TUGAS 1 Elektrodinamika.doc

8/19/2019 TUGAS 1 Elektrodinamika.doc

1/17

1. Tinjau bola konduktor berjejari R yang dibumikan. Jika suatu muatan titik Q

ditempatkan di luar konduktor pada jarak y dari pusat bola,

(a) tentukanlah potensial listrik di sebarang titik di luar konduktor, dan

tentukan pula muatan pada permukaan konduktor,

(b) pertanyaan yang sama dengan (a) tetapi jika hubungan dengan bumidiputuskan dan konduktor diset berpotensial V 0.

JAWAB

(a) Potensial listrik di sebarang titik di luar konduktor (misalnya di titik P)

−

+−

=!

!

"

1)(

0 yr

Q

yr

Qr

πε φ

−+

−=

!#!#!

!##"1

0 n ynr

Qn ynr

Qπε

−

+

−

=

!#!

!#!

!

!##"

1

0 n y

r n y

Q

nr

ynr

Q

πε (1)

Pada r = R,

−

+

−

=

#!

!#!

!

!##"

1)(

0 n y

Rn y

Q

n R

yn R

Q R

πε φ

0)( = Rφ jika!

!

y

Q

R

Q−= dan

! y

R

R

y = . $ari kedua syarat ini diperoleh

y

RQQ −=! dan

y

R y

%

!= (%)

&elanjutnya, dengan memasukkan (%) ke (1) diperoleh

−

−−

=

!##!##"

1)(

%0 n

y

Rnr y

RQ

n ynr

Qr

πε φ (')

Jika sudut antara garis hubung P dan Q maka

( ) %1

)os%(!## %%1 −− −+=− θ ry yr n ynr (")

dan%1

os%!##%"

%

%

1%

−−

−+=

− θ

y

rR

y

Rr n

y

Rnr (*)

$engan memasukkan (") dan (*) ke ('), potensial di titik P dapat ditulis sebagai

( )

−+−−+=

−−

%1

%1

os%os%"

1)(

%

%

"%%%

0

θ θ πε

φ y

rR

y

Rr

y

RQry yr Qr

Q y

R

P

Q’ y’

θ

r


2/17

&elanjutnya, rapat muatan induksi pada permukaan bola konduktor adalah

Rr dr

r d

=

−= )(

0

φ ε σ

( )

Rr y

Rr

y

rR

y

Rr

y

RQ

yr ry yr Q

=

−

−

−

−+−

−−+⋅−=

θ θ

θ θ

πε ε

os%%os%

)os%%(os%

"

1%%

%

"%

%%

0

0 %'

%'

( )

−

−+−

−−+−= −

−

θ θ

θ θ

π os%%os%

)os%%(os%

"

1%'

%

"%

%%

%'

%'

y

R R

y

R

y

R R

y

RQ

y R Ry y RQ

( )

−

−+−

−−+−= −

−

θ θ

θ θ

π

os1os%

)os(os%

%

1%'

%'

'

%

"%

%

%%

y

R

y

R

y

R

R y

Q R

y R Ry y RQ

$engan demikian, muatan pada permukaan bola konduktor adalah


3/17

( )

−

−+−

−−+

−=== −

−

θ θ

θ θ

πσ σ

os1os%

)os(os%

%"! %'

%'

'

%

"%

%

%%

%%

y

R

y

R

y

R R

y

Q R

y R Ry y RQ

R R AQ

(b) Pada kasus (a), muatan induksi Q’ terdistribusi merata pada permukaan bola.

+ubungan dengan bumi diputuskan, muatan sebesar ϕ - Q’ ditambahkan sehingga

muatan total pada bola menjadi ϕ . uatan ϕ - Q’ terdistribusi merata pada

permukaan bola. $engan menerapkan +ukum -auss0ε encQ Ad E =⋅∫

, medan

listrik di dalam bola konduktor (r < R) 0)(=−=

dr

r d E

φ . $engan demikian,

potensial listrik di dalam bola (termasuk di permukaan) adalah konstan. /esarnya

ekialen dengan potensial pada jarak R dari muatan titik sebesar ϕ - Q’ yang

terletak di pusat bola, yaitu

R

QV

!

"

1

0

−=

ϕ

πε .

arena bola konduktor diset pada potensial V 0, maka

R

QV

!

"

1

0

0

−=

ϕ

πε 2 RV

Q0

0"

!=

−πε

ϕ

&ementara itu, potensial di luar bola konduktor yang dihasilkan oleh muatan ϕ -

Q’ adalah

r

RV

r

QV 0

0

!

"

1=

−=

ϕ

πε .

$engan demikian, potensial listrik di luar bola sama dengan potensial yang

dihasilkan oleh muatan Q ditambah potensial yang dihasilkan bola konduktor,yaitu

( )r

RV

y

rR

y

Rr

y

RQry yr Qr 0

%

%

"%%%

0

%1

%1

os%os%"

1)( +

−+−−+=

−−

θ θ πε

φ

%. $ua muatan titik q1 dan q% masing3masing terletak pada posisi 1 y dan % yterhadap terhadap pusat konduktor (dengan jejari a) yang dibumikan, di mana q1 4 3


4/17

q% 4 Q dan R y y −=−= %1 ( 1 y dan % y segaris, dan R 55 a). Tinjau keadaan dimana R dan Q 2 6 sedemikian rupa sehingga Q7 R% 4 konstan.

(a) /uktikanlah bah8a potensial listrik di setiap titik di luar bola konduktor

tersebut dapat dinyatakan sebagai

θ φ os%

)(%

'

%

−−=r

ar

R

Qr

di mana θ adalah sudut antara r dan garis yang menghubungkan kedua muatan

tersebut.

(b) Tentukanlah kuat medan listrik di luar bola tersebut.

() Tentukan pula rapat muatan induksi yang terjadi pada permukaan bola

tersebut.

JAWAB

(a) Potensial di luar bola (titik P) dalam Gaussian unit

!

!

!

!)(

%

%

%

%

1

1

1

1

yr

q

yr

q

yr

q

yr

qr −

+−

+−

+−

=φ

!#!#

!

!##!#!#

!

##%

%

1

1

n ynr

q

n Rnr

Q

n ynr

q

n Rnr

Q

−+

−−

++

+=

n y

r n y

q

nr

Rnr

Q

n y

r n y

q

nr

Rnr

Q

#!

!#!

!

!###!

!#!

!

##

%

%

%

1

1

1

−+

−−

++

+=

Pada r = a,

n y

an y

q

na

Rna

Q

n y

an y

q

na

Rna

Q

a#

!!#!

!

!###!

!#!

!

##)(

%

%

%

1

1

1

−+−−+++=φ

0)( =aφ jika

(1)!

!

1

1

y

q

a

Q−= dan

!1 y

a

a

R = 2 R

aQq −=!1 dan

R

a y

%

1 !=

(%)!

!

%

%

y

q

a

Q= dan

!% y

a

a

R= 2

R

aQq =!% dan

R

a y

%

% !=

asukkan hasil ini ke persamaan potensial di titik P maka diperoleh

q2 = -Q

!#% n R y =

a

P

q2’

y2’

θ r

q1 = Q

q1’

-y1’

1 yr −% yr −

!#1 n R y −=


5/17

!##!##

!####

)(%%

n R

anr R

aQ

n Rnr

Q

n R

anr R

aQ

n Rnr

Qr

−+

−−

+−

+=φ

( )

( )%1

%1

%1

%1

os%os%

os%os%

%

%

"%%%

%

%

"

%%%

−−

−

−

−++−+−

++−++=

θ θ

θ θ

R

ra

R

ar

R

aQrR Rr Q

Rra

Rar

RaQrR Rr Q

%1

%1

%1

%1

os%1os%1

os%1os%1

%

%%

"

%

%

%

%%

"

%

%

−−

−−

−++

−+−

++−

++=

θ θ

θ θ

rR

a

Rr

a

Rr

aQ

R

r

R

r

R

Q

rR

a

Rr

a

Rr

aQ

R

r

R

r

R

Q

isalnya θ os%%

%

R

r

R

r x ±= dan θ os%

%

%%

"

rR

a

Rr

a z ±=

9ntuk R >> r dan R >> a maka x


6/17

θ φ os%

)(%

'

%

−−=r

ar

R

Qr (Tresnel untuk gelombang pantul maupun

gelombang bias, dan sketsalah amplitudo3amplitudo gelombang tersebut relati?

terhadap gelombang datang sebagai ?ungsi dari sudut datang untuk kasus di mana

n%7n1 4 1,*,(b) dapatkanlah koe?isien3koe?isien re?lektansi ( R) dan transmitansi (T ), dan

tunjukkan pula bah8a R + T = 1.

() &elidiki apakah pada kasus di atas dapat terjadi sudut /re8ster. Jika dapat,

tentukanlah sudut tersebut. &ebaliknya, jika tidak dapat, jelaskanlah ja8aban

&audara.

JAWAB

(a) Persamaan Fresnel

-elombang datang dengan polarisasi medan listrik tegak lurus bidang datang

diilustrasikan pada gambar di ba8ah ini. y

x

1

1 E 1!

!1

!1 E !1!

%!

%

% E

θ 1

θ 1

θ %

medium 1 ( μ1,

"1) medium % ( μ

%,"

%)


7/17

&yarat batas yang berlaku adalah kontinuitas komponen tangensial dari E dan

(komponen yang sejajar bidang batas) pada bidang batas. &esuai dengan

gambar di atas, diperoleh

%01010 ! E E E =+ (1)dan

%%0110110 osos!os θ θ θ −=+−

%%0

%%

11010

11

os1

os)!(1

θ µ

θ ν µ

E #

E E −=−−

1

%%0

%%

111010

os

os!

θ

θ

µ

µ E

#

# E E =−

%01010 ! E E E αβ =− (%)dengan

1

%

osos

θ θ α ≡ dan

1

%

%

1

%%

11

nn

##

## =≅≡ µ µ β (')

(karena μ1 ≈ μ%≈ μ0)

Pemeahan persamaan (1) dan (%) sebagai berikut. -antikan %0 E pada persamaan

(%) oleh %0 E dari persamaan (1) maka

)!(! 1010%01010 E E E E E +==− αβ αβ )1(!)1( 1010 αβ αβ +=− E E

sehingga diperoleh

+−

=αβ

αβ

1

1! 1010 E E (")

&elanjutnya, masukkan hasil ini ke persamaan (1) maka

+−

+=

+−

+=+=αβ

αβ

αβ

αβ

1

11

1

1! 1010101010%0 E E E E E E

sehingga diperoleh

+

=αβ 1

%10%0 E E (*)

$ari persamaan (') dan hukum &nellius diperoleh

1%

%1

1

%

1

%

ossin

ossin

os

os

θ θ

θ θ

θ

θ βα αβ ===

n

n

maka

%1

%1

%1

%1%1

1%

%1

sinos

)sin(

sinos

ossinsinos

ossin

ossin11

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ αβ

+=+=+=+ (@)

%1

%1

%1

%1%1

1%

%1

sinos

)sin(

sinos

ossinsinos

ossin

ossin11

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ αβ

−=

−=−=−

(A)

$engan menggunakan persamaan ("), (*), (@), dan (A) diperoleh koe?isien re?leksi

dan koe?isien transmisi untuk medan listrik tegak lurus bidang datang berturut3

turut sebagai berikut.

)sin()sin(

11!

%1

%1

10

10

θ θ θ θ

αβ αβ

+−=

+−==⊥

E E r (B)


8/17

dan

)sin(

sinos%

1

%

%1

%1

10

%0

θ θ

θ θ

αβ +=

+==⊥ E

E t (C)

Persamaan (B) dan (C) disebut Persamaan Fresnel.

Plot gra?ik koe?isien re?leksi dan transmisi terhadap sudut datang θ 1 seperti pada

gambar berikut (menggunakan bantuan s$%t&are


9/17

%%

1

%

%%

11

%

10

%0

1

%

11

%%

1

%

1

%

1

%

os

os

os

os

+

=

+

=

==

αβ αβ

αβ θ

θ

µ

µ

θ

θ

ε

ε

#

#

E

E

#

#

'

' T

atau

1%

%1%

% ossinossin

)1("

θ θ θ θ αβ

αβ αβ ==

+= ⊥t T

&elanjutnya,

( ) 1

%1

"%1

1

"

1

1%%

%%

%

%

=++

+−+=

++

+−

=+αβ β α

αβ αβ β α

αβ

αβ

αβ

αβ T R

$engan demikian diperoleh

1=+ T R (T


10/17

2 1%

%

%1

1%1

%

%

%

1 ossin1 θ µ

µ θ

=

−

n

n

n

n 2 1ossin 1

%

%

1

%1

%

%

%

1 =

+

θ

µ

µ θ

n

n

2

%

1

%1

%

%

1

%1

% ossin

=

+ n

nθ µ

µ θ 2

%

1

%1

%

%

1

%1

% osos1

=

+− n

nθ µ

µ θ

2 1os1

%

1

%1

%

%

1

% −

=

−

n

nθ

µ

µ

$engan demikian diperoleh sudut /re8ster (θ () yang memenuhi persamaan

1

1

os%

1

%

%

1

%

−

−

=

µ

µ θ n

n

( (*)

Plot koe?isien re?leksi dan koe?isien transmisi sebagai ?ungsi sudut datang untuk

1% % µ µ = dan 1% *,1 nn =

$ari gra?ik terlihat bah8a sudut /re8ster terjadi pada θ/ ≈ *0o. Filai yang sama juga

diperoleh dengan menggunakan persamaan (*)

⊥t

⊥− r

(θ

Plot dan untuk dan sebagai ?ungsi θ 1


11/17

( )@"**,0

1%

1*,1

1

1

os%

%

%

1

%

%

1

%

=−−

=

−

−

=

µ µ

θ n

n

( 2$

( *0≈θ .

*. Tinjau gelombang )).

(a) $apatkah gelombang


12/17

z x y (i y

E

x

E ω =

∂∂

−∂∂

00 =

∂

∂−

∂

∂→=

y

E

x

E ( x

y

z 2 00 =×∇ E (%)

Persamaan (%) menunjukkan bah8a ada potensial skalar φ sedemikian sehingga

φ ∇−=0 E . Jika hasil ini dimasukkan ke (1) maka

0)( %0 =−∇=∇−⋅∇=⋅∇ φ φ E .0% =∇ φ tidak lain adalah persamaan aplae. &yarat batas pada E

mengharuskan bah8a permukaannya memiliki potensial yang sama (permukaan

ekipotensial), dan karena persamaan aplae tidak memiliki nilai maksimum atau

minimum lokal, ini berarti bah8a potensialnya konstan di mana3mana (di seluruh

P-). &elanjutnya,=φ konstan 2 0=−∇= φ E .

$engan kata lain, medan listriknya nol di dalam P-. Jadi, *e,$)an* E.

den*an $dus TE. tida! da/at en0a,ar da,a G terse)ut .

(b) Persamaan +emholtI dalam koordinat Kartesian

0),(%

%

%

%

%

=

+

∂∂

+∂∂

y x E y x

z -nγ dan 0),(%

%

%

%

%

=

+

∂∂

+∂∂

y x ( y x

z -nγ

• Modus TE

0),( = y x E z maka persamaan +emholtI yang harus dipeahkan adalah

0),(%

%

%

%

%

=

+

∂

∂+

∂

∂ y x (

y x

z -nγ

$engan metode pemisahan ariabel )()(),( y ( x ( y x ( z z z = maka

0)()()(

)()(

)( %

%

%

%

%

=++ y ( x (dy

y (d x (

dx

x (d y ( z z -n

z z

z z γ

atau (dibagi dengan )()(),( y ( x ( y x ( z z z = )

0)(

)(

1)(

)(

1 %%

%

%

%

=++ -n z

z

z

z dy

y (d

y (dx

x (d

x (γ

arena kedua ariabelnya saling bebas, persamaan di atas dipenuhi jika

%

%

% )(

)(

1 x

z

z

!

dx

x (d

x (

−= dan %%% )(

)(

1 y

z

z

!

dy

y (d

y (

−=

sehingga 0%%% =+−− -n y x ! ! γ .

&olusi umum untuk )( x ( z adalah

)os()sin()( x! ( x! A x ( x x z +=&yarat batas

0)(

0

== x

z

dx

xd( dan 0

)( ==a x

z

dx

xd(

aka

)sin()os()(

x! (! x! A!

dx

xd( x x x x

z −=


13/17

0)(

0

== x

z

dx

xd( 2 L 4 0

sehingga solusinya tereduksi menjadi)os()( x! ( x (

x z =0

)( ==a x

z

dx

xd( 2 0)sin( =− a! (! x x

dipenuhi jika

a

-! x

π = ( 4 0, 1, %, ...)

+al serupa juga pada )( y ( z dengan syarat batas

0)(

0

== y

z

dy

yd( dan 0

)(=

=) x

z

dy

yd(

akan diperoleh

)n! y π = (n 4 0, 1, %, ...)

$engan demikian solusi untuk modus T< adalah

= y

)

n x

a

- ( y x ( -n z

π π osos),( , n 3 0 keuali = n = 0.

$ari persamaan 0%%% =+−− -n y x ! ! γ diperoleh

+

=+=

%%

%%%%

)

n

a

-! ! y x-n π γ

+

=−

%%

%%

%

%

)

n

a

-

# n

-n π β ω

+

−=

%%

%

%

%

)

n

a

-

#

-nn π

ω β

-elombang akan tersalurkan jika 4 n bernilai real. $engan kata lain,

0

%%

%

%

%

≥

+

−

)

n

a

-

#-n π

ω

>rekuensi sudut -nω minimum disebut ?rekuensi panung (cut-$%% ).

-elombang dengan%%

+

=)

n

a

-#-n π ω

>rekuensi pandu gelombang yang bersangkutan memenuhi persamaan

%%

%

+

=

)

n

a

-# % -n

$iketahui a 4 %,0 m, ) 4 1,0 m, % 4 %,0 H 1010 +I, dan # 4 ' H 1010 m7s.

arena a 5 ), ?rekuensi minimum yang dapat disalurkan P- adalah

10

%B

10 10A*,0%

1

%

10'×=

×= % +I.

odus lainnya


14/17

10

%B

01 10*0,11

1

%

10'×=

×= % +I.

10

%%B

11

10@B,11

1

%

1

%

10'×=

+

×= % +I.

10

%%B

1% 100C,'1

%

%

1

%

10'×=

+

×= % +I.

10

%%B

%1 101%,%1

1

%

%

%

10'×=

+

×= % +I.

10

%B

0% 10*0,11

1

%

10'×=

×= % +I.

10

%B

%0 10*0,1%

%

%

10' ×=

×= % +I.

Jadi, untuk ?rekuensi pandu gelombang % 4 %,0 H 1010 +I, modus T< yang

terjadi adalah T


15/17

@. Jelaskanlah

(a) Prinsip kerja Rhombus >resnel sebagai polarisator7analisator.

(b) Prinsip kerja jendela L&


16/17

$

*

5 n

B,"1*,1

1sin

1sin 11 =

=

= −−θ .

$engan demikian, θ 1 5 θ K 2 gelombang mengalami pemantulan internal total.

/eda ?ase antara komponen gelombang T dan komponen gelombang T


17/17

(θ

π θ

π θ θ −=−==

%%! 1%1 2

n ( (

1ot

%tan!tan

1 ==

−= θ θ π

θ

atau !1

tan! 11 (

n

θ θ =

= − .

$ari hasil di atas, jelas bah8a akibat (θ θ =1 berlaku !!1 (θ θ = . Pada kasus ini,komponen ⊥ E mengalami pemantulan dua kali, sedangkan komponen 77 E tidak

mengalami pemantulan pada kedua permukaan batas (semuanya ditransmisikan).

$engan mengatur nilai n, jendela /re8ster (jendela L&

TUGAS 1 Elektrodinamika.doc

Documents

Transcript of TUGAS 1 Elektrodinamika.doc