INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX SKRIPSIIntegral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan...

INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Maria Asepti Endarwati

NIM: 033114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

RIEMANN-DARBOUX INTEGRAL

THESIS

Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements

To Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By:

Maria Asepti Endarwati

Student Number: 033114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTEMENT OF MATEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

2009

v

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yan telah disebutkan

dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Januari 2009

vi

Skripsi ini kupersembahkan kepada:

Orang Tuaku, dan adik-adikku tercinta,

Keluarga besarku, dosen-dosenku, dan sahabat-sahabatku.

Pabila cinta datang kepadamu, sambutlah,

Meski dibalik sayap-sayapnya yang lembut,

terdapat pisau tajam yang siap

menghunusmu..

(Khalil Jibran)

Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya …

(Pkh 3:11)

vii

ABSTRAK

Integral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan menggunakan konsep partisi dan jumlah Riemann. Integral Riemann yang dimodifikasi menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah dikenal sebagai Integral Darboux. Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai Integral Riemann dan Integral Darboux, serta sifat-sifatnya. Khususnya akan diperlihatkan bahwa kedua jenis integral tersebut ekuivalen.

viii

ABSTRACT

Riemann integral is a kind of integral which is constructed using the concept of partition and Riemann summation. Modificated Riemann integral uses upper and lower sum, known as Darboux integral. This thesis discusses Riemann and Darboux integral and also their properties. Particularly, this thesis will show that those two kinds of integral are equivalent.

x

KATA PENGANTAR

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan syukur dan terima kasih

kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat yang telah melimpahkan kepada

penulis dalam menyusun sampai selesainya penulisan skripsi ini.

Skripsi ini ditulis untuk memenuhi dan melengkapi persyaratan dalam

meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari banyak pihak, penulis

tidak dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Oleh karena itu penulis

mengucapkan banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing

yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan dengan penuh kesabaran

membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi

Matematika Universitas Sanata Dharma.

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembimbing

Akademik angkatan 2003 yang dengan sabar mendampingi penulis selama

kuliah di USD.

4. Petugas Sekretariat FST, terutama Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah

memberikan pelayanan administrasi dalam urusan perkuliahan kepada

penulis.

xi

5. Perpustakaan USD dan Staf/ Karyawan Perpustakaan USD yang telah

memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis dalam mencari

informasi pendukung penyusunan skripsi ini.

6. Orang tuaku (Bapak Anjar dan Ibu Endah), adik-adikku (Agung dan

Chilli), sahabat-sahabatku (Mas Patup, Mas Deeon, Mbak Tika, Mas

Anto) yang tanpa henti memberi dukungan semangat dan doa sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

7. Teman-teman angkatan 2003, Eko, Ridwan, Koko, Merry, Dewi, Mekar,

Anin, Anggi, Valent dan Ririn, yang bersama-sama menjalani kuliah di

USD dalam senang maupun susah.

8. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini baik secara

langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu

per satu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dan

kelemahan. Oleh karena itu, penulis dengan besar hati menerima saran dan kritik

serta masukan yang dapat membuat skripsi ini menjadi lebih baik dan dapat

menambah pengetahuan para pembaca.

Yogyakarta, Februari 2009

Penulis

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ...................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN ......................................................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vi

ABSTRAK ......................................................................................................... vii

ABSTRACT ....................................................................................................... viii

PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ............................................ ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang ...................................................................................... 1

2. Perumusan Masalah .............................................................................. 1

3. Tujuan Penulisan ................................................................................... 2

4. Pembatasan Masalah ............................................................................. 2

5. Metode Penulisan .................................................................................. 2

6. Manfaat Penulisan ................................................................................. 3

7. Sistematika Penulisan ............................................................................ 3

BAB II SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL

1. Sistem Bilangan Real ............................................................................ 5

xiii

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real ............................................. 14

3. Limit Fungsi .......................................................................................... 20

4. Fungsi Kontinu ...................................................................................... 23

5. Turunan ................................................................................................. 27

BAB III INTEGRAL DARBOUX

1. Integral Darboux ................................................................................... 32

2. Partisi Penghalus ................................................................................... 44

3. Teorema Darboux ................................................................................. 48

4. Syarat Terintegral Darboux ................................................................... 50

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux ........ 57

BAB IV INTEGRAL RIEMANN

1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux ............. 75

2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann ...................................................... 86

3. Integral dan Turunan ............................................................................. 94

4. Teorema Fundamental Kalkulus ........................................................... 96

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral .................................... 103

6. Pengintegralan Parsial ........................................................................... 106

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann ....................................... 110

8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua ............................................................ 113

BAB V PENUTUP

1. Kesimpulan ........................................................................................... 123

2. Saran ...................................................................................................... 124

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 125

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang Masalah

Salah satu konsep penting dalam analisis adalah teori integral. Telah

banyak jenis integral yang berkembang dalam analisis. Salah satu jenis integral

yang cukup populer adalah integral Riemann. Integral Riemann tidak hanya

digunakan dalam bidang matematika saja tetapi juga digunakan dalam bidang-

bidang lainnya, terutama dalam fisika dan ilmu keteknikan.

Sebelum adanya integral Riemann, I. Newton (1642-1727) menyusun

salah satu teori integral berdasarkan kalkulus, khususnya menggunakan anti

derivatif. Kemudian barulah G. F. B. Riemann (1826-1866), pada tahun 1854,

menyusun teori integral dengan cara lain, yaitu menggunakan partisi dan jumlah

Riemann. Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh I. G. Darboux

(1842-1917) dengan menggunakan jumlah atas dan jumlah bawah.

Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan membahas bagaimana pendekatan

integral Riemann menggunakan integral Darboux dan akan diperlihatkan bahwa

pada garis real R integral Darboux ekuivalen dengan integral Riemann.

2. Perumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

1. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R ?

2. Apakah definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R ?

2

3. Bagaimana hubungan antara integral Riemann di R dan integral Darboux

di R ?

3. Tujuan Penulisan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu

persyaratan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika.

Selain itu, skripsi ini bertujuan untuk:

1. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Darboux di R.

2. Mengetahui definisi dan sifat-sifat integral Riemann di R.

3. Mengetahui bagaimana hubungan integral Riemann di R dan integral

Darboux di R.

4. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini, masalah yang akan dibahas hanyalah mengenai

integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta hubungan keduanya.

Khususnya hanya dibahas fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup

terbatas di R.

5. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku atau sumber-sumber yang

lain yang sudah tersedia sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

3

6. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diambil dari penulisan skripsi ini adalah

memahami konsep integral Riemann di R dan integral Darboux di R serta

hubungan keduanya. Selanjutnya, diharapkan nantinya dapat digunakan untuk

pengembangan teori di bidang analisis real maupun bidang-bidang yang lain.

7. Sistematika Penulisan

Sistematika yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah:

I. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

2. Perumusan Masalah

3. Tujuan Penulisan

4. Pembatasan Masalah

5. Metode Penulisan

6. Manfaat Penulisan

7. Sistematika Penulisan

II. SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL

1. Sistem Bilangan Real

2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

3. Limit Fungsi

4. Fungsi Kontinu

5. Turunan

III. INTEGRAL DARBOUX

4

1. Integral Darboux

2. Partisi Penghalus

3. Teorema Darboux

4. Syarat Terintegral Darboux

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux

IV. INTEGRAL RIEMANN

1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux

2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann

3. Integral dan Turunan

4. Teorema Fundamental Kalkulus

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral

6. Pengintegralan Parsial

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann

8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua

V. PENUTUP

1. Kesimpulan

2. Saran

DAFTAR PUSTAKA

BAB II

SISTEM BILANGAN REAL DAN FUNGSI REAL

Dalam bab ini akan dibahas materi-materi yang akan digunakan sebagai

landasan dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara

lain: sistem bilangan real R, barisan bilangan real, limit fungsi real dan fungsi

kontinu, serta turunan fungsi real.

1. Sistem Bilangan Real R

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang himpunan bilangan real R serta sifat-

sifatnya. Sistem bilangan real R ternyata dibentuk dari sistem bilangan yang lebih

sederhana, antara lain sistem bilangan asli N { }K,4,3,2,1= yang anggotanya

disebut bilangan asli (positive integer), sistem bilangan cacah N0 { }K,4,3,2,1,0=

yang anggotanya disebut bilangan cacah (counting number), sistem bilangan bulat

Z { }KL ,3,2,1,0,1,2,3, −−−= yang anggotanya disebut bilangan bulat (integer),

dan sistem bilangan rasional Q⎩⎨⎧ ∈= nm

nm ,: Z dan 0≠n

⎭⎬⎫

yang anggotanya

disebut bilangan rasional atau pecahan.

Definisi 2. 1. 1.

Pada sistem bilangan real R untuk setiap pasangan terurut ∈ba, R, terdefinisi

elemen ba + dan ab dari R berturut-turut disebut penjumlahan dan perkalian

dari a dan b, dan memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini:

6

1. ∈ba, R maka ∈+ ba R ( Tertutup pada penjumlahan )

2. abba +=+ , untuk semua ∈ba, R (Sifat komutatif terhadap

penjumlahan)

3. ( ) ( )cbacba ++=++ , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat asosiatif terhadap

penjumlahan )

4. terdapat elemen tunggal ∈0 R sehingga aaa =+=+ 00 , untuk semua

∈a R ( Elemen identitas untuk penjumlahan )

5. untuk masing-masing ∈a R terdapat elemen tunggal ∈− a R sehingga

( ) ( ) 0=+−=−+ aaaa (Elemen invers untuk penjumlahan )

6. ∈ba, R maka ∈ab R ( Tertutup pada perkalian )

7. baab = , untuk semua ∈ba, R ( Sifat komutatif terhadap perkalian )

8. ( ) ( )bcacab = , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat asosiatif terhadap perkalian )

9. terdapat elemen tunggal ∈1 R sehingga aaa == 11 untuk semua ∈a R

(Elemen identitas untuk perkalian)

10. untuk setiap ∈≠ aa ,0 R terdapat elemen tunggal ∈−1a R sehingga

11 =−aa ( Elemen invers untuk perkalian )

11. ( ) bcaccba +=+ , untuk semua ∈cba ,, R ( Sifat distributif )

Definisi 2. 1. 2.

Diberikan himpunan bilangan real R. Terdapat himpunan bagian tak kosong P

dari R, yang disebut himpunan dari bilangan real positif, yang memenuhi:

1. jika ∈ba, P maka ∈+ ba P

7

2. jika ∈ba, P maka ∈ab P

3. jika ∈a R maka tepat satu yang terpenuhi dari:

∈a P, 0=a , ∈− a P ( Sifat trikotomi )

Definisi 2. 1. 3.

Misal ∈ba, R.

a. Jika ∈− ba P, maka dapat ditulis ba > atau ab < .

b. Jika ∈− ba P { }0∪ , maka dapat ditulis ba ≥ atau ab ≤ .

Teorema 2. 1. 5.

Jika ∈cba ,, R, maka berlaku

a. jika ba < dan cb < , maka ca <

b. ba < maka cbca +<+

c. ba < dan 0>c , maka cbca <

d. ba < dan 0<c , maka cbca >

Bukti.

Lihat Bartle[1], Teorema 2.1.7.

Teorema 2. 1. 4.

a. Jika ∈a R, dan 0≠a , maka 02 >a .

b. 01 >

c. Jika ∈n N, maka 0>n .

Bukti.

8


Teorema 2. 1. 5.

Jika ∈a R dan ε<≤ a0 , untuk setiap 0>ε , maka 0=a .

Bukti.


Teorema 2. 1. 6.

Jika 0>ab , maka berlaku

a. 0>a dan 0>b , atau

b. 0<a dan. 0b , atau

b. 0>a dan. 0<b .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Akibat 2.1.11.

Definisi 2. 1. 8.

Nilai mutlak atau modulus dari bilangan real x, yang disimbolkan dengan x ,

9

didefinisikan sebagai

⎩⎨⎧

<−≥

=.0jika,

0jika,xxxx

x

Teorema 2. 1. 9.

Jika ∈yx, R, maka

1. 222 xxx −==

2. yxxy ⋅=

3. ,yx

yx

= dengan 0≠y

Bukti.

Lihat Malik[4], Teorema 6, halaman 28.

Teorema 2. 1. 10. (Ketidaksamaan Segitiga)

Untuk semua ∈yx, R, berlaku

1. yxyx +≤+ , dan

2. yxyx −≥− .

Bukti.


Definisi 2. 1. 11.

Jarak antara bilangan a dan b dalam bilangan real R didefinisikan sebagai

10

ba − .

Misal ∈a R dan 0>ε . Persekitaran ε dari a adalah himpunan

( ) { }ε<−∈= axxaV :R .

Teorema 2. 1. 12.

Diberikan R∈a . Jika x berada pada persekitaran ( )aV untuk setiap 0>ε , maka

ax = .

Bukti.


Definisi 2. 1. 13.

Himpunan bagian tak kosong A dari R dikatakan:

1. Terbatas ke atas jika terdapat elemen ∈K R sehingga

Kx ≤ , untuk semua Ax∈ .

Elemen K tersebut merupakan batas atas dari A.

2. Terbatas ke bawah jika terdapat elemen ∈k R sehingga

kx ≥ , untuk semua Ax∈ .

Elemen k tersebut merupakan batas bawah dari A.

3. Terbatas jika terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

4. Tidak terbatas jika tidak terbatas ke atas atau tidak terbatas ke bawah.

Definisi 2. 1. 14.

Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai

11

batas atas terkecil ( supremum ) di R dan ditulis

AM sup= ,

jika terdapat elemen ∈M R sehingga

a. M adalah batas atas untuk A, yaitu Mx ≤ , untuk semua Ax∈ ,

b. Tidak ada batas atas yang lebih kecil dari M, yaitu

Jika MM <′ , maka terdapat Ax∈ sehingga Mx ′> ,

Atau dengan kontrapositifnya,

Jika M ′ adalah batas atas untuk A, maka MM ′≤ .

Lemma 2. 1. 15.

Batas atas u dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan supremum jika

dan hanya jika untuk setiap 0>ε terdapat Ss ∈ε sehingga εε su <− .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 16.

Misal A adalah himpunan bagian tak kosong dari R. Himpunan A mempunyai

batas bawah terbesar ( infimum ) di R dan ditulis

Am inf= ,

jika terdapat elemen ∈m R sehingga

a. m adalah batas bawah dari A, yaitu xm ≤ , untuk semua Ax∈ ,

b. tidak ada batas bawah yang lebih besar dari m, yaitu

jika m′ adalah batas bawah dari A, maka mm ≤′ .

12

Lemma 2. 1. 17.

Batas bawah v dari suatu himpunan tak kosong S dari R dikatakan infimum jika

dan hanya jika untuk setiap 0>ε terdapat Sb ∈ε sehingga εε bu >− .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Lemma 2.3.4.

Definisi 2. 1. 18.

Setiap himpunan real R disebut lengkap jika setiap himpunan bagian tak kosong

yang terbatas ke atas mempunyai batas atas terkecil (supremum) pada R.

Sejalan dengan hal di atas, dapat juga disebut lengkap jika himpunan bagian tak

kosong yang terbatas ke bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).

Teorema 2. 1. 19.

a. Misal S adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas ke atas,

dan ∈a R, maka

( ) SaSa supsup +=+ .

b. Misal A dan B adalah himpunan bagian tak kosong dari R yang memenuhi:

ba ≤ , untuk semua Aa∈ dan Bb∈

maka

BA infsup ≤ .

c. Misal f dan g adalah fungsi bernilai real yang terbatas dengan domainnya

⊆D R.

i) Jika ( ) ( )xgxf ≤ , untuk semua Dx∈ , maka

13

( ) ( )xgxfDxDx ∈∈

≤ supsup .

ii) Jika ( ) ( )ygxf ≤ , untuk semua Dyx ∈, , maka

( ) ( )ygxfDyDx ∈∈

≤ infsup .

Bukti.

Lihat Bartle[1], Contoh 2.4.1. dan Contoh 2.4.2.

Teorema 2. 1. 20.

Himpunan ⊂A R disebut Archimedean jika untuk setiap Ax∈ , maka terdapat

bilangan ∈xn N sehingga xnx < .

Bukti.


Teorema 2. 1. 21. (Teorema Kepadatan)

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan yx < , maka terdapat bilangan

rasional Q∈r sehingga yrx << .

Bukti.


Teorema 2. 1. 22.

Jika x dan y adalah sebarang bilangan real dengan yx < , maka terdapat bilangan

irasional Q∈z sehingga yzx << .

Bukti.

14


2. Barisan dan Limit Barisan Bilangan Real

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang barisan bilangan real dan limit barisan

beserta sifat-sifatnya yang akan digunakan pada bab selanjutnya.

Definisi 2. 2. 1.

Barisan bilangan real { }nS adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan

bilangan asli N dan daerah hasilnya (range) termuat dalam himpunan bilangan

real R. dan disimbolkan dengan :S N→R.

Contoh 2. 2. 2.

a. Jika ∈b R, barisan { } { }K,,, bbbbn = yang anggotanya adalah bilangan b

semua, biasa disebut barisan konstanta b.

b. Barisan Fibonacci { }nf , barisan didefinisikan sebagai berikut:

( )2,;1;1 1121 ≥+=== −+ nfffff nnn .

Definisi 2. 2. 3.

Barisan { }nS dikatakan konvergen ke bilangan real ∈l R atau l adalah limit dari

{ }nS jika untuk setiap 0>ε , terdapat bilangan bulat 0>m sehingga

ε<− lSn , untuk semua mn ≥ .

15

Barisan yang mempunyai limit disebut barisan konvergen dan jika tidak

mempunyai limit atau tidak konvergen disebut divergen.

Definisi 2. 2. 4.

Barisan { }nS dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real 0>K sehingga

KSn ≤ , untuk semua ∈n N.

Teorema 2. 2. 5.

Setiap barisan real yang konvergen pasti terbatas.

Bukti.


Teorema 2. 2. 6.

a. Jika { }nX dan { }nY adalah dua barisan yang berturut-turut konvergen ke x

dan y, dan misal R∈c , maka barisan { }nn YX + , { }nn YX − , { }nnYX , dan

{ }ncX berturut-turut konvergen ke xyyxyx ,, −+ dan cx .

b. Jika { }nX konvergen ke x dan { }nZ adalah barisan bilangan real tak nol

yang konvergen ke z dan jika 0≠z , maka barisan ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

n

n

ZX

konvergen ke

zx .

Bukti.


16

Teorema 2. 2. 7.

Jika { }nX adalah barisan bilangan real yang konvergen ke x dan jika 0≥nX ,

untuk semua N∈n , maka { } 0lim ≥= nXx .

Bukti.


Teorema 2. 2. 8.

Jika { }nX dan { }nY adalah dua barisan yang konvergen dan nn YX ≤ , untuk

semua N∈n , maka

{ } { }nn YX limlim ≤ .

Bukti.


Teorema 2. 2. 9.

Misalkan { }nX , { }nY , dan { }nZ adalah barisan bilangan real dengan

nnn ZYX ≤≤ , untuk semua N∈n ,

dan { } { }nn ZX limlim = , maka { }nY konvergen dan

{ } { } { }nnn ZYX limlimlim == .

Bukti.


17

Teorema 2. 2. 10.

Misal barisan { }nS konvergen ke s, maka barisan nilai mutlak { }nS konvergen

ke s . Dengan kata lain jika { }nSs lim= , maka { }nSs lim= .

Bukti.


Definisi 2. 2. 11.

Misal { }nS adalah barisan bilangan real. Barisan { }nS dikatakan monoton naik

jika memenuhi ketidaksamaan

LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn SSSSS .

Barisan { }nS dikatakan monoton turun jika memenuhi ketidaksamaan

LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn SSSSS ..

Barisan { }nS dikatakan monoton jika barisan itu monoton naik ataupun monoton

turun.

Teorema 2. 2. 12.

Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan

itu terbatas. Lebih lanjut:

a. Jika { }nS adalah barisan naik terbatas , maka

{ } { }N∈= nSS nn :suplim .

b. Jika { }nS adalah barisan turun terbatas , maka

18

{ } { }N∈= nSS nn :inflim .

Bukti.


Definisi 2. 2. 13.

Misal { }nS adalah barisan bilangan real dan LL <<<<< knnnn 21 adalah

barisan naik tegas dari bilangan asli. Barisan { }knS yang didefinisikan dengan

{ }LK ,,,,21 knnn SSS

disebut dengan subbarisan dari { }nS .

Teorema 2. .2. 14.

Jika barisan { }nS konvergen ke bilangan real s, maka sebarang subbarisan { }knS

juga konvergen ke s.

Bukti.


Teorema 2. 2. 15.

Diberikan barisan bilangan real { }nS . Pernyataan di bawah ini saling ekuivalen:

a. Barisan { }nS tidak konvergen ke R∈x .

b. Terdapat bilangan 00 >ε sehingga untuk sebarang N∈k , terdapat

N∈kn sehingga knk ≥ dan 0εsSkn ≥− .

19

c. Terdapat bilangan 00 >ε dan subbarisan { }knS sehingga 0εsS

kn ≥−

untuk semua N∈k .

Bukti.


Definisi 2. 2. 16.

Jika barisan bilangan real { }nS memenuhi salah satu pernyataan di bawah ini,

maka { }nS divergen.

a. { }nS mempunyai dua subbarisan { }knS dan { }

krS yang konvergen tetapi

limitnya tidak sama.

b. { }nS tak terbatas.

Teorema 2. 2. 17.

Jika { }nS adalah barisan bilangan real, maka terdapat subbarisan dari { }nS yang

monoton.

Bukti.


Definisi 2. 2. 18.

Barisan { }nS dikatakan barisan Cauchy atau barisan fundamental jika untuk

setiap 0>ε , terdapat bilangan real N∈H sehingga

ε<− nm SS , untuk semua Hnm ≥, .

20

Teorema 2. 2. 19. (Kriteria Cauchy)

Barisan bilangan real konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah

barisan Cauchy.

Bukti.


3. Limit Fungsi

Pada subbab ini akan dipaparkan tentang limit pada fungsi bilangan real.

Definisi 2. 3. 1.

Fungsi f dikatakan mendekati limit l untuk x mendekati c jika untuk setiap 0>ε

terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< cx0 mengakibatkan ( ) ε<− lxf , dan

ditulis

( ) lxfcx

=→

lim .

Definisi 2. 3. 2.

Diberikan fungsi f.

Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kiri disebut limit kiri

dari f pada c, dan ditulis

( ) lxfcx

=−→

lim ,

jika diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< xc0 mengakibatkan

( ) ε<− lxf .

21

Jika fungsi f mendekati limit l untuk x mendekati c dari sisi kanan disebut limit

kanan dari f pada c, dan ditulis

( ) lxfcx

=+→

lim ,

jika diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk δ<−< cx0 mengakibatkan

( ) ε<− lxf .

Teorema 2. 3. 3.

Fungsi f dikatakan mempunyai limit pada titik c jika dan hanya jika limit kanan

dan limit kiri pada titik c ada dan nilai keduanya sama, atau ditulis

( ) lxfcx

=→

lim jika dan hanya jika ( ) lxfcx

=−→

lim ( )xfcx +→

= lim .

Bukti.


Definisi 2. 3. 4.

Jika fungsi f mempunyai limit l pada titik c, maka dapat dikatakan bahwa f

konvergen ke l pada c, dan jika f tidak mempunyai limit pada titik c, maka dapat

dikatakan f divergen pada titik c.

Teorema 2. 3. 5.

Jika f dan g adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah sekitar titik c sehingga

( ) lxfcx

=→

lim dan ( ) mxgcx

=→

lim ,

maka

22

a. ( )( ) ( ) ( ) mlxgxfxgfcxcxcx

±=±=±→→→

limlimlim ,

b. ( )( ) ( ) ( ) lmxgxfxfgcxcxcx

=⋅=→→→

limlimlim ,

c. ( )( )( ) m

lxg

xfx

gf

cx

cx

cx==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

→

→

→ lim

limlim , jika 0≠m .

Bukti:


Teorema 2. 3. 6. (Kriteria Cauchy untuk Limit berhingga)

Fungsi f mendekati limit berhingga untuk x mendekati c jika dan hanya jika untuk

setiap 0>ε terdapat persekitaran N dari c sehingga

( ) ( ) ε<′′−′ xfxf , untuk semua cxxNxx ≠′′′∈′′′ ,;, .

Bukti:


Teorema 2. 3. 7.

Jika f mempunyai titik limit ∈c R, maka f terbatas pada persekitaran titik c.

Bukti.


Definisi 2. 3. 8.

Diberikan fungsi f dan titik ⊆∈ Ic R.

Fungsi f dikatakan mendekati ke ∞ untuk cx → , dan ditulis

23

∞=→

fcx

lim ,

jika untuk setiap ∈α R terdapat 0>δ sehingga untuk semua Ix∈ dengan

δ0 <−< cx , maka ( ) α>xf .

Fungsi f dikatakan mendekati ke -∞ untuk cx → , dan ditulis

−∞=→

fcx

lim ,

jika untuk setiap ∈β R terdapat 0>δ sehingga untuk semua Ix∈ dengan

δ0 <−< cx , maka ( ) β<xf .

Definisi 2. 3. 9.

Fungsi f dikatakan mendekati l untuk ∞→x , dan ditulis

lfx

=∞→

lim atau ( ) lxfx

=∞→

lim ,

jika diberikan sebarang 0>ε akan terdapat 0>K sehingga untuk sebarang

Kx > berlaku ( ) ε<− lxf .

4. Fungsi Kontinu

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang fungsi bilangan real yang kontinu

beserta sifat-sifatnya.

Definisi 2. 4. 1.

Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c dengan bca << , jika

( ) ( )cfxfcx

=→

lim ,

24

dengan kata lain, fungsi f kontinu pada titik c jika untuk setiap 0>ε terdapat

0>δ sehingga

( ) ( ) ε<− cfxf , di mana δ<− cx .

Definisi 2. 4. 2.

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [ ]ba, jika f kontinu pada setiap

titik pada interval tersebut.

Fungsi f dikatakan diskontinu pada titik c jika f tidak kontinu pada titik tersebut,

dan titik c disebut sebagai titik diskontinuitas dari fungsi f.

Teorema 2. 4. 3.

Jika fungsi f dan g adalah dua fungsi yang kontinu pada titik c dan d adalah

sebarang bilangan real, maka fungsi dffggfgf ,,, −+ juga kontinu pada titik c

dan jika ( ) 0≠cg , maka fungsi gf juga kontinu pada titik c.

Bukti.


Teorema 2. 4. 4.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval I kontinu pada titik Ic∈ jika dan hanya

jika untuk setiap barisan { }nc pada I yang konvergen ke c, didapat

( ) ( )cfcf nn=

∞→lim .

Bukti:

25


Definisi 2. 4. 5.

Fungsi f dikatakan terbatas pada interval tertutup [ ]ba, jika terdapat konstanta

0>M sehingga

( ) Mxf ≤ , untuk semua [ ]bax ,∈ .

Teorema 2. 4. 6. (Teorema Keterbatasan)

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka f terbatas pada interval

tersebut.

Bukti:


Teorema 2. 4. 7. (Teorema Lokasi Akar)

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, dan jika ( ) ( )bfaf << 0 , atau

jika ( ) ( )bfaf >> 0 , maka terdapat bilangan ( )ba,∈α sehingga ( ) 0=αf .

Bukti.


Teorema 2. 4. 8. (Teorema Nilai Tengah)

Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, dan ( ) ( )bfaf ≠ , maka fungsi f mencapai semua

nilai di antara ( )af dan ( )bf .

26

Bukti:

Lihat Malik[4], Teorema 9, halaman 177-178.

Akibat 2. 4. 9. (Teorema Nilai Ektrim)

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka fungsi f mencapai semua

nilai di antara batas-batasnya.

Bukti:

Lihat Malik[4], Akibat, halaman 178.

Teorema 2. 4. 10. (Teorema Titik Tetap)

Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, dan ( ) [ ]baxf ,∈ , untuk setiap [ ]bax ,∈ , maka f

mempunyai titik tetap, yaitu terdapat titik [ ]bac ,∈ sehingga ( ) ccf = .

Bukti:


Definisi 2. 4. 11.

Fungsi f terdefinisi pada [ ]ba, dikatakan memenuhi sifat nilai menengah pada

[ ]ba, jika untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ dengan 21 xx < dan untuk setiap A yang

berada di antara ( )1xf dan ( )2xf memuat titik ( )21 , xxc∈ dengan ( ) Acf = .

Definisi 2. 4. 12.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval I dikatakan kontinu seragam pada I jika

untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga

27

( ) ( ) ε<− 12 xfxf untuk sebarang titik Ixx ∈21, dengan δ<− 12 xx .

Teorema 2. 4. 13.

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup, maka f kontinu seragam pada interval

tersebut.

Bukti:


5. Turunan

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang turunan fungsi bilangan real beserta

sifat-sifat yang akan dipakai pada pembahasan selanjutnya.

Definisi 2. 5. 1.

Diberikan fungsi bernilai real f yang terdefinisi pada interval [ ]⊆= baI , R.

Fungsi tersebut terdiferensial (mempunyai turunan) pada titik [ ]bac ,∈ jika

( ) ( )cx

cfxfcx −

−→

lim ada, dan dapat disimbolkan dengan ( )cf ′ . Limit tersebut akan

ada jika limit kanan dan limit kiri ada dan bernilai sama.

( ) ( )cx

cfxfcx −

−−→

lim disebut turunan kiri dan disimbolkan dengan ( )−′ cf ,

sedangkan ( ) ( )cx

cfxfcx −

−+→

lim disebut turunan kanan dan disimbolkan dengan

( )+′ cf . Jadi turunan ( )cf ′ ada jika ( )−′ cf = ( )+′ cf .

28

Definisi 2. 5. 2.

Fungsi f yang terdefinisi pada interval [ ]ba, akan mempunyai turunan pada titik

ujung a, yaitu ( )af ′ ada jika ( ) ( )ax

afxfax −

−+→

lim ada. Untuk itu, akan mempunyai

turunan pada titik ujung b jika ( ) =′ bf ( ) ( )bx

bfxfbx −

−−→

lim .

Teorema 2. 5. 3.

Jika fungsi f mempunyai turunan pada sebuah ⊆∈ Ic R , maka f kontinu pada

titik tersebut.

Bukti:


Teorema 2. 5. 4.

Jika fungsi f, g mempunyai turunan pada titik c dan a adalah sebarang konstanta,

maka

a. Fungsi af mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( )cfacaf ′=′ .

b. Fungsi gf + dan gf − mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgf ′±′=′± .

c. Fungsi fg mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgcfcfg ′+′=′ .

29

d. Jika ( ) 0≠cg , fungsi gf mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2cg

cgcfcgcfcgf ′−′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Bukti.


Akibat 2. 5. 5.

Jika fungsi nfff ,,, 21 K mempunyai turunan pada titik c, maka

a. Fungsi nfff +++ L21 mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cfcfcfcfff nn′++′+′=′+++ LL 2121 .

b. Fungsi nfff K21 mempunyai turunan pada c dan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).21

212121

cfcfcf

cfcfcfcfcfcfcfff

n

nnn

′++

′+′=′

KL

KKK

Pada kasus khusus jika ffff n ==== K21 , akibat 2.5.5 menjadi:

a. ( ) ( ) ( )( )cfncnf ′=′ .

b. ( ) ( ) ( )( ) ( )cfcfncf nn ′=′ −1 .

Teorema 2. 5. 6.

Jika fungsi f mempunyai turunan pada titik c dan ( ) 0≠cf , maka fungsi f1 juga

mempunyai turunan dan

30

( ) ( )( ){ }2

1cfcfc

f′

−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Bukti:


Teorema 2. 5. 7. (Teorema Nilai Rata-rata Lagrange)

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, dan f mempunyai turunan pada

interval terbuka ( )ba, , maka terdapat paling sedikit satu titik ( )bac ,∈ sehingga

( ) ( ) ( )( )ab

afbfcf−−

=′ .

Bukti.


Definisi 2. 5. 8.

Jika BAf →: dan CBg →: dan jika ( ) ( ) BgDfR =⊆ , maka komposisi

fungsi fg o adalah fungsi dari A ke C dan didefinisikan dengan

( )( ) ( )( )xfgxfg =o , untuk semua Ax∈ .

Definisi 2. 5. 9.

Jika f adalah fungsi monoton yang kontinu pada interval tertutup [ ]baI ,= , maka

fungsi invers (kebalikan) 1−= fg terdefinisi pada interval I dan memenuhi

( )( ) xxfg = , untuk semua Ix∈ .

31

Teorema 2. 5. 10.

Jika fungsi f terdefinisi pada interval tertutup [ ]ba, kontinu di titik [ ]bac ,∈ dan

fungsi g kontinu di titik ( ) [ ]bacfx ,∈= , maka komposisi fungsi ( )fgfg =o

kontinu di titik c.

Bukti.


Teorema 2. 5. 11.

Jika f kontinu dan monoton pada interval tertutup I, maka fungsi g invers dari f

kontinu dan monoton pada interval ( )IfJ = .

Bukti.


BAB III

INTEGRAL DARBOUX

1. Integral Darboux

Dalam subbab ini akan dibahas tentang integral Darboux untuk fungsi real yang

terbatas pada suatu interval tertutup dan terbatas.

Definisi 3. 1. 1.

Misal diberikan interval tertutup dan terbatas [ ]ba, .

Partisi dari [ ]ba, adalah himpunan berhingga P dari titik-titik nxxxx ,,,, 210 K di

mana bxxxxxa nn =≤≤≤≤≤= −1210 L .

Partisi P terdiri dari 1+n titik. Jelasnya sebarang anggota partisi dari [ ]ba, dapat

berbeda jumlahnya sesuai dengan yang diinginkan.

Berdasarkan partisi di atas didapatkan subinterval-subinterval dari [ ]ba, , yaitu

[ ] [ ] [ ],,,,,,, 12110 ii xxxxxx −K [ ]nn xx ,, 1−K . Subinterval ke-i [ ]ii xx ,1− disimbolkan

dengan ixΔ . Simbol ixΔ juga merupakan panjang 1−− ii xx , sehingga

( )nixxx iii ,,2,11 K=−=Δ − .

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terbatas pada [ ]ba, . Karena itu f juga

terbatas pada setiap subinterval yang bersesuaian dengan salah satu partisi P.

Misal ii mM , , berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f pada ixΔ .

Dibentuk dua jumlahan,

33

( )

( ) ,,

,,

22111

22111

nn

n

iii

nn

n

iii

xmxmxmxmfPL

xMxMxMxMfPU

Δ++Δ+Δ=Δ=

Δ++Δ+Δ=Δ=

∑

∑

−

=

L

L

berturut-turut disebut Jumlah Darboux Atas dan Jumlah Darboux Bawah dari f

terhadap partisi P.

Jika M, m adalah batas dari f pada [ ]ba, , didapatkan

,MMmm ii ≤≤≤

dan mengakibatkan

.iiiiii xMxMxmxm Δ≤Δ≤Δ≤Δ

Dengan menjumlahkan untuk ni ,,2,1 K= , didapatkan

( ) ( ) ( ) ( ).,, abMfPUfPLabm −≤≤≤− ( )1.1.3

Setiap partisi dapat memberikan sepasang jumlahan, jumlah Darboux atas dan

jumlah Darboux bawah. Dari semua partisi pada [ ]ba, , didapatkan himpunan U

sebagai himpunan semua jumlah Darboux atas dan himpunan L sebagai himpunan

semua jumlah Darboux bawah. Ketidaksamaan (3.1.1) di atas menunjukkan

bahwa kedua himpunan ini terbatas dan setiap himpunan tersebut mempunyai

supremum dan infimum. Infimum dari himpunan jumlah Darboux atas disebut

Integral Darboux Atas dan supremum dari himpunan jumlah Darboux bawah

disebut Integral Darboux Bawah dari f pada [ ]ba, , yakni

( ) [ ]{ }

( ) [ ]{ }.,daripartisiadalah;,supsup

,,daripartisiadalah;,infinf

∫∫

==

==

−

−

b

a

b

a

baPfPLLdxf

baPfPUUdxf

34

Kedua integral tersebut dapat bernilai sama atau mungkin tidak sama.

Definisi 3. 1. 2. (Kondisi Terintegral Darboux)

Apabila dua integral di atas mempunyai nilai yang sama, yaitu

∫∫ ∫ ==−

− b

a

b

a

b

adxfdxfdxf

maka dikatakan bahwa f terintegral Darboux terhadap [ ]ba, dan nilai dari integral

tersebut merupakan Integral Darboux dari f terhadap [ ]ba, .

Fakta bahwa f terintegral Darboux pada [ ]ba, , ditulis dengan

[ ]baDf ,∈ .

Berdasarkan ketidaksamaan (3.1.1), berlaku

( ) ( ).abMdxfabmb

a−≤≤− ∫ ( )2.1.3

Jadi integral Darboux atas dan integral Darboux bawah terdefinisi untuk setiap

fungsi terbatas tetapi nilai dari keduanya tidak perlu sama pada setiap fungsi

terbatas tersebut. Terdapat fungsi yang membuat integral tersebut tidak sama,

sehingga fungsi itu tidak terintegral Darboux.

Catatan.

1. Pernyataan bahwa ∫b

adxf ada, mengakibatkan fungsi f terbatas dan

terintegral terhadap [ ]ba, .

35

2. Konsep integral untuk sebuah fungsi yang dibicarakan di atas dibatasi

pada dua hal, yaitu fungsi tersebut terbatas dan interval pengintegralannya

tertutup dan terbatas.

3. Dari ketidaksamaan (3.1.1) dan (3.1.2) di atas didapat bahwa,

( ) ( ) ( ) ( )abMfPUdxffPLabmb

a−≤≤≤≤− ∫ ,, .

4. Karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah

Darboux atas, maka untuk setiap 01 >ε terdapat sebuah jumlah Darboux

atas ( )fPU , sehingga

( ) 1, ε+< ∫− b

adxffPU

Sejalan dengan hal itu, ada jumlah Darboux bawah ( )fPL , sehingga

( ) ∫ −>−

b

adxffPL 1, ε

5. ( ) ( ) ( )∑∑∑ Δ−=Δ−Δ=−i

iiii

iii

ii xmMxmxMfPLfPU ,. .

( )ii mM − menunjukkan osilasi dari f pada subinteval ixΔ ,

( ) ( )fPLfPU ,, − disebut jumlah osilasi dan disimbolkan dengan ( )fP,ω

dan nilainya tak negatif

Contoh 3. 1. 3.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi konstan k terintegral Darboux dengan

( )∫ −=b

aabkdxk .

Untuk setiap partisi P pada interval [ ]ba, , didapatkan

36

( )( )( ),

,

21

21

abkxxxk

xkxkxkfPL

n

n

−=Δ++Δ+Δ=

Δ++Δ+Δ=L

L

sehingga

( ) ( )abkfPLdxkb

a−==∫− ,sup .

Sejalan dengan hal di atas, diperoleh

( )( )

( ).inf

,inf

21

abkxkxkxk

fPUdxk

n

b

a

−=Δ++Δ+Δ=

=∫−

L

Jadi

( )∫ ∫ −==−

−

b

a

b

aabkdxkdxk ,

yang mengakibatkan bahwa fungsi konstan k terintegral dan

( )∫ −=b

aabkdxk .

Contoh 3. 1. 4.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan dengan

( )⎩⎨⎧

=irasionaljika,1rasionaljika,0

xx

xf

tidak terintegral Darboux di sebarang interval [ ]ba, .

Dengan memperhatikan sebuah partisi P pada interval [ ]ba, , berlaku

37

( )

,111

,

21

1

abxxx

xMfPU

n

n

iii

−=Δ++Δ+Δ=

Δ= ∑=

L

sehingga

( ) ,,inf abfPUdxfb

a−==∫

−

dan

( ){ }

.0000sup

,sup

21

=Δ++Δ+Δ=

=∫−n

b

a

xxx

fPLdxf

L

Dalam hal ini dipergunakan sifat kepadatan bilangan real.

Jadi

∫∫ −

−

≠b

a

b

adxfdxf .

Karena itu fungsi f tidak terintegral Darboux.

Contoh 3. 1. 5.

Akan ditunjukkan bahwa 2x terintegral Darboux pada sebarang interval [ ]k,0 ,

0>k .

Dibuat partisi P pada [ ]k,0 dengan cara membagi interval tersebut menjadi n

bagian yang sama, sehingga ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

nnk

nk

nk ,,2,,0 K adalah partisi P, ( )

2

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

nki dan

38

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

nki berturut-turut adalah batas bawah dan batas atas fungsi di ixΔ , dan

panjang masing-masing intervalnya adalah nk .

Jadi

( ) ( )

( )( )

,12116

1216

21,

3

3

3

2223

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

++⋅=

+++=

nnk

nnnnk

nnkxPU L

Dan

( ) ( ){ }2223

32 1210, −++++= n

nkxPL L

.12116

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnk

Jadi

( ) ( )23

2 ,sup3

,inf xPLkxPU == .

Karena itu fungsi 2x terintegral Darboux dan

33

0

2 kdxxk

=∫ .

Definisi 3. 1. 6. (Arti ∫b

adxf apabila ab ≤ )

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ab, , untuk ba > , didefinisikan

badxfdxfa

b

b

a>−= ∫∫ manadi,

39

Ini mengakibatkan

badxfb

a==∫ manadi0 .

Ketidaksamaan-ketidaksamaan yang terkait dengan integral Darboux

Sudah dibuktikan bahwa untuk fungsi f terbatas yang terintegral Darboux berlaku

( ) ( ) ababMdxfabmb

a≥−≤≤− ∫ manadi, ( )3.1.3

Jika ab < , sehingga ba > , maka dibuktikan bahwa

( ) ( ) babaMdxfbama

b>−≤≤− ∫ manadi, ,

sehingga

( ) ( )baMdxfbama

b−−≥−≥−− ∫ ,

atau

( ) ( ) ababMdxfabmb

a<−≥≥− ∫ manadi, . ( )4.1.3

Teorema 3. 1. 7.

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, maka terdapat bilangan λ yang

berada di antara batas-batas dari f sehingga

( )abdxfb

a−=∫ λ .

Bukti.

40

Karena f terbatas dan terintegral Darboux, maka terdapat M, m sebagai batas-batas

dari f. Oleh karena itu untuk sebarang λ dengan Mm ≤≤ λ dan menurut

ketidaksamaan (3.1.3), diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )abMabdxfababmb

a−≤−≤≤−≤− ∫ λλ

sehingga

( ).abdxfb

a−=∫ λ ■

Teorema 3. 1. 8.

Jika f kontinu dan terintegral Darboux pada [ ]ba, maka terdapat bilangan

[ ]bac ,∈ sehingga

( ) ( )cfabdxfb

a−=∫ .

Bukti.

Berdasarkan pada ketidaksamaan (3.1.3),

( ) ( ),abMdxfabmb

a−≤≤− ∫

di mana M, m, berturut-turut adalah supremum dan infimum dari f pada [ ]ba, .

Menurut Teorema Nilai Ekstrim, terdapat bilangan [ ]baxx ,, 10 ∈ sehingga

( ) mxf =0 dan ( ) Mxf =1 . Dari ketidaksamaan di atas, diperoleh

( )abAdxfb

a−=∫ ,

di mana ( ) ( )10 xfAxf ≤≤ . Kemudian dengan menggunakan Teorema Nilai

Antara, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) Acf = .

41

Terbukti bahwa

( ) ( )cfabdxfb

a−=∫ . ■

Teorema 3. 1. 9.

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, dan k adalah bilangan positif

sehingga ( ) kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ , maka

abkdxfb

a−≤∫ .

Bukti.

Misal mM , berturut-turut adalah supremum dan infimum untuk ( )xf . Perhatikan

bahwa

( ) ,kxf ≤ untuk setiap [ ]bax ,∈ .

Jadi

( ) kxfk ≤≤− ,

oleh karena itu

( ) kMxfmk ≤≤≤≤− .

Yang mana untuk ab ≥ , ini berakibat

( ) ( ) ( ) ( )abkabMdxfabmabkb

a−≤−≤≤−≤−− ∫ ,

sehingga

( ).abkdxfb

a−≤∫

Jika ab < , sehingga ba > , didapatkan

42

bakdxfa

b−≤∫ ,

dan oleh karena itu

abkdxfb

a−≤∫ .

Hasil ini berlaku secara trivial untuk ba = . ■

Teorema 3. 1. 10.

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan ( ) 0≥xf untuk semua

[ ]bax ,∈ , maka

⎩⎨⎧

≤≤≥≥

∫ .jika,0jika,0

abab

dxfb

a

Bukti.

Karena ( ) 0≥xf , untuk semua [ ]bax ,∈ , oleh sebab itu infimum dari f, yaitu

0≥m .

Selanjutnya menggunakan ketidaksamaan (3.1.3), didapat

( ) ∫≤−b

adxfabm ,

sehingga

,0≥∫b

adxf untuk .ab ≥

Untuk membuktikan ,0≤∫b

adxf untuk ab ≤ , sudah jelas pada Definisi 3.1.6 di

atas, yakni

,∫∫ −=b

a

b

adxfdxf untuk ab ≤ .

43

Jadi

,0≤∫b

adxf untuk ab ≤ . ■

Teorema 3. 1. 11.

Jika gf , terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , sehingga gf ≥ , maka

abdxgdxfb

a

b

a≥≥ ∫∫ manadi,

dan

abdxgdxfb

a

b

a≤≤ ∫∫ manadi, .

Bukti.

Perhatikan bahwa

gf ≥ ,

sehingga

[ ]baxgf ,,0 ∈∀≥− .

Dengan menggunakan Teorema 3. 1. 10, didapatkan

( ) abdxgfb

a≥≥−∫ jika0 ,

atau

abdxgdxfb

a

b

a≥≥ ∫∫ jika .

Sejalan dengan hal tersebut,

abdxgdxfb

a

b

a≤≤ ∫∫ jika . ■

44

2. Partisi Penghalus

Dalam subbab ini akan dibahas tentang partisi penghalus dan sifat-sifatnya.

Definisi 3. 2. 1.

Untuk sebarang partisi P, panjang yang terbesar dari subinterval disebut norma

atau mesh dari partisi, dan disimbolkan dengan ( )Pμ , yakni

( ) ( )nixP i ≤≤Δ= 1maxμ .

Partisi *P dikatakan sebagai penghalus dari P jika PP ⊇* , yaitu setiap titik pada

P adalah titik pada *P . Dapat dikatakan juga bahwa *P memperhalus P atau

bahwa *P lebih halus dari P.

Jika 1P dan 2P adalah dua partisi, maka dapat dikatakan bahwa *P adalah

penghalus persekutuan jika 21* PPP ∪= .

Teorema 3. 2. 2.

Jika *P adalah penghalus dari sebuah partisi P, maka untuk sebuah fungsi

terbatas f, berlaku

(1) ( ) ( )fPLfPL ,,* ≥ dan

(2) ( ) ( )fPUfPU ,,* ≤ .

Bukti.

(1) Misalkan *P mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah

ξ , dan misal titik tersebut terletak pada ixΔ , sehingga ii xx <<− ξ1 .

45

Karena fungsi tersebut terbatas pada interval [ ]ba, , maka terbatas pula pada

setiap subinterval ( )nixi ,,2,1 K=Δ . Misal imww ,, 21 , berturut-turut adalah

infimum dari f pada interval [ ] [ ] [ ]iiii xxxx ,,,,, 11 −− ξξ .

Jelas bahwa 21 dan wmwm ii ≤≤ .

Dengan demikian

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0

,,

211

1211*

≥−−+−−=−−−+−=−

−

−−

ξξξξ

iiii

iiiii

xmwxmwxxmxwxwfPLfPL

Jika *P mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas

sebanyak p kali hingga mendapatkan

( ) ( )fPLfPL ,,* ≥ .

(2) Misalkan *P mencakup satu titik lebih dari P. Misalkan titik tersebut adalah

ξ , dan misal titik tersebut terletak pada ixΔ , sehingga ii xx <<− ξ1 .

Karena fungsi tersebut terbatas pada interval [ ]ba, , maka terbatas pula pada

setiap subinterval ( )nixi ,,2,1 K=Δ . Misal iMvv ,, 21 , berturut-turut adalah

supremum dari f pada interval [ ] [ ] [ ]iiii xxxx ,,,,, 11 −− ξξ .

Jelas bahwa 21 dan vMvM ii ≥≥ .

Dengan demikian

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )0

,,

211

1211*

≤−−+−−=−−−+−=−

−

−−

ξξξξ

iiii

iiiii

xMvxMvxxMxvxvfPUfPU

Jika *P mempunyai p titik lebih dari P, diulang proses seperti di atas

sebanyak p kali hingga mendapatkan

46

( ) ( )fPUfPU ,,* ≤ . ■

Akibat 3. 2. 3.

Jika penghalus *P dari P memuat p titik lebih banyak daripada P, dan ( ) kxf ≤

untuk semua [ ]bax ,∈ , maka

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .2,,,

dan,2,,,*

*

μ

μ

pkfPUfPUfPUpkfPLfPLfPL

−≥≥

+≤≤

Bukti.

Seperti pada pembuktian Teorema 3.2.2, dimisalkan *P memuat satu titik lebih

banyak daripada P, didapatkan

( ) ( ) ( )( ) ( )( )ξξ −−+−−=− − iiii xmwxmwfPLfPL 211* ,, .

Karena ( ) kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ , menyebabkan

kwmk i ≤≤≤− 1 ,

sehingga

kmw i 20 1 ≤−≤ .

Dengan kata lain,

kmw 20 12 ≤−≤ .

Dengan demikian

( ) ( ) ( ) ( )

,22

22,, 1*

μ

ξξ

kxk

xkxkfPLfPL

i

ii

≤Δ≤

−+−≤− −

di mana μ adalah norma dari P.

47

Sekarang dengan menganggap setiap penambahan titik dilakukan satu persatu,

dengan cara mengulang cara seperti di atas sebanyak p kali, didapatkan

( ) ( ) μpkfPLfPL 2,,* +≤ ,

dan

( ) ( )fPLfPL ,, *≤ .

Akibatnya

( ) ( ) ( ) μpkfPLfPLfPL 2,,, * +≤≤ .

Sejalan dengan hal di atas dapat dibuktikan

( ) ( ) ( ) μpkfPUfPUfPU 2,,, * −≥≥ . ■

Teorema 3. 2. 4.

Untuk sebarang dua partisi 21 , PP ,

( ) ( )fPUfPL ,, 21 ≤ ,

yakni tidak ada jumlah atas yang lebih kecil dari sebarang jumlah bawah.

Bukti.

Misal *P adalah penghalus persekutuan dari 21 , PP , sehingga

21* PPP ∪= .

Menggunakan Teorema 3. 2. 2 di atas, didapatkan

( ) ( ) ( ) ( )fPUfPUfPLfPL ,,,, 2**

1 ≤≤≤ . ( )1.2.3

Terbukti

( ) ( )fPUfPL ,, 21 ≤ . ■

48

Akibat 3. 2. 5.

Untuk sebarang fungsi terbatas f, berlaku

∫ ∫−

−≤ dxfdxf .

Bukti.

Dengan mengambil 2P yang tetap dan mengambil supremum dari semua partisi

1P , ketidaksamaan (3.2.1) pada Teorema 3.2.2 mengakibatkan

( )∫ ≤−

fPUdxf ,2 . ( )2.2.3

Dengan mengambil infimum dari semua 2P pada ketidaksamaan (3.2.2), didapat

∫ ∫−

−≤ dxfdxf . ■

3. Teorema Darboux

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang salah satu teorema yang penting dalam

mempelajari integral Darboux, yaitu Teorema Darboux.

Teorema 3. 3. 1.

Jika f adalah fungsi terbatas pada [ ]ba, , maka untuk setiap 0>ε , terdapat 0>δ ,

sehingga

( ) ( )

( ) ( ) ,,

,,

ε

ε

−>

+<

∫∫

−

−

b

a

b

a

dxffPLii

dxffPUi

untuk setiap partisi P dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P .

Bukti.

49

(1) Jika f terbatas, maka terdapat 0>k , sehingga

( ) ,kxf ≤ untuk setiap [ ]bax ,∈

dan karena integral Darboux atas adalah infimum dari himpunan jumlah

Darboux atas, oleh karena itu untuk setiap 0>ε terdapat partisi

{ }pxxxxP ,,,, 2101 K= dari [ ]ba, , sehingga

( ) ε∫ +<− b

adxffPU 2

11 , . ( )1.3.3

Partisi 1P mempunyai 1−p titik di antara ( )ax =0 dan ( )bx p = . Misalkan δ

adalah bilangan positif sehingga

( ) .12 21 εδ =−pk ( )2.3.3

Misal P adalah sebarang partisi dengan norma ( ) δμ <P .

Selanjutnya, *P adalah penghalus dari P dan 1P , sehingga 1* PPP ∪= .

Karena *P adalah penghalus dari P, maka mempunyai paling tidak 1−p titik

lebih banyak dari P, oleh karena itu, menggunakan Akibat 3. 2. 5, didapatkan

( ) ( ) ( )( )

.

,,12,

21

1

*

ε

δ

+<

≤≤−−

∫− b

adxf

fPUfPUpkfPU

Sehingga

( ) εεε +=++< ∫∫−− b

a

b

adxfdxffPU 2

121, ,

untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P .

Sejalan dengan hal tersebut di atas, dapat dibuktikan untuk batas bawahnya. ■

50

Catatan.

Definisi dari infimum juga memperkuat fakta bahwa

( ) ε+< ∫− b

adxffPU , ,

tetapi dapat juga mengakibatkan bahwa untuk setiap 0>ε terdapat paling sedikit

satu partisi P.

4. Syarat Terintegral Darboux

Sudah dijelaskan bahwa sebuah fungsi terbatas dikatakan terintegral Darboux jika

jumlah atas dan jumlah bawahnya sama. Sekarang akan diberikan syarat perlu dan

cukup untuk menentukan keterintegralan sebuah fungsi yang akan dipaparkan

dalam dua bentuk.

Teorema 3. 4. 1. (Bentuk Pertama)

Syarat perlu dan cukup untuk sebuah fungsi f terintegral Darboux jika untuk setiap

0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dari [ ]ba, dengan norma

( ) δμ <P , berlaku

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Bukti.

Syarat cukup.

Diketahui fungsi terbatas f terintegral Darboux, sehingga

∫∫∫ ==−

−

b

a

b

a

b

adxfdxfdxf .

51

Ambil sebarang 0>ε . Dengan Teorema 3. 3. 1, terdapat 0>δ sehingga untuk

setiap partisi P dengan norma ( ) δμ ∫∫−

b

a

b

adxfdxffPL ( )2.4.3

atau

( ) ., 21 ε+−<− ∫

b

adxffPL ( )3.4.3

Dari (3.4.1) dan (3.4.3), diperoleh

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ,

untuk setiap partisi P dengan norma ( ) δμ ε . Untuk setiap partisi P dengan norma ( ) δμ <P , diberikan

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Demikian juga untuk setiap partisi P, diketahui bahwa

( ) ( )fPUdxfdxffPLb

a

b

a,, ≤≤≤ ∫∫

−

−,

sehingga

( ) ( ) ε<−≤− ∫∫ −

−

fPLfPUdxfdxfb

a

b

a,, .

Karena 0>ε sebarang, dan bilangan tak negatif yang lebih kecil dari setiap

0>ε , pastilah nol, berakibat

0=− ∫∫ −

− b

a

b

adxfdxf .

Dengan kata lain,

52

,∫∫ −

−

=b

a

b

adxfdxf

sehingga f terintegral Darboux. ■

Catatan.

Teorema di atas dapat juga ditulis menjadi,

Syarat perlu dan cukup untuk sebuah fungsi yang terbatas terintegral Darboux

adalah

( )( ) ( ){ } 0,,lim

0=−

→fPLfPU

Pμ.

Teorema 3. 4. 2. (Bentuk Kedua)

Sebuah fungsi terbatas f terintegral Darboux jika dan hanya jika untuk setiap

0>ε terdapat partisi P pada [ ]ba, sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Bukti.

Syarat cukup.

Misalkan fungsi f terintegral Darboux, yaitu

∫∫∫ ==−

−

b

a

b

a

b

adxfdxfdxf .

Misal 0>ε sebarang.

Karena integral Darboux bawah dan integral Darboux atas, berturut-turut, adalah

infimum dan supremum dari f, maka terdapat partisi 1P dan 2P sehingga

53

( )

( ) .,

,

21

21

2

21

21

1

εε

εε

−=−>

+=+<

∫∫∫∫

−

−

b

a

b

a

b

a

c

a

dxfdxffPL

dxfdxffPU

Misal P adalah partisi penghalus persekutuan dari 1P dan 2P , yaitu 21 PPP ∪= ,

sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 221

1 εεε +≤+<+<≤ ∫ fPLfPLdxffPUfPUb

a

Oleh karena itu,

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Syarat perlu.

Misal 0>ε sebarang. Misal P adalah partisi yang mengakibatkan

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Untuk sebarang partisi P, diketahui bahwa

( ) ( )fPUdxfdxffPLb

a

b

a,, ≤≤≤ ∫∫

−

−,

sehingga

( ) ( ) ε<−≤− ∫∫ −

−

fPLfPUdxfdxfb

a

b

a,, .

Bilangan tak negatif, jika lebih kecil daripada setiap bilangan positif ε , pasti nol.

Oleh karena itu

∫∫ −

−

=b

a

b

adxfdxf ,

sehingga f terintegral Darboux. ■

54

Catatan.

Berdasarkan dari kedua bentuk di atas, dapat diindikasikan bahwa dari sisi syarat

cukupnya bentuk pertama lebih kuat daripada bentuk kedua, tetapi dari segi syarat

perlu, bentuk kedua lebih kuat daripada bentuk pertama.

Teorema 3. 4. 3.

Sebuah fungsi f terintegral Darboux pada [ ]ba, jika dan hanya jika terdapat

sebuah bilangan I yang terdapat di antara ( )fPL , dan ( )fPU , sehingga untuk

setiap 0>ε , terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga

( ) ( ) εε <−<− fPLIIfPU ,dan,, .

Bukti.

Syarat cukup.

Karena [ ]baDf ,∈ , maka untuk 0>ε terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Jika I adalah bilangan di antara ( )fPL , dan ( )fPU , , maka

( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUIfPU ,,, ,

dan

( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUfPLI ,,, .

Oleh karena itu, syarat cukup terpenuhi.

Syarat perlu.

Untuk 0>ε terdapat partisi P sehingga

( ) ( ) εε 21

21 ,dan,, <−<− fPLIIfPU ,

55

sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21

21 εεε =+<−+−≤− fPLIIfPUfPLfPU

Oleh karena itu, f terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■

Teorema 3. 4. 4.

Sebuah fungsi f terintegral Darboux pada [ ]ba, jika dan hanya jika terdapat

bilangan I sehingga untuk sebarang 0>ε , terdapat δ sehingga untuk semua

partisi P dengan norma ( ) δμ ε terdapat partisi P dari [ ]ba, dengan norma

( ) δμ <P sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Jika I adalah bilangan di antara ( )fPL , dan ( )fPU , , maka

( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUIfPU ,,, ,

dan

( ) ( ) ( ) ε<−<− fPLfPUfPLI ,,, .

Oleh karena itu, syarat cukup terpenuhi.

Syarat perlu.

Untuk 0>ε terdapat partisi P dengan norma ( ) δμ <P sehingga

56

( ) ( ) εε 21

21 ,dan,, <−<− fPLIIfPU ,

Sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21

21 εεε =+<−+−≤− fPLIIfPUfPLfPU

Oleh karena itu, f terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■

Catatan.

Diketahui bahwa ( ) ( )fPUfPU ,,* < jika PP ⊃* . Oleh karena itu, jumlah

atasnya semakin kecil dan kecil lagi apabila partisi tersebut semakin halus. Jadi

integral atasnya ∫− b

adxf , yaitu infimum dari himpunan U dari jumlah atas, dapat

diartikan pula ( )

( )fPUP

,lim0→μ

atau bahwa untuk 0>ε terdapat 0>δ sehingga

semua partisi P dengan norma ( ) δμ <P , ( ) ε<− ∫− b

adxffPU , .

Contoh 3. 4. 5.

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada interval [ ]2,1− dengan

( )

[ )

( )

( ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈=

∈=−∈−

=

2,1untuk,11untuk,0

1,0untuk,0untuk,00,1untuk,1

21

xx

xx

x

xf .

Akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Darboux pada [ ]2,1− .

Ambil sebarang ε 0> . Dibentuk partisi pada [ ]2,1− dengan

57

{ }2,1,1,,0,,1 hhhhP +−−−= .

Diperoleh,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑=

−++−++−+−−==6

121 112.021.0111,

iii hhhhhhxmfPL Δ

h221 −= ,

dan

( ) ( )( ) ( ) ( )∑=

−++−+++−−==6

121

21 112.121.011Δ,

iii hhhhhhxmfPU

23

21 h+= ,

Sehingga

( ) ( )2

7221

23

21,, hhhfPLfPU =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− .

Dapat diambil bilangan positif h sehingga berlaku

( ) ( ) <=−2

7,, hfPLfPU ε,

yaitu 72<h ε. Dengan kata lain, dapat dibentuk partisi P pada [ ]2,1− seperti di

atas dengan 72<h ε sehingga berlaku

( ) ( ) <− fPLfPU ,, ε.

Menurut Teorema 3.4.1, fungsi f terintegral Darboux pada [ ]2,1− .

5. Integral dari Jumlah dan Selisih dari Fungsi Terintegral Darboux

Di samping sifat-sifat integral Darboux yang telah dipaparkan pada subbab-

subbab sebelumnya, dalam subbab ini akan dipaparkan sifat integral Darboux

58

yang tidak kalah penting, yaitu integral dari jumlah dan selisih fungsi-fungsi yang

terintegral Darboux.

Teorema 3. 5. 1.

Jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka kf juga

terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan

( ) ∫∫ =b

a

b

adxfkdxxkf

untuk sebarang ∈k R.

Bukti.

Menurut Teorema Perkalian Fungsi dengan konstanta, maka perkalian fungsi yang

terbatas dengan suatu konstanta juga terbatas pada batas fungsi tersebut. Jadi kf

terbatas pada [ ]ba, . Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan,

iiii mMkmkM dan,,, berturut-turut adalah batas-batas dari fkf dan, pada ixΔ .

Sehingga

iiii kMMmkm ≤≤≤ . ( )1.5.3

Dengan mengalikannya dengan ixΔ dan menjumlahkan ketidaksamaan di atas

untuk ,,,2,1 ni K= didapat

( ) ( ) ( ) ( ).,,,, kfPUfPUfPLkfPL ≤≤≤ ( )2.5.3

Ambil sebarang 0>ε .

Karena f terintegral Darboux, maka dapat dipilih 0>δ sehingga untuk sebarang

partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, . ( )3.5.3

59

Jadi untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat dengan

menggunakan ketidaksamaan (3.5.2) dan (3.5.3),

( ) ( ) ( ) ( )fPkLfPkUkfPLkfPU ,,,, −=−

( ) ( ){ }fPLfPUk ,, −=

kk ε⋅<

ε< .

Oleh karena itu, kf terintegral Darboux.

Sekarang akan dibuktikan bagian kedua.

Karena f terintegral dan sebarang 0>ε , dengan menggunakan Teorema Darboux

(subbab 3), terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma

( ) δμ ε sebarang, dapat disimpulkan

∫∫ ≤b

a

b

adxfkdxkf . ( )5.5.3

Kemudian dengan mengganti kf berturut-turut dengan ( )kf− , didapat

( ) ∫∫ −≤−b

a

b

adxfkdxkf ,

Atau

60

∫∫ ≥b

a

b

adxfkdxkf . ( )6.5.3

Berdasarkan ketidaksamaan (3.5.5)dan (3.5.6),

.∫∫ =b

a

b

adxfkdxkf ■

Teorema 3. 5. 2.

Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terbatas dan terintegral Darboux pada

[ ]ba, , maka 21 fff += juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan

∫ ∫∫ =+b

a

b

a

b

adxfdxfdxf 21 .

Bukti.

Menurut Teorema Jumlah Fungsi Terbatas, maka jumlahan dari dua fungsi yang

terbatas juga terbatas pada batas keduanya. Jadi f terbatas pada [ ]ba, .

Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan

iiiiii mMmMmM dan,,,,, ′′′′′′ , berturut-turut adalah batas-batas dari fff dan,, 21

pada ixΔ . ii MM ′′+′ dan ii mm ′′+′ berturut-turut adalah batas atas dan batas bawah

jika iM dan im adalah supremum dan infimum dari f pada ixΔ .

Sehingga

.iiiiii MMMmmm ′′+′≤≤≤′′+′ ( )7.5.3

Dengan mengalikannya dengan ixΔ dan menjumlahkan ketidaksamaan di atas

untuk ,,,2,1 ni K= didapat

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,,,,, 2121 fPUfPUfPUfPLfPLfPL +≤≤≤+ ( )8.5.3


61

Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka dapat dipilih 0>δ sehingga untuk

sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat

( ) ( )( ) ( ) ⎭

⎬⎫

<−<−

εε

21

22

21

11

,,,,

fPLfPUfPLfPU

( )9.5.3

Jadi untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , didapat dengan

menggunakan ketidaksamaan (3.5.6) dan (3.5.9),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εεε =+<

−−+≤−

21

21

2121 ,,,,,, fPLfPLfPUfPUfPLfPU

Oleh karena itu, f terintegral Darboux.

Sekarang akan dibuktikan bagian kedua.

Karena 1f dan 2f terintegral dan sebarang 0>ε , dengan menggunakan Teorema

Darboux (subbab 3), terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma

( ) δμ <P , didapat

( ) ( ) εε 21

2221

11 ,dan,, +<+< ∫∫b

a

b

adxffPUdxffPU ( )10.5.3

akibatnya

( ) ( ) ( )21 ,,, fPUfPUfPUdxfb

a+≤≤∫ (menggunakan (3.5.8))

ε++< ∫∫b

a

b

adxfdxf 21 (menggunakan (3.5.10))

Karena 0>ε sebarang, dapat disimpulkan

.21 ∫∫∫ +≤b

a

b

a

b

adxfdxfdxf ( )11.5.3

Kemudian dengan mengganti 21 dan ff berturut-turut dengan ( ) ( )21 dan, ff −− ,

didapat

62

( ) ( ) ( )∫∫∫ −+−≤−b

a

b

a

b

adxfdxfdxf ,21

atau

.21 ∫∫∫ +≥b

a

b

a

b


Berdasarkan ketidaksamaan (3.5.11)dan (3.5.12),

∫∫∫ +=b

a

b

a

b

adxfdxfdxf 21 . ■

Teorema 3. 5. 2.


[ ]ba, , maka 21 fff −= juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan

∫ ∫∫ −=b

a

b

a

b

adxfdxfdxf 21 .

Bukti.

Misal ( )21 fff −+= , sehingga f terbatas pada [ ]ba, .

Menurut Teorema 3. 5. 1, fungsi ( )2f− dapat diartikan sebagai ( ) 21 f− , sehingga

( ) .1 21∫ ∫∫ −+=b

a

b

a

b

adxfdxfdxf

Jadi

( ) ,1 21∫ ∫∫ −+=b

a

b

a

b

adxfdxfdxf

atau

.21∫ ∫∫ −=b

a

b

a

b

adxfdxfdxf ■

63

Teorema 3. 5. 3.

(i) Jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka f terintegral

Darboux juga pada [ ]ca, dan [ ]bc, , di mana [ ]bac ,∈ .

(ii) Kebalikannya, jika fungsi f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ca, dan

[ ]bc, , maka f terintegral Darboux juga pada [ ]ba, .

(iii) Berlaku juga

bcadxfdxfdxfb

c

c

a

b

a≤≤+= ∫∫∫ , .

Bukti.

(i) Karena [ ]baDf ,∈ , maka untuk 0>ε terdapat partisi P sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Misal *P adalah partisi penghalus dari P, sehingga

{ }cPP ∪=* .

Jadi

( ) ( ) ( ) ( ).,,,, ** fPUfPUfPLfPL ≤≤≤ ( )13.5.3

Oleh karena itu,

( ) ( ) ( ) ( ) ε<−≤− fPLfPUfPLfPU ,,,, ** ( )14.5.3

Misal 1P dan 2P , berturut-turut adalah himpunan titik-titik dari *P di antara

[ ]ca, dan [ ]bc, . Dapat dikatakan bahwa 1P dan 2P , berturut-turut adalah

partisi dari [ ]ca, dan [ ]bc, dan 21* PPP ∪= . Karena itu

( ) ( ) ( ),,,, 21* fPUfPUfPU += ( )15.5.3

dan

64

( ) ( ) ( ).,,, 21* fPLfPLfPL += ( )16.5.3

Sehingga

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ε<−=−+− fPLfPUfPLfPUfPLfPU ,,,,,, **2211

Karena masing-masing kurung kurawal di sebelah kiri adalah tak negatif, ini

mengakibatkan bahwa partisi 1P dan 2P ada, sehingga

( ) ( )( ) ( ) .2,,

2,,

22

11

εε<−<−

fPLfPUfPLfPU

Jadi f terintegral Darboux pada [ ]ca, dan [ ]bc, .

(ii) Misal Df ∈ terhadap [ ]ca, dan [ ]bc, .

Oleh karena itu, untuk 0>ε dapat dicari partisi 1P dan 2P berturut-turut

dari [ ]ca, dan [ ]bc, , sehingga

( ) ( ) 2,, 11 ε<− fPLfPU ( )17.5.3

( ) ( ) .2,, 22 ε<− fPLfPU ( )18.5.3

Misal 21* PPP ∪= .

Karena itu, *P adalah partisi dari [ ]ba, . Sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

,,,,,,

21

21

2121**

εεε =+<

−−+=− fPLfPLfPUfPUfPLfPU

Jadi, untuk 0>ε , terdapat partisi *P dari [ ]ba, , sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ** .

Oleh karena itu, [ ]baDf ,∈ .

(iii) Diketahui jika untuk sebarang fungsi 1f dan 2f , dan 21 fff += , maka

21 infinfinf fff +> .

65

Sekarang, untuk sebarang partisi 1P dan 2P berturut-turut dari [ ]ca, dan

[ ]bc, , jika 21* PPP ∪= , maka

( ) ( ) ( ).,,, 21* fPUfPUfPU +=

Dengan mengambil semua infimum atas semua partisi, didapat

.∫∫∫−−

+≥b

c

c

a

b

adxfdxfdxf

Tetapi karena f terintegral Darboux pada [ ] [ ] [ ]babcca ,dan,,,, , maka

.∫∫∫ +≥b

c

c

a

b


Dengan mengganti f dengan ( )f− , didapat

.∫∫∫ +≤b

c

c

a

b


Dari ketidaksamaan (3.5.19) dan (3.5.20), diperoleh

.∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxfdxfdxf ■

Hasil Kali Integral, Hasil Bagi dan Nilai Mutlak dari Fungsi Terintegral

Darboux

Sebelum membahas teorema tentang hasil kali integral, hasil bagi dan nilai mutlak

dari fungsi-fungsi yang terintegral Darboux, akan dibahas terlebih dahulu Lemma

yang sederhana tetapi penting di bawah ini.

Lemma 3. 5. 4.

Diberikan fungsi terbatas f pada interval [ ]ba, , maka osilasi fungsi f diberikan

oleh

66

( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,:sup 2121 ∈− .

Bukti.

Misal mM , adalah batas dari f pada [ ]ba, . Oleh karena itu,

( ) ( ) ,, 21 Mxfxfm ≤≤

untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ .

Sehingga

( ) ( ) ,21 mMxfxf −≤− ( )21.5.3

untuk setiap [ ]baxx ,, 21 ∈ .

Jadi mM − adalah batas atas dari himpunan ( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,: 2121 ∈− .


Karena M adalah supremum dari f, maka terdapat [ ]bax ,∈′ , sehingga

( ) .21 ε−>′ Mxf ( )22.5.3

Sejalan dengan hal tersebut, terdapat [ ]bax ,∈′′ , sehingga

( ) .21 ε+<′′ Mxf ( )23.5.3

Dari ketidaksamaan (3.5.22) dan (3.5.23) di atas mengakibatkan adanya

[ ]baxx ,, ∈′′′ , sehingga

( ) ( ) ε−−>′′−′ mMxfxf .

Jadi

( ) ( ) .ε−−>′′−′ mMxfxf ( )24.5.3

67

Dari ketidaksamaan (3.5.21) dan (3.5.24) di atas mengakibatkan mM − adalah

batas atas dan tidak ada bilangan yang lebih kecil daripada mM − dapat menjadi

batas atas dari himpunan ( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxf ,,: 2121 ∈− .

Jadi

( ) ( ) [ ]{ }baxxxfxfmM ,,:sup 2121 ∈−=− . ■

Berikut ini akan dipaparkan teorema tentang hasil kali integral dari fungsi-fungsi

yang terintegral Darboux.

Teorema 3. 5. 5.


[ ]ba, , maka perkalian 21 ff juga terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, .

Bukti.

Karena 1f dan 2f terbatas, maka terdapat 0>k sehingga untuk semua [ ]bax ,∈ ,

berlaku

( ) ( ) kxfkxf ≤≤ 21 dan, .

Sehingga

( )( ) ( ) ( ) ,22121 kxfxfxff ≤=

untuk semua [ ]bax ,∈ .

Hal ini berarti 21 ff terbatas.

Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, .

68

Misal iiiiii mMmMmM ,dan,;, ′′′′′′ berturut-turut adalah batas-batas dari

2121 , ffdanff dalam ixΔ .

Diperoleh untuk semua ixxx Δ∈21 , .

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]122211112122

12112221121221

xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxffxff

−+−=−=−

Sehingga

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )iiii mMkmMk

xfxfxfxfxfxfxffxff′′−′′+′−′≤

−⋅+−⋅≤− 122211112122121221

dan mengakibatkan

( ) ( ).iiiiii mMkmMkmM ′′−′′+′−′≤− ( )25.5.3

Sekarang ambil sebarang 0>ε .

Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka terdapat 0>δ sehingga untuk

sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku

( ) ( ) ( ) ( )k

fPLfPUk

fPLfPU2

,,dan,2

,, 2211εε

<−<− .

Berasal dari ketidaksamaan (3.5.25), mengalikannya dengan ixΔ dan

menambahkan pada semua ketidaksamaan, didapat untuk sebarang partisi P

dengan norma ( ) δμ <P , berlaku

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]22112121 ,,,,,, fPLfPUkfPLfPUkffPLffPU −+−≤−

εεε=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<

kk

kk

22

Sehingga mengakibatkan 21 ff terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■

69

Setelah mengetahui tentang hasil kali integral, sekarang akan dipaparkan tentang

hasi bagi dari fungsi-fungsi yang terintegral Darboux.

Teorema 3. 5. 6.


[ ]ba, , dan terdapat bilangan 0>λ sehingga ( ) λ≥xf untuk semua [ ]bax ,∈ ,

maka 2

1

ff terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, .

Bukti.

Karena 1f dan 2f terbatas, maka terdapat bilangan positif k sehingga

( ) ( ) ,, 21 kxfkxf ≤≤≤ λ


Sehingga

( ) ( )( ) ,

λ2

1

2

1 kxfxf

xff

≤=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


Jadi 2

1

ff terbatas.

Misal { }bxxxaP n === ,,, 10 K adalah partisi dari [ ]ba, dan misal

iiiiii mMmMmM ,dan,;, ′′′′′′ berturut-turut adalah batas-batas dari 2

121 dan,

ffff

dalam ixΔ . Untuk semua ixxx Δ∈21, , berlaku

70

( ) ( ) ( )( )

( )( )12

11

22

211

2

12

2

1

xfxf

xfxf

xff

xff

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )1222

122211112112

xfxfxfxfxfxfxfxf −−−

=

( ) ( ) ( ) ( )1222211212 xfxfkxfxfk−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤

λλ

( ) ( )iiii mMkmMk ′′−′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′−′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤ 22 λλ

sehingga

( ) ( ).22 iiiiii mMkmMkmM ′′−′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+′−′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤−

λλ ( )26.5.3

Sekarang, ambil sebarang 0>ε .

Karena 1f dan 2f terintegral Darboux, maka terdapat 0>δ sehingga untuk

sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P ,

( ) ( )

( ) ( ) .2

,,

2,,

2

22

2

11

kfPLfPU

kfPLfPU

ελ

ελ

<−

<−

Dari ketidaksamaan (3.5.26), untuk sebarang partisi P dengan norma ( ) δμ <P ,

berlaku

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

εελλ

ελλ

λλ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

kk

kk

fPLfPUkfPLfPUk

ffPL

ffPU

22

,,,,

,,

2

2

2

2

222112

2

1

2

1

71

Dan mengakibatkan bahwa 2

1

ff terintegral Darboux pada [ ]ba, . ■

Setelah mengetahui teorema di atas, masih terdapat satu teorema yang tidak kalah

penting dari kedua teorema tersebut, yaitu teorema tentang nilai mutlak dari

fungsi-fungsi yang terintegral Darboux yang akan dipaparkan di bawah ini.

Teorema 3. 5.7.

Jika f terbatas dan terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka f juga terbatas dan

terintegral Darboux pada [ ]ba, . Lebih lanjut,

.∫∫ ≤b

a

b

adxfdxf

Bukti.

Karena f terbatas pada [ ]ba, , maka terdapat 0>k sehingga

( ) ,kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .

Oleh karena itu, f terbatas.

Karena f terintegral, terdapat partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K dari [ ]ba, ,

sehingga

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, .

Misal iiii mMmM ′′,dan, adalah batas-batas dari f dan f di ixΔ . Untuk semua

ixxx Δ∈21, , berlaku

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii mMxfxfxfxfxfxf −≤−≤−=− 121212 ,

72

sehingga

iiii mMmM −≤′−′ .

Hai ini mengakibatkan bahwa untuk sebarang partisi P,

( ) ( ) ( ) ( ) ε<−≤− fPLfPUfPLfPU ,,,, .

Dengan demikian f terintegral pada [ ]ba, .

Karena ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxfxf =≤−, untuk semua [ ]bax ,∈ , oleh karena itu

dengan menggunakan Teorema 3. 1. 11, didapat

∫∫ ≤b

a

b

adxfdxf

dan

( ) ∫∫∫ ≤−=−b

a

b

a

b

adxfdxfdxf .

Sehingga

∫∫ ≤b

a

b

adxfdxf . ■

Catatan.

Kebalikan dari Teorema 3. 5. 7 di atas tidaklah berlaku.

Sebagai contoh penyangkal, ambil fungsi

( )⎩⎨⎧−

=irasionaljika,1rasionaljika,1

xx

xf

Dengan membentuk partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K dari [ ]ba, , sehingga

didapatkan

( ) 1, =fPU dan ( ) 1, −=fPL .

73

Oleh karena itu, diperoleh

( )., abdxfabdxfb

a

b

a−−=−= ∫∫ −

−

Oleh karena itu, f tidak terintegral Darboux.

Tetapi ( ) 1=xf , untuk semua x, sehingga ∫b

adxf ada dan ini sama dengan

( )ab − . Jadi f terintegral Darboux meskipun f tidak terintegral Darboux.

Teorema 3. 5. 8.

Jika f terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka 2f juga terintegral Darboux pada

[ ]ba, .

Bukti.

Karena f terbatas pada [ ]ba, , maka f juga terbatas pada [ ]ba, . Jadi terdapat

0>M sehingga ( ) Mxf ≤ , untuk semua [ ]bax ,∈ .

Karena f terintegral Darboux, maka f juga terintegral Darboux pada [ ]ba, , dan

untuk 0>ε terdapat partisi P dari [ ]ba, sehingga

( ) ( )M

fPLfPU2

,, ε<− .

Sekarang, karena ( ) ( ) 222 Mxfxf ≤= , maka 2f terbatas.

Jika ii mM , adalah batas dari f dan ii mM ′′, adalah batas dari 2f di ixΔ , maka

22 dan iiii mmMM =′=′ .

Sehingga

74

( ) ( ) ( )∑=

Δ′−′=−n

iiii xmMfPLfPU

1

22 ,,

( )∑=

Δ−=n

iiii xmM

1

22

( )( )∑=

Δ+−=n

iiiiii xmMmM

1

( )

( ) ( ){ }.

22

,,2

21

εε=<

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ−≤ ∑=

MM

fPLfPUM

xmMMn

iiii

Jadi

[ ]baDf ,2 ∈ . ■

Berikut adalah alternatif lain bukti Teorema 3. 5. 5.

Akibat 3. 5. 9.

Jika 1f dan 2f adalah dua fungsi yang terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka

21 ff juga terintegral Darboux pada [ ]ba, .

Bukti.

Karena 1f dan 2f terintegral Darboux pada [ ]ba, , maka ( )221

22

21 dan,, ffff +

juga terintegral Darboux pada [ ]ba, . Oleh karena

( ){ },22

21

2212

121 ffffff −−+=

maka diperoleh [ ]baDff ,21 ∈ . ■

BAB IV

INTEGRAL RIEMANN

Dalam bab 3 sudah dijelaskan tentang integral Darboux dari fungsi

terbatas dengan menggunakan jumlah Darboux atas dan jumlah Darboux bawah.

Dalam bab ini akan dipaparkan tentang Integral Riemann yang telah disusun oleh

G. F. B. Riemann pada tahun 1854.

1. Integral Riemann dan Hubungannya dengan Integral Darboux

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang jumlah Riemann yang nantinya

digunakan untuk menentukan Integral Riemann, serta hubungan antara Integral

Riemann dengan Integral Darboux.

Definisi 4. 1. 1.

Berdasarkan pada partisi P dari [ ]ba, , dipilih titik-titik nttt ,,, 21 K dengan

( )nixtx iii ,,2,11 K=≤≤− dan diperhatikan jumlahan

( ) ( ) .,1∑=

Δ=n

iii xtffPS

Jumlahan ( )fPS , disebut Jumlah Riemann dari f pada [ ]ba, terhadap P. Perlu

diperhatikan bahwa it merupakan sebarang titik pada ixΔ .

Jumlahan ( )fPS , dikatakan konvergen ke ∈A R untuk ( ) 0→Pμ , yaitu

( )( ) AfPS

P=

→,lim

0μ,

jika untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga

76

( ) ε<− AfPS , ,

untuk setiap partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P dan

untuk setiap pemilihan titik it dalam [ ]ii xx ,1− .

Definisi 4. 1. 2.

Fungsi f dikatakan terintegral Riemann pada [ ]ba, dengan nilai integralnya ditulis

dengan ∫b

adxf jika ( )fPS ,lim ada untuk ( ) 0→Pμ , sehingga

( )( ) .,lim

0 ∫=→

b

aPdxffPS

μ

Himpunan semua fungsi yang terintegral Riemann pada interval [ ]ba, ditulis

dengan [ ]baR , .

Catatan.

Dikarenakan ( ) 0→Pμ terjadi jika ∞→n , maka penulisan ( )

( )fPSP

,lim0→μ

dapat

diganti dengan ( )fPSn

,lim∞→

.

Dari dua konsep integral yang sudah diperkenalkan, yaitu integral Darboux dan

integral Riemann, akan dibuktikan bahwa keduanya ekuivalen. Dan dalam hal ini

berarti jika fungsi f terintegral Darboux maka f terintegral Riemann dan jika f

terintegral Riemann maka f terintegral Darboux, dan nilai integralnya sama.

77

Definisi 3. 1. 2. ⇒ Definisi 4. 1. 2.

Diketahui f fungsi terbatas yang terintegral Darboux menurut definisi pertama,

yaitu

∫∫∫ −

−

==b

a

b

a

b

adxfdxfdxf .


Berdasarkan Teorema Darboux (Teorema 3.1.1.), terdapat 0>δ sehingga untuk

setiap partisi P dengan norma ( ) δμ ∫∫− b

a

b

adxfdxffPL ( )2.1.4

Jika it adalah sebarang titik pada ixΔ , didapat

( ) ( ) ( ).,,1

fPUxtffPLn

iii ≤Δ≤ ∑

=

( )3.1.4

Dari ketidaksamaan (4.1.1), (4.1,2) dan (4.1.3) dapat disimpulkan bahwa untuk

sebarang 0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi P dengan norma

( ) δμ <P , berlaku

( ) ,1

εε +<Δ<− ∫∑∫=

b

a

n

iii

b

adxfxtfdxf

sehingga

( ) .1

ε<−Δ ∫∑=

b

a

n

iii dxfxtf

Jadi fungsi terbatas f terintegral Riemann (berdasarkan Definisi 4.1.2). ■

78

Definisi 4. 1. 2. ⇒ Definisi 3. 1. 2.

Diketahui fungsi f terintegral Riemann berdasarkan Definisi 4.1.2, yakni

( )( )fPS

P,lim

0→μ ada.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan 0>ε , terdapat 0>δ sehingga untuk

setiap partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dengan norma ( ) δμ <P dan setiap titik it pada

ixΔ yang dipilih, terdapat bilangan A sehingga

( ) .1

ε<−Δ∑=

Axtfn

iii

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa f terbatas.

Andaikan bahwa fungsi f tidak terbatas.

Ambil 1=ε , maka terdapat partisi P sehingga untuk setiap titik it pada ixΔ yang

dipilih berlaku

( ) 1<−Δ∑ Axtf ii .

Dari sini diperoleh:

( ) 1+<Δ∑ Axtf ii .

Dikarenakan f tidak terbatas pada [ ]ba, , pastilah f tidak terbatas pada suatu

subinterval, sebut saja mxΔ .

Ambil ii xt = di mana mi ≠ sehingga setiap it pasti ada, kecuali mt dan sesuai

dengan syarat yang berlaku, jumlah ( )∑ Δ ii xtf juga ada, kecuali ( ) mm xtf Δ .

Karena f tidak terbatas pada mxΔ , dapat dipilih titik mm xt Δ∈ , sehingga

( ) 1+>Δ∑ Axtf ii ,

79

dan itu mengakibatkan adanya kontradiksi.

Oleh karena itu, fungsi f terbatas pada [ ]ba, .

Selanjutnya, ambil 0>ε . Jadi terdapat 0>δ sehingga untuk semua partisi P

dengan norma ( ) δμ <P , didapat

( ) ., 21

21 εε +<<− AfPSA ( )4.1.4

Dipilih salah satu partisi P. Jika diambil titik it dalam interval ixΔ dan

mengambil supremum dan infimum dari jumlahan ( )fPS , yang berlaku,

ketidaksamaan (4.1.4) mengakibatkan

( ) ( ) .,, 21

21 εε +<≤<− AfPUfPLA ( )5.1.4

Sehingga

( ) ( ) ,,, ε<− fPLfPU

dan

( ) ( ).,, fPUdxfdxffPLb

a

b

a≤≤≤ ∫∫

−

−

Jadi

( ) ( ) ,,, ε<−≤− ∫∫ −

−

fPLfPUdxfdxfb

a

b

a

dan pernyataan bahwa bilangan tak negatif yang lebih kecil dari setiap bilangan

positif adalah nol mengakibatkan

0=− ∫∫ −

− b

a

b

adxfdxf ,

atau

∫∫ −

−

=b

a

b

adxfdxf .

80

Terbukti bahwa fungsi f terintegral Darboux (berdasarkan Definisi 3.1.2). ■

Contoh 4.1.3.

Akan ditunjukkan bahwa 2

112

1=∫ dxf , untuk ( ) 13 += xxf .

Ambil sebarang partisi { }2,,,1 10 === nxxxP K yang membagi interval [ ]ba,

menjadi n subinterval yang sama-sama mempunyai panjang n1 , sehingga

( ) 01→=

nPμ jika ∞→n ,

nin

xi ,,2,1,11 K=+= ,

nin

xi ,,2,1,1K==Δ ,

11.1

==Δ∑= n

nxn

ii .

Misal ii xt = untuk ni ,,2,1 K= , maka diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ,23

211

2134

34113

13,

2

12

1

111

nnn

n

in

xxni

xxxxfxtffPS

n

i

n

iii

i

n

ii

n

iii

n

ii

+=+

+=

+Δ=Δ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Δ+=Δ=Δ=

∑∑∑

∑∑∑

==

===

yang akan mendekati limitnya untuk ( ) 0→Pμ , yaitu

( )( )

211,lim

0=

→fPS

Pμ.

Karena limitnya ada, maka fungsi ( ) 13 += xxf terintegral Riemann dan

81

( )( )

211,lim

0

2

1==

→∫ fPSdxfPμ

.

Contoh 4. 1. 4.

Akan ditunjukkan ∫−1

1dxf , untuk ( ) xxf = .

Fungsi f terbatas dan kontinu pada [ ]1,1− , dan

( )⎩⎨⎧

≥≤−

=0,0,

xxxx

xf .

Ambil partisi { }1,,,0,,,1 1010 ====−= nn yyyxxxP KK yang membagi

interval [ ]1,1− menjadi n2 subinterval yang masing-masing mempunyai panjang

n1 . Diperoleh

( ) 01→=

nPμ jika ∞→n ,

nin

xi ,,2,1,11 K=+−= ,

nin

yi ,,2,1,1K== ,

ii yn

x Δ==Δ1 ,

∑∑ Δ===Δ=

i

n

ii y

nnx 11.

1 .

Misal ii xt Δ∈ dan ii yt Δ=′ , untuk ni ,,2,1 K= dan misalkan pula ii xt = dan

ii yt =′ , untuk ni ,,2,1 K= , maka diperoleh

82

( ) ( ) ( )

( )

.1

11

1

,

1

12

12

1

11

=Δ=

+−Δ=

Δ+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Δ+Δ−=

Δ′+Δ=

∑

∑∑∑

∑ ∑

∑ ∑

∑∑

=

===

==

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

i iiiii

n

iii

n

iii

x

in

in

x

ynix

ni

yyxx

ytfxtffPS

Jadi

( )( ) 1,lim

0=

→fPS

Pμ,

dan karena limitnya ada, fungsi ( ) xxf = terintegral Riemann dan

( )( ) 1,lim

0

1

1==

→−∫ fPSdxxPμ

.

Teorema 4.1. 5.

Jika ∈1f R dan ∈2f R terhadap [ ]ba, , dan 1c dan 2c adalah sebarang konstanta,

maka [ ]baRfcfc ,2211 ∈+ dan

( ) ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxfcdxfcdxfcfc 22112211 .

Bukti.

Misal 2211 fcfcf += .

Untuk sebarang partisi P, diketahui

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2211

2211

,,

,

fPScfPSc

xtfcxtfcxtffPSi i i

iiiiii

+=

Δ+Δ=Δ= ∑ ∑ ∑

83

Karena fungsi 1f dan 2f terintegral Riemann, maka untuk 0>ε , dapat dipilih

0>δ sehingga untuk semua partisi P dengan norma ( ) δμ <P , berlaku

( ) ( )12,

111 +

<− ∫ cdxffPS

b

a

ε ,

dan

( ) ( )12,

222 +

<− ∫ cdxffPS

b

a

ε .

Jadi

( ) ∫∫ −−b

a

b

adxfcdxfcfPS 2211,

( ) ( ) dxfcdxfcfPScfPScb

a

b

a ∫∫ −−+= 221121 ,,

( ){ } ( ){ }∫∫ −+−=b

a

b

adxfcfPScdxfcfPSc 222111 ,,

( ) ( ) ∫∫ −+−≤b

a

b

adxfcfPScdxfcfPSc 222111 ,,

( ) ( ) ∫∫ −+−≤b

a

b

adxffPScdxffPSc 2211 ,,

( ) ( )1212 22

11 +

++

<c

cc

c εε

ε< ,

atau dengan kata lain ( )

( )fPSP

,lim0→μ

ada dan sama dengan ∫∫ +b

a

b

adxfcdxfc 2211 .

Oleh karena itu, [ ]baRfcfc ,2211 ∈+ dan

( ) ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxfcdxfcdxfcfc 22112211 . ■

84

Teorema 4. 1. 6.

Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada masing-masing interval [ ]ca, ,

[ ]bc, , dan [ ]ba, di mana c adalah sebarang titik pada ( )ba, , maka

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxfdxfdxf .

Bukti.

Diberikan 0>ε .

Karena f terintegral Riemann pada setiap interval [ ]ca, , [ ]bc, , dan [ ]ba, , maka

terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi { }bxxxaP n === ,,, 10 K memuat

titik c, dengan norma ( ) δμ <P dan untuk setiap titik it yang dipilih pada ixΔ ,

didapat

( )[ ]

ε31

,<−Δ∑ ∫

ca

c

aii dxfxtf ,

( )[ ]

ε31

,<−Δ∑ ∫

bc

b

cii dxfxtf ,

( )[ ]

ε31

,<−Δ∑ ∫

ba

b

aii dxfxtf ,

dan

( )[ ]

( ) ( )[ ][ ]

∑ ∑∑ Δ=Δ+Δbc ba

iiiica

ii xtfxtfxtf, ,,

.

Oleh karena itu, dapat disimpulkan

ε<−− ∫∫∫b

c

c

a

b

adxfdxfdxf .

Jadi

85

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxfdxfdxf . ■

Teorema 4. 1. 7. (Kriteria Cauchy untuk Keterintegralan Riemann)

Fungsi f terintegral Riemann pada [ ]ba, jika dan hanya jika untuk 0>ε terdapat

0>δ sehingga jika P dan P′ , berturut-turut adalah dua partisi dari [ ]ba, dengan

norma ( ) δPμ < dan ( ) δμ <′P , maka

( ) ( ) ε<′− fPSfPS ,, .

Bukti.

Pertama, diberikan [ ]baRf ,∈ dan Idxfb

a=∫ .

Jadi, untuk 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk semua partisi P dan P′ dari

[ ]ba, dengan norma berturut-turut ( ) δPμ < dan ( ) δμ <′P dan semua posisi dari

titik it pada ixΔ , berlaku

( ) ε21, <− IfPS , ( )6.1.4

( ) ε21, <−′ IfPS . ( )7.1.4

Sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) .,,,, 21

21 εεε =+<−′+−≤′− IfPSIfPSfPSfPS

Sebaliknya, untuk 0>ε terdapat 01 >δ sehingga untuk sebarang partisi P

dengan norma ( ) δμ <P dan P′ dengan norma ( ) 1δμ <′P , didapat

( ) ( ) ε<′− fPSfPS ,, . ( )8.1.4

Diketahui bahwa untuk partisi P′ yang diberikan dan setiap titik it pada ixΔ

86

yang dipilih, ( )fPS ,′ terbatas oleh ( )fPL ,′ dan ( )fPU ,′ , yang mana semua

partisi dari [ ]ba, terbatas oleh ( )abm − dan ( )abM − , di mana m dan M adalah

batas-batas dari f. Jadi barisan ( ){ }fPS ,′ dari Jumlah Riemann menjadi terbatas.

Karena setiap barisan terbatas mempunyai titik limit, misalkan barisan itu

mempunyai titik limit I, dengan norma ( ) 1δμ <′P , sehingga

( )( ) IfPS

P=′

→′,lim

0μ.

Dengan demikian, untuk 0>ε terdapat 01 >δ untuk partisi P′ dengan norma

( ) 2δμ <′P , berlaku

( ) ε21, <−′ IfPS . ( )9.1.4

Dengan mengambil ( )21 ,min δδδ = , diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,, 21

21 εεε =+<−′+′−≤− IfPSfPSfPSIfPS

untuk ( ) δμ <P .

Sehingga

( )( ) IfPS

P=

→,lim

0μ.

Jadi, ( )

( ) IfPSP

=→

,lim0μ

ada, yang mengakibatkan fungsi f terintegral Riemann.

■

2. Fungsi-fungsi Terintegral Riemann

Dalam subbab ini akan dibahas tentang syarat-syarat fungsi yang terintegral

Riemann.

87

Teorema 4. 2. 1.

Setiap fungsi f yang kontinu pada [ ]ba, terintegral Riemann pada [ ]ba, .

Bukti.

Diberikan 0>ε . Ambil sebarang bilangan positif k, sehingga

( ) ε<− abk .

Karena f kontinu pada interval tertutup [ ]ba, , maka fungsi f terbatas dan kontinu

seragam pada [ ]ba, , ini mengakibatkan terdapat 0>δ , sehingga

( ) ( ) ,21 ktftf <− ( )1.2.4

jika ktt <− 21 dan [ ]batt ,, 21 ∈ . Selanjutnya dipilih partisi P dengan norma

( ) δμ <P . Menggunakan ketidaksamaan (4.2.1), diperoleh

( )nikmM ii ,,2,1, K=≤−

sehingga

( ) ( ) ( )∑=

Δ−=−n

iiii xmMfPLfPU

1

,,

∑=

Δ≤n

iixk

1

( ) ε<−= abk . ( )2.2.4

Jadi, f terintegral Riemann pada [ ]ba, . ■

Akibat 4. 2. 2.

Jika fungsi f kontinu, maka untuk setiap 0>ε terdapat 0>δ sehingga

( ) ε<−Δ∑ ∫=

n

i

b

aii dxfxtf1

,

88

untuk setiap partisi { }nxxxxP ,,,, 210 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) δμ <P dan

untuk setiap titik it pada ixΔ yang dipilih.

Bukti.

Karena nilai ( )∑ Δ ii xtf dan ∫ dxf berada di antara ( )fPU , dan ( )fPL , , maka

dapat disimpulkan bahwa

( ) ε<−Δ∑ ∫=

n

i

b

aii dxfxtf1

,

berdasarkan ketidaksamaan (4.2.2). ■

Catatan.

Untuk fungsi-fungsi yang kontinu pada [ ]ba, , ( )

( )∑ Δ→ iiP

xtf0

limμ

ada dan sama

dengan ∫b

adxf .

Kontinuitas adalah syarat perlu untuk suatu keterintegralan Riemann, bukan syarat

cukup. Suatu fungsi yang terintegral Riemann belum tentu kontinu, sebagai

contohnya akan diberikan pada contoh 4.2.6, contoh 4.2.7, dan contoh 4.2.8.

Teorema 4. 2. 3.

Jika fungsi f monoton pada [ ]ba, , maka f terintegral Riemann pada [ ]ba, .

Bukti.

Misalkan f monoton naik. Karena f monoton pada [ ]ba, , jelas bahwa f terbatas

pula pada [ ]ba, .

89

Diberikan 0>ε . Dipilih bilangan ( ) ( ) 1+−<

afbfk ε .

Ambil partisi { }nxxxP ,,, 10 K= dari [ ]ba, dengan norma ( ) kP <μ .

Karena f monoton naik, diperoleh

( ) ( ) ( )nixfmxfM iiii ,,2,1,, 1 K=== −

sehingga

( ) ( ) ( )∑=

Δ−=−n

iiii xmMfPLfPU

1,,

( ) ( ){ } i

n

iii xxfxf Δ−= ∑

=−

11

( ) ( ){ }∑=

−−<n

iii xfxfk

11

( ) ( ) ( ) ( ){ }afbfafbf

−⋅+−

<1

ε

ε< .

Oleh karena itu, f terintegral Riemann pada [ ]ba, .

Sejalan dengan langkah-langkah di atas, dapat dibuktikan untuk fungsi yang

monoton turun. ■

Teorema 4. 2. 4.

Jika fungsi f terbatas dan mempunyai sejumlah berhingga titik diskontinuitas pada

[ ]ba, , maka f terintegral Riemann pada [ ]ba, .

Bukti.

90

Misalkan f diskontinu pada titik [ ]baaaa k ,,, 21 ∈K dengan kaaa <<< L21 .

Misal m dan M berturut-turut adalah batas-batas fungsi f, dan karena f terbatas,

maka nilai fungsinya berada di antara batas-batasnya.

Ambil sebarang 0>ε , maka terdapat bilangan h dengan

h<0 { }kiaa ii ,,2,1:min 121 K=−⋅< − . Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka f

kontinu juga pada setiap subinterval-subinterval dari [ ]ba, . Misal subinterval-

subintervalnya adalah [ ] [ ] [ ],,,,,, 32321211 hahaIhahaIhaaI −+=−+=−=

[ ]bhaI kk ,, 1 +=+L dan berturut-turut membentuk partisi-partisi

1321 ,,,, +kPPPP K , sehingga

( ) ( ) ( )12,,

+<−

kfPLfPU ii

ε ,

untuk setiap 1,,3,2,1 += ki K .

Misal partisi 121 +∪∪∪= kPPPP L , maka P merupakan partisi dari [ ]ba, . Jika

( ) [ ]{ }hahaxxfm iii +−∈= ,:inf ,

dan

( ) [ ]{ }hahaxxfM iii +−∈= ,:sup ,

maka diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )∑∑=

+

=

−+−=−k

iii

k

iii hmMfPLfPUfPLfPU

1

1

12,,,,

( ) ( )∑=

−++

<k

ihmM

k 12

12ε

( ) εε<−+= khmM 2

2

91

dengan ( )mMkh

−<

2ε .

Oleh karena itu, fungsi f terintegral Riemann. ■

Di bawah ini akan diberikan beberapa contoh yang berhubungan dengan sifat-sifat

integral Riemann yang telah dijelaskan sebelumnya.

Contoh 4. 2. 5.

Jika fungsi f terdefinisi pada [ ]1,1− dengan

( )⎩⎨⎧

=≠

=,0jika,0

0jika,xxk

xf

maka akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,1− dan nilai

integralnya adalah 2k.

Fungsi f hanya mempunyai satu titik yang tidak kontinu, yaitu 0, dan fungsi

tersebut terintegral Riemann. Untuk ( ) kxf = , sudah terbukti pada Contoh 3.1.3,

dan

( )abkdxkb

a−=∫ .

Jadi fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,1− , dan

( )( ) kkdxk 2111

1=−−=∫− .

Contoh 4. 2. 6.

Jika fungsi f terdefinisi pada [ ]1,0 dengan

92

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

== positif,bulatbilangandandenganjika,1

irasionalatau0jika ,0

qpqpx

q

xxxf

maka akan ditunjukkan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [ ]1,0 dan nilai

integralnya adalah nol.

Fungsi f terbatas dengan batas 0 dan 1. Diberikan sebarang 0>ε .

Terdapat bilangan bulat terbesar q sehingga ε211

>q

atau ε2

<q . Jadi hanya

terdapat himpunan titik berhingga dari titik-titik qp dengan ε2

11>

q. Sebut titik

tersebut sebagai titik pengecualian.

Jadi titik rasional yang merupakan titik pengecualian, fungsi f mempunyai nilai

ε211

>q

, sementara itu bilangan rasional yang lain fungsi f mempunyai nilai

ε211

<q

. Nilai fungsi f adalah nol pada titik irasional.

Ingat bahwa setiap interval memuat bilangan rasional dan juga bilangan irasional.

Osilasi dari f pada sebarang interval yang tidak memuat titik pengecualian

nilainya lebih kecil dari ε21 dan pada interval yang memuat titik pengecualian

nilainya lebih besar atau sama dengan 1. Perhatikan partisi P dari [ ]1,0 juga

memuat titik pengecualian pada subinterval-subintervalnya, jumlah dari interval

yang panjangnya lebih kecil dari ε21 . Jadi penambahan pada

( ) ( ){ }fPLfPU ,, − dengan partisi tersebut lebih kecil dari ε21 .

93

Penambahan pada ( ) ( ){ }fPLfPU ,, − dengan bagian dari [ ]1,0 pasti lebih kecil

dari ε21 .

Contoh 4. 2. 7.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan dengan

( ) ( ),,2,1,0,21

21jika,

21

1 K=≤<= + nxxf nnn ,

( ) 00 =f ,

terintegral Riemann pada [ ]1,0 , meskipun mempunyai tak berhingga banyak titik

diskontinuitas.

Perhatikan

( )11

21jika,1 ≤<= xxf

( )21

21jika,

21

2 ≤<= xxf

( ) 232 21

21jika,

21

≤<= xxf

M

( ) 11 21

21jika,

21

−− ≤<= nnn xxf

M

( ) 0jika,0 == xxf .

Jadi dapat dilihat bahwa f terbatas dan monoton ke atas pada [ ]1,0 .

94

Oleh karena itu, menurut Teorema 4.2.3 menjamin bahwa fungsi f terintegral

Riemann pada [ ]1,0 .

3. Integral dan Turunan

Sebelum membahas tentang definisi primitif dari sebuah fungsi, akan ditunjukkan

terlebih dahulu bahwa integral dan turunan merupakan dua hal yang saling

berhubungan erat. Kemudian setelah itu akan dibuktikan teorema yang terkenal

sebagai teorema fundamental kalkulus.

Teorema 4. 3. 1. (Teorema Fundamental Pertama untuk Kalkulus Integral)

Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]ba, , maka fungsi F yang

didefinisikan sebagai

( ) ( ) ,, bxadttfxFx

a≤≤= ∫

kontinu pada [ ]ba, . Lebih lanjut, jika f kontinu pada titik [ ]bac ,∈ , maka F

mempunyai turunan di c dan

( ) ( ).cfcF =′

Bukti.

Karena f terbatas , maka terdapat bilangan 0>k , sehingga

( ) ,kxf ≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .

Jika [ ]baxx ,, 21 ∈ dan bxxa ≤≤≤ 21 , maka

( ) ( ) ( )∫=− 2

112

x

xdttfxFxF

95

( )12 xxk −≤ . (menggunakan Teorema 3. 1. 9)

Jika diberikan 0>ε , diperoleh

( ) ( )k

xxxFxF εε <−<− 1212 jika, .

Karena itu, fungsi F kontinu pada [ ]ba, .

Misal f kontinu pada titik [ ]bac ,∈ , sehingga untuk sebarang 0>ε terdapat

0>δ , dan diperoleh

( ) ( ) δε <−<− cxcfxf untuk, .

Misal δδ +<≤≤<− ctcsc , diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dxcfxfst

cfst

sftF t

s∫ −−

=−−− 1

( ) ( )

.

1

ε<

−−

≤ ∫ dxcfxfst

t

s

Jadi diperoleh

( ) ( )cfcF =′ ,

yaitu f kontinu pada sebarang titik dari [ ]ba, mengakibatkan F mempunyai

turunan pada titik tersebut. ■

Definisi 4. 3. 2.

Jika terdapat fungsi F yang mempunyai turunan sehingga turunannya F ′

mempunyai nilai yang sama untuk fungsi f yang diberikan, fungsi F ini disebut

primitif dari f.

96

Teorema 4.3.1 memperlihatkan bahwa syarat cukup untuk sebuah fungsi menjadi

sebuah primitif adalah fungsi tersebut haruslah kontinu. Jadi untuk setiap fungsi

yang kontinu yang menjadi primitif F, berlaku ( ) ( )∫=x

adttfxF .

Catatan.

Akan ditunjukkan dengan contoh penyangkal bahwa kekontinuan sebuah fungsi

bukanlah syarat perlu untuk adanya sebuah primitif, dengan kata lain “fungsi yang

menjadi primitif tidaklah perlu kontinu”.

Perhatikan fungsi f pada [ ]1,0 , di mana

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=≠−

=.0jika,0

0jika,cossin2 11

xxx

xf xx

Fungsi tersebut mempunyai primitif F, di mana

( ) ( )⎩⎨⎧

=≠

=.0jika,0

0jika,sin 12

xxx

xF x

Dapat dilihat bahwa ( ) ( )xfxF =′ tetapi f tidak kontinu pada 0=x , yang

berakibat tidak kontinu pada [ ]1,0 . Dari hal di atas dapat dikatakan bahwa fungsi

yang mempunyai turunan tidak perlu kontinu.

4. Teorema Fundamental Kalkulus

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang satu teorema yang penting dalam

integral Riemann dari suatu fungsi yang terbatas pada suatu interval tertutup dan

terbatas.

97

Teorema 4. 4. 1. (Teorema Fundamental Kedua untuk Kalkulus Integral)

Jika fungsi f terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]ba, , dan terdapat fungsi F

sehingga fF =′ pada [ ]ba, , maka

( ) ( )aFbFdxfb

a−=∫ .

Bukti.

Karena fungsi fF =′ terbatas dan terintegral Riemann, mengakibatkan untuk

setiap diberikan 0>ε terdapat 0>δ sehingga untuk setiap partisi

{ }bxxxaP n === ,,, 10 K , dengan norma ( ) δμ <P , berlaku

( )

( )( ) ⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

<−Δ

∑ ∫

∫∑

=→

=

n

i

b

aiiPμ

b

a

n

iii

dxfΔxtf

dxfxtf

10

1

limatau

ε

( )1.4.4

untuk setiap titik it yang dipilih pada ixΔ .

Karena titik it pada ixΔ dapat dipilih secara sebarang, dapat dipilih dengan cara

berurutan seperti di bawah ini:

Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Lagrange, berlaku

( ) ( ) ( ) ( )( ) .

,,2,11

ii

iiii

xtfnixtFxFxF

Δ==Δ′=− − K

Jadi

( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ).1

11

aFbF

xFxFxtfn

iii

n

iii

−=

−=Δ ∑∑=

−=

Berdasarkan ketidaksamaan (4.4.1), diperoleh

98

( ) ( )aFbFdxfb

a−=∫ . ■

Contoh 4. 4. 2.

Akan ditunjukkan bahwa 321

0=∫ dxf , di mana fungsi f terintegral Riemann dan

didefinisikan dengan

( ) ( ),,2,1,0,21

21jika,

21

1 K=≤<= + nxxf nnn ,

( ) 00 =f .

Karena f terintegral Riemann pada interval [ ]1,0 (menurut contoh 3.2.7) dan

integral Riemann f pada titik 0 adalah nol, maka tinggal dihitung pada interval

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 1,21

n .

∫∫∫∫∫ −++++= 12

1

2

1

22

1

32

1

21

22

121

2

1

11 n

nn

dxfdxfdxfdxfdxf L

∫∫∫∫ −

−++++= 12

1

2

1122

1

32

1221

22

121 2

121

21

1 n

nn dxdxdxdx L

( ) ( ) ( )nnn 21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

113222 −++−+−+= −−L

( ) ( ){ }1

212

21

21

21

2221 −++++= nL

( ) ( )n

n

41

32

1

121 1

41

41

−=⋅=−

−

Dengan mengambil limit untuk ∞→n , didapat

32

1

0=∫ dxf .

99

Contoh 4. 4. 3.

Akan ditunjukkan bahwa fungsi [ ]x , di mana [ ]x menyimbolkan bilangan bulat

terbesar tetapi tidak lebih besar dari x, terintegral pada [ ]3,0 , dan

[ ] 33

0=∫ dxx .

Fungsi tersebut terbatas dan hanya mempunyai tiga titik diskontinuitas, yaitu pada

titik 1, 2, dan 3.

Diberikan 0>ε . Perhatikan partisi P dengan

{ }3,,,2,,,,1,,,,0 101010 ===== nmi zzzyyyxxxP KKK .

Kemudian dihitung,

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −−⋅+Δ⋅+−⋅+Δ⋅+−⋅+Δ⋅= 10 322110, nnimiioi zzzyzyxyxfPU ( ) ( ) ( ){ }10021 −−+−+−++= nnmi zzyzxy

Dipilih partisi P dengan

( ) ( ) ( ) ε<−+−+− −100 nnmi zzyzxy ,

sehingga mengakibatkan

( ) ε+< 3, fPU .

Setelah itu dihitung,

( ) ( )∑ ∑ ∑ =Δ⋅+−+Δ⋅+Δ⋅= 3210, imoii zyzyxfPL .

Dari perhitungan di atas, diperoleh

( ) ( ) ε<− fPLfPU ,, ,

Sehingga fungsi [ ]x terintegral dan nilainya

[ ] [ ] 33

0

3

0== ∫∫ −

−

dxxdxx .

100

Selain cara seperti di atas, dapat juga diselesaikan seperti di bawah ini:

Karena fungsi [ ]x terbatas dan hanya mempunyai tiga titik diskontinuitas tetapi

terintegral Riemann, dan

[ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫∫ ++=3

2

2

11

1

0

3

0dxxdxxdxxdxx

3203

2

2

1

1

0=++= ∫∫∫ dxdxdx .

Titik 1, 2, dan 3 berturut-turut merupakan titik-titik diskontinuitas pada tiga

integral pada ruas kanan.

Teorema 4. 4. 4.

Jika f adalah fungsi kontinu tak negatif pada [ ]ba, dan 0=∫b

adxf , akan

dibuktikan bahwa ( ) 0=xf untuk semua [ ]bax ,∈ .

Bukti.

Misalkan, untuk suatu [ ] ( ) 0,, >∈ cfbac .

Karena itu, untuk ( ) 021

>= cfε , kontinu di f pada titik c mengakibatkan bahwa

terdapat 0>δ sehingga

( ) ( ),21 cfxf > untuk semua ( )δδ +−∈ ccx , .

Selanjutnya,

∫∫∫∫ +

+

−

−++=

b

c

c

c

c

a

b

adxfdxfdxfdxf

δ

δ

δ

δ

∫+

−≥

δ

δ

c

cdxf ( ( ) 0≥xf , untuk semua [ ]bax ,∈ )

( ) ( ) 021 >=> ∫

+

−cfdxcf

c

cδ

δ

δ

101

Ini mengakibatkan terjadinya kontradiksi. Jadi ( ) 0=xf untuk semua ( )bax ,∈ .

Sejalan dengan hal tersebut, ( )af dan ( )bf tidaklah lebih besar dari nol.

Oleh karena itu, terbukti bahwa ( ) 0=xf untuk semua [ ]bax ,∈ .

Berikut ini adalah contoh penerapan Teorema Fundamental Kedua untuk Kalkulus

Integral yang telah dijelaskan pada Teorema 4.4.1 di atas.

Contoh 4. 4. 5.

Akan ditunjukkan bahwa dxxx

x∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1

0

1cos1sin2 ada.

Fungsi

( ) ( ]⎩⎨⎧

=∈−

=0,01,0,cossin2 11

xxx

xf xx

tidak kontinu pada [ ]1,0 karena diskontinu pada titik 0, tetapi terbatas dan kontinu

pada ( ]1,0 dan itu mengakibatkan terintegral Riemann pada [ ]1,0 .

Fungsi

( ) ( ]⎩⎨⎧

=∈

=0,01,0,sin 12

xxx

xg x

mempunyai turunan pada [ ]1,0 dan memenuhi

( ) ( )xfxg =′ , untuk semua [ ]1,0∈x .

Jadi,

102

( ) ( ) 1sin011cos1sin21

0=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫ ggdx

xxx .

Catatan.

Jika fungsi f tidak terintegral Riemann pada [ ]ba, tetapi ( ) ( )xgxf ′= untuk

semua [ ]bax ,∈ , maka

( ) ( )agbgdxfb

a−≠∫ .

Di bawah ini akan diberikan salah satu contoh fungsi yang turunannya tidak

terintegral Riemann.

Contoh 4. 4. 6.

Akan dibuktikan bahwa persamaan ( ) ( ) ( )afbfdxxfb

a−=′∫ tidaklah selalu

dipenuhi.

Misal f terdefinisi pada [ ]1,0 seperti di bawah ini:

( ) ( ),cos 22

xxxf π= jika ,10 ≤< x dan ( ) 00 =f .

Maka f mempunyai turunan pada [ ]1,0 dan

( ) ( ) ( ) ( ),sincos2 222

xxxxxf πππ +=′ jika 10 ≤< x ,

( ) 00 =′f .

Fungsi f ′ tidak terbatas pada [ ]1,0 dan oleh karena itu, f ′ tidak terintegral

Riemann, yaitu ( )∫ ′1

0dxxf tidak ada.

103

5. Teorema Nilai Rata-rata dari Kalkulus Integral

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral

beserta perluasan dari teorema tersebut.

Teorema 4. 5. 1. (Teorema Nilai Rata-rata Pertama)

Jika fungsi f kontinu pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga

( )( )abcfdxfb

a−=∫ .

Bukti.

Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka [ ]baRf ,∈ .

Misal m, M berturut-turut adalah infimum dan supremum dari f pada [ ]ba, , maka

menurut ketidaksamaan (3.1.3),

( ) ( )abMdxfabmb

a−≤≤− ∫ .

Karena itu, terdapat bilangan [ ]Mm,∈μ , sehingga

( )abAdxfb

a−=∫ .

Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka Teorema Nilai Tengah menjamin bahwa setiap

nilai dari f berada di antara batas-batas m dan M. Oleh karena itu, terdapat

bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) μ=cf , dan ini mengakibatkan

( )( )abcfdxfb

a−=∫ . ■

Catatan.

Teorema 4.5.1 di atas memperlihatkan bahwa kekontinuan adalah syarat cukup

104

untuk fungsi yang akan diperkirakan nilai rata-ratanya berada pada interval yang

diberikan, sebagai contoh fungsi f yang terdefinisi pada [ ]5,2 di bawah ini:

( )⎩⎨⎧

≤≤≤≤

=.53jika,3

32jika,1xx

xf

Kemudian dihitung,

,7315

3

3

2

5

2=+= ∫∫∫ dxdxdxf

dan didapatkan nilai rata-rata dari fungsi tersebut adalah

37

251 5

2=

− ∫ dxf ,

yang mengakibatkan fungsi gagal untuk memperkirakan nilai rata-ratanya pada

intervalnya.

Teorema 4. 5. 2. (Perluasan Teorema Nilai Rata-rata Pertama)

Jika f dan g adalah fungsi terintegral Riemann pada [ ]ba, dan g bertanda sama

pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan μ yang berada di antara batas-batas dari f

sehingga

∫∫ =b

a

b

adxgdxfg μ . ( )1.5.4

Bukti.

Misal g bernilai positif pada [ ]ba, .

Jika m, M adalah batas-batas dari f, didapat untuk semua [ ]bax ,∈ , berlaku

( ) Mxfm ≤≤ ,

sehingga

105

( ) ( ) ( ) ( )xgMxgxfxgm ≤≤ .

Jadi

( ) ( ) ( ) ( ) abdxxgMdxxgxfdxxgmb

a

b

a

b

a≥≤≤ ∫∫∫ jika, . ( )2.5.4

Misal μ adalah bilangan di antara m dan M, diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,∫∫∫∫∫ ≤≤≤≤b

a

b

a

b

a

b

a

b

adxxgMdxxgdxxgxfdxxgdxxgm μμ

jadi mengakibatkan

∫∫ =b

a

b

adxgdxfg μ .

Sejalan dengan hal di atas, dapat dibuktikan jika g bernilai negatif. ■

Akibat 4. 5. 3.

Jika Teorema 4.5.2 di atas ditambahkan bahwa f kontinu pada [ ]ba, , maka

terdapat bilangan [ ]bac ,∈ , sehingga

( )∫∫ =b

a

b

adxgcfdxfg . ( )3.5.4

Bukti.

Sudah dibuktikan bahwa ∫∫ =b

a

b

adxgdxfg μ pada Teorema 4.5.2 di atas.

Karena f kontinu pada [ ]ba, , maka setiap nilainya berada di antara batas-batas m

dan M. Oleh karena itu, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga ( ) μ=cf .

Jadi

( )∫∫ =b

a

b

adxgcfdxfg . ■

106

Catatan.

1. Jika ( ) 0≤xg ,dapat mengubah tanda pada ketidaksamaan (4.5.1) tetapi

tidak mengubah tanda ketidaksamaan (4.5.2) dan (4.5.3).

2. Jika ab ≤ , dapat mengubah tanda pada ketidaksamaan (4.5.1) tetapi tidak

mengubah tanda ketidaksamaan (4.5.2) dan (4.5.3).

6. Pengintegralan Parsial

Di bawah ini akan dipaparkan tentang cara menghitung integral Riemann dengan

memisahkan bagian per bagian atau secara parsial.

Teorema 4. 6. 1.

Jika f dan g terintegral Riemann pada [ ]ba, , dan

( ) ( ) ( ) ( ) ,, ∫∫ +=+=b

a

b

adxxgBxGdxxfAxF

di mana A dan B adalah konstanta real, maka

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ −=b

a

ba

b

adxxfxGxGxFdxxgxF ,

di mana ( ) ( )[ ]baxGxF menotasikan selisih ( ) ( ) ( ) ( )aGaFbGbF − .

Bukti.

Misal partisi { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K dari [ ]ba, , diperoleh,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

−−−=n

iiiii

ba xGxFxGxFxGxF

111

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑ −−− −+−= 111 iiiii xGxGxFxFxFxG

107

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫−−

−+= i

i

i

i

x

xi

x

xi dxxgxFdxxfxG11

1 . ( )1.6.4

Misal ( ) ( )1−−=Δ iii xfxff dan ( ) ( )1−−=Δ iii xgxgg adalah osilasi dari f pada

ixΔ . Selanjutnya, untuk semua ixx Δ∈ , diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

Δ≤−Δ=−≤−

−

−

ii

iiii

gxgxgfxfxfxfxf

1

1

Sehingga

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

Δ+≤≤Δ−Δ+≤≤Δ−

−− ,11 iiii

iiii

gxgxggxgfxfxffxf

( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔ+≤≤ΔΔ−

ΔΔ+≤≤ΔΔ−

∫∫

−

−

−−i

i

i

ix

x iiiiii

iii

x

xiii

xgxgdxxgxgxg

xfxfdxxfxfxf

1

1

,11

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΔΔ′+=

ΔΔ+=

−∫

∫

−

−

,11

1

iiii

x

x

iiii

x

x

xgxgdxxg

xfxfdxxf

i

i

i

i

θ

θ

( )

( )3.6.4

2.6.4

di mana iθ≤−1 dan 1≤′iθ .

Dari ketidaksamaan (4.6.1), (4.6.2), dan (4.6.3) di atas diperoleh

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) σ+Δ+Δ= ∑ ∑ −− iiiiiiba xxgxFxxfxGxGxF 11 , ( )4.6.4

dengan

( ) ( )[ ] iiiiiii xgxFfxG ΔΔ+Δ= ∑ − θθσ 1 .

Karena F dan G kontinu dan terbatas, maka terdapat bilangan k sehingga

( ) ( ) ,, kxGkxF ≤≤ untuk semua [ ]bax ,∈ .

Jadi

108

( ) iii xgfk ΔΔ+Δ= ∑ ∑σ .

Limitnya saat ( ) 0,0 →→ σμ P , dan dari persamaan (4.6.4) didapat

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=b

a

b

a

ba dxxgxFdxxfxGxGxF

atau

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ −=b

a

ba

b

adxxfxGxGxFdxxgxF . ■

Teorema 4. 6. 2.

Jika f dan g mempunyai turunan pada [ ]ba, dan jika f ′ dan g ′ terintegral

Riemann pada [ ]ba, , maka

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b

a

ba

b

adxxfxgxgxfdxxgxf .

Bukti.

Karena f dan g mempunyai turunan dan karena itu pula kontinu pada [ ]ba, ,

mengakibatkan [ ]baRgf ,, ∈ . Selanjutnya, karena f, g, f ′ , dan g ′ semuanya

terintegral Riemann pada [ ]ba, , mengakibatkan [ ]baRfggf ,, ∈′′ .

Misal ( ) ( ) ( )xgxfxF = , untuk semua [ ]bax ,∈ .

Jadi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxF ′+′=′ ,

sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }∫∫ ′+′=′b

a

b

adxxfxgxgxfdxxF

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′+′=b

a

b

adxxfxgdxxgxf . ( )5.6.4

109

Dengan menggunakan Teorema Fundamental (Teorema 4.5.1), diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]bab

axgxfaFbFdxxF =−=′∫ . ( )6.6.4

Dari persamaan (4.6.5) dan (4.6.6), didapat

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b

a

ba

b

adxxfxgxgxfdxxgxf . ■

Di bawah ini akan diberikan contoh perhitungan Integral Parsial.

Contoh 4. 6. 3.

Akan dihitung ∫π

0sin dxkxx , untuk suatu bilangan asli k.

Misal diambil ( ) xxf = dan ( ) kxxg sin= , sehingga diperoleh ( ) 1=′ xf dan

( ) ∫ −== kxk

dxkxxg cos1sin . Menurut Teorema 4.6.2,

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′−⋅=′b

a

ba

b

adxxfxgxgxfdxxgxf ,

sehingga

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

π

0

π

0

π

0

cos1cos1sin dxkxk

kxk

xdxkxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 0sin1πsin10πcosπ

kk

kk

k

kπ

= .

110

7. Mengubah Variabel dalam Integral Riemann

Dalam subbab ini akan dipaparkan bagaimana menyelesaikan masalah integral

dengan mengubah variabel yang ada.

Teorema 4. 7. 1.

Jika

i) [ ]baRf ,∈ ,

ii) fungsi φ mempunyai turunan dan monoton pada [ ]βα , , di mana ( )αφ=a

dan ( )βφ=b ,

iii) [ ]βα ,Rg ∈′ ,

maka

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=β

αφφ dyyyfdxxf

b

a.

(Mengubah variabel pada ( )∫b

adxxf dengan mengandaikan ( )yx φ= .)

Bukti.

Misal φ monoton naik pada [ ]βα , .

Karena φ monoton, maka φ dapat dibalik (invertibel), yakni

( )yx φ= menjadi ( )xy 1−= φ , untuk semua [ ]bax ,∈

sehingga

( )a1−= φα dan ( )b1−= φβ .

Misal { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, dan

{ }βα === nyyyyQ ,,,, 210 K , ( )ii xy 1−= φ adalah partisi dari [ ]βα , .

111

Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Lagrange, didapat

( ) ( ) ( ) iiiiiii yyyyx ∈Δ′=−=Δ − ηηφφφ ,1 . ( )1.7.4

Misal

( ),ii ηφξ = di mana ii xΔ∈ξ . ( )2.7.4

Selanjutnya dihitung,

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑=

−

=

Δ=Δ=n

iiii

n

iii yfxffPS

1

1

1, ηφηφξ . ( )3.7.4

Kekontinuan seragam dari φ mengakibatkan bahwa ( ) 0→Qμ seperti saat

( ) 0→Pμ . Demikian juga Rf ∈ mengakibatkan ( )

( )fPSP

,lim0→μ

ada dan sama

dengan ( )( ) ( )dyyyf∫ ′′β

αφφ .

Dengan mengambil ( ) 0→Pμ pada persamaan (4.7.3), didapat

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=β

αφφ dyyyfdxxf

b

a.

Sejalan dengan hal di atas, dapat dibuktikan untuk fungsi monoton turun. ■

Catatan.

1. Jika ( ) 0≠′ yφ untuk sebarang [ ]βα ,∈y , maka φ monoton pada [ ]βα , .

Karena syarat monoton dariφ pada Teorema 4.7.1 di atas, pernyataan ini

harus diganti menjadi

Jika ( ) 0≠′ yφ ,untuk semua [ ]βα ,∈y , maka φ monoton pada [ ]βα , .

112

2. Teorema 4.7.1 di atas terpenuhi bahkan jika ( ) 0=′ yφ untuk bilangan

berhingga y. Untuk hal ini, interval [ ]βα , dibagi menjadi berhingga

subinterval, dimana masing-masing φ bersifat monoton.

Di bawah ini akan diberikan contoh yang berhubungan dengan pengintegralan

dengan mengubah variabel.

Contoh 4. 7. 2.

Akan dihitung ∫ +

4

1 11 dx

x.

Diketahui ( )( ) ( )( ) 4,1,1

1==

+== ba

xxgfxgf o . Dapat diambil ( )

yyf

+=

11

dengan ( ) xxgy == . Karena ( )x

xg 121

=′ , g ′ monoton turun dan kontinu

pada [ ]4,1 . Karena ( ) ( ) ( ) ( ) 11,2,21 ==′=== − gyyyxgyx χχ dan ( ) 24 =g ,

maka menurut teorema di atas, diperoleh

∫ ∫ +=

+

4

1

2

12

11

11 dyy

ydx

x

∫ ∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

++

=+−+

=2

1

2

1

2

1 11

112

1112 dy

ydy

yydy

yy

( ){ }]211ln2 yy +−=

( )23ln12 −= .

113

Pada Teorema 4.7.1, ternyata tidak mengharuskan bahwa fungsi φ fungsi satu-

satu (injektif). Di bawah ini adalah salah satu contohnya.

Contoh 4. 7. 3.

Akan dihitung ( )∫−1

1

2 dxxfx dengan f sebarang fungsi kontinu pada [ ]1,1− .

Diambil ( ) 2xxg = , dan diketahui bahwa f kontinu pada [ ]1,1− sehingga

[ ]( )1,1−g = [ ]1,0 , ( ) 11 =−g , dan ( ) 11 =g . Oleh karena itu, menurut Teorema 4.7.1

diperoleh

( ) ( )( ) ( )dxxxfdxxfx gg21 1

1

1

1

2 ′= ∫∫ −−

( )

.021 1

1

=

= ∫ dttf

8. Teorema Nilai Rata-rata Kedua

Dalam subbab ini akan dipaparkan tentang teorema nilai rata-rata yang kedua.

Dalam pembuktian teorema ini, akan menggunakan pula Lemma Abel.

Lemma 4. 8. 1. (Lemma Abel)

Jika { }nb adalah barisan monoton turun dan k, K berturut-turut menyimbolkan

nilai terkecil dan nilai terbesar dari jumlahan ∑=

p

mrru , untuk nmmp ,,1, K+= ,

maka

114

∑=

≤≤n

mrmrrm Kbubkb .

Bukti.

Misal ∑=

=p

mrrp uS , maka

∑=

++ +++=n

mrnnmmmmrr ubububub L11

( ) ( )111 −++ −++−+= nnnmmmmm SSbSSbSb L

( ) ( ) ( ) nnnnnmmmmmm SbSbbSbbSbb +−++−+−= −−++++ 111211 L

Semua yang ada dalam tanda kurung di ruas kanan nilainya tak negatif.

Jadi,

( )nnnmmmm bbbbbbbk +−++−+− −+++ 1211 L

( )∑=

+ +−+−≤≤n

mrnnmmrr bbbbKub L1 ,

sehingga

∑=

≤≤n

mrmrrm Kbubkb . ■

Khusus untuk 1=m , Lemma 4.8.1 dapat ditulis sebagai berikut:

Jika nbbb ,,, 21 K adalah himpunan monoton turun positif dan k, K berturut-turut

menyatakan nilai terkecil dan nilai terbesar pada jumlahan parsial ∑=

p

mrru ,

np ≤≤1 dari bilangan-bilangan nuuu ,,, 21 K , maka

115

∑=

≤≤n

rrr Kbubkb

111 .

Teorema 4.8.2. (Teorema Nilai Rata-rata Kedua)

Jika ∫b

adxf dan ∫

b

adxg keduanya ada dan f monoton pada [ ]ba, , maka terdapat


( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxgbfdxgafdxfg .

Bukti.

Pertama akan dibuktikan bahwa f fungsi monoton bernilai positif dan monoton

turun pada [ ]ba, .

Jika ∫b

adxφ dan ∫

b

adxg keduanya ada dan φ positif dan monoton turun pada

[ ]ba, , maka terdapat titik [ ]bac ,∈ sehingga

( )∫∫ =c

a

b

adxgadxg φφ .

Misal { }bxxxxaP n === ,,,, 210 K adalah sebarang partisi dari [ ]ba, , dan ii mM ,

adalah batas-batas dari g pada ixΔ .

Ambil at =1 dan ( )1≠iti sebarang titik pada ixΔ .

Pada subinterval ixΔ , diketahui

ii

x

xii xMdxgxm i

i

Δ≤≤Δ ∫−1

,

dan

( ) iiiiii xMxtgxm Δ≤Δ≤Δ .

116

Dengan menghitung untuk ( )npni ≤= ,,,2,1 K dan menambahkannya secara

vertikal, didapat

∑ ∑∫= =

Δ≤≤Δp

i

p

iii

x

aii xMdxgxm p

1 1,

dan

( )∑ ∑∑= ==

Δ≤Δ≤Δp

i

p

iii

p

iiiii xMxtgxm

1 11,

yang mengakibatkan

( ) ( ) ( )∑∑∫==

≤Δ−≤Δ−p

iiii

p

iii

xp

agPxmMxtgdxg

11,ω .

Jadi

( ) ( ) ( )∑ ∫∫=

+≤Δ≤−p

i

xp

aii

xp

agPdxgxtggPdxg

1,, ωω ,

di mana ( )gP,ω menunjukkan jumlah osilasi, ( ) ( )gPLgPU ,, − .

Selanjutnya, ∫t

adxg sama dengan fungsi kontinu, ∫

t

adxg terbatas. Misal A, B

adalah batas-batasnya, sehingga didapat

( ) ( ) ( )∑=

+≤Δ≤−p

iii gPAxtggPB

1,, ωω . ( )1.8.4

Menggunakan Lemma Abel (Lemma 4.8.1) di atas, di mana

( ),ii tb φ= ( ) iii xtgu Δ=

( ),, gPBk ω−= ( )gPAK ,ω+=

didapat

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

+≤Δ≤−n

iiii gPAaxtgtgPBa

1,, ωφφωφ .

117

Dengan menggunakan limit saat ( ) 0→Pμ , didapat

( ) ( )aAdxgaBb

aφφφ ≤≤ ∫ .

Jadi

( )adxgb

aφψφ =∫ , ( )2.8.4

di mana ψ adalah suatu bilangan di antara B dan A.

Jadi jika fungsi ( )∫b

adxxg kontinu, untuk suatu [ ]bac ,∈ , nilai ψ yang berada di

antara batas-batasnya, sehingga didapat

( )∫∫ =c

a

b

adxgadxg φφ . ( )3.8.4

Selanjutnya diasumsikan f monoton turun, sehingga fungsi φ dengan

( )bff −=φ adalah positif dan monoton turun juga. Oleh karena itu, seperti yang

sudah dibuktikan sebelumnya, terdapat bilangan [ ]bac ,∈ sehingga

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ −=−c

a

b

adxgbfafdxbffg .

Jadi

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ∫∫∫∫

c

a

b

a

c

a

b

adxgdxgbfdxgafdxfg

( ) ( )∫∫ +=b

c

c

adxgbfdxgaf . ( )4.8.4

Misal f monoton naik, sehingga ( )f− monoton turun dan oleh karena itu,

menggunakan (4.8.4), diperoleh

( ) ( ) ( )∫∫∫ −−=−b

c

c

a

b

adxgbfdxgafdxgf .

Jadi

118

( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxgbfdxgafdxfg . ■

Teorema 4. 8. 3. (Teorema Nilai Rata-rata Kedua-Keadaan Khusus)

Jika f monoton, f, f ′ dan g semuanya kontinu pada [ ]ba, , maka terdapat bilangan


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxgbfdxxgafdxxgxf .

Bukti.

Misal ( ) ( )∫=x

adttgxG . Dapat dilihat bahwa ( ) 0=aG , dan berdasarkan

pemisalan di atas, ( )xG mempunyai turunan dan ( ) ( )xgxG =′ .

Jadi

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′=b

a

b

adxxGxfdxxgxf

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ′−=b

a

ba dxxfxGxGxf

menurut integral parsial (subbab 6).

Karena G kontinu dan terintegral Riemann dan f monoton dan kontinu pada [ ]ba, ,

dan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Pertama (Teorema 4.5.1) terdapat


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′−=b

a

b

adxxfcGbGbfdxxgxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )cGafcGbGbf

afbfcGbGbf+−=

−−=

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +=c

a

b

cdxxgafdxxgbf . ■

119

Contoh 4. 8. 4.

Jika fungsi f kontinu pada [ ]1,0 , akan ditunjukkan bahwa

( ) ( )∫ =+∞→

1

0 22 021

lim fdxxn

xfnn

π .

Diambil

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +

++

=+

1

0 0

1

222222

1

1 111n

n

dxxnxfndx

xnxfndx

xnxfn .

Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata Pertama, didapat

( ) ( )∫∫ +=

+nn dx

xnncfdx

xnxfn 11

0 220 22 11, di mana ( )

ncf 10 ≤≤

( ) ( )02

tan 1 fncf π→= − , sejalan dengan ∞→n .

Selanjutnya, karena f kontinu pada [ ]1,0 , maka f terbatas dan mengakibatkan

adanya bilangan K sehingga

( ) Kxf ≤ , untuk semua [ ]1,0∈x .

Jadi,

( )∫∫ +

≤+

1

22

1

22 11 11 nn

dxxn

nKdxxnxfn

( )∫ +=

1

21 1n

dxnxnK

( )∫ +=

1

21 1n nxnxdK

]111tann

nxK −=

0tantan 11 →−= −− nnK , untuk ∞→n .

120

Oleh karena itu, telah ditunjukkan bahwa

( ) ( )∫ =+∞→

1

0 22 021

lim fdxxn

xfnn

π .

Contoh 4.8.5.

Akan ditunjukkan bahwa nIlim , di mana

∫ ∈=δ

0,sin Nndx

xnxI n

ada dan sama dengan 2π .

Karena nxnx

n=

→

sinlim0

, fungsi yang terintegral Riemann menjadi kontinu untuk

setiap nilai dari x jika ditetapkan pada nilai n saat 0=x .

Langkah pertama, akan ditunjukkan bahwa integralnya ada.

Misal ∫=δ

0

sin dxxnxI n . Dengan mengganti tnx = , didapat

∫=δn

n dxt

tI0

sin .

Jadi

( )1,sin

≥=− ∫+

+ pdtt

tIIpn

nnpn

δ

δ

( )∫

+≤

δ

δ

pn

ndt

ttsin

.

Karena tsin selalu positif dan t1 positif dan monoton turun pada ( )[ ]δδ pnn +, ,

menggunakan teorema nilai rata-rata kedua, didapat

121

( )∫

+

+ ≤−δ

δδpn

nnpn dttn

II sin1

εδ<≤

n2 , untuk semua

εδ2

>n .

Dengan menggunakan Prinsip Cauchy tentang kekonvergenan, { }nI konvergen.

Langkah kedua, akan ditunjukkan bahwa

∫∞→∞→= 2

0

sinlimlimπ

dxxnxI

nnn.

Diketahui,

∫∫∫ += 22 sinsinsin00

ππ

δ

δdx

xnxdx

xnxdx

xnx .

Seperti pada contoh 4.8.4 sebelumnya,

∫ →2

00sinπ

dxxnx sejalan dengan ∞→n ,

sehingga

∫ ∫∞→∞→∞→==

δ π

0 0

2 sinlimsinlimlim dxxnxdx

xnxI

nnnn.

Fungsi f, di mana

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−=0,0

0,sin

11

x

xxxxf

kontinu dan karena itu terbatas dan terintegral Riemann pada [ ]2,0 π , sehingga

dengan menggunakan cara pada contoh 4.8.4, didapat

0sinsin

11lim 2

0=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∫∞→

π

dxnxxxn

.

Jadi

122

∫ ∫∞→∞→∞→== 2 2

0 0 sinsinlimsinlimlim

π π

dxx

nxdxxnxI

nnnn.

Langkah ketiga, akan dihitung nIlim dan akan diambil ∞→n pada nilai integral

yang ganjil.

Diketahui bahwa

( ) { }nxxxx

xn 2cos4cos2cos2sin

12sin21 ++++=

+L .

Kemudian diintegralkan, didapat

( ) { }∫ ∫ ++++=+2 2

0 0 21 2cos4cos2cos2

sin12sinπ π

dxnxxxdxx

xnL

( )dxnxxx∫ ++++= 2

02cos24cos22cos21

π

L

∫ ∫ ∫ ∫++++= 2 2 2 2

0 0 0 02cos24cos22cos2

π π π π

dxnxdxxdxxdx L

[ ] [ ] [ ]222000 2sin2sinπππ

nxxx +++= L

2000

2ππ

=++++= L .

Jadi,

( )∫ =

+2

0 2sin12sinπ πdx

xxn , untuk semua Nn∈ .

Dengan demikian

∫∞→∞→= 2

π

0

sinlimlim dxx

xInnn

∫∞→= 2

π

0 sinsin

lim dxx

nxn

( )∫

+=

∞→

2π

0 sin12sin

lim dxx

xnn

2π

= .

BAB V

PENUTUP

1. Kesimpulan

Integral Riemann dan integral Darboux adalah dua jenis integral yang

integral sudah dikenal dan dipergunakan dalam menghitung integral suatu fungsi.

Integral Darboux merupakan modifikasi dari integral Riemann, sehingga pada

prosesnya integral Darboux juga menggunakan partisi P, seperti pada integral

Riemann.

Integral Darboux disusun menggunakan jumlah Darboux atas ( )fPU , dan

jumlah Darboux bawah ( )fPL , , lalu berturut-turut dicari supremum ( )fPU , dan

infimum ( )fPL , sehingga didapatkan integral Darboux atas ∫− b

adxf dan integral

Darboux bawah ∫−b

adxf . Jika kedua integral tersebut mempunyai nilai yang sama,

maka dapat dikatakan bahwa fungsi f terintegral Darboux.

Integral Riemann disusun menggunakan jumlah Riemann ( )fPS , ,

kemudian dicari limit dari jumlah Riemann tersebut untuk norma ( ) 0→Pμ yang

ditulis ( )

( )fPSP

,lim0→μ

. Jika limit tersebut ada, maka dapat dikatakan bahwa fungsi f

terintegral Riemann dan nilai limitnya tersebut merupakan integral dari fungsi

yang dicari, ditulis ( )

( ) .,lim0 ∫=→

b

aPdxffPS

μ

Dipandang dari segi cara dan sifat-sifat yang dipakai, ternyata dapat

dibuktikan bahwa integral Darboux dan integral Riemann ekuivalen. Jadi, fungsi

124

yang terintegral Darboux pasti terintegral Riemann dan sebaliknya, yaitu fungsi

yang terintegral Riemann pasti terintegral Darboux.

2. Saran

Setelah lebih memahami tentang integral Riemann dan integral Darboux,

penulis dapat memberikan beberapa saran pembahasan yang dapat berguna untuk

pengembangan yang lebih lanjut, antara lain:

a. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika intervalnya tidak tertutup dan

tidak terbatas?

b. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika fungsinya tidak terbatas?

c. Bagaimana integral Riemann-Darboux jika melibatkan fungsi

pengintegralan (integral Stieltjes) ?

d. Bagaimana hubungan integral Riemann dan integral Darboux di Rn atau

di ruang-ruang lainnya yang lebih umum?

125

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R. G. and Sherbert, D. R. Intoduction to Real Analysis, third Edition, John Wiley & Sons. New York, 2000.

Berberian, S. K. A First Course in Real Analysis. Springer-Verlag. New York. 1994.

Darmawijaya, Soeparna. Pengantar Analisis Real. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UGM. Yogyakarta. 2006.

Malik, S. C. and Arora, Savita. Mathematical Analysis, second Edition. New Age International. New Delhi. 2001.

Stoll, Manfred. Introduction to Real Analysis. Addison-Wesley Educational Publishers. 1997.

Pedrick, George. A First Course in Analysis. Springer. New York. 1994.

Wade, W. R. An Introduction to Analysis. Prentice-Hall Intern. New York. 1995.

INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX SKRIPSIIntegral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan...

Documents

Transcript of INTEGRAL RIEMANN-DARBOUX SKRIPSIIntegral Riemann adalah suatu jenis integral yang disusun dengan...