce cas on aura bien ∂i(un) ∈ Lp.Pour ce faire on utilise la proposition precedente pour obtenir deux suites un et vn dans C∞c (RN )

telles que un → u dans Lp(Ω) et vn → v dans Lp(Ω). Puisque un et vn sont C∞ on a bien

∂i(uv) = u∂iv + v∂iu.

On prend donc une fonction test ϕ ∈ C∞c (Ω) et on ecritˆΩ

unvn∂iϕ = −ˆ

Ω

∂i(unvn)ϕdx =

ˆΩ

(u∂iv + v∂iu)ϕ

et on conclut avec le theoreme de convergence dominee pour obtenir la conclusion souhaitee.

4.2 Espace dual de W 1,p, convergence faible

L’espace dual de W 1,p est note W−1,p. Il s’agit des formes lineaires continues sur W 1,p. On sait

que l’espace Lp est reflexif pour 1 < p < +∞. On peut en deduire que l’espace W 1,p est egalement

un espace reflexif pour 1 < p < +∞. En vertu du theoreme de Banach-Alaoglu on peut en deduire

la proposition suivante.

Proposition 19. Soit Ω ⊂ RN un ouvert et soit (un)n∈N une suite bornee dans W 1,p(Ω) pour

1 < p < +∞. Alors il existe u ∈ W 1,p(Ω) et une sous-suite (unk) qui converge faiblement vers u

dans W 1,p(Ω). En particulier

‖∇u‖p ≤ lim inf ‖∇un‖p.

Demonstration. La premiere partie de la preuve decoule du theoreme de Banach-Alaoglu et de la

reflexivite de W 1,p. Pour la deuxieme partie, il s’agit d’une consequence classique du theoreme de

Hahn-Banach, que toute fonctionnelle convexe continue est faiblement semi-continue, la norme-p

du gradient etant un cas particulier de fonctionnelle convexe.

26

Dans la suite on verra que l’on peut en realite supposer, dans l’enonce precedent, que un converge

fortement dans Lp.

4.3 Operateur de prolongement

Definition 19. Soit Ω ⊂ RN un ouvert. On dit que Ω est un domaine d’extension pour W k,p

si il existe un operateur lineaire continu de prolongement P de W k,p(Ω) vers W k,p(RN ) tel que

P (u) = u dans Ω. C’est a dire qu’il existe une fonction prolongee P (u) ∈ W k,p(RN ) telle que

P (u) = u dans Ω et

‖P (u)‖Wk,p(RN ) ≤ C ‖u‖Wk,p(Ω),

avec C > 0 une constante qui depend de Ω.

Proposition 20. Le demi-espace H+ := RN ∩ xN > 0 est un domaine d’extension pour W 1,p,

et ce pour tout 1 ≤ p ≤ +∞.

Demonstration. Pour u ∈W 1,p(H+) on definit P (u) par

P (u)(x′, xN ) =

u(x′, xN ) si xN > 0

u(x′,−xN ) si xN < 0.

Verifions que P (u) ∈ W 1,p(RN ) si u ∈ W 1,p(H+). Deja, il est clair par definition que P (u) ∈Lp(RN ). Essayons d’identifier la derivee de P (u) au sens des distributions.

Pour cela on considere ϕ ∈ C∞c (RN ) et on ecrit en utilisant un changement de variables, pour,

dans un premier temps, 1 ≤ i ≤ N − 1,

〈∂iP (u), ϕ〉 = −ˆRN

P (u)∂iϕdx =

ˆH+

u∂iΨdx

ou Ψ(x′, xN ) = ϕ(x′, xN ) +ϕ(x′,−xN ). La fonction Ψ n’est pas a support compact dans H+ donc

n’est pas admissible comme fonction test. Mais on peut l’approcher en introduisant une fonction

plateau θk(t) = θ(kt) ou θ est une fonction C∞ valant 1 si t < 1/2 et 0 si t > 1. On a donc par

convergence dominee ˆH+

u∂iΨdx = limk→+∞

ˆH+

uθk(xN )∂i(Ψ)dx

et comme u ∈W 1,p(H+),

ˆH+

uθk(xN )∂i(Ψ)dx =

ˆH+

∂iuθk(xN )Ψdx

et en passant a la limite on a demontre que ∂iP (u)(x′, xN ) = ∂iu(x′, xN )1H+ + ∂iu(x′,−xN )1H− .

Reste le cas i = N . Si ϕ ∈ C∞c (RN ) on a cette fois

〈P (u), ϕ〉 =

ˆH+

u∂Nχdx

ou χ(x′, xN ) = χ(x′, xN ) − χ(x′,−xN ). En particulier, χ(x′, 0) = 0, et comme χ est de plus a

support compact dans RN il existe une constante C > 0 telle que |χ(x′, xN )| ≤ M |xN |. Soit θkcomme tout a l’heure. Montrons que

ˆRN

ukθ′(kxN )χdx→ 0 quand k → +∞.

27

En effet, ∣∣∣∣ˆRN

ukθ′(kxN )χ

∣∣∣∣ ≤ kMC

ˆ0<xN<

1k

|u|xNdx ≤MC

ˆ0<xN<

1k

|u|dx→ 0

car u ∈ Lp. On en deduit que

ˆH+

u∂N (θkχ)dx =

ˆH+

uθk∂Nχdx+

ˆH+

ukθ′(kxN )χdx,

et en faisant k → +∞ il vient, par convergence dominee,

limk→+∞

ˆH+

u∂N (θkχ)dx =

ˆH+

u∂Nχdx.

D’autre part

ˆH+

u∂N (θkχ)dx = −ˆH+

(∂Nu)θkχdx→k→+∞ −ˆH+

(∂Nu)χdx.

On a donc demontre que

∂N (P (u))(x′, xN ) = ∂Nu(x′, xN )1H+ − ∂Nu(x′,−xN )1H−

et donc finalement P (u) ∈W 1,p(RN ) et

‖P (u)‖W 1,p(RN ) ≤ 2‖u‖W 1,p(H+)

Proposition 21. Si Ω ⊂ RN est un ouvert borne de classe C1, alors c’est un domaine d’extension

pour W 1,p, pour tout 1 ≤ p ≤ +∞.

Demonstration. On utilise une partition de l’unite. C’est a dire que l’on recouvre ∂Ω par un

nombre fini de cubes Qi, 1 ≤ i ≤ N0 centres sur ∂Ω tels que ∂Ω∩Qi soit le graphe d’une fonction

C1 et on associe a ces cubes Qi des fonctions θi de classe C∞, pour 0 ≤ i ≤ N0 telles que pour

tout 1 ≤ i ≤ N0, θi est a support dans Qi, tandis que θ0 est a support dans Ω, et verifiant

N0∑i=0

θi = 1.

On note u =∑N0

i=0 θiu =∑N0

i=0 ui et on va prolonger chacune des fonctions ui en distinguant le

cas i = 0 des autres i ≥ 1.

prolongement de u0 : On prolonge u0 de la facon la plus naturelle, c’est a dire

P (u0)(x) :=

u0(x) si x ∈ Ω

0 si x ∈ RN \ Ω.

En effet,

∇(u0) = u∇θ0 + θ0∇u,

et donc ∇(u0) ∈ Lp(RN ) et

‖∇(u0)‖W 1,p(RN ) ≤ ‖θ0‖∞‖u‖p + ‖θ0‖∞‖∇u‖p ≤ C‖u‖W 1,p(Ω).

28

prolongement de ui, 1 ≤ i ≤ N0 : l’idee est d’utiliser, dans chaque Qi, une fonction Ψi qui

”redresse” le bord. C’est a dire, en notant Q := |xj | ≤ 1 et Q+ = Q∩H+, il existe des fonctions

de classe C1, Ψi : Q+ → Qi telle que Ψi(Q+) = Qi ∩ Ω.

On considere ensuite vi = ui Ψi. On a vi ∈W 1,p(H+) et meme ‖vi‖W 1,p(H+) ≤ ‖u‖W 1,p(Ω)

car

ˆH+

|vi|p dx =

ˆQ+

|vi|p dx =

ˆQi

|ui|p|detDΨ−1i |dx ≤ C‖u‖

pLp(Ω)

et |∇vi| = |DΨi||∇ui Ψ| de sorte que

ˆH+

|∇vi|p dx =

ˆQi

|DΨi Ψ−1i |

p|∇ui|p|detDΨ−1i | dx ≤ C‖∇u‖

pLp(Ω)

On prolonge alors vi en vi ∈ W 1,p(RN ) a l’aide de la proposition precedente, puis on revient a Ω

en definissant

P (ui) = vi Ψ−1i .

Par un calcul analogue a precedemment on voit que ‖P (ui)‖W 1,p(RN ) ≤ C‖u‖W 1,p(Ω).

conclusion : Enfin, on pose

P (u) = P (u0) +

N0∑i=1

P (ui),

et on verifie facilement qu’il a toutes les proprietes souhaitees.

Remarque 12. il existe des domaines d’extension qui ne sont pas C1. Par exemple il est facile de

voir en utilisant 4 reflexions par rapport a ses cotes respectifs, qu’un carre dans R2 est un domaine

d’extension. En general un domaine a bord uniformement Lipschitz sera un domaine d’extension.

Les domaines problematiques pour l’extension seront des domaines dont le bord contient des sin-

gularites de type “cusp” (comme le sur-graphe de la fonction√|x|).

4.4 Injection de W 1,p dans Lp∗

pour p ≤ N

On commence par deux consequences tres classiques de l’inegalite de Holder.

Lemme 1. 1. Si fi ∈ Lpi(R) sont k0 fonctions telles que 1p1

+ · · · + 1pk0

= 1 alors f =

f1f2 · · · fk0 ∈ L1(R) et

‖f‖L1(R) ≤k0∏i=1

‖fi‖pi . (4.1)

2. D’autre part, si f ∈ Lp(Ω)∩Lq(Ω) avec 1 ≤ p < q ≤ ∞ alors f ∈ Lr(Ω) pour tout p ≤ r ≤ qet on a l’inegalite d’interpolation

‖f‖rr ≤ ‖f‖pαp ‖f‖q(1−α)q (4.2)

ou

r = pα+ (1− α)q , α ∈ [0, 1].

(4.3)

29

Demonstration. Montrons d’abord (4.1). Pour k0 = 2 c’est l’inegalite de Holder classique. Puis

par recurrence, si l’inegalite est vraie pour k0, et si on se donne k0 + 1 fonctions fi on peut poser

1 =

(1

p1+ · · ·+ 1

pk0

)+

1

pk0+1=:

1

q+

1

pk0+1.

Ainsi, en appliquant Holder classique on obtient

‖f‖1 ≤ ‖fk0+1‖Lpk0+1

(ˆ|f1f2 · · · fk0 |q

) 1q

.

Ensuite en remarquant par definition de q que

q

p1+ · · ·+ q

pk0= 1

on peut donc appliquer l’hypothese de recurrence qui donne(ˆ|f1f2 · · · fk0 |q

)≤

k0∏i=1

‖fi‖qpi ,


Montrons maintenant (4.2). On ecrit |f |r = |f |αp|f |(1−α)q puis on observe que 1α et 1

1−α sont

conjugues donc ˆΩ

|f |r ≤(ˆ

Ω

|f |p)α(ˆ

Ω

|f |q)1−α

,

d’ou le resultat.

Ensuite on aura besoin du lemme suivant :

Lemme 2. Soit N ≥ 2 et f1, f2, · · · , fN ∈ LN−1(RN−1). Pour x ∈ RN et 1 ≤ i ≤ N on pose

xi = (x1, x2, · · · , xi−1, xi+1, · · · , xN ) ∈ RN−1.

Alors la fonction f(x) = f1(x1)f2(x2) · · · fN (xN ), x ∈ RN , appartient a L1(RN ) et

‖f‖L1(RN ) ≤N∏i=1

‖fi‖LN−1(RN−1).

Demonstration. Le cas N = 2 est facile. Il y a dans ce cas deux fonctions f1, f2 ∈ L1(R) et la

fonction f(x, y) = f1(x)f2(y) est bien dans L1(R2) d’apres le theoreme de Fubini, avec

‖f‖L1(R2) ≤ ‖f1‖L1(R)‖f2‖L1(R).

On procede maintenant par recurrence : pour f1, f2, · · · , fN+1 dans LN (RN ) on fixe d’abord xN+1

c’est a dire que l’on considere les fonctions fi comme fonctions de RN−1 et on applique Holder

pour obtenir

ˆ|f(x)|dx1dx2 · · · dxN ≤ ‖fN+1‖N

(ˆ|f1f2 · · · fN |N

′dx1dx2 · · · dxN

) 1N′

ou 1/N ′ = 1− 1N donc

N ′ =N

N − 1.

30

Appliquant l’hypothese de recurrence aux fonctions |f1|N′, |f2|N

′, · · · , |fN |N

′il vient

ˆ|f1f2 · · · fN |N

′dx1dx2 · · · dxN ≤

N∏i=1

‖fi‖N′

LN (RN−1),

d’ou ˆ|f(x)|dx1dx2 · · · dxN ≤

N∏i=1

‖fi‖LN (RN−1).

On fait maintenant varier xN+1. Chacune des fonctions xN+1 7→ ‖fi‖LN (RN−1), 1 ≤ i ≤ N ,

appartient a LN (R). Par consequent le produit∏Ni=1 ‖fi‖LN (RN−1) appartient a L1(R) d’apres la

remarque ci dessus, et le fait que 1N + 1

N + · · · + 1N = 1, avec estimation de la norme et donc en

integrant pour xN+1 ∈ R on trouve

ˆ|f(x)|dx1 · · · dxN+1 ≤

N+1∏i=1

‖fi‖LN (RN )


Nous pouvons maintenant demontrer le theoreme suivant nous dit que les fonctions de l’espace de

Sobolev “gagnent en integrabilite”. Cela vient du fait que le gradient est suffisamment integrable.

Theoreme 4.1. Soit 1 ≤ p < N . On note

p∗ =pN

N − p.

On distingue deux cas :

1. Si Ω est un ouvert (quelconque), alors pour toute fonction u ∈W 1,p0 (Ω) on a

‖u‖Lp∗ (Ω) ≤ C‖∇u‖Lp(Ω),

ou C depend uniquement de N et p.

2. Si Ω est un ouvert borne de classe C1, alors il existe une constante C = C(p,N,Ω) telle que

pour toute fonction u ∈W 1,p(Ω) on a

‖u‖Lp∗ (Ω) ≤ C‖u‖W 1,p(Ω).

Demonstration. On commence par le cas p = 1 et Ω ⊂ RN un ouvert quelconque. On considere

d’abord u ∈ C1c (Ω). On a

|u(x1, x2, · · · , xN )| =∣∣∣∣ˆ x1

−∞

∂u

∂x1(t, x2, · · · , xN )dt

∣∣∣∣ ≤ ˆ +∞

−∞| ∂u∂x1

(t, x2, · · · , xN )|dt.

Et de meme pour 1 ≤ i ≤ N ,

|u(x1, x2, · · · , xN )| ≤ˆ +∞

−∞| ∂u∂xi

(x1, · · · , xi−1, t, xi, · · ·xN )|dt =: fi(xi).

Donc

|u(x)|N ≤ f1(x1)f2(x2) · · · fN (xN ).

On deduit du lemme 2, comme f1

N−1

i ∈ LN−1(RN−1) que

ˆRN|u(x)|

NN−1 dx ≤

N∏i=1

‖fi‖1

N−1

L1(RN−1)=

N∏i=1

∥∥∥∥ ∂u∂xi∥∥∥∥ 1N−1

L1(RN )

.

31

On a donc demontre

‖u‖L

NN−1 (RN )

≤N∏i=1

∥∥∥∥ ∂u∂xi∥∥∥∥ 1N

L1(RN )

≤ ‖∇u‖L1(RN ), (4.4)

ce qui demontre l’inegalite dans le cas p = 1 et u ∈ C1c (Ω).

Demontrons maintenant l’inegalite pour 1 ≤ p < N . Pour cela on considere un parametre γ > 1 a

fixer plus tard et on applique (4.4) a la fonction |u|γ ∈ C1c (RN ), au lieu de u. Alors

∇|u|γ = γ|u|γ−1signe(u)∇u

et on trouve ainsi(ˆRN|u|

γNN−1

)N−1N

≤ˆRN|∇|u|γ |dx = γ

ˆRN|u|γ−1|∇u|dx

≤ γ

(ˆRN|u|(γ−1) p

p−1

) p−1p(ˆ

RN|∇u|p

) 1p

. (4.5)

Maintenant on choisit γ de sorte que (γ − 1) pp−1 = γN

N−1 ce qui donne

γ =p(N − 1)

N − p> 1,

et dans ce cas (γ − 1) pp−1 = γN

N−1 = NpN−p = p∗ et donc

(ˆRN|u|p

∗) 1p∗

≤(ˆ

RN|∇u|p

) 1p

,

ce qui prouve l’inegalite dans le cas ou u ∈ C1c (RN ).

Maintenant si u ∈ W 1,p0 (Ω) il existe par definition une suite un → u dans W 1,p(Ω) avec un ∈

C∞c (Ω). En appliquant (4.4) a un et en passant a la limite on a ‖∇un‖1 → ‖∇u‖1 et d’apres Fatou

(ou le fait que un est de Cauchy dans Lp∗) on obtient l’inegalite pour tout u ∈W 1,p

0 (Ω).

Reste enfin le cas d’un ouvert Ω de classe C1. Dans ce cas il existe un operateur d’extension. En

appliquant l’inegalite dans Ω = RN tout entier a la fonction etendue P (u) on obtient l’inegalite

sur u.

Remarque 13. D’apres l’inegalite (4.2), on obtient en realite que si u ∈W 1,p alors u ∈ Lr pour

tout p ≤ r ≤ p∗. De plus si Ω est borne alors d’apres Holder u ∈ Lr pour tout 1 ≤ r ≤ p∗.

Proposition 22 (Cas limite p = N). 1. Si Ω est un ouvert (quelconque), alors pour toute

fonction u ∈W 1,N0 (Ω) et pour tout N ≤ q < +∞ on a

‖u‖Lq(Ω) ≤ C‖u‖W 1,N (Ω),

ou C depend uniquement de N , p et q.

2. Si Ω est un ouvert borne de classe C1, alors pour tout N ≤ q < +∞ il existe une constante

C = C(p,N, q,Ω) telle que pour toute fonction u ∈W 1,N (Ω) on a

‖u‖Lq(Ω) ≤ C‖u‖W 1,N (Ω).

32

Demonstration. On suppose d’abord que u ∈ C1c (Ω). En reprenant l’inegalite (4.5) avec p = N on

obtient (ˆRN|u|

γNN−1

)N−1N

≤ γ(ˆ

RN|u|(γ−1) N

N−1

)N−1N(ˆ

RN|∇u|N

) 1N

,

ou encore

‖u‖γLγNN−1

≤ γ‖u‖γ−1

L(γ−1)NN−1

‖∇u‖LN .

soit

‖u‖LγNN−1≤ C‖u‖

γ−1γ

L(γ−1)NN−1

‖∇u‖1γ

LN.

D’apres Young ab ≤ C(aγ + bγγ−1 ) donc

‖u‖LγNN−1≤ C(‖u‖

L(γ−1)NN−1

+ ‖∇u‖LN ).

En choisissant γ = N on trouve donc

‖u‖LN2N−1≤ C(‖u‖LN + ‖∇u‖LN ) = C‖u‖W 1,N

et u ∈ LN ∩ LN2

N−1 . D’apres l’inegalite d’interpolation (4.2) on en deduit que u ∈ Lq pour tout

N ≤ q ≤ N2

N−1 et

‖u‖Lq ≤ C‖u‖W 1,N .

Reiterant l’argument avec γ = N + 1, N + 2, etc... on aboutit a

‖u‖Lq ≤ C‖u‖W 1,N ,

pour tout N ≤ q < +∞ (avec une constante qui depend de q). Ceci est vrai pour u ∈ C1c (Ω) et

donc par densite l’inegalite reste vraie pour u ∈W 1,p0 (Ω).

Dans le cas de W 1,p(Ω) avec Ω de classe C1 on peut utiliser un operateur d’extension et appliquer

l’inegalite sur la fonction etendue pour trouver le resultat.

4.5 Injection de W 1,p dans C0,α pour p > N

Theoreme 4.2 (Morrey). Si p > N , alors W 1,p(RN ) ⊂ L∞(RN ). De plus pour tout u ∈W 1,p(RN )

on a

|u(x)− u(y)| ≤ C|x− y|α‖∇u‖Lp

pour presque tout x, y ∈ RN avec α = 1− Np et C > 0 une constante qui depend uniquement de N

et p. En particulier, u admet un representant continu.

Demonstration. On suppose que u ∈ C1c (Ω). Soit B = B(x0, r) une boule de rayon r qui contient

0. Pour tout x ∈ B(x0, r) on a

u(x)− u(0) =

ˆ 1

0

(d

dtu(tx)

)dt =

ˆ 1

0

N∑i=1

xi∂iu(tx) dt.

Posons u = 1B

´Bu(x) dx. En integrant l’inegalite ci dessus en x ∈ B on trouve

u− u(0) =1

|B|

ˆB

ˆ 1

0

N∑i=1

xi∂iu(tx) dtdx,

33

d’ou, puisque |xi| ≤ 2r (car 0 ∈ B(x0, r)),

|u− u(0)| ≤ 1

|B|

ˆB

ˆ 1

0

N∑i=1

|xi| |∂iu(tx)| dtdx ≤ C r

|B|

ˆB

ˆ 1

0

N∑i=1

|∂iu(tx)| dtdx

≤ C1

rN−1

ˆ 1

0

ˆB

N∑i=1

|∂iu(tx)| dxdt

= C1

rN−1

ˆ 1

0

ˆtB

N∑i=1

|∂iu(y)| dytNdt. (4.6)

Or d’apres l’inegalite de Holder on a, en utilisant tB ⊂ B

ˆtB

∣∣∣∣ ∂u∂xi (y)

∣∣∣∣ dy ≤ (ˆB

∣∣∣∣ ∂u∂xi∣∣∣∣p)

1p

|tB|1p′ ,

on en deduit donc que

|u− u(0)| ≤ C 1

rN−1‖∇u‖Lp(B)r

Np′

ˆ 1

0

tNp′

tNdt = C ′r1−Np ‖∇u‖Lp(B).

Or le point 0 etant suppose arbitrairement dans B, on a en realite demontre que pour tout x ∈ B,

|u(x)− u| ≤ Cr1−Np ‖∇u‖Lp(B). (4.7)

Maintenant, si x et y sont des points quelconques de R2, il existe une boule B(x0, r) telle que

x, y ∈ B(x0, r) et telle que r = 2|x−y|. On en deduit par inegalite triangulaire que |u(x)−u(y)| ≤|u(x)− u|+ |u− u(y)| donc

|u(x)− u(y)| ≤ C|x− y|1−Np ‖∇u‖Lp(B).

Ceci demontre l’estimation Holderienne pour u ∈ C1c . Maintenant par approximation, si u ∈

W 1,p(RN ) il existe une suite un ∈ C1c (RN ) qui converge vers u dans W 1,p, et presque partout. En

passant a la limite on en deduit donc l’estimation pour u ∈W 1,p(RN ).

Enfin, demontrons la borne L∞. Si u ∈ C1c (RN ) alors pour B une boule qui contient x de rayon 1

on a

|u(x)| ≤ |u|+ C‖∇u‖p.

or

|u| ≤ 1

|B|

ˆB

|u|dx ≤ 1

|B||B|

1p′ ‖u‖p ≤ C‖u‖p.

Donc finalement

|u(x)| ≤ C‖u‖W 1,p ,

d’ou la borne sur ‖u‖L∞ . En raisonnant par approximation on obtient la borne pour tout u ∈W 1,p(RN ).

34

Definition-Proposition 2 (Espaces de Holder). Soit α ∈]0, 1[ et K ⊂ RN un compact. On dit

que u : K → R est Holderienne de puissance α sur K s’il existe une contsante C > 0 telle que

∀x, y ∈ K, |u(x)− u(y)| ≤ C|x− y|α.

La plus petite constante C verifiant l’inegalite ci-dessus est notee

[u]C0,α(K) = supx 6=y

|u(x)− u(y)||x− y|α

.

L’espace vectoriel C0,α(K) := C0(K) ∩ u : [u]C0,α(K) < +∞ est un espace de Banach muni de

la norme

‖u‖C0,α(K) := ‖u‖C0(K) + [u]C0,α(K).

Definition 20. Si k ∈ N on definit Ck,α(K) comme l’ensemble des fonctions u ∈ Ck(K) telles

que pour tout β ∈ NN avec |β| = k on a ∂βu ∈ C0,α. C’est un espace de Banach pour la norme :

‖u‖Ck,α = ‖u‖Ck + max|β|=k

[∂βu]C0,α(K)

Corollaire 6. Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne de classe C1 et p > N . Alors pour α = 1− Np on a

W 1,p(Ω) ⊂ C0,α(Ω)

avec injection continue, c’est a dire

‖u‖C0,α(Ω) ≤ C‖u‖W 1,p(Ω).

Demonstration. Il suffit d’appliquer le theoreme de Morrey a la fonction etendu P (u), ou P est

l’operateur d’extension associe au domaine Ω.

Un sous-produit de la preuve du theoreme de Morrey est l’inegalite interessante suivante.

Proposition 23 (Inegalite de Poincare dans une boule). . Si p > N alors pour toute boule

B = B(x0, r) de rayon r et pour toute fonction u ∈W 1,p(B) on a

‖u− u‖Lp(B) ≤ Cr‖∇u‖Lp(B),

avec u = 1|B|

´Budx et C une constante qui depend de N et p.

Demonstration. En reprenant la preuve du theoreme de Morrey a partir de (4.7)

|u(x)− u| ≤ Cr1−Np ‖∇u‖Lp(B)

il suffit d’elever a la puissance p puis d’integrer en x ∈ B pour obtenir le resultat.

4.6 Compacite

Dans la section precedente nous avons obtenu des injections continues de W 1,p dans des espaces

Lq ou C0,α. Nous voyons dans la suite que certaines de ces injections sont en fait des injections

compactes.

35

Theoreme 4.3 (Rellich-Kondrachov). Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne de classe C1. Alors

1. 1 ≤ p < N l’espace W 1,p(Ω) s’injecte de facon compacte dans Lr pour tout r ∈ [1, npn−p [.

2. p = N l’espace W 1,p(Ω) s’injecte de facon compacte dans Lr pour tout r ∈ [1,+∞[.

3. p > N l’espace W 1,p(Ω) s’injecte de facon compacte dans C0.

Demonstration. Nous demontrons d’abord 3. qui repose sur le theoreme d’Ascoli. En effet, suppo-

sons que (ui) soit une famille verifiant ‖ui‖W 1,p(Ω) ≤ M d’apres le theoreme de Morrey chacune

des ui possede un representant continu ui. De plus la famille (ui) est uniformement bornee et

equicontinue car pour tout i

|ui(x)− ui(y)| ≤ CM |x− y|α.

On deduit donc du Theoreme d’Ascoli que la famille (ui) est relativement compacte dans C0(Ω).

La preuve des points 1. et 2. repose sur un critere de compacite dans l’espace Lp qui est la version

Lp du theoreme d’Ascoli (voir [Brezis, Analyse fonctionnelle] pour une demonstration).

Lemme 3 (Riesz-Frechet-Kolmogorov). On pose τh(f) = f(x + h). Soit Ω ⊂ RN un ouvert et

soit F un sous ensemble borne de Lp(Ω) avec 1 ≤ p <∞. On suppose que

∀ε > 0, ∀ω ⊂ Ω ∃δ < dist(ω,Ωc) tel que

‖τh(f)− f‖Lp(ω) < ε ∀h ∈ RN ; |h| < δ et ∀f ∈ F . (4.8)

On suppose de plus que

∀ε > 0 ∃ω ⊂ Ω tel que ‖f‖Lp(Ω\ω) ≤ ε ∀f ∈ F . (4.9)

Alors F|ω est relativement compact dans Lp(ω).

En admettant ce lemme nous pouvons demontrer l’injection compacte de W 1,p(Ω) dans Lr pour

r < p∗. En effet, il suffit de verifier (4.8) et (4.9) ou F est la boule unite de W 1,p(Ω).

Pour (4.8) on utilise que 1 ≤ q < p∗ pour ecrire

q = α+ (1− α)p∗ avec α ∈]0, 1[.

Soit ω ⊂ Ω, u ∈ F et |h| ≤ dist(ω,Ωc). Grace a l’inegalite d’interpolation on a

‖τh(u)− u‖qLq(ω) ≤ ‖τh(u)− u‖αL1(ω)‖τh(u)− u‖(1−α)p∗

Lp∗ (ω). (4.10)

Montrons que

‖τh(u)− u‖L1(ω) ≤ |h|‖∇u‖L1(Ω). (4.11)

En effet, si u est une fonction C1(ω) et h ∈ RN on a

u(x+ h)− u(x) =

ˆ 1

0

h · ∇u(x+ th)dt.

Par suite

ˆω

|τh(u)− u| ≤ |h|ˆω

ˆ 1

0

|∇u(x+ th)|dtdx = |h|ˆ 1

0

ˆω

|∇u(x+ th)|dxdt ≤ |h|ˆ

Ω

|∇u|dx.

36

Puis, si u est une fonction W 1,p(Ω) on raisonne par approximation par une suite de fonctions

C1(ω).

Nous pouvons maintenant terminer la preuve de la verification de (4.8). En effet, de (4.10) et

(4.11) on tire

‖τh(u)− u‖qLq(ω) ≤ |h|α‖∇u‖αL1(Ω)‖τh(u)− u‖(1−α)p∗

Lp∗ (ω)= C|h|α.

On conclut que ‖τh(u)− u‖Lq(ω) ≤ ε pour |h| assez petit, avec C qui ne depend pas de f dans F(car controle par ‖f‖W 1,p).

La verification de (4.9) est plus simple. En effet d’apres Holder,

‖u‖Lq(Ω\ω) ≤ ‖u‖Lp∗ (Ω\ω)|Ω \ ω|1− q

p∗ ≤ ε

pour ω bien choisi.

Rappel. Soit X,Y deux espaces de Banach. On dit qu’une injection X ⊂ Y est compacte si l’image

de la boule unite de X par l’application identite est relativement compacte dans Y . En particulier,

dans ce cas, de toute suite bornee dans X on peut extraire une sous-suite qui converge dans Y . Par

exemple, si on a une suite bornee dans W 1,p(Ω) avec p > N alors on peut extraire une sous-suite

qui converge uniformement dans Ω.

Voici un exemple interessant d’application des injections compactes de Sobolev.

Corollaire 7 (Inegalite de Poincare dans un domaine C1). Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne, connexe,

de classe C1. Alors pour tout r ∈ [1, npn−p [ il existe une constante C = C(Ω, r) > 0 telle que pour

tout u ∈W 1,p(Ω)

‖u− uΩ‖r ≤ C‖∇u‖p,

ou uΩ := 1|Ω|

´Ωudx

Demonstration. On raisonne par l’absurde. Pour r fixe, supposons qu’il existe un dans W 1,p(Ω)

telle que

‖un − (un)Ω‖Lr(Ω) > n‖∇un‖Lp(Ω).

posons

vn =un − (un)Ω

‖un − (un)Ω‖r∈W 1,p(Ω),

de sorte que ‖∇vn‖p ≤ 1n et

´Ωvndx = 0. Par ailleurs, ‖vn‖r = 1. D’apres Holder on a egalement

‖vn‖p ≤ |Ω|prr−p ‖vn‖r = |Ω|

prr−p .

La suite vn est uniformement bornee dansW 1,p(Ω) donc d’apres le theoreme de Rellich-Kondrachov

il existe une sous suite qui converge fortement dans Lr, vers une certaine fonction v qui verifie

‖v‖r = 1 et´

Ωv(x)dx = 0. Quitte a extraire une nouvelle sous suite, la convergence a lieu aussi

faiblement dans W 1,p. Par semi-continuite de la norme on obtient

‖∇v‖p ≤ lim infn‖∇vn‖p = 0,

Donc v est constante. Mais alors v = 0 car´

Ωv(x)dx = 0. Ceci est en contradiction avec le fait

que ‖v‖r = 1 et termine donc la preuve.

37

4.7 Theoreme de Campanato

Definition 21 (Semie-norme de Campanato). Soient 1 ≤ p <∞, α ∈]0, 1[ et Ω ⊂ RN un ouvert.

Pour u ∈ Lp(Ω) on definit

[u]pp,α := supx0∈Ω,r>0

1

rαp+N

ˆB(x0,ρ)∩Ω

|u− ux0,r|p dx.

ou ux0,r :=fflB(x0,r)∩Ω

u dx.

On remarque facilement que si u ∈ C0,α(Ω) alors [u]p,α < +∞. En realite, la reciproque est vraie

comme enoncee dans le theoreme suivant.

Theoreme 4.4 (Campanato). Soit Ω ⊂ RN un ouvert de classe C1 et p > N . Alors pour tout

u ∈ Lp(Ω) on a

C1[u]p,α ≤ [u]C0,α(Ω) ≤ C2[u]p,α,

avec C1 et C2 des constantes qui dependent de Ω, p, α,N .

Demonstration. La premiere inegalite se demontre rapidement. En effet, si u ∈ C0,α(Ω) alors pour

tout x0 ∈ Ω et r > 0, si x, y ∈ B(x0, r)∩Ω on a |u(x)−u(y)| ≤ [u]C0,α |x− y|α ≤ [u]C0,α(Ω)(2r)α.

On en deduit que |u(x)− ux0,r| ≤ [u]C0,α(Ω)(2r)α puis

ˆΩ∩B(x0,r)

|u(x)− ux0,r|p dx ≤ ωN2αp[u]pC0,α(Ω)

rαp+N ,

donc finalement

[u]p,α ≤ ω1p

N2α[u]C0,α(Ω).

Pour la deuxieme inegalite on aura besoin du theoreme cellebre suivant :

Theoreme 4.5 (de differentiation de Lebesgue). Soit f ∈ L1loc(RN ). Alors pour presque tout

x ∈ RN on a

limr→0

B(x,r)

f(y) dy = f(x).

Poursuivons la preuve en admettant ce theoreme. Soit u ∈ Lp(Ω). Montrons qu’il existe C > 0

telle que pour tout x0 ∈ Ω et R > 0 on a

|ux0,2−kR − ux0,2−lR| ≤ C[u]p,α(2−kRα) pour tout k < l.

Comme Ω est de classe C1 il existe une constante A > 0 telle que pour tout x0 ∈ Ω et r < diam(Ω)

on a

|Ω ∩B(x0, r)| ≥ ArN . (4.12)

Si x, x0 ∈ Ω et R > r > 0, on a

|ux0,R − ux0,r| ≤ 2p−1(|ux0,R − u(x)|p + |u(x)− ux0,r|p).

En integrant par rapport a x ∈ Ω ∩B(x0, r) et en utilisant (4.12) is sort

|ux0,r − ux0,R|p ≤ 2p−1

ArN

(ˆB(x0,r)∩Ω

|ux0,r − u(x)|p dx+

ˆB(x0,R)∩Ω

|u(x)− ux0,R|p dx

)

≤ 2p−1

ArN[u]pp,α(rN+αp +RN+αp)

≤ 2p

ArN[u]pp,αR

N+αp = C[u]pp,α

(R

r

)NRαp

38

Chapitre 5

Equations lineaires sous forme de

divergence

Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne. On s’interesse dans ce chapitre aux equations sous la forme

−div(A∇u) = f dans Ω.

Ici f : Ω → R est une fonction donnee appelee “second membre”, et A est une fonction a valeur

matricielle A = (ai,j) ou ai,j : Ω→ R, appeles “coefficients”.

Les coefficients A seront supposes “uniformement elliptiques” au sens suivant :

il existe λ > 0 tel que A(x)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p.x ∈ Ω, ∀ξ ∈ RN . (5.1)

Un exemple typique etant A(x) = Id pour tout x ∈ Ω. Dans ce cas −divA∇u = −∆u.

Par ailleurs, l’equation est le plus souvent accompagnee de “conditions au bord” comme par

exemple :

u = g sur ∂Ω : condition dite de Dirichlet.

∂u

∂ν= h sur ∂Ω : condition de type Neumann.

Pour simplifier nous supposerons dans un premier temps la condition de Dirichlet homogene u = 0

sur ∂Ω, soit a resoudre le systeme suivant.−div(A∇u) = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.(5.2)

Voici une notion classique de solution qu’il est naturel de poser.

Definition 22 (Solution classique). Soit A ∈ C1(Ω) et f ∈ C0(Ω). On dit que u est une solution

classique (ou solution forte) si u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) et verifie (5.2).

Dans un premier temps, nous allons chercher une solution en un sens plus faible.

40

5.1 Existence de solutions faibles

Definition 23. Soit Ω ⊂ RN un ouvert, et A des coefficients mesurables bornes, et f ∈ L2(Ω).

On dit que u est une solution faible de (5.2) si u ∈ H10 (Ω) et si pour toute fonction ϕ ∈ C∞0 (Ω)

on a ˆΩ

A∇u · ∇ϕdx =

ˆΩ

fϕ dx. (5.3)

Autrement dit, u ∈ H10 (Ω) et la fonction A∇u ∈ L1

loc(Ω) verifie −div(A∇u) = f dans D′(Ω).

Remarques :

1. la notion de solution faible permet de relacher les hypotheses de regularite sur u mais

egalement des donnees f et A.

2. la condition au bord u = 0 sur ∂Ω est encodee dans le fait que u ∈ H10 (Ω).

3. on aurait pu prendre de maniere plus generale f ∈ H−1(Ω) et dans ce cas remplacer

l’integrale´uf par le crochet de dualite.

4. par densite de C∞c (Ω) dans H10 (Ω) l’identite (5.5) reste vraie pour toute ϕ ∈ H1

0 (Ω).

Proposition 24. Soit Ω un ouvert borne de classe C1. Alors toute solution classique de (5.5) est

aussi solution faible.

Demonstration. Soit u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) une solution classique. Alors en multipliant l’equation

−div(A∇u) = f par ϕ ∈ C∞c (Ω) et en integrant sur Ω il vient

−ˆ

Ω

ϕ div(A∇u) dx =

ˆΩ

fϕ dx.

Puis en integrant par parties on trouve

ˆΩ

(A∇u) · ∇ϕ dx =

ˆΩ

fϕ dx,

d’ou le resultat.

L’existence d’une solution faible repose sur le Lemme general suivant.

Lemme 4 (Lax-Milgram). Soit H un espace de Hilbert, L ∈ H ′ et a : H × H → R une forme

bilineaire satisfaisant les 2 proprietes suivantes :

1. continue : il existe M > 0 telle que |a(u, v)| ≤M‖u‖H‖v‖H pour tout u, v ∈ H ;

2. coercive : il existe λ > 0 telle que a(u, u) ≥ λ‖u‖H pour tout u ∈ H.

Alors il existe un unique u ∈ H tel que

a(u, v) = L(v), pour tout v ∈ H,

et

‖u‖H ≤1

λ‖L‖H′ .

De plus, si l’on suppose que a est symetrique, alors u est aussi l’unique solution du probleme de

minimisation suivant :

minv∈H

J(v), avec J(v) =1

2a(v, v)− L(v).

41

Demonstration. Pour tout u ∈ H on definit Lu ∈ H ′ par Lu(v) = a(u, v). La continuite de a ainsi

que sa bilinearite montre bien que Lu ∈ H ′, avec ‖Lu‖H′ ≤M‖u‖H . Le theoreme de Riesz assure

donc l’existence et l’unicite d’un element Au ∈ H tel que pour tout v ∈ H,

〈Au, v〉 = a(u, v), et ‖Au‖H = ‖Lu‖H′ ≤M‖u‖H .

Par le meme theoreme de Riesz il existe f ∈ H tel que

L(v) = 〈f, v〉 pour tout v ∈ H,

avec ‖f‖H = ‖L‖H′ . Il suffit donc de montrer qu’il existe un unique u pour lequel Au = f . Ainsi,

on aura bien la relation a(u, v) = L(v) pour tout v et u sera une solution faible.

On remarque tout d’abord que A : H → H est un operateur lineaire continu. Montrons que

c’est un operateur bijectif. L’injectivite resulte de la coercivite de a. En effet, si Au = 0 alors

0 = a(u, u) ≥ λ‖u‖2H donc u = 0. Pour montrer la surjectivite, on montre d’abord que Im(A) est

ferme dans H. En effet si Aun converge dans H, alors

λ‖un − um‖2H ≤ a(un − um, un − um) = 〈Aun −Aum, un − um〉 ≤ ‖Aun −Aum‖H‖um − un‖H .

On en deduit que (un) est de Cauchy dans H, et converge vers un certain u ∈ H. Par continuite

de A, Aun converge vers Au et donc l’image est bien fermee.

On peut donc decomposer H = Im(A) ⊕ Im(A)⊥ et A sera surjective si Im(A)⊥ = 0. Or

v ∈ Im(A)⊥ donne par definition 〈Au, v〉 = 0 pour tout u ∈ H. En particulier pour u = v on

trouve 0 = 〈Av, v〉 ≥ λ‖v‖2H et donc v = 0.

On a donc bien demontre que A : H → H etait bijectif. En consequence, il existe un unique u ∈ Htel que Au = f , ce qu’il fallait demontrer. Enfin, en effectuant le produit scalaire avec u on obtient

λ‖u‖2H ≤ a(u, u) = 〈Au, u〉 = 〈f, u〉 = L(u) ≤ ‖L‖H′‖u‖H ,

d’ou l’estimation souhaitee.

Montrons enfin que u est solution du probleme de minimisation. Soit u ∈ H. Pour tout w ∈ H on

ecrit

J(u+ w) =1

2a(u+ w, u+ w)− L(u+ w)

=1

2a(u, u) + a(u,w) +

1

2a(w,w)− L(u)− L(w)

= J(u) +1

2a(w,w) + a(u,w)− L(w).

Si u est une solution faible alors a(u,w) − L(w) = 0 et donc J(u + w) > J(u) pour tout w ∈ H,

et u est donc un minimiseur de J dans H.

Reciproquement si u est un minimiseur alors en faisant u+ tw avec t > 0 on trouve

J(u+ tw) = J(u) +1

2t2a(w,w) + ta(u,w)− tL(w) ≥ J(u),

soit1

2t2a(w,w) + ta(u,w)− tL(w) ≥ 0.

En divisant par t > 0 et en faisant t→ 0+ on trouve

a(u,w)− L(w) ≥ 0.

42

En changeant w en −w on a l’inegalite inverse ce qui finalement montre que

a(u,w) = L(w) pour tout w ∈ H,

ce qui termine la preuve du lemme.

On peut maintenant montrer l’existence d’une solution faible.

Proposition 25 (Existence faible pour le probleme de Dirichlet). Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne

de classe C1. Soit A des coefficients mesurables bornes, satisfaisant la condition d’ellipticite (5.1)

et f ∈ L2(Ω). Alors il existe une unique solution faible u ∈ H10 (Ω) telle que

ˆΩ

A∇u · ∇v dx =

ˆΩ

fv dx pour tout v ∈ H10 (Ω).

Par ailleurs on a l’estimation

‖∇u‖L2(Ω) ≤CΩ

λ‖f‖L2(Ω).

Si de plus la matrice A est symetrique alors u est aussi l’unique solution de

minv∈H1

0 (Ω)

1

2

ˆΩ

A∇v · ∇v dx−ˆ

Ω

fv dx.

Demonstration. Soit L : H10 (Ω)→ R la forme lineaire definie par

L(v) =

ˆΩ

fv dx.

Alors d’apres Cauchy-Schwarz, L est continue car

|L(v)| ≤ ‖f‖2‖v‖2 ≤ ‖f‖2‖v‖H1 .

On definit egalement la forme bilineaire a par

a(u, v) :=

ˆΩ

A∇u · ∇v dx,

qui est bien continue, de nouveau par Cauchy-Schwarz,

|a(u, v)| ≤ ‖A‖∞‖u‖2‖v‖2.

La forme bilineaire a est egalement coercive car d’apres la condition d’ellipticite et l’inegalite de

Poincare on a

a(u, u) =

ˆΩ

A∇u · ∇udx ≥ λˆ

Ω

|∇u|2dx ≥ λ

2

ˆΩ

|∇u|2dx+λ

2CΩ

ˆΩ

|u|2dx.

On conclut donc a l’aide du Lemme de Lax-Milgram.

5.2 A propos du probleme de Neumann

De maniere analogue on peut definir des solutions faibles pour le probleme de Neumannu− div(A∇u) = f dans Ω

A∇u · ν = 0 sur ∂Ω.(5.4)

On remarque l’ajout du terme u dans l’equation. Ceci est pour garantir l’unicite de la solution,

notamment dans le cas ou f = 0.

43

Definition 24. Soit A des coefficients mesurables bornes, et f ∈ L2(Ω). On dit que u est une

solution faible de (5.4) si u ∈ H1(Ω) et si pour toute fonction ϕ ∈ C∞(Ω) on a

ˆΩ

uϕdx+

ˆΩ

A∇u · ∇ϕdx =

ˆΩ

fϕ dx. (5.5)

On remarque cette fois que ϕ ∈ C∞(Ω) (au lieu de C∞c (Ω) dans le probleme de Dirichlet), et

u ∈ H1(Ω) (au lieu de H10 (Ω) dans le probleme de Dirichlet). Essayons de justifier ce choix de

facon formelle.

En effet en integrant par parties (formellement, c’est a dire en supposant que u soit reguliere) il

vient

ˆΩ

fϕdx =

ˆΩ

uϕdx+

ˆΩ

A∇u · ∇ϕdx =

ˆΩ

uϕdx−ˆ

Ω

div(A∇u)ϕdx+

ˆ∂Ω

ϕA∇u · ν dσ.

Donc pour ϕ ∈ C∞c (Ω) arbitraire on trouve deja que u doit verifier u − div(A∇u) = f dans Ω.

Mais alors on doit avoir ˆ∂Ω

ϕA∇u · ν dσ = 0

donc en prenant cette fois ϕ ∈ C∞c (Ω) arbitraire on trouve, a cause du terme de bord, que

A∇u · ν = 0.

Proposition 26 (Existence faible pour le probleme de Neumann). Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne

de classe C1. Soit A des coefficients mesurables bornes satisfaisant la condition d’ellipticite (5.1),

et f ∈ L2(Ω). Alors il existe une unique solution faible u pour le probleme de Neumann (5.4).

Demonstration. Soit L : H1(Ω)→ R la forme lineaire definie par

L(v) =

ˆΩ

fv dx.

Alors d’apres Cauchy-Schwarz, L est continue car

|L(v)| ≤ ‖f‖2‖v‖2 ≤ ‖f‖H1‖v‖H1 .

On definit egalement la forme bilineaire a par

a(u, v) :=

ˆΩ

uv dx+

ˆΩ

A∇u · ∇v dx,

qui est bien continue, de nouveau par Cauchy-Schwarz,

|a(u, v)| ≤ (1 + ‖A‖∞)‖u‖2‖v‖2.

La forme bilineaire a est egalement coercive car d’apres la condition d’ellipticite on a

a(u, u) = ‖u‖22 +

ˆΩ

A∇u · ∇udx ≥ ‖u‖2 + λ

ˆΩ

|∇u|2dx ≥ min(1, λ)‖u‖H1(Ω).

On conclut donc a l’aide du Lemme de Lax-Milgram.

44

5.3 Regularite des solutions faibles

Le but de cette section est de demontrer le theoreme de regularite suivant, qui montre en particulier

que sous certaines hypotheses sur f et Ω, toute solution faible est en realite une solution forte.

Theoreme 5.1 (Regularite pour le probleme de Dirichlet). Soit Ω un ouvert borne de classe C2

et A ∈ C1(Ω,MN (R)) des coefficients elliptiques de classe C1. Soit f ∈ L2(Ω) et u ∈ H10 (Ω) une

solution faible pour le probleme de Dirichlet c’est a dire

ˆΩ

A∇u · ∇ϕ =

ˆΩ

fϕ ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Alors u ∈ H2(Ω) et ‖u‖H2 ≤ C‖f‖L2 ou C est une constante qui depend seulement de Ω. De plus

si Ω est de classe Cm+2, si f ∈ Hm(Ω) et si A ∈ Cm+1(Ω) alors

u ∈ Hm+2(Ω) avec ‖u‖Hm+2 ≤ C‖f‖Hm ;

en particulier si m > N2 alors u ∈ C2(Ω) et u est une solution classique.

Enfin si f,A ∈ C∞ et Ω est de classe C∞ alors u ∈ C∞(Ω).

Un resultat analogue existe aussi pour le probleme de Neumann.

Theoreme 5.2 (Regularite pour le probleme de Neumann). Avec les memes hypotheses que pour

le probleme de Dirichlet, on obtient les memes conclusions concernant le probleme de Neumann.

Nous allons demontrer le theoreme en utilisant la “methode des translations” de Niremberg. Pour

h ∈ RN et ϕ : RN → R on note

Dh(ϕ) =ϕ(x+ h)− ϕ(x)

|h|=τ−h(ϕ)(x)− ϕ(x)

|h|.

Proposition 27. Soit Ω ⊂ RN un ouvert et u ∈ L2. Alors u ∈ H1(Ω) si et seulement si il existe

C > 0 tel que pour tout ouvert ω, ω ⊂ Ω, et pour tout |h| < dist(ω,Ωc),

‖Dh(u)‖L2(ω) ≤ C.

On a alors ‖u‖H1(Ω) ≤ C√N .

Demonstration. On commence par supposer que u ∈ C∞(Ω) ∩ H1(Ω). Soit h tel que |h| ≤dist(ω,Ωc). On ecrit

u(x+ h)− u(x) =

ˆ 1

0

∇u(x+ th) · hdt.

D’apres Cauchy-Schawrz et Fubini, il en resulte que

ˆω

|u(x+ h)− u(x)|2 dx ≤ |h|2ˆ 1

0

ˆω

|∇u(x+ th)|2dxdt.

Par le changement de variables y = x+ th on trouve

ˆω

|u(x+ h)− u(x)|2dx ≤ |h|2ˆ 1

0

ˆω+th

|∇u(y)|2dydt.

Si |h| ≤ dist(ω,Ωc) alors ω + th ⊂ Ω donc finalement

‖Dhu‖L2(ω) ≤ ‖∇u‖L2(Ω).

45

Si u ∈ H1(Ω), on raisonne par approximation par des fonctions C∞, ce qui conclut la preuve de

la condition necessaire.

Montrons maintenant la reciproque. On prend h = εei ou 0 < ε < dist(ω,Ωc) et ei est le i-

eme vecteur de la base canonique. On pose gε := Dεeiu de sorte que l’hypothese montre que la

famille (gε)ε>0 est bornee dans L2(ω). Il existe donc une sous suite telle que gε → g(i) faiblement

dans L2(ω). Comme ceci est vrai pour tout ω ⊂ Ω, par procede diagonal on peut trouver des

g(i) ∈ L2loc(Ω) et une sous suite telle que gε → g(i) faiblement dans L2

loc et en particulier

‖g(i)‖L2(ω) ≤ lim inf ‖Dεeiu‖L2(Ω) ≤ C.

En prennant ωk croissant vers Ω on obtient finalement que g(i) est dans L2(Ω).

Soit ϕ ∈ C∞c (Ω) et ω un ouvert contenant le support de ϕ et tel que ω ⊂ Ω. Pour ε < dist(ω,Ωc)

on aˆ

Ω

(Dεeiu(x))ϕ(x)dx =

ˆΩ

u(x+ εei)− u(x)

εϕ(x)dx

= −ˆ

Ω

u(y)ϕ(y)− ϕ(y − εei)

εdy

= −ˆ

Ω

u(y)D−εeiϕ(y)dy.

Par ailleurs comme D−εeiϕ(y)→ ∂iϕ(y) pour tout y, d’apres le theoreme de convergence dominee

on en deduit que ˆΩ

g(i)ϕdx = −ˆ

Ω

u∂iϕdx,

ce qui montre que u ∈ H1(Ω) avec ∂iu = g(i) et

ˆΩ

|∂iu|2dx ≤ C,

ou C > 0 est la constante de l’enonce.

Preuve du Theoreme 5.1. On traite separement la regularite interieure, et la regularite au bord.

1) Regularite Interieure. Soit ω ⊂ Ω un ouvert tel que ω ⊂ Ω. On souhaite montrer que

u ∈ H2(ω). Remarquons que dans le cas ou A = Id, on peut utiliser la transformee de Fourier.

En effet, si ϕ ∈ C∞c (Ω) est une fonction de troncature qui vaut 1 sur ω, on peut considerer ϕu et

voir que

∆(ϕu) = ∆(ϕ)u+ 2 ∇u · ∇ϕ+ ϕ∆u.

Cette fonction etant bien dans L2(RN ), on en deduit grace au chapitre sur la transformee de

Fourier, que ϕu ∈ H2(RN ) et comme ϕu = u sur ω il en decoule directement que u ∈ H2(ω).

Ici nous allons voir une autre preuve qui ne fait pas intervenir la transformee de Fourier, et qui

s’applique pour des coefficients variables A.

Soit ϕ ∈ C∞c (Ω) et h tel que |h| < dist(supp(ϕ),Ωc). Alors on remarque que

ˆΩ

Dh(A∇u) · ∇ϕ dx = −ˆ

Ω

A∇u · ∇(D−hϕ) dx = −ˆ

Ω

f(D−hϕ) dx

car u est solution faible.

46

Puis, comme Dh(A∇u) = (τ−hA)(Dh∇u) + (DhA)∇u on obtient

ˆΩ

(τ−hA)∇(Dhu) · ∇ϕ dx = −ˆ

Ω

((DhA)∇u · ∇ϕ+ fD−hϕ) dx

On en deduit queˆ

Ω

(τ−hA)∇(Dhu) · ∇ϕ dx ≤(‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω)

)‖∇ϕ‖L2(Ω).

Par densite, cette inegalite reste vraie pour ϕ ∈ H1(Ω) telle que le support de ϕ soit un compact

de Ω (et pour h tel que |h| < dist(supp(ϕ),Ωc)). On pose alors ϕ = η2Dhu ou η ∈ C∞c (Ω) et

0 ≤ η ≤ 1. En particulier, ‖∇η‖∞ ≤ C.

On reporte dans l’estimation precedente en utilisant ∇ϕ = 2η∇η(Dhu)+η2∇(Dhu) et la condition

d’ellipticite sur A,ˆ

Ω

(τ−hA)∇(Dhu) · (2η∇η(Dhu) + η2∇(Dhu)) dx ≤ (‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω))‖∇ϕ‖L2(Ω).

Donc

λ

ˆΩ

η2|∇Dhu|2 dx ≤ (‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω))‖∇ϕ‖L2(Ω) −ˆ

Ω

(τ−hA)∇(Dhu) · (2η∇η(Dhu) dx

Or d’une part pour tout ε > 0,

(‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω))‖∇ϕ‖L2(Ω) ≤ C(ε)(‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω))2 + ε‖∇ϕ‖2

≤ C(ε)(‖A‖C1(Ω)‖∇u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω))2 + 2ε‖2η∇η(Dhu)‖22 + 2ε‖η2∇(Dhu)‖22

≤ C(‖∇u‖22 + ‖f‖22) + 2ε‖η∇(Dhu)‖22

et d’autre part∣∣∣∣ˆΩ

(τ−hA)∇(Dhu) · (2η∇η(Dhu) dx

∣∣∣∣ ≤ C‖η∇Dh(u)‖2‖Dhu‖2 ≤ ε‖η∇Dh(u)‖22 + C(ε)‖∇u‖2.

Donc finalement en prennant 2ε = λ4 on trouve que

λ

2‖ηDh(∇u)‖2L2(Ω) ≤ C(‖∇u‖22 + ‖f‖22).

En prenant η = 1 sur ω et en utilisant le Lemme precedent, il en decoule que u ∈ H2(ω) et

‖D2u‖L2(ω) ≤ C(‖f‖22 + ‖∇u‖22).

Or en prenant ϕ = u dans la formulaiton faible (ainsi que l’inegalite de Poincare et la condition

d’ellipticite) on obtient

‖∇u‖22 ≤ C‖f‖22et donc finalement

‖u‖H2(ω) ≤ C‖f‖22.

2) regularite au bord : cas d’un bord plat. Supposons tout d’abord pour simplifier que Ω = Q+2 :=

[−2, 2]N ∩ xn > 0. Le “bord” ici est donc xN = 0. Notons Q+1 := [−1, 1]N ∩ xn > 0 ⊂ Q+

2

un cube legerement plus petit, ayant meme bord. En considerant des translations h paralleles au

bord (i.e. h · eN = 0), avec |h| ≤ 1, on peut raisonner exactement comme precedemment c’est a

47

dire que pour une fonction η qui tronque dans les directions orthogonales a eN la fonction η2Dhu

est admissible dans la formulation faible. En reprenant la preuve ligne a ligne on en deduit que

pour tout 1 ≤ i ≤ N − 1

‖∂i∇u‖L2(Q+1 ) ≤ C‖f‖

22.

Reste donc a estimer ∂N∇u. En realite, d’apres Schwarz, seule ∂2NNu est a estimer car les autres

sont deja dans ∂k∇u pour 1 ≤ k ≤ N − 1.

Pour cela on remarque que aNN > 0, uniformement d’apres la condition d’ellipticite qui implique

〈AeN , eN 〉 ≥ λ. Soit ϕ ∈ C∞c (Q+2 ). On prend 1

aNNϕ comme fonction test ce qui donne

ˆΩ

A∇u · ∇(1

aNNϕ)dx =

ˆΩ

fudx

ou encore ˆΩ

∑1≤k,l≤N

akl∂ku∂l(1

aNNϕ)dx =

ˆΩ

fudx

En isolant le dernier terme on peut ecrire

ˆΩ

∂Nu∂Nϕdx =

ˆΩ

fudx−ˆ

Ω

∑(k,l) 6=(N,N)

akl∂ku∂l(1

aNNϕ)dx−

ˆΩ

aNN∂Nu∂N (1

aNN)ϕdx.

Or nous savons deja que les distributions ∂k,lu sont dans L2 avec norme controlee par ‖f‖22.

L’identite ci dessous montre donc que la distribution ∂2NNu est bien dans L2 avec norme controlee

par ‖f‖22.

3) regularite au bord : cas general. L’idee est, comme d’habitude, d’utiliser une partition de

l’unite et de se ramener localement au cube Q+2 . C’est a dire, on recouvre le bord ∂Ω d’un nombre

fini de cubes Qi tels que ∂Ω ∩ Qi est le graphe d’une fonction de classe C2. Il existe alors un

C2-diffeomophisme Φ : Qi → Q2 tel que Φ(∂Ω∩Qi) = Q+2 ∩ xN = 0. On note Ψ l’inverse de Φ.

On considere alors la fonction u = u Ψ definie sur Q+2 . Montrons que u ∈ H1(Q+

2 ). Soit un ∈C∞c (Ω) telle que un → u dans H1(Ω). Alors la fonction un = un Ψ est de classe C2 sur Q2 et un

calcul montre que

∇(un) = (DΨ)T (∇un Ψ).

Soit

∂i(un) = (∇un Ψ) · ∂iΨ.

En effectuant un changement de variables on a

ˆQ+

2

|un − u|2dx =

ˆQ+i

|un − u|2|det(DΦ)|dx ≤ C‖un − u‖2 → 0,

ce qui montre que un → u dans L2. Un calcul similaire montre que pour toute fonction ϕ ∈C∞c (Q+

2 ) on a ˆQ+

2

(∂iun)ϕdy →ˆQ+

2

(∇u Ψ) · ∂iΨϕdy

ce qui montre que u ∈ H1(Q+2 ) et que

∇(u) = (DΨ)T (∇u Ψ).

48

Essayons maintenant d’identifier le probleme variationnel verifie par u. Soit ϕ ∈ C∞c (Q+2 ). Alors

ϕ Φ ∈ C2c (Q+

i ) ⊂ H10 (Ω) et donc comme u est solution faible on a

ˆΩ

A∇u · ∇(ϕ Φ) dx =

N∑i,j=1

ˆΩ

aij∂ju∂iu∂i(ϕ Φ)dx =

ˆΩ

fϕ Φ dx.

Comme

∂i(ϕ Φ) =

N∑k=1

(∂kϕ Φ)∂iΦk

il vientN∑

i,j,k=1

ˆΩ

aij∂ju∂iu(∂kϕ Φ)∂iΦkdx =

ˆΩ

fϕ Φ dx.

En changeant de variables,

N∑i,j,k=1

ˆQ+

2

(aij Ψ)(∂ju Ψ∂iu Ψ)∂kϕ(∂iΦk Ψ)|det(DΨ)|dx =

ˆQ+

2

f Ψϕ|det(DΨ)| dx.

Autrement dit on a ˆQ+

2

A∇u · ∇ϕ dx =

ˆQ+

2

fϕ dx

avec A = (ak,l)1≤k,l≤N definit par

akl =

N∑i,j=1

|det(DΨ)|(ai,j Ψ)(∂iΦk Ψ)(∂jΦl Ψ) et f = |det(DΨ)|(f Ψ).

On a clairement f ∈ L2(Q+2 ) avec ‖f‖2 ≤ C‖f‖2. De plus pour tout 1 ≤ k, l ≤ N , ak,l ∈ C1(Q+

2 )

avec ‖A‖C1 ≤ C‖A‖C1 . Enfin, la condition d’ellipticite est preservee car

A(y)ξ · ξ ≥ λ|det(DΨ)||∇Φ Ψ(y)ξ|2 ≥ C|ξ|2,

car Ψ est un C1 diffeo.

Conclusion : en utilisant le cas du ”demi-plan” on en deduit donc que u ∈ H2(Q+2 ) et donc

u ∈ H2(B+i ) par changement de variables, avec norme controlee par ‖f‖2. En sommant sur tous

les cubes Qi et en utilisant egalement l’estimation interieure on en deduit que u ∈ H2(Ω).

4) regularite d’ordre superieure. Donnons simplement l’idee de la preuve. Si f ∈ Hm(Ω) avec

m > 0 alors pour tout multi-indice α tel que |α| = m, en testant la formulation variationelle avec

(−1)|α|∂αϕ ∈ C∞c (Ω) et en integrant par parties on obtient que la fonction ∂αu verifie

ˆΩ

∂α(A∇u) · ∇ϕdx =

ˆΩ

(∂αf)ϕ.

En developpant ∂α(A∇u), on trouve un premier terme d’ordre m qui est A∇(∂αu), puis une

somme d’autres termes d’ordre inferieurs qui, si l’on raisonne par recurrence, sont tous dans L2.

Il s’en suit donc que u ∈ Hm+2 avec estimations controlees par ‖f‖2.

Ensuite, montrons que u ∈ C2 si m > N/2. Pour cela, on va utiliser l’injection de Sovolev

successivement de m−1 jusqu’a m−k ou k ≤ N2 pour chercher a montrer que les derivees d’ordre

49

2 sont dans C0,α(Ω). En effet, si u ∈ H2+m alors ∂αu ∈ W 1,2(Ω) pour tout |α| ≤ m + 1. En

particulier, ∂αu ∈ L2∗(Ω) pour tout |α| ≤ m + 1 et donc ∂αu ∈ W 1,2∗(Ω). De la meme facon,

pour α ≤ m, on en deduit que ∂αu ∈W 1,2∗∗(Ω). Ainsi de suite, au bout de k fois on a montre que

∂αu pour |α| = m− k + 2, est dans l’espace W 1,2∗∗···∗ avec k etoiles. Rappelons que

1

p∗=

1

p− 1

N.

Donc1

2∗∗=

1

2∗− 1

N=

1

2− 2

N.

et par recurrence, si on note pk l’exposant 2∗···∗ avec k etoiles on trouve

1

pk=

1

2− k

N.

On s’arrete des que pk > N de maniere a avoir l’injection dans les fonctions continues (Theoreme

de Morrey). C’est a dire que (supposons N > 2, sinon on raisonne de maniere similaire) pour

k =[N2

]on trouve pk > N car de N

2 < k + 1 on tire directement que

pk =2N

N − 2k> N.

Ainsi, d’apres Morrey, ∂αu ∈ C0(Ω) pour |α| = m−k+2. Donc si k = m > N2 on aura u ∈ C2(Ω).

L’argument fonctionne de facon analogue pour le cas C∞.

50

Chapitre 6

Regularite Holder (theoreme de

Schauder)

Dans ce chapitre on demontre le theoreme suivant.

Theoreme 6.1. Soit Ω ⊂ RN un ouvert borne et f ∈ C0,α(Ω) ou 0 < α < 1. Si u est solution de

−∆u = f dans D′(Ω) alors u ∈ C2,α(Ω). De plus pour tout ouvert ω tel que ω ⊂ Ω il existe une

constante C = C(N,α,Ω, ω) telle que

‖D2u‖C0,α(ω) ≤ C‖f‖C0,α(Ω).

Demonstration. vue en cours.

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