DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES - rodas5.us.es · resumen 1 distribuciones bidimensionales...

RESUMEN

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

J. Vega

RELACIONES LABORALESESTADISTICA

15 de noviembre de 2008

J. Vega DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

RESUMEN

1 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALESDISTRIBUCION CONJUNTADISTRIBUCIONES MARGINALESDISTRIBUCIONES CONDICIONADAS

2 REPRESENTACIONES GRAFICASDIAGRAMA DE BARRAS TRIDIMENSIONALDIAGRAMA DE DISPERSION o NUBE DE PUNTOS

3 DEPENDENCIASDEPENDENCIA FUNCIONALINDEPENDENCIADEPENDENCIA ESTADISTICACOVARIANZA


RESUMEN

4 REGRESIONREGRESION LINEAL

5 CORRELACIONCOEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL. r


DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALESREPRESENTACIONES

DEPENDENCIAS

INTRODUCCION

Siguiente Paso

Buscar relaciones entre la variables.(No se asegurara causalidad)Realizar un estudio conjunto de dos variables.

Aunque se pueden estudiar conjuntamente:

Cualitativa-Cualitativa (Sexo-Situacion Laboral)

Cualitativa-Cuantitativa (Estado Civil-Edad)

Cuantitativa-Cuantitativa (Edad-Numero Semanal de Horasde Trabajo)

Nos centraremos en el estudio conjunto de dos variablesCuantitativas



DEPENDENCIAS

DISTRIBUCION CONJUNTADISTRIBUCIONES MARGINALESDISTRIBUCIONES CONDICIONADAS






DEPENDENCIAS


Variables “X” e “Y ”

Poblacion: Empleados de una empresa. (n=10)X=Anos de antiguedad en el trabajo.Y =Numero de Accidentes Laborales en el ultimo ano.

Datos

(X, Y) Se denomina: Variable Bidimensional.

(2,2),(2,3),(2,3),(3,2),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,1),(5,1)



DEPENDENCIAS


Distribucion Conjunta

Las tablas de frecuencias de la distribucion conjunta se presenta enuna “tabla de doble entrada.”

Tabla de Frecuencias AbsolutasHH

HHHHXY

1 2 3

2 0 1 2 33 0 2 0 24 1 1 0 25 3 0 0 3

4 4 2 10



DEPENDENCIAS


k= es el numero de modalidades de Xp= numero de modalidades de Ynij= numero de veces que aparece el par (xi , yj) se tiene:Ordenadas las variables: x1 < x2 < · · · < xk , y1 < y2 < · · · < yp

Tabla de Frecuencias Absolutas

X�Y y1 y2 · · · yj · · · yp

x1 n11 n12 · · · n1j · · · n1p n1•x2 n21 n22 · · · n2j · · · n2p n2•...

......

. . ....

. . ....

...xi ni1 ni2 · · · nij · · · nip ni•...

......

. . ....

. . ....

...xk nk1 nk2 · · · nkj · · · nkp nk•

n•1 n•2 · · · n•j · · · n•p n•• = n



DEPENDENCIAS


Tabla de Frecuencias Relativas

Se obtiene sustituyendo las nij por fij =nij

n

EjemploH

HHHHHXY

1 2 3

2 0 0.1 0.2 0.33 0 0.2 0 0.24 0.1 0.1 0 0.25 0.3 0 0 0.3

0.4 0.4 0.2 1



DEPENDENCIAS


Distribuciones Marginales

Las variables unidimensionales X e Y se denominan marginales.X=Anos de antiguedad en el trabajo.Y =Numero de Accidentes Laborales en el ultimo ano.Sus frecuencias absolutas aparecen en los margenes derecho einferior de la tabla de doble entrada.

Marginal X

xi ni

2 33 24 25 3

10

Marginal Y

yi ni

1 42 43 2

10



DEPENDENCIAS


Ejercicio

Calcular el numero medio de anos de antiguedad en el trabajo y sudesviacion tıpica. (Media y desviacion tıpica de la marginal X)

Marginal X

xi ni xini x2i ni

2 3 6 123 2 6 184 2 8 325 3 15 75

10 35 137

X = 3510 = 3,5 SX =

√13710 − 3,52 = 1,2042 S2

X = 1,45



DEPENDENCIAS


Ejercicio

Calcular el numero medio de accidentes en el ultimo ano y sudesviacion tıpica. (Media y Desviacion Tıpica de la marginal Y.)

Marginal Y

yi ni yini y2i ni

1 4 4 42 4 8 163 2 6 18

10 18 38

Y = 1810 = 1,8 SY =

√3810 − 1,82 = 0,7483 S2

Y = 0,56



DEPENDENCIAS


Marginal X

xi ni•x1 n1•x2 n2•

......

xk nk•n

X =

∑ki=1 xini•

n

SX =

√∑ki=1 x2

i ni•n

− X2

Marginal Y

yj n•jy1 n•1y2 n•2

......

yp n•pn

Y =

∑pi=1 yjnj•

n

SY =

√∑pj=1 y2

i nj•

n− Y

2



DEPENDENCIAS


Distribuciones Condicionadas

Problema

Obtener el numero medio de accidentes de los empleados que tienedos anos de antiguedad en la empresa. Calcular tambien sudesviacion tıpica.

Distribucion

yi ni yini y2i ni

1 0 0 02 1 2 43 2 6 18

3 8 22



DEPENDENCIAS


Estas distribuciones se denominan Distribuciones Condicionadas,en este caso, distribucion de “Y condicionada a X=2” y serepresenta como: Y|X=2

Media y D. Tıpica Condicionada

Y |X=2 =8

3= 2,6667

SY|X=2=

√22

3− 2,66672 = 0,4714

En este sentido tendremos las siguientes distribucionescondicionadas: Y|X=2, Y|X=3, Y|X=4, Y|X=5



DEPENDENCIAS


Problema

Obtener la antiguedad media de los empleados que presentaron dosaccidentes el ultimo ano. Calcule tambien la desviacion tıpica.

Distribucion

xi ni xini x2i ni

2 1 2 43 2 6 184 1 4 165 0 0 0

4 12 38



DEPENDENCIAS


Esta distribucion condicionada se denomina, “X condicionada aY=2” y se representa como: X|Y=2

Media y D. Tıpica Condicionada

X |Y =2 =12

4= 3

SX|Y =2=

√38

4− 32 = 0,7071

En este sentido tendremos las siguientes distribucionescondicionadas: X|Y =1, X|Y =2, X|Y =3



DEPENDENCIAS

DIAGRAMA DE BARRASDIAGRAMA DE DISPERSION






DEPENDENCIAS


EjemploH

HHHHHXY

1 2 3

2 0 1 2 33 0 2 0 24 1 1 0 25 3 0 0 3

4 4 2 10



DEPENDENCIAS


Diagrama de barras tridimensional



DEPENDENCIAS


Diagrama de barras tridimensional

1 2 3Y

12

34

5X

1

2

3

nij

-

-

-



DEPENDENCIAS


Diagrama de Dispersion o Nube de Puntos

El punto (X , Y ) se denomina centro de gravedad de la nube de puntos.

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9



DEPENDENCIAS


Variables Continuas

HHHHHHX

Y0-5 5-10 10-15

0-10 5 10 0 1510-20 0 20 0 2020-30 0 10 5 15

5 40 5 50



DEPENDENCIAS


Estereograma



DEPENDENCIAS


Diagrama de Dispersion

0 10 20 30

5

10

15



DEPENDENCIAS

DEPENDENCIA FUNCIONALINDEPENDENCIADEPENDENCIA ESTADISTICACOVARIANZA SXY






DEPENDENCIAS


Introduccion

Cuando hablamos del estudio conjunto de dos variables nospodemos preguntar:

¿Existe algun tipo de relacion entre las variables?

Se puede explicar el comportamiento de una de ellasconociendo la otra.

Los valores de una de las variables influyen en la distribucionde la otra.

La variacion de una de ellas explica la variacion de la otra.

Analizando el problema nos encontramos la dependenciaestadıstica y dos casos extremos:

Dependencia funcional⇐= Dependencia Estadıstica=⇒ Independencia



DEPENDENCIAS


Dependencia Funcional

Los valores de una variable van a determinar exactamente losvalores de la otra.Se dice que Y depende funcionalmente de X si a cada valor deX le corresponde un unico valor de Y

EjemploH

HHHHHXY

10 11 12

3 4 0 0

4 0 0 2

5 0 3 0

Cada fila tiene un unico valor significativo.



DEPENDENCIAS


Se dice que X depende funcionalmente de Y si a cada valor deY le corresponde un unico valor de X

EjemploHHH

HHHXY

6 9 11

3 4 0 5

5 0 3 0

Cada columna tiene un unico valor significativo.

La dependencia funcional no es recıproca, en este ultimo caso Y nodepende funcionalmente de X.



DEPENDENCIAS


Independencia

Supongamos que en una facultad hay dos tipos de apuntes de unamisma asignatura:

Alumnos Aprobados Suspensos

Apuntes A 400 300 100

Apuntes B 100

La independencia esta asociada a mantener las relaciones.



DEPENDENCIAS


Independencia

Se dice que X e Y son independientes si las distribuciones defrecuencias relativas de Y condicionada a los valores de Xcoinciden (o viceversa). Los valores de una de las variables no danninguna informacion sobre los posibles valores de la otra. No existeninguna relacion entre las variables. La independencia es recıproca.

¿Son Independientes las variables?H

HHHHHXY

1 2 3

5 1 2 1

10 2 4 2



DEPENDENCIAS


Comparemos las distribuciones de frecuencias relativas de lasvariables:

Y|X=5 y Y|X=10

Y|X=5

xi ni fi1 1 0.252 2 0.503 1 0.25

4 1

Y|X=10

yi ni fi1 2 0.252 4 0.503 2 0.25

8 1

Las terceras columnas coinciden, son por lo tanto Independientes.



DEPENDENCIAS


Otra caracterizacion es comprobar que las filas (columnas) defrecuencias en la tabla de doble entrada son proporcionales.

HHHHHHX

Y1 2 3

5 1 2 1

10 2 4 2



DEPENDENCIAS


Dependencia Estadıstica

Una vez estudiado los casos extremos, lo que normalmente ocurre,es que los valores de una de las variables dan cierta informacionsobre la distribucion o los valores de la otra. Este tipo dedependencia se denomina Dependencia Estadıstica

Abordaremos el estudio de dicha dependencia desde diferentespuntos de vista.

Empezaremos dando una medida para determinar si se trata deuna dependencia positiva o directa, o por el contrario, se trata deuna dependencia negativa o inversa.



DEPENDENCIAS


Dependencia Directa e Inversa

Directa

Dos variables presentan una relacion o dependencia positiva odirecta si a valores crecientes de X le corresponden valorescrecientes de Y.

Ejemplos

Se espera una dependencia positiva:

Inversion de las empresas y ganancias

Antiguedad y sueldo

...



DEPENDENCIAS


Inversa

Dos variables presentan una relacion o dependencia negativa oinversa si a valores crecientes de X le corresponden valoresdecrecientes de Y

Ejemplos

Se espera una dependencia negativa:

Inversion en prevencion de riesgos laborales y numero deaccidentes.

Horas de trabajo y numero de suspensos.

...



DEPENDENCIAS


Covarianza

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(x , y)

(xi − x)(yi − y) > 0

(xi − x)(yi − y) < 0

(xi − x)(yi − y) < 0

(xi − x)(yi − y) > 0



DEPENDENCIAS


Una medida de la dependencia directa e inversa sera:

n∑i=1

(xi − x)(yi − y)

n

Covarianza. SXY

En la tabla de doble entrada se define:

SXY =

k∑i=1

p∑j=1

(xi − x)(yi − y)nij

n



DEPENDENCIAS


Formula Practica de la Covarianza

Covarianza. SXY

SXY =

k∑i=1

p∑j=1

xiyjnij

n− X Y

Interpretacion de SXY

SXY > 0 =⇒ Dependencia Directa

SXY = 0 =⇒ Incorrelacion

SXY < 0 =⇒ Dependencia Inversa



DEPENDENCIAS


Ejemplos

Dando los pares de datos

(2,2),(2,3),(2,3),(3,2),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,1),(5,1)

SXY =2× 2 + 2× 3 + 2× 3 + · · ·+ 5× 1

10− 3,5× 1,8 = −0,8



DEPENDENCIAS


Dando la tabla de doble entradaHHH

HHHXY

1 2 3

2 0 1 2 33 0 2 0 24 1 1 0 25 3 0 0 3

4 4 2 10

SXY =2× 2× 1 + 2× 3× 2 + 3× 2× 2 + 4× 1× 1 + 4× 2× 1 + 5× 1× 3

10− 3,5× 1,8 = −0,8


REGRESIONCORRELACION

REGRESION LINEAL





REGRESION LINEAL

Concepto de Regresion

Objetivo

Buscar la funcion que exprese lo mejor posible la relacion existenteentre las variables, con vistas a poder predecir los valores de unade ellas a partir de los valores de la otra.

Ver Ejemplos Excel



REGRESION LINEAL

Regresion Lineal



REGRESION LINEAL

Regresion Parabolica



REGRESION LINEAL

Regresion Exponencial



REGRESION LINEAL

Regresion Lineal

Objetivo

Buscar la recta que mejor de adapte a la nube de puntos.

Criterio

El criterio que se utilizara para cuantificar el grado de ajuste es elde mınimos cuadrados.



REGRESION LINEAL

Recta de Regresion. Criterio de Mınimos Cuadrados

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

(x4, y4)

d1 d2

d3

d4

y = a + bx



REGRESION LINEAL

Objetivo

Encontrar la recta y = a + bx que resuelva el problema:

mına,b

d21 + d2

2 + · · ·+ d2n =

n∑i=1

d2i =

n∑i=1

(yi − (a + bxi ))2

Solucion

Existen dos rectas de regresion:



REGRESION LINEAL

Recta de Regresion de Y|X

Recta que predice el valor de Y conocido el valor de X.

y = a + bx

b =

SXY

S2X

a = Y − bX

Alternativa

y − Y =SXY

S2X

(x − X )



REGRESION LINEAL

Recta de Regresion de X|Y

Recta que predice el valor de X conocido el valor de Y.

x = a′ + b′y

b′ =

SXY

S2Y

a′ = X − b′Y

Alternativa

x − X =SXY

S2Y

(y − Y )

Ambas rectas pasan por el centro de gravedad: (X , Y )



COEFICIENTE DE CORRELACION LINEAL






Objetivo

Medir el grado de ajuste existente entre la nube de puntos y lafuncion ajustada. Es una medida de asociacion entre las variables.




Coeficiente de Correlacion Lineal

Medir el grado de ajuste existente entre la nube de puntos y larecta ajustada. Se representa con la letra r y su valor es:

r =SXY

SXSY


Coeficiente de correlacion Lineal. r

−1 ≤ r ≤ 1

r = −1 r ' −1 · · · r = 0 · · · r ' 1 r = −1

(x, y)

CLPI FCLI DCLI INCORRE. DCLD FCLD CLPD

CLPI. Correlacion Lineal Perfecta e Inversa. El Modelo Lineal es exacto.

FCLI. Fuerte Correlacion Lineal Inversa. Modelo Lineal adecuado. Predicciones Fiables

DCLI. Debil Correlacion Lineal Inversa. Modelo Lineal Inadecuado.

Incorrelacion. Ausencia Total de Correlacion Lineal.

DCLD. Debil Correlacion Lineal Directa. Modelo Lineal Inadecuado.

FCLD. Fuerte correlacion Lineal Directa. Modelo Lineal adecuado. Predicciones Fiables

CLPD. Correlacion Lineal Perfecta y Directa. El Modelo Lineal es exacto.

Ver Interpr. Excel



Propiedades

Sig(b) = sig(b′) = sig(r) = sig(SXY )

Las dos rectas de regresion son; o las dos crecientes o las dosdecrecientes, salvo en el caso de incorrelacion, que sonperpendiculares y paralelas a los ejes.

Las dos rectas de regresion se cortan en el centro de gravedadde la nube de puntos (X , Y ), por lo tanto son la solucion delsistema: {

y = a + bxx = a′ + b′y

r = ±√

b · b′

Sera el valor positivo si b y b′ son positivos y sera negativo sib y b′ son negativos.




Datos

(2,2),(2,3),(2,3),(3,2),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,1),(5,1)

Tabla de doble entradaHH

HHHHXY

1 2 3

2 0 1 2 33 0 2 0 24 1 1 0 25 3 0 0 3

4 4 2 10




X =35

10= 3,5 Sx =

√137

10− 3,52 = 1,2042 S2

x = 1,45

Sxy =55

10− 3,5 · 1,8 = −0,8

Y =18

10= 1,8 Sy =

√38

10− 1,82 = 0,7483 S2

y = 0,56

Recta de regresion de Y|X

y = a + bx

b =Sxy

S2x

= −0,5517

a = Y − (−0,5517)X = 3,73

y = 3,73− 0,5517x




X =35

10= 3,5 Sx =

√137

10− 3,52 = 1,2042 S2

x = 1,45

Sxy =55

10− 3,5 · 1,8 = −0,8

Y =18

10= 1,8 Sy =

√38

10− 1,82 = 0,7483 S2

y = 0,56

Recta de regresion de X|Y

x = a′ + b′y

b′ =Sxy

S2y

= −1,4286

a′ = X − (−1,4286)Y = 6,07

x = 6,07− 1,4286y





y = 3,73− 0,5517x


x = 6,07− 1,4286y

Predicciones

x = 6

y = 3,73− 0,5517 · 6 = 0,42

y = 4

x = 6,07− 1,4286 · 4 = 0,36





y = 3,73− 0,5517x


x = 6,07− 1,4286y

Predicciones

x = 6 y = 3,73− 0,5517 · 6 = 0,42

y = 4

x = 6,07− 1,4286 · 4 = 0,36





y = 3,73− 0,5517x


x = 6,07− 1,4286y

Predicciones

x = 6 y = 3,73− 0,5517 · 6 = 0,42

y = 4 x = 6,07− 1,4286 · 4 = 0,36




Coeficiente de Correlacion Lineal r

r =Sxy

SxSy= −0,8878

FCLI




Representar las rectas sobre la nube de puntos

y = 3,73− 0,5517x

x 3.5 0 6.76

y 1.8 3.73 0

x = 6,07− 1,4286y

x 3.5 6.07 0

y 1.8 0 4.27




−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y = −0,5517x + 3,73

x = 6,07− 1,4286y

?




Tabla de doble entradaHHH

HHHXY

0-5 5-10 10-15

0-10 5 10 0 1510-20 0 20 0 2020-30 0 10 5 15

5 40 5 50




Tabla de doble entrada (Marcas de clase)

HHHHHHX

Y 2.50-5

7.55-10

12.510-15

5/ 0-10 5 10 0 1515/10-20 0 20 0 2025/20-30 0 10 5 15

5 40 5 50




X =750

50= 15 Sx =

√14250

50− 152 = 7,7460 S2

x = 60

Sxy =6125

50− 15 · 7,5 = 10

Y =375

50= 7,5 Sy =

√3062,5

50− 7,52 = 2,2361 S2

y = 5


y = a + bx

b =Sxy

S2x

= 0,1667

a = Y − (0,1667)X = 5

y = 5 + 0,1667x




X =750

50= 15 Sx =

√14250

50− 152 = 7,7460 S2

x = 60

Sxy =6125

50− 15 · 7,5 = 10

Y =375

50= 7,5 Sy =

√3062,5

50− 7,52 = 2,2361 S2

y = 5


x = a′ + b′y

b′ =Sxy

S2y

= 2

a′ = X − 2Y = 0

x = 2y




0 10 20 30

5

10

15

x = 2y

y = 0,1667x + 5




Coeficiente de Correlacion Lineal r

r =Sxy

SxSy= 0,5774

DCLD


DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES - rodas5.us.es · resumen 1 distribuciones bidimensionales...

Documents

Transcript of DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES - rodas5.us.es · resumen 1 distribuciones bidimensionales...