Unicità e regolarità della soluzione del problema di Cauchy per una equazione differenziale...
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73
UNICITA E RE(BOLARITA DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHY
PER UNA EQUAZIONE DIFFERENZIALE ASTRATTA
DEL SECONDO ORDINE
di Mario Marino (*)
SUMMARY. V and H are Hilbert spaces with VCH, V dense in H and j : V.+H conti- nuous. V* is the (anti)dual space of V. In this paper we give uniqueness and regularization theorems for the solution of the Cauchy problem A (t) u (tl H- B(t) u" (t) "Jr- (Cu' (t))' ~- f(t), u(O)-~Cu'(O)=O, O<---t~T, where A(t)~-Q-FR(t), QEZ~(V, V*), R(t)EC~ ([0, T], .P(V, H)), B(t)E C~ ([0, T], ~(H, H)), CE.~(H, H) and f(t)EHS(O, T; H)-[-H~+~ T; V*) with 0<0<=.
In un precedente lavoro [8] ho stabilito risultati di regolarit/~ della soluzione
del problema di Cauchy:
l A(t)u(t) -F- Ftu'(t) -F- u"(t) -~ f(t), 0~< t~< T,
u (o ) = u' (o) = o
ore A(t) ~ un operatore non limitato in uno spazio di Hilbert H, I~ un numero
complesso ed f ( t ) E H e ( 0 , T; H) (i) con 0 < 0 < 1.
Recentemente questo risultato ~ stato da me ritrovato ([9]) con un metodo
diverso (che consente tra I'altro di migliorare le ipotesi fatte in [8] sulla "pa r te
principale" della forma sesquilineare a(t; u, v)). In questa Nota prendo in considerazione una equazione differenziale lineare
del secondo ordine pifl generale di quella esaminata in [8] e, dopo aver provato
un teorema di unicit/~ per la soluzione del corrispondente problema di Cauchy,
stabilisco risultati di regolarit~ che generalizzano quelli di [8].
(*) Lavoro eseguito nell'ambito del O. N. A. F. A. del C. N. R.. (~) Per le notazioni cfr. il n. 1.
7 4 . A ~ o MAR|NO
1. Siano V ed /4 due spazi di Hilber[ complessi e separabili con V contenuto
in H algebricamente e topologicamente, V denso in H. Si identifichi H a d H* (')
(nel senso del teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali antilineari e continui sugli spazi di Hilbert); segue allora:
V C H ~ H ~ C V * ; H denso in V*.
Si indicherfi con ( . , - ) l'antidualit/l tra V* e V; e con (-, .) e i'I (rispettiva-
mente con ((., .)) e ]I'II; rispettivamente con ((., .)). e [I'I!,) il prodotto scalare e la norma i n / 4 (rispettivamente in V; rispettivamente in V*). Si osservi che si avr~:
(1.1) (h, v ) = ( h , v) V h E H , v v E V (8).
Detto ora T u n nurnero reale positivo, per ogni tE[0, T] supporr6 assegnati una forma sesquilineare su VXV: a(t; u, v) e due operatori: B(t)EZ?(H, V*) (4),
C(t)EZ?(H, H); valgano le ipotesi seguenti (cfr. J. L. Lions [6] e C. Baiocchi [1]):
(1.2) a(t; u, v ) = q ( t ; u, v )+r ( t ; u, v) (q "parte principale", r "resto" di a).
(1.3)
Per tE[0, T], q(t; u, v) d una forma sesquilineare continua su V X V ;
per u, vEV la funzione t~ .q( t ; u, v)ECX([0, T]);
q(t; u, v ) = q ( t ; v, u), v t E [ 0 , T], v u , vEV;
esistono due costanti v > 0 e Z ~ 0 tali che
q(t; v, v)+Xlvl'> llv[I vt6[0, r] , vv V.
(1.4) Per u, v E V la funzione t-~r(t; u, v)6C~ TJ);
esiste una costante ct > 0 tale che
Jr(t; u, v)l ~< ct Ilull Ivl, v t6[o, T1, v u, vr
(2) Se K ~ uno spazio di Hilbert, K* denota l'antiduale (forte) di K.
(3) Essendo l'iniezione di V in H continua, esiste una costante positiva ~ tale da aversi,
per ogni u E V : lul < ~llull.
La (1.1) ~ conseguenza della definizione di immersione di H in V*.
(*) Se s~, c~ sono spazi vettoriali topologici con .~ (~, ~) si indica Io spazio delle appli-
cazioni lineari continue di ~ in ~ ; se ~ e ~ sono spazi di Banach .~(~, ~) risulta uno
spazio di Banach rispetto alla norma:
II~:ll~(~,~) = supl[] ~a][~; aE~, Ilall~ -< 1].
UNI{~I'A I ]IIGOL~RITA DII~LLA flOLUZIOI~II~ D]~L PllOBLEMA Dl CAUCIlY, ETC. 7 5
(! .5)
Per h E H, v E V l a funzione t-~ (B (t) h, v) E C O ([0, T]) ;
esiste una costante c'2 > 0 tale che
IRe<n(t)v, v>l~<c'~lvl ~, vtE[0, T], vv~V.
(~ .6)
C(t) ~ hermitiano > O;
per g, h E H la funzione t-~(C(t)g, h)ECl([0, T]);
esiste una costante c8 > 0 tale che
(C(t)h, h) >~ c~lhl ~, v t~[0, Z], v hC/-t.
Prolungate, ora, le funzioni q(t; u, v), r(t; u, v), B(t), C(t) su ]--c~, T] con q(0; u, v), r(0; u, v), B(0) e C(0) in ]-- co, 0[ (5), prenderemo in esame il
PROBLEMA (A). Fissata una funzione f ( t ) tale cite:
(1.7) f ( t )EL2( - -oo , T; V*) (6), / ( t ) = 0 per t < 0 ,
trovare una funzione u (t) E L ~ (-- oo, T; V) tale che
u ' ( 0 E L ~ ( - - c o , T; H), u ( t ) = 0 per t < 0 e
aft; ~ , T), v vEV, d (C(t)u'(t), v ) = ( f ( 0 , v> in cD'(_ u (0, v) + (u" (0, B*(O v) + d (
ore B*(0E.~(V, H) ~ l'operatore trasposto cli B(t).
Detti Q(t) ed R(t) gli operatori associati alle forme sesquilineari q( t ; . , .)
r ( t ; . , .) (7), si verifica facilmente che il problema (A) ~ equivalente al
PROBLE/ViA (A bis). Nella ipotesi del problema (A) trovare una funzione
u(t) EL ~ ( - o o , T; V) tale che
u'(t)EL~(-- c~, T; H), u(0 = 0 per t < 0 e
Q(t)u(t) + R(t)u(t) + B(t)u" (t) + (C(Ou" (t))" = f(t) in @'(- - oo, T; V*).
(~) i prolungamenti di q(t; u, v), r(t; u, v), B(t) e C(t) verranno ancora d en o ta t i con gli stessi simboli. Porremo, poi, a( t ; u, v ) = q(t; u, v ) + r(t; u, v) per tE ] - - c~, 0[, u, vEV.
{6) Cfr.: [8], nora (l).
{7) Risuita: Q(t)EZ?(V, V*), R(t)E~?(V, H), (Q(t)tt, v> ----q(t; u, v), (R{t)u, v ) = r ( t ; u, v),
VtE[0, T], VU, vEV (cir. [3], pag. 38).
76 MARIO M/tRINO
Sotto ipotesi su f pifJ restriltive della (1.7) 6 noto un teorema di esistenza di soluzioni del problema (A); precisamente (cfr. C. Baiocchi [1]) vale il seguente
TFOREMA (1.1) (di esistenza). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6), se inoltre
(1.8) /(t)~L"(--~, T; H) q - H ~ ( - - c ~ , T; V*) (s), f ( t ) = 0 per t < 0
il problema (A) (ovvero il problema (A bts)) ammette soluzioni.
2. Sostituiamo I'ipotesi fatta nel numero precedente sull 'operatore B(t) con la seguente (pifi restrittiva):
I B(t)E.t2(H, n), v tE[0, T]; (2.1)
t per g, h E H ta funzione t -~ (B (t)g, h) E C ~ ([0, T]) (0)
e dimostriamo il
TEOREMA (2.1). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (!.6), se vale la (1.8), il problema (A) ammette una ed una sola soluzione u(t). Tale soluzione, eventual-
mente corretta su un insieme di misura nulla, d fortemente continua in V, u" (t)
fortemente continua in H ed ancora si ha:
u (0) = u" (0) = o,
(2.2) sup Ilu(t)ll-F sup lu'(t)[ ~< costllfllt.,~-=,r;m+n,c_.o,r;v.>. O~=t< T O-~ t :~ T
Cominciamo con il provare il seguente
TI~OREMA (2.2) (di unicitd). Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (!.4), (2.1), (1.6) il problema (A) ammette at pi~t una soluzione.
(s) Se I~tl~=,,,,...., sono n spazi di Banach tutti contenuti in uno stesso spazio vettoriale topoiogico _~, con -~t @ - ~ q - " " - q - s~,, si indica 1o spaz io:
~ a i �9 aE M; H a~E ~t(i 1, 2 . . . . . n): a-----~=
Tale spazio risulta di Banach rispetto alia norma:
l ~ l ]]adls~l ' f t l a l l ~ i + . ~ + . . . + . ~ , ' = inf " atE aZl, ~ at---- a . I=1
(~) L'ipotesi (2.1) implica l'esistenza di una costante c~ > 0 tale che IIB(tl[le~H,m < c,, v t~ [o, r l .
UNICITA 'It RIIGOLARrr.~ DBLLA 8OLUZIONB DEL PuOBLEMA DI CAUCHYj ETC. 77
La dimostrazione del teorema (2.2) verrh sviluppata come segue. In un primo momento proveremo che:
(2.3) Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), se u(t) ~ una eventuale solu- zione del problema (A), la restrizione di u(O a [0, T] ~ soluzione del
�9 PROBLnMA (B). Fissata una funzione f(t)EL'(O, T; V*), trovare una funzione u(t)EL~(O, T; V)AH~(0 , T; H) tale the
C(t)u'(t) (40) appartenga a C~ T]; V*) e
(2.4) Q ( t ) u ( t ) + R ( t ) u ( O + B ( t ) u ' ( t ) + ( C ( O u ' ( t ) ) ' = f ( t ) in 0"(0, T; V*),
u(0) = C(O)u'(o) = o (").
(con termine nolo uguale a f t[0, T])"
Verr/i poi dimostrato the
(2.5) Sotto le ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), se inoltre ~ f(t)~L~(O, T; H ) + + H ~ (0, T; V*) il problema (B) ammette una ed una sola soluzione.
II teorema (2.2) segue allora in modo ovvio dalle proposizioni (2.3) e (2.5).
Dimostrazione della (2.3). Sia u(0 una eventuale soluzione del problema (A); risulta (tenendo conto dell'equivalenza tra i problemi (A) e (A his)):
u(t)EL~(--oo, T; V ) GH~( - -oo , T; H), u(t) = 0 per t ~ O (2.6)
e
(2.7) Q ( O u ( O + R ( t ) u ( t ) + B ( t ) u ' ( t ) + ( C ( t ) u ' ( O ) ' = f ( O in O ' ( - -oo , T; V*).
Dalla (2.6) segue allora : u i[0, T] ~ L~ (0, T; V) FI H t (0, T; H) e u (0) = 0 (err. [6],
pag. 150); mentre dalla (2.7) si deduce, essendo f ( t ) - - Q ( 0 u ( 0 - - R ( t ) u ( t ) - - - - B(Ou" (O~L'( - - 0% T; v*):
(2.8) (C(t)u'(O)" ~L'-(-- o% T; V*).
D'altra parle, le (2.6) e (1.6) implicano:
(2.9) C(Ou'(t)~L*(--oo, T; H).
(t0) Eventualmente corret ta su un ins ieme di misura nulla.
(u) Se A ~ un sot to ins ieme di .~ e T u n a t rasformazione definita sn s~, r A denota la
res t r iz ione di T a d A.
78 MARIO MAR1NO
Dalle (2.8) e (2.9) segue c h e l a funzione C(t)u'(t) (io) appartiene allo spazio C ~ T]; V*), essendo inoltre C( t )u ' ( t )=0 per t < 0 , risulta C(0)u'(0)----0.
Si ha dunque
u[[0, T]EL*(0, T; V) fqHi(0, T; H), C(t)(u(t)l[o, Tj)'EC~ T1; V*),
u (o) --- C(O) u' (o) = o.
Infine dalla (2.7) segue the la funzione ul[0, T] verifica la (2.4) in c2)'(0, T; V*).
Dimostrazione della (2.5). Per provare la proposizione (2.5) ci serviremo di un risultato di C. Baiocchi [2]. La formulazione astratta 6 la seguente.
Siano Y, Z due spazi di Banach, ~ uno spazio vettoriale topologico con
Z C ~ (con immersione continua); sia, poi, c~ un operatore in ./2(Y, 2).
Si ponga :
170 : {yEY; ~ y E Z ) ; Ilyl[~o = Ilyllv + [l~:yllz.
Si vorr~ ora risolvere l'equazione q~y = z con z assegnato in Z. Saranno aiiora utili criteri che assicurino la validit/l della relazione:
(2.10) ~[17o dun isomorflsmo suriettivo eli 17o su Z.
Noi faremo uso del seguente criterio (cfr. C. Baiocchi [2], teorema 3.2):
TEOREMA (2.3). Sia X una variet~ di 17o; condizione necessaria e sufficiente
affinch~ valgano la (2.10) e la relazione
X ~ denso in 17o
che esista un operatore ~ 622(y, Z) tale che:
esiste una costante k tale che, v x 6 X, V ~ 6 [0, 1] :
(2.11) IIxlIy ~< tc I['~ x + ~ x l l ~
(k indipendente cla x E X, ~ E [0, 1]) ;
(2.12) ( ~ - [ - ~ ) ( X ) ~ denso in Z;
t esiste almeno uno ~o E [0, 1] tale che l'equazione
(2.13) ~ y @ ~o~y = 0 ammette in Y la sola soluzione y : O.
UNICITA E RECOLARITA DELL& 8OLUZIONE DEL PROBLRM A DI CAUCHY, ETC. 79
Inoltre, se valgono le (2.11), (2.12), (2.13), si ha:
t per ogni ~ E [0, 1] (~ + ~&)117,o ~ un isomorfismo
suriettivo di tro su Z.
Poniamo, ora :
Y = {uEL*(O, T; V)NH'(O, T; H); Cu'EC~ T]; V*)};
z = [L~(0, T; H) + W', ' (0, T; V*)l • {0} • 101 ('~);
= @ ' ( 0 , T ; V * ) X H X V * ;
~tt ~ [Q(t)u(t)+R(t)u(t)+B(t)u" (t)+(C(t)u" (t))'; u(0); C(O)u" (O)}
x = {u~ c~([o, r ] ; v ) ; u(o) = u '(o) = ot;
(2.14) ~u ~-l-- R(t)u(t)--B(t)u'(t)--C'(t)u'(O--f[o'(~)u(~)a~; 0; o t
Sono evidenti le relazioni:
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
I Y ~ uno spazio di Banach con la norma seguente:
]lu]]r = iiul]v(o,r;v, + ltui}H,(o,r,m + ]ICu']lc~([o.ri;v.~;
I Z ~ uno spazio di Banach con la norma seguente:
Illf; o; olllz = Ilflb(o,r,~)§
X ~ una variet~t di I2o; Z C ~ ;
~:~.e(V, ~) ; ~ . e ( V , Z).
v uEY;
v u~Y.
(l~) Se K ~ uno spazio di Hilbert, Lp(0, T; K), l<_~p < + 0 % denota 1o spazio delle
(classi di) funzioni v(t) definite (quasi ovunque) in [0, T] a valori in K, misurabili (Iortemente,
a valori in K) e tall che l a quantit~ I[V[[LP(O,T;IO= (fT[[v(t)[~dt) lip sia finita.
Ws'D(0, T; K), s intero positivo, denota 1o spazio [yELP(0, T; K); v(J'ELP(0, T; K),
j = 1 , 2 . . . . . sl. L o~ (0, T; K) denota, invece, Io spazio delle (classi dt) funzioni v(t) definite (quasi ovun-
que) in [0, T] a valori in K, misurabili e tali c h e l a quantit/t IlVllL| ( 0 , r ; x ) = supess lily (t)llK; rE[0, T][ sia finita.
W "'| (0, T; K), s intero positivo, denota, infine, lo spazio IvEL | (0, T; K); v~ | (0, T; K)�94
/ = 1 , 2 . . . . . s I.
80 , - , too ,,ARmo
Nel n. 3 saranno dimostrati i seguenti lemmi:
LEMMA (2.1). Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6) esiste una costante k
(indipendente cla uEX e da ~E[0, 1]) tale che per ogni uEX e per ogni ~6[0, 1]
valga la relazione :
(2 .19) Ilullv kll :u + allz.
LEMMA (2.2). Nelle ipotesi (1.3), (1.6)
(~ + ~)(X) ~ denso in Z.
LEMMA (2.3). Nelle ipotesi (!.3), (1.6), se yEY verifica ~ y + & y = 0 si ha y=O.
Supponendo ora dimostrati i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3) proviamo la propo-
sizione (2.5).
Orazie alle (2.15), (2.16), (2.17), (2.18) si ~ nella situazione esposta all'inizio
di questa dimostrazione; ed i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3) danno esattamente la (2.11), la (2.12) e la (2.13) con ~ o = 1 (rispetio alia scelta di & fatta in (2.14)) .
Ne segue la proposizione (2.5) grazie al teorema (2.3).
Siamo adesso in grado di provare il teorema (2.1). Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), (!.8), i teoremi (1.1) e (2.2) assicurano l'esistenza e l'unicith
della soluzione del problema (A). Per quel che riguarda l'appartenenza della soluzione allo spazio CO(] - co, T]; V)N C~(] - co, T]; H) e la maggiorazione
(2.2) baster~ procedere come segue.
Fissata f ( t )EL~(- -oo , T; H ) + H l ( - - c o , T; V*), f ( t ) : 0 per t < 0 , il
teorema 4.4 di [3] ci assicura i'esistenza di una ed una sola u(t)EC~ T]; V)f~
N C t([0, T]; H), tale che:
Q(0u ( t ) + R(t)u(O + B(t)u ' ( t ) + (C(t)a ' ( t )) ' = f( t) in c3"(0, T; V*)
(2.20) u (0) = C(0) u' (0) = 0 (,8),
verificante la maggiorazione:
(2.21) sup Ilu(t)ll + sup lu'(t)l--.< costUIIvr �9 O ~ t ~ T O ~ t ~ T
(13) Facendo uso deil'ultima delle ipotesi (I.6) (con t = O , h=u' (O)) , dalla condizione C(O)u'(O)=O si deduce: u'(O)=O.
U N I C F F & E REC, O L ~ I T A D E L L A 8 O L U Z I O N E D E L P R O B L E M A D I C A U C H Y ~ EI 'C . 81
Ora dalla inclusione C~ T]; V)N Cl([0, T]; H ) C Y (t4), si deduce che u (0
pure soluzione del problema (B) (con termine noto uguale a f[[0, T]); anzi,
in virtfl della proposizione (2.5), u(t) ~ l'unica soluzione del problema (B) (con
termine noto uguale a fl[0, T])" D'altra parle, detta u(t) ia soluzione del problema (A) (la cui esistenza ed
unicit/t ~ assicurata dai teoremi (i.1) e (2.2)), in virtf~ della proposizione (2.3),
si ha :
u(t) = t o per t < 0 (2.22)
u(t) per 0 ~ < t < T .
Dalla (2.22), nonch~ dalla relazione u(t)EC~ T]; V)NC~([0, T]; H) e dalla
(2.20) (vedi anche la nota 0~)), si deduce:
u ( t ) E C ~ r J ; V ) ( 3 C ' ( ] - - oo, T]; H ) ;
la (2.21) d/t, invece:
sup llu(t)[[-Jr- sup l u' (t) i ~ cost [tfllL*tO, r;m+n,to, r;v.)" I < T I < T
Da quest'ultima disuguaglianza si ricava la (2.2).
Ii teorema (2.1) ~ cosl completamente dimostrato.
Osservazione (2.1). Nelle ipotesi di [10], pp. 224-225, il teorema (2.1)
assicura la forte continuit/t in V della funzione u(t) di cui al teorema 1 di [10]
(con u0 : ui : 0) e la forte continuit/t in H di u'(t). Si 6 cosl riottenuto l'ultimo
risultato enunciato nel teorema 2 di [10] senza far uso della relazione (2) di [10].
(~4) Per provare che 1o spazio C0([0, T]; V)NCI([0, T]; H) ~ contenuto algebricamente in Y baster~t far vedere che se uECO([0, T]; V)NCI([0, T]; H) si ha anche: Cu'EC~ T];H).
Dalle (1.6) discendono le maggiorazioni:
:,C(t)g <~K~lgi vtC[0, T], vgEH;
[C(t)g--C(~)gl_< k., 't--~llg vt,~C[0, T], v gEH.
Facendo uso di queste disuguaglianze si deduce:
IC(t)u'(t)--C(~)u'(g)l<---k,[u'(t)--u'(~)[+k,!t--~[iu'(~)l, V t, ~E[0, T]
e da qui segue I'appartenenza di Cu" allo spazio C~ T]; H). Si pub infiue verificare immediatamente che l'immersione di C~ T]; V)C1C t ([0, T]; H)
in Y ~ continua.
6 - R e n d . C i r c . M a t e m . P a l e r m o - S e r i e II - T o m o X X V i l - A n n o 19"/8
8 2 MARIO MAI~NO
3. Scopo di questo numero ~ quello di dimostrare i lemmi (2.1), (2.2) e (2.3).
Cominciamo con la dimostrazione del lemma (2.1).
Nelle ipotesi (1.2), (1.3), (1.4), (2.1), (1.6), dal teorema 4.1 di [3] (~) si
deduce che esiste una costante k* (indipendente da u(t)ECa([O, T]; V) e da
~E[0, 1]) tale che valga la relazione:
sup Ilu(t)ll + sup !u'(t)l O ~ t ~ T O~t< T
-.< g*lllu(O)ll + c(o)u'(O)l + c(t)u'(t) + Q(t)u(t) +
+ ( i - - ~) [R (t) u (t) + B (t) u' (t) + C ' (t) u' (t)] - -
- ~ f ' Q ' ( ~ ) u ( ~ ) a ~ Lt(O,T;H)+Wt,I(O,T;V=,)~ 7 Jo
v ~E[O, 11, v u(t)EC3([O, T]; V);
in particolare per ogni uEX e per ogni ~E[0, 1], risulta:
(3.1)
sup Ilu(011-t- sup lu'(t)l O<t < T O<t < T
._<k* C(t)u"(t) + Q(t)u(t) +
+ (1--~)[R(t)u(t) + B(t)u'(t) + C'(t)u'(t)]--
~ (' Q'(~)u('Oa~ Jo J L 1 (O,T; 1"1) + WI'I(O,T;V *)
Ora essendo C O ([0, T]; V) I'q C ~ ([0, T]; H) C Y algebricamente e topologica-
mente (~4), risulta:
(3.2) Ilull~Y'l sup llu(t)lf+ sup lu'(0l}, vucC~ T]; V) NCr T]; H), 0 ~ t < T 0 -~ t~ T
y* indipendente da u.
{is) Ore si ~ posto to----O.
UNICITA E REC, OLARITJL DELLA SOLUZ][ONIg DEL PROBLEMA DI CAUCHYj ETC. 83
Dalle (3.1), (3.2) si deduce allora:
Ilull~ ~ ~r* k* !'.c(t)." (t) + Q (t) u (t) +
+ (1 - ~)[A' ( t ) . (t) + B (t) ." (t) + C' (t) . ' (t)] - -
__f' ~ 0
che ~ appunto la (2.19).
t Q ' ( ~ ) u ( ~ ) a ~ l , ,, T . ' ,L ( O , T ; H ) + W ' (0, ; V )
v uEx, v ~E[o, I]
Passiamo ora alia dimostrazione del lemma (2.2); premettiamo il seguente
LEMMA (3.1). Nelle ipotesi (1.3), (1.6), siano assegnati v (t), v o tali che:
v(t)EL~(O, T; V)NW"~~ T; H) (~); voEV
e si supponga che per ogni u (t)EX si abbia :
~ T
Jo (Q(t)u'(t) + (C(t)u"(t))', v(t)>dt -}- <C(0)u"(0), Vo> = 0.
Allora si ha v(t) =-- 0, v o : 0.
ll lemma (3.1) si dimostra usando la tecnica seguita da C. Baiocchi in [3]
per provare il lemma 4.2.
Grazie al lemma (3.1), usando la stessa tecnica adoperata da C. Baiocchi
in [3] per provare il teorema 4.2, si perviene facilmente al lemma (2.2).
II lemma (2.3) si dimostra, infine, usando il metodo esposto in [3], pag. 70,
n. 4.6; tenendo presente che una relazione simile alia (4.30) di [3] si pub ottenere
nel nostro caso usando una tecnica analoga a quella seguita da J. L. Lions [6]
nella dimostrazione del teorema 2.1 del Cap. VIII (cfr. anche [7], Vol. I,
pp. 290-291).
4. Siano V, H una coppia di spazi di Hilbert come nel n. 1, a(t; u, v),
tER, una forma sesquilineare su V X V e B (t), C, tER, due operatori di .~(H, H).
Siano verificate le seguenti ipotesi:
(4.1) a(t; u, v) = q(u, v) + r(t; u, v), v tER, v u, vEV.
84 MARIO MARINO
(4.2)
(4.3) I
(4.4)
(4.5)
(4.6)
q(u, v) d u n a forma sesquilineare continua su V X V;
q(u, v ) = q ( v , u), v u , v E V ;
esiste una costante v > 0 tale che
q(v, v) =>~ vtlvll', v veV.
Per u, v E V ia fanzione t -~ r ( t ; u, v)EC~
esiste una costante c~ > 0 tale che
Ir(t; u, v)l-.<c, llalllv!, V t E ~ , Vu, vEV.
Per g, h E H la funzione t - ~ ( B ( t ) g , h)EC~
esiste ana costante c, > 0 tale che
IlB(t)llzCn.m ~< c~, v t~,~.
C d hermitiano > 0;
esiste una costante c 3 > 0 talr che
(Ch, h)>lc31h] ~, v h E H .
Esistono tre costanti N > O, Nt > O e = con 0 < ~ < 1 tali che
Ir(t'; u, v ) - - r ( t " ; u, v) I ~<NIr-t"J'llulllvJ, v t', t"ER, v u, vEV,
I (BW)- BW'))gI---<N,I'~'--'~'I"Igl, v "C'~"ER, v g E H .
In questo numero prenderemo in esame il seguente
PROBLEMA (C). Fissafi an numero reale positivo T
tale che:
(4.7)
tro vare
t < O e
(4.8)
e una funzione G (t)
G (t) E L 2 (R; V*), G (t) = 0 per t < 0,
una funzione U(0EL2(R; V) tale che U'(t)EL2(,~; H), U ( 0 = 0 per
a(t; U(t), v) + v((B(0 + yC) U(0, v) + ((B(0 + 2~,C) U'(t), v) +
+ ff--~(CU'(t), v )= (G(t), v) in ~'(R), v PEV. tl l
U~IICITA E REGOLARIT& DELLA SOLUZIONE DBL PROBLEMA DI CAUCHY, ETC. 8 5
Sussiste il seguente
LEMMA (4.1). Sotto le ipotesi (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5), (4.7), se
1 cl + c~ c= + c 3 Y = c--~- max 2 ~ '
se infine d
G(0E L z(R; H) + [GzIGz(t) EH ~(R; V*); sup (sprt G~) < + co} (t8)
il problema (C) ammette una soluzione ed una sola. Per tale soluzione sussiste
una formula di maggiorazione del tipo
jR ( l lU(t) l l * + IU'(t)[~)clt ~<
2 2 . -_< c (~, v, ci, e2, ca)inf Ill Gill,,,R;n, + II G~lln,(R,v.), (4.0) G, EL~(R; H), G2EH'(R; V*), G , + G ~ = G ,
sup (sprt Gz) < + co I.
Dimostrazione. Consideriamo il problema (C) con G ( t ) = 0 in R e sia U(t) una sua eventuale soluzione. Comunque si fissi T con 0 < T < + co, la restri-
zione di U(0 a ] - - c o , T[ ~ nulla per il teorema (2.2). Da cib segue la unicit/t
della soluzione del problema (C). Per provare I'esistenza di soluzioni del problema (C) useremo una tecnica
dovuta a Treves [11] modificandola lievemente.
Siano :
F = lu]e-Vtu(OEL2(O, co; V); e-~tu'(t)EL2(O, co; H) ; u ( O ) = 0};
= l~!e-~tcp(t)EL~(O, co; V); e-Vt~'( t)EL'(O, co; V);
~0" (t) E L ~ (0, co; H) ; q~ (0) = 01 ; e-W
/? Ilul}~- = ( l le-~'u(t) l l '+ le-~tu'(t)l=)dt; {l~{l~ = I{~ll~- + 1r
~(u, ~ ) = f= ~0 la (t; e-~' u (t), e-~' ~' (t)) + (e-~' u" (t),
B* (0 e-~' ~" (t)) - - (C u" (0, (e-~' r a t, uEF, cpE~;
0 6} sprt G~ -~ supporto di G2 (t).
8~ llARIO MAIIINO
scelte, infine, due funzioni G,(t) e Gz(t) tali che
G,(t)EL2(R; H), G,( t )EH'(R; V*), G,-q- G2=G,
poniamo :
/o (4.10) L(~) = (G,(O, e - " ~ ' ( O ) a t + o
1 C C s = - - max Si dimostra (cir. Lions [6]) che per T c3
sup (sprt O2) < + oo,
<O.z (t), e -vt ~' (t)> d t, q~ E ~.
- - , c2 q- c31, risulta : )
v ~pE~;
la (4.10) definisce inoltre una forma antilineare continua su ~ . Ne segue, grazie
ad un teorema di Lions ([6], teor. 1.1, pag. 37), che esiste un elemento u EF tale che
(4.11)
e
(4.12)
E(u , ~o) = t. (~), v ~ e
2 III I. lI~
ove li[Llil ~ la norma dt L, cio~
Posto , ora :
IIILI!I = sup l lL(~)I , ~P~O, IlcPll~ ~ 11.
U (t) = e - r t u (t)
u ( t ) = o
/o' ~(O= v e ~O(a) da
per t ~ 0 ,
per t < 0
(0 ( t )EQ (/?), v5 V),
la (4.11) d/t :
fo={a(t; U(t), v) + T((B(t ) + TC)U(t), v) + ((B(t) + 2rC)U'(t) , v)lO(t)dt--
fo fo - - (C U' (t), v) 0' (t) d t = (O, (t), v) 0 ([) d t + <O, (t), v> 0 (t) d t -----
f0 ~ = <o (t), v> o (t) d t
UNIcrrA E REGOLAHIT*~ DELLA $OLUZIONE DBL PROBLKM& DI CAUCHY, ETC. 8 7
da cui segue che U(t) ~ soluzione del problema (C). Facendo, poi, uso della
(4.12) si prova che U(t) soddisfa la maggiorazione:
(4.13) I f~ (llU(Oll = -t-iu'(t)',)at <
i ~ < 16y ~ !3~ =
Ripetiamo ora la dimostrazione fatta per provare l'esistenza di soluzioni
del problema (C) lasciando invariati gli spazi F e �9 e la
assumendo
L(~) = Jo=((3, (t), e-V'~ ' (t))dt + fo~(O~(t), e-~'~" (t))dt
6 , (t) ~ L 2 ( a ; a ) ,
O, (t) "Jr- d, (t) = G (t),
Si deduce, ancora una volta grazie al teorema !.1, pag. 37
esiste un elemento u E F tale che
Posto, al solito,
r i s u l t a :
O~ (t) E/4, (,~; v*),
sup (sprt (32) < + co.
E(h, ~) = s
t l h l p ~ 2 t l l L ,.:.
0 (t) : e -re ~z (t)
O(t) = o
(4.14)
forma E(u, ~p) e
(---L(~)), ,p~;
di [6], che
v ~ p E r
per t >~ O,
per t < O,
U(t) ~ soluzione del problema (C) (con termine noto uguale a G(t))
fR (110(011~ + fO'(t)l*)czt <
1672 ~ = - 2 ~< - -7 - (3 + 2D~v~)III ,IIL,(R-m + llO~ll.,<R;v.)}. (~3
8 8 , , ~ o ~ . s m o
La (4.14), in virtfa delia unicit& della soluzione del problema (C), si pu6 scrivere
sostituendo nel suo primo membro U(t) e 0 ' ( t ) con U(t) e U'(t) rispettivamente.
Si ottiene cosi una maggiorazione analoga alla (4.13) ove al secondo membro
figurano in luogo delle norme di G~ e di G~ le norme di G~ e di G~. La (4.9) segue ailora in modo ovvio.
1 max c2 q- c3 LEMMA (4.2). So#to le ipotesi ~-,.lf~4.7p, se "r = c~ , se
infine
G(t) ~ H~ H) -+- {G~l G~(t) EH ~+~ (R; V*); sup (sprt G~) < q-- c~t, 0 < 0 < ~,
la soluzione U(O det problema (C) appartiene a Hs(R; V)AH~+8(R; H) e si ha
la maggiorazione :
fR iiU(t)ll~at + fRah f~ I IU( t q - h ) - - o d t + f l ~I~+~ IO(~)l~a~ ~<
-.< c([~, v, ct, c~, c~, N, Nt, ~, 0)inf IIIGtlI~otR;n ~ + IIG~ll~+0tt~; v,);
Gf~H~ H), G,zEH~+~ V*); G I + G z = G ;
sup (sprt G~) < q- oo I.
Dimostrazione. Dal lemma (4.1) segue che, helle ipotesi formulate per G(t), q(u, v), r(t; tt, v), B(t), C, il problema (C) ha una ed una sola soluzione U(t)6
EL2(R; V) N H~(/?; H), U(t) ~ 0 per t < 0, la quale verifica la maggiorazione
f~ ( IIU (t)tr ~ + IU'(t)l~)dt ._<
-..< c ([~, v, ct, c2, c3) inf tlIC~llvc~,.)2 + II ~ll.lcR,2 v.~;
G~EH ~(R; H), G2EH ~+~ V*); G ~ + G ~ = G ,
sup (sprt G~) < q- oo I da cui segue"
L ":~ 10 ('0l~ d'c-_< c (13, v, c,, c2, cs)inf lllC, ll~=(R~.) + 11o~11~,(~, v.>;
GiEH ~ (R; H), G~EH ~+~ (R; V*); Gt-+- G~----- G,
sup (sprt G~) < + co I.
UNICITA E RECOLARITA DELLA 8OLUZIONE DBDL PROBLEMA DI CAUCHY, BTC. 89
Fissato ora h E[--1, 0], dalla equazione (4.8) si ottiene QT):
q(x, U(t), v) § (RI (t)~, U(t), v) § (B, (t)~, U" (t), v) § d~(C-% U" (t), v) =
(4.15) _~ (za G (t) - - (R (t § h) - - R (t)) U (t § h) - - 7 (B (t § h) - - B (0) U ( t § - -
- - (B (t § h) - - B (t)) U' (t § h), v),
vvEV, con R t ( t ) = R ( t ) + T B ( t ) + y zC (is), B , ( t ) = B ( t ) + 2yC.
Dalla (4.15) si deduce chela funzione "c~U(t) (hE [ - -1, 0]) ~ soluzione del problema (C) con il termine noto uguale a "ch G ( O - - ( R ( t + h ) - - R ( t ) ) U ( t + h ) -
- - T (B (t + h) - - B (0) U( t + h) -- (B (t + h) - - B (t)) U" (t + h), la (4.9) d~ allora la seguente disuguaglianza
(4.16)
L ,l!c,U(t)ll~dt -4- ~'~ "r U(~)l=d~
~<c(~, v, c,, c~, cs)fR ll,~ G, (t)[ ~ -4-ji,~ G~(t)II ~. § il,~ G;(t),l. = -I-
+ [(R(t + h) -- R(t)) U(t + h)l ~ +
§ I (B(t § h) - - B ( t ) ) U ( t § h)l ~ §
§ ](B(t § - - B ( t ) ) U ' ( t § h)l* I dt ,
valida per ogni
G t~H ~ H), G~EH ~+~ V*), G~§ sup (spa G 0 < §
Per acquisire il lemma (4.2) baster& ora, partendo dalla (4.16), procedere
in modo perfettamente analogo a quanto fatto da M. Marino nella dimostrazione
del lemma (2.3) di [8] (cfr. anche S. Campanato: [4], pp. 118-119 e [5]).
(~7) Se g(t) ~ una funzione definita su R a vaiori in V*, con "chg(t) si indicher/l la difle-
renza g(t q- k) -- g(t), kER. (is) R(t), tER, denota I'operatore assoc iato alia forma sesquilineare r(t; u, v). Risulta:
R(t)~(V, H), (R(t)u, v)=r( t ; u, v), V t~R, V u, vEV.
~ 0 MARIO MARINO
5. Siano: V e H i due spazi di Hilbert di cui al n. 1, 0 < T ~ + c o ,
a(t; u, v), tfi[0, T], una forma sesquil ineare su V X V e B(t), C, tfi[0, T], due
operatori di ~ ( H , H). Siano verificate, oltre alle (1.2), (1.4), (2.1), (4.5), le
seguenti ipotesi :
q(t; u, v ) : - q ( u , v), v t E[O, T], V u, v E V ;
q(u, v) ~ una forma sesquitineare continua su V>( V;
(5.1) q(u, v) = q(v, u), V u, vEV;
esiste una costante v > 0 tale che (~)
q(v, v)>~ ~llvll ~, v v~v.
Esistono tre costanti N > O, N~ > O e ~ con 0 < ~ < 1 tall che
(5.2) Ir(t '; u, v ) - - r ( t ' ; u, v ) l ~ < N I t ' - r ' l ~ l L u I l l v l , v t ' , t " E [ 0 , T], v u , vEV,
i ( B ( ~ ' ) - - B(r ~< N~I~'-- x'l~[gl, w ~', z"E[0, T], vgEH.
Si dimostra il seguente
TEOREMA (5.1). Se valgono le ipotesi (1.2), (1.4), (2.1), (4.5), (5.1), (5.2)
e se f ( t ) E H ~ T; H) W H ~ + ~ T; V*), f ( t ) = O per t < O con
0 < 0 < ~ , allom la soluzione u(t) del problema (A) appartiene a H ~ T; V)(1
MH~+~ - ~ , T; H) e si ha la maggiorazione:
(5.3)
~ ~ ~y Ilu(t) _ u(~)ll ~ ~ I]u(t)lI=dt + dt It El '+=~ dE + lu'(t)l=dt + t a o o o o o ~ o o
+/L" f , , 20 < c([~, v, c~, c~ c8 N, Nt , ~, 0, T) r [ f J lz (-~,r;z)+H1+o(-~,r;v,).
(19) I~ ben noto, hello studio del problema (A), chese ~ verificata l'ultima delle condizioni (1.3) non ~ restrittivo supporre 7. = 0 perch~ basta porre u(t) = e 1/(-i~8)t w(t) per ricondursi ad un analogo problema (per la funzione w(t)) in cui al posto della forma q(u, v)figura 1/a- q(u, v) = q(u, v) + ~(Cu, v), al posto di r(t; u, v) figura r'(t; u, v)=r(t; u, V)-~ ~ (u, B*(t)v) e
al posto di B(t) figura l'operatore B(t)-t-2 C
UNICITA E REC.OLARITA DELLA flOLUZIONE DEL PROBLEMA DI CAUCHTj ETC. 91
Dimostrazione. Prolunghiamo t -~r(t; u, v) da [0, T] a R con r(0; u, v)
in ] - - o% 0[ e con r(T; u, v) in ]T, -]--c~[, analogo prolungamento si far/l di
t-~(B(t)g, h); questi prolungamenti (che continueremo a indicare con r(t; u, v)
e con (B(t)g, h)) soddisfano chiaramente le ipotesi (4.3), (4.4), (4.6). Definiamo
a(t; u, v) per tER- - [0 , T] ponendo:
a(t; u, v ) = q(u, v ) + r(t; u, v), t e l ? - [0, T], u, vEV.
Scelte ora ad arbitrio due funzioni f~EHe(--oo, T; H) ed f2EHi+~ T; V*)
tall che f t + f~ = f, mediante le posizioni:
] l (t) = i A (t) + h (t) se t < T
f~(2T--t)-l--h(2T--t) se t> T
]~(t) = t A(t)--h(t) se t ~ < T
3f~(2T--t)--2f~(aT--2t)--3h(2T--t)+2h(3T--2t) se t > T
h(t) = l A( t ) se t < 0
3 A ( - t ) - - 2 A ( - - 2 t ) se O < t < T
restano definite q. or. in /? due nuove funzioni .~ ed f~ verificanti le seguenti
condizioni (2o):
ft(t) + f~(t) = f ( t ) per t < T;
( t ) = f 2 ( t ) = 0 per t < 0 e per t > 2 T ;
e-rt fq EHe(R; H); e-~t f~EH'+'(R; V*);
(5.4) I -_~ c(v, 2 9 c~, c~, c~, o, T)IIIAII. r + il/eIl~x+o(--~,r; v,~l (%.
(=o) Vedi: [7], Vol. I, Cap. I, n. 2 e [8], lemma (2.4).
(~i) La costante che figura al secondo membro della (5.4) non dipende dalla scelta d i f i
e di f~.
92 MAR]O MARINO
I 2 2 - 1 max c ,q -c 3 II problema (C) con G (t) : e-Ytfi (t) + e-Ytf~ (t) e con "r = c-~- 2 v '
-t-c31 ammette, in virtfa del lemma (4.1), una soluzione ed una sola U(t). C2 J
Facendo, poi, uso del lemma (4.2), risulta: U(t)EH~ V)NH~+e(R; H) e vale la maggiorazione:
(5.5) fR [IU(t)i['Zdt "+" f~ dhj'R [IU(t-+-h)--U(t)ll= Ih['+~0 a t + f R I~!~+"[0(~)'a~ ~<
~< c(D, v, c,, c~, c=, N, g,, =, 0)I'[e-~',~l'~o{R;m-F Ile-v%li~,+0{R;v.,].
Da qui segue che la restrizione di U(t) a ] - -o% T] appartiene a H ~ co, T; V)CI
CIH t + ~ o% T; H) e si ha, per la (5.5) (vedi, anche, la (2.1) di [4]):
(5.6)
f T_= j lrdt /o r [IU(t)- U(F')I[= d~ -+- l for ]]u(t)l[~ dt-}- I] U(t)[I ~dt -F It -- ~.,+~o -~ t~o
+ f'_: l , ' . , ) l ' , , + fo'"fo" . " i t _~ l ,+= 0 d~-t- O f 0 IU'(t)l= t~ e d t --.<
c(!3, ~, c,, c~, c~, N, N,, =, O)Ille-~'j~II~0r , + - ~ ' - = lie AII.,§162 w.~l-
Consideriamo, adesso, la funzione
( 5 . 7 ) u ( t ) = e ~t U (t), t E R
e proviamo the la sua restrizione a ] - - o % T] (che continueremo ancora ad
indicare con u (t)) 6 l 'unica soluzione del problema (A). Proveremo, inoltre,
che u ( t ) E H I ( - - co, T; V ) C I H t + ~ oo, T; H) e che vale la (5.3).
Le condizioni u(t)EL2(--oo, T; V)CIHl(--oo, T; H), u (0 = 0 per t < 0
seguono subito dalla definizione (5.7) di u(t). Si ha, poi, sempre per la (5.7)
(5.8) = eVt la(t
d a(t; u(t), v ) + (u'(t), B*(t)v) +-~t (Cu'(t), v ) =
; U(O, v) + 'l((B(t) + TC)U(t), v) + ((B(t) +
+ 2TC)U'(t), v)- l- f f~-(CU'(t) ,v)l=
= e ~' (,e-rift (t) Jr- e-V'A(t), v), v vEV.
UNICIT~ e RECOLARIT& DELLA 8OLUZIONJ~ DEL PEOBLWMA DI CAUCHY, ETC. 93
Dalla (5.8), essendo /a (0 + / , ( t ) = f ( O per t < T , si deduce subito che u (0 soluzione del problema (A). u(t) ~, inoltre, l 'unica soluzione del problema (A)
in virtfa del teorema (2.2).
Per provare, infine, l 'appartenenza di u(t) allo spazio H ~ ( - - co, T; V)fq
A H t + ~ T; H) e la (5.3) baster~t osservare che sommando le (3.8), (3.9),
t ' ' I 1 max c, + c, (3.12), (3.15) di [8] con 1" = c-~ 2v , c2q-c3 , si ha:
f'-L Ilu(t)l[2dt -+- fL dtf'-L l l ~ I t ) - u(~)i i ' r _ ~1,+,, o d ~ + f ' _ = l u ' ( t ) l ' a t +
f r__oo lu" (t) -- u" (~)[~ + f'_.~at I t - eJ'+" ae ..<
l /o fo, II~,,)-~<~),, ~<cO, v, c,, c,, c, O, T) IlU(t)ll2dt-+ - I t -
+ --0,,, ~<o~l'~o + f L I ~' (,>l',, + t~ o d t . _
fo fo r IU'(t) - U'(~)i ~ + . rdt It-- ~l ' + " 1 foriU'(t)[z I cl ~ -+- y t~ o d t
da cui, facendo uso delle (5.6) e (5.4), segue:
(5.9)
fr__ Iiu(t)[[ ~dt + f L dt f L I l u ( t ) - u(~)!l ~ r . _ I t - - ~ l , + ~o d ~ + f ~ = ' ~ u ' ( t ) i ~ d t +
r r l u" (t) - u" (~,)1' +f'_atf' t t - ~ i *+" a~-_<
~<cO, v, c,, c,, c,, N, g , , ~, O, z)I[[f,I ne(_,~,r,m + IlLll.,.o(-~.,r;v.)l'.
La (5.3) si deduce ora dalla (5.9), data l'arbitrariet/~ della scelta di fl e di
A (con A E H ~ - co, T; H), A~H~§176 - co, T; V*), A + A = f ) ed essendo la
costante del secondo membro della (5.9) indipendente da fl e da f2.
94 MARIO MARINO
BIBLIOORAFIA
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Pervenuto il 5 novembre 19/7
Semlaarlo Matemattco dell'Untversil~
corso Italia, 55 - 95129 Catania