Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
Transcript of Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
1/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 83
UNIT PELAJARAN 5
KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK
UJIAN PRA-PELAJARAN
Nota:Anda boleh menguji dan menilai tahap kebolehan atau penguasaan anda mempelajari
unit pelajaran ini dengan menjawab persoalan berikut. Sekiranya anda menguasai penilaian
pada tahap 5, bermaksud anda sudah menguasai unit pelajaran ini sepenuhnya. Oleh itu
bolehlah anda terus mempelajari topik / Unit Pelajaran berikutnya.
Sangat Tidak
Setuju
Tidak Setuju Kurang Setuju Setuju/Agree Sangat Setuju
1 2 3 4 5
Item Penyataan /Statement 1 2 3 4 5
1 Saya dapat menghuraikan maksud penaakulan danpenaakulan matematik.
2 Saya dapat membezakan di antara penaakulaninduktif and penaakulan deduktif.
3 Saya dapat menggunakan rekabentuk penaakulan
matematik TIMSS 2011 untuk mengkaji unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-itemujian.
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
2/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 84
UNIT PELAJARAN 5
KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir pembelajaran pelajar akan dapat:
1. menghuraikan maksud penaakulan dan penaakulan matematik.
2. membezakan di antara penaakulan induktif and penaakulan deduktif.
3. menggunakan rekabentuk penaakulan matematik TIMSS 2011 untuk mengkaji
unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-item ujian.
5.1 PENDAHULUAN
nit ini mula dengan pengenalan penaakulan dan penaakulan matematik.
Seterusnya unit ini memperkenalkan penaakulan induktif dan deduktif. Unit ini
juga mengetengahkan rekabentuk penaakulan matematik yang diamalkan oleh
TIMSS 2011. Selain daripada itu, isu-isu cabaran mengendalikan kemahiran penaakulan
matematik dalam pengajaran juga dibincangkan.U
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
3/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 85
5.2 APA ITU KEMAHIRAN PENAAKULAN
ahukah anda apa itu penaakulan? Penaakulan (reasoning) adalah keupayaan
berfikir, memahami sesuatu serta kebolehan melahirkan pendapat atau membuat
pertimbangan berlandaskan fakta (Longman, 1987). Selain daripada itu,
penaakulan juga dikenali sebagai kemahiran membuat kesimpulan dan pertimbangan
berasaskan hujah yang logik dan bersepadu (Ross, 1997). Mengikut Kaur (2009), kemahiran
menaakul boleh dianggap sebagai satu proses membuat kesimpulan berdasarkan kepada
suatu badan pengetahuan tertentu. Sebagai contoh, beliau menjelaskan jika sesuatu spesis
X dikenal pasti sebagai labah-labah, maka adalah munasabah untuk membuat kesimpulan
bahawa spesis X itu mempunyai lapan kaki. Begitu juga jika diberitahu ukuran panjang dan
lebar suatu bilik segi empat tepat adalah 4 m dan 6 m, maka kesimpulan yang dicapai
adalah luas bilik adalah 24 m persegi.
Mengikut Kurikulum Standard Sekolah Rendah (KSSR, 2011) kemahiran menaakul
boleh dirujuk sebagai kebolehan kognitif seseorang berfikir secara sistematik dan abstrak.
Kemahiran ini biasanya digunakan dalam proses menyelesaikan masalah. Memandangkan
matematik bersifat abstrak,maka penguasaan kemahiran menaakul amatlah penting dalam
usaha melahirkan murid yang bersikap lebih yakin dan mampu menjana idea pembelajaran
sendiri.
5.3 APA ITU KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK
ahukah anda apa itu kemahiran penaakulan matematik? Selden dan Selden
(2003) menyarankan penaakulan matematik sebagai kemahiran berfikir secara
logik menembusi masalah-masalah matematik dalam usaha mencari
penyelesaian. Lazimnya, proses penaakulan matematik membabitkan pengolahan nombor,
T
T
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
4/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 86
simbol, serta kenyataan yang berbentuk induktif, visual dan heuristik (Brodie, 2000).Dalam
erti kata lain, penaakulan matematik tidak sahaja terdiri daripada bukti matematik tetapi juga
merangkumi semua bentuk penjelasan yang mengarah kepada pembinaan hujah yang
menyakinkan.
Fikirkan: adakah kemahiran penaakulan menjadi amalan dalam pengajaran anda?
5.3.1 Penaakulan matematik dan kemahiran berkomunikasi
Tahukah anda bahawa penaankulan matematik dan kemahiran berkomunikasi saling berkait
rapat. Dalam matematik, kemahiran menaakul merupakan satu asas dalam
mengembangkan potensi murid ke arah pemikiran aras tinggi (KSSR, 2011). Perkembangan
penaakulan matematik berkait rapat dengan perkembangan intelek dan komunikasi murid
(KSSR, 2010). Kaur (2009) turut mensyorkan perkaitan di antara penaakulan matematik
dengan kemahiran menyelesaikan masalah dan komunikasi murid. Berpandukan kepada
item TIMSS 1999 di bawah beliau menjelaskan domain kognitif ataupun pencapaian yang
dijangkakan dalam item ini menegaskan aktiviti membuat siasatan dan kemahiran
menyelesaikan masalah di Bahagian (a) dan (b) manakala Bahagian (c) menekankan
kemahiran komunikasi dan penaakulan.
Rancangakan satu masalah matematik yang boleh menggalakkan:
(i) kemahiran siasatan dan penyelesaian masalah;
(ii) kemahiran komunikasi dan penaakulan.
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
5/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 87
Rajah 1. Item terjemahan daripada TIMSS 1999 (Kelly, Mullis & Martin, 2000)
Rajah 5.1: Masalah menggalakkan kemahiran komunikasi dan penaakulan
Rajah-rajah di bawah menunjukkan empat set terdiri daripada bulatan-bulatan.
Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4
a) Lengkapkan jadual yang berikut. Isikan bilangan bulatan yang membentuk Rajah
4. Seterusnya, cari bilangan bulatan yang diperlukan bagi rajah kelima jikalau
turutan bilangan rajah dilanjutkan.
Rajah Bilangan bulatan
1 1
2 3
3 6
4
5
b) Turutan bilangan rajah dilanjutkan sehinnga rajah ketujuh. Berapakah bilangan
bulatan akan diperlukan bagi Rajah 7?
Jawapan: ............................
c) Rajah yang ke-50 dalam turutan mempunyai bilangan bulatan sebanyak 1275.
Tentukan bilangan bulatan yang ada pada rajah yang ke-51. Tanpa melukis rajah
yang ke-51, jelaskan atau tunjukkan bagaimana anda dapat memperolehi
jawapan.
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
6/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 88
5.3.2 Kaedah kemahiran penaakulan matematik
Secara umumnya, kemahiran membuat pertimbangan secara logik, rasional dan kreatif
boleh dicapai melalui dua kaedah penaakulan iaitu penaakulan induktif (secara aruhan) dan
penaakulan deduktif.
a. Penaakulan induktif.
Diberikan situasi bahawa setiap kali hujan lebat, banjir kilat akan melanda Jalan X yang
menuju ke sekolah anda. Daripada pengalaman lepas, anda akan memilih Jalan Y ke
sekolah untuk mengelakkan kesesakan lalu lintas jika hujan lebat turun tidak berhenti-henti
selama dua jam. Penaakulan sebegini di mana anda membuat kesimpulan berdasarkan
kepada pengalaman adalah penaakulan induktif.
Penaakulan induktif (PI) ialah satu proses pemikiran yang logik yang bermula dari
satu situasi spesifik dan seterusnya berkembang sehingga mencapai satu kesimpulan atau
pengitlakan. Oleh sebab PI bergerak daripada pemerhatian spesifik dan maju ke pengitlakan
dan pembentukan teori umum, keadaan ini kadangkala dikenali sebagai pendekatan bottom
up. Satu lagi contoh PI yang diperhatikan dalam kehidupan seharian kita ialah Hari ini saya
berlepas pada tujuh pagi dan tiba di dewan kuliah sebelum lapan pagi. Oleh itu, jika setiap
hari saya berlepas pada tujuh pagi, maka saya akan tiba di dewan kuliah sebelum lapan
pagi.
Ahli matematik menggunakan PI untuk meramalkan kebenaran sesuatu tanggapan.
Dalam mata pelajaran matematik, murid-murid diberi pengalaman untuk membuat
kesimpulan umum untuk semua kes berdasarkan kepada satu kes yang khusus. Sebagai
contoh, dalam proses membuktikan semua nombor genap boleh dibahagi dengan dua,
seseorang murid mungkin memilih sebarang nombor genap misalnya, 6, 8 dan 10 dan
kemudian tunjukkan semua nombor ini boleh dibahagi dengan dua. Jikalau murid itu
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
7/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 89
membuat satu kesimpulan umum berpandukan kepada tiga nombor yang dipilih, maka murid
ini telah menaakul secara induktif.
Contoh yang berikut menunjukkan satu kes di mana semua nombor ganjil bermula
daripada 1 ditambah. Pola yang diperhatikan adalah seperti berikut:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Hasil tambahnya terdiri daripada nombor-nombor kuasa dua sempurna: 4 = 2 2, 9 = 3
3, 16 = 4 4. Daripada pemerhatian, anda mungkin boleh buat kesimpulan bahawa hasil
tambah nombor-nombor ganjil positif yang berturutan dan bermula dengan 1 adalah nombor
kuasa dua sempurna.
Namun, penaakulan induktif tidak semestinya benar. PI boleh dianggap sebagai satu
cara tidak rasmi dalam membuktikan kewajaran sesuatu ramalan atau konjektur matematik.
Konjektur matematik adalah penaakulan yang berkaitan dengan membuat kesimpulan
berdasarkan kepada kenyataan-kenyataan yang tidak lengkap.Sesuatu konjektur boleh jadi
benar atau palsu. Dokumen KSSR Matematik (2010) menegaskan dalam konteks
pendidikan matematik, murid harus dilatih dan dibimbing untuk membuat konjektur dan
membuktikan konjektur serta memberi justifikasi terhadap semua aktiviti matematik. PI
berupaya bertindak sebagai pendorong bagi membantu seseorang murid berfikiran aras
tinggi dalam menyelesaikan masalah matematik
b. Penaakulan deduktif
Penaakulan deduktif (PD) ialah satu proses pemikiran yang logik yang bermula dari satu
situasi umum ke situasi yang spesifik spesifik. Oleh sebab PD bergerak daripada maklumat
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
8/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 90
yang meluas dan maju ke kesimpulan yang khusus, keadaan ini dikenali sebagai
pendekatan top-down.
Menurut Jonhston (2002), PD adalah satu proses logik di mana sesuatu yang
diketahui dan dipersetujui sebagai benar diaplikasikan ke suatu kes yang khusus.
Contohnya, jika seorang murid membuktikan 20 adalah suatu nombor genap melalui
penggunaan teori yang menyatakan bahawa semua nombor genap boleh dibahagi dua
maka murid ini telah menaakul secara deduktif. Dalam perkataan lain, penaakulan deduktif
berlaku jika kesimpulan dapat dicapai dengan merujuk kepada fakta, definisi, hukum,
ataupun ciri-ciri tertentu. Pendek kata, PD ikut satu set peraturan yang terbukti dan diterima
secara umum. Contoh yang berikut menunjukkan bagaimana PD digunakan untuk
menyelesaikan masalah.
Contoh 1: Buktikan bahawa (x y) zadalah sentiasa sama dengan (z y) x. Berikan
sebab kepada setiap langkah yang anda pilih.
Penyelesaian:
Langkah 1: (x y) z= z (x y) hukum kalis tukar tertib pendaraban
Langkah 2: = z (y x) hukum kalis tukar tertib pendaraban
Langkah 3: = (z y) x hukum kalis sekutuan pendaraban
Dalam mencari penyelesaian bagi masalah di atas, seseorang murid perlu tahu hukum-
hukum matematik yang sedia ada bagi operasi algebra. Penyelesaian yang dicapai boleh
digunakan bagi membuktikan semua kes matematik yang serupa. Sekiranya murid tersebut
cuba buktikan pernyataan di atas dengan menggunakan kaedah gantian iaitu gantikan
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
9/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 91
pemboleh ubah x, y dan zdengan nombor-nombor nyata, maka justifikasi yang diberikan
tidak dianggap sebagai PD.
Perbincangan kumpulan kecil
Dalam kumpulan dua orang:
1. Dapatkan satu soalan dari buku teks sekolah rendah yang menggunakan kaedah PI
dan satu lagi yang menggunakan PD dalam mencari penyelesaian.
2. Dapatkan satu soalan dari buku teks sekolah menengah yang menggunakan kaedah
PI dan satu lagi yang menggunakan PD dalam mencari penyelesaian.
3. Binakan satu item matematik yang menggunakan pendekatan PI dan satu lagi yang
menggunakan PD dalam mencari penyelesaian. Tunjukkan jawapan masing-masing
dan terangkan langkah-langkah penyelesaian anda.
5.4 TIMSS 2011
erangka penilaian TIMSS 2011 (Mullis, Martin, Ruddock, OSullivan, &
Preuschoff, 2009) menegaskan usaha menaakul secara matematik memerlukan
keupayaan berfikir secara logik dan sistematik. Ini termasuk penaakulan intuitif
berasaskan pola dan ketetapan untuk memperolehi penyelesaian bagi masalah-masalah
bukan rutin. Masalah-masalah bukan rutin yang memerlukan penaakulan matematik adalah
lebih kompleks dan penyelesaiannya melibatkan lebih banyak langkah. TIMSS 2011
menetapkan tiga domain utama dalam pembinaan item matematik dalam penilaian. Domain
yang pertama pengetahuan meliputi fakta, konseps dan prosedur. Domain kedua iaitu
aplikasimenumpukan kepada kebolehan murid menggunakan pengetahuan dan kefahaman
konsep dalam menyelesaikan masalah.Domain yang ketiga iaitu penaakulan melangkaui
usaha mencari penyelesaian bagi masalah rutin. Ia merangkumi situasi yang luar biasa,
K
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
10/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 92
konteks yang rumit dan penyelesaian masalah yang memerlukan pelbagai langkah. Jadual 1
berikut menunjukkan peratus masa ujian yang diperuntukkan bagi setiap domain mengikuti
kategori murid.
Jadual1. Peruntukan masa ujian domain kognitif bagi TIMSS 2011
ujian gred-empat dan gred-lapan mengikut peratus
Domain kognitif Peratus
Gred-empat Gred-lapan
Pengetahuan 40% 35%
Aplikasi 40% 40%
Penaakulan 20% 25%
5.5 PENAAKULAN MATEMATIK DALAM PENDIDIKAN MATEMATIK
alam kehidupan seharian, pengetahuan dalam penaakulan matematik amat
penting untuk membolehkan kita berfikiran secara kritikal dalam membuat
keputusan atau kesimpulan yang tepat.Penaakulan matematik merupakan satu
proses pemikiran yang bersangkutpaut dengan aktiviti menyelesaikan masalah matematik.
Kemahiran ini dianggap perlu dipupuk pada setiap orang murid untuk membolehkan setiap
individu mampu mencari punca masalah, belajar, berfikir, membuat keputusan dan
pertimbangan untuk bertindak supaya dapat menyelesaikan sesuatu masalah dengan lebih
berkesan.
Dalam usaha mendidik murid kita menguasai kemahiran menaakul, soalan-soalan
yang akan timbul adalah bolehkah kemahiran penaakulan diajar dan bagaimana? Krulik dan
Rudnick (2001) memaklumkan bahawa kemahiran penaakulan boleh bertambah maju jika
D
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
11/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 93
murid didedahkan kepada pelbagai cara dalam menyelesaikan sesuatu masalah. Justeru,
bagi membantu memupuk penaakulan matematik di kalangan murid-murid sekolah
menengah Kaur (2009) mengesyorkan empat strategi. Ringkasan aktiviti adalah seperti
berikut:
Strategi 1: Nombor yang macam mana membawa makna?
Murid-murid diberikan masalah di mana data berangka yang dibekalkan adalah tidak
lengkap dan mereka dikehendaki menentukan di mana mereka boleh mengisi angka-angka
yang tiada ini supaya situasi masalah membawa makna. Kerja kumpulan ditegaskan dan
murid dikehendaki menjelaskan fikiran mereka. Aktiviti seperti ini boleh diolah daripada
soalan buku teks.
Strategi 2: Apakah yang tidak kena?
Murid-murid diberikan satu masalah dan juga penyelesaian yang mempunyai kesilapan.
Mereka diarahkan untuk mengenalpasti kesilapan, betulkannya dan kemudian memberitahu
apakah kesilapannya, kenapa tidak betul dan apa yang telah dilakukan untuk
membetulkannya. Aktiviti ini boleh dilaku dalam kumpulan kecil atau secara individu. Adalah
difahamkan bahawa perbincangan yang terhasil akibati ini mampu mendalamkan lagi
pemahaman matematik di kalangan murid (Krulik & Rudnick, 2001).
Strategi 3: Bagaimana jika?
Dua jenis masalah diberi untuk menguji pemikiran kritis serta kemahiran berfikir secara
kreatif di kalangan murid-murid. Dalam masalah yang pertama guru sengaja tukarkan
maklumat yang ada pada suatu soalan dan murid dikehendaki mengkaji semula dan
memerhatikan apakah kesan yang dibawa ke atas proses penyelesaian dan juga jawapan.
Masalah yang kedua dimulakan dengan murid-murid menjawab beberapa soalan
bagaimana jika dan kemudian mereka diarahkan membina soalan bagaimana jika. Aktiviti
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
12/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 94
membina masalah (problem posing) ini lebih sesuai dilakukan melalui perbincangan kelas
daripada perbincangan secara individu.
Strategi 4: Apakah soalannya jika anda telah tahu jawapan?
Mula-mula murid-murid dibekalkan dengan konteks dan data tetapi tanpa soalan. Kemudian
mereka diminta menulis soalan yang sepadan dengan jawapan yang diberikan. Aktiviti ini
memberi peluang kepada murid untuk melibatkan diri dalam pemikiran kritis. Aktiviti ini lebih
sesuai dilakukan melalui perbincangan kelas daripada perbincangan secara individu.
Contoh-contoh di atas dibincangkan secara terperinci dalam Unit 2: Mengajar kemahiran
penaakulan matematik.
5.6 CABARAN MELAKSANAKAN PENAAKULAN MATEMATIK
anggupkah guru melatih murid penaakulan matematik? The Third International
Mathematics and Science Study (TIMSS) melaporkan guru matematik di U.S.
banyak menekankan kepada mengajar murid cara untuk melakukan matematik
daripada cara memahami apa yang mereka buat (NCES, 1996). Terdapat banyak sebab
kenapa pengajaran seperti ini kerap berlaku. Di antara sebab-sebab yang dikenalpasti ialah
imej kendiri guru yang menganggap matematik sebagai satu set kemahiran; kehendak
ibubapa untuk membiarkan anak-anak mereka belajar menguasai asas matematik terlebih
dahulu sebelum maju ke aktiviti beraras tinggi yang melibatkan penaakulan; dan kekangan
daripada penilaian standard kelolaan negeri yang memberi tumpuan kepada masalah rutin.
Dengan melihat kepada cabaran dalam pendidikan matematik masa kini,
bincangkan isu Sanggupkah guru melatih murid penaakulan matematik?. Perbincangan
adalah merujukkan kepada situasi di Malaysia.
S
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
13/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 95
Bincangkan dalam kumpulan kecil apakah langkah-langkah yang boleh diambil
bagi menangani masalah-masalah yang tersirat dalam soalan-soalan berikut:
Bagaimanakah perbincangan kelas atau kumpulan dapat merangsangkan
penaakulan matematik?
Apakah jenis aktiviti kelas yang dapat membantu menggalakkan di samping
meningkatkan kemahiran penaakulan matematik di kalangan murid?
Apakah jenis soalan yang anda fikirkan dapat menggalakkan penaakulan matematik
di kalangan murid?
Bagaimana guru dapat berinteraksi dengan murid-murid dalam aktiviti untuk
membantu menggalakkan di samping mengekalkan penaakulan matematik di
kalangan murid?
Apakah dilema yang anda jangkakan akan dihadapi oleh guru dalam mengajar
penaakulan matematik?
Apakah yang boleh dilakukan oleh guru-guru dalam usaha mengatasi rintangan
menyahut cabaran melaksanakan kaedah baru dalam pengajaran?
5.7 KESIMPULAN
engajaran matematik akan menjdi lebih bermakna sekiranya kebolehan
menaakul palajar dapat dipupuk dan dipertingkatkan. Oleh itu, para guru
seharusnya mengambil kira aspek teori demi memastikan aplikasi dalam
pengajaran dapat dilaksakan dengan berkesan.
P
-
8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik
14/14
K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 96
UJIAN PASCA-PELAJARAN
Nota: Anda boleh menguji dan menilai tahap kebolehan atau penguasaan anda mempelajari
unit pelajaran ini dengan menjawab persoalan berikut:
Sangat Tidak
Setuju
Tidak Setuju Kurang Setuju Setuju/Agree Sangat Setuju
1 2 3 4 5
Item Penyataan /Statement 1 2 3 4 5
1 Saya dapat menghuraikan maksud penaakulan danpenaakulan matematik.
2 Saya dapat membezakan di antara penaakulaninduktif and penaakulan deduktif.
3 Saya dapat menggunakan rekabentuk penaakulanmatematik TIMSS 2011 untuk mengkaji unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-itemujian.