TURUNAN FUNGSI ALJABARAplikasi Turunan Fungsi

Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

Media Pembelajaran Matematika SMA XI IPS

APLIKASI TURUNAN FUNGSI

A. Karakteristik Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi

Penggunaan konsep turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrim (nilai maksimum dan minimum) sangatlah luas. Contoh permasalahan yang model matematikanya berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi antara lain sebagai berikut.- Keuntungan maksimum yang diperoleh- Mengusahakan bahan baku sehemat-hematnya untuk menghasilkan jenis

barang dengan volum tertentu- Biaya minimum yang diperlukan untuk memproduksi suatu barang

Contoh masalah diatas memuat kata maksimum dan minimum atau kata lain yang searti dengan maksimum atau minimum merupakan indikator bahwa masalah tersebut adalah karakteristik masalah yang model matematikanya berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi.

Bagaimana cara memecahkannya?

APLIKASI TURUNAN FUNGSI

B. Langkah-langkah Pemecahan Masalah

Langkah-langkah yang dilakukan dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan nilai ekstrim fungsi adalah sebagai berikut.

1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf)

2. Merumuskan semua hubungan yang dapat diterjemahkan dari masalah tersebut yang merupakan model matematika dari masalah.

3. Menentukan penyelesaian optimum (maksimum atau minimum) dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2

4. Menafsirkan hasil yang diperoleh pada langkah 3 dengan menyesuaikan dengan masalah semula.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. Tentukanla dua bilangan asli uang jumlahnya 16 agar hasil kali salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya menjadi maksimum.

2. Suatu kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi akan dibuat dari selembar karton, jika volum yang diinginkan 8 dm3. Tentukan ukuran kotak ini agar bahannya minimum.

Contoh Soal dan PenyelesaiannyaContoh Soal:Jumlah dua bilangan adalah 24. Agar hasil kali kedua bilangan itu maksimum, tentukan bilangan-bilangan itu dan tentukan pula hasil kalinyaJawab:Misal bilangan I = x dan bilangan II = yMaka, x + y = 24 y = 24 – x Hasil kali kedua bilangan tersebut H = x . y

= x (24 – x)= 24x – x2

Hasil kali kedua bilangan itu maksimumdiperoleh pada saat H/ = 0

H/ = 24 – 2x 0 = 24 – 2x 2x = 24 x = 12

x = 12 y = 24 – x = 24 – 12 = 12

Jadi kedua bilangan itu adalah 12 dan 12, sehingga hasil kali maksimumnyaHmaksimum = 12 . 12

= 144

Contoh Soal dan PenyelesaiannyaContoh Soal:

Suatu kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi akan dibuat dari selembar karton, jika volum yang diinginkan 32 dm3. Tentukan ukuran kotak ini agar bahannya minimum.

Jawab:

Misal : panjang alas kotak = x

tinggi kotak = y

Volum kotak = 32

Luas alas x t = 32

x2 y = 32

y =2x

32

Luas bahan = luas alas + luas dinding

L = x2 + 4xy

= x2 + 4x .

= x2 +

= x2 +

= x2 + 128x–1

L/ = 2x – 128x–2

2x

32

2x

x128

x

128

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Agar luas bahan minimum maka

L/ = 0 2x – 128x–2 = 0

2x –

2x3 – 128 = 0 2x3 = 128 x3 = 64 x = 4

x = 4

0x

1282

24

32y

16

32

2

Jadi agar luas bahannya minimum maka ukuran kotak adalahPanjang alas kotak 4 dmTinggi kotak 2 dm

2x

32y

Latihan Soal