Udţbenik za kurs: Elementarna algebra, kalkulus i ... · PDF fileUdţbenik za kurs:...

Udţbe nik za kurs: Elementarna algebra, kalkulus i finansijska matematika i statistika Knjiga 1: Elementarna algebra Treće izdanje Prof. dr Dietrich Ohse ProCredit Academy GmbH Hammelbacher Strasse 2 64658 Fürth-Weschnitz Phone +49 6253 20080

© 2010 ProCredit Academy GmbH

P r e d g o v o r S t r a n a | III

Predgovor

Matematika ima ključnu ulogu u bankama iz razloga što sve bankarske operacije zavise od tačnih proračuna i precizno definisanih metoda. Iz pomenutog razloga svakako nije dovoljno osloniti se na svoj digitron, računar ili server na našoj mreţ i. Neophodno je da razumemo operacije i procese koji čine oslovu svih oblasti poslovanja naše banke. U tom cilju, odlučili smo da uvedemo Program obuke iz matematike u svim bankama i akademijama pod rukovodstvom ProCredit Holdinga. Ovaj udţ benik je osnova za sve te kurseve.

Nastavni materijal za kurs je podeljen u tri knjige:

Knjiga 1 obuhvata fundamentalne osnove algebre. Primena ovih principa sa apsolutnom sigurnošću je od suštinske vaţ nosti. Brojevi, promenljive, računice, iskazi, jednačine i jednostavne funkcije su osnovne komponente matematike i njene primene. Nijedna banka ne moţ e sebi da dozvoli da pokaţ e ni najmanji znak slabosti u bilo kojoj od ovih oblasti. Sadrţ aj ove knjige obuhvata teme testova u Matematici 1 i biće na raspolaganju zaposlenima od januara 2010. godine.

Knjiga 2 obuhvata nešto naprednije primene matematike, a posebno primene karakteristične za bankarsko poslovanje. Pre svega, ovom knjigom su pokrivene funkcije koje se upotrebljavaju u finansijskom sektoru, kao i glavne teme finansijske matematike. Poseban akcenat je na različitim tipovima kamate, kao i svim osnovnim obračunima vazanim za novčane tokove. Sadrţ aj ove knjige odgovara testovima u Matematici 2.

Knjiga 3 je udţ benik za kurs ProCredit Akademije u Firtu. Njegova svrha je da ponudi kratak uvod u kalkulus pre svega radi razumevanja njegove primene u vezi sa marginalnom analizom. Drugi deo sadrţ i odabrane teme u okviru opisne statistike jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih distribucija.

IV | S t r a n a P r e d g o v o r

U skladu sa ovom podelom u tri knjige, nastavni materijal je takoĎe predstavljen u tri udţ benika, koji se mogu koristiti samostalno. Zasigurno, poznavanje osnova algebre je od takvog značaja da je razumevanje korišćenja jednačina i funkcija neizostavan preduslov za razumevanje tema Matematike 2 i kursa u Firtu.

Svrha udţ benika je definisanje predmeta obuke. On stoga predstavlja zajedničku platformu, kako za predavače tako i za polaznike kursa. Što se tiče same obuke, od predavača se očekuje da pripremi pregled poglavlja i strana koji će se obraĎivati na svakom času. Pregled, koji bi trebalo podeliti polaznicima, mogao bi ovako da izgleda:

Blok # Struktura i teme Strane

1 Uvod i ciljevi obuke 1 – 10

2 Osnove algebre Brojevi i operacije

Razlomci i decimale

11 - 41

3 itd.

Predavaču je prepušten odabir poglavlja koja će biti pokrivena nastavom, u zavisnosti od predznanja polaznika i vremena koje im je potrebno da savladaju gradivo. Iz tog razloga je nezahvalno dati neku univerzalnu preporuku. Dosadašnje iskustvo je pokazalo da je bolje sporije, i samim tim temeljnije, proći kroz suštinu nego nastojati da se po svaku cenu preĎe što više nastavnih jedinica u toku jednog kursa.

Kroz napomene koje ukazuju na odreĎene strane u udţ beniku polaznicima je omogućeno da koriste udţ benik za samostalno uĉenje. Nastavni materijal je sveobuhvatan i pripremljen je paţ ljivo kako bi se mogao pratiti bez pomoći predavača. U svakom odeljku se nalaze brojni primeri radi ilustracije prethodno opisanih koraka. Svi primeri su označeni duplim linijama sa obe strane u tekstu.

P r e d g o v o r S t r a n a | V

Na kraju svakog poglavlja nalaze se brojne veţbe. Ove veţ be su neizostavan deo bilo kog kursa matematike. Zapravo, veţ banje je jedini način učenja matematike. Polaznici će uvek moći da prate predavača koji ume da ih motiviše i pruţ i im objašnjenje. Ipak, to svakako ne znači da će oni automatski biti u mogućnosti da samostalno primene ono što su usvojili. Naprotiv. Takva veština je isključivo rezultat samostalnog veţ banja.

U knjizi, veţ be su praćene rešenjima za relevantno poglavlje, čime je omogućena samostalna provera rada. Svaki odeljak sadrţ i samo konačna rešenja, bez detaljnog objašnjenja postupka kojim se dolazi do rezultata.

Svesno smo izostavili preporučen metod rada iz razloga što smo ţ eleli da vas ohrabrimo da razmotrite alternativne metode ukoliko je vaše rešenje netačno.

Svako poglavlje se završava testovima napretka kako bi polaznici sami mogu da isprate svoj napredak. Polaznici kursa treba da uporede svoja rešenja sa rešenjima u ključu svakog poglavlja odmah po završetku odgovarajućeg poglavlja. Udţ benik ne sadrţ i detaljna objašnjenja rešenja testova napretka. Čitanje je vid učenja. Dakle, mi predlaţ emo da ponovo preĎete poglavlje kako biste samostalno pronašli ispravno rešenje.

Sva tri udţ benika su predmet čestih diskusija i revizija u cilju unapreĎenja zahvaljujući mojim kolegama Alois Knobloch i Mario Kluge, koji iznosili predloge za mnoge izmene i dopune. Pored toga, veliki broj onih koji su pohaĎali kurs prema ovoj knjizi dali su svoj doprinos ukazavši na greške u tekstu i veţ banjima. Ţeleli bismo svima da zahvalimo i da vas ohrabrimo da podelite sa nama svoje iskustvo tako što ćete nam slati komentare na sledeću adresu:

[email protected] .

Nadamo se da ćete biti zadovoljni i uspešni sopstvenim radom pomoću ovog udţ benika.

mailto:[email protected]

VI | S t r a n a P r e d g o v o r

S a d r ţ a j S t r a n a | VII

Sadrţaj

1. Uvod ................................................................... 1

1.1 2

1.2 Jezik matematike ......................................................... 2

1.3 Kako primeniti matematiku ......................................... 4

1.4 Ciljevi učenja ............................................................... 7

2. Osnove algebre ................................................ 11

2.1 Brojevi ....................................................................... 13

2.1.1 Brojevi i operacije ......................................................... 14 Važba 2.1.1: Brojevi i operacije ......................................... 21 Rešenja 2.1.1: Brojevi i operacije ...................................... 23

2.1.2 Razlomci i decimale ...................................................... 24 Vežba 2.1.2: Razlomci i decimale ....................................... 36 Rešenja 2.1.2: Razlomci i decimale .................................... 39

2.1.3 Procenti .......................................................................... 41 Vežba 2.1.3: Procenti ......................................................... 50 Rešenja 2.1.3: Procenti ...................................................... 52

2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve” ........................................... 54

2.2 Eksponenti ................................................................. 57

2.2.1 Celobrojni eksponenti .................................................... 60 Vežba 2.2.1: Celobrojni eksponenti .................................... 67 Rešenja 2.2.1: Celobrojni eksponenti ................................. 69

2.2.2 Razlomački eksponenti .................................................. 70

VIII | S t r a n a S a d r ţ a j

Vežba 2.2.2: Razlomački eksponenti .................................. 77 Rešenja 2.2.2: Razlomački eksponenti .............................. 79

2.2.3 Radikali .......................................................................... 80 Vežba 2.2.3: Radikali ......................................................... 86 Rešenja 2.2.3: Radikali ...................................................... 89

2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente” ..................................... 91

2.3 Iskazi .......................................................................... 93

2.3.1 Integralni iskazi ............................................................. 95 Vežba 2.3.1: Integralni iskazi ........................................... 103 Rešenja 2.3.1: Integralni iskazi ........................................ 105

2.3.2 Razlomački iskazi ........................................................ 106 Vežba 2.3.2: Razlomački izrazi ........................................ 111 Rešenja 2.3.2: Razlomački iskazi ..................................... 113

2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze” ............................................ 114

2.4 Rešenja za testove napretka .................................... 116

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve” ......................... 116

2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente” ................... 117

2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze” ........................... 118

3. Jednaĉine ....................................................... 119

3.1 Upotreba jednačina ................................................. 121

3.1.1 Modelovanje pomoću jednačina .................................. 124

3.1.2 Rešenje ........................................................................ 128 Vežba 3.1: Upotreba jednačina ........................................ 138 Rešenja 3.1: Upotreba jednačina ..................................... 140

3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednačina” ....................... 141

3.2 Linearne jednačine .................................................. 143

S a d r ţ a j S t r a n a | IX

3.2.1 Normalan oblik linearne jednačine .............................. 144

3.2.2 Rešenje ........................................................................ 145 Vežba 3.2: Linearne jednačine ......................................... 149 Rešenja 3.2: Linearne jednačine ...................................... 151

3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednačine” ........................ 152

3.3 Kvadratne jednačine ............................................... 154

3.3.1 Oblici kvadratnih jednačina ......................................... 155

3.3.2 Rešenje ........................................................................ 156 Vežbe 3.3: Kvadratne jednačine ....................................... 163 Rešenja 3.3: Kvadratne jednačine .................................... 165

3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednačine” ..................... 167

3.4 Rešenja za testove napretka .................................... 169

3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednačina” ........... 169

3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednačine” ....... 170

3.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednačine” .... 171

4. Osnovne funkcije .......................................... 173

4.1 Svojstva funkcija ...................................................... 180

4.1.1 Karakteristike grafika .................................................. 181

4.1.2 Inverzna funkcija ......................................................... 185 Vežba 4.1: Svojstva funkcija ............................................. 191 Rešenja 4.1: Svojstva funkcija .......................................... 193

4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija” .......................... 197

4.2 Linearne funkcije ..................................................... 199

4.2.1 Grafik linearne funkcije ............................................... 201

4.2.2 Svojstva linearnih funkcija .......................................... 204

X | S t r a n a S a d r ţ a j

Vežba 4.2: Linearne funkcije ............................................ 207 Rešenja 4.2: Linearne funkcije ......................................... 208

4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije" .......................... 210

4.3 Kvadratne funkcije .................................................. 212

4.3.1 Completion of the Square ............................................ 214

4.3.2 Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216

4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije ........................................ 223 Vežba 4.3: Kvadratne funkcije ......................................... 227 Rešenja 4.3: Kvadratne funkcije ....................................... 228

4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije"........................ 231

4.4 Rešenja testova napretka ......................................... 233

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva" ......................... 233

4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije" ............ 236

4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije" ....... 240

Indeks pojmova ...................................................... 243

S a d r ţ a j S t r a n a | XI

Slike

Slika 1-1: Matematičko modelovanje ............................................... 5

Slika 1-2: Upotreba matematičkih modela ...................................... 5

Figure 2-1: Linija realnih brojeva .................................................... 15

Slika 4-1: Grafik funkcije ............................................................. 178

Slika 4-2: Preseci funkcije ........................................................... 181

Slika 4-3: y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na-jedan 187

Slika 4-4: Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45° ................ 188

Slika 4-5: Grafik linija ................................................................. 201

Slika 4-6: Svojstva linearnih funkcija .......................................... 202

Slika 4-7: Crtanje linije sa oblikom preseka ................................ 204

Slika 4-8: Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216

Slika 4-9: Normalna parabola ..................................................... 217 Slika 4-10: Negativna normalna parabola .................................... 217

Slika 4-11: Parabola sa transformisanim temenom ....................... 218

Slika 4-12: Otvaranje parabole ..................................................... 219

Slika 4-13: Grafik tri parabole ...................................................... 224

Slika 4-14: Grafik koji ilustruje navedeno ..................................... 226

XII | S t r a n a S a d r ţ a j

Tabele

Tabela 2.1: Korišćenje zagrada u iskazima ...................................... 19

Tabela 2.2: Procenti ......................................................................... 43

Tabela 2.3: Računanje iskaza ........................................................... 62

Tabela 2.4: Uklanjanje zagrada ....................................................... 63

Tabela 4.1: Tabela vrednosti funkcije ............................................ 176

Tabela 4.2: Tabela vrednosti parabole ........................................... 215

S a d r ţ a j S t r a n a | XIII

Reĉnik termina

1 . 1 J e z i k m a t e m a t i k e S t r a n a | 1

1. Uvod Ovo je veoma kratko uvodno poglavlje koje sadrţ i neka krajnje opšta zapaţ anja o matematici i njenoj primeni. Očigledno je da ne ţ elimo da predajemo matematiku radi same matematike. Ţelimo da naučimo da primenjujemo matematiku na realne probleme, naročito probleme sa kojima se susrećemo u svakodnevnom radu u našim bankama.

Da bismo koristili matematiku kao alatku potrebno je da matematičarima predstavimo svoje svakodnevne probleme na ,,razumljiv” način. To znači da moramo da naučimo njihov jezik kako bismo im saopštili svoje probleme. Moţ da zvuči neobično nazvati matematiku ,,jezikom”, ali čim uvidimo da matematika ima svoj rečnik i gramatiku, i razmotrimo praktično iskustvo učenja i upotrebe matematike, sličnosti postaju sasvim očigledne.

U drugom kratkom poglavlju ţ elimo da demonstriramo primenu matematike. Tumačenje i upotreba adekvatnih alatki iz našeg kofera sa matematičkim alatkama u mnogome zavisi od iskustva. Jedini način da napredujemo je da što češće veţ bamo ove korake.

1. Introduction

1.1 The Language Mathematics

1.2 How to Apply

Mathematics

1.3 Learning Targets

2 | S t r a n a 1 . U v o d

Naposletku, ţ eleli bismo da istaknemo ciljeve obuke putem ovog udţ benika i kurseva elementarne algebre i funkcija. Uvereni smo da svaka osoba koja radi u banci ili, u širem kontekstu, u finansijskom sektoru mora dobro da poznaje neke fundamentalne matematičke oblasti. U ovom udţ beniku ove oblasti i odgovarajući ciljevi učenja grupisani su u pet poglavlja: osnove algebre, jednačine, funkcije, vremenska vrednost novca i statistika.

1.1

1.2 Jezik matematike

Ko god je učio neki strani jezik zna da je to proces koji karakterišu različite faze i poteškoće. Na samom početku moramo da usvojimo odreĎeni vokabular, odnosno rečnik, što znači da moramo da naučimo reči i njihovo značenje. Kada naučimo dovoljan broj reči, učimo da ih povezujemo kako bismo formirali rečenice, što znači da moramo da naučimo i primenjujemo odreĎena pravila. Ova pravila su se vremenom razvijala na osnovu opšteprihvaćenih struktura. Njihov normativan karakter omogućava da rečenične konstrukcije = rečenice svako moţ e da razume. Ova pravila stoga svako treba da prihvati. Naposletku, moramo da naučimo kako da aktivno koristimo jezik. Svako ko je učio jezik kao ,,teorijski” predmet u školi, gde su vokabular i gramatika raščlanjeni do najsitnijih detalja, zna iz iskustva da to nije dovoljno za adekvatno saopštavanje sopstvenih misli. Pored toga je neophodno da naučimo kako da aktivno upotrebljavamo jezik.

Izrazi koji se u lingvistici koriste za opis ove tri faze su:

Semantika = izučavanje značenja reči Semantika kao poddisciplina lingvistike (lingvistička semantika) istraţ uje značenje lingvističkih znakova.

Gramatika = izučavanje načina na koji se reči povezuju radi formiranja rečenica U uţ em smislu, gramatika – ili morfosintaksa – je izučavanje strukture reči (morfologija) i rečenica (sintaksa).

Pragmatika = izučavanje načina razumevanja jezika U lingvistici je ovo studija upotrebe jezika u različitim situacijama.

1 . 1 J e z i k m a t e m a t i k e S t r a n a | 3

Isto tako, matematika je jezik, i zaista u modernom društvu to je jezik koji sve više dobija na značaju. Moţ da se ne moţ e koristiti za pisanje poezije ili proze, ili drţ anje govora ili komentarisanja sportskih dogaĎaja, ali se moţ e koristiti za opis odreĎenih odnosa i struktura ili kreiranje modela realnih fenomena. Ako je upotreba matematike moguća ili čak neophodna, onda sledi da je matematika ne samo meĎunarodni jezik koji je razumljiv u svim zemljama sveta, već takoĎe izuzetno moćan instrument koji nam omogućava da opišemo najkompleksnije odnose.

Zapravo, matematika je organizovana na isti način kao i govorni jezik. Sastoji se od:

Brojeva, simbola, i operatora Ovi znaci čine vokabular matematike. Neophodno je da znate njihovo značenje kako biste razumeli suštinu koju vam oni saopštavaju.

Iskazi, operacije, pravila, i algoritmi Formiraju se kombinovanjem osnovnih elemenata, i to su rečenice u matematici. Gramatika je normativni niz pravila zahvaljujući kome svako ,,matematiku” razume na isti način.

Primene u obliku raĉunica, grafika, modela, teorema Ovi oblici se koriste radi saopštavanja i primene matematike. Pomoću ovih primena meri se korisnost jezika koji se naziva matematika.

Kada učimo jezik mi obično imamo cilj koji ţ elimo da ostvarimo. Na primer, učimo engleski jezik da bismo komunicirali sa što više ljudi širom sveta, ili iz razloga što je to zvanični jezik kompanije u kojoj radimo, ili iz razloga što bismo ţ eleli da čitamo literaturu na izvornom engleskom jeziku. Ali šta bi bila svrha učenja jezika matematike? Zašto je matematika verovatno jedini predmet koji se uči u školskom sistemu svake zemlje sveta? Koje su prednosti matematike kao jezika u odnosu na, recimo, latinski ili neki moderan ţ iv jezik?

Hajde da pokušamo da odgovorimo na to pitanje.

4 | S t r a n a 1 . U v o d

1.3 Kako primeniti matematiku

,,Primena matematike” obično podrazumeva: korišćenje instrumenata koje nam matematika pruţ a da bismo opisali, objasnili i rešili stvarne probleme.

Pre nego što opišemo osnovnu proceduru za primenu matematike, hajde da razmotrimo dva jednostavna problema.

Problem 1: Boca zajedno sa poklopcem teţ i 204g. Boca teţ i tačno 200g više od poklopca.

Kolika je teţ ina boce?

Problem 2: Ana će sledeće godine imati tri puta više godina od godina koje je imala Lusi pre dve godine, a Lusi će imati dva puta manje godina od Aninih godina pre tri godine.

Koliko Ana i Lusi danas imaju godina?

Prvo pokušajte da odgovorite na ova dva pitanja. Moţ da ćete spontano doći do odgovora; moţ da ćete pokušati da pronaĎete rešenje kroz više pokušaja i grešaka.

Dok ćete verovatno relativno brzo doći do rešenja na prvo pitanje jednostavnim razmišljanjem o pitanju ili sistematičnim isprobavanjem više rešenja, drugi problem je već toliko sloţ en da ga je gotovo nemoguće rešiti kroz pokušaje i greške.

Upravo ovde nam pomaţ e matematika. Da bismo je koristili kao metod za rešavanje problema, meĎutim, nije dovoljno znati metode računanja, operacije, algoritme i teoreme – ili dokaze. Umesto toga, prvo moramo da budemo sposobni da opišemo ekonomsku, fizičku, sociološku ili političku situaciju na način koji bi u matematici bio instrument za analizu ili metod za rešavanje problema. Iz tog razloga, od ključnog značaja je da izgradimo sposobnost prevoĎenja verbalno opisanog problema u matematički jezik, sposobnost konverzije u formu koja nam omogućava primenu matematičke analize. Rezultat ove transformacije mogao bi se opisati kao model stvarnog stanja stvari. Ukoliko koristimo niz matematičkih instrumenata koji su nam na raspolaganju na taj način dolazimo do ,,matematičkog modela” realnog problema.

1 . 2 K a k o p r i m e n i t i m a t e m a t i k u S t r a n a | 5

Real-world

Problem Modelling

Mathematical Model e.g.:( )y f x

2 2 4 0x x1

0

11

nnj

j

qqq

Slika 1-1: Matematičko modelovanje

U matematičkom modelu odnosi koji postoje u realnom problemu opisani su pomoću funkcija, jednačina i formula. Stvarni problem se prevodi u jezik matematike kako bi bilo moguće koristiti matematičke metode analize i rešavanja problema.

Ako matematički model ispravno opisuje suštinske karakteristike stvarnog problema, rešenje matematičkog problema treba da ponudi opciju za rešavanje stvarnog problema. Ukoliko ovo nije slučaj onda su odreĎene karakteristike matematičkog modela pogrešne i/ili je potrebno revidirati model.

Real-world

Problem Modelling

Mathematical Model e.g.:( )y f x

2 2 4 0x x1

0

11

nnj

j

qqq

Solution of

the Mathematical

Model

Is the solution of the Mathematical

Model a solution of the Real-world

Problem?

yes no Solve the

Mathematical

Problem

Slika 1-2: Upotreba matematičkih modela

6 | S t r a n a 1 . U v o d

Na osnovu dva problema opisana na početku ovog odeljka sada ćemo pokazati zbog čega je matematičko modelovanje ubedljiv pristup za rešavanje problema.

Problem 1: Teţ ine koje problem zahteva od nas da pronaĎemo – obično u formi pitanja koje vodi do zaključka – sada su definisane kao nepoznate (= promenljive). Na primer, recimo da

b = teţ ina boce

c = teţ ina poklopca

Koristeći ove promenljive sada moţ emo da prevedemo tekst problema u matematičke jednačine:

Boca + poklopac zajedno teţ e 204g: b + c = 204

Boca teţ i 200g više od poklopca: b = c + 200

Dakle, matematički model koji u potpunosti opisuje činjenice na način na koji su one opisane u problemu sastoji se od dve jednačine sa dve nepoznate.

Nakon kratke računice, dolazimo do rešenja: b = 202 i c = 2

Ovo rešenje na ispravan način zadovoljava dva postavljena uslova.

Da li ste i vi dobili ovo rešenje? Večina ljudi inicijalno da pogrešan odgovor kada kraće vreme razmišlja o problemu i tek nakon nešto duţ eg razmišljanja doĎe do ispravnog rešenja.

Dok se ovo prvo pitanje moţ e rešiti relativno lako sa malo razmišljanja, ovaj pristup se ne moţ e primeniti i na drugi problem.

1 . 2 K a k o p r i m e n i t i m a t e m a t i k u S t r a n a | 7

Problem 2: Šta se u problemu traţ i? Šta mi traţ imo?

Od nas se traţ i da ustanovimo Anine i Lusine godine. Odlučili smo da je

ax = Anine godine

lx = Lusine godine

Hajde da sada prevedemo problem:

Ana će sledeće godine imati tri puta više godina u odnosu na Lusi pre dve godine:

( 1) 3 ( 2)a lx x

Kroz četiri godine, Lusi će imati duplo manje godina od Ane pre tri godine:

12( 4) ( 3)l ax x

Prema tome, i ovde imamo matematički model koji se sastoji od sistema jednačina sa dve jednačine i dve nepoznate.

Rešenje je: 18lx i 47ax

Ukoliko proverimo ovo rešenje, vidimo da su oba uslova zadovoljena.

Primer drugog problema je poseban pokazatelj efikasnosti matematičkog modelovanja. Jednom kada formulišemo model koji opisuje situaciju moţ emo da primenimo kvantitativne metode za analizu, i onda je obično lako pronaći rešenje na postavljeno pitanje. Mora se, meĎutim, priznati da je formulisanje modela koji tačno opisuje pravo stanje stvari obično teţ i deo veţ be.

1.4 Ciljevi učenja

ProCredit je banka. Mi nastojimo da savetujemo naše klijente, i iznad svega ţ elimo da im damo ispravan i transparentan savet. Da bismo to uradili nuţ no je da imamo osnovno poznavanje algebre i nekih funkcija.

8 | S t r a n a 1 . U v o d

Mnogi od vas će reći: ,,Ali mi imamo računare i digitrone.”

To je validno stanovište, u smislu da program moţ e da izračuna tačan iznos do poslednje pare. Postoje, meĎutim, različiti izvori grešaka. Na primer, moţ ete da unesete pogrešan broj. U tom slučaju bi trebalo da budete sposobni da procenite da li je rezultat realan ili ne.

Moţ ete se naći u situaciji gde treba da date savet nekome, a nemate digitron ili računar. Šta biste, na primer, rekli prijatelju da vas zaustavi na ulici i pita koliko bi koštao kredit, ili kolika bi bila efektivna kamatna stopa na štedni deposit?

U našem svakodnevnom radu, bez obzira da li radimo sa klijentima, drugim članovima kolektiva: suština bankarskog poslovanja se bazira na rešavanju kvantitativnih promenljivih, brojeva ili operacija. Iz tog razloga je ključno znati

osnove algebre,

neke od funkcija koje su vaţ ne za bankarstvo, i njihova svojstva,

odreĎene aspekte statistike, i

pozadinu uzimanja depozita i kredita. To je razlog što ćemo na ovom kursu početi sa učenjem odreĎene količine vokabulara. Upoznaćemo se sa apsolutno fundamentalnim pojmovima iz algebre, kao što su brojevi i operatori, a posebno razlomci i eksponenti ili indeksi, kao i načinom njihovog kombinovanja radi formiranja algebarskih izraza.

U našem svakodnevnom ţ ivotu i radu, količine se veoma često meĎusobno porede i mere. U matematici, ovo uopšteno govoreći dovodi do jednačina koje ţ elimo da rešimo.

Najvaţ niji oblik jednačine u matematici je funkcija, pomoću koje se uzročni odnosi u stvarnom svetu mogu opisati kroz matematički model. U ovom prvom udţ beniku započinjemo diskusiju o vaţ nosti funkcija, njihovim svojstvima i nekim osnovnim funkcijama. U udţ beniku 2, koji obraĎuje nešto naprednije teme, uvodimo eksponencijalne i logaritamske funkcije. Ove funkcije su poznatije kao ,,transcendentalne” funkcije, što moţ da zvuči prilično teoretski. One su, meĎutim, verovatno najznačajnije funcije u ekonomiji i – još značajnije za bankarstvo.

1 . 3 L e a r n i n g T a r g e t s P a g e | 9

U banci, kamatne stope imaju ulogu od sveopšteg značaja: izračunavanje prihoda od kapitala zahteva da usmerimo posebnu paţ nju na eksponente kada radimo sa algebarskim izrazima. Proces rasta koji je rezultat konformne kamate opisan je pomoću takozvanih eksponencijalnih funkcija, koje imaju vaţ nu ulogu u opisu problema u oblasti finansijske matematike.

Zbog prihoda od kapitala, vrednost kapitala zavisi od vremena, i zbog toga, finansijsko-matematičke primene se često nazivaju ,,vremenskom vrednošću novca”. U nastavnim jedinicima ovog kursa, koje su direktno povezane sa primenama u banci, biće opisani nezamenljivi fundamentalni principi kamate, depozita i kredita.

Konačno, udţ benik 3, koji se takoĎe moţ e okarakterisati kao ,,matematičke primene u bankarstvu i finansijama”, posvećen je kalkulusu i osnovama opisne statistike. To je krajnje elementaran uvod u statističke metode opisivanja, prezentovanja, i procene velike količine podataka. S obzirom da banke uvek rade sa velikom količinom podataka koji se odnose na klijente, račune i portfolije, očigledno je da nam je potrebno osnovno razumevanje relevantnih pojmova.

Grafik na sledećoj strani pokazuje teme obraĎene u ovom udţ beniku u odreĎenom kontekstu. Osmišljeno je da se one uče na dva kursa. Na prvom kursu se postavljaju temelji algebre i funkcija. U drugom udţ beniku, ovi instrumenti se zapravo primenjuju na specifične finansijske probleme u bankarstvu.

Svako poglavlje sadrţ i brojne veţ be. Da biste mogli da proverite svoj rezultat, ispravna rešenja su data na kraju svakog poglavlja. U većini slučajeva, prikazano je samo konačno rešenje, ali ne i detaljan metod računanja. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučen metod iz razloga što smo ţ eleli da vas ohrabrimo da razmotrite alternativne metode ako dobijete pogrešno rešenje.

10 | S t r a n a 1 . U v o d

Elementary Algebra,Financial Mathematics, Calculus and Statistics

2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

Vol

. 1: E

lem

en-

tary

Age

bra

Vol

. 3: C

alcu

lus

and

Stat

istic

s

4. Two dimensional Distributions

1. Introduction

3. Equations

2. Calculus

3. Basics of Statistics

2. Special Functions

Vol

. 2: F

inan

cial

Mat

hem

atic

s

1. Introduction

3. Time Value of Money

U dodatku ćete, meĎutim, takoĎe pronaći kompletna rešenja. Koristite ovu informaciju sa rezervom zbog toga što je jedini način da se savlada jezik po imenu ,,Matematika” njena primena i iskustvo kroz samostalno pravljenje modela i rešavanje problema.

2 . O s n o v e a l g e b r e S t r a n a | 11

2. Osnove algebre


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

Vol

. 1: E

lem

en-

tary

Age

bra

3. Equations

Preduslovi: Ne traţ i se nikakvo specijalno znanje iz matematike, već samo volja za otkrivanjem matematičkih osnova u bankarstvu.

U principu, verovatno ćete se podsetiti matematike koju ste učili u školi. Ipak, očekuje se da aktivno učestvujete u obuci. Ovaj udţ benik je struktuiran na takav način da se predmet moţ e individualno razumeti putem veţ bi i samotestiranja. Postoje rešenja sa detaljnim objašnjenjima na kraju udţ benika kako biste mogli da proverite sopstveni napredak.

Ciljevi uĉenja: Da biste mogli da primenite matematiku potrebno je da probleme prevedete na jezik matematike tako da se oni mogu rešavati matematički.

S tim u vezi, od vas se očekuje da izgradite i unapredite svoje samopouzdanje u računanju ili radu sa brojevima i simbolima bez pomoći računara i digitrona. Isto tako, veoma je vaţ no da budete relativno sigurni da li je dobijeni rezultat rešenje

12 | S t r a n a 2 . O s n o v e a l g e b r e

problema. Stoga, treba da budete sposobni da napravite razliku izmeĎu razumnog i nerazumnog rešenja.

Algebra se često naziva ,,generalizovanom aritmetikom”. To je oblast matematike koja se u najširem smislu bavi aritmetičkim operacijama kao što su sabiranje, oduzimanje, mnoţ enje i deljenje odreĎenih brojeva. Naziv ,,algebra” potiče od latiniziranog imena persijskog matematičara Al Horezmi koji je ţ iveo oko 800. godine pre nove ere i koji je opisao mnoge osnovne principe.

Dok se ,,aritmetika” koristi brojeve (2, 4, 6, itd.), algebra se širi na simbole koji sluţ e kao promenljive i parametri. Postoje neke manje razlike izmeĎu rada sa brojevima i rada sa simbolima, ali uvek nas iznenaĎuje činjenica da mnogi polaznici kursa bez problema izračunaju sledeći izraz:

142 42 (4 2) 4 1

2 4 2 4 4 1

ali se ,,zaglave” kada broj 4 zamenimo simbolom x: 122 ( 2) 1

2 2 1xxx x

x x x

Simbol x u drugom izrazu je zamena za neki nepoznat broj. S obzirom da on moţ e da varira, simbol se takoĎe naziva i promenljiva. Mada su sve operacije i pravila isti, bez obzira da li se računa pomoću brojeva ili simbola, korišćenje simbola se često smatra teškim iz razloga što su simboli apstraktniji. Sa druge strane, treba imati na umu da je jedna od suštinskih karakteristika matematike apstrakcija od specifičnog do opšteg ili od odreĎenog do uobičajenog. Dakle, cilj učenja u ovom poglavlju je navikavanje na korišćenje simbola u matematičkim iskazima, i njihova upotreba zarad pronalaţ enja rešenja za realne probleme. Pregledaćemo neke od vaţ nih osnovnih algebarskih operacija koje se često uče u školi. Nastavni materijal se moţ e sistematično učiti pre nego što nastavimo dalje sa temama u okviru ovog udţ benika, ili se po potrebi moţ e ponavljati.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 13

2.1 Brojevi

Preduslovi: Ne postoje nikakvi posebni preduslovi.

Ciljevi uĉenja: Jezik matematike sluţ i se brojevima i simbolima. Vavilonci su razvili i koristili brojeve.

Brojevi su meĎusobno povezani operacijama. To dovodi do pojave iskaza, koji zbog algebarskih pravila mogu biti proizvoljno kompleksni. Jasan preduslov za primenu matematike je učenje i ispravna primena ovih osnovnih pravila.

Pojam aritmetičkih i algebarskih pravila ćemo postepeno redom širiti uvoĎenjem simbola, promenljivih i parametara. Posmatrano u celini, matematička pravila su osnova matematičke gramatike. Ako se pravilno primenjuje, bilo koji iskaz se moţ e razumeti u svim delovima sveta –

2. Basic Algebra

2.1 Numbers

Numbers & Operations

Fractions & Decimals

Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents

Fractional Exponents

Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions

Fractional Expressions


Kini, Rusiji, Gruziji ili Tajlandu, iako ove zemlje koriste različite alfabetske karaktere.

2.1.1 Brojevi i operacije

Reč niz se u matematici koristi na isti način kao i u govornom jeziku. To je skup predmeta ili elemenata sa istim zajedničkim svojstvima.

Upotreba simbola je u ovom kontekstu poprilično uobičajena za različite nizove brojeva:

N niz prirodnih brojeva; brojevi pomoću kojih brojimo: 1, 2, 3, …

Z niz celih brojeva; prirodni brojevi, negativni brojevi i nula: …,-2, -1, 0, 1, 2 …

Q niz racionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti kao ab , gde je a

ceo broj, a 0b . Još jedna karakteristika celih brojeva je to da se njihovo decimalno predstavljanje periodično ponavlja ili ima završetak: 7

9 ; 0.25; 0.236236

I niz iracionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti samo decimalama koje se ne ponavljaju i nemaju završetak:

2; 3.14159265359...; 2.71828182846...e

R niz realnih brojeva, koji čine i racionalne i iracionalne brojeve zajedno.

Odnos izmeĎu različitih nizova brojeva moţ e se predstaviti na sledeći način:

Natural N. + zero+Negative N.

Integer N. + Fractionals

== Rational N.

+ Irrational N.

= Real Numbers

Ukoliko povučemo direktnu liniju u obliku strele, shvatamo da svaki realan broj odgovara tačno jednoj tački na toj liniji, i obrnuto. Ova linija se naziva linija realnih brojeva, a nula se obično uzima kao početak.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 15

0 1 2-1-9/4

-2 3 RealNumbers

Figure 2-1: Linija realnih brojeva

Sada ćemo pogledati neka od osnovnih svojstava sistema realnih brojeva koja nam omogućavaju da prevedemo algebarske iskaze iz oblika koji smo videli na početku ovog poglavlja u ekvivalentne iskaze. Ova osnovna svojstva nazivaju se aksiomi i moraju se uvek uzeti u obzir prilikom transformacije algebarskih iskaza.

OSNOVNA SVOJSTVA REALNIH BROJEVA

Neka x, y, z budu proizvoljni realni brojevi. Pišemo: x, y, z

Čitamo x, y, z ,,su elementi niza realnih brojeva”.

SVOJSTVA SABIRANJA

Zatvorenost: x y je jedinstveni element u .

Asocijativnost: ( ) ( )x y z x y z

Komutativnost: x y y x

Identitet: 0 je adicioni identitet: 0 0x x x

Inverzija: Za svaki x , −x je njegova jedinstvena suprotnost, tako da ( ) ( ) 0x x x x


SVOJSTVA MNOŢENJA

Zatvorenost: x y su jedinstveni elementi u

Asocijativnost: ( ) ( )x y z x y z

Komutativnost: x y y x

Identitet: 1 je multiplikativni identitet: 1 1x x x

Inverzija: Za svako x gde je 0x , 1x je njegova jedinstvena

suprotnost, tako da 1 1( ) ( ) 1x xx x

KOMBINOVANA SVOJSTVA

Distributivnost: ( )x y z x z y z i ( )x y z x y x z

Zaključci gore navedenih aksioma su:

Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi.

( )x x

( ) ( ) ( )x y x y x y

( ) ( )x y x y

x x xy y y

za 0y

x xy y

za 0y

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 17

OBRATITE PAŢNJU: Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi:

0 0 0x x

0 0y

za 0y

0x y ukazuje da je ili 0x ili 0y ili 0x y

Deljenje sa 0 nikada nije dozvoljeno.

OPERACIJE SA BROJEVIMA Ako su operacije u algebarskim izrazima izmešane ponekad nije lako pratiti redosled operacija. Kada radimo sa sloţ enijim iskazima koji se sastoje od više različitih operacija, ponekad je teško odlučiti koju operaciju prvu treba izvesti. Drugim rečima, redosled ili prioritet operacija mora biti jasan i nedvosmislen.

Pravila računanja moraju da budu nedvosmislena; ne treba da postoji ni najmanja sumnja u vezi toga kako se iskaz tumači. Drugim rečima, polaznici kursa matematike u Gani i polaznici u Mozambiku moraju na isti način da izvedu računicu i dobiju identičan rezultat.

Da bismo sastavili algebarski izraz neophodno je da koristimo zagrade. Bilo koji par zagrada sadrţ i iskaz koji se mora tretirati kao celina. To znači da par zagrada oko bilo kog iskaza saţ ima sadrţ aj na vrstu simbola koji je uporediv sa brojem ili promenljivom. Svaka operacija koja se primenjuje na zagrade mora se tumačiti kao operacija koja se odnosi na celokupan sadrţ aj zagrada.

PRIMERI

1. 2 4 3 2 12 14 ali: (2 4) 3 6 3 18

2. 2 3 3 4 5 6 12 5 1 ali: 2 3 3 (4 5) 3 9 27


Oba iskaza u pomenuta dva primera se nedvosmisleno mogu izračunati, a da pri tome dobijemo dva potpuno različita rezultata.

Dakle, izuzetno je vaţ no sačiniti iskaze tako da

procedura računanja vodi ţ eljenom rezultatu, i

ne postoji mogućnost dvosmislenog tumačenja. Ukoliko u jednom iskazu postoji veliki broj delova koje potrebno razdvojiti zagradama, koriste se različite vrste zagrada kako bi bilo jasno i nedvosmisleno koja zatvorena zagrada pripada odreĎenoj otvorenoj zagradi.

Okrugle zagrade: ( )

Četvrtaste zagrade: [ ]

Vitičaste zagrade: { }

Prilikom korišćenja zagrada potrebno je postarati se da se sve zagrade javljaju samo u paru. Na taj način ćemo biti sigurni da je vrednost svakog iskaza unutar zagrada nedvosmislena.

Pored toga, postoje jasna pravila o tome kako se računaju iskazi koji sadrţ e zagrade:

RAĈUNANJE ISKAZA Ako ţ elite da izračunate algebarski iskaz sa više različitih operacija morati voditi računa da operacije vršite pravilnim redosledom. Postoje dva osnovna pravila:

1. Iskazi koji sadrţ e zagrade (parenteze) moraju se računati iznutra ka spolja. To znači da se sve operacije unutar zagrada moraju izračunati pre nego što nastavimo sa operacijama izvan zagrada.

2. Multiplikativne operacije (mnoţ enje i deljenje) imaju prednost u odnosu na adicione operacije (sabiranje i oduzimanje). To znači da se na istom nivou operacija proizvodi i količnici računaju pre suma.

Uvek se preporučuje korišćenje što većeg broja zagrada. Bolje je koristiti ih isuviše često nego previše retko. Ako ispustite jednu zagradu, to

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 19

obično stvara drugačiji iskaz, i samim tim drugačiji rezultat, što je u većini slučajeva greška!

Razlomačka crta ili kosa crta zamenjuje zagradu u iskazima.

Sledeći iskazi su primer kako kombinacija više algebarskih operacija u jednom iskazu moţ e ponekad da bude zbunjujuća:

2 3 4 2 ( 1 3) 5 4 4 25 4 3

Tabela dole pokazuje redosled koraka u računanju i objašnjenje u vezi sa navedenim pravilima:

Koraci 2 3 45

2 ( 1 3)4

5 4 4 23

Komentari

1 –1 – 3 = –4 Prvo očistite zagrade.

2 3 4 12 2 ( 4) 8 5 4 20 4 2 8

Operacije mnoţ enja i deljenja pre operacija sabiranja i oduzimanja

3 –2+12=10 20–8=12 Sume u brojiocima

4 10 25

8 24

12 43

Razlomačka crta se računa kao zagrada i zbog toga se prvo računaju razlomci.

5 2 ( 2) 4 4 Ovo je rezultat.

Tabela 2.1: Korišćenje zagrada u iskazima


PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE

Izostavljanje zagrada 3 (4 2) 3 4 2

6 (2 4) 6 2 6 4

Nepravilan redosled multiplikativnih i adicionih operacija

3 4 5 3 9

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 21

VAŢBA 2.1.1: BROJEVI I OPERACIJE

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno slede nakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava da uporedite svoj rezultat sa našim.

Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razloga što ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodama ukoliko dobijete pogrešno rešenje.

1. Dovršiti sledeće jednačine u skladu sa datim pravilom:

a) Komutativnost: x y

b) Asocijativnost: ( )x y z

c) Distributivnost: x y z y

d) Asocijativnost: ( )x y z

e) Komutativnost: x y

f) Komutativnost: x y

2. Koji su inverzni elementi u odnosu na naznačeno svojstvo:

a) Sabiranje: {1, 2, 4, 8, 16}?

b) Mnoţ enje: {−1, 1, 2 3}?

3. Izračunati:

a) ( 3) b) 13

c) 2 ( 4)

d) 4 ( 2) ( 3) e) 25

f) 93


4. Izračunati:

a) 0 ( 3) b) 04

c) 30

d) 00

e) 0 (0)

5. Izračunati:

a) 2 (3 4) 6 (2 4)4 6 4

3

b) {[(2 3) 5 4] 2 3} 4 10 87

c) 5 3 2 ( 4) 16 ( 3) ( 2) 3

d)

(7 3) 2 2 85 7 2

3

6

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 23

REŠENJA 2.1.1: BROJEVI I OPERACIJE

1. Pravila operacija

a) Komutativnost: y x

b) Asocijativnost: ( )x y z

c) Distributivnost: ( )y x z

d) Asocijativnost: ( )y x z

e) Komutativnost: y x

f) Komutativnost: y x

2. a) 1, 2, 4, 8, 16 b) 1 11,1, ,2 3

3. a) 3 b) 13

c) 8

d) 4 e) 25

f) 3

4. a) 0 b) 0 c)

d) neodreĎeno e) 0

5. a) 0 b) 10 c) 66

d) 3


2.1.2 Razlomci i decimale

Već smo definisali racionalan broj kao razlomak dva cela broja. Isto tako smo koristili razlomke u primeru i veţ bama u prethodnom odeljku. U ovom odeljku ćemo naučiti kako da računamo pomoću razlomaka.

RAZLOMCI Postoje neka osnovna pravila koja se moraju primenjivati kad god postoji najmanje jedan razlomak u iskazu.

RAZLOMAK

Razlomak je količnik ab

gde su a i b celi brojevi, a 0b .

a se naziva brojilac, a b se naziva imenilac.

Razlomci su većini nas dobro poznati; ipak, neophodno je posvetiti duţ nu paţ nju nekim pravilima za raĉunice sa razlomcima kako bismo izbegli greške.

Da bismo dostigli odreĎen neophodan nivo samopouzdanja i izvanrednog poznavanja upotrebe razlomaka, primena ovih pravila se mora veţ bati.

Nadamo se da se nikada nećete pregovarati poput ovog momka kome je šef ponudio povećanje plate od ,,jedne petine”. Njegov odgovor je bio: ,,Izvinite, ali to zaista nije dovoljno. Trebalo bi da povišica bude najmanje ,,jedna šestina”.

Prvo ćemo ukratko predstaviti pravila, zatim dati kratak komentar, i konačno dati puno primera da bismo vam pokazali kako ova pravila treba primenjivati.

PRAVILA ZA RAĈUNICE SA RAZLOMCIMA Neka a, b, c, d, i f budu realni brojevi; ukoliko su oni imenioci ne smeju da budu 0.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 25

MNOŢENJE NEKIM BROJEM a f afb b

Razlomak ćemo pomnožiti tako što ćemo mnoţ iti

brojilac brojem f.

PRIMERI 1. Ako podelite kolač na četiri dela imaćete četiri četvrtine, tj. četiri

14 kolača. Ako imate dve četvrtine, imate dva puta jedna

četvrtina, tj. 1 2 1 124 4 2

kolača.

2. 3 627 7

3. 2 6 6( 3)11 11 11

4. 1 00 011 11

DELJENJE BROJEM KOJI NIJE NULA

a afb b f

Razlomak ćemo podeliti tako što ćemo mnoţ iti

imenilac sa 0f .

Mnoţ enje i deljenje su inverzne operacije koje isključuju jedna drugu u slučaju kada se obe primenjuju.

PRIMERI 1. Ako podelite jednu polovinu kolača dobićete dva dela od kojih je

svaki jedna četvrtina kolača, tj. 1 1 122 2 2 4

.


2. 3 3 327 7 2 14

3. 2 2 2 2( 3)

11 11 ( 3) 33 33

4. 7 7 7213 13 2 26

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA a cb d

Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako, a = c i b =

d.

PRIMERI

1. 3 3 and 44

x x yy

2. 2 8 2 8 4; 3 51 173 51a a a b bb

3. 4 2 4 2 : 2; 3 15: 53 15

y y y x xx

SKRAĆIVANJE

f a af b b

U razlomku na levoj strani zajednički faktor f se

skraćuje deljenjem brojioca i imenioca istim faktorom f.

PRIMERI

1. 12 2 6 614 2 7 7

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 27

2. 24 2 2 2 3 2 2 442 2 3 7 7 7

3. 45 ( 1) 3 3 5 572 ( 1) 3 3 2 2 2 8

PROŠIRIVANJE

a f ab f b

Razlomak na levoj strani moţ e se proširiti faktorom f

mnoţ enjem brojioca i imenioca istim faktorom f.

PRIMERI

1. 4 11 4 447 11 7 77

2. 0.5 2 (0.5) 11.5 2 (1.5) 3

3. 1.7 10 (1.7) 172.3 10 (2.3) 23

Poslednja dva primera pokazuju zašto je proširivanje korisno. Ukoliko ţ elite da uklonite decimale u brojiocu i imeniocu – imajte u vidu da brojeve nismo ograničili na cele brojeve! – moţ ete ih proširiti odgovarajućim faktorom kako bi bili celi brojevi.

Poput mnoţ enja i deljenja, skraćivanje i proširivanje su inverzne operacije koje se meĎusobno potiru ukoliko ih obe primenimo.

MNOŢENJE DVA RAZLOMKA a c a cb d b d

Dva razlomka množimo tako što mnoţ imo brojioce i

imenioce.


PRIMERI

1. 1 7 1 7 73 11 3 11 33

2. 3 4 ( 3) 4 3 4 125 7 5 7 ( 5) 7 35

3. 1 3 5 1 3 5 152 4 7 2 4 7 56

DELJENJE DVA RAZLOMKA

aa c a db

cb d b cd

dva razlomka se dele mnoţ enjem inverznih

razlomaka.

PRIMERI

1. 2 5 2 7 2 7 143 7 3 5 3 5 15

2. 3459

3 9 274 5 20

3. 4 6 4 14 4 14 4 2 7 47 14 7 6 7 6 7 2 3 3

Poslednje dve operacije su opet meĎusobno inverzne.

Mada su ,,sabiranje” i ,,oduzimanje” najosnovnije algebarske operacije, mnoge greške se javljaju kada je potrebno sabrati ili oduzeti razlomke. Molimo vas da obratite paţ nju na poseban odeljak: ,,Paţ nja – tipične greške”.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 29

DODAVANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA ISTIM IMENIOCEM a c a cb b b

Dva razlomka sa istim imeniocima sabiraju se

(oduzimaju) sabiranjem (oduzimanjem) brojioca.

PRIMERI

1. Polovina kolača i jedna četvrtina kolača zajedno čine tri četvrtine,

tj. 1 1 2 1 32 4 4 4 4

.

2. 3 8 115 5 5

3. 7 3 2 7 3 2 611 11 11 11 11

4. 2 8 2 ( 8) 2 8 10 25 5 5 5 5

Da bismo sabirali i oduzimali razlomke sa različitim imeniocima prvo je potrebno da ih proširimo tako da imaju isti imenilac, koji se zove zajedniĉki imenilac.

ZAJEDNIĈKI IMENILAC

Zajednički imenilac dva razlomka ab

i cd

je proizvod dva imenioca:

b d

Proširivanjem dva razlomka sa d i b, pomenutim redosledom, dobijamo dva razlomka sa istim imeniocem:

a db d

i c bd b


Do zajedničkog imenioca se najlakše dolazi mnoţ enjem dva (ili više) razlomka i proširivanjem razlomka svim faktorima koji nisu deo zajedničkog imenioca.

PRIMERI Pronaći zajednički imenilac (common denominator – CD) za sledeće razlomke i proširiti ih shodno tome:

1. 2 5 2 7 5 3 14 15; 3 7 ; ;3 7 3 7 7 3 21 21

CD

2. 1 3 1 7 3 6 7 18; 6 7 ; ;6 7 6 7 7 6 42 42

CD

3. 2 3 1 2 3 7 3 3 5 1 5 7; ; 3 5 7 ; ;5 7 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7

CD

42 45 35; ;105 105 105

Pronalaţ enje zajedničkog imenioca i proširivanje razlomaka u skladu sa tim preduslov je za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim imeniocima.

SABIRANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA RAZLIĈITIM IMENIOCIMA a c a d c bb d b d

Dva razlomka sa različitim imeniocima mogu se

sabrati (oduzeti) nakon što ih proširimo tako da imaju isti imenilac.

PRIMERI

1. 2 5 2 7 5 3 14 15 293 7 3 7 3 7 21 21 21

2. 2 1 2 7 1 3 14 3 113 7 3 7 3 7 21 21 21

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 31

3. 2 1 3 2 4 7 1 3 4 3 3 7 56 12 63 1073 7 4 3 4 7 3 4 7 3 4 7 84 84 84 84

Razlomci se često javljaju u jednačinama u obliku: 347 5x y

U ovakvom slučaju često je poţ eljno izbegavati razlomke, tj. ukloniti ih. Zapravo, moţ emo pomnoţ iti celu jednačinu odreĎenim faktorom s obzirom da moţ emo da primenimo skoro svaku operaciju (osim mnoţ enja ili deljenja nulom) na obe strane jednačine bez promene. Dakle, mnoţ enjem jednačine zajedničkim faktorom oba razlomka dobijamo:

347 57 5 7 5x y

Nakon skraćivanja zajedničkih faktora u brojiocima i imeniocima dobijamo: 4 5 3 7x y

Ovu operaciju često nazivamo ,,unakrsnim množenjem”, što nam ostaje nakon proširivanja i skraćivanja.

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA UKAZUJE NA UNAKRSNO MNOŢENJE a cb d

Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako,

a d c b . Ova operacija se često naziva ,,unakrsnim množenjem imeniocima”.

PRIMERI

1. 2 1 2 4 1 7 8 77 4x y x y x y

2. 3 4 5 3 4 5 3 45 5

x x y x yy


3. 3 4 3 ( 5) 4 8 15 32

8 5z y z y

y z

Još uvek nismo ograničili brojeve u brojiocu ili imeniocu u smislu njihove veličine. Svi sledeći izrazi su stoga u skladu sa definicijom razlomka:

1 5 1.2 11 3.5 7 1.8 2; ; ; ; ; ; ;4 8 3.7 3 2.8 10 3 0.7

Ustvari, razlike meĎu gore navedenim razlomcima su veoma male. Izrazi

1 5 7; ;4 8 10

precizno odgovaraju definiciji.

Izrazi

1.2 1.8;3.7 3

mogu se proširi sa 10 i postati:

12 18 3;37 30 5

Kod sledeća tri izraza brojioci su veći od imenioca:

11 3.5 2; ;3 2.8 0.7

Nakon proširivanja poslednja dva sa 10 izrazi postaju:

11 35 5 20 20; ;3 28 4 7 7

U poreĎenju sa prethodnim razlomcima, ovde je brojilac veći od imenioca. Takvi razlomci se zovu mešoviti razlomci.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 33

PRAVI I MEŠOVITI RAZLOMCI Razlomak se naziva pravim razlomkom ako je brojilac manji od imenioca. To u formalnom izrazu znači:

ab

je pravi razlomak ako je a < b

Ako je a b razlomak se naziva mešovitim. Ponekad je neophodno ili poţ eljno razdvojiti ceo broj i ostatak, što je onda pravi razlomak.

RAZDVAJANJE MEŠOVITOG RAZLOMKA Mešoviti razlomak se uvek moţ e podeliti na ceo broj i pravi razlomak deljenjem:

a cib b

gde je a > b i c < b

Mešoviti razlomci se generalno pišu bez +-znaka izmeĎu: 2 27 73 3

PRIMERI Nakon deljenja brojioca imeniocem dobijamo:

1. 23

11 23 33 3

2. 14

5 11 14 4

3. 67

20 62 27 7


DECIMALE Naš brojevni sistem je zasnovan na takozvanom decimalnom sistemu, tj. broju deset kao svojom bazom. Ovo je verovatno iz razloga što su naši preci koristili svojih 10 prstiju kao pomoć pri brojanju, i na taj način počeli da računaju na osnovu jednostavnih mnoţ ioca od 10 i njihovih potencijala:

247 2 100 4 10 7 1

Poslednja pozicija u broju je uvek mnoţ ilac od 01 10 , sledeći je mnoţ ilac od 110 10 , zatim 2100 10 , itd. Potencijal broja 10 i njegovih mnoţ ioca uvećava se prelaskom sa jedne pozicije na sledeću za 1.

Ako krenemo drugim smerom od 01 10 , smanjujemo potencijal za jedan, što rezultuje mnoţ iocima od 110 , zatim 210 , i tako dalje. Mnoţ ioci faktora od 10 sa negativnim izloţ iocima odvojeni su od nenegativnih decimalnim zarezima:

2 4 7 200 40 7 2470.24710 100 1000 1000 1000 1000 1000

Ovi brojevi se nazivaju decimalama. Prema anglosaksonskom načinu obeleţ avanja pišu se decimalnom tačkom, dok se u Nemačkoj koristi zarez.

Decimalno obeleţ avanje je ponekad značajno iz razloga što se razlomci mogu izbeći. Formalno, svaki razlomak se moţ e preslikati u decimalni broj tako što ćemo brojilac podeliti imeniocem primenom pravila deljenja:

1 0.254

ili 1 0.1258

U oba gore pomenuta slučaja deljenje je bez ostatka. Redosled decimala nakon decimalnog zareza je stoga konačan.

Iz iskustva znamo da ovo nije uvek slučaj. Na primer, deljenjem sledećih razlomaka dobijamo:

1 0.3333

ili 4 0.36363611

ili 53 2.038461538461526

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 35

U prva dva primera nakon nekoliko koraka shvatamo da se niz decimala ponavlja. Često se koristi crta iznad decimala koje se ponavljaju i takve decimale se nazivaju periodiĉnim decimalnim brojevima. Treći broj, meĎutim, pokazuje da periodi ne moraju uvek da počnu odmah nakon decimalnog zareza, i da mogu biti relativno dugi, ponekad čak i mnogo duţ i nego u gore pomenutim primerima.

Brojevi u kojima se decimale ili završavaju ili proširuju periodičnim ponavljanjima nazivaju se racionalnim brojevima. Oni se uvek mogu predstaviti pravim razlomkom.

Postoje takoĎe, meĎutim, decimale sa beskonačnim neperiodičnim nizom brojeva. Nazivaju se iracionalnim brojevima (pogledati odeljak 2.1.1; strana 14), od kojih je najpoznatija prirodna konstanta :

3.141592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884197169 399...

Drugi nama dobro poznati takvi brojevi su:

2 1.41421356237...

2.718 281828 459 045 235 360 287 471352 662 497 757 247 093...e

Ovi brojevi se ne mogu predstaviti niti razlomkom niti periodičnom decimalom.


Sabiranje i oduzimanje razlomaka

1 1 22 3 5

i 4 1 35 3 2

1 432 2

i 4 4 42 1 2 1

Mnoţ enje i deljenje razlomaka

1 553 15

i 6 324 2

1 2 3

3 7 10


VEŢBA 2.1.2: RAZLOMCI I DECIMALE



1. Proširiti razlomke datim faktorima:

a) 23 sa 4 b) 5

7 sa –3 c) 29 sa –4

d) 146 sa 0.5

2. Proširiti razlomke tako da brojilac ili imenilac, pomenutim redosledom, bude jednak prikazanoj vrednosti:

a) 14

imenilac 16 b) 27 imenilac 21

c) 27 brojilac 12 d) 2

3 imenilac 27

e) 78 brojilac 56

3. Skratiti razlomke koliko god je to moguće:

a) 3555

b) 828

c) 1830

d) 1577

e) 1272

f) 3648

g) 6416

h) 8816

i) 4214

j) 105231

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 37

4. Zameniti upitnik tačnim brojem:

a) 3 ?4 16

b) 2 ?7 56

c) 5 1057 ?

d) 3 217 ?

e) 21 1052 ?

f) 4 ?7 77

5. Izračunati:

a) 1 23 7

b) 1 72 4

c) 2 63 5

d) 3 18 2

e) 3 24 9

f) 1 422 5

g) 1 11 23 2

h) 3 54

i) 5 727 5

j) 3 7 55 6 9

6. Podeliti:

a) 2 43 7

b) 1 12 3

c) 3 68 5

d) 1 613 5

e) 4 27

f) 235

g) 21 715 5

h) 3 12 17 7

i) 1 2 47 7 3

j) 5 2 72 7 5

7. Pronaći najmanji zajednički imenilac za sledeće razlomke:

a) 210 i 3

15 b) 214 i 4

21 c) 512 i 2

27

d) 316 i 5

20 e) 38 i 4 f) 1

32 i 141

g) 7151 i 12

25 h) 323 4, i 1

5 i) 313 4, i 1

6

j) 7 16 3,3 i 7

30


8. Sabrati, odnosno oduzeti:

a) 1 1+2 3

b) 2 5+3 6

c) 2 17 14

d) 3 25 35

e) 1 14 15 45

f) 8 311 7

g) 2 1 13 4 6

h) 7 3 42 7 5

i) 7 123 7

j) 4 5 315 21 14

9. Promeniti razlomke u decimalne zapise (koristiti digitron po potrebi):

a) 47

b) 611

c) 166

d) 4316

e) 8729

f) 379

g) 23.76.3

h) 12111

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 39

REŠENJA 2.1.2: RAZLOMCI I DECIMALE

1. a) 812

b) 1521

c) 836

d) 73

2. a) 416

b) 621

c) 1242

d) 1827

e) 5664

3. a) 711

b) 27

c) 35

d) 1577

e) 16

f) 34

g) 4 h) 112

i) 3 j) 511

4. a) 1216

b) 1656

c) 105147

d) 2149

e) 10510

f) 4477

5. a) 221

b) 78

c) 45

d) 316

e) 16

f) 2 g) 103

h) 154

i) 177

j) 718

6. a) 76

b) 32

c) 516

d) 109

e) 27

f) 152

g) 1 h) 178

i) 38

j) 254


7. a) 30 b) 42 c) 108 d) 80 e) 8

f) 12 g) 75 h) 60 i) 12 j) 30

8. a) 56

b) 112

c) 314

d) 1935

e) 8453

f) 2377

g) 34

h) 19702 i) 10

21 j) 17

70

9. a) 0,5714 b) -0,5455 c) 2,6667 d) 2,6875

e) 3 f) 4,1111 g) -3,7619 h) 11

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 41

2.1.3 Procenti

Davno pre nego što su razlomci počeli da se šire koriste, trgovci su morali da poznaju delove novčanih jedinica zbog toga što su ţ eleli da znaju koliki iznos će im ostati u dţ epu. Deo koji su računali kao svoju marţ u zvali su ,,per centum” (latinski: po stotini). Mi danas koristimo izraz ,,procenat”, u značenju ,,posto”. Procenat je stopa po stotini ili udeo u sto delova. To je deo u smislu svog kvantitativnog odnosa prema celini. To u bukvalnom prevodu znači ,,podeljeno sa 100”, i procenti imaju poseban znak ,,%”.

Mi, bankari, takoĎe puno radimo sa procentima. Kamatne stope, stope rasta ili stope prihoda navode se u procentima. Procente koristimo za poreĎenje različitih količina.

Da bismo izračunali procenat, uvek se prema njemu odnosimo kao prema celini, tj. prema 100%. Ukoliko ţ elimo da znamo procenat ţ ena i muškaraca u našoj grupi navodimo ukupan broj polaznika u grupi kao 100%. Broj ţ ena u odnosu na celinu daje nam procenat ţ ena koje su polaznice. Da bismo napravili ovaj odnos jednostavno podelimo broj ţ ena ukupnim brojem i ponovo pomnoţ imo rezultat sa 100 da bismo dobili procenat.

PRIMER Ukupan broj zaposlenih u ekspozituri ProCredit banke je 20. Imamo 12 ţ ena i 8 muškaraca. Ukupan broj 20 izraţ en je kao 100%. Da bismo izračunali udeo ţ ena delimo broj 12 sa 20 i dobijamo 0,6. Ovo znači da je broj ţ ena u odnosu na ukupan broj zaposlenih 0,6 prema 1. S obzirom da je procenat udeo izraţ en u delovima od sto mnoţimo 0,6 sa 100 i dobijamo 60%.

Broj Odnos Procenat

Ukupno 20 celina 100%

Ţene 12 0,6 : 1 1220 100% 0.6 100% 60%

Muškarci 8 0,4 : 1 820 100% 0.4 100% 40%


PROCENAT OD OSNOVE Procenat je udeo u delovima od jedne stotine u smislu svog kvantitativnog odnosa prema osnovi. Da bismo izračunali procenat p od količine x prema osnovi b, delimo x sa osnovom b i rezultat mnoţimo sa 100:

% 100%xpb

Ako nam je već poznat procenat p od osnove b i ţ elimo da izračunamo odgovarajuću količinu x, delimo p sa 100 i mnoţ imo osnovom b:

100

px b

Kada stavljamo u odnos dve vrednosti moţ emo da se izrazimo na više različitih načina. Kaţ emo, na primer, ,,skoro polovina”, ,,skoro duplo”, ,,samo 10%”, ,,tačno jedna trećina”, ,,110% od planiranog rezultata” ili ,,oko 25%”. Procente naročito koristimo kada ţ elimo da izrazimo udeo ili kada vršimo procenu. Ali šta zapravo 25%, 50%, 66% ili 150% znači?

Hajde da pogledamo sledeću tabelu.

Odnos Procenat Primer ukupno, celina 100% 60

Manje od celine jedna polovina 50% 30 jedna trećina 33,3% 20

jedna četvrtina 25% 15 dve trećine 66,6% 40 tri četvrtine 75% 45 jedna petina 20% 12

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 43

Odnos Procenat Primer deseti deo 10% 6

dvadeseti deo 5% 3 stoti deo 1% 0,6

hiljaditi deo 0,1% 0,06 Više od celine

duplo 200% 120 trostruko 300% 180

četvorostruko 400% 240 desetostruko 1000% 600 jedan i po put 150% 90 dva i po puta 250% 150

Tabela 2.2: Procenti

PRIMERI

1. Udeo zaposlenih: Koliko je 50% od 660?

50 660660 330100 2

Rizični portfolio:

2. Koliko je 745,867 USD izraţ eno kao procenat od 24,563,654 USD?

$ 745867 100% 3.04%

$ 24563654

3. Koliko je 1,7% od 124,543,324 €?

1.7 124,543,324 € 2,117,236.51 €100


Stope rasta:

4. Imate 1456 kredita u otplati i ţ elite porast od 4% u toku sledećeg meseca. Koliko kredita očekujete na kraju meseca?

104 1456 1.04 1456 1514100

5. Kolika je bila vaša stopa rasta prošle godine ukoliko ste počeli sa 2,4 miliona USD i završili sa 3,1 milion USD?

PAŢNJA:

Iz razloga što smo počeli sa 2,4 miliona USD i zatim dostigli 3,1 milion USD, osnova ili ekvivalent za 100% u ovom slučaju je 2,4 miliona USD, a ne 3,1 milion USD.

(3.1 2.4) 0.7100% 100% 29%2.4 2.4

6. Postizanje cilja: Sa koliko procenata ste dostigli svoj cilj od 543 kredita ako ste isplatili 601 kredit?

PAŢNJA:

Ovde je celina ili 100% cilj od 543 kredita.

601 100% 110.7%543

Postigli ste cilj sa 110,7%, odnosno premašili ste svoj cilj za 10,7%.

Procenti takoĎe imaju ulogu u prodajnim popustima, rabatima, i odbicima. U tim slučajevima bruto cena se umanjuje za odreĎeni procenat.

U drugim slučajevima, cena se takoĎe moţ e povećati, na primer u slučaju povećanja kamatne stope za kredit, cena se moţ e povećati usled povećanja troškova (npr. cene benzina) ili povećanja poreza (npr. PDV).

S obzirom da procenat uvek znači ,,deo neke celine”, moramo da budemo obazrivi kada definišemo celinu (= sto posto = 100%). Mi ćemo je zvati baza. Baza u gore datoj tabeli je u svakom slučaju iznosila 60.

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 45

Svakako, prvo moţ emo izračunati udeo p% kao procenat od baze b i dodati (ili oduzeti) rezultat r na bazu (od baze):

%b p r b r

Ipak, takoĎe moţ emo obe radnje obaviti u okviru jedne:

100% (1 %) (1 )pb b p b p b

odnosno pomnoţ iti bazu sa rastućim (opadajućim) faktorom:

1001 % 1 pf p

POVEĆANJE (SMANJENJE) BAZE

Po pravilu, povećanje (smanjenje) baze b za procenat 100% pp znači:

% (1 %)b b p b p b f gde je 1 %f p rastući (opadajući) faktor.

Ovu računicu zovemo ,,procenat baze”, što zatim ili saberemo sa bazom ili oduzmemo od baze. PRIMERI

1. Bazna cena jedinice pre oporezivanja iznosi 50 EUR, i na nju se mora dodati PDV od 19%. Kolika će biti stvarna prodajna cena?

50 (1 0.19) 50 1.19 59.50 EUR

2. Stanje depozita na računu iznosi 127 EUR. Na taj iznos treba da dodate kamatu od 5%. Koliko će biti stanje na računu nakon kapitalizacije kamate?

127 (1 5%) 127 (1 0.05) 127 1.05 133.35 EUR


3. Ukoliko platite u gotovini za odreĎenu jedinicu dobijate popust od 7%, čime se cena smanjuje na 247 EUR. Koliki iznos treba da platite?

247 (1 7 %) 247 (1 0.07) 247 0.93 229.71 EUR

Postoji veoma suptilna, ali vaţ na razlika izmeĎu procenta baze b i procenta u bazi. U primerima koje smo imali do sada, baza je bila data i računali smo uvećan (umanjen) konačni rezultat. Koristili smo procenat baze da izračunamo proširenu (odbijenu) vrednost.

Kada govorimo o procentu u bazi, vršimo inverziju ovog proračuna: počinjemo od konačnog rezultata (uz već uključen procenat) i pokušavamo da odredimo koliko je iznosila baza. Proračuni ovog tipa moraju redovno da se vrše u poslovanju kada je neophodno prikazati ne samo konačnu cenu već i neto cenu (ne uključujući porez) ili – što je zapravo ista stvar – porez je potrebno prikazati zasebno na fakturi.

Pretpostavimo da kupujete laptop za svoju kompaniju čija je cena 900 EUR (uključujući porez). Imate pravo na odbitak PDV-a; iz tog razloga porez mora da bude prikazan na fakturi. Koliko iznosi porez (PDV = 19%) i kolika je neto cena?

U ovom slučaju, bruto cena je data i mi ţ elimo da ustanovimo kolika je baza:

900 (1 %) (1 0.19)b p b b f →

900 900 756.30 EUR1.19

bf

Porez (tax = t) 900 756.30 143.70t , što se moţ e izračunati i na ovaj način:

756.30 0.19 143.70b f EUR

PROCENAT U BAZI

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 47

Da bismo izračunali bazu b od konačnog rezultata r (procentni udeo p je uključen) potrebno je podeliti rezultat rastućim faktorom:

(1 %)r rbp f

Računica je potpuno ista ako znate konačnu cenu (umanjenu za p%) jedinice i interesuje vas prethodna cena bez smanjenja.

PRIMERI 1. Pretpostavimo da je smanjenje iznosilo 15%, čime je cena

smanjena na 32,98 EUR. Kolika je bila prvobitna cena op ?

32.98 38.80

1 % 0.85or rpp f

EUR

2. Kupujete auto za 3000 EUR. Koliki iznos PDV-a (19%) je uključen?

3000 2521.001.19

b

Ovo je, meĎutim, bazna cena pre oporezivanja. Iznos PDV-a je razlika:

3000 2521 479 2521 0.19b t EUR

Sada razumemo vaţ nost baze. To je još uočljivije kada pogledamo sledeća dva primera.

PRIMERI 1. PDV je pre dve godine u Nemačkoj povećan sa 16% na 19%.

Cena friţ idera je bila 500 EUR pre porasta prodajne cene. Kolika je bila cena nakon povećanja?

Pretpostavka je da je cena povećana za 3%, tako da bi nova cena bila:

500 500 3% 515 EUR


Ovo, meĎutim, nije tačno, zato što smo nenamerno izmenili bazu.

Hajde da napravimo računicu iz dva koraka.

Korak 1: Neto cena (bez PDV-a) bi bila:

500 431.031.16

n EUR

Korak 2: PDV od 19% uvećava bruto cenu na: 431.03 (1 0.19) 512.93 EURg

Obratite paţ nju da je cena znatno manja od iznosa koji smo isprva dobili.

2. Par cipela čija originalna cena iznosi 100 EUR u ponudi je uz smanjenje od 20%. Kao deo ove specijalne ponude, dobijate dodatni popust od 5%. Koliko treba da platite?

Prva reakcija bi mogla da nas navede da saberemo 20% i 5%, tj. dobijemo 25% popusta i platimo 75 EUR.

Mi smo, meĎutim, ponovo promenili bazu i na taj način došli do netačne cene.

Korak 1: Smanjenje cene: 100 100 20% 100 (1 0.2) 100 0.8 80 EUR

Korak 2: Specijalna ponuda:

80 (1 0.05) 80 0.95 76 EUR

Dakle, u ovom slučaju tačna cena je nešto viša od ishitrene pretpostavke.

VIŠESTRUKI PROCENTI Ukoliko uzastopno računate sloţ ene procente treba da množite rastuće (opadajuće) faktore. Ukoliko je prvo došlo do promene (1 %)p i zatim do promene (1 %)q onda ukupna promena glasi:

(1 %) (1 %)p q

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 49

,,Promena” označava povećanje ili smanjenje, u zavisnosti od znaka. ,,Mnoţ enje” se mora zameniti ,,deljenjem”, u zavisnosti od baze.

PRIMERI U prethodnim primerima ukupne promene su sledeće:

1. Ukupan faktor promene je bio:

1 19% 1.19 1.02591 16% 1.16

t

Nova cena je stoga stara cena puta ukupan rastući faktor: 500 500 1.0259 512.93 EURg t

2. Ukupno smanjenje je: (1 0.2) (1 0.05) 0.8 0.95 0.76r

Konačna cena je dakle:

100 0.76 76s EUR

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Imajte na umu da se udeo izraţ en u procentima mnoţ i sa 100: 10 od 100 nije 0,1%

25 od 50 nije 0,5%

Budite oprezni prilikom odreĎivanja decimalnih mesta 10 od 100 nije 1%

25 od 50 nije 5%

10 od 1000 nije 10%

2 od 20 nije 1%


VEŢBA 2.1.3: PROCENTI



1. Izračunati udeo u procentima i dati primer realne situacije u kojoj se ovaj odnos moţ e posmatrati:

a) 15 od 200

b) 30 od 50

c) 17 od 800

d) 120,304 od 4,587,346

e) 1,345 od 1,230

f) 17 od 35

g) 2,017 od 2,100

2. Izračunati iznos koji odgovara datim procentima:

a) 22% od 1,800

b) 2,7% od 3,056,974 USD

c) 75% od 700

d) 0,5% od 999

e) 1,7% od 23 miliona USD

f) 30% od 135 miliona EUR g) 107% od 10,800

3. Izračunati nove cene ako su stare cene promenjene sledećim procentima:

a) 34 EUR je povećano za 7%

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 51

b) 34 EUR je smanjeno za 5%

c) 97 EUR je povećano za 8% i zatim za 2%

d) 1,42 EUR je povećano za 5% i zatim smanjeno za 7%

4. Nakon povećanja (smanjenja) cene, cena odreĎene robe je povećana (smanjena) na date iznose. Izračunati procente povećanja (smanjenja):

a) 46 EUR 42,40 EUR

b) 1,42 EUR 1,47 EUR

c) 12,98 EUR 12.36 EUR

d) 144,20 EUR 142,80 EUR

5. Koliko iznosi ukupno procentno povećanje (smanjenje) kada je data cena od …

a) 57 EUR sniţ ena za 7% i zatim povećana za 2%?

b) 65 EUR povećana za 7% i zatim povećana za 5%?

c) 37,50 EUR tri puta povećana za 3%?

d) 22,10 EUR sniţ ena za 4%, zatim povećana za 8%, zatim sniţ ena za 4%?

6. U svakom od sledećih slučajeva, cena je promenjena nekoliko puta do konačne cene. Kolika je bila prvobitna cena?

a) Cena je povećana za 6% i sniţ ena za 3%, što je dovelo do cene od 44,30 EUR.

b) Sniţ ena je dva puta za 4% i zatim povećana za 6% , što je dovelo do cene od 23,56 EUR.

c) Cena jedne litre benzina je promenjena tokom prošle nedelje na sledeći način: + 3%, +5%, +6%, zatim -4%. Sada košta: 1,47 EUR. Kolika je bila cena pre nedelju dana?


REŠENJA 2.1.3: PROCENTI

1. a) 7,5% Primer: broj banaka u zemlji koje nude mikro

kredite.

b) 60% Primer: broj učesnica u radionici.

c) 2,13% Primer: broj duţ nika u ekspozituri koji su u kašnjenju

sa otplatom.

d) 2,62% Primer: broj ljudi starijih od 80 godina u odnosu na

ukupnu populaciju jedne manje zemlje.

d) 109,35% Primer: broj studenata koji su upisali fakultet

nakon proširenja univerzitetske infrastrukture u

odnosu na nivo upisa pre proširenja.

f) 48,57% Primer: procenat aerodroma u zemlji kojima se

sluţ e meĎunarodne avio kompanije.

g) 96,05% Primer: prosečan mesečni broj prenoćišta u jednom

hotelu.

2. a) 396 b) 82,538.23 USD c) 525

d) 4.995 e) 391,000 USD

f) 40,5 miliona EUR g) 11,556

3. a) 36,38 EUR b) 32,30 EUR

c) 106,86 EUR d) 1,39 EUR

4. a) 7,83% b) 3,52% c) 4,78%

d) 0,971%

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 53

4. a) 5,14% sniţ enje b) 12,35% povećanje

c) 9,27% povećanje d) 0,47% sniţ enje

5. a) 43,09 EUR b) 24,12 EUR

c) 1,34 EUR


2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve”

Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili.

Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedeno na konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela ili grafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1. Dati primere za:

a) Cele brojeve:

b) Racionalne brojeve:

c) Iracionalne brojeve:

d) Realne brojeve:

2. Očistiti zagrade i izračunati:

a) 2 2 6 7 3 8 ( 3) 2 2 4 5 3

b) (4 7) 3 4 5 3 4 3 2 4

3. Izračunati sledeće iskaze i rezultat predstaviti kao razlomak i decimalu:

a) 3 5 5 14 3 12 6 b)

62 27 5 5

6 27 7

4 322

c) 2 1 43 2 3

3 32 4

44 2

2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 55

4. Skratiti razlomke:

a) 2 5 3 3 7 115 7 3 11

b) 3220026600

5. Pronaći najmanji zajednički imenilac:

a) 23 i 3

8 i 47 i 5

16 i 114 :

b) 132 3 7 11

i 163 21 7 5

:

6. Odlučiti da li su iskazi pozitivni ili negativni:

a) 1 2 1 112 3 2 3

3 34 17 5 8 5

2 3 51

b) 7 2023 63

7. Cena benzina se brzo menja. Prošlog meseca smo zabeleţ ili pet promena:

i. Povećanje od 6%,

ii. Povećanje od 4%,

iii. Smanjenje od 6%,

iv. Povećanje od 8%,

v. Smanjenje od 5%.

Kolika je bila cena pre mesec dana ako cena danas iznosi 1,23 EUR za jedan litar?


8. 1. januara 2007. godine nominalna kamatna stopa u ProCredit banci bila je 14% na godišnjem nivou. Vaše stanje na računu je u to vreme bilo 357,43 EUR. Četiri meseca kasnije kamatna stopa je povećana na 18%. Još tri meseca kasnije smanjena je za 10%.

Kamata je jednostavna kamata, tj. sva kamata se dodaje na račun na kraju godine.

a) Koliko je bilo stanje na računu 1. januara 2008. god.?

b) Kolika je bila kamatna stopa na ovom računu 2008. god.?

Napomena: Pre računanja uzmite u obzir razliku izmeĎu ,,…na 18%” i ,,…za 10%”

2 . 2 E k s p o n e n t i S t r a n a | 57

2.2 Eksponenti

Preduslovi: Potrebno je da poznajete brojeve i operacije

obraĎene u nastavnoj jedinici 2.1.

Ciljevi uĉenja: Eksponenti se uvek javljaju kod brojeva i

promenljivih u slučaju kada broj mnoţ imo istim brojem. Prvo se uvodi (kratak) oblik obeleţ avanja, što se pokazalo korisnim. Dakle, potreba za proširenjem koncepta eksponenata na racionalne brojeve se gotovo prirodno javlja. To se moţ e protumačiti kao suprotnost eksponentima celih brojeva, što je razlog zbog čega su takozvani koreni uvedeni u matematiku kao ekvivalentan pojam.

2. Basic Algebra

2.1 Numbers



Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents


Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions



S obzirom da je ova operacija osnovni korak prilikom računanja kapitalne dobiti od kamata, računanje pomoću eksponenata smatra se osnovom finansijske matematike.

U školi u ranom uzrastu učimo da koristimo naš brojevni sistem. Intuitivno počinjemo decimalnim sistemom, o kome smo govorili u prethodnom odeljku. Naziva se decimalnim sistemom zbog toga što je zasnovan na potencijalu broja 10. Broj 10 je verovatno izabran kao baza zbog toga što imamo 10 prstiju koje su ljudi gotovo sigurno koristili kao prvi instrument za brojanje i računanje. Naše šake su, takoreći, prva računaljka ili moţ da čak prvi digitron.

Pogledajmo još jednom naš brojevni sistem. Gotovo bez razmišljanja moţ emo videti broj 2860 kao:

2 1000 8 100 6 10 0 1 2 10 10 10 8 10 10 6 10 0 1

Drugim rečima, iz razloga što svaki broj pišemo na odreĎenom mestu da bismo označili sadrţ atelj od 10, bazu našeg numeričkog sistema, i iznad svega, zato što su se svi sloţ ili da to bude naša praksa, moţ emo da se oslobodimo detaljnog i komplikovanog gore navedenog niza i skratimo ga na 2860. Preduslov za ovo je da postoji dovoljan broj simbola kako bi se premostio jaz izmeĎu bilo koja dva sadrţ atelja baze. Decimalni sistem iziskuje tačno deset simbola za ovu svrhu, tj. deset brojeva koje poznajemo:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Svaki drugi broj bi se onda mogao predstaviti pomoću sadrţ atelja baze.

Danas moţ emo da diskutujemo o tome da li bismo razvili drugačiji brojevni sistem da ljudi nemaju 10 već samo 8, ili čak 16 prstiju.

U sistemu zapisa brojeva sa bazom 8 ili oktalnom brojevnom sistemu potrebno je samo 8 simbola, tj. moţ emo da se snaĎemo sa samo sledećim brojevima:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

U sistemu zapisa brojeva sa bazom 16, koja je takoĎe poznata pod imenom heksadecimalni brojevni sistem, proizlazi da nam je potrebno 16 simbola. Kako se ovaj sistem zapravo koristi u odreĎenim IT oblastima,


dogovoreno je da se koriste brojevi od 0 do 9, plus prvih šest velikih štampanih slova engleske abecede:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Drugim rečima, u heksadecimalnom sistemu imamo slovo:

A = 10, B = 11, C = 12, itd.

Paţ nju smo u velikoj meri počeli da usmeravamo na različite brojevne sisteme pre svega zbog toga što su izumitelji računara shvatili da bi se računski mehanizam u računaru mogao bazirati na samo dva stanja: ,,tekuće” ili ,,nije tekuće”, ,magnetizovano” ili “nije magnetizovano”. Celokupna logika računanja bi se stoga mogla izgraditi oko sistema zapisa brojeva sa bazom 2 ili binarnog brojevnog sistema, koji iziskuje samo dva simbola.

U binarnom sistemu, brojevi su sledeći:

0 i 1

Kako onda broj 2860 izgleda u različitim brojnim sistemima?

Decimala 2860 5 512 4 64 5 8 4 1 → 5454 oktalni

Decimala 2860 11 256 2 16 12 1 → B2C heksadecimalni

Decimala 2860 1 2048 1 512 1 256 1 32 1 8 1 4

→ 101100101100 binarni

Upravo kao u decimalnom sistemu koji nam je poznat, sadrţ atelji baznih brojeva se mnoţ e odgovarajućim faktorima i potom zajedno sabiraju. RasporeĎivanjem faktora tako da tačno odgovaraju sadrţ ateljima, brojeve je moguće napisati u dosta kraćem obliku nego da pišemo celu sumu.

Osnovna ideja je stoga da se predstavi sistematski odnos izmeĎu sadrţ atelja i baze u odgovarajućem obliku. U tom cilju, francuski matematičar i filozof Rene Dekart (1595. – 1650.; u čast Dekarta pravougaoni koordinatni sistem se takoĎe naziva ,,Dekartov koordinatni sistem”) uveo je vrstu kraćeg načina izraţ avanja gde se sadrţ atelj baze piše kao superindeks i naziva ,,eksponentom” (ili ponekad takoĎe ,,indeksom”).

Odgovarajuće obeleţ je se takoĎe naziva eksponencijalnim obeleţ jem. Njegovim uvoĎenjem naš zadatak je da prebacimo poznata pravila algebarskog računanja tako da ne prouzrokujemo kontradikcija. Zbog


toga ćemo se u nastavku baviti pravilima računanja koja se primenjuju kada formule ili iskazi sadrţ e indekse.

2.2.1 Celobrojni eksponenti

Ako nekoliko puta pomnoţ ite jedan broj tim istim brojem moţ ete da napišete:

54 4 4 4 4 4 ili ...x x x (n puta) nx

Identičan faktor koji se ponavlja (4 ili x, kao što je gore navedeno) naziva se baza ili osnova, a broj ponavljanja (5 ili n) naziva se eksponent ili izloţ ilac. Čita se ,,4 na 5." ili ,,x na n". Baza moţ e biti bilo koji realan broj, a eksponent je u ovom poglavlju ograničen na cele brojeve.

DEFINICIJA CELOBROJNIH EKSPONENATA Za realni broj x i ceo broj n kaţ emo:

...nx x x x (n puta faktor x)

Broj x se zove baza; broj ponavljanja se zove eksponent. Sama operacija se takoĎe zove ,,x na n”.

Kada je n = 0 i 0x vaţ i: 0 1x

( 00 nije definisano; zove se neodreĎen iskaz.)

PRIMERI

1. 52 2 2 2 2 2 32 2. 03 1 3. 2(1.5) 1.5 1.5 2.25 4. 0( 4) 1


Ovo znači da se broj stalno mnoţ i bazom. Operacija koja je suprotna mnoţ enju je deljenje. To znači da ako broj potencijala podelimo jednom, smanjujemo (oduzimamo) eksponent za 1. Dakle, deljenje koje se ponavlja moţ emo predstaviti negativnim eksponentima.

DEFINICIJA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA Ako je eksponent negativan, broj 1 se stalno deli bazom; dobijamo:

1nnx

x

0 n nije definisano.

PRIMERI

1. 33

1 12 0.12582

2. 33

1 1 1 1( 3)( 3) ( 3) ( 3) 27 27( 3)

3. 22

1 1 1( 1.5)( 1.5) ( 1.5) 2.25( 1.5)

UPOTREBA ZAGRADA Da bismo proširili efekat eksponenta potrebno je koristiti zagrade:

( )n n na b a b


PRIMERI

1. 22 3 2 9 18 2. 2 2(2 3) 6 36

3. 22 3 4 3 12

RAĈUNANJE ISKAZA SA EKSPONENTIMA Ako zagrade sadrţ e mešovite algebarske izraze sa mnoţ enjem (deljenjem) i sabiranjem (oduzimanjem) redosled računanja je:

1. Izračunati zagrade od iznutra ka spolja

2. Izračunati eksponente

3. Izračunati mnoţ enja (deljenja)

4. Izračunati sabiranja (oduzimanja)

PRIMER 2 3 2(3 4 7) 4 2 3 4

Koraci 2(3 4 7) 34 2 23 4 Komentari

1 (3 4 7) 5 Očistiti zagrade

2 25 25 32 8 24 16 Eksponenti

3 4 8 32

3 16 48 Mnoţ enje

4 25 32 48 9 Ovo je rezultat.

Tabela 2.3: Računanje iskaza


Ovo je primer sa tri eksponenta:

3232 ( 1) 1 4 100

Ne zaboravite da očistite zagrade od iznutra ka spolja!

Koraci 3232 ( 1) 1 4 100 Komentari

1 3( 1) 1 Unutrašnje zagrade

2 2 ( 1) 1 3 Mnoţ enje i oduzimanje

3 2[ 3] 9 Druga zagrada

4 {9 4} 5 Treća zagrada

5 35 125 Exponent

6 125 100 25 Rezultat nakon oduzimanja

Tabela 2.4: Uklanjanje zagrada

Pored gore pomenutih pravila koja se manje ili više odnose na osnovni algebarski redosled računanja, postoje odreĎena svojstva celobrojnih eksponenata koja je veoma korisno zapamtiti.


SVOJSTVA CELOBROJNIH EKSPONENATA Neka x, y budu realni brojevi, a n, m budu celi brojevi.

m n m nx x x

m

m nn

x xx

nm m nx x

( )m m mx y x y

m m

mx xy y

za 0y

PRIMERI

1. 3 4 3 4 72 2 2 2 2. 5 4 5 4 13 3 3 3 3 3. 3 3 3 3 04 4 4 4 1

Iz poslednjeg primera lako moţ emo zaključiti da pošto 3 34 4 1 3

3144

izraz 34 mora biti inverzan element 34 i obrnuto.

4. 4

4 33

3 3 3x x xx

5. 5 2

5 2 3 43

2 1 12 24

x x x xx

6. 32 2 3 63 3 3

7. 3 3m mx x


8. 2 3 2 33 3m m m ma b a b

9. 5

5 ( 3) 5 3 23 2

1x x x xx x

10. 1 1(2 )2

xx

u poreĎenju sa 1 22xx

!

SVOJSTVA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA Neka x i y budu realni brojevi, a n i m budu celi brojevi.

1 1m mm mx x

x x za 0x

1

m m

mx yy xx

y

za , 0x y

1

1

m nm

n mn

x yxy x

y

za , 0x y

PRIMERI

1. 23 6 10

5 10 67 7 88 8 7

2. 4

3 2 2 2 6 46

4(2 ) 2 yx y x yx

3. 32 6 6 6 6

2 3 6( )

8 82 2a a a b a bb b

4. 8

8 ( 5) 35 3

7 7 7 74 44 4

x x xx x


5. 3 3 34 3 4 3 32 6

2 5 2 5 3a a a a a aa a a a

Sve formule imaju jednak efekat ako sume ili drugi iskazi čine bazu.

6. 3

3 22

( ) ( )( )a b a b a ba b

7. 2 4 4 3

3 3 3 2( 2) ( 1) ( 1) 1

3( 2)3( 2) ( 1) 3( 2)x x x x

xx x x

8. 32 2 3

31 ( 1)2 ( 2)

x xx x


Svojstva celobrojnih eksponenata

2 2 2(3 2) 3 2 3 4 122 2 2

3 32 2 4 42 3 6

34 4 4 4 3 2 52 5 10

332 (2 ) 85 5 5

Negativni eksponenti

3 32 ( 2)

Negativna baza

2( 2) 4 3( 2) 8


VEŢBA 2.2.1: CELOBROJNI EKSPONENTI



1. Primeniti princip eksponenata na sledeće izraze:

a) 2 2 2 3 3 b) 3 3 34 4 4 c)

(2 ) (2 ) (2 ) (2 )(3 ) (3 )

a a a ab b

d) x y z x y

x y z e) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2 )x x x x

f) 1 1 2 12 (2)2 2 1 2

g) 2

217 17

17

2. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje negativni eksponenti:

a) 2 43 3 b) 3 32 3 c) 5

344

d) 2( 4) e) 5 5a a f) 2 2 3(3 ) (3 )a a a

g) 2(2 )x y h) 12 3

4 2a ba b

i) 4

32x

j) 32 22x y k)

32 3

3 2a bc d

l) 16 8 14

12 4 32 2 22 2 2


m) 4 3 6

3 3 23 2

(2 ) (3 )x xx x

n) 2 51

a b o)

53 2

5 32a ba b

p) 34

2xx

q) 2 3 2

4 3( )( )a ba b

r) 0(4 )x

s) 23

23

xy

t) 3

227(3 )

xx

u) 4

28 102 10

v) 0,0004

0,0000002 w) 1

100 x) 1.000.000

3. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje razlomci (primer: 2

2 33

x x yy

):

a) 2 3

5(2 )

4cc

b) 2 3

3 2105

x yx y

c) 1

2xy

d) 23 2

4 2a bb a

e) 23 2

122x yx y

f) 2 3 2

2 3( )( )x y

y x

g)

122

2 3a ba b

h) 22 1 3 2 2

2 2 2 3 236 (2 )

(3 ) 2x y x y

x y x y


REŠENJA 2.2.1: CELOBROJNI EKSPONENTI

1. a) 3 22 3 b) 334 c)

2223ab

d) x y e) 3( 2 ) (2 )x x f) 3 312( ) (2) g) 517

2. a) 63 b) 36 c) 24

d) 21

4 e) 1 f) 3 73 a

g) 21

(2 )x y h) 6

1a b

i) 43

2x

j) 32

22yx

k) 33

2( )( )c ba d

l) 12

m) 13x

n) 2 5a b o) 58

52ab

p) 6x q) 8 3a b r) 1

s) 63

2yx

t) 53x

u) 64 10

v) 32 10 w) 210 x) 610

3. a) 2c b) 12x y c) 1 2x y

d) 2 4a b e) 8 6x y f) 2 3x y

g) 2 10a b h) 5 22 x


2.2.2 Razlomaĉki eksponenti

U poslednjem odeljku smo naučili da radimo sa eksponentima kao celim brojevima. Pitanje sada glasi: ,,Postoji li smisao necelobrojnih eksponenata, na primer racionalnih eksponenata?“

Koristili smo formulu:

( )m p m px x

Ona nam daje rezultat kada se eksponencijalni iskaz mx uzima kao potencijal p: Jednostavno mnoţ imo eksponent sa p. Pod pretpostavkom da je eksponent racionalan, dobijamo:

1mn n

mx x

Ukoliko zamenimo n=m formula će postati:

1mm m

mx x x

Ako je m = 2 rezultat će biti:

12

2x x

KVADRATNI KOREN

Drugim rečima: 12x je broj koji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo

ovim svojstvom je generalno poznat kao kvadratni koren x.

Ovaj rezultat bi nas mogao iznenaditi zbog toga što nam je obično poznatije drugačije predstavljanje kvadratnog korena. Naziva se radikalni oblik i poznat je kao:

12x x


Oba oblika, radikalni oblik na levoj strani i eksponencijalni oblik, potpuno su ekvivalentna. Prvo ćemo govoriti o racionalnim eksponentima u okviru pojma eksponenta uopšteno, a zatim i o ekvivalentnim radikalnim oblicima. Ograničićemo našu diskusiju na koren realnih brojeva.

DEFINICIJA OSNOVNOG N-TOG KORENA Za realne brojeve x, y i prirodan broj n neka:

ny x 1ny x naziva se osnovni n-ti koren x.

Zašto se ovaj rezultat naziva osnovni koren? Odgovor moţ emo dobiti ako potraţ imo odgovor na jedno drugo pitanje: ,,Koliko postoji kvadratnih korena od 4?“ To znači da traţ imo brojeve čiji kvadrat iznosi 4. Postoje zasigurno dva takva broja: 2 i −2.

Postoje dva rešenja jednačine: 2 4x 1/2 2x

MeĎutim, ne postoji takvo (sa realnim brojevima) rešenje jednačine: 2 4x

Postoji samo jedno rešenje za: 3 27x 3x

I takoĎe samo jedno rešenje za: 3 27x 3x

Četiri gore data primera mogu se generalizovati na sledeći način.


BROJ KORENA Ako je n paran broj (tj. 2, 4, 6, …) postojaće dva n-ta korena pozitivnog realnog broja x:

1nx

Ako je n paran broj, a x je negativan realan broj, realan koren ne postoji. Ako je n neparan broj (tj. 3, 5, 7, …) postojaće jedan n-ti koren pozitivnog realnog broja x:

1nx

Ako je n neparan broj postojaće jedan n-ti koren negativnog realnog broja x:

1nx

PRIMERI

1. 21/216 4x x

2. 41/216 2x x

3. 3 125 5x x 4. 3 64 4x x 5. 3 64 4x x 6. 2 25x Ne postoji nijedno realno rešenje! 7. 4 16x Ne postoji nijedno realno rešenje! 8. 5 32 2x x

Iritantno je što postoji nekada jedno, a nekada postoje dva rešenja tako jednostavne jednačine kao što je nx a . Dakle, matematičari su definisali neku vrstu glavnog rezultata. Zovu ga osnovni koren gore pomenute jednačine.


OSNOVNI KORENI

Definisanje 1nx osnovni n-ti koren znači da moţ e da postoji samo jedan

koji je:

pozitivan koren kada je n paran broj, a x realan pozitivan broj

pozitivan koren kada je n neparan broj, a x realan pozitivan broj

negativan koren kada je n neparan broj, a x realan negativan broj

nula, kada je x = 0

PRIMERI

1. 122 16 16 4x

2. 144 16 16 2x

3. 133 125 125 5x

4. 133 64 64 4x

5. 133 64 64 4x

6. 122 25 ( 25) does not exist!x

7. 144 16 ( 16) does not exist!x

8. 155 32 ( 32) 2x

Kako se moţ e definisati simbol poput 235 ? Ukoliko svojstva eksponenata

treba smatrati racionalnim eksponentima onda 2 13 3

25 5 ; odnosno,

235

mora predstavljati kvadrat trećeg korena od 5. Generalizacijom ovog svog opaţ anja dolazimo do definicije opštih razlomačkih eksponenata.


PRAVILA RAĈUNANJA POMOĆU RAZLOMAĈKIH EKSPONENATA Kada su m i n prirodni brojevi, a x realan broj (koji ne treba da bude negativan čak ni za n):

11m nn n

mmx x x i

1

11 1 1 nm

nmn n

m

mxxx x

PRIMERI Pojednostaviti i dati rešenja koristeći samo pozitivne eksponente. Sva slova predstavljaju pozitivne realne brojeve.

1. 2 13 3

228 8 2 4 or

12 133 328 8 64 4

2. 5 13 3

55( 8) ( 8) ( 2) 32

3. 2 3 51 1 11

3 3 2 6 623 2 6 6 6x x x x x

4. 13

1 1 1 3 2 11 12 3 3 62 2 6

4 4 4 4 4x

x x x x xx


PAŢNJA– TIPIĈNE GREŠKE Svojstva racionalnih eksponenata

2 2 23

34 443 4

1416 4

13

31xx

13 38 8

1224 4x x

Negativni racionalni eksponenti

1 13 34 ( 4)

13

3144


VEŢBA 2.2.2: RAZLOMAĈKI EKSPONENTI



1. Izračunati, ako je moguće:

a) 138 b)

13( 8) c)

138

d) 16( 64) e)

1 12 264 36 f)

12

12

64

16

g) 1 15 52 16 h)

523 68 64

2. Pojednostaviti iskaze pomoću eksponencijalnih svojstava:

a) 124 b) 7 5(3 ) (2 )a a c) 5 5x x

d) 1532 e)

7 23 51 2( )a b a b

f) 35( 32) g)

4 13 3x x x h)

45

15

x

x

i) 142 4( )a b j)

23

5ab

k)

122 4

2 2a ba b

l) 2( )a b m) 1

164

16 n) 196(125 )


o) 12 8

6 510 1010 10

p) 4 15 5

2 15 5

x x

x x

3. Promeniti redosled iskaza tako da se samo pozitivni eksponenti javljaju:

a) 2 13 2a b b)

13

2x c)

142

3xy

d) 163 3(8 )x y e)

122

44ab

f) 1 13 3

2x y

g)

142

3xy

h)

16

56

3 38x y

x


REŠENJA 2.2.2: RAZLOMAĈKI EKSPONENTI

1. a) 2 b) 2 c) 2

d) 1664 Nema rešenja e) 48 f) 2

g) 2 h) 72

2. a) 2 b) 26a c) 1 d) 2

e) 8 63 5a b f) 1

8 g) 1 h) x

i) 12a b j)

25

3ba

k) 2

3ab

l) 21

( )a b

m) 2 n) 25 o) 310 p) 45x

3. a) 23

12

a

b b)

23x c)

14

2 31

x y

d)

163

38xy

e) 22ab

f) 23x y

g)

143

2yx

h)

16

136 3

8

x y


2.2.3 Radikali

Radikalne eksponente smo uveli pomoću sledeće definicije: 12x je broj

koji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo ovim svojstvom generalno je poznat kao kvadratni koren x. Obično nam je poznatiji termin ,,kvadratni koren” pomoću znaka (=operator) ili da budemo precizniji: 2

Primer: 2 29 9 9 3x x

Oba načina pisanja kvadratnog korena – eksponencijalni oblik 12x i

radikalni oblik x – u potpunosti su ekvivalentni. Postoje situacije kada je zgodnije raditi sa radikalima nego eksponentima, ili obrnuto. U ovom odeljku ćemo videti kako su dva oblika meĎusobno povezana i istraţ ićemo neke osnovne operacije sa radikalima. Diskusiju započinjemo definisanjem n-tog korena radikala.

DEFINICIJA N-TOG KORENA RADIKALA

Kada je n prirodan broj veći od 1, a x realan broj, za n x kaţ emo da je osnovni n-ti koren od x; odnosno:

1nn x x

U slučaju da je n = 2, 2. koren ili kvadratni koren obično se piše kao x.

Simbol se naziva radikal, n se naziva indeks, a x se naziva radikand ili potkorenik. Imajte na umu da je kvadratni koren bez znaka uvek osnovni kvadratni koren.


PRIMERI

1. 4 2 a ne 4 2 !

Nasuprot tome: Jednačina 2 4x ima dva rešenja 1/2 4 2x

2. 133 8 8 2

3. 133 8 8 2

4. 9 ne postoji realno rešenje 5. 5 0 0 6. 3 125 5 7. 2 16 16 4x 8. 4 416 16 2x 9. 3 3125 125 5x 10. 3 364 64 4x 11. 3 364 64 4x 12. 2 25 25 does not exist!x 13. 4 416 16 does not exist!x 14. 5 532 32 2x

Kao što je rečeno, često je prednost kada moţ emo da se pomeramo nazad i napred izmeĎu racionalnih esponencijalnih oblika i radikalnih oblika. Sledeći odnosi su veoma korisni u tom smislu.


RACIONALNI EKSPONENT/RADIKALNE KONVERZIJE Kada su m i n pozitivni celi brojevi (n > 1), a x realan broj – koji nije negativan kada je n paran broj –

1m nn nm mx x x

1m

n nm mnx x x

11 1 1m

nmn n n mm

xxx x

1

1 1 1mn

mn n

m mnx

x xx

PRIMERI

1. 2 13 3

2 23 2 3x x x x

2. 23 3 2 38 8 64 4 isto tako:

2 13 3

2 2 238 8 8 2 4

3. 25

25 5 2

1 1aaa

4. 14

14

41 1 116

21616

5. 23

2 13 32 2 23

1 1 1 1 1279327 2727

6. 230 0


Iako nije eksplicitno navedeno, koristili smo samo racionalne eksponente manje od 1. To znači da su eksponenti bili takozvani pravi razlomci m

n gde je imenilac n veći od brojioca m. MeĎutim, u slučaju da je m > n uvek moţ emo razdvojiti racionalni eksponent na ceo broj i njegov razlomački deo, tako da:

pmn qr i

gde je i ceo broj i p<q

PRIMERI

1. 9 14 42r

2. 7 1 16 6 6(1 ) 1r

3. 33 6 29 9 33 3r

Na osnovu ovog razdvajanja moţ emo da zaključimo:

RAZLOMAĈKI EKSPONENTI VEĆI OD 1 Kada su x, r realni brojevi i i, m, n, p, q prirodni brojevi gde je m>n i p<q moţ emo da razdvojimo pm

n qr i i dobijemo:

p pmq qn

i qr i i px x x x x x x

( )

( )1 1 1pm

qnp pq q

iirq qi p pi i

xx x xx x xx x x

PRIMERI

1. 7 1 13 3 32 2 2 3a a a a a a


2. 17 2 25 5 5

25

3 3553 23

1 1 12 2 2 28 42 22 2

3. 12 4 1 19 3 3 31 1 33 3 3 3 3 3 3

SVOJSTVA RADIKALA Kada je n prirodan broj veći od 1, a x, y realni pozitivni brojevi, vaţ e sledeći identiteti:

1n

nn nx x x

To znači da su n-ti koren i potencijal n suprotne operacije.

1 1 1

( )n n n nn nx y x y x y x y

11

1

nn

n

nx xn y y n

x xyy

for 0y

PRIMERI Promeniti oblik racionalnog eksponenta u radikalni oblik:

1. 13 3x x

2. 17 7 7 72 5 2 5 2 572 2 2a b a b a b

3. 35 3 33 7 3 7 ( 3) 3 7 3 9 215 55x y x y x y x y

4. 2 12 313 43 4 4

3 ( 3) ( 3) 42 2 3u v u v u v u v


Promeniti radikalni oblik u oblik racionalnog eksponenta:

5. 1 33 33 32 2 2 23 x y x y x y x y

6. 277 277 77

7. 16 4 64 4 2 8

8. 1 8 6 34 4 4 28 6 8 6 24 x y x y x y x y

9. 23

33

2 3 2

125 125 5x x x

10. 4 4 2

9 39x x x

11. 5 4 2 5 4 23 3 316 4 16 4x y x y x y x y

1 5 73 3 33 5 74 4x y x y

PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE Svojstva radikala

33 8 8

4 2

5 10 2


VEŢBA 2.2.3: RADIKALI



1. Izračunati, ako je moguće:

a) 3 8 b) 3 8 c) 5 32

d) 5 32 e) 16 f) 64 36

g) 6416

h) 5 52 16

2. Pojednostaviti radikalne oblike:

a) 2 4a x b) 3 327 x c) 12538

d) 5 23

1 53

27x y

x y e) 4 42 28 2a a f) 23

1

8

3. Promeniti radikalne oblike bez pojednostavljivanja.

a) 23m b)

253(2 )xy c) d)

4. Promeniti oblik racionalnog eksponenta bez pojednostavljivanja.

a) b) c)

d) e) f)

g)

13( )x y

1 13 3x y

3 x 3 53 x 3 53m n

6 3 75a b 2 2x y 3 x y

32 32a b c


5. Napisati u pojednostavljenom obliku pomoću radikalnog oblika ili oblika racionalnog eksponenta.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i) j) k)

l)

6. Izmeniti izraz tako da postoje samo pozitivni eksponenti.

a) b) c)

d) e) f)

7. Izračunati pomoću digitrona.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i)

5 53 217 17 2 43 ( )x y2

3 6x

x

x218

8x y

x

2255

aa

424 a a b 2 8x x y

7 45 (2 ) (2 )m n 3 3a b2

34

ab

a ba b

2 13 3a b

13

2x

142

3xy

122

24ab

163 3(8 )x y

12

13

2

2

a x

b y

3 6342 4 4.6

4107

100.2516 13 2.001

382 3.2(2.6)

29(0.0000000024)


j) k) l)

m) n) o)

0.00017584 7 612198138460000000

5 35357 33 21 15 43 10 8


REŠENJA 2.2.3: RADIKALI

1. a) 2 b) 2 c) 2

d) 2 e) Nema rešenja f) 48

g) 2 h) 2

2. a) b) 3 x c)

d) e) 2a f)

3. a) b) c)

d) 3 3x y

4. a) 13x b) c)

d) e) f)

g)

5. a) 17 b) c) 6

d) 14x e) f)

g) h) i)

j) k) l)

2a x 52

23xy

14

3 2m 235 2x y 3 x y

533x

533m n

163 75a b

122 2x y

13x y

131

2 3 22a b c

138 4( )x y

123

2 x y125a

12 ( )a a b

124x y

1511 7 4(2 )m n

1 13 2a b

132

4ab

12a b


6. a) b) 23x c)

d) e) f)

7. a) 1.8171 b) 1.6818 c) 1.4645 d) 0.8670 e) 2 f) 1.0548

g) 0.771 h) 121.2772

i) 82.3206

j) 0.013260 k) 9.323 l) 45.642 10

m) 35.7895 10 n) 2.064 o) 1.2965

132a

b

14

2 31

x y

2a b

163

38xy

13

12

2 2x b y

a


2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente”



1. a) 32 b) 3( 2) c) d) 3( 2)

2. a) b) c)

d)

3. a) b) c) d)

4. a) b) c)

32

3 2 5x x x3 3

2 3x yx y

2 5

2 28 24 16

3 2

5 3x x x

y y

1481

13( 125)

1229x

126.25

34

32x x

5132

651.5

2 4

8 16

3 2323 2

2 33 3 3 6

6 3


5. a) b)

c)

6. a) 273 b)

134 c)

45x d)

3422y

7. a) b) c)

d)

8. a) b) c)

d)

4 15 3

12

2.5

1.5 3.5

x x

xx

x x

7 8 23 9 32 1.5y y y y y

1223.5 7

3

52 3

8

2 2

23

34

4

3

x

x

13

1 13 3

3 2

5

4 8

16 2

23

32.5 1.5

1z z

z

3 125123 64 5 2 32 256 4

5 1024

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 93

2.3 Iskazi

Preduslovi: Poznavanje sastava brojevnih sistema sa celim brojevima i fundamentalnih operacija sa brojevima. Od posebnog značaja je konstituisanje i računanje sloţ enih iskaza, uključujući pravilnu upotrebu zagrada.

Ciljevi uĉenja: UvoĎenje deljenja kao operativnog računanja dovodi do pojave razlomaka. Rad sa razlomcima često je izvor brojnih grešaka. Cilj ove nastavne jedinice je unapreĎenje rada sa razlomcima.

S obzirom da je deljenje glavna računska operacija u matematici i praktično u svim njenim primenama,

2. Basic Algebra

2.1 Numbers



Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents


Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions



konstantno se javlja u razlomcima sa brojevima i u algebarskim iskazima sa promenljivama i funkcijama. Da biste tačno i samouvereno rešavali matematičke probleme, ispravna upotreba razlomaka i odgovarajućih iskaza zauzima centralno mesto.

Bilo da se promenljiva u problemu kombinuje sa drugom promenljivom, ostalim parametrima ili konstantama, različiti iskazi se javljaju u skladu sa primenjenom operacijom. U ovom slučaju ćemo posmatrati jednu promenljivu; nekoliko promenljivih se slično upotrebljava zbog čega iskaz izgleda nešto komplikovaniji.

Ako se promenljiva sjedinjuje isključivo putem sabiranja, oduzimanja, mnoţ enja i deljenja, to dovodi do čitavih racionalnih iskaza. Kada su sve konstante u iskazu celi brojevi, a promenljive takoĎe celi brojevi, onda čitav iskaz ima vrednost celog broja. Time je objašnjen pridev ,,ceo racionalan”.

Ukoliko je dozvoljeno deljenje promenljivih, onda dobijamo razlomačke iskaze. U ovom slučaju promenljiva se javlja u najmanje jednom izrazu kao imenilac.

Jedan algebarski iskaz takoĎe postoji tamo gde se javljaju korenovi, što znači da se promenljiva javlja pod znakom korena, ili radikalom.

Ponovo je potrebno naglasiti da je u gore datoj klasifikaciji odgovarajuće operacije (sabiranje, oduzimanje, deljenje, mnoţ enje i radikali) potrebno razumeti u smislu načina na koji se primenjuju. Operacije koje kombinuju konstante i/ili parametre ne menjaju karakter iskaza.

U ovoj nastavnoj jedinici prvo ćemo se posvetiti racionalnim iskazima, uključujući polinome. Kasnije ćemo posvetiti paţ nju razlomačkim

AdditionInteger

Subtraction FractionalExpression Algebraic

Multiplication ExpressionExpression

Division Radicals

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 95

iskazima. Ipak, nećemo se isuviše detaljno baviti algebarskim iskazima zbog toga što su oni u svojoj praktičnoj primeni ograničeni našim ciljevima.

2.3.1 Integralni iskazi

Ako dodate, oduzmete i pomnoţ ite promenljivu x dobijamo iskaz koji se naziva polinom. Ime nam ukazuje na to iskaz sadrţ i nekoliko izraza u svom opštem obliku (poli (grčki) = više). U svom najširem obliku on izgleda ovako.

POLINOM U X (SA REALNIM KOEFICIJENTIMA) Integralni iskaz sa promenljivom x oblika

gde su koeficijenti realni brojevi, a n je nenegativni ceo broj, naziva se polinom stepena n.

Koeficijenti mogu biti bilo koji realni brojevi. Najviši eksponent koji se javlja naziva se stepen. Svaki pojedinačni sumand često se naziva izraz.

Kako se sa polinominalnim oblicima često susrećemo u matematici, korisno je klasifikovati ih prema njihovom stepenu. Ako izraz u polinomu ima samo jednu promenljivu kao faktor, onda je stepen tog izraza potencijal promenljive. Ako su dve ili više promenljive prisutne u izrazu kao faktori, onda je stepen izraza suma potencijala promenljivih. Stepen polinoma je stepen nenultog izraza sa najvećim stepenom u polinomu. Bilo koja nenulta konstanta definiše se kao polinom stepena 0. Broj 0 je takoĎe polinom, ali mu se ne dodeljuje stepen. Dva izraza se nazivaju istovetnim izrazom ako imaju potpuno iste promenljive faktore na isti potencijal.

11 1 0...n n

n na x a x a x a

1 1 0, ,..., ,n na a a a

1 1 0, ,..., ,n na a a a


Naravno, moţ emo uzeti u obzir i polinome sa više od jedne promenljive. Polinom sa dve promenljive x i y je iskaz koji se formira dodavanjem izraza oblika , gde je realan broj, a m, n su nenegativni celi brojevi. Izraz ima zajednički stepen . Izraz najvišeg stepena definiše stepen polinoma. Na primer:

je polinom stepena 5 sa dve promenljive x i y.

BINOMI Veoma popularni i u čestoj upotrebi su takozvani binomi stepena n. Nazivaju se binomima iz razloga što se sastoje od tačno dve {bi (grčki) = dva} promenljive:

binom 2. stepena

binom 3. stepena

binom 4. stepena

PRIMERI

1. 22 4 10x x je polinom 2. stepena.

2. 2( 2)x je polinom 2. stepena.

3. nije polinom.

4. je polinom 3. stepena sa dve

promenljive x i y.

5. nije polinom.

6. je polinom 4. stepena u dve promenljive x i y.

7. 2 13 2 1 2 221x y x y nije polinom zbog toga što ima razlomačke

i negativne eksponente.

m na x y a

m n

3 2 2 23 2 5 7x y x y x y x x y

2 2 2( ) 2x y x x y y

3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y x y y

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4x y x x y x y x y y

2 1x x

2 24 123 2x x y x y x

1x

4( )x y

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 97

U odeljku 2.1 smo naučili kako da računamo pomoću brojeva i promenljivih. Sada se okrećemo sabiranju i oduzimanju polinoma i drugih izraza. Sva slova u diskusiji i primerima koji slede predstavljaju realne brojeve; otud, vaţ e sva svojstva realnih brojeva o kojima smo diskutovali.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA Hajde da počnemo primerom sabiranja i oduzimanja dva polinoma:

i

Prvo – i najvaţ nije: Koristite zagrade što češće kad god radite sa iskazima. Dakle, sabiranje (oduzimanje) gore datih zagrada bi izgledalo:

Sabiranje:

Oduzimanje:

Stavljanjem broja 1 isped zagrada moţ emo da upotrebimo distributivno svojstvo da bismo ,,očistili" zagrade. Ovo se čini manje ili više trivijalnim kada sabiramo polinome:

Sabiranje:

To je, meĎutim, izvor brojnih grešaka kada ih oduzimamo, zbog toga što se mnoţ enjem iskaza sa (−1) menjaju znaci svih izraza u zagradama:

Oduzimanje:

Sada rasporeĎujemo izraze tako da svi izrazi istog stepena budu ,,zajedno":

Sabiranje:

22 4 5x x23 2 17x x

2 2(2 4 5) (3 2 17)x x x x

2 2(2 4 5) (3 2 17)x x x x

2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17x x x x x x x x

2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17x x x x x x x x

2 2 2 22 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17x x x x x x x x


Oduzimanje:

sada primenjujemo komutativna i asocijativna svojstva u oba slučaja (pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15).

Sabiranje:

Oduzimanje:

Rezultati su:

Sabiranje:

Oduzimanje:

Pojedinačne korake moţ emo da sumiramo na sledeći način.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA Polinomi se sabiraju kombinovanjem izraza istog stepena i primenom komutativnih, asocijativnih i distributivnih svojstava. Rezultat je polinom stepena koji je manji ili jednak većem stepenu sumarnih polinoma.

2 2 2 22 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17x x x x x x x x

2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17)x x x x x x

2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17)x x x x x x

2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 5 2 12x x x x

2 2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 1 6 22 6 22x x x x x x

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 99

PRIMERI

1.

2.

3.

MNOŢENJE POLINOMA Moţ enje algebarskih iskaza uključuje široku upotrebu distributivnih svojstava realnih brojeva, kao i druga svojstva realnih brojeva. (pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15).

Hajde da ponovo počnemo primerom mnoţ enja dva polinoma.

Pomnoţ iti: 4 2x i

Kao i ranije, veoma je vaţ no koristiti zagrade kada vršimo operaciju mnoţ enja:

2(4 2) (2 4 5)x x x

Primenom distributivnog svojstva:

ili, koristeći vertikalan raspored:

2 3 2 3 2(2 4 6) ( 6 ) (2 1) ( 4 6) 6x x x x x x x x

3 2 2 6x x x2 2(2 4 6) (2 8 4)x x x x

2(2 2) [ 4 ( 8)] [6 ( 4)] 4 10x x x3 2 3 2(3 4) ( 3) ( 2 4 )x x x x x x

3 2( 3 1) (1 2) ( 1 4) [ ( 4) 3]x x x

3 24 5 7x x x

22 4 5x x

2 2 2(4 2) (2 4 5) 4 (2 4 5) 2 (2 4 5)x x x x x x x x

3 2 28 16 20 4 8 10x x x x x3 24 12 28 10x x x


4x 2 4x 5

20x 8x 10

28x 10

MNOŢENJE POLINOMA Da bismo pomnožili dva polinoma stepena m i stepena n, mnoţ imo svaki izraz jednog svakim izrazom drugog, i kombinujemo istovetne izraze.

Rezultat je ponovo polinom sa stepenom m+n, tj. sumom stepena svakog pojedinačnog faktora polinoma.

PRIMERI

1.

Prvi polinom ima stepen m = 1; drugi ima stepen

n = 2: Rezultujući polinom ima stepen: m + n = 3

2.

Stepen rezultujućeg polinoma je 2 + 1 + 2 = 5.

Veoma je korisno sluţ iti se takozvanim binomnim formulama.

22x38x 216x

24x38x 212x

2 3 2 3 2(2 4) ( 2) 2 4 4 8 2 4 4 8x x x x x x x x

2 2 3 2 2 2( 2 ) ( 1) ( 2) ( 2 2 ) ( 2)x x x x x x x x x

3 2 2 5 4 3 3 2( 3 2 ) ( 2) ( 3 2 2 6 4 )x x x x x x x x x x

5 4 23 6 4x x x x

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 101

BINOMNE FORMULE

Dok sabiranje i mnoţ enje ne dovode do većih problema, mnoge greške se javljaju kada iskaz sadrţ i nekoliko operacija u mešovitom obliku. Mnoge greške se javljaju zbog nepreglednosti, posebno zbog redosleda vršenja operacija.

Pogledajte na primer sledeći iskaz:

PAŢNJA – ,,GLUPE GREŠKE“ Dve greške izazivaju greške u većini slučajeva. Obično se kaţ e da su to ,,glupe greške":

Veoma često se koristi premali broj zagrada.

Ne posvećuje se dovoljno paţ nje znakovima, posebno treba obratiti paţ nju na znak minus.

Izvori obe greške mogu se lako izbeći ako se zagrade dosledno koriste. Da biste zadrţ ali preglednost koristite različite tipove zagrada, na primer:

(…) za prvi nivo

[ ] za drugi

{…} za treći

i zatim ponovo (…) itd.

Bolje je upotrebiti zagradu više nego zagradu manje.

2 2 2( ) ( ) ( ) 2x y x y x y x x y y

2 2 2( ) ( ) ( ) 2x y x y x y x x y y

2 2( ) ( )x y x y x y

2{[(2 ) (3 4)] ( 2) ( 1)}x x x x x x


ZAPAMTITE

Počnite da rešavate zagrade od iznutra ka spolja.

Budite paţ ljivi sa znakom minus.

Zapamtite pravila operacija: deljenje i mnoţ enje pre sabiranja i oduzimanja

PRIMERI

1.

2.

3.

{[(2 3) 4] 2} 7 12x x x x x

5 4 3 22 3 4 2 7 12x x x x x2[( 1) ( 1) 1].[ 1] 1 ( )x x x x

2 2[( 1) 1] [ 2 1] 1 ( )x x x x

4 3 2 5 4 32 1 ( ) 2x x x x x x x x

2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( )x x x x x

2 3[ 4 4 2 2 1] [ 3 2 ] ( )x x x x x x

3 2 4 3 23 4 4 1 ( ) 3 4 4x x x x x x x x

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 103

VEŢBA 2.3.1: INTEGRALNI ISKAZI



1. Odrediti (tačno/netačno) da li su sledeći izrazi polinomi:

a) b)

c) d) 20 12x

e) ( 1) ( 2)x x f)

g) h)

i)

2. Izvršiti sledeće operacije:

a) plus

b) minus

c) plus minus

d) minus

26 12x x y z13

22 5

5xx

12 112x x

2x x

2 3137 25x y x y 2 32 5x x z

12 112x x

32 3 4x x 23 2 7x x4 23 5 3x x 32 7x x22 4x x 24 3 12x x 2 4 6x x

2 3 2 22x y y y x x y 2 2 23x y x y x y


3. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne izraze:

a) ( 1) ( 1) 3x x x x

b) 2 2 3(2 ) ( 5 )x x x x x

c) 2(3 5 3) ( )y y x y

d) ( ) ( 1) (2 3) (2 3)x y x x x

e)

22 2x y

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 105

REŠENJA 2.3.1: INTEGRALNI ISKAZI

1. a) → Tačno, polinom 2. stepena

b) → Tačno, polinom 2. stepena

c) → Netačno, postoji razlomački i negativni eksponent

d) 20 12x → Tačno, polinom 1. stepena, koji se takoĎe naziva linijski

e) → Tačno, polinom 2. stepena

f) → Netačno, postoji razlomački

eksponent

g) → Netačno, postoji negativni

eksponent

h) 2 32 5x x z → Tačno, polinom 3. stepena

2. a) b)

c) d)

3. a)

b)

c)

d)

e)

26 12x x y z

13

22 5

5xx

12 112x x

1 2x x

122x x x x

2 317 253

x y x y

3 22 3 3x x x 4 3 23 2 5 10x x x x27 2x 2 3 2 2 2 22 2 3x y y y x x y x x y

22 4x x3 4 5 27 9 2x x x x

2 3 23 5 3 3 5 3x y x y x y y y4 3 3 2 24 4 4 4 9 9 9 9x x x y x y x x y x y

4 2 2 42x x y y


2.3.2 Razlomaĉki iskazi

Iskaz sa promenljivom u imeniocu naziva se razlomački iskaz. Mogu izgledati poprilično različito, meĎutim, barem jedan od izraza mora da sarţ i operaciju ,,deljenje promenljivom”:

ili ili ili ili

OdreĎivanjem zajedničkog imenioca i primenom zajedničkih pravila za razlomke, različiti izrazi mogu se sumirati u obliku razlomka dva polinoma.

Prva dva primera gore su već razlomci.

3. Primer:

4. Primer:

5. Primer:

STANDARDNI OBLIK RAZLOMAĈKOG ISKAZA Svaki razlomački iskaz moţ e se napisati kao razlomak dva polinoma:

Polinom u brojiocu ima stepen n, polinom u imeniocu ima stepen m.

Za nas nije neophodno da detaljno govorimo o ovoj vrsti iskaza. Mi moramo jednostavno dosledno da primenjujemo pravila za razlomke (pogledati: odeljak 2.1.2; strana 25 ff). Sabiranje, mnoţ enje, proširivanje i skraćivanje su potpuno isti. MeĎutim, za sve operacije gde je promenljiva x uključena, budite paţ ljivi da ne mnoţ ite i ne delite nulom.

1x 2

2 11

xx 2

121

xx x

1 22 10x x x 21 2 3 1

3x x

x x

2 3 2

2 2 21 2 ( 1) 1 2 2 2 12

1 1 1x x x x x xx

x x x x x x

1 2 212 10 (2 10)x x x x xx

2 3 21 (2 10) 1 2 10x x x x x xx x

2 3

2 2 21 2 3 1 3 2 3(3 1) 2 12 3

3 3 3x x x x x x x x

x x x x

11 0

11 0

......

n nn n

m mm m

a x a x ab x b x b

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 107

Ipak, treba da budemo svesni nekoliko vaţ nih razlika integralnih iskaza u poslednjem poglavlju.

PAŢNJA Zapamtite da razlomačke crte imaju ista svojstva kao zagrade. Stoga, ophodite se prema crtama kao prema zagradama.

Kad god radite sa razlomačkim iskazima koristite zagrade da privremeno obustavite rešavanje razlomka korišćenjem brojioca i imenioca kao zasebnih iskaza.

SABIRANJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Razlomački iskazi mogu se sabirati (oduzimati) nakon proširivanja svih iskaza tako da imaju isti imenilac.

Izrazi sa istim imeniocem mogu se sabrati (oduzeti) dodavanjem (oduzimanjem) brojioca.

PRIMERI

1. 2 2 23 1 4 2 3 1 4 2 4 1

1 1 1 1x x x x x x x xx x x x

2. 2 2 21 3 2 1 3 2 3 4

3 3 3 3x x x x x x x x

x x x x

3. 2 2

2 22 1 2( 1) ( 1) 2 2 2

1 ( 1)x x x x x x x x x

x x x x x x x x

Kada sabiramo dva razlomačka iskaza, metod unakrsnog mnoţ enja (pogledati: odeljak 2.1.2; strana 31) moţ e se primeniti na veoma koristan način. Na primer:

2 1 2 ( 2) ( 1) ( 1)1 2 ( 1) ( 2)

x x x x x xx x x x


Zajednički imenilac je proizvod dva imenioca. To znači da ćemo levi brojilac mnoţ iti desnim imeniocem, a desni brojilac mnoţ iti levim imeniocem.

MNOŢENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Dva razlomačka iskaza se množe mnoţ enjem brojioca i imenioca.

PRIMERI

1.

2.

3. 22 1 2( 1) 2 2.

1 ( 1)x x x

x x x x x x

Inverzija broja a znači . Ista operacija mora da se primenjuje kada se vrši inverzija razlomačkog iskaza.

2 2

23 1 4 2 (3 1) (4 2 )

1 1 ( 1)x x x x x xx x x

3 2 2 3 2

2 212 6 4 2 12 2 2

( 1) ( 1)x x x x x x x

x x

2 2 3 2

21 3 2 ( 1) (3 2 ) 2 5 3.

3 3 ( 3) ( 3) 9x x x x x x x x x

x x x x x

1a

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 109

INVERZIJA RAZLOMAKA Kao kod brojeva, inverzija razlomačkog iskaza se dobija ako zamenimo brojilac i imenilac:

PRIMERI

1.

2.

3.

Deljenje dva razlomačka iskaza vrši se na isti način kao i deljenje dva razlomačka broja, naime, pomoću mnoţ enja invertnih iskaza.

DELJENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Dva razlomačka iskaza delimo mnoţ enjem iskaza u brojiocu inverzijom iskaza u imeniocu:

1 1a x b c x da x bc x d a x bc x d

12

224 2 1 1

1 4 24 21

x x xx x xx x

x

11 3 2 33 2 3 3 2

3

x xx x x

x

1 22 1 ( 1).1 2( 1) 2 2

x x x x xx x x x

1a x b

a x b a x b t y uc x dr y s r y sc x d c x d r y st y u t y u


PRIMERI

1.

2.

3.

2

22

3 13 1 4 2 3 1 11 .

1 1 1 4 24 21

xx x x x xxx x x x xx x

x

2

3 23 2 1

4 6 2x x

x x x2

2 3 2

2

13 1 3 2 4 3

3 2 3 3 2 2 6 93

x xx x x x x x x

x x x x xx

22 1 2 221 1 11

x x x xxx x xx

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 111

VEŢBA 2.3.2: RAZLOMAĈKI IZRAZI



1. Proširiti sledeće iskaze sledećim faktorima, za koje se pretpostavlja da nisu jednaki nuli:

a) 11

xx

sa 2x b) 2 2

2x x

x sa 2x

c) uv

sa u vu v

2. Skratiti zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu:

a) b)

c)

3. Pomnoţ iti iskaze i skratiti zajedničke faktore:

a) b)

c) 2 29 3 2

3 2 3a a a

a a

224

xx

2

2( 5)

2 10x x

x x2 4

626x yx y

2 2

24

2 2a a

a a a

2 2

33 ( 5)

5 6x x

x x


4. Podeliti i skratiti zajedničke faktore:

a) b)

c)

5. Sabrati ili oduzeti, i pojednostaviti:

a) b)

c) d)

e)

f)

g) 2 2

2 2x y

x y y x h)

3 2( ) ( )x x y y x y

i) 2 134 3

xx x

2

236 ( 6)

6a aa a

2 2

23

36 9x x

xx x2 2

2 29 3

39 6a b a b

a ba a b b

2 2

2 23 6 2 2

4 4x xx x

2 22 2

xx x

2

2 21

( 1) ( 1)a

a a2 1 2 1a b

a b

2 21 2

u uu u 2

10 3525 zz

2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 113

REŠENJA 2.3.2: RAZLOMAĈKI ISKAZI

1. a)

b)

c)

2. a) b) c)

3. a) a b) 52

xx

c) (3 )a a

4. a) b) 33x

c) 1

5. a) 1 b) 2 22

xx

c)

d) b aa b

e) 2( 2)

1 2u u

u u f)

g) h)

i)

2

22 22 2

x xx x

3 2

24 4

4x x x

x

3 2

2 3u u vu v v

12x 2

x23

xy

6(6 )a

a a

11

aa

23 5

25z

z

2 24

2 2

y x

x y y x

2 23 2( ) ( )x y y x

x x y y x y

213 10 3(4 3)x x

x x


2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze”



1. Da li su sledeći iskazi polinomi? Ako je vaš odgovor ,,da”, ukaţ ite na stepen; ako je odgovor ,,ne”, objasnite razlog:

a)

b)

c)

d)

2. Dovršiti formule bez konsultovanja udţ benika:

a)

b)

c)

132 3 3x y x y

3 2 42 112x y x y35 5 2 37

112 3.14 237x y x y x

3222 5 3x y x y

2( 2 )x y

2512 3( )a b

10 5 2 13 4 3 4( ) ( )x x

2 . 3 . 3 T e s t n a p r e t k a S t r a n a | 115

3. Sabrati ili oduzeti polinome i skratiti rezultat koliko je moguće:

a)

b)

c)

4. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne iskaze:

a) 2 2 2( 1) 2 (2 )x x x y x

b) 2 5 3 7 2 15x x x x x

c) 22 41 1 1

2 2 43 2 4x x x x

5. Izvršiti operacije i skratiti rezultat koliko je moguće:

a)

b)

c)

2 3 2(2 4 6) (2 8 4 )x x x x x

3 2 3 27 22 3(3 4) ( 3) ( 4 )x x x x x x

2 2 22 3 4 (3 5) ( 4) (3 ) 11x x x x x

2 2 4( 2) 3 ( 2) 3 9x x x

2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( ) (4 1)x x x x x x x

2 31 1 12 5 4 2y x x


2.4 Rešenja za testove napretka

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve”

Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1. a) Celi brojevi: 2, 4, 1,356

b) Racionalni brojevi:

c) Iracionalni brojevi: ;

d) Realni brojevi:

2. a) 158 b) -222

3. a) 1.833 b) 12 c) 19

6

4. a) 6 b) 2319

5. a) 336 b) 2310

6. a) > 0 b) < 0

7. 1,16 EUR

8. a) 413,32 EUR b) 15,9%

1723 23; ; 0.25; 3.16363

2; 5; e

134; ; 7; 0.66

2 . 4 R e š e n j a z a t e s t o v e n a p r e t k a S t r a n a | 117

2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente”


1. a) 8 b) –8 c) d)

2. a) b) c) 8 d)

3. a) 3 b) 5 c) 3x d) 2.5

4. a) b) c)

5. a) b) c)

6. a) b) c)

d)

7. a) b) c) d)

8. a) –5 b) 2 c) d) 4

18 18

6x5

6xy

2

8xy

334x 118

15

1

2

316

43

3

2

5315

1

x

3718y

32

272

7 233 14 5 4x

324 2y

85

1

2

112x

31152

13z

1652


2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze”


1. a) Nema polinoma b) Nema polinoma

c) Polinom 5. stepena d) Polinom 6. stepena

2. a) b)

c) 220 59 16x

3. a) 3 22 10 6x x b) 3 2512 3 5 7x x x

c) 22 4 5x x

4. a)

b) 5 4 3 22 5 3 7 2 15x x x x x

c)

5. a) b)

c) 2 2 23 1 1 18 4 4 6x y y x x

2 24 4x x y y 2 25 2514 3 9a a b b

2 2 3 24 4 4 4x y x y y x y

24 4x3 28 24 32 16x x x 4 33 4x x

3 . J e d n a č i n e S t r a n a | 119

3. Jednaĉine

Preduslovi: Da biste uspešno savladali ovo poglavlje uz minimalne poteškoće, od vas se zahteva da posedujete osnovno poznavanje računskih operacija u cilju rešavanja i pojednostavljivanja iskaza.

Ciljevi uĉenja: Kada poredimo iskaze, oblik koji najčešće srećemo su jednačine. One ne samo da grade osnovu za većinu najvaţ nijih iskaza u matematici, funkcije − što je tema sledećeg poglavlja – već su često i deo širih računica.

U većini slučajeva cilj je rešiti jednu jednačinu ili sistem jednačina. Rešiti jednačinu znači odrediti vrednosti promenljivih, koje su deo jednačine, tako da jednačina bude istinita. Govorićemo o različitim oblicima jednačina.

Jednačina je matematička rečenica u simbolima koja pokazuje da su dve stvari u potpunosti iste (ili ekvivalentne). Da bi ova ekvivalentnost vaţ ila, jednačine se pišu znakom jednakosti (=), kao u:


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

Vol

. 1: E

lem

en-

tary

Age

bra

3. Equations

120 | S t r a n a 3 . J e d n a č i n e

5 – 3 +7 = 9 Gore data jednačina je primer jednakosti, stanja u kome su obe strane jednačine jednake. Sve dok jednačina sadrţ i samo brojeve, jednakost se moţ e odrediti sa lakoćom. MeĎutim, u slučaju kada jednačina sadrţ i najmanje jedan nepoznat broj ili promenljivu nepoznate vrednosti, jednačina se ne moţ e odrediti bez prethodnog odreĎenja vrednosti nepoznate. Znak jednakosti olakšava odreĎivanje jedne ili više vrednosti nepoznate s obzirom da u nekim slučejavima samo specifične vrednosti zadovoljavaju zahtev jednakosti.

Za jednačinu 2( 2) 5 13

xx

postoje dve vrednosti x koje ispunjavaju

zahtev jednakosti; dok za jednačinu 2 7 53

x postoji samo jedna

vrednost x koja ispunjava zahtev jednakosti.

Iskazi poput onih koji su dati gore koji sadrţ e znak jednakosti za ekvivalentnost nazivaju se jednaĉine. Obično su predstavljene kao algebarski iskazi sa promenljivom x.

3 . 1 U p o t r e b a j e d n a č i n a S t r a n a | 121

3.1 Upotreba jednačina

Preduslovi: Pretpostavka je da razumete i umete da primenite osnovna pravila algebre za upotrebu iskaza.

Ciljevi uĉenja: Jednačine su vaţ an deo većine matematičkih modela. Javljaju se u brojnim slučajevima ili u obliku definicija realnih ţ ivotnih situacija ili kao rezultat balansiranja procedura.

Matematički izazov koji se krije u jednačinama prvo se odnosi na njihovo definisanje, zatim primenu, i, kao treće, rešavanje.

U ovom poglavlju ćemo ilustrovati proces modelovanja, i razgovarati o linearnim i kvadratnim jednačinama kao najvaţ nijim jednačinama za ekonomsku primenu.

3. Equations

3.1 Use of Equations

Modelling

Solution

3.2 Linear Equations

Normal Form

Solution

3.3 Quadratic Equations

Forms

Solution


Najosnovnije su polinomne jednaĉine, u kojima je iskaz na desnoj strani jednačine polinom:

gde su koeficijenti realni brojevi, a n ceo broj koji nije negativan.

Najjednostavnija polinomna jednačina je jednačina 1. stepena koja se naziva linearnom jednačinom:

U ovom odeljku ćemo se detaljno baviti linearnim i kvadratnim jednačinama, njihovim svojstvima, analizirati ih i procenjivati njihov potencijal za upotrebu. Ustanovićemo koliko je korisno opisati neke prirodne fizičke i ekonomske probleme kroz linearne ili kvadratne oblike.

U takvim jednačinama sa promenljivama (= nepoznatima), pitanje obično ne glasi da li je tačno ili netačno, već za koje vrednosti nepoznate postoji jednakost. Ove vrednosti se nazivaju rešenjima jednačina.

Postoje različite vrste jednačina u zavisnosti od vrste njihovih rešenja.

USLOVNE JEDNAĈINE Jednačine koje su tačne za samo neke vrednosti upotrebljenih promenljivih (nepoznatih) nazivaju se uslovnim jednačinama.

Uslovne jednačine su ,,normalna” vrsta algebarskih jednačina koje upotrebljavamo. Matematički problem obično treba rešiti, tj. pronaći sva rešenja.

PRIMERI

1. 2 9 17x vaţ i ako i samo ako 4x , za 2 4 9 17 . To znači, 4x je rešenje jednačine.

2. 3 2 2 8 2x x x , zato što 6 2 4 8 .

11 1 0... 0n n

n na x a x a x a

0,...,na a

1 0 0a x a


3. Ako pitanje glasi: Za koju vrednost x će polinom iznositi 0?

Odgovor je:

Kad god transformišete jednačinu vršeći odreĎene operacije, kreirate identitet, iz razloga što morate biti sigurni da ćete izbeći gubitak ili dobitak bilo kog rešenja jednačine.

IDENTITET Jednačina koja je tačna za sve dozvoljene vrednosti nepoznatih koje su upotrebljene naziva se identitet. Dozvoljene vrednosti u ovom slučaju označavaju vrednost za koju su članovi definisani.

PRIMERI

1. →

8 4 2 6 8 4 8x x x vaţ i za sve realne brojeve x.

2. vaţ i za sve realne brojeve x.

Jednačine bez rešenja nazivaju se nekonzistentne ili kontradiktorne. Kontradiktornost je ponekad jednostavno rezultat greške prilikom transformacije jednačine, ili moţ ete naići na kontradiktornost prilikom pravljenja dokaza.

NEKONZISTENTNOST Za jednačinu za koju ne postoji rešenje ili ne vaţ i nijedna vrednost nepoznate kaţ e se da je nekonzistentna (konfliktna ili kontradiktorna). Vrednosti nepoznate ne pruţ aju dokaz o ekvivalentnosti jednačine.

2 4x x

21 24 0 0 and 4x x x x

684(2 1) 2 8( )x x

2 2( 2) 4 4x x x


PRIMER

2 ( 2) 7 2 3x x

Ne postoji nijedno x koje zadovoljava ovaj ,,niz”, zbog toga što:

2 ( 2) 7 2 4 7 2 3 2 3x x x x

3.1.1 Modelovanje pomoću jednaĉina

Pre nego što transformišete ili rešite jednačinu, potrebno je da je formulišete. Obično jednačina ili sistem jednačina – ukratko ,,model" – nije dat (što je bio slučaj i u ovom udţ beniku do sada). Često je potrebno pronaći adekvatnu matematičku reprezentaciju praktičnog problema koji bi mogao da ima ekonomski, fizički, socijalni ili drugi uticaj. Rešavanje problema pomoću matematike znači da je prvo potrebno prevesti problem u matematiče izraze kako bi se zatim primenile matematičke metode i procedure. Ovaj transformacioni proces je u većini slučajeva teţ i od rešavanja samog matematičkog problema.

Navešćemo i diskutovati o nekim sasvim osnovnim koracima koji bi nam mogli biti od pomoći da uspešno prevedemo i rešimo praktične probleme. Pojedinačne korake ćemo prikazati pomoću sledećih problema:

Problem 1: Kada je rezervoar pun? Rezervoar za vodu moţ e se napuniti pomoću dva ulivna grla. Koristeći samo grlo A, rezervoar će se napuniti za 8 sati. Kada koristimo i grlo A i grlo B zajedno rezervoar će biti pun nakon 2 sata.

Koliko je vremena potrebno da se napuni rezervoar koristeći samo grlo B?

Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţ il? Sledeće godine Dţ ek će imati tri puna više godina od Dţ il pre dve godine, dok će kroz četiri godine Dţ il biti duplo mlaĎa od Dţ eka pre tri godine.

Koliko godina imaju Dţ ek i Dţ il?


Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra preko Atlantskog okeana? Na vreme leta od Frankfurta do Njujorka (oko 4,000 milja) utiče stalan zapadni vetar, što produţ ava vreme leta 20% u proseku u odnosu na suprotan pravac.

Kolika je prosečna brzina vetra na 36,000 fita nadmorske visine nad severnim Atlantskim okeanom ako je brzina na zemlji bez vetra 890 km/h?

KORAK 1: ANALIZA PROBLEMA Paţ ljivo pročitajte tekst, dva ili tri puta ako je potrebno. Obeleţ ite značajne informacije i identifikujte polaznu tačku u pitanju.

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskim okeanom? Relevantni podaci su:

Vreme leta nad zemljom bez vetra je 890 km/h. Brzina vetra se mora dodati ako avion ima vetar u

leĎa; u slučaju čeonog vetra mora se oduzeti.

Polazna tačka u pitanju je brzina vetra.

Udaljenost nije relevantna, zato što će ona implicitno biti uzeta u obzir.

KORAK 2: IDENTIFIKOVANJE I DEFINISANJE PROMENLJIVE (PROMENLJIVIH) Izaberite kao promenljive one polazne tačke koje su eksplicitno date kao ,,nepoznate". Obično je to cilj koji se formuliše u pitanju problema.


Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţ il? Nije nam poznata starost ni Dţ eka ni Dţ il. Kako se pitamo za starost i jednog i drugog, biramo njihove godine kao promenljive.

Neka x budu Dţ ekove godine, a y Dţ iline godine.

KORAK 3: PREVOĐENJE U MATEMATIĈKI MODEL Prevedite opisane odnose u matematički model, tj. na jezik kojim se matematika sluţ i.

Ovo je centralni korak zato što moramo da navedemo praktičnu pozadinu u matematičkom obliku. Najčešće moramo da navedemo ekonomska, fizička ili socijalna ograničenja u jednačinama.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun? Neka a, i b budu vreme koje je neophodno kada koristimo odgovarajuće grlo, a neka c bude vreme punjenja kada koristimo oba grla zajedno.

Neka T bude sadrţ aj rezervoara.

Količina vode koja će proteći kroz bilo koje grlo po satu iznosi ili , pomenutim redosledom.

Upotreba oba grla znači:

Dolazimo do zaključka da moţ emo da izostavimo T, tj. sadrţ aj je suvišna informacija implicitno sadrţ ana u vremenu punjenja. Dobijamo:

KORAK 4: REŠENJE ZA MATEMATIĈKI PROBLEM

, or , or T T Ta b c

T T Tc a b

1 1 1 1 a bc a b c a b


Konačan korak je uvek povezan sa matematičkim problemom koji je potrebno rešiti u skladu sa formulisanim modelom.

Veoma često matematički model se sastoji od jednačine ili sistema jednačina koje se moraju rešiti.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun? Izveli smo sledeću jednačinu koja opisuje povezanost više različitih vremena punjenja:

Traţ imo b, vreme punjenja kada se koristi samo grlo B, pod pretpostavkom da su c i a dati. Stoga, rešavamo gornju jednačinu za b:

( )a b c a b c a c b a b c b c a

( ) c aa c b c a ba c

Zamenjujemo simbole datim vrednostima:

2 8 16 8 2.66 hours 2 hours 40 minutes8 2 6 3

c aba c

Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţ il? Neka x budu Dţ ekove godine, a

y Dţ iline godine.

Ove dve izjave se mogu direktno prevesti u jednačine.

Sledeće godine Dţ ek će imati tri puta više godina od Dţ il pre dve godine:

1 3( 2)x y (1)

Kroz četiri godine Dţ il biti duplo mlaĎa od Dţ eka pre tri godine:

1 1 1 1 a bc a c c a b


(2)

Zamenjujemo 3 ( 2) 1 3 7x y y u jednačini (2):

Dţ iline godine

3 7 54 7 47x y Dţ ekove godine

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskim okeanom? Relevantni podaci su vreme leta nad zemljom bez vetra:

g =890 km/h

Promenljiva u pitanju je brzina vetra w.

Brzina vetra w se mora dodati ako avion ima vetar u leĎa; u slučaju čeonog vetra mora se oduzeti:

1.2( ) 1.2 1.2g w g w g w g w

0.2 0.22.2 0.2 8902.2 2.2

w g w g km/h

Zapadni vetar ima prosečnu brzinu od 80,9 km/h.

3.1.2 Rešenje

Izračunati rešenja jednačine znači transformisati jednačinu i pojednostaviti je tako da konačno izolujete nepoznatu promenljivu i pronaĎete sve moguće vrednosti. ,Rešavanje jednačina” upravo to znači. Proces transformisanja ne bi trebalo da predstavlja nikakav problem sve dok imate sledeća pravila na umu:

DOZVOLJENE OPERACIJE

124 ( 3)y x

312 24 (3 7 3) 5y y y

12 9 18y y


Koja god operacija da se vrši na jednoj strani jednačine mora da se vrši na drugoj strani takoĎe.

Postarajte se da ne dobijete niti izgubite bilo koje rešenje.

Nikada nemojte da mnoţ ite ili delite sa 0. Ako mnoţ ite ili delite izrazom koji sadrţ i promenljivu, isključite vrednost 0 za taj izraz.

Ova pravila se na sreću automatski javljaju u većini osnovnih operacija kojima se bavimo tokom ovog kursa. Interesantno je, meĎutim, videti kako moţ emo da dobijemo ili izgubimo rešenja, mada se u većini slučajeva ovo dešava pre slučajno nego namerno. Evo nekoliko primera.

PRIMERI

1. 2 3 7x i 2 4x su ekvivalentne jednačine, zato što obe imaju isto rešenje x = 2. Oduzimanjem broja 3 sa obe strane od prvog rešenja, identitet je očigledan.

2. i 2 0x nisu ekvivalentne jednačine, mada je rešenje obe x = 2. Prva jednačina ima dodatno rešenje x = 0, koje zasigurno nije rešenje druge jednačine. Izgubili smo ovo moguće rešenje kada smo podelili prvu jednačinu sa x.

3. Ţelimo da rešimo jednačinu 2( 2) 4x . Stavljanjem kvadratnog korena sa obe strane – jednačina podleţ e pravilu: ,,ono što primenite na jednu stranu morate da primenite i na drugu” – moţ emo da dobijemo 2 2 4x x . Ustvari, ovo rešenje je rešenje prve jednačine; meĎutim, to nije jedino rešenje, x = 0 takoĎe rešava prvu jednačinu. To znači da smo primenom kvadratnog korena izgubili rešenje 2( 2) 4x i 2 2x nisu ekvivalentne.

4. Ţelimo da rešimo jednačinu 3 7 2 3x x . Rešenje je očigledno10x . Prema pravilu koje kaţ e da moţ emo da pomnoţ imo obe

strane faktorom x, dobijamo:

2 2 23 7 2 3 10 ( 10) 0x x x x x x x x

2 2 0x x


Proizvod je jednak 0, ako i samo ako je najmanje jedan od faktora jednak 0. Dakle, x = 0 ili x = 10.

Otud sada imamo dva rešenja, od kojih je samo poslednje rešenje originalne jednačine, dok rešenje x = 0 očigledno nije rešenje 3 7 2 3x x .

Dobili smo rešenje mnoţe njem. Dakle, rezultat nakon mnoţ enja i originalna jednačina nisu ekvivalentni.

Pitanje sada glasi: ,,Koje operacije su dozvoljene u cilju kreiranja identičnih jednačina?“ U delu koji sledi diskutovaćemo samo o fundamentalnim operacijama koje su neophodne za dalju diskusiju:

DOZVOLJENE OPERACIJE ZA JEDNAĈINE Dozvoljene operacije transformacija su one koje ostavljaju niz rešenja nepromenjenim ili netaknutim.

Sledeće operacije su dozvoljene.

SABIRANJE ILI ODUZIMANJE Sabiranjem ili oduzimanjem istog izraza na obe strane jednačine ne menja se niz rešenja. Rezultat je identična jednačina.

To znači da dodavanje iste vrednosti na obe strane jednačine ne utiče na rešenje jednačine. Vrednost koju je potrebno sabrati ili oduzeti, meĎutim, mora da bude validna za obe strane jednačine.

PRIMERI

1. 2 3 10x x

Ako oduzmete 10 od obe strane, jednačina postaje:

2 3 10 10 10x x x

Dodavanjem x na obe strane promenićemo jednačinu, ali nećemo uticati na niz rešenja:


2 3 10 2 7 0x x x x x

Rezultat je ekvivalentna jednačina:

3 7 0x

2.

Zasigurno moţ emo da radimo sa više od jednog izraza istovremeno; na primer, oduzimamo kompletnu desnu stranu da bismo na toj strani dobili 0:

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo:

Iz dva gore data primera trebalo bi da bude jasno da sabiranje ili oduzimanje izraza na obe strane nije ograničeno nikakvim specifičnim oblikom jednačine. Ono vaţ i za sve tipove.

U prvom primeru smo oduzeli 10 da bismo ,,izbrisali" konstantu na desnoj strani. Rezultat je da se 10 više ne pojavljuje na desnoj strani i oduzima se od leve strane. Drugim rečima, ako ,,pomerite" adicioni izraz sa jedne strane na drugu, njegov znak se menja. Ovo ne samo da vaţ i za konstantne faktore, već za sve izraze. Primeri dati gore onda postaju:

PRIMERI

1. 2 3 10x x

Promena strane za izraz ( 10)x znači da moramo da ga oduzmemo od leve strane:

2 3 ( 10) 0x x → 2 3 10 0x x

Rezultat je ekvivalentna jednačina:

3 7 0x

2.

Ponovo, da bismo dobili 0 pomeramo kompletan izraz sa desne na levu stranu menjanjem znaka:

22 12 4 4x x

22 12 (4 4) 4 4 (4 4) 0x x x x

22 4 16 0x x

22 12 4 4x x


Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao gore:

Čim savladate upotrebu jednačina kako biste mogli da ih rešite ili pojednostavite gotovo automatski ćete primenjivati obrazloţ enje dato gore.

MNOŢENJE ILI DELJENJE Množenje ili deljenje istim izrazom koji nije jednak nuli na obe strane jednačine ne menja niz rešenja. Rezultat će stoga biti identična jednačina.

Najznačajniji deo pravila gore je ,,izraz nije jednak nuli". Mnoţ enje nulom je strogo zabranjeno iz razloga što bi rezultat bio trivijalan identitet:

0 = 0

TakoĎe je strogo zabranjeno deljenje nulom, jer je rezultujući izraz neodreĎen.

Moţ ete tvrditi da ste naučili ova pravila u trećem ili četvrtom razredu. Ko bi ikada mnoţ io ili delio sa nula? Zašto bi to iko radio?

Problem se pak ne odnosi samo na mnoţ enje ili deljenje samim brojem 0, već izraze čija je vrednost 0, čega vi niste svesni. Hajde da ovo objasnimo kroz primer. Pretpostavka je da ţ elimo da pronaĎemo vrednosti kojima se rešava jednačina:

Izvlačenjem zajedničkog faktora 2x ispred zagrade dobijamo: 2 ( 2) 0x x

Deljenje obe strane izrazom 2x očigledno znatno pojednostavljuje jednačinu:

2 0x

22 12 (4 4) 0x x

22 4 16 0x x

22 4 0x x


Sada je lako pronaći rešenje: 2x Ovo, meĎutim, nije jedino rešenje, zato što je 0x takoĎe rešenje gornje jednačine. Dakle, deljenje izrazom 2x menja identitet jednačine i gubimo rešenje.

Uzevši u obzir da bi izraz 2x takoĎe mogao biti nula, morali bismo da tvrdimo da proizvod 2 ( 2)x x moţ e biti nula ako je jedan od faktora nula. Tako bismo izbegli deljenje nulom i dobili dva ispravna rezultata:

0x i 2x

Mnoţ enje i deljenje jednačina brojevima ili izrazima moţ e se prilično redovno primenjivati na algebarsko pojednostavljivanje. PRIMERI

1. 2 3 10x x

Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x:

2 10 3 3 7x x x

Deljenjem obe strane sa 3 dobijamo rešenje:

2. 22 12 4 4x x

Ponovo, da bismo tamo dobili 0, prebacujemo kompletan izraz sa desne na levu stranu promenom znaka:

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao i gore: 22 4 16 0x x

Da bismo dobili nešto lakši oblik moţ emo obe strane da podelimo sa 2:

2 2 8 0x x

U daljem tekstu ćemo taj oblik zvati ,,normalan oblik kvadratne jednačine".

73x

22 12 (4 4) 0x x


Sledeća jednačina sadrţ i razlomački iskaz:

4 8 1 32 3

x xx x

Da bismo rešili takvu jednačinu, očigledno je da su oba imenioca problematična. Stoga, prirodno je ukloniti ih mnoţ enjem cele jednačine prvo izrazom 2x , a zatim izrazom 3x (ili obrnuto):

(4 8) ( 2) 3 ( 1) ( 2) 3 3( 2) 3( 2) 3

x x x x x x x xx x

Skraćivanjem identičnih izraza u razlomačkim izrazima dobijamo:

(4 8) 3 ( 1)( 2) 3 ( 2) 3x x x x x x

Potrebno je da sa obe strane mnoţ imo polinome. Nakon preraspodele jednačine tako da se kombinuju izrazi istog stepena, dobijamo:

U odeljku 3.3 ćemo naučiti kako da rešavamo gore pomenutu (kvadratnu) jednačinu. Za sada je dovoljno da znamo da jednačina ima dva rešenja

2x i 14x , što se lako moţ e dokazati jednostavnom zamenom

promenljive odgovarajućom vrednošću i testiranjem konzistentnosti.

Dakle, dva su rešenja 2x i jednačine:

Oba rešenja, meĎutim, ne rešavaju originalnu jednačinu:

4 8 1 32 3

x xx x

Pod pretpostavkom da smo na ispravan način transformisali jednačinu u svim koracima, moţ emo se zapitati: ,,Šta nije u redu?”.

Odgovor moţ emo pronaći na samom početku. U originalnoj jednačini moramo da isključimo vrednosti 2x i 0x zato što bi ove vrednosti odnosnih imenioca bile nula, a što je strogo zabranjeno.

Nakon toga, mnoţ enjem imenioca ,,ispravili" smo to isključivanje, što vodi rešenju 2x i drugačijoj (neidentičnoj) jednačini.

2 2 212 24 2 2 9 18x x x x x x x 24 7 2 0x x

14x 24 7 2 0x x


PRIMERI

1. 1, 1x

Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x:

3 3 2 2 5x x x

2. 1x

Skraćivanjem odgovarajućih faktora:

Nakon izolovanja x, dobijamo:

, tj. dva rešenja i , od kojih su oba takoĎe rešenja originalne jednačine iz razloga što nismo morali da ih isključimo.

Poslednji od dva problema je dobar primer znatnog pojednostavljenja operacije ,,mnoţ enja ili deljenja", iz razloga što u mnogim situacijama nije neophodno prvo mnoţ iti zajedničkim imeniocem i nakon toga ukloniti zajedničke faktore. Oba koraka moţ emo obaviti odjednom takozvanim ,,unakrsnim mnoţ enjem".

Pogledajmo ponovo primer 2:

for 1x

Unakrsno mnoţ enje znači da mnoţ imo levu stranu imeniocem desne strane i obrnuto. Rezultat će biti: 2 5 2( 1) ( 1)x x

3 21 1x x

3( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 3( 1) 2( 1)1 1

x x x x x xx x

5 12( 1) 2

xx

1 ( 1)5 1 52( 1) 2 2( 1) 2( 1)

x xxx x x

25 ( 1) ( 1) 1x x x

2 6x 1 6x 2 6x

5 12( 1) 2

xx


To znači da dobijamo isti rezultat kao i ranije.

Unakrsno mnoţ enje moţ emo primeniti uvek kada su obe strane jednačine pravi ili mešoviti razlomci. Pravilo glasi:

UNAKRSNO MNOŢENJE Pomnoţ iti svaki brojilac imeniocem druge strane i prebaciti ga tamo. To znači da je prvo potrebno napraviti pravi razlomak u slučaju sume izraza.

PRIMERI

1.

Unakrsno mnoţ enje ima za rezultat: 4( 3) 5(2 1) 4 12 10 5x x x x

2. 1; 1x

Pre unakrsnog mnoţ enja pretvorite desnu stranu u mešovit razlomak:

Unakrsno pomnoţ ite:

PrerasporeĎivanjem izraza dobijamo:

Ovo je ponovo kvadratna jednačina o čijem rešenju ćemo diskutovati u odeljku 3.3.

Da bismo rešili jednačine, ili drugim rečima izolovali promenljive na jednu stranu, naizmenično korišćenje operacija moţ e biti neophodno. Ipak, uvek je preporučljivo izolovati promenljive prvo koristeći sabiranje ili oduzimanje da bismo slične izraze stavili zajedno na jednu stranu.

4 52 1 3x x

1 , 32

x

1766 17x x

3 2 21 1x x

3 2 2 2( 1) 2 2 2 221 1 1 1 1

x x xx x x x x

2 23 ( 1) 2 ( 1) 2 2 3 3 2 2x x x x x x x x

22 3 0x x


Zatim se koristi mnoţ enje ili deljenje radi eliminacije koeficijenta i ostavljanja samo promenljive na jednoj strani.


VEŢBA 3.1: UPOTREBA JEDNAĈINA



1. Dati primer za svaku od navedenih jednačina:

a) Linearna jednačina

b) Uslovna jednačina

c) Jednačina identiteta

d) Nekonzistentna jednačina

e) Ekvivalentna jednačina za deo (b)

2. Rešiti sledeće jednačine kroz prikaz svih koraka i ukazivanjem operacije na desnoj strani:

a) 3( 1) 7x b) 2 43x c) 4( 1) 2 4x x

d) 3 4 11z e) 7 (3 1) 5 ( 1)x x

f) 1 1 423 3 9

x x g)

3. Rešiti sledeće probleme:

a) Cena računara nakon popusta od 22% iznosi 1,871.50 EUR. Kolika je bila cena pre popusta?

b) Zbir tri uzastopna neparna broja je 117. Koji su to brojevi?

c) Hans je 7 godina stariji od Sabine. Koliko oni imaju godina ako je zbir njihovih udvostručenih godina 66?

1 1( 3) (2 1)2 5

x x


d) Jedna strana pravougaonika je 20 cm kraća od druge. Koliko je dugačka kraća strana ako je površina pravougaonika tačno 0,8 m2?

e) Dva automobila koja su udaljena 500 km jedan od drugog idu u susret jedan drugome stalnom brzinom sa razlikom od 10 km/h. Kolika je njihova brzina ako će se sresti nakon 2 sata i 15 minuta?

f) Biciklista vozi svoj bicikl uzbrdo brzinom od 20 km/h i nizbrdo brzinom od 60 km/h. Koja je njegova prosečna brzina za ceo put (odnosno uzbrdo i nizbrdo)?

g) Razlika koja dva broja iznosi 12, dok je proizvod ta ista dva broja 493?

h) Dve porodice ţ ive na udaljenosti od 550 km jedna od druge. Ţele da se sretnu i zajednu krenu autom u 9 sati ujutro. Auto jedne porodice se kreće konstantnom brzinom od 90 km/h, drugi auto se kreće konstantnom brzinom od 110 km/h. U koje vreme će se sresti?


REŠENJA 3.1: UPOTREBA JEDNAĈINA

1. a) 4 1 19x linearna jednačina sa jednom promenljivom

b) 5 8x tačno samo za 3x

c)

d) 2 3 1 3(2 4)x x

e) 2 10 16x

2. a) b) x = 6 c) x = 0 d) z = −2

e) x = −1 f) g) x = 17

3. a) 2399,36 EUR

b) Brojevi su 37, 39, i 41.

c) Sabina ima 13 godina, a Hans ima 13+7=20 godina.

d) Kraća strana ima 80 cm, a duţ a 100 cm.

e) Brţ i auto se kreće brzinom od 116,11 km/h, dok se sporiji kreće 106,11 km/h.

f) Prosečna brzina iznosi 30 km/h.

g) Dva broja su 17 i 29, ili −17 i −29.

h) Porodice će se sresti u 11:45h.

2 2x y x y x y

133x

13x


3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednaĉina”



1. Zbir tri uzastopna neparna broja je 279. Koji su to brojevi?

2. Kroz 5 godina Ana će biti duplo mlaĎa od svoje majke. Pre tri godine Ana je imala tri puta manje godina u odnosu na godine koje će njena majka imati za 11 godina. Koliko godina imaju danas Ana i njena majka?

3. Kompanija proizvodi stolice i stolove na jednoj mašini. Da bi proizvela jednu stolicu, potrebna je 1 jedinica sirovog materijala i 2 sata rada na mašini. Proizvodnja jednog stola zahteva 2 jedinice sirovog materijala i 3 sata na mašini. Imate 19 jedinica sirovog materijala u zalihama. Mašinu je moguće koristiti 34 sata. Koliko stolica i stolova moţ ete da proizvedete?

4. Ana je kupila 2 vekne hleba i 6 kifli u pekari. Na kasi je platila 4,80 EUR. Kada se vratila kući majka ju je upitala za cenu jedne kifle. Ona, meĎutim, nije zapamtila cenu.

Tri dana kasnije otišla je u pekaru ponovo i kupila 3 vekne hleba i 15 kifli. Račun je bio 9 EUR. Kada ju je majka ponovo upitala za cenu kifle, priznala je da je zaboravila da pita.


Ipak, rekla je majci da je u školi naučila kako da izračuna jediničnu cenu pomoću broja jedinica i ukupne cene. Kako je izračunala cene hleba i kifli?

5. Razlika kojih brojeva iznosi 12, a proizvod istih brojeva 493?

6. Soba je 6,6 m dugačka i 4,8 m široka. Obe strane ćemo jednako uvećati. Za koliko je potrebno uvećati obe strane tako da se površina sobe poveća za 5 m2?

7. Kompanija proizvodi košulje. Fiksni troškovi na nedeljnom nivou iznose 17,970 EUR, dok varijabilni troškovi iznose 4.95 EUR po košulji. Koliko košulji je potrebno prodati na nedeljnom nivou po ceni od 14,95 EUR po košulji da bi se ostvario profit od 8000 EUR?

8. Jedna strana pravougaonika je 20 cm duţ a od druge. Koliko je dugačka kraća strana, ako je površina 0,8 m2?

3 . 2 L i n e a r n e j e d n a č i n e S t r a n a | 143

3.2 Linearne jednačine

Preduslovi: Da biste savladali ovo poglavlje uz što manje poteškoća, potrebno je da posedujete osnovno znanje računskih operacija u cilju rešavanja i pojednostavljivanja izraza.

Ciljevi uĉenja: Cilj ovog poglavlja nije samo da naučite kako da

rešavate linearne jednačine, već i da proučite svojstva takvih odnosa. Linearne jednačine ćemo rešavati različitim metodama i diskutovaćemo o postojanju i jasnoći rešenja.

Formulisanje i rešavanje jednačina su meĎu najvaţ nijim aktivnostima u primeni matematike. Linearne jednačine, jedan od najjednostavnijih odnosa, veoma su primenjive u praksi, posebno ekonomiji. Formulisanje jednačina i sistema

3. Equations


Modelling

Solution


NormalForm

Solution


Forms

Solution


jednačina je oblast od suštinskog značaja za primenu linerane algebre.

3.2.1 Normalan oblik linearne jednaĉine

Najjednostavnija polinomna jednačina je ona 1. stepena, tj. promenljiva x se javlja samo sa eksponentom 1. Ova jednačina se naziva linearna jednačina i ima najopštiji oblik:

NORMALAN OBLIK LINEARNE JEDNAĈINE Linearna jednačina najčešće ima oblik:

0 a x b gde su 0a i b realni brojevi.

Sledeći primeri se mogu iskazati u gore prikazanom standardnom obliku linearne jednačine.

PRIMERI

1. 2 12 2 12 0x x

2. 5 1.3 22 1.3 ( 5 22) 0y y

3. 6 261 261 6 0xx

4. 4 84 (2.5 6 ) 172 62 07

yy y

Linearne jednačine u gore datom obliku zgodne su zbog toga što imaju tačno jedno rešenje. Primenom operacija o kojima smo diskutovali u poslednjem odeljku, dobijamo:

0 ba x b a x b xa


Poslednji korak se uvek moţ e obaviti nakon kombinovanja (linearnih) izraza sa promenljivom x na levoj strani i apsolutnim izrazima (bez promenljive) na desnoj strani.

PRIMERI

1. 2 3 5 9 2 5 9 3 3 12x x x x x

123 4x

2. a x b c x d

( ) ( )a x c x b d a c x b d

with b dx a c

a c

3. 2 1 4( 2)3

x x

Da bismo obavili gore pomenute operacije prvo je potrebno da jednačinu transformišemo u normalan oblik. U tom cilju primenjujemo pravilo razlomaka i zagrada:

2 1 12( 2) 12 24 10 25 2.5x x x x x

3.2.2 Rešenje

Da bismo rešili linearnu jednačinu potrebno je da obavimo sledeće korake:

Korak 1: Ukloniti sve zagrade ili razlomke na obe strane.

Korak 2: Zdruţ iti istovetne izraze.

Korak 3:Sabrati ili oduzeti tako da sve promenljive budu na jednoj strani, a apsolutne vrednosti na drugoj.

Korak 4: Pomnoţ iti ili podeliti da biste izolovali nepoznatu promenljivu.


Korak 5: U slučaju da je rezultat 0 = 0, onda je jednačina zapravo jednačina identiteta i rešenje vaţ i za sve realne brojeve x

Korak 6: U slučaju da leva strana nije ista kao desna strana ili obrnuto, onda je prethodna jednačina nekonzistentna i bez rešenja.

Korak 7: Konačno, uvek se preporučuje provera validnosti rešenja stavljanjem rešenja u početnu jednačinu. Ako je rešenje pravo, jednačina sa zamenjenim promenljivim je identitet.

PRIMERI

1. 3 2 13( 4) 3 2 12( 4) 14 4

x x x x

3 2 12 48 1 3 12 47 2x x x x

4999 49x x

Proveriti: 499 49 55 55

9 12 122

3( 4) 14

2. 2 2( 6) 3 3 5( 1)x x x x

2 2 12 3 3 5 5 4 2 8 12x x x x x x

106 203

x x

Proveriti:

3. 1 1 1 12 3 4 6x x

Ukoliko su neki od koeficijenata u jednačini razlomci, preporučuje se njihova transformacija zajedničkim imeniocem; zajednički imenilac u ovom slučaju je 12:

6 34 212 12 12 12 multiplying by 12: 6 4 3 2x x x x

3 6 2x x

Proveriti: 1 1 1 1 4 42 3 4 6 6 62 2

20 10 30 10 4 43 3 3 3 3 32( 6) 3 5( 1)


Linearne jednačine takoĎe mogu da budu rezultat konverzije racionalnih razlomaka ili razlomačkih algebarskih iskaza. Kada se, meĎutim, promenljiva pojavi u imeniocu uvek moramo da proverimo koje vrednosti su isključene iz razloga što imenioci nikada ne mogu biti nula.

Za standardni oblik linearnog polinoma: ax b nijedna vrednost se ne mora isključiti. Iskaz vaţ i za bilo koji realni broj x. Uporedite gornji iskaz sa:

2 31

xx

Zaključujemo da za 1x iskaz nije definisan iz razloga što imenilac postaje nula. Stoga, moramo da isključimo 1x . To izraţ avamo tako što pišemo:

2 31

xx

za 1x

Jednačina:

2 3 51

xx

gde je 1x

moţ e se pomnoţ iti ( 1)x kako bi postala sledeća linearna jednačina:

2 3 5( 1)x x

Rešenje originalne jednačine glasi:

zato što ova vrednost nije isključena.

PRIMERI

1.

Vrednost 133 1 0x x mora se isključiti.

2 3 2(3 1) 2 3 6 2 4 5x x x x x

233 2x x

2 3 23 1

xx


5 14 3x

Dakle rešava gornji iskaz.

2.

Vrednost mora da se isključi.

Izračunatu vrednost je potrebno isključiti. Dakle, gornja jednačina nema rešenje.

3.

Sada se obe vrednosti 1 0 1x x i 2 0 2x x moraju isključiti.

3( 2) 2( 1) 3 6 2 2 8x x x x x

Izračunata vrednost nije jednaka isključenim vrednostima; dakle8x rešava originalnu jednačinu.

54x

6 3 22 1xx

122 1 0x x

126 3 2(2 1) 6 3 4 2 2 1x x x x x x

3 21 2x x


VEŢBA 3.2: LINEARNE JEDNAĈINE



1. Rešiti sledeće jednačine prikazom svih koraka, ali bez ukazivanja

na operacije:

a) 5 5 14 2 4

x x b) 3( 1) 7y y

c) 6 1 2 3( 1)x x d) 5 ( 3) 1 0z z e) 4 (3 2) 2( 3) 2 4( 9)x x x

f) 1 1 1 12 3 6 12( 1)x x x g)

h)

2. Dati rešenje za sledeće jednačine kada je to moguće:

a) b)

c) d)

e)

3 1 2 2 210 5x x

2 1 3 2 76 3 3

x x

2 3 61

xx

2 3 5 3 19 6 2

x x x

5 2525 5

xx x

1 2 23 2 4 3 6

x xx x

3 62 1 2 1

xx x


3. Izračunati pomoću digitrona sledeće do 3 decimalna mesta:

a)

b)

c) 3 0.004 12.142.86 (1.98 2.54)7 0.072

xx x

2.473( 1.69) 2.12 1.77516.41212.04 4.211

x x

3.12 23.452.4 1.33 13.2 8.54x x


REŠENJA 3.2: LINEARNE JEDNAĈINE

1. a) 163x b) 5y c) 2x

d) 12z e) 14x f) 1

4x

g) 25x h) 118x

2. a) 94x b) 66

10 6.6x c) Nema rešenja

d) 2x e) Nema rešenja

3. a) 23.2438x b) 0.8727x c) 47.23x


3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednaĉine”

Ovo je samotestiranje za ,,Linearne jednaĉine”.



1. Rešiti jednačinu i eksplicitno obeleţ iti operacije koje je potrebno primeniti:

a) 3( 1) 7x b) 4( 1) 2 4x x c) 2 43x

d) 3 4 11z e) 7 (3 1) 5 ( 1)x x

2. Rešiti jednačine bez ukazivanja na pojedinačne operacije:

a) b) 3( 1) 7y y

c)

3. Koje vrednosti morate da isključite kao potencijalno rešenje? Postoje li druga rešenja?

a) b)

c)

5 5 14 2 4

x x

3 1 2 2 210 5x x

3 2 ; 1;21 2

xx x

12

6 3 2;2 1x xx

13

2 3 2;3 1

x xx


4. Rešiti jednačine, ukoliko je to moguće:

a)

b)

c)

5. Dik je 7 godina stariji od Ane. Koliko oni imaju godina, ako zbir njihovih godina čini polovinu godina njihove bake koja ima 66 godina?

6. Dva ugla trougla su jednaka, a treći ugao je tri puta zbir druga dva. Koliki su uglovi? (Zbir tri ugla u trouglu je uvek 180°.)

2 3 6; 11

x xx

5 252 ; 55 5

x xx x

12

3 64 ;2 1 2 1

x xx x


3.3 Kvadratne jednačine

Preduslovi: Jednačine kojima ćemo se baviti u ovom poglavlju

nešto su sloţ enije. Imajući to u vidu, rešavanje kvadratnih jednačina zahteva iskustvo u radu sa eksponentima i kvadratnim korenima.

Ciljevi uĉenja: Kvadratne jednačine često se javljaju kao nusproizvodi prilikom rešavanja matematičkih problema. Od suštinske vaţ nosti je stoga da umete da ih rešite. Ako ne uspete da pronaĎete rešenja za njih (kvadratne jednačine), ne moţ e se očekivati da ćete moći da rešite originalan problem.

3. Equations


Modelling

Solution


Normal Form

Solution


Forms

Solution

3 . 3 K v a d r a t n e j e d n a č i n e S t r a n a | 155

3.3.1 Oblici kvadratnih jednaĉina

Sledeća jednačina je polinom 2. stepena.

STANDARDNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE Kvadratna jednačina je polinom 2. stepena oblika:

gde su realni brojevi a,b,c i 0a

S obzirom da se javljaju gotovo isto tako često kao linearne jednačine, ţ eleli bismo da ukratko prodiskutujemo o ovoj vrsti jednačina. Naša primarna briga odnosi se na njihovo rešavanje.

Da bismo započeli proces rešavanja nastavićemo kao kod linearnih jednačina i u osnovi svih jednačina koje ţ elimo da rešimo: transformacija u standardni oblik. To znači, primenjujemo algebarske iskaze i rasporeĎujemo istovetne izraze dok ne doĎemo do oblika datog gore. Potrebne operacije su iste kao u našoj diskusiji na početku ovog poglavlja.

PRIMERI

1.

Standardni oblik: a = 4; b = −2; c = −7

2.

Kao što je detaljno diskutovano: 322 3 0x x

24 1 1 4 1 (2 3) ( 1) 2 32 3

x x x x x x xx

2 0a x b x c

22 3( 2) 4 (1 2 ) ( 1) 4x x x x

2 22 3 6 4 1 2 2 4x x x x x24 2 7 0x x

4 1 12 3

x xx


Standardni oblik: a = 2; b = −5; c = −4

3.3.2 Rešenje

Na sreću, znamo unapred da kvadratne jednačine mogu da imaju dva, jedno ili nijedno rešenje. To je zbog fundamentalnog svojstva polinoma koje dozvoljava najviše onoliko realnih rešenja koliko navodi njihov stepen.

Hajde sada da vidimo kako ćemo da rešimo kvadratnu jednačinu. Čim napravimo standardni oblik, postoji nekoliko načina da konačno odredimo rešenja, u zavisnosti od vrednosti parametara a, b, i c.

Sluĉaj: b = 0

Standardni oblik se skraćuje na:

Izolovanjem promenljive x na levoj strani dobijamo:

Znamo da 0a ; meĎutim, rešenje suštinski zavisi od znaka desne strane:

Za dobijamo dva rešenja računanjem kvadratnog korena:

Za c = 0, imamo samo jedno rešenje, naime: x = 0

Za nemamo realno rešenje.

2 24 1 2 3 2 5 4 0x x x x x

2 0a x c

2 cxa

0ca

1/2cxa

0ca


PRIMERI Rešiti sledeće kvadratne jednačine.

1.

2.

3.

4. por

Sluĉaj: c = 0 Standardni oblik se skraćuje na:

U ovom slučaju, moţ emo da izvučemo faktor x izvan zagrade:

( ) 0x a x b

Proizvod moţ e biti nula ako i samo ako je jedan od faktora na levoj strani nula. Dakle, ili 0x ili 0a x b .

Ova dva uslova proizvode dva rešenja:

i

2 2 41/222 4 0 2 2x x x

2 2 2545 2 4 25 5 2 2

2xx x x x x

2 554 2x x

2 2( 2) 3 6 ( 2) 9 ( 2) 9x x x

1 22 3 1; 2 3 52 3 xx x

22 1 2 ( 3) ( 1) 2 33

x x x x x x xx

3x

21/23 0 3x x

2 0a x b x

1 0x 2bax



1.

2.

3.

za

Sluĉaj: a, b, i c ≠ 0 U ovom slučaju imamo standardni oblik bez specijalnog uslova. Sada moţ emo da diskutujemo o dva pod-slučaja, koji se uče širom sveta.

PAŢNJA Uvek je dobro drţ ati se metoda ili formule koje ste naučili u školi. Moţ da preferirate takozvani a,b,c oblik ili ste moţ da naučili takozvani p,q oblik. Rezultati su isti; razlika je samo u prvom koraku.

21 22 4 0 2 ( 2) 0 0; 2x x x x x x

2 24 25 2 52 4 5 2 4 4xx x x x x

2 825 52 0 0x x x x x

81 2 50;x x

22 3 1 2 3 ( 3) ( 1) 4 33

x x x x x x xx

3x

21 26 0 ( 6) 0 0; 6x x x x x x


A,B,C-OBLIK

Rešenja kvadratne jednačine u standardnom obliku su:

Radikand korena se naziva diskriminanta:

Njen znak odreĎuje broj rešenja.

Ako je imamo dva rešenja:

Ako je imamo jedno (dvostruko) rešenje:

Ako je nemamo realno rešenje.


1. 21/2

2 4 4 2 ( 4) 2 362 2 4 02 2 4

x x x

1/2 1 22 6 1; 24

x x x

2. 2 25 2 25 5 2 252 2x xx x x x

3 92 42 3

1/22

4 ( 5) 255 25 0

2 ( 5)x x x

3 92 4

1/2 1 2500

2.09; 2.3910

x x x

2 0a x b x c

2

1/24

2b b a cx

a

2 4D b a c

0D

2

1/24

2b b a cx

a

0D 1 2 2bxa

0D


3. 21/2

6 36 4 2 152 6 15 02 2

x x x

S obzirom da je diskriminanta 36 90 54 0D , ne postoji realno rešenje ove jednačine.

4. 22 7 1 2 7 ( 3) ( 1) 2 3; 33

x x x x x x x xx

21 2

( 4) 16 4 1 44 4 0 22 1

x x x

S obzirom da je diskriminanta 16 16 0D , postoji samo jedno (dvostruko) rešenje ove jednačine.

P,q-oblik se neznatno razlikuje od prethodnog oblika. Razlika se javlja zbog varijacije kvadratne jednačine. Ako podelite standardni oblik

2 0a x b x c koeficijentom a kvadratnog izraza, gde se pretpostavlja da je 0a ; dobijamo:

2 20 0b cx x x p x qa a

Rezultat ove transformacije se često naziva normalnim oblikom.

NORMALNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE Normalni oblik kvadratne jednačine je:

Obratite paţ nju da je koeficijent ispred kvadratnog izraza +1. Ne postoje dodatna ograničenja u vezi druga dva koeficijenta p i q.

2 0x p x q


Koristeći ovaj normalan oblik moţ emo da primenimo takozvanu p,q-formulu:

P,Q-FORMULA

Rešenja kvadratne jednačine u normalnom obliku su:

Diskriminanta sada postaje: 2

4pD q

Njen znak odreĎuje broj rešenja:

Ako je 0D imamo dva rešenja: 2

1/2 2 2p px q

Ako je 0D imamo jedno dvostruko rešenje: 1 2 2px

Ako je 0D nemamo realno rešenje.

PRIMERI Rešite sledeće kvadratne jednačine, koje su sasvim iste jednačine kao one koje su rešavane u prethodnim primerima. Ipak, pre nego što primenimo p,q – formulu jednačinu moramo da transformišemo u normalan oblik:

1. 2 22 2 4 0 2 0x x x x (normalan oblik)

2 91 1 11 21/2 2 2 2 4( ) ( 2) 1; 2x x x

2. 2 25 2 25 5 2 252 2x xx x x x

2 23 32 105 25 0 5 0x x x x

3 91/2 20 400 5x 1 22.09; 2.39x x

2 0x p x q

21/2 2 2

p px q


3.

S obzirom da je diskriminanta , ne postoji realno rešenje ove jednačine.

4. 22 7 1 2 7 ( 3) ( 1) 2 33

x x x x x x xx

za 3x

S obzirom da je diskriminanta 4 4 0D , postoji samo jedno (dvostruko) rešenje ove jednačine.

2 2 3 91/2 2 42 6 15 0 3 5 0 5x x x x x

9 114 45 0D

21 24 4 0 2 4 4 2x x x


VEŢBE 3.3: KVADRATNE JEDNAĈINE



1. Transformisati sledeće u standardni oblik kvadratne jednačine:

a) b) 3 ( 2) 6( 7)x x x

c) d)

2. Rešiti sledeće jednačine izvlačenjem korena:

a) 24 49x b)

c) d) ( 8) 4(2 9)x x x

e) 27 4 4x

3. Rešiti sledeće jednačine koristeći a,b,c- formulu:

a) 23 4 2 3x x b)

c) 22 6 1 0x x d) 24 20 4 0x x

e) 2 3 4 0x x f)

4. Rešiti jednačine date u problemu 3 primenom p,q-formule.

22 (2 1) ( 12) 0x x x x

2 2(2 ) 4 ( 1)x x x 2 2( 1) ( 2) 10x x

225 2 4 25xx x

2(3 2) 16x

2( 2) 6 0x x

2 2( 1) ( 3) 3x x


5. Transformisati sledeće jednačine u cele racionalne iskaze. Prema kojoj vrednosti x je jednačina definisana?

a) b)

c) d)

6. Rešiti sledeće jednačine; obratiti paţ nju na validnost rešenja:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

1 2 11 3 6x x

14 12xx

3 2 01

xx x

2 91 1

xx x

2 212 2x x

2 4 02 2

xx x

3 4 01

xx x

2 1 102 1 5x x x

2

6 2 2( 1) 01 1 1

x xx x x

1 1 11 2 6x x

2 12 2

xx x


REŠENJA 3.3: KVADRATNE JEDNAĈINE

1. a) b)

c) d)

2. a) b)

c) d)

e) 24 20 4 0x x

3. a)

b)

c)

d)

e) Nema realnog rešenja

f)

4. a)

b)

c)

d)

e) Nema realnog rešenja

f)

5. a) Definisano za 1, 3x x

b) Definisano za 0x

c) Definisano za 0 1x x

24 2 12 0x x 23 42 0x

22 6 5 0x x 22 6 5 0x x

71/2 2x 1/2 20x

2 43 3x 1/2 6x

1 2.12;x 2 0.7863x

1 9.5826;x 2 0.4174x

1 0.1771;x 2 2.8229x

1 0.1926;x 2 5.1926x

1 1.229;x 2 2.7071x

1 2.12;x 2 0.7863x

1 9.5826;x 2 0.4174x

1 0.1771;x 2 2.8229x

1 0.1926;x 2 5.1926x

1 1.229;x 2 2.7071x

2 10 3 0x x2 16 1 0x x

2 3 0x


d) Definisano za 1x

6. a) 1 24.8284; 0.8284x x

b) 2x

c) 1 21; 3x x

d) 1 24.2446; 0.6731x x

e) 6x

f) 1 24; 1x x

g) 1x

2 9 0x


3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine”



1. Transformisati u standardni oblik:

a)

b)

c)

2. Rešiti jednačine pronalaţ enjem korena:

a) b)

c) ( 8) 4(2 9)x x x

3. Transformisati u normalni oblik:

a)

b)

c)

22 3( 2) 4 (1 2 ) 1x x x x

32

4 1 1;2 3

x x xx

2 2(2 ) 4 ( 1)x x x

24 49x 2(3 2) 16x

23 4 2 3x x2( 2) 6 0x x

220 4 4x x


4. Rešiti pomoću a,b,c-formule:

a)

b)

c)

5. Rešiti pomoću p,q-formule:

a)

b)

c)

6. Odrediti broj rešenja izračunavanjem diskriminante:

a)

b)

c)

22 6 1 0x x23 5 7 0x x

2 22( 1) (2 1) 25x x

22 4 16x x2 3

2 1 0x x

23 2( 1) 7 0x x

24 11 4 0x x23 2 5 0x x

2 525 8 0x x

3 . 5 A n s w e r s t o P r o g r e s s T e s t s P a g e | 169

3.4 Rešenja za testove napretka

3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednaĉina”


1. Brojevi su 31, 33, i 35.

2. Ana ima 25 godina, a njena majka 55 godina.

3. 11 stolica i 4 stola

4. Jedna kifla košta 30 centi, dok hleb košta 1,50 EUR.

5. 17 i 29

6. Pribliţ no 0,423 m

7. 2597 košulja

8. Kraća strana je duga 80 cm, a duţ a strana 100 cm.


3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednaĉine”


1. a) 103x b) 0x c) 6x d) 9

4z

e) 1x

2. a) 163x b) 5y c) 25x

3. a) 8x b) Nema drugog rešenja

c) Jednačina je nekonzistentna

4. a) b) Nema rešenja c) Nema rešenja

5. Dik ima 20 godina, Ana ima 13 godina.

6. Dva manja ugla imaju po 22,5°, dok veći ima 135°.

94x


3.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine”


1. a) b)

c)

2. a) b)

c) 3x

3. a) b)

c)

4. a) b)

c) Nema rešenja sa realnim brojem

5. a) b)

c)

6. a) D > 0 Dva rešenja

b) D < 0 Nema rešenja sa realnim brojem

c) D = 0 Jedno dvostruko rešenje

24 4 3 0x x 22 5 4 0x x22 6 5 0x x

72x 2 4

3x

2 543 3 0x x 2 10 4 0x x

2 5 1 0x x

1 20.177; 2.823x x 1 20.907; 2.573x x

1 24; 2x x 11 2 22;x x

1 22.097; 1.43x x

4 . 1 S v o j s t v a f u n k c i j a S t r a n a | 173

4. Osnovne funkcije

Preduslovi: Diskusija o funkcijama zauzima vaţ no mesto u matematici. U prethodnim poglavljima smo naučili ,,vokabular” i ,,gramatiku” matematičkog jezika, a sada ćemo, na tim temeljima, primeniti ovaj jezik. Za to nam je potrebno razumevanje osnovnog koncepta jednačina i pravila kojima se rukovode. Isto tako vaţ no će biti postavljanje i rešavanje jednačina.


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

Vol

. 1: E

lem

en-

tary

Age

bra

3. Equations

174 | S t r a n a 4 . O s n o v n e f u n k c i j e

Ciljevi uĉenja: U svetlu značaja koje imaju u matematici, u ovom odeljku se daje opšti uvod u funkcije i njihovu primenu. Zatim će se govoriti o linearnim i kvadratnim jednačinama. Iako su sa matematičkog stanovišta ovo najjednostavnije funkcije, one su veoma vaţ ne u praksi za ekonomiju i poslovanje.

U svakodnevnom ţ ivotu često se susrećemo sa glagolom ,,funkcionisati”. Kada okrenemo ključ i na taj način pokrenemo motor svog automobila, moţ emo reći da motor pokretač dobro funkcioniše. Kada upalimo svetlo i na taj način osvetlimo sobu zaključujemo da prekidač funkcioniše. Slično tome, mogli bismo reći da jedna organizacija funkcioniše ako sve ide po planu. U svakom gore navedenom slučaju kaţ emo ,,funkcioniše” kada akcija vodi očekivanoj i ţ eljenoj reakciji.

Ukoliko ţ elimo matematički da opišemo akcije i reakcije, paljenje automobila ili svetla nisu posebno interesantni primeri s obzirom da su zasebni dogaĎaji. Uzmimo, meĎutim, kao primer račun za komunalne usluge gde konačan iznos direktno zavisi od upotrebe. U ovom slučaju akcija je upotreba, a reakcija iznos prikazan na fakturi; stoga, postoji gotovo beskonačan broj mogućih odnosa:

Akcija Reakcija Obe strane ovog odnosa mogu se opisati upotrebom brojeva. Iz toga sledi da matematika moţ e efikasno da posluţ i kao jezik kojim se opisuju zavisnosti izmeĎu upotrebe i računa.

Ovo je zapravo jedan od glavnih koncepata u matematici: opisati odnose izmeĎu faktora koji vrše uticaj jedan na drugog, i pravila koja odreĎuju kako se taj uticaj vrši, pomoću jednačina. Jednačinom se navodi relacija izmeĎu različitih promenljivih. Ukoliko ţ elimo da opišemo reakciju faktora (datog promenljivom, recimo y) na akciju nekog drugog faktora (izraţ enog drugom promenljivom, recimo x), mogli bismo da napišemo:

Vrednosti akcije se biraju iz niza realnih brojeva, nazvanog domen relacije. Pravilo proizvodi drugi niz brojeva – obično takoĎe realni brojevi – koji se naziva podruĉje.

Action xRule or Relation

Reaction y


U matematici se relacija izmeĎu različitih promenljivih naziva ,,funkcija”. Funkcije čine ključni ,,vokabular” u jeziku ,,matematika”, zato što se praktično sve zavisnosti od realnih problema moraju opisati u smislu funkcija kako bi se primenila matematika na njihovo rešavanje. Odnosno, model se u suštini sastoji od niza funkcija. Ako ţ elimo da koristimo modele moramo da znamo šta da radimo sa njima.

Gotovo sve u matematici je vezano za koncept funkcija. Ipak, to ne znači da moramo da naučimo sve o njima. Na sreću, lako se moţ emo ograničiti na

najosnovnije funkcije,

njihovo predstavljanje,

njihova svojstva, i

njihovu upotrebu. Sledeći metodološki pristup prva dva poglavlja, počećemo od opštih svojstava funkcija pre nego što produţ imo da istraţ imo linearne funkcije i kvadratne funkcije, koje su veoma korisne za opisivanje ekonomskih odnosa.

Ipak, pre nego što počnemo da govorimo o specijalnim funkcijama, hajde da prodiskutujemo o tome kako moţ emo da predstavimo sadašnje funkcije. Na raspolaganju su nam tri opcije:

Tabela vrednosti

Grafik

Algebarska jednačina Koje su prednosti i nedostaci različitih koncepata reprezentacije? Hajde da kratko prodiskutujemo o njima kroz primer računa za struju:

Pretpostavka je da postoji fiksni mesečni trošak od 15 EUR za nabavku instalacija i strujomera.

Pored toga, za svaki kWh (kilovat-sat, jedinica kojom se meri upotreba električne energije) potrebno je da platimo 0,11 EUR = 11 centi.


TABELA VREDNOSTI Da bismo predstavili zavisnosti izmeĎu upotrebe i troškova, moţ emo da napravimo tabelu kojom je predstavljen celokupan raspon upotreba. Radi jednostavnosti, hajde da počnemo sa 200 kWh, povećavajući ovu vrednost za po 10 kWh do konačnih 310 kWh. Za svaku vrednost upotrebe računamo trošak i predstavljamo rezultat na listi sa parovima brojeva:

Upotreba [kWh] Trošak [EUR]

200 37.00

210 38.10

220 39.20

230 40.30

240 41.40

250 42.50

260 43.60

270 44.70

280 45.80

290 46.90

300 48.00

310 49.10

Tabela 4.1: Tabela vrednosti funkcije

Leva kolona sadrţ i niz promenljivih (akcija) vrednosti koje će biti modifikovane u odreĎenom domenu – obično sa fiknim veličinama. Veličina (skala) se mora odrediti tako da odgovara svrsi u koju će se tabela koristiti. Desna kolona sadrţ i zavisne (reakcija) vrednosti. Ovaj niz se naziva podruĉje tabele vrednosti.

Liste sa parovima vrednosti poput ove široko se upotrebljavaju u mnogim situacijama u realnom ţ ivotu. Cenovnici, liste stanja na računu, cene akcija, kursne liste, temperaturne liste, itd. su sve tabele vrednosti ove vrste. One su zasigurno najrasprostranjeniji vid predstavljanja funkcija, i


zaista ne postoji bolji način da se predstavi jedna empirijska funkcija. Program za tabelarna izračunavanja, kao što je Excel, posebno je razvijen za rad sa funkcijama u formi tabela. Njihovo postojanje i raspon implementiranih operacija jasan je dokaz praktičnog značaja tabelarne reprezentacije funkcija.

GRAFIK FUNKCIJA Moţ emo da izaberemo apscisu Kartezijanskog koordinatnog sistema da bismo obeleţ ili jednu promenljivu vrednost – obično vrednost koja će nezavisno varirati, tj. promenljivu akcije (u ovom slučaju upotreba). MeĎutim, pre nego što obeleţ imo tačke moramo da odredimo domen funkcije. Drugim rečima, moramo da izaberemo najniţ e i najviše nezavisne vrednosti za koje ţ elimo da predstavimo funkciju.

Zavisna vrednost (u ovom slučaju trošak prikazan na računu) moţ e se zatim obeleţ iti na drugoj koordinati (koja se naziva ordinata). Ponovo, prvo moramo da odredimo podruĉje reprezentacije, tj. raspon vrednosti funkcije koje je potrebno predstaviti. Generalno, najniţ e i najviše moguće vrednosti odreĎuju područje funkcije.

Svaki par vrednosti predstavlja taĉku u koordinatnom sistemu (pogledati Sliku 4-1). Ako poveţ emo tačke, dobijamo krivu – u slučaju naših računa za struju, prava linija – koja se naziva grafik funkcije. Povezivanje tačaka znači popunjavanje informacija za 11 različitih tačaka interpolacijom. Sada moţ emo da pročitamo račun za struju za svaku vrednost upotrebe izmeĎu 200 i 310 kWh. Grafička reprezentacija je ograničena na funkcije sa samo jednom nezavisnom promenljivom na apscisi. Ordinata je rezervisana za zavisne informacije. Shodno tome, krive se mogu predstaviti samo u ravni, tj. samo za funkcije sa jednom promenljivom. MeĎutim, poprilično je očigledno da funkcije u realnom ţ ivotu obično zavise od više od jednog faktora.


Slika 4-1: Grafik funkcije

Sa druge strane, grafik funkcije je daleko najlakša reprezentacija za razumevanje zato što posmatrač takvog grafika odmah vidi sve informacije koje su relevantne za meĎusobni odnos. Odmah uočavamo da li se funkcija povećava ili smanjuje. Maksimalne ili minimalne vrednosti je lako identifikovati, a mnoga druga svojstva kao što su nulte tačke, simetrija ili kontinuitet postaju očigledni. Grafici funkcija se stoga često koriste na predavanjima.

ALGEBARSKA JEDNAĈINA GRAFIKA Najapstraktniji oblik reprezentacije funkcije je algebarska jednačina. Ako se vrednost nezavisne akcije opiše (nepoznatom) promenljivom x, a reakcija takoĎe promenljivom y, onda se ,,funkcionisanje” izmeĎu dve (ili više) promenljivih u najopštijem obliku moţ e napisati kao:

Promenljiva x se definiše u nizu vrednosti koji se zove domen funkcije f(x).

200

37

c [€]

u [kWh]210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310

39

41

43

45

47

49

51

Usage of electricity

Ele

ctri

city

bil

l

35

( )y f x


Promenljiva y na levoj strani opisuje reakciju, tj. meru za koju smo zainteresovani. Naziva se zavisna promenljiva, iz razloga što menja svoju vrednost modifikacijom akcije promenljive. Obično se smatra da zavisnu promenljivu treba izolovati na levoj strani jednačine. Ipak, ovo je stvar meĎunarodne strandardizacije.

Niz vrednosti zavisne promenljive y naziva se podruĉje funkcije f(x).

Desna strana je obično algebarski iskaz koji koristi nezavisnu promenljivu x ili – ako vrednost y zavisi od više od jedne varijable – nekoliko promenljivih .

Jednačina se, meĎutim, moţ e samo napisati ovim izrazima ako je meĎusoban odnos izmeĎu promenljive x i njenog uticaja na promenljivu y poznat i moţ e se opisati algebarskim iskazima. U našem primeru iznos računa za struju čine fiksni troškovi, 15 EUR, a varijabilni troškovi 0,11 EUR po jedinici, što znači da će za x jedinice promenljivog dela troškova iznositi . Dva dela zajedno čine ukupni trošak, tj. jednaki su y, funkciji koja opisuje odnos izmeĎu upotrebe i mesečnog računa.

Oblik jednačine je ta matematička reprezentacija. Ako ţ elimo da primenimo matematiku da bismo analizirali problem prvo moramo da poznajemo matematičku reprezentaciju funkcije. Koristili smo izraz ,,modelovanje” da opišemo prevoĎenje realnog problema na jezik koji nam omogućava da primenimo matematiku. Ovaj proces prevoĎenja je ključ za praktično svaku matematičku primenu. Mnoge bankarske aplikacije direktno se oslanjaju na funkcije. Na primer, vremenska vrednost novca moţ e se savršeno predstaviti eksponencijalnim funkcijama.

Realni problemi u ţ ivotu se, meĎutim, ne mogu uvek precizno opisati u smislu algebarske jednačine. Ponekad je moguće raditi sa dobrom matematičkom aproksimacijom – kao što je to slučaj u statistici, na primer. U drugim slučajevima, moţ da moramo da ograničimo svoje matematičko modelovanje na odreĎene pretpostavke. Ove pretpostavke zatim postaju vaţ an deo modela.

1 2, ,...x x

0.11 x

( ) 0.11 15y f x x


4.1 Svojstva funkcija

Preduslovi: Pored osnova algebre, ne traţ e se nikakve posebne veštine. Ipak, od pomoći je opšte razumevanje uloge koordinatnog sistema, koji će se koristiti za grafičko prdstavljanje funkcija.

Ciljevi uĉenja: U ovom odeljku bi trebalo da steknemo opšte razumevanje – to znači bez razmišljanja o specijalnim funkcijama – svojstava funkcija.

4. Basic Functions

4.1 Properties of Functions

4.2 Linear Functions

Graph

Properties

4.3 Quadratic Functions

Graph

Properties


4.1.1 Karakteristike grafika

Da bismo bili u poziciji da bolje razumemo funkcije i umemo da ih primenjujemo, sasvim je logično da moramo da naučimo više o njihovim svojstvima. O njima će se govoriti u narednim odeljcima.

X-PRESECI I Y-PRESEK FUNKCIJE Da bismo analizirali funkciju bez predstavljanja same funkcije na grafiku, vaţ no je identifikovati najvaţ nije tačke i protumačiti ih. Tačke gde grafik seče x-osu nazivaju se nulte taĉke, ili jednostavno nule, funkcije. Tačka preseka na y-osi naziva se y-presek.

Funkcija seče x-osu kada je y = 0.

Funkcija seče y-osu kada je x = 0.

Da bismo pronašli tačke preseka na osama potrebno je da zamenimo nulu promenljivima y i x, tim redosledom, u funkciji. Supstitucija uvodi dve jednačine – takozvane uslovne jednaĉine. Njihovo rešenje (rešenja) su relevantne tačke.

Slika 4-2: Preseci funkcije

( )y f x

0y

ba c


Y-PRESEK Obično je relativno lako pronaći y-presek. Pre svega, moţ ete da primetite da postoji samo jedan y-presek. U suprotnom bi odnos izmeĎu akcije promenljive i reakcije promenljive bio dvosmislen i ne bi mogao da bude matematička funkcija.

Postavljanjem x = 0 u funkciji dolazimo do uslovne jednačine:

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom y. Njeno rešenje je presek koji traţ imo (pogledati: Slika 4-2).

Postavljanjem x = 0 u funkciji, u mnogim slučajevima – na primer u svim polinomnim funkcijama – y-presek je jednostavno konstantan izraz.

PRIMERI Pronaći y presek sledećih funkcija:

1.

Funkcija seče y osu u tački y = 3.

2.

Funkcija seče y osu u tački

.

3.

Koren negativnog broja je imaginaran broj. To znači da funkcija nema y presek.

(0)y f

0y

22 10 3y x x

(0) 3y f

22 3( ) 8x y y x

2(0) 2(0) 3( 0 ) 8f y y83 83

y y

83

y

22 8y x

(0) 8y


4. , Dobijamo dva rešenja i . Dakle, relacija nije funkcija u

matematičkom smislu.

X-PRESECI (NULTE TAĈKE) Preseci funkcije na x-osi se nazivaju nulte taĉke ili nule (ponekad takoĎe koreni; pa ipak, da bismo izbegli konfuziju zbog ,,korena broja” (pogledajte: odeljak 2.2.3; strana 80) ovaj termin nećemo koristiti u ovom udţ beniku.

Postavljanjem y = 0 u funkciji dobijamo uslovnu jednačinu:

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom x. Njena rešenja su preseci koje traţ imo (pogledati: Slika. 4-2).

Moţ ete da primetite da broj nula moţ e biti nijedna, jedna, više od jedne, ili zaista beskonačno. Prava linija koja nije paralelna x-osi ima jednu nulu. Parabola moţ e da nema nijednu nulu ili ima jednu ili dve nule. Sin-funkcija ima beskonačno nula. Na Slici 4-2 funkcija ima tri nule u tački x = a, b, i c, pomenutim redosledom.

PRIMERI Pronaći nulte tačke sledećih funkcija:

1.

Ova funkcija seče osu u tački .

2.

Funkcija ima nulte tačke u .

2 24 0 4y x y (0) 4y1 4 2y 2 4 2y

0 ( )f x

( ) 2 7y f x x

72( ) 0 : 2 7 0f x x x

x 72x

2( ) 2 4 4y g x x x2 2( ) 0: 2 4 4 2 2 0g x x x x x

1/2 1 1 2 1 3x

1/2 1 3x


3.

Ova funkcija nema nijednu realnu nulu; stoga funkcija ne seče osu.

GRADIJENT FUNKCIJE Za razliku od pravih linija koje imaju konstantan gradijent (nagib), gradijent nelinearne funkcije u principu nije konstantan. Menja se sa pozicijom na funkciji, odnosno zavisi od x.

Gradijent krive u odreĎenoj tački se matematički definiše kao nagib tangentne linije za tu tačku. Da bismo ovo detaljnije analizirali potreban nam je kalkulus, što nije tema ovog udţ benika. MeĎutim, koncept rastuće ili opadajuće funkcije moţ e se razumeti ako posmatramo stepen do koga se vrednost funkcije menja kada promenljiva x varira.

DEFINICIJA RASTUĆE (OPADAJUĆE) FUNKCIJE

Data je funkcija i interval izmeĎu i .

Funkcija se naziva rastućom u Intervalu , ako

za

Funkcija se naziva opadajućom u Intervalu I, ako

za PRIMER

Data je funkcija :

Za ; iz čega sledi da je funkcija rastuća za .

2( ) 4y h x x2 2( ) 0 : 4 4h x x x

x

( )y f x I 1x 2x

I

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

2( )y f x x

2 21 2 1 20 and x x x x x

0x


Za ; iz čega sledi da je funkcija opadajuća za .

4.1.2 Inverzna funkcija

Na početku ovog odeljka govorili smo o funkciji računa za struju (pogledati: ovaj odeljak; strana 179). Za x [kWh] upotrebe električne energije moramo da platimo

U ovom slučaju je upotreba električne energije x [kWh] bila nezavisna promenljiva. Ţeleli smo da saznamo kako iznos na računu zavisi od upotrebe električne energije. Zbog toga smo odabrali ukupan trošak kao zavisnu promenljivu. Kod ove vrste funkcije je moguće izračunati ukupan trošak bilo koje date upotrebe električne energije. Bilo koja kompanija koja obezbeĎuje električnu energiju velikom broju klijenata bi često koristila ovu funkciju.

Uzmimo kao primer sada da ste dobili račun od 55,26 EUR. S obzirom da ste bili na odmoru, račun se čini prevelik. Iz tog razloga ste pročitali svoj strujomer i uvideli da ste iskoristili samo 122 kWh od kada ste platili prethodni račun.

Kao stručnjak za matematiku, računate koliko kilovat časova vam je kompanija naplatila:

[kWh]

Kompanija vam je očigledno naplatila mnogo više kilovat časova nego što ste zaista potrošili.

Ovaj slučaj je primer kako se saobraznost odreĎena funkcijom moţ e preokrenuti. Sa tačke gledišta te kompanije upotreba x je nezavisna promenljiva, a račun y je zavisna vrednost (promenljiva):

Zamenom uloga dve promenljive dobijamo:

2 21 2 1 20 and x x x x x0x

( ) 0.11 15y f x x

55.38 55.26 0.11 15 0.11 40.26y x x40.26 3660.11

x

( ) 0.11 15y f x x


Ova jednačina je, meĎutim, još uvek ista funkcija; algebarske operacije izvršene u cilju izolovanja x nisu promenile funkciju. Ako sada takoĎe promenimo ulogu dve promenljive tako što ćemo ih zameniti:

dobijamo zapravo novu funkciju:

To je funkcija koja odraţ ava tačku gledišta kupca koji ţ eli da zna koliko mu kompanija naplaćuje uslugu (pod pretpostavkom da to na računu nije eksplicitno navedeno!). Kao što je primerom ilustrovano, obrnut odnos izmeĎu dve promenljive proizvodi novu funkciju koja se naziva inverznom funkcijom (često se piše ) u odnosu na originalnu funkciju .

Inverzija ima značajnu ulogu u matematici. Već tokom naših prvih načinjenih koraka u matematici naučili smo da u slučaju mnogih operatora postoji drugi operator koji menja efekat prvog. Operacije sabiranja (+) i oduzimanja (−) su meĎusobno inverzne. Ako prvo dodamo broj na x, a zatim oduzmemo isti broj od x rezultat je x:

Mnoţ enje (·) i deljenje (÷) su drugi par inverznih operatora:

Diferencijacija i integracija se takoĎe meĎusobno potiru zbog čega su inverzne operacije.

Slično tome, inverzne funkcije su funkcije koje će, kada se uzastopno primenjuju, potirati meĎusobni efekat na nezavisnu promenljivu; iz čega proizlazi,

U daljem tekstu udţ benika ćemo videti da se mnoge vaţ ne funkcije (na primer, logaritamske funkcije) zapravo definišu kao inverzije drugih funkcija (na primer, eksponencijalnih funkcija). U ovom odeljku ćemo

15 ( )0.11yx g y

x y

115 ( ) ( )0.11xy g x f x

1( )f x( )f x

2 2x x

( )x a a x

1 1( ) ( )f f x f f x x


ukratko razviti tehnike koje će nam pomoći da ustanovimo da li inverzna funkcija postoji, da odredimo neka opšta svojstva inverznih funkcija, i metode pronalaţ enja inverzne funkcije.

JEDAN-NA-JEDAN FUNKCIJE Funkcija je jedan-na-jedan ako svaki element u području funkcije odgovara tačno jednom elementu u domenu.

Funkcija je jedan-na-jedan ako i samo ako svaka horizontalna linija seče grafik funkcije u najviše jednoj taĉki. Dakle, funkcija na Slici 4-3 (a) nije jedan-na-jedan, jer horizontalna linija seče grafik u dve tačke, dok je funkcija na Slici 4-3 (b) jeste jedan-na-jedan.

Konstantno rastuće (opadajuće) funkcije su jedan-na-jedan.

Slika 4-3: y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na-jedan

Inverzna funkcija jedan-na-jedan funkcije f, označena 1f , je funkcija formirana zamenom svih ureĎenih parova , ( )x y f x promenljivih i odgovarajućih vrednosti funkcije. Stoga, ako zamenimo x i y u funkcionalnoj jednačini i izolujemo y u rezultujućoj jednačini, dobijena funkcija će biti inverzna funkcija.

x1

Two intercepts with a horizontal linex2

x

y

(a)

y = f(x)

x3x

y

(b)

y = g(x)

One intercept with a horizontal line


Zamena uloge promenljivih x i y znači da preslikavamo ose koordinatnog sistema kao odraz u ogledalu na liniji pod 45° u prvom kvadrantu. TakoĎe, zamenom imena promenljivih znači da imena osa ostaju. Rezultat ove procedure za dve funkcije na Slici 4-3 su grafici na Slici 4-4.

Slika 4-4: Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45°

Ako sada pogledamo dve preslikane funkcije (boldovane krive) zaključujemo da preslikavanje funkcije 1( )y f x na Slici 4-4(a) matematički više nije funkcija iz razloga što je procesom preslikavanja postala dvosmislena s obzirom da vertikalna linija ima dve sečice kod funkcije.

Funkcija na Slici 4-4(b) je drugačija. Kada je preslikamo ona ostaje jedan-na-jedan i rezultujuća relacija je stoga funkcija. Boldovana kriva na Slici 4-4(b) je inverzna funkcija 1( )y g x funkcije ( )y g x .

Mirror of a function with twointercepts with a horizontal line

x

y

(a)

x3x

y

(b) Mirror of a function which interceptsevery horizontal line just once

( )y f x

1( )y f x

( )y g x

1( )y g x


SVOJSTVA INVERZNIH FUNKCIJA

Originalna funkcija ( )y f x mora da bude jedan-na-jedan; u suprotnom inverzna funkcija ne postoji.

Rezultat zamene x y je inverzna funkcija: ( )x f y

Da bismo napravili poznat oblik izolovaćemo zavisnu promenljivu što daje: 1( )y f x

Domen 1f jednak je području f.

Područje 1f jednako je domenu f.

Grafici f i 1f su simetrični u pogledu linije y = x (linija pod 45°).


PRIMERI

1. 2( )y f x x Inverzna 1( )y f x ne postoji zato što f nije jedan-na-jedan.

2. 2( ) for 0y f x x x je jedan-na-jedan.

2( )x f y y 1( ) for 0y f x x x

Grafici obe funkcije su:

1 2( )y f x x

2( )y f x x

0-0.5-1 0.5 1 1.5 2 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

y

x


VEŢBA 4.1: SVOJSTVA FUNKCIJA



1. Odrediti nule sledećih funkcija:

a) b)

c) d)

e)

f) g)

2. U kojoj tački sledeće funkcije seku y-osu?

a) b)

c) d)

3. Ustanoviti nule sledećih funkcija, nacrtati grafike, i odrediti pribliţ nu najveću ili najmanju tačku grafika.

a) b)

c)

d)

2 4y x 2 3 6y x

1 2yx

2 2 0y x x

( 1) ( 1) ( 2)y x x x

2

2 3yx 2

23

xyx

2 3 4y x 2 3 0y x

( 2) ( 8)y x x 4y x

2( ) 2 4 8y f x x x 2( ) 2 1y g x x x21

2( ) 3y h x x x

2( ) 4 4 8y k x x x


4. Koje funkcije su jedan-na-jedan?

a) b)

c) d)

e) f)

5. Dokazati da je g inverzna u odnosu na jedan-na-jedan funkciju f . Nacrtati grafike f, g, i liniju pod 45° stepeni u istom koordinatnom sistemu.

a)

b)

c)

d)

6. Sledeće funkcije ( )f x su jedan-na-jedan. Pronaći inverznu funkciju 1( )f x .

a) b)

c) d)

e)

12( ) 2f x x 1

3( ) 1g x x

2( ) 4h x x 2( ) 2k x x

( ) 9m x x 2( ) 4n x x

13( ) 3 6; ( ) 2f x x g x x

12( ) 2; ( ) 2 4f x x g x x

2( ) 4 , 0; ( ) 4f x x x g x x2( ) 2; ( ) 2, 0f x x g x x x

( ) 4 1f x x ( )2

xf xx

3( ) 1f x x 12( ) 16f x x

( ) 3 2f x x


REŠENJA 4.1: SVOJSTVA FUNKCIJA

1. a) b) c)

d) e)

f) g) x = 2

2. a) b) y = 3 c) y = –16

d) y = 2

3. a) → Funkcija nema nule.

2x 2x 12

x

1 22; 0x x 1 2 31; 1; 2x x x

23x

2y

2( ) 2 4 8y f x x x

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18


b) nula:

c) nule:

d) nule:

2( ) 2 1y g x x x 1xy

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

212( ) 3y h x x x 1 23.6458; 1.6458x x

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

2( ) 4 4 8y k x x x 1 21; 2x xy

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6


4. a) jedan-na-jedan b) jedan-na-jedan c) nije jedan-na-jedan

d) nije jedan-na-jedan e) jedan-na-jedan f) nije jedan-na-jedan

5. a)

→

b)

13( ) 3 6; ( ) 2f x x g x x

1 13( ) ( ) 2y g x f x x

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

12( ) 2; ( ) 2 4f x x g x x

1( ) ( ) 2 4y g x f x xy

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6


c)

d)

6. a) b)

c) d)

e)

2( ) 4 , 0; ( ) 4f x x x g x x

1( ) ( ) 4y g x f x xy

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

2( ) 2; ( ) 2, 0f x x g x x x1 2( ) ( ) 2y g x f x x

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1 1 1( )4 4

f x x 1 2( )1

xf xx

1 3( ) 1f x x 1 2( ) 16 4f x x

21( ) 3 2f x x


4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija”



1. Odrediti vrednosti funkcije za date tačke:

a) za

b) za

c) for

2. Napraviti tabelu vrednosti za funkciju u koracima od

po 1 za domen [-3; 6].

3. Odrediti nulu(nule) funkcije:

a) b)

c)

2( ) 1f x x 2;1.7; 2.3x

2 1( )1

xf xx

1; 0; 2x

1 for 0( )

1 for 0x x

f xx x

2; 0; 3x

2 12

xyx

2 4y x 2 3 5y x

2 2 0y x x


4. Odrediti y-presek funkcije:

a) b)

c)

5. Proveriti koja od dve relacije ili je istinita za sledeće funkcije za date tačke:

a) for

b) for

c) for

6. Odrediti nulu (nule) i y-presek, i nacrtati grafik:

a) b)

c)

7. Da li su sledeće funkcije jedan-na-jedan?

a) b)

c)

8. Odrediti inverznu funkciju za

a) b) for x > 1

2 3 4y x 2 3 0y x

( 2) ( 8)y x x

1 2( ) ( )f x f x 1 2( ) ( )f x f x

4 3( ) 2f x x x 311 22 4;x x

2 4( )1

xg xx

1 11 22 4;x x

2( ) 6 2h x x 311 22 2;x x

2( ) 3f x x 2( ) 4 4g x x x

2( ) 2 4 8h x x x

( ) 2 4f x x 2( ) 2 4g x x x

3( ) 5h x x

13( ) 1f x x 2( ) 1g x x

4 . 2 L i n e a r n e f u n k c i j e S t r a n a | 199

4.2 Linearne funkcije

Preduslovi: Ova nastavna jedinica se moţ e savladati bez gotovo ikakvog posebnog predznanja. Ipak, od vas se očekuje da znate pravila koja se primenjuju u algebri, npr. za rešavanje jednačina.

Ciljevi uĉenja: Linearne jednačine kao najjednostavnije funkcije u matematici logična su polazna tačka. U isto vreme, uprkos njihovoj jednostavnosti, one igraju ključnu ulogu u ekonomiji iz razloga što su mnogi ekonomski odnosi linearni.

4. Basic Functions



Graph

Properties


Graph

Properties


U iskazu na desnoj strani funkcionalne jednačine je polinom 1. stepena, tj. linearni polinom, i takvu funkciju nazivamo linearnom.

LINEARNA FUNKCIJA Funkcija y je linearna funkcija ako

( )y f x a x b kada 0a

gde su a i b realni brojevi.

Domen linearne funkcije je niz svih realnih brojeva x. S obzirom da vrednosti y mogu takoĎe da postanu svi realni brojevi podruĉje linearne funkcije je takoĎe niz svih realnih brojeva.

PRIMERI Sledeći polinomi su linearne funkcije:

1.

2.

3.

4.

Što se tiče njihove strukture linearne funkcije su definitivno najlakše. U praksi se javljaju veoma često iz razloga što su brojne primene u ekonomiji i poslovanju takoĎe linearne u svojoj strukturi. Kad god se odreĎena količina roba ili usluga kombinuje sa cenama rezultat će biti neka linearna zavisnost. Iz tog razloga je zaista neophodno detaljnije proučiti linearne funkcije.

2 8y x

2 5y x

2 4y x

23y x


4.2.1 Grafik linearne funkcije

Grafik linearne funkcije je prava linija. Da bismo povukli liniju dovoljno je da znamo dve tačke na njoj. Jednu je uvek lako pronaći: samo postavimo x = 0, zatim y = b.

Tačka (0; b) se naziva y-presek zato što je tačka preseka linije sa y-osom.

Sledeća jednako interesantna tačka je tačka preseka sa x-osom. Ova tačka se naziva nulta taĉka linije, jer je vrednost funkcije ovde nula:

0 bay x

Slika 4-5: Grafik linija

Treća korisna (i obično značajna) informacija o liniji je njen nagib (ili gradijent). Nagib linije je konstanta. To je povećanje (ili smanjenje) vrednosti funkcije kada nezavisna promenljiva poveća svoju vrednost za ,,1". Takva zamena x sa x + 1 menja vrednost funkcije

sa ( )y x a x b

na ( 1) ( 1)y x a x b a x a b a x b a

Promena vrednosti funkcije je dakle konstantno a. Po definiciji, ovo je najistaknutije svojstvo linerane funkcije.

2

2

1

1-2 -1

y

x

b

}a > 0

}

1

bax

}}a < 0

1


.

Za pozitivan nagib a > 0 vrednost funkcije raste kada se povećava promenljiva x. U ovom slučaju funkciju zovemo rastućom (puna linija na Slici 4-5). Ako je, sa druge strane, nagib funkcije a < 0 negativan, vrednost funkcije se smanjuje sa rastućom promenljivom vrednosti, i funkcija se zbog toga naziva opadajuća (isprekidana linija na Slici 4-5).

Linija koja se niti povećava niti smanjuje paralelna je x-osi. S obzirom na nagib a = 0 jednačine takva linija je jednostavno:

y b gde je b konstanta

Takva linija se naziva konstantna funkcija.

Ukoliko nagib linije postane beskonačan, tj. , grafik postaje vertikalna linija (paralelna y-osi). Funkcija je, meĎutim, sada dvosmislena, odnosno za jednu x-vrednost postoji više od jedne vrednosti funkcije (da budemo precizniji: postoji beskonačno mnogo vrednosti funkcije). Da se izrazimo matematički, ova linija više nije ,,funkcija”.

Slika 4-6: Svojstva linearnih funkcija

Dve linije sa istim nagibom, ali različitim y-presecima nazivaju se paralelne linije.

a

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

b =

a = -0.75

y = b (constant)

parallel lines line through

the origin


Ako je konstanta u linearnoj funkciji jednaka nuli (b = 0), jednačina se skraćuje na: y a x

Odgovarajuća linija seče obe ose u tački preseka dve ose (koja se naziva početak koordinatnog sistema).

Obratite paţ nju da se nagib vrednosti a odnosi samo na normalni oblik linearne funkcije. Funkcija 3 4 8 0x y

je zasigurno takoĎe linearna funkcija, jer se obe promenljive u jednačini javljaju samo u 1. stepenu. MeĎutim, to nije normalan oblik. Da bismo je predstavili u normalnom obliku, moramo da je izolujemo na levu stranu:

344 3 8 2y x y x

Tek sada moţ emo odmah da identifikujemo nagib 35a i y-presek

125b . Koristeći ova dva svojstva moţ emo da nacrtamo liniju:

Ako ţ elimo da znamo nagib i y-presek, potrebno je da transformišemo jednačinu u normalan oblik. MeĎutim, ako ţ elimo da nacrtamo liniju, efikasnije je da koristimo takozvani ,,oblik preseka”. Ovo se odnosi na tačke preseka dve ose, odnosno y-presek i nultu tačku.

Ako je jednačina linearne funkcije data u najopštijem obliku:

0a x b y c

dobićemo y-sečicu postavljanjem x = 0: cby

dobićemo x –sečicu postavljanjem y = 0: cax

Sa dve tačke preseka na osama moţ emo da nacrtamo liniju.


Slika 4-7: Crtanje linije sa oblikom preseka

4.2.2 Svojstva linearnih funkcija

Funkcija y a x b ima sledeća svojstva:

Grafik je linija sa nagibom a i y-presekom b.

Nagib raste za pozitivno a (a > 0); smanjuje se za negativno a (a < 0).

Ako je a = 0 linija je paralelna x-osi.

Nulta tačka je bax gde je 0a .

Ako je b = 0 linija seče početak kooridantnog sistema.

Dve funkcije sa istim nagibom, a različitim y-presecima su paralelne linije.

Ne bi trebalo da bude isuviše teško nacrtati grafik linearne funkcije ako se setimo da su dve tačke uvek dovoljne da precizno odredimo odgovarajuću liniju.

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

-c/b = 2

-c/a =2.66


PRIMERI

1. Odrediti nagib (a), y-presek (b), i nulu ( 0x ) sledećih linearnih funkcija i nacrtati linije:

a) 2 3y x

2a ; 3b ; postavljanjem y = 0 rezultat je nula: 30 2x

Grafik je puna linija (1) na sledećoj Slici 1.

b) 2x – 3y = 7

72

3 3y x : 23 ;a 7

3 ;b 70 2x

Grafik je tačkasta linija (2) na Slici 1.

c) 3 4 45 5 52x y

65

3 3 345 5 4 2y x y x 3

4 ;a 32 ;b 0 2x

Grafik je isprekidana linija (3) na Slici 1.

Slika 1

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3

4

-2

(Line 1)

(Line 2)

(Line 3)


2. Koji su gradijenti i y-preseci sledećih funkcija? Nacrtati grafike.

a) :

Nagib: ; y-presek: 5 → Slika 2: linea a)

b) :

Nagib: ; y- presek: 1 → Slika 2: linea b)

c) :

Nagib: 2; y- presek: 0 → Slika 2: linea c)

Slika 2

3. Napraviti jednačinu uz dat gradijent i y-presek:

a) Nagib: ; y-presek: 1 →

b) Nagib: ; y- presek: 2 →

c) Nagib: ; y- presek: →

3 5y x

3

23 1y x

23

2y x

2

2

1

1-2 -1 3

y

x

3

4

(Linea a)

(Line c)

(Line b)

5

4

23

23 1y x

2 2 2y x

14

12

1 14 2y x


VEŢBA 4.2: LINEARNE FUNKCIJE



1. Odrediti nagib, y-presek i nulte tačke sledećih funkcija:

a) b) c)

d) e) f) y = x

2. Nacrtati grafike sledećih funkcija:

a) b) c)

d) e)

3 2y x4xy 2 2 6x y

2 4y 4 8y x

12( ) 2f x x ( ) 3 1b x x ( )

2xg x

( ) 12xh x ( ) 1a x


REŠENJA 4.2: LINEARNE FUNKCIJE

1. a) je y presek, je nulta tačka

b) je y presek, je nulta tačka

c) je y presek, je nulta tačka

d) Ovo je horizontalna linija koja prolazi kroz

e) je y presek, je nulta tačka

f) Ovo je linija pod 45° koja prolazi kroz početak

2. a)

b)

2y 23x

0y 0x

3y 3x

2y

8y 2x

y x

12( ) 2f x x

y

x

0-1-2-3 1 2 3 4

1

2

3

-1

-2

( ) 3 1b x x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1


c)

d)

e)

( )2xg x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

( ) 12xh x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

-0.5

-1

-1.5

( ) 1a x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1


4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije" Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradili ovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovaj udţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnu informaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili.


1. Koje funkcije su linearne?

a) b)

c) d)

e)

2. Transformisati u normalan oblik:

a) b)

c)

3. Odrediti y-presek i nulu:

a) b)

c)

2 3y x 2 3 24y x

2 1y x 2 12y x

732 3 12 11 0x x

2 3( 2) 2x y3 2 4 7

4 3y x x y

3 425

x yy

2 3y x 3 4 12y x

4 2 33 4

x y x y


4. Odrediti y-presek, nulu, i nagib linije:

a) b)

c)

5. Nacrtati liniju nakon odreĎenja y-preseka, nule, i nagiba:

a) b)

c)

6. Odrediti funkcije nacrtanih linija:

a) b)

c)

7. Nacrtati:

a) Konstantnu liniju:

b) Dve paralelne linije: i

c) Liniju nakon odreĎenja nule i y-preseka.

12 3y x 2 3 5 3x y

3 27 3 ( 1)x y y

323 4y x 3 5 7x y

312 4( 3) ( 1)x y

1 25 5y x 2 2

3 3y x

12y x

( ) 3y f x

12( ) 1y f x x 1

2 1y x

2 3 4x y


4.3 Kvadratne funkcije

Preduslovi: Jednačine kojima ćemo se baviti u ovoj nastavnoj

jedinici će biti nešto komplikovanije. Rešavanje kvadratnih jednačina zahteva poznavanje eksponenata i kvadratnih korena.

Ciljevi uĉenja: Kvadratne jednačine često se javljaju kao nusproizvodi kada se rešavaju matematički problemi. Zbog toga je od suštinske vaţ nosti da umemo da ih rešimo. Ako ne umemo da rešimo kvadratne jednačine, ne treba da očekujemo da ćemo moći da rešimo originalni problem.

4. Basic Functions



Graph

Properties


Graph

Properties

4 . 3 K v a d r a t n e f u n k c i j e S t r a n a | 213

Ako je iskaz na desnoj strani funkcionalne jednačine polinom 2. stepena, tj. kvadratni polinom, funkciju nazivamo kvadratnom.

KVADRATNA FUNKCIJA Funkcija y je kvadratna funkcija ako :

kada

gde su a, b, i c realni brojevi.

S obzirom da iskaz na desnoj strani predstavlja realan broj za sve zamene realnog broja promenljive x, domen kvadratne jednačine je niz realnih brojeva.

Područje kvadratne funkcije je komplikovanije identifikovati. To očigledno nije ukupan niz realnih brojeva: ako su na primer a i c pozitivni realni brojevi, a b = 0, vrednost funkcije y će uvek biti pozitivna, a područje ne moţ e biti niz svih realnih brojeva. Pronaći ćemo način da identifikujemo područje funkcije kasnije.

PRIMERI Sledeći polinomi su kvadratne funkcije:

1.

2.

3.

4.

5.

U smislu njihove strukture, kvadratne funkcije pripadaju tipu funkcije koja nam je generalno dobro poznat. Često su deo procesa rešavanja nekih drugih matematičkih problema. Dakle, vaţ no je proučiti ih i upoznati se sa njihovim glavnim svojstvima.

2( )y f x a x b x c 0a

2( ) 2 4 8y f x x x

2( ) 2 5y f x x

2( ) 3 4 10y f x x x

223( )y f x x

2( ) 2( 2) 3y f x x


4.3.1 Completion of the Square

Čak i pre nego što počnemo da proučavamo grafik funkcije, potrebno je da se fokusiramo na koncept koji je od suštinskog značaja za kvadratnu funkciju. To je odgovor na pitanje: ,,Kako moţ emo da transformišemo opšti oblik

gde je ( ovo ćemo nazvati ,,opšti oblik")

u oblik

gde je ( u daljem tekstu ćemo ga zvati oblik temena)?

Pre nego što objasnimo proces transformisanja potrebno je da razumemo zašto nam oblik temena govori mnogo više o funkciji od opšteg oblika.

Pretpostavimo za trenutak da je a > 0. S obzirom da je kvadratni izraz uvek nenegativan i rastući kada se x povećava, minimalna

vrednost funkcije će se dobiti za x = h. Zbog kvadrata u izrazu koji sadrţ i promenljivu x dobićemo istu vrednost za funkciju sve dok su dve x–vrednosti podjednako udaljene od tačke x = h. To znači da je grafik simetričan vertikalnoj liniji koja prolazi kroz x = h. Tačka na funkciji zove se teme funkcije.

Razmotrite datu funkciju

Da bismo konstruisali oblik temena faktorišemo konstantu 2 ispred iz izraza koji sadrţ e promenljivu x:

Sada ćemo upotpuniti prva dva izraza u zagradi da bismo dobili binomni izraz:


2( )y a x h k 0a

2( ) 0x h

y k

( , )h k

22 8 4y x x

2x

2 22 8 4 2( 4 ) 4y x x x x

2 22 4 4 2 4 4y x x x x z z


Vrednost z je za sada nepoznata. MeĎutim, ţ elimo da napravimo binom oblika:

Dakle, moramo da upotpunimo izraz korenom polovine koeficijenta linearnog izraza:

Ako, meĎutim, dodamo neku vrednost moramo da ispravimo jednačinu oduzimanjem te iste vrednosti. Pošto smo dodali z = 4 moramo da oduzmemo 4, i na taj način dobijamo:

U zagradi sada imamo binom što upotpunjava transformaciju:

Dobijamo sledeću tabelu vrednosti za ovu funkciju:

Tabela 4.2: Tabela vrednosti parabole

Prikazivanjem na grafiku tačaka tabele vrednosti i povezivanjem tih tačaka sa krivom, dobijamo grafik prikazan na Slici 4-8. To se zove parabola.

2 2 22 ( )x h x h x h

242 4z

2 2 22 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 8 4y x x x x x x

2 2( 4 4) ( 2)x x x

2 22 8 4 2( 2) 4y x x x

22( 2) 4y xx

0

1

2

3

4

4

4

-4

-2

-2

Corresponding function

values y are equal.

Paired valuesof x

equidistantfrom x = 2


Slika 4-8: Grafik kvadratne funkcije

4.3.2 Grafik kvadratne funkcije

U principu se moţ e prikazati da je grafik kvadratne funkcije uvek parabola. Svojstva parabole su već prikazana na Slici 4-5. Ima simetričnu osu koja je vertikalna linija (paralelna y-osi) koja prolazi kroz teme. Ova linija se naziva osa parabole. Teme je ili najniţ a tačka (kao na Slici 4-5) ili najviša tačka.

Koeficijenti a, b i kvadratne funkcije odreĎuju da li je otvaranje parabole široko ili usko, da li teme formira maksimum ili minimum i da li se kriva otvara naniţ e ili naviše.

Kvadratna funkcija naziva se normalna parabola (pogledati: Slika 4-9). Njena kriva ima minimum sa temenom u početku i otvorena je naviše.

2

2

1

1-2 -1-1

3

y

x-3

-4

-2

3

4

5

54

c

2( )y f x x


Slika 4-9: Normalna parabola

Jednostavnom promenom znaka faktora u dobijamo negativnu normalnu parabolu. Njena kriva ima maksimum sa temenom u početku i otvorena je naniţ e (pogledati: Slika 4-10).

Slika 4-10: Negativna normalna parabola Ako se teme normalne parabole prevede duţ obe ose, onda dobijamo oblik temena kvadratne jednačine date:

2( )y f x x

2( ) ( )y f x x h k


sa tačkama temena . U ovom obliku konstante i predstavljaju

pomeranje normalne parabole duţ y-ose za k i duţ x-ose za h (pogledati: Slika 4-11).

Slika 4-11: Parabola sa transformisanim temenom

Konačno, ako pomnoţ imo kvadratni izraz faktorom a > 1, otvaranje parabole će postati uţ e iz razloga što y-vrednosti postaju veće. Ako pomnoţ imo faktorom 0 < a < 1, parabola se šire otvara, zato što y-vrednosti postaju manje. Ako pomnoţ imo faktorom a < 0, onda će se cela parabola okrenuti 180° oko temena kao tačke obtanja.

( , )h k h k2( )y f x x

2

2

1

1-2 -1

-1

y

x-3

-2

3

4

5

54

k

h


Slika 4-12: Otvaranje parabole

Moţ ete primetiti da kvadratna funkcija o kojoj smo govorili na početku ovog odeljka

ima dva x-preseka, tj. dva preseka x-ose. Ove tačke se uopšteno zovu nulte taĉke funkcije, ili jednostavno nule, zato što je vrednost funkcije ovde nula. Da bismo izračunali nulte tačke, moramo da postavimo y = 0 u našu funkciju (pogledati: odeljak 3.1; strana 183). Rezultujuća uslovna jednačina

moţ e se transformisati u normalan oblik i rešiti pomoću p,q-formule (pogledati: odeljak 3.3; strana 161):

2( ) 2 8 4y f x x x

20 2 8 4x x 2 4 2 0x x

1/2 2 4 2 2 2x


Stoga, parabola ima dve nulte tačke:

i

Iste nule će se računati ako ţ elimo da primenimo a,b,c-formulu (pogledati: odeljak 3.3; strana 158):

Moţ ete da primetite da kvadratna funkcija moţ e takoĎe da ima jednu nultu tačku ako kriva samo dodiruje x-osu, ili čak nultu tačku ako je kriva ili potpuno iznad ili potpuno ispod x-ose. Koji će se od sledeća tri slučaja javiti zavisi od diskriminante (pogledati: odeljak 3.3; strana 158).

NULTE TAĈKE KVADRATNE JEDNAĈINE Kvadratna funkcija oblika

gde je

ima nulte tačke za:

.

Za postoje dva različita rešenja sa realnim brojem,

postoji jedno rešenje sa realnim brojem,

ne postoji nijedno rešenje sa realnim brojem.

1 2 2x 2 2 2x

2

1/24 8 64 32 2 2

2 4b b a cx

a


2

1/24

2b b a cx

a2 4 0D b a c

2 4 0D b a c2 4 0D b a c


PRIMERI Koje su nule funkcije:

1.

2.

S obzirom da diskriminanta rezultuje kvadratnim korenom negativnog broja, ova funkcija nema realne nulte tačke.

3.

Funkcija ima samo jednu nulu.

Obratite paţ nju na vaţ ne rezultate koje smo dobili transformacijom opšte kvadratne funkcije:

gde je

upotpunjavanjem kvadrata u obliku temena:

gde je

Ako počnemo sa opštom kvadratnom funkcijom i upotpunimo kvadrat, dobijamo:

Primenjujemo znanje kvadriranjem izraza unutar zagrade da bismo dobili:

2( ) 2 6 4f x x x

2 22 6 4 0 3 2 0x x x x

1/2 1 23 9 8 2; 1

2x x x

21/2

2 4 16( ) 2 42

f x x x x

2 2( ) 3 6 3 3 6 3 0f x x x x x

1/26 36 36 1

6x x

2( )f x ax bx c 0a

2( ) ( )f x x h k 0a

2( )f x a x b x c

2( ) b ca af x a x x

2 22 24 4

2( ) b ba a

b ca af x a x x


Kada napravimo prva tri izraza kao savršen kvadrat i dodamo treći i četvrti izraz dobijamo:

Zatim se zagrade otvaraju:

PoreĎenjem ove poslednje jednačine sa oblikom temena kvadratne funkcije imamo :

što su tačke temena parabole.

Iz ovog oblika moţ emo da zaključimo koje su glavne karakteristike kvadratne funkcije.

22

2 42 4

( ) b b a ca a

xf x a

22 42 4( ) b b a c

a axf x a

2( ) ( )f x x h k

2 4( , ) ,2 4b b a ch ka a


4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija

gde je

ima sledeća svojstva.

Osa (simetrije):

Teme:

Maksimum / Minimum:

Grafik:

Kriva:

Domen: Svi realni brojevi

Područje: Ili iz {minimum, ∞} ili iz {−∞, maksimum}

PRIMERI Odrediti oblik temena sledećih kvadratnih funkcija i nacrtati njihove grafike:

1.

Transformisati funkciju u oblik temena kompletiranjem kvadrata

2( )f x a x b x c 0a

2bxa

2 4( , ) ,2 4b b ach ka a

2Minimum if 0

( )Maximum if 0

ba

af

a

opens upwards for 0opens downwards for 0

aa

gets narrower if 1is a normal parabola if 1

gets wider if 1

aa

a

2( ) 2 5 2y f x x x

2 25 5 25 254 2 16 162( 2 ) 2 2 2y x x x x

2 25 25 5 94 16 4 82 ( 2) ( ) 2 2x x


Kriva je otvorena naniţ e sa dve nule.

2.

Kriva dodiruje x-osu; ima samo jednu nultu tačku.

Kriva nema nule.

Grafici tri funkcije su dati na sledećoj Slici 4-13.

Slika 4-13: Grafik tri parabole

212( ) 2 2y g x x x

2 21 12 2( ) ( 4 4) ( 2)y g x x x x

234( ) 2y h x x x

2 23 34 2 4 44 3 4 3 9 9( ) 2 2 2y h x x x x x

23 524 3 3( )y h x x


DETALJNA DISKUSIJA O KVADRATNOJ FUNKCIJI U ovom odeljku govorimo o kvadratnoj funkciji:

Bez računanja moţ emo da kaţ emo da je parabola otvorena naviše zato što a = 2 > 0. Ima minimalnu tačku temena.

Nulte tačke funkcije su:

Funkcija ima dve nule u: i

Oblik temena funkcije je:

Funkcija ima minimum u .

Njen domen je: svi realni brojevi Njeno područje je (uključujući levu tačku). Grafik funkcije dat je na Slici 4-14.

2( ) 2 6 2y f x x x

2 20 2 6 2 0 3 1 0y x x x x

3 91/2 2 4 1x

531 2 2x 53

1 2 2x

2 2 3 9 92 4 42 3 2 2 2 2y x x x x

23 52 2( ) 2y f x x

3 52 2;

52[ , )


Slika 4-14: Grafik koji ilustruje navedeno


VEŢBA 4.3: KVADRATNE FUNKCIJE



1. Odrediti nule sledećih funkcija:

a) b)

c) d)

e) f)

2. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećih funkcija i ustanovite da li imaju maksimum ili minimum.

a) b)

c) d)

e)

3. Prodiskutovati o karakteristikama sledećih funkcija sa fokusom na nule funkcije i tačku obrta. Nacrtati grafik.

a) b)

c) d)

2( ) 3 2 1f x x x 2( ) 6 2f x x x

2( ) 6 5f x x x 2( ) 5 15 10f x x x

2( ) 2 4f x x x 2( ) 6 12 6f x x x

2( ) 6 10f x x x 252( ) 2 1f x x x

2( ) 2 2f x x 2( ) 3 4 1f x x x21 1

2 2( )f x x x

2( ) 2( 3) 6f x x 212( ) 2 4g x x x

2 94( ) 3f x x x 2( ) 3 2f x x x


REŠENJA 4.3: KVADRATNE FUNKCIJE

1. a) Ova funkcija nema nulte tačke. b)

c) d)

e) f)

2. a) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u (3; –1)

b) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u

c) Parabola se otvara naviše; minimum u

d) Parabola se otvara naviše; minimum u

e) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u

3. a) tačka temena: (h, k) = (3, -6); nulte tačke: ; otvara se naviše

11 23 ; 0x x

1 25; 1x x 1 22; 1x x

1 21.236; 3.236x x 1 1x

725 5;

0; 2

723 3;

1;1

2( ) 2( 3) 6y f x x

1/2 3 3x

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9


b) tačka temena: (h,k) = (2; 2); nenma realnih nultih tački; otvara se naviše

c) tačka temena: ; jedna

nula: : otvara se naviše

212( ) 2 4y g x x x

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5

2 94( ) 3y f x x x 3

2( ; ) ; 0h k3

1 2x

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5


d) tačka temena: ; nulte

tačke: ; otvara se naniţ e

2( ) 3 2y f x x x 3 12 4( ; ) ;h k

1 22; 1x x

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11


4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije"



1. Nacrtati:

a) (normalna parabola)

b) (y-pomerena negativna normalna parabola)

c) (x-pomerena normalna parabola)

d) (x- i y-pomerena negativna normalna parabola)

2. Odrediti y-presek i nule:

a)

b)

c)

2y x

2 2y x

2( 1)y x

2( 1) 2y x

2( ) 2 4 6y f x x x

24 (3 2)y x

23 4 6 9 0y x x


3. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećih funkcija i ustanoviti da li imaju maksimum ili minimum.

a)

b)

c)

4. Odrediti osu simetrije i teme:

a)

b)

5. Odrediti minimum ili maksimum, datim redosledom, za:

a)

b)

6. Odrediti broj nula kvadratnih funkcija pomoću diskriminante:

a)

b)

c)

2( ) 4 2y f x x x23 7

2 2( ) 2y g x x x

2( ) 2 5y h x x x

22 4 8y x x

22 13 2( ) 2y x

22 4 2y x x

2 522 3 0y x x

2 5 32 23y x x

25 10 5y x x

22 2 4y x x


4.4 Rešenja testova napretka

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva"


1. a)

b) Nedefinisana;

c) funkcija nije definisana u ovoj tački;

2. x -3 -2 -1 0 1 2

y=f(x) -1,6 -0,75 0 0,5 0 nedefinisano

x 3 4 5 6

y=f(x) 8 7,5 8 8,75

3. a) x = 2 b) c) x = 0.2

4. a) y = 2 b) y = 3 c) y = -16

5. a) b) c)

(2) 1.732; (1.7) 1.375; ( 2.3) 2.071f f f

( 1)f (0) 1; 2 0.4142f f

( 2) 3; (0)f f

(3) 4f

53x

1 2( ) ( )f x f x 1 2( ) ( )g x g x 1 2( ) ( )h x h x


6. a) nule: ; y-presek: y = 3

b) nule: y-presek: y =0

c) Nema nula; y-presek: y = 8

1/2 1.732x

2( ) 3f x x

1 20; 1;x x

2( ) 4 4g x x x


7. Da li je sledeća funkcija jedan-na-jedan?

a) → Tačno, ovo je linearna funkcija sa y-presekom u i x-presekom u .

b) → Netačno, ova funkcija seče x-osu dva puta u i .

c) → Tačno, ova funkcija seče x-osu jednom u

8. Odrediti inverznu funkciju za

a)

b)

za x (x element niza realnih brojeva)

2( ) 2 4 8h x x x

( ) 2 4f x x

4y 2x

2( ) 2 4g x x x1 1.86x 2 1.69x

3( ) 5h x x1.71x

113( ) 1 ( ) 3 3f x x f x x

2( ) 1 for 1g x x x

1 2( ) 1g x x


4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije" Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1. a) Linearna

b) Linearna

c) Nelinearna

d) Linearna

e) Linearna

2. a) b) c)

3. a) y-presek ; nula x

b) y-presek nula

c) y-presek nula

4. a) y-presek ; nula x ; nagib

b) y-presek ; nula x ; nagib

c) y-presek ; nula x ; nagib

2 3y x

2 3 24y x

2 1y x

2 12y x

732 3 12 11 0x x

823 3y x 17 28

19 19y x 3 411 11y x

3 32

4; 3x

6;625x

3 6 12

4 6 23

23

6 2123


5. a) -presek ; nula ; nagib

b) y-presek ; nula ; nagib

c) y-presek ; nula ; nagib

34

98

23

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

323 4y x

75

73

35

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3 5 7x y

3 92

23

4

4

2

2-4 -2

-2

6

y

x

312 4( 3) ( 1)x y


6. Odrediti funkcije nacrtanih linija:

a)

b)

c)

1 25 5y x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 23 3y x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

12y x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x


7. a)

b) i

c)

( ) 3y f x

4

2

2

1-2 -1

-2

3

y

x

( ) 3y f x3

12( ) 1y f x x 1

2 1y x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

12( ) 1y f x x

12 1y x

2 3 4x y

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 3 4x y


4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije"


1. a) (normalna parabola)

b) (y-pomerena negativna normalna parabola)

2y x

2 2y x


c) (x-pomerena normalna parabola)

d) (x- i y-pomerena negativna normalna parabola)

2. a) y presek nule

b) y presek nule

c) y presek nema nula

2( 1)y x

2( 1) 2y x

6;y 3, 1x

0;y430,x

3;y


3. a) Minimum; (h,k) = (–2, –6)

b) Minimum;

c) Maksimum;

4. a) Osa simetrije teme

b) Osa simetrije teme

5. a) Minimum u

b) Maksimum u

6. a) D < 0: Nema nula

b) D = 0: Jedna nula

c) D > 0: Dve nule

2323 3( , ) ,h k

5 254 8( , ) ( , )h k

1;x ( , ) ( 1, 5)h k

12 ;x 1

2( , ) ( , 2)h k

1 (1) 0x y

3 3 114 4 8( )x y

I n d e k s p o j m o v a S t r a n a | 243

Indeks pojmova

A

action ..................................................... 175 algebra ..................................................... 12 algebraic equation

functions ........................................... 176 allowance ................................................ 44

B

base ................................................... 42, 60 binomial ................................................... 96 binomial formulas .................................. 100 brackets ................................................... 18

C

common denominator ............................. 30 contradiction ......................................... 125 cross-multiplication ............................... 138

D

decimal .................................................... 34 decimal system ........................................ 34 deduction ................................................ 44 degree ..................................................... 95 denominator ............................................ 24

common .............................................. 29 discount ................................................... 44 discriminant ........................................... 221 domain................................... 178, 179, 190

E

equation ................................................ 121

linear ................................................. 145 polynomial ........................................ 124 quadratic ........................................... 156

exponent .................................................. 60 fractional ............................................. 71 integer ................................................. 63 negative .............................................. 61

expression algebraic ........................................ 18, 94 fractional ........................................... 106

F

fraction division ................................................ 28 expanded ............................................ 27 mixed .................................................. 32 multiplication ...................................... 27 proper ................................................. 33 reduced ............................................... 26

fractions ................................................... 24 function

algebraic equation ............................ 176 constant ............................................ 203 domain .............................................. 179 gradient ............................................. 185 graph ................................................. 176 increasing .......................................... 185 inverse ....................................... 186, 188 linear ................................................. 201 mirrored ............................................ 189 one-to-one ........................................ 188 quadratic ........................................... 214 range ................................................. 180 slope .................................................. 185 value-table ........................................ 176

G

gradient .................................................. 185 graph

244 | S t r a n a I n d e k s p o j m o v a

functions ........................................... 176

I

identity .................................................. 125 inconsistency ......................................... 125 inconsistent ........................................... 125 integer numbers ...................................... 14 inverse function ............................. 186, 188 irrational .................................................. 35 irrational numbers ................................... 14

L

linear equation ...................................... 145 normal form ...................................... 145 solution ............................................. 146

linear equations solution ............................................. 145

linear function ....................................... 201 lines

parallel .............................................. 203

M

modelling ............................................... 126

N

natural numbers ...................................... 14 normal form .......................................... 162 normal parabola .................................... 218 numbers .................................................. 14 numerator ............................................... 25

O

one-to-one function .............................. 188 opening

parabola ............................................ 219 operations

allowed ............................................. 130

P

parabola ................................................. 216 normal ............................................... 217 opening ............................................. 219

parentheses ....................................... 19, 61 percentage ............................................... 41

base ..................................................... 42 in the base ........................................... 46 of the base .......................................... 46 proportion ........................................... 42

percentages multiple ............................................... 48

periodic .................................................... 35 polynomial ............................... 95, 124, 214 power ....................................................... 60 principal root ........................................... 72 problem analysis .................................... 126 properties

functions ........................................... 181 integer exponents ............................... 63 inverse functions ............................... 188 linear functions ......................... 204, 205 negative exponents ............................. 65 parabolas .......................................... 217 polynomials ......................................... 98 quadratic functions ........................... 222 radicals ................................................ 84 rational exponents .............................. 74 real numbers ....................................... 15

Q

quadratic completion ............................. 216 quadratic equation ................................ 156

a,b,c-form .......................................... 160 normal form ...................................... 161 standard form ................................... 156

quadratic function ................................. 214 general form ..................................... 215 properties.......................................... 222 vertex ................................................ 215 zero points ........................................ 221

R

radical ...................................................... 80

I n d e k s p o j m o v a S t r a n a | 245

radicand ................................................... 80 range.............................................. 180, 190 rational .................................................... 35 rational numbers ..................................... 14 reaction ................................................. 175 real numbers ........................................... 14 rebate ...................................................... 44 remainder

mixed fraction ..................................... 33 root

principle .............................................. 72

S

slope of a line ........................................ 202 slope of tangent line .............................. 185 solution .................................................. 124

equations .......................................... 130 square root .............................................. 71

V

value table functions ........................................... 176

variables ................................................. 126 dependent ......................................... 180

VAT ........................................................... 44

X

x-intercept function ............................................. 184 parabola ............................................ 220

Y

y-intercept ..................................... 183, 202 y-intersept

line .................................................... 204

Z

zero points ..................................... 184, 202 quadratic function ............................. 221

zeros....................................................... 184

246 | S t r a n a N a p o m e n e

N a p o m e n e S t r a n a | 247

248 | S t r a n a N a p o m e n e

Udţbenik za kurs: Elementarna algebra, kalkulus i ... · PDF fileUdţbenik za kurs:...

Documents

Transcript of Udţbenik za kurs: Elementarna algebra, kalkulus i ... · PDF fileUdţbenik za kurs:...