LA CONSTRUCTION DU NOMBRE CHEZ LENFANT : APPROCHE PISTMOLOGIQUE

Mtiers de lenseignement

la naissance du nombre et du calcul

I. Prambule 1. Quelques dfinitions 2. Le nombre, une invention humaine ? 3. Quelles sources ? archologiques, ethnographiques, didactiques

II. Les sources ethnographiques 1. Le cas des Munduruks 2. La correspondance cardinale au moyen des collections de type primitif 3. De la correspondance cardinale aux premiers systmes de numration 4. Les raisons qui ont conduit au dveloppement du nombre

III. Les systmes de numration 1. Les systmes additifs : numrations gyptienne, romaine 2. Les systmes mixtes : numration chinoise 3. Les systmes positionnels : numrations babylonienne, maya 4. La numration actuelle

IV. Le zro V. Quelques repres historiques

I. Prambule

nombre : concept caractrisant une unit, une collection d'units ou une fraction d'unit.chiffre : symbole servant crire des nombres.numration : mode de reprsentation des nombres (mots, gestes et signes permettant d'noncer, de mimer et d'crire ces nombres).

Deux aspects complmentaires : cardinal (principe de lappariement),ordinal (notion de succession)

1. Quelques dfinitions

I. Prambule

1. Quelques dfinitions

Le concept de nombre peut tre considr comme assimil lorsque les trois conditions suivantes sont vrifies : la nature des objets compter ne joue aucun rle dans

la numration ; l'ordre dans lequel les lments sont compts n'affecte

pas le rsultat final ; le numro du dernier compt donne le nombre

d'lments de l'ensemble dnombrer.

I. Prambule

2. Le nombre : une invention humaine ?

Des expriences ont t faites avec des chimpanzs : on leur prsente de un six crayons rouges et on les dresse appuyer sur la touche dordinateur cense reprsenter le nombre dobjets.

Cependant, si lexprimentateur change la couleur du crayon, le chimpanz ne trouve plus la bonne touche que dans 79 % des cas et si on change la couleur en changeant lobjet, il ne rpond correctement que dans 57 % des cas

I. Prambule

2. Le nombre : une invention humaine ?

Les animaux ont de la mmoire, mais ne savent compter : si on prsente au chimpanz une collection de cinq objets diffrents, il nassociera pas cette collection la touche 5 de lordinateur. Il faudrait aussi faire lexprience inverse : montrer la touche 5 et lui demander de montrer une collection de cinq lments.

Savoir compter, cest tre capable de faire une bijection entre nimporte quelle collection dobjets et une partie dune collection-type, support du nombre cardinal (et bijection signifie quon peut aller dans les deux sens).

I. Prambule

3. Quelles sources ?

des sources archologiques

des sources ethnographiques

des sources didactiques ?

I. Prambule

a. Des sources archologiques3. Quelles sources ?

Bois de rennes entaill (15 000 ans avant J.-C.)

De nombreux os gravs ont t retrouvs ainsi que des alignements de points ou de btonnets sur les parois des grottes qui pourraient reflter un comptage.

I. Prambule

a. Des sources archologiques3. Quelles sources ?

nombreuses interprtations des stries qui apparaissent sur ces os mais quen est-il rellement ?Si ces stries sont bien une trace de dnombrement, elles peuvent dnombrer nimporte quoi...

Par exemple, Claudia Zaslavsky a observ des femmes africaines faisant de temps en temps une encoche sur le manche de leur cuillre en bois. Que comptent-elles ?Elles notent simplement le nombre de fois que leur mari les a frappes ; quand il nest plus possible de tracer une nouvelle encoche, elles lui demandent de sen aller...

I. Prambule

b. Des sources ethnographiques3. Quelles sources ?

ethnographie : description et analyse, sur le terrain, des murs et des coutumes de populations dtermines.

Populations dites primitives : chasseurs-cueilleurs, agriculteurs-leveurs...

Principe : ces peuples auraient gard des traces dun mode de vie et de pense semblable ceux des peuples du Palolithique suprieur et du dbut du Nolithique.

I. Prambule

c. Des sources didactiques ?3. Quelles sources ?

Si lon admet que le dveloppement individuel (lontognie) reproduit en acclr le dveloppement de lespce (la phylognie), on peut aussi esprer que lapprentissage mathmatique de lenfant nous donne des indications sur une prhistoire des mathmatique dans lenfance de lespce humaine.

II. Les sources ethnographiques

Le nombre est dabord apparu comme une correspondance cardinale (expression de la multiplicit avant que la multiplicit se fonde dans lunit au moyen des premiers embryons de systmes de numration).

Le trait frappant des activits numriques primitives, telles que rapportes par lethnographie, est quelles utilisent toutes une grande varit de collections de type matriel, parfois plusieurs collections en mme temps, mais qui ne sont pas ncessairement nommes : btonnets, encoches, partie du corps humain, nuds dans une corde, etc.

II. Les sources ethnographiques

1. Tribu amazonienne des Munduruk

Leur vocabulaire numrique va de 1 4 ou 5 (selon les individus)

Ils ne savent pas effectuer des soustractions du type 6 - 4.

Pour des tests sur des estimations de nuages de points (ou de gomtrie), les enfants munduruk obtiennent des scores semblables ceux des enfants amricains.

Le sens des nombres semble donc tre une comptence cognitive basique, commune tous les tres humains et qui pourrait tre indpendante du langage.

https://www.youtube.com/watch?v=GQGNUBc_ra8 (vido sur les Mundiruku)

II. Les sources ethnographiques

2. La correspondance cardinale au moyen des collections

La collection type la plus universellement rpandue, et qui jouera un rle mathmatique important, est celle des parties du corps humain : les doigts d'une main (5), des deux mains (10), des mains et des pieds (20)

extraits du livre Histoire universelle des chiffres de G. Ifrah

II. Les sources ethnographiques

2. La correspondance cardinale au moyen des collections

Ces collections sont toujours de type bornes et elles sont lies aux besoins concrets. Il ny a pas et il ne peut y avoir de suite illimite de nombres pour ces peuples : si le besoin lexige, on rallongera la collection-type en rajoutant des btonnets ou des parties de corps ...

Il faut aller chercher dautres objets lextrieur, il ny a pas de principe interne de dveloppement de la suite numrique.

La simple numration des parties du corps ne suffit pas constituer une succession de noms de nombres : par exemple le mot coude ne suffit pas dterminer un nombre. Il est ncessaire dindiquer dun geste si cest le droit ou le gauche pour connatre ce nombre

II. Les sources ethnographiques

3. De la correspondance cardinale aux premiers systmes de numration

La trouvaille rvolutionnaire fut de considrer une multiplicit comme une nouvelle unit et dintroduire ainsi un principe interne de dveloppement de la collection type.Le nombre devient gnrateur dautres nombres : si le nombre vingt dcompt par les doigts des pieds et des mains devient galement un nouveau nombre sous la forme homme , deux hommes reprsentera le nombre 40 ...Ce type de dveloppement a eu lieu pour toutes les types de collection imaginables : btonnets, nuds dans les cordes, parties du corps ...

II. Les sources ethnographiques

4. Les raisons qui ont conduit au dveloppement du nombre

Le scnario de dveloppement chez les simples chasseurs-cueilleurs, on invente les collections-types,

sans bauche de numration, et sans implication importante du nombre dans le mythe et le rituel.

chez les peuples qui passent llevage et lagriculture, apparaissent de systmes de numration, et le nombre tend alors prendre une place de premier plan dans la pense mythique rituelle.

II. Les sources ethnographiques

4. Les raisons qui ont conduit au dveloppement du nombre

les changes se font plutt suivant des normes qualitatives que quantitatives. Le commerce, au sens o nous lentendons de nos jours, nest pas dvelopp au sein des socits primitives et ne portent en tout tat de cause que sur des petites quantits.

le dcompte des priodes de temps est de mme trs secondaire dans les socits primitives. Les calendriers qui y apparaissent parfois sont purement qualitatifs, les saisons ne sont pas numrotes mais dcrites.

Cette explication traditionnelle de lapparition du calcul, savoir les besoins ns des changes et du calendrier, napparat donc pas dans ltude des socits primitives.

II. Les sources ethnographiques

4. Les raisons qui ont conduit au dveloppement du nombre

Il y a cependant deux phnomnes quil faut garder en mmoire dans cette tude : lexistence de collections-types trs volues, de vritables systmes de

numration, dans des socits qui nen ont pas de besoin pratique ; le rle symbolique du nombre dans la pense primitive ds les premires

activits de culture et dlevage.

III. Les systmes de numration

Petit rappel sur les bases :Une base dsigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans lcriture des nombres.Par exemple, dans la base 10, le nombre

201 = 2 x 102 + 0 x 101 + 1 x 100.Dans la base 3,

201 = 2 x 32 + 0 x 31 + 1 x 30 (= 19 en base 10)

Exemples

La base 2 a deux chiffres que lon note 0 et 1 :5 = 1x 22 + 0x21 + 1x20 donc 101 en base deux1010 en base deux vaut 1x23+0x22+1x21+0x20=10

La base 16 (systme hexadcimal)

La base 16 a seize chiffres que lon note0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F120=16x7+8=7x161+8x160 scrit en base 16 : 78244=15x161+4x160 scrit en base 16 : F4A1C0E en base seize vaut 10x164+1x163+12x162+0x161+14x160=2 684 357 646

La base 2 (systme binaire)

III. Les systmes de numration

Les systmes additifs : gyptien, romaindes symboles pour reprsenter certains nombres, les autres nombres s'obtenant par juxtaposition de ces symboles.

Les systmes mixtes : chinoisdes symboles diffrents pour les puissances de la base et pour les nombres infrieurs la base crits devant le symbole

Les systmes positionnels : babylonien, maya, arabe, ...un symbole chaque position, la place du symbole dans l'criture du nombre indiquant le poids qui lui est affect

III. Les systmes de numration

1. Les systmes additifs

a. La numration gyptienne

un bton voque l'unit 1une anse de panier : il compte environ 10 objets 10

un rouleau de papyrus : on peut y crire environ 100 hiroglyphes 100

une fleur de lotus : on les trouve par milliers 1 000

un doigt montrant le ciel nocturne : on y voit prs de 10 000 toiles 10 000

un ttard : on en trouve de l'ordre de 100 000 au bord du Nil aprs la ponte 100 000

un dieu agenouill supportant le ciel : le dieu est ternel et 1 million d'annes est synonyme d'ternit. 1 000 000

III. Les systmes de numration

1. Les systmes additifsa. La numration gyptienne

321

=

III. Les systmes de numration

1. Les systmes additifsb. La numration romaine

La numration romaine permettait d'crire, partir de seulement sept lettres, les entiers naturels :

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X = dix,L = cinquante,C = cent,D = cinq cents,M = mille.

Ces notations permettaient dcrire les entiers jusqu 4 999.

III. Les systmes de numration

1. Les systmes additifsb. La numration romaine

Les lettres I, X, C et M peuvent tre crites plusieurs fois, mais pas les lettres V, L et D.

Quand une lettre est droite dune lettre de valeur suprieure, on ajoute les valeurs. Quand elle est gauche dune lettre de valeur suprieure, on retranche la valeur de cette lettre.Certains nombres peuvent donc s'crire de plusieurs faons:

99 peut s'crire XCIX ou IC,mais la numration romaine privilgie les critures additives aux critures soustractives (donc pour 99 on crit plutt XCIX)

Au-del de 5 000, les Romains utilisaient les mmes symboles, en les recouvrant d'un trait horizontal.

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X = dix,L = cinquante,C = cent,D = cinq cents,M = mille.

III. Les systmes de numration

2. Les systmes mixtes ou hybrides : la numration chinoise

La numration chinoise est constitue de caractres chinois et remonte donc la naissance de l'criture chinoise, au IIIe millnaire avant J.-C. C'est une numration se rapprochant d'un systme positionnel base 10, o les principes de position et d'addition sont utiliss.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000

Ensuite, il y a des idogrammes pour 104, 108, 1012 ... Les nombres chinois groupent les chiffres 4 par 4 et non 3 par 3.

367

III. Les systmes de numration

2. Les systmes mixtes ou hybrides : la numration chinoise

https://www.youtube.com/watch?v=KXxU3n6nEHo

III. Les systmes de numration

2. Les systmes mixtes ou hybrides : la numration chinoise

Chaque tige comporte 7 boules mobiles de bois ou de verre.Un boulier se lit de droite gauche, la premire colonne reprsente les units, la seconde les dizaines, la troisime des centaines, etc.La ligne du haut comporte deux boules qui valent chacune 5 units, La ligne du bas comprend 5 boules valant chacune une unit. Les boules sont actives si elles sont en bas sur la ligne du haut et en haut sur la ligne du bas, donc la lecture est faite le long de la barre de sparation.

Le boulier

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

a. La numration babylonienne

8 000 avant J.-C. Usage des calculi : objets d'argile ayant une valeur attribue et permettant de reprsenter un nombre.

3200 avant J.-C.Les calculi taient alors conservs groups dans une sorte de bourse (la bulle-enveloppe), scelle pour garantir lauthenticit de lopration. On inscrivait des signes sur cette bulle pour conserver la mmoire des objets quelle contenait.

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

a. La numration babylonienne

1 10 60 60x10=600 60x60=3600

60x60x10=36000

cne bille grand cnegrand cne

perc grosse billegrosse bille

perce

Les "calculi" sont faonns suivant leur valeur numrique, dans un systme en base principale 60 et en base secondaire 10.

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

a. La numration babylonienne

Tablette archaque (Louvre)Uruk, vers 3300 av. J.-C

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

a. La numration babylonienne

Les scribes babyloniens n'utilisaient que deux chiffres proprement parler : un clou vertical reprsentant l'unit et un chevron associ au nombre 10. (Signes dont la graphie est dite cuniforme en raison de son aspect en forme de coins et de clous).

La numration que forgrent les mathmaticiens et astronomes de Babylone (environ 1792-1750 av. J.-C.) tait une numration de position en base 60.

la tablette YBC 7289 http://bibnum.education.fr/mathematiques/tablette-ybc-7289

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

a. La numration babylonienne

Les Babyloniens conurent au 3e sicle av. J.-C. un signe se prsentant comme un double clou inclin. Ce signe de sparation dans l'criture des nombres est un vritable chiffre zro dont l'utilisation tait rendue obligatoire du fait de la structure du systme de numration de position. C'est le plus vieux zro de l'histoire.

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

b. La numration maya

Les Mayas comptent en base vingt (systme vigsimal ou vicsimal). Leur numration est positionnelle criture verticale.

III. Les systmes de numration

3. Les systmes positionnels

c. La numration actuelle

V. Le zro

Aprs la dcouverte de la base de numration et du principe de position, il manquait encore quelque chose : comment indiquer l'absence par exemple, des dizaines dans le nombre 304 ? L'histoire du zro s'articule autour de l'histoire de la pense car, plus que tout autre nombre, le zro avait de lourdes consquences philosophiques. En effet, le zro signifie l'absence et le vide, ce qui tait parfois difficilement acceptable dans certaines civilisations qui rejetaient aussi bien le nant que l'infini. Les Grecs, peuple pourtant mathmaticien, ont rejet le zro pour ces raisons. Ainsi Euclide nonce : Est unit ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. En d'autres termes, est un ce qui existe. Le vide n'existant pas selon Aristote, le nommer est sans intrt voire faux

V. Le zro

1. Le zro de position

Le problme se posait pour reprsenter des nombres tels que 6000 qui ncessitaient trois espaces vides en fin.

Au IIIe sicle avant JC, les Babyloniens inventrent un signe pour dsigner l'absence d'units d'un certain rang.

V. Le zro

2. Le zro en tant que chiffre

C'est au VIe sicle aprs J.-C. que le zro, tel que nous le connaissons aujourd'hui, a t cr par les indiens ; il fut considr comme un chiffre part entire (le 10e chiffre) et non plus seulement comme marqueur d'absence de dizaines, ou d'units ...Il sera alors dfini comme le rsultat d'un nombre entier soustrait lui-mme (par le mathmaticien indien Brahmagupta en 628), comme par exemple : 5 - 5 = 0. Au 12e sicle, le mathmaticien indien Bhaskara parvient tablir que 1/0 = l'infini. Il dmontre ainsi, la relation qui existe entre le vide et l'infini.

VI. Quelques repres historiques

-40 000 Prsence d'entailles numriques

- 8 000 Apparition des calculi au Moyen-Orient

- 3 300 Apparition des chiffres Sumer et premire numration crite (apparition de l'criture)

- 2 700 Chiffres sumriens cuniformes (Babylone)

- 2 000 Apparition de la base dcimale

- 1 800 Premire numration de position (Babylone)

- 1 300 Apparition des chiffres chinois

-300 Apparition du zro (Babylone)

400/500 Numration de position indienne

500/900 Numration de position maya

1 200 Arrive du zro de la numration indienne en Occident

Bibliographie

Histoire universelle des chiffres, G. Ifrah, ditions Robert Laffont, 1981

http://www.youtube.com/watch?v=PjaQ5MhBUww

Lextraordinaire aventure du chiffre 1