UNIDAD DIDÁCTICA: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES ESTADÍSTICAS....

UNIDAD DIDÁCTICA: DISTRIBUCIONES

BIDIMENSIONALES. RELACIONES

ENTRE DOS VARIABLES

ESTADÍSTICAS. REGRESIÓN LINEAL.

CURSO: BACHILLERATO,

MATEMÁTICAS I

Miguel Yuste Arese

Pablo Ogáyar Lechuga

María Rosa Pérez Pérez

1. Introducción histórica.

Francis Galton (1822-1911) derivó y aplicó la regresión lineal a los problemas de herencia genética. Galton empleó esta representación de sus datos para ilustrar lo que todavía hoy los estadísticos llaman regresión. En 1901, junto con Karl Pearson (1857-1936), fundó la revista Biometrika, desde entonces una de las más importantes en el campo de la estadística.

John W. Tukey (1915 - 2000). Eminente matemático y estadístico. Introductor de términos como “bit” y “software”.

Uso histórico y actual para el cálculo de constantes en experimentos físicos, químicos etc.

2. Contexto de desarrollo de la unidad.Actualidad llena de noticias y referencias en relación con datos estadísticos.

Introducción de temas transversales gracias a estas noticias (seguridad vial, economía, cambio climático, anorexia…).

Aulas equipadas con equipos informáticos, acceso a internet y calculadoras.

JUSTIFICACIÓN

Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

http://es.wikipedia.org/wiki/Biometrika

3. Relación de la unidad con el currículo

prescriptivo.

Real Decreto 1467/2007: 1º de Bachillerato: Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresión lineal. 4º de E.S.O., opción B: Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico

de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.

Representatividad de una distribución por su media y desviación típica. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.

Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada.

Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.

JUSTIFICACIÓN


1. Objetivos de etapa.Tomados del Real Decreto 1467/2007 de 2 de Noviembre y de la página de la

asignatura.

1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual.

2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto.

3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento.

4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad.

5. Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas.

6. Hacer uso de variados recursos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto a la hora de realizar cálculos como en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS


7. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y

notaciones matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

8. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o eco- nómico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura.

9. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes.

10. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.

11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica.

12. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica.



2. Objetivos de área.

Conocer y diferenciar los conceptos de relación funcional y estadística.

Conocer el concepto de correlación.

Conocer la influencia de la correlación en los diagramas de dispersión.

Saber encontrar los diferentes parámetros que gobiernan una distribución bidimensional.

Conocer el concepto de covarianza y qué mide.



2. Objetivos de área. Definir el concepto de correlación lineal. Conocer las clases y los grados de

correlación lineal. Saber que las rectas de regresión se cortan

en el punto cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones marginales de una variable bidimensional.

Dibujar la nube de puntos de los datos de una tabla bidimensional.

Construir tablas de doble entrada con las distribuciones marginales de una variable bidimensional.



2. Objetivos de área. Calcular la covarianza de una distribución

bidimensional.

Calcular las ecuaciones de las rectas de regresión.

Calcular el coeficiente de correlación de una regresión lineal.

Hallar valores estimados de una variable sobre datos de la otra usando las rectas de regresión, valorando la fiabilidad del resultado en atención al valor absoluto del coeficiente de correlación lineal.

Saber expresar la fiabilidad de la recta de regresión.



1. CONCEPTUALES:

1. Estadística unidimensional.

2. Variables estadísticas bidimensionales.

3. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos.

4. Parámetros estadísticos.

5. Grado de relación entre dos variables estadísticas.

6. Correlación. Regresión lineal.

7. Predicción de resultados.

8 . Recta de Tukey.

CONTENIDOS


2. TRANSVERSALES:

Educación del consumidor Uso de nuevas tecnologías Problemas sociales y educación para la salud Educación vial

CONTENIDOS


3. PROCEDIMENTALES:1. Construcción de la nube de puntos de distribuciones estadísticas

bidimensionales, y primera estimación del grado de dependencia de las

variables.

2. Tabulación de frecuencias y de sus marginales correspondientes de

distribuciones bidimensionales.

3. Determinación de frecuencias en distribuciones condicionadas.

4. Cálculo de la covarianza de distribuciones bidimensionales.

5. Cálculo del coeficiente de correlación de distribuciones bidimensionales

y valoración de su signo y su valor absoluto.

6. Establecimiento de las ecuaciones de las rectas de regresión de una

distribución bidimensional.

CONTENIDOS


3. PROCEDIMENTALES:

7. Cálculo de valores estimados de una variable sobre la otra, usando rectas

de regresión.

8. Valoración de la fiabilidad de la estimación, en función del valor absoluto

del coeficiente de correlación lineal.

CONTENIDOS


4. ACTITUDINALES:

1. Valoración de la matemática de la aleatoriedad como una parte

de la matemática tan “científica” como el análisis, el álgebra o el

cálculo.

2. Comprensión y valoración de la necesidad del rigor en los cálculos

probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a

poblaciones.

3. Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera

de

realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de

aplicación

de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas.

4. Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de

los

trabajos estadísticos realizados.

CONTENIDOS


Introducción metodológica:

Usaríamos el método interrogativo principalmente en la primera sesión,

aunque pensamos que sería bueno para despertar el interés del alumnado

empezar así el mayor número posible de sesiones. Intentaríamos aprovechar

el interés despertado para desarrollar el máximo número de conceptos

teóricos mediante el método expositivo. Asimismo en esta sesión haremos

un repaso de los contenidos que deberían saber de cursos anteriores.

Las segunda, tercera, cuarta y quinta sesiones irían destinadas a

seguir desarrollando conceptos expuestos, así como a ir profundizando

en la resolución de problemas y ejercicios. La idea es que podamos

partir de ejercicios simples y llegar a unos más complejos. Intentaremos usar

recursos informáticos tales como hojas de cálculo y software específico

para la resolución de ecuaciones durante las explicaciones y realización de

los ejercicios para una interpretación más gráfica.

DESARROLLO DE LA UNIDAD


Introducción metodológica:

Aprovecharíamos las sexta, séptima, octava y novena sesiones para

afianzar los contenidos mediante ejercicios en la red y en el cuaderno,

trabajos en grupo y un test autoevaluable.

La décima y última sesión irá destinada a una prueba escrita en la que

evaluaremos los objetivos alcanzados por cada alumno.

DESARROLLO DE LA UNIDAD


EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD

Esta es la primera sesión en la que vamos a hablar del tema de las distribuciones bidimensionales y de la regresión lineal.

Creemos que puede ser un tema clave para el desarrollo de casi todas las competencias, y por eso debemos guiar a los alumnos a que las desarrollen.

Dependiendo del tipo de interés que creamos que pueden tener los alumnos de nuestro curso en particular, podríamos empezar enseñando alguna noticia:

- Temperaturas estimadas para Sevilla en el año 2070.

- Variación actual del precio del petróleo y del precio del combustible.

- Relación entre velocidad y accidentes de tráfico.

- Relación nivel de estudios y salario.

SESIÓN 1, DE INTRODUCCIÓN (1 HORA)


http://www.abcdesevilla.es/20100727/sevilla/sevilla-tendra-clima-tucson-201007271916.html

http://www.ensilicio.com/2008/06/datos-y-graficas-sobre-el-petroleo-el-gasoil-y-el-transporte-i.html

http://www.xatakaciencia.com/fisica/la-influencia-de-la-velocidad-en-los-accidentes-de-trafico

http://www.elblogsalmon.com/mundo-laboral/mas-educacion-mejora-el-salario


De comentar alguna de estas (u otras) noticias en las que se hable claramente de la relación entre dos variables podemos apoyarnos para:

Obtener una idea de los conocimientos previos de los alumnos sobre la materia.

Empezar a introducir el manejo de algunos conceptos teóricos como: Variables discretas y continuas. Estadística Unidimensional. Idea intuitiva del concepto de correlación. Frecuencia absoluta y acumulada, clases e intervalos de clase. Tabulación de valores discretos x e y y nube de puntos. Medidas de centralización (Media aritmética, moda y mediana).

Después pondríamos algún ejercicio (para clase, casa o ambos) simple de cálculo de media, moda y mediana, por ejemplo:

SESIÓN 1 DE INTRODUCCIÓN (1 HORA)


Dada las siguientes calificaciones en matemáticas, hallar media aritmética, moda y mediana:


En esta sesión nos dedicaríamos a reforzar los conceptos teóricos que

vimos en la sesión anterior, y a introducir otros conceptos nuevos, como:

Medidas de dispersión (Rango o recorrido, varianza, desviación típica).

Variables estadísticas bidimensionales.

Covarianza.

Coeficiente de correlación lineal.

Correlación lineal o curvilínea, positiva o directa, negativa o inversa o nula, funcional o aleatoria.

Coeficiente de correlación de Pearson y su relación con la covarianza.

SESIÓN 2, DE DESARROLLO (1 HORA)



Luego propondríamos algún ejercicio a modo de ejemplo, como el que sigue:

Además, empezaríamos a manejar la calculadora y daríamos a los

alumnos una herramienta preparada previamente por nosotros en una

hoja de cálculo. (Ver Archivo Excel “regresión”).


En una cofradía de pescadores, el número de días que se capturaron cierta cantidad de gambas (en kilogramos) y el precio por el que se vendieron (en €/Kg) fueron las siguientes:

Calcula los valores que hemos visto en la teoría para las variables precio y cantidad capturada.



Comenzaríamos la sesión con un repaso de lo estudiado, con el fin de

dedicar esta sesión a la familiarización de los alumnos con calculadoras y

hojas de cálculo.

Para ello, expondremos algunos de los problemas vistos en clases

anteriores o hechos en casa, y volveremos a resolverlos usando la

calculadora y las hojas de cálculo.

Además, daremos una serie de problemas similares a los de la clase

anterior para resolver con la hoja de cálculo y la calculadora:

Los alumnos más avanzados irán practicando y resolviendo ejercicios.

Mientras, ayudamos a los que se hayan podido quedar más atrasados a consolidar los conceptos y reforzar la resolución de los problemas.




En esta sesión nos centraremos en el estudio analítico de la regresión

lineal.

En primer lugar se propone un ejercicio para establecer una idea

intuitiva de la recta de regresión, es decir, ¿cuándo tiene sentido

calcularla?

Para ello realizaremos un análisis gráfico de una distribución

bidimensional.



EXPOSICIÓN DE LA UNIDADSESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA)

La tabla adjunta muestra la nota de un examen de Matemáticas de 10 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al examen y el peso de cada uno.Estudia gráficamente la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables, para ello usaremos la hoja de cálculo Excel.

A la vista de las gráficas, en los casos I y II los datos se agrupan en torno a una recta, por tanto, tiene sentido calcular la recta de regresión.



Ahora procederíamos al cálculo de la recta de regresión:

De Y sobre X:

De X sobre Y:



Siguiendo con el ejemplo anterior:


Hallar las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y correspondientes a

cada una de las distribuciones anteriores: nota-horas de estudio, nota-horas

de televisión, y nota-peso.

Razona cuál puede ser la causa de que el ángulo que forman las rectas en la

distribución nota-peso es mucho mayor que en las otras dos distribuciones.

Una vez hecho a mano, repetirlo con la hoja de cálculo.



Finalmente, explicamos las propiedades de la recta de regresión:

Centro de gravedad o de masas: Estimación o predicción

Relación del signo de la pendiente de la recta de regresión y el coeficiente

de correlación (el mismo)

Relación entre el ángulo que forman las rectas de regresión de Y sobre X y

de X sobre Y con el valor del coeficiente de correlación:

Si es próximo a 1, las rectas prácticamente coinciden.

Si es próximo a 0, el ángulo que forman las rectas es casi un ángulo

recto.

Ejemplo


Comprobar las propiedades con el mismo ejercicio

anterior.



Tarea para casa


Sea la siguiente tabla:

x: gastos en publicidad de un producto (en miles de euros)

y: ventas conseguidas (en miles de euros)

a) Halla las dos rectas de regresión correspondientes a la distribución

publicidad-ventas.

b) Efectúa las estimaciones ŷ(5,5), y explica su significado.

x



Es el último día de exposición de contenidos, en el que estudiaremos el coeficiente de determinación y la linealización de modelos.

Primero vemos la definición del coeficiente de determinación:

indica el porcentaje de la variación de Y que puede ser explicada por X.

Ejemplo:


Para verlo con un ejemplo, les pediremos que calculen el coeficiente de

determinación de cada una de las tres distribuciones del primer

ejemplo de la sesión 4, de manera que puedan verificar numéricamente lo

que ya habían razonado cualitativamente o

gráficamente.



Seguidamente, veremos un ejemplo de linealización por cambio de

variables, en particular, cuando la relación entre las dos variables es de

tipo parabólico:


En un laboratorio se realiza un experimento para medir la aceleración de la

gravedad, g. Para ello se lanza desde una altura de 2m un bola de acero y

se anota su posición cada 0,1s. Calcula el valor de g que se ha obtenido si

las cinco primeras mediciones tomadas son las recogidas en la siguiente

tabla.



Sabemos que la relación entre el espacio recorrido, s, y el tiempo, t, en un

movimiento de caída libre sin velocidad inicial viene dada por la expresión:

Cuya representación gráfica es:

Si hacemos el cambio de variable , ya tendría entre las variables s y z

una relación lineal. En este caso, la recta de regresión de s sobre z es:

Y su representación gráfica es:

Comparando con la expresión inicial tenemos:



Por último veremos un ejemplo de ajuste de datos mediante la recta de

Tukey:


Ajustar un modelo lineal a la distribución bidimensional dada por la

siguiente tabla.

Como vemos la variable Y toma dos valores, 1 y 2, que están muy alejados

del resto. En la figura se ha representado la recta de regresión de Y sobre

X y se aprecia su mal ajuste de la nube de puntos.



Por ello calculamos la recta de Tukey del siguiente modo:

a)Se ordenan los datos en orden creciente de las abscisas.

b)Se divide el conjunto ordenado de datos en tres grupos:

Obsérvese que en este caso el número de datos es 12, múltiplo de 3. Pero

si el número n de datos no fuera múltiplo de 3, puede ocurrir que:

Sea múltiplo de 3 más 1; en este caso, el grupo se deja con un dato

más.

Sea múltiplo de 3 más 2; en este caso se deja el grupo con un dato

menos.

Y en el caso de que dos datos tengan la misma abscisa, se dejan en el

mismo grupo.

c) Para cada grupo se halla el punto , donde e son,

respectivamente, las medianas de las abscisas y de las ordenadas del

grupo .Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez


d) La recta de Tukey pasa por el baricentro del triángulo y tiene

la pendiente de la recta que pasa por

Ahora ya podemos comprobar que la recta de Tukey se ajusta mejor a la

nube de puntos.



Tareas para casa:


El coeficiente de determinación de una distribución cuya nube de puntos se

ajusta a una recta es igual a 0,33.

a) Interpreta este resultado.

b) ¿Tiene sentido encontrar un modelo lineal para esta distribución que

permita realizar estimaciones?

Si el coeficiente de correlación vale r=0,7:

a) ¿Qué tanto por ciento de la variación de Y es debido a la variación

de X usando un modelo de regresión lineal?

b) ¿Tiene sentido realizar estimaciones en la recta de regresión

obtenida?



Tareas para casa:


Sea la variable bidimensional dada por la siguiente tabla:

a) Halla la recta de Tukey.

b) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

c) Representa la nube de puntos y las dos rectas obtenidas.



En esta sesión propondremos a los alumnos una lista de actividades

clasificadas en tres bloques, ordenados de menor a mayor dificultad:

Para reforzar (lo básico)

Para practicar (todo el contenido de la unidad)

Cuestiones teóricas

Los alumnos deberán ir haciendo individualmente los ejercicios en los que

tengan mayor dificultad, para que el profesor durante esta sesión pueda

resolver las dudas de cada uno dependiendo de su mayor o menor

capacidad de aprendizaje. Por ello siempre deberán empezar a leer los

enunciados desde el principio y cuando se encuentren con alguno en el

que tengan dudas, intentar hacerlo y preguntar al profesor/a.

SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA)



Además, para agilizar el ritmo y que a los alumnos les dé tiempo de

resolver el mayor número de actividades, les dejaremos que usen la

calculadora, además de practicar con el modo LR para el tratamiento

bidimensional.

Al final de la sesión el profesor se llevará los ejercicios hechos por los

alumnos, para poder valorárselos, y dará la hoja con las soluciones. De

esta forma hasta el día del examen podrán preguntar todas las dudas de

resolución de las distintas actividades.




PARA REFORZAR

Problema 1


En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se citan, hay relación funcional o relación aleatoria y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa:

• En un conjunto de familias: estatura media de los padres-estatura media de los hijos. • Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada. • Entre los países del mundo: volumen de exportación-volumen de importación con España. • Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil-número de médicos por cada 1 000 habitantes. • Kw consumido en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz. • Número de personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz.

• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos perdidos.

• Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos ganados. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez


Problema 2


En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa

es la estatura de su padre y la ordenada su propia altura.

a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura,

cuyo padre es bajito.

b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un

gigantón.

c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las

estaturas de estos 16 chicos y las de sus padres?



Problema 3


Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de

masa, que alcanza más o menos altura según la fuerza con que ha sido

impulsada. (La fuerza actúa en un tramo de 1 m.)

a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con

una fuerza de 110 newton?

b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que

alcanza la piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la

fuerza con que es impulsada hacia arriba?



Problema 4


Esta tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países A, B, C…

según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de

natalidad). Representa los resultados en una nube de puntos, traza la

recta de regresión y di cómo te parece la correlación.



Problema 5


Obtén mediante cálculos manuales el coeficiente de correlación de la

siguiente distribución dada por el número de encestes de una

jugadora de baloncesto desde distintas distancias, con un máximo de

10 lanzamientos cada vez. Hazlo también con una calculadora con

MODO LR.



o PARA PRACTICAR

Problema 6


a) Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas

distribuciones bidimensionales:

b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen

correlación negativa?

c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la

expresión analítica de la función que relaciona las dos variables?

d) Ordena de menor a mayor las correlaciones.Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez


Problema 7


a) Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12,

15, 17, 21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de

regresión es y = 10,5 + 3,2x. Calcula ŷ(13), ŷ(20), ŷ(30), ŷ(100).

b) ¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable

y cuál no se debe hacer?

c) Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo: ŷ(13)

= 52,1. Para

x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea

próximo a 52.)



Problema 8


Los parámetros correspondientes a esta distribución bidimensional

son:

Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y

sobre X,

y represéntalas junto con la nube de puntos.



Problema 9


Representa estos puntos y, sin efectuar cálculos, contesta las

siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?

b) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación.

c) A la vista de la respuesta anterior, da el valor de y el de .Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez


Problema 10


La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg y

la de sus

estaturas, 170 cm.

Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respectivamente, y la

covarianza de

ambas variables es 40.

a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación?

b) Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las

estaturas.

c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm de estatura?



Problema 11


De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes

alargamientos:

Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima el alargamiento que

se conseguirá

con pesos de 100 g y de 500 g. ¿Cuál de las dos estimaciones es más

fiable?



Problema 12


En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad

de

pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg,

fueron los

siguientes:

a) ¿Cuál es el precio medio registrado?

b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.

c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kg de esa especie si se

pescasen 2600kg.



Problema 13


La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación

en 1987 fue:

a) Representa la nube de puntos.

b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.

c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC?



Cuestiones teóricas


1. El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución?

2. Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado negativa. Justifica por qué podemos afirmar que, tanto el coeficiente de correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión, son números negativos.

3. ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión?

4. ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la recta de regresión sean fiables?

5. Prueba que el producto de los coeficientes de regresión (correspondientes a cada uno de las rectas de regresión) es igual al cuadrado del coeficiente de correlación.

6. La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).

a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?

b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?



ACTIVIDADES USANDO NUEVAS TECNOLOGÍAS

Clase con ordenadores en la cual vamos a trabajar las actividades de la

página web del IES Gonzalo Nazareno de Dos Hermanas.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~41011038/DepMates/

Primerosoc.htm

Actividades para realizar individualmente: Estadística/Bidimensional/Ficha

F1

El alumnado realizará las actividades de cada una de las fichas sin la

presión de tener que hacerlas rápido, puesto que ellos mismos pueden

corregírselas ya que las soluciones, explicadas paso a paso, están en el

mismo archivo.




Atención a la diversidad:

Con los alumnos/as que tengan dificultad estaremos pendientes

para resolver cualquier tipo de duda que tengan.

Los alumnos que tengan soltura y dominio de la materia podrán

realizar también las fichas F2, F3 y/o F4. El resto terminará la

tarea en casa accediendo a la citada página y entregando las

actividades en la clase siguiente.




BREVE EXPLICACIÓN DEL JUEGO:

Las reglas del juego son la de las Cartas Encadenadas:

El/la profesor/a coge una carta y reparte las restantes entre todos/as los/as

alumnos/as de la clase.

Cada carta tiene la pregunta en la parte superior y la respuesta a otra

pregunta distinta en la inferior.

El profesor o profesora escribe en la pizarra o lee en voz alta el problema que

tiene en su tarjeta.

Los alumnos resuelven el problema.

El/la jugador/a cuya tarjeta tenga la solución, sale a la pizarra y escribe o lee

el problema que hay en la parte superior de su carta.

Y se repite otra vez el proceso.

El juego se acaba cuando se hayan escrito en la pizarra todas las soluciones

de todas las cartas.

SESIÓN 8, ACTIVIDAD PARA TODO EL GRUPO (1 HORA)



También se puede hacer en grupo de 2 o 3 alumnos con la misma

mecánica (cada grupo recibiría una tarjeta). Queda a la decisión del

profesor/a quién es el representante del grupo para salir a la pizarra.

Otra forma es hacer simplemente los ejercicios en grupo y después

corregirlos en la pizarra. De igual forma el profesor/a es quién elige a la

persona que tiene q salir a explicarlos.

El modo en que se haga esta sesión dependerá del nivel y la actitud del

grupo y del tiempo del que se disponga.




EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES


La tabla adjunta muestra la nota de en un examen de Matemáticas de 10

estudiantes y las

horas de estudio dedicadas a su preparación los cuatro días anteriores al

examen:

Estudia gráficamente la correlación entre la nota del examen y las horas de

estudio,

dibujando la nube de puntos.

Solución:

Vemos que la correlación entre la nota del examen

y las horas de estudio es bastante fuerte y directa,

r estaría alrededor de 0’9, a más horas de estudio,

mejor nota en el examen.





estudiantes y las horas que jugaron al ordenador esos días.

Estudia gráficamente la correlación entre la nota del examen y las horas de

ordenador,


Solución:

Vemos que la correlación entre la nota del examen

y las horas de jugar al ordenador es bastante

alta e inversa, r estaría alrededor de –0’8,

a más horas de ordenador, menor nota en el examen.





estudiantes y la

estatura de cada uno.

Estudia gráficamente la correlación entre la nota del examen y las estaturas

de los alumnos,


Solución:

La correlación entre la nota y la estatura

es prácticamente inexistente, los puntos

de la nube están muy dispersos (r alrededor de 0).




Dos conjuntos de datos bidimensionales tiene como coeficientes de

correlación

respectivamente

Razona en cuál de los dos conjuntos es mejor el ajuste mediante una

recta de una

variable respecto de la otra.

Solución: ya que, el ajuste mediante una recta (recta de regresión)

es

mejor en el primero que en el segundo, ya que r1 está más cerca de 1

que r2.

Signo del coeficiente de correlación de la variable bidimensional

dada por la

siguiente nube de puntos:

Solución: Signo positivo




En una muestra de 66 familias se han estudiado dos variables

estadísticas X, el

número de miembros de edad laboral, e Y, número de ellos que se

encuentran

activos. Los resultados se han recogido en la siguiente tabla:

Halla con la calculadora la media de las variables X e Y.

Solución: 3´45 y 1´379




En una muestra de 66 familias se han estudiado dos variables

estadísticas X, el

número de miembros de edad laboral, e Y, número de ellos que se

encuentran

activos. Los resultados se han recogido en la siguiente tabla:

Halla con la calculadora las desviaciones típicas de las variables X e Y.

Solución: 1´473 y 0´622




A partir de un estudio estadístico realizado sobre 100 estudiantes se

ha observado

una estatura media de 155cm, con una desviación típica de 15 W5cm.

Además la recta

de regresión de X (peso en kilogramos) sobre Y(estatura en

centímetros) es:

Calcula el peso medio de los 100 estudiantes.

Solución: La recta de regresión pasa por el centro de gravedad que es

el punto cuyas

coordenadas son la media de la variable X y la media de la variable Y.

Sustituyendo en la recta de regresión la media de Y, se calcula la

media de X, que

será 50. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez


TEST DE CONOCIMIENTOS AUTOEVALUABLE

Sesión dedicada a que los alumnos hagan un test de 10 preguntas sobre la

materia. Como se corrige en la red automáticamente, nosotros tendremos

que resolver las dudas que esto genere (la página no dice por qué está

mal, solo que está mal). Una vez hecho esto, el resto del tiempo será para

resolver dudas o problemas (según prefieran los alumnos) con vistas al

examen de la unidad.

La página en cuestión es: http://www.ematematicas.net/variable_bidimensional.php?tipo=test

SESIÓN 9 (1 HORA)



EXAMEN

1. Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente 14, 20, 30, 42 y 44 kilos.

a) Obtén los parámetros marginales de dicha distribución (media y desviación típicas de las edades y el peso y covarianza de ambas).

b) Calcula su coeficiente de regresión.

c) Calcula las rectas de regresión

d) ¿Cuál sería el peso aproximado de una niña de 6 años?

2. Las notas de Matemáticas e Inglés de los alumnos de 1º de bachillerato de un centro tienen una

correlación de 0’975 ¿Cómo interpretarías dicho dato?

SESIÓN 10, EXAMEN (1 HORA)



EXAMEN

3. Se tomaron ocho medidas de la temperatura de una batería y de su voltaje, y se obtuvieron los

siguientes datos:

Sin efectuar cálculos:

Representa los datos gráficamente.

Razona cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de y sobre x:

a1) y = 350 – 2,1x

a2) y = 460 – 2,1x

a3) y = 406 + 2,1x

Para 25 grados, ¿Qué voltaje sería razonable suponer?




EXAMEN

4. Usando la calculadora:

Ocho alumnos del centro, tomados al azar, teclearon 40 líneas de texto en un ordenador. El tiempo empleado, en minutos, y el número de errores cometidos, fueron:

Sin hacer la tabla de contingencia:

a) Calcula las medias y desviaciones típicas de las dos variables.

b) El coeficiente de correlación lineal.

c) ¿Hay algún tipo de correlación entre ambas variables?

d) Si el tiempo fuera de 30 minutos, ¿Podrías estimar el número de errores?¿Por qué?




EXAMEN

5. Usando Excel:

La siguiente tabla muestra el número de gérmenes patógenos por centímetro cúbico de un determinado cultivo según el tiempo transcurrido:

a) Calcula la recta de regresión para predecir el número de gérmenes por centímetro cúbico en función del tiempo.

b) ¿Qué cantidad de gérmenes por centímetro cúbico es predecible encontrar cuando hayan transcurrido 6 horas? ¿Es buena esa predicción?




EXAMEN PUNTUACIONES:

Problema 1: a) 1punto b) 1 punto c) 0’5 puntos d) 0’5 puntos Problema 2: 1 punto Problema 3: a) 0’5 puntos b) 1 punto c) 0’5 puntos Problema 4: a) 1 punto b) 1 punto c) 0’5 puntos d) 0’5 puntos Problema 5: a) 0’5 puntos b) 0’5 puntos

SOLUCIONES Problema 1:

a) Media de x: 5 Media de y: 30 Desviación típica de x: 5’2 Desviación típica de y: 139’2 Covarianza: 26’8

b) r= 0’99 c) x = 0,192 y - 0,76

d) 35 Kg.




EXAMEN SOLUCIONES

Problema 2:El coeficiente de correlación está muy próximo a 1, lo que significa que

hay una correlación casi funcional. Por lo tanto sabiendo la nota de una asignatura se puede predecir con mucha facilidad la nota de la otra.

Problema 3:a) y = 406 – 2’1x. Es la única con pendiente positiva.b) 460

Problema 4:a) Media de x: 9’125 Media de y: 14’375

Desviación típica de x: 2’027 Desviación típica de y: 5’195b) r = -0’764158038c) Nod) No, porque no existe relación entre las variables.




EXAMEN SOLUCIONES

Problema 5:

a) y = 19,81 + 6,74x, donde: x es el número horas e y es el número de gérmenes

b) 60,25 aproximando 60 gérmenes. Es una buena predicción, puesto que r = 0,999 (y 6 está cercano al intervalo de valores considerado).



RECURSOS DIDÁCTICOS

Bibliográficos: Guías didácticas, cuadernillos de matemáticas de distintas editoriales, revistas de información general, periódicos y revistas.

Matemáticas I Bachillerato Andalucía (Editorial Anaya) Matemáticas I Bachillerato (Editorial SM) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Bachillerato (Editorial

Santillana) Matemáticas I Bachillerato (Editorial Mc Graw Hill)

Elaboración propia: Cuadernillos con propuestas de actividades y de problemas de distinto nivel de dificultad y de profundización en los distintos conceptos.



Nuevas tecnologías:

Sitios Web:

http://www.vadenumeros.es/ http://www.rinconmantematico.com http://www.aulademate.com http://descartes.cnice.mec.es http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html http://www.ematematicas.net/variable_bidimensional.php?tipo=test http://www.ematematicas.net/variable_bidimensional.php?tipo=ejercicio http://www.ematematicas.net/estadistica/ http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_06200.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/

Variables_estadisticas_bidimensionales_regresion_correlacion/Indice.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/

1bach/naturaleza/u-13.pdf



Nuevas tecnologías:

Software:

Hojas de cálculo (Excel u OpenOffice)

Software específico para resolución de ecuaciones (Data Master 2003)

Aula:

Pizarra.

Pizarra digital.

Calculadora.


EL CLIMA DE CLASE

Un mínimo de normas claras, objetivos y organización aceptados por todos, crea y mantiene el ambiente necesario para el aprendizaje.

El equilibrio entre la implantación de normas indiscutibles y necesarias para la enseñanza-aprendizaje, en algunas ocasiones la tolerancia y flexibilidad, cuando no afectan a la buena marcha de la clase, constituye el núcleo fundamental que facilita el clima de aprendizaje y dedicación al estudio.

La integración de cambios innovadores en la interacción profesor alumnos obedece a un doble objetivo.

Por un lado, el de evitar la rutina. Por otro, reducir la pasividad del alumnado y el aprendizaje

memorístico.

La metodología variada y el comportamiento flexible del profesor, rígido e intransigente en las cuestiones relevantes, y tolerante o sensible a instancias poco importantes de los alumnos, genera un clima activo y motivador positivo para su formación.


EL CLIMA DE CLASE

Estrategias a seguir para promover un clima activo y motivador:

Para educar las relaciones en el aula

Para la mejora del interés y la participación:

Relacionar los temas tratados en clase con las experiencias y valores de los alumnos.

Flujo abierto de ideas y dudas por parte del alumnado sin temor a quedar en ridículo.

Trabajar con técnicas de atención y de la motivación.

Para aumentar la cohesión del grupo:

Favorecer las interacciones realizando trabajos en grupo. Procurar que el grupo clase tome decisiones grupales.


EL CLIMA DE CLASE

Para favorecer el apoyo y comprensión:

El profesor se mostrará confiado, asequible y abierto a los alumnos. El profesor procurará conocer y comentar, no sólo los problemas de

la clase, sino también los personales que afectan.

Para fomentar el desarrollo personal del alumno

Ayuda personal:

Atender a los casos individuales de dificultades de aprendizaje. Detectar problemas, menores o incluso graves, con el fin de facilitar

apoyo e información acerca de los centros especializados que pueden ofrecer ayuda.


EL CLIMA DE CLASE

Competitividad:

Favorecer tareas de colaboración y trabajos en grupo. No ridiculizar o castigar a los alumnos con menos éxito académico. Valorar en público y en privado el esfuerzo y la dedicación y no sólo

los resultados.

Para crear una organización favorable al aprendizaje

Proporcionar flexibilidad

En ocasiones, el profesor deseará que sus alumnos trabajen solos, en pequeños grupos o formando grandes equipos.

La supervisión de cada área ha de ser fácil.

El profesor debe ver sin dificultad todas las áreas de la clase.


EVALUACIÓN

La evaluación de los alumnos debe proporcionar información sobre el grado en que se han alcanzado los objetivos didácticos, que expresan las

intenciones educativas prioritarias de la unidad.

Para la evaluación inicial planteamos actividades diseñadas para diagnosticar la situación de partida antes de introducir nuevos conceptos en la unidad, con el fin de ajustar el planteamiento de la misma, facilitar la adaptación de las estrategias a peculiaridades, necesidades e intereses de los alumnos, ofrecerles pautas de trabajo, etc.

La evaluación formativa se llevará a la práctica mediante la observación directa y el análisis de algunas de las actividades realizadas por los alumnos.

La evaluación sumativa se realizará mediante una prueba individual y escrita en la que se propondrán algunas actividades análogas a las desarrolladas en la unidad; los conceptos y procedimientos tratados también se prestan a que las actividades propuestas se trabajen previamente en grupo debiendo, cada alumno posteriormente, explicar sus conclusiones, de manera que se ponga de manifiesto el grado de desarrollo de las capacidades de la unidad.


EVALUACIÓN

En el Real Decreto 1467/2007 se recogen los criterios de evaluación de Matemáticas I; en relación con las distribuciones bidimensionales, figura lo

siguiente:

Distingue si la relación entre los elementos de un conjunto de datos de una distribución bidimensional es de carácter funcional o aleatorio e interpretar la posible relación entre variables utilizando el coeficiente de correlación y la recta de regresión.

Se pretende comprobar la capacidad de apreciar el grado y tipo de relación existente entre dos variables a partir de la información gráfica aportada por una nube de puntos; así como la competencia para extraer conclusiones apropiadas, asociando los parámetros relacionados con la correlación y la regresión con las situaciones y las relaciones que miden. En este sentido, más importante que su mero cálculo es la interpretación del coeficiente de correlación y la recta de regresión en un contexto determinado.


CÓMO MEJORAR

Nuestra evaluación sobre la unidad que hemos impartido se basará en la siguiente tabla:

En ella podremos comparar lo que teníamos pensado hacer y al final no hemos conseguido realizar y posibles cambios.

También nos haremos las siguientes preguntas:

¿He podido explicar bien la materia? ¿Dónde he tenido problemas al explicarla?

¿Los ejemplos me han servido para que entiendan los conceptos? En caso de que no, ¿por qué no?

¿Qué ejemplos o ejercicios he tenido que improvisar en el aula para resolver las preguntas de los alumnos?


CÓMO MEJORAR

En cuanto a la temporización rellenaríamos una tabla parecida:

En ella podremos observar si la idea que teníamos en un principio sobre la duración de las sesiones se ha correspondido con el tiempo real utilizado.

¿Están bien repartidas las horas de explicaciones y las de resolución de ejercicios?

A partir de las respuestas , haremos una valoración e intentaremos elaborar una propuesta de mejora en caso de que sea necesario (aunque siempre se puede mejorar en algún aspecto).


UNIDAD DIDÁCTICA: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES ESTADÍSTICAS....

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