O povijesti imena sinus:

Naziv sinus u europske je jezike

stigao tehnikom “pokvarenog

telefona”. Prvi naziv za sinus jiva

dali su stari Indijci. Jiva na sanskrtu

znači ‘tetiva’ i to je ime u skladu sa

sinusom. Arapi tu riječ prenose kao

jiba, što na arapskom nema

značenje pa je zamjenjuju s

istozvučnicom džaib, a označava

‘zaljev, pazuh’. Europski

srednjovjekovni prevoditelji tu riječ

doslovno prevode latinskom riječju

sinus (zaljev).

Kut je ureñen par (p,q) dviju zraka koje imaju isti

početak V. Označavamo ga s pVq. Točku V

nazivamo vrh, zraku p nazivamo prvi (početni)krak, a

zraku q drugi krak (završni)kuta pVq.

Ovako definiran kut naziva se još i orijentirani

kut.

θp

q

VMjera kuta je broj izmeñu 0°

i 360°. Ovisno o tome kolika

im je veličina, za kutove

govorimo da

su šiljasti, pravi, tupi,

ispruženi, izbočeni i puni.

∢

∢

Ako iz početne zrake p kuta pVqdolazimo do završne zrake q vrtnjom u smjeru suprotnom od kretanja

kazaljke na satu, tada kažemo da se zraka vrti u pozitivnom smjeru. Mjerakuta dobivenog vrtnjom u pozitivnomsmjeru je pozitivna.

Ako se pak vrtnja odvijala

u negativnom smjeru, tj. u

smjeru kretanja kazaljke na

satu, tada uzimamo da je

mjera kuta negativna.

∢

Osim u stupnjevima, mjere kutova

možemo izražavati i u radijanima, a

postoji i treća jedinica koja je sve

rjeña u upotrebi, a to su gradi (pun

kut ima 400 grada).

Radijanska mjera kuta odreñuje se kaoomjer duljine luka prema polumjeru luka.

s

rO

θ

rO r

r s = r

1 radian

Veličina kuta je jednaka 1 radijan ako je duljinapridruženog luka jednakaduljinipolumjera kružnice.

θ rad =r

s

Pretvorba radijana u stupnjeve: 180

θ π⋅�

�θ (rad) =

Trigonometrijski kut je kut koji poprimavrijednost od do . Pripadnu točku na kružnici za taj kutdobijemo putem ''namotaja''.

∞− ∞+

Poučak o sinusima

Zadatak: Trokut ABC ima stranicu a = 5 cm i kutove na njoj i

. Kolika je najveća stranica tog trokuta?

60β = °

°= 45γ

Iz trokuta ABD je

pa je ,

a iz trokuta ADC je

pa je

c

va=βsin

βsin×= cva

,sinb

va=γ

.sin γ×= bva

b

a

c

A

CB

D

va

β

α

γ

Usporedimo desne strane ovih jednakosti:

Dobili smo poučak o sinusima, koji glasi:

Stranice trokuta odnose se kao sinusi njima nasuprotnih kutova.

Možemo pisati:

.sin:sin:sinsin γββγ =⇔×=× cbcb

.sin:sin:sin:: γβα=cba

Rješenje zadatka:

Najdulja stranica trokuta je b, jer se nalazi nasuprot najvećeg kuta.

Iz je:βα sin:sin: =ba

( )sin sin 5 sin 60

4.48sin sin 180 ( ) sin 75

a ab cm

β βα β γ

× × × °= = = =° − + °

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

T=E(t)

0t

Brojevna

(trigonometrijska)

kružnica

Neka je t po volji

odabran realni broj,

T = E(t) njemu

odgovarajuća točka

na brojevnoj kružnici.

Namatanjem brojevnog pravca na kružnicu definirano je pridruživanje realnim brojevima odreñene točke kružnice t E (t) = T, koje nazivamo eksponencijalno preslikavanje.

Tako se svaki realni broj t s brojevnog pravca preslikava u jednu točku E(t) na kružnici k. Tu kružnicu zato zovemo brojevna ili trigonometrijska kružnica .

Predznak sinus funkcije

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

I II III IV

+ + - -

Vrijednosti sinusa za pojedine kutove

t 0

sint 0 ½ 1 ½ 0

6/π 4/π 3/π 2/π 3/2π 4/3π 6/5π π2/2 2/3 2/3 2/2

t

sint -½ - - -1 - - -½ 0

6/7π 4/5π 3/4π 2/3π 3/5π 4/7π 6/11π π2

2/2 2/3 2/3 2/2

Zadatak : Odre ñivanje vrijednosti kuta. Neka je sinus nekog kuta jednak . Koliki je taj kut?

Nacrtajmo brojevnu kružnicu. Jednadžba zadovoljavat će

sve točke brojevne kružnice čija je ordinata jednaka .

1sin

2α =

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

2α1α

2/1=y

Povucimo pravac y = ½. On siječe brojevnu kružnicu u dvije točke A i B.

Odgovarajući kutovi su:

a)

b)

BA

6/1 πα =

6/52 πα =

1

2

1

2

Omeñenost sinusa

Za svaki realan broj t vrijedi:

Kažemo da je funkcija sinus omeñena funkcija.

.1|sin| ≤t

Zadatak:

Za koji realni broj m postoji realni broj t za koji sint = 1/(m-1)?

Kako je |sint| ≤ 1 za svaki realni broj t, mora biti:

Slijedi |m – 1| ≥ 1. Dakle, m – 1 ≤ -1 ili m – 1 ≥ 1.

Konačno, jednakost

ima smisla za svaki realni broj m ≤ 0 ili m ≥ 2.

.11

1

1

1 ≤−

=− mm

1

1sin

−=

mt

Temeljni trignometrijski identiteti

Za svaki realni broj t vrijedi:

Primjer:

Ako je sint + cost t = 0.8, t je element <2,3>, koliko je sint · cost?

Kvadriranjem dane jednakosti dobijemo:

.1cossin 22 =+ tt

2 2sin cos 2sin cos 0,64.t t t t+ + ⋅ =

Kako je

Predznaci sinusa i kosinusa za II. kvadrant suprotnog su predznaka pa je rezultat negativan broj.

2 2sin cos 1,

2sin cos 0.36 / 2

sin cos 0.18

t t slijedi

t t

t t

+ =⋅ = −

⋅ = −

cos,

sin1

,

sin,

cos1

tctgt

t

ctgttgt

ttgt

ttgt ctgt

=

=

=

⋅ =

.sin1cos

,cos1sin2

2

tt

tt

−±=

−±= Predznak biramo

prema kvadrantu u

kojem se točka E(t)

nalazi.

Primjer:

Odredi vrijednost sint, ako je cost = 4/5, a kut t nalazi se u četvrtom kvadrantu.

Za kutove u četvrtom kvadrantu, sinus je negativan. Zato je

.5

3

5

41cos1sin

22 −=

−−=−−= tt

Kako pomoću vrijednosti jedne od četiriju trigonometrsijskih funkcija možemo izraziti vrijednost bilo koje druge funkcije:

Poznat sint:

.sin

sin1

sin

cos

,sin1

sin

cos

sin

,sin1cos

2

2

2

t

t

t

tctgt

t

t

t

ttgt

tt

−±==

−±==

−±=

Poznat cost:

.cos1

cos

sin

cos

,cos

cos1

cos

sin

,cos1sin

2

2

2

t

t

t

tctgt

t

t

t

ttgt

tt

−±==

−±==

−±=

Poznat tg t:

Slično je i ako je poznat ctgt.

2 2 2

2 22 2

2

2

sin cos 1/ : cos

:

1 11 cos ,

cos 1

1cos ,

1

sin cos .1

t t t

slijedi

tg t tt tg t

ttg t

tgtt tgt t

tg t

+ =

+ = ⇒ =+

=± +

= ⋅ =± +

Parnost i neparnost

Funkcija f je parna, ako za svaki t iz njezine domene vrijedi f (-t) = f (t), odnosno, ona je neparna ako za svaki t iz njezine domene vrijedi f (-t) = - f (t).

Takoñer, funkcija ne mora biti ni parna ni neparna.

Sinus funkcija je neparna funkcija jer vrijedi da je

.,sin)sin( Rttt ∈∀−=−

O

E(x)

E(-x)

B A x

y

x

-x

Za broj x element

realnih brojeva,

apscisa točke E(x) je

cos x, a ordinata od

E(x) je sinx.

Kako je trokut

OBE(x) OBE(-x)

(S-K-S), slijedi da su

apscise od E(x) i

E(-x) jednake, tj.

cos (-x) = cos x, a

ordinate suprotne, tj.

sin (-x) = - sin x.

≅

Periodi čnost funkcije sinus

Za funkciju f kažemo da je periodična ako postoji realan broj P > 0

takav da za svaki vrijedi

Broj P zove se period funkcije f. Najmanji takav pozitivan broj zove se temeljni period funkcije f.

Funkcija sinus je periodična funkcija s temeljnim periodom

)( fDt ∈

).()( Ptftf +=

:2π=P

.sin)2sin( tt =+ π

Formule redukcije za sinus

Za svaki realni broj t vrijedi:

.cos2

sin

,cos2

sin

,sin)sin(

,sin)sin(

tt

tt

tt

tt

=

+

=

−

−=+=−

π

πππ

Dokaz za 1. i 2. slu čaj:

i

tttt sin2

cos22

sin)sin( =

−=

−+=− ππππ

tttt sin2

cos22

sin)sin( −=

+=

++=+ ππππ

Adicijski teorem za sinus

Za sve realne brojeve s i t vrijede identiteti:

sin (t + s) = sint coss + cost sins,

sin (t – s) = sint coss – cost sins.

Npr. Koliki je sin(105°)=?

4

62

2

3

2

2

2

1

2

2

60sin45cos60cos45sin)6045sin()105sin(

+=×+×=

=°°+°°=°+°=°

.2

cos)(2

cos)sin(

−

−=

+−=+ stststππ

Dokaz za prvi adicijski teorem:

Najprije iskoristimo teorem redukcije za sinus funkciju:

Zatim primjenjujemo adicijski teorem za kosinus funkciju, te odgovarajuće formule redukcije:

.sincoscossin)sin(

sin2

sincos2

cos)sin(

ststst

ststst

+=+

−+

−=+ ππ

Dokaz za drugi adicijski teorem:

.sincoscossin)sin(

)sin(cos)cos(sin))(sin()sin(

ststst

stststst

−=−−+−=−+=−

Da bismo dokazali drugi teorem, dovoljno je primjeniti upravo dokazanu formulu te iskoristiti neparnost sinusa i arnost kosinusa:

Sinus polovi čnog kuta

Predznak se uzima prema kvadrantu u kojem se nalazi kut

Sinus dvostrukog kuta

2

cos1

2sin

αα −±=

.2/α

αααααααααα

cossin2)2sin(

sincoscossin)sin()2sin(

=+=+=

Sinusoida je graf funkcije sinus, tj. graf od f(x) = asin(bx+c).

x

y

1

-1

0π

2π

3π

4π

–π

–2π

Funkcija sinus je definirana na cijelom skupu R, pa je domena D(sin) = R. Kodomena funkcije sinus je segment [ -1,1].

f(x) = a sin(bx+c)

a – amplituda

b – koristi se za odreñivanje temeljnog perioda

p – pomak, dobijemo ga iz p = - c/b, u smjeru osi x

.2

bP

π=

Graf funkcije sinus

RL π2=

Svojstva grafa

1.Simetričnost s obzirom na pravac Neka je a > 0. Kako

je , to znači da je graf simetričan s

obzirom na pravac

2

πa−

2

πa+

2

π0

.2

π=x

π

+=

− απαπ2

sin2

sin

.2

π=x

x

y

2. Simetričnost s obzirom na

ishodište. Sinus funkcija je

neparna; vrijedi sin (-x) = - sin (x),

za svaki realni broj x. Zato je

njezin graf simetričan s

obzirom na ishodište.

0 ππ−

1−

1

x

y

3. Periodičnost. Funkcija

sinus je periodična s

periodom

za svaki realan broj x. Zato

je na svakom sljedećem

intervalu duljine njezin

graf identičan onom s

intervala

( ) xx

vrijedi

sin2sin

:2

=+ ππ

π2

[ ].2,0 π

Ponašanje funkcije sinus

Funkcija f(x) = sinx ima sljedeća svojstva.

1.Nultočke funkcije su brojevi

2. Maksimum funkcije je 1, a poprima se za

3. Minimum funkcije je -1, a poprima se za

4. Na intervalu tijek funkcije je:

5. Funkcija je periodična s periodom

., Zkk ∈π

.,22

Zkkx ∈+= ππ

.,22

3Zkkx ∈+= ππ

[ ]π2,0

X 0

sinx 0 1 0 -1 0

2/π π 2/3π π2

.2π

Domaća zadaća

=+−=+−

=−

=−

)sin1)(sin1)(4

cossin2)3

1sin)2

cos1)1

22

2

2

xx

xx

x

x

Pojednostavni:

Dokaži sljede će identitete:

Nacrtaj funkciju:

)cos1)(sin1())(cos)(sin4

)sin1)(1)(3

1sincossincos)2

1coscossinsinsin)1

222

4222

22222

xxctgxxtgxx

xctgxxctg

xxxx

xyxyx

++=++=−+

=+×+=+×+×

+=4

2sin2)1π

xy

Izračunaj:

?105)3

?15cos)2

?120sin)1

=°=°=°

tg