Uji Deret Positif - WordPress.com · Apakah deret berikut konvergen Uji deret ganti-tanda tidak...
Transcript of Uji Deret Positif - WordPress.com · Apakah deret berikut konvergen Uji deret ganti-tanda tidak...
DERET POSITIF lanjutan
Kalkulus Lanjut
Oleh: Fiki Alghadari
Uji Banding Limit
Teorema: Andaikan . , dan
Apabila , maka
dan bersama-sama akan konvergen atau divergen. Apabila
dan konvergen, maka konvergen.
0na 0nb
Lb
a
n
n
n
lim
L0 na
nb
0L
nb na
Lanjutan …
Perhatikan
Contoh 4: Apakah konvergen atau divergen.
Bandingkan dengan deret
Bandingkan dengan deret
12
ln
n n
n
12
1
n n
1
1
n n
Lanjutan …
Berdasarkan teorema uji limit banding dan contoh sebelum bagian ini, konvergen atau divergen deret yang akan di uji harus bersesuaian dengan konvergen atau divergennya deret pembanding.
Lanjutan …
Berbeda dengan uji deret berikut. Uji deret berikut tidak memerlukan pengetahuan tentang konvergen atau tidaknya deret pembanding.
Uji Hasilbagi
Teorema: Andaikan sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
(i) Jika deret konvergen
(ii) Jika deret divergen
(iii) Jika , pengujian ini tidak memberi kepastian.
na
pa
a
n
n
n
1lim
1p
1p
1p
Lanjutan …
Perhatikan contoh sebelumnya, uji kekonvergenan suatu deret dibandingkan dengan dan .
Pengujian tidak memberikan kepastian karena menurut uji hasilbagi bahwa kedua deret ini memiliki nilai
12
1
n n
1
1
n n
1lim 1
n
n
n a
a
Lanjutan …
Karakteristik uji hasilbagi adalah menguji kekonvergenan deret yang mengandung , , atau . !n
nrnn
Lanjutan …
Silahkan latihan soal-soal
DERET GANTI TANDA
Kalkulus Lanjut
Oleh: Fiki Alghadari
Pendahuluan
Ada suatu bentuk deret
Contoh
Deret di atas adalah harmonik ganti tanda.
...4321 aaaa
...4
1
3
1
2
11
Lanjutan Perhatikan
Apabila jumlah parsial berindex genap dipisah dengan jumlah parsial berindex ganjil.
Jumlah parsial berindex genap naik dan terbatas di atas, konvergen, dengan limit misal .
Jumlah parsial berindex ganjil turun dan terbatas di bawah, konvergen dengan limit misal .
...4
1
3
1
2
11
'S
"S
Lanjutan …
Berdasarkan ilustrasi bukti geometris, maka
Dengan syarat apabila akan menjamin bahwa sehingga deret akan konvergen menuju nilai yang sama yaitu .
Oleh karena terletak antara dan , maka
11'" nnn aSSSS
01 na n
"' SS
"' SSS
SnS 1nS
11 nnnn aSSSS
Uji Deret Ganti-tanda
Artinya, diaproksimasi dengan , sehingga ada galat. Berikut teoremanya.
Teorema: Andaikan
Suatu deret ganti-tanda dengan . Apabila
maka deret konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah diaproksimasi dengan jumlah
suku pertama tidak akan melebihi .
SnS
...4321 aaaa
01 nn aa
0lim
nn
a
S
nSn 1na
Lanjutan …
Contoh: Buktikan bahwa deret harmonik ganti tanda konvergen. Berapakah suku yang harus diambil agar selisih antara jumlah deret dan jumlah parsial tidak melebihi 0,01.
S
nS
01
limlim n
an
nn
99
01,01
1
01,0
01,0
1
n
n
a
SS
n
n
Lanjutan …
Silahkan latihan soal-soal
Lanjutan …
Apakah deret berikut konvergen
Uji deret ganti-tanda tidak berlaku untuk deret di atas. Apabila suku-suku diganti dengan nilai mutlaknya maka
dan ini adalah deret- . Karena deret- konvergen untuk
, maka deret suku-suku mutlah adalah konvergen.
...36
1
25
1
16
1
9
1
4
11
...36
1
25
1
16
1
9
1
4
11
p p
1p
Uji Kekonvergenan Mutlak
Sehingga deret yang semulanya ada suku-suku negatif juga konvergen. Berikut teoremanya.
Teorema: Jika konvergen maka konvergen. nu nu