TUTORIAL PARA LA UTILIZACION DEL SOFTWARE GEOGEBRA EN LA

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS DE LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

Si es cierto aquello de que “una imagen vale más que mil palabras”, una imagen animada e

interactiva debe valer más que un millón. Quizá no sea para tanto, pero la posibilidad de mover las

figuras y experimentar con ellas, contribuye sin duda decisivamente a la adquisición e

interiorización de técnicas y conocimientos matemáticos.

Estas actividades están basadas en “plantillas” realizadas con GeoGebra

(http://www.geogebra.at/), un software libre de geometría dinámica, que funciona tanto en

Windows como en Linux, que puede instalarse muy fácilmente en cualquier ordenador.

I. Iniciamos haciendo doble clic en el icono (GeoGebra) o también Inicio,

programas y GeoGebra, esto permitirá visualizar la ventana principal:

Campo de entrada Símbolos Letras griegas Comandos

II. Elige en la barra de menús Visualiza y desactiva la opción Ejes. (Nos mostrará la zona

gráfica sin ejes)

III. Es importante hacer el reconocimiento de la barra de herramientas con las cuales

vamos a trabajar:

Menús de la barra de herramientas

Barra de medios

Barra de herramientas

Ventana álgebra Zona gráfica

1. Manipulación

2. Puntos:

3. Líneas:

4. Construcciones:

5. Circunferencias:

6. Ángulo y medida:

IV. Una vez hecho el reconocimiento de la barra de herramientas en cada opción

procedemos a utilizarlos cada uno de ellos: (Insertando Puntos, rectas, segmentos,

semirrectas, circunferencias, polígonos, perpendiculares, ángulos, bisectrices,

mediatrices, etc) Tal como se muestran en las imágenes:

7. Transformaciones:

8. Texto e imagen:

9. Otros:

V. Pues ahora estamos listos para empezar a trabajar con las demostraciones de los

teoremas de líneas notables en el triángulo.

VI. Para demostrar el ORTOCENTRO: seleccionamos la opción líneas y Clic en

, trazamos el triángulo como si estuviéramos insertando tres

puntos hasta formar y cerrar la figura deseada.

VII. Para trazar las alturas seleccionamos la opción construcciones y clic en

, luego para trazar dicha recta, clic en un vértice y también

en el lado opuesto, seguimos el mismo paso para las otras dos alturas; con la opción

movemos el triángulo a la forma que deseemos y al mismo tiempo

cambiamos de posición las letras existentes, pues el resultado sería

VIII. Para colocar el punto de intersección de las alturas seleccionamos

y luego marcar dos rectas separadas o clic sobre la

intersección y nos mostraría el punto donde se intersectan las alturas:

IX. Luego tenemos la opción de guardarlo como imagen o como un archivo ejecutable que

podemos modificarlo siguiendo los siguientes pasos:

Archivo, Grabar como, si es que queremos guardarlo como ejecutable con opción de

modificar, escribimos el nombre del archivo ORTOCENTRO y Grabar o sino guardarlo

como imagen para utilizarlo haciendo archivo, exporta como zona gráfica como dibujo

(png, esp…); exporta y ubicamos la carpeta respectiva donde guardarlo y Grabar.

X. Graficamos el triángulo de acuerdo a nuestro parecer para demostrar el INCENTRO

seleccionando la opción y para trazar las bisectrices de los tres

ángulos hacemos clic en tres vértices y una vez trazado las tres bisectrices procedemos

a ubicar el punto de intersección para que nuestra imagen sea la mostrada:

XI. Es importante recalcar que en este teorema se demuestra que dicho punto es el centro

de una circunferencia inscrita en dicho triángulo, para lo cual seleccionamos la opción

y haciendo clic en el punto de

intersección desplazamos con el mouse hasta que se intersecte con el triángulo:

Ortocentro

XII. En este mismo caso es posible trazar el EXCENTRO, para lo cual tenemos que

prolongar dos de los lados del triángulo mostrado seleccionando la opción recta

y la trazamos superponiendo en dos de los lados quedando la figura

así:

Ahora ubicamos puntos en cada recta prolongada con la opción

Esto nos permitirá trazar lazar las dos bisectrices exteriores con el mismo proceso

anterior para lo cual nos quedará la siguiente imagen y también ubicaremos el punto de

intersección quien será el EXCENTRO:

El EXCENTRO es el centro de una circunferencia que es tangente con uno de los lados

del triángulo y las rectas prolongadas.

XIII. Para trazar el BARICENTRO O CENTROIDE O CENTRO DE GRAVEDAD en un

triángulo cualesquiera, se necesita ubicar los puntos medios en cada lado del triángulo

seleccionado con clic en la opción , luego hacemos clic en

cada segmento del triángulo para luego trazar los segmentos desde el vértice hacia un

punto medio y ubicamos su punto de intersección; esta figura quedará así:

Es importante comprobar que AG = 2GF para lo cual utilizamos la opción y

haciendo clic de punto a punto se demostrará:

INCENTRO

EXCENTRO

También se puede comprobar que cada triángulo dividido por las medianas tiene la misma área,

para ello debemos sobreponer a través de segmentos dos triángulos cualesquiera como en la figura

mostrada y utilizamos la opción haciendo clic en el polígono graficado:

XIV. Posteriormente trabajaremos con las mediatrices el cual obtendremos como resultado el

CIRCUNCENTRO.

Trazaremos nuestro triángulo y ubicaremos el punto medio en cada segmento para

luego trazar la mediatriz con la opción haciendo clic en dos puntos o

en un segmento, esta figura se mostraría así:

Ubicamos el punto de intersección y comprobamos que en este teorema se puede trazar una

circunferencia desde el circuncentro que es tangente con los vértices del triángulo.

XVII. Es importante remarcar que los puntos donde se cortan las alturas, medianas y mediatrices,

coinciden en una misma recta considerada como la recta de EULER(la recta de color amarillo). Tal

como se muestra en la figura.

Prof. Pedro Hernán Chacón Silva

Área Matemática