UN

ITÀ 6 I quadrilateri

LEZIONI

1. Proprietà generali dei quadrilateri2. I parallelogrammi3. Il rettangolo4. Il rombo5. Il quadrato6. I trapezi7. Il deltoide

IHCOIGMatematici

LABORATORIO DELLE COMPETENZE

I laboratori del coding

IMPARAFACILE

Ripasso e recupero

G

VIDEOTUTORIAL

In questodisegno c’èuna stella

a cinque puntenascosta.Riuscite

a individuarla?Guardate

attentamentee concentratevi.

PUOI TROVARELA RISPOSTA

IN FONDOAL VOLUME.

Nonè nascosta!Ci ho messo

un po’, mi sonoconcentrata,

ma ora lavedo bene.

Non è facilericonoscere

la stella.Alcuni la vedono

subito, altriimpiegano più tempo,

ma alla finetutti la trovano.

L'inventore diquesto giocoè Samuel Loyd

(1841-1911),esperto di scacchi

e creatore di giochimatematici.

Hoguardatobene, maproprionon lavedo!

CLASSECAPOVOLTA

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LEZIONE

1Proprietà generali dei quadrilateri

Gli elementi di un quadrilatero

Quadrilatero

Un quadrilatero è un poligono di quattro lati.I lati di un quadrilatero possono essere consecutivi oppure opposti.Gli angoli possono essere adiacenti a un lato oppure opposti.

CONCETTO CHIAVE

Per esempio, nel quadrilatero ABCD:• AB e BC sono lati consecutivi;• AB e CD sono lati opposti;• α e γ sono angoli opposti;• α e β sono angoli adiacenti al lato AB.

Ogni quadrilatero ha due diagonali.

D

C

BAβα

γδ

D

C

BA

La classificazione dei quadrilateriCon quattro segmenti di misure opportune si possono costruire infiniti quadrilateri.Tutti questi quadrilateri si classificano in base ad alcune loro proprietà.Ecco uno schema dei tipi di quadrilateri che studieremo nelle prossime lezioni.

concavo

quadrilatero

convesso

scaleno isoscele

rettangolo

trapeziosolo due lati paralleli

parallelogrammalati opposti paralleli

deltoide (convesso o concavo) diagonali perpendicolari

rombo4 lati uguali e diagonali perpendicolari

quadrato4 angoli retti 4 lati uguali

rettangolo4 angoli retti

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I quadrilateriUnità G6

263262G G

Gli angoli interniQuanto vale la somma degli angoli interni di un qualsiasi quadrilatero?Per scoprirlo, basta osservare che una diagonale divide un quadrilatero in due triangoli.La somma degli angoli interni di ciascun triangolo è 180°.La somma degli angoli interni di un quadrilatero è dunque il doppio di 180°, cioè 360°.

Somma degli angoli interni di un quadrilatero

La somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a due angoli piatti.

CONCETTO CHIAVE

α + β + γ + δ = 360°

1 Angolo incognito Qual è l’ampiezza dell’angolo x nel seguente quadrilatero?

x = 360° − (138° + 62° + 46°) = 360° − 246° = 114°

x = 114°

C

B

DA

x

62°

138°

46°

I lati e il perimetro

Possibile o impossibile? Dati quattro segmenti qualsiasi, non è sempre possibile costruire il quadrilatero che abbia quei quattro segmenti come lati. Fai due prove con le cannucce, come illustrato nelle figure.

6 cm

11 cm

7 cm

10 cm

Se la lunghezza di ogni cannuccia è minore della somma delle lunghezze delle altre tre, allora è possibile costruire il quadrilatero.

6 cm4 cm

5 cm

19 cm

Se invece c’è una cannuccia che è più lunga della somma di tutte le altre, allora è impossibile costruire il quadrilatero.

ESPLORA

Relazione fra i lati di un quadrilatero

In un quadrilatero qualsiasi, ogni lato è minore della somma degli altri tre lati.

CONCETTO CHIAVE

Il perimetro di un quadrilatero è la somma delle misure dei suoi lati (come abbiamo già visto, questa regola vale per tutti i poligoni).

C

B

D

Aβα

γt

z

x

x + z + t = 180°

α + β + γ = 180°

D

C

BAβα

γδ

ESERCIZIO GUIDA

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Lezione 1 Proprietà generali dei quadrilateri

265264G G

ESERCIZI DELLA LEZIONE 1

CONOSCERE CONCETTI E PROCEDURE

1 Classifica Sotto ogni quadrilatero scrivi il suo nome.

2 Elementi di un quadrilatero Osserva la figura e rispondi alle domande.

D

C

BAβα

γδ

a. Qual è il lato opposto di AD? BC

b. Qual è l’angolo opposto di α? γc. Quali sono gli angoli adiacenti al lato AB?d. Quali sono i lati consecutivi di BC? AB e CD

3 Possibile o impossibile? Verifica se è possibile costruire i quadrilateri che hanno le seguenti misure dei lati. Completa la tabella scrivendo sì o no.

Misure dei lati (in cm) È possibile?

2, 2, 20, 22 sì

5, 4, 10, 20 no

5, 4, 10, 18 sì

7, 7, 7, 7 sì

12, 12, 100, 100 sì

4 Angoli interni Completa la seguente affermazione.La somma degli angoli interni di un

quadrilatero è uguale a

cioè a

5 Angolo incognito Qual è l’ampiezza dell’angolo x nel seguente quadrilatero?

ESERCIZIO GUIDA 1 130°

x

D C

BA90°

90°

50°

6 MONDO REALE Perimetro del campo Un campo ha la forma di un quadrilatero i cui lati misurano 26 m, 24 m, 45 m, 30 m.Calcola il perimetro del campo. 125 m

APPLICARE STRATEGIE, RAPPRESENTAZIONI E MODELLI

7 Angolo incognito Qual è l’ampiezza dell’angolo x nel seguente quadrilatero?

8 Lato incognito Il perimetro del quadrilatero rappresentato nella figura è 50 cm.Quanto è lungo il lato AD? 14 cm

parallelogramma trapezio isoscele deltoide concavo deltoide convesso quadrato

trapezio rettangolo rettangolo trapezio scaleno rombo

α e β

due angoli piatti

360°

D

C

x

B

A

86°

73°142°

59°

B

A

D15 cm

9 cm

12 cmC

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I quadrilateriUnità

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G6

265264G GAltri esercizi a pag. G286

RAGIONARE IN CONTESTI NUOVI O COMPLESSI

9 Somma 1 Nel seguente quadrilatero, quanto misura la somma degli angoli α + β ?

C

BA

D48°

52°

βα

10 COME UN MATEMATICO Quadrilatero concavo Dimostra che anche in un quadrilatero concavo la somma degli angoli interni è 360°.

Traccia la diagonale AC e ragiona sulla somma degli angoli interni dei triangoli ottenuti.

B

D

CA

11 SFIDA Somma 2 Qual è la somma degli angoli α + β nella figura seguente? 250°

Prima ho trovato le ampiezze degli angoli H ̂ G C e D ̂ H G.

A F

D

C

G H

B

30°40°

βα

E

12 Quadrilateri uniti La figura mostra due quadrilateri uniti per un lato.

a. Quanti lati ha il poligono ottenuto dall’unione dei due quadrilateri? sei

b. Qual è la somma dei suoi angoli interni?

13 Piano cartesiano 1 Disegna in un piano cartesiano il quadrilatero che ha per vertici i punti A (1; 2) , B (8; 2) , C (8; 6) , D (1; 6) . Che quadrilatero è? rettangolo

14 Piano cartesiano 2 Disegna in un piano cartesiano il quadrilatero che ha per vertici i punti A (2; 2) , B (6; 2) , C (6; 9) , D (2; 13) .Che quadrilatero è? trapezio rettangolo

15 Piano cartesiano 3 Disegna in un piano cartesiano il quadrilatero che ha per vertici i punti A (4; 3) , B (8; 3) , C (10; 5) , D (6; 5) .Che quadrilatero è? parallelogramma

16 Cerca la forma In ciascuno dei seguenti schemi unisci alcuni punti in modo da ottenere il quadrilatero richiesto.

Un quadrilatero convesso con i lati di lunghezze tutte diverse

Un quadrilatero concavo

Un quadrato Un rettangolo

17 OCOIG Il gatto di Alice Il gatto di Alice entra nell’edificio la cui

pianta è riportata in figura. Se vuole attraversare solo stanze a forma di quadrilatero, da quale porta uscirà? porta e

a

b

c

d

e

260°

720°

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LEZIONE

2 I parallelogrammi

Parallelogramma articolato Puoi svolgere questa attività usando strisce di cartoncino o cannucce.

1) Ritaglia 4 strisce di cartone a due a due uguali.2) Fai un piccolo foro alle loro estremità.3) Uniscile con 4 ferma-campioni, in modo da

formare un quadrilatero articolato.4) Prova a muovere un vertice come illustrato nella

figura.Osserva che il quadrilatero può prendere forme diverse, ma i suoi lati opposti si mantengono sempre paralleli.Il quadrilatero che hai realizzato si chiama parallelogramma.

ESPLORA

Parallelogramma

Il parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.

CONCETTO CHIAVE

In ogni parallelogramma valgono le seguenti proprietà: • i lati opposti sono congruenti

(hanno la stessa lunghezza):

AB ≅ CD

BC ≅ AD

CD

A B

• gli angoli opposti sono congruenti (hanno la stessa ampiezza):

α ≅ γ

β ≅ δ

• gli angoli adiacenti a un qualunque lato sono supplementari, cioè la loro somma è 180°:

βα

γδCD

A B

α + β = 180° α + δ = 180°

• ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti:

ABC ≅ CDA

ABD ≅ BCD

CD

A B

CD

A B

CD

A B

CD

A B

• le diagonali si intersecano nel loro punto medio:

AE ≅ EC

BE ≅ ED

CD

E

A B

CD

BA

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I quadrilateriUnità G6

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1 Il quarto punto Mario ha segnato nel piano cartesiano i tre punti A (7; 2) , B (9; 6) , C (3; 6) e ha tracciato i segmenti AB e BC. Ora vuole segnare un punto D in modo che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma. Quali sono le coordinate del punto D?

1) Tracciamo per il punto A la parallela a BC.2) Tracciamo per il punto C la parallela ad AB.3) Scriviamo le coordinate del loro punto

d’intersezione: D (1; 2) .

2 Perimetro Calcola il perimetro del parallelogramma in figura.

Per calcolare il perimetro ci servono solo le misure dei lati.Utilizziamo la proprietà secondo la quale i lati opposti del parallelogramma sono uguali:

p = 8,8 ⋅ 2 + 16 ⋅ 2 = 49,6 cm

Parallele e trasversali nel parallelogrammaIn un parallelogramma, ogni lato e ogni diagonale si possono considerare come trasversali che tagliano due rette parallele.Possiamo quindi applicare tutte le proprietà che abbiamo già studiato su questo argomento.

3 Diagonale Nella figura, ABCD è un parallelogramma. Qual è l’ampiezza dell’angolo x ?

51°

D C

BA

x

L’angolo x e l’angolo di 51° sono alterni interni formati dalle rette parallele AB e DC tagliate dalla trasversale AC. Quindi x = 51°.

4 Angolo esterno Nella figura, ABCD è un parallelogramma. Calcola l’ampiezza degli angoli x e y.

72°D C

BA

x

y

1) y = 72° perché opposto al vertice dell’angolo di 72°.

2) x = 180° − 72° = 108° perché coniugato interno di y.

Base e altezzaIn un parallelogramma, ogni lato si può considerare come base e la relativa altezza è la distanza della base dal lato opposto.

CON VIDEO TUTORIALESERCIZI GUIDA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

y

x

A

BC

D

12,4 cm

16 cm

8,8 cm

ESERCIZI GUIDA

altezza

base

altezza

base

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Lezione 2 I parallelogrammi

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ESERCIZI DELLA LEZIONE 2

CONOSCERE CONCETTI E PROCEDURE

1 Allenati Impara a disegnare un parallelogramma su un foglio quadrettato. Segui le istruzioni e le figure.1) Disegna due segmenti paralleli uguali

non incolonnati verticalmente.

2) Collega gli estremi dei segmenti in modo da formare il parallelogramma e nomina i vertici con lettere maiuscole.

CD

A B

3) Osserva che anche i lati AD e BC sono paralleli.

2 Disegna Riproduci sul tuo quaderno i seguenti parallelogrammi.

N

O

L

M

CD

A B

RS

P Q

3 Riconosci Spiega perché il seguente quadrilatero non è un parallelogramma.

CD

A B

4 Misura e calcola Calcola il perimetro del parallelogramma prendendo con un righello le misure necessarie. 9 cm

CD

A B

5 Vero o falso? Nella figura è disegnato un parallelogramma con le sue diagonali.I lati AB e BC hanno lunghezze diverse.

C

E

D

A B

Indica con una crocetta se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. ABD è un triangolo ottusangolo. V F

b. CED non è un triangolo isoscele. V F

c. AE è la metà di AC. V F

d. I triangoli BEC e AED sono congruenti. V F

e. DE è una mediana del triangolo ACD. V F

APPLICARE STRATEGIE, RAPPRESENTAZIONI E MODELLI

6 Diagonale Il quadrilatero ABCD è un parallelogramma. a. Qual è la lunghezza di BD? 24 cm

b. Spiega quali dati hai usato e quale proprietà hai applicato.

i lati AD e BC non sono paralleli

C

E

D

A B

CE = 6 cmDE = 12 cm

15 cm

lunghezza di DE; le diagonali si incontrano nel punto medio

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I quadrilateriUnità

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G6

269268G GAltri esercizi a pag. G291

7 Perimetro Calcola il perimetro del parallelogramma in figura.

ESERCIZIO GUIDA 2 13,2 cm

2 cm

4 cm4,6 cm

8 Angoli interni Nel parallelogramma ABCD un angolo interno misura 31°.Calcola le misure degli altri tre angoli.

31°

CD

A B

βαγ

9 Angolo esterno Nella figura, ABCD è un parallelogramma. Calcola l’ampiezza degli angoli x, y e z. ESERCIZIO GUIDA 4

x

zy

CD

A B

37°

10 Lato doppio In un parallelogramma, un lato misura 9 cm ed è il doppio del lato consecutivo. Calcola il perimetro del parallelogramma. [27 cm]

11 Problema inverso Il perimetro di un parallelogramma è 74 cm. Calcola la misura del lato minore sapendo che quello maggiore misura 22 cm. [15 cm]

RAGIONARE IN CONTESTI NUOVI O COMPLESSI

12 MONDO REALE Conta Quanti parallelogrammi formano i listelli di questo traliccio? 8

13 Quarto vertice Tre vertici di un parallelogramma ABCD hanno le seguenti coordinate: A (0; 0) , B (4; 4) e C (5; 12) .Quali sono le coordinate del quarto vertice D? ESERCIZIO GUIDA 1 D (1; 8)

14 Diagonale perpendicolare Nel parallelogramma ABCD, la diagonale BD è perpendicolare al lato AD. L’angolo C ̂ D B  misura 27°. Calcola le misure degli altri angoli interni del parallelogramma, indicati con x, y, z. ESERCIZIO GUIDA 3

CD

A

yx

B

27° z

[y = 117°; x = z = 63°]

15 Somma-multiplo Il perimetro di un parallelogramma è 168 cm e un lato è il triplo del lato consecutivo. Calcola le misure dei lati. [21 cm; 63 cm]

Ho fatto un disegno e ho notato che il perimetro è diviso in 8 parti uguali.

16 SFIDA Diagonale uguale al lato Nel parallelogramma ABCD la diagonale BD ha la stessa lunghezza del lato AB. L’angolo B ̂ D C misura 34°.

CD

A B

34°

a. Cosa si può dire dei triangoli ABD e BCD?b. Calcola le misure degli angoli interni del

parallelogramma.

α = γ = 149°; β = 31°

x = z = 37°; y = 143°

a. sono triangoli isosceli congruenti; b. 73°, 107°

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