Tuyển Chọn 234 BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC TỪ TẠP … BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC...

Cao Minh Quang *****

Tuyển Chọn 234 BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC TỪ TẠP CHÍ

TOÁN TUỔI THƠ 2 & VẬT LÝ TUỔI TRẺ

Vĩnh Long, 30/4/2015

234 bài toán b�t ñ�ng th�c ch�n l�c Cao Minh Quang

2

234 BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC CHỌN LỌC ♦♦♦♦♦

1. [T1/1, TTT2] Chứng minh rằng

1 1 1 1... 2

5 6 7 17+ + + + < .

2. [Nguyễn ðức Tấn, T5/2, TTT2] Tìm ,x y ñể biểu thức

2 2 2 22 6 4 11 3 2 6 4A x y x y x y x y= + − + + + + + + +

ñạt giá trị nhỏ nhất.

3. [Lê Quang Nẫm, T2/3, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( )( )( )( )4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x+ + ≤ + + + + + + + + .

4. [Nguyễn ðức Phương, T3/4, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực không âm. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )( )( )2 2

x x z y y z x z y z x y z− + − ≥ − − + − .

5. [Nguyễn Minh Hà, T5/4, TTT2] Cho tam giác ABC vuông tại A , M là một ñiểm bất kỳ. Chứng minh rằng

2 2

2 21

MB MC

AB AC+ ≥ .

ðẳng thức xảy ra khi nào?

6. [Lê Võ Việt Khang, T1/5, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

1, 1, 14 2

a ba b c c c+ + ≤ ≤ + + ≤ .

Chứng minh rằng

17a b c+ + ≤ .

7. [Nguyễn Văn Huỳnh, T3/5, TTT2] So sánh hai số . A . và B biết rằng

( )20032002 20022003 2002A= + và ( )

20022003 20032003 2002B= + .

8. [Nguyễn Trọng Tuấn, T3/6, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

2 2 2 11,

2a b c a b c+ + = + + ≤ .

Chứng minh rằng

1 30 , ,

4a b c

+≤ ≤ .

9. [Trần Văn Hinh, T1/7, TTT2] Chứng minh rằng

2 6 12 20 30 42 24+ + + + + < .

10. [Nguyễn Minh ðức, T3/7, TTT2] Cho các số 1 2 10, ,...,a a a thỏa mãn 21 10 1 11, 2, .i i ia a a a a− += = ≤

với 2,3,...,9i= . Chứng minh rằng với mọi 1, 2,...,10i= thì ta có bất ñẳng thức 9 12iia−≤ .

11. [Nguyễn ðức Trường, T1/9, TTT2] Cho tam giác ABC . Một ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BDE và CDE .


3

12. [Minh Trân, T4/9, TTT2] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

1

1n

i

i

x=

=∑ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2 2 3 1... n nx x x x x x−+ + + .

13. [Nguyễn Anh Hoàng, T2/12, TTT2] Cho 20 số nguyên khác 1 2 200 : , ,...,a a a có tính chất sau

a) 1a là số dương.

b) Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.

c) Tổng của 20 số ñó là số âm.

Chứng minh rằng 1 14 14 12 1 12. .a a a a a a+ < .

14. [Nguyễn Hữu Bằng, T3/12, TTT2] Gọi , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác không phải là tam giác cân. Hãy so sánh giá trị tuyệt ñối của các biểu thức ,P Q sau ñây

( )( )( )1 1 1

,2

a b c b c a c a bP Q

a b b c c a a b b c c a

− + − + −= + + =− − − − − −

.

15. [Nguyễn ðức Tính, T2/13, TTT2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2

2

2002 2003 1 2004

1

x xP x

x

+ − +=

−.

16. [Vũ Quốc Lương, T3/13, TTT2] Cho 25 số nguyên phân biệt, biết rằng tổng của 4 số bất kỳ trong chúng ñều dương. Chứng minh rằng

a) Trong 25 số trên có ít nhất 22 số dương.

b) Tổng của 25 số này lớn hơn hoặc bằng 274 .

17. [Phan Thị Mùi, T1/15, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của tổng

2 3S ab bc ca= + + .

18. [Nguyễn ðức Phương, T2/16, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )ab bc ca a b c

c c a a a b b b c c a a b b c+ + ≥ + +

+ + + + + +.

19. [Huỳnh Quang Lâu, T2/17, TTT2] Giả sử 1 2 2

1 1 1 1 11 , 1 ,... 1 ...

5 5 5 5 5n nS S S= + = + + = + + + .

Chứng minh rằng

2 2 2 3 2 21 2 3

1 1 1 1 35...

5 5 5 5 36n

nS S S S+ + + + < .

20. [Thái Nhật Phượng, T3/17, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

2 1xyz xy yz zx+ + + ≤ .

Tìm giá trị lớn nhất của xyz .

21. [Vũ Hữu Bình, T1/19, TTT2] Cho 2 1 3 2 4 3 25 24

...2 1 3 2 4 3 25 24

A− − − −

= + + + ++ + + +

.

Chứng minh rằng 0, 4A< .

22. [Nguyễn ðức Phương, T2/19, TTT2] Cho 1 2 11, ,...,x x x là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

1 2 3 111 ... 1000x x x x≤ < < < < ≤ .


4

Chứng minh rằng, tồn tại { }1,2,3,...,10i∈ sao cho 31 11 3 .i i i ix x x x+ +− − < .

23. [Phan Thị Mùi, T3/20, TTT2] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1x y+ = . Tìm

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức ( )( )2 2S x y= − − .

24. [Lê Thị Liễu, T4/21, TTT2] Cho tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c= = = và 9a b c+ + = ,

, ,x y z lần lượt là ñộ dài phân giác trong của các góc , ,A B C . Chứng minh rằng 1 1 1

1x y z+ + > .

25. [Trần Xuân ðáng, T3/23, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

3a b c+ + = .

Chứng minh rằng

2 2 2

3

1 1 1 2

a b c

b c a+ + ≥

+ + +.

26. [Trần Tuấn Anh, T1/24, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 0a b c≥ ≥ > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a b cP

a b b c c a= + ++ + +

.

27. [Nguyễn Khánh Khang, T4/25, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )2003 2003 20032004 2004 2004

2 2 2

b c a c a b a b ca b c

+ + ++ + ≥ + + .

28. [Phan Thị Mùi, T3/26, TTT2] Cho 1 , 2a b≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2

3 3

a bP

a b

+=

+.

29. [Nguyễn Anh Thuấn, T1/27, TTT2] Phân tích tùy ý số 2005 thành tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của hai số này. Trong các tích nói trên, hãy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ nhất.

30. [Cao Minh Quang, T2/27, TTT2] Cho , , ,a b x y là các số thực không âm thỏa mãn các ñiều

kiện 2005 2005 1a b+ ≤ và 2005 2005 1x y+ ≤ . Chứng minh rằng

1975 30 1975 30. . 1a x b y+ ≤ .

31. [Bùi Văn Chi, T2/28, TTT2] Cho 5 số thực dương sao cho tổng của tất cả các tích từng cặp hai số trong chúng bằng 2 . Chứng minh rằng tồn tại bốn trong năm số ñó có tổng nhỏ hơn 2 .

32. [Nguyễn ðức Tấn, T2/29, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 3 3a b ca ac b ba c cb

b c a+ + ≥ + + .

33. [Lê Anh Tuấn, T5/29, TTT2] Xác ñịnh M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M tới các cạnh của tam giác ñạt giá trị lớn nhất.

34. [Nguyễn Trọng Tuấn, Bài toán thách ñấu thứ 22, TTT2/30] Cho 2005 số thực dương

1 2 2005, ,...,x x x thỏa mãn ñiều kiện

2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 3 3 2 2004 2005 2005 2004, ,...,x x x x x x x x x x x x+ ≤ − + ≤ − + ≤ − .

Chứng minh rằng trong 2005 số ñó có hai số ,x y sao cho sao cho 3

1

2.10x y− < .


5

35. [Trần Xuân ðáng, T2/30, TTT2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3x x x x− + + với

0 1x≤ ≤ .

36. [Nguyễn Anh Hoàng, T3/31, TTT2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 3 2

2

2004 6006 6 2 2 8003

3 4

x x x x xA

x x

+ + − + − −=

+ −.

37. [Nguyễn Anh Vũ, T4/31, TTT2] Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

3 3 33 3 3a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≤ + + .

38. [Nguyễn ðức Phương, T4/32, TTT2] Cho 1 1

1 2 1,

2 2 2n n

na a a

n+

− = = + với mọi số nguyên

dương n không vượt quá 2004 . Chứng minh rằng

1 2 3 2005... 1a a a a+ + + + < .

39. [Cao Minh Quang, T2/34, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c b c a c a bP

c a b

+ − + − + −= + + .

40. [Huỳnh Tấn Châu, Bài toán thách ñấu thứ 27, TTT2/35] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 6a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 21 1 1S a b c

b c c a a b= + + + + +

+ + +.

41. [Hà Khang Khôi, T2/36, TTT2] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2x y x y+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F x y= − .

42. [Trần Phương Nam, T3/37, TTT2] Cho ( ) 3 23 3 3f x x x x= − + + . Chứng minh rằng

2006 2005

2005 2004f f <

.

43. [Trần Xuân ðáng, T3/38, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương và ( ) 2004 2002 3T x x x= − + .

Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ). . 9T a T b T c ab bc ca≥ + + .

44. [Trần Xuân ðáng, Bài toán thách ñấu thứ 31, TTT2/39] Cho , ,a b c là ba số thực thuộc ñoạn

[ ]0;2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 4 4

a b cE

bc ca ab= + ++ + +

.

45. [Cao Minh Quang, T3/39, TTT2] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông, c là ñộ dài cạnh huyền. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( )2 2a b c b a cP

abc

+ + += .

46. [Nguyễn ðức Trường, T1/40, TTT2] Cho bộ ba số nguyên dương ( ), ,a b c thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2a b c+ = (bộ ba Pythagores). Chứng minh rằng

2

8c c

a b

+ > .


6

47. [Trần Tuấn Anh, T2/40, TTT2] Cho , ,a b c là ba số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1a b c≥− và 3 4 1a b c+ + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3P a b c= + + .

48. [Lê Xuân ðại, T1/41, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

34

3x xy xyz+ + = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x y z= + + .

49. [Nguyễn Quang ðại, T4/41, TTT2] Cho tam giác ABC vuông tại C có ñộ dài ba cạnh là , ,a b c ( c là ñộ dài cạnh huyền). Gọi ch là ñộ dài ñường cao của tam giác kẻ từ ñỉnh C . Chứng

minh rằng

( )2 1 2c

a b c

h

+ +≥ + .

50. [Trần Tuấn Anh, Bài toán thách ñấu thứ 34, TTT2/42] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

11

2 2 2 2

a b c

a b b c c a< + + ≤

+ + +.

Có thể thay 1

2 bởi số lớn hơn không?

51. [Trần Xuân ðáng, T2/42, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 1 1 3

1 1 1 1a b b c c a abc abc+ + ≥

+ + + +.

52. [Trần Phương Nam, T3/42, TTT2] Chứng minh rằng nếu phương trình 2 0x ax b+ + = có

nghiệm 0x thì 2 20 1x a b< + + .

53. [Nguyễn Khánh Nguyên, T2/43, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

2 2 2

11 1 1

a b c

b a c b a c+ + ≥

+ − + − + −.

54. [Cao Minh Quang, T5/43, TTT2] Cho tam giác ABC vuông tại A . Một ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh ,AB AC lần lượt tại ,M N . Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 9

AM AN BC+ ≥ .

55. [Phan Tiến Thành, T2/44, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực thuộc khoảng ( )0;1 và thỏa mãn

ñiều kiện ( )( )( )1 1 1xyz x y z= − − − . Chứng minh rằng

2 2 2 3

4x y z+ + ≥ .

56. [Nguyễn Văn Mạnh, T5/44, TTT2] Giả sử M là một ñiểm bất kỳ trong tam giác ABC . Qua M kẻ các ñường thẳng , ,DE IJ FG lần lượt song song , ,BC CA AB (trong ñó , ; , ;G J BC E F CA∈ ∈ ,D I AB∈ ). Chứng minh rằng

2

3AIMF BGMD CEMJ ABCS S S S+ + ≤ .


7

57. [Trần Tuấn Anh, T4/45, TTT2] Cho ,x y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )( )2 23 3

x yP

x y

+=

+ +.

58. [Nguyễn Hữu Bằng, T2/46, TTT2] Cho ,a b là hai số thực không âm và

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 3 3 2 22P x a b x a b x a b= + − + + − .

Chứng minh rằng ( ) 0P x ≤ với mọi x thỏa mãn ñiều kiện a b x a b− ≤ ≤ + .

59. [Cao Minh Quang, T5/46, TTT2] Cho tam giác ABC vuông tại A có r và R lần lượt là bán kính của các ñường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác; ah là ñộ dài dường cao xuất phát từ ñỉnh

A . Chứng minh rằng

( )1 2ah r R≤ + ≤ .

60. [Phan Thị Mùi, T3/47, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 0a a b a b b b c b c c c a c a+ + + + + + + + ≥ .

61. [ðàm Huy ðông, Bài toán thách ñấu thứ 40, TTT2/48] Cho , ,a b c là các số thực không âm

thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 4a b c+ + = . Chứng minh rằng

18

2a b c abc+ + ≤ + .

62. [Nguyễn ðức Trường, T2/48, TTT2] Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 246...

20071 3 3 5 2003 2005A= + + + <

+ + +.

63. [Nguyễn Quang ðại, T5/48, TTT2] Cho tam giác ABC . Trên tia ñối của các tia , ,AC BA CB

lần lượt lấy các ñiểm 1 1 1, ,A B C sao cho 1 1 1, ,AA BC BB AC CC AB= = = . Chứng minh rằng

1 1 16ABC BCA CAB ABCS S S S+ + ≥ .


64. [Trần Tuấn Anh, T4/49, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

2a bc b ca c ab

b c c a a b

+ + ++ + ≥

+ + +.

65. [Hoàng Hải Dương, T1/50, TTT2] Cho A là tổng của tất cả các phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 456 . So sánh A với 2007 .

66. [Phan Thị Mùi, Bài toán thách ñấu thứ 43, TTT2/51] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y xy+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 1 1P

x y x y= + ++

.

67. [Nguyễn Trọng Tuấn, T1/51, TTT2] Cho 1975 số tự nhiên khác nhau thỏa mãn ñiều kiện

1 2 19751 ... 2004a a a≤ < < < ≤ .

Chứng minh rằng số các cặp số tự nhiên liên tiếp trong các số trên không nhỏ hơn 1945 .


8

68. [Hoàng Thanh Tùng, T3/51, TTT2] Cho ,x y là hai số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1 1

x y y xP

x y

+ += +

− −

69. [Nguyễn Văn Tiến, T4/51, TTT2] Cho tam giác ABC có trọng tâm G , nội tiếp ñường tròn tâm O . Các ñường thẳng , ,AG BG CG lần lượt cắt ( )O tại các ñiểm , ,D E F . Gọi , ,a b c lần lượt là

ñộ dài của các cạnh , ,BC CA AB của tam giác. Chứng minh rằng

1 1 1 1 1 13

GD GE GF a b c

+ + ≤ + + .

70. [Phạm Kim Hùng, Bài toán thách ñấu thứ 44, TTT2/52] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2

3

2

a b c

a b b c c a+ + ≥

+ + +.

71. [Trần Xuân ðáng, T2/52, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )2 2 2 2 1 2a b c abc ab bc ca+ + + + ≥ + + .

72. [Trần Xuân ðáng, Bài toán thách ñấu thứ 45, TTT2/53] Cho , ,a b c là các số thực dương

thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Chứng minh rằng

3a b c+ + ≤ và 2 2 2bc ca aba b c

a b c+ + ≥ + + .

73. [Nguyễn Văn Thông, T3/53, TTT2] Cho , , , , , , ,a b c d x y z t là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ax by cz dt xyzt+ + + = . Chứng minh rằng

( )41 3 3 3 3 3 1

3x y z t a b a c b c b d c d+ + + ≥ + + + + + + + + + + − .

74. [Cao Minh Quang, T4/53, TTT2] Cho , ,x y z là các số nguyên thỏa mãn ñiều kiện

( ) ( ) ( )3 3 3

210x y y z z x− + − + − = .

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng S x y y z z x= − + − + − .

75. [Nguyễn Minh Hà, T5/53] Các tam giác ñều 1 1 1,ABC ABC cùng nội tiếp ñường tròn tâm O .

Các ñoạn thẳng 1 1 1 1,AC A B lần lượt cắt ñoạn thẳng BC tại ,M N . Các ñoạn thẳng 1 1 1 1,B A BC lần

lượt cắt ñoạn thẳng CA tại ,P Q . Các ñoạn thẳng 1 1 1 1,C B C A lần lượt cắt ñoạn thẳng AB tại ,R S .

Chứng minh rằng

2

3MNPQRS ABCS S≥ .

76. [Nguyễn Minh Hà, Bài toán thách ñấu thứ 46, TTT2/54] Cho tam giác ABC . Gọi , ,a b c lần lượt là ñộ dài các cạnh , ,BC CA AB và ,R r lần lượt là bán kính các ñường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )2 2 2

2

1

16 2

a b b c c ar

R R

− + − + −+ ≤ .

77. [Nguyễn Văn Tiến, T3/54, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 4, 5,a b≥ ≥

6c≥ và 2 2 2 90a b c+ + = . Chứng minh rằng

16a b c+ + ≥ .


9

78. [Nguyễn Văn Mạnh, T5/54, TTT2] Cho các ñiểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC sao cho DE song song với BC , ñồng thời DE tiếp xúc với ñường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng

8ABC IDES S≥ .

79. [Trần Tuấn Anh, T3/55, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2 2 2 2

1 1 13

2

a b c

b c c a a b abc

+ ++ + ≤ +

+ + +.

80. [Phạm Huy Hoàng, T5/55, TTT2] Cho lục giác ABCDEF có

,AB CD EF m= = = BC DE FA n= = = , , ,AD x BE y CF z= = = .

Chứng minh rằng

1 1 1 3

x y z m n+ + ≥

+.

81. [Nguyễn Nhật Linh, Bài toán thách ñấu lần thứ 48, TTT2/56] Cho ñiểm M nằm trong tam giác nhọn ABC . 1 2 3, ,R R R theo thứ tự là các bán kính ñường tròn ngoại tiếp của các tam giác

, ,MBC MCA MAB . Chứng minh rằng 1 2 3R R R MA MB MC+ + ≥ + + .

82. [Thái Nhật Phượng, T3/56, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực khác 0 thỏa mãn ñiều kiện 0x y z+ + = . Chứng minh rằng

( )

( )

32 2 2

23 3 34

x y z

x y z

+ +>

+ +.

83. [Hoàng Hải Dương, T5/56, TTT2] Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Gọi , Ar r lần lượt là bán kính ñường tròn nội tiếp, ñường tròn bàng tiếp góc A của

tam giác ABC . Chứng minh rằng 2 2

9. A

BM CN

r r

+≥ .

84. [Phạm Kim Hùng, T3/57, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

.3 2 3 2 3 2 6

ab bc ac a b c

a b c b c a c a b

+ ++ + ≤

+ + + + + +

85. [Phan Thị Mùi, T3/58, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 .P a b c b c a c a b= + + + + +

86. [Nguyễn Lái, T3/59, TTT2] Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn 2 2 23 2 1.a b c+ + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 4 5.

a b cS

bc ca ab= + +

87. [Cao Minh Quang, T3/60, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

3a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng

2 2 2

3.

21 1 1

a b c

a b c+ + ≤

+ + +


10

88. [Dương ðức Lâm, Bài toán thách ñấu thứ 53, TTT2/61] Cho , ,a b c là các số thực khác nhau

ñôi một và thuộc ñoạn [ ]0;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 1P

a b b c c a= + +

− − −.

89. [Cao Minh Quang, T3/61, TTT2] Cho ba số thực , , 1a b c≥ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )( )( )1 1 1

1

a b cP

abc

+ + +=

+.

90. [Phan Ngọc Danh, T04/62, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz= . Chứng minh rằng

( )3

3 3 3

6 6 6

1 1 1x y z

x y z+ + ≤ + +

+ + +.

91. [Nguyễn Minh Sang, T4/63, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1

4 4 4A

a b b c c a= + ++ + + + + +

.

92. [Nguyễn Ngọc Phiên, T5/63, TTT2] Cho tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là , ,a b c và diện tích S . Chứng minh rằng

41 1 1 3 3

2b c a c a b a b c S+ + ≥

+ − + − + −.

93. [Nguyễn Anh Dũng, T2/64, TTT2] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 24 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 3

2 2

x yA

x y

+=

+ +.

94. [Nguyễn Mạnh Dũng, T3/64, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng

9

4

x y z

x yz y zx z xy+ + ≤

+ + +.

95. [Lê Xuân ðại, T4/65, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương . Chứng minh rằng

2008 2008 2008

2008 2008 2008

a b c a b c

b c a b c a

+ + ++ + ≥ + +

+ + +.

96. [Nguyễn Minh Hà, Bài toán thách ñấu thứ 58, TTT2] Cho các ñiểm , ,M N P theo thứ tự

thuộc các cạnh , ,BC CA AB của tam giác ABC sao cho 1MNP BMP CMNS S S= = = . Chứng minh rằng

1ANPS ≤ .

97. [Hoàng Hải Dương, T4/66, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

, , 2x y z≥ . Chứng minh rằng

5 5 5 5 5 5

1 1 1 1

2 2 2 2x y xyz y z xyz z x xyz xyz+ + ≤

+ + + + + +.

98. [Lại Văn Xuân, T2/67, TTT2] So sánh hai số 20092008 và 20082009 .


11

99. [Trần Quốc Luật, T3/68, TTT2] Cho các số thực [ ], , 1;1a b c∈ − và thỏa mãn ñiều kiện

0a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 4P a b c= + + .

100. [Tạ Hoàng Thông, T4/68, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh rằng

3ab bc ca

c a b+ + ≥ .

101. [Nguyễn Duy Khánh, Bài toán thách ñấu thứ 61, TTT2/69] Cho tam giác ABC nhọn ngoại tiếp ñường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm và , ,a BC b CA c AB= = = . Chứng minh rằng

{ }2 max , ,OH a b b c c a≥ − − − .

102. [Tạ Thập, T4/69, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa ñiều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3M a b c abc= + + − .

103. [Phạm Hồng Lĩnh, T4/70, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực khác 1 thỏa mãn ñiều kiện 1xyz= . Chứng minh rằng

( ) ( )

2 2 2

2 2 21

( 1)1 1

x y z

zx y+ + ≥

−− −.

104. [Nguyễn Sơn Hà, T3/71, TTT2] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 1x y+ = .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 52S x y= + .

105. [Thái Nhật Phượng, T4/71, TTT2] Cho , , ,a b c d là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện , ,a b c d≥ . Chứng minh rằng

( )( )( ) ( )( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2ab d bc d ac d a d b d c d− − − ≥ − − − .

106. [Cao Văn Dũng, Bài toán thách ñấu thứ 64, TTT2/72] Cho , ,a b c là các số nguyên dương

thỏa mãn ñiều kiện 243a b c+ + = và 1 1 1a b c

b c a

+ + ++ + là một số nguyên. Gọi d là một ước

số chung của , ,a b c . Chứng minh rằng 27.d ≤

107. [Cao Minh Quang, T3/72, TTT2] Cho các số thực [ ], , 0;12x y z ∈ và thỏa mãn ñiều kiện

( ) ( ) ( )2 2 2

12 12 12xyz x y z= − − − . Tìm giá trị lớn nhất của A xyz= .

108. [Trần Tuấn Anh, T4/72, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 3 38

2 2 2

a b c

b c c a a b

+ + + ≥ + + +.

109. [Lương Văn Bá, T4/73, TTT2] Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 11...

1352 5 5 8 2006 2009A= + + + <

+ + +.

110. [Dương ðức Lâm, T4/74, TTT2] Cho , ,a b c là ba số thực dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1 1 1

2 2 2P

a a b b c c= + +

− − −.

111. [Thái Nhật Phượng, Bài toán thách ñấu thứ 67, TTT2/(75+76)] Cho , ,x y z là các số thực

thuộc ñoạn[ ]0;4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


12

( ) ( ) ( ).A xy x y yz y z zx z x= − + − + −

112. [Nguyễn ðăng Hiếu, T4/(75+76), TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

( )2 2 22 2 2

1 1 19 2 3

2 2 2a b c

a b c

+ + ≥ + + + + + +.

Chứng minh rằng 3a b c+ + ≤ .

113. [Hoàng Hải Dương, T6/(75 + 76), TTT2] Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ñường tròn ( )O ,

có AH là ñường cao. Gọi D là giao ñiểm của AO với BC . Chứng minh rằng

2HB DB AB

HC DC AC+ ≥ .

114. [Tạ Hoàng Thông, T3/77, TTT2] Cho0 .a b c< ≤ ≤ Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 22 2 2a b c a b c

b c a c a b b c a+ + ≤ + +

+ + +.

115. [Dương ðức Lâm, Bài toán thách ñấu thứ 69, TTT2/(78+79)] Cho , ,a b c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )4 4 4

.P a b c b c a c a b= − + − + −

116. [Kiều ðình Phú, T3/(78 – 79), TTT2] Cho ,x y là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 0x xy x y− + − ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 25 3M x y x= − + .

117. [Nguyễn Khánh Nguyên, T1/80, TTT2] Cho n là số tự nhiên, 1n> và d là một ước số của 4 22 2n n+ + sao cho 2 1.d n> + Chứng minh rằng 2 21 1.d n n> + + +

118. [ðoàn Thanh Sơn, T3/80, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

1

1 1 1 4

ab bc ca

c a b+ + ≤

+ + +.

119. [Tạ Hoàng Thông, Bài toán thách ñấu thứ 71, TTT2/81] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

( )( ) ( )42 2 29 .a b c ab bc ca a b c+ + + + ≥ + +

120. [Nguyễn Anh Dũng, T2/81, TTT2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) 6 1 3 2 2f x x x x= − + − + .

121. [Nguyễn Anh Khoa, T3/81, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

4 4 4 41 1 1 3

1 1 1 3 12a b c abc

+ + + + + ≥ + +.

122. [Nguyễn Anh Dũng, T2/82, TTT2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2A x y= + , trong ñó ,x y là những số nguyên dương thỏa mãn ñiều kiện A chia hết cho 2010 .

123. [Lê Xuân ðại, T3/82, TTT2] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 3x y x y+ = − . Chứng minh rằng 2 24 1x y+ < .

124. [Lại Quang Thọ, T3/83, TTT2] Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2x≥ và 3x y+ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


13

2 2 1 1P x y

x x y= + + +

+.

125. [Lại Quang Thọ, Bài toán thách ñấu thứ 74, TTT2/84] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Tím giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1

1 1 1 9

a b cP

a b c abc= + + +

+ + +.

126. [Lê Xuân ðại, T3/84, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa ñiều kiện 4 4 4 3a b c+ + = . Chứng minh rằng

1 1 11

4 4 4ab bc ca+ + ≤

− − −.

127. [Thái Nhật Phượng, T3/85, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1a b c b a c c b a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + .

128. [Vũ Hồng Phong, 13SC, Cuộc thi 10 năm Toán Tuổi Thơ 2, TTT2/85] Cho , ,a b c là các

số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [ ] [ ] [ ]P a b b c c a= + + + + + , trong ñó kí hiệu [ ]x (ñọc phần nguyên của x ) là số nguyên lớn nhất

không lớn hơn x .

129. [Dương ðức Lâm, T3/86, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.2 2 2

a b cP

ab c bc a ca b= + +

+ + +

130. [Thái Nhật Phương, 17SC, Cuộc thi 10 năm Toán Tuổi Thơ 2, TTT2/(87+88)] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 3.x y z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 21 1 1 1.

x y zA

x y z x y z

+ + += + + −

+ +

131. [Nguyễn Văn Huyện, Bài toán thách ñấu thứ 77/(87+88), TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 3.a b c+ + = Chứng minh rằng

( )2 2 22 2 2

1 1 14 .a b c a b c

a b c

+ + ≥ + + − − −

132. [Nguyễn ðức Tấn, T3/(87+88), TTT2] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 3 2010.x y z+ + + + + ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( )1 2 .A xy y z z x= + − + −

133. [Nguyễn Văn Dương, T1/89, TTT2] Cho biểu thức

3 3 32 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3

2 2 2...

2. 1 2 .1 1. 2 3. 2 3 .2 2. 3 1728. 1727 1728 .1727 1727. 1728A= + + +

+ + + + + +.

So sánh A với 11

7.

134. [Nguyễn Anh Dũng, T3/89,TTT2] Cho x là một số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


14

3 21 1

3 1P x xx x

= + − + + .

135. [Lại Quang Thọ, Bài toán thách ñấu thứ 79, TTT2/(90+91)] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2.

a b ca b cP

b c c a a b ab bc ca

+ += + + +

+ + + + +

136. [Tạ Hoàng Thông, T3/(90+91), TTT2] Cho các số thực , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng

( )2010 2010 20106029 2010abc a b c+ ≥ + + .

137. [Nguyễn Văn ðĩnh, T4/92, TTT2] Cho ,m n là các hằng số và ,a b là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 ,0 ,m n m a b m a b n≤ ≤ < ≤ ≤ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2S a b= + .

138. [Nguyễn Anh Dũng, T3/93, TTT2] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 5 4y x x= + + − .

139. [Nguyễn ðễ, T4/93, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a c≠ và

a b c c b a+ + = + + . Chứng minh rằng 1

40ac< .

140. [Nguyễn Văn Tiến, T4/94, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 3 2a b b c c a+ + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2a b c

Pb c c a a b

= + ++ + +

.

141. [Thái Nhật Phượng, T4/95, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 9.

2

abcP a b c= + + +

142. [Nguyễn Khánh Nguyên, T3/96, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c≥ ≥ và 3 4 0.a b c− + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

.a b b c c a

Mc a b

− − −= − −

143. [Tô Minh Phương, T6/96, TTT2] Cho ñường tròn tâm O có hai ñường kính ,AB CD vuông

góc với nhau. E là một ñiểm tùy ý trên cung nhỏ BD ( ),E B E D≠ ≠ . AE cắt CD tại M ,CE cắt

AB tại .N Chứng minh rằng

2 2MD NB

MO NO+ ≥ .

144. [Vũ Hồng Phong, Thách ðấu Thứ 85, TTT2/97] Cho ,a b là các số thực thỏa mãn ñiều

kiện 0 a b≤ ≤ và 3 5 2.a b+ = Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 3 2 .P a b= +

145. [Phạm Hồng Lĩnh, T4/97, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

8 5

( ) 2

a b b c c a abc

c a a b b c c aa b b c

+ + ++ + + ≥

+ + + ++ +.


15

146. [Nguyễn Khánh Toàn, T4/98, TTT2] Cho các số thực , , 1a b c≥ ñồng thời thỏa mãn ñiều

kiện 2 2 2 2 16a b c d+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1 1.P a b c d= − + − + − + −

147. [Nguyễn ðức Tấn, Bài toán thách ñấu thứ 87, TTT2/(99+100)] Cho , ,x y z là các số

nguyên dương thỏa mãn ( )( )( ) .x y y z z x x y z− − − = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.A x y z= + +

148. [Kiều ðình Minh, T4/(99+100), TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1.abc= Chứng minh rằng

( ) ( )2 2 2 1 1 12 4 7 3.a b c a b c

a b c

+ + + + + ≥ + + −

149. [Lại Quang Thọ, T4/101, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

33

a b c b c a a b cT

b c a a b c abc

+ += + + + + + − .

150. [Nguyễn ðễ, T4/(102+103), TTT2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )( ) ( )( )6 2 3 1 .A x x x x= − + − − +

151. [Dương ðức Lâm, T4/104, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

23

2

a b c a b b c c a

b c a c a b

+ + + + + ≥ + + .

152. [Thái Nhật Phượng, T4/105, TTT2] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

a b c b c a c a b a b c

b c a c a b a b c a b c

+ − + − + −+ + ≥ + +

+ − + − + −.

153. [Nguyễn Ngọc Hân, T4/107, TTT2] Cho ,x y và z là các số hữu tỉ dương thỏa mãn ñiều

kiện 1 1 1

, ,x y zyz zx xy

+ + + là những số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 3A x y z= + + .

154. [Thái Nhật Phượng, Bài toán thách ñấu thứ 94, TTT2/108] Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2a b ab+ ≥ . Chứng minh rằng

( ) ( )

3

21 1

ab a b

a b b b a a a b+ + ≥

+ + +.

155. [Lại Quang Thọ, T4/108, TTT2] Cho 0x y> ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

4 4

4 4 2 2 2

x y xy x yP

x y x y x y

+ += − +

− − −.

156. [Lại Quang Thọ, T4/109, TTT2] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

3 2

xyzA

xy yz zx

−=− − +

.

157. [ðoàn Cát Nhơn, Bài toán thách ñấu thứ 96, TTT2/110] Cho ,x y là các số thực thỏa ñiều

kiện 2 2 1x y+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


16

( ) ( ) ( )5 5 3 316 20 5A x y x y x y= + − + + + .

158. [Nguyễn ðức Tấn, T4/110, TTT2] Cho , , ,a b c d là các số thực dương thoả mãn ñiều kiện

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 11

1 1 1 1a b c d+ + + ≤

+ + + +.

Chứng minh rằng 1abcd ≥ .

159. [Nguyễn ðức Tấn, T4/(111+112), TTT2] Cho ,x y là các số thực thoả mãn 0 1y x≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

x y y xA

x y xy

−=− − +

.

160. [Dương ðức Lâm, Bài toán thách ñấu thứ 98, TTT2/(113+114)] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( )9

4a b c abc

b c a a b c ab bc ca+ + + ≥

+ + + +.

161. [Nguyễn ðức Tấn, T4/115, TTT2] Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2A

x y z xy yz zx= −+ + + +

.

162. [Cao Minh Quang, T4/116, TTT2] Cho ,a b là hai số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 4a b+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 31 1

a bP

b a= +

+ +.

163. [Cao Minh Quang, Bài toán thách ñấu thứ 101, TTT2/117] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )

4 4 4a b cP

abc a b c

+ +=

+ +.

164. [Dương ðức Lâm, T4/117, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )2

2 2 2

2 2 2 a b ca b c

a b b c c a a b c

+ ++ + ≥

+ + + + +.

165. [Dương ðức Lâm, Bài toán thách ñấu thứ 102, TTT2/118] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( )( )

214

4a b c abc

b c c a a b a b b c c a

+ + + ≥ + + + + + +.

166. [Lại Quang Thọ, T4/118, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3ab bc ca+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

1 3 1 3 1 3

1 1 1

a b cP

b c a

+ + += + ++ + +

.

167. [Hồ ðức Khánh, Bài toán thách ñấu thứ 104, TTT2/120] Cho , ,a b c là các số thực dương

thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 3a b c+ + = . Chứng minh rằng


17

2 2 2

1

5 5 5 2

a b c

b c a+ + ≤

+ + +.

168. [Dương ðức Lâm, T4/120, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 0 1a b c≤ ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) ( )2 2 2 1P a b c b c b c c= − + − + − .

169. [Thái Nhật Phượng, Bài toán thách ñấu thứ 106, TTT2/122] , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 6a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2

4 4 4

a ab b b bc c c ca aS

bc ca ab

+ + + + + += + +

+ + +.

170. [Dương ðức Lâm, T4/122, TTT2] , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )( )( )2 2 2 2 2 2P a ab b b bc c c ca a= − + − + − + .

171. [Hoàng ðức Nguyên, T4/(123+124), TTT2] Cho , ,x y z là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn ñiều kiện 20xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng

( )( )( )3

1 1 13

x y zx y z

≥ − − −+ + −

.

172. [Bùi Hải Quang, Bài toán thách ñấu thứ 108, TTT2/(125+126)] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 0 , , 1x y z< < và 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 21 1 1P x y z= − + − + − .

173. [Nguyễn Văn Tuấn, T1/127, TTT2] Cho

1 1 1 11 ...

2 3 4 4026A= + + + + + và

1 1 1 11 ...

3 5 7 4025B= + + + + + .

So sánh A

B với

201312014

.

174. [Cao Xuân Nam, T4/128, TTT2] Cho , ,a b c là các số thức dương. Chứng minh rằng

3 3 3

1 1 1 1 1 19 6

2 2 2a b c a b b c c a

+ + ≥ + + − + + +.

175. [Cao Minh Quang, T4/129, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

ab bc caP

b c c a a b= + +

+ + +.

176. [Ngô Văn Thái, T5/130, TTT2] Cho ,a b là hai số thực thỏa mãn ñiều kiện a b ab+ = và

5 1,

2a b

−> . Chứng minh rằng

2 2

1 1 2

1 1 5a a b b+ ≥

+ − + −.

177. [Tống Thành Vũ, T2/131, TTT2] So sánh

1 1 1 11 ...

1008 3 5 2013A

= + + + + và

1 1 1 1 1...

1007 2 4 6 2014B

= + + + + .


18

178. [Hồ ðức Khánh, T4/131, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực thuộc ñoạn [ ]3;5 . Chứng minh

rằng

1 1 1ab bc ca a b c+ + + + + > + + .

179. [Dương ðức Lâm, T4/132, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

2 2 2a b c

a b b c c a+ + = + +

+ + +.

Chứng minh rằng

3ab bc ca+ + ≤ .

180. [Trần Xuân ðáng, T4/133, TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

1 1 1P

a b c= + +

+ + +.

181. [Lại Quang Thọ, Bài toán thách ñấu thứ 116, TTT2/134] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 1 1

2 3 6 2 3 6 2 3 6P

a b c b c a c a b= + +

+ + + + + + + + +.

182. [Nguyễn Lái, T4/134, TTT2] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn ñiều kiện 2c b abc+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 4 5T

b c a c a b a b c= + ++ − + − + −

.

183. [Nguyễn Văn Huyện, T4/(135+136), TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )22 2 2 9abc

a b c c aa b c

+ + ≥ + −+ +

.

184. [Tống Thành Vũ, T1/(137+138), TTT2] So sánh A

B với 3 biết rằng

2014 2013 2012 21 2 3 4 ... 2014 2015A= + + + + + + và 2013 2012 2011 21 2 3 4 ... 2013 2014B= + + + + + + .

185. [Cao Minh Quang, T4/(137+138), TTT2] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

1 1 11

2 1 2 1 2 1a b c+ + ≥

+ + +.

Chứng minh rằng

1 1 1 3

6 1 6 1 6 1 7a b c+ + ≥

+ + +.

186. [T3/39, VLTT] Tìm số thực k nhỏ nhất ñể với mọi tam giác ABC ta ñều có

( )a b b c c am m m m m m k ab bc ca+ + < + + ,

trong ñó , ,a BC b CA c AB= = = và , ,a b cm m m lần lượt là ñộ dài các ñường trung tuyến dựng từ

, ,A B C .

187. [T1/50, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


19

2 2 22 2 2

a b cP

a b c= + +

+ + +.

188. [T3/50,VLTT] Cho tam giác ABC , gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp bán kính r , , ,A B Cl l l lần

lượt là chiều dài của các ñường phân giác của tam giác ABC . Chứng minh rằng

1 . . 8

4 . . 27A B C

IA IB IC

l l l< ≤ .

189. [T1/56, VLTT] Cho 02

xπ

< < . Chứng minh rằng ( ) ( )sin cos

tan cot 2x x

x x+ ≥ .

190. [T1/64, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng

3

2

a bc b ac c ab

a bc b ac c ab

− − −+ + ≤

+ + +.

191. [T1/67, VLTT] Cho 1 20 ... nx x x≤ ≤ ≤ ≤ và 1n nx x+ = . Chứng minh rằng

1

1 1

01

nk k

i k k

x x

x x

+

= +

−≥

+∑ .

192. [T1/68, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa. Chứng minh rằng

3 3 3a b ca b c

bc ca ab+ + ≥ + + .

193. [T1/69, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )4 4 4 4a b b c c d d a abcd a b c d+ + + ≥ + + + .

194. [T1/70, VLTT] Cho n là một số tự nhiên, 2n≥ . Chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1 11 ... ...

1 3 2 1 2 4 2n n n n

+ + + > + + + + −.

195. [T1/71, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng

2 2 2 4

27x y y z z x+ + ≤ .

196. [T1/72, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 27

8x y z+ + ≥ . Chứng

minh rằng

3

x y zxyz

+ +≤ .

197. [T2/73, VLTT] Cho tam thức bậc hai ( ) 2 2f x x ax= − + . Biết rằng với x bất kỳ luôn tìm

ñược y sao cho ( ) ( )f y y f x+ = . Tìm giá trị lớn có thể của a ?

198. [T1/76, VLTT] Cho { }1 2, ,..., nS a a a= là tập gồm các số nguyên dương lẻ khác nhau sao cho

các hiệu ( )1i ja a i j n− ≤ < ≤ là khác nhau. Chứng minh rằng

( )2

1

12

3

n

i

i

a n n=

≥ +∑ .

199. [T1/78, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm. Chứng minh rằng


20

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x y x z y y z y x z z x z y− − + − − + − − ≥ .

Từ ñó, chứng minh rằng với mọi số thực , ,a b c , ta có

( )6 6 6 2 2 2 3 3 3 3 3 33 2a b c a b c a b b c c a+ + + ≥ + + (1).

200. [T1/79, VLTT] Tìm giá trị nhỏ nhất của 12 5m nP= − với ,m n là các số nguyên dương.

201. [T2/79, VLTT] Cho 1 2, ,..., nx x x e≥ . Chứng minh rằng

( )11 2 2

11 2

... ...

1 2 1 1 2 1... 2 ... 1n nn n

n

x xx x x x x

xx x

n n nx x x x x n x nx−

−

++ + + + +

− −+ + + ≥ + + + − + .

202. [T1/80,VLTT] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1xy yz zx+ + =− . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2 2 25 8P x y z= + + .

203. [T1/81, VLTT] Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì

1 3 5 2 12 2 2 ... 2 !

mm

m m m m

− − − − − ≤ .

204. [T3/87, VLTT] Cho tam giác ABC , P là một ñiểm nằm trong tam giác. Hạ , ,PD PE PF lần lượt vuông góc với các cạnh , ,BC AC AB ( , ,D E F nằm trên các cạnh tương ứng ñó). Chứng minh rằng

2 2 22 2 2

4

AB BC CAAF BD CE

+ +≤ + + .


( ) ( ) ( )2 2 2

31

3 4

a b b c c aa b c

abc

+ + ++ +≤ .

206. [T2/90, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + .

207. [T2/96, VLTT] Cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng

4 4 4 4 4 41 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + .

208. [T1/99, VLTT] Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z>− . Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2

1 1 12

1 1 1

x y z

y z z x x y

+ + ++ + ≥

+ + + + + +.

209. [T1/100, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng

1 1 13

xy yz zx

x y y z z x x y y z z x+ + ≥ + + +

+ + + + + +.

210. [T2/101, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng

( ) ( ) ( )5 5 51 1 1 54 3a bc b ca c ab− + − + − ≥ .

211. [T1/102, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + .

Chứng minh rằng


21

( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + .

212. [T1/104, VLTT] Cho x là một số thực thỏa mãn ñiều kiện 2

09

xπ

< < . Chứng minh rằng

( )sin

sin cosx

x x< .

213. [T2/104, VLTT] Cho ( ], , 0;1x y z ∈ . Chứng minh rằng

3

1 1 1

x y z

y zx z xy x yz x y z+ + ≤

+ + + + + + + +.

214. [T1/105, VLTT] Cho ( ), , 0;1a b c∈ . Chứng minh rằng

( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < .

215. [T1/106, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz= . Chứng minh

rằng nếu 1 1 1

x y zx y z+ + ≥ + + thì

3 3 33 3 3

1 1 1x y z

x y z+ + ≥ + + .


( ) ( ) ( )1 1 1 3

1 1 1 1a b b c c a abc+ + ≥

+ + + +.

217. [T2/108, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

( )( )( ) 1a b b c c a+ + + = .

Chứng minh rằng

3

4ab bc ca+ + ≤ .


( )2 2 2

2 2 23a b c

a b cb c a+ + ≥ + + .

219. [T2/110, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng

1 1 1 273

1 1 1 8xy yz zx≤ + + ≤− − −

.

220. [T2/111, VLTT] Cho x là nghiệm khác 0 của phương trình 2 0ax bx c+ + = , trong ñó , ,a b c là các số nguyên thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + > . Chứng minh rằng

0

1

1x

a b c≥+ + −

.

221. [T2/114, VLTT] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

3b c a c a b a b c

b c a c a b a b c

+ − + − + −+ + ≤

+ − + − + −.


22

222. [T2/115, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( )3 1ab bc ca+ + = .

Chứng minh rằng

2 2 2

1

1 1 1

a b c

a bc b ca c ab a b c+ + ≥

− + − + − + + +.

223. [T1/116, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

4x y z xyz+ + + = .

Chứng minh rằng

x y z xy yz zx+ + ≥ + + (1).

224. [T1/117, VLTT] Cho 1, 2a b> > là các số nguyên dương. Chứng minh rằng

( )1 1ba b a+ ≥ + .


225. [T2/118, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1

1x y z+ + = .

Chứng minh rằng

x yz y zx z xy xyz x y z+ + + + + ≥ + + + .

226. [T1/119, VLTT] Cho , ,x y z là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

1 1 1

4 9 4 9 4 9P

x x y y z z= + +

− + − + − +.

227. [T2/120, VLTT] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

1 2

1 1 1...

n

nx x x+ + + = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3232

1 ...2 3

n

nx xxA x

n= + + + + .


( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 1 27

2b a b c b c a c a a b c+ + ≥

+ + + + +.


3

2

ab bc ca

ab c bc a ca b+ + ≤

+ + +.

230. [T3/123, VLTT] Cho tứ giác ABCD . Hai ñường chéo AC và BD cắt nhau tại E . Gọi 1 2,S S

và S lần lượt là diện tích của các giác ,ABE CDE và tứ giác ABCD . Chứng minh rằng

1 2S S S+ ≤ .


231. [T1/124, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng

( )22 2 2 3

4a b c ab bc ca a b+ + − − − ≥ − .


23

232. [T1/127, VLTT] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2a b c abc+ + + = . Chứng minh rằng

21 1 1

a b c

b c a+ + ≥

+ + +.

233. [T1/128, VLTT] Cho , , ,a b c d là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện

6ab ac ad bc bd cd+ + + + + = .

Chứng minh rằng

2 2 2 2

1 1 1 12

1 1 1 1a b c d+ + + ≥

+ + + +.


{ }1

min , ,4

a ab b bc c ca− − − ≤ và { }2

max , ,9

a ab b bc c ca− − − ≥ .

… Sẽ tiếp tục cập nhật

Tuyển Chọn 234 BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC TỪ TẠP … BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC...

Documents

Transcript of Tuyển Chọn 234 BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC TỪ TẠP … BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC...