UFV - Estatistica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

EST 220 ESTATSTICA EXPERIMENTAL

Viosa Minas Gerais 2010 / II

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA Departamento de Estatstica

EST 220 Estatstica Experimental 2010 / II

1. CONTEDO

Captulo 1 Testes de hipteses Captulo 2 Contrastes Captulo 3 Introduo Experimentao Captulo 4 Delineamento Inteiramente Casualizado Captulo 5 Procedimentos para Comparaes Mltiplas Captulo 6 Delineamento em Blocos Casualizados Captulo 7 Delineamento em Quadrado Latino Captulo 8 Experimentos Fatoriais Captulo 9 Experimentos em Parcelas Subdivididas Captulo 10 Regresso e Correlao

2. AVALIAO

Prova Data Horrio Local 1 03/09 (Sex) 18:20 h A CONFIRMAR 2 15/10 (Sex) 20:30 h A CONFIRMAR 3 26/11 (Sex) 20:30 h A CONFIRMAR

O sistema de avaliao constar de trs provas com pesos iguais, cujas datas foram sugeridas ao Registro Escolar. A nota final ser a mdia das provas.

Ser aplicada uma quarta prova escrita (29/11 Seg 12:00 h) que abordar todo o assunto do semestre, somente para o estudante que perder pelo menos uma das trs provas por qualquer motivo.

Levar documento com foto para fins de fiscalizao durante as provas. Levar tabelas dos testes de hipteses, formulrio e calculadora para as

provas, pois so de uso individual. O coordenador da disciplina marcar um nico perodo de reviso para

cada uma das provas que dever ser respeitado, dado que no sero abertas excees para revises de provas fora do perodo estabelecido.

As revises de provas sero realizadas com o monitor durante o seu horrio numa sala do Departamento de Estatstica no prdio do CCE, mesmo que a monitoria regular esteja marcada para outro local.

A data da prova final ser marcada pelo Registro Escolar.

3. MONITORIA

O horrio e local da monitoria sero divulgados na terceira semana de aula. Sero agendados horrios extras durante a semana de cada prova, sendo o horrio e local, divulgados no quadro de avisos do Departamento de Estatstica no prdio do CCE.

4. BIBLIOGRAFIA

BARBETTA, P.A.; REIS, M.M. e BORNIA, A.C. Estatstica para cursos de engenharia e informtica. Editora Atlas, So Paulo, 2004. 410 p. BANZATTO, D.A. e KRONKA, S.N. Experimentao agrcola. FUNESP, Jaboticabal, 1989. 249 p. COSTA NETO, P.L.O. Estatstica. Editora Edgard Blcher, So Paulo, 1977, 264 p. GOMES, F.P. Curso de estatstica experimental. 12a edio, Livraria Nobel S.A, So Paulo, 1987. 467 p. HINES, W.W.; MONTGOMERY, D.C.; GOLDSMAN, D.M. e BORROR, C.M. Probabilidade e estatstica na engenharia. 4a edio, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2006. 588 p. HOFFMANN, R. e VIEIRA, S. Anlise de regresso: uma introduo econometria. 2a edio, Editora Hucitec, So Paulo, 1983. 379 p. MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G.C. Estatstica aplicada e probabilidade para engenheiros. 4a edio, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2009. 490 p. MOORE, D.S. e McCABE, G.P. Introduo prtica da estatstica. 3a edio, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2002. 536 p. RIBEIRO JNIOR, J.I. Anlises estatsticas no Excel guia prtico. Editora UFV, Viosa, 2004. 249 p. RIBEIRO JNIOR, J.I. e MELO, A.L.P. Guia prtico para utilizao do SAEG. Folha Artes Grficas Ltda, Viosa, 2008. 288 p. VIEIRA, S. e HOFFMANN, R. Estatstica experimental. Editora Atlas, So Paulo, 1989, 179 p.

5. PROFESSORES

Antonio Policarpo Souza Carneiro CCE 313B Ramal 1786 Jos Ivo Ribeiro Jnior CCE 306B Ramal 1783 (Coordenador) Nerilson Terra Santos CCE 312B Ramal 1784 Sebastio Martins Filho CCE 316B Ramal 1773

6. HORRIOS DAS TURMAS

Horrio Seg Ter Qua Qui Sex 8 T1 - PVB310

Nerilson T4 - PVB209

Sebastio T3 - PVB209

Nerilson 10 T4 - PVB209

Sebastio T3 - PVB209

Nerilson T1 - PVB310

Nerilson

14 T6 - PVB304 Policarpo

T5 - PVB105 Jos Ivo

T2 - PVB209 Sebastio

16 T2 - PVB209 Sebastio

T6 - PVB304 Policarpo

T5 - PVB105 Jos Ivo

7. PLANEJAMENTO

Aula Semana Assunto 1 02 a 06/08 Apresentao da disciplina 2 Testes de hipteses: conceitos 3

09 a 13/08 Teste t e intervalo de confiana para uma mdia

4 Teste F para duas varincias, teste t para duas mdias independentes

5 16 a 20/08

Intervalo de confiana para duas mdias independentes, teste t para duas mdias dependentes e intervalo de confiana para duas mdias independentes

6 Teste t e intervalo de confiana para duas mdias dependentes 7 23 a 27/08 Contrastes: conceitos 8 Mtodos para obteno de contrastes ortogonais 9 30 a 03/09 Princpios bsicos da experimentao 10 Tira dvidas Prova 1 03/09 Sex 18:20 h

11 08 a 10/09 Delineamento inteiramente casualizado (DIC) 12 13 a 17/09 Anlise de varincia e pressuposies 13 Delineamento em blocos casualizados (DBC) 14 20 a 24/09 Delineamento em quadrado latino (DQL) 15 Testes de Tukey e Duncan 16 27 a 29/09 Testes t e de Scheff 17 04 a 08/10 Experimento fatorial (EF) 18 Interao AxB no significativa de EF 19 11 a 15/10 Interao AxB significativa de EF 20 Tira dvidas

Prova 2 15/10 Sex 20:30 h 21 25 a 29/10 Experimento em parcelas subdivididas (EPS) 22 Interao AxB no significativa de EPS 23 03 a 05/11 Interao AxB significativa de EPS 24 08 a 12/11 Regresso linear de 1

o grau

25 Regresso linear de 2o grau 26 17 a 19/11 Regresso linear com delineamento experimental 27 22 a 26/11 Anlise de correlao 28 Tira dvidas

Prova 3 26/11 Sex 20:30 h 29 Prova 4 29/11 Seg 12:00 h 30 Software estatstico 30/11 Ter 12:00 h

ndice Captulo 1 - Testes de Hipteses 1 Captulo 2 - Contrastes 22 Captulo 3 Introduao Experimentao 30 Captulo 4 - Delineamento Inteiramente Casualizado 37 Captulo 5 Procedimentos para Comparaes Mltiplas 45 Captulo 6 - Delineamento em Blocos Casualizados 53 Captulo 7 - Delineamento em Quadrado Latino 65 Captulo 8 - Experimentos Fatoriais 71 Captulo 9 - Experimentos em Parcelas Subdivididas 95 Captulo 10 - Regresso 111 Captulo 11 Respostas dos Exerccios 125 Anexo 1 - Formulrio e Tabelas 151 Anexo 2 Frmula Geral para o Clculo de Soma de Quadrados 167 Anexo 3 Introduo ao Uso do Programa SAS 169 Anexo 4 p-valor 190 Anexo 5 Exemplo Extra ANOVA 191

EST 220 Estatstica Experimental I/2008 ________________________________________________________________

1

1. Testes de Hipteses

1.1. Introduo Os testes de hipteses fazem parte de um conjunto de procedimentos inferenciais

usados em estatstica. O uso de tais procedimentos permite ao pesquisador fazer inferncias a respeito de uma populao a partir de uma ou mais amostras representativas da populao da qual as amostras foram retiradas.

No dia a dia usamos de inferncia para tomarmos certas decises. Por exemplo, quando vamos a feira para comprar abacaxi e um feirante nos oferece um pedao de abacaxi. Qual o nosso procedimento? Se aquele pedao de abacaxi for doce, conclumos que todo o lote de abacaxi vendido por aquele feirante doce. Por outro lado, se o pedao for azedo, inferimos que todo o lote azedo. lgico que podemos tomar decises erradas devido amostragem. Por exemplo, corremos o risco de levar abacaxi azedo para casa, mesmo que a nossa prova tenha sido doce. Isto pode acontecer porque o lote de abacaxi pode no ser completamente uniforme no teor de acar, ou porque experimentamos um abacaxi doce no meio de um lote composto por abacaxis azedos.

Este um exemplo prtico que ilustra o princpio bsico do teste de hipteses. Porm, em cincia necessrio que todos os procedimentos sejam padronizados e bem especificados. O objetivo deste captulo fornecer os conceitos tericos fundamentais para um correto uso dos testes de hipteses. Neste captulo, sero abordados alguns dos testes de hipteses mais comuns para comparar no mximo parmetros de duas populaes. Outros testes de hipteses aplicveis para comparaes de parmetros envolvendo mais de duas populaes sero apresentados no Captulo 5.

1.2. Conceitos fundamentais em testes de hipteses

1.2.1 Parmetro Parmetro uma medida usada para caracterizar uma populao. Assim sendo

para se obter o valor de um parmetro necessrio coletar a informao a respeito de uma ou mais variveis em todos os indivduos dessa populao, ou seja, realizar um censo da mesma. possvel caracterizar uma populao por meio de duas medidas principais: posio e disperso.

As medidas de posio so tambm conhecidas como medidas de tendncia central, pois elas indicam em que posio, a distribuio dos valores de uma populao tendem a se concentrar. Alguns exemplos de medidas de posio so a mdia aritmtica ( )X(Em == ), a mediana (Md) e a moda (Mo).

As medidas de disperso indicam quanto os valores de uma populao esto dispersos em torno de sua mdia. Como exemplo de medidas de disperso temos a varincia ( )X(V2 = ) e o desvio-padro ( ).

1.2.2 Estimador Na grande maioria das situaes, no possvel realizar o censo de uma

populao, porque ou a populao muito grande ou de tamanho infinito. Para contornar este problema, o pesquisador pode retirar uma amostra da populao e a partir desta amostra caracterizar a populao de onde a amostra foi retirada sem nenhum vis. Para alcanar este objetivo deve-se usar frmulas estatsticas, conhecidas como estimadores, que apresentem caractersticas estatsticas desejveis, tais como no-

Cap 1 Testes de Hipteses ____________________________________________________________________

2

tendenciosidade, varincia mnima, fornecer estimativas que se aproximem do valor paramtrico medida que o tamanho da amostra aumenta, e etc..

Exemplos de estimadores so a mdia aritmtica amostral, m , que usada para estimar a mdia populacional; e a varincia amostral, 2s , que usada para estimar a varincia populacional. Outras simbologias comuns para a mdia amostral so Xe , e para a varincia amostral so )X(Ve 2 .

Observe que algumas vezes a simbologia usada para representar os parmetros e seus respectivos estimadores muito parecida. Por exemplo, podemos representar a mdia populacional por m e seu estimador por m , ou seja, a diferena entre o parmetro e o seu estimador o chapu que existe no smbolo usado para representar o estimador. Isto parece ser uma diferena mnima, mas do ponto de vista estatstico, a diferena conceitual entre parmetro e estimador enorme.

O parmetro sempre um valor constante, pois para a obteno do mesmo so usados todos os elementos da populao. Por outro lado, o estimador representa uma varivel aleatria, pois os seus valores mudam de amostra para amostra. Isto acontece porque os elementos que pertencem a uma amostra geralmente no so os mesmos em outras amostras. Conseqentemente, possvel estabelecer uma distribuio de probabilidades para os valores de um estimador. Para o parmetro, isto no possvel, pois se assume que ele tem um valor constante. Por isto recomenda-se muito cuidado para usar corretamente a simbologia para o parmetro e paro o estimador.

Conforme mencionado anteriormente, os estimadores podem assumir valores diferentes em amostras diferentes. Estes diferentes valores que um estimador assume so tambm conhecidos como estimativas.

1.2.3 Hipteses em um teste estatstico Para realizar um teste de hipteses e divulgar as concluses necessrio seguir

um procedimento aceito pela comunidade cientfica. Neste procedimento, o pesquisador deve deixar claro qual a hiptese que ele deseja testar. Para isto ele precisa escrever em termos estatsticos a sua hipteses cientifica. A hiptese cientfica do pesquisador, nada mais o que o levou a realizar a sua investigao.

Por exemplo, suponha que um tecnlogo em laticineos deseja verificar se os sabores de sorvete morango e chocolate apresentam um mesmo valor para o teor mdio de glicose. Em termos estatsticos esta hiptese expressa por

chocolatemorango mm = Em que: mmorango : mdia do teor de glicose do sorvete sabor morango; e mchocolate : mdia do teor de glicose do sorvete sabor chocolate. O pesquisador deseja testar esta hiptese porque ele desconfia que o teor mdio

de glicose no seja o mesmo para os dois sabores de sorvete. Ento ele tem que ter uma alternativa para esta hiptese inicial. Nesta alternativa, ele lana a sua desconfiana a respeito do que pode acontecer. Se ele desconfiar que o sabor de morango tem um teor mdio de glicose maior do que o de chocolate, ento a hiptese alternativa expressa por

chocolatemorango mm > Por outro lado, se ele desconfiar que o sabor de chocolate tem um teor de glicose maior do que o de morango, ento a hiptese alternativa expressa por

chocolatemorango mm <


3

Uma outra alternativa seria a situao em que ele no tem nenhuma desconfiana de qual sabor teria um teor mdio de glicose maior do que o outro. Neste caso, a hiptese alternativa expressa por

chocolatemorango mm Neste ponto fica claro que para realizar um teste de hipteses necessrio que o pesquisador lance duas hipteses. A primeira que contm um sinal de igualdade conhecida como hiptese de nulidade, comumente denotada por Ho. dado este nome, pois ela representa uma nulidade de diferena entre mdias. J a outra hiptese que contm um sinal de desigualdade, conhecida como hiptese alternativa, comumente designada por Ha ou H1. Como o prprio nome diz, ela uma alternativa a hiptese de nulidade. Na verdade, quando um pesquisador realiza um experimento, a hiptese de nulidade construda com o expresso propsito de ser rejeitada. Isto faz sentido porque, quem teria o trabalho de realizar um experimento se achasse que duas mdias so iguais? Qualquer um se daria ao trabalho de instalar um experimento, apenas se desconfiar que existe diferena significativa entre as mdias de duas populaes. No entanto, num teste de hipteses, at que se prove o contrrio, a Ho considerada como a hiptese verdadeira. Para o exemplo dado, supondo que o pesquisador no desconfie a princpio qual sabor que apresenta maior teor mdio de glicose, o par de hipteses a ser lanado expresso por

chocolatemorangoa

chocolatemorango0

mm:Hmm:H

=

Observe que apesar de ser possvel existir trs possibilidades para Ha, apenas uma possibilidade foi lanada. Outro ponto importante que as hipteses foram lanadas em termos dos parmetros e no em termos dos seus estimadores. No faz sentido lanar as hipteses usando os estimadores, pois os mesmos no possuem um valor fixo, ou seja, apresentam valores diferentes para amostras diferentes, enquanto que o parmetro possui um valor fixo.

1.2.4 Deciso em um teste de hipteses Para decidirmos se devemos ou no devemos rejeitar a hiptese de nulidade,

baseamos na comparao do valor especificado para o parmetro com aquele estimado a partir de uma amostra da populao. Raramente, o valor estimado ser idntico quele especificado para o parmetro.

Conforme mencionado anteriormente, um estimador pode assumir valores diferentes para amostras diferentes, sendo que existem intervalos de valores mais provveis de ocorrer do que outros. Portanto pode-se construir uma distribuio de probabilidades para os valores de um estimador.

O valor fornecido pelos estimadores poder diferir, do ponto de vista matemtico, do valor esperado para o parmetro. Esta diferena matemtica nem sempre representa que a hiptese de nulidade deve ser rejeitada, pois como o estimador uma varivel aleatria, esperado que ele possa assumir valores dentro de um intervalo. O que um teste de hipteses geralmente faz comparar duas fontes de variao. A primeira fonte de variao diz respeito a variao entre o valor paramtrico e uma estimativa. A segunda fonte de variao diz respeito a variao existente na populao.

Se as duas fontes de variao apresentarem valores semelhantes ento o valor do parmetro no difere do valor especificado na hiptese de nulidade. Neste caso, a variao observada entre o valor paramtrico e sua estimativa uma variao prpria dos dados. Conclui-se portanto que a hiptese H0 no deve ser rejeitada.


4

Por outro lado, se as duas fontes de variao apresentarem valores bem diferentes, conclui-se que a variao entre o valor especificado para o parmetro e o de sua estimativa no prpria dos dados. Neste caso a variao entre o valor paramtrico e a estimativa significativa, o que leva a rejeitar-se a hiptese de nulidade.

Para ento decidirmos entre rejeitar ou no-rejeitar a hiptese de nulidade devemos estabelecer o que uma pequena e uma grande variao. Para isto, precisamos conhecer a distribuio de probabilidades do estimador usado para estimar o parmetro. Vamos ilustrar esta situao com o seguinte exemplo.

Suponha que um pesquisador desconfie que a estatura mdia de adolescentes na faixa etria de 13 a 15 anos menor do que aquela informada por um rgo oficial como sendo igual a 1,5 metros. Este pesquisador sabe de fontes seguras que a estatura uma varivel aleatria que segue uma distribuio normal com varincia igual a 0,25 metros2. Se a informao do rgo oficial for verdadeira, ou seja a mdia de estatura igual a 1,50 metros, poderamos descrever a distribuio de valores da varivel estatura, digamos X, como )25,0;5,1(N~X e representar esta distribuio por meio do grfico

f (X)

0. 0

0. 1

0. 2

0. 3

0. 4

0. 5

0. 6

0. 7

0. 8

0. 9

1. 0

1. 1

Var i avel : X

0. 0 0. 5 1. 0 2. 0 2. 5 3. 0m=1. 5

A funo densidade de probabilidade de uma varivel aleatria contnua que tem

distribuio normal, no caso, f(X) dada por: 2mx

21

e2

1)X(f

=

Para verificar se a informao do rgo oficial correta, o pesquisador tem duas opes: medir a estatura da populao de todos os adolescentes, ou ento tomar uma amostra de adolescentes e medir a estatura dos mesmos e usar um teste de hipteses. Na primeira opo nenhum teste de hipteses seria necessrio, pois o pesquisador teria condies de conhecer o verdadeiro valor da mdia de estatura, ou seja, ele conheceria o parmetro mdia daquela populao de adolecentes. Na segunda opo, o pesquisador teria que usar uma mdia da amostra para tomar a sua deciso.


5

evidente que a segunda opo operacionalmente mais fcil, pois o custo e o tempo gasto so muito menores. Para realizar a segunda opo, o pesquisador deve escolher um tamanho de amostra adequado, por exemplo, suponha que para este exemplo o tamanho amostral ideal seja igual a 10 indivduos. Da populao de adolecentes possvel retirar um grande nmero de diferentes amostras de tamanho 10.

Cada amostra fornece um valor para a mdia amostral. Pode ser demonstrado que a mdia de todas as mdias amostrais igual mdia da varivel original, a varincia igual varincia original dividido pelo tamanho da amostra e que a varivel aleatria m tambm segue distribuio normal, ou seja, )025,0;5,1(N~m . O grfico da distribuio das mdias amostrais seria

f (Xb)

0. 0

0. 1

0. 2

0. 3

0. 4

0. 5

0. 6

0. 7

0. 8

0. 9

1. 0

1. 1

Var i avel : Xb

0. 0 0. 5 1. 0 2. 0 2. 5 3. 0m=1. 5

em que Xb = m e f(Xb) = f(m ).

Como pode ser notado, a distribuio das mdias amostrais para a varivel estatura, representadas no grfico por Xb, mais concentrada em torno da mdia do que a varivel original X. Isto acontece porque a varincia das mdias amostrais menor do que a varincia da varivel original estatura.

Deve ficar entendido que possvel retirar um nmero muito grande de amostras de mesmo tamanho de uma populao, principalmente se a populao for muito grande. No entanto, numa pesquisa geralmente toma-se deciso usando-se apenas uma nica amostra. As hipteses estatsticas para esta situao seriam:

metros5,1m:Hmetros5,1m:H

alturaa

alturaO

m0 ou Ha: m < m0 ou Ha: m m0

Para decidirmos entre Rejeitar ou No-Rejeitar HO, comparamos o valor de t com o

valor tabelado de t obtido por ( )1ntt tab = . A tabela apresentada no final deste livro uma tabela elaborada para testes bilaterais. Neste caso, para encontrarmos o valor tabelado basta entrar com o valor de e o respectivo nmero de graus de liberdade. Por outro lado, se desejarmos realizar um teste unilateral e usarmos uma tabela bilateral, devemos entrar na tabela com 2 como nvel de significncia. Este procedimento garante que realizaremos o teste ao nvel de significncia como desejado para testes unilaterais.

Depois de obtido o valor calculado e o valor tabelado de t, usamos a seguinte regra decisria:

- se tabtt ento Rejeita-se Ho - se tabtt < ento No-Rejeita-se HO. Exerccios

1.1. Em indivduos sadios, o consumo renal de oxignio distribui-se normalmente em torno de 12 cm3/min. Deseja-se investigar, com base em cinco indivduos portadores de certa molstia, se esta tem influncia no consumo renal mdio de oxignio. Os consumos medidos para os cincos pacientes foram:

14,4 12,9 15,0 13,7 13,5 Qual a concluso ao nvel de 1% de significncia?

1.2. Uma amostra de seis elementos, extrada de uma populao normal, forneceu

( )==

==6

1i

2i

6

1ii 0,55mXe0,84X

Deseja-se saber se a mdia da populao pode ser considerada como superior a 11. Qual a concluso, ao nvel de 5% de significncia?

1.3.1.2 Teste de hipteses para duas mdias populacionais O objetivo deste teste verificar se duas populaes, digamos populao 1 e

populao 2 apresentam um mesmo valor mdio para uma determinada caracterstica, isto deseja-se verificar se 21 mm = . Com esta finalidade necessrio obter uma amostra de cada populao. Estas duas amostras podem ser relacionadas ou no, ou seja, podem ser dependentes ou independentes uma da outra. Esta distino no relacionamento das duas amostras gera dois testes distintos.

1.3.1.2.1 Teste de hipteses para o caso de duas amostras independentes Duas amostras so ditas serem independentes quando no existe nada que as

relacione. Nesta situao, os valores amostrais foram obtidos em conjuntos amostrais distintos, ou seja, os elementos amostrais que originaram os valores de uma amostra so distintos dos elementos amostrais que originaram a segunda amostra.


12

Conforme mencionado anteriormente, para comparar as mdias das duas populaes, toma-se uma amostra de cada populao. Suponha que as amostras geradas sejam X11, X12,... , X1n e X21, X22, ... , X2m, onde o tamanho das amostras podem ser diferentes, ou seja, n pode ser diferente de m. Para cada amostra, ento calcula-se a sua mdia e varincia. Um estimador comum para a varincia obtido tomando-se uma mdia ponderada das estimativas de varincia obtidas para as duas amostras. O tamanho da amostra utilizado como um peso para o clculo desta varincia mdia ponderada. A obteno de um estimador comum para a varincia pressupe que a varincia das duas populaes sejam idnticas, ou seja 22

21 = . A frmula do estimador comum : ( ) ( )

2nns1ns1n

s21

222

2112

c ++=

em que 21s e 22s so as varincias amostrais das populaes 1 e 2, respectivamente. A

frmula geral para o clculo da varincia amostral dada por

1nn

XX

s

2n

1iin

1i

2i

2

=

==

Uma vez obtidas estas estimativas, calcula-se o valor da estatstica t dada por: ( ) ( )

+

=

21

2c

21

n1

n1s

mm2m1mt

Esta estatstica tem distribuio t de Student com ( )2nn 21 + graus de liberdade. A comparao do valor calculado de t com o valor tabelado dado por ( )2nntt 21tab += , usada para testar a hiptese de nulidade

H0: m1 = m2 versus Ha: m1 > m2 ou Ha: m1 < m2 ou Ha: m1 m2

A regra de deciso idntica ao caso anterior, ou seja: - se | t | ttab Rejeita-se Ho - se | t | ttab No-Rejeita-se HO. Exerccio

1.3. Os dados que seguem referem-se a cinco determinaes da resistncia de dois tipos de concreto. Ao nvel de 5% de significncia, h evidncia de que o concreto 1 seja mais resistente que o concreto 2?

Concreto 1 54 55 58 51 57 Concreto 2 50 54 56 52 53

1.3.1.2.2 Teste de hipteses para o caso de duas amostras dependentes Duas amostras de elementos so ditas serem dependentes quando existe algo

que as relacione. Por exemplo, se os valores de duas amostras foram obtidos de um mesmo conjunto de elementos amostrais, podemos dizer que as duas amostras de


13

valores so dependentes uma vez que foram tomados de um conjunto de elementos amostrais comum.

O objetivo neste caso verificar se houve alterao na mdia de uma populao quando a mesma avaliada sob duas condies diferentes. Cada condio representa uma populao distinta, embora se suponha que os elementos populacionais sejam os mesmos nas duas condies. Para verificar se houve alterao na mdia, avalia-se uma caracterstica de interesse do pesquisador num conjunto de elementos amostrais tomados ao acaso na populao quando a mesma esteja sob a condio 1. Digamos que a avaliao da caracterstica resulte nos seguintes valores amostrais X11, X12,... , X1n. Depois de feita esta avaliao, os elementos amostrais que originaram a primeira amostra, sejam submetidos condio 2. Os mesmos elementos amostrais so novamente avaliados para a mesma caracterstica na nova condio 2. Digamos que esta nova avaliao resulte nos seguintes valores amostrais X21, X22, ... , X2n. Se a condio 2 no tiver nenhum efeito, espera-se que em mdia os valores observados nas duas condies sejam iguais.

Em termos de desvios, se a alterao das condies no resultasse em nenhum efeito significativo, poderamos dizer que a diferena entre os valores observados na primeira condio e na segunda condio seria em mdia igual a zero. Portanto para verificar se houve alterao na mdia de uma populao avaliada em duas condies diferentes, pode-se testar a hiptese de que o desvio mdio ser estatisticamente igual a zero. Portanto, a partir de duas amostras obtm-se uma outra baseada nos desvios, conforme mostrado a seguir.

Elemento amostral i 1 2 ... n Amostra 1 X11 X11 ... X1n Amostra 2 X21 X22 ... X2n di=X1i-X2i d1 d2 ... dn

Apresentado desta forma, o teste t para duas amostras dependentes reduz-se teste t para uma mdia populacional, visto anteriormente. No presente caso, deseja-se testar se a mdia dos desvios igual por exemplo a um valor m0. Escrevendo em termos de hipteses estatsticas teramos

H0: m = m0 versus Ha: m > m0 ou Ha: m < m0 ou Ha: m m0

Para decidir entre Rejeitar ou No-Rejeitar a hiptese de nulidade, deve-se calcular

o valor da estatstica t dada por

ns

mmt2

0=

em que

n

dm

n

1ii

==


14

1nn

dd

s

2n

1iin

1i

2i

2

=

==

Sob Ho, esta estatstica t tem distribuio t de Student com n-1 graus de liberdade. A comparao deste valor calculado com o valor de ttab dado por ( )1ntt tab = .

Depois de obtido os valores calculado e tabelado de t, usamos a seguinte regra decisria:

- se tabtt ento Rejeita-se Ho - se tabtt < ento No-Rejeita-se HO. Exerccios

1.4. Com o objetivo de avaliar se determinado produto qumico eficiente para repelir insetos domsticos, foi realizada uma contagem do nmero de insetos, antes e aps a aplicao deste produto qumico, em 7 residncias. O nmero de insetos observado em cada residncia foi

Residnca 1 2 3 4 5 6 7 Antes da aplicao 8 6 7 8 9 6 7 Aps a aplicao 4 0 3 5 3 4 2

Por meio destes dados e ao nvel de 5% de probabilidade, possvel concluir, em termos mdios, que o produto utilizado eficiente para repelir insetos?

1.5. Com a finalidade de testar se determinado mtodo de secagem rpida consegue reduzir significativamente a quantidade mdia de gua de gros de cereais, uma poro de cada um dos seguintes tipos de cereais: Milho, Cevada, Trigo, Arroz e Sorgo, foi exposta ao referido mtodo de secagem. Os resultados obtidos, para o peso da poro (em g) amostrada por cereal, com a realizao do experimento foram:

Milho Cevada Trigo Arroz Sorgo Sem a secagem 30 34 41 25 36 Com a secagem 21 28 33 21 31

possvel concluir ao nvel de 5% de significncia que o mtodo de secagem proposto, eficiente para secar os gros?

1.3.2 Teste F para Comparao de Varincias de Duas Populaes Este teste indicado para verificar se duas populaes, digamos 1 e 2, apresentam

igual valor para o parmetro varincia. Em termos de hipteses estatsticas teramos: H0: 21 =

22

versus

Ha: 21 > 22 ou Ha: 21 < 22 ou Ha: 21 22

A estatstica F usada para decidir entre Rejeitar ou No-Rejeitar Ho dada pelo

quociente entre as duas estimativas de varincia, ou seja:


15

22

21

ssF =

Sob a hiptese de nulidade, este quociente tem distribuio F, de Fisher-Snedecor, com 21 nen graus de liberdade, ou seja a distribuio de probabilidades da estatstica F depende dos nmeros de graus de liberdade n1 e n2. Um grfico para a distribuio F, para trs diferentes pares de graus de liberdade ilustrado na figura a seguir.

A concluso do teste feita mediante a comparao do valor de F com o valor de

Ftab= ( )21 n,nF = . Se tabFF Rejeita-se 0H ao nvel de probabilidade. Caso contrrio No-

Rejeita-se HO Exerccios 1.6. Com o intuito de controlar a homogeneidade da produo de certas partes ao longo do tempo, amostras semanais so retiradas da produo corrente. Uma primeira amostra, de dez elementos, forneceu mdia 284,55 e desvio padro 0,320, ao passo que, numa segunda amostra, forneceu, nas mesmas unidades, os seguintes valores:

284,6 283,9 284,8 285,2 284,3 283,7 284,0

Ao nvel de 5% de significncia, podemos concluir que a semana 2 apresentou

maior variabilidade que a semana 1?

1.7. A qualidade de rebites tanto melhor quanto maior sua homogeneidade. Seis rebites de duas marcas foram ensaiados ao cisalhamento, tendo-se obtido as seguintes cargas de ruptura:


16

Rebite 1 2 3 4 5 6 Marca A 34,9 35,5 38,8 39,2 33,7 37,6 Marca B 38,5 39,0 40,7 42,9 37,8 41,4

Estes resultados ratificam a afirmao do produtor da marca B, de que seus rebites so melhores? Use o nvel de 5% de significncia.

1.4. Exerccios Suplementares 1.8. Uma fbrica de cermica produz um tipo de pea usando o processo A de fabricao. Com o objetivo de melhorar a mdia de resistncia das peas, quando submetidas a determinado grau de temperatura, o processo B foi introduzido. Com os dados amostrais abaixo, relativos temperatura de rompimento das peas, testar a hiptese oH e concluir para = 5%.

PROCESSO A 90,3 93,4 96,8 91,4 92,6 102,5 103,4 PROCESSO B 101,4 98,5 104,6 95,8 96,2 94,6 99,5

1.9. Um material isolante foi utilizado com a finalidade de reduzir a temperatura mdia interna em ambientes similares. Para testar a hiptese oH , 10 ambientes foram selecionados ao acaso e expostos a uma determinada fonte de radiao de calor. Testar a hiptese oH e concluir para = 5%. Os dados obtidos (em C) so fornecidos abaixo.

AMBIENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s/isolante 30,5 35,3 33,2 40,8 42,3 41,5 36,3 43,2 34,6 38,5 c/isolante 28,2 35,1 33,2 35,6 40,2 37,4 34,2 42,1 30,5 38,4

1.10. Dois processos que tm por objetivo o controle da temperatura mdia interna em ambientes foram colocados em competio. Para testar a oH , 20 ambientes foram convenientemente preparados. Testar e concluir para = 5% , considerando os dados abaixo.

PROCESSO Temperatura C s/isolamento 30,5 35,3 33,2 40,8 42,3 41,5 36,3 43,2 34,6 38,5 c/isolamento 28,2 35,1 33,2 35,6 40,2 37,4 34,2 42,1 30,5 38,4

1.11. Um produto foi desenvolvido com o objetivo de reduzir a mdia da temperatura do funcionamento de motores. Para testar o produto, foram selecionados ao acaso 8 motores e aps 10 minutos de funcionamento, em cada condio, foram obtidos os dados (em C) do quadro abaixo. Testar a hiptese oH e concluir, para = 5% .

MOTOR 1 2 3 4 5 6 7 8 SEM PRODUTO 80,5 99,6 83,4 100,2 81,5 84,6 85,0 105,8 COM PRODUTO 75,8 98,8 77,6 99,9 74,2 80,5 83,6 105,8

1.12. Um experimentador deseja testar o efeito de certo fertilizante na mdia de produo de milho. Para realizar o experimento tinha-se 12 unidades experimentais de reas iguais, onde 7 receberam o fertilizante e as outras no; sendo as outras condies mantidas iguais. As produes em kg/unidade experimental foram as seguintes:


17

Com Fertilizante 25 35 45 30 20 25 30 Sem Fertilizante 35 25 20 15 30

De posse dos dados acima, pode o experimentador concluir que houve aumento da mdia de produo de milho por causa do fertilizante, com nvel de significncia igual a 5%.

1.13. Desejando comparar os efeitos de dois analgsicos A e B, em termos do tempo mdio de ao sobre pacientes com certa doena (bastante prolongada), ambos foram aplicados a 14 doentes, em dias diferentes, sendo que 7 pacientes receberam primeiro o A, e outros 7 primeiro o B. A situao foi controlada de forma a no haver interferncia do efeito de um sobre o outro. Os resultados (em minutos) foram: Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

X A 362 345 356 370 360 365 345 363 358 332 335 370 335 362XB 320 330 315 325 323 328 318 322 320 310 308 332 307 325

Testar a hiptese de diferena nula entre as mdias populacionais, ao nvel de significncia igual a 1%.

1.14. Os dados abaixo se referem aos pesos, em gramas, de ratos machos da raa Wistar com 15 dias de idade, segundo a condio normal e submetidos extirpao do timo (timectomizao) aos 4 dias de idade. Verificar se a timectomizao piora o ganho mdio de peso destes animais, usando %5= .

Condio Normal 40,3 40,0 39,6 35,2 32,0 Timectomizado 18,6 20,3 23,6 22,2 20,9

1.15. Em determinada propriedade rural, foi avaliado o efeito de Suprimento Mineral (SM) na engorda de sunos. Para tanto, tomou-se 14 sunos similares em peso. Cada animal recebeu um dos SM. Os resultados obtidos, aps certo perodo de tempo, foram os seguintes:

Pesos (Kg)

SM 1 38 33 36 35 36 32 30 SM 2 40 30 31 37 38 32 37

possvel afirmar ao nvel de 1% de probabilidade que o SM 1 promove menor

mdia de ganho de peso que o SM 2?

1.16. Determinada fbrica, interessada em ampliar o seu quadro de pessoal com indivduos do sexo que apresentam menor variabilidade no tempo gasto para realizar a montagem de determinado equipamento eletrnico, realizou uma pesquisa. Os dados (em minutos) obtidos so fornecidos abaixo. Ao nvel de 1% de probabilidade, pode-se concluir que indivduos do sexo masculinos deveriam ser contratados porque apresentaram menor variabilidade no tempo gasto?

Masculino 4 8 3 9 7 5 Feminino 1 5 2 14 3 11


18

1.17. Um fazendeiro, visando otimizar os recursos de sua propriedade e aumentar a mdia de produo de leite, realizou uma pesquisa para verificar se o fornecimento da cama de galinha da sua granja poderia substituir, em parte, o fornecimento de rao ao seu gado. Para tanto, seguindo as recomendaes de um zootecnista, selecionou um plantel de 10 animais e obteve os seguintes dados, em kg de leite por dia:

Rao com cama 45 47 49 48 46 Rao sem cama 38 37 35 39 37

De acordo com os resultados obtidos e ao nvel de 5% de probabilidade, voc

recomendaria o uso de cama de galinha para substituir parte a rao?

1.18. Por meio dos dados amostrais fornecidos abaixo, possvel concluir que a mdia salarial de determinada empresa inferior a R$ 950,00? (use o nvel de 1% de significncia)

Mdia 945 No de indivduos

avaliados 15

Varincia 25

1.19. Dentre um rebanho de vacas reprodutoras, foram selecionadas ao acaso 10 animais. Dos animais selecionados, foram anotadas as produes mdias dirias (kg/dia) durante o perodo de amamentao das crias 1 e 2. Pode-se afirmar que durante a amamentao da 2a cria ocorre maior produo de leite? Use = 5%

Cria Produo de cada animal (Kg de leite/dia)

1 15,6 16,3 19,5 14,5 16,2 20,2 14,6 13,1 16,2 17,1 2 18,3 16,3 17,2 19,8 18,5 19,1 18,3 16,5 19,5 19,8

1.20. Dois novos tipos de embalagens (A e B) foram testados para armazenar extrato de tomate. Uma boa embalagem mantm o pH do extrato de tomate em 7,2 at trs meses aps a sua armazenagem. Para comparar estes dois tipos de embalagens, 10 embalagens de cada um dos dois tipos testados, receberam a mesma quantidade de extrato de tomate e foram avaliados quanto ao seu pH trs meses aps a sua armazenagem. Os resultados das avaliaes so apresentados a seguir

Embalagem A 6,8 7,0 7,1 7,0 7,1 7,3 7,4 7,5 7,4 7,4 Embalagem B 7,2 7,3 7,4 7,3 7,4 7,6 7,7 7,8 7,6 7,7

Admitindo-se que a variabilidade do pH em extratos armazenados nas embalagens

A e B a mesma, pede-se: a. Pode-se concluir que existe diferena significativa entre as duas embalagens

com relao a mdia do pH do extrato de tomate trs meses aps a sua armazenagem? Use o nvel de 5% de probabilidade.

b. Baseado nos seus clculos do item a, qual embalagem deveria ser recomendada? Justifique.


19

1.21. Em humanos relativamente comum o hipotiriodismo, a qual uma deficincia da glndula tireide para produzir certos hormnios. Uma indstria farmacutica, visando testar um novo tipo de droga, realizou uma pesquisa com 6 indivduos portadores desta doena. Com tal finalidade, fez a avaliao da dosagem do hormnio H nos indivduos portadores da doena antes e depois de serem medicados com a nova droga. Os resultados desta pesquisa so fornecidos a seguir

Indivduo 1 2 3 4 5 6

Antes 100 110 98 105 108 105 Depois 140 135 125 145 135 140 Pode-se concluir que a nova droga capaz de aumentar a dosagem mdia do

hormnio H ao nvel de 5% de significncia?

1.22. Um fabricante de componentes eletrnicos elaborou um novo tipo de microprocessador. No entanto, desejvel que este novo microprocessador tenha velocidade mdia de processamento superior a 2,5 GHz. Para testar o novo microprocessador, o fabricante retirou ao acaso, uma amostra de 6 unidades, da qual obteve as seguintes informaes:

Processador 1 2 3 4 5 6

Velocidade (GHz) 3,0 2,0 3,7 4,1 1,9 3,8 Mdia da velocidade de processamento dos 6 processadores amostrados = 3,08

GHz Desvio padro da velocidade de processamento dos 6 processadores amostrados

= 0,95 GHz Com base nas informaes fornecidas, pergunta-se:

1.22.1 As hipteses estatsticas para este problema so a. GHz5,2m:Ha,GHz5,2m:Ho = d. GHz5,2m:Ha,GHz5,2m:Ho g. nenhuma das anteriores

1.22.2 O valor da estatstica t calculada para este problema, ao nvel de 5% de probabilidade, leva a concluso de que o novo microprocessador possui velocidade mdia de processamento

a. superior a 2,5 GHz b. inferior a 2,5 GHz c. igual a 2,5 GHz d. nenhuma das anteriores

1.22.3 O valor da velocidade mdia amostral a partir do qual a hiptese H0 rejeitada igual a

a. GHz72,1m = b. GHz50,1m =


20

c. GHz28,3m = d. GHz50,3m = e. nenhuma das anteriores

1.23. Selecionaram-se aleatoriamente oito comprimidos diferentes de cada um de dois remdios antigripais concorrentes, Dozenol (D) e Niteze (N). Fez-se um teste do contedo de acetaminofena em cada um deles, obtendo-se os seguintes resultados (em mg):

Dozenol 472 487 506 512 489 503 511 501 Niteze 562 512 523 528 554 513 516 510

Ao nvel de 5% de significncia, teste a afirmao de que a quantidade mdia de

acetaminofena a mesma nas duas marcas.

1.24. Uma mquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura, em mdia. Iniciada a produo, foi colhida uma amostra de tamanho 10, que forneceu as seguintes medidas de espessura, em mm:

5,1 4,8 5,0 4,7 4,8 5,0 4,5 4,9 4,8 5,2

Ao nvel = 0,01, pode-se aceitar a hiptese de que a regulagem da mquina foi

satisfatria?

1.25. Um banho de leo aquecido aos poucos e sua temperatura medida de meia em meia-hora por dois termmetros. Tendo-se obtido os valores abaixo, h diferena entre as indicaes dos dois termmetros, a = 5%?

Termmetro 1: 38,2 44,5 53,0 59,0 66,4 71,3 Termmetro 2: 37,5 44,2 51,6 58,0 66,8 72,4

1.26. Um aparelho utilizado para testar a durabilidade de lmpadas, o qual consta de oito soquetes ligados em paralelo e de um reostato ligado em srie com um gerador. Oito lmpadas da marca A e oito lmpadas da marca B foram ensaiadas nesse aparelho, sob as mesmas condies, fornecendo as seguintes duraes, em horas:

Marca A: 35 26 40 35 31 49 38 24 Marca B: 23 28 31 35 36 30 27 26

Podemos concordar com a afirmao do fabricante da marca A, de que suas

lmpadas tm maior mdia de durabilidade que as da marca B ( = 1%).

1.27. Dois produtos A e B, foram avaliados quanto ao gosto, de acordo com as notas fornecidas por 10 indivduos. Admitindo-se os valores 1 (pssimo), 2 (ruim), 3 (regular), 4 (bom) e 5 (timo) e um nvel de significncia de 5%, qual o melhor produto em termos da mdia da nota recebida?

Indivduo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Produto A: 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 Produto B: 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1


21

1.28. Dois candidatos a um emprego, A e B, foram submetidos a um conjunto de oito questes, sendo anotados os minutos que cada um gastou na soluo. Podemos, ao nvel de 5% de significncia, concluir que B seja mais rpido que A?

Questo 1 2 3 4 5 6 7 8

Indivduo A 11 8 15 2 7 18 9 10 Indivduo B 5 7 13 6 4 10 3 2

1.29. Numa competio de mercado de lmpadas fluorescentes, duas marcas alegam para si o ttulo de, em mdia, apresentar mais economia de energia. Para sanar esta dvida, uma associao de consumidores resolve fazer uma bateria de testes com lmpadas das duas marcas. O resultado do consumo em watts/hora desta bateria de testes fornecido a seguir:

Marca Consumo (watts/hora) A 69 72 73 72 70 B 89 92 93 92 90

Com base em um teste de hiptese, qual marca de lmpada a associao de consumidores deveria recomendar? Utilize o nvel de 5% de significncia. 1.30. Suponha que um pesquisador da rea de sade deseja mostrar que os indivduos portadores de febre amarela apresentam um teor de glicose inferior mdia de 120 mg dos indivduos no portadores. Para tanto, coletou uma amostra de sangue em sete indivduos portadores de febre amarela e para cada um deles fez a avaliao do teor de glicose, em mg. Os resultados obtidos foram:

Indivduo 1 2 3 4 5 6 7 Teor de glicose 119 122 120 110 112 115 116

Com base em um teste de hipteses apropriado, qual deveria ser a concluso do pesquisador? Utilize o nvel de 5% de significncia.

Cap 2 Contrastes

22

2. Contrastes

2.1. Introduo O estudo de contrastes muito importante na Estatstica Experimental,

principalmente quando o experimento em anlise composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de contrastes possvel ao pesquisador estabelecer comparaes, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse.

Este captulo visa dar fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, obter a estimativa para cada contraste estabelecido, bem com estimar a variabilidade associada a cada um destes contrastes. Todos os conhecimentos adquiridos neste captulo sero utilizados no Captulo 5 para se realizar testes de hipteses para o grupo de contrastes estabelecidos.

2.2. Definies

Contraste Considere a seguinte funo linear de mdias populacionais de tratamentos

II2211 ma...mamaC +++= C ser um contraste entre mdias se satisfizer a seguinte condio: 0a

I

1ii =

=

Estimador do Contraste Na prtica, geralmente no se conhece os valores das mdias populacionais im ,

mas suas estimativas. Da, em Estatstica Experimental, no se trabalhar com o contraste C mas com o seu estimador C , que tambm uma funo linear de mdias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que o estimador para o contraste de mdias dado por:

II2211 ma...mamaC +++= Exerccio 2.1 Num experimento de consrcio na cultura do abacaxi, com 5 repeties, as mdias de produo de frutos de abacaxi (em t/ha), foram as seguintes:

Tratamentos im 1 - Abacaxi (0,90 x 0,30m) monocultivo 53,5 2 - Abacaxi (0,80 x 0,30 m) monocultivo 56,5 3 - Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + amendoim 62,0 4 - Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + feijo 60,4

Pede-se obter as estimativas dos seguintes contrastes:

C1 = m1 + m2 m3 m4 C2 = m1 m2 C3 = m3 m4

EST 220 Estatstica Experimental I/2008 ___________________________________________________________________

23

2.3. Medidas de disperso associadas a contrastes Considere o estimador do contraste C, dado por:

II2211 ma...mamaC +++= A varincia do estimador do contraste dada por: ( ) ( )II2211 ma...mamaVCV +++= Admitindo independncia entre as mdias ( ) ( ) ( ) ( )II2211 maV...maVmaVCV +++= ( ) ( ) ( ) ( )I2I222121 mVa...mVamVaCV +++= Sabe-se que: ( )

i

2i

i rmV

= , assim

( )I

2I2

I2

222

21

212

1 ra...

ra

raCV +++=

Admitindo-se homogeneidade de varincias, ou seja, 22n22

21 ... ==== , ento

( ) =

=

+++=

I

1i i

2i22

I

2I

2

22

1

21

ra

ra...

ra

raCV

Na prtica, geralmente, no se conhece a varincia 2 , mas sua estimativa a qual obtida por meio de dados experimentais. Esta estimativa denominada como estimador comum ( )2cs . Ento o que normalmente se obtm o valor do estimador da varincia do estimador do contraste, a qual obtida por

( ) =

=I

1i i

2i2

c rasCV

Exerccio 2.2 Por meio dos dados e dos contrastes fornecidos abaixo, obter as estimativas dos contrastes e as estimativas das varincias das estimativas dos contrastes.

45,0s5r4r6rr0,21m0,10m5,10m2,11m

2c4321

4321

=========

C1 = m1 + m2 m3 m4 C2 = m1 m2 C3 = m3 m4

2.4. Contrastes Ortogonais Em algumas situaes desejamos testar um grupo de contrastes relacionados com

o experimento em estudo. Alguns tipos de testes indicados para este objetivo, necessitam que os contrastes, que compem o grupo a ser testado, sejam ortogonais entre si.

A ortogonalidade entre os contrastes indica independncia linear na comparao estabelecida por um contraste com a comparao estabelecida pelos outros contrastes.

Sejam os estimadores dos contrastes de C1 e C2 dados, respectivamente, por:

II22111 ma...mamaC +++=

Cap 2 Contrastes

24

II22112 mb...mbmbC +++= A covarincia entre 21 CeC , supondo independncia entre tratamentos, obtida

por

( ) ( ) ( ) ( )III22211121 mVba...mVbamVbaC,CCov +++= A varincia da mdia amostral dada por: ( )

i

2i

i rmV

= , para i = 1, 2, ..., I. Logo,

( )I

2I

II2

22

221

21

1121 rba...

rba

rbaC,CCov +++=

Admitindo que exista homogeneidade de varincias entre os tratamentos, ou seja: 22

I22

21 ... ==== , ento.

( ) =

=

+++=

I

1i i

ii22

I

II

2

22

1

1121 r

barba...

rba

rbaC,CCov

Sabe-se que, se duas variveis aleatrias so independentes, a covarincia entre elas igual a zero. Assim, se 1C e 2C so independentes, a covarincia entre eles igual a zero, isto : ( ) 0C,CCov 21 =

Para que a covarincia seja nula, necessrio, portanto que:

=

=I

1i i

ii 0rba .

Esta a condio de ortogonalidade entre dois contrastes para um experimento com nmero diferente de repeties para os tratamentos. Para um experimento com o mesmo nmero de repeties, satisfazendo as mesmas pressuposies (mdias independentes e homogeneidade de varincias), a condio de ortogonalidade se resume a:

=

=I

1iii 0ba

Para um experimento com I tratamentos, podem ser formados vrios grupos de contrastes ortogonais, no entanto cada grupo dever conter no mximo (I-1) contrastes ortogonais, o que corresponde ao nmero de graus de liberdade para tratamentos.

Dentro de um grupo de contrastes ortogonais, todos os contrastes tomados dois a dois, sero tambm ortogonais.

Exerccios 2.3. Verificar se os contrastes do Exerccio 2.1 formam um grupo de contrastes ortogonais. 2.4. Verificar se os contrastes do Exerccio 2.2 formam um grupo de contrastes ortogonais.


25

2.5. Mtodos para obteno de grupos de contrastes mutuamente ortogonais

Obteno por Meio de Sistema de Equaes Lineares Neste mtodo, deve-se estabelecer, a princpio, um contraste que seja de interesse

e, a partir deste que os demais so obtidos. Por meio da imposio da condio de ortogonalidade e da condio para ser um contraste, obtm-se equaes lineares, cujas incgnitas so os coeficientes das mdias que compem o contraste. Como o nmero de incgnitas superior ao nmero de equaes existentes, ser sempre necessrio atribuir valores a algumas incgnitas. desejvel que os valores a serem atribudos, permitam que os coeficientes sejam nmeros inteiros.

Exerccio 2.5. Foi instalado para avaliar a produo de 4 hbridos cujas caractersticas so apresentadas na tabela a seguir.

Hibrido 1 2 3 4 Porte Alto Alto Alto Baixo

Inicio do Florescimento Precoce Tardio Tardio Precoce ndice de acamamento Mdio Alto Baixo Mdio

ri 3 3 3 3 Suponha que ao estabelecer as comparaes dos hbridos com relao a produo, seja levado em considerao

o porte; o incio do florescimento; o ndice de acamamento.

Obtenha um grupo de contrastes ortogonais que permita testar as comparaes

segundo os critrios citados.

Obteno por Meio de Regras Prticas Por meio desta metodologia, possvel estabelecer facilmente um grupo de

contrastes ortogonais. A metodologia pode ser resumida nos seguintes passos (BANZATTO e KRONKA, 1989):

Divide-se o conjunto das mdias de todos os tratamentos do experimento em dois grupos. O primeiro contraste obtido pela comparao das mdias de um grupo contra as mdias do outro grupo. Para isso atribui-se sinais positivos para membros de um grupo e negativos para membros do outro grupo.

Dentro de cada grupo formado no passo anterior, que possui mais que uma mdia, aplica-se o passo 1, subdividindo-os em subgrupos. Repete-se este passo at que se forme subgrupos com apenas uma mdia. Ao final, deveremos ter formado (I-1) comparaes.

Para se obter os coeficientes que multiplicam cada mdia que compem os contrastes estabelecidos, deve-se, para cada contraste:

Verificar o nmero de parcelas experimentais envolvidas no 1 grupo, digamos g1, e o nmero de parcelas experimentais envolvidas no 2 grupo, digamos g2. Calcula-se o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) entre g1 e g2.

Dividir o m.m.c. por g1. O resultado ser o coeficiente de cada mdia do 1 grupo.

Cap 2 Contrastes

26

Dividir o m.m.c. por g2. O resultado ser o coeficiente de cada mdia do 2 grupo. Multiplicar os coeficientes obtidos pelo nmero de repeties da respectiva mdia.

Se possvel, simplificar os coeficientes obtidos por uma constante. No caso em que o nmero de repeties igual para todos os tratamentos, este passo pode ser eliminado.

Exerccio 2.6. Num experimento inteiramente casualizado, com 4 repeties, foram comparados os efeitos de 5 tratamentos em relao ao crescimento de mudas de Pinus oocarpa, 60 dias aps a semeadura. Os tratamentos utilizados e os resultados obtidos foram (BANZATTO e KRONKA, 1989):

Tratamentos Totais 1 Solo de cerrado (SC) 21,0 2 Solo de cerrado + esterco (SC+E) 27,1 3 Solo de cerrado + esterco + NPK (SC+E+NPK) 26,6 4 Solo de cerrado + vermiculita (SC+V) 22,1 5 Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC+V+NPK) 25,6

Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as mdias.

2.7. Suponha agora para o exemplo 1 que os tratamentos 1 e 4 tenham 3 repeties e os tratamentos 2, 3 e 5 tenham 4 repeties. Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre mdias.

2.6. Exerccios Suplementares 2.8. Dados

Tratamentos im ri 1 25,0 5 2 18,7 5 3 30,4 5 4 27,5 6

e os contrastes

43213

3212

211

m3mmmCm2mmC

mmC

++=+=

=

Admitindo-se que os estimadores das mdias sejam independentes e que 45,0s2c = , pede-se a) 1C , 2C e 3C b) ( ) ( ) ( )321 CVe,CV,CV c) as estimativas das covarincias entre os estimadores dos contrastes, e por meio

das mesmas, dizer quais so os contrastes ortogonais entre si.


27

2.9. Supondo independncia entre mdias, homogeneidade de varincias entre tratamentos e admitindo que 321 mem,m tm, respectivamente, 5, 3 e 6 repeties, verificar se os contrastes dados abaixo so ortogonais.

3212

211

m2mmCmmC

+==

. 2.10. Considere um experimento com 4 tratamentos e as seguintes informaes:

3r;4rrr10,4s

4321

2c

=====

3212

43211

mm2mCm3mmmC

+=++=

Pede-se: a) Forme um grupo de contrastes ortogonais, a partir dos contrastes C1 e C2, por

meio do mtodo do sistema de equaes lineares. b) Obtenha ( )1CV c) Obtenha V(C1)

2.11. Num experimento com 4 tratamentos e 5 repeties, so dados os seguintes contrastes ortogonais:

421 mmC = 4212 mmm2C ++=

Determinar um contraste C3 que seja ortogonal a C1 e C2. 2.12. Com os dados abaixo, obter o contraste 3C ortogonal aos contrastes 21 Ce C .

5rr m9m5m4C4rr mmC

424212

31211

==+====

2.13. Dado o contraste C1 = 2m1 m2 m3, referente a um experimento com 3 tratamentos (r1 = r2 = r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relao a C1.

2.14. Dado o contraste C1 = 2m1 m2 m3, referente a um experimento com 3 tratamentos (r1 = r2 = 4 e r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relao a C1

2.15. Dado o contraste C1 = 9m1 4m2 5m3, referente a um experimento com 3 tratamentos (r1 = r2 = 4 e r3 = 5), obter um contraste ortogonal C2 em relao a C1.

2.16. Dados os contrastes C1 = m2 m4 e Y2 = 2m1 + m2 + m4, referente a um experimento com 4 tratamentos (r1 = r2 = r3 = r4 = 5), obter um contraste ortogonal C3 em relao a C1 e C2.

2.17. Dados os contrastes C1 = m1 + m2 + m3 3m4 e C2 = m1 2m2 + m3, referente a um experimento com 4 tratamentos (r1 = r2 = r3 = 4 e r4 = 3), obter um contraste ortogonal C3 em relao a C1 e C2.

2.18. Dados os contrastes C1 = m1 4m2 + m3 + 2m4 e C2 = m1 m3, referente a um experimento com 4 tratamentos (r1 = r3 = 6, r2 = 4 e r4 = 5), obter um contraste ortogonal C3 em relao a C1 e C2.

Cap 2 Contrastes

28

2.19. Para verificar o efeito de trs tipos de adoantes no teor de glicose no sangue, foi realizada uma pesquisa em que se ministrou cada um destes tipos de adoantes a um determinado grupo de cobaias, por certo perodo de tempo. Ao final deste perodo, o teor mdio de glicose ( im ) no sangue foi avaliado para cada grupo, obtendo-se os seguintes resultados:

Adoante No de Cobaias im s2

1-Qumico 8 115 30 2- Qumico 10 90 30 3- Natural 5 75 30

A partir dos dados fornecidos acima, pede-se: 2.19.1 Desejando-se testar o teor mdio de glicose do conjunto de cobaias que

recebeu adoante qumico contra o grupo que recebeu adoante natural, qual seria o contraste apropriado? Qual o valor da estimativa deste contraste?

2.19.2 Suponha que seja de interesse testar a seguinte comparao: C1 = m2 m3,

no entanto, desejamos testar outros contrastes que sejam ortogonais a C1. Obtenha o (s) outro (s) contraste (s) ortogonal (is) necessrio (s) para completar o grupo de contrastes ortogonais a C1.

2.20. Num experimento, 4 novos tipos de herbicida foram comparados para verificar se so eficazes para combater ervas daninhas e assim manter a produo de milho em nveis elevados. Um resumo do experimento dado a seguir

Herbicida Mdia de produo (kg/ha) Repeties

1 Biolgico 46 4 2 Qumico base de nitrognio e enxofre 31 4 3 Qumico base de nitrognio e fsforo 32 4 4 Qumico base de inativadores enzimticos 25 4

Suponha que seja de interesse testar o seguinte contraste entre as mdias de

tratamentos 43211 mmmm3C = . Suponha ainda que todos os tratamentos possuam uma mesma varincia e que sua estimativa igual a 35 2)ha/kg( . Pergunta-se:

a) Qual a comparao que est sendo feita pelo contraste C1? Qual a estimativa para este contraste?

b) Por meio da estimativa obtida para o contraste C1 pode-se AFIRMAR que exista um grupo melhor de herbicidas do que outro? Justifique a sua resposta.

c) Qual a estimativa da varincia para a estimativa do contraste C1? d) Forme um grupo de contrastes ortogonais a partir do contraste C1. Descreva

qual comparao que est sendo feita por cada contraste que voc obteve. Baseando-se nos dados amostrais fornecidos, obtenha tambm a estimativa para cada um dos contrastes.


29

2.21. Considere um experimento, onde foi avaliada a varivel produo (kg/parcela) de quatro tratamentos (adubaes), denominados como: T1 = Sulfato de Amnio, T2 = Sulfato de Amnio + Enxofre, T3 = Nitroclcio e T4 = Nitroclcio + Enxofre. Os resultados obtidos foram:

Tratamentos im ri

1 Sulfato de Amnio 24,0 4 2 Sulfato de Amnio + Enxofre 28,0 5 3 Nitroclcio 27,0 4 4 Nitroclcio + Enxofre 25,0 5

75,0s2c =

a) Estabelecer as seguintes comparaes de interesse (as comparaes solicitadas, no so necessariamente ortogonais):

i) Sulfato de Amnio versus Nitroclcio na ausncia de Enxofre ii) Sulfato de Amnio versus Sulfato de Amnio + Enxofre iii) Nitroclcio versus Nitroclcio + Enxofre b) Sendo dados, com base em outros critrios, os seguintes contrastes: C1 = m1 m2 C2 = 4m1 + 5m2 + 4m3 13m4 Pede-se: i) Obter a estimativa do contraste C2. ii) Obter a estimativa da varincia da estimativa do contraste C2. iii) Obter a varincia do contraste C. iv) Os contrastes C1 e C2 so ortogonais? Justifique a sua resposta.

Cap 3 Introduo Experimentao ____________________________________________________________________

30

3. Introduo Experimentao

3.1. Introduo A experimentao tem por objetivo o estudo dos experimentos, isto , seu

planejamento, execuo, anlise dos dados obtidos e interpretao dos resultados.

3.2. Alguns Conceitos Bsicos a. Tratamento ou fator: o mtodo, elemento ou material cujo efeito desejamos medir

ou comparar em um experimento. Exemplos: a) variedades de milho; b) nveis de protena na rao e c) diferentes temperaturas de pasteurizao do leite.

b. Unidade experimental: a unidade que vai receber o tratamento e fornecer os dados que devero refletir o seu efeito. Exemplos: a) uma fileira de plantas com 3 metros de comprimento no campo; b) um leito e c) um litro de leite.

c. Delineamento experimental: a maneira como os tratamentos so designados s unidades experimentais. Exemplos: Delineamento Inteiramente Casualizado (Captulo 4), Delineamento em Blocos Casualizados (Captulo 6) e Delineamento em Quadrado Latino (Captulo 7).

d. Esquema: quando em um mesmo experimento so avaliados dois ou mais fatores os nveis dos fatores podem ser combinados de maneiras diferentes. O esquema justamente a maneira utilizada pelo pesquisador ao combinar os nveis dos fatores para se obter os tratamentos. Exemplos: Esquema Fatorial (Captulo 8) e Esquema em Parcelas subdivididas (Captulo 9).

e. Varivel resposta: a varivel mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.

f. Erro experimental: o efeito de fatores que atuam de forma aleatria e que no so passveis de controle pelo experimentador. A pesquisa cientfica est constantemente se utilizando de experimentos para

provar suas hipteses. claro que o procedimento para realizar um experimento varia de acordo com a rea para a qual est se fazendo uma pesquisa. Porm, todo experimento deve seguir alguns princpios bsicos, para que as concluses sejam vlidas.

3.3. Princpios Bsicos da Experimentao So trs os princpios bsicos da experimentao: repetio, casualizao e

controle local.

Princpio da Repetio A repetio consiste em aplicar o mesmo tratamento a vrias unidades

experimentais, ou seja, consiste na reproduo do experimento bsico. No existe uma regra dizendo qual deve ser o nmero mnimo de repeties. Isto depende do conhecimento do pesquisador sobre o assunto e do conjunto de condies em que ser realizado o experimento. Como regra prtica, sugere-se que os experimentos tenham pelo menos 20 unidades experimentais e 10 graus de liberdade para o resduo. Quanto maior o nmero de repeties, espera-se que seja maior a preciso do experimento.

Em termos estatsticos, o uso do princpio da repetio tem por finalidade obter uma estimativa do erro experimental.


31

Princpio da Casualizao O princpio da casualizao consiste em distribuir ao acaso os tratamentos s

unidades experimentais. Este princpio tem por finalidade propiciar, a todos os tratamentos, a mesma chance de serem designados a qualquer uma das unidades experimentais, visando evitar que algum dos tratamentos seja sistematicamente favorecido ou desfavorecido por fatores fora de controle do pesquisador. Sendo assim com o uso do princpio da casualizao, as variaes que contribuem para o erro experimental so convertidas em variveis aleatrias.

Do ponto de vista estatstico, com o uso do princpio da casualizao em um experimento:

a. obtm-se uma estimativa vlida do erro experimental; b. fica garantido o uso de testes de significncia, pois os erros experimentais

atuam de forma independente nas diversas unidades experimentais. Todo experimento deve conter no mnimo os princpios bsicos da repetio e da

casualizao.

Princpio do Controle na Casualizao O uso do princpio do controle na casualizao s recomendado quando as

unidades experimentais no so ou no esto sob condies homogneas devido a influncia de um ou mais fatores. Para utilizar este princpio, necessrio inicialmente dividir as unidades experimentais em blocos de unidades de tal forma que dentro de cada bloco haja homogeneidade e um nmero de unidades igual ao nmero de tratamentos do experimento. A distribuio dos tratamentos as unidades feita ento dentro de cada bloco. Da o nome do princpio controle na casualizao.

A finalidade, do uso do princpio do controle na casualizao, reduzir o efeito do erro experimental atravs do controle da variao existente entre as unidades experimentais. Espera-se que com o controle na casualizao a estimativa obtida para o erro experimental seja menor.

3.4. Fontes de variao de um experimento Em um experimento podem ocorrer as seguintes fontes de variao:

Premeditada aquela introduzida pelo pesquisador com a finalidade de fazer comparaes. Por

exemplo: tratamentos.

Sistemtica Variaes no intencionais, mas de natureza conhecida. Variao inerente ao

material experimental. Podem ser controladas pelo pesquisador. Por exemplo: heterogeneidade do solo, tamanho de semente, etc.

Aleatria So variaes de origem desconhecida, no podendo ser controladas. Constituem

o erro experimental. So devidas a duas fontes: variaes no material experimental e falta de uniformidade nas condies experimentais.


32

3.5. Exerccios 3.1. Um experimento deve conter no mnimo o(s) seguinte(s) princpio(s) bsico(s) da experimentao:

a) repetio b) casualizao c) controle local d) repetio e controle local e) repetio e casualizao f) casualizao e controle local g) nenhuma das respostas anteriores

3.2. A repetio tem a funo de: a) fornecer uma estimativa do erro experimental b) validar a estimativa do erro experimental c) controlar a heterogeneidade das unidades experimentais d) nenhuma das anteriores

3.3. A casualizao tem a funo de: a) fornecer uma estimativa do erro experimental b) validar a estimativa do erro experimental c) controlar a heterogeneidade das unidades experimentais d) nenhuma das anteriores

3.4. Um extensionista, desejando comparar 10 raes para ganho de peso em animais, procedeu da seguinte forma:

- tomou 10 animais de uma propriedade rural. Estes 10 animais visivelmente no

eram homogneos entre si, porque foram oriundos de diferentes cruzamentos raciais e apresentavam idades diferentes.

- as raes que o extensionista julgou ser as melhores foram designadas aos melhores animais, e as raes que o extensionista julgou ser as piores foram designadas aos piores animais, de tal forma que cada animal recebeu uma nica rao.

- ao final de sua pesquisa, o extensionista recomendou a rao que proporcionou maior ganho de peso nos animais. Baseado nestas informaes, pergunta-se:

3.4.1 Quantos e quais foram os tratamentos em teste nesta pesquisa? Justifique sua resposta. 3.4.2 Qual foi a constituio de cada unidade experimental nesta pesquisa? Justifique sua resposta. 3.4.3 Qual(is) foi(ram) o(s) princpio(s) bsico(s) da experimentao utilizados nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. 3.4.4 possvel estimar o erro experimental nesta pesquisa? Justifique sua resposta. 3.4.5 A concluso dada pelo extensionista ao final da pesquisa, estatisticamente aceitvel? Justifique a sua resposta.


33

3.5. Um bioqumico desejando verificar qual entre 5 enzimas (identificadas como E1, E2, E3, E4 e E5) produz maiores fragmentos de DNA de clulas epiteliais de cobaias, realizou o seguinte ensaio:

- selecionou um conjunto de 15 cobaias (sistematicamente identificadas como 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 e 15) que eram supostamente homogneas para as caractersticas essenciais;

- de cada uma das 15 cobaias, tomou uma amostra de tecido epitelial de cada um dos seguintes membros: superior, mediano e inferior. Procedeu posteriormente a uma mistura das amostras coletadas dos trs membros, denominada de amostra composta;

- cada amostra composta foi convenientemente tratada para a extrao do DNA. A amostra obtida contendo apenas o DNA foi denominada amostra genmica. As amostras genmicas foram identificadas de acordo com o nmero da cobaia que a originou, ou seja, a amostra genmica identificada como C1, conteve DNA extrado da cobaia 1; a amostra genmica identificada como C2, conteve DNA extrado da cobaia 2; e assim por diante. Ao final obteve-se as amostras genmicas C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, C12, C13, C14 e C15;

- cada uma das amostras genmicas foi tratada com um tipo de enzima. A distribuio das enzimas s amostras foi feita da seguinte forma sistemtica: E1 foi destinada s amostras genmicas C1, C2 e C3; E2 foi destinada s amostras genmicas C4, C5 e C6; E3 foi destinada s amostras genmicas C7, C8 e C9; E4 foi destinada s amostras genmicas C10, C11 e C12; e E5 foi destinada s amostras genmicas C13, C14 e C15;

- uma amostra de 1 ml de cada substrato qumico dos fragmentos de DNA foi colocado para correr em um gel. O tempo, em minutos, gasto por cada uma das 15 amostras para percorrer a distncia de 25 cm foi registrado para comparar o efeito das enzimas E1, E2, E3, E4 e E5. Com base nas informaes fornecidas deste ensaio e das explicaes fornecidas

em sala de aula, pergunta-se:

3.5.1 Quais foram os tratamentos em teste neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.5.2 Neste experimento os tratamentos surgiram de uma forma aleatria, premeditada ou sistemtica? Justifique a sua resposta. 3.5.3 Qual foi a unidade experimental nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. 3.5.4 O princpio da repetio foi utilizado nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. Em caso afirmativo, explique porque diferentes observaes obtidas para um mesmo tratamento no so iguais. Em caso negativo, faa uma anlise crtica quanto necessidade do uso de repeties num experimento. 3.5.5 O princpio da casualizao foi utilizado nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. 3.5.6 O princpio do controle local foi utilizado nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. Em termos gerais, quando que o princpio do controle local deve ser utilizado em um experimento? 3.5.7 possvel estimar o erro experimental nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. Em caso afirmativo, a estimativa do erro experimental vlida? Justifique a sua resposta. Em caso negativo, indique o que deveria ser feito de diferente neste ensaio para ser possvel estimar o erro experimental. Justifique a sua resposta. 3.5.8 Neste ensaio, qual foi a varivel resposta utilizada para comparar os efeitos de tratamentos? Justifique a sua resposta.


34

3.6. Um pesquisador desejava comparar os efeitos que 8 tipos de leo tm sobre o teor de gordura total em preparos de maionese. Com esta finalidade, esse pesquisador procedeu da seguinte forma:

- para a avaliao do teor de gordura total, o pesquisador tinha sua disposio 8

bioqumicos. Devido falta de experincia dos bioqumicos, o pesquisador temia que a medio dos mesmos pudesse interferir na comparao dos tipos de leo. Visando controlar esta fonte de variao, o pesquisador decidiu que cada um dos 8 bioqumicos deveria fazer a medio do teor de gordura dos preparos de maionese produzidos utilizando os 8 tipos de leo;

- baseado em experimentos anteriores, o pesquisador sabia que, apesar do controle de qualidade, havia variao entre os lotes de substrato de preparos de maionese. O substrato de preparo da maionese o composto que tem todos os ingredientes do preparo da maionese, exceto o leo. Como um lote de substrato no seria suficiente para testar os 8 tipos de leo em todas as repeties desejadas, o pesquisador decidiu que prepararia 8 lotes de substrato e dividiria cada lote em 8 partes iguais. Cada uma das 64 partes, assim obtidas, seria denominada de amostra bsica;

- foi ento realizada uma distribuio ao acaso dos 8 tipos de leo s amostras bsicas, tendo as seguintes restries na casualizao: 1a) cada tipo de leo deveria ser aplicado em uma nica amostra bsica de cada

um dos 8 lotes de substrato. 2a) os 8 tipos de preparo de maionese obtidos misturando cada uma das amostras

bsicas com cada um dos 8 tipos de leo, deveriam ser avaliadas por cada um dos 8 bioqumicos;

No local que foi conduzido o experimento, o pesquisador constatou que, aps certo

tempo do experimento ter sido instalado, houve uma pequena contaminao por fungo em algumas unidades experimentais. O pesquisador, usando do seu conhecimento tcnico na rea, julgou que a contaminao no comprometeria os resultados obtidos no experimento.

Baseando-se nestas informaes, responda com objetividade e clareza, as

seguintes perguntas:

3.6.1 Quais foram os tratamentos em teste? Justifique a sua resposta. 3.6.2 Como voc classificaria a fonte de variao contaminao por fungo, observada nesse experimento? Justifique a sua resposta. 3.6.3 Qual foi a unidade experimental utilizada nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. 3.6.4 O princpio da repetio foi utilizado nesta pesquisa? Se sua resposta for afirmativa, responda qual foi o nmero de repeties utilizado. Se a sua resposta for negativa, responda se o procedimento do pesquisador est correto. 3.6.5 O princpio da casualizao foi utilizado nesta pesquisa? Justifique a sua resposta. 3.6.6 O princpio do controle local foi utilizado nesta pesquisa? Se a sua resposta for afirmativa, explique como este princpio foi utilizado. Se a sua resposta for negativa, explique por que no houve a necessidade da utilizao deste princpio. 3.6.7 Qual foi a caracterstica utilizada pelo pesquisador para avaliar o efeito de tratamentos neste experimento. Justifique a sua resposta.


35

3.7. Um fabricante de mveis realizou um experimento para verificar qual dentre cinco marcas de verniz proporciona maior brilho. Com esta finalidade, procedeu da seguinte forma:

- Em sua fbrica identificou amostras de madeira que estariam disponveis para a realizao deste experimento. Verificou que possua cinco tbuas de Jatob, cinco tbuas de Cerejeira, cinco tbuas de Mogno, cinco tbuas de Goiabo e cinco tbuas de Castanheira. Constatou tambm que as cinco tbuas de cada tipo de madeira eram homogneas para as caractersticas essenciais e que havia uma grande variedade de cores entre os cinco tipos de madeira (Jatob, Cerejeira, Mogno, Goiabo e Castanheira). Sabe-se que a cor da madeira pode influenciar muito o brilho da mesma quando envernizada;

- Resolveu ento distribuir ao acaso as cinco marcas de verniz s tbuas de madeira, de tal forma que cada tipo de madeira fosse testada com todas as marcas de verniz;

- O brilho foi medido por meio de um aparelho que mede a refletncia da luz branca projetado sobre a tbua de madeira envernizada;

Baseado nas informaes deste experimento, pergunta-se: 3.7.1. Qual foi a unidade experimental utilizada neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.7.2. Quais foram os tratamentos comparados neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.7.3. Quais foram os princpios bsicos da experimentao utilizados neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.7.4. possvel estimar o erro experimental neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, a estimativa do erro vlida? Justifique. Se a resposta foi negativa, explique o que deveria ser feito para obter uma estimativa vlida para o erro experimental. 3.7.5. O que faz surgir o erro num experimento? possvel eliminar totalmente o efeito do erro experimental em um experimento? Justifique a sua resposta. 3.7.6. O procedimento adotado pelo pesquisador de distribuir as marcas de verniz ao acaso dentro de cada tipo de madeira foi realmente necessrio? Justifique a sua resposta. 3.8. Um pesquisador de uma indstria de alimentos desejava verificar se seis sabores de sorvete apresentavam o mesmo o teor de glicose. O pesquisador, baseado em experimentos anteriores, sabia que duas outras fontes de variao indesejveis poderiam influenciar o valor mensurado do teor de glicose: o tipo de recipiente utilizado para armazenagem do sorvete e o equipamento utilizado para mensurao do teor de glicose. Para controlar estas duas fontes de variao o pesquisador decidiu que cada sabor deveria ser avaliado em cada um dos seis equipamentos disponveis; e armazenado em cada um dos seis tipos de recipientes disponveis. Com esta finalidade, o pesquisador planejou o experimento da seguinte maneira:

- preparar 6 lotes de 100 ml de cada sabor. O total de lotes a serem preparados seria de 36 lotes;

- os lotes de sorvetes deveriam ser distribudos ao acaso aos recipientes, com a restrio de que cada tipo de recipiente recebesse todos os 6 sabores uma nica vez;


36

- os lotes de sorvetes seriam designados ao acaso aos equipamentos para a anlise do teor de glicose, com a restrio de que cada equipamento avaliasse cada um dos seis sabores uma nica vez. Baseando-se nestas informaes, pergunta-se:

3.8.1. Quais foram os tratamentos em teste neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.8.2. O princpio da repetio foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. 3.8.3. O princpio do controle local foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, quantas vezes o mesmo foi utilizado? Se a resposta for negativa, discuta sobre a necessidade do mesmo ser utilizado neste experimento.

EST 220 Estatstica Experimental I/2008 ____________________________________________________________________

37

4. Delineamento Inteiramente Casualizado

4.1. Introduo No Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) a distribuio dos tratamentos s

unidades experimentais feita inteiramente ao acaso. Os outros delineamentos experimentais, por exemplo: blocos casualizados e quadrado latino, se originam do DIC pelo uso de restrio na casualizao. O DIC utiliza apenas os princpios bsicos da repetio e da casualizao.

Como no faz restries na casualizao, o uso do DIC pressupe que as unidades experimentais esto sob condies homogneas. Estas condies homogneas geralmente so obtidas em locais com ambientes controlados tais como laboratrios, estufas e casas de vegetao.

4.2. Quadro de tabulao dos dados A ttulo de exemplo, considere um experimento instalado no DIC com I tratamentos

e J repeties. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida, num quadro do tipo a seguir:

Tratamentos Repeties 1 2 ... I

1 11Y 21Y ... 1IY 2 12Y 22Y ... 2IY ... ... ... ... ... J J1Y J2Y ... IJY

Totais 1T 2T ... IT Deste quadro pode-se retirar algumas informaes de interesse:

- no de unidades experimentais: N = I x J

- Total geral: === == =

YTYGJ,I

1j,1i

I

1iiij

- Total para o tratamento i: == =

i

J

1jiji YYT

- Mdia para o tratamento i: JT

m ii =

- Mdia geral do experimento: IJGm = .

4.3. Modelo estatstico Existe um modelo estatstico especfico para cada tipo de delineamento. O modelo

estatstico identifica quais so as fontes de variao dos valores de uma varivel resposta em estudo.

Para os dados oriundos de um experimento instalado segundo o DIC, o seguinte modelo estatstico deve ser utilizado nas anlises estatsticas:

ijiij etmY ++=


38

em que, ijY o valor observado para a varivel resposta obtido para o i-simo tratamento

em sua j-sima repetio; m mdia de todos os valores possveis da varivel resposta;

it o efeito do tratamento i no valor observado ijY ; mmt ii =

ije o erro experimental associado ao valor observado ijY ;

iijij mYe = O erro experimental ocorre em todos os experimentos, porque no possvel

controlar o efeito de fontes de variaes que ocorrem de forma aleatria e desconhecida. Este erro o responsvel pela variao observada entre as observaes obtidas nas repeties para cada tratamento.

4.4. Anlise de Varincia uma tcnica de anlise estatstica que permite decompor a variao total, ou

seja, a variao existente entre todas as observaes, na variao devido diferena entre os efeitos dos tratamentos e na variao devido ao acaso, que tambm denominada de erro experimental ou resduo.

No entanto, para que esta tcnica seja empregada necessrio que sejam satisfeitas as seguintes pressuposies:

1a) os efeitos do modelo estatstico devem ser aditivos; 2a) os erros experimentais devem ser normalmente distribudos, independentes, com

mdia zero e com varincia comum. Partindo do modelo estatstico, pode-se decompor a variao entre os valores

observados nas diferentes causas de variabilidade, como demonstrado a seguir: Considere o modelo estatstico para um experimento instalado segundo o DIC:

ijiij etmY ++= fazendo mmt ii = e eij = Yij mi , tem-se: ( ) ( )iijiij mYmmmY += , substituindo iji eem,m por seus estimadores tem-se: ( ) ( )iijiij mYmmmY += , elevando ambos os membros ao quadrado ( ) ( ) ( )[ ]2iiji2ij mYmmmY += , aplicando somatrio

( ) ( ) ( )[ ]====

+=J,I

1j,1i

2iiji

J,I

1j,1i

2ij mYmmmY ,

( ) ( ) ( ) ========

++=J,I

1j,1i

J,I

1j,1i

2iij

J,I

1j,1i

2i

J,I

1j,1i

2ij produtosduplosmYmmmY

pode-se verificar que: 0produtosduplosJ,I

1j,1i=

==.

Escrevendo de uma forma mais simplificada a igualdade anterior temos: SQTotal = SQTrat + SQRes

Por meio das frmulas obtidas anteriormente, pode-se obter os valores para as respectivas somas de quadrados. No entanto, essas frmulas demandam muitos clculos.


39

Frmulas de mais fcil aplicao podem ser obtidas, conforme mostrado a seguir. Inicialmente trabalharemos com a frmula da SQTotal.

Tem-se que:

( )==

=J,I

1j,1i

2ij mYSQTotal

desenvolvendo o quadrado perfeito,

( ) ( )====

+=J,I

1j,1i

2ij

2ij

J,I

1j,1i

2ij mYm2YmY

aplicando-se as propriedades de somatrio, temos:

( ) ========

+=J,I

1j,1i

2J,I

1j,1iij

J,I

1j,1i

2ij

J,I

1j,1i

2ij mYm2YmY

( ) 2J,I1j,1i

ij

J,I

1j,1i

2ij

J,I

1j,1i

2ij mIJYm2YmY +=

======

A mdia geral pode ser escrita como: IJ

Ym

J,I

1j,1iij

=== , assim

( )2J,I

1j,1iijJ,I

1j,1iij

J,I

1j,1iijJ,I

1j,1i

2ij

J,I

1j,1i

2ij IJ

YIJY

IJ

Y2YmY

+=

==

==

==

====

simplificando tem-se,

( )IJ

Y

IJ

Y2YmY

2J,I

1j,1iij

2J,I

1j,1iijJ,I

1j,1i

2ij

J,I

1j,1i

2ij

+

=

========

finalmente temos:

( )IJ

YYmYSQTotal

2J,I

1j,1iijJ,I

1j,1i

2ij

J,I

1j,1i

2ij

==

======

que a frmula mais prtica para se calcular a SQTotal. Para a SQTratamentos tem-se:

( )==

=J,I

1j,1i

2i mmSQTrat

desenvolvendo o quadrado perfeito,

( ) ( )====

+=J,I

1j,1i

2i

2i

J,I

1j,1i

2i mmm2mmm

aplicando-se as propriedades de somatrio, temos:

( ) == == ====

+=J,I

1j,1i

J,I

1j,1i

J,I

1j,1i

2i

2i

J,I

1j,1i

2i mmm2mmm

( ) = ===

+=I

1i

I

1i

2i

2i

J,I

1j,1i

2i mIJmJm2mJmm

A mdia geral e a mdia para tratamentos podem ser escritas respectivamente como:


40

JT

meIJ

Ym ii

J,I

1j,1iij

==

==

substituindo na expresso anterior, tem-se:

( )2J,I

1j,1iijI

1i

I

1i

i

J,I

1j,1iij

2

2i

J,I

1j,1i

2i IJ

YIJ

JT

JIJ

Y2

JT

Jmm

+=

=== =

==

==

sabe-se que =

=J

1jiji YT , ento

( )2J,I

1j,1iijI

1i

J,I

1j,1iij

J,I

1j,1iij

2

2i

J,I

1j,1i

2i IJ

YIJ

J

YJ

IJ

Y2

JT

Jmm

+=

===

====

==

simplificando, tem-se.

( )IJ

Y

IJ

Y2

JT

mm

2J,I

1j,1iijI

1i

2J,I

1j,1iij2

iJ,I

1j,1i

2i

+

=

===

==

==

finalmente tem-se:

( )

=

==

==

==I

1i

2J,I

1j,1iij2

iJ,I

1j,1i

2i IJ

Y

JT

mmSQTrat

A frmula anterior utilizada quando o nmero de repeties igual para todos os tratamentos. No caso em que o nmero de repeties varia de acordo com o tratamento a frmula apropriada

=

==

=I

1i

2r,I

1j,1iij

i

2i

N

Y

rT

SQTrat

i

em que,

N o nmero de unidades experimentais = =

I

1iir

ir nmero de unidades experimentais do tratamento i. A Soma de Quadrados do Resduo (SQRes) obtida por diferena,

SQRes = SQTotal - SQTrat O quadro da anlise de varincia, geralmente denotada por ANOVA (ANalysis Of

VAriance) para a anlise de um experimento instalado segundo o DIC, com igual nmero de repeties para todos os tratamentos do seguinte tipo:


41

FV GL SQ QM F Ftab;

Tratamentos (I-1) SQTrat 1I

SQTrat sReQM

QMTrat [(I-1); I(J-1)]

Resduo I(J-1) SQRes ( )1JIsReSQ

Total IJ - 1 SQTotal A partir das SQTrat e SQRes, obtm-se os respectivos quadrados mdios, por

meio do quociente entre a soma de quadrados com o respectivo nmero de graus de liberdade.

Para se concluir se existe diferena entre tratamentos, calcula-se o valor de F, que obtido pelo quociente do QMTrat com o QMRes. Este valor de F calculado deve ser comparado com o valor de F tabelado, o qual obtido na tabela de distribuio da varivel aleatria F, de acordo com o nvel de significncia do teste, graus de liberdade para tratamentos e graus de liberdade para resduo.

As hipteses para o teste F da anlise de varincia para tratamentos so as seguintes:

mm...mm:H I210 ==== , o que equivale a dizer que todos os possveis contrastes entre as mdias dos tratamentos, so estatisticamente nulos, ao nvel de probabilidade que foi executado o teste.

0a Hno:H , o que equivale a dizer que existe pelo menos um contraste entre as mdias dos tratamentos, estatisticamente diferentes de zero, ao nvel de probabilidade que foi realizado o teste. A regra decisria para o teste F a seguinte:

- se o valor do F calculado for maior ou igual ao valor do F tabelado, ento rejeita-se 0H e conclui-se que os tratamentos tem efeito diferenciado ao nvel de significncia

em que foi realizado o teste; - se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado, ento no rejeita-se

0H e conclui-se que os tratamentos tm efeitos iguais ao nvel de significncia em que foi realizado o teste.

4.5. Coeficiente de Variao O coeficiente de variao calculado da seguinte maneira:

100m

sReQMCV = O CV utilizado para avaliao da preciso de experimentos. Quanto menor o CV

mais preciso tende a ser o experimento. A ttulo de classificao geral pode-se utilizar a seguinte tabela

C.V. Avaliao Preciso < 10% Baixo Alta

10 a 20% Mdio Mdia 20 a 30% Alto Baixa

>30% Muito Alto Muito Baixa Porm o valor do CV no tem nada de absoluto, pois existe uma variabilidade

inerente a cada rea de pesquisa. Por exemplo, experimentos realizados em locais com


42

ambiente controlado geralmente so mais precisos e podem apresentar CV menores que 5%.

4.6. Vantagens e Desvantagens do delineamento inteiramente casualizado

Vantagens a) no exist

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