TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveillés

8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills

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Fascicule de devoirs1re anne pour BTS chimie

Anne 20082009


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tsch1 Devoir n1

Partie A

Rsoudre sur ]0, +[, lquation diffrentielle (E0) : xy2y=0 dans laquelley dsigne unefonction numrique de la variable rellex, ysa fonction drive etx appartient lintervalle ]0, +[.

On considre dsormais lquation diffrentielle (E) : xy2y = 2x3x2 dans laquelleydsigne une fonction numrique de la variable rellex, ysa fonction drive etx appartient lintervalle ]0, +[.

1)y tant une fonction numrique dfinie et drivable sur ]0, +[, on crit pour 0


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tsch1 Corrig du devoir n 1

Partie A

On crit r(x)=-2/x = -2[1/x] etR(x)= -2 lnx :R(x)=r(x) et eR(x)

=e2 lnx

=x2. Ainsi :

Sur ]0, +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctionsxCx2

o Cest une constante relle.

1) a) Pour 0


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Finalement pour 0


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Tsch 1 Devoir n2

Partie A

On considre lquation diffrentielle (E) :xy + y = x21

4

dans laquelley dsigne une fonction

inconnue de la variable rellex,ysa fonction drive etxappartient lintervalle ]0,+[.

1) Dterminer la solution gnrale de lquation diffrentielle (E0) :xy + y = 0.

Autrement dit kest la fonction numrique dfinie sur ]0,+[ par k(x)=y(x)x; kest en particulier

drivable sur ]0, +[.a) Calculer k(x) en fonction dey(x) ety(x) seulement.

b) Calculer la fonction kpour quey soit solution de (E).c) Dterminer la solution gnrale de (E) sur ]0, +[.

4) Parmi les solutions de (E), prciser la solutiony=f(x), vrifiantf(1)=0.

Partie B

I. Au cours dune raction chimique, un corpsA subit des transformations. On notexA (t) laconcentration du produitA un instant tdonn (texprim en minutes). On a la condition initiale

xA(0)= 1. La fonction numriquexA est dfinie et drivable sur [0, +[, elle vrifie lquation

diffrentielle (E) :dt

dx+ 5x= 2 + 3tox est une fonction numrique de la variable relle t,

dt

dxest sa

fonction drive.

1) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E0) :dtdx + 5x= 0 .

2) a et b tant 2 rels constants, on crit pour 0t,x0(t)= a.t + b. Calculer a et b pour quex0 soit une

solution de (E).

3) Rsoudre lquation diffrentielle (E) sur [0, +[.4) Dterminer la solution particulirexAde (E) vrifiantxA(0)=1.

Extraits de formulaire :

Drives et primitives

f(t) f(t) f(t) f(t)

t

()

.t1

et()

t

1

. et

2

1

t


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Tsch 1 Corrig du devoir n2

Partie A Pour 0


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Nom :

Tsch1 Devoir surveill n 3

I. Au cours dune raction chimique, un corpsA subit des transformations. On notexA (t) la

concentration du produitA un instant tdonn (texprim en minutes). On a la condition

initialexA

(0)= 1. La fonction numriquexA

est dfinie et drivable sur [0, +[, elle vrifie

lquation diffrentielle (E) :dt

dx+ 5x= 2 + 3tox est une fonction numrique de la variable

relle t,dt

dxest sa fonction drive.

1) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E0) :dt

dx+ 5x= 0 .

2) On crit pour 0t,x0(t)= 3t/5 + 7/25. Prouver quex0 est une solution de (E).

3) Rsoudre lquation diffrentielle (E) sur[0, +[.

4) Dterminer la solution particulirexAde (E) vrifiantxA(0)=1.

II. On considre maintenant la fonctionfdfinie parf(t)= (3/5)t + 7/25 + (18/25).e5t

pour

0t. Soit (C) la courbe reprsentative defdans le repre orthogonalR=(O, ji

, ) .

1) Calculerf(t); tudier clairement le signe de f(t) suivant les valeurs de t. En dduire les

variations def.

2) Prouver que (C) admet une asymptote (D) au voisinage de +, on dterminera lquation

de cette droite (D). Etudier la position de (C) par rapport (D).

3) Dterminer lquation de (T) la tangente (C)au point dabscisse 0.

4) Tracer les droites (T) et (D) ; tracer (C). On pourra utiliser la partie complter ci-

dessous o on prcise que t0 =5

6ln; que peut on dire de la droite dquationx =f(t0) ?

x

f(t0)

t0 t


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tsch1 Corrig du devoir n3

I.1) On crit pour 0t, r(t)=5/1=4 etR(t)=5t:R(t)= 5. Les solutions de (E0) sur

[0, +[ sont toutes les fonctions tC.e-5t


2) ) On crit pour 0t,x0(t)= 3t/5 + 7/25= (3/5)t + 7/25 etx0(t) = 3/5 et on a ainsi

x0(t) + 5x0(t) = 3/5 + 5(3t/5 + 7/25) = ttt

35

103

5

7

5

3

55

75

5

35

5

3

do

x0(t) + 5x0(t) = 2 + 3tpour 0t.

Finalement la fonctionx0, dfinie parx0(t)=3t/5+7/25 pour 0t, est une solution particulire

de (E) sur [0, +[.

3) (E0) est lquation diffrentielle homogne associe (E), la solution particulirex0 de

(E), trouve la question prcdente on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutesles solutions de (E) sur [0, +[. Il sagit de toutes les fonctions : t3t/5+7/25+ C.e

-5to Cest

une constante relle.

4)xA tant une solution particulire de (E) on crit pour 0t,xA(t)=3t/5+7/25+ C.e-5t

o Cest

une constante relle :xA(0)= 0+7/25+ C.e-50

= 7/25+CetxA(0)= 1 pourC= 17/25=25/257/25=18/25.

FinalementxA(t)= 3t/5+7/25+(18/25).e-5t

pour 0t.

II. 1) Pour 0t,f(t)=(3/5)t+7/25+(18/25)e-5t

etf(t)=3/5+ (18/25)(-5)e-5t

= 3/5(18/5) e-5t

.

Les propositions (), crites avec 0t, suivantes sont quivalentes : ( 0


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4) On trace (T) et (D) en utilisant leurs quations, on place la tangente (C) au point

dabscisse t0 ; elle est horizontale (parce quef(t0) = 0 !) et a pour quationx=f(t0). Ces 3

droites vont permettre de donner une bonne allure (C).

Reprsentation graphique

(T) (D)

(C)

f(t0)

t0

La reprsentation graphique de (C)ne comporte aucun point dont labscisse est ngative.


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TSCH1 . Devoir surveill n 4

1re

partie

On considre la raction irrversible : A + B C.

Les concentrations initiales des produits A et B sont en 1. lmol , respectivement 0,5 et 0,9.

A linstant t, en minutes, les concentrations des produits A et B sont :

[A]=0,5x(t) et [B]= 0,9x(t).

La fonction x ,dfinie et drivable sur [0 ;+ [,vrifie les trois proprits (H) suivantes : 0)0( x pour ,0 t 0 x(t)< 0,5 x vrifie lquation diffrentielle (E) :

dt

dx0,04(0,5x)(0,9x) o 0,04 est la

constante de la vitesse de raction en 11 min.. moll .

1) Trouver les constantes relles a et b telles que pourX 0,5 etX0,9 on ait :

X

b

X

a

XX

9,05,0)9,0)(5,0(

1

2) Montrer que la fonctionx

, vrifiant les proprits (H) , est telle que, pour t0 ,on ait :04,0)('

))(9,0))((5,0(

1

tx

txtx.

3) Montrer que la fonction x , vrifiant les proprits (H), est telle que :

0,9 ( )ln 0, 016

1,8(0,5 ( ))

x tt

x t

pour t0 .

4) Montrer que lon peut crire pour ,0 t t

t

e

etx

016,0

016,0

).8,1/1(1

15,0)(

.

2me

partie (S)

Oi

| XG

Un solide (S)se trouve au repos sur une surface horizontale jusqu linstant t=0. A partir de

linstant t=0, on le soumet une force horizontale et le solide (S) se dplace suivant un

mouvement rectiligne. Le centre de gravit G de (S)se dplace sur laxe (O, )i

(voir le

schma ci-dessus) et on admet que la vitesse v du point G est une fonction numrique dfinie

sur [0, +[ par lgalit v(t)=3+3(t1).e-3t

pour 0 t. On note Cla reprsentation graphique de

v dans le repre (O, ji

, ).

Partie A

1) En utilisant les limites classiquesx

lim (1/ex)=0=

xlim (x/e

x), calculer

tlim v(t). Quen

dduit-on pour le trac de C?

2) Vrifier, en prsentant les calculs, si v(t)=3(43t)e-3t.3) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle

maximale ? Quelle est la valeur maximale prise par v ?

Partie BTtant un rel positif ou nul, la distance parcourue par le marteau entre linstant de dpart

(t=0) et linstant t=TestD = T

tv0

)( dt o v(t)=33(1t)e-3t

.

1) En faisant une intgration par parties calculer en fonction de T, lintgrale

I= T

03(1t)e-

3tdt.

2) En dduire lexpression deD en fonction de T.


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TSCH1.........................................................................................Corrig du devoir surveill n4

1re

partie

Pour la fonctionx vrifiant les proprits (H), on a 0


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2me

partie

Partie A

1) e-3t

= 1/e3t

alors pour 0t, v(t)=3+ 3(t1)/e3t

= 3+ (3t/e3t

)3(1/e3t

) .

Orx

lim (1/ex)=0=

xlim (x/e

x) ett

lim 3t= +do ( en faisantx=3t) :t

lim (1/e3t)=0=

tlim (3t/e

3t)

ett

lim v(t)= 3 + 030 soitt

lim v(t)= 3.

Cadmet une asymptote horizontale dquationy=3.

2) Pour 0t, v(t)= 0+3(1.e-3t

+(t1)[-3e-3t

])= 3e-3t

[13(t1)] dov(t)=(13t+3)3e-3t

soit :

Pour 0 t, v(t)=3e-3t

(43t) et v(0)= 3e04= 12.

3) Comme 0< e-3t

, v(t) est du signe de 43tet on a le tableau de variation suivant :

v(4/3)=3+3(4/31).e-4

= 3+3(1/3)e-4

=3+ e-4

.

Daprs ce tableau la vitesse v est maximale

pour t=4/3 et la valeur maximale prise par v

est v(4/3)= 3+ e-4

.

Partie B

1) On crit : o u et w sont drivables et continues

sur alors :

I=

Tt

et0

3)1(3 dt= [(1t).e

-3t]

TT

00

e-3t

dt=[(1t).e-3t

] T

T

00

3

13e

-3tdt do :

I=(1T).e-3T

1.e0[e

-3t] T0/3=e

-3TT.e

-3Te

0( e

-3Te

0)/3=-Te

-3T+(11/3)e

-3Te

0(11/3) o e

0=1

et 11/3=2/3 alorsI=-Te-3T

+2e-3T

/32/3.

2) T

01dt=[t] T0 =T0=Tet par linarit du calcul des intgrales on obtient les galits

suivantes:

3T+I=3 T

01dt+

T

03 (1t)e

-2tdt=

T

03dt+

T

03 (1t)e

-3tdt =

T

03( 3(1t)e

-3t) dt=D, et

D=3T+IdonneD= 3TTe-3T

+2e-3T

/32/3.

t 0 4/3 +

v(t) 12 + 0

v(t) 0 v(4/3) 3

u(t)=1t u(t)=-1

w(t)=-3e-3t

w(t)=e-3t u(t)w(t)=-e-

3t


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tsch1 Devoir surveill n5La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment les calculs intervient pour

une part importante dans lapprciation des copies.

Au cours dune raction chimique, on assiste la production dun corps A.

La vitesse v de production du corps A est une fonction du temps t (exprim en secondes),

solution de lquation diffrentielle (E) :

dtdy +4y = 4 + e

-4toy est une fonction de la variable relle tavec 0t,

dtdy est la fonction

drive dey.

On admet que v(0)= 0.

Partie A

1) Rsoudre sur [0, +[, (E0) :dt

dy+4y = 0.

2) Avec a et b rels constants, on crit (t)= a +bt.e-4tpour 0t.a) Calculer (t) + 4(t) en fonction de a, b et t.b) Calculer a et b pour que soit une solution particulire de (E).

3) Rsoudre (E).4) En dduirela fonction vdfinie dans lintroduction.Partie B

Pour la suite on admet que la fonction v est dfinie par v(t)=1+(t1).e-4t. On note Cla

reprsentation graphique de v dans le repre (O, ji

, ).

1) On a les deux limites de rfrence :x

lim (1/ex)=0=

xlim (x/e

x) . Commet

lim 4t = +,

en faisantx=4t, on obtientt

lim [1/e4t

]=0=t

lim [4t/e4t

] .

a) Montrer que lon peut crire v(t)= 1 + (4t/e4t) +( 1/e4t) o et sontdeux rels constants.

b) Que donnet

lim v(t) ? Quen dduit-on pour le trac de C?

2) Vrifier, en prsentant les calculs, si v(t)= e-4t(54t).3) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle

maximale ? Quelle est la valeur maximale prise par v ?

Partie C

Ttant un rel positif ou nul, la quantit de corps A produite entre linstant de dpart (t=0) et

linstant t=TestD = T

tv0

)( dt o v(t)=1(1t)e-4t

.

1) En faisant une intgration par parties calculer en fonction de T, lintgrale

I= T

0

4(1t)e-4t

dt.

2) En dduire lexpression deD en fonction de T.

Extraits de formulaire :

Intgration par parties : b

a

b

a

b

a dttvtutvtudttvtu )()(')]()([)(')(

f(t) f(t)

et

() . et


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tschi1 Corrig du devoir surveill n 5Partie A

1) On crit pour 0t, r(t)=4 etR(t)=4t:R(t)=4. Alors sur [0, +[, les solutions de (E) sont

toutes les fonctions tCe-4t


2)a) Pour 0t, (t)=0+b(1.e-4t

+t[-4e-4t]) do : (t) = -4 bt.e

-4t+be

-4t

et 4(t)= 4bt.e-4t

+4a

Par addition : (t)+4(t)= 4a+be-4tpour 0t.

2)b) est une solution de (E) lorsque pour 0t, (t)+4(t)= 4+ 1.e-4t. Cest--dire est

solution de (E) lorsque a et bvrifient les systmes dgalits quivalents suivants : {4a=4 et

b=1},{a=1 et b=1}.

Pour la suite on crit pour 0 t, (t)=1+te-4t.. est une solution particulire de (E) sur [0, +[.

3) A la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour avoir toutes

les solutions de (E): Sur [0, +[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions

t1+t.e-4t

+C.e-4t


4) v tant une solution de (E) sur [0,+[, on a : Pour 0t, v(t)= 1+t.e-4t+C.e-

4to Cest une

constante relle, v(0)=1+Ce0= 1+Calors v(0)=0 pour C=-1. Finalement pour 0t,v(t)=1+t.e

-4te-4t= 1+(t1).e-4t

.

Partie B

1)a) e-4t

= 1/e4t

alors pour 0t, v(t)=1+ (t1)/e4t

=1+ t/e4t1/e

4t= 1+

4

1(4t/e

4t)(1/e

4t) .

Autrement dit =1/4 et

b)t

lim (1/e4t

)=0=t

lim (4t/e4t

) donne :t

lim v(t)= 1+4

100 soit

tlim v(t)=1 .

Cadmet une asymptote horizontale dquationy=1.

2) Pour 0t, v(t)= 0+1.e -4t+(t1)[-4e-4t]= e-4t[14(t1)] do v(t)=(14t+4)e-4t soit :Pour 0 t, v(t)=e

-4t(54t) et v(0)= e

05= 5.

3) Comme 0< e-4t

, v(t) est du signe de 54tet on a le tableau de variation suivant :

v(5/4)=1+(5/41).e-5

= 1+(1/4)e-5

=1+(1/4)e-5

.

Daprs ce tableau la vitesse v est maximale

pour t= 5/4 et la valeur maximale prise par v

est v(5/4)= 1+(1/4)e-5.

Partie C

1) On crit : o u et w sont drivables et continues

sur alors :

I=

Tt

et0

4)1(4 dt= [(1t).e

-4t]

TT

00

e-4t

dt=[(1t).e-4t

] T

T

00

4

14e

-4tdt do :

I=(1T).e-4T

1.e0[e

-4t] T0/4=e

-4TT.e-4Te0( e

-4Te0)/4=-Te-4T

+(11/4)e-4Te0(11/4) o e

0=1

et 11/4=3/4 alorsI=-Te-4T

+3e-4T

/43/4.

2) T

01dt=[t] T

0=T0=Tet par linarit du calcul des intgrales on obtient les galits

suivantes:

T+41I=

T

01dt+

T

041 4(1t)e-4tdt=

T

01dt+

T

0(1t)e-3tdt =

T

01( (1t)e-3t) dt=D, et

D=T+4

1IdonneD= TTe

-4T/4+3e

-4T/163/16 .

t 0 5/4 +

v(t) 5 + 0

v(t) 0 v(5/4) 1

u(t)=1t u(t)=-1w(t)=-4e-4t

w(t)=e-4t u(t)w(t)=-e-4t


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Corrig

1. 32413=912= -3 ; =2

22

)3(3 ii . Les racines r1 et r2 sont donnes par :

r1=2

35,1

12

33i

i

et r2=

2

35,1

12

33i

i

.

2. On a rsolu lquation caractristique associe lquation diffrentielle (E0) homogneassocie (E1). Il en rsulte que toutes les solutions sur [0, +[ de (E0) sont toute les

fonctions te-1,5t(cos(t2

3)+ sin(t

2

3)) o et sont 2 rels constants.

3. Avec c rel constant, on crit pour 0t,f(t)=c,f(t)=0 et f(t)=0. On obtient ainsi pour0t,f(t)+3f(t)+3f(t)=3c.fest solution de (E0) dans le cas o 3c= 3, soit c= 1.

Finalement sur [0, +[, la fonctionfconstante t1 est une solution particulire de (E1).

4. la solution particulirefde (E1), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutesles solutions de (E1) :Sur [0, +[, toutes les solutions de (E1) sont toutes les fonctions

t1 + e-1,5t(cos(t2

3)+ sin(t

2

3)) o et sont 2 rels constants.

5. Daprs lquation (1)x(0)= -2x(0)y(0)+3= -230+3 soitx(0) = -3 .

6.x tant solution de (E) sur [0, + [, on peut crire, avec et 2 rels constants, pour 0t,

x(t)= 1 + e-1,5t

(

cos(t 2

3

)+ sin(t 2

3

))

x(t)= 01,5e-1,5t(cos(t2

3)+ sin(t

2

3))+e-1,5t(-

2

3sin(t

2

3)+

2

3cos(t

2

3))

e0=1=cos 0 et sin 0 = 0 donnent alors x(0)=1+1(1+0)=1+ et

x(0)= -1,51(1+0)+1(-2

30 +

2

31)= -1,5+

2

3

Les systmes dgalits suivant sont quivalents x(0)=3 etx(0)= -3 :

{1+=3 et -1,5+2

3=-3}, {=2 et -1,52+

2

3=-3}, {=2 et

2

3=0}, {=2 et=0}.

Finalement on obtient avec =2 et=0 :x(t) =1 + 2e1,5tcos

t

2

3pour 0t .

7. On utilise lgalit prcdente.

En drivant le produit e1,5t cos

t

2

3, on obtient

x(t)= 0 + 2 [ (-1,5)e-1,5tcos

t

2

3+ e1,5t

2

3sin

t

2

3] do

x(t)=3 e-1,5t

cos

t2

3

3 e1,5t

sin

t2

3

pour 0t.


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Lgalit (1) :x(t)= -2x(t)y(t) + 3 donney(t) = -2x(t)x(t) + 3 o

2x(t) = 4e1,5tcos

t

2

3

x(t) = 3 e-1,5tcos

t

2

3+ 3 e1,5t sin

t

2

3

3 = 3

Aprs addition de ces 3 galits, il ne reste que :

y(t)= 1e-1,5tcos

t

2

3+ 3 e1,5t sin

t

2

3pour 0 t.

8. Daprs les 2 questions prcdentes :

x(t)+y(t)=2+ e-1,5tcos

t

2

3 + 3 e-1,5tsin

t

2

3

et daprs lgalit (3) z(t)=3(x(t)+y(t)) do :

z(t)= 1e-1,5tcos

t

2

3 3 e-1,5tsin

t

2

3pour 0t.

9. On a 0limod')5,1(limor,0lim 5,1

t

tt

X

X

ete et 0-lim 5,1

t

t

e .

Comme -1 cos

t

2

3 1 et -1 sin

t

2

3 1, en multipliant par e-1,5tqui est positif

strictement on obtient encore - e-1,5t e-1,5tcos

t

2

3e-1,5tet - e-1,5t e-1,5tsin

t

2

3e-1,5t

pour 0tet daprs les 2 limites encadres prcdemment :

tlim e

-1,5tcos

t

2

3=0=

tlim e

-1,5tsin

t

2

3.

Il sagit ensuite dutiliser les expressions dex(t),y(t) etz(t) calcules prcdemment pour

obtenir : tlimx(t)=1+20=1 et tlimy(t)= 10 + 3 0=1 et tlimz(t)= 10 3 0=1.

TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveillés

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