Unidad 5, Alg.lineal. Zenaida

7/25/2019 Unidad 5, Alg.lineal. Zenaida

http://slidepdf.com/reader/full/unidad-5-alglineal-zenaida 1/7

INSTITUTOTECNOLÓGICOSUPERIOR DE JESÚS

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR

DE JESÚS CARRANZA

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD VTRANSFORMACIONES LINEALES

ZENAIDA DEL CARMEN SEBASTIAN SALAZAR

ING. JENNIFER GUSMAN GAYOSO

GRUPO



GRUPO

Existen dos espacios

fundamentales que están

asociados a una

transformación lineal: su kernel

ker(T) y su imagen im(T). El

kernel y la imagen de una

transformación l ineal T

corresponden con el espacio

nulo y el espacio de la

columna de cualquier matriz

que represente a T.

Intr!"##$%n & '&( tr&n()r*&#$n+( '$n+&'+(, Las

transformaciones lineales son las funciones y tratan

sore !"espacios #ectoriales que son compatiles con

la estructura (es decir$ con la operación y la acción) de

estos espacios.

L&( tr&n()r*&#$n+( '$n+&'+(: son

las funciones con las que

traa%aremos en &lgera Lineal. ' e

trata de funciones entre !"espacios

#ectoriales que son compatiles con la

estructura (es decir$ con la operación y

la acción) de estos espacios.

En otras palaras$ se consideran espacios#ectoriales$ * y +. ,na transformación lineal es

una gráfica T: *- + que satisface dos

condiciones:

). T (# / #) 0 T (#) / T (#) donde # y #

son #ectores en *. ). T (x*) 0 x T (#) donde x

es una escala.

La teor1a de la matriz entra en la

teor1a de las transformaciones

lineales porque es posile

representar cada transformación

lineal como matriz. La

multiplicación de matrices puede

considerarse como el e%emplo

principal que puede demostrar el

concepto de transformación

lineal. ,na matriz & de

dimensión n x m define que T (#)

0 &# y aqu1 # es representado

como un #ector columna.

La transformación lineal es una función utilizadapara la asignación de un espacio #ectorial a otro

espacio #ectorial con la ayuda de los escalares$ la

cual satisface la expresión f(a2x/2y) 0a2f(x)/2f(y).

U N I D A D 5

T r a n s f o r m a c i o n e s l i n e a l e s



- . 2

n " # ' +

+

$ *

& + n

! +

" n &

t r & n ) r *

& # $ n

' $

3efinición: (ea una transformación l1nea. Laimagen de T$ escrito 4m T$ es elcon%unto de lasimágenes de los puntos de E en 5.

T+r+*& /. (ea T: * + una transformación lineal.Entonces para todos los #ectores u$ #$ #$ #)$6.#n en * y todos los escalares.

T+r+*& 2, (ea # un espacio #ectorial de dimensiónfinita con ase 70 8#$#)$6.#n9. (ean $)$6.n #ectores en +. (uponga que Ty T) son dostransformaciones lineales de * en + tales que T#i 0T)#i 0 i para i 0 $ )$6$n. Entonces para cualquier#ector # #$ Tϵ # 0 T)#; es decir T 0 T).



-.0 '& *&tr$1 !+

"n&

tr&n()r*&#$n

'$n+&'.

i & es una matriz de m2n y T: <n"<m está definida por Tx 0 &x$entonces$ T es una transformación lineal. &=ora se #erá que paratoda transformación lineal de <n en <m existe una matriz & de m2ntal que Tx 0 &x para todo x <n. Este =ec=o es de gran utilidad. iϵ

Tx 0 &x. Entonces un T 0 >& e 4m T 0 <&. más aun$ #(T) 0 dim un T0 #(&) y p(T) 0 dim 4m T 0 p(&).

Teorema : sea &T la matrizde transformacióncorrespondiente a laatransformación lineal T.entonces.

teorema : ea T:<n "<m unatransformación lineal. Existe

entonces una matriz ?nica dem2n$ &T tal que

Teorema @: ean * y + espacios#ectoriales de dimensión finita condim * 0 n. sea T:*"+ unatransformación lineal y sea &T una

representación matricial de Trespecto a las ases 7 en * y7 en +. entonces

i.p(T) 0 p(&T)

ii.*(&) 0 #(&T)

iii. *(a) / p (T) 0 n

i. 4m T 0 4m & 0 A&T

ii. B(T) 0 p(&T)

iii. ,n T 0 >&T

i#. #(T) 0 #(&T



Craficar un con%unto de puntos en otro es

lo que se conoce como transformación

lineal de un con%unto de puntos. Existen

ciertas propiedades ásicas de las

transformaciones lineales$ las cuales si

son tomadas en cuenta y aplicadas al

momento de resol#er un prolema$

pueden reducirlo un prolema simple.

@. Aontracción: La contracción es

el procedimiento in#erso de la

expansión. &qu1 el punto es

contra1do en un determinado grado

=acia una dirección dada. ea el

punto de entrada (D$ ) y este dee

ser contra1do para el grado dos en

la dirección de x entonces el nue#o

punto resulta ser ($ ).

La reflexión es realizada

siempre con respecto a uno

de los e%es$ sea el e%e x o el

e%e y. Esto es como producir

la imagen espe%o de la

matriz actual.

. <eflexión: Auando un con%unto de puntos

dados es graficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que

este es isomFtrico al espacio euclidiano de

entrada$ llamamos a la operación realizada la

reflexión del con%unto de puntos dado.

D. <otación: El tFrmino rotación

tiene dos significados$ ya la

rotación de un o%eto puede ser

realizada con respecto al e%e dado

o al e%e mismo. La rotación se

realiza para un cierto grado el cual

es expresado en forma de un

ángulo. &simismo$ la rotación

puede realizarse en la dirección de

las manecillas del relo%$ o in#erso a

las manecillas del relo%.

Es como realizar una

operación de

multipl icación de los

elementos del con%unto de

puntos dados con un

tFrmino escalar =acia la

dirección donde tiene queser expandido.

. Expansión: &l igual que en la

reflexión$ tamiFn es posile expandir

los puntos dados en una dirección

particular. La expansión se realiza

=aitualmente para un cierto grado.

- . 2 A P L I C A C I Ó N D E L A S T R A N S F O R M A C I O N E S L I N E A L E S , R E F L E 3 I Ó N 4 D I L A T A C I Ó N 4 C O N T R A C C I Ó N 4 Y R O T A C I Ó N .

Unidad 5, Alg.lineal. Zenaida

Documents

Transcript of Unidad 5, Alg.lineal. Zenaida