ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2017/507.pdf · 2 УДК 624.04(075) ББК 38.112я7 М 23...

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. К. Манжосов

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛОСКИХ РАМ

Учебное пособие

Ульяновск УлГТУ

2019

2

УДК 624.04(075) ББК 38.112я7 М 23

Рецензенты: зав. кафедрой «Проектирование и сервис автомобилей» УлГУ, д-р техн. наук А. Ш. Хусаинов;

доцент кафедры «Общепрофессиональные дисциплины» УВАУГА(И), канд. техн. наук И. Н. Карпунина

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Манжосов, Владимир Кузьмич Строительная механика. Устойчивость стержней и плоских рам : учебное пособие / В. К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2019. – 110 с. ISBN 978-5-9795-1906-7

Составлено в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Учебное пособие предназначено для изучения методов расчета устойчивости стержней и статически неопределимых плоских рам, выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.

Работа подготовлена на кафедре «Промышленное и гражданское строительство».

© Манжосов В. К., 2019 ISBN 978-5-9795-1906-7 © Оформление. УлГТУ, 2019

М23

УДК 624.04(075) ББК 38.121я7

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................................... 4

1. Устойчивость прямых центрально-сжатых стержней......................................... 1.1. Устойчивость статически определимого сжатого стержня ..…………………….. 1.2. Устойчивость статически неопределимого сжатого стержня ……………………

2. Определение реакций в связях сжато-изогнутого стержня от единичных перемещений этих связей …………………………………………………………..

2.1. Стержень с защемлением и шарнирной опорой при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень ….............................................. 2.2. Стержень с защемлением и шарнирной опорой при единичном перемещении одной из опор в направлении, перпендикулярном продольной оси, и действии силы Р, сжимающей стержень ……….......................................................................................... 2.3. Стержень, защемленный по торцам, при единичном повороте одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень………………………………… 2.4. Стержень, защемленный по торцам, при единичном перемещении одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень…………………………………

3. Процедура расчета устойчивости плоской рамы методом перемещений…….. 3.1. Выбор основной системы и формирование уравнения устойчивости…………….. 3.2. Определение коэффициентов i jr уравнения устойчивости…………………………

3.2.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1)………………………………………………………………………... 3.2.2. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2)…………………………………………………………………………….

3.3. Процедура решения уравнения устойчивости……………………………………….

4. Пример расчета устойчивости плоской рамы методом перемещений……………………………………………………………………………

4.1. Расчет устойчивости плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна единице ……………………………………………………………………. 4.2. Расчет устойчивости плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна двум …………………………………………………………………….......

5. Контрольные вопросы по теме «Расчет устойчивости плоской рамы методом перемещений»…………………………………………………………………………..

6. Контрольные задания «Расчет устойчивости плоской рамы методом перемещений»…………………………………………………………………………..

7. Расчетные задания «Расчет устойчивости плоской рамы методом перемещений»…………………………………………………………………………..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………….

ГЛОССАРИЙ……………………………………………………………………………….

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………

6 6 9

14 14 17 21 28

41 41 43

44 49 58

68 68 72

89

90

98

104

107

110

4

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании инженерных сооружений обычных расчетов на прочность бывает недостаточно для того, чтобы получить полное представление о надежности сооружений, ее безопасной эксплуатации.

Наряду с задачами прочности должны быть решены проблемы устойчивости сооружения. Это означает, что если по причине случайных воздействий система выведена из условия равновесия, а по устранению этих причин система возвращается в первоначальное состояние, то она является устойчивой.

Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое представляет собой потерю устойчивости. Границу этого перехода называют критическим состоянием, а соответствующие ему нагрузки – критическими. Расчет на устойчивость проводят либо для определения величины критической нагрузки для отдельных стержней, либо для исследования устойчивости сооружения в целом с помощью критического параметра.

Расчеты на устойчивость проводят отдельно от указанных выше расчетов на прочность, которые являются основными.

Основной задачей теории устойчивости является определение критической силы Pкр. Так как потерявшее устойчивость сооружение обычно непригодно для дальнейшей эксплуатации, то определять форму потери устойчивости сооружения во многих случаях не требуется.

В расчетах на устойчивость плоской рамы возникают следующие типы задач: 1) расчет устойчивости плоской рамы, когда в узлах рамы приложены силы, вызывающие только центральное сжатие стержней (рис. В.1); 2) расчет устойчивости стержневой системы, когда внешние силы вызывают не только центральное сжатие, но и изгиб стержней.

Рис. В.1. Схема нагружения плоской рамы силами, вызывающими

центральное сжатие стержней

5

В учебном пособии рассматриваются задачи первого типа: в узлах рамы приложены внешние силы, вызывающие только центральное сжатие стержней. При решении таких задач принимаются следующие допущения:

- рассматривают только узловое приложение нагрузки, при этом поперечный изгиб стержней отсутствует;

- стержни рамы считают нерастяжимыми и несжимаемыми; - расстояния между узлами при деформациях остаются неизменными; - углы сопряжения стержней в узлах не изменяются. Если на систему действует несколько сил (рис. В.2, а), определять их

критические значения одновременно довольно трудно.

а) б)

Рис. В.2. Схема нагружения плоской рамы (схема а) и представление сил в долях от основной силы (схема б)

Поэтому одну из сил (обычно наибольшую, например Р1) принимают за основную и обозначают как P, а остальные выражают через эту силу: Р2 = 2 Р; Р3 = 3 Р (рис. В.2, б).

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы.

В учебном пособии рассматриваются вопросы устойчивости прямых сжатых стержней (статически определимых и статически неопределимых). Определяются реакции в связях сжато-изогнутого стержня от единичных перемещений этих связей. Изложена процедура расчета устойчивости плоской рамы методом перемещений, связанная с выбором основной системы и формированием уравнения устойчивости, определением коэффициентов уравнения устойчивости плоских рам.

Для плоских рам, степень кинематической неопределимости которых равна n = 1 и n = 2, рассмотрены примеры расчета их устойчивости методом перемещений.

6

1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ ЦЕНТРАЛЬНО - СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Под устойчивостью стержня при действии сжимающей силы понимают его способность сохранять первоначальную прямолинейную форму.

Потеря устойчивости прямолинейной формы под действием осевой сжимающей силы называется продольным изгибом.

1.1. Устойчивость статически определимого сжатого стержня Стержень на шарнирных опорах. Рассмотрим центрально-сжатый стержень постоянного поперечного

сечения, находящийся в прямолинейном исходном деформированном состоянии равновесия (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема центрально-сжатого стержня на шарнирных опорах

Потеря устойчивости сжатого прямолинейного стержня будет сопровождаться его изгибом. Составим уравнение статического деформирования сжатого прямолинейного стержня при его переходе в отклоненное деформированное состояние. Переход обусловлен малыми вертикальными перемещениями v(x) за счет изгибных деформаций.

Для определения упругой линии искривленного стержня используем дифференциальное уравнение изгиба балки:

2

2

( )( )

d v xEJ M x

dx , ( ) ( )M x P v x , (1.1)

где М(x) – изгибающие моменты в сечениях x изогнутого стержня; ( )v x –

величина прогиба продольной оси стержня; E – модуль упругости 1-го рода материала стержня; J – значение осевого момента инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси минимум.

Значение изгибающего момента в поперечном сечении с абсциссой x определяется по формуле ( ) ( )M x P v x . Соответственно

2

2

( )( ) 0

d v xEJ P v x

dx ,

22

2

( )( ) 0

d v xk v x

dx , 2 P

kEJ

. (1.2)

Решение дифференциального уравнения

7

22

2

( )( ) 0

d v xk v x

dx (1.3)

имеет вид

1 2sin cosv C kx C kx , (1.4)

где 1C и 2C – постоянные интегрирования.

Из граничных условий 00

xv

, 0

x lv

определяются 2 0C и

условие sin 0kl , откуда n

kl

, 1, 2,...n .

С учетом, что 2 Pk

EJ , приходим к равенству

2 2

2,

n P

l EJ

1, 2, ...n .

Из данного равенства следует, что 2 2

2,

EJ nP

l

1,2, ...n .

Наименьшее значение силы (формула Эйлера) будет при 1n : 2

кр 2

EJP

l

. (1.5)

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы

крP , при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится

неустойчивой, называется критической силой. С учетом различных условий закрепления критическая сила равна:

2

кр 2 2

EJP

l

, (1.6)

22

кр 2 2 2

EJ EJP V

l l

, V

, (1.7)

где V – параметр, учитывающий схему закрепления стержня в опорах; –

коэффициент приведения длины стержня, зависящий от условий закрепления стержня.

Критические значения сжимающей силы зависят от длины стержня l, его изгибной жесткости EJ и от схемы закрепления стержня в опорах, определяющих граничные условия.

Из (1.7) следует, что

8

2кр

2

P V

EJ l . (1.8)

Но, так как 2 Pk

EJ , то параметр V, учитывающий схему закрепления

стержня в опорах, определится из (1.8) как V = kl. (1.9)

Если из решения дифференциального уравнения изгиба стержня найти величину kl, то из (1.9) определяем V, а из (1.7) определим коэффициент приведения длины стержня , зависящий от условий

закрепления стержня:

V

. (1.10)

Для схемы закрепления стержня, представленной на рисунке 1.1, решение ( )v x уже было ранее получено в виде (1.4):

1 2sin cosv C kx C kx , 2 0C , sin sin 0kl V , V n , 1, 2,...n .

При 1n V , / / 1V , а критическая сила равна 2

кр 2

EJP

l

.

Стержень, защемленный на торце. Для схемы закрепления стержня, представленной на рисунке 1.2,

дифференциальное уравнение изгиба балки: 2

2

( )( )

d v xEJ M x

dx , p( ) [ ( )]M x P v v x , (1.11)

где М(x) – изгибающие моменты в сечениях x изогнутого стержня; ( )v x –

величина прогиба продольной оси стержня; pv – величина прогиба

продольной оси стержня в точке приложения силы Р на торце.

Рис. 1.2. Схема центрально-сжатого стержня, защемленного на торце

Дифференциальное уравнение (1.11) преобразуется к виду 2

p2

( )( )

d v xEJ P v x P v

dx ,

22 2

p2

( )( )

d v xk v x k v

dx , 2 P

kEJ

. (1.12)

Решение дифференциального уравнения (1.12)

9

22 2

p2

( )( )

d v xk v x k v

dx

имеет вид

1 2 p( ) sin cosv x C kx C kx v , (1.13)

где 1C и 2C – постоянные интегрирования.

Из граничного условия 00

xv

следует, что

0 = 2C + pv , 2C = – pv . (1.14)

Дифференцируя (1.13) по х, получим

1 2

( )( ) cos sin

dv xx kC kx kC kx

dx , (1.15)

где ( )x – угол поворота поперечного сечения при изгибе.

Из граничного условия 00

x

с учетом (1.15) следует, что

1kC = 0, 1C =0.

Решение (1.13) в итоге примет вид

2 p( ) cosv x C kx v . (1.16)

При x = l прогиб продольной оси равен pv . Из (1.16) при x = l

следуют равенства:

2 p pcosC kl v v , 2 cosC kl = 0, coskl = 0,

( 1) / 2kl n , 1, 2, ...n . (1.17)

Наименьшее значение параметра V = kl (а, соответственно, и критической силы) будет при 1n :

V = kl = / 2 . (1.18) Так как из (1.10) / V , то учитывая (1.18), получим

2/ 2

.

1.2. Устойчивость статически неопределимого сжатого стержня Для определения критических значений сжимающей силы при разных

условиях закрепления стержня в опорах дифференциальное уравнение изгиба балки

2

2

( )( )

d v xEJ M x

dx

дважды продифференцируем:

10

4 2

4 2

( ) ( )d v x d M xEJ

dx dx . (1.19)

Если значение изгибающего момента в поперечном сечении с абсциссой x определяется как ( ) ( )M x P v x , то

2 2

2 2

( ) ( )d M x d v xP

dx dx ,

и из (1.19) получим дифференциальное уравнение вида 4 2

4 2

( ) ( )0

d v x d v xEJ P

dx dx . (1.20)

Решение уравнения (1.20) имеет вид:

1 2 3 4( ) sin cosv x C kx C kx C x C , / ( )k P EJ . (1.21)

Постоянные интегрирования 1C , 2C , 3C и 4C , входящие в уравнение

(1.21), определяются в зависимости от условий закрепления сжатых стержней.

Если учитывать равенство (1.9), из которого следует, что k = V/l, то решение (1.21) можно представить как

1 2 3 4( ) sin( ) cos( )x x

v x C V C V C x Cl l

. (1.22)

Решение (1.22) включает параметр V , учитывающий схему закрепления стержня в опорах. Определив параметр V , можем по формуле (1.10) найти коэффициент приведения длины стержня . Затем, используя

формулу (1.6), определим значение критической силы 2

кр 2 2

EJP

l

.

Стержень с защемлением и шарнирной опорой. Рассмотрим центрально-сжатый стержень постоянного поперечного

сечения, находящийся в прямолинейном исходном деформированном состоянии равновесия (рис. 1.3). Сечение х = 0 стержня защемлено, правая опора стержня – шарнирно подвижная опора.

Рис. 1.3. Схема центрально-сжатого стержня с защемлением и шарнирной опорой

11

Данная схема закрепления стержня в опорах определяет следующие граничные условия, которые с учетом решения (1.22) принимают вид:

прогиб ( )v x продольной оси стержня в сечении х = 0 равен нулю:

00

xv

, 2 4 0C C , 4 2C C , (1.23)

угол поворота ( )x поперечного сечения х = 0 равен нулю:

00

0x

x

dv

dx

, (1.24)

1 2 3

( )cos( ) sin( )

dv x V x V xC V C V C

dx l l l l , (1.25)

00

0x

x

dv

dx

, 1 3 0V

C Cl

, 3 1

VC C

l , (1.26)

изгибающий момент ( )M x в поперечном сечении х = l равен нулю: 2

2( ) 0x l

x l

d vM x EJ

dx

, (1.27)

2

2 2

1 22

( )/ sin( ) / cos( )

d v x x xV l C V V l C V

dx l l , (1.28)

2

2( ) 0x l

x l

d vM x EJ

dx

, 1 2sin( ) cos( ) 0C V C V , 2 1tg( )C C V , (1.29)

прогиб ( )v x продольной оси стержня в сечении х = l равен нулю:

0x l

v , 1 2 3 4sin( ) cos( ) 0C V C V C l C . (1.30)

Учитывая, что 2 1tg( )C C V , 3 1

VC C

l , 4 2C C = 1tg( )C V , получим

1 1 1 1sin( ) tg( )cos( ) tg( ) 0V

C V C V V C l C Vl

,

1[sin( ) sin( ) tg( )]C V V V V = 0.

Так как 1 0C (чтобы исключить тривиальное решение задачи), то

sin( ) sin( ) tg( ) 0V V V V , tg( ) 0V V . (1.31)

Решением трансцендентного уравнения (1.31) является величина 4,49341V . Так как из (1.10) / V , то учитывая 4,49341V , получим

3,14159/ 0,69915 0,7

4,49341V . (1.32)

12

Стержень с защемлениями на торцах. Рассмотрим центрально-сжатый стержень постоянного поперечного

сечения, находящийся в прямолинейном исходном деформированном состоянии равновесия (рис. 1.4). Сечения х = 0 и х = l стержня защемлены.

Рис. 1.4. Схема центрально-сжатого стержня с защемлением на торцах

Данная схема закрепления стержня в опорах определяет следующие граничные условия, которые с учетом решения (1.22) принимают вид:

прогиб ( )v x продольной оси стержня в сечении х = 0 равен нулю:

00

xv

, 2 4 0C C , 4 2C C , (1.33)

угол поворота ( )x поперечного сечения х = 0 равен нулю:

00

0x

x

dv

dx

, (1.34)

1 2 3

( )cos( ) sin( )


dx l l l l , (1.35)

00

0x

x

dv

dx

, 1 3 0V

C Cl

, 3 1

VC C

l , (1.36)

угол поворота ( )x поперечного сечения х = l равен нулю:

0x l

x l

dv

dx

, (1.37)

1 2 3

( )cos( ) sin( )


dx l l l l , (1.38)

0x l

x l

dv

dx

, 1 2 1cos( ) sin( ) 0V V V

C V C V Cl l l

,

1 2(cos( ) 1) sin( )C V C V , 2 1

(cos( ) 1)

sin( )

VC C

V

, (1.39)

4 2 1

(cos( ) 1)

sin( )

VC C C

V

, (1.40)

прогиб ( )v x продольной оси стержня в сечении х = l равен нулю:

0x l

v , 1 2 3 4sin( ) cos( ) 0C V C V C l C . (1.41)

13

Учитывая, что

2 1

(cos( ) 1)

sin( )

VC C

V

, 3 1

VC C

l , 4 2C C = 1

(cos( ) 1)

sin( )

VC

V

,

получим из (1.41)

1

(cos( ) 1) (cos( ) 1)sin( ) cos( ) 0

sin( ) sin( )

V V VC V V l

V l V

.

Так как 1 0C (чтобы исключить тривиальное решение задачи), то

(cos( ) 1) (cos( ) 1)sin( ) cos( ) 0

sin( ) sin( )

V V VV V l

V l V

. (1.42)

Уравнение (42) можно преобразовать к виду 2 2sin ( ) cos ( ) cos( ) sin( ) cos( ) 1 0V V V V V V ,

2 2cos( ) sin( ) 0V V V . (1.43)

Решением трансцендентного уравнения (1.43) с точностью до 0,000001 является величина V = 6,283185. Так как из (1.10) / V , то

учитывая V = 6,283185, получим 3,14159

/ 0,56,283185

V . (1.44)

Итак, с учетом различных условий закрепления эйлерова сила равна: 2

кр 2 2

EIP

l

или 2

2кр 2 2 2

EI EIP V

l l

, V

.

Обратим внимание на то, что в зависимости от схемы закрепления стержня в опорах значения параметра V и коэффициента различны.

Для стержня, закрепленного на шарнирных опорах (рис. 1.1),

V , 1 , 2

кр 2 2

EIP

l

, 2

кр 2

EIP

l

.

Для стержня, защемленного на торце (рис. 1.2),

/ 2V , 2 , 2

кр 2 2

EIP

l

.

Для стержня с защемлением и шарнирной опорой (рис. 1.3)

4,49341V , 0,69915 0,7 , 2

кр 2 2

EIP

l

.

Для стержня с защемлениями на торцах (рис. 1.4)

V = 6,283185, 0,5 , 2

кр 2 2

EIP

l

.

14

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В СВЯЗЯХ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ ОТ ЕДИНИЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЭТИХ СВЯЗЕЙ

2.1. Стержень с защемлением и шарнирной опорой при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень

Рассмотрим схему деформирования стержня, шарнирно опертого одним концом и защемленного другим концом, при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Расчетная схема стержня при единичном повороте защемления В и действии

силы Р, сжимающей стержень

При потере устойчивости стержень теряет прямолинейную форму и испытывает деформации изгиба. Дифференциальное уравнение упругой линии

2

2zd v M

dx EJ , (2.1)

где v прогиб продольной оси стержня в сечении с координатой х;

zM изгибающий момент в поперечном сечении; EJ минимальная

изгибная жесткость поперечного сечения; E модуль упругости материала; J минимальный момент инерции поперечного сечения относительно главной центральной оси сечения (оси минимум).

Для рассматриваемой схемы при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент (обозначим

его как zM ) равен

z AM R x P v , (2.2)

где AR реакция в опоре А; P сила, сжимающая стержень.

15

Тогда из (2.1) имеем 2

2Ad v P R

v xdx EJ EJ

, или 2

22

Ad v Rk v x

dx EJ , 2 P

kEJ

. (2.3)

Решение неоднородного дифференциального уравнения (2.3) имеет вид

1 2 2

1cos sin AR

v C kx C kx xk EJ

, (2.4)

где 1 2,C C постоянные интегрирования.

Так как при 0x 0 0xv , то из (2.4) имеем

1C = 0. (2.5)

Так как при x l 0x lv , то из (2.4) с учетом (2.5) имеем

2 2

10 sin AR

C kl lk EJ

, 2 2 sinAR l

Ck EJ kl

. (2.6)

Таким образом, решение (2.4) с учетом (2.5) и (2.6) примет вид

2

sin

sinAR l kx x

vk EJ kl l

. (2.7)

Дифференцируя, получим

2

cos 1

sinAR l k kx

vk EJ kl l

, (2.8)

где угол поворота поперечного сечения с координатой х. Учитывая, что при x l угол поворота сечения В равен 1B (знак

минус указывает на то, что поворот сечения В осуществлен по часовой стрелке), получим из (2.8) при x l

2

cos 1

sinA

B

R l k kl

k EJ kl l

,

2

cos 11

sinAR l k kl

k EJ kl l

,

откуда находим, что 2 2

2

( ) tgtg (tg )

tg

A

k EJ kl EJ klR

kl kl l kl klll kl

. (2.9)

Равенство (2.9) представим в виде 2

12 2

3 ( ) tg 3( )

3(tg )A

EJ kl kl EJR kl

l kl kl l

, 12

3( )A

EJR kl

l , (2.10)

2

1

( ) tg( )

3(tg )

kl klkl

kl kl

, (2.11)

16

где 1( )kl функция от переменной kl , учитывающая влияние на значение

реакции AR силы Р, сжимающей стержень.

Первый сомножитель в (2.10), равный 23 /EJ l , соответствует значению реакции AR в опоре А при единичном повороте защемления В

и отсутствии силы Р, сжимающей стержень. Известно, что при единичном повороте защемления В и отсутствии

силы Р, сжимающей стержень,

при 0 2

3A Р

EJR

l .

Сравнивая данное равенство и равенство (2.10), можно констатировать, что при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р функция 1( )kl от переменной kl , учитывающая влияние на

значение реакции AR силы Р, сжимающей стержень, равна единице:

1( )kl = 1.

Изгибающий момент в поперечных сечениях стержня при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень, из (2.2) определится как

12

3( )z

EJM x kl P v

l . (2.12)

При x l прогиб 0v и момент в защемлении В будет равен

1

3( )B

EJM kl

l . (2.13)

Первый сомножитель в (2.13), равный 3EJ

l, соответствует значению

момента в защемлении В при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

при 0

3B Р

EJM

l .

При Р = 0 функция 1( )kl = 1 и изгибающий момент в поперечных

сечениях стержня при единичном повороте защемления из (2.12) равен

при 0 2

3z Р

EJM x

l .

Эпюра изгибающего момента zM в поперечных сечениях стержня при

единичном повороте защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень, представлена на рис. 2.2, б.

17

а) б) в)

Рис. 2.2. Эпюры изгибающего момента zM в поперечных сечениях стержня при

единичном повороте защемления В: (схема а) – расчетная схема; (схема б) – эпюра zM

при действии силы Р, сжимающей стержень; (схема в) – эпюра zM при силе Р = 0

Эпюра момента zM в поперечных сечениях стержня при единичном

повороте защемления В и силе Р = 0 представлена на рис. 2.2, в. Из условия равновесия следует, что

AR ВR , 12

3( )В

EJR kl

l .

Если ввести параметр V = kl, то получим, что

12

3( )A

EJR V

l , 12

3( )В

EJR V

l , 1

3( )B

EJM V

l .

При отсутствии силы Р, сжимающей стержень, функция 1( )V = 1 и реакции в опорах равны

при 0 2

3A Р

EJR

l , при 0 2

3В Р

EJR

l , при 0

3B Р

EJM

l .

2.2. Стержень с защемлением и шарнирной опорой при единичном

перемещении одной из опор в направлении, перпендикулярном продольной оси, и действии силы Р, сжимающей стержень

Рассмотрим схему деформирования стержня, шарнирно опертого одним концом и защемленного другим концом, при единичном перемещении одной из опор в направлении, перпендикулярном продольной оси, и действии силы Р, сжимающей стержень (рис. 2.3).

18

Рис. 2.3. Расчетная схема стержня при единичном перемещении защемления В

и действии силы Р, сжимающей стержень

Дифференциальное уравнение упругой линии 2

2zd v M

dx EJ .

Для рассматриваемой схемы при единичном перемещении защемления и действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент zM равен

z AM R x P v , (2.14) где AR реакция в опоре А; P сила, сжимающая стержень.

Тогда из (2.1) имеем 2

2Ad v P R

v xdx EJ EJ

, или 2

22

Ad v Rk v x

dx EJ , 2 P

kEJ

.

Решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

1 2 2

1cos sin AR

v C kx C kx xk EJ

, (2.15)


Так как при 0x 0 0xv , то из (2.15) имеем 1C = 0.

Так как при x l 1x lv , то из (2.15) с учетом, что 1C = 0, имеем

2 2

11 sin AR

C kl lk EJ

, 2 2( 1) / sinAR l

C klk EJ

. (2.16)

Решение (2.15) примет вид

2 2

1sin AR

v C kx xk EJ

. (2.17)

Дифференцируя, получим

2 2cos AR

v k C kxk EJ

,

19

где угол поворота поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х.

Учитывая, что при x l угол поворота сечения В равен нулю, получим

2 2cos 0A

B

Rk C kl

k EJ , откуда 3

2 cosAR k EJC kl .

Подставим из (2.16) значение 2C : 3 3

2

cos1

sin tg tgA A

A

k EJ kl R l R kl k EJR

kl k EJ kl kl

.

Равенство 3

tg tgA

A

R kl k EJR

kl kl преобразуем следующим образом:

3

1tg tgA

kl k EJR

kl kl

,

3

3

( ) tg

tg tgA

kl EJ klR

l kl kl kl

,

3

3

( )

tgA

EJ klR

l kl kl

.

Представим данное равенство в виде 3

13 3

3 ( ) 3( )

3(tg )A

EJ kl EJR kl

l kl kl l

,

3

1

( )( )

3(tg )

klkl

kl kl

, (2.18)

где 1( )kl – функция от переменной kl , учитывающая влияние на значение реакции AR силы Р, сжимающей стержень.

Первый сомножитель в (2.18), равный 3

3EJ


реакции AR в опоре А при единичном смещении защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень.

Известно, что при единичном перемещении защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень,

при 0 3

3A Р

EJR

l .

Сравнивая данное равенство и равенство (2.18), можно констатировать, что при единичном перемещении защемления В и отсутствии силы Р функция 1( )kl от переменной kl , учитывающая

влияние на величину реакции AR силы Р, сжимающей стержень, равна

единице: 1( )kl = 1.

Изгибающий момент в поперечных сечениях стержня при единичном смещении защемления и действии силы Р, сжимающей стержень, из (2.14) с учетом (2.18) определится как

20

13

3( )z

EJM kl x P v

l . (2.19)

При x l прогиб 1x lv и момент в защемлении В будет равен

2

1 12 2

3 3( ) 1 ( )

3B

EJ EJ PlM kl P kl

l l EJ

. (2.20)

Учитывая, что из (2.3) 2/ ( )P EJ k , преобразуем сумму слагаемых

2 2 3 2 3 3

1

( ) ( ) ( ) tg ( ) ( )( )

3 3 3(tg ) 3(tg )

Pl kl kl kl kl kl klkl

EJ kl kl kl kl

=2( ) tg

3(tg )

kl kl

kl kl.

Обозначим 2

1

( ) tg( )

3(tg )

kl klkl

kl kl

. Тогда момент в защемлении В из

(2.20) преобразуется к виду

12

3( )B

EJM kl

l ,

2

1

( ) tg( )

3(tg )

kl klkl

kl kl

. (2.21)

Первый сомножитель в (2.21), равный 23 /EJ l , соответствует значению реакции BM в опоре В при единичном смещении защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень.

При Р = 0 функция 1( )kl = 1 и изгибающий момент в поперечных

сечениях стержня при единичном повороте защемления из (2.19) равен

при 0 3

3z Р

EJM x

l .


единичном перемещении защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень, представлена на рис. 2.4, б.


перемещении защемления В и силе Р = 0 представлена на рис. 2.4, в. Из условия равновесия следует, что

AR ВR , 13

3( )В

EJR kl

l ,

3

1

( )( )

3(tg )

klkl

kl kl

.


13

3( )A

EJR V

l , 13

3( )В

EJR V

l ,

3

1

( )( )

3(tg )

VV

V V

,

12

3( )B

EJM V

l ,

2

1

( ) tg( )

3(tg )

V VV

V V

.

21

а) б) в)


единичном перемещении защемления В: (схема а) – расчетная схема; (схема б) – эпюра

zM при действии силы Р, сжимающей стержень; (схема в) – эпюра zM при силе Р = 0

При отсутствии силы Р, сжимающей стержень, функции 1( )V = 1,

1( )V = 1 и реакции в опорах равны

при 0 3

3A Р

EJR

l , при 0 3

3В Р

EJR

l , при 0 2

3B Р

EJM

l .

2.3. Стержень, защемленный по торцам, при единичном повороте

одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень

Рассмотрим схему деформирования стержня, защемленного по торцам, при единичном повороте одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Расчетная схема стержня с защемлениями по торцам при единичном повороте

защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень

22

Дифференциальное уравнение упругой линии 2

2zd v M

dx EJ .

Для рассматриваемой схемы при единичном повороте защемления и

действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент zM равен

z A AM M R x P v , (2.22)

где AR реакция в опоре А; AM реакция в виде момента в защемлении А;

P сила, сжимающая стержень. Тогда из (2.19) имеем

2

2A Ad v P M R

v xdx EJ EJ EJ

, или 2

22

A Ad v M Rk v x

dx EJ EJ , 2 P

kEJ

.

Решение данного дифференциального уравнения имеет вид

1 2 2

1cos sin A AM R

v C kx C kx xk EJ EJ

, (2.23)


Так как при 0x 0 0xv , то из (2.23) следует, что

1 2

10 AM

Ck EJ

, откуда 1C = 2

1 AM

k EJ . (2.24)

При x l 0x lv и из (2.23) имеем

1 2 2

10 cos sin A AM R

C kl C kl lk EJ EJ

. (2.25)

Дифференцируя (2.23), получим

1 2 2sin cos AR

v kC kx kC kxk EJ

, (2.26)

где угол поворота поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х.

При 0x 0 0x . Тогда из (2.26) при х = 0

2 20 AR

kCk EJ

, откуда 2 3AR

Ck EJ

. (2.27)

При x l угол поворота защемления В равен 1B . Знак минус

указывает на то, что единичный поворот защемления В выполнен по часовой стрелке. Тогда из (2.26) при x l следует равенство

1 1 2 2sin cos AR

kC kl kC klk EJ

. (2.28)

23

Представим равенства (2.25) и (2.28) в виде

1 2 2 2

1 2 2

1 1cos sin 0,

sin cos 1 0.

A A

A

M RC kl C kl l

k EJ k EJR

kC l kC klk EJ

(2.29)

Учитывая, что из (2.24) и (2.27)

12

1 AMC

k EJ , 22

ARkC

k EJ ,

получим для системы уравнений (2.29)

1 2 1 2

1 2 2

cos sin 0,

sin cos 1.

C kl C kl C C kl

kC kl kC kl C k

Выполним следующие преобразования:

1 2

1 2

(cos 1) (sin ) 0,

sin (cos 1) 1 / .

C kl C kl kl

C kl C kl k

Так как

2 2 2 2 2cos 1 cos sin sin cos 2sin2 2 2 2 2

kl kl kl kl klkl

,

то имеем

21 2

21 2

2sin (sin ) 0,2

2sin cos 2sin 1 / .2 2 2

klC C kl kl

kl kl klC C k

(2.30)

Умножим слагаемые первого равенства на cos2

kl, а второго на sin

2

kl:

21 2

2 21 2

2sin cos (sin )cos 0,2 2 2

sin22sin cos 2sin sin .

2 2 2 2

kl kl klC C kl kl

klkl kl kl kl

C Ck

Складывая, получим

2 (sin )cos2

klC kl kl + 2

2

sin22sin sin .

2 2

klkl kl

Ck

Разделим обе части равенства на cos2

kl и преобразуем его к виду

24

22

1(sin 2sin tg ) tg

2 2 2

kl kl klC kl kl

k . (2.31)


2 2 22sin tg 2(1 cos )tg 2tg 2cos tg 2tg sin2 2 2 2 2 2 2 2

kl kl kl kl kl kl kl klkl ,

получим из (2.31)

2

1(sin 2tg sin ) tg

2 2

kl klC kl kl kl

k , 2

12(tg ) tg

2 2 2

kl kl klC

k ,

откуда 2

tg2

2 tg2 2

kl

Ckl kl

k

. (2.32)

Приравняем (2.27) и (2.32):

3AR

k EJ =

tg2

2 tg2 2

kl

kl klk

,

2 tg2

2 tg2 2

A

klEJk

Rkl kl

.

Умножим числитель и знаменатель на 2( / 2)l . В результате 2

2

2 tg2 2

tg2 2

A

kl klEJ

Rkl kl

l

.

Данное равенство представим в виде 2

2

tg6 2 2

3 tg2 2

A

kl klEJ

Rkl kll

.

Обозначим

2

tg2 2

3 tg2 2

kl kl

kl kl

= 1 4( ) ( )2

klkl . (2.33)

Тогда имеем

2

6A

EJR

l 4 ( )kl . (2.34)

25

Первый сомножитель в (2.34), равный 26 /EJ l , соответствует значению реакции в опоре А при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

при 0 2

6A Р

EJR

l

Сравнивая данное равенство и равенство (2.34), можно констатировать, что при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р функция 4 ( )kl от переменной kl , учитывающая влияние на

величину реакции AR силы Р, сжимающей стержень, равна единице:

4 ( )kl = 1.

Если вернуться к схеме нагружения стержня при единичном повороте защемления В (рис. 2.5), то из условия равновесия

0iY , 0A BR R , 42

6( )B A

EJR R kl

l . (2.35)

При единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

при 0 2

6В Р

EJR

l

Определим теперь моменты AM и BM в защемлениях. Из первого

равенства (2.30)

1 22

sin

2sin2

kl klC C

kl

.

Учитывая (2.32) для 2C , получим

12

tg sin2

2sin2 tg22 2

klkl kl

Cklkl kl

k

= sin

2 tg 2sin cos2 2 2 2

kl klkl kl kl kl

k

.

1

sin

2 sin tg2 2

kl klC

kl klk kl

. (2.36)

Приравняем (2.24) и (2.36)

2

1 AM

k EJ =

sin

2 sin tg2 2

kl klkl kl

k kl

,

26

откуда

AM (sin ) (sin )

2sin tg 2sin tg2 2 2 2

EJk kl kl EJkl kl klkl kl kl kl

kl l kl

.

Представим данное равенство в виде 2 (sin )

4sin tg2 2

A

EJ kl kl klM

kl kll kl

. (2.37)

Обозначим

3

(sin ) ( sin )( )

4sin tg 4sin tg2 2 2 2

kl kl kl kl kl klkl

kl kl kl klkl kl

. (2.38)

Тогда

3

2( )A

EJM kl

l . (2.39)

Первый сомножитель в (2.39), равный 2 /EJ l , соответствует значению момента в защемлении А при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

при 0

2A Р

EJM

l .

Сравнивая данное равенство и равенство (2.39), можно констатировать, что при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р функция 3( )kl от переменной kl , учитывающая влияние на

величину реакции AМ силы Р, сжимающей стержень, равна единице:

3( )kl = 1.

Для определения момента в защемлении В рассмотрим уравнение равновесия:

0iM , 0B A AM M R l , откуда B A AM R l M .

Учитывая (2.34) и (2.39), получим

6B

EJM

l 4 ( )kl 2EJ

l 3( )kl = 4 3

4 3 1( ) ( )

2 2

EJkl kl

l

.

Обозначим

2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2kl kl kl

. (2.40)

27

Тогда 4

B

EJM

l 2 ( )kl . (2.41)

Первый сомножитель в (2.41), равный 4EJ


момента в защемлении В при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

при 0

4B Р

EJM

l

Сравнивая данное равенство и равенство (2.41), можно констатировать, что при единичном повороте защемления В и отсутствии силы Р функция 2 ( )kl от переменной kl , учитывающая влияние на

величину реакции ВМ силы Р, сжимающей стержень, равна единице:

2 ( )kl = 1.


действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент zM из (2.22)

равен

z A AM M R x P v .

Так как 3

2( )A

EJM kl

l , 42

6( )A

EJR kl

l , то

3 42

2 6( ) ( )z

EJ EJM kl kl x P v

l l

При Р = 0 функции 3( )kl = 1 и 4 ( )kl = 1, а изгибающий момент в

поперечных сечениях стержня при единичном повороте защемления из равен

при 0 2

2 6z Р

EJ EJM x

l l .


единичном повороте защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень, представлена на рис. 2.6, б.


повороте защемления В и силе Р = 0 представлена на рис. 2.6, в.

28

а) б) в)


единичном повороте защемления В: (схема а) – расчетная схема; (схема б) – эпюра zM

при действии силы Р, сжимающей стержень; (схема в) – эпюра zM при силе Р = 0


42

6( )A

EJR V

l , 42

6( )B

EJR V

l ,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3 tg / 2 / 2

V VV

V V

,

3

2( )A

EJM V

l ,

3

( sin )( )

4sin tg( / 2) / 2

V V VV

V V V

,

4B

EJM

l 2 ( )V , 2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

.

При отсутствии силы Р, сжимающей стержень, функции 4 ( )V = 1,

3( )V = 1, 2 ( )V = 1 и реакции в опорах равны

при 0 2

6A Р

EJR

l , при 0 2

6В Р

EJR

l , при 0

2A Р

EJM

l , при 0

4B Р

EJM

l .

2.4. Стержень, защемленный по торцам, при единичном

перемещении одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень

Рассмотрим схему деформирования стержня, защемленного по торцам, при единичном перемещении одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень (рис. 2.7).

Дифференциальное уравнение упругой линии 2 2/ /zd v dx M EJ .

29

Рис. 2.7. Расчетная схема стержня с защемлениями по торцам при единичном

перемещении защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень


действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент zM равен

z A AM M R x P v , (2.42)

где AR реакция в опоре А; AM реакция в виде момента в защемлении А;

P сила, сжимающая стержень; v прогиб стержня в сечении х. Тогда имеем 2

2A Ad v P M R

v xdx EJ EJ EJ

, или 2

22

A Ad v M Rk v x

dx EJ EJ , 2 P

kEJ

. (2.43)

Решение дифференциального уравнения (2.43) имеет вид

1 2 2

1cos sin A AM R

v C kx C kx xk EJ EJ

, (2.44)


Так как при 0x 0 0xv , то из (2.44) следует, что

1 2

10 AM

Ck EJ

, откуда 1C = 2

1 AM

k EJ . (2.45)

Дифференцируя (2.44) по х, определяем угол поворота поперечных сечений:

1 2 2sin cos AR

v kC kx kC kxk EJ

. (2.46)

При 0x 0 0x . Тогда из (2.46) при х = 0 имеем

2 20 AR

kCk EJ

, откуда 2 3AR

Ck EJ

. (2.47)

30

При x l угол поворота защемления В равен 0B . Из (2.46) при

x l имеем

1 2 20 sin cos AR

kC kl kC klk EJ

.

Учитывая, что из (2.47) 22AR

C kk EJ

, получим

1 2sin (cos 1)kC kl kC kl , 1 2

cos 1

sin

klC C

kl

. (2.48)

При x l прогиб стержня v в защемлении В равен 1. Тогда из (2.44) при x l имеем

1 2 2 2

1 11 cos sin A AM R

C kl C kl lk EJ k EJ

.

Учитывая, что из (2.45) и (2.47) 12

1 AMC

k EJ , 22

ARC k

k EJ ,

приходим к следующему равенству:

1 21 (cos 1) (sin )C kl C kl kl .

Учитывая (2.48), получим 2

2 21 (cos 1) / sin (sin )C kl kl C kl kl ,

откуда

2 2 2 2 2

sin sin

(cos 1) sin sin cos 2cos 1 sin sin

kl klC

kl kl kl kl kl kl kl kl kl

.

После преобразований

2

sin

2(1 cos ) sin

klC

kl kl kl

. (2.49)

Приравнивая (2.47) и (2.49), получим

3

1 sin

2(1 cos ) sinAR k l

k EJ k l k l k l

,

3 sin

2(1 cos ) sinA

EJ k k lR

k l k l k l

. (2.50)

Выполним для (2.50) следующие преобразования:

3

32 2 2 2

2sin cos2 2

2(sin cos cos sin ) 2 2sin cos2 2 2 2 2 2 2

A

k l k lk lEJ

Rk l k l k l k l k l k l k ll

,

31

3

32

8 2sin cos2 2 2

2 2sin 2 2sin cos2 2 2 2

A

k l k l k lEJ

Rk l k l k l k ll

,

3 3

3 3

8 2sin cos42 2 2 2

4sin cos (tg ) (tg )2 2 2 2 2 2

A

k l k l k l k lEJ EJ

Rk l k l k l k l k l k ll l

. (2.51)

Равенство (2.51) представим в виде 3 3

3 3

4 1 122 233 tg 3(tg )

2 2 2 2

A

k l k lEJ EJ

Rk l k l k l k ll l

.

Обозначим 3

2

2( )3(tg )

2 2

k l

k lk l k l

, 2 1( ) ( )

2

k lk l , (2.52)

где 2 ( )k l – функция от переменной k l , учитывающая влияние на

значение реакции AR силы P , сжимающей стержень.

Тогда имеем

23

12( )A

EJR k l

l . (2.53)

Первый сомножитель, равный 3

12

l

EJ, соответствует значению реакции

в опоре A при единичном перемещении защемления В и отсутствия силы P , сжимающей стержень:

при 0 3

12A Р

EJR

l .

Сравнивая данное равенство и равенство (2.53), можно констатировать, что при единичном перемещении защемления В и отсутствии силы Р функция 2 ( )k l от переменной kl , учитывающая

влияние на величину реакции AR силы Р, сжимающей стержень, равна

единице: 2 ( )k l = 1.

32

Если вернуться к схеме нагружения стержня при единичном перемещении защемления B (рис. 2.7), то из условия равновесия

0iY , 0 BA RR , 23

12( )B A

EJR R k l

l . (2.54)

Определим момент AM в опоре A . Из равенства (2.48) с учетом (2.49)

для 2С следует

1 2

cos 1 cos 1

sin 2(1 cos ) sin

k l k lС С

k l k l k l k l

.

Преобразуем равенство:

2 2 2 2

12 2 2 2

cos sin sin cos2 2 2 2

2(sin cos cos sin ) 2 2sin cos2 2 2 2 2 2 2

k l k l k l k l

Ck l k l k l k l k l k l k l

;

2 2

12

2sin sin2 2 .

2 2sin 2 2sin cos 2sin cos (tg )2 2 2 2 2 2 2 2

k l k l

Сk l k l k l k l k l k l k l k l

1

tg2

2(tg )2 2

k l

Ck l k l

. (2.55)

Приравнивая (2.55) и (2.45), получим

2

tg1 2

2(tg )2 2

A

k lM

k l k lk EJ

,

2

2

( ) tg2

2(tg )2 2

A

k lk lEJ

Mk l k ll

.

Учитывая, что 2 2( ) 4( )2

k lk l , находим

2

2

( ) tg2 2 2

tg2 2

A

k l k lEJ

Mk l k ll

.

Преобразуем данное равенство к виду

2 2

2 2

( ) tg ( ) tg2 1 62 2 2 233 tg 3(tg )

2 2 2 2

A

k l k l k l k lEJ EJ

Mk l k l k l k ll l

. (2.56)

33

Обозначим

2

4

( ) tg2 2( )

3(tg )2 2

k l k l

k lk l k l

, (2.57)

где 4 ( )k l – функция от переменной k l , учитывающая влияние на

значение AM силы P , сжимающей стержень.

Тогда

42

6( )A

EJM k l

l . (2.58)

Первый сомножитель, равный 26 /EJ l , соответствует значению момента в защемлении A при единичном перемещении защемления B и отсутствии силы P , сжимающий стержень:

при 0 2

6A Р

EJM

l .

Для определения момента в защемлении B рассмотрим уравнения равновесия стержня (рис. 2.7):

0iM , 0 BAAB zPlRMM ,

откуда

ABAB MzPlRM , где 1Bz . (2.59)

Учитывая (2.53) и (2.58), получим

2 43 2

12 6( ) 1 ( )B

EJ EJM k l l P k l

l l .

Учитывая (2.43), (2.52) и (2.57), имеем

3 2

22 2 2

( ) ( ) tg12 62 2 2( )3(tg ) 3(tg )

2 2 2 2

B

k l k l k lEJ EJ EJ

M k lk l k l k l k ll l l

3 2 2

2

12 ( ) 3 ( ) (tg ) 6 ( ) tg2 2 2 2 2

3 (tg )2 2

k l k l k l k l k lEJ EJ k l EJ

k l k ll

34

3 2 2

2

12 ( ) 3 4( ) (tg ) 6 ( ) tg2 2 2 2 2 2

3(tg )2 2

k l k l k l k l k l k lEJ EJ EJ

k l k ll

2

2

6 ( / 2) tg( / 2)

3 tg( / 2) / 2

EJ kl kl

l kl kl

.

Так как

2

4

( / 2) tg( / 2)( )

3 tg( / 2) / 2

kl klkl

kl kl

, то

42

6( )B

EJM k l

l . (2.60)

Первый сомножитель, равный 26 /EJ l , соответствует значению момента в защемлении B при единичном перемещении защемления B и отсутствии силы Р, сжимающей стержень:

2при 0 6 /B РM EJ l .


действии силы Р, сжимающей стержень, изгибающий момент zM из (2.42)

равен

z A AM M R x P v = 4 22 3

6 12( ) ( )

EJ EJk l k l х P v

l l .

При Р = 0 функции 4 ( )kl = 1 и 2 ( )k l = 0, а изгибающий момент в

поперечных сечениях стержня при единичном повороте защемления равен

при 0 2 3

6 12z Р

EJ EJM х

l l .


единичном перемещении защемления В и действии силы Р, сжимающей стержень, представлена на рис. 2.8, б.

Эпюра момента изгибающего момента zM в поперечных сечениях

стержня при единичном перемещении защемления В и силе Р = 0 представлена на рис. 2.8, в.

35

а) б) в)


единичном перемещении защемления В: (схема а) – расчетная схема; (схема б) – эпюра

zM при действии силы Р, сжимающей стержень; (схема в)

– эпюра zM при силе Р = 0


23

12( )A

EJR V

l , 23

12( )A

EJR V

l ,

3

2

/ 2( )

3 tg / 2 / 2

VV

V V

,

42

6( )A

EJM V

l , 42

6( )B

EJM V

l ,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3 tg / 2 / 2

V VV

V V

.

При отсутствии силы Р, сжимающей стержень, функции 2 ( )V = 1,

4 ( )V = 1 и реакции в опорах равны

при 0 3

12A Р

EJR

l , при 0 3

12В Р

EJR

l , при 0 2

6A Р

EJM

l ,

при 0 2

6B Р

EJM

l .

В табл. 2.1 приведены расчетные схемы сжатых стержней при единичных перемещениях опоры типа «заделка», эпюры изгибающих

моментов zM в поперечных сечениях стержня при единичном

перемещении защемления В и расчетные формулы для определения опорных реакций.

36

Таблица 2.1 Расчетные схемы сжатых стержней при единичных перемещениях опоры типа

«заделка» и расчетные формулы для определения опорных реакций

1

12

3( )A

EJR V

l ,

PV kl l

EJ ,

2

1

( ) tg( )

3(tg )

V VV

V V

,

12

3( )B A

EJR R V

l ,

1

3( )B

EJM V

l

2

13

3( )A B

EJR R V

l ,

PV kl l

EJ ,

3

1

( )( )

3(tg )

VV

V V

,

12

3( )B

EJM V

l

3

42

6( )A В

EJR R V

l ,

PV l

EJ ,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

,

3

2( )A

EJM V

l , 2

4( )B

EJM V

l ,

3

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

V V VV

V V V

,

2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

4

23

12( )A В

EJR R V

l ,

PV l

EJ ,

3

2

/ 2( )

3[tg / 2 / 2]

VV

V V

,

42

6( ),A B

EJM M V

l

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

37

Величины 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 4 ( )V , 3( )V , 2 ( )V могут быть

вычислены либо по приведенным в 4-й колонке формулам при принятом значении V, либо для заданного значения V могут быть определены по справочным данным.

Для определения величин 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 4 ( )V , 3( )V ,

2 ( )V в зависимости от параметра V по справочным данным составим

таблицу 2.2. Таблица 2.2

Функции 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 2 ( )V , 3 ( )V , 4 ( )V для анализа устойчивости

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3 ( )V 4 ( )V

0 1 1 1 1 1 1

0,05 0,999 0,99975 0,999833 0,999917 1,000042 0,999958

0,1 0,996 0,999 0,999333 0,999667 1,000167 0,999833

0,15 0,990999 0,99775 0,998499 0,99925 1,000375 0,999625

0,2 0,983997 0,996 0,99733 0,998666 1,000667 0,999333

0,25 0,974993 0,99375 0,995826 0,997915 1,001044 0,998958

0,3 0,963985 0,990999 0,993985 0,996996 1,001504 0,998499

0,35 0,950971 0,987748 0,991805 0,99591 1,002049 0,997957

0,4 0,935951 0,983997 0,989284 0,994655 1,00268 0,99733

0,45 0,918921 0,979745 0,986421 0,993232 1,003396 0,99662

0,5 0,89988 0,974993 0,983213 0,991639 1,004199 0,995826

0,55 0,878823 0,969739 0,979657 0,989876 1,005089 0,994947

0,6 0,855749 0,963985 0,975749 0,987943 1,006068 0,993985

0,65 0,830653 0,957729 0,971487 0,985838 1,007135 0,992937

0,7 0,803532 0,950971 0,966866 0,983561 1,008292 0,991805

0,75 0,774382 0,943712 0,961882 0,98111 1,009541 0,990587

0,8 0,743197 0,935951 0,95653 0,978485 1,010882 0,989284

0,85 0,709973 0,927687 0,950806 0,975685 1,012317 0,987896

0,9 0,674703 0,918921 0,944703 0,972709 1,013846 0,986421

0,95 0,637384 0,909652 0,938217 0,969554 1,015473 0,98486

1 0,598006 0,89988 0,93134 0,966221 1,017197 0,983213

1,05 0,556565 0,889604 0,924065 0,962707 1,019022 0,981479

1,1 0,513052 0,878823 0,916385 0,959011 1,020949 0,979657

1,15 0,467459 0,867539 0,908293 0,955131 1,022979 0,977747

1,2 0,419779 0,855749 0,899779 0,951066 1,025115 0,975749

1,25 0,370001 0,843454 0,890834 0,946814 1,027359 0,973663

1,3 0,318115 0,830653 0,881448 0,942373 1,029714 0,971487

1,35 0,264112 0,817346 0,871612 0,937742 1,032181 0,969221

1,4 0,207979 0,803532 0,861312 0,932917 1,034764 0,966866

38

Продолжение табл. 2.2

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3 ( )V 4 ( )V

1,45 0,149705 0,789211 0,850538 0,927897 1,037465 0,964419

1,5 0,089276 0,774382 0,839276 0,922679 1,040288 0,961882

1,55 0,026678 0,759044 0,827511 0,917261 1,043235 0,959252

1,570796 0 0,752515 0,822467 0,914948 1,044498 0,958131

1,6 -0,0381 0,743197 0,81523 0,911641 1,04631 0,95653

1,65 -0,10508 0,72684 0,802416 0,905815 1,049515 0,953715

1,7 -0,17428 0,709973 0,78905 0,899781 1,052856 0,950806

1,75 -0,24572 0,692594 0,775116 0,893536 1,056335 0,947802

1,8 -0,31941 0,674703 0,760592 0,887077 1,059957 0,944703

1,85 -0,39538 0,6563 0,745457 0,8804 1,063726 0,941509

1,9 -0,47365 0,637384 0,729688 0,873502 1,067647 0,938217

1,95 -0,55424 0,617952 0,713259 0,866379 1,071724 0,934827

2 -0,63719 0,598006 0,696143 0,859028 1,075963 0,93134

2,05 -0,72252 0,577544 0,678311 0,851444 1,080369 0,927752

2,1 -0,81027 0,556565 0,659731 0,843624 1,084947 0,924065

2,15 -0,90046 0,535068 0,640369 0,835562 1,089704 0,920276

2,2 -0,99315 0,513052 0,620186 0,827255 1,094646 0,916385

2,25 -1,08836 0,490516 0,599142 0,818697 1,099779 0,912391

2,3 -1,18614 0,467459 0,577193 0,809884 1,105111 0,908293

2,35 -1,28654 0,443881 0,55429 0,800809 1,110648 0,904089

2,4 -1,38962 0,419779 0,53038 0,791468 1,1164 0,899779

2,45 -1,49543 0,395152 0,505404 0,781854 1,122374 0,895361

2,5 -1,60403 0,370001 0,4793 0,771961 1,12858 0,890834

2,55 -1,7155 0,344322 0,451995 0,761782 1,135026 0,886197

2,6 -1,82992 0,318115 0,423413 0,751311 1,141722 0,881448

2,65 -1,94737 0,291379 0,393468 0,740541 1,14868 0,876587

2,7 -2,06794 0,264112 0,362063 0,729462 1,15591 0,871612

2,75 -2,19174 0,236312 0,329094 0,718069 1,163424 0,86652

2,8 -2,31889 0,207979 0,294441 0,706351 1,171235 0,861312

2,85 -2,44953 0,17911 0,257972 0,6943 1,179356 0,855985

2,9 -2,5838 0,149705 0,219538 0,681906 1,187801 0,850538

2,95 -2,72186 0,11976 0,178971 0,66916 1,196586 0,844969

3 -2,86392 0,089276 0,136081 0,65605 1,205727 0,839276

3,05 -3,01018 0,058249 0,090651 0,642565 1,215242 0,833457

3,1 -3,1609 0,026678 0,042434 0,628693 1,225148 0,827511

3,141593 -3,28987 0 0 0,61685 1,233701 0,822467

3,15 -3,31635 -0,00544 -0,00885 0,614422 1,235465 0,821436

3,2 -3,47687 -0,0381 -0,06353 0,599738 1,246215 0,81523

3,25 -3,64282 -0,07132 -0,12199 0,584626 1,25742 0,808891

3,3 -3,81466 -0,10508 -0,18466 0,569072 1,269103 0,802416

39

Продолжение табл. 2.2

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3 ( )V 4 ( )V

3,35 -3,9929 -0,13941 -0,25206 0,553058 1,281292 0,795803

3,4 -4,17814 -0,17428 -0,32481 0,536569 1,294014 0,78905

3,45 -4,37113 -0,20972 -0,40363 0,519584 1,307298 0,782156

3,5 -4,57273 -0,24572 -0,48939 0,502085 1,321178 0,775116

3,55 -4,78399 -0,28228 -0,58316 0,484051 1,335686 0,767929

3,6 -5,00622 -0,31941 -0,68622 0,465457 1,350861 0,760592

3,65 -5,24101 -0,35711 -0,80018 0,446282 1,366744 0,753102

3,7 -5,49036 -0,39538 -0,92703 0,426498 1,383376 0,745457

3,75 -5,75681 -0,43422 -1,06931 0,406077 1,400806 0,737653

3,8 -6,04362 -0,47365 -1,23028 0,384989 1,419085 0,729688

3,85 -6,35506 -0,51365 -1,41423 0,363202 1,438268 0,721557

3,9 -6,69687 -0,55424 -1,62687 0,34068 1,458416 0,713259

3,95 -7,07684 -0,59542 -1,87601 0,317386 1,479593 0,704789

4 -7,50598 -0,63719 -2,17265 0,293279 1,501872 0,696143

4,05 -8,00021 -0,67956 -2,53271 0,268312 1,525331 0,687319

4,1 -8,58356 -0,72252 -2,98023 0,242439 1,550056 0,678311

4,15 -9,29405 -0,76609 -3,55322 0,215605 1,57614 0,669117

4,2 -10,1956 -0,81027 -4,3156 0,187753 1,603687 0,659731

4,25 -11,4047 -0,85506 -5,38383 0,15882 1,63281 0,65015

4,3 -13,1581 -0,90046 -6,99473 0,128735 1,663636 0,640369

4,35 -16,0229 -0,94649 -9,71539 0,097422 1,696303 0,630382

4,4 -21,7805 -0,99315 -15,3271 0,064797 1,730964 0,620186

4,45 -40,4189 -1,04043 -33,8181 0,030766 1,767792 0,609774

4,5 221,1792 -1,08836 227,9292 -0,00477 1,806977 0,599142

4,55 20,20738 -1,13692 27,10821 -0,04194 1,848732 0,588284

4,6 7,615963 -1,18614 14,6693 -0,08086 1,893297 0,577193

4,65 2,950858 -1,23601 10,15836 -0,12167 1,940941 0,565864

4,7 0,455288 -1,28654 7,818621 -0,16455 1,991968 0,55429

4,712389 0 -1,29917 7,402203 -0,17551 2,005173 0,551384

4,75 -1,14041 -1,33774 6,380419 -0,20966 2,046721 0,542464

4,8 -2,27768 -1,38962 5,402317 -0,25723 2,105593 0,53038

4,85 -3,15038 -1,44218 4,690452 -0,30747 2,16903 0,518029

4,9 -3,85703 -1,49543 4,146303 -0,36067 2,237545 0,505404

4,95 -4,45301 -1,54938 3,71449 -0,41712 2,311727 0,492497

5 -4,97185 -1,60403 3,361483 -0,47718 2,39226 0,4793

5,05 -5,43505 -1,65941 3,065784 -0,54127 2,479939 0,465802

5,1 -5,85703 -1,7155 2,81297 -0,60986 2,575696 0,451995

5,15 -6,24784 -1,77234 2,592995 -0,68351 2,680628 0,437869

5,2 -6,61469 -1,82992 2,398642 -0,7629 2,796036 0,423413

5,25 -6,96291 -1,88826 2,224586 -0,84881 2,923476 0,408616

40

Окончание табл. 2.2

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3 ( )V 4 ( )V

5,3 -7,29653 -1,94737 2,066808 -0,94221 3,064822 0,393468

5,35 -7,61863 -2,00725 1,922207 -1,04424 3,222351 0,377954

5,4 -7,93165 -2,06794 1,788353 -1,15634 3,398862 0,362063

5,45 -8,23753 -2,12943 1,663303 -1,28024 3,597825 0,345781

5,5 -8,53785 -2,19174 1,545482 -1,41816 3,823601 0,329094

5,25 -6,96291 -1,88826 2,224586 -0,84881 2,923476 0,408616

5,3 -7,29653 -1,94737 2,066808 -0,94221 3,064822 0,393468

5,35 -7,61863 -2,00725 1,922207 -1,04424 3,222351 0,377954

5,4 -7,93165 -2,06794 1,788353 -1,15634 3,398862 0,362063

5,45 -8,23753 -2,12943 1,663303 -1,28024 3,597825 0,345781

5,5 -8,53785 -2,19174 1,545482 -1,41816 3,823601 0,329094

5,55 -8,83391 -2,25489 1,433592 -1,57289 4,081746 0,311986

5,6 -9,12678 -2,31889 1,326551 -1,74806 4,379447 0,294441

5,65 -9,4174 -2,38377 1,223436 -1,94842 4,726165 0,276443

5,7 -9,70654 -2,44953 1,123457 -2,18035 5,134615 0,257972

5,75 -9,99491 -2,5162 1,025919 -2,45263 5,622286 0,239011

5,8 -10,2831 -2,5838 0,930208 -2,77765 6,213919 0,219538

5,85 -10,5717 -2,65234 0,835767 -3,17354 6,945685 0,199533

5,9 -10,8613 -2,72186 0,742083 -3,66787 7,872651 0,178971

5,95 -11,1522 -2,79238 0,648677 -4,30473 9,082953 0,157829

6 -11,4449 -2,86392 0,55509 -5,15938 10,727 0,136081

6,05 -11,74 -2,93651 0,460877 -6,37157 13,08423 0,113698

6,1 -12,0377 -3,01018 0,365596 -8,23362 16,7392 0,090651

6,15 -12,3387 -3,08497 0,2688 -11,4768 23,15435 0,066907

6,2 -12,6433 -3,1609 0,170027 -18,5905 37,30836 0,042434

6,25 -12,952 -3,23801 0,068796 -47,0669 94,18533 0,017194

6,283185 -13,1595 -3,28987 0 -6,4E+15 1,28E+16 0

41

3. ПРОЦЕДУРА РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

3.1. Выбор основной системы и формирование уравнения устойчивости При расчете на устойчивость плоской рамы по методу перемещений

выбор основной системы не отличается от выбора основной системы при обычном статическом расчете этим методом.

При кинематическом анализе по методу перемещений статически неопределимой плоской рамы устанавливается общее число n неизвестных угловых и линейных перемещений жестких узлов стержневой системы, подлежащих определению. Общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы n определяет степень кинематической неопределимости стержневой системы.

За жесткий узел принимаются: сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира; сопряжения двух или нескольких стержней, в которых расположен присоединенный шарнир. В число жестких узлов не входят узлы с известными по условию задания перемещениями – жесткие закрепления и узлы с заданными перемещениями.

Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n = nу + nл ,

где nу – число неизвестных углов поворота жестких узлов; nл – число неизвестных линейных перемещений этих узлов.

Построение основной системы осуществляется введением дополнительных угловых и линейных связей на соответствующие неизвестные угловые перемещения и неизвестные линейные перемещения «жестких» узлов. Получаемая в результате этого стержневая система называется основной системой метода перемещений.

Канонические уравнения метода перемещений в общем виде представляются в виде следующей системы:

11 1r z + 12 2r z + 13 3r z + . . . + 1n nr z + R1р = 0,

21 1r z + 22 2r z + 23 3r z + . . . + 2n nr z + R2р = 0,

31 1r z + 32 2r z + 33 3r z + . . . + 3n nr z + R3р = 0, (3.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1nr z + 2 2nr z + 3 3nr z + . . . + n n nr z + Rnр = 0,

42

где n – число введенных связей в основной системе ; 1z , 2z , 3z , . . ., nz –

неизвестные угловые и линейные перемещения связей 1, 2, 3, . . ., n; r11, r12, r13, . . ., r1n – реакции в связи 1 от единичных перемещений связей 1, 2, 3, . . ., n; r21, r22, r23, . . ., r2n – реакции в связи 2 от единичных перемещений связей 1, 2, 3, . . ., n; r31, r32, r33, . . ., r3n – реакции в связи 3 от единичных перемещений связей 1, 2, 3, . . ., n; rn1, rn2, rn3, . . ., rnn – реакции в связи n от единичных перемещений связей 1, 2, 3, . . ., n; R1р, R2р, R3р, . . ., R nр – реакции в 1-й, 2-й и т. д. связях, вызванных действием нагрузки.

Нами рассматриваются задачи, когда в узлах плоской рамы приложены внешние силы, вызывающие только центральное сжатие стержней (на рис. В.1 приведена схема такого нагружения плоской рамы).

Так как рассматриваются рамы только с узловой нагрузкой, которая до момента потери устойчивости вызывает лишь сжатие, то реакции в фиктивных связях (R1р, R2р, R3р, . . ., Rnр) равны нулю и система канонических уравнений (3.1) представляется однородной:

11 1r z + 12 2r z + 13 3r z + . . . + 1n nr z = 0,

21 1r z + 22 2r z + 23 3r z + . . . + 2n nr z = 0,

31 1r z + 32 2r z + 33 3r z + . . . + 3n nr z = 0, (3.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1nr z + 2 2nr z + 3 3nr z + . . . + nn nr z = 0,

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов i jr должен быть равен нулю:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

.....................

...

n

n

n n n nn

r r r r

r r r rD

r r r r

= 0. (3.3)

Раскрытие детерминанта приводит к уравнению, называемому уравнением устойчивости.

Дальнейшее решение задачи состоит в отыскании значений нагрузок на раму, удовлетворяющих уравнению (3.3). Наименьшая из них будет критической нагрузкой.

Для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1), имеем лишь одно перемещение жесткого узла

43

(линейное или угловое 1 0z ) и самую простую запись для системы

уравнений (3.2):

11 1r z = 0, 11r = 0. (3.4)

При 1 0z следует, что реакция во введенной связи 11r = 0.

Для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2), имеем два перемещения для жестких узлов ( 1 0z ,

2 0z ) и запись для системы уравнений (3.2) в виде:

11 1 12 2

21 1 22 2

0,

0.

r z r z

r z r z

(3.5)

При 1 0z и 2 0z следует, что

11 1211 22 12 21

21 22

0r r

D r r r rr r

. (3.6)

Для плоской рамы при n = 3 имеем три перемещения для жестких узлов ( 1 0z , 2 0z , 2 0z ) и запись для системы уравнений (3.2) в виде:

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0,

0,

0.

r z r z r z

r z r z r z

r z r z r z

(3.7)

При 1 0z , 2 0z и 3 0z следует, что

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

r r r

D r r r

r r r

. (3.8)

Раскрыв определитель, получим

11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 32 23 11 21 12 33 0r r r r r r r r r r r r r r r r r r . (3.9)

3.2. Определение коэффициентов i jr уравнения устойчивости

Для составления уравнения устойчивости необходимо определить коэффициенты i jr , которые представляют собой реакции во введенных

связях от единичных перемещений этих связей. Для определения коэффициентов i jr строятся эпюры изгибающих

моментов 1M , 2M , 3M ,…, nM для стержней рамы, изгибающие моменты в которых зависят от единичных перемещений узлов рамы. При единичном перемещении узла 1 строится эпюра 1M , при единичном перемещении

узла 2 строится эпюра 2M и т. д.

44

3.2.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1)

Плоская рама с вертикальной стойкой на шарнирной опоре и ограничениями линейных перемещений жесткого узла

На рис. 3.1, а представлена плоская рама с вертикальной стойкой на шарнирной опоре и ограничениями линейных перемещений жесткого узла.

а) б) Рис. 3.1. Схема нагружения плоской рамы: (схема а) – заданная система, (схема б) –

основная система с введением дополнительной связи для жесткого узла

Внешняя сила Р обеспечивает центральное сжатие вертикальной стойки. Изгибная жесткость поперечных сечений стержней рамы постоянна ( constEJ ).

Степень кинематической неопределимости плоской рамы равна единице (n = 1). Жесткий узел (узел 1, рис. 3.1, б) имеет лишь одно угловое перемещение ( 1 0z ). При n = 1 строится эпюра изгибающих

моментов 1M от единичного перемещения жесткого узла.

При угловом перемещении узла 1 изгибающие моменты возникнут в вертикальном стержне и в горизонтальных стержнях. Для построения

эпюры 1М от единичного перемещения узла 1 используем эпюры от

единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1. Эпюры изгибающих моментов в стержнях от единичного углового

перемещения узла 1, а также реакция связи 11r представлены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Эпюры изгибающих моментов от единичного угла поворота узла 1

45

Для вертикального стержня на рис. 3.2 используется схема 1 табл. 2.1

и соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM .

Для горизонтальных стержней на рис. 3.2 используется схема 1

таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM при

отсутствии силы, сжимающей стержень. Для определения реакции 11r во введенной связи используем схему на

рисунке 3.2 и вырежем узел 1 (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Схема сил, действующих на узел 1 при угловом перемещении узла 1

Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим 11r :

0iM , 11 1

3 3 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 1

32 ( )

EJr V

l .

Плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла

На рис. 3.4, а представлена плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла.






46

Эпюра изгибающих моментов в стержнях от единичного углового перемещения узла 1, а также реакция связи 11r представлены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Эпюры изгибающего момента от единичного угла поворота узла 1





отсутствии силы, сжимающей стержень. Для определения реакции 11r во введенной связи используем схему на




0iM , 11 2

3 4 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 2

41,5 ( )

EJr V

l .

Плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла в виде защемления и шарнирной опоры для горизонтальных стержней

На рис. 3.7, а представлена плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла в виде защемления и шарнирной опоры для горизонтальных стержней.


47









Для горизонтального стержня с жестким защемлением на рис. 3.8 используется схема 3 таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра

изгибающего момента zM при отсутствии силы, сжимающей стержень.

Для горизонтального стержня с шарнирной опорой на рис. 3.8 используется схема 1 таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра


Для определения реакции 11r во введенной связи используем схему на рисунке 3.8 и вырежем узел 1 (рис. 3.9).

48



0iM , 11 2

4 4 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 2

41,75 ( )

EJr V

l .

Плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла в виде защемленных опор горизонтальных стержней

На рисунке 3.10, а представлена плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и ограничениями линейных перемещений жесткого узла в виде защемленных опор для горизонтальных стержней.






Для вертикального стержня на рисунке 3.10 используется схема 3

таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM . Для

горизонтальных стержней с жестким защемлением на рисунке 3.8

49

используется схема 3 таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра




Для определения реакции 11r во введенной связи используем схему на




0iM , 11 2

4 4 4( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 2

42 ( )

EJr V

l .

3.2.2. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2)

Плоская рама с защемленной вертикальной стойкой и перемещениями жесткого узла (угловым и линейным)

На рис. 3.13, а представлена плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2). Изгибная жесткость поперечных сечений стержней рамы постоянна ( constEJ ).

Внешняя сила Р обеспечивает центральное сжатие вертикальной стойки. Жесткий узел (узел 1, рис. 3.13, б) имеет два перемещения (угловое перемещение 1 0z и линейное перемещение 2 0z ). При n = 2

строятся эпюры изгибающих моментов 1M и 2M от единичных

перемещений узла.

50

а) б)

Рис. 3.13. Схема нагружения плоской рамы при центральном сжатии стойки: (схема а) – заданная система, (схема б) – основная система с дополнительными связями для жесткого узла в направлении углового и линейного перемещений


эпюры 1М от единичного перемещения 1z узла 1 используем эпюры от

единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1. Для вертикального стержня на рис. 3.13 используется схема 3 табл. 2.1




отсутствии силы, сжимающей стержень. Эпюры изгибающих моментов в стержнях от единичного углового

перемещения узла 1, а также реакции связей 11r и 21r представлены на

рисунке 3.14.


Используя схему на рис. 3.14 и записывая уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на раму, можно определить коэффициент 21r :

0iX , 21 42

6( ) 0

EJr V

l , 21 42

6( )

EJr V

l .

51




0iM , 11 2

3 4 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 2

41,5 ( )

EJr V

l .

Для построения эпюры 2M от единичного линейного перемещения

узла 1 используются эпюры от единичного линейного перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1.

Для вертикального стержня на рисунке 3.13 используется схема 4

таблицы 2.1 и соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM .

Эпюра изгибающих моментов 2M от единичного линейного

перемещения узла 2, а также реакции в связях 22r и 12r представлены на


Рис. 3.16. Эпюра изгибающих моментов от единичного линейного перемещения узла 1


Рис. 3.17. Схема сил, действующих на узел 1 при линейном перемещении узла 1

52

Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим реакцию 12r во

введенной связи:

0iM , 12 42

6( ) 0

EJr V

l , 12 42

6( )

EJr V

l .

Используя схему на рис. 3.16 и записывая уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на раму, можно определить реакцию 22r :

0iX , 22 23

12( ) 0

EJr V

l , 22 23

12( )

EJr V

l .

Плоская рама с двумя защемленными вертикальными стойками и перемещениями жесткого узла (угловым и линейным)

На рис. 3.18 представлена плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2).

а) б)

Рис. 3.18. Схема нагружения плоской рамы при центральном сжатии стоек: (схема а) – заданная система, (схема б) – основная система с дополнительными связями для жесткого узла в направлении углового и линейного перемещений

Внешние силы Р обеспечивают центральное сжатие вертикальных стоек. Изгибная жесткость поперечных сечений стержней рамы постоянна ( constEJ ).

Жесткий узел (узел 1, рис. 3.18, б) имеет два перемещения (угловое перемещение 1 0z и линейное перемещение 2 0z ). При n = 2 строятся

эпюры изгибающих моментов 1M и 2M от единичных перемещений узла.

При угловом перемещении узла 1 изгибающие моменты возникнут в вертикальном стержне 0-1 и в горизонтальном стержне 1-2.

Для построения эпюры 1М от единичного перемещения 1z узла 1

используем эпюры от единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1.

53



Для горизонтального стержня на рис. 3.18 используется схема 1



перемещения узла 1, а также реакции связей 11r и 21r представлены на






0iM , 11 2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l l , 11 2

40,75 ( )

EJr V

l .


0iX , 21 42

6( ) 0

EJr V

l , 21 42

6( )

EJr V

l .

54



Для вертикального стержня 0-1 на рисунке 3.19 используется схема 4


Для вертикального стержня 2-3 на рисунке 3.19 используется схема 2


Эпюра изгибающих моментов 2M от единичного линейного

перемещения узла 2, а также реакции в связях 22r и 12r представлены на


Рис. 3.21. Эпюра изгибающих моментов от единичного линейного перемещения узла 1


Рис. 3.22. Схема сил, действующих на узел 1 при линейном перемещении узла 1

Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим реакцию 12r во

введенной связи:

0iM , 12 42

6( ) 0

EJr V

l , 12 42

6( )

EJr V

l .

Используя схему на рис. 3.21 и записывая уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на раму, можно определить реакцию 22r :

55

0iX , 22 1 23 3

3 12( ) ( ) 0

EJ EJr V V

l l ,

22 1 23 3

3 12( ) ( )

EJ EJr V V

l l .

Плоская рама с двумя защемленными вертикальными стойками и перемещениями жесткого узла (угловым и линейным) при различной изгибной жесткости стержней

Ранее были рассмотрены сравнительно простые схемы плоских рам, когда линейные размеры стержней были одинаковы, постоянными были изгибные жесткости поперечных сечений ( constEJ ).

На рис. 3.23 представлена плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2). Внешние силы Р1 и Р1

обеспечивают центральное сжатие вертикальных стоек.

Рис. 3.23. Схема нагружения плоской рамы при центральном сжатии стержней

Рис. 3.24. Схема нагружения плоской рамы с введением дополнительных связей

На рис. 3.24 представлена основная система плоской рамы с введением дополнительных связей. Плоская рама имеет один жесткий узел 1. При потере устойчивости узел 1 повернется на угол z1 и вместе с узлом 2 переместится на величину z2 .


При линейном перемещении узла 1 вместе с узлом 2 (их линейные перемещения одинаковы, так как мы пренебрегаем продольными деформациями стержней) изгибающие моменты возникнут в вертикальном стержне 0-1 и в вертикальном стержне 2-3.

Для определения коэффициентов i jr строятся эпюры изгибающих

моментов 1M , 2M для стержней рамы, изгибающие моменты в которых

зависят от единичного углового перемещения узла 1 (эпюра 1M ) и

единичного линейного перемещения узлов 1 и 2 (эпюра 2M ).

56

Для построения эпюры 1M от единичного перемещения узла 1

используются эпюры от единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1. Для стержня 0-1 на рис. 3.24 используется схема 3


Для стержня 1-2 на рис. 3.24 используется схема 1 таблицы 2.1 и

соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM при отсутствии

силы, сжимающей стержень. Эпюры изгибающих моментов в стержнях 0-1 и 1-2 от единичного

углового перемещения узла 1, а также реакции в связях 11r и 21r

представлены на рисунке 3.25.

201 4 22

2

6( )

EJH V

h , 2

2 22

PV h

EJ ,

201 3 2

2

2( )

EJM V

h ,

132 1 13

1

3( )

EJH V

h , 1

1 11

PV h

EJ ,

202 2 23

2

12( )

EJH V

h , 2

2 22

PV h

EJ ,


Рис. 3.26. Эпюры изгибающих моментов от единичного перемещения узла 2

Первый индекс реакции в связях обозначает реакцию в связи узла

(1 или 2), а второй индекс обозначает возникновение этой реакции от единичного углового перемещения узла 1.




соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM .



57

Эпюры изгибающих моментов в стержнях 2-3 и 0-1 от единичного линейного перемещения узла 2, а также реакции в связях 22r и 12r

представлены на рисунке 3.26. Определение коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r , которые представляют

собой реакции во введенных связях от единичных перемещений этих связей, обеспечивается при рассмотрении условий равновесия рассматриваемых систем.

Используем схему на рис. 3.25 и вырежем узел 1 (рис. 3.27).


Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим коэффициент 11r :

0iM , 3 211 2 2

2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l h ,

3 211 2 2

2

3 4( )

EJ EJr V

l h , 2

2 22

PV h

EJ .


0iX , 21 01 0r H , 221 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

21 4 222

6( )

EJr V

h .

Используя схему на рис. 3.26, вырежем узел 1 (рис. 3.28).

Рис. 3.28. Схема сил, действующих на узел 1 при линейном перемещении узлов 1 и 2


0iM , 212 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

12 4 222

6( )

EJr V

h .

58


0iX , 22 32 02 0r H H , 1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( ) 0

EJ EJr V V

h h ,

1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( )

EJ EJr V V

h h , 1

1 11

PV h

EJ .

3.3. Процедура решения уравнения устойчивости

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов i jr должен быть равен нулю:

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

...

...

.....................

...

n

n

n n n nn

r r r r

r r r rD

r r r r

= 0.

Для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1), имеем лишь одну реакцию 11r дополнительной

связи. Причем из (3.4) значение 11r равно 11r = 0.

Для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2), имеем два перемещения для жестких узлов ( 1 0z ,

2 0z ) и запись для системы уравнений (3.2) в виде:

11 1 12 2

21 1 22 2

0,

0.

r z r z

r z r z

При 1 0z и 2 0z из (3.6) следует, что детерминант

11 1211 22 12 21

21 22

0r r

D r r r rr r

.

Для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна трем (n = 3), имеем три перемещения для жестких узлов ( 1 0z ,

2 0z , 2 0z ) и запись для системы уравнений (3.2) в виде:

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0,

0,

0.

r z r z r z

r z r z r z

r z r z r z

59

При 1 0z , 2 0z и 3 0z следует, что детерминант

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

r r r

D r r r

r r r

.

Определитель раскрыт равенством (3.9):

11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 32 23 11 21 12 33 0r r r r r r r r r r r r r r r r r r .

Если учесть равенство коэффициентов 12 21r r , 13 31r r , 23 32r r , то

уравнение (3.9) преобразуется к виду: 2 2 2

11 22 33 12 23 31 11 23 22 13 33 122( ) 0r r r r r r r r r r r r .

Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1)

Моменту потери устойчивости соответствует условие 11 1 0r z . Так

как 1 0z , то для выполнения условия 11 1 0r z необходимо принять, что

11 0r . Например, степень кинематической неопределимости плоской

рамы (рис. 3.29, а) равна единице (n = 1).



Жесткий узел имеет угловое перемещение 1 0z (рис. 3.29, б). Эпюры

изгибающих моментов в поперечных сечениях стержней рамы от единичного угла поворота узла представлены на рис. 3.30.

Рис. 3.30. Эпюры изгибающих моментов от единичного угла поворота узла

60

Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел, представлена на рис. 3.31.

. Рис. 3.31. Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел

Из условия равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, определим 11r :

0iM , 11 1

3 3 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 1

32 ( )

EJr V

l .

Так как 11 0r , то имеем

1

32 ( ) 0

EJV

l , 1( ) 2V .

Учитывая, что 2

1

( ) tg( )

3(tg )

V VV

V V

, приходим к уравнению

2( ) tg2

3(tg )

V V

V V

.

Решая данное уравнение, находим крV . А так как P

V lEJ

, то

критическую силу крV определим как 2кр кр2

EJР V

l .

Рассмотрим другой пример определения 11r для плоской рамы, схема

которой представлена на рис. 3.32, а.



Степень кинематической неопределимости плоской рамы (рис. 3.32, а) равна единице (n = 1). Жесткий узел имеет угловое перемещение 1 0z .

61

Эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях стержней рамы от единичного угла поворота узла представлены на рис. 3.33.

Рис. 3.33. Эпюры изгибающего момента от единичного угла поворота узла 1

Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел, представлена на рис. 3.34.

. Рис. 3.34. Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел

Из условия равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, определим 11r :

0iM , 11 2

3 4 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l , 11 2

41,5 ( )

EJr V

l .

Так как 11 0r , то имеем

2

41,5 ( ) 0

EJV

l , 2 ( ) 1,5V .


2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

,

3

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

V V VV

V V V

,

приходим к уравнению

2/ 2 tg / 23 1 ( sin )

1,52 3[tg / 2 / 2] 2 4sin [tg( / 2) / 2]

V V V V V

V V V V V

.

62

Решая данное уравнение, находим крV . А так как P

V lEJ

, то

критическую силу крV определим как 2кр кр2

EJР V

l .

Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2)

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r должен быть равен нулю:

11 12

21 22

r rD

r r = 0.

Раскрыв детерминант, получим уравнение устойчивости: 2

11 22 12 0r r r .

Для решения задачи необходимо решить уравнение устойчивости относительно неизвестного параметра V.

На рис. 3.35 представлена плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2). Внешние силы Р1 и Р2

обеспечивают центральное сжатие вертикальных стоек.



Ранее была рассмотрена процедура расчета данной схемы плоской рамы, связанная с определением коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r

(см. рис. 3.25 – 3.28). Эпюры изгибающих моментов в стержнях 0-1 и 1-2 от единичного


представлены на рисунке 3.37.

63

201 4 22

2

6( )

EJH V

h , 2

2 22

PV h

EJ ,

201 3 2

2

2( )

EJM V

h ,

132 1 13

1

3( )

EJH V

h , 1

1 11

PV h

EJ ,

202 2 23

2

12( )

EJH V

h , 2

2 22

PV h

EJ ,


Рис. 3.38. Эпюры изгибающих моментов от единичного перемещения узла 2


представлены на рисунке 3.38. Определение коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r , которые представляют


Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел 1, представлена на рис. 3.39.


Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, определим коэффициент 11r :

0iM , 3 211 2 2

2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l h ,

3 211 2 2

2

3 4( )

EJ EJr V

l h , 2

2 22

PV h

EJ .

64


0iX , 21 01 0r H , 221 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

21 4 222

6( )

EJr V

h .

Схема моментов сил, действующих на вырезанный узел 1, представлена на рис. 3.40.


Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим коэффициент 12r :

0iM , 212 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

12 4 222

6( )

EJr V

h .


0iX , 22 32 02 0r H H , 1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( ) 0

EJ EJr V V

h h ,

1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( )

EJ EJr V V

h h , 1

1 11

PV h

EJ .

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r должен быть равен нулю:

11 12

21 22

r rD

r r = 0,

3 2 22 2 4 22

2 2

2 1 24 2 1 1 2 22 3 3

2 1 2

3 4 6( ) ( )

6 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJV V

l h hD

EJ EJ EJV V V

h h h

= 0.

Раскрыв детерминант, получим уравнение устойчивости:

65

3 2 1 22 2 1 1 2 23 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJ EJV V V

l h h h

–

– 2 24 2 4 22 2

2 2

6 6( ) ( )

EJ EJV V

h h

= 0, 2

2 22

PV h

EJ , 1

1 11

PV h

EJ .

Основной задачей расчета устойчивости является определение критической силы Pкр. Если на систему действует несколько сил, определять их критические значения одновременно довольно трудно. Поэтому одну из сил (обычно наибольшую) принимают за основную и обозначают как P. Остальные силы выражают в долях от основной силы Р.

Тогда вместо определения нескольких критических сил можно определять только одну (наибольшую).

Пусть, например, наибольшей силой является сила 1P . Примем, что

1P Р , а 2 1 1 1P Р Р , где 1 1 .

Следует также учитывать, что изгибная жесткость стержней может быть также различной. Поэтому целесообразно обозначить осевой момент поперечного сечения 1J J , а осевые моменты других стержней ( 2J , 3J )

выразить в соотношении к осевому моменту 1J J :

2 2J J , 2 2 1/J J , 3 3J J , 3 3 1/J J .

В этом случае параметр 1V можно принять за основной и обозначить

как 1V V 1

Ph

EJ. Параметр 2V по отношению к параметру V

определится как

22 2

2

PV h

EJ = 1

22

Рh

EJ

= 2 11

1 2

h Рh

h EJ

= pk V , где 2 1p

1 2

hk

h

.

С учетом данных равенств уравнение устойчивости преобразуется к виду:

3 2 22 p 1 2 p3 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJ EJk V V k V

l h h h

–

– 2 24 p 4 p2 2

2 2

6 6( ) ( )

EJ EJk V k V

h h

= 0.

Сокращая на 2( )EJ , получим

66

3 2 22 p 1 2 p3 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )k V V k V

l h h h

–

– 2 24 p 4 p2 2

2 2

6 6( ) ( )k V k V

h h

= 0,

2 p 4 p 3 p

3 1( ) ( ) ( )

2 2k V k V k V

,

2

p p

4 p

p p

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

k V k Vk V

k V k V

,

p p p3 p

p p p

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

k V k V k Vk V

k V k V k V

, 1( )V =

3( )

3(tg )

V

V V,

3

p

2 p

p p

/ 2( )

3[tg / 2 / 2]

k Vk V

k V k V

.

Уравнение устойчивости имеет один неизвестный параметр V. Так как это уравнение является трансцендентным, то решается оно путем подбора неизвестного параметра V.

Уравнение устойчивости может содержать множество корней (значений V), каждое из которых определяет критическую силу Pкр и соответствует определенной форме потери устойчивости стержней рамы. Важно определить наименьшее значение критической силы, которое будет иметь место при минимальном значении V = Vmin.

При определении неизвестного параметра V путем подбора важно знать возможный диапазон значений этого параметра. Учитываем, что для левой стойки (рис. 3.36) сила 1P Р , сжимающая стойку, будет больше

критической силы для консольной стойки (Pкр = 2

21(2 )

EJ

h

).

В то же время критическая сила для консольной стойка с

защемлением и шарнирной опорой на другом конце равна Pкр = 2

21(0,7 )

EJ

h

.

А так как V 1

Ph

EJ, то для консольной стойки, принимая

Р = 2

21(2 )

EJ

h

, получим нижнее значение диапазона значений для V :

2

н 1 21

1

(2 ) 2

EJV h

h EJ

.

67

Для консольной стойка с защемлением и шарнирной опорой на

другом конце, принимая P = 2

21(0,7 )

EJ

h

, получим верхнее значение

диапазона значений для V : 2

в 1 21

11,428

(0,7 ) 0,7

EJV h

h EJ

.

Таким образом, для рассматриваемой схемы рамы (рис. 3.35) диапазон, в котором определяется критическая величина крV , следует

принять равным кр/ 2 1,428V .

После определения крV можно найти критические значения

параметров 1крV и 2крV для вертикальных стержней, а также критические

значения сил 1крР и 2крР :

1кр крV V , 2 11кр 1кр 2

1

EJР V

h , 2кр р крV k V , 2 2

2кр 2кр 22

EJР V

h .

Отношение критических сил 1крР и 2крР равно

2 11кр 2

1кр 1

2 22кр2кр 2

2

EJV

Р hEJР Vh

, 2 2

1кр 1кр 1 22 2

2кр 2кр 2 1

Р V J h

Р V J h .

Учитывая, что 2 2 1/J J , 1кр крV V , 2кр р крV k V , получим 22 2

1кр кр 2 22 2 2

2кр р кр 2 1 р 2 1

1 1

( )

Р V h h

Р k V h k h

.

Так как 2 1p

1 2

hk

h

, то 1кр1

2кр

Р

Р .

Коэффициент приведения длины сжатого стержня, зависит от

условий закрепления стержня в плоской раме и может быть определен по формуле (1.10) как / V .

Тогда для левой стойки коэффициент приведения длины 1 = 1кр/ V ,

а для правой стойки 2 = 2кр/ V .

Рассмотрим расчет устойчивости плоской рамы на конкретных примерах.

68

4. ПРИМЕР РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

4.1. Расчет устойчивости плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна единице

Плоская статически неопределимая рама нагружена силой Р , вызывающей центральное сжатие стойки (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема нагружения плоской рамы при центральном сжатии стойки

Изгибная жесткость поперечных сечений стержней одинакова (EJ = const).

Требуется: 1) определить степень кинематической неопределимости плоской рамы; 2) построить основную систему путем введения дополнительной связи

для жесткого узла, задав им направления возможных перемещений; 3) построить эпюры изгибающих моментов от единичного перемещения

жесткого узла; 4) определить коэффициенты i jr , которые представляют собой реакции во

введенных связях от единичных перемещений этих связей; 5) записать уравнение устойчивости и путем подбора определить

критическое значение параметра крV для сжатого стержня рамы;

6) определить значение критической силы крР , при котором плоская рама

теряет устойчивость. Решение Степень кинематической неопределимости плоской рамы При кинематическом анализе по методу перемещений статически

неопределимой стержневой системы устанавливается общее число n неизвестных угловых и линейных перемещений жестких узлов стержневой системы, подлежащих определению. Общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы n определяет степень кинематической неопределимости стержневой системы.

69

За жесткий узел принимаются сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира. Плоская рама (рис. 4.1) имеет один жесткий узел. При потере устойчивости узел 1 повернется на угол z1 (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Схема нагружения плоской рамы с введением дополнительной связи

Следовательно, nу = 1 и степень кинематической неопределимости плоской рамы n = nу = 1. Моменту потери устойчивости соответствует условие 11 1 0r z , где 11r – реакция во введенной связи.

Построение эпюр изгибающих моментов от единичного перемещения жесткого узла 1


эпюры 1М от единичного перемещения узла 1 используем эпюры от

единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1. Для вертикального стержня на рис. 4.2 используется схема 3 табл. 2.1





перемещения узла 1, а также реакция связи 11r представлены на рис. 4.3.


70

Определение коэффициента 11r Используем схему на рис. 4.3 и вырежем узел 1 (рис. 4.4).



0iM , 11 1

3 3 3( ) 0

EJ EJ EJr V

l l l ,

11 1

32 ( )

EJr V

l .

Формирование уравнения устойчивости Моменту потери устойчивости соответствует условие 11 1 0r z . Так

как 1 0z , то для выполнения условия 11 1 0r z необходимо принять, что

11 1

32 ( ) 0

EJr V

l ,

откуда следует, что

12 ( ) 0V , 1( ) 2V .

Учитывая, что функция 2

1

( ) tg( )

3(tg )

V VV

V V

, получим уравнение

2( ) tg2

3(tg )

V V

V V

.


При определении неизвестного параметра V путем подбора важно знать возможный диапазон значений этого параметра.

Рассмотрим стойку плоской рамы (рис. 4.5, а) и сравним ее со стойкой таких же размеров на шарнирных опорах (рис. 4.5, б). Для стержня, закрепленного на шарнирных опорах (рис. 1.1), параметр V =3,14.

71

а) б) в) Рис. 4.5. Схемы нагружения плоской рамы и стоек: (схема а) – плоская рама; (схема б) – стойка на шарнирных опорах; (схема в) – стойка на шарнирной опоре с защемлением

Очевидно, что у плоской рамы узел имеет более жесткое закрепление и параметр V .

Сравним теперь стойку плоской рамы (рис. 4.5, а) со стойкой таких же размеров с защемлением и шарнирной опорой (рис. 4.5, б).

Для стержня с защемлением и шарнирной опорой (рис. 1.5) параметр 4,49341V . Очевидно, что у плоской рамы узел имеет менее жесткое

закрепление и параметр 4,49341V .

Таким образом, при подборе параметра V учитываем, то его критическое значение находится в диапазоне кр3,14 4,49341V .

Для выбора параметра V построим таблицу приближений (см. таблицу 4.1). В первой колонке приведены величины, входящие в уравнение устойчивости, и формулы для их расчета.

Таблица 4.1 Таблица приближений для выбора параметра V

Величины, входящие в уравнение устойчивости

Приближения 1 2 3 4 5

V 3,817 3,95 3,97 3,972 3,97203 2

1

( ) tg( ) 2

3(tg )

V VV

V V

-1,29 -1,876 -1,98821 -1,99988 -2,00005

В первом приближении примем значение 3,817V , что соответствует

среднему значению диапазона. Для 3,817V значение 1( )V = –1,29. Во

втором приближении 3,95V , а значение 1( )V = –1, 876. В результате в

пятом приближении находим значение V = 3,97203 (точность приближения 0,00005). Критическое значение силы крР определим по формуле:

2 2кр кр 2 2 2

3,97203 15,777EJ EJ EJ

Р Vl l l

.

72

4.2. Расчет устойчивости плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна двум

Плоская статически неопределимая рама нагружена силами 1Р и 2Р ,

вызывающими центральное сжатие стержней (рис. 4.6).


Материал стержней одинаков (модуль упругости E = const). Требуется:

1) определить степень кинематической неопределимости плоской рамы; 2) построить основную систему путем введения дополнительных связей для жестких узлов, задав им направления возможных перемещений; 3) построить эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений жестких узлов; 4) определить коэффициенты i jr , которые представляют собой реакции во

введенных связях от единичных перемещений этих связей; 5) записать уравнение устойчивости и путем подбора определить критические значения параметра крV для сжатых стержней рамы: 1крV , 2крV ;

6) определить значения критических сил 1крР и 2крР , при которых плоская

рама теряет устойчивость. Исходные данные:

1) сила 1Р , сжимающая левую стойку, в два раза больше силы 2Р ,

сжимающей правую стойку: 1 22Р Р ;

2) высота левой стойки 1h = 4 м; высота правой стойки 2h = 3 м;

расстояние между стойками l = 3 м; 3) осевые моменты инерции 1J и 2J поперечных сечений стоек равны

между собой: 1J = 2J ; осевой момент инерции 3J поперечных сечений

горизонтального стержня равен 3J = 1,25 1J .

73

Решение. Степень кинематической неопределимости плоской рамы Общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов

стержневой системы n определяет степень кинематической неопределимости стержневой системы.

Степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n = nу + nл ,

где nу – число неизвестных углов поворота жестких узлов; nл – число неизвестных линейных перемещений этих узлов.

За жесткий узел принимаются: сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира

Плоская рама (рис. 4.7) имеет один жесткий узел 1. При потере устойчивости узел 1 повернется на угол z1 и вместе с узлом 2 переместится на величину z2 (рис. 4.8).



Следовательно, nу = 1 и nл = 1, а степень кинематической неопределимости плоской рамы n = nу + nл = 1 + 1 = 2.

Построение основной системы путем введения дополнительных связей для жестких узлов, задав им направления возможных перемещений

Основная система строится путем введения дополнительных связей для жесткого узла 1. Этим связям задаются направления возможных перемещений узла 1. Так как линейные перемещения узлов 1 и 2 одинаковы, то вторую дополнительную связь можно ввести на узел 2.

Основная система и направления возможных перемещений жесткого узла 1 показаны на рис. 4.8: z1 – угловое перемещение узла 1, z2 – линейное перемещение узла 1 вместе с узлом 2.

Построение эпюр изгибающих моментов от единичных перемещений жесткого узла 1


74

При линейном перемещении узла 1 вместе с узлом 2 (их линейные перемещения одинаковы, так как мы пренебрегаем продольными деформациями стержней) изгибающие моменты возникнут в вертикальном стержне 0-1 и в вертикальном стержне 2-3.

Построим эпюры изгибающих моментов 1M , 2M для стержней рамы,

изгибающие моменты в которых зависят от единичного перемещения узла

1 (эпюра 1M ), узла 2 (эпюра 2M ).

Для построения эпюры 1M от единичного перемещения узла 1

используем эпюры от единичного углового перемещения опоры типа «заделка» таблицы 2.1.




соответствующая ей эпюра изгибающего момента zM при отсутствии

силы, сжимающей стержень. Эпюры изгибающих моментов в стержнях 0-1 и 1-2 от единичного


представлены на рис. 4.9.



Первый индекс в 11r и 21r обозначает реакцию в связи какого узла (1

или 2), а второй индекс обозначает возникновение этой реакции от единичного углового перемещения узла 1. Учитываем, что реакции

201 4 22

2

6( )

EJH V

h , 2

01 3 22

2( )

EJM V

h , где 2

2 22

PV h

EJ .

75








представлены на рисунке 4.10. Учитываем, что реакции

132 1 13

1

3( )

EJH V

h , 2

02 2 232

12( )

EJH V

h , где 1

1 11

PV h

EJ , 2

2 22

PV h

EJ .

Определение коэффициентов i jr , которые представляют собой

реакции во введенных связях от единичных перемещений этих связей Определение коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r , которые представляют


Используем схему на рис. 4.9 и вырежем узел 1 (рис. 4.11).



0iM , 3 211 2 2

2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l h , 3 2

11 2 22

3 4( )

EJ EJr V

l h .


0iX , 21 01 0r H , 221 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

21 4 222

6( )

EJr V

h .

76

Используя схему на рис. 4.10, вырежем узел 1 (рис. 4.12).



0iM , 212 4 22

2

6( ) 0

EJr V

h , 2

12 4 222

6( )

EJr V

h .


0iX , 22 32 02 0r H H , 1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( ) 0

EJ EJr V V

h h ,

1 222 1 1 2 23 3

1 2

3 12( ) ( )

EJ EJr V V

h h , 1

1 11

PV h

EJ .

Формирование уравнения устойчивости Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю

неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов 11r , 21r , 22r и 12r должен быть равен нулю:

11 12

21 22

r rD

r r = 0,

3 2 22 2 4 22

2 2

2 1 24 2 1 1 2 22 3 3

2 1 2

3 4 6( ) ( )

6 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJV V

l h hD

EJ EJ EJV V V

h h h

= 0.

Раскрыв детерминант, получим уравнение устойчивости:

3 2 1 22 2 1 1 2 23 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJ EJV V V

l h h h

–

– 2 24 2 4 22 2

2 2

6 6( ) ( )

EJ EJV V

h h

= 0,

22 2

2

PV h

EJ , 1

1 11

PV h

EJ .

77

Основной задачей расчета устойчивости является определение критической силы Pкр. Если на систему действует несколько сил, определять их критические значения одновременно довольно трудно. Поэтому одну из сил (обычно наибольшую) принимают за основную и обозначают как P. Остальные силы выражают в долях от основной силы Р.

Тогда вместо определения нескольких критических сил можно определять только одну (наибольшую).

Наибольшей силой является сила 1P . Примем, что 1P Р , а

2 1 1 1P Р Р , где 1 0,5 (по исходным данным 1 22Р Р ).

Учитываем, что изгибная жесткость стержней может различна. Поэтому целесообразно обозначить осевой момент поперечного сечения

1J J , а осевые моменты других стержней ( 2J , 3J ) выразить в

соотношении к осевому моменту 1J J :

2 2J J , 2 2 1/J J = 1 (по исходным данным 2 1J J J ),

3 3J J , 3 3 1/ 1,25J J (по исходным данным 3 11,25 1,25J J J ).

В этом случае параметр 1V можно принять за основной и обозначить

как 1V V 1

Ph

EJ. Параметр 2V по отношению к параметру V

определится как

22 2

2

PV h

EJ = 1

22

Рh

EJ

= 2 11

1 2

h Рh

h EJ

= pk V , где 2 1p

1 2

hk

h

.

По исходным данным имеем 1h = 4 м; 2h = 3 м. Коэффициенты

1 0,5 ; 2 2 1/J J = 1. Тогда коэффициент pk определится как

2 1p

1 2

3 0,50,53

4 1

hk

h

.

С учетом данных равенств уравнение устойчивости преобразуется к виду:

3 2 22 p 1 2 p3 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )

EJ EJ EJ EJk V V k V

l h h h

–

– 2 24 p 4 p2 2

2 2

6 6( ) ( )

EJ EJk V k V

h h

= 0.

Сокращая на 2( )EJ , получим

78

3 2 22 p 1 2 p3 3

2 1 2

3 4 3 12( ) ( ) ( )k V V k V

l h h h

–

2

24 p2

2

6( )k V

h

= 0.

Здесь учитываем, что

1( )V = 3( )

3(tg )

V

V V,

3

p

2 p

p p

/ 2( )

3[tg / 2 / 2]

k Vk V

k V k V

,

2

p p

4 p

p p

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

k V k Vk V

k V k V

, p p p

3 pp p p

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

k V k V k Vk V

k V k V k V

,

2 p 4 p 3 p

3 1( ) ( ) ( )

2 2k V k V k V

.

Обозначим сомножители в уравнении устойчивости:

23 22 p 11 11

2

3 4( ) / ( )k V r EJ r

l h

;

221 2 p 22 223 3

1 2

3 12( ) ( ) / ( )V k V r EJ r

h h

; 224 p 12 122

2

6( ) / ( )k V r EJ r

h

.

Тогда уравнение устойчивости примет вид

211 22 12 0r r r .

Определение путем подбора критических значений параметра крV

для сжатых стержней рамы: 1крV , 2крV


Уравнение устойчивости может содержать множество корней (значений V), каждое из которых определяет критическую силу Pкр и соответствует определенной форме потери устойчивости стержней рамы. Важно определить наименьшее значение критической силы, которое будет иметь место при минимальном значении V = Vmin.

При определении неизвестного параметра V путем подбора важно знать возможный диапазон значений этого параметра.

Рассмотрим левую стойку плоской рамы (рис. 4.13, а) и сравним ее с консольной стойкой таких же размеров (рис. 4.13, б).

79

а) б) в)

Рис. 4.13. Схемы нагружения плоской рамы и стоек: (схема а) – плоская рама; (схема б) – консольная стойка; (схема в) – стойка с шарнирной опорой и защемлением

Очевидно, что сила 1P Р , сжимающая стойку и достигшая

критического значения, будет больше критической силы для консольной

стойки, которая равна Pкр = 2

21(2 )

EJ

h

.

В то же время критическая сила для консольной стойки с защемлением и шарнирной опорой на другом конце, которая не допускает

линейного перемещения узла 2 (рис. 4.13, в), равна Pкр = 2

21(0,7 )

EJ

h

.

Так как V 1 /h P EJ , то, принимая для консольной стойки

(рис. 4.13, б)

Р = 2 21/ (2 )EJ h ,

получим нижнее значение диапазона значений для V :

2

н 1 21

1

(2 ) 2

EJV h

h EJ

.

Для консольной стойка с защемлением и шарнирной опорой на

другом конце (рис. 4.13, в), принимая P = 2

21(0,7 )

EJ

h

, получим верхнее

значение диапазона значений для V : 2

в 1 21

11,428

(0,7 ) 0,7

EJV h

h EJ

.

Таким образом, для рассматриваемой схемы рамы (рис. 4.13) диапазон, в котором определяется критическая величина крV , следует

принять равным

80

кр/ 2 1,428V или кр1,57 4,48V .

Обратимся вновь к уравнению устойчивости:

211 22 12 0r r r , где 2

12 4 p22

6( )r k V

h

,

3 211 2 p

2

3 4( )r k V

l h

, 222 1 2 p3 3

1 2

3 12( ) ( )r V k V

h h

.

Если учесть, что для рассматриваемой задачи

33 3 1,251,25

3l

; 2

2

4 4 11,333

3h

;

3 31

3 30,0469

4h ;

23 32

12 120,4444

3h

; 2

2 22

6 60,6666

3h

,

то 11 2 p1,25 1,333 ( )r k V , 22 1 2 p0,0469 ( ) 0,444 ( )r V k V ,

12 4 p0,6666 ( )r k V .

В уравнении устойчивости 211 22 12 0r r r слагаемое 2

12( )r всегда

отрицательное. Поэтому выбор параметра V в диапазоне его возможных значений следует осуществлять таким образом, чтобы произведение 11 22r r

было положительным и конечном итоге приводило к такому значению, при

котором детерминант 211 22 12D r r r был близок нулю: 2

11 22 12 0D r r r .

Чтобы оценить степень приближения D к нулю, целесообразно левую

и правую части уравнения устойчивости 211 22 12 0r r r разделить на 2

12r :

211 22 12/ 1 0r r r .

Тогда, например, задав степень приближения D к нулю менее 0,5 %, можно

ограничить число приближений при 211 22 12/ 1 0,005D r r r .

Так как диапазон, в котором определяется критическая величина крV ,

равен кр1,57 4,48V , то первое приближение для параметра V примем

вблизи среднего значения диапазона: V = 3,0. Для выбора параметра V построим таблицу приближений (см. таблицу

4.2). В первой колонке приведены величины, входящие в уравнение устойчивости, и формулы для их расчета.

81

Таблица 4.2 Таблица приближений для выбора параметра V


Приближения 1 2 3 4 5

2 1p

1 2

3 0,50,53

4 1

hk

h

0,53 0,53 0,53 0,53 0,53

V1 = V 3,0 3,2 3,1 3,15 3,149 V2 = p 0,53k V V 1,59 1,696 1,643 1,6695 1,66897

3

1

( )( )

3(tg )

VV

V V

-2,86392 -3,47687 -3,1609 -3,31635 -3,31319

3

p

2 p

p p

/ 2( )

3 tg2 2

k Vk V

k kV V

0,74609

0,711341

0,729161

0,720323

0,720501

2

p p

4 p

p p

/ 2 tg / 2( )

3 tg2 2

k V k Vk V

k kV V

0,957028

0,951042

0,954115

0,952592

0,952622

p p p3 p

p pp

( sin )( )

4sin tg2 2

k V k V k Vk V

k kk V V V

1,045746

1,052584

1,049058

1,050802

1,050767

4 p 3 p2 p

3 ( ) ( )( )

2

k V k Vk V

0,912668 0,900271 0,906643 0,903487 0,90355

11 2 p1,25 1,333 ( )r k V 2,466737 2,450062 2,458555 2,454348 2,454433

22 1 2 p0,0469 ( ) 0,444 ( )r V k V 0,197087 0,15277 0,175501 0,164286 0,164513

12 4 p0,667 ( )r k V 0,638374 0,634345 0,636395 0,635379 0,635399

11 222

12

1r r

Dr

0,192973 -0,06982 0,065386 -0,00121 0,000137

Коэффициент pk для рассматриваемой задачи уже определен и

остается постоянным на последующих приближениях:

2 1p

1 2

3 0,50,53

4 1

hk

h

.

Параметры V1 = V и V2 = p 0,53k V V вычисляются для любого

приближения в зависимости от принятого значения V. В частности, при первом приближении, когда V = 3, величина V1 = 3, а

V2 = 1,59 (см. таблицу 4.2, колонка первого приближения).

82

Величины 1( )V , 2 p( )k V , 4 p( )k V , 3 p( )k V , 2 p( )k V могут быть

вычислены либо по приведенным в 1-й колонке формулам: 3

1

( )( )

3(tg )

VV

V V

,

3

p

2 pp p

/ 2( )

3 tg2 2

k Vk V

k kV V

,

2

p p

4 pp p

/ 2 tg / 2( )

3 tg2 2

k V k Vk V

k kV V

, p p p3 p

p pp

( sin )( )

4sin tg2 2

k V k V k Vk V

k kk V V V

,

4 p 3 p2 p

3 ( ) ( )( )

2

k V k Vk V

.

Таблица приближений может быть составлена в системе Excel, и процесс вычисления указанных выше величин может быть автоматизирован.

Таким образом, в пятом приближении V = крV = 3,149 дает значение

слагаемого 211 22 12( ) /r r r , отличающееся от единицы на величину 0,000137.

Погрешность решения уравнения устойчивости путем последовательных приближений составляет всего 0,0137 %.

После определения крV можно найти критические значения параметров

1крV и 2крV для вертикальных стержней. Принимаем значение

1кр кр 3,149V V ; 2кр р кр кр0,53 1,669V k V V .

Определение критических сил 1крР и 2крР

Критические значения сил 1крР и 2крР определим по формулам:

2 21 11кр 1кр 12 2

1

3,149 0,6194

EJ EJР V EJ

h ,

2 22 22кр 2кр 22 2

2

1,667 0,3093

EJ EJР V EJ

h .

Процедура определения критического значения сил 1крР и 2крР по

справочным данным Для определения величин 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 4 ( )V , 3( )V ,

2 ( )V в зависимости от параметра V по справочным данным составим

таблицу 4.3 для рассматриваемого диапазона 1,57 4,48V .

83

Таблица 4.3

Функции 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 2 ( )V , 3 ( )V , 4 ( )V для анализа устойчивости

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3( )V 4 ( )V

1,55 0,026678 0,759044 0,827511 0,917261 1,043235 0,959252

1,570796 0 0,752515 0,822467 0,914948 1,044498 0,958131

1,6 -0,0381 0,743197 0,81523 0,911641 1,04631 0,95653

1,65 -0,10508 0,72684 0,802416 0,905815 1,049515 0,953715

1,7 -0,17428 0,709973 0,78905 0,899781 1,052856 0,950806

1,75 -0,24572 0,692594 0,775116 0,893536 1,056335 0,947802

1,8 -0,31941 0,674703 0,760592 0,887077 1,059957 0,944703

1,85 -0,39538 0,6563 0,745457 0,8804 1,063726 0,941509

1,9 -0,47365 0,637384 0,729688 0,873502 1,067647 0,938217

1,95 -0,55424 0,617952 0,713259 0,866379 1,071724 0,934827

2 -0,63719 0,598006 0,696143 0,859028 1,075963 0,93134

2,05 -0,72252 0,577544 0,678311 0,851444 1,080369 0,927752

2,1 -0,81027 0,556565 0,659731 0,843624 1,084947 0,924065

2,15 -0,90046 0,535068 0,640369 0,835562 1,089704 0,920276

2,2 -0,99315 0,513052 0,620186 0,827255 1,094646 0,916385

2,25 -1,08836 0,490516 0,599142 0,818697 1,099779 0,912391

2,3 -1,18614 0,467459 0,577193 0,809884 1,105111 0,908293

2,35 -1,28654 0,443881 0,55429 0,800809 1,110648 0,904089

2,4 -1,38962 0,419779 0,53038 0,791468 1,1164 0,899779

2,45 -1,49543 0,395152 0,505404 0,781854 1,122374 0,895361

2,5 -1,60403 0,370001 0,4793 0,771961 1,12858 0,890834

2,55 -1,7155 0,344322 0,451995 0,761782 1,135026 0,886197

2,6 -1,82992 0,318115 0,423413 0,751311 1,141722 0,881448

2,65 -1,94737 0,291379 0,393468 0,740541 1,14868 0,876587

2,7 -2,06794 0,264112 0,362063 0,729462 1,15591 0,871612

2,75 -2,19174 0,236312 0,329094 0,718069 1,163424 0,86652

2,8 -2,31889 0,207979 0,294441 0,706351 1,171235 0,861312

2,85 -2,44953 0,17911 0,257972 0,6943 1,179356 0,855985

2,9 -2,5838 0,149705 0,219538 0,681906 1,187801 0,850538

2,95 -2,72186 0,11976 0,178971 0,66916 1,196586 0,844969

3 -2,86392 0,089276 0,136081 0,65605 1,205727 0,839276

3,05 -3,01018 0,058249 0,090651 0,642565 1,215242 0,833457

3,1 -3,1609 0,026678 0,042434 0,628693 1,225148 0,827511

3,141593 -3,28987 0 0 0,61685 1,233701 0,822467

3,15 -3,31635 -0,00544 -0,00885 0,614422 1,235465 0,821436

3,2 -3,47687 -0,0381 -0,06353 0,599738 1,246215 0,81523

3,25 -3,64282 -0,07132 -0,12199 0,584626 1,25742 0,808891

3,3 -3,81466 -0,10508 -0,18466 0,569072 1,269103 0,802416

3,35 -3,9929 -0,13941 -0,25206 0,553058 1,281292 0,795803

84

Окончание табл. 4.3

V 1( )V 2 ( )V 1( )V 2 ( )V 3 ( )V 4 ( )V

3,35 -3,9929 -0,13941 -0,25206 0,553058 1,281292 0,795803

3,4 -4,17814 -0,17428 -0,32481 0,536569 1,294014 0,78905

3,45 -4,37113 -0,20972 -0,40363 0,519584 1,307298 0,782156

3,5 -4,57273 -0,24572 -0,48939 0,502085 1,321178 0,775116

3,55 -4,78399 -0,28228 -0,58316 0,484051 1,335686 0,767929

3,6 -5,00622 -0,31941 -0,68622 0,465457 1,350861 0,760592

3,65 -5,24101 -0,35711 -0,80018 0,446282 1,366744 0,753102

3,7 -5,49036 -0,39538 -0,92703 0,426498 1,383376 0,745457

3,75 -5,75681 -0,43422 -1,06931 0,406077 1,400806 0,737653

3,8 -6,04362 -0,47365 -1,23028 0,384989 1,419085 0,729688

3,85 -6,35506 -0,51365 -1,41423 0,363202 1,438268 0,721557

3,9 -6,69687 -0,55424 -1,62687 0,34068 1,458416 0,713259

3,95 -7,07684 -0,59542 -1,87601 0,317386 1,479593 0,704789

4 -7,50598 -0,63719 -2,17265 0,293279 1,501872 0,696143

4,05 -8,00021 -0,67956 -2,53271 0,268312 1,525331 0,687319

4,1 -8,58356 -0,72252 -2,98023 0,242439 1,550056 0,678311

4,15 -9,29405 -0,76609 -3,55322 0,215605 1,57614 0,669117

4,2 -10,1956 -0,81027 -4,3156 0,187753 1,603687 0,659731

4,25 -11,4047 -0,85506 -5,38383 0,15882 1,63281 0,65015

4,3 -13,1581 -0,90046 -6,99473 0,128735 1,663636 0,640369

4,35 -16,0229 -0,94649 -9,71539 0,097422 1,696303 0,630382

4,4 -21,7805 -0,99315 -15,3271 0,064797 1,730964 0,620186

4,45 -40,4189 -1,04043 -33,8181 0,030766 1,767792 0,609774

4,5 221,1792 -1,08836 227,9292 -0,00477 1,806977 0,599142

Для выбора параметра V по данным табл. 4.3 построим

соответствующую таблицу приближений 4.4. Коэффициент pk для рассматриваемой задачи уже определен и

остается постоянным на последующих приближениях: p 0,53k .

Параметры V1 = V и V2 = p 0,53k V V вычисляются для любого

приближения в зависимости от принятого значения V. При первом приближении, когда V = 3, величина V1 = 3, а V2 =0,53 0,53 3V = 1,59

(см. таблицу 4.4, колонка первого приближения).

Значение функции 1( )V (см. табл. 4.3) 1 3 1( ) (3)VV = – 2,86392.

Значение функции 2 p 2 2( ) (0,53 ) (1,59)k V V .

Если обратиться к табл. 4.3, то величина 2 2 2(1,57) (1,59) (1,6) . Но по табл. 4.3 значение 2 (1,57) = 0,752515, а значение 2 (1,6) = 0,743197.

85

Таблица 4.4 Таблица приближений для выбора параметра V по данным табл. 4.3


Приближения 1 2 3

2 1p

1 2

3 0,50,53

4 1

hk

h

0,53 0,53 0,53

V1 = V 3,0 3,2 3,146 V2 = p 0,53k V V 1,59 1,696 1,667

1( )V -2,86392 -3,4768 -3,313

2 p( )k V 0,746303 0,71 0,7206

4 p( )k V 0,95758 0,951 0,953

3 p( )k V 1,0457 1,051 1,05

4 p 3 p2 p

3 ( ) ( )( )

2

k V k Vk V

0,91352 0,901 0,9045

11 2 p1,25 1,333 ( )r k V 2,4677 2,451 2,4556

22 1 2 p0,0469 ( ) 0,444 ( )r V k V 0,197 0,1522 0,1645

12 4 p0,6666 ( )r k V 0,6383 0,6339 0,6352 2

11 22 12( ) / 1D r r r 0,1927 -0,071 0,0011

Изменение V от 1, 57 до 1,6 на 0,03 приводит к изменению 2 ( )V на

величину 0,743197 – 0,752515 = (–0,00932). Для 2 (1,59) изменение V от

1,57 до 1,6 составляет 0,02. Полагая, что на этом малом интервале изменение функции 2 ( )V линейное, определим 2 (1,59) как

2 2

(–0,00932)(1,59) (1,57) 0,02

0,03 = 0,752515 – 0,00612 = 0,7463.

Это значение 2 (1,59) 0,746303 внесем в колонку первого

приближения табл. 4.4. Значение функции 4 p 4( ) (1,59)k V . Аналогично, как для функции

2 (1,59) , вычислим значение 4 (1,59) , используя данные табл. 4.3:

4 4

0,95653 0,95813(1,59) (1,57) 0,02 0,95813 0,00053

0,03

= 0,95758.


приближения табл. 4.4.

86

Значение функции 3 p 3( ) (1,59)k V . Аналогично, как для функции

4 (1,59) , вычислим значение 3(1,59) , используя данные табл. 4.3:

3 3

1,04631 1,04449(1,59) (1,57) 0,02 1,04449 +0,00121

0,03

= 1,0457.


приближения табл. 4.4. Значение функции 2 p 2( ) (1,59)k V . Вычислим величину 2 (1,59)

по формуле:

4 32

3 (1,59) (1,59) 3 0,95758 1,0457(1,59)

2 2

= 0,91352.

Это значение 2 (1,59) = 0,91352 внесем в колонку первого

приближения табл. 4.4.

Далее производим вычисления 11r , 22r , 12r , D :

11 2 p 21,25 1,333 ( ) 1,25 1,333 (1,59) 1,25 1,333 0,91352r k V = 2,4677;

22 1 2 p 1 20,0469 ( ) 0,444 ( ) 0,0469 (3) 0,444 (1,59)r V k V

0,0469 ( 2,8639) 0,444 0,7463 0,1343 0,3313 0,197 ;

12 4 p 40,6666 ( ) 0,6666 (1,59) 0,6666 0,9575 0,6383r k V ; 2 2

11 22 12( ) / 1 (2,4677 0,197) / 0,6383 1D r r r = 0,1927.

Полученные значения 11r , 22r , 12r и D внесем в колонку первого

приближения табл. 4.4. Так как D заметно отличается от нуля (причем

0D ), то второе приближение для V, в отличие от первого, примем на 0,2 больше: V = 3,2.

Во втором приближении, когда V = 3,2, величина V1 = V = 3,2, а V2 =0,53 0,53 3,2V = 1,696 (см. табл. 4.4, колонка второго

приближения). Значения функций 1( )V , 2 p 2 2( ) (0,53 ) (1,696)k V V , 4 (1,696) и

3(1,696) определим по данным таблицы 4.3:

1 3,2 1( ) (3,2)VV = – 3,4768; 2 2(1,696) (1,7) 0,71 ;

4 4(1,696) (1,7) 0,951 ; 3 3(1,696) (1,7) 1,051 .

Далее производим вычисления 2 (1,696) , 11r , 22r , 12r , D для второго

приближения:

87

4 32

3 (1,696) (1,696) 3 0,951 1,051(1,696)

2 2

= 0,901;

11 21,25 1,333 (1,696) 1,25 1,333 0,901r = 2,451;

22 1 2 p 1 20,0469 ( ) 0,444 ( ) 0,0469 (3,2) 0,444 (1,696)r V k V

0,0469 ( 3,4768) 0,444 0,71 0,163 0,3152 0,1522 ;

12 4 p 40,6666 ( ) 0,6666 (1,696) 0,6666 0,951 0,6339r k V ; 2 2

11 22 12( ) / 1 (2,451 0,1522) / 0,6339 1D r r r = – 0,071.

Значения 1(3,2) = –3,4768, 2 (1,696) 0,71 , 4 (1,696) 0,951 ,

3(1,696) 1,051 , 2 (1,696) = 0,901, 11 2,451r , 22 0,1522r , 12 0,6339r и

0,071D внесем в колонку второго приближения табл. 4.4.

Теперь D уже приближено к нулю и его значение 0D . Значит

критическое значение Vкр, при котором D = 0, находится в диапазоне значений V от 3,0 до 3,2. Полагая, что в этом диапазоне изменения V

функцию D можно принять линейной, определим Vкр, используя диаграмму на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Диаграмма изменения функции ( )D V в диапазоне изменения V от 3,0 до 3,2

Из подобия треугольников (рис. 4.10) запишем отношение сторон:

кр

кр

3,00,1927

0,071 3,2

V

V

или кр кр0,1927(3,2 ) 0,071( 3,0)V V .

Из полученного равенства следует

кр0,8296 0,2637 V , крV = 3,146.

Проверим полученное значение, приняв в третьем приближении V = крV = 3,146.

Величина V1 = V = 3,146, а V2 =0,53 0,53 3,146V = 1,667 (см. таблицу

4.4, колонка третьего приближения).

88

Значения функций 1( )V , 2 p 2 2( ) (0,53 ) (1,667)k V V , 4 (1,667) и

3(1,667) определим по данным таблицы 4.3:

1 3,146 1 1( ) (3,146) (3,15)VV = – 3,316; 2 (1,667) 0,7206 ;

4 (1,667) 0,953 ; 3(1,667) 1,05 .

Далее производим вычисления 2 (1,667) , 11r , 22r , 12r , D для третьего

приближения:

4 32

3 (1,667) (1,667) 3 0,953 1,05(1,667)

2 2

= 0,9045;

11 21,25 1,333 (1,667) 1,25 1,333 0,9045r = 2,4556;

22 1 2 p 1 20,0469 ( ) 0,444 ( ) 0,0469 (3,146) 0,444 (1,667)r V k V

0,0469 ( 3,316) 0,444 0,7206 0,1554 0,3199 0,1645 ;

12 4 p 40,6666 ( ) 0,6666 (1,667) 0,6666 0,953 0,6352r k V ;

2 211 22 12( ) / 1 (2,451 0,1522) / 0,6339 1D r r r = 0,0011.

Таким образом, в третьем приближении V = крV = 3,146 дает значение

слагаемого 211 22 12( ) /r r r , отличающееся от единицы на величину 0,0011.

Погрешность решения уравнения устойчивости путем последовательных приближений составляет всего 0,11 %.

После определения крV можно найти критические значения параметров

1крV и 2крV для вертикальных стержней. Принимаем значение

1кр кр 3,146V V ; 2кр р кр кр0,53 1,667V k V V .

Определение критических сил 1крР и 2крР

Критические значения сил 1крР и 2крР определим по формулам:

2 21 11кр 1кр 12 2

1

3,146 0,6184

EJ EJР V EJ

h ,

2 22 22кр 2кр 22 2

2

1,667 0,3093

EJ EJР V EJ

h .

89

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ»

1. Какие системы называются статически неопределимыми? 2. В чем отличие метода перемещений от метода сил при расчете

статически неопределимых плоских рам? 3. Какие величины принимаются за неизвестные при расчете статически

неопределимых рам методом перемещений? 4. Что определяет степень кинематической неопределимости плоской

рамы? 5. Чему равна степень кинематической неопределимости плоской рамы? 6. Что представляет собой основная система метода перемещений? 7. Что обозначает nу в формуле для определения степени кинематической

неопределимости плоской рамы? 8. Что обозначает nл в формуле для определения степени кинематической

неопределимости плоской рамы? 9. Что обозначает n в формуле для определения степени кинематической

неопределимости плоской рамы? 10. Что лежит в основе при построении системы канонических уравнений

метода перемещений? 11. Чему равно число канонических уравнений метода перемещений? 12. Что представляет каждое из слагаемых в канонических уравнениях

метода перемещений? 13. Что обозначают величины 1z , 2z , 3z , . . ., nz в канонических уравнениях

метода перемещений, если степень кинематической неопределимости рамы равна n?

14. Что обозначают величины r11, r12, r13, . . ., r1n в канонических уравнениях метода перемещений, если степень кинематической неопределимости рамы равна n?

15. Что обозначают величины R1р, R2р,…, Rnр в канонических уравнениях метода перемещений, если степень кинематической неопределимости рамы равна n?

16. Записать уравнение устойчивости для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна единице (n = 1).

17. Записать уравнение устойчивости для плоской рамы, степень кинематической неопределимости которой равна двум (n = 2).

90

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ «РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ»

Для заданной схемы плоской рамы требуется…

6.1

1) Определить степень кинематической неопределимости плоской рамы.

2) Построить эпюры изгибающих моментов в стержнях плоской рамы от единичного углового перемещения жесткого узла.

3) Построить схему сил, действующих на узел при угловом перемещении жесткого узла.

4) Определить реакцию 11r во введенной связи


6.2






6.3






6.4





91


6.5






6.6






6.7






6.8





92


6.9


2) Построить эпюры изгибающих моментов в стержнях плоской рамы от единичных перемещений жесткого узла.




6.10



3) Построить схему сил, действующих на раму при линейном перемещении жесткого узла.



6.11



3) Построить схему сил, действующих на узел при линейном перемещении жесткого узла.



6.12






6.13





93


6.14






6.15



3) Построить схему сил, действующих на раму при линейном перемещении жесткого узла.



6.16






6.17






6.18





94

Пример выполнения контрольного задания Примеры выполнения контрольного задания по расчету устойчивости плоской

рамы со степенью кинематической неопределимости n =1


1



3) Построить схему сил, действующих на узел при единичном перемещении жесткого узла.

4) Определить реакцию 11r во введенной связи и

составить уравнение устойчивости.

1. Плоская рама имеет один жесткий узел 1, который при потере устойчивости из-за изгиба стойки будет иметь лишь угловое перемещение z1.

Степень кинематической неопределимости плоской рамы равна n =1.

Введем дополнительную связь для жесткого узла, придав жесткому узлу перемещение z1 = 1.

2. При n = 1 строится эпюра изгибающих моментов

1M от единичного перемещения жесткого узла, используя данные таблицы 2.1 (схема 3).

3. Вырежем узел 1 и построим схему сил, действующих на узел при его единичном угловом перемещении. В поперечных сечениях, прилегающих к

жесткому узлу, действуют изгибающие моменты 4EJ

l,

2

4( )

EJV

l и реакция 11r во введенной связи.

4. Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим 11r :

0iM , 11 2

4 4( ) 0

EJ EJr V

l l , 11 2

41 ( )

EJr V

l .

Уравнение устойчивости плоской рамы 2

41 ( )

EJV

l = 0, 2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

.

Учитываем, что,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

, 3

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

V V VV

V V V

.

Уравнение устойчивости плоской рамы принимает вид

2/ 2 tg / 23 1 ( sin )

12 3[tg / 2 / 2] 2 4sin [tg( / 2) / 2]

V V V V V

V V V V V

= 0.

95


2



3) Построить схему сил, действующих на узел при единичном перемещении жесткого узла.

4) Определить реакцию 11r во введенной связи и

составить уравнение устойчивости.

1. Плоская рама имеет один жесткий узел 1, который при потере устойчивости из-за изгиба стойки будет иметь лишь угловое перемещение z1.

Степень кинематической неопределимости плоской рамы равна n = 1.

Введем дополнительную связь для жесткого узла, придав жесткому узлу перемещение z1 = 1.

2. При n = 1 строится эпюра изгибающих моментов

1M от единичного перемещения жесткого узла, используя данные таблицы 2.1 (схемы 1 и 3).

3. Вырежем узел 1 и построим схему сил, действующих на узел при его единичном угловом перемещении.

В поперечных сечениях, прилегающих к жесткому

узлу, действуют изгибающие моменты 3EJ

l,

2

4( )

EJV

l и реакция 11r во введенной связи.

4. Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим 11r :

0iM , 11 2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l l , 11 2

40,75 ( )

EJr V

l .

Уравнение устойчивости рамы 2

40,75 ( )

EJV

l = 0, 2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

.

Учитываем, что,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

, 3

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

V V VV

V V V

.

Уравнение устойчивости плоской рамы принимает вид

2/ 2 tg / 23 1 ( sin )

12 3[tg / 2 / 2] 2 4sin [tg( / 2) / 2]

V V V V V

V V V V V

= 0.

96

Пример выполнения контрольного задания по расчету устойчивости плоской рамы со степенью кинематической неопределимости n = 2


3



3) Построить схему сил, действующих на раму или узел при единичных перемещениях жесткого узла.

4) Определить реакции 11r , 21r и 22r во введенных

связях и составить уравнение устойчивости.

1. Плоская рама имеет один жесткий узел 1, который при потере устойчивости из-за изгиба стойки будет иметь угловое z1 и линейное z2 перемещения.

Степень кинематической неопределимости плоской рамы равна n = 2.

Введем дополнительные связи для жесткого узла, придав жесткому узлу перемещения z1 = 1 и z2 = 1.

При n = 2 строятся эпюры изгибающих моментов 1M

и 2M от единичных перемещений z1 и z2 жесткого узла.

2. Строится эпюра изгибающих моментов 1M от единичного углового перемещения z1 жесткого узла, используя данные таблицы 2.1 (схема 3 для стойки и схема 1 для горизонтального стержня). Запишем уравнение равновесия в виде равенства

нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на раму, и определим коэффициент 21r :

0iX , 21 42

6( ) 0

EJr V

l , 21 42

6( )

EJr V

l .

3. Вырежем узел 1 и построим схему сил, действующих на узел при его единичном угловом перемещении z1 жесткого узла. В поперечных сечениях, прилегающих к жесткому узлу, действуют изгибающие

моменты 3EJ

l, 2

4( )

EJV

l и реакция 11r во введенной

связи. 4. Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил,

действующих на узел, и определим 11r :

0iM , 11 2

3 4( ) 0

EJ EJr V

l l , 11 2

40,75 ( )

EJr V

l .

Учитываем, что, 2 4 3

3 1( ) ( ) ( )

2 2V V V

,

2

4

/ 2 tg / 2( )

3[tg / 2 / 2]

V VV

V V

,

3

( sin )( )

4sin [tg( / 2) / 2]

V V VV

V V V

.

97

5. Строится эпюра изгибающих моментов 2M от единичного линейного перемещения z2 жесткого узла, используя данные таблицы 2.1 (схема 4). Запишем уравнение равновесия в виде равенства

нулю суммы проекций на ось х сил, действующих на раму, и определим коэффициент 22r :

0iX , 22 23

12( ) 0

EJr V

l , 22 23

12( )

EJr V

l ,

3

2

/ 2( )

3[tg / 2 / 2]

VV

V V

.

6. Составим схему сил, действующих на узел 1 при линейном перемещении узла 1. Запишем уравнение равновесия узла в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на узел, и определим 12r :

0iM , 12 42

6( ) 0

EJr V

l , 12 42

6( )

EJr V

l .

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов 11r , 21r = 12r и 22r должен быть равен нулю:

11 12

21 22

r rD

r r = 0. Раскрыв детерминант, получим уравнение устойчивости: 2

11 22 12 0r r r .

Учитывая, что 11 2

40,75 ( )

EJr V

l , 12 42

6( )

EJr V

l , 22 23

12( )

EJr V

l , получим

уравнение устойчивости в виде

2

2 2 43 2

4 12 60,75 ( ) ( ) ( ) 0

EJ EJ EJV V V

l l l

.

Преобразуем данное уравнение:

22 2 44

12( )4 0,75 ( ) ( ) 3 ( ) 0

EJV V V

l или 2

2 2 44 0,75 ( ) ( ) 3 ( )V V V = 0.

98

7. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ «РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ»

Техническое задание Плоская статически неопределимая рама нагружена силами 1Р и 2Р ,

вызывающими центральное сжатие стержней (рис. 7.1 – 7.5). Материал стержней одинаков (модуль упругости E = const). Требуется:

1) определить степень кинематической неопределимости плоской рамы; 2) построить основную систему путем введения дополнительных связей для жестких узлов, задав им направления возможных перемещений; 3) построить эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений жестких узлов; 4) определить коэффициенты i jr , которые представляют собой реакции во

введенных связях от единичных перемещений этих связей; 5) записать уравнение устойчивости и путем подбора определить критические значения параметра крV для сжатых стержней рамы: 1крV , 2крV ;

6) определить значения критических сил 1крР и 2крР , при которых плоская

рама теряет устойчивость.

99

Схема , м , м l , м k J E

1

4 kh1 4 1,25 2 const const

2

4 4 4 1,25 2 const const

3


4


5


6


Рис. 7.1. Схемы нагружения плоских рам (варианты 1 – 6)

1h2h 1 2/P P

100


7

kh2 4 4 1,25 2 const const

8


9


10


11


12



1h2h 1 2/P P

101

Схема , м , м l , м к J E

13


14

4 4 4 - 2 const const

15


16


17



1h2h 1 2/P P

102


18


19


20


21


22


23



1h2h 1 2/P P

103


24


25


26


27


28


29



1h2h 1 2/P P

104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебном пособии представлены основные положения расчета устойчивости центрально-сжатых стержней и плоских статически неопределимых рам.

Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое представляет собой потерю устойчивости. Границу этого перехода называют критическим состоянием, а соответствующие ему нагрузки – критическими. Расчет на устойчивость проводят либо для определения величины критической нагрузки для отдельных стержней, либо для исследования устойчивости сооружения в целом с помощью критического параметра.

В учебном пособии рассмотрены задачи, когда в узлах плоской рамы приложены внешние силы, вызывающие только центральное сжатие стержней.

Рассмотрена устойчивость прямых сжатых стержней (статически определимых и статически неопределимых): устойчивость статически определимого стержня на шарнирных опорах, устойчивость статически определимого стержня с защемлением на торце, устойчивость статически неопределимого стержня с защемлением и шарнирной опорой, устойчивость статически неопределимого стержня с защемлениями на торцах.

В зависимости от схемы закрепления стержня в опорах определены

значения параметра P

V lEJ

и коэффициента приведения длины (здесь

Р – сила, сжимающая стержень; EJ – изгибная жесткость поперечных сечений относительно оси минимум; l – длина стержня).

Определены реакции в связях сжато-изогнутого стержня от единичных перемещений этих связей:

реакции в опорах стержня с защемлением и шарнирной опорой при единичном повороте защемления и действии силы Р, сжимающей стержень;

реакции в опорах стержня с защемлением и шарнирной опорой при единичном перемещении одной из опор в направлении, перпендикулярном продольной оси, и действии силы Р, сжимающей стержень;

реакции в опорах стержня, защемленного по торцам, при единичном повороте одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень;

105

реакции в опорах стержня, защемленного по торцам, при единичном перемещении одного из защемлений и действии силы Р, сжимающей стержень.

Составлена таблица, в которой приведены расчетные схемы сжатых стержней при единичных перемещениях опоры типа «заделка», эпюры

изгибающих моментов zM в поперечных сечениях стержня при единичном

перемещении защемления В и расчетные формулы для определения опорных реакций.

Составлена таблица для определения величин уравнений устойчивости 1( )V , 2 ( )V , 1( )V , 4 ( )V , 3( )V , 2 ( )V в зависимости от

параметра V (шаг изменения параметра V составляет всего 0,05). Рассмотрена процедура расчета устойчивости плоской рамы методом

перемещений, связанная с выбором основной системы и формированием уравнения устойчивости, определением коэффициентов уравнения устойчивости плоских рам (степень кинематической неопределимости плоских рам n = 1 и n = 2).

Моменту потери устойчивости соответствует неравенство нулю неизвестных перемещений. Следовательно, детерминант из коэффициентов

i jr должен быть равен нулю ( i jr – реакции во введенных связях от

единичных перемещений этих связей). Рассмотрены примеры определения коэффициентов i jr уравнения

устойчивости плоских рам (степень кинематической неопределимости плоских рам n = 1 и n = 2).

Рассмотрены примеры расчета устойчивости плоских рам (степень кинематической неопределимости плоских рам n = 1 и n = 2), включающие следующие этапы:

определение степени кинематической неопределимости плоской рамы; построение основной системы путем введения дополнительной связи

для жесткого узла, задав им направления возможных перемещений; построение эпюры изгибающих моментов от единичного

перемещения жесткого узла; определение коэффициентов i jr , которые представляют собой реакции

во введенных связях от единичных перемещений этих связей; вывод уравнения устойчивости и путем подбора определение

критического значения параметра крV для сжатого стержня рамы;

106

определение значения критической силы крР , при котором плоская

рама теряет устойчивость. Подробное изложение материала направлено на представление более

полной информации при самостоятельной работе по теме. Даны расчетные схемы статически неопределимых плоских рам,

которые могут быть использованы для выдачи контрольных заданий для расчета устойчивости плоских рам методом перемещений.

107

ГЛОССАРИЙ Балка – стержень, работающий на изгиб.

Внешние связи – материальные тела, ограничивающие перемещения тех или иных точек рассматриваемой системы, но не входящие в эту систему (например, опоры балки).

Внутренние связи – ограничения, которые не позволяют элементам системы произвольно смещаться друг относительно друга.

Внутренние силы – реакции внутренних связей.

Внутренние силовые факторы – составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил в поперечном сечении стержня (продольная сила, поперечные силы, крутящий момент, изгибающие моменты).

Геометрически неизменяемая система – система, изменение формы которой возможно только в результате деформации ее элементов.

Деформация – изменение формы и размеров тела при его нагружении.

Деформация упругая – деформация, которая исчезает после удаления нагрузки, действующей на тело.

Жесткий узел – сопряжения двух или нескольких стержней, в которых нет сквозного шарнира; сопряжения двух или нескольких стержней, в которых расположен присоединенный шарнир. В число жестких узлов не входят узлы с известными по условию задания перемещениями – жесткие закрепления и узлы с заданными перемещениями.

Единичная сила – безразмерная величина, равная единице, вычислительные операции с которой проводятся как с физической величиной, соответствующей силе.

Изгиб – вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты.

Изгибающий момент – момент элементарных внутренних сил, действующих по элементарным площадкам сечения, относительно оси, лежащей в плоскости поперечного сечения стержня.

Кинематический анализ – анализ, ставящий целью выяснить геометрическую неизменяемость сооружения. Геометрическая неизменяемость сооружения обеспечивается в том случае, если степень свободы сооружения равна нулю.

Метод сечений – метод определения внутренних сил, основанный на сечении тела плоскостью, отбрасывании какой-либо отсеченной части тела и заменой действия отброшенной части реакциями связей (внутренними силами).

Однопролетная статически определимая балка – статически определимая геометрически неизменяемая балка (с консолями или без консолей), установленная на опорных стержнях, для которых расстояние между опорными вертикалями определяет пролет балки.

Опора типа защемления (заделки) – опора, исключающая линейные и угловые перемещения поперечного сечения стержня в зоне защемления (заделки).

108

Опора шарнирно-неподвижная – опора, исключающая линейные перемещения поперечного сечения стержня в зоне сопряжения с опорой.

Опора шарнирно-подвижная – опора, исключающая линейное перемещение поперечного сечения стержня в направлении связи этой опоры.

Опорный стержень – стержень, исключающий линейное перемещение точки контакта с рассматриваемым телом (балка, рама и т. д.) в направлении опорного стержня.

Основная система метода перемещений – система в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок, полученная путем введения дополнительных угловых и линейных связей на соответствующие неизвестные угловые перемещения «жестких» узлов и неизвестные линейные перемещения узлов заданной статически неопределимой системы.

Ось стержня – геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений.

Поперечное сечение стержня – плоская фигура, контуром которой является линия пересечения со стержнем плоскости, перпендикулярной к продольной оси стержня.

Принцип суперпозиции – результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов от действия каждой силы в отдельности.

Продольная ось стержня – линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений стержня.

Продольная сила – равнодействующая внутренних сил, действующих по элементарным площадкам сечения перпендикулярно плоскости этого сечения.

Прочность – способность материала или конструкции воспринимать различные воздействия (нагрузки, температурные перепады, просадки грунтов и т. д.), не разрушаясь, или не приводить к возникновению необратимых (остаточных) деформаций.

Прямой стержень – стержень, ось которого представляет прямую линию.

Рама – балка с ломаной осью.

Статика сооружений изучает их функционирование при статическом действии нагрузки.

Статически определимыми называются стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить с помощью уравнений равновесия (уравнений статики).

Статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия.

Стержень – элемент, у которого один размер (длина) значительно больше других.

Степень кинематической неопределимости системы – общее число неизвестных угловых и линейных перемещений узлов стержневой системы.

109

Степень статической неопределимости системы – число лишних связей, удаление которых оставляет систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему.

Строительная механика – учебная дисциплина, в которой представлены инженерные методы статических и динамических расчетов сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.

Упругой линией стержня называется изогнутая продольная ось стержня при упругом деформировании.

Устойчивость – это способность элементов конструкций сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Шарнирное соединение стержней – соединение стержней, допускающее взаимный поворот сопряженных поперечных сечений.

Эпюра изгибающего момента – график изменения изгибающего момента по длине стержня, построенный совместно с расчетной схемой. Ордината эпюры показывает значение изгибающего момента в том поперечном сечении, где ордината пересекает линию, параллельную продольной оси.

110

РЕКОМЕДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дарков, А.В. Строительная механика / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. − Санкт-Петербург : Лань, 2004. − 656 с.

2. Дарков, А.В. Строительная механика / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. − Москва : Высш. шк., 2000. − 630 с.

3. Снитко, Н.К. Строительная механика / Н.К. Снитко. − Москва : Высш. шк., 1989. − 187 с.

4. Манжосов, В.К. Строительная механика. Статически неопределимые плоские рамы (статика, динамика) : учебное пособие / В.К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – 156 с.

5. Манжосов, В. К. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений : методические указания / В.К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2007. – 48 с.

6. Черный, А.Н. Расчет плоской рамы методом перемещений : методические указания / А.Н. Черный. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. − 20 с.

111

Учебное электронное издание

МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ И ПЛОСКИХ РАМ

Учебное пособие

Редактор Н. А. Евдокимова

Дата подписания к использованию 28.06.2019. ЭИ № 1286. Объем данных 2,03 Мб. Заказ 676.

Ульяновский государственный технический университет,

432027, Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32

Тел.: (8422) 778-113

E-mail: [email protected] venec.ulstu.ru

ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2017/507.pdf · 2 УДК 624.04(075) ББК 38.112я7 М 23...

Documents

Transcript of ulstu.ruvenec.ulstu.ru/lib/disk/2017/507.pdf · 2 УДК 624.04(075) ББК 38.112я7 М 23...