U.D VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.pdf

8/15/2019 U.D VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.pdf

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UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL

“LISANDRO ALVARADO”

DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍADEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN DE

OPERACIONES Y ESTADÍSTICA

Autora: Rosmery Rodríguez C.

Julio de 2014.


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CONTENIDO

Introducción……………………………………………………………….. 3

Competencias…………………………………………………………….... 4

Contenidos Previos………………………………………………………… 4

Variables Aleatorias…………..……………………………………………. 5

Tipos de Variables Aleatorias……………………………………………... 5

Variable Aleatoria Discreta………………………………………………… 5

Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta…………. 8

Problemas de Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria

Discreta…………………………………………………………………….. 11

Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable Aleatoria

Discreta………………………………………………………………..…… 19

Problemas de Distribución de Probabilidad Acumulada de una Variable

Aleatoria Discreta…………………………………………………………. 23

Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta………………………. 29

Problemas del Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta………. 32

Propiedades del Valor Esperado………………………………………….. 36

Varianza de una Variable Aleatoria Discreta……………………………… 39

Problemas de la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta……………. 41

Propiedades de la Varianza……………………………………………….. 46

Desviación Estándar de una Variable Aleatoria Discreta…………………. 47

Problema de la Desviación Estándar de una Variable Aleatoria

Discreta…………………………………………………………………….. 48

Problemas Propuestos……………………………………………………… 51

Bibliografía………………………………………………………………… 53


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INTRODUCCIÓN

La estadística en la actualidad, se ha convertido en una herramienta importante e

indispensable por sus métodos, procedimientos y conceptos en la generación de

conocimiento, en muchas áreas del saber, entre las que se encuentran, la economía,

ciencia de la salud, en las industrias, ciencias sociales y de ellas en particular en la

educación.

Ahora bien, entre la diversidad de concepto que la estadística (haciendo alusión

a la estadística inferencial) contempla, fundamental es abordar lo referente al estudio

de las Variables Estadísticas. Recordemos que ella establece que a cada valor de la

variable le corresponde una frecuencia, que puede ser expresada como una frecuencia

relativa o porcentual. Reflejando lo significante e indispensable que es conocer la

Variable Aleatoria y sus funciones de probabilidad, el cual se ha convertido en una

herramienta necesaria para la toma de decisión en situaciones donde interviene la

incertidumbre. En el caso de Variable Aleatoria Discreta le hacemos corresponder a

cada valor de la variable, la probabilidad que ese valor ocurra.

A continuación se presenta el siguiente material didáctico dirigido a docentes y

estudiantes para el desarrollo del contenido correspondiente a la asignatura Elementos

Estadísticos (Estadística I), contentiva de actividades y componentes necesarios para

la comprensión y aplicación del concepto de Variable Aleatoria Discreta, ejemplos,

problemas y tips de ayuda que permitirán desarrollar los conocimientos esperados.

El material será de gran utilidad, puesto que conduce a estudiantes y docentes a

utilizar diferentes estrategias que podrán ser aplicadas en el aula de clase durante los

procesos de enseñanza y aprendizaje. El recurso propone desarrollar el contenido de

Variable Aleatoria Discreta en cuatro sesiones de clase.


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COMPETENCIAS

Aplicar la Unidad Didáctica como herramienta en el proceso de enseñanza y

de aprendizaje basada en la Resolución de Problemas sobre Variable Aleatoria

Discreta a los estudiantes de Elementos Estadísticos.

El estudiante con l a Uni dad será capaz de

Conocer y manejar el concepto de Variable Aleatoria Discreta

Representar y encontrar la Distribución de Probabilidad de una Variable

Aleatoria Discreta

Encontrar la función de Distribución de Probabilidad Acumulada de una

Variable Aleatoria Discreta

Calcular el promedio (Valor Esperado) de una Variable Aleatoria

Discreta

Calcular la Varianza de una Variable Aleatoria Discreta

Conocer los distintos métodos de resolución de problemas de una

Variable Aleatoria Discreta

Reconocer y resolver problemas cotidianos donde se utilicen la Variable

Aleatoria Discreta. Participar activamente en la solución de problemas de Variable Aleatoria

Discreta planteadas en clases.

Observar la aplicación en muchos campos de la ciencia, economía y

procesos rutinarios de la vida cotidiana.

Conteni dos Previos

Antes de iniciar la Unidad debes recordar lo siguiente:

Fases de Polya Experimento Aleatorio

Espacio Muestral

Probabilidad

Técnicas de Conteo.


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VARIABLE ALEATORIA

Pero es más conveniente trabajar con la población, es por ello que se ve la

necesidad de crear otros medios, los cuales nos invitan a estudiar de entrada el

concepto de Variables Aleatorias, el cual se define:

.

Las Variables Aleatorias se simbolizan por una letra mayúscula como X (Y ò Z), y los

valores que toma la variable con x (y ò z).

Además se puede decir, que es una función de valores reales definida en un espacio

muestral la cual le asigna a los eventos de un espacio muestral un número real. Se

puede denotar por

.

Tipos de Variable Aleatoria.

Una Variable cuyos valores se determinan sobre los resultados de un

experimento aleatorio se llama Variable Aleatoria.

Variable Aleatoria Discreta: Sea X una Variable Aleatoria. Si el número

de valores posibles de X (esto es R x el recorrido) es finito o infinito

numerable, llamamos a X una Variable Aleatoria Discreta. Esto es, se

pueden anotar los valores posibles de X como x1 , x2 ,…,xn, …. En el caso

finito la lista termina y en el caso infinito numerable la lista continúa

indefinidamente. (Meyer, P).

r X(r)

S X En cálculo definimos la función como f:X→Y y se representa en el diagrama

de ven igual se hace aquí

RECORDEMOS:

La estadística se ocupa de realizar inferencias acerca de las características deuna determinada población, para esto se llevan a cabo experimentos cuyos

resultados son productos de una muestra tomada al azar.


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Donde xi son los valores que toma la VariableAleatoria Discreta.

También se puede definir de la siguiente manera,

Variable Aleatoria Continúa: es una función definida sobre el espacio

muestral S que asigna valores continuos, es decir, valores numéricos reales.

Así el recorrido de la Variable Aleatoria Continua es un intervalo real.

EJEMPLO:

1. En una Universidad de 1500 estudiantes, elegimos uno de estos al azar

(Experimento Aleatorio) y anotamos su edad (Variable Aleatoria Discreta),

medimos la estatura (Variable Aleatoria Continua) y registramos el número de

aprobados en cierta asignatura (Variable Aleatoria Discreta).

Variable Aleatoria Discreta: es una función definida sobre el espacio muestral S

que asigna únicamente valores discretos o valores numéricos naturales. Además, se

puede decir que el recorrido de la Variable Aleatoria Discreta son los números

enteros positivos.


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Ahora trabajemos con la Variable Aleatoria Discreta

y asociada con la variable aleatoria hay una función de probabilidadinforma de la

probabilidad de que X tome un determinado va

EJEMPLO:

2. Se esta interesado en el número de permisos de construcción que se

emiten cada mes en la ciudad. ¿Cuál será la Variable?

Solución.

X : número de permisos de construcción que se emiten cada mes en la

ciudad

Es una Variable Discreta puesto que toma valores contables.

3. Consideremos, el Experimento Aleatorio que consiste en lanzar dos

monedas y se está interesado en el número de caras que pueden caer.

Solución: Primero definamos el espacio muestral

S={CC, CX, XC, CC}, en donde C : cara y X : sello.

Definamos la Variable Y : El número de Caras.

Asi, Y(w) = número de caras que aparecen.

CC=2 esto es, la cantidad de caras que hay en ese resultado

CX=1= XC observamos una cara.

XX=0, en este caso no observamos ninguna cara.

Esto es, Y(CC)=2, Y(CX)=Y(XC)=1 y Y(XX)=0

Es decir que la Variable Y toma los valores y=0,1 y 2

Gráficamente,

Es una Variable

Aleatoria

Discreta, puesto

que sus valores

son contables y

admite salto entre

un valor y otro


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UN POCO DE HISTORIA

Suele ocurrir que la formación de los conceptos científicos ocurre antes de que

sean comprendidos totalmente.

Eso también fue lo que pasó con el concepto de “variable aleatoria”, uno de los

pilares básicos de la teoría de probabilidad moderna.El concepto de ‘variable aleatoria’ estuvo presente de forma encubierta casi

desde el principio de la teoría de probabilidad. Como lo fue en el caso de Huygens en

uno de los problemas de su libro, introdujo una variable aleatoria que sigue una

distribución hipergeométrica.

Galileo habló de los errores ‘aleatorios’ que no se pueden predecir y que var ían

de medida en medida, en realidad se refería a que esos errores son una variable

aleatoria de distribución desconocida.

Bernoulli enunció su ley de los grandes números, al contabilizar el número de

bolas blancas extraídas de la urna, ese número de éxitos es una variable aleatoria que

toma valores entre 1 y n el número total de pruebas, siguiendo una distribución

binomial.

ACTIVIDADES:

1. En las siguientes premisas, identifique la Variable Aleatoria

Número de páginas de un libro

Tiempo que tarda en fundirse una bombilla

Número de preguntas en una clase de una hora

cantidad de agua consumida en un mes

2. En el siguiente problema defina la Variable e identifique que tipo es, y

encuentre los posibles valores que toma esta.

Tenemos una caja, con pelotas de varios colores, el cual está comprendida por, dos

blancas, tres verdes y cinco rojas. Se selecciona al azar dos pelotas

simultáneamente. Estamos interesados en el número de pelotas verdes

seleccionadas.


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Sin embargo, ninguno de ellos se dio cuenta que hacía falta introducir un nuevo

concepto.

Los primeros pasos en la dirección de introducir la idea de ‘variable aleatoria’

fueron dados por Poisson en 1832 en su libro Sobre la Probabilidad de los

Resultados Promedios de Observaciones. No utilizó el término ‘variable aleatoria’,

pero sí habló de ‘alguna cosa’ que uno puede entender como un conjunto a1, a2,…,an

con sus correspondientes probabilidades p1, p2,…,pn; es decir, habló de las variables

aleatorias discretas.

La palabra ‘variable’ fue utilizada por primera vez por Chebyshev, que asumió

implícitamente que todas las variables aleatorias eran independientes y fue A.

Liapunov (1857 –1918) el primero que usó sistemáticamente el término ‘variable

aleatoria’ y especificó que serían independientes cuando fuese necesario.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABI LI DAD DE UNAVARIABLE ALEATORIA DI SCRETA.

En la sección anterior, vimos la definición de Variable Aleatoria y sus tipos,

ahora vamos a encontrar la función de distribución de probabilidad de las Variables

ya definidas, pero en el caso de la Variable Discreta siendo esta:

El conjunto de los pares ordenados formado por los valores de la variable y sus

probabilidades (x, f(x)) y f(x)=P(X=x), se conoce como función de probabilidad o

distribución de probabilidad de la Variable Aleatoria X Discreta. f(x)=P(X=x)

Recordemos un poco cuales son las fases de Polya.

Comprensión del problema. Concepción de un plan. (formular una estrategia general).

Ejecución del plan. se concibe la idea de la solución

Visión retrospectiva. (verificar los resultados). Esta fases como sabemos es para la resolución de problemas la cual vamos a

utilizar, en lo que respecta en esta unidad.


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La distribución de probabilidad de una Variable Aleatoria indica el

comportamiento que tiene la Variable en el experimento. Esta función asigna

probabilidades a cada uno de los valores de una Variable Aleatoria Discreta, se puede

representar mediante fórmulas, tablas o gráficas.

EJEMPLO:

Supongamos que se lanza un dado y se está interesado en el número que sale en

la cara superior de este. Encuentre la función de Probabilidad para el número que sale

en la cara superior del dado.

SOLUCIÓN:

Definamos el espacio muestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} es decir que, #S=6.

Definamos la Variable Aleatoria

X: Número que sale en la cara superior del dado.

Ahora calculemos las probabilidades de cada uno de esos valores. ;

;

; ;

;

;

Así la función de Probabilidad para el

número que sale en la cara superior se

puede expresar:

Gráficamente,

Podemos apreciar que es una función constante, en todos los valores de la

Variable Aleatoria.

0

0,2

1 2 3 4 5 6

Es Aleator ia puesto que no podemos predecir elresul tado del dado

Los valoresx=1, 2, 3, 4, 5, 6


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CURIOSIDAD

¿Qué pasaría ahora si lanzamos dos dados y estamos interesados en la suma

que se genera con los valores que las caras superiores?

¿Qué deberá cumplir una Distribución de probabilidad para una VariableAleatoria Discreta?

Debe cumplir el siguiente teorema

TEOREMA:

Se llamará distribución de probabilidad f(x) para una variable aleatoria discreta X , si

para cada resultado posible de x esta cumple:

f(x)≥0

;EJEMPLO:

Determinar el valor de c de modo de que la función siguiente pueda servir como

distribución de probabilidad de la Variable Aleatoria X:

SOLUCIÓN:

Como debemos determinar el valor de c de modo que la función f(x) sea una

distribución de probabilidad entonces, la función debe cumplir las condiciones del

teorema. De allí que,

sí y sólo si

.

Veamos que características asume para que cumpla la condición ;

Puesto que , más aún


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12

0

1/5

2/5

3/5

-3 6 9

Luego para que es mayor que cero, y resulta que f(x) es una función de probabilidad, dado que cumple las 2 condiciones del teorema.

EJEMPLO:

Sea X una variable aleatoria que toma los valores: -3, 6, 9 con probabilidades 1/6, 1/2

y 1/3 respectivamente. Verifique si con los datos anteriores se puede expresar una

Distribución de probabilidad.

SOLUCIÓN:

La Variable Aleatoria X es Discreta puesto que entre un valor y otro existe un salto,

expresemos los valores en una tabla o mediante una gráfica:

Por ser probabilidades todas son mayores que cero, por tanto, Ahora vemos si la suma de estas da 1 Por lo tanto si se cumple las condiciones del teorema, así , p(x) si es una distribución

de probabilidad.

PROBLEMA

Un embarque de ocho computadoras que se envían a un distribuidor contiene tres

defectuosas. Si una tienda realiza una compra aleatoria de dos computadoras, ¿Cuál

X -3 6 9

p(x) 1/6 ½ 1/3


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es la función de probabilidad para el número de computadoras defectuosas adquiridas

por la tienda?

SOLUCIÓN:

Se resolverá el problema siguiendo las reglas de Polya, como mencionamos

anteriormente.

Fase 1

Debemos seleccionar dos computadoras al azar del embarque que contiene 8.

Datos

Definamos la Variable Aleatoria

Y : Número de computadoras defectuosas adquiridas por la tienda.

Como la tienda hace una compra de 2 computadoras ella puede adquirir y=0, 1, 2

Número de computadoras defectuosas tres

Número de computadoras no defectuosas (buenas) cinco

Número de computadoras total ocho

Incógnita: f(y)

Fase 2

Primero debemos encontrar el espacio muestral teniendo en cuenta que la tienda

adquiere dos de las ocho computadoras, para así encontrar las probabilidades de los

valores de la Variable Aleatoria y poder decir de manera general cuál es la

distribución de probabilidad para las computadoras seleccionadas.

Fase 3

Como la tienda adquiere 2 computadoras de las 8 que hay y no importa el orden en

que estas sean tomadas entonces, la cantidad de las diferentes formas de selección

viene dado por la combinatoria, es decir,

.

Además, sabemos que existen tres computadoras defectuosas, es decir, que existen 5

computadoras no defectuosas en el embarque.

Calculemos las probabilidades a cada uno de los valores que puede tomar la Variable

Aleatoria


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;

;

;

La función de probabilidad viene dada por:

Y 0 1 2

f(y)

Además, podemos escribir una función de probabilidad general,

Podemos apreciar que la función de distribución para el número de computadoras

defectuosas adquirida por la tienda, no es constante y que tiene mayor probabilidad

de adquirir una defectuosa y una que no lo esté.

Fase 4

Utilicemos el teorema para verificar que la función encontrada es la correcta.

Vemos que cada uno de los datos son mayores que cero, por lo tanto cumple la

primera condición.

Si obtenemos la suma de los f(x)

Por lo tanto es una función de probabilidad. Veamos ahora que se cumple sólo

para Tomemos y=3

En el número de caso favorable, vamos a tomar la

cantidad de computadoras que deseamos sean

defectuosas de las 3 que hay, pero como la

empresa adquiere solo dos computadoras,

tomamos las que faltan como computadoras no

defectuosas de las 5 que hay como en amboscasos no importa el orden entonces, lo hacemos

por la combinatoria. Esto se hace para todas las

probabilidades.


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Esto es un error puesto que la combinatoria no existe. Nota:

ver Bibliografía, Walpole cuarta edición pagina

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PROBLEMA

Una caja contiene 10 bombillas, tres de las cuales están fundidas. Se extraen

bombillas sucesivamente y se prueban, sin hacer devolución, hasta que aparezca la

última defectuosa. ¿Cuál es la distribución de Probabilidad de las bombillas probadas

hasta que aparezca la tercera fundida?

SOLUCIÓN:

Se resolverá el problema siguiendo las reglas de Polya.

Fase 1

Primero podemos apreciar que tenemos una caja con bombillas buenas y malas, y que

van a ser seleccionadas sin hacer devoluciones, es decir, que cuando se saca una

bombilla de la caja no se vuelve a colocar en ella. Necesitamos encontrar las tres

bombillas defectuosas.

DatosSea X: Número de Bombillas probadas hasta que aparece la tercera defectuosa.

Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Y los valores

que toman son x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

Hay 10 bombillas, 3 bombillas fundidas y 7 bombillas buenas.

Incógnita: f(x)

Fase 2

Lo primero que debemos hacer es definir la variable aleatoria de estudio y verificar

que esta es una variable discreta, como la selección de las bombillas es de manera

Puesto que lo mínimo que tomaríamos seria 3 es decir que se saquen las tres

fundidas seguidas y lo máximo es que se saquen las 10 donde la última debe

ser fundida


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aleatoria, estamos en la posibilidad de tomar bombillas buenas o bombillas malas,

además, como necesitamos seleccionar las bombillas hasta que encontremos la tercera

fundida, es por ello, que existen varias opciones de encontrar esas tres bombillas.

Para encontrar la distribución de probabilidad debemos hallar todas las

probabilidades, y así llegar a una forma general para esta.

Debemos encontrar la función de distribución de probabilidad para la Variable

Aleatoria.

Definamos F: Bombilla Fundida y B: Bombilla buena, la probabilidades son para la

primera selección: y como es sin reposición va disminuyendoy por probabilidad, condicionada se convierte en el producto y además siempre la

última es fija que es F.

¿Qué fase vendrá?

Primero x=3, es decir, FFF.

Para x=4, es decir, BFFF, FBFF, FFBF,

Como vemos la B es la que se mueve esto es se puede expresar con una combinatoria.

Para x=5, es decir, BBFFF, BFBFF, BFFBF, FBBFF, FBFBF, FFBBF, igual que la

anterior, se puede colocar la combinatoria en este caso seria 2 de 4, la quinta es fija

Para x=6, es decir, BBBFFF, BBFBFF, BBFFBF, BFBBFF, BFBFBF, BFFBBF,FBBBFF, FFBBBF, FBFBBF, FBBFBF igual que la anterior, se puede colocar la

combinatoria en este caso seria 2 de 4, la quinta es fija


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Así sucesivamente, en general la distribución de probabilidad de las bombillas

probadas hasta que aparezca la tercera fundida es:

, para x=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

De esta manera podemos llegar a una fórmula general para la distribución de

probabilidad, podemos ver que está tampoco es constante y que puede llegar el caso

de seleccionar las 10 bombillas de la caja, que las probabilidades van aumentando

poco a poco.

Fase 4

Utilicemos el teorema para verificar que la función encontrada es la correcta.

Vemos que cada uno de los datos son mayores que cero, por lo tanto cumple la

primera condición.

Encontremos la suma de los f(x)

Por lo tanto es una función de probabilidad veamos ahora que se cumple solo para los

valores que toma la variable x=3, … , 10

Tomemos y=2

, no se cumple así se cumple para los números colocados y del

10 en adelante no cumple puesto que hay solo 10 bombillas

PROBLEMA

Cuando el departamento de salud examinó pozos privados en un condado en busca de

dos impurezas que comúnmente se hallan en el agua potable, se encontró que 20% de


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los pozos no tenían ninguna impureza, 40% tenían la impureza A y 50% tenían la

impureza B. (Obviamente, algunos tenían ambas impurezas). Si un pozo de los

existentes en el condado se escoge al azar, ¿Cuál es la distribución de probabilidad

para el número de impurezas halladas en el pozo?

SOLUCIÓN:

Identifica las fases de Polya en el problema

La idea de este problema es encontrar las impurezas del agua, en este caso potable, en

donde tenemos dos pozos y determinadas probabilidades.

Lo primero que debemos hacer es definir la Variable de estudio, del número de

impurezas, luego debemos ver como representamos esos porcentajes de una manera

adecuada que nos ayude a encontrar los porcentajes de cada impureza y así poder

encontrar la distribución de probabilidad y por último verificar si se cumplen las

condiciones del teorema.

Datos:

Definamos la Variable Aleatoria X: Número de impurezas encontrada en el pozo.

Diseñemos los datos en una tabla para los tipos de Impurezas, teniendo en cuenta sus

probabilidades.

Impurezas A No A Total

B 50%

No B 20%

Total 40%

Incógnita: f(x)

Esta es la tabla que nos plantea el problema, ahora utilizan el hecho que trabajamos

con probabilidades, sabemos que la probabilidad máxima es de 100%, es decir que el

total nos debe dar esa suma y así podemos rellenar la tabla, luego de eso podemos

encontrar las probabilidades exactas para la cantidad de impurezas encontradas en el

agua.

Como existen 2 tipos de impurezas entonces la variable puede tomar los valores

x=0, 1, 2


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- Para A la suma debe ser 1 tenemos que el 0.4 tenían la impureza A, es decir que el

otro 0.6 no tenían impurezas A.

- Para B la suma debe ser 1 tenemos que el 0.5 tenían la impureza B, es decir que el

otro 0.5 no tenían impurezas B

Además tenemos que el 0.2 no tenían ninguna impureza

- Que no tenia impureza A con un 0.6 , es decir que 0.6-0.2=0.4, es decir que solo

tiene impureza B

- Que no tenia impureza B con un 0.5, es decir que 0.5-0.2=0.3, es decir que solo

tiene impureza A

Impurezas A No A Total

B 0.1 0.4 0.5 No B 0.3 0.2 0.5

Total 0.4 0.6 1

Ahora encontremos la función de probabilidad para X ,

f(0)=P(X=0)=0.2 ninguna impureza

f(1)=P(X=1)=0.4+0.3=0.7 Una impureza (A o B)

f(2)=P(X=2)=0.1 Dos Impurezas es decir ambas, (A y B)

X 0 1 2

f(x) 0.2 0.7 0.1

Esta es la función de probabilidad para el número de impurezas encontradas en el

agua.

Para que sea una función de probabilidad debe cumplir las condiciones del teorema.

Como podemos apreciar cada f(x) para x=0, 1, 2 son positivas, es decir f(x)≥0

Veamos si la suma de los f(x) es 1.

.Como cumple las 2 condiciones la función encontrada es de probabilidad, mas aun podemos decir que la probabilidad de encontrar mayor impureza es en el agua es

cuando hay 1 impureza de cualquiera de las 2 encontradas.


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DISTRIBUCIÓN DE PROBABI LI DAD ACUMULADA DEUNA VARIABLE ALEATORIA DI SCRETA.

Hay muchos problemas, en donde deseamos calcular la probabilidad de que el

valor observado de la Variable Aleatoria X sea menor o mayor a un número real x, la

distribución de probabilidad acumulada nos facilitaría ese trabajo.

Es útil, ver la distribución de probabilidad acumulada en forma grafica, esta es de

forma escalonada.

ACTIVIDADES.Resuelva los siguientes problemas y compruebe con el teorema que lo encontrado es

correcto

Un problema en un examen aplicado a niños pequeños les pide relacionarcada una de tres imágenes de animales con la palabra que identifica a ese

animal. Si un niño asigna las tres palabras al azar a las tres imágenes,

encuentre la distribución de probabilidad para el número de pares correctos.

Se sabe que un grupo de cuatro componentes dos de ellos son defectuosos.Una inspectora prueba los componentes uno por uno hasta hallar los dos

defectuosos. Una vez que los localiza, suspende la prueba pero el segundodefectuoso es probado para asegurar la precisión. Encuentre la distribución de

probabilidad para el número de la prueba en la que se halló el segundocomponente defectuoso.

La función de Distribución Acumulada de la v.a Discreta X, es la función queacumula las probabilidades de X menores o iguales a un valor específico x. Se

simboliza F(x) y se define:


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1. Si la probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1 entonces

2. Si x=a entonces 3. Si y si 4. 5. Esta función es muy utilizada para calcular probabilidades de determinados

valores.

EJEMPLO:

Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después

de varios años. La siguiente distribución de probabilidad de T , representa el número

de años de vencimiento para un bono que se elige al azar. Encuentre la Distribución

de probabilidad Acumulada de T

T 1 3 5 7

f(t) ¼ ¼ 1/4 ¼

SOLUCIÓN:

Sea T: representa el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar.

Es una Variable Aleatoria Discreta.

Encontremos la distribución acumulada, debemos hacer las particiones de los

intervalos

Para t


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Para .

Para . Para . Para F(t)=1 Gráficamente;

En general,

EJEMPLO:

Si se lanzan simultáneamente cuatro monedas ¿Cuál será la distribución de

probabilidad para el número de caras? ¿Cuál será la distribución acumulada para el

número de caras?

SOLUCIÓN:

Primero definamos el espacio muestral para ello utilicemos el diagrama de árbol,

¿Qué otro método se puede emplear para encontrar el espacio muestral?

En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a 3

En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a 5

En este caso hemos acumulado todos los valores menores o iguales a

7.

Para los mayores que 7 no se suma nada puesto que es 0


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1 2 3 4

De aquí vemos que el espacio muestral contiene 16 elementos. Que son

CCCC, CCCS, CCSC, CCSS, CSCC, CSCS, CSSC, CSSS, SCCC, SCCS, SCSC,

SCSS, SSCC, SSCS, SSSC, SSSS

Definamos la Variable de estudio

X: Número de cara que salen a lanzar cuatro monedas

Los valores que toma la variable aleatoria es x=0, 1, 2, 3, 4

Realicemos la distribución de probabilidad para el número de caras

X 0 1 2 3 4

f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16Encontremos ahora la distribución acumulada, para el número de cara utilizando la

distribución de probabilidad

Por definición debemos saber que la variable aleatoria recorre todo los reales

hagamos particiones por intervalo ¿Cuáles serán los estos intervalos?

Para -1


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Para 1

Para

Para 3

Para

Así la Distribución de probabilidad acumulada es;

¿Cómo será gráficamente?

Se toma F(1) puesto que la variable toma la igualdad en 1

Se toma F(2) puesto que la variable toma la igualdad en 2 y se toma la suma anterior


Puesto que todas estas f(x)=0 ya que no hay elementos allí



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PROBLEMA

Se evalúa un nuevo proceso para la fabricación de partes moldeadas en plásticos en

términos de la colaboración y reducción del tamaño. Una de las primeras corridas de

los procesos proporciona la información para el espacio muestral y las probabilidades

que aparecen en la siguiente tabla. ¿Cuál es la distribución acumulada para el número

de características aprobadas?

Colaboración Reducción del tamaño Probabilidad

Aprobado Aprobado 0,64

Aprobado Inaceptable 0,16

Inaceptable Aprobado 0,16

Inaceptable Inaceptable 0,04

SOLUCIÓN:

En este caso tenemos un cuadro en donde nos especifican las probabilidades de los

proceso de fabricación si son aprobadas o no, en una primera corrida.

Datos

Debemos definir la variable de con el número de características aprobadas en donde

ve tiene una máximo de dos y un mínimo de cero,

Definamos la Variable de estudio X: Número de características aprobadas.Los valores que toma la variable son

Así, se puede decir que la Variable Aleatoria es Discreta.

Tenemos los valores de la tabla.

Incógnita: F(x)

Utilizando la tabla anterior encontramos las probabilidades de la Variable Aleatoria y

así encontramos la distribución de probabilidad, verificamos que se cumpla las

condiciones del teorema anterior para garantizar que la distribución que encontramos

es la correcta y en seguida poder encontrar la distribución de probabilidad acumulada

y encontrar la solución al problema.


x=0, 1, 2.


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Como ya tenemos las probabilidades entonces tenemos la función de probabilidad

que es la siguiente:

Para X=0, es decir que no hay características aprobadas, es decir, que las 2 son

inaceptable, en la tabla sale que tiene probabilidad de 0.04

Para X=1, es decir que una de las 2 característica es aprobada, y la otra es inaceptable

en ambos casos la probabilidad es de 0.16 , si lo sumamos nos da una probabilidad de

0.32

Para X=2, es decir que las dos características son aprobadas, en este caso la

probabilidad es de 0.64

Así, tenemos la distribución de probabilidad

X 0 1 2

f(x) 0.04 0.32 0.64

Verifiquemos que se cumple las condiciones del teorema,

Por lo tanto es una distribución de probabilidad.

Encontremos la distribución acumulada, el 0, 1, 2 van a ser las particiones de los

intervalos Para Para F(x)=0, F(x)=f(0)=0.04,

Para Para F(x)=f0)+f(1) F( x)=f(0)+f(1)+f(2)

=0.04+0.32 =0.36+0.64

=0.36 =1

No se

acumulado

nada

Puesto que la

igualdad se

cumple para el 0

la igualdad se

cumple en el 1 es

decir que se acumula

los menores a él

La igualdad se cumple

en el 2 es decir se

acumula lo menores a

él, puesto que los

mayores a 2 son 0


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27

Es decir que la función de probabilidad viene dada por:

Gráficamente,

La función toma valores entre 0 y 1

Los valores de la variable recorren todos los reales, es una función escalonada.

Si 1 le quito el valor de lo que da en el anterior me debe de dar la probabilidad de que

la variable tome el valor de 2.

1-0.36=0.64 y es correcto

Si a 0.36 le quitamos 0.04 que es la anterior nos da 0.32 que es la probabilidad de que

tome el valor de 1.

Además, encontremos la probabilidad de: , asi la probabilidad de encontrar una o menos característica es del 32%

PROBLEMA:

Se seleccionan tres monedas al azar sin reemplazo de una caja que contiene cuatro de

1Bs y dos de 0,5Bs. ¿Cuál será la distribución de probabilidad acumulada para el total

de las 3 monedas seleccionadas?

SOLUCIÓN: Identifique las fases

En una caja hay monedas de dos nominaciones el cual vamos a seleccionar tres

monedas de ella.


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28

Como nos dice que es el total de las 3 monedas, se refiere a las nominaciones

seleccionadas,

Datos:

Definimos la variable, teniendo en cuenta el total de las selecciones de las tres

monedas, Definamos la Variable. Sea Y: número de monedas seleccionada de los Bs.

Es una variable aleatoria discreta, puesto que toma valores contables

Encontremos primero la distribución de probabilidad para Y .

4 monedas →1 Bs

2 monedas→0.5 Bs,

Incognita: F(x)

Tenemos que encontrar el espacio Muestral, teniendo en cuenta las sumas que

podrían salir, calculamos las probabilidades de que salga cada nominación y con esto

encontramos la distribución de probabilidad y luego podemos encontrar la

distribución de probabilidad Acumulada. ¿Qué fase es esta?

Como se toman 3 monedas al azar, puede ocurrir:

Que las 3 sean de 1 Bs, es decir, son 3Bs

Su probabilidad es

por ser seleccionada sin reemplazo

Que tome una de 0.5Bs y dos de 1Bs, es decir son 2.5 Bs

Su probabilidad es , se utiliza la combinatoria puesto que existenvarias combinaciones de seleccionar las monedas.

Que tome dos de 0.5Bs y una de 1Bs, es decir son 2Bs.

Su probabilidad es se utiliza la combinatoria puesto que existe variascombinaciones de seleccionar las monedas.

Luego la distribución de probabilidad para Y es,

Y 3 2.5 2

f(y) 1/5 3/5 1/5

Hay un total de 6 monedas


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29

Como vemos cada uno de los valores son mayores que 0 por lo tanto cumple la

primera condición del teorema

Si encontramos la suma de cada uno de los f(y) la misma nos da un valor igual a 1, es

decir que cumple la segunda condición del teorema por lo tanto la función encontrada

si es una función de probabilidad.

Encontremos la distribución acumulada para Y ,

Para . F(y)=0 por propiedad,Para . Luego, Para . Así, Para

. Por tanto,

Así la función de distribución acumulada para número de monedas seleccionada de

los Bs viene dada por:

Los valores que toma la función son valores entre 0 y 1, y va creciendo, es decir queva aculando lo anterior, los valores de la variable aleatoria recorren todos los reales y

es una función escalonada.

Gráficamente,

Veamos que si al 1 le quitamos el valor anterior es decir 4/5 nos da 1/5 que es la

probabilidad de que tome el valor de 3.

Curiosidad

Esta es una función

escalonada, con cuatro

escalones, en donde la

anchura de estos es de 0.5


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30

Si a 4/5 le resto el anterior es decir 1/5 nos da 3/5 que es la probabilidad de que tome

el valor de 2.5

SABI AS QUE:

VALOR ESPERADO DE UNA

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

El valor esperado de una v.a tiene sus orígenes en los juegos del azar, debido a que

los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un

juego.Este representa el promedio, valor medio o media, de la v.a al repetir un experimento

varias veces, se simboliza por:

ACTIVIDADES Resuelva los siguientes problemas utilizando la distribución de probabilidad acumulada.

1. Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres mujeres trabajando

para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo especial. No queriendo mostrar

sesgo en su selección, decide seleccionar los dos trabajadores al azar. ¿Cuál es la

distribución de probabilidad Acumulada para el número de mujeres seleccionadas,

además encuentre la probabilidad de seleccionar al menos una mujer?.

2. Un llavero contiene cuatro llaves de una oficina, que son idénticas en apariencia. Sólo

una abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba.

Si no es la llave adecuada se selecciona al azar una de las tres llaves restantes. Si esta

última no es la llave que corresponda, se selecciona al azar una de las dos restantes.

¿Cuál es la distribución de probabilidad acumulada para el número de llaves que se

tienen que probar hasta encontrar la llave que abre la puerta?¿Cuál es la probabilidad de

usar entre 1 y 3 llaves para abrir la puerta?

Sea X una v.a Discreta, con función de probabilidad f(x) entonces el promedio de X,

está definido por:

El estudio de distribución de frecuencia acumulada es

muy parecido a lo que se hace en la parte de frecuencia

en este caso estamos trabajando con la frecuenciarelativa y la frecuencia relativa acumulada


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Esta es muy usada al igual que en la teoría de distribución de frecuencias, para

encontrar el promedio de todos los valores que toma la Variable Aleatoria.

EJEMPLO:

Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad,

X 1 2 3 4 5

P(x) 0.05 0.20 0.05 0.45 0.25

Encuentre el valor esperado de la variable

SOLUCIÓN:Sea X la variable aleatoria, es discreta puesto que entre un valor y otro existe un salto.

El valor esperado viene dado por Luego,

El promedio de la Variable Aleatoria es de 3.35. EJEMPLO:

Suponga que el número de automóviles que se utiliza con propósitos de negocios en

un día de trabajo dado es una variable aleatoria con distribución de probabilidad dada

por:

Nº de automóviles 0 1 2 3 4

Probabilidades 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

Determina el número de autos esperado en el negocio en determinado día.

Atención: El valor esperado de una Variable Aleatoria, es la media Poblacional. Y

es un valor que se encuentra entre los valores de la Variable


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UN POCO DE HI STORIA

La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, los primeros estudios

“científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas: 1. Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.

2. Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar,conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’. El segundo problema fue abordado por

Luca Pacioli (1445 – 1517), quien en 1487 propuso estos dos similares problemas particulares.Uno de los problemas que fue abordado por él fue el siguiente: un juego en el que el premio es

de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30 ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes?

Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidasanteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados para el primer

equipo y en 60×3/8 para Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta

como lo hicieron Girolamo Cardano (1501 – 1576) y Niccolo Tartaglia (1499 – 1557)

SOLUCIÓN:

Definamos la variable de estudio.

Y: Número de automóviles que se utilizan en el negocio en un día

Los valores que esta toman es y= 0, 1, 2, 3, 4. Y por tanto es una Variable Aleatoria

Discreta. Con esto encontremos el número de automóviles que se espera utilizar

reemplazando en la formula. Así, el valor que se espera para el número de automóviles utilizados en el negocio un

día dado es de 2.

PROBLEMA

Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 bs y el premio es

de 100 bs. ¿Cuál es el valor que se espera ganar o perder cada vez que se participa en

esta lotería?


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SOLUCIÓN:

Como sabes el espacio muestral son los mil números, además debemos comprar un

número si queremos ganar, cada número tiene un valor de 25 bolívares y el premio es

de 100 Bolívares.

Datos

#S=1000

Definamos la variable aleatoria X, como sigue:

X: Utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería. Es una Variable

Aleatoria Discreta puesto que el premio es contable.

Los valores que esta puede tomar son:

Cuando gana = 75 bs Cuando pierde= – 25 bs

Incógnita: E(X)

Como la idea es saber cual seria la ganancia haciendo una pequeña inversión es por

ello que necesitamos, saber cuanto ganaríamos y cuanto perderíamos es por ello que

calculemos el promedio de esto para saber lo que esperaríamos al jugar, para esto,

debemos definir la variable buscar las probabilidades de ganar o de perder y así

encontrar la distribución de probabilidad y luego el valor esperado.

Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y de perder 999/1000.

Ya que hay un solo numero ganador de los mil que hay.

De acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad es:

Por lo tanto, el valor esperado es:

O sea que la persona que participe en la lotería espera perder 24.9 bs en cada juego.

X 75 -25

f(x) 1/1000 999/1000

100 que gana del premio, menos 25 del costo del número.

Costo del número


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Como el valor esperado es un promedio es decir que su valor debe estar entre los

valores que toma la Variable Aleatoria definida. Como los valores esta entre -25 y 75

quiere decir que el valor encontrado cae hay y es de esa manera puesto que la

probabilidad de perder es mayor que la de ganar

¿Se utilizaron las fases de Polya para resolver este problema?

PROBLEMA:

Se considera un juego consistente en lanzar tres monedas al aire. Si se obtienen tres

caras o tres sellos, se ganan 30 bolívares. Si no es así, se pierde una cantidad de k .

¿cuál debe ser esa cantidad para que el juego sea justo?

SOLUCIÓN:

El problema consiste en lanzar tres monedas y según lo que caiga ganamos o

perdemos cierta cantidad de dinero.

Datos

Definamos la Variable Aleatoria. Sea X: cantidad de dinero obtenida por el jugador.

Es una variable Aleatoria Discreta puesto que los valores son contables. Los valores

de la variable son 30 y -k

El juego es justo cuando la ganancia esperada es cero

Incógnita: E(X)

Como ya definimos la variable de la cantidad de dinero entonces podemos

encontrar la distribución de probabilidad para así, calcular el promedio, pero como

queremos que el juego sea justo ese valor debe ser cero, luego remplazando en la

formula podemos encontrar el valor que nos tocaría perder si no nos cae lo deseado.

Como el juego debe ser justo, es decir, que E(X)=0, encontremos las

probabilidades de sacar tres caras o tres sellos al lanzar la moneda y la probabilidad

de no obtener eso.

Ya que no gana ni pierde


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Sea A, el evento sacar 3 caras o tres sellos

Por otro lado , es no sacar las 3 caras o los 3 sellos Luego, sabemos que

Es decir, cuando la jugada sea distinta de tres caras o tres cruces, lo justo sería perder

10 Bolívares

Remplacemos a k para ver si el valor encontrado es el correspondiente

Por lo tanto el valor de k=10.

ACTIVIDADES:

Resuelva los siguientes problemas:

1. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de

euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de

euros como marca el dado. ¿Cual es la ganancia esperada del jugador?

2. Tenemos una bolsa con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al

azar dos bolas simultáneamente. Recibimos 200 pesetas si las dos bolas son

blancas, 100 si las dos son verdes y 10 si una es roja y la otra verde, en los demás

casos no recibimos nada. ¿Cuál es la ganancia esperada de los premios?


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Propiedades del Valor Esperado.

El valor esperado de una constante “C” es:

Si “a” y “b” son constantes y X una Variable Aleatoria entonces: El valor esperado de la suma de dos Variables Aleatorias es la suma de los

valores esperado de las Variables Aleatorias, es decir, sea X, Y Variables

Aleatorias entonces: Si X e Y son Variables Aleatorias tal que X ≤ Y entonces: Si X e Y son Variables Aleatorias independientes si y solo si

Observación:

El valor esperado de una función g(x), de una Variable Aleatoria Discreta está

dada por:

EJEMPLO:

El número de error por 100 líneas de código de programación tiene la siguiente

distribución de probabilidad.

X 2 3 4 5 6

f(x) 0.01 0.25 0.4 0.3 0.04

Encuentre la media de Z=3X-2

SOLUCIÓN:

Definamos la variable, X: número de error por 100 líneas de código, es una Variable

Aleatoria Discreta.


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Encontremos primero el valor esperado de X

Ahora, calculemos la media de Z , usando el valor encontrado anteriormente. Por lo tanto la media de la variable Z es de 10,33.

PROBLEMA

Diez motores son empaquetados para la venta en cierto almacén. Los motores se

venden en 1000 Bolívares cada uno, pero se aplica una garantía de reembolso doble

por cada motor defectuoso que recibe el cliente. ¿Cuál será la ganancia esperada del

vendedor si la probabilidad de que salga un motor defectuoso es de 8%?

SOLUCIÓN:

Se empacan motores en un almacén teniendo en cuenta que los motores pueden estar

defectuoso con un 8% de probabilidadTenemos que cada motor tiene un valor de 1000Bs, y se empaqueta de 10 motores

para la venta, pero cada uno de ello tiene garantía de reembolso del doble de su valor,

si este sale defectuoso.

Datos

n=10 motores

El valor de cada uno es de 1000

Definamos primero la variable aleatoria de estudio.

Z: Números de motores defectuosos adquirido por el cliente

Existe 10 motores y cada uno tiene un valor de 1000 bs. Entonces tenemos que

10*1000=10000 Bs que adquiere la tienda pero si el motor se encuentra defectuoso


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se le regresa al cliente 2*Z , es decir, que debemos calcular el valor esperado de lo que

adquiere la tienda menos lo que adquiere el cliente por cada motor defectuoso que

compre, esto es, E(10000-2*Z).

Como queremos la ganancia que espera el vendedor, teniendo en cuenta que existe

motores defectuosos con un 8%, si la tienda vende los 10 motores por su valor, tiene

determinado promedio de ganancia, pero como el también puede perder por los

motores defectuosos podemos calcular el promedio de este y vemos la ganancia

esperada del vendedor


El valor esperado de Z es 10*0.08 es decir el valor de la Variable Aleatoria por su

probabilidad, es decir, E(Z)= 0.8.

Luego, E(10000-2*Z)=10000-2*E(Z) por propiedades

=10000-2*0.8=10000-160=9840

La ganancia esperada del vendedor es 9840 Bs para la venta de los motores.

El valor esperado de los motores para el cliente es muy pequeño pues q es 0.8 que es

mayor que cero y el valor espera de la venta de los motores es de 9840 que es muy

próximo al valor total de cada motor.

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DI SCRETA

La varianza de una Variable Aleatoria señala, la mayor o menor concentración de los

valores alrededor de la esperanza matemática, se simboliza por: donde X es una Variable Aleatoria Discreta y viene dada por: Aunque para el cálculo se suele usar esta otra fórmula equivalente:

.Atención: La Varianza de una Variable Aleatoria, es la Varianza Poblacional y

siempre es un número mayor que cero.


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EJEMPLO:

Una Variable Aleatoria Discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la

siguiente función de probabilidad:

X 0 1 2 3 4

f(x) 0.3 0.25 0.25 0.1 0.1

Calcular la varianza de la Variable Aleatoria Discreta.

SOLUCIÓN:

La varianza viene dada por .Encontremos primero la esperanza matemática de la variable X viene dada por:

Encontremos ahora usando la observación del valor Esperado

Por tanto, EJEMPLO:

Si X denota la Variable Aleatoria que indica la cantidad de niños en una familia con

tres hijos, la distribución de probabilidad es la siguiente:

Cantidad de niños (H ombres) X 0 1 2 3

Probabil idad f(x ) 1/8 3/8 3/8 1/8

Encuentre la Variabilidad para el número de niños en la familia.


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SOLUCIÓN:

Sea X: número de niños en la familia,

Los valores que toma son x=0, 1, 2, 3

Encontremos primero la esperanza matemática de la variable X viene dada por:

Así, 1.5 es el promedio de niños que puede tener la familia

Encontremos ahora usando la observación del valor Esperado

Por tanto, Por lo tanto, la variabilidad del número de niños que puede tener la familia con

respecto al promedio es de 0.75

PROBLEMA:

Un equipo electrónico contiene 6 transistores dos de los cuales son defectuosos. Se

seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. ¿Cuál es

la Variabilidad de los transistores defectuosos observados?

SOLUCIÓN:

Se tiene un total de seis transistores, en donde hay buenos y defectuosos, se toma al

azar tres, de estos, y se inspeccionan y se puede apreciar cuantos defectuosos se

tomaron.

Datos

Definamos la Variable Aleatoria. Sea X: Número de transistores defectuosos


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que toman son x=0, 1, 2.

Incógnita: Var(X)

Como ya definimos la Variable con los transistores defectuosos, encontramos las

probabilidades de cada uno de los valores que toma esta, como no dependen del orden

de selección lo podemos hacer por combinatoria, luego encontrar la distribución de

probabilidad, para así encontrar el promedio de transistores que s e puede seleccionar

de los defectuosos y de la misma manera podemos llegar a la variabilidad de ellos.

Debemos encontrar la función de distribución de probabilidad para el número de

transistores defectuosos

En general,

Encontremos ahora el promedio de los transistores defectuosos que se pueden

seleccionar.

Ya que tenemos 0

transistores defectuosos es

decir que los 3 seleccionado

son buenos

Ya que tenemos 2transistores defectuosos es

decir que el restante es

bueno

Ya ue traba amos con los defectuosos


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Datos:

Total de piezas manufacturadas por día 850 contiene

Piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente 50, es decir que hay 800

que cumplen con los requerimientos.

Se toma una muestra de dos piezas sin reposición.

Definamos la variable

Z: número de piezas seleccionadas que no cumplen los requerimientos del cliente.

Incógnita: Var(X)

Lo que debemos hacer, es encontrar las probabilidades de los valores que toma la

variable y así encontrar la función de probabilidad, el promedio de los valores y su

respectiva varianza tomando en cuenta que se toman 2 piezas y esta es sin reposición.

La probabilidad de seleccionar 1 pieza que cumple con los requerimientos del cliente

es =

La función de probabilidad encontrada para el número de piezas seleccionadas que

no cumplen los requerimientos del cliente, viene dada por:

Verifiquemos que cumple las condiciones del teorema.

Z 0 1 2

f(z) 0.886 0.111 0.003

Los valores que toma es 0, 1 y 2, puesto que se toman 2 como muestra

Es decir que las dos seleccionadas ninguna

no cumplen con los requerimientos

Es decir, que las dos seleccionadas una

cumple y la otra no, se multiplica por 2 ya

que como es sin reposición importa el orden

con ue se selecciona

Es decir que las dos seleccionadas no

cum len con los re uerimientos


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45

Observación:

La Varianza de una función g(x), de una Variable Aleatoria Discreta está dada por:

EJEMPLO:

Calcule la Varianza de donde X es una Variable Aleatoria Discretacon la siguiente función de probabilidad:

X 0 1 2 3

f(x) ¼ 1/8 1/2 1/8

SOLUCIÓN:

La Variable Aleatoria es Discreta, por tanto

Luego remplazando en la fórmula

Así, la Varianza de , es de 4


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PROBLEMA:

En un juego una persona recibe 15 Bs cuando saca una jota o una reina y recibe 5 Bs

si saca un rey ó un as de una baraja de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que

pagar 4 Bs. ¿Cuál es la Desviación estándar para una persona que entra en el juego?

SOLUCIÓN:

En este problema consiste en seleccionar una carta de las 52 que hay y según sea la

carta que salga la persona pierde o gana determinado valor.Sea X: Cantidad de dinero que utiliza la persona que juega


que toman son x= -4, 5, 15.

Como tenemos cartas de 52, existen 4 modelos de las cartas que son 13 de cada unas

Como ya tenemos la variable definida y los valores que toma. Primeros debemos

saber cómo son las cartas, cuantas hay de cada figura, para así conseguir las

probabilidades a las cartas que necesitamos y de la misma manera encontrar el

promedio en Bs de lo que puede ganar o perder la persona, y así encontrar la

dispersión de los datos con respecto al promedio encontrado

NOTA:

Al usar la variancia como medida de dispersión o variabilidad se presenta una

dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variablealeatoria X son lineales, por ejemplo kilogramos, metros, litros, etc., por lo que también será lineal, pero la variancia está en unidades cuadráticas,como kilogramos elevados al cuadrado, metros elevados al cuadrado, litros

elevados al cuadrado, etc.

En vista de lo anterior, si queremos expresar la medida de dispersión en las

mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X , debemostomar la raíz cuadrada positiva de la variancia. A esta cantidad se le conoce con el

nombre de desviación estándar y se representa con σ .

Ya ue es la cantidad de dinero en ue o


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Calculemos las probabilidades de la Variable Aleatoria

Así la distribución de probabilidad de la variable es,

X -4 5 15

f(x)

Encontremos ahora el promedio del dinero que ganará el jugador

Así, el promedio del dinero de la persona que juega es de.

Encontremos,

Encontremos ahora la variabilidad, Por lo tanto, Es decir que la dispersión del dinero jugado con respecto al promedio es de 7.032

Ya ue tenemos 4 re 4 As

Ya que tenemos 4 jota y 4 Reinas

Ya que es otra carta distinta a la de los casos anteriores y por lo tanto es el

complemento


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La varianza nos dio un valor mayor que cero y por lo tanto se pudo calcular la

desviación.

ACTIVIDADES: Resuelva los siguientes problemas

1. El productor de un tipo de leche con pocas calorías quiere comparar la

atracción que ejerce el sabor de una nueva preparación (fórmula B) con

respecto a la preparación estándar (fórmula A). Se dan a cada uno de los 4

jueces tres vasos, de modo aleatorio, dos de las cuales contiene la fórmula

A y el otro la fórmula B. se preguntan a cada juez cual vaso disfruto más.

Suponga que las 2 preparaciones son igualmente atractivas. ¿Cuál es la

distribución de probabilidad para el número de jueces que prefieren la

nueva fórmula? ¿Cuál es la varianza para el número de jueces que

prefieren la nueva fórmula?

2. Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres

mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para untrabajo especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide

seleccionar los dos trabajadores al azar. ¿Cuál es la desviación estándar para el número de mujeres en su selección Y?


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PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de

un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar

y sin reemplazo,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor

local?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del

proveedor local?

Respuestas:

a. 0.0119, b. 0.408 y c. 0.196

2. Una caja contiene 8 bombillos, de los cuales están 3 están defectuosos. Se

selecciona un bombillo de la caja y se prueba. Si este sale defectuoso se

selecciona y se prueba otro bombillo, hasta que se escoja un bombillo no

defectuoso. ¿Cuál es el número esperado de bombillos seleccionados?

Respuesta: 1.5

3. Se sabe que de un lote de 40 semillas no esta en buenas condiciones la cuarta

parte. Se toman al azar 8 semillas y se analizan en el laboratorio. ¿Cuál es la

probabilidad de que 3 de las analizadas estén en malas condiciones?

Respuesta: 0.222

4. El blanco de un local de tiro no es más que un círculo dividido en 3 sectores

congruentes marcados por las cifras 1, 2, 3. Cuando se dispara, el círculo se hace

girar, de manera que el jugador no distinga los sectores. Al dar en el sector 1 el

jugador gana 1 dólar; al dar en el sector 2, gana 2 dólares; y, al dar en el sector 3,

gana 3 dólares. El precio del boleto que da derecho a disparar vale 1.5 dólares.

¿Es ventajoso el juego si se tiene una probabilidad de dar en el blanco de:

a) 0.7; b) 0.8; y c) 0.75?

Respuestas: a) Es ventajoso; b) es desventajoso; c) es indiferente.

5. Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente

con una probabilidad de 1/3 y 2/3 respectivamente. Cada entrevista tendrá como


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resultado una no venta o una venta de 50000 con probabilidad de 0.9 y 0.1

respectivamente. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para las ventas

diarias?¿Cual es su representación gráfica?

Respuesta:

X 0 5000 100000

P(x) 21/25 23/150 1/150

6. Usted y un amigo participan en un juego donde cada uno tira al aire una moneda

balanceada. Si las caras superiores de la moneda son sellos en ambos casos, el

lector gana 1 Bs; si salen caras en ambos tiros gana 2 Bs; si las caras de la

moneda no son iguales, el lector pierde un bolívar ¿Cuál es la ganancia esperada

del lector en un solo intento?

Respuesta: 0,25

7. A y B juegan 12 partidos de ajedrez, de los cuales, A gana 6, B gana 4 y en 2

terminan empatados. Se ponen de acuerdo para jugar otros 3 partidos.

Encuéntrese la probabilidad de que:

a) A gane los tres partidos, Respuesta: 1/8

b) 2 parti-dos terminen empatados, Respuesta: 5/72

c) A y B ganen alternadamente Respuesta: 5/36

d) B gane por lo menos un partido. Respuesta: 19/27

8. En una inversión de negocios hay una probabilidad de 0.6 de obtener como

ganancia 300 Bs y una probabilidad de 0.4 de perder 100Bs. ¿Cuál será la

ganancia esperada?

Respuesta: 140 Bs


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BIBLIOGRAFÍA

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