Probabilidad Variables Aleatorias Discretas Variables Aleatorias Continuas Bernoulli Binomial Poisson Weibull Normal

Distribuciones de ProbabilidadesUnidad II

Probabilidad y Estadstica

Alex Antequeda Campos

2015

Probabilidad Variables Aleatorias Discretas Variables Aleatorias Continuas Bernoulli Binomial Poisson Weibull Normal

Conceptos

El objetivo de esta parte es presentar una introduccion a la teora deprobabilidades como fundamento para la inferencia estadstica, la quefinalmente nos permitira tomar una decision sobre nuestro problema.

Definicion

Un Experimento Aleatorio es un proceso (repetible) cuyo resultado nose conoce de antemano.

Si se repite un exp. aleatorio bajo las mismas condiciones y anotamos lasfrecuencias relativas de un suceso, observaremos que estas tienden aestabilizarse alrededor de un numero que esta entre 0 y 1. Este valorrecibe el nombre de probabilidad.

Definicion

Un Experimento Determinstico es un experimento del cual sabemosde antemano lo que sucedera.Ej: Si tomamos una piedra y la dejamos caer estamos seguros de quecaera.

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Conceptos

Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: lanzar una moneda tres veces.Podemos contar el numero de resultados posibles de este experimentocomo un conjunto:

= {CCC ,CCS ,CSC ,CSS ,SCC ,SCS ,SSC ,SSS}O con un diagrama de arbol.

Definicion

Un Espacio Muestral es el conjunto de todos los valores posibles de unexperimento aleatorio.

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Ejercicios

Escribir el espacio muestral para los siguientes experimentos:

a) Lanzar una moneda y se observa el lado visible.

b) Lanzar dos dados y se registran los numeros que aparecen en cadadado.

c) Lanzar dos dados y anotar la suma de los valores.

d) tomar una muestra aleatoria de tamano 10 de un lote de piezas ycontar las que tienen defectos.

e) El tiempo de espera en la llegada de la micro en el paradero.

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Conceptos

Definicion

Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral .Se dice que un evento A ocurre si cualquiera de los elementos oresultados en A ocurren.

Por lo general se usan diagramas de Venn, de la teora de conjuntos, paravisualizar el espacio muestral y los eventos.

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Conceptos

Definicion

La union de dos eventos, representado por A o B, se denota por: AB

Definicion

La interseccion de dos eventos, representado por A y B, se denotapor: A B

Es importante distinguir el conjunto resultante de la union () o lainterseccion () de sucesos.

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Conceptos

Definicion

El complemento de un evento o suceso es el conjunto de resultados queno estan contenidos en ese suceso, es representado por no A y sedenota: AC

Definicion

Dos eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si notienen elementos en comun. As, si un evento ocurre, el otro no puedoocurrir.

Ejemplos:- Lanzamiento de una moneda- Un vendedor hace una venta:A = la venta excede los $5.000B = la venta excede los $50.000C = la venta es de mas de $100.000D = la venta es de entre $10.000 y $40.000

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Probabilidad

Definicion

La probabilidad de que ocurra un evento es la frecuencua relativa con laque puede esperarse que ocurra ese evento, si fuera repetido muchasveces. (definicion frecuentista)

Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

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Probabilidad

Formalizando el concepto de probabilidad y generalizando:

f (A) =nAn P(A), cuando n (1)

: experimentoA: sucesonA: frecuencia absoluta del suceso An: numero de repeticiones del experimento f(A): proporcion de veces que se verifica el suceso A

Es decir, la probabilidad de un suceso (o resultado) es el numero hacia elcual tiende la frecuencia relativa del mismo cuando el numero derepeticiones de la experiencia tiende a infinito. Es decir, es una frecuenciarelativa calculada en la poblacion. Esta definicion de probabilidad seconoce como definicion frecuencial de probabilidad

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Probabilidad

Definicion

Se considera a la probabilidad de ocurrencia de un resultado determinadode un experimento aleatorio, como la proporcion de veces (frecuenciarelativa) que se obtiene dicho resultado depues de una gran cantidadde repeticiones. (definicion clasica)

Reglas de Probabilidades:

Para cualquier evento A, le asignaremos el numero P(A) llamadoprobabilidad del evento A.

A cada resultado en el espacio muestral le asignamos unaprobabilidad entre 0 y 1, tal que la suma de estas probabilidades esigual a 1.

La probabilidad de cualquier evento es la suma de las probabilidadesde los resultados que hacen aquel evento.

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Probabilidad

Si los resultados de son equiprobables (igualmente probables), laprobabilidad de un evento A es simplemente la proporcion de resultadosde A en el espacio muestral.

numero de resultados favorales de Anumero de resultados posibles =

casos favorablescasos posibles

Definicion

La probabilidad es asignada a un suceso por una persona en particular.La misma puede ser bastante diferente de la probabilidad subjetiva queestipula otra persona. (Definicion subjetiva)

Ejemplo: Si un empresario piensa que hay una probabilidad de 0.35 deque un nuevo producto tenga exito en el mercado, esto constituye unaprobabilidad subjetiva. El valor es una opinion, mas que un valor basadoen evidencia objetiva. Esto es frecuente en la toma de desiciones en elmercado, siendo confiable si la determina un experto en la materia.

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Ejercicio

Asignado probabilidades a eventos.Experimento: Lanzar dos dados. Asuma que los 36 puntos en el espaciomuestral son equiprobables. cual es la probabilidad de los siguienteseventos? = {(1, 1)(1, 2)...(1, 6)(2, 1)...(4, 5)..(5, 5)...(6, 6)}

a) Evento A = No sale seis

b) Evento B = Sale exactamente un seis

c) Evento C = Salen exactamente dos seis

d) Evento D = Sale al menos un seis

e) compare 1 P(A) con P(D)f) Considere la suma de los valores de dos dados:

Cual es la probabilidad de obtener una suma de 3?Cual es la probabilidad de obtener una suma de al menos 11?

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Reglas de Probabilidades

1) Cualquier probabilidad es siempre un valor numerico entre 0 y 1. laprobabilidad es cero cuando el evento no puedo ocurrir y es 1 si elevento es seguro.

0 P(A) 1 (2)2) Si sumamos las probabilidades de cada resultado individual en el

espacio muestral, la probabilidad total tiene que ser uno.

P() = 1 (3)

3) La probabilidad de que un evento A ocurra es uno menos laprobabilidad de que el evento no ocurra.

P(A) = 1 P(AC ) (4)

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Reglas de Probabilidades

4) Regla de la suma: La probabilidad de que un evento A o un evento Bocurra es la suma de sus probabilidades individuales menos laprobabilidad de la interaccion.

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5)

Si los dos eventos Ay B son disjuntos, es decir, no tienen elementosen comun, entonces:

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) (6)

Ejercicio en pizarra

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Probabilidad Condicional

En algunas ocaciones, el conjunto de todos los resultados posiblespuede constituir un subconjunto del espacio muestral original.

Definicion

La probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado que elevento B ocurrio esta dada por:

P(A/B) =P(A B)P(B)

donde P(B) > 0 (7)

De la relacion anterior se deduce que podemos escribir la interseccion deotra manera usando la regla de la multiplicacion:

P(A B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A) (8)

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Ejemplo

Los alumnos en una universidad de espana son 5453, en la tabla semuestra el detalle de la composicion.

Mujeres Hombres TotalPregrado 2461 2848 5309Postgrado 67 77 144

Total 2528 2925 5453

a) Cual es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea unestudiante de postgrado?

b) Cual es la probabilidad de que una mujer elegida al azar seaestudiante de postgrado?

c) En este contexto, dar un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes.

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Ejercicios

1) Sea el experimento de lanzar un dado.

a) Cual es la probabilidad de obtener un dos?b) Suponga que sabemos que el resultado es par, Cual es ahora la

probabilidad de obtener un dos?

2) Sea el experimento de lanzar una moneda dos veces.

a) Cual es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento?b) cual es la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento

dado que salio cara en el primer lanzamiento?

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Prob. de Sucesos Independencia

Cuando el resultado de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento, se dice que los sucesos son estadsticamenteindependientes.

Definicion

Dos eventos A y B son independientes si:

P(A/B) = P(A), o P(B/A) = P(B) (9)

Si dos eventos A y B son independientes, entonces la regla demultiplicacion nos queda:

P(A B) = P(A)P(B) (10)

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Ejemplo

SERNAC realiza una encuesta de calidad del servicio de reparacion deautomoviles en 86 talleres:

AtencionTalleres Buena MalaAutorizado 18 6No Autorizado 34 28

a) Cual es la probabilidad de que un taller elegido al azar de una buena atencion?

b) Cual es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado?

c) Cual es la probabilidad de que un taller elegido al azar sea no autorizado y de una buenaatencion?

d) Cual es la probabilidad de que los talleres no autorizados den una buena atencion?

e) Son los eventos no autorizados y buena atencion disjuntos?

f) Son los eventos no autorizados y buena atencion independientes?

g) Si fueran independientes, Cuantos talleres no autorizados que dan buena atencion esperarasencontrar?

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Teorema de la Probabilidad Total

Definicion

El teorema de la probabilidad total consiste que en un sistemacompleto de sucesos (A1,A2...,An) tal que cada probabilidad de cada unode ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que seconocen las probabilidades condicionales P(B/Aj), entonces laprobabilidad del suceso B viene dada por la expresion:

P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + + P(An)P(B/An) (11)

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Teorema de Bayes

Definicion

La probabilidad condicional toma en cuenta informacion acerca de laocurrencia de un suceso para encontrar la probabilidad de otro. esteconcepto puede extenderse para revisar probabilidades basadas en nuevainformacion y para determinar la probabilidad de que un efecto enparticular se deba a una causa especfica. El procedimiento para revisarestas probabilidades se conoce como Teorema de Bayes.

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Teorema de Bayes

Si ciertas causas tienen probabilidad a priori P(Ak) y Existe un efecto B,que no siempre ocurre cuando se presenta la causa, por eso se habla deP(B/Ak).Cuandose usa la probabilidad condicional para invertir lo anterior, secalcula la probabilidad de una causa, dado el efecto, es decir, laprobabilidad a posteriori P(Ak/B).

Definicion

Es decir, dado P(Ak) y P(B/Ak) se deduce P(Ak/B) Por lo que elTeorema de Bayes se obtiene en la ecuacion:

P(Aj/B) =P(Aj)P(B/Aj)ki=1 P(Ai )P(B/Ai )

j = 1, 2, 3, . . . , k (12)

Donde el denominador es la aplicacion del teorema de probabilidadestotales.

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Ejemplo

Una fabrica que produce material para la construccion tiene 3 maquinas,a las que se les denomina A, B y C. La maquina A produce tabique, la Badoqun y la C losetas. La maquina A produce el 50 % de la producciontotal de la fabrica, la B el 30 % y la C el 20 %. Los porcentajes deartculos defectuosos producidos por las maquinas son, respectivamente,3 %, 4 % y 5 %. Si se selecciona un artculo al azar y se observa que esdefectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Definamos el evento D como sea un artculo defectuoso. Tenemos que:

P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2P(D/A)=0.03, P(D/B)=0.04, P(D/C)=0.05

P(A/D) =P(A)P(D/A)

P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) + P(C )P(D/C )

=(0.5)(0.03)

(0.5)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.2)(0.05)

=0.015

0.037= 0.4054

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Ejemplo

Una fabrica que produce material para la construccion tiene 3 maquinas,a las que se les denomina A, B y C. La maquina A produce tabique, la Badoqun y la C losetas. La maquina A produce el 50 % de la producciontotal de la fabrica, la B el 30 % y la C el 20 %. Los porcentajes deartculos defectuosos producidos por las maquinas son, respectivamente,3 %, 4 % y 5 %. Si se selecciona un artculo al azar y se observa que esdefectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Definamos el evento D como sea un artculo defectuoso. Tenemos que:

P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2P(D/A)=0.03, P(D/B)=0.04, P(D/C)=0.05

P(A/D) =P(A)P(D/A)

P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) + P(C )P(D/C )

=(0.5)(0.03)

(0.5)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.2)(0.05)

=0.015

0.037= 0.4054

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Variables Aleatorias Discretas

El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito enocaciones como una cantidad numerica.

En estos casos aparece la nocion de variable aleatoria.

Funcion que asigna a cada suceso un numero.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

Definicion

Una Variable Aleatoria X es una funcion que asocia a cada suceso delespacio muestral de un experimento aleatorio un valor numerico real:

X :