BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH · PDF fileTrần Sĩ Tùng ...

WWW.TOANTRUNGHOC.COM

BÀI TẬP ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNGIV

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Trần Sĩ Tùng

http://www.toantrunghoc.com/


Bất đẳng thức – Bất phương trình www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng

www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán ,... Trang 30

1. Tính chất

2. Một số bất đẳng thức thông dụng

a) a a20, . a b ab

2 22 .

b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b 0, ta có: a b

ab

2

. Dấu "=" xảy ra a = b.

+ Với a, b, c 0, ta có: a b c

abc3

3

. Dấu "=" xảy ra a = b = c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0.

+ a b c a b ; b c a b c ; c a b c a .

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

Với a, b, x, y R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2

( ) ( )( ) . Dấu "=" xảy ra ay = bx.

CHƯƠNG IV

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. BẤT ĐẲNG THỨC

Điều kiện Nội dung

a 0 a bc (2b)

a 0, c > 0 a 0 a 0

x a a x a

x ax a

x a

a b a b a b

Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bất đẳng thức – Bất phương trình


VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản

Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.

Một số BĐT thường dùng:

+ A2 0 + A B2 2

0 + A B. 0 với A, B 0. + A B AB2 2

2

Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có

thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c ab bc ca2 2 2 b) a b ab a b

2 21

c) a b c a b c2 2 2

3 2( ) d) a b c ab bc ca2 2 2

2( )

e) a b c a ab a c4 4 2 2

1 2 ( 1) f) a

b c ab ac bc

2

2 22

4

g) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6 h) a b c d e a b c d e

2 2 2 2 2( )

i) a b c ab bc ca

1 1 1 1 1 1 với a, b, c > 0

k) a b c ab bc ca với a, b, c 0

HD: a) a b b c c a2 2 2

( ) ( ) ( ) 0 b) a b a b2 2 2

( ) ( 1) ( 1) 0

c) a b c2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) 0 d) a b c2

( ) 0

e) a b a c a2 2 2 2 2( ) ( ) ( 1) 0 f)

ab c

2

( ) 0

2

g) a bc b ca c ab2 2 2

( ) ( ) ( ) 0

h) a a a ab c d e

2 2 2 2

0

2 2 2 2

i) a b b c c a

2 2 2

1 1 1 1 1 10

k) a b b c c a

2 2 2

0

Bài 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b a b

33 3

2 2

; với a, b 0 b) a b a b ab4 4 3 3

c) a a43 4 d) a b c abc

3 3 33 , với a, b, c > 0.

e) a b

a b

b a

6 6

4 4

2 2

; với a, b 0. f) aba b

2 2

1 1 2

11 1

; với ab 1.

g) a

a

2

2

32

2

h) a b a b a b a b5 5 4 4 2 2( )( ) ( )( ) ; với ab > 0.

HD: a) a b a b23

( )( ) 0

8

b) a b a b3 3( )( ) 0

c) a a a2 2

( 1) ( 2 3) 0

d) Sử dụng hằng đẳng thức a b a b a b ab3 3 3 2 2

( ) 3 3 .

BĐT a b c a b c ab bc ca2 2 2

( ) ( ) 0 .

e) a b a a b b2 2 2 4 2 2 4( ) ( ) 0 f)

b a ab

ab a b

2

2 2

( ) ( 1)0

(1 )(1 )(1 )

g) a2 2( 1) 0 h) ab a b a b

3 3( )( ) 0 .

Bài 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a b ab2 2

2 (1). Áp dụng chứng minh các bất

đảng thức sau:

a) a b c d abcd4 4 4 4

4 b) a b c abc2 2 2( 1)( 1)( 1) 8

c) a b c d abcd2 2 2 2( 4)( 4)( 4)( 4) 256

HD: a) a b a b c d c d4 4 2 2 2 2 2 2

2 ; 2 ; a b c d abcd2 2 2 2

2

b) a a b b c c2 2 21 2 ; 1 2 ; 1 2

c) a a b b c c d d2 2 2 24 4 ; 4 4 ; 4 4 ; 4 4

Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a

b

1 thì a a c

b b c

(1). Áp dụng chứng

minh các bất đảng thức sau:

a) a b c

a b b c c a

2

b) a b c d

a b c b c d c d a d a b

1 2

c) a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

2 3

HD: BĐT (1) (a – b)c < 0.

a) Sử dụng (1), ta được: a a c

a b a b c

, b b a

b c a b c

, c c b

c a a b c

.

Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a a

a b c d a b c a c

Tương tự, b b b

a b c d b c d b d

c c c

a b c d c d a a c

d d d

a b c d d a b d b

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.

Bài 5. Cho a, b, c R. Chứng minh bất đẳng thức: a b c ab bc ca2 2 2 (1). Áp dụng

chứng minh các bất đảng thức sau:

a) a b c a b c2 2 2 2

( ) 3( ) b) a b c a b c

22 2 2

3 3

c) a b c ab bc ca2

( ) 3( ) d) a b c abc a b c4 4 4

( )



e) a b c ab bc ca

3 3

với a,b,c>0. f) a b c abc

4 4 4 nếu a b c 1

HD: a b b c c a2 2 2

( ) ( ) ( ) 0 .

a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)

d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f) Sử dụng d)

Bài 6. Cho a, b 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a ab a b3 3 2 2

( ) (1). Áp

dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) abca b abc b c abc c a abc

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1

; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a3 3 3 3 3 3

1 1 11

1 1 1

; với a, b, c > 0 và abc = 1.

c) a b b c c a

1 1 11

1 1 1

; với a, b, c > 0 và abc = 1.

d) a b b c c a a b c3 3 3 3 3 33 3 3

4( ) 4( ) 4( ) 2( ) ; với a, b, c 0 .

e*) A B C

A B C3 3 3

3 3 3sin sin sin cos cos cos

2 2 2

; với ABC là một tam giác.

HD: (1) a b a b2 2( )( ) 0 .

a) Từ (1) a b abc ab a b c3 3

( ) ab a b ca b abc

3 3

1 1

( )

.

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.

b, c) Sử dụng a).

d) Từ (1) a b a b ab3 3 2 2

3( ) 3( ) a b a b3 3 3

4( ) ( ) (2).

Từ đó: VT a b b c c a a b c( ) ( ) ( ) 2( ) .

e) Ta có: C A B C

A Bsin sin 2cos .cos 2cos

2 2 2

.

Sử dụng (2) ta được: a b a b3 33

4( ) .

C C

A B A B3 3 3 3 3sin sin 4(sin sin ) 4.2.cos 2 cos

2 2

Tương tự, A

B C3 3

3sin sin 2 cos

2

, B

C A33

3sin sin 2 cos

2


Bài 7. Cho a, b, x, y R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

a x b y a b x y2 2 2 2 2 2

( ) ( ) (1)

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) Cho a, b 0 thoả a b 1 . Chứng minh: a b2 2

1 1 5 .

b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b

b a

2 2

2 2

1 1 .

c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1 . Chứng minh:

x y z

x y z

2 2 2

2 2 2

1 1 182 .

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3 . Tìm GTNN của biểu thức:

P = x y z2 2 2

223 223 223 .

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) a b x y ab xy2 2 2 2( )( ) (*)

Nếu ab xy 0 thì (*) hiển nhiên đúng.

Nếu ab xy 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) bx ay2

( ) 0 (đúng).

a) Sử dụng (1). Ta có: a b a b2 2 2 2

1 1 (1 1) ( ) 5 .

b) Sử dụng (1). P a b a b

a b a b

2 2

2 21 1 4( ) ( ) 17

Chú ý: a b a b

1 1 4

(với a, b > 0).

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

x y z x y z

x y zx y z

2

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1( )

x y z

x y z

2

2 9( ) 82

.

Chú ý: x y z x y z

1 1 1 9

(với x, y, z > 0).

d) Tương tự câu c). Ta có: P x y z

22

3 223 ( ) 2010 .

Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

a) ab bc ca a b c ab bc ca2 2 2+ <2( )

b) abc a b c b c a a c b( )( )( )

c) a b b c c a a b c2 2 2 2 2 2 4 4 42 2 2 0

d) a b c b c a c a b a b c2 2 2 3 3 3

( ) ( ) ( )

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a b bc c2 2 2

2 .


b) Ta có: a a b c a a b c a b c2 2 2 2

( ) ( )( ) .


c) a b c a b c b c a c a b( )( )( )( ) 0 .

d) a b c b c a c a b( )( )( ) 0 .

Bài 9.

a)



VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si

1. Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b 0, ta có: a b

ab

2

. Dấu "=" xảy ra a = b.

+ Với a, b, c 0, ta có: a b c

abc3

3

. Dấu "=" xảy ra a = b = c.

2. Hệ quả: + a b

ab

2

2

+

a b cabc

3

3

3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:

+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.

+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.

Bài 1. Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b b c c a abc( )( )( ) 8 b) a b c a b c abc2 2 2

( )( ) 9

c) a b c abc

33

(1 )(1 )(1 ) 1 d) bc ca ab

a b c

a b c

; với a, b, c > 0.

e) a b b c c a abc2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6

f) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

; với a, b, c > 0.

g) a b c

b c c a a b

3

2

; với a, b, c > 0.

HD: a) a b ab b c bc c a ca2 ; 2 ; 2 đpcm.

b) a b c abc a b c a b c32 2 2 2 2 23

3 ; 3 đpcm.

c) a b c a b c ab bc ca abc(1 )(1 )(1 ) 1

a b c abc33 ab bc ca a b c

3 2 2 23

a b c abc a b c abc abc

33 2 2 23 3

(1 )(1 )(1 ) 1 3 3 1

d) bc ca abc

c

a b ab

2

2 2 , ca ab a bc

a

b c bc

2

2 2 , ab bc ab c

b

c a ac

2

2 2 đpcm

e) VT a b b c c a2 2 2

2( ) a b c abc3 3 3 36 6 .

f) Vì a b ab2 nên ab ab ab

a b ab 22

. Tương tự: bc bc ca ca

b c c a

;

2 2

.

ab bc ca ab bc ca a b c

a b b c c a 2 2

(vì ab bc ca a b c )

g) VT = a b c

b c c a a b

1 1 1 3

= a b b c c a

b c c a a b

1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3

2

9 33

2 2

.

Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.



Khi đó, VT =

x y z x z y

y x x z y z

13

2

1 3(2 2 2 3)

2 2

.

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b c a b c

a b c

3 3 3 21 1 1( ) ( )

b) a b c a b c a b c3 3 3 2 2 2

3( ) ( )( ) c) a b c a b c3 3 3 3

9( ) ( )

HD: a) VT = a b b c c a

a b c

b a c b a c

3 3 3 3 3 3

2 2 2

.

Chú ý: a b

a b ab

b a

3 3

2 22 2 . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

b) a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 2

2( ) .

Chú ý: a b ab a b3 3

( ) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

c) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 2

9( ) 3( )( ) .

Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 2

3( ) ( ) đpcm.

Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) a b c a b b c c a

1 1 1 1 1 12

; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a a b c a b c a b c

1 1 1 1 1 12

2 2 2

; với a, b, c > 0.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c

1 1 14 . Chứng minh:

a b c a b c a b c

1 1 11

2 2 2

d) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

; với a, b, c > 0.

e) Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12 . Chứng minh: xy yz xz

x y y z z x

2 8 46

2 2 4 4

.

f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

1 1 1 1 1 12

.

HD: (1) a b

a b

1 1( ) 4

. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a

1 1 4 1 1 4 1 1 4; ;

.


b) Tương tự câu a).

c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c a b c a b c a b c

1 1 1 1 1 14

2 2 2

.

d) Theo (1): a b a b

1 1 1 1

4

aba b

a b

1( )

4

.

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm.

f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.



Áp dụng (1) ta được:

p a p b p a p b c

1 1 4 4

( ) ( )

.

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.

Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh a b c a b c

1 1 1 9

(1). Áp dụng chứng minh các

BĐT sau:

a) a b c a b c

a b b c c a

2 2 2 1 1 1 3( ) ( )

2

.

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z

x y z1 1 1

.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức:

P = a bc b ac c ab2 2 2

1 1 1

2 2 2

.

d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Chứng minh: ab bc caa b c

2 2 2

1 1 1 130

.

e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C

1 1 1 6

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5

.

HD: Ta có: (1) a b c

a b c

1 1 1( ) 9

. Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c

1 1 1 9

2( )

.

VT a b c a b c

a b c

a b c a b c

2 2 2 2 2 29( ) 3 3( ) 3

. ( )

2( ) 2 2

Chú ý: a b c a b c2 2 2 2

( ) 3( ) .

b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:

P = x y z

x y z

1 1 1 1 1 1

1 1 1

=

x y z

1 1 13

1 1 1

Ta có: x y z x y z

1 1 1 9 9

1 1 1 3 4

. Suy ra: P 9 3

3

4 4

.

Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:

Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN

của biểu thức: P = x y z

kx ky kz1 1 1

.

c) Ta có: P a bc b ca c ab a b c2 2 2 2

9 99

2 2 2 ( )

.

d) VT ab bc caa b c

2 2 2

1 9

= ab bc ca ab bc ca ab bc caa b c

2 2 2

1 1 1 7

ab bc caa b c

2

9 7 9 730

11( )

3



Chú ý: ab bc ca a b c

21 1( )

3 3

.

e) Áp dụng (1): A B C A B C

1 1 1 9

2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2

9 6

3 56

2

.

Chú ý: A B C3

cos2 cos2 cos2

2

.

Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) x

y x

x

18; 0

2

. b) x

y x

x

2; 1

2 1

.

c) x

y x

x

3 1; 1

2 1

. d) x

y x

x

5 1;

3 2 1 2

e) x

y x

x x

5; 0 1

1

f) x

y x

x

3

2

1; 0

g) x x

y x

x

24 4

; 0

h) y x x

x

2

3

2; 0

HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3

2

khi x = 3

c) Miny = 3

6

2

khi x = 61

3

d) Miny = 30 1

3

khi x =

30 1

2

e) Miny = 2 5 5 khi x5 5

4

f) Miny =

3

3

4

khi x = 3 2

g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5

5

27

khi x = 5 3

Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) y x x x( 3)(5 ); 3 5 b) y x x x(6 ); 0 6

c) y x x x5

( 3)(5 2 ); 3

2

d) y x x x5

(2 5)(5 ); 5

2

e) y x x x1 5

(6 3)(5 2 );

2 2

f) x

y x

x2

; 0

2

g)

xy

x

2

322

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3

c) Maxy = 121

8

khi x = 1

4

d) Maxy = 625

8

khi x = 5

4

e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1

2 2

khi x = 2 ( x x2

2 2 2 )

g) Ta có: x x x32 2 2

2 1 1 3 x x2 3 2( 2) 27

x

x

2

2 3

1

27( 2)



Maxy =

1

27

khi x = 1.

Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki

1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)

Với a, b, x, y R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2

( ) ( )( ) . Dấu "=" xảy ra ay = bx.

Với a, b, c, x, y, z R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )( )

Hệ quả:

a b a b2 2 2

( ) 2( ) a b c a b c2 2 2 2

( ) 3( )

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a b2 23 4 7 , với a b3 4 7 b) a b

2 2 7353 5

47

, với a b2 3 7

c) a b2 2 24647 11

137

, với a b3 5 8 d) a b2 2 4

5

, với a b2 2

e) a b2 22 3 5 , với a b2 3 5 f) x y x y

2 2 9( 2 1) (2 4 5)

5

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 .

b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2 3, , 3 , 5

3 5

.

c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3 5, , 7 , 11

7 11

.

d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , .

e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 .

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT a b2 2 9

5

.

Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.


a) a b2 2 1

2

, với a b 1 . b) a b3 3 1

4

, với a b 1 .

c) a b4 4 1

8

, với a b 1 . d) a b4 4

2 , với a b 2 .

HD: a) a b a b2 2 2 2 2

1 (1 1 ) (1 1 )( ) đpcm.

b) a b b a b a a a a3 3 2 3

1 1 (1 ) 1 3 3

b a a

2

3 3 1 1 13

2 4 4

.

c) a b a b2 2 4 4 2 2 2 1(1 1 )( ) ( )

4

đpcm.

d) a b a b2 2 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4 a b

2 22 .

a b a b2 2 4 4 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4 a b

4 42

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



P x y z1 1 1 .

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 ) 6

Dấu "=" xảy ra x y z1 1 1 x y z1

3

.

Vậy Max P = 6 khi x y z1

3

.

Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 . Chứng minh rằng:

x y z

x y z

2 2 2

2 2 2

1 1 182

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x x

xx

2

2 2 2

2

1 9(1 9 )

x x

xx

2

2

1 1 9

82

(1)

Tương tự ta có: y y

yy

2

2

1 1 9

82

(2), z z

zz

2

2

1 1 9

82

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

P x y z

x y z

1 1 1 1( ) 9

82

= x y z

x y z x y z

1 1 1 1 1 80 1 1 1( )

9 982

x y z

x y z x y z

1 2 1 1 1 80 9( ) .

3 982

82 .

Dấu "=" xảy ra x y z1

3

.

Bài 5. Cho a, b, c 1

4

thoả a b c 1 . Chứng minh:

a b c

(1) (2)

7 4 1 4 1 4 1 21 .

HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1 (2).

Chú ý: x y z x y z . Dấu "=" xảy ra x = y = z = 0. Từ đó (1)

Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) Ax y

4 1

4

, với x + y = 1 b) B x y , với x y

2 36

HD: a) Chú ý: A = x y

2 2

2 1

2

.

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y

x y

2 1; ; ;

2

ta được:

x y x y

x yx y

2

25 2 1 4 1. . ( )

4 42

Dấu "=" xảy ra x y4 1;

5 5

. Vậy minA = 25

4

khi x y4 1;

5 5

.

b) Chú ý: x y x y

2 2

2 3 2 3

.



Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y

x y

2 3; ; ; ta được:

x y x y

x y x y

2

22 3 2 3( ) . . 2 3

x y

2

2 3

6

.

Dấu "=" xảy ra x y2 3 3 2 2 3 3 2

;

6 3 6 2

. Vậy minB =

2

2 3

6

.

Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A x y y x1 1 , với mọi x, y thoả x y2 2

1 .

HD: a) Chú ý: x y x y2 2

2( ) 2 .

A x y y x x y2 2( )(1 1 ) 2 2 2 .

Dấu "=" xảy ra x y2

2

.

Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) A x x7 2 , với –2 x 7 b) B x x6 1 8 3 , với 1 x 3

c) C y x2 5 , với x y2 2

36 16 9 d) D x y2 2 , với x y2 2

1

4 9

.

HD: a) A x x2 2(1 1 )(7 2) 3 2 . Dấu "=" xảy ra x

5

2

.

A x x(7 ) ( 2) 3 . Dấu "=" xảy ra x = –2 hoặc x = 7.

maxA = 3 2 khi x5

2

; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.

b) B x x2 2(6 8 )( 1 3 ) 10 2 . Dấu "=" xảy ra x =

43

25

.

B x x x6 ( 1) (3 ) 2 3 6 2 . Dấu "=" xảy ra x = 3.

maxB = 10 2 khi x = 43

25

; minB = 6 2 khi x = 3.

c) Chú ý: x y x y2 2 2 2

36 16 (6 ) (4 ) . Từ đó: y x y x1 1

2 .4 .6

4 3

.

y x y x y x2 21 1 1 1 5

2 .4 .6 16 36

4 3 16 9 4

y x5 5

2

4 4

C y x15 25

2 5

4 4

.

minC = 15

4

khi x y2 9,

5 20

; maxC = 25

4

khi x y2 9,

5 20

.

d) Chú ý: x yx y

2 2

2 21(3 ) (2 )

4 9 36

. Từ đó: x y x y2 1

2 .3 .2

3 2

.

x y x y x y2 22 1 4 1

2 .3 .2 9 4 5

3 2 9 4

x y5 2 5 D x y7 2 2 3 .

minD = –7 khi x y

8 9,

5 5

; maxD = 3 khi x y8 9,

5 5

.

Bài 9.

a)

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi

lấy giao các tập nghiệm thu được.

3. Dấu của nhị thức bậc nhất

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Bài 10. Giải các bất phương trình sau:

a) x

x3 3 2 7

2

5 3

b)

xx

2 1 33

5 4

c) x x5( 1) 2( 1)

1

6 3

d)

x x3( 1) 12 3

8 4

Bài 11. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m x m x( ) 1 b) mx x m6 2 3

c) m x m m( 1) 3 4 d) mx m x2

1

e) m x x m x( 2) 1

6 3 2

f) mx x m m

23 2( ) ( 1)

Bài 12. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m x m x m2 24 3 b) m x m m x

21 (3 2)

c) mx m mx2

4 d) mx x m m2

3 2( ) ( 1)

Bài 13.

a)

f(x) = ax + b (a 0)

x b

a

;

a.f(x) < 0

x b

a

;

a.f(x) > 0

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT MỘT ẨN

Điều kiện Kết quả tập nghiệm

a > 0 S = b

a

;

a < 0 S = b

a

;

a = 0 b 0 S =

b < 0 S = R



VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

xx

x x

15 88 5

2

32(2 3) 5

4

b)

xx

xx

4 53

7

3 82 5

4

c) x x

x x

4 112

3 2

4 3 2

2 3

d)

xx

x x

4

2 3

2 9 19

3 2

e)

xx

xx

112 5

2

82 3 1

2

f)

x x

xx

115 2 2

3

3 142 4

2

g)

x x

xx

2 3 3 1

4 5

53 8

2 3

h)

x x x

x x x

3 1 3( 2) 5 31

4 8 2

4 1 1 4 53

18 12 9

i) x x

x x

3 1 2 7

4 3 2 19

Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:

a) x x

xx

56 4 7

7

8 32 25

2

b) x x

xx

115 2 2

3

3 142( 4)

2

Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)

023

01

xm

mx b)

03

01

mx

x c) x m mx

x x

24 2 1

3 2 2 1

d) x x

x m

7 2 4 19

2 3 2 0

e)

mx

m x m

1 0

(3 2) 0

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Bất phương trình tích

Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng: P x

Q x

( )0

( )

(2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

Cách giải: Lập bảng xét dấu của P x

Q x

( )

( )

. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định

nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Dạng 1: g x

f x g xg x f x g x

( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( )


Dạng 2:

g x

f x coù nghóa

f x g x g x

f x g x

f x g x

( ) 0

( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

Chú ý: Với B > 0 ta có: A B B A B ; A B

A BA B

.


a) x x x( 1)( 1)(3 6) 0 b) x x(2 7)(4 5 ) 0 c) x x x2

20 2( 11)

d) x x x3 (2 7)(9 3 ) 0 e) x x x3 28 17 10 0 f) x x x

3 26 11 6 0


a) x x

x

(2 5)( 2)0

4 3

b)

x x

x x

3 5

1 2

c)

x x

x x

3 1 2

5 3

d) x

x

3 41

2

e)

x

x

2 51

2

f)

x x

2 5

1 2 1

g) x x

4 3

3 1 2

h)

x xx

x

22

1

1 2

i)

x x

x x

2 5 3 2

3 2 2 5


a) x3 2 7 b) x5 12 3 c) 2x 8 7

d) x3 15 3 e) x

x1

1

2

f)

xx 2

2

g) x x2 5 1 h) x x2 1 i) x x2 1


a) x m

x

2 10

1

b)

mx m

x

10

1

c) x x m1( 2) 0

HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:

a x b a x b1 1 2 2( )( ) 0 ,

a x b x

a x b x

1 1

2 2

0

(hoặc < 0. 0, 0)

– Đặt b b

x x

a a

1 2

1 2

1 2

; . Tính x x1 2 .

– Lập bảng xét dấu chung a a x x1 2 1 2. , .

– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta

xét dấu của a x b a x b1 1 2 2( )( ) (hoặc

a x b x

a x b x

1 1

2 2

) nhờ qui tắc đan dấu.

a)

mm S

mm S

m S R

33 : ( ; 1) ;

2

33 : ; ( 1; )

2

3 : \ { 1}

b)

mm S

m

mm S

m

m S

10 : ( ;1) ;

10 : ;1

0 : ( ;1)

c) m S

m S m

3: (1; )

3 : ( 2; )


a)

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: a

ax bx c x R2 0

0,0

a

ax bx c x R2 0

0,0

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax bx c2

0 (hoặc 0; < 0; 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

a) x x23 2 1 b) x x

24 5 c) x x

24 12 9

d) x x23 2 8 e) x x

22 1 f) x x

22 7 5

g) x x x2

(3 10 3)(4 5) h) x x x x2 2

(3 4 )(2 1) i) x x x

x x

2 2

2

(3 )(3 )

4 3


a) x x22 5 2 0 b) x x

25 4 12 0 c) x x

216 40 25 0

d) x x22 3 7 0 e) x x

23 4 4 0 f) x x

26 0

g) x x

x x

2

2

3 40

3 5

h)

x x

x x

2

2

4 3 10

5 7

i)

x x

x x

2

2

5 3 80

7 6


a) x mx m2

3 0 b) m x mx m2

(1 ) 2 2 0 c) mx x22 4 0

HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:

– Lập bảng xét dấu chung cho a và .

– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.

Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:

f(x) = ax bx c2 (a 0)

< 0 a.f(x) > 0, x R

= 0 a.f(x) > 0, x b

R

a

\

2

> 0 a.f(x) > 0, x (–∞; x1) (x2; +∞)

a.f(x) < 0, x (x1; x2)

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI



a)

x x

x x

2

2

2 9 7 0

6 0

b)

x x

x x

2

2

2 6 0

3 10 3 0

c)

x x

x x

2

2

2 5 4 0

3 10 0

d)

x x

x x

x x

2

2

2

4 3 0

2 10 0

2 5 3 0

e) x x

x x

2

2

4 7 0

2 1 0

f)

x x

x x

2

2

5 0

6 1 0

g) x x

x

2

2

2 74 1

1

h)

x x

x x

2

2

1 2 21

13 5 7

i)

x x

x x

2

2

10 3 21 1

3 2

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai

Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm

a) m x mx m2

( 5) 4 2 0 b) m x m x m2

( 2) 2(2 3) 5 6 0

c) m x m x m2

(3 ) 2( 3) 2 0 d) m x mx m2

(1 ) 2 2 0

e) m x mx m2

( 2) 4 2 6 0 f) m m x m x2 2

( 2 3) 2(2 3 ) 3 0

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

a) x m x m23 2( 1) 4 0 b) x m x m

2( 1) 2 7 0

c) x m x m22 ( 2) 4 0 d) mx m x m

2( 1) 1 0

e) m x m x m2

( 1) 2( 1) 3( 2) 0 f) m x m x m2

3( 6) 3( 3) 2 3 3

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m x m x2

( 2) 2( 1) 4 0 b) m x m x2

( 3) ( 2) 4 0

c) m m x m x2 2

( 2 3) 2( 1) 1 0 d) mx m x22( 1) 4 0

e) m x m x m2

(3 ) 2(2 5) 2 5 0 f) mx m x m24( 1) 5 0

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai

1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng

định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Dạng 1:

C C

f xg x

f x g xf x g x f x g x

f xf x g x

f x g x

1 2

( ) 0( ) 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

Dạng 2: f x g x

f x g xf x g x

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

Dạng 3: g x

f x g xg x f x g x

( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( )




Dạng 4:

g x

f x coù nghóa

f x g x g x

f x g x

f x g x

( ) 0

( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

Chú ý: A A A 0 ; A A A 0

Với B > 0 ta có: A B B A B ; A B

A BA B

.

A B A B AB 0 ; A B A B AB 0

2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng

luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

Dạng 1:

g x

f x g x

f x g x2

( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

Dạng 2: f x hoaëc g x

f x g xf x g x

( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )

( ) ( )

Dạng 3: t f x t

a f x b f x c

at bt c2

( ), 0. ( ) . ( ) 0

0

Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( ) . Đặt u f x

u v

v g x

( ); , 0

( )

đưa về hệ u, v.

Dạng 5:

f x

f x g x g x

f x g x2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

Dạng 6:

g x

f x

f x g xg x

f x g x2

( ) 0

( ) 0

( ) ( )( ) 0

( ) ( )

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x x x x2 25 4 6 5 b) x x x

2 21 2 8 c) x x

2 22 3 6 0

d) x x2 3 3 e) x x21 1 f)

x x

x x

21 1

2

( 2)


a) x x22 5 3 0 b) x x x

28 3 4 c) x x

21 2 0

d) x x x x2 24 3 4 5 e) x x3 1 2 f) x x x x

2 23 2 2

g) x x

x x

2

2

41

2

h)

x

x

2 51 0

3

i)

x

x x2

23

5 6


a) x x2 3 3 b) x x5 10 8 c) x x2 5 4

d) x x x22 4 2 e) x x x

23 9 1 2 f) x x x

23 9 1 2



g) x x3 7 1 2 h) x x2 29 7 2 i)

x x

xx x

21 21 21

21 21

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a) x x x3 3 35 6 2 11 b) x x x

3 3 31 3 1 1 c) x x

3 31 1 2

d) x x x3 3 31 2 3 0

Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)

a) x x x x2 2 5 2 3 2 5 7 2

b) x x x x5 4 1 2 2 1 1

c) x x x x x x2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4

Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a) x x x x2 26 9 4 6 6 b) x x x x

2( 4)( 1) 3 5 2 6

c) x x x x2 2

( 3) 3 22 3 7 d) x x x x2

( 1)( 2) 3 4

Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

a) x x x x2 23 5 8 3 5 1 1 b) x x

3 35 7 5 13 1

c) x x3 39 1 7 1 4 d) x x

3 324 5 1

e) x x4 447 2 35 2 4 f)

x xx x x

x

2

2 243564356 5


a) x x x2

12 8 b) x x x2

12 7 c) x x x24 21 3

d) x x x23 10 2 e) x x x

23 13 4 2 f) x x x

22 6 1 1

g) x x x3 7 2 8 h) x x x2 7 3 2 i) x x2 3 2 1


a) x x x x2

( 3)(8 ) 26 11 b) x x x x( 5)( 2) 3 ( 3) 0

c) x x x x2

( 1)( 4) 5 5 28 d) x x x x2 23 5 7 3 5 2 1


a) x x

x

24

2

3

b)

x x

x

22 15 17

0

3

c) x x x2 2

( 3) 4 9 d) x x x x

x x

2 26 6

2 5 4


a) x x3 2

2 8 b) x x3 32 22 1 3 1 c) x x

31 3


a)



BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV


a) a b c a b c3 3 3 , với a, b, c > 0 và xyz = 1.

b) a b c a b c a b c

a b c

9

, với a, b, c > 0.

c) p a p b p c a b c

1 1 1 1 1 12

, với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.

d) a b b a ab1 1 , với a 1, b 1.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a b c a b c33 3 3 3 3 33 3 a b c

3 3 32( ) 6 (1)

a a a a33 3 3

1 1 3 2 3 (2). Tương tự: b b32 3 (3), c c

32 3 (4).

Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.

b) BĐT b a b c c a

a b c b a c

6

. Dễ dàng chứng minh.

c) Áp dụng BĐT: x y x y

1 1 4

, ta được:

p a p b p a p b c

1 1 4 4

.

Tương tự: p b p c a p c p a b

1 1 4 1 1 4;

. Cộng các BĐT đpcm.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a ab a ab

a b a ab a1 .

2 2

.

Tương tự: ab

b a 1

2

. Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra a = b = 2.

Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A x

x

1

1

, với x > 1. b) Bx y

4 1

4

, với x, y > 0 và x y5

4

.

c) C a b

a b

1 1 , với a, b > 0 và a b 1 .

d) D a b c3 3 3 , với a, b, c > 0 và ab bc ca 3 .

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = xx

1( 1) 1 2 1 3

1

.


Dấu "=" xảy ra x = 2. Vậy minA = 3.

b) B = x y

x y

4 14 4 5

4

x y

x y

4 12 .4 2 .4 5 5

4

.

Dấu "=" xảy ra x y1

1;

4

. Vậy minB = 5.

c) Ta có a b a b

1 1 4

B a b a b

a b a b a b

4 1 3

a b

32 5

.

Dấu "=" xảy ra a = b = 1

2

. Vậy minC = 5.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b ab3 3

1 3 , b c bc3 3

1 3 , c a ca3 3

1 3 .

a b c ab bc ca3 3 3

2( ) 3 3( ) 9 a b c3 3 3

3 .

Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1. Vậy minD = 3.

Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A a b1 1 , với a, b –1 và a b 1 .

b) B x x2(1 2 ) , với 0 < x <

1

2

.

c) C x x( 1)(1 2 ) , với x1

1

2

.

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,1, 1, 1 ta được:

A a b a b1. 1 1. 1 (1 1)( 1 1) 6 . Dấu "=" xảy ra a = b = 1

2

.

maxA = 6 .

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x x x

x x x

3

1 2 1. (1 2 )

3 27

.

1

3

. Vậy maxB = 1

27

.

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = x x

x x

2

1 1 2 2 1 2 9(2 2)(1 2 )

2 2 2 8

.

Dấu "=" xảy ra x = 1

4

. Vậy maxC = 9

8

.

Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a) x m mx

x x

24 2 1

3 2 2 1

b) x x

m x

23 4 0

( 1) 2 0

c) x x

x m

7 2 4 19

2 3 2 0

d) x x

m x

2 1 2

2

Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

a) mx x m

x x

29 3

4 1 6

b) x x

mx m

210 16 0

3 1


a) x

xx x2

2 5 1

36 7

b)

x x x

xx x

2

2

5 6 1

5 6



c)

x

xx x x2 3

2 1 2 1

11 1

d)

x x x

2 1 10

1 1

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) m x m x m2

( 1) 2( 3) 2 0 b) m x m x m2

( 1) 2( 3) 3 0

Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:

a) m x m x m2

(3 1) (3 1) 4 b) m x m x m2

( 1) 2( 1) 3 3

Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:

a) m x m x m2

( 4) ( 1) 2 1 b) m m x m x2 2

( 4 5) 2( 1) 2

Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

a) x x

mx m x m

2

2

8 200

2( 1) 9 4

b)

x x

m x m x m

2

2

3 5 40

( 4) (1 ) 2 1

c) x mx

x x

2

2

11

2 2 3

d)

x mx

x x

2

2

2 44 6

1

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:

i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt

a) m x m x m4 2

( 2) 2( 1) 2 1 0 b) m x m x4 2

( 3) (2 1) 3 0


a) x x x x( 1) 16 17 ( 1)(8 23) b) x x

x x

2

2

214 6 0

4 10

c) x x

x x x x2 2

2 136

2 5 3 2 3

d) x

x

x

2

21

1


a) x x x x2 28 12 8 12 b) x x x x3 4 1 8 6 1 1

c) x2 2 1 1 3 d) x x x x14 49 14 49 14

e) x x x2 2

1 2(2 1)


a) x x x24 5 4 17 b) x x1 2 3 c) x x x2 3 3 1 5

d) x x

x

2

2

5 41

4

e)

x

x x2

2 1 1

23 4

f) x x x

26 5 9

g) x x x22 3 2 2 1 h) x x x2 1 2 3 1


a) x x2 3 0 b) x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16

c) x x x4 1 1 2 d) x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5

e) x x2

4 1 4 1 1 f) x x x x x2

3 2 1 4 9 2 3 5 2

g) x x x x2

( 5)(2 ) 3 3 h) x x x x x2 2

( 4) 4 ( 2) 2

i) x x2 2

11 31 k) x x x x2

9 9 9

Bài 16. Giải các bất phương trình sau

a) x x x28 12 4 b) x x x

25 61 4 2 c)

x x

x

2 4 32



d) x

x

x

2

2

3(4 9)2 3

3 3

e) x x x2 2

( 3) 4 9 f) x

x

x

2

2

9 43 2

5 1

Bài 17.

a)

www.toantrunghoc.com

Chúc các em học tốt !



BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH · PDF fileTrần Sĩ Tùng ...

Documents

Transcript of BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH · PDF fileTrần Sĩ Tùng ...