TRIGONOMETRIA

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila

Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,

navegación e ingeniería.

Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de dos enfoques, éstos son:

– El círculo– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo rectángulo

hipotenusa

catetosCaracterística principal de un triángulo

rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los triángulos

rectángulos.

Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.

La suma de los tres ángulos es 1800

La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2

Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;

“gamma”; “alpha” ; “betha”

Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicas Relaciones recíprocas

adyacenteladoopuestolado

hipotenusaadyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

opuestoladohipotenusa

senecante

1cos

adyacenteladohipotenusa

enoante

cos1sec

opuestoladoadyacentelado

angente

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo

Lado adyacente

a “gamma”

Lado opuesto a “gamma

”

adyacenteladoopuestolado

hipotenusaadyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

EJEMPLO 1

34

tangente

53

coseno

54

adyacenteladoopuestolado

hipotenusaadyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

52591634 22

22

cc

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

4

3

451cos

senecante

35

cos1sec

enoante

43

tan1cot

angente

Continuación EJEMPLO 1

33.134

tangente6.053

coseno8.054

seno

4

3

25.145cos ecante 67.1

35sec ante 75.

43cot angente

Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo

Veamos el siguiente ejemplo

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de y conozco el valor de seno , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de de la siguiente forma:

)8(.,8. 1 senoentoncessenoSi

Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información

que te provea el ejercicio. 8.054

seno

)8(.

,8.

1

seno

entoncessenoSi

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Presenta la respuesta en :

Grados___ Radianes___

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Pantalla

Radianes.927

Grado53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes)

antes de hacer los cómputos.

4

3

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.

Respuestas -PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

75.43

tangente

8.54

coseno

6.53

seno 67.135cos ecante

25.145sec ante

33.134cot angente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno.

87.366435.

)8(.1cos8.54

coseno

gradosradianes

eno

3. Halla el valor de , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.

087.366435.

)75(.1tan;75.43

tangente

gradosradianes

Compara las relaciones trigonométricas seno y coseno de

y

8.54

coseno

6.53

seno

= 36.870=53.130

6.053

coseno

8.054

seno

La suma de y es 900

Por tanto y son ángulos complementarios.

Sean y dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes

relaciones:

cottanseccsc

cos

sen

cottanseccsc

cos

sen

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 2

1`. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.

2

2

3

Respuestas -PRACTICA 2

1. Halla el valor de , en grados y en radianes.

11.498571.

)1547.1(1tan1547.13

2 tangente

gradosradianes

gente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.En la forma corta tenemos que + = 90,

Por lo tanto = 90 - = 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.407137.

)866(.1tan866.23

tangente

gradosradianes

gente

Observación

Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la

medida de sus ángulos.

Ejemplo 2

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.

40

12

12 es la medida del lado opuesto a 40 grados

12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

668.186428.12

126428.

1240

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.12

126428.

1250cos

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25 b

a

Respuestas-PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25 b

a

5.12)25)(5(.

2525.

2530

bbparadespejamos

b

bseno

65.21)25)(87(.

2587.

2530cos

bbparadespejamos

a

aeno

Estamos cargando una escalera de largo Lpor un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, según el siguiente dibujo.

Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo tal como se ilustra.

3 pies

4 piesescalera

APLICACION

3 pies

4 piesescalera