Distribuciones de Probabilidad, Distribuciones discretas ...

Estadıstica

Basica

con

R y R–Commander

(Version Febrero 2008)

Autores:A. J. Arriaza GomezF. Fernandez PalacınM. A. Lopez SanchezM. Munoz Marquez

S. Perez PlazaA. Sanchez Navas

Copyright c©2008 Universidad de Cadiz. Se concede permiso para copiar, distribuir y/omodificar este documento bajo los terminos de la Licencia de Documentacion Libre deGNU, Version 1.2 o cualquier otra version posterior publicada por la Free Software Foun-dation. Una traduccion de la licencia esta incluida en la seccion titulada “Licencia deDocumentacion Libre de GNU”.

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Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de CadizC/ Dr. Maranon, 311002 Cadiz

http://www.uca.es/publicaciones

ISBN:

Deposito legal:

Capıtulo 4

Distribuciones de Probabilidad

Estadıstica Basica con R y R-commander(Version Febrero 2008)Autores: A. J. Arriaza Gomez, F. Fernandez Palacın,

M. A. Lopez Sanchez, M. Munoz Marquez, S. Perez Plaza,

A. Sanchez Navas

c©2008 Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cadizhttp://knuth.uca.es/ebrcmdr

La existencia de fenomenos o experimentos no determinısticos, donde elconocimiento de las condiciones en las que estos se desarrollan no de-terminan los resultados, hace imprescindible el uso de una funcion queasigne niveles de certidumbre a cada uno de los desenlaces del fenomenoy ahı es donde aparece la teorıa de la probabilidad . Los experimentos ofenomenos que poseen la caracterıstica anterior se denominan aleatorios.Intuitivamente, la concrecion numerica del fenomeno mediante la asig-nacion de valores con un cierto criterio, da origen a la variable aleatoria.Una correcta proyeccion de estos conceptos es lo que va a permitir es-tudiar grandes colectivos a partir de pequenas partes de ellos, llamadasmuestras, dando lugar a lo que se conoce como inferencia estadıstica.

La teorıa de la probabilidad y la variable aleatoria van a permitirestablecer un amplio catalogo de modelos teoricos, tanto discretos comocontinuos, a los cuales se van a poder asimilar muchas de las situacionesde la vida real. El estudio de los modelos teoricos, incluyendo la caracte-rizacion a traves de sus parametros, el calculo de probabilidades en susdistintos formatos y la generacion de numeros aleatorios, van a facilitarenormemente el analisis de estas situaciones reales. Ese sera el objetivodel capıtulo.

Antes de entrar en materia se describiran una serie de fenomenos

56 Capıtulo 4. Distribuciones de Probabilidad

que se podran asimilar a las distribuciones de probabilidad que se des-cribiran en este capıtulo.

Ejemplo 4.1

Si se contesta al azar un examen tipo test de 10 preguntas, dondecada una de ellas tiene 4 posibilidades siendo solo una de ellascierta, ¿que numero de aciertos es mas probable?

Cuando alguien pregunta por el numero que salio en el sorteo dela ONCE, la respuesta suele ser la unidad de dicho numero: el 7, el5,. . . ¿como se distribuyen las unidades de los premios en el sorteode la ONCE?

En las oposiciones es frecuente que se realice un sorteo publicoextrayendo una serie de bolas o papeletas de una urna o bolsa.Imagınese un opositor que se ha preparado 60 temas de 100, delos que se seleccionan al azar dos de ellos, ¿que probabilidad tieneel opositor de que sea elegido al menos uno de los temas que llevapreparado?

Sabemos que el servicio de autobuses entre Cadiz y San Fernandotiene salidas cada media hora entre las 6 am y las 12 pm, unapersona que se ha olvidado el reloj en casa llega a la estacion deautobuses en Cadiz ¿cual es la probabilidad de que espere menosde 10 minutos para coger el autobus?

Se sabe que las bombillas de bajo consumo de 14 w tienen una vidamedia util de 10000 horas, mientras que las bombillas clasicas porincandescencia de 60 w tienen una vida media util de 1000 horas.Si cada dıa se encienden unas 4 horas ¿cual es la probabilidad deque despues de un ano esten funcionando las dos?, ¿y ninguna deellas?, ¿y al menos una de ellas?, ¿y como mucho una de ellas?

Si se controlan el peso, la edad, la estatura, la talla de pantalon,las horas de estudio, la nota de selectividad, ... de los 350 alumnosque estan matriculados en 1o de Empresariales y Economicas en elcampus de Cadiz y Jerez, ¿que estructura tiene su distribucion?

57

Cada una de las situaciones anteriores conlleva la realizacion de unexperimento aleatorio: “elegir una de las cuatro posibles respuestas encada una de las preguntas”, “extraer la bola del numero de las unidadesentre las 10 posibles”, “sacar 2 temas entre 100”, . . . , que proporcionanresultados de distinta naturaleza. Ası, el numero de aciertos que se puedeobtener al responder las 10 preguntas “variara” entre 0 y 10, o sea, tieneun numero finito de posibles valores, mientras que el tiempo de esperapara coger el autobus puede tomar infinitos valores dentro del intervalo(0, 30), solo condicionado por la precision de los aparatos de medicion.Esto lleva a una primera gran clasificacion entre modelos de probabilidaddiscretos y continuos. El primer problema a resolver sera la eleccion delmodelo teorico apropiado para cada caso en estudio.

Para tener un buen manejo matematico de las distintas situacio-nes que se puedan plantear dada la distinta naturaleza y la diversidadde los resultados que proporcionan los experimentos, se necesita realizaruna abstraccion cuantificada del experimento. Para ello se asignara acada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio (sucesoelemental) un numero real. A esta aplicacion se le llamara variable alea-toria y se designara por X, X : Ω → R. Ası en el primer ejemplo, lavariable aleatoria consistirıa en asignar al suceso “responder correcta-mente siete preguntas” el numero 7. Esta asignacion no es unica, sele podrıa haber asignado otro numero, por ejemplo 17, lo que propor-cionarıa otra variable aleatoria, pero en este caso los valores no serıanfacilmente identificables en terminos del experimento de partida. Comonorma, se intentara que la asignacion se realice de la forma mas naturalposible.

Ademas, por abuso de lenguaje, se tiende a confundir la aplicacionX con los valores del conjunto imagen y se traslada la probabilidad deocurrencia de un suceso al valor correspondiente de la variable aleatoria;por lo tanto, se puede hablar de la probabilidad de que la variable alea-toria tome un determinado valor. Las probabilidades asociadas a cadauno de los valores de la variable aleatoria pueden ser organizadas comouna distribucion de probabilidad, expresandose mediante una tabla, unagrafica o una formula, denominandose en este ultimo caso, a la regla decorrespondencia valores–probabilidades, funcion de probabilidad .


DISCRETAS

Distribucion Parametros En Rcmdr

Binomial n = size; p = prob binom

Binomial negativa n = size; p = prob nbinom

Geometrica p = prob geom

Hipergeometrica (N,K,n) = (m,n, k) hyper

Poisson λ = lambda pois

Tabla 4.1: Tabla de distribuciones discretas

Como se ha indicado, segun la naturaleza de la variable aleatoriapueden considerarse distribuciones de probabilidad discretas o conti-nuas. Las principales distribuciones de probabilidad de variables dis-cretas son: Binomial , Binomial Negativa, Geometrica, Hipergeometricay de Poisson. Entre los modelos de variable continua destacan las dis-tribuciones: Normal , T-Student , Chi-Cuadrado, F-Snedecor , Exponen-cial , Uniforme, Beta, Cauchy , Logıstica, Lognormal , Gamma, Weibull yGumbel . Todas estas distribuciones estan recogidas en Rcmdr. Se puedeacceder a ellas en: Distribuciones→Distribuciones continuas, o enDistribuciones→Distribuciones discretas, o tambien escribiendodirectamente en la ventana de instrucciones el nombre de la distribucion,poniendo delante una d, si se quiere la funcion de densidad , una p parala funcion de distribucion, una q para los cuantiles y una r para generaruna muestra aleatoria de la distribucion; ademas, por supuesto, de losargumentos necesarios en cada caso.

1. Distribuciones discretas

En la tabla 4.1 estan resumidas todas las distribuciones conteni-das en la version actual de Rcmdr, sus parametros (el nombre teoricoy el usado en el programa) y las instrucciones correspondientes. Paracada una de las distribuciones discretas estan disponibles las siguientesopciones:

4.1 Distribuciones discretas 59

Cuantiles: Permite calcular el valor de la variable que deja aderecha o a izquierda (segun se seleccione) una determinada pro-babilidad.

Probabilidades: Determina la probabilidad de que la variabletome un valor dado.

Grafica de la distribucion: Genera la grafica de la funcion decuantıa o de distribucion.

Muestra de la distribucion: Genera muestras aleatorias ex-traıdas de la distribucion.

Probabilidades Acumuladas: Calcula bien el valor de P (X ≤x) (cola de la izquierda), o bien, P (X > x) (cola de la derecha)para cada valor x.

Con el fin de familiarse con las distribuciones y su uso desde Rcmdr, severan ahora algunos ejemplos representativos de las distribuciones masusuales.

1.1. Distribucion Binomial

Ejemplo 4.2

Si un estudiante responde al azar a un examen de 8 preguntas de ver-dadero o falso.

a) ¿Cual es la probabilidad de que acierte 4?La variable X=“numero de aciertos” sigue una distribucion Binomial deparametros n = 8 y p = 1/2. Para calcular las probabilidades en Rcmdr

se selecciona: Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion binomial→Probabilidades binomiales...

En este caso se introduce Ensayos binomiales= 8 y Probabilidad

de exito= 0.5 y se puede ver que P (X = 4) = 0,2734375.


>.Table < − data.frame(Pr=dbinom(0:8, size= 8, prob= 0.5))

>rownames(.Table) <- 0:8

>.Table

Pr

0 0.00390625

1 0.03125000

2 0.10937500

3 0.21875000

4 0.27343750

5 0.21875000

6 0.10937500

7 0.03125000

8 0.00390625

b) ¿Cual es la probabilidad de que acierte 2 o menos?Se calculan ahora las probabilidades acumuladas: Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion binomial→Probabilidades binomiales acumuladas... Para calcular la proba-bilidad de que acierte 2 preguntas o menos, en la ventana que aparece,se debe indicar Valor de la variable= 2 y Ensayos binomiales=

8, dejando marcada la opcion Cola izquierda.>pbinom(c(2), size= 8, prob= 0.5, lower.tail=TRUE)

[1] 0.1445313

c) ¿Cual es la probabilidad de que acierte 5 o mas?Para determinar la probabilidad de que acierte 5 o maspreguntas se realiza el mismo procedimiento, pero senalan-do en la ventana emergente Valor de la variable= 4, yEnsayos binomiales= 8, tomandose la opcion Cola Derecha.

>pbinom(c(4), size=8, prob=0.5, lower.tail=FALSE)

[1] 0.3632813

1.2. Distribucion de Poisson

Ejemplo 4.3

Una cierta area de Estados Unidos es afectada, en promedio, por 6 hura-


canes al ano. Encuentre la probabilidad de que en un determinado anoesta area sea afectada por:

a) Menos de 4 huracanes.Se define la variable X =“numero de huracanes por ano” y se sabe queesta se distribuye mediante una Poisson, porque describe el numero deexitos por unidad de tiempo y porque son independientes del tiempodesde el ultimo evento. Se calcularan ahora las probabilidades:Como en el caso anterior se senala Probabilidades binomiales

acumuladas... tomando ahora en la ventana emergente Valor(es) de

la variable= 4, y Media= 6, para la opcion Cola izquierda.

>ppois(c(3), lambda = 6, lower.tail=TRUE)

[1] 0.1512039

b) Entre 6 y 8 huracanes.Para calcular la probabilidad de que ocurran entre 6 y 8 huracanes, sepueden sumar las probabilidades P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)o restar las probabilidades acumuladas, con la opcion Cola izquierda,P (X ≤ 8) − P (X ≤ 5). Como antes se realizan en primer lugar lasprobabilidades acumuladas y se restan los resultados obtenidos:

>a <- ppois(c(8), lambda = 6, lower.tail=TRUE)

>b <- ppois(c(5),lambda = 6, lower.tail=TRUE)

>a-b

[1] 0.4015579

0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

0.15

Distribución de Poisson: Mean = 6

x

Mas

a de

Pro

babi

lidad

Fig. 4.1: Distribucion dePoisson

c) Represente la funcion de probabi-lidad de la variable aleatoria que mide elnumero de huracanes por ano. La grafi-ca se realiza en Distribuciones→Distribuciones discretas

→Distribucion de Poisson→Grafica

de la distribucion de

Poisson...(figura 4.1).


1.3. Distribucion Hipergeometrica

Ejemplo 4.4

En un juego se disponen 15 globos llenos de agua, de los que 4 tienenpremio. Los participantes en el juego, con los ojos vendados, golpean losglobos con un palo por orden hasta que cada uno consigue romper 2.

a) ¿Cual es la probabilidad de que el primer participante consigaun premio?Para el primer participante la variable X=“numero de premios con-seguidos entre 2 posibles” sigue una distribucion Hipergeometricade parametros m = 11, n = 4,K = 2. Para obtener respues-ta a las cuestiones en Rcmdr se selecciona: Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion hipergeometrica...

Para calcular la probabilidad de que consiga un solo pre-mio se elige la opcion probabilidades hipergeometricas..., conm(numero de bolas blancas en la urna)= 11, n(numero de bolas

negras en la urna)= 4 y k(numero de extracciones)= 2, resultan-do P (X = 1) = 0,41904762.

>.Table < − data.frame(Pr=dhyper(0:2, m=11, n=4, k=2))

>rownames(.Table) <- 0:2

>.Table

Pr

0 0.05714286

1 0.41904762

2 0.52380952

b) Construya la grafica de la funcion de distribucion.Esta se obtiene en Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion hipergeometrica→Grafica de la distribucion

hipergeometrica..., marcando la opcion grafica de la funcion

de distribucion (figura 4.2).

c) Si el primer participante ha conseguido solo un premio, ¿cuales la probabilidad de que el segundo participante consiga otro?Para el segundo participante la variable seguira una hipergeometrica deparametros m= 10, n= 3 y k= 2, resultando P (X = 1) = 0,38461538.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución Hipergeométrica: m=11, n=4, k=2

Número de aciertos

Pro

babi

lidad

acu

mul

ada

Figura 4.2: Distribucion hipergeometrica

1.4. Distribucion Geometrica. Distribucion BinomialNegativa

Ejemplo 4.5

Un vendedor de alarmas de hogar tiene exito en una casa de cada diezque visita. Calcula:

a) La probabilidad de que en un dıa determinado consiga venderla primera alarma en la sexta casa que visita.Se define la variable X=“numero de casas que visita antesde conseguir vender la primera alarma”, que sigue una distri-bucion Geometrica con Probabilidad de exito= 0.1. Se selec-ciona en Rcmdr Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion geometrica→Probabilidades geometricas....Habra que calcular la probabilidad de que tenga 5 fracasos antes delprimer exito, obteniendo de la tabla la probabilidad P (X = 5) =5,904900e−02.

b) La probabilidad de que no venda ninguna despues de siete vi-viendas visitadas.La variable X=“numero de alarmas vendidas en 7 viviendas” sigue unadistribucion Binomial con Ensayos binomiales= 8 y Probabilidad de

exito= 0.1, luego en nuestro caso se tiene P (X = 0) = 0,4782969.c) Si se plantea vender tres alarmas, ¿cual es la probabilidad de

que consiga su objetivo en la octava vivienda que visita?


CONTINUAS

Distribucion Parametros En Rcmdr

Normal µ = mean; σ = sd norm

T-Student n = df t

Chi-Cuadrado n = df chisq

F-Snedecor n = df1; m = df2 f

Exponencial λ = rate exp

Uniforme (a, b) = (min,max) unif

Beta p = shape1; q = shape2 beta

Cauchy t = location; s = scale cauchy

Logıstica t = location; s = scale logis

Lognormal µ = meanlog;σ = sdlog lnorm

Gamma p = shape; α = scale gamma

Weibull p = shape; α = scale weibull

Gumbel p = shape; α = scale gumbel

Tabla 4.2: Tabla de distribuciones continuas

Para abordar esta cuestion, se define la variable Y= “nume-ro de casas que visita antes de conseguir vender la terceraalarma”. Esta variable sigue una distribucion Binomial Ne-gativa de parametros Numero de exitos= 3, Probabilidad

de exito= 0.1. En Rcmdr se selecciona Distribuciones→Distribuciones discretas→Distribucion binomial negativa→Probabilidades binomiales negativas..., de donde: P (Y = 5) =1,240029e−02.

2. Distribuciones continuas

En la tabla 4.2 estan resumidas todas las distribuciones continuascontenidas en la version actual de Rcmdr, sus parametros (el nombreteorico y el usado en el programa) y las correspondientes instrucciones.

Para cada una de las distribuciones continuas estan disponibles las

4.2 Distribuciones continuas 65

siguientes opciones:

Cuantiles: Permite calcular el valor de la variable que deja a de-recha o a izquierda (segun seleccionemos) una determinada proba-bilidad.

Probabilidades: Determina la probabilidad que queda acumula-da a izquierda (o a derecha) de un valor dado.

Grafica de la distribucion: Genera la grafica de la funcion dedensidad o de distribucion.

Muestra de la distribucion: Genera muestras aleatorias ex-traıdas de la distribucion.

2.1. Distribucion Normal

Trabajando directamente en R, para calcular los cuantiles nor-males se usarıa qnorm, agregando a esta los argumentos necesarios. Enconcreto, para hallar el valor que, en una N(0, 1), deja en la cola izquier-da una probabilidad de 0,25:

qnorm(c(.25), mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)

R–Nota 4.1

lower.tail = TRUE usa la cola de la izquierda, mientras quelower.tail = FALSE usa la derecha. Los parametros lower.tail =TRUE, mean = 0 y sd = 1 pueden ser omitidos, pues son los valo-res por defecto en esta funcion.

Ejemplo 4.6

Una empresa esta buscando personal para su departamento de marke-ting. El perfil solicitado es el de sujetos extrovertidos y creativos. Sehan presentado 50 candidatos y la empresa ha establecido como criterio


de seleccion el que los candidatos superen el percentil 80 en creatividady extroversion. Sabiendo que la variable extroversion (X) se distribu-ye segun una Normal de media 5 y desviacion tıpica 1, que la variablecreatividad (Y ) sigue una t-Student de 10 grados de libertad y que laspuntuaciones de creatividad y extroversion son independientes:

a) ¿Cuantos candidatos seran seleccionados?Al ser X e Y independientes, la probabilidad P (X ≥ P80 ∩ Y ≥ P80) =P (X ≥ P80) · P (Y ≥ P80) = 0,20 · 0,20 = 0,04. Como se han presentado50 aspirantes, seran seleccionadas 0,04 · 50 = 2 personas.

b) ¿Que puntuaciones debe superar un aspirante en creatividad yextroversion para ser admitido?Segun el criterio de seleccion se debe superar el percentil 80, en ambasvariables, para ser admitido. Se calculara pues el percentil P80 de lavariable X e Y , utilizando los cuantiles normales para la variable X:

> qnorm(c(.8), mean=5, sd=1, lower.tail=TRUE)

[1] 5.841621

y los t-cuantiles para la variable Y :

> qt(c(.8), df=10, lower.tail=TRUE)

[1] 0.8790578

c) Si se extraen al azar 16 candidatos, ¿cual es la probabilidad deque su media aritmetica en extroversion sea mayor que 4,5?Se sabe que al extraer una muestra de una poblacion normal de tamanon, la media de la muestra, X, sigue otra distribucion normal de mediaigual que la poblacional y desviacion tıpica σ√

n. Por lo que en este caso

X ∼ N(5, 14 ). Como se desea calcular P (X ≥ 4,5), se selecciona Cola

derecha en la entrada de Probabilidades normales...

> pnorm(c(4.5),mean=5,sd=0.25,lower.tail=FALSE)

[1] 0.9772499

d) Dibuje las graficas de densidad de las variables Extroversion

y Creatividad.Para ello se selecciona la funcion de densidad de ambas variables enDistribuciones→Distribuciones Continuas..., obteniendose las fi-guras 4.3 y 4.4.


2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución Normal: µ = 5, σ = 1

x

Den

sida

d

Figura 4.3: Funcion de densidad de la variable extroversion (normal)

2.2. Distribucion Uniforme Continua

Ejemplo 4.7

Una persona informal hace esperar a su pareja aleatoriamente entre 0y 90 minutos. Harto de esta situacion, la persona que sufre la espera seplantea un ultimatum; si al dıa siguiente su pareja tarda menos de 15minutos mantiene la relacion, si la espera esta entre 15 y 55 minutos,decide en la siguiente cita con los mismos criterios, mientras que si tardamas de 55 minutos la relacion termina en ese momento.

a) Represente graficamente la funcion de densidad de la variableque modeliza esta situacion.Se define la variable X=“tiempo de espera”, que sigue una distribucionuniforme continua definida en el intervalo (0, 90). En Rcmdr

se selecciona Distribuciones→Distribuciones continuas→Distribucion uniforme... Se elige Grafica de la distribucion

uniforme..., marcando Funcion de densidad (figura 4.5).b) Calcule la probabilidad de que la relacion continue hasta la

siguiente cita.En Probabilidades uniformes... se indica el valor de la variable ylos lımites del intervalo, dejando la opcion Cola Izquierda.

> punif(c(55), min=0, max=90, lower.tail=TRUE)

[1] 0.6111111

c) Calcule la probabilidad de que la relacion termine en la segunda


−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución t: df = 10

t

Den

sida

d

Figura 4.4: Funcion de densidad de la variable creatividad (t-student)

cita.

b) En Probabilidades uniformes... se indica el valor de la va-riable y los lımites del intervalo, dejando la opcion Cola Izquierda.

> punif(c(55), min=0, max=90, lower.tail=TRUE)

[1] 0.6111111

c) Suponiendo que el tiempo de espera en una cita es in-dependiente respecto de otras citas, se calcula la probabilidadP (15 < X < 55) = P (X < 55)−P (X ≤ 15) = 0,6111−0,1666 = 0,4445,que es la probabilidad de que aplace la decision para la segunda citay, en la segunda cita, la probabilidad de que lo deje definitivamentees P (X > 55) = 0,3888, luego multiplicando ambas probabilidades seobtiene el valor pedido 0,1728.

2.3. Distribucion Exponencial

Ejemplo 4.8

La duracion media de un modelo de marcapasos es de 7 anos.a) ¿Cual es la probabilidad de que dure al menos 5 anos? ¿y menos

de 3?


0 20 40 60 80

0.00

80.

010

0.01

20.

014

Distribución Uniforme: min=0, max=90

x

Den

sida

d

Figura 4.5: Funcion de densidad

La variable X=“tiempo de funcionamiento del marcapasos” si-gue una distribucion exponencial con parametro λ = 1/7. Uti-lizando la opcion Distribuciones→Distribuciones continuas→Distribucion exponencial→Probabilidades exponenciales... seobtiene P (X ≥ 5)

> pexp(c(5), rate=0.1428, lower.tail=FALSE)

[1] 0.4896815

y de igual forma P (X < 3):> pexp(c(3), rate=0.1428, lower.tail=TRUE)

[1] 0.3484493

b) Si han transcurrido ya 4 anos desde su implantacion, ¿cual esla probabilidad de que dure otros 4?Teniendo en cuenta que 1−F (x) = e−λ·x, se tiene que 1−F (8) = e−8·λ =(e−4·λ)2 = (1 − F (4))2, con lo que P (X ≥ 8/X ≥ 4) = (1 − F (8))/(1 −F (4)) = 1 − F (4) = 0,5647182.

c) ¿Cuanto tiempo deberıa funcionar un marcapasos para estarentre el 10% de los mas duran? Hay que calcular el percentil 90 selec-cionando:

Distribuciones→Distribuciones Continuas→Distribucion exponencial→Cuantiles exponenciales..., conlas opciones Probabilidades= 0.9, Parametro de la exponencial=

0.14285 y Cola Izquierda, o de forma similar, Probabilidades=

0.1, Parametro de la exponencial= 0.14285 y Cola Derecha,


0 10 20 30 40 50

0.00

0.04

0.08

0.12

Distribución Exponencial: rate = 0.1428571

x

Den

sida

d

Figura 4.6: Grafica de la funcion de densidad de una Exp(0.14285≈ 1/7)

resultando 16,12 anos.d) Calcular el valor que deben tener a y b para que P (X < a) = 0,5

y P (X > b) = 0,32, De forma analoga al apartado anterior, en el primercaso habrıa que calcular la mediana, a = 4,852, y en el segundo, elpercentil 68, b = 7,97. e) Represente la funcion de densidad de la variablealeatoria asociada. Figura 4.6.

2.4. Distribucion t-Student

Ejemplo 4.9

Una variable X sigue una distribucion t-Student con 16 grados de liber-tad.

a) Calcular la mediana y el percentil 85.Habrıa que calcular Me de forma que P (t16 ≥ Me) = 0,5, pa-ra ello se selecciona Distribuciones→Distribuciones Continuas→Distribucion t→Cuantiles t..., con las opciones Probabilidades=0.5, Grados de libertad= 16 y Cola Izquierda o, de forma similar,Probabilidades= 0.5, Grados de libertad= 16 y Cola Derecha, re-sulta que el valor de la mediana es 0.

> qt(c(0.5), df=16, lower.tail=TRUE)

[1] 0


−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución t: df = 16

t

Den

sida

d

10 20 30 40 50 60

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Distribución Chi−cuadrado: df = 28

χ2

Den

sida

d

Figura 4.7: Grafica de la funcion de densidad t16 y χ28

El percentil 85 se calcula de forma parecida:


[1] 1.071137

b) Encontrar el valor de a de forma que P (−1 < X < a) = 0,7.Para calcular a, se descompone la probabilidad P (−1 < X < a) =P (X < a) − P (X ≤ −1), se calcula P (X ≤ −1) utilizando la opcionProbabilidades t...

> pt(c(-1), df=16, lower.tail=TRUE)

[1] 0.1660975

y, se despeja P (X < a), resultando ser P (X < a) = 0,7+0,166 = 0,866.Se selecciona ahora la opcion Cuantiles t...,


[1] 1.147611

resultando el valor de a=1,147611.

c) Obtener la grafica de su funcion de densidad. ¿Que similitudtiene con la normal N(0, 1)?Como se puede observar en la figura 4.7 su estructura es similar a laN(0; 1) con la particularidad de que en la zona central la t16 se encuentrapor debajo de la normal, consecuencia de tener una varianza mayor.


2.5. Distribucion Chi-cuadrado. Distribucion F-Snedecor

Ejemplo 4.10

La variable X sigue una distribucion Chi-cuadrado con 28 grados delibertad.

a) Calcule la probabilidad de que X sea mayor de 7,5.La probabilidad pedida P (χ28 > 7,5), se obtiene en Distribuciones→Distribuciones Continuas→Distribucion Chi-cuadrado→Probabilidades Chi-cuadrado..., con las opciones Valor(es)

de la variable= 7.5, Grados de libertad= 28 y Cola derecha.Su valor es 0,9999611.

> pchisq(c(7.5), df=28, lower.tail=FALSE)

[1] 0.9999611

b) Obtenga la funcion de densidad, ¿que caracterısticas se obser-van?. Otra variable Y sigue una distribucion F de Snedecor con n1 = 8y n2 = 14 grados de libertad, si se representa su funcion de densidad.Como se puede observar en la figura 4.7 solo toma valores positivos y esasimetrica con forma campaniforme, salvo para n ≤ 2. c) ¿Que similitu-des hay entre las graficas?Como se aprecia en 4.8, en general, sus caracterısticas son muy similaresa la funcion de densidad de la χ2.

4.3 Generacion de valores aleatorios 73

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

Distribución F: Numerador df = 8, Denominador df = 14

f

Den

sida

d

Figura 4.8: Funcion de densidad F8,14

3. Generacion de valores aleatorios

Hay situaciones donde es necesario generar valores aleatorios quesigan un determinado patron y que permitan estudiar el comporta-miento de determinados modelos, simular situaciones de laboratorio,generar la distribucion de una combinacion de variables, comparar va-lores muestrales con los extraıdos de la verdadera poblacion en estu-dio, . . . En Rcmdr, para cada una de las distribuciones de probabili-dad que tiene implementadas, se puede seleccionar la opcion Muestra

de una distribucion.... Ası, para generar una muestra de tamano15 de una distribucion uniforme en el intervalo [0, 1], se selecciona enDistribuciones→Distribuciones continuas→Distribucion uni-

forme→Muestra de una distribucion uniforme..., y se introducenlos parametros, en este caso, para obtener los datos en formato de co-lumna, Mınimo= 0, Maximo= 1, Numero de muestras (filas)= 15 yNumero de observaciones (columnas)= 1.

> Muestras uniformes < − as.data.frame(matrix(runif(15∗1,min=0, max=1), ncol=1))

> rownames(Muestras uniformes) < − paste(‘‘sample’’, 1:15,

sep=‘‘’’)

> colnames(Muestras uniformes) < − ‘‘obs’’

Para mostrarlos en pantalla se escribe en la ventana de instruccio-nes el nombre que se le haya asignado a la muestra:


> Muestras uniformes

obs

sample1 0.22597988

sample2 0.65997127

sample3 0.07038248

sample4 0.52902704

sample5 0.04517561

sample6 0.73990437

sample7 0.90452613

sample8 0.60055627

sample9 0.99432508

sample10 0.70652675

sample11 0.97110556

sample12 0.24558711

sample13 0.68375576

sample14 0.95487024

sample15 0.80651304

O tambien se puede pulsar el boton Visualizar conjunto de

datos en Rcmdr. De la misma forma se podrıan generar muestras alea-torias para el resto de las distribuciones de probabilidad.

4.4 Ejercicios 75

4. Ejercicios

4.1 Se responde al azar un examen tipo test de 10 preguntasdonde en cada una de ellas se plantean 4 posibilidades siendo solo unade ellas cierta. Si se responden todas las preguntas y, las preguntas conrespuestas correcta suman un punto mientras que las contestadas inco-rrectamente restan un cuarto de punto, se pide:

a) La variable aleatoria asociada.b) Las graficas de la funcion de cuantıa y distribucion y

comentelas.c) La probabilidad de obtener 3 aciertos.d) La probabilidad de aprobar.e) ¿Que numero de aciertos es mas probable?f) ¿Cuantos aciertos debe tener para quedar por encima de

la mitad de la clase?g) ¿Y por encima de un tercio de la clase?

4.2 Dada la distribucion B(10; 0,4), calcule las siguientes proba-bilidades:

a) P (X ≤ 8)b) P (2 < X ≤ 5)c) P (X ≥ 7)

4.3 Un conocido fumador gorron ha explotado tanto a sus com-paneros que por termino medio cada uno de ellos le da un cigarrillo decada diez veces que este les pide.

a) ¿Cual es la probabilidad de que consiga 1 cigarrillo enmenos de 5 intentos?

b) Si pretende hacer acopio de cigarrillos para el fin de se-mana, ¿cuantas veces, en promedio, tendra que pedir tabaco para con-seguir 20 unidades?

4.4 En las oposiciones es frecuente que se realice un sorteo publi-co extrayendo una serie de bolas o papeletas de una urna o bolsa.Imagınese que un opositor se ha preparado 60 temas entre 100, de losque se seleccionan al azar dos temas. Se pide:

a) La variable aleatoria asociada.


b) Las graficas de la funcion de cuantıa y distribucion ycomentelas.

c) La probabilidad de que le salga uno de los temas quelleva preparado.

d) La probabilidad de que le salgan dos de los temas quelleva preparado.

e) ¿Que ocurre con la probabilidad anterior si aumenta elnumero de temas preparados a 80?

4.5 A un establecimiento de apuestas deportivas llega 1 clientecada 3 minutos por termino medio.

a) ¿Cual es la probabilidad de que en un periodo de 5 mi-nutos lleguen mas de 5 clientes?

b) ¿Cual es el numero mas probable de llegadas en mediahora?

4.6 Las companıas aereas acostumbran a reservar mas plazas delas existentes en sus vuelos, dado el porcentaje de anulaciones que seproduce. Si el porcentaje medio de anulaciones es del 5 %, ¿cuantas re-servas debera hacer una companıa para un vuelo con 200 plazas, si quierecon una probabilidad del 97 % que todos sus clientes tengan cabida endicho vuelo?

4.7 El servicio de reclamaciones de una asociacion de consumi-dores recibe por termino medio 3 quejas a la hora.

a) Calcule la probabilidad de que en 1 hora no reciba nin-guna reclamacion.

b) Calcule la probabilidad de que en 2 horas reciba entre 2y 6 reclamaciones.

4.8 En una pecera hay 10 peces machos y 8 hembras, si se ex-traen aleatoriamente 5 peces, calcule la probabilidad de que 3 sean ma-chos y 2 hembras.

4.9 Un jugador apuesta 5e por tirada a un numero de los 37que componen la ruleta, si acierta, gana 180e. Calcule los beneficiosesperados al cabo de 100 jugadas.

4.4 Ejercicios 77

4.10 El servicio de autobuses entre Cadiz y San Fernando tienesalidas cada media hora entre las 6 am y las 12 pm, una persona que seha olvidado el reloj en casa llega a la estacion de autobuses en Cadiz, sepide:

a) La variable aleatoria adecuada para esta situacion.b) Las graficas de la funcion de densidad y distribucion y

comentelas.c) ¿Cual es su media? ¿y su mediana? ¿y su moda?d) La probabilidad de que espere menos de 10 minutos.e) La probabilidad de que espere mas de 15 minutos, pero

menos de 20.f) ¿Cual es la probabilidad de que espere exactamente 11

minutos y medio?

4.11 Se sabe que las bombillas de bajo consumo de 14 w tienenuna vida util media de 10000 horas, mientras que las bombillas clasicaspor incandescencia de 60 w tienen una vida util media de 1000 horas.Sicada dıa se encienden unas 4 horas, en esta situacion

a) Defina la variable aleatoria asociada.b) Obtenga las graficas de la funcion de densidad y distri-

bucion y comentelas.c) ¿Cual es su media? ¿y su mediana?d) ¿Cual es la probabilidad de que despues de un ano esten

funcionando?

4.12 ¿Cual es la probabilidad de que de 10 personas elegidas alazar al menos 2 cumplan anos en el mes de Enero?

4.13 Durante la Segunda Guerra Mundial los alemanes bombar-dearon repetidas veces Londres. Los expertos demostraron que se tratabade bombardeos indiscriminados y que caıan en cada accion y por terminomedio 2 bombas por cada cuadrıcula de 100 metros de lado. En vista alo anterior, calcule la probabilidad de que en una cierta cuadrıcula de 50metros de lado no haya caıdo ninguna bomba durante un bombardeo.

4.14 Dada una distribucion normal de media 3 y varianza 9, cal-cule las siguientes probabilidades:


a) P (2 ≤ X ≤ 5)b) P (X ≥ 3)c) P (X ≤ −2)

4.15 La centralita de un programa de television que premia aque-llos concursantes que llaman dando la respuesta correcta de un concurso,atiende 1 de cada 10 llamadas que se realizan.

a) ¿Que numero medio de llamadas se tendran que realizarpara ser atendido?

b) ¿Cual es la probabilidad de ser atendido a la primera?

4.16 Calcule en los siguientes casos el valor de a, sabiendo queX ∼ N(1, 5).

a) P (0 ≤ X ≤ a) = 0,28b) P (1 − a ≤ X < 1 + a) = 0,65

4.17 Se sabe que la alarma de un reloj saltara en cualquier mo-mento entre las siete y las ocho de la manana. Si el propietario del relojse despierta al oır dicha alarma y necesita, como mınimo, veinticincominutos para arreglarse y llegar al trabajo,

a) ¿Cual es la probabilidad de que llegue antes de las ocho?b) Si el dueno del reloj sigue programando el reloj de la

misma manera durante 10 dıas, calcule el numero mas probable de dıasen que llegara despues de las ocho.

4.18 Si se controlan el peso, la edad, la estatura, talla de pantalon,horas de estudio, nota de selectividad, . . . de los 350 alumnos que estanmatriculados en 1o de Empresariales y Economicas en el campus deCadiz y Jerez. ¿Que estructura tiene su distribucion?

4.19 De una tribu indıgena se sabe que los hombres tienen unaestatura que se distribuye segun una ley normal con media 1,70 y desvia-cion tıpica σ. Si a traves de estudios realizados se conoce que la probabi-lidad de que su estatura sea mayor a 1,80 es 0,12, calcule la probabilidadde que un individuo elegido al azar mida entre 1,65 y 1,75.

4.20 Calcule la probabilidad de obtener mas de 200 seises en 1200

4.4 Ejercicios 79

lanzamientos de un dado no trucado.

4.21 Genere muestras de tamano 10, 100, 500 y 1000 de una po-blacion que sigue una distribucion normal de media 3,5 y desviaciontıpica 2. Estudie el comportamiento de la media y desviacion tıpica enlas cuatro muestras.

4.22 Obtenga una muestra aleatoria de tamano 50 para una ca-racterıstica poblacional que sigue una distribucion binomial de parame-tros n = 12 y p = 0,7. Calcule su media y desviacion tıpica comparando-las con los respectivos valores poblacionales. Ademas, represente los da-tos mediante un diagrama de barras y compare los resultados con losobservados en la grafica de la funcion de cuantıa de la distribucion bi-nomial. ¿Que ocurre si se aumenta el tamano de la muestra a 500?

Distribuciones de Probabilidad, Distribuciones discretas ...

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