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Un estudio sobre objetos matemáticos no usuales en un espacio académico de la educación media
LauraAguirre,Valen3naBarrera,ÁngelPérez,JoseGabrielVega,LuisOr3z
Ins3tutoPedagógicoNacional-Bogotá
06deoctubrede2017
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Momentos1. Presentación• ¿QuéeselÉnfasisdeMatemá3casdelIPN?• Obje3vosdelespacio.
2.InicioenelEspacioAcadémico• Definiciones• Conjeturas
3.EstudiosenlaTeoríadeNudos• LosmovimientosdeRedemeister• LanotacióndeGauss• LanotacióndeDowker–Thislethwaite(DT)
4.Conclusiones
PRESENTACIÓN
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ElÉnfasisdeMatemá3casdelIPN
EsunProyectoPedagógicoconstruidopordelÁreadeMatemá3casdelIns3tutoPedagógicoNacional(Bogotá)creadoparalaatenciónapoblaciónestudian3lconinterésenlaprofundizaciónenMatemá3cas.Estáconformadopordosasignaturasenelplandeestudiosdegradodécimoyonce:• TópicosdePre-Cálculo(10)-TópicosdeCálculo(11).• SeminarioProyecto(10)y(11).o Matemá3caPura.o Matemá3caAplicada.
Obje3vosdelespacio
• Analizarycaracterizaralgunosobjetosmatemá3cosnousuales(enelcontextoescolar)conelfindeestablecerrelacionesentreestosyalgunosconceptosestudiadoseneducaciónbásicaomedia.
• Plantearpropuestasdeinves3gaciónoinnovaciónescolaraplicandoprocesosdeconocimientomatemá3co,cienffico,socialoarfs3co,enlasolucióndesituacionesrelacionadasconsuentorno.
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Obje3vosespecíficos
o Observar,descubrir,einterpretarsituacionesproblemaencontextosrealesymatemá3cos.
o Desarrollarpensamientocrí3cofrentealsignificadodelasmatemá3cas,sufinalidadycomosedasudesarrollo.
o Realizar,iden3ficar,demostraryponerenprác3caprocesosymodelosmatemá3cosquedensoluciónasituacionesproblemaencontextosrealesymatemá3cos.
Elproblema
• Lascaracterís3casdeltalentomatemá3co:LaMeta.o Pensamientoconvergente:Visualización,Reversión,
Generalización.o PensamientoDivergente:Fluidez,Abstracción,Flexibilidad,
AutonomíaeneltrabajoMatemá3co.• Lateoríadenudos:Unaherramienta.
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INICIOSDELESPACIOACADÉMICO
Definiciones
• Corte(ocruce)Dadaunacuerdaenelespacio,uncorte(ocruce)esunasuperposicióndeunapartedelacuerdasobreotra.• NudoEsunaproyeccióndelespacioenelplanodeunacuerdasinpuntascon𝑛cruces,donde𝑛 ∈ℕ.• NudoTrivialAquelque3enecerocruces.
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Ejemplo:Elnudodetrescruces
• ¿Quésemejanzasydiferenciashayentreestosdosnudos?¿Algunodeellospuedeconver3rseenelnudotrivial?
ConjeturasencontradasI
Lasprimerasconjeturasencontradaseneldesarrollodelasnocionesbásicasdelateoríadenudosfueronlassiguientes:• Conjetura1:DesarmabilidadSiunapartedelacuerdapasaporencimadetodosloscortes,entonceselnudoesdesarmable.• Conjetura2:GeneracióndecrucesporamarramientoPorcadaamarrequeserealiceaunacuerdasegenerantresnuevoscortes,esdecir,si𝑛eselnúmerodeamarresentoncesseob3enen3𝑛cruces(progresiónaritmé3ca).
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ESTUDIOSENLATEORÍADENUDOS
LosmovimientosdeReidemeister
• Torsión(I)• Superposición(II)• Desplazamiento(III)
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LosmovimientosdeReidemeister
LanotacióndeGauss
Cortes
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LanotacióndeGauss
Cortes
-1
LanotacióndeGauss
Cortes
-1,+2
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LanotacióndeGauss
Cortes
(-1,+2,-3,+1,-2,+3)
LanotacióndeDowker–Thislethwaite(DT)
• Enestanotaciónsetomalarepresentaciónplanadeunnudode𝑛cruces,seelaboraunaseriedemarcassobreéstaquepermi3ránlaconstruccióndeunamatrizasociadayunvectorqueresumelanotación. Elnudotrébol
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LareversiónenlaNotaciónDT
• Definición:Reversión–TeoríadeNudosEslares3tucióndeunregistroderepresentacióngráficodeunnudo,apar3rdelainformacióncontenidaenunamatrizampliada(2×2𝑛)quecon3eneinformaciónnuméricageneradaapar3rdeconsideracionesespecíficassobresuscruces(Or3zyVillarraga,2016:56).
Iden3ficacióndelosmovimientosdeReidemeister
Iden3ficarnudosdesarmablesoprimosquetenganmovimientosdeReidemeister3po(I)y(II)enlarepresentaciónvectorialomatricial.
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RepresentacióndelosmovimientosdeReidemeisterI
• Conjetura3:Torsión¿Cómoserepresentaenunamatriz?Ejemplo:Elnudode5crucesGeneralidad
Casodeestudio:Laiden3ficacióndelmovimiento(I)enunvectorresumenDT
Alvectorresumen1∗𝑛:
𝑉𝑅=(𝑎↓𝑖 )=( 𝑎↓1 , 𝑎↓2 , 𝑎↓3 , …, 𝑎↓𝑖 )Seleasignalaposiciónrespec3vaacadaelemento,enlapartesuperior.
𝑃=(𝑏↓𝑖 )=( 𝑏↓1 , 𝑏↓2 , 𝑏↓3 , …, 𝑏↓𝑖 )Detalformaqueseob3eneunamatrizresumen,
█𝑃=@𝑉𝑅= [█𝑏↓1 &𝑏↓2 &𝑏↓3 @𝑎↓1 &𝑎↓2 &𝑎↓3 ]
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• ElcasodeunaTorsiónsimple:Enelvalordelaposición𝑏↓𝑖 hayunatorsiónsielvalordelaposición𝑎↓𝑖 esequivalentealvalordelaposición𝑏↓𝑖 ±1.
o Ejemplo1:Presentamosunnudoconunasolatorsión:█𝑃=@𝑉𝑅= [█1&3&5@8&2&10 █7&9&11@12&4&6 ]3=2+1o Ejemplo2:Presentamosunnudoconunasolatorsión:█𝑃=@𝑉𝑅= [█1&3&5@8&6&2 █7&9&11@10&4&12 ]11=12−1
RepresentacióndelosmovimientosdeReidemeisterII
• Conjetura4:SuperposiciónSienlamatriz(2×2𝑛),enlasegundafilahay3signosconsecu3vosigualespodemosencontrarunasuperposición.
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ElPolinomiodeConway
Orientacionesenloscrucesdeunnudo.
OperacionesbásicasdeConway:CambiarOrientación(Izq.)CorteParalelo(Der.)
Paraescribirelpolinomio
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Conclusiones• Selograronconstruiralgunasdefinicionesyconjeturasa
par3rdelestudiorealizadoconlasnocionesbásicasdelateoríadenudos.
• Selograroniden3ficardosdelosmovimientosdeReidemeisterenlarepresentaciónmatricialdelanotacióndeDowker-Thistlethwaite,yseconstruyeronconjeturasparalosmismos;estoimplicasuiden3ficaciónydesarrollodentrodelanotación.
• SeplantearonestudiosygeneralizacionesdedosmovimientosdeReidemeisterenaportealtrabajodedesarmedeunnudodesdelarepresentaciónvectorialymatricial.
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Conclusiones
• (Ylomásimportante)ElÉnfasisdeMatemá3casesunbonitoespacioparaconstruirconocimientomatemá3cosinimportarquétantohayamosestudiado.
Atentamente:El“Club”S.A.
Referencias
• Or3z,L.,&Villarraga,A.(2016).Unestudioenlateoríadenudos:Propuestadeintervenciónparatalentososenmatemá3casenel“ClubdeMatemá3cas”delIns3tutoPedagógicoNacional.Bogotá,Colombia:UniversidadPedagógicaNacional.Trabajodegradodeespecializacióneneducaciónmatemá3ca.
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